DinâmicaFormulação das Matrizes de Massa e Amortecimento

Equação do equilíbrio dinâmico:

Forças de inércia:

Forças de amortecimento:

Forças elásticas:

Ref: Clough, R. W., Penzien, J., "Dynamics of Structures", McGraw-Hill, 2nd Ed., 1993.

Formulação da Matriz de Massaç

Formulação da Matriz de Massa

Matriz de massa concentrada (lumped-mass matrix)( p )

O procedimento mais simples para definir as propriedades de massa dequalquer estrutura é assumir que toda a massa está concentrada nospontos em que os deslocamentos de translação são definidos.

O procedimento usual para definir o ponto de concentração de massa(massa nodal) é assumir que a estrutura é dividida em segmentos e osnós que servem como pontos de conexão. A massa de cada segmento éentão concentrada em massas pontuais em cada um dos seus nós, adi t ib i ã d d t t é d t i ddistribuição da massa do segmento a esses pontos é determinada porequilíbrio estático.

A massa total concentrada em qualquer nó da estrutura completa entãoA massa total concentrada em qualquer nó da estrutura completa, entãoé a soma das contribuições nodal de todos os segmentos inerentes aesse nó

Formulação da Matriz de Massa

Matriz de massa concentrada (lumped-mass matrix)

Formulação da Matriz de Massa

Matriz de massa consistente(consistent-mass matrix)

Fazendo-se uso de funções deinterpolação e da formulação do MEFé í l li i fl ê i dé possível avaliar a influência doscoeficientes de massa para cadaelemento de uma estrutura através deprocedimento similar ao reali adoprocedimento similar ao realizadopara a obtenção dos coeficientes derigidez.

Formulação da Matriz de Massa

Matriz de massa consistente (consistent-mass matrix)

Formulação da Matriz de Massa

Matriz de massa consistente (consistent-mass matrix)

Elemento de barra 3D

Formulação da Matriz de Massa

Matriz de massa consistente (consistent-mass matrix)

Elemento de barra 3DElemento de barra 3D

dddVm Taa dddVm

Formulação da Matriz de Massa

Matriz de massa consistente (consistent-mass matrix)

Elemento de viga 2D

Formulação da Matriz de Amortecimentoç

Formulação da Matriz de Amortecimentoç

Matriz de Amortecimento para equações de movimento desacopladas:

Formulação da Matriz de Amortecimentoç

Matriz de Amortecimento proporcional à matriz de massa e/ou rigidez: