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Dispositivos fotónicos baseados em grafeno para
comunicações ópticas
Carlos Manuel Tavares Cabeças
Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Orientadores: Prof. Dr. Paulo Sérgio de Brito André
Prof. Dra. Maria Rute de Amorim e Sá Ferreira André
Júri
Presidente: Prof. Dr. José Eduardo Charters Ribeiro da Cunha Sanguino
Orientador: Prof. Dr. Paulo Sérgio de Brito André
Vogal: Prof. Dr. António Luís Campos da Silva Topa
Novembro de 2015
i
Abstract
In this thesis we study the propagation of optical signals in graphene-silicon based structures. Graphene,
a two dimension monoatomic layer of carbon atoms has been, in the last couple of years, the focus of
many research teams in the optical communications’ area. Graphene offers several advantages over
other common materials as one can easily manipulate its optical properties and integrate it in common
propagation structures as silicon-on-insulator waveguides. Due to these assets there has been a huge
increase in literature studies regarding graphene-based transformation optics and several devices like
modulators, polarizers, optical detectors, filters and many others have already been developed.
In our work we start by studying the main optical properties of graphene as well as obtaining its
dispersion model for the electric constant over the spectrum of frequencies used in optical
communications. Graphene’s computer model is then transferred onto a microstrip silicon waveguide in
order to perform several numerical simulation studies. The performance of this optical device, working
as a modulator, will then be evaluated and compared with other non-graphene-based modulators.
The monolayer graphene modulator studied in this thesis is able to achieve very good performances (It
is shown that with a modulator 40 m long we are able to achieve a 5,6 dB modulation depth for the
spectrum between 1350 and 1430 nm), comparable of those ones achieved in non-graphene-based
modulators but with significantly less size requirements, making predictable a fast adoption of this type
of devices by the manufacturers as soon as the production of high quality graphene sheets becomes
available at a competitive price.
Keywords
Graphene; optical modulator; optical communications; integrated optics
ii
iii
Resumo
Nesta dissertação, foi estudada a propagação de sinais ópticos em guias de silício cobertos com
grafeno. O grafeno, uma camada bidimensional monoatómica de átomos de carbono, tem sido alvo de
grande interesse e investigação, no âmbito das comunicações ópticas, devido à facilidade de
manipulação das suas características ópticas, mas, também, pela fácil integração com estruturas de
propagação comuns, tais como os guias de onda de silício. Por esta razão, muitos dispositivos de
transformação de sinais ópticos baseados em grafeno foram reportados recentemente na literatura, tais
como, moduladores, polarizadores, detectores ópticos, filtros, entre outros.
Foi realizado um estudo teórico das principais propriedades ópticas do grafeno bem com um modelo
de dispersão para a permitividade eléctrica adequado à gama espectral do infravermelho próximo.
O modelo computacional de uma monocamada de grafeno é utilizado num guia microstrip de silício e
é avaliado o desempenho do dispositivo que assume a função de modulador óptico, recorrendo ao
método numérico das diferenças finitas. Os resultados obtidos mostraram que é possível com um
modulador com 40 m de comprimento, obter uma profundidade de modulação de aproximadamente
5,6 dB na região espectral compreendida entre 1350-1430 nm.
Constata-se que o modulador óptico à base de grafeno permite atingir desempenhos comparáveis aos
dos dispositivos que não fazem uso deste material mas com requerimentos de dimensão muito
inferiores, fazendo prever que a sua adopção em larga escala será possível, assim que a sofisticação
dos métodos de fabrico possibilite a produção de folhas de grafeno de elevada pureza a um custo
competitivo.
Palavras-chave
Grafeno; modulador óptico; comunicações ópticas; óptica integrada
iv
v
Agradecimentos
O trabalho desenvolvido nesta dissertação não podia ter sido realizado sem a ajuda de todas as
pessoas que deram o seu contributo, directo ou indirecto, durante as várias fases do seu
desenvolvimento.
Em primeiro lugar gostaria de agradecer ao meu orientador de dissertação, o professor Dr. Paulo Sérgio
de Brito André por toda a dedicação e pela constante ajuda prestada, mas também pela inspiração que
me passou, o que me motivou para desenvolver sempre um melhor trabalho.
Gostaria também de agradecer a todos os meus colegas que me acompanharam desde o início da
minha jornada no Técnico, pela sua amizade e pelo espírito de camaradagem que desde o primeiro dia
marcaram a minha experiência na instituição.
À minha família gostava também de agradecer todo o apoio, incentivo e paciência que sempre
demonstraram nesta fase da minha vida.
vi
vii
Índice
Abstract ............................................................................................................................................. i
Resumo ............................................................................................................................................iii
Agradecimentos ................................................................................................................................v
Índice ............................................................................................................................................... vii
Lista de figuras ................................................................................................................................ix
Abreviaturas .....................................................................................................................................xi
Lista de Símbolos .......................................................................................................................... xiii
1. Introdução ..................................................................................................................................1
1.1. Motivação ..........................................................................................................................1
1.2. Estado da Arte ...................................................................................................................2
1.2.1. Exemplos de aplicações ........................................................................................3
1.3. Contribuições originais .......................................................................................................6
1.4. Organização da tese ..........................................................................................................6
2. Fundamentação teórica.............................................................................................................7
2.1. Condutividade do grafeno ..................................................................................................7
2.2. Permitividade eléctrica ..................................................................................................... 11
2.3. Interacção luz-grafeno ..................................................................................................... 14
3. Implementação numérica ........................................................................................................ 21
3.1. Plataforma Silicon on insulator ......................................................................................... 21
3.2. Análise modal .................................................................................................................. 23
3.3. Métodos numéricos ......................................................................................................... 29
4. Resultados ...................................................................................... Erro! Marcador não definido.
5. Conclusões e trabalho futuro ................................................................................................. 41
viii
ix
Lista de figuras
Figura 1 Esquema da estrutura tridimensional do modelador óptico (acima descrito). A folha de grafeno
está separada do guia de silício por uma camada de Al2O3 com 7 nm de espessura (não visível na
figura). Retirado de [24].......................................................................................................................4
Figura 2 Profundidade de modulação para diferentes tensões de controlo do dispositivo. Adaptado de
[24]. ....................................................................................................................................................4
Figura 3 Esquema de um polarizador em guia PLC (a) Filtro componente TM; (b) Filtro componente TE.
Adaptado de [28].................................................................................................................................5
Figura 4 (a) Bandas de energia no grafeno. A banda de condução e a banda de valência partilham 6
pontos discretos, designados por pontos K ; (b) a banda de energia na proximidade do ponto K tem
a forma aproximada dum espectro de energia de uma partícula de Dirac sem massa. Retirado de [31].
...........................................................................................................................................................8
Figura 5. (a) Condutividade interbanda (inter
); (b) condutividade intrabanda (intra
), para
1550 nm , 5 meV e T 300 K . ......................................................................................... 10
Figura 6 Condutividade total ( total ), para o comprimento de onda de 1550 nm . ............................. 10
Figura 7 Componente (a) real e (b) imaginária da condutividade total, na região espectral utilizada em
comunicações ópticas, para 5 meV e T 300 K . ...................................................................... 11
Figura 8 Permitividade eléctrica do grafeno na banda de frequências usada em comunicações ópticas
(a) componente real; (b) componente imaginária. .............................................................................. 12
Figura 9 Permitividade eléctrica do grafeno em função do potencial químico, para 1550 nm . ........ 13
Figura 10 Índice de refracção do grafeno, em função do potencial químico, para 1550 nm . .......... 13
Figura 11 Corte transversal do plano em estudo, com o grafeno caracterizado pela condutividade total
. ........................................................................................................................................................ 14
Figura 12 Esquema das secções transversais de guias SOI: guia ridge (à esquerda) e guia strip (à
direita). ............................................................................................................................................. 21
Figura 13 Esquema ilustrando a refracção e reflexão de um raio de luz numa interface entre dois meios
com valores de índice de refração diferentes. ................................................................................... 24
Figura 14 Esquema de propagação de um feixe óptico num guia planar assimétrico. ........................ 24
x
Figura 15 (a) Esquema do guia strip. (b) Decomposição do guia em dois guias planares imaginários,
utilizados para calcular o índice efectivo dos modos. ......................................................................... 27
Figura 16 Condições de propagação de um nanoguia strip. (A) Região multimodal; (B) Região
monomodal; (C) Região monomodal de polarização quasi-TE ou quasi-TM; (D) Região de corte. ..... 28
Figura 17 Célula de Yee [54]. As componentes do campo eléctrico encontram-se no meio das arestas
e as componentes do campo magnético no centro de cada face. ...................................................... 30
Figura 18 Esquema da secção transversal do modulador a simular. Sobre o guia é depositada uma
camada com 7 nm de espessura de 2 3Al O , representada a laranja. Sobre esta e sobre todo núcleo está
depositada um folha monocamada de grafeno (representada a tracejado). ....................................... 34
Figura 19 Secção transversal do modulador, com o perfil do modo fundamental TE propagado (a) c
0
e 1350 nm ; (b) c
0 e 1550 nm ; (c) c
0, 6 e 1350 nm ; (d) c
0, 6 e 1550 nm
. ........................................................................................................................................................ 35
Figura 20 Perfil transversal de propagação no modulador para o comprimento de onda de 1350 nm .
(a) No estado de corte, com c
0 eV apenas 26,7 % da luz é transmitida; (b) No estado de
transmissão, com c0, 6 eV é transmitida 96,4% da luz; (c) Potência do sinal óptico (u.a) ao longo da
estrutura relativamente ao sinal de entrada, para o potencial c0 eV . ........................................... 36
Figura 21 Índice efectivo do modo propagado no modulador, para um potencial químico c0 eV . . 37
Figura 22 Índice efectivo do modo propagado no modulador, para um potencial químico c0, 6 eV .
......................................................................................................................................................... 37
Figura 23 Espectro de atenuação do modulador no estado de corte e transmissão na gama espectral
usada em comunicações ópticas. ...................................................................................................... 38
xi
Abreviaturas
WDM Wavelenght-Division Multiplexing
SOI Silicon-on-Insulator
CMOS Complementary metal oxide semiconductor
BER Bit error rate
TE Polarização transversal eléctrica
TM Polarização transversal magnética
PLC Planar-lightwave-circuit
xii
xiii
Lista de Símbolos
n Índice de refracção
𝜆 Comprimento de onda
Condutividade superficial do grafeno
Frequência angular do sinal óptico
c Potencial químico
Fv Velocidade de Fermi
Constante de planck reduzida
( )E k Energia de Fermi
Taxa de espalhamento dos portadores
T Temperatura
e Carga do electrão
Bk Constante de Boltzmann
sn Densidade de portadores de carga
Espessura da camada de grafeno no modelo 3D
0 Permitividade eléctrica no vazio
xiv
1
1. Introdução
1.1. Motivação
O aumento de tráfego de dados nos últimos anos, impulsionado por um número crescente de
utilizadores ligados à internet e pela massificação do uso de dispositivos móveis, potenciou novos
desafios ao nível das redes de comunicação [1] [2]. A evolução natural dessas redes passou pela
implementação de sistemas ópticos, permitindo um aumento na capacidade de transporte de dados e
na abrangência geográfica [3]. Actualmente, os componentes optoelectrónicos utilizados nas redes de
comunicações ópticas não permitem dar resposta às necessidades de utilização, principalmente devido
a limitações de largura de banda e elevado consumo energético.
A transmissão de dados a médias e longas distâncias há muito que deixou de ser realizada
exclusivamente por via de condutores metálicos, os quais estão limitados a ritmos de algumas dezenas
de Mbit/s, para ligações com menos de uma dezena de quilómetros. Esta limitação resulta do efeito
pelicular que origina um aumento da resistência do condutor com a frequência do sinal eléctrico [4].
Como referido anteriormente, o transporte de dados a longa distância e com elevado ritmo binário é
quase todo assegurado por uma rede global de ligações de fibra óptica que permitiu criar uma nova
gama de serviços de telecomunicações. No entanto, o aumento de capacidade desta rede é inviável,
se o processamento dos dados não for realizado, também, na camada óptica [5].
As recentes tecnologias acessíveis economicamente, como a multiplexagem espectral dos sinais
ópticos (WDM), permitiram aumentar a capacidade de transmissão de cada fibra óptica (cerca de 20
Tb/s em sistemas comerciais [2]), levando a uma redução substancial dos consumos energéticos das
redes de transporte e distribuição de dados. Outro aspecto relevante é, também, a redução no número
de cabos de fibra óptica necessários para assegurar a transmissão, diminuindo o custo de operação e
de investimento.
Paralelamente ao desenvolvimento de fibras ópticas com reduzida atenuação e com grande
capacidade de transporte de informação a longas distâncias, tem existido um grande investimento na
investigação de uma nova geração de dispositivos optoelectrónicos. Este desenvolvimento tem
recorrido a técnicas e a materiais inovadores que permitirão dar resposta às exigências futuras dos
utilizadores, reduzindo, cada vez mais, o custo de transmissão e processamento por bit.
Uma das limitações dos dispositivos optoelectrónicos consiste na dificuldade em diminuir o tamanho
sem degradar as características eléctricas continuando a existir, numa perspectiva económica,
dificuldade em alterar os processos de fabrico à escala nanométrica de maneira a diminuir
continuamente o tamanho dos transístores.
2
No domínio óptico, também, existe uma limitação na redução da dimensão física, imposta pelo limite
de difracção dos sinais ópticos. No entanto, essa limitação pode ser ultrapassada com recurso às
propriedades dos polaritões de superfície [6] [7].
Os plasmões de superfície são oscilações colectivas de electrões que ocorrem na fronteira de
separação entre dois meios, cuja componente real da permitividade eléctrica apresenta sinais opostos
[8]. Caso um sinal óptico incida nessa fronteira e se acople com os plasmões de superfície, o resultado
é um campo electromagnético confinado descrito por quasi-partículas, designadas como polaritões de
superfície. O comprimento de onda efectivo desses polaritões de superfície é muito menor que o
comprimento de onda do sinal óptico, abrindo a possibilidade de reduzir a dimensão dos componentes
ópticos para algumas centenas de nanómetros [9]. Essa redução na dimensão dos dispositivos permite
elevar a velocidade de resposta e consequentemente, aumentar o ritmo de transmissão suportado.
Várias nano-estruturas plasmónicas metálicas foram demonstradas com aplicações na área das
comunicações ópticas [10], no entanto, como o campo electromagnético sofre uma elevada atenuação
nos metais nobres usados nestas estruturas, não foi possível estender a aplicação deste tipo de
dispositivos.
Para tirar partido de todas as potencialidades que se esperam da nova geração de componentes
ópticos, é necessária, muitas vezes, a integração de materiais com características inovadoras e
singulares, tais como o grafeno. As propriedades únicas do grafeno tornam-no um forte candidato a ser
integrado em aplicações de nanotecnologia. Este apresenta algumas propriedades ópticas
semelhantes às dos metais mas, ao contrário destes, pode propagar polaritões de superfície com
reduzida atenuação e, assim, originar uma redução drástica de tamanho destes elementos. Nos últimos
anos, têm havido enormes investimentos no mundo académico e empresarial com vista à integração
do grafeno [11], não só em dispositivos ópticos, mas em aplicações nos mais variados ramos da ciência,
da medicina e da engenharia genética até à exploração espacial [12].
1.2. Estado da Arte
Os dispositivos optoelectrónicos integrados numa rede de telecomunicações têm, usualmente, como
função detectar/emitir, guiar e manipular um campo electromagnético com uma gama de frequências
nas regiões espetrais do visível ou infravermelho [13]. Graças à integração nestes dispositivos de uma
grande variedade de materiais com as mais diversas propriedades, é, hoje, possível realizar
praticamente qualquer transformação dos sinais ópticos.
Este conjunto de propriedades é, igualmente, complementado por um vasto leque de geometrias que
permitem chegar a componentes com desempenhos elevados ao nível de atenuação [14]. Uma das
decisões mais importantes no projecto de dispositivos de óptica integrada consiste na escolha das
características do canal de propagação do sinal, ou seja, do guia de ondas. Este é constituído por um
3
núcleo com um índice de refracção superior ao índice de refracção da(s) zona(s) envolvente(s), sendo
a atenuação e o confinamento resultantes dos materiais escolhidos, das dimensões e da forma do guia.
Actualmente, o tipo predominante de guia usado neste tipo de dispositivos é designado por silicon-on-
insulator waveguide (SOI) [15], numa configuração em que, tipicamente, o núcleo de silício está assente
numa base de sílica e envolto por uma bainha de ar ou de sílica. Devido à grande diferença entre os
índices de refracção desses materiais 2
(n 3, 47 (Si), n 1, 44 (SiO ) e 1 (ar) ) , para um comprimento de
onda de 1550 nm [16] [17], obtém-se um confinamento elevado do sinal óptico.
Este tipo de guia apresenta atenuação reduzida, na ordem dos 0,01dB / cm [18] para as frequências
ópticas de interesse em telecomunicações, uma vez que a energia da banda de hiato do silício é
superior à energia dos sinais ópticos [19]. A principal vantagem do guia SOI resulta da sua
compatibilidade de fabrico com a tecnologia de fabrico de circuitos integrados CMOS [19], permitindo
assim, tirar partido do baixo custo de produção associado à maturidade da tecnologia CMOS. A
adopção por esta estratégia é, portanto, muito atractiva já que a maioria dos fabricantes não necessita
de realizar investimentos avultados, uma vez que já possui grande parte dos equipamentos de fabrico
nos seus laboratórios.
O grafeno é um material bidimensional (com 1 átomo de espessura), constituído por átomos de
carbono, organizados numa estrutura cristalina hexagonal [20]. O grafeno foi, pela primeira vez, isolado
em 2004, por Andre Geim e Konstantin Novoselov, da Universidade de Manchester, Reino Unido, por
meio de esfoliação mecânica de grafite [20], o que lhes viria a valer a atribuição do prémio Nobel da
Física, em 2010. De entre as propriedades do grafeno, as suas características a nível óptico são,
provavelmente, as que irão dar origem a mais aplicações práticas num futuro próximo [21]. Entre essas
propriedades destacam-se a elevada absorção da luz incidente perpendicularmente ao grafeno (
2,3 %por camada) [22] numa elevada região espectral, desde o visível até ao infravermelho e,
dependendo da transformação óptica que se pretenda realizar, as perdas reduzidas que o grafeno
apresenta quando o seu potencial químico é devidamente ajustado. O potencial químico do grafeno (e,
consequentemente, o seu comportamento a nível óptico), pode ser definido, tanto durante a sua síntese
(alterando a concentração de dopante), como posteriormente, aplicando uma tensão de porta aos
terminais de uma faixa do material. Graças ao curto período de recombinação dos portadores (na ordem
dos ps) o grafeno permite o fabrico de dispositivos com frequências de operação de centenas de GHz
[23].
1.2.1. Exemplos de aplicações
Os exemplos de aplicação do grafeno, no ramo das comunicações ópticas são diversos. Liu et al. [24]
demonstraram o funcionamento de um modulador óptico capaz de operar na região espectral
compreendida entre 1350 e 1600 nm. Apresentando uma área activa de 25 µm², num guia com um
comprimento total de 40 µm, foi atingida uma largura de banda de modulação (a -3 dB) de 1,2 GHz e
4
uma profundidade de modulação de 0,1 dB / µm. O dispositivo consiste numa camada de grafeno
colocada sobre um guia de silício, com uma camada intermédia de 2 3
Al O com 7 nm de espessura, tal
como ilustrado na figura 1. A aplicação de uma tensão eléctrica entre os eléctrodos (um em contacto
com o grafeno e o outro em contacto com o guia se silício) resulta na alteração no nível de Fermi do
grafeno, alterando assim o seu coeficiente de absorção. O desempenho do dispositivo, em função da
tensão de controlo, está representado na Figura 2.
Verificou-se que para tensões inferiores a 1 V o nível de Fermi está abaixo da energia de transição
interbanda, estando, assim, os electrões indisponíveis para as transições interbanda. Para tensões
entre 1V e 3,8 V, o nível de Fermi encontra-se perto do ponto de Dirac, pelo que é possível ocorrerem
transições interbanda, tornando o grafeno num material com elevada absorção com um valor que pode
atingir 0,1 dB / µm para um comprimento de onda de 1530 nm. Para valores de tensão superiores a 3,8
V, os electrões passam a ocupar todos os estados de transição possíveis, pelo que os fotões deixam
de ser absorvidos. Foi este o mecanismo de controlo explorado para operar o modulador electro-óptico.
Posteriormente, o mesmo grupo estudou a realização de um modulador com dupla camada de grafeno
que permitiu aumentar a eficiência atingindo-se uma profundidade de modulação de 0,16 dB / µm [25].
Figura 1 Esquema da estrutura tridimensional do modelador óptico (acima descrito). A folha de grafeno está
separada do guia de silício por uma camada de Al2O3 com 7 nm de espessura (não visível na figura). Retirado de
[24].
Figura 2 Profundidade de modulação para diferentes tensões de controlo do dispositivo. Adaptado de [24].
0
0,5
1
1,5
2
2,5
Categoria 1Pro
fundid
ade d
e m
odula
ção
[dB
/µm
]
Tensão de controlo [V]
5
Kim e Choi [26] demonstraram experimentalmente um polarizador óptico para o comprimento de onda
de 1310 nm. Foi transmitido um sinal óptico com um ritmo de 2,5 Gb/s num guia PLC (planar-lightwave-
circuit), representado na Figura 3, sobre a qual foi colocada uma folha de grafeno. Dependendo da
densidade de portadores de carga, o grafeno pode suportar polarização TE (Transversal eléctrica) e
TM (Transversal magnética), podendo assim polarizar a luz, através da eliminação de uma das suas
componentes. Na ausência de uma camada de polímero depositada sobre o grafeno, apenas é
suportada a propagação do modo TE. Quando o polímero é depositado, as propriedades eléctricas do
grafeno são alteradas e apenas se propaga o modo TM. Para a primeira configuração conseguiu-se
uma razão de extinção de 10 dB e para a segunda configuração de 19 dB.
Baseando-se no mesmo princípio Bao et al. [27] fabricaram um polarizador, a partir da deposição de
uma folha de grafeno sobre o núcleo de uma fibra óptica, cuja parte superior da baínha foi cortada e
removida. Obteve-se, assim, um dispositivo que filtra a componente TM da luz com um valor de
atenuação suplementar da componente TM, em relação à componente TE, de 27 dB, para um guia
com cerca de 4 mm de comprimento.
Figura 3 Esquema de um polarizador em guia PLC (a) Filtro componente TM; (b) Filtro componente TE. Adaptado de [28].
Neste trabalho, pretende-se estudar as propriedades ópticas do grafeno, bem como desenvolver um
modelo das características ópticas (permitividade eléctrica) que permitam o estudo, em simuladores
comerciais baseados em FDTD (Finite difference time domain), de componentes optoelectrónicos
baseados neste material.
Substrato
Grafeno
Núcleo
Polarização TE
Cobertura ar
Cobertura
polímero
Polarização TM
6
1.3. Contribuições originais
Nesta tese as contribuições originais estão divididas em duas etapas:
Numa primeira fase, com base no estudo teórico das propriedades ópticas do grafeno e do respectivo
modelo de condutividade eléctrica, foi modelada uma monocamada de grafeno num software de
simulação comercial, usando o método das diferenças finitas. Para tal, foi utilizado um modelo
aproximado para a permitividade eléctrica (derivado do modelo da condutividade eléctrica),
representativo do comportamento do grafeno na gama de frequências usada em comunicações ópticas.
Numa segunda fase, o grafeno previamente modelado é incorporado num modulador óptico onde a
absorção óptica é definida por ajuste do potencial químico do grafeno, permitindo, assim, criar os dois
estados de operação do modulador (um estado de absorção mínima e um estado de absorção máxima
do sinal óptico). Posteriormente, foi feito um estudo dos resultados da simulação numérica e realizada
uma avaliação do desempenho do modulador óptico.
1.4. Organização da tese
Esta tese está dividida em cinco capítulos, organizados pela seguinte ordem:
- Capítulo 2 – São apresentadas as principais propriedades ópticas do grafeno, relevantes no estudo
de dispositivos ópticos.
- Capítulo 3 – São realizadas as contribuições originais, através dos estudos necessários à
implementação do modelo computacional.
- Capítulo 4 – É simulado o modelo computacional do modulador óptico e feita uma análise do seu
desempenho.
- Capítulo 5 – Conclusões com base nos principais resultados obtidos no capítulo 4 e é dada uma
perspectiva dos possíveis trabalhos futuros, a ser desenvolvidos nesta área.
7
2. Propriedades ópticas do grafeno
Neste capítulo, são apresentadas as propriedades mais relevantes do grafeno no contexto dos
dispositivos fotónicos e que servirão de base para a simulação numérica realizada no capítulo 4. A
interacção de sinais ópticos com o grafeno está intimamente relacionada com o comportamento dos
portadores de carga. Assim, começa-se por descrever o modelo de condutividade do grafeno, a partir
da qual se deriva a permitividade eléctrica a ser usada na simulação numérica.
2.1. Condutividade do grafeno
As propriedades eléctricas do grafeno são consequência da estrutura das suas bandas de energia. As
bandas de energia do grafeno têm forma cónica apresentada na Figura 4, podendo ser representadas,
para os estados de energia mais baixos, pela seguinte equação de dispersão [29] :
2 2
F x yE( ) v k k k (1)
onde 6
Fv 10 m / s é a velocidade de Fermi e x y
(k , k )k é o vector de onda bidimensional da estrutura,
cuja norma corresponde ao número de onda. No grafeno, a relação energia-momento dos electrões é
linear, para um largo intervalo de energias. Como consequência, os electrões e lacunas no grafeno
apresentam um comportamento característico de partículas sem massa com uma velocidade de Fermi
independente da energia [30].
8
(a) (b)
Figura 4 (a) Bandas de energia no grafeno. A banda de condução e a banda de valência partilham 6
pontos discretos, designados por pontos K ; (b) a banda de energia na proximidade do ponto K tem
a forma aproximada dum espectro de energia de uma partícula de Dirac sem massa. Retirado de [31].
O grafeno pode ser modelado como uma camada de espessura infinitesimal, com duas faces,
caracterizada por uma condutividade superficial c( , , ,T) , onde representa a frequência
angular, c o potencial químico, o factor de amortização dos portadores associada às impurezas
(que se assume independente da frequência) e T , o valor da temperatura absoluta. A expressão para
a condutividade, assumindo a ausência de um campo magnético externo (como resultado o valor da
condutividade é isotrópico), resulta da fórmula de Kubo [32] [33] :
2
d d d d
total c 2 2 2 2
0 0
f ( ) f ( ) f ( ) f ( )je ( j2 ) 1( , , ,T) d d
( j2 ) ( j2 ) 4( / )
(2)
onde e é a carga do electrão,c B 1
d
( )/k Tf ( ) (e 1)
é a distribuição de Fermi-Dirac e
Bk é a constante
de Boltzmann. O potencial químico do grafeno, c , é determinado a partir da densidade de portadores
de carga, sn [33]:
s d d c2 2
F 0
2n [f ( ) f ( 2 )]d
v
(3)
Existem dois processos principais de absorção na interacção grafeno-luz: )i a absorção intrabanda e
)ii a absorção interbanda, que correspondem, respectivamente, ao 1º e 2º membros da equação (2).
9
A componente intrabanda, derivada a partir de (2) é dada por:
c B
2/k TcB
int ra c 2
B
e k T( , , ,T) j 2ln(e 1)
( j2 ) k T
(4)
Assumindo B ck T | |, , a componente interbanda da condutividade é dada pela seguinte
aproximação:
2
cint er c
c
2 | | ( j2 )e( , , ,T) j ln
4 2 | | ( j2 )
(5)
As relações entre os valores da condutividade intrabanda, interbanda e o potencial químico estão
representadas na Figura 5, para o comprimento de onda de 1550 nm Na Figura 6 ilustra-se a
condutividade total em função do potencial químico. O potencial químico c equivale ao nível mais
elevado de energia ocupado pelos electrões. Para o grafeno puro, c tem um valor nulo uma vez que
apenas existem electrões na banda de valência. Como referido anteriormente, o valor do potencial
químico pode ser alterado, quer por ajuste dos níveis de dopante, quer pela aplicação de uma tensão
eléctrica entre o grafeno e o substrato sobre o qual está depositado, ou, frequentemente, por uma
combinação destes dois métodos, tornando possível que a condutividade e, consequentemente, a
absorção óptica assumam uma gama larga de valores [24]. Verifica-se que para o caso do potencial
químico nulo, apenas as transições interbanda contribuem de forma relevante para o valor da
condutividade.
A Figura 7 amostra a condutividade complexa total em função do potencial químico e do comprimento
de onda, cobrindo a região espectral usualmente utilizada em comunicações ópticas. Quando o
potencial químico é superior à energia de transição interbanda ( / 2 0,4 ), todos os estados de
excitação possíveis já estão ocupados pelos electrões, pelo que a absorção dos fotões incidentes
diminui de forma abrupta [34]. No decorrer deste trabalho será sempre usado o valor 5 meV para
o factor de amortização dos portadores associado às impurezas, obtido por Zhao et al. [35].
10
(a) (b)
Figura 5. (a) Condutividade interbanda (inter
); (b) condutividade intrabanda (intra
), para
1550 nm , 5 meV e T 300 K .
Figura 6 Condutividade total ( total ), para o comprimento de onda de 1550 nm .
11
(a) (b)
Figura 7 Componente (a) real e (b) imaginária da condutividade total, na região espectral utilizada em
comunicações ópticas, para 5 meV e T 300 K .
Verifica-se que, para um determinado comprimento de onda, o ajuste do potencial químico no grafeno
dá origem a uma gama larga de amplitudes e a várias configurações da componente real e imaginária
da condutividade do material, permitindo assim aumentar o leque de aplicações baseadas no uso do
grafeno. Estas características ópticas do grafeno são válidas para toda a região espectral usada em
comunicações ópticas.
2.2. Permitividade eléctrica
As propriedades ópticas dos sólidos estão fortemente ligadas às propriedades das suas estruturas
electrónicas. Para efeitos de simulação, usando o método das diferenças finitas, é necessário que todos
os elementos constituintes do domínio a ser simulado sejam caracterizados pela sua dimensão e índice
de refracção. O grafeno, por apenas apresentar duas dimensões espaciais não obedece ao critério
anterior. Assumindo que o modelo da condutividade a duas dimensões no grafeno pode ser convertido
num modelo de condutividade a três dimensões [36]:
total3D total / (6)
12
onde é a espessura da camada de grafeno que se considera pequena o suficiente para representar
com precisão o modelo do material. A condutividade eléctrica e a permitividade eléctrica no grafeno
são relacionadas através do modelo de Drude [9]:
total
0
( ) 1j
(7)
onde 0 é a permitividade eléctrica no vazio. A espessura da camada de grafeno, no decorrer de todo
este trabalho, será assumida como 0,7 nm [24]. A modelo da permitividade eléctrica do grafeno, em
função do potencial químico, está represento na Figura 8 para comprimentos de onda entre 1200 nm e
1600 nm e na Figura 9 para o comprimento de onda de 1550nm.
(a) (b)
Figura 8 Permitividade eléctrica do grafeno na banda de frequências usada em comunicações ópticas
(a) componente real; (b) componente imaginária.
13
Figura 9 Permitividade eléctrica do grafeno em função do potencial químico, para 1550 nm .
Considerando que o grafeno apresenta uma permeabilidade magnética unitária, obtém-se o seguinte
perfil para o índice de refracção do grafeno:
Figura 10 Índice de refracção do grafeno, em função do potencial químico, para 1550 nm .
Verifica-se na Figura 10 a existência de três regiões da componente imaginária do índice de refracção.
A primeira região, entre 0 e 0,3 eV, onde as perdas do grafeno apresentam um valor elevado mas,
aproximadamente, constante; a 2ª região, correspondente ao pico de absorção máxima e a terceira
14
região, entre 0,5 e 0,6 eV onde a absorção é mínima. Nos estudos a realizar, no capítulo 3 são utilizados
dois valores para o potencial químico do grafeno (0 eV e 0,6 eV). Apesar de para o potencial químico
de 0,4 eV, a componente imaginária do índice de refracção ser maior que no potencial de 0 eV e,
consequentemente, a absorção óptica do grafeno, adoptou-se uma posição conservadora, uma vez
que em muitos dos trabalhos da literatura o valor que se verifica em 0,4 eV é menor. Tendo, também,
em conta que o grafeno puro e sem tensão aplicada apresenta um potencial de 0 eV decidiu adoptar-
se este potencial químico para definir o estado de absorção máxima do modulador, resultando num
consumo energético nulo para o estado em que este está “em corte”.
2.3. Interacção luz-grafeno
Por forma a compreender a interacção do grafeno com um campo electromagnético, é necessário
calcular a solução das equações de Maxwell, especificamente as soluções para as componentes TE e
TM do campo electromagnético. Neste trabalho, as expressões dos campos electromagnéticos são
obtidas através de funções diádicas de Green, representadas como integrais de Sommerfeld e o estudo
é feito com base no trabalho de George Hanson [33], salvo mencionado o contrário.
Apesar de, até à data, apenas terem sido fabricadas folhas de grafeno com algumas dezenas de
micrómetros de dimensão, na abordagem tomada, considera-se o grafeno como um plano infinito,
intercalado entre dois planos dieléctricos igualmente infinitos. Os efeitos de difracção electromagnética
nos bordos do grafeno podem ser desprezados, pelo menos para dimensões na ordem dos
micrómetros. Na Figura 11 está representado um esquema do sistema em estudo, em que o grafeno se
encontra no plano x z e entre dois dieléctricos caracterizados por 1 1, (y 0) e
2 2, (y 0)
, sendo que qualquer destes parâmetros pode ser complexo.
Este método permite um primeiro estudo das propriedades electromagnéticas do grafeno e a
determinação das soluções exactas das equações de Maxwell para um modelo de condutividade
arbitrário.
1 1,
2 2,
Figura 11 Corte transversal do plano em estudo, com o grafeno caracterizado pela condutividade total .
Para o plano em estudo, os vectores do campo eléctrico e magnético numa região i podem ser
expressos por [37]:
z
y total
15
(i) (i)2i
( ) (k ) ( ) E r r (8)
(i) (i)i
( ) j ( ) H r r (9)
onde i i i
k corresponde ao número de onda e (i)( ) r ao potencial de Hertz na região i .
Assumindo que a fonte de corrente se encontra na região 1, tem-se:
(1)(1) p s p s
1 1 1 1
1
( ')( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d '
j
J r
r r r g r,r' g r,r' (10)
(1)(2) s s
2 2
1
( ')( ) ( ) ( ) d '
j
J rr r g r,r' (11)
onde o underscore é referente a uma quantidade diádica e uma corrente de suporte. A função
diádica de Green para o meio 1 é dada por:
1
1
(2)jk Rp y y' 0p
1
1
H (k )e 1g ( ) e k dk
4 R 2 4p
r,r' I I (12)
onde 2 2 2
i i ip k k ,
2 2( x ') ( )x z - z' e 2 2R ( )y - y' r-r' em que
pk corresponde ao
número de onda radial e I à unidade diádica. A função diádica de Green pode ser obtida
considerando as seguintes condições fronteira.
s
1 2 e( ) y H -H J (13)
s
1 2 m( ) y E -E J (14)
onde Js
ee J
s
msão as correntes de superfície eléctrica e magnética na fronteira entre os dieléctricos.
Considerando o modelo do grafeno não sujeito a um campo magnético e seguindo a metodologia
apresentada na referência [38], resultando [33]:
s s s s
1 n c tˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) g ( ) g ( ) ( g ( )
x z
g r,r' yy r,r' yx yz r,r' xx+zz) r,r' (15)
onde os integrais de Sommerfeld são dados por:
1p (y y')(2)
0 ps
p p
1
H (k )e1g ( ) R k dk ; t,n,c
2 4p
r,r' (16)
com
16
H2
1 2 2t 2 H
1 2 2
N (k , )M p p jR
M p p j Z (k , )
(17)
2 1 2E1 2
1n E
2 1 21 2
1
p pN p p
N (k , )jR
p p Z (k , )N p p
j
(18)
22 2 2
1
1
c H E
p M2p (N M 1)
jR
Z Z
(19)
Onde 2
2 1N e
2
2 1M .
A função diádica para a região 2, s
2( )g r,r' , tem a mesma forma que na região 1 mas os integrais de
Sommerfeld são dados por:
2 1p y p y'(2)
0 ps
p p
1
H (k )e e1g ( ) T k dk ; t,n,c
2 4p
r,r' (20)
com
t 1t 2 2 2 H
(1 R ) 2pT
N M N Z
(21)
1 n 1
n E
2
p (1 R ) 2pT
p Z
(22)
2 2 11
1
c 2 H E
p2p (N M 1)
jT
N Z Z
(23)
Os coeficientes de reflexão e transmissão obtêm-se considerando k 0 nas equações (17) e (21).
O campo longínquo na região 1, ou seja, o campo reflectido, é obtido a partir de (16), [33]. Tem-se
assim, para o campo reflectido, 1jk yr ˆ ˆ ˆ ˆe ; ,
E x y , onde o coeficiente de reflexão
tR (k 0)
. Analogamente, o campo longínquo na região 2, ou seja, o campo transmitido é dado
por 2jk yt ˆTe E , com o coeficiente de transmissão T (1 ) . Tem-se assim:
17
2 1 1 2
2 1 1 2
(24)
2
t
2 1 1 2
2T (1 R )
(25)
onde i i i
é a impedância de onda na região i .
Partindo das equações (17) - (19) e (21) - (23), a equação de dispersão para o campo TE, para a
direcção de propagação é dada por:
H 2
1 2 2Z (k , ) M p p j 0
(26)
Para o campo TM tem-se:
E 2 1 2
1 2
1
p pZ (k , ) N p p 0
j
(27)
sendo 2 2
0 0 0k o número de onda no vazio e tendo em conta que
2 2 2 r r r r
2 1 0 1 1 2 2p p k ( ) , onde
r
n
e r
n correspondem, respectivamente, à permeabilidade magnética e à permitividade eléctrica relativas
dos dieléctricos e para o caso em que 1 2
r r a equação de dispersão para uma polarização TE (26)
é calculada em função da constante de propagação radial:
2r r 2 2 2
r 1 2 r 0 rp 0 r 1
0 r
( )k k
2
(28)
Para o caso mais geral, em que 1 2
r r , tem-se:
2
r r 2 r r 2 4 2 r r r r
p 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 24 2
1k k M ( ) (M 1) ( )
(M 1)
(29)
Verifica-se igualmente que:
0 00
jp Im jRe
2 2
(30)
Verifica-se, assim, que para total
Im 0 não existe propagação, mas para total
Im 0 , é permitida
a propagação [39].
18
Para uma polarização TM, calcular k
em função das características dos dieléctricos é mais complicado
do que para o caso da polarização TE, por isso, considera-se o modelo de grafeno no vazio, ou seja,
r r r r
1 2 1 21 . Assim tem-se [33]:
2
0
0
2k k 1
(31)
0 00 2
j2 2p Im jRe
(32)
Como resultado de (31) e (32), para uma polarização TM verifica-se que para total
Im 0 é possível a
propagação do campo mas para total
Im 0 essa propagação já não é suportada.
Conclui-se assim, a partir dos resultados anteriores, que existe propagação de um campo TE se
total
Im 0 e propagação dum campo TM se total
Im 0 . Estes resultados são válidos para o grafeno
no vazio ou para dieléctricos homogéneos [33]. Para o caso em que total
Im 0 , não existe
propagação de nenhuma das componentes do campo.
De maneira a melhor compreender as diferenças na propagação dos modos TE e TM em
presença do grafeno, é necessário saber qual o grau de confinamento que cada um destes apresenta.
O grau de confinamento pode ser aferido definindo um comprimento de atenuação, , comprimento
esse que corresponde à distância à qual o campo em análise se encontra diminuído de um factor de
1 e relativamente à sua amplitude inicial. Continuando a considerar o caso de grafeno inserido num
meio dieléctrico homogéneo e fazendo a normalização em relação ao comprimento de onda, tem-se:
TE
total
total
1, Im 0
Im
(33)
2TM
total
total
total
, Im 04 Im
(34)
Analisando a Figura 7, para o comprimento de onda de 1550 nm, verifica-se que total
Im 0 para
c0,09 0,48 eV , o que implica que apenas se propaga a componente TE do campo. No
entanto, apenas se verificam valores elevados de confinamento na proximidade do potencial químico
19
de 0, 4 eV , uma vez que é nesse intervalo que a componente imaginária da condutividade apresenta
um valor mais elevado. No resto do intervalo em que total
Im 0 , o grau de confinamento do modo TE
é reduzido e este é não dissipativo e ligeiramente amortecido.
Para c0 0,09 eV e
c0,48 0,6 eV apenas se propaga a componente TM do campo.
No primeiro intervalo, o confinamento do campo na superfície do grafeno é reduzido e este é
ligeiramente amortecido e rápido, ou seja,TM
0k / k 1
. No segundo intervalo, o elevado valor da
componente imaginária da condutividade leva a que em todo o intervalo haja um confinamento elevado
do campo face à superfície do grafeno.
20
21
3. Modulador óptico baseado em
grafeno
Neste capítulo é estudada a estrutura de um modulador óptico, construído sobre uma plataforma silicon-
on-insulator, sobre a qual é depositada uma tira de grafeno. O desenho e simulação do dispositivo foi
implementado com recurso a ferramentas computacionais e o grafeno modelado com base nas
propriedades descritas no capítulo anterior.
3.1. Plataforma Silicon on insulator
A configuração padrão de um circuito do tipo SOI consiste num núcleo de silício assente sobre uma
camada de isolamento de sílica2(SiO ) , cuja função é servir de isolamento óptico entre o núcleo e o
substrato de silício que se encontra na camada inferior, necessitando uma espessura mínima, para
garantir que o campo eléctrico evanescente do sinal não penetre o substrato. Sobre o núcleo de silício
pode ainda estar uma outra camada, tipicamente sílica, para isolamento, redução da contaminação do
núcleo e uniformização do confinamento. Na Figura 12 está representado o corte transversal dos dois
tipos mais comuns de estruturas SOI (sem a camada de sílica sobre o núcleo):
y 0
Figura 12 Esquema das secções transversais de guias SOI: guia ridge (à esquerda) e guia strip (à direita).
22
Como referido anteriormente, o contraste elevado entre os valores dos índices de refracção do núcleo
e da zona envolvente ( 2, para um comprimento de onda de 1550 nm) [16], permite que o campo
eléctrico esteja confinado no núcleo, e requer, para garantir um regime de propagação monomodal, o
fabrico de guias com secções transversais reduzidas [40]. Como resultado os guias SOI apresentam
poucas perdas de curvatura. No caso dos guias strip, para raios de curvatura superiores a 5 m ,
essas perdas por curvatura são aproximadamente nulas, enquanto que, no caso dos guias planar-
lightwave-circuit de sílica, que apresentam um baixo contraste para o índice de refracção, os valores
do raio de curvatura que possibilitam perdas de propagação reduzidas rondam os 2 mm [41]. Para o
caso dos guias ridge típicos o raio de curvatura que permite uma atenuação negligenciável varia entre
os 200-600 m [42].
Apesar da redução dimensão dos circuitos ópticos ser desejável, o elevado índice de perdas que podem
apresentar, o nível de precisão do processo de fabrico e a dificuldade de acoplamento com as fibras
ópticas, inerente às reduzidas dimensões dos guias são alguns dos desafios que precisam de ser
ultrapassados [41].
Um dos factores preponderantes para a atenuação é o espalhamento registado nas paredes do guia,
causado pela rugosidade das mesmas [43], pelo que processos de fabrico precisos são essenciais para
tornar viável o uso deste tipo de guias. A atenuação por espalhamento são qualitativamente descritas
pelo seguinte modelo [44]:
2 22
2
rn
dx
E
E (35)
onde r corresponde à amplitude da rugosidade da interface, E ao campo eléctrico e n o contraste
entre os índices de refracção dos dois meios. A título de exemplo, para um guia strip com uma secção
quadrada de 300 nm, uma redução na amplitude da rugosidade das paredes de 10 nm para 5 nm levou
a uma redução das perdas de 60 dB/cm para apenas 13 dB/cm [45]. Uma rugosidade rms de 1-2 nm
permite obter perdas de cerca de 3 dB/cm, valor ainda muito superior ao apresentado pelos guias PLC,
de sílica, no entanto, estes últimos apresentam dimensões do guia na ordem dos milímetros, enquanto
que, os guias SOI equivalentes têm cerca de 100 m , pelo que se pode dizer que, o valor absoluto
de atenuação em ambos os guias é equivalente [41]. As restantes contribuições para a atenuação estão
associadas com a perda de confinamento do campo para o substrato e à absorção intrínseca do núcleo.
No entanto, estes dois efeitos podem ser mitigados. O primeiro através do uso de wafers com aumento
da camada de isolamento de sílica [46] e o segundo através da utilização de silício com baixa
concentração de dopantes.
Os problemas associados às elevadas perdas no acoplamento destes guias com outros circuitos,
geralmente fibras ópticas, são uma consequência da elevada diferença de dimensões que o perfil dos
modos ocupa em cada guia, sendo, por isso, necessário realizar uma adaptação da energia da fibra
23
para o guia SOI, através de conversores spot-size, permitindo reduzir as perdas de acoplamento para
cerca de 0,5 dB, para comprimento de onda de 1550 nm [45]. Por falta de relevância, neste trabalho
não será feita uma análise dos mecanismos de acoplamento do guia com circuitos exteriores.
Apesar do estudo de ambas as estruturas SOI acima mencionadas ser de grande interesse neste
trabalho, como os guias ridge apresentam dimensões muito superiores quando comparados com os
guias strip, principalmente quando são impostos limites à sua birrefringência, tal resulta num esforço
computacional muito elevado [47] [48], optou-se por analisar apenas o guia strip.
Uma importante consequência das limitações computacionais acima mencionadas poderá, também,
ser o aumento da atenuação no guia, uma vez que a espessura da camada de isolamento de sílica é
limitada e, consequentemente, a transferência de energia do sinal óptico para o substrato aumentará.
Neste caso, sob o ponto de vista de esforço computacional, e tendo em conta a colectânea de dados
da literatura apresentada por Thourhout et al. [41] será sempre mais vantajoso aumentar ligeiramente
a secção transversal do núcleo do que aumentar a espessura da camada de isolamento óptico. Nos
estudos da literatura relacionados com guias SOI apresentados nas referências desta tese são usadas
espessuras de 1 3 m .
3.2. Análise modal
É possível descrever muitos dos fenómenos de propagação modal sem recorrer à resolução das
equações de Maxwell, partindo de modelos mais simples, como o modelo de feixe (raios) ópticos, que
tem como base a lei de Snell. Este modelo é usado para descrever a propagação do sinal óptico na
interface entre dois meios com índices de refracção diferentes.
Considerando que um feixe do sinal se propaga num meio com índice de refracção 1n e que incide na
superfície de um outro meio, com índice de refracção 2n , com um ângulo
1 em relação ao plano
normal a essa superfície. Esse feixe será parcialmente reflectido, com um ângulo igual ao de incidência
e parcialmente transmitido para o segundo meio, com um ângulo de refracção 2 , tal como ilustrado
na Figura 13. A lei de Snell é dada pela seguinte relação [49]:
1 1 2 2n sen n sen (36)
24
2n
2
1n 1
1
Figura 13 Esquema ilustrando a refracção e reflexão de um raio de luz numa interface entre dois
meios com valores de índice de refração diferentes.
Para ângulos de incidência superiores ao ângulo crítico, não haverá transmissão para o segundo
meio, mas apenas reflexão total no meio 1. O ângulo crítico corresponde a um ângulo de limite, dado
por:
2
c
1
nsen
n (37)
Considere-se, agora, a existência de um terceiro meio debaixo do primeiro, com índice de refracção
3 2n n formando assim o guia planar (assimétrico), representado na Figura 14, cuja relação entre
os índices de refracção origina reflexão total em ambas as interfaces. Está-se, então, perante um
caso de propagação guiada (ao longo do eixo z), com a luz confinada no meio 1, vulgarmente
designado de núcleo.
y x
2n z
hy
2
1 1
1y 0 n 0 1k n
hy
2 3n
Figura 14 Esquema de propagação de um feixe óptico num guia planar assimétrico.
25
A equação que descreve o ângulo de propagação 1 para o modo fundamental e para um estado de
polarização TE é dada por [49]:
2 2
2 2 321 1
1 11 1
0 1 1
1 1
nnsen sen
n nk n h cos tan tan
cos cos
(38)
onde 0
0
2k
corresponde à constante de propagação no vazio e h à espessura da camada onde se
propagada o sinal. Naturalmente, não existirá sempre uma solução analítica para esta equação, a
solução existirá sempre que o ângulo de propagação 1 for superior ao ângulo crítico de ambas as
interfaces.
A constante de propagação na direcção do eixo z , zk , traduz a velocidade de propagação de um
modo no eixo z, ou seja, a velocidade a que se propaga o sinal paralelamente ao eixo z, sem
existência de reflexões, num meio com um índice de refracção 1 1N n sen , variável a que se dá o
nome de índice efectivo do modo em questão. A constante de propagação é dada por:
z 0k Nk (39)
o modelo de feixes ópticos é frequentemente usado para descrever a propagação num regime onde a
espessura do núcleo é muito superior ao comprimento de onda do sinal. No entanto, para um núcleo
de dimensões reduzidas, apenas através do uso das equações da teoria electromagnética é possível
a obtenção de resultados práticos, permitindo um estudo dos modos. A equação que descreve o
campo electromagnético, assumindo a densidade de carga e a condutividade como nulas é
dada por [49]:
2
2
2t
EE (40)
onde e correspondem, respectivamente, à permeabilidade magnética e a permitividade
eléctrica do material. O operador Laplaciano é dado por 2 2 2
2
2 2 2x y z
.
26
A solução da equação (40) para modos TE, para o caso do guia planar, apenas tem uma componente
do campo no eixo x :
j z j t
x xE E (y)e e
(41)
Está-se então, na presença de um campo polarizado na direcção x , com uma variação no eixo y a
determinar, que se está a propagar no eixo com uma constante de propagação zk e uma variação
sinusoidal no tempo, associada ao termo j te .
Aplicando as condições de continuidade do campo eléctrico E e para a sua derivada y
E nas
interfaces tem-se a variação de campo no eixo y, para cada um dos meios:
x 2 y1
h hE (y) E exp k y , y
2 2
(42)
x 1 y1
h hE (y) E exp jk y , y
2 2 - (43)
x 3 y3
h hE (y) E exp k y , y
2 2
(44)
Onde o valor dos índices 1,2 e 3 são referentes aos meios que compõem o guia planar, representado
na Figura 14. Observa-se que, também, existe propagação de campo fora do núcleo (meio 1), a que
se dá o nome de campo evanescente.
Tendo efectuado o cálculo da constante de propagação do guia planar, é necessário considerar a
estrutura bidimensional do guia strip, através do índice efectivo. Para calcular as constantes de
propagação aproximadas do guia strip considera-se este como uma combinação de dois guias
planares, um guia simétrico para o plano horizontal e um guia não simétrico para o plano vertical. Em
primeiro lugar, para uma polarização TE é resolvida a equação (38) para o ângulo de propagação no
guia planar horizontal (eixo y), sendo o índice efectivo desse plano, effn , considerado como o índice
de refracção do núcleo, aquando do cálculo do índice efectivo do guia planar vertical (eixo x). Este
último cálculo será realizado através da resolução da equação dos modos TM, análoga à equação (38)
, uma vez que, relativamente a este guia planar vertical a polarização do campo é TM. Os passos a
tomar no caso de uma polarização TE estão esquematizados na Figura 15. Para uma polarização TM
o processo é análogo, mas as equações dos ângulos de propagação são resolvidas por ordem inversa.
27
y
2n x
1n h
3n w
(a) 1º Passo 2º Passo
2n
1n h 2 eff 2n n n
3n
(b) w
Figura 15 (a) Esquema do guia strip. (b) Decomposição do guia em dois guias planares imaginários,
utilizados para calcular o índice efectivo dos modos.
Devido à configuração geométrica do guia do tipo strip, apenas é possível chegar a expressões
aproximadas para as curvas que delimitam as regiões que apresentam características modais distintas,
em função das dimensões transversais do núcleo.
O facto de as dimensões da secção transversal do núcleo serem superiores aos comprimentos de onda
usados em comunicações ópticas, associado ao elevado contraste entre os índices de refracção do
silício (Si) e do ar, faz com que as aproximações escalares e quasi-vectoriais, usadas normalmente
em guias com secções transversais de maior dimensão e menores contrastes entre núcleo/zona
envolvente, não permitam obter parâmetros de acoplamento com o grau suficientemente precisos.
Usando a análise vectorial apresentada em [50] é possível fazer o estudo dos modos que se podem
propagar na estrutura, em função da sua dimensão. Definindo h como a altura do núcleo de silício e
w a correspondente largura, usando o método acima descrito obtêm-se a seguinte condição para a
propagação em regime monomodal, baseada na realização de medidas e simulações [51]:
11.93w 1.956wh 2.109e 0.7365e (45)
Para a propagação em regime monomodal com polarização única (quasi-TE ou quasi-TM) tem-se:
23.92w 0.8577wh 63.13e 0.2684e (46)
28
Por último, para a região de corte tem-se:
2h 1.894w 0.152w 0.3204 (47)
Na Figura 16 estão representadas as regiões com diferentes características modais, delimitadas pelas
funções descritas nas equações (45)-(47):
Figura 16 Condições de propagação de um nanoguia strip. (A) Região multimodal; (B) Região
monomodal; (C) Região monomodal de polarização quasi-TE ou quasi-TM; (D) Região de corte.
A partir da Figura 16, verifica-se a existência de 4 regiões. A região multimodal (A), a região monomodal
(B), que suporta os modos quasi-TE e quasi-TM, a região monomodal (C), que apenas suporta um dos
modos (quasi-TE ou quasi-TM), uma vez que as frequências de corte dos modos quasi-TE e quasi-TM
são diferentes. Dentro desta região, o controlo das dimensões do núcleo pode ser, por si só, usado
para fabricar um dispositivo que efectua a polarização de sinais ópticos [51]. Por fim, tem-se a região
(D), onde, devido às dimensões muito reduzidas é possível a propagação de nenhum modo guiado.
O facto de na Figura 16 a região (C) corresponder à propagação de modos quasi-TE ou quasi-TM,
não significa que na região monomodal (B) as propriedades de propagação sejam independentes da
polarização, aliás apenas em poucas configurações da dimensão dos guias a constante de
propagação é igual para ambos os modos.
29
3.3. Métodos numéricos
Na secção 2.3 foram calculadas as expressões das constantes de propagação resultantes da
perturbação introduzida pelo grafeno, quando este se encontra entre dois meios que constituem um
plano bidimensional. No entanto, o grafeno foi tratado como sendo uma camada bidimensional, de
espessura nula. Devido à complexidade geométrica do polarizador óptico a testar, é necessária uma
análise tridimensional do problema, pelo que, se torna substancialmente mais fácil recorrer ao uso de
métodos numéricos, fazendo uso do modelo tridimensional da condutividade apresentado em 2.2, que
trata o grafeno como um material com espessura e uma permitividade eléctrica ( ) dependente
da frequência e do potencial químico.
O método das diferenças finitas no domínio do tempo é um dos mais importantes métodos de análise
numérica usados em problemas de natureza electromagnética. Este método foi proposto em 1966 por
Kane Yee [52] como um método de resolução numérica rigorosa e sem aproximações da forma
diferencial das equações de Maxwell no domínio do tempo e do espaço (permite numa única execução
estudar uma grande gama de frequências), em que estas são substituídas por um conjunto de
equações diferença a ser resolvidas num sistema de coordenadas rectangulares bidimensional ou
tridimensional. O sistema tridimensional é, usualmente, designado de célula de Yee, representada na
Figura 17.
O princípio básico usado neste método permite que o campo eléctrico e o campo magnético sejam
simultaneamente resolvidos no tempo e no espaço. O valor do campo eléctrico num determinado ponto
do espaço e num determinado instante é dependente do seu valor anterior e da diferença entre os
valores do campo magnético calculados no instante anterior, em pontos adjacentes [53]. O cálculo do
campo magnético é análogo ao do campo eléctrico e este é dependente do seu valor no instante
anterior e a diferença entre os valores do campo eléctrico no instante precedente, em pontos
adjacentes. Todas estas componentes dos campos, em todos os pontos, são armazenadas em
memória.
30
Figura 17 Célula de Yee [54]. As componentes do campo eléctrico encontram-se no meio das arestas
e as componentes do campo magnético no centro de cada face.
O domínio espacial a ser simulado será composto do número de células de Yee que se considerar
necessário em cada região do espaço, para obter os resultados com o nível de precisão desejado.
Cada ponto desta célula está associado a uma localização no espaço, caracterizada pelos parâmetros
locais do material (Considerado isotrópico para o estudo aqui feito), pelo que, para cada ponto serão
calculadas as componentes do campo eléctrico e do campo magnético.
Como se pode verificar na Figura 17, cada componente do campo eléctrico está associada com quatro
componentes do campo magnético e cada componente do campo magnético está igualmente
associada com 4 componentes do campo eléctrico.
Para chegar a estas expressões do campo eléctrico e do campo magnético começa-se por enunciar as
equações de Maxwell na forma diferencial:
t
m
BE J (48)
t
e
DJH (49)
. 0 D (50)
. 0 B (51)
31
Para meios de propagação lineares, homogéneos e isotrópicos tem-se igualmente que . B H e
.D E . Considerando tanto as perdas eléctricas como as magnéticas tem-se:
m'. J H (52)
e .J E (53)
onde ' corresponde a uma resistência magnética. Substituindo as equações (52) e (53) e substituindo
em (48) e (49) tem-se:
1 '
. .t
HE H (54)¨
1
. .t
EH E (55)
Fazendo um posterior desenvolvimento das duas equações anteriores, chega-se às expressões para
cada uma das componentes do campo eléctrico e magnético. Para um ponto no espaço
(x i x, y j y,z k z) e no instante do tempo t (n 1) t tem-se [53] [55]:
i, j,kn 0.5 n 0.5n 0.5 n 0.5
y yz zn 1 ni, j,k i, j,k i, j 0.5,k i, j 0.5,k i, j,k 0.5 i, j,k 0.5
x xi, j,k i, j,ki, j,k i, j,k
i, j,k i, j,k
t t1
H HH H2.E .E .
t t y z1 1
2. 2.
(56)
i, j,kn n n n
y y z zn 0.5 n 0.5i, j,k i, j,k i, j,k 0.5 i, j,k 0.5 i, j 0.5,k i, j 0.5,k
x xi, j,k i, j,ki, j,k i, j,k
i, j,k i, j,k
' t t1
E E E E2.H .H .
' t ' t z y1 1
2. 2.
(57)
onde x, y, z correspondem às dimensões da célula de Yee e t o incremento temporal da
simulação a efectuar.
32
Como já referido, a escolha dos incrementos espaciais deve ser realizada de forma que garanta que o
campo electromagnético não varia significativamente entre células e que origina um algoritmo estável.
Uma vez que se está a trabalhar no domínio do tempo, deve ser estabelecido um limite superior para
o passo temporal do algoritmo máxt , estabelecido em função dos incrementos espaciais, a que se dá
o nome de condição de estabilidade de Courant-Friedrich-Levy [52] :
máx
2 2 2
1t t
1 1 1c
x y z
(58)
Cumprir esta condição é especialmente importante neste trabalho uma vez que o grafeno tem uma
espessura efectiva muito mais pequena que as restantes camadas e a escolha de um incremento
espacial não adequado leva a que a malha na região do grafeno não represente a camada com a
precisão geométrica necessária levando a resultados completamente diferentes dos obtidos nos
trabalhos da literatura.
33
4. Simulação numérica
Neste capítulo, descrevem-se os resultados referentes à simulação numérica de um modulador electro-
óptico, controlado por ajuste eléctrico do nível de Fermi de uma folha de grafeno. A estrutura do
modulador estudado tem como base o trabalho desenvolvido por Liu et al. [24], onde foi
experimentalmente demonstrado a operação de um dispositivo com 40 m de comprimento e 25 2
m
de área activa, operando com um ritmo de modulação superior a 1 GHz, e a operar na gama espectral
compreendida entre 1350 e 1600 nm. Foi conseguida uma profundidade de modulação máxima de 5.6
dB e a operar na gama espectral compreendida entre 1350 e 1600 nm. A estrutura tridimensional do
dispositivo estudado por Liu et al. está representada na Figura 1. No entanto, como hipótese
simplificativa, considerou-se que a camada de 50 nm de espessura de silício (usada para fazer a ligação
eléctrica entre um dos eléctrodos de ouro e o núcleo do guia) e a camada de 10 nm de platina (usada
para conectar um dos eléctrodos de ouro com a folha de grafeno) não interferem no perfil dos modos
propagados e portanto não serão incluídos no modelo desenvolvido neste trabalho, diminuindo-se
assim o esforço computacional requerido. Verificar-se-á que esta simplificação é razoável e permite
obter resultados idênticos aos observados e reportados em [24].
A secção transversal do modulador simulado encontra-se representada na Figura 18. Com o objectivo
de aumentar a eficiência de modulação, ou seja, aumentar a absorção do grafeno quando o modulador
se encontra no estado de corte, as dimensões do guia foram criteriosamente escolhidas, maximizando
no topo do guia a componente do campo eléctrico do modo propagado, aumentando assim a interacção
entre o campo evanescente e o grafeno, maximizando desta forma a eficiência de absorção.
As dimensões do núcleo de silício que permitem maximizar esta interacção são h 250 nm e
w 600 nm , respectivamente, para a altura e a largura [24]. Para a base de sílica foi escolhida uma
espessura sh 800 nm e uma largura sw 2 m minimizando os modos de fuga para o substrato, apesar
deste não se encontrar presente no modelo computacional. Uma vez que o núcleo e o grafeno se
encontram ligados a dois eléctrodos com uma diferença de potencial é necessário um isolamento
eléctrico entre os dois materiais, o que é conseguido através de uma camada de 2 3Al O com 7 nm de
espessura sobre todo o guia, sobre o qual depois será transferido mecanicamente o grafeno.
34
z
2 3Al O
y h
w
sh
sw
Figura 18 Esquema da secção transversal do modulador a simular. Sobre o guia é depositada uma camada com
7 nm de espessura de 2 3Al O , representada a laranja. Sobre esta e sobre todo núcleo está depositada um folha
monocamada de grafeno (representada a tracejado).
Pode verificar-se igualmente que o regime de propagação é monomodal recorrendo ao mode solver do
software comercial Lumerical 32 bit, condição confirmada pela análise das condições de propagação
monomodal para guias SOI, definidas na Figura 16 e estudadas em [51].
Uma vez que o grafeno apenas apresenta interacção com as componentes do campo eléctrico
tangenciais a si mesmo, o modulador aqui apresentado apenas suporta o modo fundamental TE, pelo
que, à semelhança dos moduladores baseados noutras tecnologias (electro-ópticos, por exemplo), o
desempenho deste dispositivo não é independente da polarização do sinal óptico.
Na Figura 19 está representado o perfil transversal do modo TE propagado, para os comprimentos de
onda de 1350 e 1550 nm e para os potenciais químicos que originam os valores extremos (máximo e
mínimo, respectivamente) de atenuação no guia, c
0 e c
0, 6 . Como o índice de refracção é
máxima para o potencial de 0 eV e mínima para o potencial de 0,6 eV (considerando que, para limitar
o consumo energético se limita o potencial químico a 0,6 eV).
Na Figura 20 está representado o perfil de propagação transversal do modulador, para o estado de
absorção c
( 0) e transmissão c
( 0, 6) . Na Figura 20 c) mostra-se a evolução espacial da potência
do sinal óptico ao longo da secção transversal do modulador.
Na Figura 21 e na Figura 22 estão representados os valores para o índice de refracção efectivo do
modo propagado, para a gama espectral utilizada em comunicações ópticas e para o potencial químico
usado no estado de absorção c
( 0) e transmissão c
( 0, 6) .
35
(a) (b)
(c) (d)
Figura 19 Secção transversal do modulador, com o perfil do modo fundamental TE propagado (a) c
0 e
1350 nm ; (b) c
0 e 1550 nm ; (c) c
0, 6 e 1350 nm ; (d) c
0, 6 e 1550 nm .
(a)
36
(b)
(c)
Figura 20 Perfil transversal de propagação no modulador para o comprimento de onda de 1350 nm . (a) No
estado de corte, com c
0 eV apenas 26,7 % da luz é transmitida; (b) No estado de transmissão, com c0, 6 eV
é transmitida 96,4% da luz; (c) Potência do sinal óptico (u.a) ao longo da estrutura relativamente ao sinal de
entrada, para o potencial c0 eV .
37
Figura 21 Índice efectivo do modo propagado no modulador, para um potencial químico c0 eV .
Figura 22 Índice efectivo do modo propagado no modulador, para um potencial químico c0, 6 eV .
Verifica-se que, para toda a gama de frequências em estudo a variação de potencial químico de 0 eV
para 0, 6 eV tem uma influência reduzida no perfil transversal do modo estudado. No caso do
modulador e assumindo o grafeno como um material linear e isotrópico, pode concluir-se que este
apenas influi na absorção do sinal óptico propagado com componente tangencial à folha, pelo que, para
o dispositivo em causa é essencial chegar a uma propagação modal que origine uma concentração
elevada de campo no topo do guia onde está depositado o grafeno.
Na vizinhança do comprimento de onda de 1430 nm existe uma alteração significativa (principalmente
na componente imaginária) e de carácter assimptótico do perfil do modo e do respectivo índice efectivo,
para ambos os potenciais químicos em análise e que tem como consequência que grande parte do
38
campo esteja confinado nas extremidades laterais do núcleo para comprimentos de onda superiores a
1430 nm, pelo que a absorção do grafeno para estes comprimentos de onda é bastante inferior
comparativamente aos comprimentos de onda entre 1350 e 1430 nm, uma vez que apenas as
extremidades da folha de grafeno interagem com uma porção significativa do campo. Este efeito
também é visível nos resultados experimentais obtidos em [24] mas com uma tendência oscilatória
devido a defeitos no grafeno.
Esta fraca interacção tem como consequência, para comprimentos de onda superiores a 1430 nm a
redução da absorção óptica para cerca de metade quando comparada à absorção máxima conseguida
para comprimentos de onda superiores. O desempenho do modulador na região espectral em estudo
está representado na Figura 23, para a configuração de corte ( c0 eV ) e transmissão ( c
0, 6 eV ).
São visíveis duas zonas de desempenho muito distintas entre si, ainda assim, em ambos os casos, os
valores de profundidade de modulação estão dentro do que é considerado como elevado desempenho,
especialmente se se tiver em conta que o modulador tem apenas 40 m de comprimento [56].
Figura 23 Espectro de atenuação do modulador no estado de corte e transmissão na gama espectral usada em comunicações ópticas.
O modulador simulado, com o comprimento de 40 m , apresenta uma profundidade de modulação
de aproximadamente 2,4 dB na região espectral compreendida entre 1430—1600 nm e 5,6 dB na região
espectral compreendida entre 1350-1430 nm, idêntico ao obtido experimentalmente para o dispositivo
desenvolvido por Liu et al. que serviu de base a este estudo [24]. O desempenho obtido
comparativamente com os moduladores ópticos baseados noutras tecnologias (electro-ópticos, por
exemplo), que apresentam profundidades de modulação superiores a 20 dB, é ainda inferior [57]. No
39
entanto, o modulador aqui estudado apresenta uma profundidade de modulação por unidade de
comprimento muito mais elevada que os moduladores planar-lightwave-circuit e uma vez que o modelo
considerado é linear e a estrutura de propagação uniforme podem inferir-se resultados para uma
mesma estrutura mais comprida, de maneira e obter uma maior profundidade de modulação.
40
41
5. Conclusões e trabalho futuro
Nesta dissertação, foram analisados vários aspectos relacionados com a interacção do grafeno com
sinais ópticos, em particular em guias de silício.
No capítulo 2 foi estudado o modelo bidimensional da permitividade eléctrica do grafeno. Verificou-se
que as propriedades ópticas deste material estão fortemente ligadas ao seu modelo de condutividade.
O grafeno revelou ser uma material cuja permeabilidade eléctrica é fácil de manipular, através do
controlo directo do potencial químico. No entanto, o factor mais atractivo foi o facto do seu
comportamento em termos ópticos se manter aproximadamente constante para todas as frequências
usadas em comunicações ópticas. No final do capítulo, foi, ainda, realizada uma análise mais detalhada
das dependências que o grafeno apresenta em função da polarização e provado que este pode servir
como filtro para um determinado tipo de polarização.
No capítulo 3, após uma pequena introdução ao guia SOI microstrip, foi feita uma análise da teoria
modal para o tipo de guia em questão e determinadas as condições que resultam num regime
monomodal para o modulador óptico que se deseja projectar. A condição monomodal requer uma
secção transversal do núcleo de apenas algumas centenas de nanómetros, devido ao grande contraste
dos índices de refracção do mesmo e do substrato/ar.
Os resultados das simulações numéricas realizadas no capítulo 4 demonstraram que o grafeno
possibilita o fabrico de moduladores com elevada profundidade de modulação por unidade de área
usando guias com geometrias simples e de baixo custo. A profundidade de modulação obtida foi
bastante variável para as diferentes frequências do espectro, mas tal facto deveu-se apenas à
intensidade do campo do modo propagado não estar igualmente concentrado na região próxima do
grafeno para todas as frequências em análise e assim a absorção também ser variável.
Um trabalho futuro neste tema poderá ter como ponto de partida um estudo mais detalhado do modelo
teórico da condutividade do grafeno, nomeadamente, ter em conta as propriedades anisotrópicas do
grafeno e os seus efeitos não lineares. O estudo da propagação dos polaritões de superfície no grafeno
será, certamente, um dos temas que permitirá melhor explorar todas as propriedades deste material
num contexto com interesse prático em futuras aplicações de dimensão reduzida.
42
43
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