Otimizao de Sistemas 1. Reviso de lgebra Linear 1.1 Matrizes 1.1.1. DefinioConjunto de elementos ordenados em forma retangular. Ex : ) (mxnA((((

6 5 1 09 4 7 18 3 1 2= A 1.1.2. Notao : Ex:. ( )((((

mn n11n 11a aa a= n xm ALM O ML

1.1.3. Matrizes Especiais a) Matriz nula :) ; ( , , 0 n j m i j i aij = . b) Matriz quadrada :n m=(ordem n). c) Matriz diagonal :n m = ,j i aij = , 0 . d) Matriz identidade (E ou I) : matriz diagonal com1,=i ia . e) Matriz simtrica :n m = ,j i a aji ij, , = . f) Matriz transposta de ) (mxnA : A (nxm), a aTijTji=g) Matriz triangular: j i aij> = 0 (superior) j i aij< = 0 (inferior). h) Matriz vetor: matriz) 1 (nx . 1.1.4. Operaes com matrizes a) Igualdade : ) ( ) ( mxn mxnB A = , sej i b aij ij, , = . b) Adio :j i b a cij ij ij mxn mxn mxn, ,) ( ) ( ) ( + = + = B A C . c) Multiplicao por uma constante :j i a bij ij mxn mxn, , . .) ( ) ( = = A B . d) Multiplicao de matrizes : ) ( ) ( ) ( mxp nxp mxnC .B A =onde c a . b , i, kik ij jkj 1n= = Notas :i)A B B A . . ii)A A E E A = = . . , onde) , () (nxnE A e) Propriedades das operaes com matrizes: 1.C) (B A C B) A + + = + + (2.A A A ) ( ) .( ) .( = =3.A B B A + = +4.) .( ) . ( ) . ( AB B A B A = =5.A A A + = + ) ( 6.B A B A + = + ) (7.(AB)C A(BC) =8.AC AB C) A(B + = +9.BC AC B)C (A + = + 1.1.5. Determinantes p a .a ....a1,1 2,2 n,n= n ,..., ,2 1sonmerosdistintos, k i .Essaseqnciaumapermutaodo conjunto} ,..., 2 , 1 { n .Uma"inverso"naseqncia n ,..., ,2 1acontececadavezque ,k i >parak i < . Ex :4 , 1 , 3 , 2 , , ,4 3 2 1= possui 2 inverses. O n de inverses de uma seqncia designado por) ,..., , (2 1 nN . Determinante de uma matriz A de ordem n a soma dos termos p obtidos por todas aspermutaespossveisdaseqncia n ,..., ,2 1,multiplicadospor(-1)elevadoao nmero de inverses das respectivas seqncias: = =n n, 2,2 1,1n) 1,..., N(...a .a .a 1) ( ) ( det A AEx :Aa a aa a aa a a11 12 1321 22 2321 32 33= = . . . ) 1 ( . . ) 1 ( . . ) 1 ( . . ) 1 ( . ) 1 ( . . ) 1 (23 32 11113 22 31333 12 21123 12 31213 32 21233 22 110a a a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + +

1.1.5.1. Propriedades dos determinantes a) Sei aij = 0ou0 det 0 = = A j aij (singular). b) ij ija b . = ,n j ,..., 2 , 1 =ouA B det . det ,..., 2 , 1 = = n i .c) B obtida pela permuta de duas linhas ou duas colunas de A det B = - det A. d) Sen j a akj ij,..., 2 , 1 , . = = ou0 det ,.., 2 , 1 , . = = = A n i a aik ij . e)Sen j a a bkj ij ij,..., 2 , 1 , . = + = ;k i ou ik ij ija a b . + = ; ,..., 2 , 1 n i = ; B A det det = k j . 1.1.5.2. Co-fator, menor complementar A ( 1) . Miji jij= + 1.1.5.3. Expanso do determinante em co-fatores nj nj j ej lj lj in in i i i iA a A a A a A a A a A a . ... . . ... . . det2 2 2 1 1+ + + + = + + + = A 1.1.6. Determinante de uma matriz triangular Aa a a0 a a0 0 aa .a a a0 a a0 0 aa .aa a a0 a a0 0 aa .a ...a11 12 1n22 2nnn1122 23 2n33 3nnn11 2233 34 2n44 3nnn11 22 nn= = = =LLM M O MLLLM M O MLLLM M O ML.1.1.7. "Rank" de uma matriz, r : Seja) (mxnA . Se: a) Existe pelo menos uma submatriz S de A, de ordem r, com0 det S ; b) Toda submatriz T de A, de ordemr rl> , possui0 det = T ; ento r o "rank", 1.1.8. Matriz inversa E AB BA A B = = =1 Notas : i) 1 1 1 = A B (AB)

ii)A cofA ATdet / ) (1=

1.2. Sistemas de equaes lineares - tratamento matricial 1.2.1. Converso = + + += + + += + + +n n nn 2 i2 1 n1i n in 2 i2 1 i11 n 1n 2 12 1 11b x a x a x ab x a x a x ab x a x a x aLM M M M M M M MLM M M M M M M ML A i-sima equao:a . x bik k ik 1n== (((((

=(((((

+ +(((((

n21nnn2n1n1n12111bbbaaaaaaM MLMx xb = + + +n nx A x A x A K2 2 1 1. .oub. Ax =1.2.2. Regra de Cramer ((((

= = =ni2 1 iiiA b A A detdetA ; xL L 1.2.3. Mtodo de Eliminao de Gauss - Jordan Consisteemdiagonalizaramatrizdoscoeficientes,atravsdeoperaes elementares na matriz aumentada:[ ] b A A_M= . As operaes elementares so: a) permuta de linhas; b) multiplicao de uma linha por uma constante; c)substituiodeumalinhaporseuvaloradicionadoaoutralinhamultiplicadaporuma constante. Ex : Resolva: 17 4 39 310 4 2 23 2 13 2 13 2 1= + += + += + +x x xx x xx x x A matriz aumentada : 4 x2 x5 x4 1 0 06 1 1 05 4 1 1AL2 / L12 2 2 04 1 0 05 2 1 1A1/2L L1/2L L1/2L17 4 3 19 3 1 110 4 2 2A321_23_1 31 21_== =((((

=((((

=((((

=MMMMMMMMM 1.3. Espaos Vetoriais 1.3.1. Conceitos e Notao Espao vetorial o conjunto de todos os vetores com nmero de coordenadas igual dimenso do espao. Ex.: O espao vetorialRm o conjunto de todos os vetores (pontos) com m coordenadas reais. 1.3.2. Combinao Linear Sejam mnR A A A ,..., ,2 1eR x xn ,...,1.Entob x .A x .A ... x .A1 1 2 2 n n= + + + um vetor doRm, chamado combinao linear dos vetores nA A A ,..., ,2 1. (((((

=(((((

+ +(((((

m21nmn2n1n1m12111bbbxaaaxaaaM MLM 1.3.3. Vetores Linearmente Independentes (L.I.) Se a equao vetorial: 0 = + + +n n x A x A x A . ... . .2 2 1 1 forsatisfeitaapenasquando0 ...2 1= = = =nx x x ,entoosvetores nA A A ,..., ,2 1soL.I. Casocontrrio,diz-sequeelessolinearmentedependentes(L.D.),isto,algumvetorAi pode ser obtido a partir de uma combinao linear dos demais vetores. Ex:((((

=((((

= = =200A ,003A 2, n 3, m2 1 0 x e 0 x000.x200.x0032 1 2 1= = ((((

=((((

+((((

Logo, 1Ae 2A so L.I.. 1.3.4. Dimenso de um espao vetorial umnmeroigualquantidademximadevetoresL.I.,pertencentesaoespao vetorial. 1.3.5. Base Um conjunto de vetores mnR e e e ,..., ,2 1constitui-se em uma base doRm se: a) Eles forem L.I. b) Qualquer vetor mR x puder ser obtido por uma combinao linear de mnR e e e ,..., ,2 1, isto ,n n e x e x e x x . ... . .2 2 1 1+ + + = . Pode-se provar que qualquer base deRm possui m vetores. Ex : ((((

=((((

=((((

=100e010e001e3 2 1, ,constituem-se em uma base doR3, pois: n n e x e x e x . ... . .2 2 1 1+ + +=((((

00003 2 1= = = x x x(L.I.). Se,100. x010. x001. xxxxx R x3 2 13213((((

+((((

+((((

=((((

= isto,xumacombinaolinearde 2 1, e e e3e . 1.3.6. Rank de uma Matriz Atravsdaexpansododeterminanteemco-fatores,pode-semostrarqueo"rank" de uma matriz (m x n) igual ao n mximo de colunas (ou de linhas) L.I. 1.3.7. Matriz Base Se) (mxnApossui m colunas L.I., ento a matriz quadrada[ ]jm j2 j1A A A L = B uma base de A e a equaob x A = .possui uma soluo para qualquer mR b . Ex : ((((

((((

=1 0 00 0 10 1 0= B base uma ossui1 5 0 0 60 2 0 1 20 3 1 0 4A p 1.3.8. Teorema Para ) (nxnA , so equivalentes as afirmaes: a) Existe 1 A. b) Rank de A igual a n. c) det 0 A . 1.4. Soluo do sistema, . b x A =sendo ) 1 ( ) 1 ( ) (, ,nx nx mxnb x Aen m< . Considere o sistema de equaes lineares: = + + += + + += + + +m n mn 2 m2 1 m1i n in 2 i2 1 i11 n 1n 2 12 1 11b x a x a x ab x a x a x ab x a x a x aLM M M M M M M MLM M M M M M M ML onden m< . Considerem A rank = ) ( . Ento, arbitrando-se os valores de) ( m n variveis, pode-se obter uma soluo. Para cada conjunto de valores arbitrado, obtm-se uma soluo distinta. 1.4.1. Soluo bsica Sejam ) (mxnA e[ ]jm j2 j1A , , A , A = B K umabasedeA.Paraqualquer mR b , uma soluo x tal que [ ] bxxxA A Ajmj2j1jm j2 j1=((((((

MKe0 =ixpara mj j i ,...,1 . chamada de soluo bsica do sistema. As variveis ijx so chamadas bsicas e as demais no-bsicas. Ex : O sistema: 14 x 2x 0x 0x 2x6 0x 2x 0x x 2x10 0x x x 0x 4x5 4 3 2 15 4 3 2 15 4 3 2 1= + + + += + + + = + + + + possui uma soluo bsica dada por : e 04 1= = x x .Segueque 62= x ,103 = x e 145= x .Oconjuntodasvariveisbsicas,para esta soluo, } , , {5 3 2x x x , cujos ndices formam o conjunto Base}. 5 , 3 , 2 {Outrasoluobsicapodeserobtida,atravsdeoperaes(transformaes) elementares na matriz aumentada do sistema, para se obter o conjunto Base: } 1 , 3 , 2 {38 x 8, x 7, x0, x P/ x7 1/2 1 0 0 18 1 4 0 1 038 2 3 1 0 0A1/2LL L2L L14 1 2 0 0 26 0 2 0 1 210 - 0 1 1 0 4A3 2 15 4_33 23 1_ = = == =((((

=((((

=MMMMMM O nmero mximo de solues bsicas possveis : 103!2!5!C53= = 1.4.2. Soluo compatvel bsica Considerequesoimpostasrestriessvariveisdosistemaanterior,dotipo: , 0 ix . 5 ,..., 1 = i Assoluesbsicasencontradasnosocompatveiscomarestrio acima.Soluesbsicasqueatendemsrestriesdedesigualdadesochamadasde solues compatveis bsicas. De uma maneira geral, tem-se: ((((

=((((

+((((

+((((

14610.x100.x001.x0105 3 2a . x b,i =1,..., mx 0,j =1,..., n (m< n)ij j ij 1nj== 1.5. Sistemas de Inequaes Lineares b A.x ou m 1,..., = i , b .x an1 ji j ij= Esse sistema pode ser transformado em um sistema de equaes lineares, atravs da introduo de novas variveis: a . x x b,i =1,..., mx 0ij j n i ij 1nn+i+ =+= Parab x A . , tem-se0,..., 1 , .1= = ++=i ni nnl jj ijxm i b x x a As variveis,i nx+, ,..., 1 m i = so chamadas variveis de folga. 1.6. Sistemas de Equaes Lineares com variveis no negativas + + + + + + + + +qq xk i n, 1,..., = i 0, x b x a x a x ab x a x a x ab x a x a x akim n mn 2 m2 1 m12 n 2n 2 22 1 211 n 1n 2 12 1 11LM M M M M M M MLL Aintroduodemvariveisdefolgatransformaosistemadeinequaesemum sistemadeequaes,conformemostradoanteriormente.Afimdetrabalharcomvariveis no negativas, substitui-sexk porx xk'k'' , sendo0 ' kxe0 ' ' kx . 1.7. Convexidade 1.7.1. Definio Diz-se que mR b uma combinao convexa dos vetores mnR A A A ,..., ,2 1se: n n 1 1A ... .A b + + =com := =n1 ii in 1,..., = i para 0 e 1 1.7.2. Interpretao geomtrica Ex1: Se 3A uma combinao convexa de 1Ae 2A , ento: ). ( ) (. .). 1 ( .2 1 2 32 2 1 32 1 3A A A AA A A AA A A = + = + = Isto : os vetores) (2 3A Ae) (2 1A Atm a mesma direo, j que. R Ex2 : 3 2 13 1 24 24 2 53 1 4)]. 1 ( [ ). 1 ( ). . (). 1 ( . . ). 1 (. ). 1 (. ). 1 (). 1 ( .A k A k A kA k A k A kA k A kA k A k AA A A + + = + + =+ =+ = + = Se1 0 e 1 0 k 1 1 k 01 1 01 k 1 01 k 0) ( Como 51 ) 1 ( ) 1 ( A k k k = + + uma combinao convexa de2 1, A A e.3A 1.7.3. Conjunto Convexo 1.7.3.1. Definio Seja mR C e C A A 2 1, , quaisquer. Seja 2 2 1 1A A b + = umacombinaoconvexade 1A e2A ,com12 1= + , 1 , 02 1 . Se C bC chamado de conjunto convexo. Ex: 1.7.3.2. Ponto extremo Aumpontoextremoseacondio 2 2 1 1A A A + = ,com 1 e 2 definidos anteriormente, implicar em 1A A = ou2A A = . 2. Modelos de Programao Linear (PL) 2.1. Conceitos a)Otimizao:alocaoderecursos,emgeral,limitadosentreatividades competitivas, procurando atender a um certo objetivo. A minimizao de custos ou a maximizao de lucros. Em grande parte dos casos prticos, esse objetivo pode serexpressoporumafuno,chamada"funoobjetivo"ou"funocusto",ou ainda de "funo critrio". b)Restries:soaslimitaesexistentesnosrecursosdisponveisouaindaas limitaesfsicasqueseimpemsvariveisdescritivasdasatividades.Essas restries so representadas por equaes e/ou inequaes. c)ProgramaoLinear:problemadeotimizaoemqueafunoobjetivo,bemcomoas restries so lineares. d) Tipos de otimizao:

Critrio f(x)RestriesDomnio das variveis Denominao linearlinear Rn PL convexalinear cncava Rn convexa quadrticalinear Rn quadrtica qualquerquaisquer Ze In n inteira no-linearno-linear Rn no-linear qualquerquaisquerqualquerdinmica 2.2. Modelos 2.2.1. Atividades concorrentes Considereumaunidadefabrilcomcapacidadeparaproduzirnprodutosdistintos, comdiferentesnveisdeconsumoderecursosequeproduzemlucrosdistintos.Deseja-se definir o nvel de produo de cada produto, de forma que o lucro total obtido seja mximo. Sejam: a) nx x ,...,1: os nveis de produo dos n produtos; b) nc c ,...,1: os lucros unitrios dos n produtos; c) mb b ,...,1: os diferentes recursos disponveis (limitados), necessrios manufatura dos n produtos; d) in ia a ,...,1: os nveis de consumo do recurso i, cujo total bi, na fabricao de uma unidade dos produtosnx x ,...,1, respectivamente. Dessa forma, podemos formular o problema de otimizao como: Maximizar a funo: ==njj jx c z1 Sujeita s restries: e ) ,..., 1 ( 0 n j xj= Exemplo:UmafbricaproduzosprodutosI,IIeIIIcomnveisdeconsumode recursos conforme a tabela seguinte: Horas/ unidade dos Produtos Recursos Tempo disponvel (em horas/ms) IIIIII MAQ 01100231 ) ,..., 1 (1m i b x ai jnjij= =MAQ 02120112 MO 01176223 MO 02132121 Lucro Unitrio ($)101520 Produo Mxima (unid.)80,020,040,0 O problema pode ser formulado como: maximizar 3 2 120 15 10 x x x z + + = sujeita a(( + + + +(( + + + +0 , ,obra) - de - mo de s (restrie132 2176 3 2 2mquinas) de s (restrie120 2100 3 23 2 13 2 13 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x xx x xx x x

como tambm :; 0 , 801 x ; 0 , 202 x 00 , 403xrestries de mercado. 2.2.2. O problema da dieta Considerequeumapessoadesejaminimizarocustodesuadietadiria,mantendo os nveis de consumo recomendados para as diferentes vitaminas. Sejam: a): ,...,1 nx xos nveis de produo dos n alimentos pertencentes dieta; b) ib : o nvel mnimo de consumo da vitamina i; c) in ia a ,...,1:asquantidadesdavitaminai,contidasnosalimentos n ,..., 1 , respectivamente; d) nc c ,...,1: os custos unitrios dos alimentosn ,..., 1 , respectivamente. Exemplo:adietadeumapessoadeveconstarde03alimentos,cujosteoresde vitaminas, bem como os nveis mnimos de consumo se encontram na tabela seguinte: Teor vitamnico dos alimentos (mg/unid) Vitaminas Consumo mnimo dirio (mg) 1A2A3AA8010510 B70876 C1001537 D602029 Preos dos alimentos ($ / unid)8032180 O problema pode ento ser formulado como: minimizar 3 2 1180 32 80 x x x C + + =sujeita a: + + + + + + + +0 , ,60 9 2 20100 7 3 1570 6 7 880 10 5 103 2 13 2 13 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x xx x xx x x

2.2.3. O problema do transporte Consisteemminimizarocustototaldotransportedemercadoriasdemcentros fornecedores para n centros consumidores. ijx :quantidadeatransportardofornecedoriparao consumidor j. z =d xij ijj 1ni 1m= = . ijd: custo unitrio do transporte de i para j. injija x ==1: quantidade disponvel na origem i (fornecedor). ==mij ijb x1:quantidadesolicitadapelodestinoj (consumidor). 2.2.4. O problema da designao Consistedeumcasoparticulardoproblemadotransporteemque:n m = ; ; 1 i ai = . 1 j bj =O modelo assume, portanto, a seguinte forma: . ,..., 1 , ,..., 1 , 01 ; 1min1 11 1n j n i xx x sendon mx c zijninjij ijminjij ij= = = === = == = Alm dessas restries, deve-se considerar que: =contrrio. caso , 0destino ao er correspond i origem a se , 1 jxij 2.3. Representao grfica do processo de soluo Consideremosumproblema,simplificado,deatividadesconcorrentes,consistindo dafabricaodedoisprodutos(AeB),queconsomemhorasdemquinasedemo-de-obra, conforme se apresenta de forma esquemtica na tabela abaixo: Nvel de consumo dos recursos horas / unidade por produto Recursos Tempo disponvel horas/dia AB MAQ 011313 MAQ 02611 MO 0162- MO 024-1 Lucro unitrio ($)1215 O que corresponde a: 0 ,43 6 2 :613 315 12 :2 121 12 12 12 1 + ++ =x xxx x sendox xx xx x z mx No plano 2 1x x x , tem-se: Parametrizandoaequao 2 115 12 x x z + = , obtemos: 15 541 2zx x + = (1). Logo, a maximizao ocorrer no ponto em que a funo z assumir o mximo valor, que permite a interceptao da reta (1) com a regioOABCDE . Este o ponto C, que possui as coordenadas5 , 21= x e5 , 32= x . Com isso, obtemos. 5 , 82 = = z z2.4. Soluo algbrica - solues bsicas O sistema 013 36432 , 12 12 121 + +x xx xx xxx evolui para 0 , , , ,13 36436 5 , 4 3 2 16 2 15 2 14 23 1= + += + += += +x x x x x xx x xx x xx xx x

Esse sistema possui uma soluo compatvel bvia: ) 0 , 0 ( 0 } 2 , 0 , 13 , 6 , 4 , 3 {2 1 6 5 4 3 = = = = = = x x x x x xAfuno 2 115 12 x x z + = assumeovalor0 = z paraestasoluo.Ovalordez crescerapenascomocrescimentodex1oudex2,oquepossvelcomaentradade 1xe/ou 2xna base. A fim de simplificar o controle sobre o atendimento s restries, apenas umadasvariveisserincrementada,porvez.Comoafunoobjetivocrescemais rapidamente com2xdo que com 1x , ento 2xdever entrar na base. Adotandoumaestratgiaconhecidacomogulosa,avarivel 2x deveassumiro maior valor possvel. Entretanto, esta no pode crescer a tal ponto de tornar outra varivel negativa.Expressando as variveisbsicas emfuno das no-bsicas, descobre-se aquela que mais rapidamente atinge o valor zero, com o crescimento de 2x . Essa deve ento ceder seu lugar na base para2x . Portanto: x 3 x ; x 0x 4 xx 6 x x ; x 0x 3 x x ; x 0xsai da base3 1 14 25 1 2 16 1 2 14= == = == =1 3. A nova base ento{ }6 5 2 3, , , x x x x , cuja soluo bsica corresponde a: { } 60 0 , 0 , 1 , 2 , 4 , 34 1 6 5 2 3= = = = = = = z x x x x x x . Observar que essa soluo corresponde, noplano x1 xx2,ao ponto (0, 4), isto , ao ponto A. Parasabersezaindapodecrescer,devemosexpress-laemfunodasvariveis no-bsicas: 4 1 4 115 12 60 ) 4 ( 15 12 x x x x z + = + =Como z decresce com 4x , esta deve permanecer fora da base. Mas z cresce com 1x , que deve ento entrar na base. Para definir que varivel deve sair da base, expressam-se as variveis(atualmente)bsicas,emfunodasdemais.Observa-se,nasequaesabaixo, que a varivel x6 a que mais limita o crescimento de x1. 0 ; 1 12 13base da sair deve 0 ; 2 4 60 ; 434 1 4 1 66 4 1 4 1 54 4 21 3= = = = = == = =x x x x xx x x x x xx x xx x Assim,anovabasefica} , , , {1 5 2 3x x x x .Essesprocedimentospodemser implementados sobre a matriz aumentada do sistema de equaes: 4 34 12 42 31 1 0 3 0 0 12 0 1 1 0 0 14 0 0 1 0 1 03 0 0 0 1 0 1313 1 0 0 0 3 16 0 1 0 0 1 14 0 0 1 0 1 03 0 0 0 1 0 1L LL LL LL L(((((

(((((

MMMMMMMM { } 0 , 0 , 1 , 1 , 4 , 21 1 0 3 0 0 11 1 1 2 0 0 04 0 0 1 0 1 02 1 0 3 1 0 06 4 1 5 2 3= = = = = = (((((

x x x x x xMMMM Substituindo, na funo objetivo, as variveis bsicas pelas no-bsicas, usando a segunda e a quarta linhas da matriz aumentada, tem-se: ( )base da fora permanecer e entrardeve 12 21 724 15 ) 3 1 .( 12 15 126 4 6 44 6 4 2 1x x x x zx x x x x z + = + + = + =. 4 5 6 6 4 56 6 4 34 26 6 4 1para base na lugarseucede x 0 ; 2 10 ; 3 240 ; 3 + 1x x x x xx x x xx xx x x x = + == = == = Logo, tem-se: (((((

2 / 5 2 / 1 2 / 3 0 0 0 12 / 1 2 / 1 2 / 1 1 0 0 02 / 7 2 / 1 2 / 1 0 0 1 02 / 1 2 / 1 2 / 3 0 1 0 0MMMM A nova soluo bsica : { 2 / 13= x ,2 / 72= x ,2 / 14= x ,2 / 51 = x , 05= x ,06= x } 6 412 21 72 x x z + = ; 6 5 42 / 1 2 / 1 2 / 1 x x x + =5 , 82 5 , 1 5 , 10 5 , 82 12 2 / 21 2 / 21 2 / 21 726 5 6 6 5= = = + + = z z x x z x x x z A entrada de 5xou 6xna base reduz o valor de z. Logo5 , 82 = z o valor timo. 3. O Mtodo Simplex 3.1. Teorema I "Oconjuntodetodasassoluescompatveisdeumproblemadeprogramao linear um conjunto convexo". 3.1.1. Demonstrao Seja o problemacx = z maxsujeita a 0 xb Ax com ) 1 (nxc , ) 1 (nxx , ) (mxnA , ) 1 (mxb . Chamando C o conjunto definido porb Ax e0 x . SeC 1xeC 2x , ento: [ ] + b x x Axxb x A b Ax b Axb x A b Ax b Ax2 1212 2 21 1 1) 1 (0: somando ou 0) 1 ( ) 1 ( ou ) 1 ( ) 1 () ( ou Logo: C + =2 1) 1 ( x x x pois : 1 ) 1 ( = + e se1 0 ) 1 1 0 ( e0 x . Logo C convexo. 3.2. Teorema II "Todasoluobsicacompatveldosistemab Ax = umpontoextremodo conjunto convexo C ". 3.2.1. DemonstraoConsidere (((((((((

=001MMmxxxum soluo bsica compatvel. Ento0 ix ,m 1,..., i = .Considere ainda ((((

=nyyM1ye0 , ,1 ((((

=i inz y CzzM z . ComoC x , que um conjunto convexo, ento: . 1 0 , ) 1 ( + = z y xOu ainda: , ) 1 (1z y xi i + = ) ( m i , ) 1 ( 0j j jz y x + = = ). ( n j m M que as quantidades envolvidas no problema. II. Mtodo da funo-objetivo artificial Constri-se a funo =artificialx W , que deve ser minimizada. Obviamente, 0 =timoWe todos os0artificial=, ix . Ex : 6 6) ( min x W mx x W = = (1)z1x2x3x4x5x6x bFator q Base10000010 3 0L L (linha 0 em funo das variveis no-bsicas) 3x01010003 1L 4x00101004 2L 6x01300-1113 3L

(2)z1x2x3x4x5x6x bBase1-1-30010-13 2 03L L +3/0 3x01010003 1L4/1 4x 00101004 2L13/3 6x01300-1113 2 33L L

(3)z1x2x3x4x5x6x bBase1-100310-1 3 0L L +3/1 3x 01010003 3 1L L4/0 2x00101004 2L1/1 6x 0100-3-111 3L

(4)z1x2x3x4x5x6x bBase10000010 3x000131-12 2x00101004 1x0100-3-111

(5)z1x2x3x4x5x6x bBase1-2-1000-0 3 2 02L L L + +Base1000-5-26 3x 000131-2 2x001010-4 1x 0100-3-1-1