dissertação geometria riemanniana

7/25/2019 Dissertao geometria riemanniana

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

MESTRADO EM MATEMATICA

MARCIO ROSTIROLLA ADAMES

Os invariantes de Perelman eYamabe

Florianopolis - SCJaneiro - 2008


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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA

MESTRADO EM MATEMATICA

MARCIO ROSTIROLLA ADAMES

Os invariantes de Perelman eYamabe

Dissertacao de Mestrado apresentada ao cursoMestrado em Matematica - Habilitacao Honors Magister

Departamento de MatematicaCentro de Ciencias Fsicas MatematicasUniversidade Federal de Santa Catarina

Orientador: Celso M. Doria

Florianopolis - SCJaneiro - 2008


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Agradecimentos

Gracas ao Bom Senhor que me ajudou em muitos momentos neste traba-lho, devido a Ele completei esta dissertacao. Louvado seja o nome do Senhor.

A Jhuliane pelo carinho e a compreensao, nas noites e finais de semanaque fiquei pesquisando e estudando.

Agradeco aos meus pais Vitor e Yara pela oportunidade de me dedicaraos meus estudos e apoio e incentivo em tudo o que faco, a minha vo Elcapor tambem me apoiar e incentivar.

Agradeco ao meu orientador, o professor Celso M. Doria, pela pacienciaquando mudamos o assunto do trabalho e por estar disponvel sempre queprecisei.

Agradeco aos professores do Departamento que, apesar de nao ter parti-cipacao direta na pesquisa, me ajudaram em algumas duvidas que tive pelocaminho: Ivan, Eliezer, Ruy Charao, Luciano, Marcelo.

Agradeco ao professor Fernando Coda Marques que, apesar de nao meconhecer pessoalmente, respondeu os emails que lhe enviei e sua ajuda foi degrande valia.

Agradeco a todos os colegas do mestrado pois sempre que lhes perguntei

algo tentaram me ajudar, especialmente ao Felipe Vieira pois pensamos juntosem varias questoes e ao Conrado D. Lacerda pelo excelente trabalho sobredistribuicoes.

Agradeco a CAPES pelo patrocinio que deu a este trabalho, sem o qualseria impossvel completa-lo.


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Resumo

Definimos o Laplaciano e a Curvatura Escalar sobre uma variedade Me os invariantes de Yamabe e de Perelman. Provamos que eles sao iguais

quando o primeiro e nao positivo e que o Invariante de Perelman e igual a+ quando o invariate de Yamabe e positivo.


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Abstract

We define the Laplacian and the Scalar Curvature of a manifold M andthe invariants of Yamabe and Perelman. We prove that they are equal when

the first is non-positive and that Perelmans invariant is equal to +whenthe Yamabe invariant is positive.


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Sumario

Introducao 7

1 Curvatura Escalar 101.1 A conexao de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Curvaturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 O Laplaciano 292.1 Espacos e produtos internos sobreM . . . . . . . . . . . . . . 292.2 O divergente, o gradiente e o Laplaciano . . . . . . . . . . . . 332.3 Generalizando o Laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.1 Integracao a Lebesgue em Variedades . . . . . . . . . . 44

3 Os invariantes 493.1 Invariante de Perelman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Problema de Yamabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3 A igualdade entre os invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4 Anexo 74

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Introducao

O estudo da geometria e muito antigo. Desde os primordios a tarefade medir comprimentos, areas e volumes tem importancia pratica nas mais

diversas atividades humanas, desde a agricultura ate a fabricacao de vestes.Os elementos de Euclides, que tem mais de 2000 anos, reunem o conhecimentogeometrico que havia sido construido ate a epoca em que foi escrito. Esseconhecimento resolvia muitos problemas envolvendo poligonos e crculos, masnao todos.

Com o advento do Plano Cartesiano e da Geometria Analtica muitosdos problemas que resistiam as ferramentas da Geometria Euclideana foramresolvidos, mas estas ferramentas sao eficientes apenas no estudo de retas,crculos e algumas curvas simples.

O Calculo Diferencial e Integral de Newton e Leibniz resolve muitos des-

tes problemas, calculando comprimentos de curvas, areas de superfcies, evolumes de solidos que possam ser descritos como funcoes. Para tais feitosutiliza-se o conceito de derivacao: no caso de uma funcao f : Rn R, sev, p Rn, a derivada de fno ponto pna direcao de v e denotada por dfp(v)e e dada por

dfp(v) = limt0

f(p+ tv) f(p)t

.

Note que precisa-se da estrutura de espaco vetorial de Rn a fim de calcularfno ponto p+ tv.

Considere no entanto o seguinte:

Exemplo 1. SejamS2 a superfcie de uma esfera e f :S2 Ra funcao quedescreva a temperatura em cada ponto da superfcie. Dado um vetorv noplano tangente a S2 no ponto p qual e a variacao da temperatura em p nadirecao de v?

As ferramentas de calculo nao sao suficientes para resolver tal problemapois nao sabemos calcularf(p + tv) para nenhumt= 0. Pelo mesmo motivo,as ferramentas do Calculo nao resolvem problemas analogos aos do Exemplo1 para funcoes definidas em superfcies que nao sejam planas.

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Outro exemplo e a teoria da Relatividade Geral, na qual o espaco-tempo

tem 4 dimensoes mas nao e plano como R4 e portanto as ferramentas doCalculo sao insuficientes para estuda-lo de forma completa.

A incapacidade do Calculo para lidar com superfcies que nao sejam pla-nas e apenas um motivo que mostra a importancia de construir uma teoriageral de superfcies (e uma geometria) que independa do espaco ambienteem que ela esta contida. Para tal introduziu-se o conceito de variedade dife-renciavel:

Definicao 0.0.1. Uma variedade diferenciavel de dimensao n e um espacotopologico de Hausdorff segundo contavel localmente homeomorfo ao Rn talque as aplicacoes de transicao sejam suaves.

Para mais detalhes sobre esta definicao o leitor pode consultar [2].A maioria dos ob jetos que pensamos intuitivamente como superfcies sao

variedades diferenciaveis. Existem generalizacoes para as variedades de mui-tos conceitos do Calculo, e com eles podemos derivar e integrar funcoes de-finidas sobre estas variedades. Alem disso, se tivermos uma metrica definidasobre a variedade, isto e, uma maneira de medirmos comprimentos e angulos,podemos fazer geometria sobre a variedade.

Contudo estudar tais variedades e bastante complexo. Descobrir quaisestruturas podem ser variedades e quais nao, ou tentar extrair caractersticas

destas variedades, ou dividi-las em classes que tenham alguma caractersticaem comum sao problemas que nao estao completamente resolvidos.

Mas existem algumas ferramentas que nos permitem entender um poucomais destas variedades. Uma delas sao os invariantes, funcoes que associama cada variedade um numero real (ou um grupo, ou uma variedade, ou umafuncao) e sao invariantes por difeomorfismos 1

Neste trabalho denotamos por sg a curvatura escalar eg o Laplacianoassociados a metrica Riemanniana g. Definimos dois invariantes:

O invariante de Perelman

Definicao 0.0.2. SejamMuma variedade diferenciavel fechada orientadan-

dimensional, n3. Dada uma metrica Riemanniana g sobre M, denotamoso menor autovalor do operador 4g+ sg por g e o volume deMem relacaoa esta metrica por volg. O invariante de Perelman de M e definidocomo

(M) := supg

gvol2

ng,

onde o sup e tomado sobre todas as metricas Riemannianas de M.

1Em topologia diferencial diz-se que duas variedades sao a mesmase elas sao difeomor-fas.

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E o invariante de Yamabe

Definicao 0.0.3. Seja M uma variedade diferenciavel fechada de dimensaon3. Definimos oinvariante de Yamabe(tambem conhecido comosigmaconstante) de M como

Y(M) = sup

Y= sup

infg

M

sgdgM

dgn2

n

, (1)

onde o sup e tomado sobre as classes conformes (trataremos sobre estasclasses mais adiante) e o infimo sobre as todas as metricas na classe conforme

.O primeiro surgiu em uns artigos de Perelman sobre o fluxo de Ricci ([9] e

[10]) e o segundo em trabalhos de de Kobayashi [6] e Schoen [13] influenciadospelas ideias de Yamabe de encontrar metricas de curvatura escalar constante.

Assumimos que o leitor tem algum conhecimento sobre variedades di-ferenciaveis e Geometria Riemanniana, os primeiros 5 captulos de [2] e oprimeiro captulo de [3] contem o que assumimos como ja conhecido peloleitor.

No primeiro captulo definimos a curvatura escalar e introduzimos a notacaopara a metrica e outros objetos em coordenadas locais.

No segundo captulo definimos a integracao a Riemann sobre variedadese o Laplaciano para funcoes C(M). Em seguida uma rapida apresentacaosobre integracao a Lebesgue em variedades, espacos Lp(M) e teoria das dis-tribuicoes. Por fim generalizamos o Laplaciano para estas funcoes e o escre-vemos em termos dos coeficientes de conexao.

No terceiro captulo definimos o invariante de Perelman e damos umaformula para encontra-lo. Em seguida estudamos um pouco do problema deYamabe e definimos o invariante de Yamabe. A ultima parte deste trabalho ebaseada no artigo [1] no qual demonstra-se o seguinte fato: Estes invariantessao iguais se o invariante de Yamabe e nao positivo e o invariante de Perelman

e igual a + se o invariante de Yamabe e positivo. Este fato e um tantosurpreendente pois tais invariantes vem de contextos distintos.

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Captulo 1

Curvatura Escalar

Nosso objetivo neste captulo e definir a curvatura escalar. Para issodefiniremos uma conexao de Levi-Civita. A primeira secao e baseada nocaptulo 2 de [3] e a segunda secao e baseada no captulo 4 de [3].

1.1 A conexao de Levi-Civita

Denotamos

X(M) o conjunto dos campos vetoriais suaves sobre M.

Definicao 1.1.1. Umaconexao afimem uma variedade diferenciavelMe uma aplicacao

:X(M) X(M) X(M)denotada por (X, Y)

XY que, para todo X, Y , Z X(M) e f, gC(M), satisfaz as seguintes propriedades

1.fX+gYZ=fXZ+ gYZ2.X(Y + Z) =XY + XZ

3.X(f Y) =fXY + X(f)YPodemos tomar esta definicao localmente:Dados um ponto pMe campos vetoriais X, Y X(M) tomemos uma

carta local (U, ), com (q) = (x1(q),...,xn(q)). Existem uma vizinhancaVU de pe uma funcao suave f :M [0, 1] tal que f(x) = 1 se xV ef(x) = 0 se xM\U. Assim, para qualquer ponto qV, temos

fX(f Y) =f2XY + f X(f)Y =XY,

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portanto a conexao afim depende apenas do valor dos campos XeYem uma

vizinhanca de p, ou seja, a conexao afim uma definicao local.Escrevendo X=

i ai

xi

e Y =

jbj

xj temos

XY =

ij

aibj xi

xj+

ij

ai

xi(bj)

xj.

Fazendo xi

xj

=

kkij

xk

(estas funcoes kij sao chamadas de smbolos

de Christoffel) temos

XY = k

ij

aibjijk

+ X(bk

) xk .AssimXY(p) depende de ai(p), bk(p) e das derivadas X(bk)(p) de bk

segundo X, ou seja, depende apenas do valor do campo Xno ponto p, deuma curva tangente a X no ponto p (pois a derivada X(yk)(p) dependeapenas de uma destas curvas) e do campo Yem uma vizinhanca do pontop.

Portanto, dados p M, uma curva c(t) : I M que passa por p, umcampo vetorial Xc sobre c e um campo vetorial Y X(M), faz sentidoescreverXcY.

Teorema 1.1.2. SejaMuma variedade diferenciavel com uma conexao afim. Entao existe uma unica correspondencia que associa a um campo vetorialV ao longo de uma curva diferenciavelc :I M um outro campo vetorialDVdt

ao longo dec denominado derivada covariante deVao longo dec, tal que,seV, W sao campos de vetores ao longo dec ef e uma funcao diferenciavelemI, temos:

1. Ddt

(V + W) = DVdt

+ DWdt

2. Ddt

(f V) = dfdt

V + fDVdt

3. Se V e induzido por um campo de vetoresY X(M), isto e, V(t) =Y(c(t)), entao DVdt

=dc/dtY,ondedc/dt= dc

ddt

.

Demonstracao: Vamos supor que existe uma coorespondencia satisfa-zendo 1, 2 e 3. Sejam : UM Rn um homeomorfismo comc(I)U=e (x1(t),...,xn(t)) := c para todo tI. Podemos expressar localmente ocampo V como V =

jv

j(t) xj

(c(t)).

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Por 1 e 2 temos

DV

dt =

j

dvj

dt

xj +

j

vjD

dt

xj

.

Mas xj

define um campo vetorial sobre U entao, por 3, temos

D

dt

xj

=dc/dt

xj = P

idxi

dt

xi

xj

=

idxi

dt

xi

xj,

pois c(t) =1(x1(t),...,xn(t)) e da

dc/dt= d1(x1(t),...,xn(t))/dt= d[1(x1(t),...,xn(t))]

d

dt

=d1

i

dxi

dt

d

dxi

=

i

dxi

dtd1

d

dxi

=

i

dxi

dt

xi

PortantoDV

dt =

idvj

dt

xj +

ijdxi

dtvj

xi

xj. (1.1)

Se existe uma correspondencia satisfazendo as condicoes do teorema, aexpressao 1.1 nos mostra que ela e unica.

Para mostrar que tal correspondencia existe, definamos DVdt

emUpor 1.1.

E imediato que 1.1 tem as propriedades desejadas. Se : W Rn e umaoutra vizinhanca coordenada, com W U= e definirmos DV

dt em W por

1.1 entao, em W U, ambas as definicoes sao iguais, pela unicidade de DVdt

emU. Portanto podemos estender esta definicao para todoM, o que concluia demonstracao.

Definicao 1.1.3. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexaoafim. Um campo vetorial Vao longo de uma curva c: IM e chamadoparaleloquando DV

dt= 0 para todo tI.

Teorema 1.1.4. SejaMuma variedade diferenciavel com uma conexao afim. Sejac: IMuma curva diferenciavel emM eV0 um vetor tangente aM emc(t0), t0 I. Entao existe um unico campo de vetores paralelo V aolongo dec, tal queV(t0) =V0.

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Demonstracao: Suponhamos que o teorema foi provado para o caso em

que c(I) esta contido em uma vizinhanca coordenada. Entao, no caso geral,temos que o segmento c([t0, t1]) M (ou c([t1, t0])) para qualquer t1 Ipode ser coberto por um numero finito de vizinhancas coordenadas, em cadauma das quaisV pode ser definido por hipotese. Pela unicidade, as definicoescoincidem nas intersecoes nao vazias, o que permite definirV parac([t0, t1]).

Deste modo podemos definir V(t) para todo tI. Entao basta mostrar-mos o teorema para o caso em que c(I) esta em U, onde (, U) e uma cartade M.

Seja (c(t) ) = (x1(t),...,xn(t)) a expressao local de c(t) e seja V0 =

jvj0

xj

(c(t0)).

Suponhamos que existe um V em U que e paralelo ao longo de c comV(t0) =V0. Entao

jv

j xj

satisfaz

0 =DV

dt =

j

dvj

dt

xj +

ij

dxi

dtvj

xi

xj.

Escrevendo xi

xj

na base xj

obtemos xi

xj

=

kkij

xk

. Entao obte-mos

DV

dt =

k dvk

dt +

ijvj

dxi

dtkij

xk = 0.

Formamos um sistema den equacoes diferenciais ordinarias emvk(t) parak = 1,...,n

DV

dt =

dvk

dt +

ij

vjdxi

dtkij = 0. (1.2)

com a condicao inicial vk(t0) = vk0 . Tal sistema e linear e portanto admite

uma unica solucao v(t) = (v1(t),...,vn(t)) que esta definida em todo I.DefinindoV(t) =

kv

k(t) xk

, ondev(t) = (v1(t),...,vn(t)) e a solucao daequacao 1.2, temos que V tem as propriedades desejadas e e o unico campoque as satisfaz.

O campo V(t) encontrado no teorema acima e denominado transporteparalelode V0 ao longo de c.

Utilizaremos o seguinte produto de campos vetoriais. Sejam (M, , )uma variedade Riemanniana e V, W X(M) definimos a funcaoV, W :M RcomoV, W(x) :=V(x), W(x).

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Definicao 1.1.5. Seja M uma variedade diferenciavel com uma conexao

afim e uma metrica Riemanianna, . A conexao e dita compatvelcom a metrica , quando, para toda curva diferenciavel c e quais-quer pares de campos de vetores paralelos P e P ao longo de c, tivermosP(c(t)), P(c(t))= k fixo para todo tI.Teorema 1.1.6. SejaMuma variedade Riemanianna. Uma conexaoemM e compatvel com a metrica se, e somente se, para todo par V e W decampos de vetores ao longo da curva diferenciavelc: IM tem-se

d

dtV, W=

DV

dt , W

+

V,

DW

dt

, tI . (1.3)

Demonstracao: (=) Supomos que vale 1.3 entao, dados camposparalelos P e P ao longo de c temos

d

dtP, P=

DP

dt , P

+

P,

DP

dt

= 0

portanto, pelo teorema de existencia e unicidade de EDOs,P, P = kconstante.

(=) Supomos que e compatvel com a metrica. Escolhamos uma baseortonormal{P1(t0),...,Pn(t0)} de Tc(t0)M. Pelo teorema 1.1.4 estendamoscada um dos vetores Pi(t0) ao longo de c. Como

e compatvel com a

metrica temos quePi(t), Pj(t) = ij. Portanto{P1(t),...,Pn(t)} e umabase ortonormal de Tc(t)Mpara todo tI. Deste modo podemos escrever

V =

i

viPi, W =

i

wiPi,

onde vi e wi sao funcoes diferenciaveis em Ipara todo i.Segue-se da que

DV

dt =

i

dvi

dtPi+

i

vidPidt

=

i

dvi

dtPi

DWdt

= i

dwidt

Pi+ i

wi dPidt

= i

dwidt

Pi.

AssimDV

dt , W

+

V,

DW

dt

=

i

dvi

dtw i +

dw i

dt vi

= d

dt

i

viwi

=

d

dtV, W.

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Corolario 1.1.7. Uma conexao

em uma variedade Riemanniana M e

compatvel com a metrica se e somente se

XY, Z=XY, Z + Y, XZ, X, Y , Z X(M).

Demonstracao: (=) Suponhamos que e compatvel com a metrica.Seja pMe sejam c : IMuma curva diferenciavel comc(t0) =p,t0Ie com dc

dt

t=t0

=X(p). Entao

X(p)Y, Z= dcdt

t=t0

Y, Z= ddt

Y(c(t)), Z(c(t))t=t0= dY

dt, Z + Y,dZ

dt

t=t0

=dc/dtY, Z + Y, dc/dtZt=t0

=X(p)Y, Zp+ Y, X(p)Zp.

Como p e arbitrario segue o resultado.(=) Sejam P, P campos paralelos sobre uma curva diferenciavel c(t)

entao

d

dtP(c(t)), P(c(t))

=

DP

dt , P + P,

DP

dt = 0.Como c(t) e uma curva arbitraria temos queP, P = k fixo, ou seja, aconexao e compatvel com a metrica.

Podemos pensar, como no corolario anterior, em um campo vetorialXX(M), X =i ai(x) xi como um operador linear X : C1(M) C(M)definido por X(f) =

iai(x)

fxi

. Pensando assim, dados dois campos

X, Y X(M), faz sentido pensar no operador XY, o qual nao e um campovetorial.Contudo, calculando XY Y Xnuma carta (U, x)

XY f=X

j

bjf

xj

=

ij

aibjxi

f

xj +

ij

aibj2f

xixj,

Y Xf=Y

i

aif

xi

=

ij

bjaixj

f

xi+

ij

aibj2f

xixj,

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assim

(XY Y X)(f) =

ij

ai

bj

xi bi a

j

xi

f

xj.

PortantoXY Y X esta unicamente definido em cada carta.Assim dadas cartas (U, x) e (U, x) com U U = temos que

(XYY X)(f) tem, na intersecao, o mesmo valor em ambas as cartas. Destamaneira podemos definir um campo vetorial XYY Xglobalmente sobreM. Este campo e dado em coordenadas locais por

(XY Y X)(f) = ij

ai bjxi bi ajxi fxj .Podemos considerar a operacao [, ] :X(M)X(M) X(M) que associa

dois campos vetoriais X e Yao campo [X, Y] :=XY Y Xtal operacao echamada colchete, ela e R-linear e [X, Y] =[Y, X].Lema 1.1.8 (Identidade de Jacobi). SejamX, Y , Z campos vetoriais di-ferenciaveis emM entao

[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0

Demonstracao: Calculando diretamente temos

[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] =[XY Y X , Z ] + [Y Z ZY , X]+ [ZX XZ,Y]

=XY Z Y XZ ZXY + ZY X+ Y ZX ZY X XY Z+ XZY + ZXY XZY Y ZX+ Y XZ= 0

Definicao 1.1.9. Uma conexao afim em uma variedade diferenciavel Me dita simetricaquando

XY YX= [X, Y] para quaisquer X, Y X(M)

Teorema 1.1.10 (Levi-Civita). Dada uma variedade Riemanianna M,existe uma unica conexao afimemMsimetrica e compatvel com a metricaRiemanianna.

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Demonstracao: Suponhamos que tal conexao afim

exista. Pelo

corolario do teorema 1.1.6 temos que

XY, Z=XY, Z + Y, XZ, (1.4)YZ, X=YZ, X + Z, YX, (1.5)ZX, Y=ZX, Y + X, ZY. (1.6)

Calculando (1.4) + (1.5) (1.6) usando o fato que e simetrica temos

XY, Z + YZ, X ZX, Y=XY, Z + Y, XZ + YZ, X+ Z, YXZX, YX, ZY

=XZZX, Y + YZZY, X+ XY YX, Z + 2Z, YX

=[X, Z], Y + [Y, Z], X+ [X, Y], Z + 2Z, YX.

Portanto

Z, YX= 12{XY, Z + YZ, X ZX, Y (1.7)

[X, Z], Y

[Y, Z], X

[X, Y], Z

}Pelo isomorfismo canonico entreX(M) eX(M) temos queYX esta uni-camente definido pela equacao 1.7. Assim se tal conexao existir ela e unica.

Para mostrar a existencia definamos por 1.7. Vamos mostrar que elasatisfaz as propriedades desejadas.

e simetrica poisZ, XY YX=Z, XYZ, YX

=1

2{[Y, X], Z

+

[X, Y], Z

}=

[X, Y], Z

comoZ e arbitrario isto demonstra que XYYX= [X, Y], ou seja, e simetrica.

e compatvel com a metrica pois, calculando diretamente, temosXY, Z + Y, XZ= XY, Z.

Entao, pelo corolario do teorema 1.1.6, a conexao e compatvel com ametrica.

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A conexao dada pelo teorema anterior e denominada conexao de Levi-

Civita (ou Riemanianna) de M. Agora calculemos a conexao de Levi-Civita em coordenadas locais. Para tal precisamos conhecer apenas os cam-posij, para 1i, jn, escrevemos:

xi

xj =

k

kij

xk.

Chamamos os coeficientes kijdesta conexao de smbolos de Christoffel.

Denotamos por gij := xi , xj os coeficientes da matiz da metrica emuma carta local e por gij os coeficientes da inversa da matriz da metrica.

Pela equacao 1.7, fazendo X=

xi , Y =

xj e Z=

xk , temos1

2

xigjk +

xjgki

xkgij

=

xk,

xi

xj

=

xk,

l

lij

xl

=

l

lijglk.

Denotando zk := 12

xi

gjk + xj

gki xk gij

podemos escrever

(1ij

, . . . , nij

) g11 . . . g1n...

. ..

...gn1 . . . gnn = (z1,...,zn) =

(1ij, . . . , nij) = (z1,...,zn)

g11 . . . g1n

... . . .

...gn1 . . . gnn

,onde (gij) = (gij)

1 portanto

mij =1

2

k

xigjk +

xjgki

xkgij

gkm. (1.8)

1.2 Curvaturas

Definicao 1.2.1. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M euma correspondencia que associa a cada par X, Y X(M) uma aplicacaoR(X, Y) :X(M) X(M) dada, para cada Z X(M), por

R(X, Y)Z=YXZXYZ+ [X,Y]Z,onde e a conexao Riemanianna de M.

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Proposicao 1.2.2. A curvatura R de uma variedade Riemanianna tem as

seguintes propriedades:

1. R e C-bilinear emX(M) X(M), isto e,R(f X1+ gX2, Y1) =f R(X1, Y1) + gR(X2, Y1),

R(X1, f Y1+ gY2) =f R(X1, Y1) + gR(X1, Y2),

f, g: M R de classe C e X1, X2, Y1, Y2 X(M).2. Para todo parX, Y X(M), o operador curvaturaR(X, Y) :X(M)

X(M) e C-linear, isto e,

R(X, Y)(Z+ W) =R(X, Y)Z+ R(X, Y)W,

R(X, Y)f Z=f R(X, Y)Z,

f :M Rde classe C e Z, W X(M).Demonstracao: Para o item 1) basta vermos que, para todo Z

X(M), temosR(f X1+ gX2, Y1)Z=Y1fX1+gX2ZfX1+gX2Y1Z+ [fX1+gX2,Y1]Z

=

Y1(f

X1Z) +

Y1(g

X2Z)

f

X1

Y1Z

gX2Y1Z+ (fX1+gX2)Y1Y1(fX1+gX2)Z=fY1X1Z+ Y1(f)X1Z+ gY1X2Z+ Y1(g)X2Z

fX1Y1Z gX2Y1Z (fX1+gX2)Y1(fY1X1+Y1(f)X1+gY1X2+Y1(g)X2)Z

=fY1X1Z+ Y1(f)X1Z+ gY1X2Z+ Y1(g)X2Z fX1Y1Z gX2Y1Z+ fX1Y1fY1X1Z+ gX2Y1gY1X2Z+ Y1(f)X1Z+ Y1(g)X2Z

=fY1X1Z fX1Y1Z+ fX1Y1Y1X1Z

+ gY1X2Z gX2Y1Z+ gX2Y1Y1X2Z+ Y1(f)X1Z Y1(f)X1Z+ Y1(g)X2Z Y1(g)X2Z

=f R(X1, Y1) + gR(X2, Y1).

Para a segunda igualdade basta notarmos que, para todo Z X(M),R(X, Y)Z=YXZXYZ+ [X,Y]Z

= (YXZ+ XYZ[X,Y]Z)R(X, Y)Z= (XYZ YXZ+ [Y,X]Z) =R(Y, X)Z (1.9)

19


20/79

A primeira parte do item 2) vem do fato que

X(Z+W) =

XZ+

XW.

Para a segunda parte vejamos que

YX(f Z) =Y(fXZ+ X(f Z))=fYXZ+ (Y f)XZ+ (Xf)YZ+ (Y(Xf))Z.

Portanto

YX(f Z) XY(f Z) =f(YX XY)Z+ ((Y X XY)f)Z,assim

R(X, Y)f Z=f(YX XY)Z+ ([Y, X]f)Z+ f[X,Y]Z+ ([X, Y](f))Z=f R(X, Y)Z

Lema 1.2.3 (Primeira Identidade de Bianchi). SejamX, Y , Z X(M)entao

R(X, Y)Z+ R(Y, Z)X+ R(Z, X)Y = 0

Demonstracao: Pela simetria da conexao de Levi-Civita temos

R(X, Y)Z+ R(Y, Z)X+ R(Z, X)Y =YXZXYZ+ [X,Y]Z+ ZYX YZX+ [Y,Z]X+ XZY ZXY + [Z,X]Y

=Y[X, Z] + X[Z, Y] + Z[Y, X]+ [X,Y]Z+ [Y,Z]X+ [Z,X]Y

=[Y, [X, Z]] + [X, [Z, Y]] + [Z, [Y, X]],

que e igual a zero pela identidade de Jacobi.

Proposicao 1.2.4. Sejam X, Y , Z, T X(M)1.R(X, Y)Z, T + R(Y, Z)X, T + R(Z, X)Y, T= 0.2.R(X, Y)Z, T=R(Y, X)Z, T.3.R(X, Y)Z, T=R(X, Y)T, Z.

20


21/79

4.

R(X, Y)Z, T

=

R(Z, T)X, Y

.

Demonstracao: O item 1) segue da bilinearidade do produto internoe da primeira identidade de Bianchi. O item 2) segue da equacao 1.9.

Para demonstrarmos o item 3) notemos que esta igualdade e equivalenteaR(X, Y)Z, Z= 0 pois, se esta igualdade valer temos

0 =R(X, Y)(Z+ T), (Z+ T)=R(X, Y)Z, (Z+ T) + R(X, Y)T, (Z+ T)=R(X, Y)Z, Z + R(X, Y)T, Z + R(X, Y)Z, T + R(X, Y)T, T=

R(X, Y)T, Z

+

R(X, Y)Z, T

.

Agora provamos queR(X, Y)Z, Z= 0:

R(X, Y)Z, Z=YXZ XYZ+ [X,Y]Z, Z

Mas, pelo corolario 1.1.7

YXZ, Z= YXZ, ZXZ, YZ,

e

[X,Y]Z, Z= [X, Y]Z, ZZ, [X,Y]Z= [X,Y]Z, Z= 1

2[X, Y]Z, Z.

Logo

R(X, Y)Z, Z=YXZ, Z XYZ, Z +12

[X, Y]Z, Z

=1

2Y(XZ, Z) 1

2X(YZ, Z) +1

2[X, Y]Z, Z

=1

2

[Y, X]

Z, Z

+

1

2

[X, Y]

Z, Z

= 0,

o que demonstra 3).Para demonstrar 4) usaremos 1) repetidas vezes

R(Y, Z)X, T + R(Z, X)Y, T + R(X, Y)Z, T= 0,R(Z, X)T, Y + R(X, T)Z, Y + R(T, Z)X, Y= 0,R(X, T)Y, Z + R(T, Y)X, Z + R(Y, X)T, Z= 0,R(T, Y)Z, X + R(Y, Z)T, X + R(Z, T)Y, X= 0.

21


22/79

Somando as equacoes acima e usando 2) e 3) obtemos

2R(X, Y)Z, T + 2R(T, Z)X, Y= 0,e, novamente 2), chegamos a

R(X, Y)Z, T=R(Z, T)X, Y.

Como a curvatura R e C-trilinear, para descreve-la precisamos apenascalcula-la numa base do plano tangente. Em coordenadas locais{/xi}denotamos

R xi

, xj

xk

= l

Rlijk

xl.

AssimRlijk sao os coeficientes da curvatura R em uma carta e, dados camposvetoriais

U=

i

ui

xi, V =

j

vj

xi, W =

k

wk

xi,

obtemos

R(X, Y)Z= ijkl Rlijkuivjwk

xl.

Para calcularmos a curvatura em termos dos coeficientes da conex ao kijprecisamos apenas calcular os coeficientes da curvatura Rlijk em termos doscoeficientes da conexao. Para tal calculemos:

R

xi,

xj

xk =

xj

xi

xk

xi

xj

xk+ [

xi, xj

]

xk

= xj

m

mik

xm

xi

m

mjk

xm

= m

m

ik xj

xm + m

xj mik xm

m

mjk xi

xm

m

ximjk

xm

=m

mik

l

ljm

xl+

l

xjlik

xl

m

mjk

l

lim

xl

l

xiljk

xl.

22


23/79

Portanto

Rlijk =m

mikljm

m

mjklim+

xj(lik)

xi(ljk).

Tambem denotamos

Rijks:=

R

xi,

xj

xk,

xs

=

l

Rlijkgls,

portanto

(Rijk1, Rijk2,...,Rijkn) = (R1ijk , R

2ijk ,...,R

nijk)

g11 . . . gn1... . . . ...g11 . . . gn1

,(R1ijk , R

2ijk ,...,R

nijk) = (Rijk1, Rijk2,...,Rijkn)

g11 . . . gn1

... . . .

...g11 . . . gn1

,Rsijk =

l

Rijklgls.

Pela trilinearidade de R e a bilinearidade do produto interno o teoremaanterior e equivalente a escrevermos

Rijks+ Rjkis + Rkijs = 0

Rijks=RjiksRijks=RijskRijks= Rksij .

Definicao 1.2.5. Sejax= znum vetor unitario emTpM; tomemos uma baseortonormal{z1,...,zn1}do hiperplano deTpMortogonal ax. Acurvatura

de Ricci da metrica, no ponto p, na direcao de x e:Ricp(x) =

n1i=1

R(x, zi)x, zi.

Acurvatura escalarda metrica, , no ponto p e:

s,(p) =

j

Ricp(zj) =n

j=1

n1i=1

R(zi, zj)zi, zj.

23


24/79

Teorema 1.2.6. A curvatura de Ricci e a curvatura escalar independem da

base escolhida.

Demonstracao: Consideremos a aplicacao Q: TpM TpM R defi-nida como

Q(x, y) = traco da aplicacao zR(x, z)y.Como R e C-linear em cada uma das suas entradas temos que Q e bili-near. Sejamx TpMum vetor unitario e{z1,...,zn1, zn = x} uma baseortonormal de TpM entao, pelo teorema 1.2.4 item 4), temos

Q(x, y) = i R(x, zi)y, zi=

i

R(y, zi)x, zi= Q(y, x),

isto e, Q e simetrica e portanto so precisamos conhecer Q(x, x) numa baseortonormal para defini-la. Q(x, x) independe da base{z1,...,zn = x} queusamos para calcula-la (por ser um traco); mas Q(x, x) = Ricp(x), entaoRicp(x) independe da base escolhida.

Por outro lado, podemos associar a forma bilinear Q em TpMuma aplicacaolinear auto-adjunta Ktal que

K(x), y= Q(x, y).

Tomando uma base ortonormal{z1,...,zn}, temos

tr(K) =

j

K(zj), zj=

j

Q(zj, zj)

=

j

Ricp(zj) =s,(p),

o que demonstra que s,(p) independe da base escolhida.

Dada uma metrica , precisaremos, muitas vezes, nos referir a matrizGque a representa a metrica. Por isso usaremos, de agora em diante, a notacaog(, ) (ou simplesmente g) para a metrica. Denotaremos os coeficientes damatriz G por gij e os coeficientes de sua inversa por g

ij.

24


25/79

A forma bilinearQe chamada, as vezes, detensor de Ricci. Calculemos

agora os coeficientes deste tensor numa base ortonormal xi de T M.Q

xi,

xj

=

l

g

R

xi,

xl

xj,

xl

=

l

Rliljg

xl,

xl

=

l

Rlilj =lm

Riljmgml.

Observemos que se A : TpMTpM e uma aplicacao linear auto-adjuntae B : TpM TpM R e a forma bilinear tal que B(X, Y) = g(A(X), Y),temos

uTBv = B(u, v) =g(Au,v) = (Au)TGv=uATGv

B=ATGAT =BG1,

onde G e a matriz que representa a metrica.Entao tr(A) =

ikB

xi

, xk

gik. Portanto, a curvatura escalar e dada

por

sg = ijl Rliljgij = ij Rijgij,onde denotamos Rij =

l R

lilj .

Usando a expressao

Rlijk =m

mikljm

m

mjklim+

xj(lik)

xi(ljk).

dos coeficientes da curvatura em termos dos coeficientes da conexao temos

sg = ijlm gij mij llm mlj lim+

xl(lij)

xi(llj) . (1.10)

Vamos mostrar que a curvatura escalar e um invariante por ismetrias.Para isso precisaremos do seguinte resultado:

Teorema 1.2.7. Sejam (M, h) e (N, g) variedades Riemannianas de di-mensao n,g a conexao de Levi-Civita de (N, g) e uma isometria entreelas, entao :X(M) X(M) X(M) dada porXY = d1gdXdYe a conex ao de Levi-Civita em(M, h).

25


26/79

Demonstracao: Seja (Ui, i) um atlas de M. Entao ((Ui), i

1) eum atlas deN. As bases dos planos tangentes deMe Nsao, respectivamente,

x1

, ..., xn

e x1

,..., xn

. Podemos considerar um vetor de TpM como uma

clase de equivalencia de curvas do seguinte modo: o vetor xj

pode ser vistocomo a classe de equivalencia da curva 1i xj : R M, ondexj(t)p: R Rn e dada por xj(t)p= (x1,...,xj + t,...,xn), (ondei(p) = (x1,...,xj,...,xn))pela relacao kl se, e somente se, (i k)(0) = (i l)(0). Assim

xj= [ 1i xj] =d[1i xj ] =d

xj

.

Sejam a, b C(M) e X, Y , Z X(M). e uma conexao afim poisvalem as propriedades

aX+bYZ=d1g(a1)dXdZ+ d1g(b1)dYdZ=a.d1gdXdZ+ b.d1gdYdZ=aXZ+ bYZ

e

X(Y + Z) =d1gdXdY + d1gdXdZ=XY + XZ

e

X(aY) =d1gdX(a 1)dY=d1[(a 1)gdXdY + dX(a 1)dY]=a.d1gdXdY + X(a)Y =aXY + X(a)Y,

pois, se X=

i ui

xi, temos

dX(a 1) = i

ui xi(a 1)

=limt0

i

ui(a 1 1i (xi)1)(x1,...,xi+ t,...,xn)

=limt0

i

ui(a 1i (xi)1)(x1,...,xi+ t,...,xn) =X(a) .

26


27/79

e simetrica pois, se X= i ui xi e Y = jvj xj , temos

[dX, dY] =dXdY dY dX=

ij

(ui 1)(vj

1)xi

(vi 1)(uj 1)

xi

xj

=

ij

d

ui

vjxi

vi ujxi

xj

=d[X, Y].

Entao

h(Z, XY YX) =g(dZ, dXdY dYdX)=g(dZ, [dX, dY]) =g(dZ, d[X, Y]) =h(Z, [X, Y]).

e compatvel com a metrica h: Sejam c : I R M uma curvadiferenciavel e i : Ui M Rn um homeomorfismo com c(I) Ui= e(c1(t),...,cn(t)) := i c para todo t I. Podemos expressar localmente ocampo Y como Y =

jv

j(t) xj

(c(t)) e, pela equacao 1.1, temos

D(dY)

dt =

i

d(vj 1)dt

xj+

ij

dci

dt 1

(vj 1)g

xi

xj

=d

i

dvj

dt

xj+

ij

dci

dtvj

xi

xj

=d

DYdt

.

Assim

d

dth(X, Y) =

d

dtg(dX, dY) =g

DdX

dt ,dY

+ g

dX,

DdY

dt

=h

DX

dt , Y

+ g

X,

DY

dt

,

deste modo, pelo teorema 1.1.6, a conexao e compatvel com a metrica.Portanto, pela unicidade da conexao de Levi-Civita, e a conexao deLevi-Civita de (M, h).

Teorema 1.2.8. Sejam (M, h) e (N, g) variedades Riemannianas e umaisometria entre elas, entao sg = sh.

27


28/79

Demonstracao: Pelo teorema anterior

:

X(M)

X(M)

X(M)

dada porXY = d1gdXdY e a conexao de Levi-Civita em (M, h).Assim, denotando por R e R as curvaturas de N e M respectivamente,temos

R(X, Y)Z=d1(R(dX, dY)dZ),

entao, como e uma isometria,

h

R

xi,

xj

xk,

xl

=g

R

d

xi, d

xj

d

xk, d

xl

=g R

xi

,

x

j

xk

,

xl

Deste modo Rijkl =Rijkl para quaisquer i, j, k,l {1,...,n}.Por outro lado

h(X, Y) =g(dX, dY) =XTDTGDY

ondeG e a matriz da metrica,d e a derivada de e D e a matriz Jacobianade (i 1) 1i =I, assim hij =g ij .

Entaosh=

ijlmRiljmh

ml =

ijlm(Riljmg

ml) = sg

28


29/79

Captulo 2

O Laplaciano

2.1 Espacos e produtos internos sobreM

Definiremos o produto interno de duas funcoes f, hC(M) como umaintegral sobre uma variedade Riemanniana (M, g) (que consideraremos orien-tada e fechada), faremos isto usando a n-forma dvol e, com esta, definiremoso que significa integrar sobre Musando o atlas diferenciavel de M.

Definicao 2.1.1. Seja (M, g) uma variedade Riemanniana de dimensao n.A forma de volume de uma metrica Riemanniana g e a n-forma dvol quee dada em coordenadas locais por

dvolg =

det gdx1 ... dxn,

para uma base (x1 ,...,xn) de TxM orientada positivamente. Definimos ovolume de (M, g) como

volg(M) =

M

dvolg.

Teorema 2.1.2. A forma de volumedvol =

det gdx1

...

dxn independe

das coordenadas locais; ou seja, dadas coordenadas locais e emx temosdet g()dx1 ... dxn =

det g()dy1 ... dyn

Demonstracao: Dadas as coordenadas locais e definimos, paracada i {0,...,n}, as aplicacoes xi :M Rcomo xi :=i e yi :M Rcomo y i :=i , ondei e a projecao na i-esima coordenada. Temos entaoque (x) = (x1(x),...,xn(x)) e que (x) = (y1(x),...,yn(x)). De modo que

29


30/79

yi =i

1(x1,...,xn) e xi =i

1(y1,...,yn), assim podemos nos

referir a yixj e yixj da:

dyi =

j

y i

xjdxj e dxk =

l

xk

y ldyl.

Entao, denotando como o conjunto das permutacoes denelementos, temos:det g()dy1 ... dyn =

det g()

j

y1

xjdxj ...

j

yn

xjdxj

= det g()

(1) i

y i

x(i)dx1 ... dxn

=

det g()det

y i

xj

dx1 ... dxn.

Por outro lado, para todo hC(M)

y ih=

l

h

xlxl

y i =

l

xl

y i

xl

h.

Assim yi = l xlyi xl e:gij() =

y i,

yj

=

l

k

xl

y ixk

yj

xl,

xk

=

l

k

xl

y ixk

yjglk().

Portanto, denotando J :=

xi

yj

, temos g() =JTg()J. Entao:

det g()dy1 ... dyn =

det g()det

y i

xj

dx1 ... dxn

= det(JTg()J)det(J1)dx1 ... dxn=

det(J)2 det(g())det(J1)dx1 ... dxn

=

det(g()) det(J)det(J1)dx1 ... dxn=

det(g())dx1 ... dxn.

30


31/79

Definicao 2.1.3. Sejam (M, g) uma variedade Riemanniana, (Uk, k) uma

carta de M e = xi a base para T Ui associada a esta carta. Dizemosque uma funcao f :M R e integravel se cada f 1k :k(Uk) R forintegravel a Riemann e definimos a integral de f sobre Uk como

Uk

f(x)dvolg =

k(Uk)

f(x)

det(g())

1k dx1...dxn.

Esta integral esta bem definida pois dadas cartas (Uk, k) e (Ul, l) emum atlas positivamente orientado tais que UkUl=. Sejam =

xi

a base de T{Uk Ul} associada a carta (Uk, k) e =

yi

a base de

T{Uk Ul}associada a carta (Ul, l). Denotamos porg() eg() as matrizesque representam a metrica associadas a e respectivamente a aplicacaode transicao kl temos:

UkUl

f(x)dvol =

k(UkUl)

f(x)

det(g())

1k dx1...dxn

=

kll(UkUl)

f(x)

det(g())

1k dx1...dxn

= l(UkUl) f(x)det(g()) det(J(kl)) 1l dy

1...dyn

=

l(UkUl)

f(x)

det(g())

1l dy1...dyn.

Onde usamos formula de mudanca de variavel (teorema 4.0.4 em anexo) emRn e o fato que a orientacao e positiva.

Assim, dada uma funcao integravel f : M R com suporte compactoem uma carta Uk, dizemos que

Mf(x)dvolg =

Ukf(x)dvolg.

Definicao 2.1.4. Sejam (M, g) uma variedade Riemanniana,{(Ui, i)} umatlas de M,{ai}1ik uma particao da unidade associada a este atlas e ={

xi} uma base local para T M. Dizemos que uma funcao f e integravel

se aif e integravel sobre M para i [1, ...k] e definimos a integral de umafuncao f :M R sobre M como

M

f(x)dvolg =k

i=1

M

aif(x)

det(g())dx1 ... dxn.

31


32/79

A definicao de f ser integravel independe da particao da unidade e esta

integral esta bem definida pois, dada outra parti cao da unidade{bi}1iltemos

ki=1

M

aif(x)dvolg =k

i=1

M

lj=1

bjaif(x)dvolg

=k

i=1

lj=1

M

bjaif(x)dvolg

=

lj=1

ki=1

M

bjaif(x)dvolg

=l

j=1

M

bj

ki=1

aif(x)dvolg

=l

j=1

M

bjf(x)dvolg.

Note, que por temos definido a integral usando a particao da unidade fazsentido escrevermos a integral de um objeto local, como o produto interno

de campos vetoriais em coordenadas locais.Tambem definimos um produto interno em C(M) por

f, h=

M

f(x)h(x)dvolg.

Definimos o produto interno de dois campos vetoriais X e Y sobre Mcomo

X, Y=

M

g(X(x), Y(x))dvolg,

onde g(X(x), Y(x)) :=

X(x), Y(x)

. Utilizamos estas duas notacoes du-

rante o texto. E claro que isto define um produto interno.Sejam 1(M) o conjunto das 1-formas sobre M e o isomorfismo natural

g :X(M) 1(M), dado em cada plano tangente por g(v) = v ondev(w) =v, w para quaisquer v, w TM. Definimos o produto interno deduas 1-formas v e w como

v, w=

M

g(1g v(x), 1g w

(x))dvolg.

E claro que isto define um produto interno.

32


33/79

Vamos calcular 1(v) e

v, w

em coordenadas locais.

Sejamv, w T M, w =kwk xk e v =jvjdxj . Pela definicao de temos

wk =dxk(w) =1g (dxk), w=

ij

igijwj.

Onde 1g (dxk) =

i i

xi

. Entao, variando j, formamos o seguinte sistemade equacoes

i

igij =

0 se j=k1 se j =k

que e denotado matricialmente por (gij)=ek e admite uma unica solucao

= (gij)1ek=

i

gikei.

Desta forma 1g (dxj) =

i g

ij xi

. Portanto

1g (v) =1g

j

vjdxj

=

j

vj1g (dx

j) =

ij

vjgij

xi. (2.1)

Para o produto interno tome duas formas v = jvjdxj e w = kwkdxksobreM

v, w=

M

g

1g v(x), 1g w

(x)

dvolg

=

M

g

ij

vjgij

xi,lk

wkglk

xl

dvolg

= Mijkl vjgijwkg

lkgildvol = Mijk vjgijwkikdvolg

=

M

ij

vjgijwidvolg.

2.2 O divergente, o gradiente e o Laplaciano

Em Rn podemos definir um operador : C2(Rn) C(Rn) chamado deLaplaciano da seguinte forma

33


34/79

f=n

i=1

2f(xi)2

. (2.2)

Assim, no caso euclidiano, o Laplaciano e dado por

2

(x1)2+ ... +

2

(xn)2

.

Queremos definir o operador Laplaciano sobre C(M). Se o definirmoscomo na equacao 2.2 o nosso operador dependera do sistema coordenadoem questao, mas queremos um operador que independa do sistema de co-ordenadas. Para tal lembremos da equacao classica para o Laplaciano emRn:

2

(x1)2+ ... +

2

(xn)2 =div grad.Definiremos os operadores grad : C(M) X(M) e div:X(M)

C(M) em uma variedade Riemanniana de modo que eles independam decoordenadas locais para, atraves destes, definir o Laplaciano.

Definicao 2.2.1. Sejam (M, g) uma variedade Riemanniana,d : C(M)1(M) a derivada exterior ego isomorfismo canonico entre X(M) e 1(M).O gradiente e o operador grad : C(M) X(M) definido por grad :=1g d.

Podemos definir o gradiente da mesma maneira em uma variedade di-ferenciavel (sem matrica) mas colocamos uma variedade Riemanniana nadefinicao pois estamos interessados em coordenadas locais.

Teorema 2.2.2. Em coordenadas locais o gradiente e dado por

gradf=i,j

gijif j ,

ondej =xj = xj

e(gij) = (gij)1 .

Demonstracao: Dada f

C(M) temos

gradf=1g d(f) =1g

i

f

xidxi

=

i

f

xi1g (dx

i) =

i

f

xi

j

gji

xj

=

ij

f

xigji

xj =

ij

f

xigij

xj.

34


35/79

Que no caso euclidiano e o gradiente usual. Da definirmos grad :=1g

d

pois,1g ed independem de coordenadas e coincidem com o gradiente usualem Rn.

Por outro lado lembremos que no caso de um campo vetorial suave X :Rn Rn o divergente e definido por

div(X) :=X1

x1+ ... +

Xnxn

e que, dada uma funcao f C0 (Rn), usando integracao por partes temos

divX, f= Rn i iXi.f= Rn i (f.Xi)xi + Rn i if.Xi=

i

Rn1

(f.Xi)

+

dx1...dxi1dxi+1...dxn

+

Rn

i

if.Xi

=

Rn

i

if.Xi

= Rn i if.Xi=X, gradf,pois f tem suporte compacto. Assim o divergente de um campo vetorialXem Rn satisfara,f C0 (Rn), a equacao

divX, f=X, gradf (2.3)

SejamX=

i Xii X(M) e f C0 (M) e (Ui, i) um atlas na varie-

dade M com particacao da unidade associada{ai}i=1,...,k. Suponhamos queexista uma funcao divXsatisfazendo a equacao 2.3 . Entao, em coordenadaslocais, temos

35


36/79

X, gradf=

M

X, gradfdvol

=

U

i

Xii,k,j

gkjkf j

dvol

=

l

l(Ul)

alijk

Xi(kf)gkjgij

det gdx1...dxn

=

l l(Ul)al

iXi(if)

det gdx1...dxn

=l

l(Ul)

al1

det gf

i

i(Xi

det g)

det gdx1...dxn

=f, 1det g

i

i(Xi

det g)

integrando por partes e usando o fato que (gij) e (gij) sao inversas.O que nos motiva a definir o divergente em coordenadas locais da seguinte

maneira.

Definicao 2.2.3. O divergente e o operador div:X

(M)

C(M), dadolocalmente por

divX := 1

det g

i

i(Xi

det g).

Este operador esta bem definido, pois

Teorema 2.2.4. A funcaodivXesta bem definida, isto e, dadas coordenadaslocais = (x1,...,xn) e = (y1,...,yn) em um aberto U M, escrevendoX=

i X

i xi

=

jYj

yj temos que

1det g

i

xi (Xidet g) = 1det g j

yj (Yjdet g)Demonstracao: Podemos considerar qualquer funcaof :M R como

uma funcao que depende das funcoes xi e yj (analogamente ao que fizemosno teorema 2.1.2). Notamos entao que

i

Xi

xi =

ij

Xiyj

xi

yj =Yj =

i

Xiyj

xi

36


37/79

portantoj

Yj

yj =

ij

yj

Xi

yj

xi

=

ij

Xi

yjyj

xi+

ij

Xi

yj

yj

xi

=

ij

Xi

yjyj

xi+

ij

Xi

xi

yj

yj

=

i

Xi

xi. (2.4)

Por outro lado, denotando (n) como o conjunto das perutacoes de n

elementos e J :=

xk

y l

, temos J1 :=

y l

xk

da

yjdet(J1) =

yj

(1)

l

y l

x(l) =

(1) yj

l

y l

x(l)

=

=

(1)

na=1

1

a!(n a)!a

i=1

yj

y(i)

x((i))

ni=a+1

y(i)

x((i))

=

=

(1)

na=1

1

a!(n a)!a

i=1

x((i))

y(i)

yj

ni=a+1

y(i)

x((i))

= 0,

(2.5)

pois yi

yj =ij e, da primeira para a segunda linha, usamos a regra do produto

varias vezes.

37


38/79

Usando as equacoes 2.5 e 2.4 temos

1det g()

i

xi(Xi

det g()) =

1det g()

i

j

yj

xi

yj(Xi

det g())

= 1det g()

i

j

yj

xi

Xi

yj

det g() +

det g()

yj Xi

=

= 1

det(J1)

det g()

i

j

yj

xi

Xi

yj

det g()det(J1)+

+ Xi

det g()

yj det(J1) + Xi

det(J1)

yj det g() ==

1det g()

j

i

Xi

xi

det g() +

yj

xiXi

det g()

yj =

= 1det g()

j

Yj

yj

det g() + Yj

det g()

yj =

= 1det g()

j

yj

Yj

det g()

.

Podemos agora definir o Laplaciano.

Definicao 2.2.5. O Laplaciano e o operador : C(M)C(M) definidocomof= (div gradf).

Agora escreveremos o Laplaciano em coordenadas locais. Tome f C(M) entao

f=div(gradf)

=div i

gijif j= 1

det g

j

j

i

gijif

det g

.

Que no espaco euclideano e o Laplaciano usual.Observe que apesar de estar definido em coordenadas locais o Laplaciano

independe destas pois div e grad independem das coordenadas locais. OLaplaciano e linear pois:

38


39/79

Dados f, h

C(M) e a, b

R, temos

(af+ bh) =div grad(af+ bh)

= 1det g

j

j

i

giji(af+ bh)

det g

= 1det g

j

j

a

i

gijif

det g

+

1det g j

j

b

igijihn

det g

= adet g

j

j

i

gijifn

det g

+

bdet g

j

j

i

gijih

det g

=af+ bh.

Considerando g como o isomorfismo canonico entreX(M) e 1(M).Definimos o seguinte operador:

Definicao 2.2.6. Definimos : 1(M)C(M) por (w) =div(1g (w)).Como g e uma isometria pela definicao de produto interno em T M

,g((X), df) =g(X, gradf) para qualquer campo vetorialXe qualquer funcaof C(M) entao temos que e caracterizado, para quaisquer w 1(M)e f C(M), pela equacao

w,f=1g (w), gradf=1g (w), 1g df=w, df, (2.6)

usando o fato que definimos div de modo quegradf, X=f, divX paraquaisquer f C(M) e X X(M).Teorema 2.2.7. Para w =

i widx

i 1(M) temos que e dado, emcoordenadas locais, por

(w) = 1det g

ij

j(gij

det gwi).

Onde(gij) = (gij)1.

39


40/79

Demonstracao: Pela equacao 2.1 temos 1g (w) =ijwjgij xi . Por-tanto:(w) =div(1(w)) =div

ij

wjgij

xi

= 1det g

ij

j(gij

det gwi).

Agora damos uma segunda definicao de Laplaciano, equivalente a pri-meira.

Definicao 2.2.8. O Laplaciano e o operador : C(M)C(M) definidocomof=df.

Como, para todo f C(M) temos df = (div1)((gradf)) =div gradfvemos que as duas definicoes coincidem.

Ainda notamos, pela equacao 2.6, que e simetrica poisf, g=df, g=df, dg=f,dg=f, g.

Agora vamos escrever o Laplaciano em termos dos coeficientes da conexao.Para isso precisaremos do seguinte Lema:

Lema 2.2.9. Sejam (gij) a matriz que representa a metrica em uma base1,...,n e(g

ij) sua inversa entao temos as duas igualdades

xigmk=

jl

gmlgjk

xiglj ,

xigmk =

jl

gmjglk

xiglj .

Demonstracao: Como (gij) e (gij) sao inversas

mk=j

gjkgmj =0 =

xi

j

gjkgmj =

j

xigjkg

mj + gjk

xigmj,

entao g11 . . . g1n

... . . .

...gn1 . . . gnn

xi

g1k...

xi

gnk

= g11 . . . g1n... . . . ...

gn1 . . . gnn

xi

gm1

...

xigmn

,40


41/79

assim

xig1k...

xi

gnk

= g11 . . . g1n... . . . ...

gn1 . . . gnn

g11 . . . g1n... . . . ...

gn1 . . . gnn

xi

gm1

...

xigmn

=

xigmk =

jl

gmlgjk

xiglj

e

xigm1

...

xigmn

=g11 . . . g1n

... . . . ...gn1 . . . gnn

g11 . . . g1n

... . . . ...gn1 . . . gnn

xig1k

...

xignk

=

xigmk =

jl

gmjglk

xiglj .

Como corolario podemos escrever a seguinte derivada em termos da co-nexao

Corolario 2.2.10. Sejam (gij) a matriz que representa a metrica em umabase1,...,n, (g

ij) sua inversa eijk , para i,j,k {1,...,n}, os coeficientesda conexao de Levi-Civita (smbolos de Christoffel) entao

xigim =

k

gikmikj

gjmiji,

ij

gij

xlgij =

j

jjl +

i

iil.

41


42/79

Demonstracao: Pelo Lema anterior

xigim =

kj

xigkjg

ikgjm

= kj

xigkjg

ikgjm +1

2

xkgjig

ikgjm

12

xkgjig

ikgjm +1

2

xjgikg

ikgjm 12

xjgikg

ikgjm

= kj

1

2

xigkjg

ikgjm +1

2

xkgjig

ikgjm 12

xjgikg

ikgjm

+

12

xigkjg

ikgjm +1

2

xjgikg

ikgjm 12

xkgjig

ikgjm

=

k

gikmik

j

gjmiij,

onde usamos a formula 1.8 que da os simbolos de Christoffel em termos dametrica mij =

12

k

xi

gjk + xj

gki xk gij

gkm.Para a outra igualdade basta calcularmos diretamente

ij

gij

xl gij = ij

12 gij xl gij+ 12gij xi gjl12 gij xi glj+

1

2gij

xlgij1

2gij

xigjl +

1

2gij

xiglj

=

j

jjl +

i

iil.

Podemos demonstrar que

Teorema 2.2.11. Sejam (gij) a matriz que representa a metrica em umabase1,...,n, (g

ij) sua inversa eijk , para i,j,k {1,...,n}, os coeficientesda conexao de Levi-Civita (smbolos de Christoffel) entao

u=jkm

u

xkgjmkjm

jk

gjk 2

xjxku.

42


43/79

Demonstracao: Denotando

:=jkgjk

2

xjxku

jkm uxk gjmkjmtemos=

jk

xj

gjk

xku

xjgjk

xku

jkm

u

xkgjm

=jk

xj

gjk

xku

+

u

xk

m

gjmkjm + gmkjmj

jkm

u

xkgjmkjm

=jk

xj

gjk

xku

+

jmk

u

xkgmkjmj

= jk

xjgjk xk u +

ijmk

12 uxkgmkgij xm g

ji.

Mas

xmlog

det g=

1

2

1

det g

ij

xmgijCij

=1

2

ij

Cijdet g

xmgij

=1

2 ij

gij

xm gij,

onde Cij = (1)i+j det(g(i, j)) e g(i, j) e a matriz obtida de g retirando-se alinha i e a coluna j.

Portanto

=jk

xj

gjk

xku

+

mk

u

xkgmk

xmlog

det g

= jk

xj gjk

xku + jk

u

xkgjk

1

det g

xj det g=

1det g

jk

xj

gjk

xku

det g+

jk

u

xkgjk

xj

det g

= 1det g

jk

xj

gjk

det g

xku

=u.

43


44/79

2.3 Generalizando o Laplaciano

Ate agora construmos um operador Laplaciano definido sobre funcoesC(M) contudo precisaremos defini-lo em espacos mais gerais do que essepara calcular o menor auto-valor do operador 4 + sg, ondesg e a curvaturaescalar. Para tal utilizaremos alguns teoremas de E.D.P. sobre operado-res elpticos definidos sobre espacos de Sobolev. Nesta secao definimos taisespacos e construimos uma teoria de integracao a Lebesgue, que pode serencontrada em [12] com mais detalhes.

2.3.1 Integracao a Lebesgue em Variedades

Definicao 2.3.1. Uma colecao M de subconjuntos de um conjunto X e ditaser uma -algebra em X se M tem as seguintes propriedades:

X M. Se AM entao Ac M, ondeAc e o complemento de A em relacao a

X.

Se A=n=1An e se An M para todo n N entao A M.Se M e uma -algebra em X, entao (X,M) e dito um espaco men-

suravel e os elementos de M sao ditos os conjuntos mensuraveis em X.Muitas vezes denotaremos um espaco mensuravel (X,M) apenas por X.

SeX e um espaco mensuravel,Y e um espaco topologico ef e uma funcaode XemY entaof e dita sermensuravel sef1(V) e mensuravel para todoaberto VY.Definicao 2.3.2. Umamedidae uma funcao, definida em uma -algebraM cuja imagem esta em [0, ] e que e aditivamente contavel, ou seja, se Aie uma colecao disjunta de elementos de M entao

(i=1Ai) =

i=1(Ai).

E (Ai)


45/79

Dizemos que um conjuntoE

M e mensuravel se a funcao caracterstica

E :M R deE, definida comoE(x) = 1 sexEeE(y) = 0 seyEc, eintegravel a Riemann e definimos a medida(E) de um conjunto mensuravelE como

(E) =

M

Edvol.

Entao consideramos a -algebra gerada por estes conjuntos. Note que,utilizando esta medida, temos que a medida de um ponto e zero (pois a funcaocaracterstica deste ponto e integravel a Riemann e sua integral vale zero)entao, como a medida e aditivamente contavel qualquer conjunto enumeravelde pontos tem medida nula.

Podemos estender nossa -algebra e nossa medida utilizando o seguinteteorema, que esta demonstrado em [12].

Teorema 2.3.3. Seja (X,M, ) um espaco de medida, sejaM a colecaode todos conjuntosE Xpara os quais existem conjuntosA, B M taisqueAEB e(B A) = 0, definimos(E) =(A). Entao M e uma-algebra e e uma medida emM.

Seja P e uma propriedade que pode valer ou nao para um ponto xM.Dizemos que P vale quase sempre em M se o conjunto dos pontos onde Pnao vale tem medida nula.

Com esta medida definiremos uma teoria de integracao a LebesgueDefinicao 2.3.4. Se f :M[0, ) uma funcao da forma

f=n

i=1

iAi,

onde1,...,n R, comi=j sei=j ; entao dizemos quef e umafuncaosimples.

Note quef e mensuravel se e somente se os conjuntosAisao mensuraveis.

Definicao 2.3.5. Seja f : M [0, ) uma funcao simples mensuravel,f= ni=1 iAi . Dado um conjunto E M definimos a integral a Lebesguede f sobre Eem relacao a medida como

E

f d=n

i=1

i(E Ai).

A medida de alguns conjuntos pode ser infinita. Para lidarmos com isto,definimos, a. =.a = se a (0, ) e 0. =.0 = 0 e a+ = + a= se a[0, ].

45


46/79

Definicao 2.3.6. Dado um conjunto E

M

definimos a integral a Le-besgue de f :M [0, ) sobre Eem relacao a medida como

E

f d= sups

E

sd,

onde s e uma funcao simples menor ou igual que f.

Denotando

f+ :=

f(x), se f(x)0

0, se f(x)< 0 , f :=

0, se f(x)0

f(x), se f(x)< 0podemos definir o que e uma funcao integravel a Lebesgue e a integral deuma destas funcoes como

Definicao 2.3.7. Dizemos que uma funcao mensuravel e integravel a Le-besgue se

M

|f(x)|d


47/79

Teorema 2.3.8 (Teorema da Convergencia Dominada de Lebesgue).

Seja{fn} uma sequencia de funcoes integraveis a Lebesgue emX, tais quef(x) = lim

nfn(x)

existe para todo xX. Se existe uma funcao gI1(M) tal que|f(x)| g(x) n N.

Entao f I1(M),

limn

X|fn f|d= 0 e lim

n

Xfnd=

f(x)d.

Assim como o conjunto I1(M) das funcoes integraveis em modulo po-demos definir Ip(M), para todo p N, como o conjunto das funcoes men-suraveis tais que

M

|f|pd .

Denotando Ep ={f Lp(M)|

M|f|p = 0} (o qual e um subespaco

vetorial) definimos Lp(M) :=Ip(M)/Ep e uma norma da seguinte maneira

f

p= M |f|

pd1/p

.

Os espacos Lp(M) sao completos. De fato: Se (fn) e uma sequencia deCauchy de funcoes em Lp(M) entao fn f, onde f e uma funcao men-suravel, e (fn)

p e uma sequencia de Cauchy. Tome > 0 fixo, entao existeum N0 Ntal que se m, nN0 temos, a menos de um conjunto de medidanula:

supx

((fn(x))p (fm(x))p)

deste modo|fn(x)|p g(x) := supx{|f1(x)|p,..., |fN01(x)|p, |fN0(x)|p +}para todo n N g : M R e uma funcao integravel (pois e o sup de umnumero finito de funcoes integraveis) assim, pelo Teorema da ConvergenciaDominada de Lebesgue, |fn|p h e h = |f|p pela unicidade do limite.Portanto os espacos Lp(M) sao completos.

Pode-se mostrar que o unico destes espacos no qual a norma provem deum produto inteno e L2(M) e que Lp(M) e espaco de Banach se p 1 eportanto um espaco de Hilbert se p= 2.

Podemos definir uma norma em L2(M):

uL2 = (u, uL2)1/2 =

M

u2d

1/247


48/79

e uma norma em C(M):

uH1 =u, uH1

0

1/2=

M

u2d +

M

g(gradu, gradu)d

1/2.

Estas normas estao associadas, respectivamente, ao seguintes produtosinternos

u, vL2 =

M

uvd

e ao produto interno de u, vC(M)

u, vH1 = M

uvd+ M

g(1g (du), 1g (dv))d

=

M

uvd+

M

g(gradu, gradv)d.

Pode ser demostrado queC(M) e denso em L2(M) em relacao a norma.L2. Alem disso, em relacao a esta norma, a imersao deC(M) emL2(M)e compacta. Denotaremos o fecho de C(M) em relacao a normauH1 porH1(M).

Dizemos que H1(M) e H10(M) (f H1(M) com suporte compacto) saoespacos de Sobolev.

48


49/79

Captulo 3

Os invariantes

3.1 Invariante de Perelman

SejaMuma variedade fechada conexa de dimensaon3 eguma metricaRiemanniana sobreM. Considere o operador 4g +sgI :C(M) C(M)associado a g, onde sg e a curvatura escalar de g eg =divgrad e ooperador de Laplace-Beltrami.

Denotamos porg o menor autovalor do operador 4g+ sgIque e dado,em termos do quociente de Rayleigh, pelo seguinte teoremaTeorema 3.1.1. O menor autovalorg do operador4g+ sgI e dado por

g = infu

M

[sgu2 + 4|gradu|2]dg

Mu2dg

(3.1)

onde o nfimo e tomado sobre todas as funcoes reais suavesu sobreM. Alemdisso este nfimo e atingido por uma unica funcao uC(M).

Demonstracao: Podemos escrever, para cada f C(M), este opera-

49


50/79

dor como

(4g+ sgI)(f) = 4det g

j

j

i

giji(f

det g)

+ sgf

= 4

det g

j

j

i

gij

if

det g+ f i

det g

+ sgf

=4

j

j

1det g

i

gij

if

det g+ f i

det g

+ 4 j j 1

det gi gij ifdet g+ f idet g + sgf=4

j

j

i

gij(if)

4

j

j

i

giji

det g

det g (f)

+ 4j

j

1det g

i

gij

det g(if)

+ 4j

j

1det g

i

giji

det g(f) + sg(f)

=4 j

j i

gij(if) 4 j

j i

gijidet g

2det g(f) 4

ij

gijidet g

2det gjf+

4

j

j1

det g

i

giji

det g+ sg

f

=4j(gij(if)) + j(bif) + bijf+ cf,utilizando a convencao de somatorio de Einstein e denotando bj =4 i gijidet g2det g,c= 4

jj

1det g

i g

iji

det g+ sg.

Podemos definir uma forma quadratica emC(M) associada ao operador

4g+ sgIporL(u, v) : =(4g+ sgI)(u), vL2=

M

4gijiujv+ j(b

ju)v+ bjjuv+ cuv

d

=

M

4gijiujv bjujv+ bjjuv+ cuv

d.

O operador 4g+ sgI e elptico1.1A teoria que desenvolvemos aqui pode ser generalizada para operadores elpticos em

50


51/79

Para cada u

C(M), u

= 0, a razao

J(u) =L(u, u)u, uL2

e dita o quociente de Rayleigh deL.Vamos minimizar J. Primeiro notamos que J e limitado inferiormente

pois, como M e compacta,|sg| k para algum k R, entao

J(u) =L(u, u)u, uL2 =

(4g+ sg)(u), uL2

M

u2d

=4gradu, graduL2

Mu2d + Msgu2d

Mu2d Mku2d

Mu2d =k.

Assim faz sentido definirmos

g = inf uC(M)

J(u).

Vamos mostrar que g e um autovalor de 4g+ sgI.Comog e o infimo de J(u) existe uma sequencia{vm} C(M) tal que

J(vm)g entao, denotando um = vm/vmL2 , temos que J(um) = J(vm)portanto J(um)

g. E claro que

um

L2 = 1. Por outro lado,

L(um, um) =

M

[4g(grad(um), grad(um)) + sgu2m]dg+ k,

poisL(um, um) =J(um) e J(um)g. EntaoM

g(gradum, gradum)d 14

g+ k

M

sgu2md

1

4

g+ k (k)

M

u2md

=

1

4(g+ k+ k) :=K0.

C(M) pode ser mergulhada em H1(M), usaremos a mesma notacaopara{un} e sua imagem de{un} em H1(M). Portanto, para todom Ntemos

umH1 =

M

g(gradum, gradum)d +

M

u2mdK0+ 1,

ou seja,{um} e limitada em H1(M).geral. Para ver detalhes sobre a teoria de operadores elpticos consulte [4]

51


52/79

O espacoH1(M) pode ser compactamente mergulhado (teorema 4.0.6 no

anexo) em L2(M), portanto a imagem de{um} em L2(M), que denotamospor{wm}, possui uma subsequencia{wm} converge para uma funcao w emL2(M) comwL2 = 1.

DenotandoQ(u) =L(u, u) temos, para todo m, n N,

Q

ul um2

+ Q

ul+ um

2

=

1

2(Q(um) + Q(ul)),

entao

Qul um

2 =1

2

(

Q(um) +

Q(ul))

Qul+ um

2 0quando m, l pois

limm,l

Q( 12

(um+ ul)) = limm

Q(2um) = liml

Q(ul) =g.

Deste modo

Q

ul um2

=

M

4g

grad

ul um

2

, grad

ul um

2

d

+ M sg ul um2 2

d,

entaoM

g

grad

ul um

2

, grad

ul um

2

d=

1

4Q

ul um

2

M

1

4sg

ul um

2

2d0

quando m, l pois sg e limitada.Assim

ul umH1 =ul umL2+

M

g (grad(ul um), grad(ul um)) d0

quando l, m , ou seja,{um} e uma sequencia de Cauchy em H1(M)que e completo em relacao a norma de.H1 portanto um u em H1(M).Os resultados classicos de regularizacao (teorema 4.0.5 no anexo) de EDPsgarantem que u c(M). AssimQ(u) = g e u = w pela unicidade dolimite. Alem disso provamos que existe uma unica funcaou tal queJ(u, u) =g (caso contrario a sequencia (um) poderia nao convergir).

52


53/79

Vamos mostrar que

(4g+ sg)u gu= 0pelo metodo usual do calculo variacional. Dado vH1(M), definimos

f(t) =J(u+ tv).

Vamos calcular f(0)

f(0) = limt0

J(u+ tv) J(u)t

=limt01

t M

(u+ tv)2 d M 4gijiuju+ 4tgijiujv+ 4tgijivju+ 4t2gijivjv bjuju tbjujv tbjvju t2bjvjv+ bjuju+tbjujv+ tb

jvju+ t2bjvjv+ cu

2 + 2tcuv+ t2cv2 d

1t

Mu2d

M

gijiuju + cu2d

=limt0

1

t

M(u+ tv)2 d

g+

M

4tgijiujv+ 4tgijivju+ 4t

2gijivjv

tbjujv tbjvju t2bjvjv+ tbjujv+ tbjvju + t2bjvjv+ 2tcuv+ t2cv2d g 1 + 2t

M

uvd+ t2 M

v2 d=

M

4gijiujv bjujv+ bjjuv+ cuv d

+

M

4gijiujv bjvju+ bjjvu+ cuv d 2g

M

uvd

=2L(u, v) 2gu, vL2,poisL(u, v) =L(v, u). Portanto f e diferenciavel no 0.

Por outro lado, como J(u) e o nfimo, temos

J(u+ tv) J(u)t

0 para t >0 eJ(u+ tv) J(u)

t 0 para t


54/79

E claro que este e o menor autovalor pois, dado um autovetor w, com

autovalor associado 0 temos

gJ(w) = 0w, wL2w, wL2 =0.

Como existe um unico uH1(M) tal que J(u) =g temos que g e umautovalor simples.

Definicao 3.1.2. SejamMuma variedade diferenciavel fechada orientadan-dimensional, n3. Dada uma metrica Riemanniana g sobre M, denotamoso menor autovalor do operador 4

g+ sg por g e o volume deMem relacao

a esta metrica por volg. O invariante de Perelman de M e definidocomo

(M) := supg

gvol2

ng,

onde o sup e tomado sobre todas as metricas Riemannianas de M.

Teorema 3.1.3. SejamM eN variedades diferenciaveis e: M N umdifeomorfismo entao (M) = (N), ou seja, e um invariante por difeo-morfismos.

Demonstracao: Sejam{a1,...,ak} uma particao da unidade associadaao atlas (Ui, i) de M e{b1,...,bl} uma particao da unidade associada aoatlas (Vj, j) deN eg uma metrica Riemanniana sobre N. Entao o pullbackgde g define uma metrica Riemanniana sobre Me, por definicao, (M, g)e (N, g) sao isometricas. As formas de volume sao, respectivamente,

dvolg =

det(g)dx1 ... dxn

edvolg =

det(g)dy1 ... dyn.

Pelo teorema 1.2.8sg = sg. Alem disso, dados campos vetoriais X, Yem Mtemos, em Ui

1

(Vj),

g(X, Y) =g(dX, dY) =XTDTGDY

ondeG e a matriz da metrica,d e a derivada de e D e a matriz Jacobianode j 1i , entao

det(g) = det(D)

det(g).

Alem disso D = ((yi)

xj ), entao

(g)ij =

lr

xi

(yl ) glr x

j

(yr ) .

54


55/79

Portanto, para cada u

C(M) usando a formula de mudanca de

variaveis (teorema 4.0.4 em anexo) em Rn, temos:

Lg(u, u) =

M

4(gu)u + sgu2dg

=

M

4g(gradgu, gradgu) + sgu2dg

=

M

4g

u

xixi

(yl ) glr x

j

(yr )

xj,u

xixi

(yl ) glr x

j

(yr )

xj

+ sgu

2dg

= M

4g u(yl ) glr (yr ) , u(yl )glr (yr ) + sgu2dg=

ij

i(Ui1(Vj))

4g

u

(yl ) glr

(yr ) , u

(yl ) glr

(yr )

+sgu2

ai(bj )

1i det(D)

det(g)dx1...dxn

=

j

j(Vj)

4g

u

(yl ) glr

(yr ) , u

(yl )glr

(yr )

+s

gu

2 1 1j (bj 1j )det(g)dy1...dyn.Por outro lado temos

u

(yi ) = limt0 u 1 (yi)1(y1,...,yi+ t,...,yn) = (u

1)y i

.

Tambem temos que o vetor (yf) pode ser visto como a classe de equivalencia

da curva 1 1j (yf)1 : R M, onde yf : R Rn e dada poryf(t)p= (y1,...,yf+t,...,yn), pela relacaokl se, e somente se, (jk)(0) =(j l)(0). Assim d([1 1j (yi)1]) = [1j yi] = y . Assim:

g

u

(yl )glr

(yr ) , u

(yl )glr

(yr )

=

=g

d

(u 1)

y l glr

(yr )

, d

(u 1)

y l glr

(yr )

=

=g

(u 1)

y l glr

yr,(u 1)

y l glr

yr

.

55


56/79

Portanto

Lg(u, u) =

N

4g(gradg(u 1), gradg(u 1)) + sg(u2 1)dg=Lg(u 1, u 1).

Alem dissoM

u2dg =

M

u2

det(g)dx1 ... dxn

=

ij i(Ui1(Vj))(ai(bj )u2) 1i det(D)

det(g)dx1...dxn

=

j

j(Vj)

[bj(u2 1)] 1j

det(g)dy1...dyn

=

N

(u2 1)dg

eM

dg =

M

det(g)dx1 ... dxn

= ij i(Ui1(Vj))[ai(bj )sg] 1i det(D)det(g)dx1...dxn=

j

j(Vj)

bj 1j

det(g)dy1...dyn

=

N

dg.

Deste modo para cada uC(M) temos outra funcaou 1 C(N)tal que Jg(u1) = Jg(u). Da g g, mas 1 : N M e umdifeomorfismo, entao g g (analogo ao que fizemos acima) = g =g. Portanto para cada g em N temos outra metrica g em M tal queg =g. Da(M)(N), mas1 :NM e um difeomorfismo, entao(N)(M) (analogo ao que fizemos acima) =(M)(N).

56


57/79

3.2 Problema de Yamabe

Seja (M, g) uma variedade Riemanniana suave fechada conexa orientavelde dimensao n3 (escreveremos apenas variedade Riemanniana). Conside-remos o conjunto (M) de todas as metricas Riemannianas sobre M (quenao e vazio, pois toda variedade Hausdorff com base enumeravel admite aomenos uma metrica Riemanniana [3]). Podemos definir sobre este conjuntoa relacaocomog g g=ug para algumau : M R+ de classeC.Esta e uma relacao de equivalencia pois

gg pois a funcao 1 :MR+

, dada por 1(x) = 1 e de classe C. gh =hg pois u: M R+ de classe C =1/u: M R+ e

de classe C entao h= ug =g = 1u

h.

g h i = g i pois h = ug e i = vh implica em i = (uv)g euv: M R+ e de classe C.

Definicao 3.2.1. Definimos aclasse conformede uma metricag(M)como

= [g] ={g(M)|gg}.Se g, g dizemos que g e conformal a g e que e uma classe conformesobreM.

Em [14] Yamabe conjecturou que:Problema de Yamabe: Para toda variedade compacta Riemanniana(M, g)de dimensao n 3, existe uma metrica conforme a g, denotada por g, decurvatura escalar constante.

Ao tentarmos formular este problema em termos de EDP chegamos a umaequacao que relaciona o operador de Laplace-Beltrami e a curvatura escalarcom a curvatura escalar de uma metrica gconforme a g. De fato:

Suponha que (M, g) e uma variedade riemanniana compacta conexa dedimensaon3. Qualquer metrica gconforme ag pode ser escrita na formag = u4/(n2)g para alguma funcao real u suave em M. Denotando r = 4

n2e usando a equacao 1.8 temos que os smbolos de Christoffelmij da metrica

57


58/79

sao dados por

mij = 12 k

xigjk +

xjgki

xkgij

gkm

=1

2

k

xi(urgjk) +

xj(urgki)

xk(urgij)

urgkm

=1

2

k

ur

xigjk +

xjgki

xkgij

urgkm

+1

2 k

xiurgjk +

xjurgki

xkurgij

urgkm

=1

2

k

xi

gjk +

xjgki

xkgij

gkm

+1

2ru1

k

u

xigjkg

km + u

xjgikg

km uxk

gijgkm

=mij +1

2ru1

jm

u

xi+ im

u

xj

k

u

xkgijg

km

.

Teorema 3.2.2. Se (M, g) e uma variedade Riemanniana de dimensao n,

g e uma metrica conforme ag, com g= urg, r = 4n2 ,g e o Laplacianoem relacao a metrica g, sg a curvatura escalar de (M, g) e sg a curvatura

escalar de(M, g) entao

gu+ n 24(n 1)sgu=

n 24(n 1) sgu

n+2n2 .

Demonstracao: Pela equacao 1.10 da curvatura em termos dos simbo-

58


59/79

los de Christoffel temos

sg =ijlm

gijmij llm mlj lim+ xl (lij) xi (llj)

=ijlm

urgij

xl

lij+

1

2ru1

jl

u

xi+ il

u

xj

k

u

xkgijg

kl

xi

llj+

1

2ru1

jl

u

xl+ ll

u

xj

k

u

xkgljg

kl

+ mij +12 ru1 jm uxi + im uxj ku

xk gijg

km.

llm+

1

2ru1

ml

u

xl+ ll

u

xm

k

u

xkglmg

kl

mlj +1

2ru1

jm

u

xl+ lm

u

xj

k

u

xkgljg

km

.

lim+

1

2ru1

ml

u

xi+ il

u

xm

k

u

xkgimg

kl

=ur ijlm

gij xl lij xi llj + mij llm mlj lim+

r

2

ijklm

urgij

xl

u1

jl

u

xi+ il

u

xj u

xkgijg

kl

xi

u1

jl

u

xl+ ll

u

xj u

xkjk

+

r

2

ijklm

ur1

mij gijml

u

xl+ mij g

ijllu

xm mij gij

u

xkglmg

kl

+r

2 ijklm

ur1 llmgijjm uxi + llmgijim uxj llmgij uxk gijgkm r

2

ijklm

ur1

mlj gijml

u

xi+ mlj g

ijilu

xm mlj gij

u

xkgimg

kl

r

2

ijklm

ur1

limgijjm

u

xl+ limg

ijlmu

xj limgij

u

xkgljg

km

59


60/79

+r2

4

ijklm

ur2

jmu

xigijml

u

xl+ jm

u

xigijll

u

xm jm u

xigij

u

xkglmg

kl

+r2

4

ijklm

ur2

imu

xjgijml

u

xl+ im

u

xjgijll

u

xm im u

xjgij

u

xkglmg

kl

+

r2

4

ijklm

ur2

u

xkgljg

kmgijmlu

xl+

u

xkgljg

kmgijllu

xm

ru

xk

gljgkmgij

u

xr

glmgrl

r2

4

ijklm

ur2

jmu

xlgijml

u

xi+ jm

u

xlgijil

u

xm jm u

xlgij

u

xkgimg

kl

r

2

4

ijklm

ur2

lmu

xjgijml

u

xi+ lm

u

xjgijil

u

xm lm u

xjgij

u

xkgimg

kl

r

2

4

ijklm

ur2

u

xkgljg

kmgijmlu

xi+

u

xkgljg

kmgijilu

xm

u

xkgljg

kmgiju

xkgimg

kl=ursg+

r

2

ijklm

urgij

xj

u1

u

xi

+

xi

u1

u

xj

xl

u1

u

xkgijg

kl

xi

u1

u

xj+ n

u

xj u

xj

+

r

2

ijklm

ur1

lijgiju

xl+ nmij g

ij u

xm kijgij

u

xk+ lljg

ij u

xi

+

r

2 ijklm ur1

llig

ij u

x

j

nllmg

km u

x

k

lljg

iju

x

i

mij g

ij u

x

m+

r

2

ijklm

ur1

mlmu

xkgkl lijgij

u

xl lilgij

u

xj+ llm

u

xkgkm

60


61/79

+r2

4

ijklm

ur2

giju

xiu

xj + ngij

u

xiu

xj gij u

xiu

xj

+

r2

4

ijklm

ur2

giju

xju

xi+ ngij

u

xju

xi gij u

xju

xi

+

r2

4

ijklm

ur2

gkmu

xku

xm+ ngkm

u

xku

xm gkm u

xku

xm

r2

4 ijklm ur2

gij u

xj

u

xi+ gij

u

xi

u

xj

ngkl

u

xl

u

xk

r2

4

ijklm

ur2

n2giju

xju

xi+ gij

u

xju

xi gij u

xju

xi

r

2

4

ijklm

ur2

giju

xju

xi+ ngkm

u

xku

xm giju

xiu

xj

=ursg+

r

2

ijklm

ur

2(n 1)u2gij uxj

u

xi 2(n 1)u1gij

2u

xjxi

u1gijgkl

gij

xl

u

xknu1

gkl

xl

u

xk +

r

2

ijklm

ur1

(n 1)mij gij u

xm (n 1)lligij

u

xj

+

r2

4

ijklm

ur2

(n2 + 3n 2)gijuxi

u

xj

=ursg+

r

2

ijklm

ur

2(n 1)u2gij uxj

u

xi 2(n 1)u1gij

2u

xjxi

u1gkl jjl + iil

u

xknu1 glikli giklli

u

xk +

r

2

ijklm

ur1

(n 2)mij gij u

xm (n 2)lligij

u

xj

+

r2

4

ijklm

ur2

(n2 + 3n 2)gijuxi

u

xj

Onde usamos o corolario 2.2.10.

61


62/79

sg =ur1sg+

r

2

ijklm

ur

2(n 1)

mij gij u

xm gij

2u

xjxi

+

r2

4

ijklm

ur2

2(n 1)

1 +2

r

gij

u

xiu

xj

=ursg+

r

22(n 1)ur1gu.

Portanto

sgur+1 =sgu+4(n 1)n 2 gun 2

4(n 1) sgun+2n2 =

n 24(n 1) sgu+ gu.

Teorema 3.2.3 (Problema de Yamabe (formulacao EDP)). Seja(M, g)uma variedade Riemanniana de dimensaon3. O problema de Yamabe temsolucao se, e somente se, existemu C(M), u > 0 emM e R taisque gu+ n 2

4(n 1) sgu= un+2n2 . (3.2)

Demonstracao: (=) Se o problema de Yamabe tem solucao existeuma metrica g=u

4

n2 gondeu : M R+ e suave tal que a curvatura escalarde (M, g) e constante entao, pelo teorema anterior 3.2.2, temos

gu+ n 24(n 1) sgu=

n 24(n 1) sgu

n+2n2 =u

n+2n2 ,

com = n24(n1)

sg

constante.

(=) Se existem u C(M), u > 0 em M e R que satisfazem aequacao 3.2 entao, para a metrica g=u

4n2 g que e conforme a g, temos

un+2n2 =gu+ n 2

4(n 1) sgu= n 24(n 1) sgu

n+2n2 ,

entao, comou >0, n24(n1)sg = portantosg e constante.

62


63/79

Tinhamos um problema geometrico e o transformamos em um problema

de EDP. Vamos dar a formulacao variacional deste problema.

Definicao 3.2.4. Sejam (M, g) uma variedade Riemanniana,a classe con-forme de g e p= 2n

n2 .Definimos Q : R do seguinte modo: para cada metrica g = up2g

conforme a g definimos

Q(g) :=

M

sgdg

M

dg

2

p

.

Tambem definimos Qg :{u: M R+, uC(M)} RcomoQg(u) :=Q(u

p2g).

De agora em diante usaremos p = 2nn2 . Pelo teorema 3.2.2, denotando

E(u) :=

M

4

n(n2)(u)u+ sgu2

dg, temos

Qg(u) =Q(up2g) =

M

sgdg

Mdg2p

=

M

4(n1)

n2 (gu)un+2n2 + sgu

4n2

u

2nn2 dg

Mu

2nn2 dg

2p

=E(u)

u2p.

Teorema 3.2.5. Uma funcao u : M R+ de classe C(M) e um pontocrtico deQg se, e somente se, satisfaz a equacao 3.2 com=

E(u)upp , ou seja,

gu+ n 24(n

1)

sgu=E(u)

u

pp

un+2n2 .

Demonstracao: Pelo metodo usual do calculo variacional, usando ageneralizacao do binomio de Newton

(x + y)z =

k=0

1

k!

k1j=0

(zj)xzk(y)k,

63


64/79

tomando uma funcao v

C(M) e denotando

= 1

t(Q(u+ tv)

Q(u))

temos

=

M4(n1)

n2 g(u+ tv)(u+ tv) + sg(u+ tv)2dgt

M(u+ tv)pdg

2p

M4(n1)

n2 (gu)u+ sgu2dgt

Mupdg

2p

=

M

updg

2p

M

4(n1)n2g(u+ tv)(u + tv)dg

t Mupdg

2

p

M(u+ tv)pdg

2

p

+

M

updg 2p

Msg(u+ tv)

2dg

t

Mupdg

2p

M(u + tv)pdg

2p

M

(u+ tv)pdg

2p

M

4(n1)n2 (gu)u+ sgu2dg

t

Mupdg

2p

M(u + tv)pdg

2p

=

M

updg

2p

M

4(n1)n2g(u)u + 2tg(u)v+ t2g(v)vdgt

Mupdg

2p

M(u+ tv)pdg

2p

+ M updg2

p

Msgu2 + 2tsguv+ t

2sgv2dg

t M

updg 2p M(u + tv)pdg 2p

M

k=2

1

k!

k1j=0

(p j) upk(tv)k + up

+pup1tv dg 2p .

M

4(n1)n2 (gu)u+ sgu2dg

t

Mupdg

2p

M(u+ tv)pdg

2p

=

M

updg

2p

M

4(n1)n2g(u)u + 2tg(u)v+ t2g(v)vdgt Mu

pdg2

p

M(u+ tv)pdg

2

p

+

M

updg 2p

Msgu2 + 2tsguv+ t2sgv2dg

t

Mupdg

2p

M(u + tv)pdg

2p

64


65/79

M

up +pup1tv d 2

p

+

l=1

1

l!

l1i=0

2

p i

M

up +pup1tv d 2

pl

M

k=2

1

k!

k1j=0

(p j) upk(tv)k dl

. M 4(n1)n2 (gu)u+ sgu2dgt

Mupdg

2p

M(u + tv)pdg

2p

=

M

updg

2p

M

4(n1)n2 g(u)u+ 2tg(u)v+ t2g(v)vdgt

Mupdg

2p

M(u + tv)pdg

2p

+

M

updg

2p

M

sgu2 + 2tsguv+ t

2sgv2dg

t

Mupdg

2p

M(u+ tv)pdg

2p

M

upd

2

p

+2

p Mupd

2

p1

pt

Mup1v d

+

r=2

1

r!

r1s=0

2

p s

M

up d

2pr

p

M

up1tv dr

+

l=1

1

l!

l1i=0

2

p i

M

up +pup1tv d 2

pl

M

k=2

1

k!

k1j=0

(p j) upk(tv)k dl

. M 4(n1)n2 (gu)u+ sgu2dgt

Mupdg

2p

M(u + tv)pdg

2p

.

Note que somente os dois primeiros dos termos negativos nao apresentamfatortx, comx2 entao

65


66/79

d

dtQ(u + tv)

0

=limt0

Q(u + tv) Q(u)t

=

M

2 4(n1)n2 g(u)v+ 2sguvdg

Mupdg

2p

2

M

upd

1 M

up1v d

.

M

4(n1)n2 (gu)u + sgu2dg

Mupdg

2p

=2M4(n1)

n2 g(u) + sgu upp E(u)un+2n2

vdg

Mupdg 2pComo v e qualquer de classe C(M) temos que u e um ponto crtico de

Qg se e somente se

4(n 1)n 2 g(u) + sgu

E(u)

upp un+2n2 = 0.

Existe uma constante c > 0 tal queu2 cup (pela desigualdadede Holder). Por outro lado M e compacta entao

|s

g| e limitada por uma

constante k entao

Qg(u) =E(u)

u2p=

1

u2p

M

4(n 1)(n 2) g(gradu, gradu) +sgu

2

dg

1u2p

M

sgu2dg ku

22

u2p kc2.

Assim, podemos definir a constante de Yamabe como segue:

Definicao 3.2.6. Seja M uma variedade fechada suave orientada de di-mensao n 3. A cada classe conforme sobre M podemos associar onumero Y, chamado constante de Yamabe da classe , definido como

Y= infg

M

sgdgM

dgn2

n

. (3.3)

Se existir uma funcao u tal que Qg(u) = Y entao Y e um valor crticode Qg, portanto u

p2g e uma metrica conforme a g de curvatura escalarconstante E(u)upp . A prova da existencia de tal funcao e devida aos trabalhosde Yamabe, Truddinger, Aubin e Schoen, uma demonstracao completa distoe um panorama historico da solucao pode ser visto em [7].

66


67/79

Definicao 3.2.7. Uma metrica g tal queM

sgdgM

dgn2

n

=Y,

onde e a classe conforme de g, e dita um minimizante de Yamabe.

Lema 3.2.8. SejaM uma variedade diferenciavel fechada conexa suave dedimensao n3. Seg e uma metrica Riemanniana sobreMcom curvaturaescalarsg0 constante entao g e um minimizante de Yamabe.

Demonstracao: Se g e uma metrica e c >0 entao g =cg e conforme

a g e os coeficientes da conexao (Simbolos de Christoffel) sao

mij =12 k

xicgjk +

xjcgki

xkcgij

1

cgkm

=1

2

k

xigjk +

xjgki

xkgij

gkm = mij .

Assim a curvatura escalar e

sg

= ijlm gij mij llm mlj lim+ xl (lij) xi (llj)=

ijlm

1

cgij

mij

llm mlj lim+

xl(lij)

xi(llj)

=

1

csg.

Portanto

Q(g) =

M

sgdg

Mdg2

p

=1c

M

sgcn2 dg

Mc

n2 dg

n2n

= c

n22

M

sgdg

cn22

dissertação geometria riemanniana

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