FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

TESIS:

DINAMICA DE AUTOMORFISMOS ENNILVARIEDADES1

Tesis presentada por Sebastian Ramırez Duarte para optar al grado de Magıster enMatematicas en la Pontifica Universidad Catolica de Valparaıso (PUCV)

Orientador:Carlos VasquezCo-orientador:

Francisco Valenzuela

1Trabajo parcialmente financiado por proyecto Fondecyt Regular numero 1130547.

Indice

1. Preliminares 41.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Variedades y aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2. El espacio tangente y aplicacion derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3. Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1. Grupos de Lie y algebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2. Cubrimientos de grupos de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3. Aplicacion exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.4. Accion de Grupos de Lie sobre Variedades . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3. Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.1. Definiciones basicas de dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2. Variedades invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2. Automorfismo en la nilvariedad Tn 192.1. Automorfismos en T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Automorfismos en T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. El grupo de Heisenberg 283.1. El grupo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2. Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.3. Definiciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Dinamica de un automorfismo parcialmente Hiperbolico sobre la Nilvarie-dad Heisenberg 384.1. Construccion del automorfismo y la nilvariedad . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. Descripcion dinamica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

1

Introduccion

Una nilvariedad es el cociente G/Γ, entre un grupo de Lie nilpotente G y un subgrupodiscreto Γ tal que G/Γ es compacto (un subgrupo con tales condiciones se denomina reticu-lado). Si f es un homomorfismo de grupo de Lie en G y f preserva el reticulado Γ, es decir,f(Γ) = Γ, entonces f define naturalmente un difeomorfismo f0 en G/Γ dado por

f0(Γ · g) = f(Γ) · f(g) = Γ · f(g).Un difeomorfismo con tales condiciones es llamado automorfismo en la nilvariedad G/Γ. Unejemplo de automorfismo es un difeomorfismo de Anosov lineal en Tn. Los automorfismoslineales del toro son el ejemplo mas simple de difeomorfismos de Anosov. Un difeomorfismof de una variedad compacta M , f : M → M es Anosov si en todo punto p ∈ M existe unadescomposicion del espacio tangente TpM = Es(p)⊕Eu(p) en dos subespacios transversalesEs(p), Eu(p) tal que:

(i) Esta descomposicion es continua,

(ii) la descomposicion es invariante por la derivada de f , es decir, para todo x ∈ T2

Df(x)(Es(x)) = Es(f(x)) , Df(x)(Eu(x)) = Eu(f(x)),

(iii) existen constantes C > 0 y 0 < λ < 1 tal que

‖Dfn(x)v‖ ≤ Cλn; ‖Df−n(x)u‖ ≤ Cλn

para todo x ∈M , v ∈ Es y u ∈ Eu.

En el capıtulo 2, describiremos la riqueza dinamica de estos automorfismos en la nilvarie-dad T2. En particular demostraremos el siguiente teorema:

Teorema 0.1. Sea f : T2 → T2 un automorfismo Anosov, entonces:

(i) Per(f) = Ω(f) = T2.

(ii) f es transitivo y topologicamente mixing.

(iii) f es expansivo.

(iv) Para cualquier z ∈ T2, las variedades W s(z) y W u(z) son densas en T2.

Una pregunta natural es: ¿Que relacion existe entre los automorfismos y los difeomorfismosen Tn?

En ’69, J. Frank [6] muestra que dado un difeomorfismo de Anosov f en Tn, existe undifeomorfismo de Anosov lineal (un automorfismo) A en Tn tal que f es conjugado con A.El resultado anterior nos dice que para caracterizar la dinamica de los difeomorfismos (deAnosov) en Tn, basta con describir la dinamica de los automorfismos (de Anosov) en Tn.

La generalizacion natural de un difeomorfismo de Anosov son los difeomorfismos parcial-mente hiperbolicos:

2

Definicion 0.2. Un difeomorfismo f :M →M de clase C1 sobre una variedad RiemannianaM es parcialmente hiperbolico si existe una descomposicion de TM en tres sub-fibrados notriviales que varıan continuamente, TM = Eu⊕Ec⊕Es, ademas existen constantes 0 < λ <γ < 1 < γ < μ y C > 1 tal que para x ∈M y n ∈ Z

1

Cμn‖v‖ ≤ ‖Dfnv‖ para todo v ∈ Eu(x)

1

Cγn‖v‖ ≤ ‖Dfnv‖ ≤ Cγn‖v‖ para todo v ∈ Ec(x)

‖Dfnv‖ ≤ Cλn‖v‖ para todo v ∈ Es(x)

En la Seccion 2.2 del Capıtulo 2, se describen propiedades de las foliaciones estable, ines-table y central para un automorfismo parcialmente hiperbolico en la nilvariedad T3 inducidopor el homomorfismo en el grupo de Lie (R3,+), dado por la matriz:⎛

⎝2 1 01 1 00 0 1

⎞⎠

En el Capıtulo 3 describiremos el grupo de Heisenberg, denotado porH, el cual es un subgrupode GL(3,R) las matrices invertibles 3× 3. Mas precisamente

H =

⎧⎨⎩⎛⎝1 x z0 1 y0 0 1

⎞⎠ : x, y, z ∈ R

⎫⎬⎭ ,

donde la operacion es la multiplicacion de matrices. Mas tarde, apoyandonos en la Seccion1.2, describiremos el algebra de Lie de H necesaria para caracterizar los automorfismos sobreH. En la Seccion 3.3 de Capıtulo 3 veremos definiciones generales que seran de gran ayuda enel siguiente capıtulo, en particular, definiremos la nocion de distancia invariante a izquierda,que de alguna forma generaliza la nocion de distancia usual en el grupo de Lie (Rn,+).

Por ultimo, en el Capıtulo 4, construiremos un automorfismo parcialmente hiperbolico f0en la nilvariedad Heisenberg H/Γ, donde

Γ =

⎧⎨⎩⎛⎝1 a c0 1 b0 0 1

⎞⎠ : a, b ∈ Z, c ∈ 1

2Z

⎫⎬⎭ ,

Notemos que, en particular, dicha nilvariedad no es un grupo, contrariamente al caso Tn.Posteriormente describiremos las foliaciones invariantes asociadas al levantamiento de f0

en el cubrimiento universal, es decir, caracterizaremos las foliaciones estable, inestable ycentral de un automorfismo f en el grupo de Heisenberg.

3

1. Preliminares

Este capıtulo se dividira en tres secciones, en la primera veremos algunas nociones yconceptos basicos de la topologıa diferencial y geometrıa Riemanniana, dado que el objetivode este trabajo no es profundizar en estos temas, la presentacion no contendra todas laspruebas de los resultados enunciados, para ello recomendamos ver [5] o [15]. El lector quetenga conocimiento sobre geometrıa Riemanniana, puede ir directamente a la Seccion 1.2 enla cual se enunciaran resultados sobre grupos y algebras de Lie que seran fundamentales en loscapıtulos venideros. Aca la exposicion estara basada en [12] y [17] donde se encuentran todaslas demostraciones que omitiremos. Por ultimo, en la Seccion 1.3, daremos algunas nocionesy definiciones elementales en lo que respecta a los Sistemas Dinamicos. Nuevamente, estaseccion puede ser omitida. Las referencias son [4] y [14].

1.1. Variedades diferenciables

1.1.1. Variedades y aplicaciones diferenciables

Una variedad diferenciable de dimension d es un espacio topologico M provisto de unatlas diferenciable de dimension d, es decir, una familia de homeomorfismos ϕα : Uα → Xα,con α ∈ A un conjunto de ındices, tales que

1. cada Uα es abierto en M y cada Xα es abierto en Rd, ademas M =⋃

α Uα;

2. la aplicacion ϕβ ◦ ϕ−1α : ϕα(Uα ∩ Uβ) → ϕβ(Uα ∩ Uβ) es diferenciable, para cualquier α

y β tales que Uα ∩ Uβ = ∅A menos que indiquemos lo contrario, consideraremos variedades conexasM , que admitan

una base numerable de abiertos.Los homeomorfismos ϕα son llamados cartas locales, o coordenadas locales y las trans-

formaciones ϕβ ◦ ϕ−1α son llamadas cambios de coordenadas. Permutando los papeles de α

y β vemos que la inversa (ϕβ ◦ ϕ−1α )−1 = ϕα ◦ ϕ−1

β tambien es diferenciable. Por lo tanto,la definicion de variedad requiere que los cambios de coordenadas sean difeomorfismos entreabiertos del espacio euclideano.

Sea r ∈ N ∪ {∞}. Si todo cambio de coordenada es de clase Cr (esto es, si todas susderivadas parciales hasta orden r existen y son continuas), diremos que la variedad es declase Cr. Claro que toda variedad de clase Cr tambien es de clase Cs para cualquier s ≤ r.

Ejemplo 1. Los siguientes espacios son variedades C∞ de dimension d:

1. Espacio euclideano Rd: considere el atlas formado por una unica aplicacion, la aplicacionidentidad Rd → Rd;

2. Esfera Sd = {(x0, x1, ..., xd) ∈ Rd+1 : x20 + x21 + ...+ x2d = 1}: considere el atlas formadopor las dos proyecciones estereograficas:

Sd \ {(1, 0, ..., 0)} → Rd, (x0, x1, ..., xd) → (x1, x2, ..., xd)/(1− x0)

Sd \ {(−1, 0, ..., 0)} → Rd, (x0, x1, ..., xd) → (x1, x2, ..., xd)/(1 + x0)

4

3. Toro Td = Rd/Zd: considere el atlas formado por las inversas de las aplicaciones gz :(0, 1)d → Td, definidas por gz(x) = z + x mod Zd para cada z ∈ Rd.

Sea M una variedad de dimension d y sea A = {ϕα : Uα → Xα} el atlas respectivo. Sea Sun subconjunto de M . Decimos que S es una subvariedad de dimension k < d si existe algunatlas B = {ψβ : Vβ → Yβ} de M tal que

(a) A y B son compatibles: los cambios de coordenadas ψβ ◦ϕ−1α y ϕα◦ψ−1

β son diferenciablesen sus dominios, para todo α y todo β;

(b) para todo β, la carta local ψβ envıa V ′β = Vβ ∪ S sobre un abierto Y ′

β de Rk × {0d−k}.

Identificando Rk × {0d−k} � Rk, vemos que la familia de las restricciones ψβ : V ′β → Y ′

β

constituye un atlas para S; por lo tanto S es una variedad de dimension k. Si M es de claseCr y los atlas A y B son Cr-compatibles, o sea, si todos los cambios de coordenadas en (a)son de clase Cr, entonces S es (sub)variedad de calse Cr.

Diremos que una aplicacion f :M → N entre dos variedades es diferenciable si

ψβ ◦ f ◦ ϕ−1α : ϕα(Uα ∩ f−1(Vβ)) → ψβ(Vβ ∩ f(Uα)) (1)

es una aplicacion diferenciable para toda carta local ϕα : Uα → Xα de M y toda carta localψβ : Vβ → Yβ de N con f(Uα) ∩ Vβ = ∅. Ademas diremos que f es de clase Cr si M y Nson variedades de clase Cr y toda aplicacion ψβ ◦ f ◦ ϕ−1

α en (1) es de clase Cr. Llamamosdifeomorfismo a toda biyeccion f : M → N tal que tanto f como f−1 sean diferenciables; silas dos aplicaciones son de clase Cr, diremos que el difeomorfismo es de clase Cr.

Sea Cr(M,N) el espacio de las aplicaciones de clase Cr entre las variedades M y N .Introduciremos en este espacio la, llamada topologıa Cr, que expresa la idea de que dosaplicaciones esten proximas si ellas estan uniformemente proximas y lo mismo vale para susderivadas hasta orden r. La definicion se puede dar en un contexto mucho mas amplio, sinembargo, nos restringiremos al caso en que M y N son compactas. Entonces la topologıa Cr

puede ser definida de la siguiente forma.Fije familias finitas de cartas locales ϕi : Ui → Xi de M y ψj : Vj → Yj de N , tales

que ∪iUi = M y ∪jVj = N . Sea δ > 0 un numero de Lebesgue para el cubrimiento finito{Ui ∩ f−1(Vj)} de M . Para cada par (i, j) tal que Ui ∩ f−1(Vj) = ∅, sea Ki,j el conjunto delos puntos cuya distancia al complemento de Ui ∩ f−1(Vj) es mayor o igual que δ. EntoncesKi,j es un compacto contenido en Ui ∩ f−1(Vj) y la union ∪i,jKi,j es todo M . Considere

U(f) = {g ∈ Cr(M,N) : g(Ki,j) ⊂ Vj para todo i, j}.

Es claro que f ∈ U(f). Para cada g ∈ U(f) y cada par (i, j) tal que Ki,j es no vacıo, denotepor gi,j la restriccion de ψj ◦ g ◦ ϕ−1 al conjunto ϕi(Ki,j). Para cada r ∈ N y ε > 0, defina

Ur(f, ε) = {g ∈ U(f) : sups,x,i,j

‖Dsfi,j(x)−Dsgi,j(x)‖ < ε} (2)

donde el supremo es tomado sobre todo s ∈ {1, ..., r}, todo x ∈ ϕi(Ki,j) y todo par (i, j) talque Ki,j = ∅. Por fefinicion, la familia {Ur(f, ε) : ε > 0} es una base de vecindades de cada

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f ∈ Cr(M,N) relativa a la topologıa Cr. Tambien por definicion, la familia {Ur(f, ε) : ε >0 y r ∈ N} es una base de vecindades de f ∈ C∞(M,N) relativa a la topologıa C∞.

La topologıa Cr tiene varias propiedades interesantes: en particular ella admite una basenumerable de abiertos y es completamente metrizable, o sea, ella puede ser generada poralguna distancia completa (ver [13] capıtulo 1, pag. 19). Una consecuencia interesante es queCr(M,N) es un espacio de Baire: toda interseccion de una familia numerable de subconjuntosabiertos y densos es densa en el espacio. El conjunto Diffr(M) de los difeomorfismos de claseCr en M es un subconjunto abieto de Cr(M,N) relativamente a la topologıa Cr.

1.1.2. El espacio tangente y aplicacion derivada

Sea M una variedad. Para cada p ∈ M , considere el conjunto C(p) de todas las curvasc : I → M , donde I es un intervalo abierto conteniendo 0 ∈ R, tales que c(0) = p y c esdiferenciable en el punto 0, o sea, la aplicacion ϕα ◦ c es diferenciable en el punto 0, para todacarta local ϕα : Uα → Xα, con p ∈ Uα. Decimos que dos curvas c1, c2 ∈ C(p) son equivalentessi (ϕα ◦ c1)′(0) = (ϕα ◦ c2)′(0) para toda carta local ϕα : Uα → Xα, con p ∈ Uα. De hecho, sila igualdad vale para una carta local, ella vale para cualquier otra. Representamos por [c] ala clase de equivalencia de cualquier curva c ∈ C(p).

El espacio tangente de la variedad M en el punto p, es el conjunto que representaremospor TpM , de tales clases de equivalencia. Dada cualquier carta local ϕα : Uα → Xα conp ∈ Uα la aplicacion

Dϕα(p) : TpM → Rd, [c] → (ϕα ◦ c)′(0)esta bien definida y es una biyeccion. Podemos usar esta biyeccion para identificar TpMcon Rd. De esta forma, el espacio tangente adquiere una estructura de espacio vectorial,transportada de Rd por Dϕα(p). Aunque la identificacion Dϕα(p) depende de la eleccion dela carta local, la estructura de espacio vectorial en TpM no. De hecho, dada cualquier otracarta local ϕβ : Uβ → Xβ , con p ∈ Uβ , la respectiva aplicacion Dϕβ(p) esta definida por

Dϕβ(p) = D(ϕβ ◦ ϕ−1α )(ϕα(p)) ◦Dϕα(p).

Como D(ϕβ ◦ ϕ−1α )(ϕα)(p) es un isomorfismo lineal, se sigue que las estructuras de espacio

vectorial transportadas por Dϕα(p) y Dϕβ(p) del espacio euclideano para TpM coinciden,tal como afirmamos.

Si f : M → N es una aplicacion diferenciable, su derivada en un punto p ∈ M es laaplicacion lineal Df(p) : TpM → Tf(p)N definida por

Df(p) = Dψβ(f(p))−1 ◦D(ψβ ◦ f ◦ ϕ−1

α )(ϕα(p)) ◦Dϕα(p), (3)

donde ϕα : Uα → Xα es una carta local de M , con p ∈ Uα y ψβ : Vβ → Yβ es carta local deN , con f(p) ∈ Vβ . La definicion no depende de la eleccion de las cartas.

El fibrado tangente a M es la union TM = ∪p∈MTpM de todos los espacios tangentesa M . Observe que esta union es disjunta. Para cada carta local ϕα : Uα → Xα, considereTUαM = ∪p∈UαTpM y la aplicacion

Dϕα : TUαM → Xα × Rd,

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que asocia a cada curva [c] ∈ TUαM el par ((ϕα ◦ c)(0), (ϕα ◦ c)′(0)) ∈ Xα×Rd. Consideremosen TM la unica topologıa que torna cada Dϕα un homeomorfismo. Suponiendo que el atlas{ϕα : Uα Xα} de M es de clase Cr entonces, el cambio de coordenadas

Dϕα ◦Dϕ−1α : ϕα(Uα ∩ Uβ)× Rd → ϕβ(Uα ∩ Uβ)× Rd

es una aplicacion de clase Cr−1 para cualquier α y β tales que Uα ∩ Uβ = ∅. Por lo tanto, elfibrado tangente TM esta provisto de una estructura de variedad de clase Cr−1 y dimension2d.

La derivada de una transformacion diferenciable f :M → N es la aplicacion Df : TM →TN cuya restriccion a cada espacio tangente TpM esta dada por Df(p) como definimos en laecuacion (3). Si f es de clase Cr entonces Df es de clase Cr−1, relativamente a la estructurade variedad en los fibrados tangentes TM y TN introducidos en el parrafo anterior. Porejemplo la proyeccion canonica π : TM → M que asocia a cada vector v ∈ TM el unicopunto p ∈M tal que v ∈ TpM es una aplicacion de clase Cr−1.

Un campo de vectores en una variedadM es una aplicacion que asocia a cada punto p ∈Mun elemento X(p) en el espacio tangente TpM , o sea, una aplicacion X : M → TM tal queπ ◦X = id. Decimos que el campo de vectores es de clase Ck, con k ≤ r− 1, si esa aplicaciones de clase Ck. La coleccion de todos los campos de vectores la denotamos por X(M).

Fijando una carta local ϕα : Uα → Rn es posible escribir

X(p) =

n∑i=1

ai(p)∂

∂xi, (4)

donde cada ai : U → R es una funcion en U y

{∂

∂xi

}es la base asociada a ϕα, i = 1, ..., n.

Es claro que X es diferenciable si y solo si las funciones ai son diferenciables para alguna (y,por lo tanto, para cualquier) carta local.

Algunas veces es conveniente utilizar la idea sugerida por (4) y pensar un campo vectorialcomo una aplicacion X : D → F(M) del conjunto D de las funciones diferenciables en M enel conjunto F(M) de las funciones en M , definida del siguiente modo

(Xf)(p) =∑i

ai(p)∂f

∂xi(p), (5)

donde f indica, por abuso de notacion, la composicion de f con la carta local ϕα. De hecho,esta idea de vector como derivada direccional fue precisamente la menera como definimos lanocion de vector tangente. Como es inmediato verificar, la funcion Xf obtenida en (5) nodepende de la eleccion de la carta local. En este contexto, es inmediato verificar que X esdiferenciable si y solo si X : D → D lo es, esto es, Xf ∈ D para todo f ∈ D.

La interpretacion de X como un operador en D nos permite considerar los iterados de X.Por ejemplo, si X e Y son campos diferenciables en M y f :M → R es una funcion diferen-ciable, podemos considerar las funciones XY (f) y Y X(f). En general, tales operaciones noconducen a campos vectoriales, ya que involucran derivadas de orden superior. Entretanto,afirmamos lo siguiente:

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Lema 1.1. Sean X e Y campos vectoriales diferenciables en una variedad diferenciable M .Entonces existe un unico campo vectorial Z tal que, para todo f ∈ D, Zf = (XY − Y X)f .

El campo vectorial Z dado en el lema anterior es llamado el corchete [X,Y ] = XY −Y Xde X e Y ; Z es evidentemente diferenciable. Esta idea sera retomada en la Seccion 1.2.

Supongamos que k ≥ 1. Entonces el teorema de existencia y unicidad de ecuacionesdiferenciales [2] garantiza que, para todo punto p ∈ M , existe una unica curva cp : Ip → Mtal que cp(0) = p y c′p(t) = X(c(p)) para todo t ∈ Ip e Ip es el intervalo abierto maximal conesta propiedad. Si M es compacta, se tiene que Ip = R para cualquier p ∈ M . Ademas lastransformaciones f t : M → M definidas por f t(p) = cp(t) son difeomorfismos de clase Ck,con f0 = id y f s ◦ f t = f s+t para cualquier s, t ∈ R. La familia {f t : t ∈ R} es llamada flujodel campo de vectores X.

1.1.3. Variedades Riemannianas

Una metrica Riemanniana en una variedad M es una aplicacion que asocia a cada puntop ∈ M un producto interno en el espacio tangente TpM , es decir, una aplicacion bilinealsimetrica

〈·, ·〉p : TpM × TpM → R

tal que 〈v, v〉p > 0 para todo vector no nulo v ∈ TpM . Como parte de la definicion, tambienpedimos que este producto interno varıe diferenciablemente con el punto p, en el siguientesentido. Fijado ϕα : Uα → Xα, denote por

∂ϕα

∂xi∈ X(Uα),

al unico campo vetorial tal que

Dϕα(q)

(∂ϕα(q)

∂xi

)= ei, ∀q ∈ Uα

donde e1, ..., ed es una base de Rd. Entonces, pedimos que las funciones

gα,i,j(q) =

⟨∂ϕα(q)

∂xi,∂ϕα(q)

∂xj

⟩q

sean diferenciables para todo par (i, j) y para cualquier eleccion de la carta local y de la base.Llamamos variedad Riemanniana a cualquier variedad provista de una metrica Rieman-

niana. Toda subvarieadad S de una variedad Riemanniana M hereda una estructura devariedad Riemanniana, dada por la restriccion del producto interno 〈·, ·〉p de M al subespa-cio tangente TpS de cada punto p ∈ S. Toda variedad compacta admite (infinitas) metricasRiemannianas. Eso es una consecuencia del teorema de Whitney, el cual afirma que todavariedad compacta puede ser vista como subvariedad de algun espacio euclideano.

A partir de la metrica Riemanniana, podemos definir la longitud de cualquier curva dife-renciable γ : [a, b] →M , mediante

long(γ) =

∫ b

a‖γ′(t)‖γ(t)dt, donde ‖v‖p = 〈v, v〉(1/2)p . (6)

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A su vez, esto nos permite definir en la variedad M la siguiente distancia asociada ala metrica Riemanniana: la distancia d(p, q) entre dos puntos p, q ∈ M es el ınfimo de laslongitudes de todas las curvas diferenciables que unen los dos puntos. Decimos que una curvadiferenciable γ : [a, b] → M es minimizante si ella realiza la distancia entre sus puntosextremos, es decir,

long(γ) = d(γ(a), γ(b)).

Cualquier dos puntos p, q ∈M estan ligados por alguna curva minimizante, en otras palabras,el ınfimo en la definicion de d(p, q) siempre es alcanzado (ver [5] Capıtulo 1).

Una curva diferenciable γ : I →M , definida en un intervalo abierto I, es llamada geodesicasi ella es localmente minimizante, en el siguiente sentido: para todo c ∈ I exite δ > 0 tal quela restriccion de γ al intervalo [c − δ, c + δ] es minimizante. Toda curva minimizante esgeodesica, pero el recıproco no es cierto: por ejemplo, las geodesicas de la esfera S2 son loscırculos maximos, pero las curvas cerradas nunca son minimizantes. Un hecho importantees que si γ es geodesica entonces la norma ‖γ′(t)‖γ(t) es constante en I. La teorıa de lasecuaciones diferenciales permite mostrar que para todo p ∈ M y todo v ∈ TpM existe unaunica geodesica γp,v tal que γp,v(0) = p, γ′p,v(0) = v e Ip,v es el intervalo maximal tal que γp,ves localmente minimizante.

Si M es una variedad compacta entonces Ip,v = R para todo p ∈ M y todo v ∈ TpM .Entonces definimos la aplicacion exponencial en cada punto p ∈M :

expp : TpM →M, v → γp,v(1).

Esta es una aplicacion diferenciable y su derivada en v = 0 es la aplicacion identidad en elespacio tangente TpM . Tambien definimos el flujo geodesico en el fibrado tangente

f t : TM → TM, (p, v) → (γp,v(t), γ′p,v(t)).

Frecuentemente, se considera la restriccion del flujo geodesico al fibrado tangente unitarioT 1M = {(p, v) ∈ TM : ‖v‖p = 1}. Esto esta bien definido, pues conforme mencionamosanteriormente, la norma del vector velocidad de toda geodesica es constante.

Definicion 1.2. Una distribucion E sobre una variedad diferenciable M de dimension m esuna familia de subespacios k−dimensionales E(x) ⊂ TxM , x ∈ M . La distribucion es C l,l ≥ 0, si localmente esta generada por k campos vectoriales de clase C l, es decir, dado p ∈Mexiste U ⊂M abierto con p ∈ U y X1, ..., Xk ∈ X(U) tal que {X1(p), ..., Xk(p)} es linealmenteindependiente y E(p) = 〈X1(p), ..., Xk(p)〉, para todo p ∈ U .

Denotemos Bk ⊂ Rk a la bola unitaria de dimension k.

Definicion 1.3. Supongamos que W es una particion de una variedad diferenciable M dedimension m en subvariedades C1 de dimension k. Para cada x ∈M , seaW (x) la subvariedadque contiene a x. Decimos que W es una foliacion continua k-dimensional con hojas C1 (osimplemente una foliacion) si cualquier x ∈ M tiene un entorno U y un homeomorfismoh : Bk ×Bm−k → U tal que:

1. Para cada z ∈ Bm−k, el conjunto h(Bk × {z}) es la componente conexa deW (h(0, z))

⋂U

que contiene a h(0, z); y

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2. h(·, z) es C1 y depende continuamente de z en la topologıa C1.

El par (U, h) es llamado foliacion coordenada. Los conjuntos h(Bk × {z}) son llamados

hojas (o placas) locales y los conjuntos h({y} ×Bm−k

)son llamados trasversales locales. Para

x ∈ U , denotamos por WU (x) la hoja local que contiene a x. En general, una subvariedaddiferenciable Lm−k ⊂ M es transversal si L es transversal a las hojas de la foliacion. Cadasubvariedad W (x) de la foliacion es llamada hoja de W .

Una foliacion continua W es una foliacion Ck, k ≥ 1, si el mapa h puede ser elegido Ck.Por ejemplo, las lıneas de pendiente constante sobre T2 forman una foliacion C∞ (ver seccion3.1).

Una foliacion W define una distribucion E = TW que consiste en los espacios tangentesa las hojas. Una distribucion E es integrable si es tangente a una foliacion.

1.2. Grupos de Lie

1.2.1. Grupos de Lie y algebras de Lie

Esta seccion esta basada en [17].

Definicion 1.4. Un Grupo de Lie G es un grupo algebraico que ademas es una variedadn−dimensional tal que la multiplicacion G × G → G : (a, b) → a · b y la inversion G → G :a → a−1 son deferenciables.

Esta combinacion inocente de dos propiedades aparentemente no relacionadas tiene con-secuencias sorprendentes. Como veremos, un grupo de Lie se clasifica, salvo cubrimiento,por un objeto lineal, llamado algebra de Lie. Muchas de las preguntas sobre los grupos deLie pueden convertirse facilmente en problemas de algebra Lineal (aunque estos pueden serdifıciles) en el algebra de Lie correspondiente. Sin embargo, la traduccion de nuevo al grupode Lie no siempre es obvia y por lo tanto, tambien enfatizaremos el aspecto del grupo de Lie.

Ejemplo 2. El espacio euclideano Rd es un grupo topologico que tambien es un grupo deLie, con la operacion suma, lo mismo vale para el toro Td.

Recordemos que Td es el cociente entre Rd y el subgrupo normal Zd. Esta construccionpuede ser generalizada de la siguiente forma:

Ejemplo 3. Dado cualquier subgrupo normal cerrado H de un grupo topologico G, sea G/Hel conjunto de las clases de equivalencia para la relacion de equivalencia definida en G porx ∼ y ⇔ x−1y ∈ H. Represente por xH a la clase de equivalencia que contiene a cada x ∈ G.Considere la siguiente operacion de grupo en G/H:

xH · yH = (x · y)H.

La hipotesis de que H es un subgrupo normal asegura que esta operacion esta bien definida.Sea π : G → G/H la proyeccion canonica (el cual es un homomorfismo sobreyectivo), dadapor π(x) = xH. Considere la topologıa cociente, definida de la siguiente forma: una funcionψ : G/H → X es continua si, y solo si, ψ ◦ π : G → X es continua. La hipotesis de que H

10

es cerrado asegura que todo subconjunto unipuntual es un subconjunto cerrado de G/H. Sesigue facilmente de las definiciones que G/H es un Grupo de Lie. Recordemos tambien quesi G es abeliano entonces todos los subgrupos son normales (ver [10], pag. 41).

Ejemplo 4. El conjunto GL(d,R) de las matrices reales invertibles de dimension d es ungrupo de Lie para la operacion de multiplicacion de matrices, llamado el grupo lineal real dedimension d2. De hecho, G puede ser identificado como un abierto de espacio euclideano R(d2)

y por lo tanto tiene una estructura natural de variedad. Ademas se sigue directamente delas definiciones que la multiplicacion de matrices y la aplicacion A→ A−1 son diferenciablespara esta estructura diferencial. GL(d,R) contiene diversos subgrupos de Lie importantes,tales como el grupo especial lineal SL(d,R) de las matrices con determinante 1.

Definicion 1.5. Un algebra de Lie sobre K = R o C es un espacio vectorial V sobre K

con una forma K−bilineal antisimetrica (el corchete de Lie) [ , ] : V × V → V que satisface:

a) [X,X] = 0,

b) [X, [Y, Z]] + [Y, [Z,X]] + [Z, [X,Y ]] = 0, identidad de Jacobi.

para todo X,Y, Z ∈ V .

Se llama algebra de Lie abeliana o conmutativa si [X,Y ] = 0 para todo X,Y ∈ V .

Definicion 1.6. Dado cualquier g ∈ G, llamamos g-traslacion a izquierda y g-traslaciona derecha, respectivamente a las aplicaciones

Lg : G→ G, Lg(h) = gh y Rg : G→ G, Rg(h) = hg.

Note que las traslaciones son difeomorfismos del grupo, con inversas Lg−1 y Rg−1 respec-tivamente. Ası, las funciones

DLg : ThG→ TghG

DRg : ThG→ ThgG

son isomorfismos.

Definicion 1.7. Un campo de vectores X sobre un grupo de Lie G se dice invariante porizquierda si

D(Lg)h(X(h)) = X(hg)

para todo g, h ∈ G.

Proposicion 1.8. Si denotamos por g al conjunto de todos los campos vectoriales invariantespor izquierda, entonces la transformacion lineal L : g → TeG con L(X) = X(e) es unisomorfismo.

Observacion 1.9. Note que, en particular, la proposicion anterior implica que un grupo deLie es paralelizable, es decir, tiene fibrado tangente trivial.

11

Sean X,Y campos invariantes a izquierda. Como para todo g ∈ G,

DLg[X,Y ] = [DLgX,DLgY ] = [X,Y ].

Concluımos que el corchete de campos invariantes a izquierda es invariante a izquierda. Estoinduce un corchete de Lie en TeG � g. Llamamos a g el algebra de Lie de G. De ahora enadelante, los elementos del algebra de Lie g seran pensados indiferentemente como vectoresde TeG o campos invariantes a izquierda de G.

Ejemplo 5. El algebra de Lie de Rn es isomorfa como espacio vectorial a Rn. Claramenteel algebra de Lie de Rn es abeliana, ya que los campos de vectores ∂/∂xi son invariantes porizquierda y [∂/∂xi, ∂/∂xj ] = 0 ya que las derivadas parciales pueden ser intercambiadas porel por teorema de Schwarz.

Definicion 1.10. Sean H y G grupos de Lie.

(a) Una funcion φ : H → G se dice un homomorfismo de grupo de Lie si es un homo-morfismo (preserva la operacion del grupo algebraico) y ademas es diferenciable.

(b) El homomorfismo φ de dice un isomorfismo de grupo de Lie si es un isomorfismo ytanto φ como φ−1 son diferenciables.

Definimos ahora la nocion de homomorfismo de algebras de Lie.

Definicion 1.11. Sean g y h dos algebras de Lie.

(a) Una funcion ψ : g → h se dice un homomorfismo de algebras de Lie si es lineal ypreserva el corchete de Lie, i.e.,

ψ(aX + bY ) = aψ(X) + bψ(Y )

ψ[X,Y ] = [ψ(X), ψ(Y )].

(b) El homomorfismo ψ de dice un isomorfismo de algebras de Lie si es un isomorfismoy tanto φ como φ−1 preservan el corchete de Lie.

Definicion 1.12. Sea G un grupo de Lie.

(a) Un subconjunto H se dice subgrupo de Lie de G si es un subgrupo algebraico y H esun grupo de Lie tal que la inclusion es una inmersion diferenciable.

(b) El subconjunto h de g se dice una subalgebra de Lie si [X,Y ] ∈ h para todo X,Y ∈ h.

Proposicion 1.13. Sea G un grupo de Lie.

(a) Si H es un subgrupo de Lie de G, entonces h � TeH ⊂ TeG � g es una subagebra de Lie.

(b) Si h ⊂ g es una subalgebra de Lie, existe un unico subgrupo de Lie conexo H ⊂ G conalgebra de Lie h.

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La razon por la que permitimos que los subgrupos de Lie sean inmersos, en lugar desimplemente incrustados, es tal que la parte (b) de la proposicion anterior es valida paratoda subalgebra h ⊂ g. De hecho, una recta a traves del origen en el grupo de Lie (R2,+)con pendiente irracional es un subgrupo de Lie, y su imagen en el grupo de Lie R2/Z2 es unasubvariedad inmersa pero no incrustada.

Corolario 1.14. Sean H,G grupos de Lie conexos. Si φ, ψ : H → G son homomorfismos degrupo de Lie con Dφ = Dψ, entonces φ = ψ.

Lo siguiente es un hecho muy util y sorprendente.

Teorema 1.15. Sea G un grupo de Lie.

(a) Un subgrupo de Lie H ⊂ G es incrustado si y solo si este es cerrado.

(b) Si H ⊂ G es un subgrupo algebraico y cerrado, entonces H es un subgrupo de Lie.

Como hemos visto, a cada grupo de Lie le podemos asociar su algebra de Lie, y es naturalpreguntarse en la direccion inversa. La respuesta es sı, pero la prueba no es trivial. Se deducedel Teorema de Ado:

Teorema 1.16. (Teorema de Ado) Cualquier algebra de Lie (V, [ , ]) es isomorfa a unasubalgebra de gl(n,R) para algun n. Donde gl(n,R) detona el algebra de Lie de GL(n,R).

Combinando el el teorema de Ado con la Proposicion 1.13, obtenemos:

Corolario 1.17. Para cualquier algebra de Lie (V, [ , ]) existe un grupo de Lie G con gisomorfa a V .

1.2.2. Cubrimientos de grupos de Lie

La teorıa de espacios de recubrimiento se simplifica si nos restringimos a los grupos de Lie.Aunque no es necesario, utilizaremos la teorıa de recubrimientos dentro del contexto de lasvariedades diferenciables, es decir, los recubrimientos son difeomorfismos locales (ver [12]).

Proposicion 1.18. Sea G un grupo de Lie conexo.

(a) Si G es una variedad conexa y π : G → G es un recubrimiento, entonces G tiene unaunica estructura de grupo de Lie tal que π es un homomorfismo.

(b) Un homomorfismo de grupo de Lie φ : G→ G es un recubrimiento si y solo si Dφ(p) esun isomorfismo, para todo p ∈ G.

Decimos que π : G→ G es un recubrimiento de grupos de Lie, o simplemente un recubri-miento, si π es recubrimiento (en el sentido topologico) y un homomorfismo. Observe que laProposicion 1.18 (a), dice que la suposicion de que φ es un homomorfismo no es realmenterestrictiva. Podemos ahora establecer la clasificacion de cubrimientos de grupos de Lie.

Proposicion 1.19. Sean G, G dos grupos de Lie conexos.

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(a) Si φ : G→ G es un cubrimiento de grupos de Lie, entonces kerφ es un subgrupo discretode Z(G), el centro de G.

(b) Si Γ ⊂ G es un subgrupo discreto de Z(G), entonces G/Γ es un grupo de Lie.

En particular, el cubrimiento universal de un grupo de Lie es nuevamente un grupo deLie.

Como vimos en el Corolario 1.14, un homomorfismo φ esta determinado exclusivamentepor Dφ. En la otra direccion, tenemos que:

Proposicion 1.20. Sean (H, ·) y (G, ) dos grupos de Lie con H simplemente conexo, enton-ces para cualquier homomorfismo de algebra de Lie ψ : h → g existe un unico homomorfismode grupo de Lie φ : H → G, i.e.,

φ(a · b) = φ(a) φ(b) para todo a, b ∈ H,

tal que para todo X ∈ h se tiene que

Dφ(e)X = ψ(X).

Corolario 1.21. (a) Dos grupos de Lie simplemente conexos con algebras de Lie isomorfas,son isomorfos.

(b) Para cualquier algebra de Lie V , existe un unico grupo de Lie simplemente conexo G cong � V .

(c) Cualquier grupo de Lie con algebra de Lie g es isomorfa a G/Γ donde G es un grupo deLie simplemente conexo con algebra de Lie g, y Γ es un subgrupo discreto de Z(G).

1.2.3. Aplicacion exponencial

Comenzaremos con el concepto de grupo uniparametrico.

Definicion 1.22. Un homomorfismo φ : (R,+) → G se dice un grupo uniparametrico.Equivalentemente, φ(t) ∈ G para todo t con φ(t+ s) = φ(t)φ(s) para todo t, s ∈ R.

A continuacion enunciaremos un corolario de la Proposicion (1.20):

Corolario 1.23. Para cualquier X ∈ TeG, existe un unico homomorfismo C∞ (un grupouniparametrico), γ : (R,+) → (G, ·) tal que

dγ

dt

∣∣∣∣t=0

= X.

Definicion 1.24. Si G es un grupo de Lie con algebra de Lie g, entonces la aplicacionexponencial se define de la siguiente manera:

exp : g → G donde exp(X) = γ(1) con γ′(0) = X

donde γ corresponde al unico homomorfismo del corolario anterior.

14

Ahora recogemos las propiedades basicas de la aplicacion exponencial.

Proposicion 1.25. La aplicacion exponencial exp : g → G satisface:

(a) Para cada X ∈ g, φ(t) = exp(tX) es un grupo uniparametrico con φ′(0) = X.

(b) La curva integral c del campo de vectores invariante por izquierda X ∈ g con c(0) = g esc(t) = g exp(tX).

(c) exp es diferenciable con D exp0 = Id.

(d) Si φ : G → H es cualquier homomorfismo C∞, entonces exp ◦Dφ = φ ◦ exp, es decir,hace que el diagrama conmute.

TeG

exp

��

Dφ �� TeH

exp

��G

φ �� H

(e) Si H ⊂ G es un subgrupo de Lie, entonces

h = {X ∈ g| expG(tX) ∈ H, para |t| < ε, para algun ε > 0}.

1.2.4. Accion de Grupos de Lie sobre Variedades

Sean H y G grupos y ψ : H → G un homomorfismo. Definamos la aplicacion Θ : H×G→G por Θ(h, g) = ψ(h) · g. Entonces Θ es una accion por la izquierda de H sobre G.

Ahora si G y H son grupos de Lie y ψ : H → G es un homomorfismo de grupos de Lie,entonces la accion Θ definida arriba es C∞. En el caso que H es un subgrupo de Lie de G ocuando H = G y φ es la inclusion (identidad) de H en G, decimos que H actua como grupode traslaciones a la izquierda sobre G.

Definicion 1.26. Sea G un grupo que actua sobre un conjunto M . La orbita de x ∈M es elconjunto G · x = {g · x : g ∈ G} el cual denotamos simplemente por G · x.

Si G · x = x decimos que x es un punto fijo de la accion de G sobre M ; si G · x =M paraalgun x ∈M , diremos que G actua de modo transitivo sobre M . En este caso G ·x =M paratodo x ∈M .

Ahora si G es un grupo de Lie, M es una variedad C∞ y Θ :M ×G→ G es una accion,definimos p ∼ q si, y solo si, existe g ∈ G tal que q = Θ(g, p), ademas, “∼” es una relacionde equivalencia. El conjunto cociente M/G se denomina espacio de orbitas. Dotamos M/Gcon la topologıa cociente inducida por la proyeccion canonica π :M →M/G.

Teorema 1.27. Sea G un grupo de Lie y H ⊂ G un subgrupo de Lie. Entonces la proyeccioncanonica π : G→ G/H es continua y abierta. Ademas, G/H es Hausdorff si, y solo si, H escerrado.

Definicion 1.28. Decimos que una variedad M es homogenea si existen un grupos de Lie Gy un subgrupo de Lie H ⊂ G tal que M = G/H.

15

Definicion 1.29. Sea G un grupo de Lie que actua sobre un conjunto X y sea x ∈ X , elgrupo de isotropıa o estabilizador de x es el grupo Gx = {g ∈ G : g · x = x}.Teorema 1.30. Si G actua transitivamente sobre M , entonces existe una correspondenciabiyectiva entre M y G/H, donde H es el grupo de isotropıa (accion considerada por la iz-quierda).

Definicion 1.31. Sea G un grupo que actua sobre una variedad M . Decimos que la accionde G en M es propiamente discontinua si para cada x ∈ M existe una vecindad U ⊂ M dex tal que, para cada g ∈ G, g = e, se tiene que U ∩ gU = ∅.Teorema 1.32. Sea G un grupo cuya accion sobre una variedad M es propiamente disconti-nua. Entonces el conjunto M/G admite una estructura de variedad diferenciable de la mismaclase de diferenciabilidad y dimension que M .

Teorema 1.33. Sea Mm una variedad de clase Ck y G ∈ Diff k(M) un subgrupo que actuade modo propiamente discontinuo y sin puntos fijos sobre M . Entonces M/G admite una(unica) estructura de variedad de clase Ck y dimension m, tal que la proyeccion canonicaπ :M →M/G es un recubrimiento Ck.

Con relacion al teorema anterior, definiremos dos conceptos fundamentales para esta tesis:

Definicion 1.34. Supongamos que G es un grupo de Lie nilpotente, simplemente conexo yque Γ es un subgrupo discreto tal que G/Γ es compacto, un subgrupo con estas condiciones esllamado un reticulado (uniforme). De manera equivalente podemos encontrar un dominiofundamental para la accion de Γ en G por traslaciones a izquierda.

Para ver detalles de los conceptos implicados en la definicion anterior, ver seccion A.8 de[11]

Observacion 1.35. Note que contrariamente al caso abeliano (ver ejemplo 3), Γ no es unsubgrupo normal y por lo tanto el cociente G/Γ, el cual es llamado nilvariedad, no poseeuna estrucctura de grupo.

1.3. Dinamica

1.3.1. Definiciones basicas de dinamica

Definicion 1.36. Sea M un espacio metrico compacto. Un sistema dinamico discretoen M es una funcion continua F : Z×M →M tal que:

1. F (0, ·) = id

2. F (n, F (m,x)) = F (n+m,x), para todo n,m ∈ Z, para todo x ∈M.

Observacion 1.37. Si definimos para cada n ∈ Z el mapa Fn : M → M por Fn(x) =F (n, x), tenemos que Fn ◦ Fm = Fn+m para todo n,m ∈ Z. En particular, si f = F1 es unhomeomorfismo (su inversa es f−1 = F−1) y se cumple que Fn = fn. Por esto, un sistemadinamico discreto esta generado por un homeomorfismo f :M →M .

16

Definicion 1.38. Sea x ∈M . Si f :M →M es un homeomorfismo, la orbita de x es

O(x) = {fn(x) : n ∈ Z}.Llamamos orbita futura de x al conjunto O+(x) = {fn(x) : n ≥ 0}. Analogamente, orbitapasada de x a O−(x) = {fn(x) : n ≤ 0}.Definicion 1.39. Sea f :M →M un sistema dinamico discreto.

(i) Un punto p ∈M se dice fijo si f(p) = p.

(ii) Un punto p ∈M se dice periodico si existe k ≥ 1 tal que fk(p) = p. Se llama periodode p al mın{k ≥ 1 : fk(p) = p}. Notamos por Per(f) al conjunto de puntos periodicosde f .

Definicion 1.40. Si f : M → M es un sistema dinamico discreto y x ∈ M , definimos elω-lımite de x como

ω(x, f) = {y ∈M : ∃nk → +∞ tal que fnk(x) → y}.Analogamente, definimos el α-lımite de x como

α(x, f) = {y ∈M : ∃nk → −∞ tal que fnk(x) → y}.Observacion 1.41. Sea f : M → M un homeomorfismo y p ∈ M un punto periodico,entonces ω(p) = α(p) = O(p).

Definicion 1.42. Sea f : M → M un sistema dinamico. Un punto x ∈ M es no-errantesi para todo entorno U de x, se tiene que existe n ≥ 1 tal que fn(U) ∩ U = ∅. NotamosΩ(f) = {x ∈M : x es no errante} y lo llamamos conjunto no errante.

Observacion 1.43. 1. Ω(f) es cerrado e invariante.

2. Per(f) ⊂ Ω(f)

Definicion 1.44. Sea M un espacio metrico y f : M → M un sistema dinamico. Decimosque f es transitivo si existe x ∈M tal que

O(x) =M

Definicion 1.45. Sea f : M → M un homeomorfismo. Decimos que f es expansivo siexiste α > 0 tal que si d(fn(x), fn(y)) ≤ α, para todo n ∈ Z, entonces x = y (α se llamaconstante de expansividad).

Definicion 1.46. Sea f :M →M un homeomorfismo. Decimos que f es topologicamentemixing si dados U , V abiertos en M , existe m > 0 tal que fn(U)∩ V = ∅ para todo n ≥ m.

Definicion 1.47. Sea M una variedad Riemanniana compacta y f : M → M un difeo-morfismo. Un punto fijo p ∈ M se dice hiperbolico si Dfp : TpM → TpM no tiene valorespropios de modulo uno. Un punto periodico de perıodo k se dice hiperbolico si es un puntofijo hiperbolico de fk.

17

1.3.2. Variedades invariantes

Sea f ∈ Diffr(M) y suponga que p ∈ M es un punto fijo hiperbolico de f . El conjuntoW s(p) de puntos en M que tienen a p como ω-lımite es llamado el conjunto estable de p y elconjunto W u(p) de puntos que tienen a p como α- lımite es llamado la variedad inestable dep (ver [13], pagina 80). Una definicion equivalente (ver [4], capıtulo 5, pagina 124) dada paraun conjunto hiperbolico, es la siguiente

Definicion 1.48. Sea Λ un conjunto hiperbolico del difeomorfismo f : U →M y x ∈ Λ. Lasvariedades estables e inestables (globales) de x estan denifidas por:

W s(x) = {y ∈M : d(fn(x), fn(y)) → 0 cuando n→ ∞}

W u(x) ={y ∈M : d(f−n(x), f−n(y)) → 0 cuando n→ ∞}

Es claro que W s(p) y W u(p) son invariantes por f . Usando la hiperbolicidad de p, des-cribiremos la estructura de estos conjuntos.

Definicion 1.49. Los conjuntos

W sβ(p) = {q ∈M : d(fn(q), fn(p)) < β, ∀n ∈ N0},

W uβ (p) = {q ∈M : d(f−n(q), f−n(p)) < β, ∀n ∈ N0}

son llamados las variedades estable local e inestable local de tamano β, del punto p.

Recordemos que una inmersion topologica de Rd en M es una funcion continua F : Rd →M tal que cualquier punto x ∈ Rd tiene un entorno V , con la siguiente propiedad: la restriccionde F a V (F |V ) es un homeomorfismo con su imagen. En este caso decimos que F (Rd) ⊂Mes una subvariedad topologica inmersa de dimension d. Una incrustacion topologica de Rd enM es una inmersion topologica inyectiva que es un homeomorfismo con su imagen. Para lademostracion de la siguiente proposicion, ver [13], pagina 81.

Proposicion 1.50. Si β > 0 es suficientemente pequeno y p un punto fijo hiperbolico, tene-mos que:

1) W uβ (p) ⊂W s(p) y W u

β (p) ⊂W u(p)

2) W sβ(p) (respectivamente W u

β (p)) es un disco topologico incrustado en M cuya dimensiones la del subespacio estable (respectivamente inestable) de A = Dfp.

3) W s(p) =⋃

n≥0 f−n(W s

β(p)) y Wu(p) =

⋃n≥0 f

n(W uβ (p)). Por lo tanto, existe una inmer-

sion topologica inyectiva ϕs : Es → M (ϕu : Eu → M) cuya imagen es W s(p) (respecti-vamente W u(p)), donde Es y Eu son los subespacios estable e inestable de A = Dfp.

Observacion 1.51. Si p ∈M es un punto fijo de f , entonces la variedad estable de p relativaa f coincide con la variedad inestable de p relativa a f−1. Aquella dualidad permite traducirtoda propiedad de variedad inestable en una propiedad de variedad estable.

18

2. Automorfismo en la nilvariedad Tn

2.1. Automorfismos en T2

El primer objetivo de esta seccion es describir la dinamica de un automorfismo en lanilvariedad T2, el cual viene dado por un automorfismo sobre el grupo de Lie (R2,+). Paradescribir esta dinamica, recurriremos a un automorfismo sobre el algebra de Lie, asociadoal grupo de Lie. Como las algebras de Lie presentan estructura de espacio vectorial (verDefinicion 1.5), aca podemos describir valores, vectores y subespacios propios asociados alautomorfismo, lo cual permitira tener una descripcion completa del sistema.

Mas precisamente, consideremos la siguiente transformacion lineal en R2

A : R2 → R2

(x, y) → A(x, y) = (2x+ y, x+ y)

Esta transformacion lineal se representa por la matriz

A =

(2 11 1

)

Describamos algunas propiedades de A. En primer lugar, los valores propios de A son

λ1 =3 +

√5

2> 1 y λ−1

1 = λ2 =3−√

5

2< 1

Como la matriz es simetrica, los vectores propios son ortogonales. Los vectores propios co-

rrespondientes al primer valor propio pertenecen a la recta y =√5−12 x. La familia de rectas

paralelas a esta son invariantes bajo A. Ademas en aquellas lıneas, A expande distanciasde manera uniforme por un factor λ1. Analogamente, existe una familia de rectas que con-

traen distancia y = −√5−12 x + cte. Lo anterior nos permite afirmar que si x = y entonces

supn∈Z ‖Anx−Any‖ = ∞, esto implica que A es expansiva (ver Definicion 1.45). Esta ultimapropiedad dinamica sera de gran utilidad en esta seccion.

Observacion 2.1. Nuestro automorfismo esta representado por una matriz invertible con to-dos sus valores propios de modulo diferente de 1, en general, las matrices con estas condicionesse les llama hiperbolicas.

Por otra parte, de la Proposicion 1.25, una funcion φ es un automorfismo de (R2,+) si ysolo si, φ es conjugado a un automorfismo Φ en el algebra de Lie R2, vıa la funcion exponencial.Nosotros afirmamos que la funcion exponencial, en este caso, es la funcion identidad. Enefecto, por la Definicion 1.24, dado v ∈ R2, consideremos el homomorfismo C∞ γ : R →(R2,+) definido por t → γ(t) = tv, dado que dγ/dt(0) = v, del Corolario 1.23 tenemos que γes unico y por lo tanto

exp(v) = γ(1) = v,

lo que demuestra la afirmacion.Ahora, nuestra transformacion lineal A es conjugada vıa la funcion identidad a un homo-

morfismo en el grupo de Lie (R2,+), el cual tambien llamaremos A.

19

En particular, nuestra matriz A tiene entradas enteras, lo cual es suficiente para queA(Z2) ⊂ Z2, sin embargo para que A−1(Z2) ⊂ (Z2) es necesario pedir que det(A) = ±1. Porlo tanto, si A ∈ SL(2,Z) preserva el subgrupo normal discreto Z2. Este hecho nos permitedefinir a partir de A un homeomorfismo f del grupo aditivo T2 = R2/Z2 como definiremos acontinuacion.

Definicion 2.2. Sea A ∈ SL(n,Z) hiperbolica. El difeomorfismo f : Tn → Tn inducido porA es definido por

f ◦ π = π ◦Adonde π : Rn → Tn es la proyeccion canonica. En tal caso, f es llamado difeomorfismo deAnosov Lineal.

Teorema 2.3. Sea f : T2 → T2 un automorfismo hiperbolico inducido por A, entonces:

(i) Per(f) = Ω(f) = T2.

(ii) f es transitivo y topologicamente mixing.

(iii) f es expansivo.

(iv) Para cualquier z ∈ T2, las variedades W s(z) y W u(z) son densas en T2.

Demostracion. (i) Dado q ∈ Z consideremos el conjunto Cq = {(m/q, n/q) : m,n ∈ Z}, elcual es invariante por A. En efecto, sea (m/q, n/q) ∈ Cq luego

A

(m

q,n

q

)=

(2m

q+n

q,m

q+n

q

)=

(2m+ n

q,m+ n

q

)

el cual es un elemento de Cq. Por lo tanto A(Cq) ⊆ Cq.Para ver la otra contencion, basta tomar el punto (m−n

q , 2n−mq ), luego

A

(m− n

q,2n−m

q

)=

(m

q,n

q

)

Ası A(Cq) = Cq.Por otra parte, tenemos que

f(π(Cq)) = π(A(Cq)) = π(Cq)

lo que implica que π(Cq) es invariante por f , pero este conjunto es finito en el toro. Por lotanto, dado x ∈ π(Cq) necesariamente existen m, k ∈ Z (podemos suponer m > k) tales que

fm(x) = fk(x) (7)

y como f es invertible, podemos aplicar f−k en ambos lados de la ecuacion (7) y obtenemosque fm−k(x) = x. Ası x es periodico, luego π(Cq) ⊂ Per(f).

Por otro lado⋃q∈Z

Cq es denso en R2, esto implica que⋃q∈Z

π(Cq) es denso en T2.

20

Por lo tanto

T2 =⋃q∈Z

π(Cq) ⊂ Per(f) ⊂ Ω(f) ⊂ T2

lo que concluye el ıtem (i).(ii) Sean λ1, λ2 los valores propios de la matriz A. Como describimos anteriormente λ1 >

1 > λ2 > 0. Sean Eu := Eλ1 ⊆ R2, Es := Eλ2 ⊆ R2 los espacios propios de A. Ademas lasrectas Eu, Es tienen pendiente irracional. Consideremos W u(0) := π(Eu), W s(0) := π(Es).Estas son curvas conexas que tienen pendiente constante en el toro, luego solo pueden sercurvas cerradas simples y conexas (si la pendiente Es o Eu fuese racional) o curvas infinitassin autointerseccion en T2 (como en nuestro caso). De lo anterior resulta que W u(0) y W s(0)son densas en T2.

De momento trabajaremos con la proyeccion de los subespacios π(Ei) en vez de W i(0),porque resultan mas claros los argumentos.

Estamos en condiciones de mostrar que f es topologicamente mixing (lo que a su vezimplica la transitividad de f). En efecto, sean U, V abiertos cualesquiera en T2. Luego por elargumento anterior π(Es) ∩ U = ∅ y π(Eu) ∩ V = ∅. Sean U , V ⊂ R2 componentes conexasde π−1(U) y π−1(V ) respectivamente tales que Es ∩ U = ∅ y Eu ∩ V = ∅. Si escogemos unsegmento de recta J ⊂ U tal que J sea paralelo a Eu y por lo tanto transversal a Es, porlas propiedades de A, sabemos que An(J) se dilata en la direccion paralela a Eu y se acercaexponencialmente al origen en la direccion estable, luego conluımos que existe un n0 ∈ N talque An(J) ∩ V = ∅ para todo n ≥ n0. Por lo tanto

fn(U) ∩ V ⊃ π(An(U) ∩ V ) = ∅, ∀n ≥ n0

Ası f es topologicamente mixing.Veamos que f es expansivo. Debemos mostrar que si dos puntos se mantienen a distancia

acotada, tanto para el futuro como para el pasado, entonces estos son iguales. Consideremosε0 > 0 tal que si

‖x− y‖ < ε0 ⇒ ‖Ax−Ay‖ < 1

4

y sean x, y dos puntos de T2 tal que

d(fn(x), fn(y)) ≤ ε0, ∀n ∈ Z.

Fijemos x ∈ π−1(x) y para cada n ∈ Z tomemos yn ∈ π−1(fn(y)) tal que ‖yn − Anx‖ ≤ ε0.Afirmamos que yn+1 = Ayn, ∀n ∈ Z. En efecto, como ‖yn − Anx‖ ≤ ε0 entonces ‖Ayn −An+1x‖ ≤ 1

4 , pero por hipotesis π(Ayn) = f(π(yn)) por lo tanto Ayn ∈ π−1(fn+1(y)) , peroeste conjunto tiene un unico elemento a distancia 1

4 de An+1x, ası concluımos que Ayn = yn+1.Luego yn = Any0, ∀n ∈ Z y por lo tanto ‖Anx−Any0‖ ≤ ε0, ∀n ∈ Z. Por la expansividad deA deducimos que y0 = x y ası x = y.

Para el punto (iv) trabajaremos solo con W s, ya que el razonamiento es analogo paraW u.

Dado x ∈ R2, el conjunto (x+Es) := {y ∈ R2 : dis(Anx,Any) → 0;n→ +∞}, en nuestrocaso corresponde a un trasladado del subespacio propio asociado al valor propio λ y por lo

21

tanto π(x+ Es) es denso en T2. Nosotros afirmamos que

W s(π(x)) = π(x+ Es)

En efecto, sea y ∈ (x+ Es) entonces

‖Anx−Any‖ → 0; n→ ∞y por lo tanto

d(fn(π(x)), fn(π(y))) → 0; n→ ∞y esto implica π(x + Es) ⊂ W s(π(x)) (lo cual a su vez implica que es densa). Por otrolado considerando ε0 como antes y sea y ∈ T2 tal que y ∈ W s(π(x)). Existe n0 tal qued(fn(π(x)), fn(y)) ≤ ε0, n ≥ n0. Para simplificar supondremos n0 = 0. Sea yn ∈ π−1(fn(y))tal que ‖yn − Anx‖ ≤ ε0. Se deduce, por el razonamiento anterior, que yn+1 = Ayn. Peroentonces ‖Any0 − Anx‖ → 0; n → ∞ y luego y0 ∈ (x + Es). Esto concluye la demostracionde W s(π(x)) = π(x+ Es). Analogamente se prueba que W u(π(x)) = π(x+ Eu).

Observacion 2.4. En el teorema decimos que las“variedades” W i(p) son densas en T2, perono hemos argumentado por que estos conjuntos tienen estructura de variedad diferenciable.En efecto, mostraremos que W i(0) con i ∈ {u, s} es un subgrupo de Lie. De acuerdo a laDefinicion 1.12, un subgrupo de Lie es un subgrupo algebraico que ademas su inclusion algrupo original es una inmersion diferenciable. Esto es una consecuencia directa de que lafuncion

π : R2 → R2/Z2

x → π(x) = x mod Z2,

sea un homomorfismo, es decir, lleva al subgrupo Ei(0) en el subgrupo W i(0) y ademasπ|Ei(0) es una inmersion C∞.

Observacion 2.5. El conjunto de todas las variedades estables Fs = {W s(x) : x ∈ T2}define una foliacion llamada foliacion estable, similarmente la foliacion inestable es Fu ={W u(x) : x ∈ T2}. Estas foliaciones son transversales y cada unas de sus hojas W s(x),W u(x) tiene pendiente constante.

Por otra parte, sabemos que la derivada de f es Df(x) = A : R2 → R2 identificando R2

con el plano tangente a T2 en x. La recta tangente a W s(x) en x con esta identificacion esTxW

s(x) = Es ⊆ R2, tambien TxWu(x) = Eu ⊆ R2. Los automorfismos lineales del toro son

el ejemplo mas simple de difeomorfismos de Anosov. Un difeomorfismo f de una variedadcompacta M , f : M → M es Anosov si en todo punto p ∈ M existe una descomposiciondel espacio tangente TpM = Es(p)⊕Eu(p) en dos subespacios transversales Es(p), Eu(p) talque

(i) Esta descomposicion es continua,

(ii) la descomposicion es invariante por la derivada de f , es decir, para todo x ∈ T2

Df(x)(Es(x)) = Es(f(x)) , Df(x)(Eu(x)) = Eu(f(x))

22

(iii) Existen constantes C > 0 y 0 < λ < 1 tal que

‖Dfn(x)v‖ ≤ Cλn; ‖Df−n(x)u‖ ≤ Cλn

para todo x ∈M , v ∈ Es y u ∈ Eu

El interes de los automorfismos en T2 se justifica en el siguiente teorema, cuya demostra-cion original para el caso de Tn esta en el artıculo [6] y una demostracion para el caso de T2

ver [14]

Teorema 2.6. Sea f : T2 → T2 difeomorfismo de Anosov. Entonces existe A : T2 → T2

Anosov lineal tal que f es conjugado a A.

Observacion 2.7. Todo difeomorfismo de Anosov tiene un par de foliaciones transversalesFs, Fu tales que sus hojas tienen como espacios tangentes los subespacios Es, Eu respectiva-mente. Ademas tomando N grande (para compensar la constante C en (iii)) el difeomorfismofN contrae las hojas estables W s(p) y expande las hojas inestables W u(p) por iteradas futu-ras de fN . Las hojas estables W s(p) son copias de Rs inmersas en M , donde s = dimEs(p),similarmente para W u(p).

La unica variedad compacta 2-dimensional orientable que admite un difeomorfismo deAnosov es T2, pues es la unica superficie que admite un campo de lıneas Fs (o Fu) (ya quees la unica con caracterıstica de Euler = 0 )

2.2. Automorfismos en T3

Para el caso del toro tres dimensional, considerarmos una funcion f : T3 → T3 de laforma f(x, y) = (fA(x), y), donde (x, y) ∈ T3 = T2 × T y fA : T2 → T2 es un difeomorfismode Anosov inducido por una transformacion lineal hiperbolica en R2. Esta funcion deja fijala tercera coordenada, por lo tanto la matriz que induce el difeomorfismo, tiene un valorpropio de modulo 1. Esta es una generalizacion de las matrices hiperbolicas descritas en laObsevacion (2.1) y las llamaremos parcialmente hiperbolicas. En este caso ademas de existirfoliaciones invariantes estables e inestables, aparece el concepto de foliacion central.

Consideramos la matriz B ∈ SL(3,R),

B =

⎛⎝ 2 1 0

1 1 00 0 1

⎞⎠ .

La matriz B va a inducir una aplicacion lineal sobre R3 que es un isomorfismo del reticuladoZ3, entonces va a bajar a un difeomorfismo en T3.

La matriz B tiene 3 valores propios, λ = 3+√5

2 > 1, λ−1 = 3−√5

2 ∈ (0, 1) y 1. Los vectorespropios que les corresponden son vu = (λ− 1, 1, 0), vs = (1, 1− λ, 0) y vc = (0, 0, 1), ademasdenotemos por Eu = Rvu, E

s = Rvs y Ec = Rvc los espacios propios correspondientes.Para todos los puntos p ∈ R3, vamos a llamar la variedad inestable de p la recta W u

B(p) =p + Eu. Similarmente tenemos la variedad estable W s

B(p) = p + Es y la variedad centralW c

B(p) = p+ Ec. Es facil verificar las siguientes propiedades:

23

1. B(W iB(p)) =W i

B(B(p)), para todos p ∈ R3 y i ∈ {u, s, c}.2. Si q ∈W u

B(p), entonces d(Bnp,Bnq) = λnd(p, q), para todo n ∈ Z.

3. Si q ∈W sB(p), entonces d(B

np,Bnq) = λ−nd(p, q), para todo n ∈ Z.

4. Si q ∈W cB(p), entonces d(B

np,Bnq) = d(p, q), para todo n ∈ Z.

5. Para todos p, q ∈M , W iB(p) =W i

B(q) o WiB(p) ∩W i

B(q) = ∅, para i ∈ {u, s, c}.Mirando mas en detalle se puede ver que, para todo p ∈ R3,

6. Dado 1 ≥ μ > λ−1,

W uB(p) =

{q ∈ R3 : lım

n→−∞ d(Bnp,Bnq) = 0

}

=

{q ∈ R3 : lım

n→−∞1

μ|n|d(Bnp,Bnq) = 0

},

7. Dado 1 ≥ μ > λ−1,

W sB(p) =

{q ∈ R3 : lım

n→∞ d(Bnp,Bnq) = 0}

=

{q ∈ R3 : lım

n→∞1

μnd(Bnp,Bnq) = 0

}.

8. Dado μ > 1,

W cB(p) =

{q ∈ R3 : {d(Bnp,Bnq), n ∈ Z} es acotado

}=

{q ∈ R3 : lım

n→±∞1

μ|n|d(Bnp,Bnq) = 0

}.

La particion de R3 en variedades inestable forma la foliacion inestable W uB; de manera

similar se definen la foliacion estable W sB y la foliacion central W c

B. Los elementos de estasparticiones son rectas.

Ahora consideramos la aplicacion f = fB inducida por B sobre el toro T3, y sea π laproyeccion canonica desde R3 a T3. Para un punto p ∈ T3 definimos la variedad inestablede p: W u(p) = π(W u

B(x)), donde x ∈ π−1(p). Se puede ver que W u(p) esta bien definida, nodepende de la eleccion de x. De la misma manera definimos la variedad estable W s(p) y lavariedad central W c(p).

La direccion de Eu no tiene pendiente racional, entonces la proyeccion π de x+Eu sobreel toro T3 es inyectiva. En otras palabras, π : W u

B(x) → W u(p) es invertible (pero no eshomeomorfismo!). Localmente π es un difeomorfismo (isometrıa), y W u(p) es una “recta”que da vuelta al toro T3, y que no se intersecta a si misma. Ademas si p = (p1, p2, p3), pi ∈ T,entonces W u(p) es densa en el toro 2-dimensional T2 × {p3} ⊂ T3.

Las variedades estables de f en T3 van a tener una estructura similar a las variedadesinestables. Las variedades centrales son diferentes. En este caso la proyeccion no es inyectiva,

24

π(y + (0, 0, n)) = π(y) para y ∈ x + Ec y n ∈ Z, y en consecuencia W c(p) es el cırculo{(p1, p2)} × T1 ⊂ T3.

Para obtener propiedades de las variedades de f , como en el caso de B, tenemos que definirdistancias sobre las variedades inestables, estables y centrales. Suponemos que p, q ∈ T3,q ∈ W u(p), entonces para un x ∈ π−1(p) tenemos un unico y ∈ W u

B(x) tal que π(y) = q.Definimos la distancia inestable du(p, q) = dR3(x, y). Se puede verificar que la definicion esindependiente de la eleccion de x ∈ π−1(p). En efecto,

La distancia estable ds se define de la mismo manera. La distancia central dc es diferente,porque si q ∈W c(p) yW c(p) = π(W c

B(x)), entonces q tiene un numero infinito de preimagenesbajo π en W c

B(x). En este caso definimos dc(p, q) = ınf{dR3(x, y) : y ∈ W cB(x) ∩ π−1(q)}. De

nuevo dc es bien definida, y ademas coincide con la restriccion sobre W c de la distancia usualen T3.

Se pueden observar de nuevo facilmente las siguientes propiedades:

1. f(W i(p)) =W i(f(p)), para todos p ∈ R3 y i ∈ {u, s, c}.2. Si q ∈W u(p), entonces du(f(p), f(q)) = λdu(p, q), para todo n ∈ Z.

3. Si q ∈W s(p), entonces ds(f(p), f(q)) = λ−1ds(p, q), para todo n ∈ Z.

4. Si q ∈W c(p), entonces dc(fnp, fnq) = dc(p, q), para todo n ∈ Z.

5. Para todos p, q ∈M , W i(p) =W i(q) o W i(p) ∩W i(q) = ∅, para i ∈ {u, s, c}.Tambien tenemos caracterizaciones de las variedades con respecto a la distancia usualen T3:

6. Dado 1 ≥ μ > λ−1,

W u(p) =

{q ∈ T3 : lım

n→−∞ d(fnp, fnq) = 0

}

=

{q ∈ R3 : lım

n→−∞1

μ|n|d(fnp, fnq) = 0

}.

7. Dado 1 ≥ μ > λ−1,

W s(p) ={q ∈ T3 : lım

n→∞ d(fnp, fnq) = 0}

=

{q ∈ R3 : lım

n→∞1

μnd(fnp, fnq) = 0

}.

8.

W cf (p) =

{q ∈ T3 : d(fnp, fnq) = d(p, q), ∀n ∈ Z

}

25

Asi obtenemos en el toro T3 tres foliaciones invarientes por f . La foliacion inestable W u

contiene rectas con pendiente iraccional que son expandidas por f con el factor λ > 1, lafoliacion estable W s contiene rectas con pendiente iraccional que son contraıdas por f con elfactor λ−1 < 1, y la foliacion central W c contiene cırculos donde f es una isometrıa. Vamosa llamar el difeomorfismo f parcialmente hiperbolico.

La construccion presentada anteriormente puede ser generalizada en varios modos. Lageneralizacion inmediata es reemplazar la matriz(

2 11 1

).

por cualquier otra matriz A ∈ SL(2,Z) con determinante 1 e hiperbolica (ver Observacion2.1). Asi B es una aplicacion lineal sobre R3 tal que B(x, y) = (Ax, y), para todos x ∈ R2 yy ∈ R, y va a inducir un automorfismo parcialmente hiperbolico del toro T3. Vamos a tenerde nuevo las 3 foliaciones invariantes con la misma estructura.

La aplicacion lineal anterior B puede ser modificada para obtener una transformacionafin. Sea G : R3 → R3, G(x, y) = (Ax, y + a), donde a ∈ R. Se puede verificar que G(x, y) =G((x, y) + z) para todo (x, y) ∈ R3, z ∈ Z3, entonces G va a inducir una aplicacion g sobreT3, que es el producto entre fA y una rotacion del circulo con angulo 2πa. De nuevo las tresfoliaciones invariantes tienen la misma estructura.

Mas general, una construccion similar funciona en cualquier dimension sobre el toro Tn.Sea A ∈ SL(n,Z) con determinante 1. Sea λ1 < λ2 < . . . < λk los valores absolutos delos valores propios de A en orden creciente. Para cada i ∈ {1, 2, . . . k} sea Ei la suma delos subespacios de vectores propios generalizados correspondiente a los valores propios convalor absoluto λi. Los espacios Ei son disjuntos y la suma directa es todo el Rn. Para cadai ∈ {1, 2, . . . k}, las translaciones de los subespacios Ei forman una foliacion de Rn que esinvariante por A y que expande o contrae las distancias bajo Am con un factor de orden de λmi .Consideramos Es = ⊕λi<1Ei, E

u = ⊕λi>1Ei, y Ec = E1 (si existen valores propios con valor

absoluto 1). De nuevo, las translaciones de Es, Eu y Ec van a formar foliacionesW s,W u, yW c

invariantes por A, llamadas foliaciones estables, inestables y centrales. Todas las foliacionesmencionadas se proyectan a foliaciones correspondentes en el toro Tn y van a ser invariantespor fA. La proyeccion de Es y Eu sobre el toro es siempre inyectiva. Dependiendo si Ec

contiene puntos con coordenadas racionales (y cuantos), las hojas de la foliacion proyectadaen el toro van a ser toros, cilindros o planos.

La nocion natural de equivalencia para sistemas parcialmente hiperbolicos es leaf conju-gacion, como se introdujo en [9]. Dos difeomorfismos parcialmente hiperbolicos f y g son leafconjugados si existe un homeomorfismo h que lleva a cada hoja central L de f en una hojacentral de g y

(h ◦ f)(L) = (g ◦ h)(L).Observacion 2.8. La definicion anterior es valida si las distribuciones Ec, Ecu = Ec ⊕ Eu

y Ecs = Ec ⊕Es son unicamente integrables, para cada difeomorfismo. Esto se conoce comodinamicamente coherente.

Una relacion analoga al Teorema 2.6 entre los difeomorfismos arbitrarios y los automorfis-mos en T3, fue realizada por Hammerlindl [7] en su tesis doctoral. Hammerlindl muestra que

26

si un difeomorfismo parcialmente hiperbolico en un toro de dimension d ≥ 3 tiene foliacionesestables e inestables las cuales son cuasi-isometricas en el cubrimiento universal, y su direccioncentral es unidimensional, entonces el difeomorfismo es leaf conjugado con un automorfismolineal el toro. En otras palabras, la estructura hiperbolica del difeomorfismo es exactamentela de un lineal, y por lo tanto, mas simple de entender. En particular, cada difeomorfismoparcialmente hiperbolico en el 3-toro es leaf conjugado a un automorfismo lineal.

27

3. El grupo de Heisenberg

3.1. El grupo de Heisenberg

Debido a la clasificacion de Bianchi [16], existen exactamente dos grupos de Lie nilpotentessimplemente conexos de dimension tres:

• El grupo de Lie abeliano R3, donde la operacion es la suma, y

• El grupo de Heisenberg H, el cual es un subgrupo de matrices de la forma⎛⎝1 x z

1 y1

⎞⎠ (x, y, z) ∈ R

bajo la operacion multiplicacion de matrices (de aca en adelante, las entradas de lasmatrices que se encuentren en blanco seran tomadas como ceros).

Tambien podemos denotar H = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} = R3 con la operacion

(a, b, c) · (x, y, z) = (a+ x, b+ y, c+ z + ay).

Con esta operacion tenemos que el elemento neutro es (0, 0, 0) y que (a, b, c)−1 = (−a,−b, ab−c).

Observamos que H es un grupo no conmutativo, es decir, Z(H) � H. Recordemos quedado un grupo G, se tiene que todos los elementos que conmutan con todos los elementos delgrupo, forman un subgrupo llamado centro de G y se denota por Z(G). No es difıcil probarque

Z(H) =

⎧⎨⎩⎛⎝1 0 t0 1 00 0 1

⎞⎠ : t ∈ R

⎫⎬⎭ . (8)

El cual, ademas, es isomorfo al grupo (R,+). Este hecho sera util en la proxima seccioncuando queramos describir los automorfismos sobre H.

Para e = (0, 0, 0) ∈ H, elegimos una base en el tangente TeH como {∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z}.Luego, el difeomorfismo natural, trasladar a izquierda, (ver Definicion 1.7) nos permite cons-truir campos de vectores X,Y, Z ∈ h invariantes a izquierda cuyo valor en la identidad es labase estandar de R3 En efecto, dado g = (g1, g2, g3) ∈ H, tenemos que

Lg : H → H(x, y, z) → Lg(x, y, z)

donde Lg(x, y, z) = g · (x, y, z) = (g1 + x, g2 + y, g3 + z + g1y), luego

DLg(p) =

⎛⎝1 0 00 1 00 g1 1

⎞⎠ , para todo p ∈ H.

28

Entonces, para e1 = (1, 0, 0) tenemos asociado el siguiente campo de vectores X : H → TH:

X(g) = DLg(e)e1 =

⎛⎝1 0 00 1 00 g1 1

⎞⎠⎛⎝100

⎞⎠ = (1, 0, 0) =

∂

∂x.

Analogamente

Y (g) = DLg(e)e2 =

⎛⎝1 0 00 1 00 g1 1

⎞⎠⎛⎝010

⎞⎠ = (0, 1, g1) =

∂

∂y+ g1

∂

∂z

y

Z(g) = DLg(e)e3 =

⎛⎝1 0 00 1 00 g1 1

⎞⎠⎛⎝001

⎞⎠ = (0, 0, 1) =

∂

∂z.

Note que estos campos forman una base del algebra de Lie h de H. De hecho, si vemos a Hcomo un subgrupo de Lie de GL(3,R) entonces h forma una sub-algebra de gl(3,R), ası loscampos vectoriales X,Y, Z pueden ser vistos como matrices:

X(e) =

⎛⎝0 1 0

0 00

⎞⎠ , Y (e) =

⎛⎝0 0 0

0 10

⎞⎠ , Z(e) =

⎛⎝0 0 1

0 00

⎞⎠ ,

Aca la operacion corchete de Lie corresponde al conmutador de matrices lo que nos permiteobtener facilmente:

[X,Y ] = Z, [Y, Z] = [Z,X] = 0.

3.2. Automorfismos

De acuerdo al analisis previo, el algebra de Lie h es un espacio vectorial 3 dimensional.Entonces, considerando X,Y y Z como base de h, cualquier endomorfismo φ : R3 → R3 puedeser representado por una matriz 3× 3

φ =

⎛⎝ A 0

0

α β detA

⎞⎠ : R3 → R3. (9)

Las entradas de la ultima columna estan determinadas por la condicion φ([X,Y ]) = [φ(X), φ(Y )].En efecto, sea

φ =

⎛⎝a b pc d qα β δ

⎞⎠

un endomorfimo en el algebra de Lie, luego

φ([X,Y ]) =

⎛⎝a b pc d qα β δ

⎞⎠⎡⎣⎛⎝100

⎞⎠ ,

⎛⎝010

⎞⎠⎤⎦ =

⎛⎝a b pc d qα β δ

⎞⎠⎛⎝001

⎞⎠ =

⎛⎝pqδ

⎞⎠ (10)

29

Por otra parte

[φ(X), φ(Y )] =

⎡⎣⎛⎝a b pc d qα β δ

⎞⎠⎛⎝100

⎞⎠ ,

⎛⎝a b pc d qα β δ

⎞⎠⎛⎝010

⎞⎠⎤⎦ (11)

=

⎡⎣⎛⎝acα

⎞⎠ ,

⎛⎝bdβ

⎞⎠⎤⎦ (12)

=

⎛⎝ 0

0ad− cb

⎞⎠ . (13)

De (10) y (13) tenemos que ⎛⎝ 0

0ad− bc

⎞⎠ =

⎛⎝pqδ

⎞⎠

luego p = 0, q = 0 y δ = det(A), donde A =

(a bc d

)tal como habıamos afirmado.

El endomorfismo en el algebra de Lie es invertible si y solo si la matriz asociada 3× 3 esinvertible, y esta lo es, si y solo si la submatriz 2× 2 A es invertible. Denotaremos por Gal grupo de todas las matrices invertibles de la forma dada en (9).

Cada automorfismo en el algebra de Lie

φ : h → h

se corresponde biunıvocamente a un automorfismo en el grupo de Lie (ver Corolario 1.14 yProposicion 1.20)

Φ : H → H (14)

Ademas, si existe un reticulado Γ tal que Φ(Γ) = Γ, entonces Φ define un mapa cociente

Φ0 : H/Γ → H/Γ

sobre la nilvariedad. Inversamente, cualquier endomorfismo sobre el grupo discreto Γ se ex-tiende de forma unica a un endomorfismo sobre H (ver [1]).

Supongamos que f0 : H/Γ → H/Γ es una funcion continua, y f : H → H es un le-vantamiento de f0 al cubrimiento universal. Entonces existe una funcion f∗ : Γ → Γ talque

f(γ · p) = f∗(γ)f(p),

para todo γ ∈ Γ y p ∈ H (ver [1]). Luego f∗ es un endomorfismo de grupo y una vezescogido el levantamiento f , obtenemos la unicidad de f∗. Tenemos tambien que existe ununico endomorfismo de grupo de Lie Φ : H → H tal que Φ |Γ = f∗ que llamaremos la partealgebraica de f .

30

Proposicion 3.1. Supongamos que el grupo de Heisenberg H esta provisto de una metricad(·, ·) invariante bajo traslacion izquierda. Si f0 : H/Γ → H/Γ es continua, f : H → H esun levantamiento de f0 al cubrimiento universal, y Φ : H → H es la parte algebraica de f ,entonces la distancia entre f y Φ es acotada: existe C > 0 tal que

d(f(p),Φ(p)) < C

para todo p ∈ H.

Demostracion. Primero note que

d(f(γ · p),Φ(γ · p)) = d(f(p),Φ(p))

para p ∈ H y γ ∈ Γ . Entonces

supp∈H

d(f(p),Φ(p)) = supp∈K

d(f(p),Φ(p))

donde K es un dominio fundamental de la proyeccion canonica de H → H/Γ. Como K puedeser tomado compacto, el supremo es finito.

Si la funcion f0 : H/Γ → H/Γ es un homeomorfismo, entonces el levantamiento f : H → Htambien lo es y su parte algebraica Φ : H → H es invertible. Este es un automorfismo en elgrupo de Lie y el correspondiente automorfismo en el algebra de Lie esta representado poruna matriz T ∈ G llamada la matriz asociada a f .

Proposicion 3.2. Si f0 : H/Γ → H/Γ es un homeomorfismo, entonces la matriz asociadaal levantamiento f : H → H es de la forma⎛

⎝ A 00

α β ±1

⎞⎠

Es decir, es de la forma dada en (9) con la propiedad adicional que detA = ±1.

Demostracion. Sea Φ : H → H la parte algebraica de f . Dado que un automorfismo degrupo de Lie Φ actua como un isomorfismo sobre el centro de H. El centro

Z(H) = {(0, 0, z) : z ∈ R}

es isomorfo a (R,+). Ası, existe un factor no cero a ∈ R tal que Φ actua sobre Z(H) comomultiplicacion por a. El conjunto Z(Γ) = Z(H) ∩ Γ es un subgrupo discreto no trivial y porlo tanto de la forma

Z(Γ) = {(0, 0, bz) : z ∈ Z}para alguna constante b no cero. Aquı, Φ|Z(Γ) actua como un isomorfismo. Esto implica quea = ±1 y a es exactamente la entrada detA en la ecuacion (9).

31

Supongamos que Φ : H → H es un automorfismo de grupo de Lie y Γ ⊂ H es un reticulado.Defina Γ′ como la imagen de Φ(Γ). Entonces Φ define en el cociente a un homeomorfismo

Φ0 : H/Γ → H/Γ′, g · Γ → Φ0(g · Γ) = Φ(g) · Φ(Γ) = Φ(g) · Γ′

entre las nilvariedades compactas H/Γ y H/Γ′. Llamamos a Φ0 isomorfismo de nilvariedad.Decimos que dos homeomorfismos f0 : H/Γ → H/Γ y g0 : H/Γ′ → H/Γ′ son algebraicamenteconjugados si existe un isomorfismo de nilvariedades Φ0 : H/Γ → H/Γ′ tal que

H/ΓΦ0

��

f0 �� H/ΓΦ0

��H/Γ′ g0 �� H/Γ′

Lema 3.3. Si f0 : H/Γ → H/Γ y g0 : H/Γ′ → H/Γ′ son dos homeomorfismos con unlevantamientos asociados a las matrices S ∈ G y T ∈ G respectivamente. Si S es conjugadaa T ∈ G (i.e., existe P ∈ G tal que T = PSP−1), entonces f0 es algebraicamente conjugadoa g0.

Demostracion. Ver Lema 2.3 de [8]

Observacion 3.4. Decimos que una matriz T ∈ G es parcialmente hiperbolica si tiene valorespropios λ1, λ2 y λ3 donde |λ1| < 1, |λ2| > 1 y |λ3| = 1. Todos los valores propios sonnecesariamente reales y como la estructura de la matriz es de la forma dada en (9), tendremosque la submatriz A es hiperbolica y λ1λ2 = λ3.

Proposicion 3.5. Supongamos que f0 : H/Γ → H/Γ es un homeomorfismo con un levanta-miento asociado a una matriz parcialmente hiperbolica T ∈ G. Entonces f0 es algebraicamenteconjugado a un homeomorfismo sobre una nivariedad H/Γ′ con un levantamiento asociado auna matriz diagonal ⎛

⎝λ1 λ2λ3

⎞⎠ .

con entradas dadas por los valores propios de T .

Demostracion. De acuerdo al lema anterior, solamente necesitamos probar que una matrizparcialmente hiperbolica en G es conjugada (en G) a una diagonal. Para simplificar, asumi-remos que 1 es un valor propio. En otro caso, con −1 como valor propio, se trabaja de formaanaloga. Si

T =

(A 0u detA

)∈ G

es parcialmente hiperbolica con valores propios λ1, λ2 y λ3 = 1, deberıamos tener que detA =1 y que A es hiperbolica. Aquı u es un bloque 1×2. Sea v otro bloque de la misma dimension,y sea Id la matriz identidad 2× 2. Entonces(

Id 0v 1

)∈ G

32

y (Id 0v 1

)(A 0u 1

)(Id 0v 1

)−1

=

(A 0

vA+ u− v 1

)Como A es hiperbolica, A−Id es invertible, luego existe un unico valor de v tal que vA+u−v =0. Por lo tanto, T es conjugada en G a (

A 00 1

).

A es diagonalizable; existe P ∈ SL(2,R) tal que PAP−1 =

(λ1 00 λ2

). Entonces

(P 00 1

)∈ G

y (P 00 1

)(A 00 1

)(P 00 1

)−1

=

⎛⎝λ1 0 0

0 λ2 00 0 1

⎞⎠

como requerıamos.

El automorfismo de grupo de Lie asociado a la matriz⎛⎝λ1 λ2

1

⎞⎠

es particularmente manejable. Este es de la forma⎛⎝1 x z

1 y1

⎞⎠ →

⎛⎝1 λ1x z

1 λ2y1

⎞⎠

solamente con terminos lineales.

Observacion 3.6. El automorfismo mencionado en (14) puede ser obtenido de forma explıci-ta gracias a la funcion exponencial descrita en la sSeccion 1.8. Para el caso del grupo deHeisenberg, usamos la identificacion de H y h con R3. Ası la aplicacion exponencial vienedada por:

exp : h → H, (x, y, z) → exp(x, y, z) = (x, y, z +1

2xy)

En general, esta aplicacion es un difeomorfismo local, en un entorno de cero (ver Propo-sicion 1.25, ıtem (c)), pero en este caso es un difeomorfismo C∞ global cuya inversa es:

exp−1 : H → h, (x, y, z) → exp−1(x, y, z) = (x, y, z − 1

2xy)

33

Luego, de la Proposicion 1.25, tenemos que Φ ∈ Aut(H) si y solo si Φ es conjugado vıala funcion exponencial a un automorfismo φ ∈ Aut(h) y como sabemos, todo elementoφ ∈ Aut(h) es de la forma dada en (9), por lo tanto:

Φ(x, y, z) = (exp ◦ φ ◦ exp−1)(x, y, z)

= (exp ◦φ)(x, y, z − 1

2xy)

= exp(ax+ by, cx+ dy, px+ qy + (ad− bc)(z − 1

2xy))

= (ax+ by, cx+ dy, (ad− bc)z +1

2acx2 +

1

2bdy2 + bcxy + αx+ βy).

Dado que T0H = h, de lo anterior se deduce que DΦ(0) = φ. Mas aun, de la representacionanterior, podemos ver que cada Φ ∈ Aut(H) es levantada a una matriz A ∈ GL(2,R), quedefine una accion en R2. Por lo tanto, en adelante denotaremos un automorfismo de H por

ΦA, enfatizando la matriz A actuando en R2. Luego, si A =

(a bc d

)podemos escribir

ΦA(x, y, z) = (A(x, y), det(A)z+1

2acx2 +

1

2bdy2 + bcxy+αx+ βy) = (A(x, y), lA,α,β(x, y, z))

y si v = (α, β) escribimos

DΦA(0) =

(A 0v det(A)

).

Observacion 3.7. Daremos justificacion de por que no puede existir un automorfismo hi-perbolico en la nilvariedad Heisenberg ([11]). Para construir una transformacion expansoraen H consideraremos la trasformacion dada por

f ((x, y, z)) = (2x, 2y, 4z)

Verifiquemos que f es un automorfismo de grupo:

f((x, y, z) · (a, b, c)) = f((x+ a, y + b, z + c+ xb))

= (2x+ 2a, 2y + 2b, 4z + 4c+ 4xb)

= (2x+ 2a, 2y + 2b, 4z + 4c+ 2xb+ 2xb)

= (2x, 2y, 4z) · (2a, 2b, 4c)= f(x, y, z) · f(a, b, c)

Ademas, es claro que el automorfismo preserva el reticuladoHZ = {(x, y, z) ∈ H : x, y, z ∈ Z}.Luego, f induce una transformacion f0 en el cociente H/HZ. Sin embargo, la transformacionf0 no es invertible. Es mas, si un automorfismo enH es inyectivo, este no puede ser hiperbolicopues dicho automorfismo A tiene que preservar el centro Z(H) de H, ver (8), y por lo tantotambien la interseccion Z(H) ∩HZ, lo que implica que

A(0, 0, 1) = (0, 0,±1)

34

y luego DA(Z) = ±Z, donde Z = (0, 0, 1) ∈ h, por lo tanto DA(Z) tendrıa un autova-lor de modulo 1. En realidad, se puede mostrar que un automorfismo hiperbolico de H nopuede preservar ningun reticulado uniforme (ver Definicion 1.34). Ası, analogamente al casoabeliano, donde tenemos que pasar por el toro para obtener una transformacion hiperbolicainvertible, necesitamos pasar a grupos de Lie nilpotentes de mayor dimension, por ejemploproducto de grupos de Heisenberg, para construir transformaciones hiperbolicas invertiblesen sus cocientes compactos.

3.3. Definiciones generales

Definicion 3.8. Un difeomorfismo f :M →M de clase C1 sobre una variedad RiemannianaM es parcialmente hiperbolico si existe una descomposicion de TM en tres sub-fibrados notriviales que varıan continuamente, TM = Eu⊕Ec⊕Es, ademas existen constantes 0 < λ <γ < 1 < γ < μ y C > 1 tal que para x ∈M y n ∈ Z

1

Cμn‖v‖ ≤ ‖Dfnv‖ para todo v ∈ Eu(x)

1

Cγn‖v‖ ≤ ‖Dfnv‖ ≤ Cγn‖v‖ para todo v ∈ Ec(x)

‖Dfnv‖ ≤ Cλn‖v‖ para todo v ∈ Es(x)

Observacion 3.9. La definicion anterior algunas veces es llamada hiperbolicidad parcialabsoluta en comparacion a la “relativa” o hiperbolicidad parcial “pointwise” donde los valores0 < λ < γ < 1 < γ < μ son funciones de M → R.

En una variedad compacta, la definicion de hiperbolicidad parcial no depende de la metricaescogida. La eleccion de una metrica diferente tendra a lo mas un cambio en la constante Cde la definicion.. En particular, para nilvariedades, trabajaremos con una metrica especıficaque definiremos a continuacion.

Recordemos que un elemento ⎛⎝1 x z

1 y1

⎞⎠ ∈ H

es denotado en forma abreviada (x, y, z). Los elementos del algebra de Lie X, Y y Z puedenser considerados como campos de vectores invariantes bajo traslacion izquierda sobreH. Estoscampos de vectores son

X =∂

∂x, Y =

∂

∂y+ x

∂

∂z, Z =

∂

∂z.

Definicion 3.10. Decimos que una metrica Riemanniana en G es invariante a izquierda si

〈u, v〉g = 〈(DLh)g(u), (DLh)g(v)〉Lh(g),

para todo g, h ∈ G, u, v ∈ TgG, es decir, si Lh es una isometrıa.

35

Para introducir en H (y en cualquier grupo de Lie) una metrica Riemanniana invariantepor izquierda, fijamos un producto interno cualquiera 〈 , 〉e en h y definimos para todo g ∈ H,la forma bilineal dada por:

〈u, v〉g =⟨(DLg−1)g(u), (DLg−1)g(v)

⟩e. (15)

Como Lg depende diferenciablemente de g, esto realmente proporciona una metrica Rieman-niana, evidentemente invariante por izquierda.

Recordemos que a partir de la metrica Riemanniana, podemos definir la longitud decualquier curva diferenciable γ : [a, b] → H, mediante

long(γ) =

∫ b

a‖γ′(t)‖γ(t)dt, donde ‖v‖p = 〈v, v〉(1/2)p . (16)

A su vez, esto nos permite definir en el grupo de Heisenberg H la siguiente distanciaasociada a la metrica Riemanniana: la distancia d(p, q) entre dos puntos p, q ∈ H es el ınfimode las longitudes de todas las curvas diferenciables que unen los dos puntos.

Afirmamos que la distancia asociada a la metrica Riemanniana definida en (15) es inva-riante por traslacion izquierda, es decir,

d(g · p, g · q) = d(p, q),

para todo g, p, q ∈ H. En efecto, sea γ : [0, 1] → H una curva diferenciable tal que γ(0) = py γ(1) = q. Por otra parte, definimos la otra curva diferenciable

η : [0, 1] → H, t → η(t) = g · γ(t)luego, como la metrica Riemanniana es invariante a izquierda, se tiene que:

‖η′(t)‖2η(t) = 〈η′(t), η′(t)〉η(t)=

⟨(Lg ◦ γ)′(t), (Lg ◦ γ)′(t)

⟩(Lg◦γ)(t)

=⟨(DLg)γ(t)(γ

′(t)), (DLg)γ(t)(γ′(t))

⟩(Lg◦γ)(t)

=⟨γ′(t), γ′(t)

⟩γ(t)

= ‖γ′(t)‖2γ(t).Ası, tomando ınfimo en (16) completamos nuestra afirmacion.

Note que esta distancia puede ser definida en cualquier nilvariedadH/Γ. La hiperbolicidadparcial la consideraremos respecto a la distancia mencionada anteriormente. Para puntos(x1, y1, z1) y (x2, y2, z2) en H, tambien podemos considerar la metrica euclidiana usual.

‖(x1, y1, z1)− (x2, y2, z2)‖ =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 − (z1 − z2)2

Pero no existe una forma natural de bajar esta metrica a una nilvariedad compacta H/Γ.En un sistema parcialmente hiperbolico, las distribuciones inestable y estable son siempre

unicamente integrable [9], es decir, existen unicas foliaciones W u y W s tangentes a Eu y Es

36

respectivamente. En cambio, la direccion central Ec es algunas veces integrable y otras no.El sistema se dice dinamicamente coherente si Ec, Ecu = Ec ⊕ Eu y Ecs = Ec ⊕ Es sonunicamente integrables.

M. Brin, D. Burago y S. Ivanov [3] prueban que todo sistema parcialmente hiperbolico(absoluto) sobre el 3-toro es dinamicamente coherente.

37

4. Dinamica de un automorfismo parcialmente Hiperbolico so-bre la Nilvariedad Heisenberg

4.1. Construccion del automorfismo y la nilvariedad

Hammerlindl en [3] prueba que cualquier difeomorfismo parcialmente hiperbolico sobrela nilvariedad Heisenberg es leaf conjugado a un automorfismo en la nilvariedad. El resul-tado anterior es uno de los motivos de nuestro interes por describir la dinamica de dichosautomorfismos.

El ejemplo estandar de una nilvariedad es el cociente deH por un reticulado Γ que consisteen matrices con entradas enteras, es decir,

Γ = {(x, y, z) ∈ H : x, y, z ∈ Z} .El espacio homogeneo N = H/Γ esta definido como H modulo la relacion de equivalencia ∼:

(a, b, c) ∼ (x, y, z) ⇔ existe (k, l,m) ∈ Γ tal que (a, b, c) = (k, l,m) · (x, y, z). (17)

Si vemos esto en R3, un dominio fundamental de este cociente es el “cubo” unitario:

{(x, y, z) ∈ H : 0 ≤ x, y, z ≤ 1} .Para obtener la nilvariedad desde el cubo, identificamos la cara superior con la cara infe-rior y la cara frontal con la cara posterior, como se harıa en la construccion del 3-toro. Lamultiplicacion en el grupo

(1, 0, 0) · (x, y, z) = (x+ 1, y, z + y)

nos dice que unamos las caras izquierda y derecha del cubo mediante la identificacion (verFigura 1)

(0, y, z) ∼ (1, y, z + y) (mod 1).

Esta identificacion inclinada en la direccion x obstaculiza el analisis en la nilvariedad. Parasuperar esto, trabajamos casi exclusivamente en el cubrimiento universal H, y con conjuntosque estan acotados en la direccion x. Para construir un ejemplo de un automorfismo enla nilvariedad que sea parcialmente hiperbolico, consideremos primero el automorfismo delgrupo de Lie (un difeomorfismo, el cual ademas, preserva la operacion del grupo)

f : H → H, f(x, y, z) =

(2x+ y, x+ y, z + x2 +

1

2y2 + xy

)

Ademas, el automorfismo f satisface f(Γ2) = Γ2, donde el reticulado Γ2 es

Γ2 =

{(x, y, z) ∈ H : x, y ∈ Z, z ∈ 1

2Z

}.

Esto permite definir un difeomorfismo f0 sobre N2 = H/Γ2. Observemos que a cadaelemento g ∈ H le corresponde una clase en el cociente, la cual denotaremos por Γ2 · g ∈ N2,ası

f0(Γ2 · g) := Γ2 · f(g). (18)

38

Figura 1: Nilvariedad estandar construida a partir de un cu-bo identificando las caras izquierda y derecha de una manerainclinada. Las otras caras se identifican por traslacion.

Aquı f0 esta bien definido ya que f(Γ2) = Γ2. Esta definicion hace que el siguientediagrama conmute:

Hπ��

f �� Hπ��

N2f0 �� N2

Por otra parte, la derivada en (0, 0, 0), y por lo tanto en cualquier punto, esta dada porla matriz

F =

⎛⎝2 1 01 1 00 0 1

⎞⎠

Esta tiene valores propios λ = (3 +√5)/2 > μ = 1 > λ−1 = (3 − √

5)/2 y vectores propiosnormalizados:

vu = vλ =

⎛⎝ 1 +

√5

2√

1 + 14(1 +

√5)2

,1

2√

1 + 14(1 +

√5)2

, 0

⎞⎠

vs = vλ−1 =

⎛⎝ 1−√

5

2√

1 + 14(1−

√5)2

,1

2√

1 + 14(1−

√5)2

, 0

⎞⎠

vc = vμ = (0, 0, 1) .

Asociando los tres espacios propios correspondientes con

Eu = {tvu : t ∈ R} , Ec = {tvc : t ∈ R} , Es = {tvs : t ∈ R}

respectivamente, se ve que f0 es parcialmente hiperbolico.

39

Observacion 4.1. En realidad, cualquier nilvariedad compacta construida a partir del grupode Heisenberg es difeomorfa a Nk := H/Γk donde el reticulado es de la forma

Γk =

{(x, y, z) ∈ H : x, y ∈ Z, z ∈ 1

kZ

}

para algun entero positivo k y el espacio homogeneo Nk = H/Γk podrıa definirse de formasimilar a H/Γ. Junto con el toro 3-dimensional T3, estas son todas las nilvariedades endimension 3.

Observacion 4.2. Nosotros podrıamos haber escogido un homomorfismo que preserve elreticulado “estandar”. En efecto, considere

f : H → H, f(x, y, z) =

(2x+ y, x+ y, z + x2 +

1

2y2 + xy − x− 1

2y

)

y tome (x, y, z) ∈ Γ, es decir, x, y, z ∈ Z. Al aplicar f el unico problema podrıa estar en latercera coordenada, pero

1

2y2 − 1

2y =

y(y − 1)

2

y como y ∈ Z, se tiene que y es par, o bien su antecesor lo es. Por lo tanto f(x, y, z) ∈ Γ.

4.2. Descripcion dinamica.

Comenzaremos describiendo las foliaciones invariantes asociadas al levantamiento de f0 enel cubrimiento universal, es decir, caracterizaremos las foliaciones estable, inestable y centraldel automorfismo f en el grupo de Heisenberg. Para esto fijemos una metrica invariante portraslacion izquierda en H, la cual denotaremos por d (ver Seccion 3.3). Para lo que sigue,sera util tener en mente el siguiente diagrama:

h

exp

��

F �� h

exp

��Hπ��

f �� Hπ��

H/Γ f0 �� H/Γ

Proposicion 4.3. W sf (0, 0, 0) = exp(Es), para (0, 0, 0) ∈ H.

Demostracion. Primero consideremos (a, b, c) ∈ exp(Es), entonces existe p ∈ Es tal que(a, b, c) = exp(p), luego

d((fn(a, b, c)), (0, 0, 0)) = d(fn(exp(p)), (0, 0, 0))

= d(exp(Fn p), (0, 0, 0)).

40

Como p ∈ Es, tenemos que

d((fn(a, b, c)), (0, 0, 0)) → 0, n→ ∞.

Ası (a, b, c) ∈W sf (0, 0, 0)

En el otro sentido, consideremos (a, b, c) ∈W sf (0, 0, 0). Por definicion

d((fn(a, b, c)), (0, 0, 0)) → 0, n→ ∞.

Por construccion de f ,

d((exp(Fn exp−1(a, b, c))), (0, 0, 0)) = d((exp(Fn exp−1(a, b, c))), exp(0, 0, 0)).

Como exp es un difeomorfismo

d((Fn exp−1(a, b, c))), (0, 0, 0)) → 0, n→ ∞entonces exp−1(a, b, c) ∈ Es. Por lo tanto (a, b, c) ∈ exp(Es).

A partir deW sf (0, 0, 0) definiremos la variedad estable de cualquier otro punto en el grupo

de Heisenberg.

Proposicion 4.4. W sf (x, y, z) = (x, y, z) ·W s

f (0, 0, 0), para todo (x, y, z) ∈ H.Demostracion. Primero consideremos (a, b, c) ∈ (x, y, z) ·W s

f (0, 0, 0). Por definicion, el con-junto

(x, y, z) ·W sf (0, 0, 0) = (x, y, z) · exp (Es)

= (x, y, z) · exp⎛⎝⎧⎨⎩⎛⎝ t(1−√

5)

2√

1 + 14(1−

√5)2

,t

2√

1 + 14(1−

√5)2

, 0

⎞⎠ : t ∈ R

⎫⎬⎭⎞⎠

Ası

(a, b, c) = (x, y, z) ·⎛⎝ 1−√

5

2√

1 + 14(1−

√5)2

,1

2√

1 + 14(1−

√5)2

,t2(1−√

5)

4(1 + 14(1−

√5)2)

⎞⎠ ,

para algun t ∈ R, como la distancia es invariante bajo traslacion izquierda, tenemos qued(fn(a, b, c), fn(x, y, z)) es igual a

= d

⎛⎝fn

⎛⎝(x, y, z) ·

⎛⎝ 1−√

5

2√

1 + 14(1−

√5)2

,1

2√

1 + 14(1−

√5)2

,t2(1−√

5)

4(1 + 14(1−

√5)2)

⎞⎠⎞⎠ , fn(x, y, z)

⎞⎠

= d

⎛⎝fn(x, y, z) · fn

⎛⎝ 1−√

5

2√

1 + 14(1−

√5)2

,1

2√

1 + 14(1−

√5)2

,t2(1−√

5)

4(1 + 14(1−

√5)2)

⎞⎠ , fn(x, y, z)

⎞⎠

= d

⎛⎝fn

⎛⎝ 1−√

5

2√1 + 1

4(1−√5)2

,1

2√

1 + 14(1−

√5)2

,t2(1−√

5)

4(1 + 14(1−

√5)2)

⎞⎠ , (0, 0, 0)

⎞⎠

41

Pero sabemos que

⎛⎝ 1−√

5

2√

1 + 14(1−

√5)2

,1

2√

1 + 14(1−

√5)2

,t2(1−√

5)

4(1 + 14(1−

√5)2)

⎞⎠ pertenece

a la variedad estable de (0, 0, 0), ası obtenemos que d(fn(a, b, c), fn(x, y, z)) tiende a cerocuando n tiende al infinito. Luego (a, b, c) ∈W s

f (x, y, z).Para ver la otra contencion, tome (a, b, c) ∈ W s

f (x, y, z). Por la Definicion 1.48, se tieneque

d(fn(a, b, c), fn(x, y, z)) → 0, cuando n→ ∞ (19)

como f es un homomorfismo

d(fn(a, b, c), fn(x, y, z)) = d(f−n(x, y, z) · fn(a, b, c), f−n(x, y, z) · fn(x, y, z))

= d(fn((x, y, z)−1

) · fn(a, b, c), fn ((x, y, z)−1) · fn(x, y, z))

= d(fn((x, y, z)−1 · (a, b, c)) , (0, 0, 0)) .

Juntando el hecho anterior con (19), tenemos que (x, y, z)−1 · (a, b, c) ∈ W sf (0, 0, 0) lo que a

su vez implica:(a, b, c) ∈ (x, y, z) ·W s

f (0, 0, 0)

Observacion 4.5. Notemos que, de Proposion (1.25) ıtem (a), dado un vector X ∈ h,exp(tX) = γ(t) es un grupo uniparametrico (un homomorfismo γ : (R,+) → H) con γ′(0) =X. Entonces, de lo anterior y Proposicion (4.3), si tomamos vs el vector estable,

W sf (0, 0, 0) = exp(Es) = exp(tvs) = γ(t), con t ∈ R,

luego,W sf (0, 0, 0) es imagen de un grupo vıa un homomorfismo, asıW s

f (0, 0, 0) es un subgrupode H. No es difıcil mostrar que el subgrupo anterior es cerrado (topologico), por lo tanto, deProposicion (1.15), W s

f (0, 0, 0) es un subgrupo de Lie de H, es decir, la variedad estable decero tiene estructura diferencial C∞.

La particion de H en variedades estables forma la foliacion estable W s; de manera similarse define la foliacion inestable W u. Los elementos de estas particiones son parabolas (verFigura 2)

Para el caso de las variedades centrales, comenzaremos dando su definicion en cero:

W cf (0, 0, 0) := exp(Ec) = {(0, 0, t) : t ∈ R}

Ahora, dado (x, y, z) ∈ H tenemos que,

W cf (x, y, z) = (x, y, z) · exp(Ec) = {(x, y, z + t) : t ∈ R} .

A diferencia de las foliaciones descritas anteriormente, la foliacion central esta constituidapor rectas verticales que pasan por el punto dado.

Ahora decribiremos las foliaciones invariantes asociadas al automorfismo f0 en la nilva-riedad. Recordemos que f0, definido en (18), hace que el siguiente diagrama conmute.

42

Figura 2: Variedades estables e inestables para f de puntos en el dominiofundamental

{(x, y, z) ∈ H : 0 ≤ x, y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1

2

}.

Hπ��

f �� Hπ��

H/Γ f0 �� H/Γ

.

Ademas, los elementos de H/Γ seran denotados por Γ · g o bien π(g), con g ∈ H. Ladistacia en la nilvariedad es la proyeccion de la distancia invariante a izquierda descrita en laSeccion 3.3 y la denotaremos por d′.

Proposicion 4.6. W sf0(π(x, y, z)) = π(W s

f (x, y, z)), para todo π(x, y, z) = Γ · (x, y, z) ∈ H/ΓDemostracion. Primero consideremos p ∈ W s

f (x, y, z), entonces d(fn(x, y, z), fn(p)) → 0

cuando n→ +∞, luego

d′(π(fn(x)), π(fn(p))) → 0, n→ +∞.

Por lo tanto π(p) ∈W sf0(π(x)).

En el otro sentido, debido a que f es continua, podemos considerar ε0 > 0 tal que si

d(p, q) < ε0 ⇒ d(f(p), f(q)) < δ, (20)

con δ de forma tal que cada bola de centro h y radio δ en el grupo de Heisenberg, contengasolo un representante de cada clase de equivalencia(ver (17)).

Por otra parte, considere y ∈W sf0(π(x)), entonces existe n0 ∈ N tal que d′(fn0 (π(x)), fn0 (y)) ≤

ε0, para todo n ≥ n0. Para simplificar las cuentas, podemos tomar n0 = 0. Ahora fijemosx ∈ π−1(π(x)) y para cada n ≥ 0 definamos yn ∈ π−1(fn0 (y)) tal que d(yn, f

n(x)) ≤ ε0.

43

Afirmacion: yn+1 = f(yn), n ≥ 0. En efecto, como d(yn, fn(x)) ≤ ε0, entonces de (20) se

tiene que d(f(yn), fn+1(x)) < δ, pero π(f(yn)) = f0(π(yn)). Ası f(yn) ∈ π−1(fn+1

0 (y)), peroeste conjunto tiene un unico elemento a distancia menor que δ de fn+1(x), luego f(yn) = yn+1

lo que concluye nuestra afirmacion.Ası fn(y0) = yn y

d(yn, fn(x)) = d(fn(y0), f

n(x)) → 0, n→ +∞,

entonces y0 ∈W sf (x). Por lo tanto π(y0) = y ∈ π(W s

f (x)).

De forma analoga a la proposicion anterior, se puede probar que

W uf0(π(x, y, z)) = π(W u

f (x, y, z))

yW c

f0(π(x, y, z)) = π(W cf (x, y, z)).

Una de las proyecciones de esta tesis es ver cuales de las propiedades dinamicas dadas enel Teorema 2.3 cumple f0, es decir,

(i) ¿Per(f0) = Ω(f0)?

(ii) ¿f0 es transitivo y topologicamente mixing ?

(iii) ¿f0 es expansivo ?

(iv) ¿W sf0(Γ · g) y W u

f0(Γ · g) son densas en H/Γ?

De momento, sabemos que como la direccion Ec esta dada por el campo vectorial ∂/∂z.La foliacion central es una foliacion vertical en el cubo donde, debido a la simple identificacionde la cara superior del cubo con el fondo, todas las hojas son cırculos.

Para cada automorfismo lineal, L : T0H → T0H, del espacio tangente de la identidad,existe un automorfismo de grupo H → H de la forma

Φ(x, y, z) = (A(x, y), cz + p(x, y))

Donde A es una matriz 2 × 2, c ∈ R, y p es un polinomio cuadratico, tal que la derivadaDΦ en la identidad es igual a L. Dada L, la correspondiente Φ siempre puede ser encontradaexpandiendo las ecuacionesDΦ0 = L y Φ(u)·Φ(v) = Φ(u·v) y resolviendo para los coeficientesde p. Puesto que cada automorfismo del grupo de Lie se determina unicamente por su derivadaen la identidad, cada automorfismo del grupo de Heisenberg debe ser de esta forma. Talautomorfismo es parcialmente hiperbolico si y solo si la matriz A es hiperbolica.

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Referencias

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