OCTAVIO DELIBERATO NETO

SISTEMA PARA SIMULAO DINMICA DE CIRCUITOS DE BRITAGEM

So Paulo 2007

OCTAVIO DELIBERATO NETO

SISTEMA PARA SIMULAO DINMICA DE CIRCUITOS DE BRITAGEM

Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Mineral

So Paulo 2007

OCTAVIO DELIBERATO NETO

SISTEMA PARA SIMULAO DINMICA DE CIRCUITOS DE BRITAGEM

Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do ttulo de Mestre em Engenharia Mineral

rea de concentrao: Engenharia Mineral Orientador: Prof. Dr. Homero Delboni Jnior

So Paulo 2007

DEDICATRIA

A Carla Cristina Ribeiro Deliberato, minha esposa querida.

AGRADECIMENTOS

Diviso Agregados da Holcim (Brasil) S.A., representada na pessoa de seu gerente-geral Osvaldo Yutaka Tsuchiya, pelo apoio e incentivo durante a elaborao deste trabalho. Aos engenheiros de minas Mitsuo Nakamura e Nilton Katsumi Fugimoto, pelo apoio incondicional. Ao meu orientador, Prof. Dr. Homero Delboni Jnior, pelo entusiasmo, grande experincia e incentivo no desenvolvimento deste trabalho. A todo o pessoal da unidade Mairipor, em especial: Valter Rezende e Agostinho Ferreira Nascimento Filho, pela constante disposio em ajudar. Ao Prof. Dr. Arthur Pinto Chaves, pelas aulas que despertaram meu interesse pela engenharia de minas. Aos meus pais: Octavio Deliberato Filho e Sandra Deliberato (in memorian), por tudo o que fizeram. A minha querida esposa, Carla Cristina Ribeiro Deliberato, que esperou pacientemente enquanto eu fitava a tela em branco, imaginando o que iria escrever. A nosso Senhor Jesus Cristo, que pela Sua misericrdia torna todas as coisas possveis.

I must create a system, or be enslaved by another mans. (William Blake)

LISTA DE SMBOLOS

P80 tamanho no qual passam 80% do produto [mm] APA abertura na posio aberta [mm] WI work index (de bolas) do material [kWh/sht] e, e(t) excentricidade, sinal de erro [mm], [%] APF abertura na posio fechada [mm] B(x,y) funo Quebra K constante de finos, ganho esttico [adimensional] tn porcentagem passante em 1/n do tamanho original da partcula [%] F80 tamanho no qual passam 80% da alimentao [mm] K1, 1 menor tamanho que pode ser classificado [mm] K2, 2 maior tamanho que pode ser classificado [mm] K3 constante da funo Classificao [adimensional] C(x) funo Classificao ci, c(dpi) ponto da funo Classificao ou da curva de partio piF frao da alimentao no i-simo intervalo granulomtrico pi frao do produto de britagem no i-simo intervalo granulomtrico M massa de material retida na cmara de britagem bij funo distribuio de quebra mi frao de material contida no i-simo intervalo granulomtrico W massa total de alimentao dpi tamanho caraterstico das partclas do i-simo intervalo granulomtrico [mm] d50 dimetro mediano de partio [mm] Th quantidade terica que a peneira pode gerar de undersize [(t/h)/m2] h altura, malha de peneiramento [mm] hT abertura efetiva [mm] dw espessura de fio [mm] ngulo, tempo morto [graus], [s] B densidade aparente [t/m3] AUF area utilisation factor

SEf simulated efficiency [%] (h)PF frao da alimentao passante em h

(h)PF frao da alimentao retida em h E energia T temperatura t tempo [s] constante de tempo [s] razo de abatimento G, G(s) funo de transferncia Kp ganho proporcional Ki ganho integral Kd ganho derivativo i tempo integral [s] d tempo derivativo [s] p, p(t) sada do controlador PID [%] P porcentagem passante acumulada

SUMRIO

1 Introduo e objetivo .............................................................................................................12 2 Breve histrico da Holcim (Brasil)........................................................................................14 3 Modelos, sistemas e simulao..............................................................................................15

3.1 Mtodos de modelagem..................................................................................................16 3.2 Classes de sistemas.........................................................................................................17

4 Modelagem de processos de britagem e de peneiramento em regime estacionrio ..............20 4.1 Modelagem da britagem .................................................................................................20

4.1.1 A funo Quebra......................................................................................................22 4.1.2 A funo Classificao ............................................................................................29 4.1.3 Um modelo de britagem ..........................................................................................30

4.2 Modelagem do peneiramento .........................................................................................32 4.3 Calibrao de modelos ...................................................................................................38

4.3.1 O mtodo dos poliedros flexveis ............................................................................40 4.3.2 O mtodo do resfriamento simulado .......................................................................43 4.3.3 Algoritmos genticos...............................................................................................46

5 Automao e controle de instalaes de britagem.................................................................51 5.1 Introduo.......................................................................................................................51 5.2 Modelos matemticos e respostas dos sistemas .............................................................52

5.2.1 Transformao de Laplace e funo de transferncia .............................................52 5.2.2 Respostas de alguns tipos de sistemas fundamentais ..............................................56

5.3 Controle de processos por retroalimentao...................................................................63 5.4 Controladores PID ..........................................................................................................65 5.5 Controle digital ...............................................................................................................76

5.5.1 Controlador PID digital ...........................................................................................76 5.5.2 O controlador lgico programvel...........................................................................77 5.5.3 Automao e controle da britagem..........................................................................81 5.5.4 Automao e controle da rebritagem.......................................................................83

6 Desenvolvimento de um programa para a simulao de circuitos de britagem ....................86 6.1 A biblioteca AggXtream.................................................................................................86 6.2 Os modelos de operaes unitrias.................................................................................90

6.2.1 Modelos de britagem ...............................................................................................90

6.2.2 Modelos de peneiramento......................................................................................103 6.2.3 Modelos auxiliares.................................................................................................106

7 Calibrao do modelo..........................................................................................................119 7.1 Descrio da Unidade Mairipor..................................................................................119 7.2 Calibrao de modelos para a Unidade Mairipor .......................................................123

8 Validao do modelo ...........................................................................................................128 8.1 Simulao da Unidade Mairipor .................................................................................128 8.2 Anlise do Circuito 2....................................................................................................138 8.3 Anlise do Circuito 3....................................................................................................140

9 Consideraes e concluses.................................................................................................145 REFERNCIAS .....................................................................................................................147

RESUMO

A produo de brita para construo civil na regio metropolitana de So Paulo (RMSP) uma tarefa desafiadora: de um lado, as crescentes presses da sociedade e das questes ambientais e, de outro, os baixos preos e parmetros de qualidade impostos pelo mercado fazem a indstria de agregados perseguir, cada vez mais, custos de operao baixos que se traduzam em vantagem competitiva. Seja na otimizao de intalaes existentes, seja em novos projetos de instalaes, vem se acentuando o uso de simuladores de circuitos de britagem. A automao das instalaes produtoras de agregados da RMSP tambm se mostra como uma tendncia irreversvel. Neste contexto, este trabalho apresenta um simulador dinmico de circuitos de britagem, desenvolvido para auxiliar as tarefas de otimizao, automao e mesmo projeto de instalaes produtoras de agregados. AggXtream, um novo simulador dinmico de circuitos de britagem, foi desenvolvido com os mais modernos modelos matemticos de britagem atualmente disponveis, e traz consigo um conjunto de rotinas de calibrao desses modelos que utiliza tcnicas de inteligncia artificial.

Palavras-chave: Britagem. Separao slido-slido. Modelagem matemtica. Otimizao. Simulao computacional.

ABSTRACT

The production of aggregates for civil construction in the metropolitan region of So Paulo (RMSP) is a challenging task: from one side, growing pressures of society and environmental issues and, from another, low prices and quality standards demanded by the market make the aggregate industry pursue, even more, low operating costs that turn into competitive advantage. Either in the optimization of existing plants or new projects, the use of simulators of mineral comminution circuits is becoming widespread. The automation of RMSPs aggregates operations has also become an irreversible trend. Within this context, the present work describes the development of a dynamic simulator for crushing circuits, aiming to be used in the optimization, automation and project of aggregates plants. AggXtream, a new dynamic simulator of crushing circuits, has been built with the most modern mathematical models of crushing currently available. It also incorporates model calibration routines that use artificial intelligence techniques.

Keywords: Crushing. Solid-solid separation Mathematical modeling. Optimization. Computer simulation.

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1 Introduo e objetivo

A indstria de agregados na regio metropolitana de So Paulo vem enfrentando desafios crescentes. Por um lado, a demanda por produtos de melhor qualidade, capacidade de atendimento e preos baixos; por outro, a legislao ambiental cada vez mais restritiva e a constante urbanizao do entorno das instalaes produtoras constituem tambm preocupaes contnuas para a indstria de agregados. Neste contexto, ter uma grande vantagem competitiva o produtor que obtiver as maiores produes de seu conjunto de equipamentos sem incorrer em aumentos proporcionais de custos de operao. A Holcim (Brasil), em 2002, teve uma preocupao especial em aumentar a produtividade da sua operao em Mairipor. Para tanto, desenvolveu e implantou com sucesso um projeto de automao e controle na Unidade Mairipor. Um subproduto desse projeto (pois no fazia parte do escopo dos trabalhos) foi o desenvolvimento de recursos para a modelagem e simulao dinmica de circuitos de britagem e peneiramento a fim de se estudar, otimizar e escolher uma estratgia de controle para esses tipos de circuitos, largamente empregados na produo de agregados. O objetivo desta dissertao descrever o desenvolvimento do trabalho de modelagem e simulao dinmica e sua utilidade para a indstria de agregados, utilizando sempre que possvel dados da Unidade Mairipor da Holcim (Brasil), empresa que empregou com sucesso os recursos descritos neste texto. Os captulos 3 e 4 tratam da modelagem e da simulao de sistemas, sendo que o captulo 4 trata especificamente dos processos de britagem e de peneiramento em regime estacionrio, alm de abordar a calibrao de modelos matemticos. O captulo 5 discute brevemente a automao e controle de instalaes de britagem, a dinmica de processos e o hoje onipresente controlador PID digital. Depois desses captulos de fundamentos, o captulo 6 apresenta a biblioteca AggXtream de modelos para a simulao dinmica de circuitos de britagem, e os aspectos fundamentais do sistema, bem como suas limitaes, so discutidos nas demais sees do captulo. Finalmente, a calibrao e a validao do

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sistema desenvolvido so discutidos nos captulos 7 e 8 atravs de um estudo de caso, ao qual se seguem as consideraes finais do trabalho.

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2 Breve histrico da Holcim (Brasil)

O grupo suo Holderbank Financire Glaris S.A., controlador da Holcim (Brasil) S.A., nasceu em 1912 na vila de Holderbank, em Aargau, na Sua. O grupo iniciou suas atividades no Brasil com a aquisio, em 1950, da Cimento Ipanema, localizada em Sorocaba (SP). Com a inaugurao, em 1974, de uma nova fbrica em Pedro Leopoldo (MG), consolidou definitivamente a sua presena no mercado brasileiro, iniciando a construo de um smbolo de qualidade da indstria cimenteira nacional com a marca Ciminas. A Cimento Nacional de Minas - Ciminas - se tornou modelo do setor no Brasil e o rpido crescimento da demanda na dcada de 70, motivou a ampliao das instalaes em Pedro Leopoldo, atingindo, no incio da dcada de 80, a capacidade de 3 milhes de toneladas de cimento por ano, com as duas fbricas. Na dcada de 90, a conjuntura econmica do Pas criou novas perspectivas de crescimento do mercado cimenteiro nacional, levando a empresa a reavaliar seus projetos de expanso. Em 1996, a Holcim, ento Holderbank, adquiriu, atravs da Ciminas, as trs fbricas da Companhia de Cimento Portland Paraso, localizadas em Barroso (MG), Cantagalo (RJ) e Vitria (ES). Nasceu, dessa forma, a Holdercim Brasil S.A., hoje Holcim (Brasil) S.A., posicionada de imediato como uma das maiores indstrias de cimento do pas. Atualmente, com presena em mais de 70 pases em todos os continentes e com novas aquisies de empresas de cimento e agregados, a Holcim consolidou-se como uma das maiores empresas de cimento, concreto e agregados do mundo. A Holcim (Brasil) Diviso Agregados conta hoje com trs unidades produtoras de brita de granito para a construo civil: Unidade Mairipor, Unidade Sorocaba e Unidade Mag. A Unidade Mairipor ser descrita na parte prtica deste trabalho, nos captulos 7 e 8, como um estudo de caso. A Holcim (Brasil), representada na pessoa do gerente-geral da Diviso Agregados, Osvaldo Yutaka Tsuchiya, gentilmente permitiu o uso de vrias informaes, nmeros e figuras apresentadas neste trabalho.

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3 Modelos, sistemas e simulao

A maior parte do esforo deste trabalho concentrou-se no desenvolvimento e na descrio de modelos de operaes unitrias que comumente aparecem nos circuitos de britagem. Mas o que um modelo e por que da sua importncia? Conforme a definio de Ziman (1996 apud CASTRUCCI, 2005, p. 3)

[...] a menor poro da realidade to complexa que precisamos de vrios modelos para poder pens-la. [...] Um modelo no a traduo completa e fiel da realidade; uma analogia, uma metfora; uma hiptese de trabalho que permite explicar ou prever conseqncias; a fora de um modelo depende de quo acertadas so suas previses. Um modelo um guia para o pensamento, a ser continuamente usado e validado pelo confronto com a realidade.

Dessa forma, um modelo nada mais que uma abstrao, uma construo intelectual sobre uma realidade. Modelos podem ser representados por diagramas, tabelas, figuras, bacos etc. Neste trabalho foram considerados modelos matemticos, ou seja, a equao ou conjunto de equaes usado para representar uma determinada operao unitria ou processo integrado. Os modelos matemticos aqui empregados so computacionais, isto , modelos cuja estruturao matemtica possa ser representada em computadores digitais de tal maneira que sistemas possam ser criados e simulados. Neste ponto introduzimos os termos sistema e simulao. Segundo Hornby (1967 apud CASTRUCCI, 2005, p. 9), um sistema [...] um grupo de objetos ou partes trabalhando juntas, em base regular. J simulao um conceito mais amplo que modelagem; simular o mesmo que imitar a realidade, e isso pode ser feito sem o uso de abstrao matemtica ou de modelos quantitativos.

Assim sendo, neste trabalho entende-se como sistema cada operao unitria, seu conjunto bem como os modelos matemticos criados para descrev-los. Entende-se ainda simulao como a mimetizao digital da realidade.

Na construo de modelos, freqentemente vrias simplificaes so necessrias em virtude da complexidade do sistema que se deseja estudar e isso no diferente no Tratamento de Minrios. O engenheiro de processos tem que buscar uma soluo de compromisso entre o tempo e o esforo dispendidos na

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construo de um modelo e seu uso futuro, isto , o quo exato o modelo tem que ser.

Seguem alguns motivos pelos quais modelos matemticos so teis para a anlise de processos (SEBORG; EDGAR; MELLICHAMP, 1989):

1. Proporcionam um melhor entendimento do processo. Um modelo pode ser analisado ou simulado em computador e seu comportamento, ao menos aproximadamente, pode ser investigado sem se causar empecilhos produo ou se colocar pessoas em situaes de risco;

2. Podem ser usados para o treinamento de operadores. Operadores podem ser treinados para operar processos complexos atravs de um ambiente de simulao. Diversas situaes podem ser imaginadas e testadas em gabinete sem a necessidade de se colocar pessoas ou equipamentos em risco;

3. Auxiliam na escolha de uma estratgia de controle. Um modelo pode ser usado na avaliao de estratgias de controle concorrentes, na escolha de variveis manipuladas e controladas. A especificao da lei de controle e mesmo dos parmetros do controlador podem ser muito facilitados com o uso de modelos matemticos e simulao;

4. Podem ser usados em estudos de otimizao. Modelos, mais notadamente aqueles ditos estacionrios ou de regime estacionrio (no intervm a varivel tempo nem eventos externos), so muito usados para estudos de otimizao onde se busca uma estratgia de operao cujo objetivo seja a minimizao de custos ou a maximizao da produo, de receitas, etc. Embora com mais dificuldades, modelos dinmicos tambm podem ser utilizados para esse fim.

5. Podem ser usados em projetos. Embora no citado por Seborg; Edgar e Mellichamp (1989), modelos tambm podem ser usados em projetos, desde que haja um banco de dados com informaes de operaes similares a que esteja em projeto ou dados de operao em planta piloto.

3.1 Mtodos de modelagem

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As dificuldades do processo de modelagem comeam na definio das fronteiras com o ambiente, as quais so arbitrrias, mas atravs delas que matria ou energia fluir pelo sistema. Uma definio inadequada das fronteiras com o ambiente poder levar um modelo a ficar restrito ou complexo demais, inutilizando-o.

Passada essa etapa, um mtodo de modelagem tem que ser escolhido. Dois mtodos esto disponveis, a saber: bottom-up e top-down. No mtodo bottom-up, modelam-se primeiro os subsistemas mais simples, integrando-os at que o sistema mais complexo esteja construdo; este o mtodo adotado neste trabalho. A outra abordagem, o mtodo top-down, o oposto; parte-se das caractersticas mais gerais do sistema em questo e, por refinamento, segue-se detalhando as demais partes do sistema.

Modelos quantitativos das operaes de britagem e peneiramento, bem como de outras operaes unitrias do Tratamento de Minrios, so de natureza fenomenolgica ou emprica. Nos primeiros, os fenmenos que ocorrem em um determinado processo so parametrizados com base nas variveis que podem ser medidas ou calculadas, atravs da busca das interaes das partes do sistema entre si e com ambiente. J no mtodo emprico, toma-se como princpio que mais simples ignorar a estrutura (ou muito difcil considerar a estrutura) e modelar a partir da adoo de funes que, a partir das variveis que se suspeitam envolvidas no processo e de respostas globais medidas em experimentos, representem as relaes entre as entradas e sadas do sistema. Evidentemente, no h nada de errado em um modelo fenomenolgico apresentar algum grau de empiricismo, muitas vezes o que se est tentando modelar to complexo que fica tentador o uso de equaes matemticas empricas para se representar parte do sistema; dessa forma surgem os assim denominados modelos hbridos.

3.2 Classes de sistemas

Conforme enfatizado anteriormente, sistemas estacionrios ou de regime estacionrio so aqueles que representam determinados estados, ou seja, onde a varivel tempo no aparece e no h a influncia de eventos externos. No presente

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trabalho o foco recai sobre sistemas dinmicos, ou seja, interessa-nos a evoluo de certas variveis no tempo. Alguns outros sistemas dinmicos tm variveis que se alteram com o tempo no por causa da passagem do tempo em si, mas devido ocorrncia de eventos externos que disparam outros internos; tais sistemas so ditos de eventos discretos e obedecem a regras lgicas (CASTRUCCI, 2005). Tais sistemas no sero abordados neste trabalho. Os sistemas podem ser classificados em determinsticos, quando so descritos por funes matemticas, e em estocsticos, quando so descritos atravs de distribuies de probabilidades. Outra classificao inclui sistemas lineares e no lineares; um sistema ser dito linear quando valer o princpio da superposio, isto , se a resposta soma de dois sinais de entrada igual soma das respostas aos dois sinais considerados isoladamente. A Figura 1, adaptada de Moraes e Castrucci (2001), apresenta uma proposta de classificao geral dos sistemas. Os blocos que contm contorno vermelho so os que nos interessam neste texto.

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Figura 1. Classificao dos sistemas, adaptada de Moraes e Castrucci (2001)

SISTEMAS

Estticos Dinmicos

Acionados por eventos

Acionados pelo tempo

Discretos no Tempo Contnuos no Tempo

No lineares Lineares

Estocsticos Determinsticos

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4 Modelagem de processos de britagem e de peneiramento em regime estacionrio

4.1 Modelagem da britagem

Assim como outros manuais de fabricantes de equipamenos, o Manual de Britagem da Metso Minerals (antigo Manual de Britagem Fao), sexta edio (2005) (MANUAL ..., 2005) traz, para diversos modelos de britadores, as correspondentes distribuies granulomtricas seja em funo da APF1 ou da APA, do tipo de material e cmara de britagem. Essas curvas granulomtricas so empricas, e ainda que haja justificativas tericas para elas, tais justificativas no foram usadas na obteno das curvas (CHAVES, 1999). No obstante sua natureza emprica, tais curvas constituem um modelo matemtico de distribuio granulomtrica de produtos de britagem. Goto e Sampaio (1986 apud CHAVES, 1999, p. 448) descrevem duas equaes de autoria de Fred Bond para a previso do P80 do produto de britagem para britadores giratrios e cnicos. Para os britadores da famlia dos giratrios, tem-se:

( )0,4WI0,04APA25400P80 += (4.1-1) Onde P80 dado em m, APA em polegadas e WI em kWh/sht. Para os britadores cnicos, tem-se:

( )APF27e

0,70,02WI7eAPF25400P80

+= (4.1-2)

Onde e a excentricidade, dada em polegadas. As equaes acima, combinadas com curvas do tipo Gaudin-Schuhmann ou Rosin-Rammler, podem ser usadas para a criao de modelos de britagem que sejam sensveis a mudanas de abertura do equipamento e de propriedades fsicas do material. Esse aspecto ser tratado em maior detalhe no Captulo 6.

1 APF significa abertura na posio fechada e APA, abertura na posio aberta.

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Uma outra abordagem, bastante diferente da discutida acima, aquela adotada nos modelos ditos de balano populacional. Esses modelos so baseados nos fenmenos que atuam sobre populaes de partculas. Em equipamentos de cominuio, depois de eventos de quebra, as partculas se redistribuem nas fraes mais finas, gerando uma nova distribuio granulomtrica. Essa abordagem, aplicada a todas as fraes graulomtricas, descreve a redistribuio das partculas fragmentadas depois de um evento de quebra. Em processos de classificao, as variveis de processo e a geometria dos equipamentos determinam a intensidade das foras que atuam sobre as partculas que so assim encaminhadas ao fluxo de grossos ou de finos. O modelo de balano populacional originou duas vertentes principais de aplicaes para a modelagem de equipamentos de cominuio. A primeira, de Austin e seus colaboradores e a segunda de Whiten e a escola australiana. Austin foi o pioneiro do assim denominado modelo cintico enquanto Whiten criou o modelo do misturador perfeito (DELBONI JR., 2006). No presente trabalho ser descrito apenas o modelo de Whiten para britadores, que inclui dois grupos principais de variveis, quais sejam: aquelas relativas ao equipamento e as que se referem s caractersticas fsicas do material a ser britado. Chaves (1999) faz uma descrio concisa e clara do processo de britagem o nico processo de cominuio de que trata este texto que assim contribui para o entendimento do modelo fenomenolgico. Seja o britador de mandbulas, giratrio ou cnico, foras de compresso so aplicadas s partculas enquanto a mandbula fixa e a mvel (ou manto e cone) se aproximam e se afastam, de modo que:

As partculas presas (selecionadas) entre as superfcies britantes so quebradas;

Os fragmentos gerados fluem pela cmara de britagem abaixo; parte deles sai do britador compondo parte do produto de britagem e outra parte aprisionada (selecionada) pelas superfcies britantes e, ento;

O ciclo se repete.

O modelo de britador representa essa seqncia de eventos atribuindo a cada intervalo granulomtrico uma probabilidade de ser aprisionado (i.e.,

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selecionado ou classificado, termo que ser empregado doravante) entre as superfcies britantes. Assim, partculas muito grossas sempre so selecionadas, partculas muito finas saem do processo sem serem britadas e partculas de tamanho intermedirio tm uma probabilidade de serem selecionadas, probabilidade esta que aumenta conforme aumenta o tamanho das partculas. A Figura 2, adaptada de Napier-Munn et al. (1996) ilustra o que foi descrito at aqui.

Figura 2. Funes Classificao e Quebra no processo de britagem

As funes Quebra e Classificao so apresentadas em detalhe nas sees que se seguem.

4.1.1 A funo Quebra

A funo Quebra depende da forma como as partculas so fragmentadas que, de acordo com King (2001), so as seguintes:

a) A clivagem, que consiste na quebra de uma nica partcula atravs de um nico impacto. Algumas partculas menores so geradas.

Produto

Produto

Alimentao

Classificao Quebra

Classificao Quebra

...

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b) A quebra de uma nica partcula seguida da quebra de alguns dos fragmentos gerados em um nico evento de quebra, denominada um evento de quebra do tipo uma partcula, um impacto.

c) Repetidos eventos do tipo (b). d) A quebra de partculas como ocorre nos equipamentos de cominuio, ou seja,

vrias partculas sendo cominudas concomitantemente.

Em processos de britagem, a compresso o principal mecanismo de fragmentao, muito embora em britadores cnicos os esforos cisalhantes intervenham de maneira significativa. A funo Quebra B(x,y) definida como a frao de partculas-filhas menores que x resultantes de um evento de quebra do tipo (b) ao qual foi submetida uma partcula de tamanho y. Para caracterizar-se essa funo, vrios eventos de quebra do tipo (b) seriam realizados, conforme o item (c) acima. Para se determinar a funo Quebra, alguns ensaios de caracterizao tecnolgica foram criados. Napier-Munn et al. (1996) traz uma descrio detalhada de dois deles: o Twin Pendulum Test e o Drop Weight Test, o ltimo sendo hoje mais empregado devido s vantagens que apresenta (NAPIER-MUNN et al., 1996, p. 78). Atualmente, os modelos fenomenolgicos de britagem mais bem sucedidos so justamente os que empregam, para a funo Quebra, um modelo emprico. Conforme j dissemos, mesmo nos modelos ditos fenomenolgicos h algum grau de empiricismo, dada a complexidade dos fenmenos que se pretende representar. Ainda assim, no obstante o uso de equaes matemticas empricas, o modelo continua sendo fenomenolgico, pois o foco o fenmeno fsico do processo. H dois modelos empricos muito bem sucedidos na descrio da funo Quebra, discutidos adiante. Ambos se baseiam na hiptese de que a funo Quebra predominantemente determinada pela quantidade de energia aplicada no evento de quebra do tipo uma partcula, um impacto e, secundariamente, pela natureza do material. Embora a natureza do material seja muito importante, para muitos materiais comumente sujeitos britagem, essa hiptese uma excelente aproximao. Em outras palavras, para minrios provenientes de rochas ss e competentes, assume-se que a funo Quebra dependa muito mais da energia aplicada ao evento de quebra do que da natureza da rocha em questo.

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Baseados nesses pontos, so descritos a seguir dois modelos empricos para a funo Quebra.

O modelo de mistura de populaes

O modelo de mistura de populaes baseia-se na combinao de partculas resultantes do evento de quebra do tipo uma partcula, um impacto. O resultado a soma de duas populaes de partculas: a primeira originada de fraturas por clivagem e a segunda por foras de atrito. Essa ltima surge por esforos cisalhantes ou impactos de baixa energia. O modelo de mistura de populaes parte do pressuposto de que a distribuio granulomtrica de cada populao de partculas assim originada possa ser representada pela seguinte relao:

n

yxy)B(x,

(4.1-3)

Onde B(x,y) a frao de partculas menores que x originadas de partculas de tamanho inicial y. A distribuio granulomtrica da populao de partculas gerada no evento de quebra pode ento ser obtida atravs do uso de um fator que representa o peso de cada uma das duas populaes que compem a populao total. Assim, temos:

21 nn

yxK)(1

yxKy)B(x,

+

= (4.1-4)

Onde o fator K pode ser interpretado como a frao de partculas que compe a parcela fina da populao total. Nesse caso, o primeiro termo seria tomado como a distribuio granulomtrica da frao fina. Quanto maior o valor de K, maior a importncia dos esforos cisalhantes e da cominuio interpartculas no equipamento de britagem. A Figura 3 apresenta um exemplo da funo Quebra.

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Figura 3. Funo Quebra tpica usada na modelagem da britagem

A funo Quebra como descrita at aqui considerada independente do tamanho original da partcula (o termo y da equao 4.1-4), bem como da natureza do material. A funo assim definida depende somente do quociente x/y, ou seja, o modelo est normalizado em relao ao tamanho e energia aplicada ao evento de quebra. H casos em que o modelo da equao 4.1-4 no adere bem aos dados disponveis. King (2001) e Napier-Munn et al. (1996) discutem os efeitos do tamanho inicial da partcula, natureza do minrio, lamelaridade e variaes do modelo nesses casos.

Segundo King (2001), valores tpicos dos parmetros da equao 4.1-4 so n1 aproximadamente 0,5 e n2 aproximadamente 4,5 para britadores standard ou 2,5 para britadores cnicos do tipo short-head. Ainda segundo o mesmo autor, o valor de K dependente do tipo e do tamanho do britador. O fator K seria, na verdade, dependente da operao que se deseja modelar, mas tais correlaes ainda no foram estudadas em detalhe. Entretanto, um fator K constante adequado na maioria dos casos.

Modelos baseados na energia de impacto

1

10

100

0,0 0,1 1,0x/y

Fun

o

Q

ueb

ra B

(x,y)

2,50,5

yx0,75

yx0,25y)B(x,

+

=

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Segundo King (2001), ensaios com o Twin Pendulum e o Drop Weight Tester (DWT) mostraram que a funo Quebra determinada pela energia aplicada no ensaio. As demais variveis tais como tamanho inicial da partcula, formato das partculas e tipo de material tm importncia secundria. O DWT foi inicialmente empregado no Julius Kruttschnitt Mineral Research Center para avaliar as caractersticas da cominuio de minrios. O DWT consiste em um peso de ao montado em duas guias lateriais, protegido por painis de acrlico e chumbado em uma base de concreto, conforme ilustra a Figura 5. Um dispositivo eltrico usado para suspender o peso a uma altura desejada, e o peso ento liberado por um dispositivo pneumtico para cair em queda livre, quebrando a partcula que est no anteparo na base do aparelho. Variando-se a altura ou o peso de ao (cujo padro de 20 kgf), energias especficas compreendidas entre 0,001 a 41,2 kWh/t podem ser obtidas (NAPIER-MUNN et al., 1996, p. 77). Depois da preparao da amostra, que consistir de 50 a 100 kg de material, a massa mdia m , em gramas, de cada partcula pertencente a um dado conjunto calculada e, tomando-se como base a energia especfica de cominuio que se deseja aplicar, a altura do peso a ser liberado determinada por:

cs

di E0,0272M

mh =

onde hi a altura de liberao do peso, em cm, Md a massa do peso, em kg, e Ecs a energia especfica de cominuio, em kWh/t. Os modelos baseados na energia de impacto tm como caracterstica a realizao de ensaios de fragmentao de partculas individuais cujo objetivo obter uma matriz normalizada que represente as caratersticas de fragmentao de um determinado minrio. Assim, a partir de ensaios de fragmentao por impacto sob condies normalizadas, so obtidas relaes entre o parmetro t10, que representa a frao passante na malha igual a 1/10 do tamanho original da partcula, e os demais parmetros tn. Trata-se portanto de uma normalizao das caractersticas de fragmentao do minrio, uma vez que independe do tamanho das partculas. A relao entre t10 e os demais parmetros tn pode ser apresentada na forma de matrizes ou como na Figura 4, por intermdio de um grfico.

27

Nesta figura so apresentadas curvas de distribuio granulomtrica normalizadas em funo do parmetro t10. Assim, para nveis de energia crescentes so obtidos produtos progressivamente mais finos, representados na Figura 4 por valores crescentes de t10, quais sejam, t10 igual a 10, 20 e 30.

1

10

100

1 10 100n = (y/x)

% Pa

ss

an

te A

cu

mu

lada

102030

Figura 4. Uma famlia de curvas-t10 para modelagem da britagem

Figura 5. O Drop Weight Tester

t10

28

Uma vez determinadas as caractersticas de fragmentao do material, a modelagem da operao de um equipamento individual baseada no nvel de fragmentao obtido, ou seja, para cada tipo de britador e etapa do processo existe um t10 tpico, assim como no modelo de mistura de populaes existe um fator K tpico. A Tabela 1 traz alguns valores tpicos de t10 obtidos da modelagem de algumas operaes industriais (DELBONI JR., 2006).

Tabela 1 Valores tpicos de t10 em operaes de britagem

Britagem (estgio) Britador t10 Primria Mandbulas 5 a 10

Secundria ou terciria Cnicos 10 a 15 Terciria Cnicos2 25

Para efeito do presente trabalho ser empregado o modelo da funo Quebra baseado na mistura de populaes. Os parmetros t10 e K podem ser correlacionados ao tipo de minrio e a diversas variveis operacionais. Assim, Napier-Munn et al. (1996) apresenta a seguinte equao que correlaciona t10 com variveis de operao:

38021o10 DFDTPHDAPFDt +++= (4.1-5) Onde os Di, i=1, 2, 3 so constantes, TPH representa a vazo de slidos de alimentao do equipamento e F80 o tamanho no qual passam 80% da alimentao. Para a correta determinao das constantes Di so necessrios vrios ensaios em que se altere somente uma varivel por vez e, alm disso, um mesmo ensaio tem que ser repetido algumas vezes para se ter um nvel de confiana estatstica. O mais usual admitir-se t10 (ou K) constante ou proporcional a APF, cujo resultado adequado na maioria dos casos. Correlaes como a descrita acima ainda no foram estudadas para a varivel K (KING, 2001).

2 Britador operando afogado.

29

4.1.2 A funo Classificao

De acordo com o diagrama da Figura 2, a segunda funo a ser definida na modelagem da operao de britagem a funo Classificao. intuitivo que, quanto maior a partcula, maior a probabilidade de a mesma ser aprisionada entre as superfcies britantes. Assim, quanto maior o tamanho da partcula maior a chance de a mesma ser classificada para o prximo evento de quebra, ou seja, a prxima reteno das mandbulas, ou no caso de britadores giratrios/cnicos, a aproximao entre cone e manto. Uma vez mais, a questo do grau de empiricismo nos modelos ditos fenomenolgicos se coloca. Funes como a mostrada na Figura 6 so usadas com sucesso para descrever a probabilidade que uma classe de partculas ser classificada.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0 10 20 30 40 50

Tamanho (mm)

Fun

o

Cl

assi

fica

o

Figura 6. A funo Classificao

Na Figura 6, o parmetro K1 o menor tamanho passvel de ser classificado e K2 o tamanho a partir do qual uma classe de partculas sempre ser classificada. Analiticamente, a funo classificao C(x) descrita para cada tamanho de partcula x da seguinte forma:

K1 K2

30

1ii

2i1

K

12

i2i

2ii

K xse0)C(x

KxK seKKxK1)C(x

K xse1)C(x3

=

31

dpi = tamanho caraterstico das partclas contidas no i-simo intervalo granulomtrico.

Nesse caso, o critrio adotado para representar o tamanho caraterstico de uma faixa granulomtrica ser a mdia geomtrica dos tamanhos extremos superior e inferior. Assim, se h n tamanhos di, ordenados em ordem decrescente de tamanho, os tamanhos representativos de cada intervalo granulomtrico sero calculados da seguinte maneira:

2n

21n

n

i1ii

3

22

1

dpdpdp

1-n2,...,i dddpdpdpdp

=

==

=

(4.1-7)

Considerando-se a operao em regime estacionrio, o balano de massas para primeiro intervalo granulomtrico em um ciclo aberto do britador, ou seja, durante um ciclo de descarga, ser o seguinte:

111 )Mmc(1Wp = Logo,

W)Mmc(1p 111

=

E aps o prximo ciclo de britagem, admitindo-se a operao em regime estacionrio:

1111F11 bMmcWpMm +=

Ou

111

F11

bc1p

WMm

=

Analogamente, para o prximo intervalo:

22222111F22 bMmcbMmcWpMm ++=

Ou seja,

+

=

WMmbcp

bc11

WMm 1

211F2

222

2

Generalizando-se o procedimento acima a todos os intervalos granulomtricos, temos:

32

W)Mmc(1p iii

= (4.1-8)

e

+

=

=

1i

1j

jijj

Fi

iii

i

WMm

bcpbc1

1W

Mm (4.1-9)

A equao 4.1-9 pode ser resolvida seqencialmente a partir do primeiro intervalo granulomtrico e a distribuio granulomtrica completa do britador calculada atravs da equao 4.1-8 acima. Para se determinar a funo Classificao comum estimarem-se os parmetros K1 e K2 a partir das distribuies granulomtricas da alimentao e do produto de britagem (KING, 2001). Para esse fim, h diversas tcnicas de calibrao de modelos, que sero discutidas na seo 4.3. J a funo Quebra B(x,y) para o clculo dos parmetros bij utilizada como se segue:

( ) ( )jij1iij dp,dBdp,dBb = ij ( )jjjj dp,dB1b =

4.2 Modelagem do peneiramento

A partir da distribuio granulomtrica, da vazo mssica da alimentao, de algumas propriedades do material e de algumas caractersticas da peneira, modelos de peneiramento devem determinar a curva de partio e, conseqentemente, as distribuies granulomtricas e vazes mssicas do oversize e do undersize. Napier-Munn et al. (1996) classifica os modelos de peneiramento em quatro categorias, a saber:

1. Modelos probabilsticos: relacionados probabilidade de uma partcula passar por uma certa abertura;

33

2. Modelos cinticos: consideram a passagem do material pela tela da peneira como um processo cintico de certa ordem, analogamente s reaes qumicas;

3. Modelos empricos: obtidos atravs de experincias; geralmente consistem regresses mltiplas que levam determinao da curva de partio;

4. Modelos baseados na capacidade de peneiramento: usados no dimensionamento de peneiras para determinadas aplicaes; no visam a simulao do peneiramento.

Os modelos do tipo 1 e 2 so geralmente complexos, envolvendo conceitos como o nmero de vezes que uma partcula apresentada tela, vazo mssica de alimentao por metro de largura da tela, distribuies de probabilidade, cinticas de peneiramento nas regies de estratificao e de peneiramento saturado entre os principais aspectos. Esses modelos requerem uma grande quantidade de dados experimentais para serem calibrados. Infelizmente, via de regra muito difcil realizar amostragens em peneiras de instalaes industriais. H impedimentos tanto de ordem prtica, tais como acesso aos fluxos de alimentao, oversize e undersize, controle das variveis de interesse etc., quanto de ordem econmica. Esse ltimo aspecto deve sempre ser considerado, principalmente na indstria de agregados, onde difcil justificar a necessidade de se calibrar um modelo de peneiramento. Nesses casos os procedimentos no podem ser levados a cabo sem o emprego de softwares especializados, geralmente bem caros. Neste trabalho ser adotado o modelo de Karra (1979), que um modelo emprico para o peneiramento em peneiras vibratrias inclinadas de movimento circular. O modelo de Karra tem como principal caraterstica partir de algumas caractersticas fsicas da peneira e da tela, da distribuio granulomtrica e da vazo mssica da alimentao e determinar, sem a necessidade de estimao de nenhum parmetro do modelo, a curva de partio do peneiramento e, conseqentemente, as distribuies granulomtricas e vazes mssicas do oversize e do undersize. O fato de o modelo de Karra prescindir de dados experimentais a sua maior vantagem e tambm a sua maior fraqueza. O prprio autor admite que variveis como a freqncia de peneiramento, o formato das aberturas da tela, o tipo de movimento do peneiramento e o material de que seja feita a tela podem interferir na aderncia de seu modelo aos dados experimentais, mas no detalha essas

34

influncias. No obstante, peneiras vibratrias de movimento circular so os equipamentos mais comumente usados na indstria de agregados e, por isso e pelas dificuldades em se utilizar outro modelo mais complexo, o modelo de Karra ser empregado neste trabalho como modelo de peneiramento. Nos casos onde no houve extrapolaes das condies que foram utilizadas na construo do modelo, bastante comum se obter excelentes previses com esse modelo (KING, 2001). Para a curva de partio do peneiramento, Karra props uma funo do tipo Rosin-Rammler:

( )

=

5,846

50

iddp0,693

i e1dpc (4.2-1) sendo c(dpi) a partio do i-simo intervalo granulomtrico e d50 o dimetro mediano de partio, em milmetros. Segundo Karra, esta curva invariante, porm Napier-Munn et al. (1996) afirmam que o expoente da equao 4.2-1 pode mudar com as condies operacionais, mas tal variao no conhecida. O prprio Karra, alis, afirma em seu artigo que a umidade, a amplitude do movimento da peneira e o formato das partculas podem alterar o expoente dessa curva de partio. Outros aspectos como telas de outros materiais que no o ao e projetos mecnicos mais modernos tambm podem mudar o expoente da curva de partio proposta por Karra. Entretanto, as condies de operao e o tipo de peneira testados por Karra ainda predominam na indstria de agregados, tornando o uso desse modelo bastante disseminado. Alm disso, em muitos casos se tem relatado excelente aderncia desse modelo a condies experimentais. A Figura 7 traz um exemplo de aplicao adaptado de King (2001), onde se utilizou uma peneira piloto, em um experimento controlado em laboratrio. A Figura 8 traz um exemplo de modelagem de peneiramento industrial adaptado de Napier-Munn et al. (1996), onde se aplicou o modelo de Karra aos dados publicados.

35

0

20

40

60

80

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Malha (mm)

% Pa

ssan

te

Alimentao O/Size calculado U/Size calculadoO/Size experimental U/Size experimental

Figura 7. Exemplo de aplicao do modelo de Karra laboratrio

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30

Malha (mm)

% Pa

ssan

te

Alimentao O/Size calculado U/Size calculadoO/Size experimental U/Size experimental

Figura 8. Exemplo de aplicao do modelo de Karra industrial

O modelo de Karra baseado na quantidade terica de material que a peneira pode gerar de undersize (Th), dada por:

.reaF.GA.B.C.D.E.Th c= (4.2-2) Onde A a capacidade bsica, dada em (t/h)/m2, e os demais so fatores de correo dessa capacidade. Na seqncia so descritos em detalhe os termos da equao 4.2-2.

36

A abertura efetiva - hT

( ) ( ) wwT d.cosdhh += (4.2-3) Onde h a malha de peneiramento, em mm, dw a espessura do fio da tela, tambm em mm, e a inclinao da peneira, em radianos.

A capacidade bsica A

contrrio caso14,410,34hAmm 51h para10,312,13hA

T

T0,32T

+=

=

37

O fator de peneiramento a mido E

32T para1,15E32T24 para0,00625T-1,35E24T16 para0,0125T-1,5E16T12 para0,05T-2,1E12T10 para0,25T-4,5E

10T6 para0,125T-3,25E6T4 para2,5E4T2 para0,25T1,5E2T1 paraTE

1T para1,0E1,26hT T

>=

38

estaria corretamente dimensionada para o servio, sub ou superdimensionada. O fator de utilizao de rea AUF (de area utilisation factor) dado por:

( )[ ]undersize de produo de tericacapacidade

passam que simuladast/h ABCDEFGrea

pdpc1WAUF

c

i

Fii

F

=

=

(4.2-13)

Um fator de utilizao de rea igual a 1 significa uma peneira corretamete dimensionada, menor que 1 uma peneira superdimensionada e maior que 1 uma peneira subdimensionada. Tambm possvel calcular a eficincia da operao SEf dada por:

( )[ ]( ) 100passar deveriam quet/h

passam que simuladast/h 100hP

pdpc1SEf F

i

Fii

=

=

(4.2-14)

4.3 Calibrao de modelos

At aqui foram apresentados e discutidos modelos de britagem e peneiramento, tanto fenomenolgicos quanto empricos. Vrios desses modelos so baseados em parmetros que precisam ser estimados para que o modelo tenha um poder de previso adequado. Um modelo est calibrado quando um ou mais de seus parmetros so estimados utilizando-se para tanto um mtodo numrico e dados experimentais (ou de campo), estes ltimos obtidos em laboratrio, planta piloto ou operaes industriais. Nesta seo sero discutidos alguns mtodos numricos utilizados neste trabalho para a calibrao dos modelos de britagem apresentados anteriormente. A aplicao dos mtodos selecionados aos dados obtidos a partir de um circuito industrial ser apresentada no captulo 6. Os mtodos numricos aqui discutidos so utilizados para minimizao ou maximizao de funes. Assim, dada uma funo f que depende de uma ou mais

39

variveis independentes, sero aplicados mtodos numricos para encontrar os valores dessas variveis para que o valor f seja mnimo ou mximo. Dependendo da literatura consultada, tais mtodos so tambm chamados de mtodos de otimizao. Neste texto, daqui em diante, consideraremos o problema da otimizao como sinnimo de minimizao de funes. Os problemas de otimizao podem ser restritos ou irrestritos, dependendo de haver ou no restries nos valores que algumas variveis possam assumir. Qualquer que seja a funo a ser minimizada, isto , qualquer que seja o problema de otimizao, dever haver:

1. Uma funo objetivo: a funo a ser minimizada e que incorpora em si o critrio de qualidade que permitir avaliar quo bom foi o ajuste.

2. Um modelo de processo: a funo ou conjunto de funes que contm todas as restries das variveis do modelo e que exprimem o relacionamento entre as entradas e as sadas do modelo.

Edgar e Himmelblau (1988) listaram seis passos que deveriam ser seguidos na soluo de qualquer problema de otimizao:

1. Identificar as variveis do processo: aqui so relacionadas as variveis do processo que sero utilizadas na modelagem, isto , aquelas mais significativas. Em um modelo de britagem, por exemplo, poderamos relacionar a APF, a excentricidade, o WI do minrio e o P80.

2. Definir um critrio de qualidade e a funo objetivo: via de regra, a funo objetivo ser a diferena entre os valores de sada observados do processo e os valores de sada do modelo. Dessa forma, o critrio de qualidade pode ser, por exemplo, a soma dos quadrados da funo objetivo ou a mdia dos valores absolutos da funo objetivo.

3. Modelar o processo: esta etapa consiste no desenvolvimento do modelo matemtico do processo e suas restries; geralmente atravs de equaes que relacionem as entradas e as sadas em regime estacionrio. Os modelos podem ser empricos, fenomenolgicos ou hbridos.

4. Simplificar o modelo: antes de se efetuarem clculos complicados de otimizao importante que o modelo seja o mais simples possvel e que,

40

ainda assim, fornea previses teis. Fazem parte desta etapa a diminuio do nmero de variveis e a simplificao das equaes do modelo, se possvel. A ttulo de exemplo, se um ou mais parmetros de um modelo foram determinados atravs de caracterizao tecnolgica ou de qualquer outro mtodo, por que deix-lo para ser estimado pelo algoritmo? De fato, a tentativa de tentar transformar um modelo em um espelho da realidade um grande erro que se pode cometer em modelagem. A simplificao deve ser buscada sempre.

5. Calcular o timo: em outras palavras, calcular os parmetros do modelo que minimizem a funo objetivo. Para esta etapa h muitas tcnicas e algoritmos disponveis, dos mais simples aos mais complexos. No h entretanto um algoritmo perfeito para todas as aplicaes.

6. Efetuar anlises de sensibilidade: variar a escolha inicial dos valores dos parmetros, utilizar outros algoritmos para a soluo do problema e comparar as respostas assim obtidas. Nesta etapa o bom senso do engenheiro de processos e sua experincia so ferramentas fundamentais.

Neste trabalho s sero utilizados os mtodos multidimensionais de otimizao. No se empregaram os mtodos de minimizao em uma dimenso somente.

4.3.1 O mtodo dos poliedros flexveis

O mtodo dos poliedros flexveis bastante adequado minimizao multidimensional, isto , h mais de um parmetro do modelo que precisam ser estimados dispondo de dados experimentais. Muitos algoritmos que se prestam minimizao multidimensional acabam por fazer uso de algum algoritmo de minimizao unidimensional como parte de sua estratgia. Este no o caso do mtodo dos poliedros flexveis, desenvolvido por Nelder e Mead (1965). Trata-se de um mtodo conciso e elegante, ainda que no o mais eficiente do ponto de vista da quantidade de clculos que precisa executar.

41

Entretanto, se o problema de otimizao for somente uma parte das questes a ser resolvidas e o objetivo for obter rapidamente uma resposta, o mtodo dos poliedros flexveis uma excelente escolha inicial. Passemos descrio do mtodo. Quando se fala de minimizao unidimensional, sempre possvel isolar o ponto de mnimo, de modo que a convergncia do algoritmo fique garantida. Em espaos multidimensionais, no entanto, no possvel o isolamento de um ponto de mnimo; o melhor que se pode fazer dar ao algoritmo uma estimativa inicial, ou seja, um vetor com N variveis independentes como sendo o valor inicial. A partir da o algoritmo est por sua conta e risco para andar pela topografia inimaginavelmente complexa de um espao N-dimensional at encontrar pelo menos um mnimo local. O mtodo dos poliedros flexveis no recebe como estimativa inicial um ponto de N coordenadas, mas N+1 pontos. Esses pontos, cada um com N coordenadas, definem uma figura geomtrica denominada simplex (da o nome do mtodo em ingls: downhill simplex method) que, no caso da minimizao unidimensional ser uma linha. J para o caso bidimensional ser um tringulo e tridimensional ser um tetraedro e assim por diante. Se um dos pontos do simplex for P0, ento:

i0i ePPrrr

+=

Onde os ier

so versores de N coordenadas e uma constante que uma estimativa

da escala caracterstica do problema. Nada impediria de haver diferentes i por versor.

O mtodo dos poliedros flexveis adota ento uma srie de etapas pr-definidas. Grande parte das etapas consiste no deslocamento do vrtice onde a funo objetivo tem seu maior valor atravs da face oposta do simplex, ou seja, em direo ao vrtice onde a funo objetivo tem seu menor valor. Essas etapas so denominadas reflexes e so feitas de modo a conservar o volume do simplex, j que se o volume do simplex no for conservado, ele dito degenerado. Quando a reflexo possvel, o mtodo expande o simplex na direo da reflexo, caso contrrio, realiza uma contrao unidimensional na direo dada pelo ponto onde a funo objetivo tem seu maior valor. Se nenhuma das etapas acima parecer funcionar, o mtodo contrai o simplex em todas as direes, ao redor do ponto onde a funo objetivo tem seu menor valor.

42

A Figura 9, adaptada de Press et al. (1992) ilustra as etapas e as configuraes que um simplex (no caso um tetraedro) pode assumir ao final de cada etapa.

Figura 9. Possveis configuraes aps uma etapa do mtodo dos poliedros flexveis

interessante notar que uma seqncia apropriada de etapas como as mostradas na Figura 9 sempre levar ao encontro de um mnimo da funo objetivo, ainda que talvez um mnimo local. H ainda outros detalhes do mtodo tais como critrio de parada e reconfigurao do simplex cuja descrio desnecessria para o entendimento do mtodo. Descries mais aprofundadas so encontradas em Press et al. (1992) e Seborg, Edgar e Mellichamp (1989).

alto baixo

poliedro no incio da etapa

reflexo

reflexo e expanso

contrao

contrao mltipla

43

4.3.2 O mtodo do resfriamento simulado

O mtodo do resfriamento simulado surgiu de uma analogia com a termodinmica do modo como um gs perfeito se solidifica. Ao diminuirmos a temperatura do gs, sua energia total diminui e os tomos passam a perder mobilidade. Continuando o processo de resfriamento, o gs passar ao estado lquido e os tomos tero mobilidade ainda mais reduzida. Se o resfriamento for conduzido de forma lenta o bastante, os tomos se alinharo e formaro uma substncia cristalina completamente ordenada, cada tomo a uma distncia de bilhes de vezes o tamanho de um tomo individual, e o cristal assim resultante ter energia mnima. essencial que o resfriamento seja lento, dando tempo suficiente para os tomos se redistriburem enquanto perdem mobilidade. Se essa condio no for atendida, no h garantia de que o estado de energia mnima ser atingido. Por analogia, os demais mtodos de otimizao corresponderiam a resfriamentos rpidos, uma vez que, dado um ponto inicial, tenta-se o mais rpido possvel minimizar a funo objetivo. Desse modo, no se pode garantir o atingimento de um ponto de mnimo global, mas local somente. Na dcada de 50, Metropolis et al. (1953) utilizaram a distribuio de probabilidades de Boltzmann

( )

=kT

E

eEP

para expressar a idia de que um sistema em equilbrio trmico temperatura T tem sua energia probabilisticamente distribuda entre vrios nveis de energia E. Mesmo a baixas temperaturas, h uma pequena chance de o sistema se encontrar em um nvel alto de energia. Dadas as posies dos tomos de um gs perfeito, uma nova configurao de posies para os tomos era sorteada e oferecida ao sistema. Se a energia total do estado inicial era E1, a energia total do novo estado proposto, E2, tinha probabilidade

( )

kTep

12 EE

=

44

Assim, se E21 e o sistema sempre assumia a nova configurao; se E2>E1, sorteava-se um nmero aleatrio e, se o nmero estivesse entre 0 e p, a nova configurao seria aceita. Repetindo-se esse procedimento muitas vezes, numa mesma temperatura, chegava-se a uma posio final mdia que representava o equilbrio trmico do gs naquela temperatura. Este critrio, de sempre aceitar configuraes que causam diminuio da energia total e algumas vezes aceitar configuraes que aumentam a energia total, ficou conhecido como algoritmo de Metropolis3. O uso do algoritmo de Metropolis a sistemas que no os termodinmicos requer alguns elementos, a saber:

1. Uma descrio das possveis configuraes do sistema. 2. Um gerador de mudanas aleatrias nas configuraes descritas acima.

Essas mudanas so as opes que sero apresentadas ao sistema. 3. Uma funo objetivo que se queira minimizar. O valor da funo objetivo

corresponde ao nvel de energia do sistema. 4. Um parmetro de controle anlogo temperatura T e um esquema de

resfriamento que nos indicar como T tem seu valor diminudo aps um certo nmero de opes ter sido apresentado ao sistema.

Note-se que a aplicao do mtodo a um gs perfeito a soluo de um problema de minimizao combinatria: h uma funo objetivo a ser minimizada, mas a funo est definida num espao discreto, muito grande, de possveis configuraes que os tomos podem assumir. No h aqui os conceitos de continuidade ou direo. Outros problemas como o problema do caixeiro viajante e o da disposio de centenas de milhares de circuitos sobre uma fina placa de silcio a fim de se minimizar a interferncia entre eles (PRESS et al., 1992) foram resolvidos pelo mtodo do resfriamento simulado. Novamente, abordam-se problemas de minimizao combinatria; o nmeo de elementos no espao de configuraes fatorialmente grande, de modo que ir por tentativa e erro na busca da configurao tima no uma boa idia.

3 A aplicao dessas idias minimizao de funes deu-se na dcada de 80 por Kirkpatrick e por isso, algumas

vezes, o algoritmo tambm chamado de algoritmo de Kirkpatrick.

45

A utilizao do mtodo do resfriamento simulado a espaos contnuos bem mais difcil que o uso em problemas combinatrios. A gerao de opes para o sistema, isto , um procedimento para se encontrar xx rr + (as opes) a fim de se minimizar ( )xf r (o sistema) bem complexa. Trata-se de uma questo de eficincia: um gerador de mudanas ser ineficiente se, havendo possibilidade de minimizao local, o gerador quase sempre prope mudanas que aumentam o valor de ( )xf r . Esta questo crtica ao se pensar, por exemplo, num vale longo e estreito, onde quase todas as mudanas aleatrias resultaro em ( )xxf rr + > ( )xf r , tornando o mtodo do resfriamento simulado ineficiente. Neste trabalho, foi adotada a mesma linha de pensamento de Press et al. (1992) para o uso do mtodo do resfriamento simulado, isto , foi utilizada uma modificao do mtodo dos poliedros flexveis apresentado na seo 4.3.1. A descrio do estado do sistema, ao invs de ser dada por um ponto xr , foi substituda por um simplex de N+1 pontos e, a cada movimento do simplex (reflexo, expanso ou contrao) soma-se (ou subtrai-se) do valor da funo objetivo em cada vrtice uma varivel aleatria proporcional temperatura T. Assim como o algoritmo de Metropolis, tal procedimento sempre aceita movimentos que minimizem o valor da funo objetivo e, algumas vezes, aceita movimentos que no o faam. Entretanto, o algoritmo no se torna ineficiente, pois medida que 0T o algoritmo se reduz ao mtodo dos poliedros flexveis e converge pelo menos a um mnimo local. Outro critrio problemtico no uso do mtodo do resfriamento simulado o esquema de resfriamento. Conforme enfatizado anteriormente, o resfriamento tem que ser lento o bastante, mas o que seria lento o bastante? H vrias formas que podem ser experimentadas para o esquema de resfriamento, e o critrio, infelizmente, a tentativa e erro. Neste trabalho adotou-se reduzir o parmetro de controle T para (1-)T aps m opes serem apresentadas ao sistema, isto , funo objetivo.

46

4.3.3 Algoritmos genticos

Os algoritmos genticos so contemporneos ao mtodo do resfriamento simulado, descrito anteriormente. As primeiras idias comearam a surgir no incio dos anos 1960 com forte apelo biolgico no sentido de se imitar o mecanismo proposto por Darwin para a evoluo das espcies, ou seja, a sobrevivncia do mais apto. As aplicaes dos algoritmos genticos para propsitos mais amplos comearam a ocorrer em meados dos anos 1980 e tm crescido muito desde ento. Neste trabalho, foram escritos cdigos em linguagem C para a calibrao de modelos de britagem segundo as equaes 4.1-9 e 4.1-10 tanto pelo mtodo dos poliedros flexveis quanto pelo mtodo do resfriamento simulado. Para tanto, foram utilizados cdigos e recomendaes contidas em Press et al. (1992). Escrever um algoritmo gentico, no entanto, uma tarefa bastante complexa. No presente trabalho foi empregado um algoritmo gentico da Frontline Systems, Inc. que funciona como um suplemento do programa Excel, da Microsoft o Evolutionary Solver. Apesar do apelo biolgico e da programao bem mais difcil, os algoritmos genticos so congneres do mtodo do resfriamento simulado; ambos tratam de problemas altamente no lineares, complexos e introduzem uma natureza estocstica busca da soluo, algumas vezes aceitando tentativas que parecem ir na direo contrria ao atingimento do mnimo global. O pseudocdigo de um algoritmo gentico , entretanto, simples (Moore; Weatherford, 2004):

1. Escolher uma codificao para representar as variveis do problema. 2. Gerar uma populao inicial codificada conforme 1. 3. Avaliar os melhores candidatos. 4. Repetir

a. Reproduo b. Crossover c. Mutao d. Avaliar os melhores candidatos.

47

5. At que o critrio de parada seja atendido.

As variveis, via de regra, so codificadas no sistema binrio, cada bit representando um gene do cromossomo. Parte-se de uma populao inicial que quanto maior, melhor, mas mais lenta ser a soluo do problema. Aqueles cromossomos que mais contribuem para a minimizao da funo objetivo sero reproduzidos em maior quantidade, de acordo com algum critrio definido pelo algoritmo. Dessa forma, os cromossomos ruins tendem a desaparecer da populao. A reproduo envolve troca de material gentico, o crossover, conforme apresentado no esquema da Figura 10.

Pais

0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

Descendentes

0 0 0 1 1 1

1 1 1 0 0 0

Figura 10. Mecanismo do crossover

Finalmente, a mutao faz cromossomos mudarem periodicamente sem obedecer a nenhum critrio e, portanto, a taxa de mutao deve ser mantida baixa, de 0,1 a 1%. A aplicao de uma taxa de mutao nada mais que a aplicao do algoritmo de Metropolis a esse mtodo, como mencionado no mtodo do resfriamento simulado. Dessa forma, ambos os mtodos no so facilmente enganados por mnimos locais. Como exemplo da fora dos algoritmos genticos, considere-se o problema de otimizao:

( )( )( )( )( ) ( )[ ]( )( )( )( )( ) ( )[ ]

5x15x1

1,x0,3xcos5x1x2x3x4xMAXy2,x0,2xcos5x4x1x2x3xMAXy

yyymin

2

1

22222222

11111111

21

=

=

=

O grfico de y=f(x1,x2) est na Figura 11.

48

11.5

22.5

33.5

44.5

5

1

2

3

4

5-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

x1x2

y

Figura 11. Grfico de y = -y1.y2

A soluo desse problema por mtodos tradicionais de otimizao praticamente impossvel, a no ser que uma estimativa inicial da soluo seja fornecida j muito prxima do ponto de mnimo global. Para resolver esse problema no Evolutionary Solver, basta:

1. Introduzir as equaes envolvidas no modelo em uma planilha, como na Figura 12.

49

Figura 12. Equaes do problema no Excel

2. Preencher os campos do dilogo do Evolutionary Solver, como na Figura 13.

Figura 13. Configurao do problema no Evolutionary Solver

3. Acionar o boto Solve e, em alguns segundos, obter o mnimo global, mostrado na Figura 14.

50

Figura 14. Mnimo global

Para efeito do presente trabalho no foi detalhado o uso do Evolutionary Solver, que tem opes tais como forar a entrada de restries, taxa de mutao, tamanho inicial da populao e vrias outras. Maiores detalhes podem ser encontrados em Moore e Weatherford (2004).

51

5 Automao e controle de instalaes de britagem

5.1 Introduo

A britagem um processo que pode ser automatizado sem grandes dificuldades e muitos benefcios decorrem dessa prtica. Uma instalao de britagem est automatizada quando se controla uma operao unitria isolada ou toda a instalao. A ltima tarefa sem dvida bem mais complexa. Os objetivos da automao de uma instalao de britagem podem ser os mais diversos, dentre os quais:

Aumentar a segurana das pessoas envolvidas na operao; Aumentar a proteo dos equipamentos; Maximizar a produo de uma determinada composio granulomtrica, seja do produto de um equipamento, etapa do processo ou de toda a instalao;

Obter a produo mxima do circuito; Obter a relao de reduo mxima do circuito ou, equivalentemente, maximizar a produo de finos;

Reduzir a mo de obra; Reduzir a variao dos produtos (controle estatstico de processo); Reduzir o consumo de energia eltrica; Reduzir o consumo dos revestimentos dos britadores, telas de peneiras, etc.

Atingir um ou mais desses objetivos depende da escolha de uma estratgia de controle adequada. Como o controle de qualquer instalao em geral, e das instalaes de britagem em particular, uma cincia e tambm uma arte, no h um caminho pr-definido que garanta o sucesso. O melhor que se estude o circuito em questo para ento definir estratgias de controle que sero confrontadas para escolha e implementao da mais adequada.

52

Algumas restries das operaes de britagem devem ser observadas quando da definio de uma estratgia de controle. Whiten (1984) menciona algumas delas:

1. Potncia disponvel (ou corrente consumida, que mais comum), ou seja, se seguro forar mais o britador, por exemplo fechando-o ou aumentado a taxa de alimentao.

2. Capacidade do britador. 3. Capacidade das peneiras e dos transportadores de correia. 4. Top size do produto de britagem.

Evidentemente, um ou mais dos itens acima pode se aplicar a uma operao em particular, restringindo as possibilidades de uma estratgia de controle. Antes de se entrar em maiores detalhes sobre as estratgias de automao e controle das instalaes de britagem, apresentada uma breve introduo dinmica e controle de processos, que, por si s, um assunto muito vasto. Aos interessados recomenda-se a leitura de Valdman (1998), um texto introdutrio sobre o tema preparado para engenheiros de processo, e de Seborg, Edgar e Mellichamp (1989), um excelente livro sobre automao e controle.

5.2 Modelos matemticos e respostas dos sistemas

5.2.1 Transformao de Laplace e funo de transferncia

A definio de uma estratgia de controle requer o conhecimento do comportamento dos processos que compem o sistema em questo, tanto em regime estacionrio quanto dinmico. A idia estabelecer-se um meio de manipular uma varivel de modo que outra varivel que se quer controlar tenha seus desvios do valor de referncia corrigidos. Se houver somente um par varivel manipulada

53

varivel controlada dizemos que o sistema SISO (single input, single output), caso contrrio, MIMO (multiple input, multiple output). Para fins de simplificao, trataremos do primeiro caso somente. Conhecer o comportamento de um sistema significa saber responder s seguintes perguntas, aps uma certa variao da varivel manipulada:

Qual o valor final da varivel controlada? Quanto tempo ser necessrio para se chegar a esse valor? Qual a trajetria da varivel controlada com o passar do tempo?

Para responder a essas perguntas, h duas abordagens:

Clssica: consiste em analisar, quantitativa ou mesmo qualitativamente, a resposta do processo real frente a uma entrada padro (por exemplo uma variao de 10% na taxa de alimentao). Esta abordagem requer, portanto, testes de campo, os quais nem sempre so bem-vindos por parte dos operadores e gerentes de operaes por motivos tais como exposio a condies inseguras e risco de instabilizao do processo por longos perodos de tempo.

Modelagem matemtica: consiste na obteno de equaes que descrevam uma relao entre as entradas e as sadas de um processo. Os modelos podem advir das leis fundamentais da fsica, da qumica, de relaes empricas e podem ser escritos como equaes diferenciais, algbricas, variveis de estado etc. A vantagem dessa abordagem que o processo real no precisa ser perturbado; a desvantagem, claro, reside no fato de o modelo no representar adequadamente o sistema real. Conforme enfatizado anteriormente, a fora de um modelo reside no poder de suas previses.

A abordagem mais comum, na teoria clssica de controle, consiste em modelar um sistema com uma ou mais equaes diferenciais lineares, isto , o sistema entendido como linear (vale o princpio da superposio) e invariante no tempo (os parmetros no mudam com o tempo). Estas premissas impem uma grande restrio modelagem, uma vez que muitos processos no so nem lineares nem invariantes no tempo, como praticamente todos os processos minerais, por

54

exemplo. Entretanto, nas vizinhanas do ponto normal de operao, um sistema no linear pode ser aproximado por um modelo linear4. De qualquer forma, assumindo um sistema como linear e invariante no tempo, resta ainda resolver as equaes diferenciais do modelo. Para tanto emprega-se a transformao de Laplace, que consiste em, dada a funo no tempo f(t), calcular

( ){ } ( ) ( ) ds.etfsFtfL st0

==

definida para 0t . O termo ste utilizado para garantir a convergncia de vrias funes definidas no tempo. J o termo is += uma varivel operacional complexa. Embora parea complicado primeira vista, o uso da transformao de Laplace possibilita transformar equaes diferenciais lineares em equaes algbricas, cuja soluo bem mais fcil. A Tabela 2 traz algumas das regras de clculo s quais a transformao de Lapalce obedece.

Tabela 2 Regras de clculo da transformao de Laplace

Linearidade ( ) ( ){ } ( ) ( )sFsFtftfL 2121 +=+ Translao ( ){ } ( )s.FeatfL s.a= Convoluo ( ) ( ) ( ) ( )s.FsFt.ftf 2121 a

Diferenciao ( ){ } ( ) ( )+= 0fss.FtfL Integrao ( ) ( )s.F

s

1dttfLt

0

=

Com as regras de clculo acima possvel transformar equaes diferenciais lineares para y(t), sob condies iniciais definidas, em equaes algbricas para Y(s), que podem ser resolvidas bem mais facilmente. Aps a soluo das equaes algbricas, aplica-se a transformao inversa de Laplace e obtm-se os resultados das equaes diferenciais. A Tabela 3 traz algumas correspondncias entre f(t) e F(s); tabelas bem mais completas podem ser encontradas em praticamente todos os livros que tratam de automao e controle de processos.

4 Atravs da expanso dos termos no lineares por uma srie de Taylor at a primeira derivada, tomando-se

como ponto de referncia os valores de regime estacionrio.

55

Tabela 3 Algumas transformadas de Laplace

Funo tempo f(t)5 Funo imagem F(s) (t)6 1

1 s

1

t 2s1

( )!1nt 1n

ns

1

ate ( )as1

att.e ( )2as1

t

e

1 1s

1+

sen(kt) 22 ksk+

cos(kt) 22 kss

+

Na verdade, a introduo transformao de Laplace necessria para se definir o que vem a ser funo de transferncia. Segundo Valdman (1998, p.45):

[...] comumente a denominao dada ao modelo matemtico em domnio da varivel complexa s que relaciona uma varivel dependente de resposta ou sada com uma varivel de estmulo/perturbao ou entrada, de um determinado processo e em valores de desvios de condies normais em regime estacionrio.

Matematicamente, se c(t) a varivel de sada, r(t) a entrada e G(s) a funo de transferncia, tem-se:

( ) ( )( ) ( )

( ){ } ( )( ){ } ( )

( ) ( )( )sR'sC'

sG

sR'tr'LsC'tc'L

rtrtr'

ctctc'

ioestacionr regime

ioestacionr regime

=

=

=

=

=

A Figura 15 traz uma representao simblica da funo de transferncia de um processo qualquer.

5 Definida somente para 0t .

6 Funo impulso de Dirac.

56

Figura 15. Funo de transferncia

As funes de transferncia, geralmente, podem ser decompostas em dois componentes, a saber: ganho esttico e ganho dinmico O primeiro pode ser interpretado como o desvio final alcanado pela sada c(t) aps ser perturbada por um degrau unitrio. J o segundo consiste na parte da funo de transferncia que descreve a trajetria da sada com o passar do tempo. Matematicamente:

( ) ( )sK.gsG = , onde K o ganho esttico e g(s) a parte dinmica.

5.2.2 Respostas de alguns tipos de sistemas fundamentais

Os sistemas que sero discutidos a seguir, bem como combinaes deles, so comumente utilizados para representar uma srie de processos. A vantagem de tal representao com funes de transferncia reside na facilidade do entendimento da dinmica dos processos e na no-repetio de solues para problemas similares.

Sistemas instantneos

So aqueles onde a dinmica do processo pode ser desprezada, dada a rapidez de resposta da sada frente a perturbaes da entrada. Exemplos de processos que podem ser considerados instantneos so algumas vlvulas, sensores, alimentadores vibratrios, divisores de fluxo. Em termos de funo de transferncia, tais sistemas so modelados como:

Processo G(s)

R(s) C(s)

Perturbao Entrada

Resposta Sada

57

( ) ( )( ) KsG

tK.r'tc'=

=

Figura 16. Sistema instantneo

A Figura 17 apresenta a resposta tpica de um sistema instantneo.

Figura 17. Resposta tpica de um sistema instantneo

Sistemas integradores

Para os sistemas integradores, no h como definir o ganho esttico, conforme discutido na seo 5.2.1. Ao invs disso, em tais sistemas, qualquer alterao da entrada a partir do regime estacionrio acarretar uma correspondente variao linear da sada com o tempo, proporcional variao da entrada. Dessa forma, no h como se falar em atingimento de um novo regime estacionrio. Como exemplo de um processo integrador, pode-se imaginar uma caixa dgua cuja sada esteja acoplada a uma bomba de velocidade constante.

K R(s) C(s)

Perturbao Entrada

Resposta Sada

0 1,7 3,3 5 6,7 8,3 10 1

1,4

1,8

2,3

2,7

3,1

3,5

3,9

4,3

4,8

5,2

5,6

6

Tempo (s)

Valor

c(t) r(t)

58

Qualquer funo de transferncia que tiver um termo 1/s exibir caracterstica de processo integrador.

Sistemas com retardo ou tempo morto

So os processos onde uma alterao na entrada somente ser detectada na sada aps um intervalo de tempo , denominado retardo ou tempo morto. Processos com retardo so tipicamente os de transporte e manuseio de minrio pela instalao de tratamento. Em um transportador de correia, por exemplo:

[m/s]ador transportdo velocidade[m]ador transportdo ocompriment

= [s]

Em termos de funo de transferncia, tais sistemas so modelados como:

( ) ( )( ) s-KesG

-tK.r'tc'=

=

Figura 18. Sistema com retardo

Tais processos so muito comuns em circuitos de britagem e peneiramento e so uma gande preocupao quando esto presentes na operao que se pretende controlar. O tempo morto dificulta a estabilizao da varivel controlada, conforme explicado mais adiante. A Figura 19 apresenta a resposta tpica de um sistema com retardo.

Ke-s R(s) C(s)

Perturbao Entrada

Resposta Sada

59

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

0 5 10 15 20

Tempo (s)

Valo

r r'(t)c '(t)

Figura 19. Resposta tpica de um sistema com retardo

Sistemas com dinmica de primeira ordem

Os sistemas com dinmica de primeira ordem podem ser modelados pela equao diferencial de primeira ordem:

( ) ( ) ( )tK.r'tc'dt

tdc' =+

Em termos de funo de transferncia, tais sistemas so modelados como:

( ) ( )( )

1sK

sG

t.r'e

Ktc'

t

+=

=

Figura 20. Sistema com dinmica de 1 ordem

1sK+

R(s) C(s)

Perturbao Entrada

Resposta Sada

60

A Figura 21 mostra esquematicamente um sitema com dinmica de primeira ordem, por exemplo um tanque para armazenamento de material que recebe uma vazo mssica de 1 kg/s e cuja vazo mssica de sada seja diretamente proporcional massa contida no tanque.

C

RS want

get

mi = 1 kg/sM1 [kg]

mo = 0,25.M1 [kg/s]

Figura 21. Um sistema de primeira ordem

A Figura 22 mostra a resposta ao degrau unitrio do um sistema de primeira ordem da Figura 21.

0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,5

0 5 10 15 20 25Tempo (s)

Mas

sa (kg

)

= 3,47 s

Figura 22 Resposta ao degrau unitrio de um sistema de primeira ordem

Note-se que a constante de tempo, no caso 3,47 segundos, o tempo necessrio para o sistema atingir 63,2% do novo valor de equilbrio, mantendo-se constante a variao da entrada.

Sistemas com dinmica de segunda ordem

61

Os sistemas com dinmica de segunda ordem so modelados conforme a seguinte equao diferencial de segunda ordem

( ) ( ) ( ) ( )tKr'tc'dt

tdc'2dt

tc'd 2

22

=++

Ou, equivalentemente, como dois sistemas com dinmica de primeira ordem em srie, a sada do primeiro sendo a entrada do segundo. Em termos de funo de transferncia, tais sistemas so modelados como:

( )1s2s

KsG 22 ++

=

Figura 23. Sistema com dinmica de segunda ordem

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 2 4 6 8 10

Tempo (s)

c'(t)

Figura 24. Resposta de um sistema de segunda ordem ao degrau unitrio

1s2sK

22 ++

R(s) C(s)

Perturbao Entrada

Resposta Sada

1 superamortecida

62

A ttulo de exemplo, considere-se a aproximao de um sistema de segunda ordem, ilustrado na Figura 25, que consiste em dois sistemas como os da Figura 21, em srie.

C

RS want

get

mi = 1 kg/sM1 [kg]

C

RS want

get

M2 [kg]mi2mo=mi2=0,75.(M1-M2)

mo2=0,5.M2

Figura 25. Um sistema interagente

A Figura 26 mostra a resposta do sistema ilustrado acima, especificamente da massa contida no segundo tanque, variao de 1 kg/s na entrada do primeiro tanque.7 O primeiro tanque tem um contedo inicial de 2 kg e o segundo est inicialmente vazio.

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0Tempo (s)

Mas

sa (kg

)

Figura 26. Reposta do segundo tanque ao degrau unitrio.

Os modelos apresentados at aqui, ou combinaes deles, podem ser usados para representar sistemas com dinmica complexa, de alta ordem. Os parmetros K (ganho esttico), , e podem ser ajustados a um ou mais conjuntos de dados

7 Sistemas como os ilustrados acima so denominados sistemas interagentes.

63

experimentais (pontos [r(t);c(t)]), atravs de tcnicas do clculo numrico8, para que o modelo escolhido represente adequadamente o sistema que se deseja estudar. Embora usados com muito sucesso na teoria clssica de controle9, a representao de sistemas por funes de transferncia no a mais adequada aos processos minerais, os quais notadamente no obedecem aos critrios de linearearidade e invarincia no tempo, premissas da modelagem com funes de transferncia. Da a importncia da simulao dinmica de circuitos de britagem e peneiramento, capaz de fornecer uma abordagem muito superior quela obtida com funes de transferncia. Entretanto, a funo de transferncia no deve ser desprezada. Seu uso, mesmo para os processos minerais, pode ser muito conveniente para a escolha prvia de parmetros do controlador. Este o assunto tratado na seo seguinte.

5.3 Controle de processos por retroalimentao

Considere-se a malha de controle da Figura 27:

Controlador(Analgicoou digital)

Atuador(alimentador, vlvula, etc.)

Processo

Medidor

+-

erro

Varivelmanipulada Varivelcontrolada

setpoint

Varivel medida

Perturbaes

Figura 27. Malha de controle

O clculo de um sistema de controle envolve, via de regra, um dispositivo ou processo modelado com equaes diferenciais consistindo de uma varivel controlada pelo operador, o setpoint, e uma sada, a varivel controlada. O sistema

8 Este conjunto de tcnicas freqentemente agrupado sob o ttulo de identificao de sistemas.

9 Isto , os processos so considerados lineares e invariantes no tempo e todos os sinais so analgicos.

64

de controle ter suas funes desempenhadas por um algoritmo, o controlador que, usando tanto a referncia do operador (o setpoint) quanto a sada do processo, calcular a varivel manipulada a fim de manter a varivel controlada o mais prximo possvel do setpoint ou, equivalentemente, manter o sinal de erro o mais prximo possvel de zero. Isso conseguido ajustando-se o valor da varivel manipulada de acordo com uma lei de controle pr-estabelecida. Uma vez que j se conhea de antemo qual o comportamento desejado do sistema, a questo fundamental do clculo de sistemas de controle envolve modificar as caractersticas fsicas do sistema de modo que o comportamento desejado acontea. Isso requer que se conhea a dinmica do processo por exemplo atravs da modelagem com funes de transferncia, como discutido anteriormente e, mais do que isso, quais as modificaes que produziro o comportamento desejado. O clculo de sistemas de controle , portanto, um problema de engenharia reversa. De todos os sistemas de controle, o controle por retroalimentao um dos mais comuns e tambm um dos mais eficazes. Conforme o nome indica, baseia-se em uma ao de controle com base no que j ocorreu, ou seja, uma ao tomada quando a varivel controlada j se desviou do setpoint. H outras maneiras de se estabelecer leis de controle sem o uso de retroalimentao; pode-se, por exemplo, medir as perturbaes do processo e, com base nessas medidas, tomar uma ao de controle sem se considerar o valor do sinal de erro. Uma malha de controle assim construda denominada de malha de controle de antecipao ou de alimentao avante. Pode-se tambm combinar os esquemas de retroalimentao e antecipao. possvel ainda ter malhas de retroalimentao internas a outras, mais externas, a sada de uma sendo o setpoint da outra. Esse esquema denomina-se malha de controle em cascata. Nas Figuras 28 e 29 Gc, Gv, Gp, GL e Gm so as funes de transferncia do controlador, do atuador, do processo, de perturbao e do elemento de medida, respectivamente.

65

Gc Gv Gp

Gm

+-

errosetpoint

Perturbao

GL

Figura 28. Malha de controle com retroalimentao

Gc Gv Gp

GmL

Perturbao

GL

Gm

Figura 29. Malha de controle com antecipao

ProcessoEstgio I

ProcessoEstgio II

MedidorPrincipal

+-

VarivelControladaPrincipalPerturbao

VarivelControladasecundria

-

+Controlador

Mestre-

+

ControladorEscravo

AtuadorMedidor

Secundrio

setpoint

Figura 30. Malha de controle em cascata

5.4 Controladores PID

Neste trabalho, nos concentraremos em controladores tipo PID, assim chamados por causa de sua ao corretiva proporcional, integral e derivativa com

66

relao ao sinal de erro. H vrios outros tipos de controladores, mas os do tipo PID ainda so, de longe, os mais populares da indstria devido sua facilidade de implementao. Conforme descrito na seo anterior, o controlador automtico o corao da malha de controle. Neste equipamento est a lei de controle que dever garantir a estabilidade do sistema atravs do ajuste da varivel manipulada. O controlador pode ser analgico, hoje existente praticamente s em instalaes antigas, ou digital, isto , algum dispositivo microprocessado. Este ltimo, de longe, o tipo de controlador que domina a indstria atual, qualquer que seja o ramo de atuao. A teoria clssica de controle trata o controlador como um dispositivo analgico e ento deriva algumas relaes teis que so usadas para a definio dos parmetros do controlador e, portanto, da lei de controle. Esta abordagem mais que suficiente, uma vez que os modernos controladores digitais emulam, no campo, o funcionamento dos controladores analgicos. comum o clculo de um controlador considerando-o analgico seguido de sua implementao com um controlador digital (SEBORG; EDGAR; MELLICHAMP, 1989). Na malha de controle da Figura 31, o atuador e o medidor foram suprimidos, por simplificao:

Gc Gp+

-

e(t)E(s)

r(t)R(s)

l(t)L(s)

GL

p(t)P(s)

c(t)C(s)

Figura 31. Malha de controle simplificada

Um controlador PID ideal tem seu funcionamento descrito pela seguinte equao:

67

( ) ( ) ( )

+++= dt

deKdtteKteKptp d

0ip (5.4-1)10

onde p a sada do controlador na ausncia de erro (valor chamado de bias) e Kp, Ki e Kd so os ganhos proporcional, integral e derivativo, respectivamente. Em termos de funo de transferncia:

( ) sKKs

KKKsP dp

ipp ++= (5.4-2)

Controle proporcional

Se considerarmos somente o controle proporcional, a equao 5.4-1 se reduz a:

( ) ( )teKptp p+= (5.4-3) O conceito do controle proporcional muito simples: o ganho proporcional Kp pode ser ajustado o quanto for necessrio para fazer o controlador ser mais rpido e o sinal de Kp pode ser ajustado para se ter ao direta ou reversa do controlador.11 O valor do bias deve ser ajustado para corresponder ao valor que se acredita ser aquele obtido em regime estacionrio. A ttulo de exemplo, pode ser representado por uma determinada rotao ou porcentagem da rotao nominal de um inversor de freqncia. A equao 5.4-3 indica que o a sada do controlador, p(t), pode variar idefinidamente. Isso, entretanto, no verdade, uma vez que, na prtica, o sinal p(t) tem sua variao permitida dentro de limites definidos geralmente pelo atuador, por exemplo 4 a 20 mA, 3 a 15 psi ou 0 a 100%. Uma desvantagem do controle proporcional que, aps uma variao no setpoint ou alguma perturbao no sistema, o erro no eliminado completamente; resultar quase sempre uma diferena entre a varivel controlada e o setpoint, chamada offset, no importa o valor de Kp. Uma maneira de contornar esse

10 Esta equao descreve um controlador PID ideal srie. Poderamos ter escrito a mesma equao, mas sem os

parnteses; o controlador assim construdo seria um PID ideal paralelo. Daqui em diante, no mencionaremos mais o PID paralelo. 11

Kp>0 implica em ao reversa, uma vez que a sada do controlador diminuir com o aumento da varivel controlada. O caso contrrio Kp

68

problema alterar o valor do bias aps a ocorrncia do offset; entretanto, isso requer geralmente interveno do operador. A melhor soluo a incluso do modo de controle integral, discutido abaixo. Apesar do offset, quando este puder ser tolerado, o que o caso em muitas aplicaes em instalaes de britagem (controle do nvel da cmara do rebritador, por exemplo), convm utilizar o controle proporcional somente, dada a sua simplicidade.

Controle integral