dinâmica da condensação de bose-einstein em gases fracamente

$: Dinâmica da condensação de Bose-Einstein em gases fracamente$
Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Tecnologia e Ciencias

Instituto de Fısica Armando Dias Tavares

Valeria de Carvalho Souza

Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamente

interagentes

Rio de Janeiro

2010


Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamente interagentes

Dissertacao apresentada como requisito par-cial para obtencao do tıtulo de Mestre aoPrograma de Pos-Graduacao em Fısica daUniversidade do Estado do Rio de Janeiro

Orientador Prof Dr Daniel Gustavo Barci

Rio de Janeiro

2010

CATALOGACcedilAtildeO NA FONTEUERJ REDE SIRIUS CTCD

Autorizo apenas para fins acadecircmicos e cientiacuteficos a reproduccedilatildeo total ou parcial desta dissertaccedilatildeo desde que citada a fonte

___________________________________________________ ____________________________ Assinatura Data

S729m Souza Vaacuteleria de Carvalho Dinacircmica da condensaccedilatildeo de Bose-Einstein em gases fracamente interagentes Vaacuteleria de Carvalho Souza - 2010 54 f il Orientador Daniel Gustavo Barci Dissertaccedilatildeo (mestrado) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Fiacutesica Armando Dias Tavares

1 Condensaccedilatildeo de Bose-Einstein -Teses 2 Mateacuteria condensada - Teses I Barci Daniel Gustavo II Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de Fiacutesica Armando Dias Tavares III Tiacutetulo

CDU 530145




Aprovada em 27 de Maio de 2010Banca Examinadora

Prof Dr Daniel Gustavo Barci (Orientador)Instituto de Fısica Armando Dias Tavares ndash UERJ

Prof Dr Rudnei de Oliveira RamosInstituto de Fısica Armando Dias Tavares - UERJ

Prof Dr Luiz Esteban OxmanUniversidade Federal Fluminense

Rio de Janeiro

2010

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar a Deus

Ao professor Daniel G Barci pela orientacao amizade e pela paciencia

A todos os professores do instituto de fısica da UERJ mas em especial Nilson

Antunes Ivan da Cunha Lima Rudnei Ramos Luiz Fernando Vitor Oguri Roberto

Mahon Lilian Pantoja

Aos colegas de pos graduacao Diego Vinıcios Emanuel

Ao pessoal da biblioteca mas em especial Nadia e Maria Luiza

Ao pessoal da secretaria de pos graduacao Laurimar e Rogerio

Finalmente a CAPES apoio financeiro

RESUMO

SOUZA V C Dinamica da condensacao de Bose-Einstein em gases fracamenteinteragentes 2010 54 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de FısicaArmando Dias Tavares Universidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010

A presente dissertacao estuda com detalhes a evolucao temporal fora do equilıbriode um condensado de Bose-Einstein homogeneo diluıdo imerso em um reservatorio termicoNos modelamos o sistema atraves de um campo de Bose escalar complexo E apropriadodescrever o comportamento microscopico desse sistema por meio da teoria quantica decampos atraves do formalismo de Schwinger-Keldysh Usando esse formalismo de temporeal a dinamica do condensado e solucionada por um grupo de equacoes integro-diferencialauto consistente essas sao solucionadas numericamente Estudamos tambem o cenarioquench e como a densidade do gas e as interacoes entre as flutuacoes tem o efeito deprovocar as instabilidades nesse sistema Aplicamos esse desenvolvimento para estudar ocomportamento de duas especies homogeneas de um gas de Bose diluıdo imerso em umreservatorio termico

Palavras-chave Condensacao de Bose-Einstein Flutuacoes Campo medio Reservatorio

termico

ABSTRACT

SOUZA V C Dynamic of Bose-Einstein condensate in weakly interacting gases 201054 f Dissertacao (Mestrado em Fısica) ndash Instituto de Fısica Armando Dias TavaresUniversidade do Estado do Rio de Janeiro Rio de Janeiro 2010

This Dissertation study the detailed out of equilibrium time evolution of a homo-geneous diluted Bose-Einstein condensate in thermal bath We modeled the system bymeans of one bosonic complex scalar field The microscopic behavior of such an environ-ment can be appropriately described by the non-equilibrium Schwinger-Keldysh formalismin a quantum field theory approach Using this formalism real-time dynamics of the con-densate is encoded in a set of self-consistent integral-differential equations that we solvednumerically We studied in the quench scenario how the role of the interactions in thegeneration of the initial instability and the subsequent time evolution of the condensateWe also applied this technique to the study of a two-species homogeneous diluted Bosegas in a thermal bath

Keywords Bose-Einstein condensates Fluctuations Mean field Thermal reservoir

LISTA DE ILUSTRACOES

Figura 1 - Fases do sistema 11

Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado de Bose-Einstein em funcao da

temperatura 17

Figura 3 - Analise da densidade do condensado 25

Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao do tempo 38

Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh 53

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

CBE Condensado de Bose-Einstein

EGP Equacao de Gross-Pitaeviskii

EGPDT Equacao de Gross-Pitaeviskii Depedente do Tempo

EGPIT Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo

LISTA DE SIMBOLOS

λ comprimento de onda de De Broglie

g constante de acoplamento

as comprimento de espalhamento da onda s

micro potencial quımico

SUMARIO

INTRODUCAO 10

1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL 13

2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTER-

AGENTE 18

21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio) 18

211 Estado condensado em uma armadilha harmonica 22

22 Interacoes repulsivas e atrativas 26

23 Aproximacao de Thomas-Fermi 27

24 Teoria de Bogoliubov 27

241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes 28

3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE 32

31 Densidade Lagrangeana flutuacoes 32

32 O cenario quench 34

33 Equacoes auto-consistentes 35

34 Integracao numerica 37

4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE 40

41 Flutuacoes 41


CONCLUSAO 44

REFERENCIAS 45

APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio 48

10

INTRODUCAO

Em 1925 Albert Einstein inspirado pelos trabalhos de N S Bose descreveu o

fenomeno hoje chamado de Condensacao de Bose-Einstein (CBE) Einstein pode obser-

var que existiria uma mudanca de fase em um gas ideal quando submetido a temperaturas

relativamente baixas(GRIFFIN 1996)

Podemos definir a Condensacao de Bose-Einstein como sendo a convergencia das

partıculas constituintes de um gas ideal bosonico para o primeiro estado quantico desse

sistema Desta forma no estado condensado um numero macroscopico de partıculas ocu-

pam o estado de mais baixa energia (estado com momento nulo) quando submetido a uma

temperatura extremamente baixa Nesta circunstancia as propriedades termodinamicas

do sistema irao sofrer alteracoes o que caracteriza uma transicao de fase

A medida que baixamos a temperatura do sistema as partıculas bosonicas que

estao neste estado quantico degenerado (estado sem energia cinetica) poderao ser tratadas

como pacotes de onda com o comprimento de onda de de Broglie λ = (2πhmkBT )12

Dessa maneira a transicao de fase acontece devido ao fato do comprimento de onda

termico (que e o comprimento de onda em mecanica quantica de uma partıcula com energia

cinetica da ordem O(kBT )) ficar igual a distancia media entre as partıculas bosonicas

Esse comprimento de onda termico aumenta a medida que baixamos a temperatura

do sistema Sendo assim a funcao de onda do estado condensado e uma funcao de onda

macroscopica ou seja todas as partıculas deslocam-se coerentemente visto que todas tem

a mesma funcao de onda ψ0 (BAGNATO 1997)

Portanto a ocupacao macroscopica do nıvel fundamental de um gas de Bose ho-

mogeneo e nao interagente e denominada de condensacao de Bose-Einstein

Vamos observar tres situacoes que ocorrem com o sistema

1 Para uma temperatura elevada isto e T gt Tc as partıculas bosonicas obedecem a

estatıstica de Boltzmann comportando-se classicamente

2 Quando a temperatura esta perto de Tc podemos observar um comportamento de

dois fluıdos uma fracao condensada e outra parte termica (flutuacoes)

3 E quando so tem a fracao condensada desaparecendo a parte termica isto e T = 0

Nesse momento todas as partıculas ficarao alojadas no nıvel de mais baixa energia

Esse nıvel quantico de mais baixa energia permanece ocupado por um numero N0

de partıculas bosonicas ate o instante em que a temperatura do sistema comecar a

subir ate atingir Tc

Contudo para se obter um CBE e preciso resfriar um gas extremamente diluıdo

constituıdo por um grande numero de partıculas

11

Figura 1 - Fases do sistema

Fonte MASSACHUSETTS

INSTITUTE OF

TECHNOLOGY 2010

O primeiro sistem fısico que ate bem pouco tempo conseguia obter caracterısticas

proximas de um condensado de Bose-Einstein era o 4He Ja foi constatado que a transicao

de fase que acontece no 4He e uma manifestacao que acompanha o condensado de Bose-

Einstein ou seja o CBE nos da explicacoes para o surgimento de uma mudanca de fase

no 4He (GRIFFIN 1996)

Dessa forma a funcao de onda macroscopica (que e uma funcao de onda quantica)

do condensado e a base de uma explicacao qualitativa da superfluidez O CBE reproduz

algumas propriedades essenciais do helio-4 liquefeito porem em detalhes o CBE conduz a

resultados quantitativamente errados A ligacao entre o CBE e o 4He foi primeiramente

estabelecida por London O 4He lıquido possui caracterısticas marcantes devido ao fato

dele ser um lıquido consequetemente apresenta uma forte interacao entre suas partıculas

Desta forma o condensado que explica a superfluidez nao pode ser considerado estrita-

mente um CBE devido as interacoes fortes entre suas moleculas

Para estudar o fenomenos proposto por Einstein seria interessante realizar exper-

imentalmente o CBE em um gas Investigando para se obter um CBE em um sistema

gasoso varios cientistas passaram a pesquisar o desenvolvimento de tecnicas que permi-

tiriam resfriamento de um gas confinado a temperaturas extremamente baixas Porem ex-

istia o problema de conseguir um sistema que ao ser submetido a temperaturas proximas

do zero absoluto nao solidificasse Esse problema foi solucionado utilizando componentes

do grupo I da tabela periodica (Na Rb Li etc) esses atomos alcalinos sao extrema-

12

mentes convenientes de serem utilizados pois torna possıvel de se ter amostras densas

e frias alem de que quando estao na presenca de um campo magnetico forte apresenta

uma fraca repulsao de suas partıculas isso faz com que o sistema continue no estado de

gas logo sao excelentes candidatos para se conseguir gases no regime quantico ou seja

para se obter o CBE (BAGNATO 1997)

No ano de 1995 foi obtido experimentalmente o primeiro condensado de Bose-

Einstein pelo grupo de Eric Cornell e Carl Wieman (National Institute of Standars e

Technology) Eles conseguiram resfriar a 170 nk gases de rubıdio (Rb) Mais tarde mas

no mesmo ano outros dois condensados foram obtidos Um condensado com gases de

Sodio (Na) realizado por Ketterle e colaboradores (Massachusetts Institute of Tecnology

- MIT) E por ultimo o grupo do Randy Hulet (Univrsity of Colorado) realizou experimen-

tos com atomos de lıtio (Li) (GRIFFIN 1996) O experimento com lıtio e completamente

equivalente aos outros dois experimentos com rubıdio e sodio exceto de que a interacao

entre as partıculas do lıtio e uma interacao atrativa (ele tem o comprimento de espal-

hamento negativo) isto e as lt 0 O gas de lıtio e constituıdo por partıculas fermionicas

(eletrons) que se agrupam formando pares (pares de Cooper) que deixam de lado suas

caracterısticas individuais para poderem se comportar como partıculas bosonicas Os

pares de Cooper pode ser denominado como sendo a uniao do spin up com o spin dow

do eletron (uarr darr) (EISBERG 1979) Dessa forma o gas de lıtio nao pode atingir o estado

de CBE sendo esperado um outra tipo de transicao No experimento com lıtio (mais

precisamente lıtio-6) tambem foi observado o fenomeno da superfluidez verificando assim

coexistencia de fases isto e uma fase superfluıda e outra normal Este tipo de com-

portamento e esperado de acontencer de acordo com as muitas teorias existentes sobre

atomos ultrafrios Podemos chamar de superfluidez com pares quebrados (breached-pair

superfluidity) a que ocorre no gas de lıtio isto e podemos observar a existencia de spins

paralelos e antiparalelos Com a pesquisa em torno do CBE foi possıvel estudar varios

outros sistemas quanticos complexos que ate entao nao se tinha uma teoria solida que os

explicasse como e o caso do helio lıquido

13

1 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS IDEAL

Neste capıtulo vamos fazer uma breve descricao da Condensacao de Bose-Einstein

em um gas ideal Vamos analisar um sistema constituıdos por N partıculas nao inter-

agentes completamente diluıdo que obedece a distribuicao de Bose-Einstein com uma

ocupacao ni de partıculas para cada estado de energia εi

A energia do gas no estado e definido pelo conjunto dos numeros esperados de

partıculas isto e ni = n1 n2 sera (SALINAS 1997)

E(ni) = n1ε1 + n2ε2 + =sumi

niεi (1)

Calcularemos a funcao particao do sistema pois o objetivo principal e achar as

propriedades termodinamicas do gas sendo assim

Z =sumni

eminusβEni =sumni

eminusβsumniεi rarr funcao particao (2)

Condensacao Calculando a funcao particao acharemos todas as solucoes para o sistema

Usaremos entao o ensemble Grand canonico pois os ni nao sao independentes Ao

usar esse ensemble estamos tornando os ni independentes Neste caso estamos acoplando

ao sistema um reservatorio de partıculas e cada estado e populado a partir do reservatorio

Podemos escrever a funcao particao Grand canonica como sendo

Z(T V micro) =infinsumN=0

[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni

eminusβsumi ni(εiminusmicro)

]

=infinsumN=0

[sumni

prodi

(eminusβ(εiminusmicro)

)ni](3)

onde micro e o potencial quımico do gas

Podemos observar que em (3) existem dois somatorios o primeiro esta somando

sobre os ni vinculado a um valor constante do numero total N e o segundo e sobre todos

os valores possıveis de N e equivalente a um somatorio sobre todos os valores de ni

14

entao podemos escrever

Z(T V micro) =sumn1n2

[(eminusβ(ε1minusmicro)

)n1(eminusβ(ε2minusmicro)

)n2]

=

[sumn1

(eminusβ(ε1minusmicro)

)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni

eminusβni(εiminusmicro) (5)

A equacao (5) e a funcao particao de um estado quantico i

Na distribuicao de Bose-Eintein ni pode ser qualquer valor ou seja n = 0 1 2

Se eminusβ(εminusmicro) lt 1 dessa forma a funcao particao de um estado i sera

Zi =sumni


)ni=(1minus eminusβ(εiminusmicro)

)minus1(6)

Entao a probabilidade de obter ni partıculas no estado i e portanto

P (ni) =eminusβni(εiminusmicro)

Zi(7)

Portanto o numero medio de bosons em um estado i sera

ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)

Fazendo a diferenciacao vamos encontrar

ni =1

eβ(εiminusmicro) minus 1(9)

Dessa forma (8) e o numero medio de partıculas que ocupam um determinado

estado de energia i Tendo em maos o numero medio de partıculas em um estado quantico

i vamos obter o numero total N de partıculas que e dado por

N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1

exp [β (εi minus micro)]minus 1(10)

Analisando a expressao em (10) podemos observar que ao considerar o numero de

partıculas bosonicas como sendo conservado estamos impondo que o potencial quımico (micro)

e obrigatoriamente negativo ou nulo (micro le 0) isso faz com que o numero de ocupacao para

qualquer nıvel de energia seja positivo ou seja esse somatorio tem que ser convergente

E conveniente que na equacao (10) seja feito uma mudanca do somatorio para a

integral porem ao fazer essa mudanca temos que ter uma certa atencao pois o estado

fundamental possui uma energia εi = 0 e consequentemente a densidade de estado ρ(ε)

15

do estado fundamental tambem e igual a zero

A densidade de estado ρ(ε) do sistema vai representar a quantidade de estado

com energia entre ε e ε+ dε Entao ao fazermos a mudanca do somatorio para a integral

estamos deixando de lado muitas partıculas bosonicas que se encontra no estado de energia

mınima estado esse que possui aproximadamente um numero de partıculas que pode ser

igual ao proprio numero total N de partıculas do sistema isso explica porque somos

obrigados a manter a ocupacao N0 no estado fundamental Devido a isso trataremos as

partıculas que se encontra no estado fundamental separadamente isto e

N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1

eβ(εiminusmicro) minus 1ρ(ε)dε (11)

onde N0 e o numero de ocupacao no estado fundamental com εi = 0 e Nε e o numero

de ocupacao no estado excitado (SALINAS 1997)

Da equacao (11) observamos que a medida que a temperatura diminui micro cresce

podendo alcancar para uma determinada temperatura finita um valor maximo micro = 0 A

este ponto epecıfico chamamos de temperatura crıtica (Tc) pois quando a temperatura

diminui ha um crescimento macroscopico do numero de partıcula que constitui o estado

fundamental (N0) enquanto que a quantidade de partıculas existente no estato excitado

(fracao nao condensada) diminui proporcionalmente Essa ocupacao macroscopica vai

fazer com que a contribuicao estatıstica desse primeiro estado quantico degenerado seja

maior se compararmos com a parte nao condensada Isso e consequencia da quantidade

mınima de partıcula que ainda se encontra no estado excitado Portanto vamos calcular

o numero de partıcula existente no estado excitado isto e ε gt 0

Nε =

int infin0

ρ(ε)1

eβ(εiminusmicro) minus 1dε (12)

onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)

Substituindo a equacao (13) que e a equacao da densidade de estado na equacao

16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1

eβ(εiminusmicro) minus 1dε

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1


Podemos agora determinar a temperatura de transicao Tc fazendo micro = 0 Vamos

obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)

No momento em que o sistema tem micro = 0 temos que fazer Nε = N isso indica

que T tem o seu valor maximo ou seja

N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)

Podemos extrair da equacao acima a temperatura de transicao Tc que e

Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)

Dessa forma reescreveremos a equacao (17) em termos de Tc como sendo

Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)

Consequentemente vamos obter um outro parametro muito importante que e a

fracao de partıculas bosonicas que se encontra no estado fundamental (N0N) isto e no

estado condensado em funcao de T

N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)

Agora fica facil observar que a transicao que acontece a Tc pode exprimir-se pela

separacao dos comportamentos assintoticos do numero de ocupacao do estado fundamen-

tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N

)asymp 0 para temperaturas altas

(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

para temperaturas baixas

17

Figura 2 - Fracao de partıculas no condensado

de Bose-Einstein em funcao da

temperatura

Fonte SALINAS 1997 p238

Dessas expressoes podemos observar que abaixo de uma temperatura de transicao

Tc uma pequena populacao das partıculas bosonicas ocupam o nıvel de mais baixa de

energia isto e N0 rarr N Entao a medida que N cresce fica mais facil falar da temperatura

de transicao logo o numero de partıculas no estado fundamental se torna mais singular

Dessa forma para T lt Tc o estado condensado e macroscopicamente populado

entao podemos dizer que Tc e a temperatura na qual micro assume o seu valor maximo

Podemos afirmar que as expressoes acima nos permite identificar a densidade do conden-

sado com o parametro de ordem de transicao Denominamos entao que Condensacao de

Bose-Einstein e o fato de um gas ideal bosonico possuir uma temperatura de transicao

discreta Tc e tambem possuir uma porcao finita de todas as partıculas ocupando o nıvel

mais baixo de energia para T lt Tc

No proximo capıtulo estudaremos as consequencias de submetermos um gas de

Bose na presenca de interacoes Vamos analisar uma teoria extremamente importante

para o entendimento desse sistemas quanticos complexos Para isso teremos que fazer

certa aproximacoes para que o desenvolvimento e o entendimento do sistema se estabeleca

de maneira satisfatoria

18

2 CONDENSACAO DE BOSE-EINSTEIN DE UM GAS INTERAGENTE

Neste capıtulo demonstraremos um formalismo que vai ser capaz de descrever

as propriedades do estado fundamental de um gas bosonico diluıdo a uma temperatura

extremamente baixa (GRIFFIN 1996) Aplicaremos uma aproximacao de Campo Medio

Essa aproximacao e obtida depois que encontramos o valor esperado dos operadores de

campo bosonico Portanto definiremos uma funcao de onda (parametro de ordem) que

vai ser capaz de satisfazer a equacao nao linear de Schrodinger

Observaremos tambem o que acontece com um gas de Bose quando ele e aprision-

ado por um potencial harmonico e tambem quando esse sistema e submetido a interacoes

21 Equacao de Gross-pitaeviskii (modelo de campo medio)

Para uma melhor descricao do estado condensado faremos o uso da aproximacao

de campo medio que vai resultar em uma equacao de Schrodinger nao linear que recebe

o nome de Equacao de Gross-Pitaevskii (EGP) (CARRETERO-GONZALES R 2008

GRIFFIN 1996) A deducao dessa equacao de campo medio foi feita por Lev Petrovich

Pitaevskii e E P Gross Com essa aproximacao de campo medio podemos estudar com

mais profundidade as propriedades do estado condensado ou seja a equacao de Gross-

Pitaeviskii Dependente do Tempo vai descrever a dinamica do sistema E se linearizarmos

essa equacao ao redor do estado fundamental vamos conseguir descrever as excitacoes co-

letivas de baixa energia do sistema que esta submetido a uma temperatura extremamente

baixa

A aproximacao de campo medio e baseada na aproximacao de Bogoliubov A ideia

principal da teoria de Bogoliubov e de que a fracao de partıculas nao condensada sera

despresada ou seja os efeitos da parte termica (flutuacoes) serao despresados

Usando a teoria de Bogoliubov conseguiremos encontrar os estados de equilıbrio

do sistema atraves da equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo

Para conseguir chegar na equacao que vai dar a descricao do estado condensado

isto e do estado fundamental vamos escrever o hamiltoniano para um sistema formado

por N partıculas bosonicas com massa m que interagem duas a duas confinadas por um

potencial externo Vext(~r)

A hamiltoniana para esse sistema e escrita em segunda quantizacao atraves dos

operadores de campo Ψdagger(~r t) Ψ(~r t) (GREINER 1996) bosons de criacao e aniquilacao

respectivamente

19

H =

intd~rΨdagger(~r t) H0 Ψ(~r t) +

1

2

intd~r d~r primeΨdagger(~r t) Ψdagger(~r prime t)V (~r minus ~r prime) Ψ(~r prime t) Ψ(~r t) (20)

onde Vext(~r) e o potencial externo (potencial de armadilha) V (~r minus ~r prime) e o potencial

interatomico e H0 = minus h2

2mnabla2 + Vext(~r)

Os operadores de campo Ψ(~r t) e Ψdagger(~r t) obedecem as seguintes regras de co-

mutacao para bosons

[Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = δ(~r minus ~r prime)

[Ψ(~r t)Ψ(~r prime t)] = 0

[Ψdagger(~r t)Ψdagger(~r prime t)] = 0

O formalismo de segunda quantizacao e a melhor forma para desenvolver sistema

compostos por muitas partıculas quando estamos no contexto da mecanica quantica

(GREINER 1996)

Agora vamos escrever a equacao de Heisenberg (SAKURAI 1994) para poder

descrever o estado fundamental ou seja queremos observar a dinamica do sistema con-

densado e saber como o operador Ψ(~r t) ou Ψdagger(~r t) evolui no tempo

ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)

Calculando [Ψ(~r t)H] usando o hamiltoniano

[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)

intd~rΨdagger(~r t)

(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)

intΨ(~r prime t)Vext(~r)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)

1

2

intd~rd~r primeΨdagger(~r t)Ψdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)Ψ(~r prime t)Ψ(~r t)

](22)

20

Vamos calcular a primeira parcela

I1 =

[Ψ(~r t)

intΨdagger(~r prime t)

(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)d~r prime

]I1 =

int [Ψ(~r t)Ψdagger(~r prime t)

(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2

2mnabla2Ψ(~r t) (23)

Analogamente para as parcelas I2 e I3 e substituindo as tres parcelas na equacao

de Heisenberg equacao (21) obtemos

ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +

intd~r primeΨdagger(~r prime t)V (~r prime minus ~r)Ψ(~r prime t)

]Ψ(~r t) (24)

A equacao (24) e uma equacao exata para o operador de campo Ψ(~r t)

Agora vamos decompor o operador de campo bosonico da seguinte forma

Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

onde ψ representa o estado fundamental e δφ representa as flutuacoes Contudo obser-

vamos que esse operador de campo vai agir como se fosse o seu proprio valor medio no

nıvel de mais baixa energia ou seja (BARCI 2002)

ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 rarr equacao de campo medio

A equacao acima e considerada como sendo a equacao de onda do estado conden-

sado e uma equacao de onda macroscopica e uma funcao de onda quantica ou seja ela

representa um conjunto de todas partıculas bosonicas que estao no estado fundamental

isto e essas partıculas vao se deslocar coerentemente Entao δφ e uma pequena parcela

das partıculas que se encontrta fora do condensado e quando o sistema encontra-se com

uma temperatura muito abaixo de Tc essa parcela e realmente desprezada

O que foi feito acima foi descartar as flutuacoes para que se possa fazer uma

melhor analise somente da parte condensada (BARCI 2002) isto e estamos aplicando a

aproximacao de campo medio Consequentemente vamos fazer a seguinte substituicao

Ψ(~r t) minusrarr ψ(~r t)

Ψdagger(~r t) minusrarr ψdagger(~r t)

Substituindo na equacao (24) que e a equacao de movimento para o operador de

21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +

intd~r primeψdagger(~r t)V (~r prime minus ~r)ψ(~r prime t)

]ψ(~r t) (26)

Para calcular o potencial de interacao Vint(~r) da equacao anterior e preciso fazer

algumas consideracoes pois estamos tratando um sistema com uma densidade muito

baixa Supondo que as que e o comprimento de espalhamento da onda s seja a unica

interacao existente nesse gas e que esse gas de Bose estivesse completamente diluıdo

consequetemente so haveria interacoes entre duas a duas partıculas e tambem estaremos

levando em conta o comportamento assintotico de sua funcao de onda Devido a todas

estas aproximacoes podemos trocar o potencial de interacao por um Pseudopotencial

(potencial repulsivo) Dessa forma escrevemos

Potencial de interacao minusrarr Pseudopotencial

Vint(~r) = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)

as =m

4πh2

intd~r V (~r minus ~rprime)

onde g = 4πh2am e a constante de acoplamento

Feita estas aproximacoes finalmente podemos escrever (PETHICH C J 2002)

ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2

2mnabla2 + Vext(~r) + g | ψ(~r t) |2

]ψ(~r t) (27)

A equacao (27) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Dependente do Tempo

(EGPDT)

Escrevendo a condicao de normalizacao para ψ(~r t) temosintψdagger(~r t)ψ(~r t)d~r = N (28)

onde N e o numero total de partıcula do condensado

Para obter a equacao de Gross-Pitaeviskii independente do tempo ou seja a

solucao estacionaria vamos considerar

ψ(~r t) = exp(minusimicro

ht)ψ0(~r) (29)

onde micro e o potencial quımico do sistema Substituimos esta funcao de onda em EGPDT

Eq (27) obtemos[minus h2

2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22

A equacao (30) e chamada de Equacao de Gross-Pitaeviskii Indepedente do Tempo

(EGPIT) Esta equacao vai descrever o estado fundamental ou seja o estado condensado

A EGPDT nos fornecer a energia do sistema isto e

ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2

2m| nablaψ |2 +Vext(~r) | ψ |2 +

1

2g | ψ |4

](32)

onde h2

2m| nablaψ |2= energia cinetica

Vext | ψ |2= energia potencial rArr ET = Ecin + Epot + Eint

1

2g | ψ |4= energia de interacao

A EGPDT pode ser obtida a partir do princıpio de mınima acao isto e (PETHICH

C J 2002)

δ

intLdt = 0

Podemos escrever a Lagrangeana como sendo

L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)

Neste secao foi desenvolvida a equacao que descreve as propriedades do estado

fundamental de um gas de Bose diluıdo a uma baixa temperatura ou seja demonstramos

e solucionamos uma equacao de campo medio que e chamada de Equacao de Gross-

Pitaeviskii Isso foi conseguido devido ao tratamento variacional que foi realizado

211 Estado condensado em uma armadilha harmonica

Nesta secao vamos descrever a forma e a reacao de um fluıdo extremamente

diluıdo composto por partıculas bosonicas que esta preso em uma armadilha harmonica

magnetica Com a presenca da armadilha harmonica magnetica a pesquisa em torno do

23

CBE vai se tornar muito mais interessante (BAGNATO 1997)

A presenca do potencial confinador (Vext) faz com que possamos observar esses

resultados

Para um sistema formado por N partıculas bosonicas que esta submetido a um

potencial externo (Vext) de oscilador harmonico podemos escrever (PETHICH C J

2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)

onde kx = ky = kz = k = sao as constantes elaticas wi = (km)12 e a frequencia da

armadilha harmonica

O potencial externo representa a armadilha experimental que vai aprisionar as

partıculas

A forma do condensado vai ser definido pelo tipo de potencial de armadilha isto e

vai depender dos valores adotados para as frequencias Aqui as tres constantes elasticas

sao iguais o que caracteriza que a simetria tem uma forma esferica (BAGNATO 1997)

Como vimos no capıtulo anterior para aprisionar essas partıculas foi preciso que

desenvolvesse uma armadilha magnetica onde essas partıculas pudessem ser confinadas

atraves de um campo magnetico estavel (que sao as forcas de uma armadilha)

E importante priorisar que essa partıculas que estao confinadas sao derivadas de

atomos alcalinos que vao reagir como partıculas bosonicas

Essas armadilhas magneticas possui uma caracterıstica importante podemos aproxima-

las atraves de um potencial harmonico isto e quadraticamente Porem para isso acontecer

a natureza do condensado sofrera modificacoes

Sendo assim um sistema condensado consiste de partıculas bosonicas que estao no

estado fundamental de um oscilador harmonico isto e no primeiro estado quantico que

tem como funcao de onda uma gaussiana de extensao ah

Portanto as energias individuais das partıculas no oscilador pode ser escrita da

seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)

A funcao de onda no estado condensado quando se tem N partıculas bosonicas e

uma gaussiana temos entao

Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)

onde wh = (wxwywz)13 ϕ0 e a funcao gaussiana (CARRETERO-GONZALES R 2008)

Tendo em maos a funcao de onda do condensado podemos encontrar um parametro

de escala do sistema que e o comprimento caracterıstico do oscilador (ah) que e

ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)

esse parametro e experimentalmente da ordem de 1microm

Agora podemos avaliar a fracao nao condensada do sistema ou seja podemos

avaliar as excitacoes

Quando o sistema esta em uma temperatura muito acima da temperatura crıtica

as partıculas bosonicas comportam-se classicamente podemos entao usar a estatıstica

de Boltzmann Definimos esse intervalo como sendo kBT gtgt hwh e definimos tambem

ncl prop exp (minusVextkBT ) (PETHICH C J 2002) Dessa forma obtemos uma distribuicao

gaussiana de largura

aT =

(kBT

hwh

)rarr comprimento da fracao termica (40)

temos portanto

aT gtgt ah (41)

A expressao (41) nos mostra que o CBE tem uma reducao da sua densidade

Percebemos entao que o comprimento da parte condensada e menor em relacao ao com-

primento da fracao termica

E importante nesta secao tambem escrever o numero de partıculas como sendo

N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1

exp[β(εnxnynz minus micro)]minus 1(42)

onde nx ny nz sao numeros quanticos

Podemos observar que o primeiro estado quantico que e o estado de um oscilador

agora tem energia ε000 = 3hw2 ao inves de ε0 rarr 0 quando V rarr 0

A ocupacao macroscopica do estado condensado (estado gaussiano) e atingida

atraves do ponto micro rarr microc = 32 hw que e o ponto transicao Fazendo micro rarr microc o numero

medio de partıculas bosonicas no primeiro estado quantico do osacilador harmonico tende

para infinito

25

Figura 3 - Analise da densidade do

condensado

Legenda Formacao do condensado de

sodio

Fonte MASSACHUSETTS INSTITUTE

OF TECHNOLOGY 2010

Aqui tambem fazendo a passagem do somatorio para a integral tomando o devido

cuidado com N0 que e o numero de ocupacao do estado fundamental obtemos

N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1

exp[βhw(nx + ny + nz)]minus 1(43)

A mudanca do somatorio para a integral indica que kBT gtgt hw

Novamente o integrando pode ser expresso atraves de uma serie geometrica Pode-

mos entao calcular as integrais individualmente e chegando ao seguinte resultado

N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)

onde ζ e a funcao Zeta de Rieman ζ(3) =suminfin

l=1 lminus3 asymp 1202

Portanto em uma armadilha magnetica a CBE vai apresentar-se com uma dis-

tribuicao espacial da densidade formada por uma distribuicao maior e adicionalmente de

uma estreita distribuicao de Gauss que e proporcional ao quadrado da funcao de onda do

nıvel fundamental do oscilador

Podemos agora escrever a temperatura crıtica (Tc) para esse sistema nao intera-

gente que vai sofrer mudancas causadas pelo potencial de confinamento Fazendo tambem

N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)

Portanto a ideia basica era observar como o aglomerado de partıculas bosonicas

26

no primeiro estado quantico vai estar sujeito a forma da armadilha

Podemos observar entao que devido o potencial de confinamento Vext certas car-

acterısticas do sistema condensado sofrerao mudancas Uma das mudancas essenciais vai

ser a alteracao da temperatura crıtica (Tc) que vai ser escrita em funcao dos parametros

da armadilha

22 Interacoes repulsivas e atrativas

O proposito desse capıtulo e chamar a atencao sobre a importancia do papel das

interacoes em um fluıdo bosonico Mostraremos o que acontece com esse gas quando esta

sujeito a presenca de interacoes que pode ser atrativas ou repulsivas As interacoes entre

as partıculas vao fazer com que o desenvolvimento teorico desse sistema fique muito mais

interessante Dessa forma vamos fazer o uso de metodos aproximativos

O que vai caracterizar se a interacao e atrativa ou repulsiva e o sinal da constante

g (termo nao liner da equacao de Gross-Pitaeviskii) negativo ou positivo respectivamente

Um outro fator importante devido a presenca de interacoes entre as partıculas e

de que ha um aumento na energia cinetica do sistema Dessa forma vemos que essas

interacoes fazem com que haja uma diminuicao de partıculas no condensado

Se a interacao entre as partıculas bosonicas e repulsiva havera uma expansao da

densidade isto e o comprimento de espalhamento sera positivo ou seja as gt 0rarr g gt 0

Agora se considerarmos como sendo atrativa a interacao entre as partıculas boson-

icas temos as lt 0 rarr g lt 0 sendo assim as sera negativo e a densidade do condensado

diminui nesse caso ocorrera certas restricoes com relacao a estabilidade a consequencia

disso e a impossibilidade de ocorrer condensacao pois a inclinacao das partıculas de se

agregarem gera locais de elevadas densidades acima do limite de legitimidade da equacao

de Gross-Pitaevskii isto e na3 ltlt 1 (CARRETERO-GONZALES R 2008)

Entao a densidade n de um gas bosonico preso em uma armadilha e extremamente

baixa ou seja

n | a |3lt 10minus3 rarr gas rarefeito (46)

onde a e o comprimento de espalhamento da onda s A expressao (46) e muito impor-

tante pois caracteriza que o sistema e fracamente interagente (ou chamado diluıdo) isto

e podemos considerar que foi feita uma aproximacao para o estado gaussiano (estado

fundamental) ie as partıculas bosonicas estao nesse nıvel fundamental que tem um

momento mınimo

Ao desprezar as interacoes entre as partıculas bosonicas pressupoe que a con-

tribuicao da energia de interacao (Eint) e pequena em comparacao com a energia cinetica

27

(Ecin) A relacao entre as duas energias e (PETHICH C J 2002)

EintEcin

sim N | a |ah

(47)

23 Aproximacao de Thomas-Fermi

Ao considerar o numero de partıculas do sistema condensado muito grande ie

N rarr infin a aproximacao de Thomas-Fermi vai fornecer uma funcao de onda que e

valida somente para esse limite O limite de Thomas-Fermi e conhecido como limite

hidrodinamico (CARRETERO-GONZALES R 2008 PETHICH C J 2002) Na

aproximacao de Thomas-Fermi temos que levar em conta a energia de interacao e de-

sprezar a energia cinetica das partıculas dessa forma podemos considerar

N | a |aho

gtgt 1

isto e o que ocorre em sistemas condensados preso a uma armadilha quando ocorre

interacao repulsiva (a gt 0)

O termo de energia cinetica se torna muito pequeno em relacao aos outros dois

termos constituintes da energia total isto e

Ecin ltlt Epot + Eint

Devido a essa simplificacao o problema variacional que levaria a uma equacao

diferencial agora nos permite escrever uma equacao algebrica sendo assim vamos de-

sconsiderar o termo de energia cinetica na equacao de GP independente do tempo temos[Vext(~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r)

[Vext(~r) + gρ]ψ0(~r) = microψ0(~r)

Vext(~r) + gρ = micro

gρ = microminus Vext(~r) minusrarr ρ =1

g(microminus Vext(~r)) (48)

Concluimos que a aproximacao de Thomas-Fermi nos da a densidade do estado

fundamental

24 Teoria de Bogoliubov

Nesse capıtulo abordaremos as dificuldades ao se tentar calcular um potencial de

interacao V (~r) (repulsivo) e de curto alcanse quando estamos estudando um sistema

28

ou seja um gas de Bose com um numero infinito de partıculas e que esteja sendo sub-

metido a uma temperatura extremamente baixa (T = 0) Um sistema que possui essas

caracterısticas pode ser analisado pela teoria de Bogoliubov

Nikolay Bogoliubov foi quem primeiro calculou esse tipo de potencial de interacao

Entao em 1947 ele descreveu uma teoria capaz de fazer um tratamento todo especial

para conseguir calcular esse potencial Bogoliubov observou que se fizesse algumas con-

sideracoes conseguiria obter um resultado satisfatorio

A ideia principal dessa teoria e desprezar a fracao de partıculas que estao fora

do estado condensado ou seja temos que descartar as interacoes entre as partıculas

excitadas

Consequentemente vamos aplicar a lagrangeana do sistema varias simplificacoes

chamada de aproximacao de Bogoliubov Dessa forma conseguiremos desenvolver um

tratamento analıtico mais simples ie o modelo para o nosso sistema e escrito atraves

de uma lagrangeana quadratica (BARCI 2002) Portanto a teoria de Bogoliubov consiste

em descartar da lagrangeana os termos de ordem superior

A teoria de Bogoliubov comporta varias generalizacoes Mais adiante vamos

fazer um procedimento variacional que e denominado de aproximacao de Hartree-Fock-

Bogoliubov (BARCI 2000) que e uma generalizacao do metodo de Bogoliubov que con-

siste em obter uma aproximacao autoconsistente para o primeiro estado quantico Com

isso conseguiremos obter as equacoes dinamicas para o sistema isto e um conjunto de

equacoes nao lineares na aproximacao de campo medio Isso vai nos levar as equacoes de

autovalores que consequentemente vai nos fornecer as excitacoes do sistema

Essas generalizacoes imposta sao para mais adiante fazer um tratamento mais

apropriado em sistemas que possuem temperatura finita cuja densidade se encontra com

um valor elevado

241 Equacao de Bogoliubov-de Gennes e excitacoes

Nesta secao abordaremos como se obter as excitacoes do sistema isto e como

os efeitos coletivos acontecem em um gas de Bose Mostraremos como a presenca das

interacoes e tao importante para se comprender um sistema condensado

Gross e Pitaeviskii propos que quando um sistema bosonico e submetido a uma

temperatura muito baixa ou seja T = 0 o numero de partıculas no nıvel fundamen-

tal deve ser aproximadamente N0 gtgt 1 isto e todas as partıculas estariam no estado

condensado se nao considerarmos a presenca de interacoes No momento que levamos

em conta as interacoes (interacoes repulsivas) nao serao todas as partıculas que vao se

encontrar no estado condensado isto e no estado fundamental pois a presenca das in-

teracoes vai fornecer energia suficiente a uma pequena quantidade de partıculas para

29

que elas consigam se excitar ou seja ha um numero pequeno de estados excitados Esses

estados excitados (ou quasi-partıculas) nada mais e que as excitacoes coletivas do sistema

condensado (PETHICH C J 2002)

Ainda dentro do contexto da teoria de campo medio podemos dizer que a equacao

de Gross-Pitaeviskii vai ser a geradora dos estados de equilıbrio E se linearizarmos a

equacao de Gross-Pitaeviskii dependente do tempo Eq (27) em torno dos estados de

equilıbrio isto e do estado fundamental conseguiremos extrair as excitacoes do sistema

com energia muito baixa Entao podemos extrair da EGP para os estados que estao

em equilıbrio as equacoes de Bogoliubov e a equacao de Bogoliubov-de Gennes pode ser

extraida da linearizacao da equacao de GPDT pois est euqcao nos fornecer a evolucao

temporal do nosso sistema

Fazendo uma simples mudanca de variavel φ minusrarr δφ e substituo na EGPDT

obtemos

minus h2

2mnabla2δφ+ V (~r t)δφ+ g

[2 | φ(~r t) |2 δφ+ φ(~r t)2δφlowast

]= ih

partδφ

partt

minus h2

2mnabla2δφlowast + V (~r t)δφlowast + g

[2 | φ(~r t) |2 δφlowast + φlowast(~r t)2δφ

]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)

onde φ(~r t) e a funcao de onda do estado nao pertubado que podemos escrever como

sendo

φ(~r t) =radicn0(~r)eminusimicroth (50)

onde n0 e a densidade de partıculas que estam em equilıbrio e micro e o potencial quımico

do sistema Dessa forma podemos dizer que as solucoes para essas equacoes sao

Φ(~r t) = eminusimicroth[φ(~r) + u(~r)eminusiwt + vlowast(~r)eiwt

](51)

Substituindo a Eq (51) nas Eqs (49) vamos obter o par de equacoes acopladas

para u(~r) e v(~r)

hwu(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)

]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)

minushwv(~r) =[H0 minus micro+ 2gφ2(~r)

]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)

onde ε = hw e a energia de excitacao

Essa formulacao foi feita em 1961 por Pitaeviskii quando ele investigou as ex-

citacoes de um gas de Bose uniforme O formalismo proposto por Pitaeviskii e equivalente

ao procedimento de Bogoliubov A visao de Bogoliubov era de fazer uma transformacao

canonica das flutuacoes de tal forma que este problena quantico poderia ser resolvido

analiticamente Entao os termos de segunda ordem em φ pode ser diagonalizado pela

30

transformacao

φ(~r) =sumj

[uj(~r)αj + vlowastj (~r)α

daggerj

](53)

onde αj sao os operadores de aniquilacao para as excitacoes e uj vj pequenas pertubacoes

Portanto da Eq(24) sabe-se que ψ equiv 〈Ψ(~r t)〉 e a funcao de onda do condensado

Podemos definir nc =| φ |2 e a densidade da parte condensada nT = 〈φdaggerφ〉 e a densi-

dade da fracao termica(flutuacoes) ρ = 〈φφ〉 = ρ = 〈φdaggerφdagger〉 sao as densidades anomalas

(BARCI 2000)

Portanto a funcao de onda do condensado obedece a equacao generalizada de Gross-

Pitaeviskii isto e[minus h2

2mnabla2 + Vext + g(nc + 2nT + ρ)

]φ = microφ (54)

Podemos constatar que os termos de segunda ordem em φ sao diagonalizados pela

transformacao canonica Eq (53) e as amplitudes uj e vj sao solucoes das equacoes de

Bogoliubov-de Gennes Podemos escrever as Eqs(52) como sendo[minus h2

2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus microminus hw

]u(~r)minus g(nc + ρ)v(~r) = 0[

minus h2

2mnabla2 + Vext(~r) + 2g(nc + nT )minus micro+ hw

]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)

Aqui somos levados a fazer uma procedimento chamado de aproximacao de Popov

onde se descarta as densidades anomala Dessa forma levando em conta essa aproximacao

reescreveremos as quacoes (55)[minus h2

2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus microminus hw

]u(~r)minus gnv(~r) = 0[

minus h2

2mnabla2 + Vext(~r) + 2gnminus micro+ hw

]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)

onde as equacoes acima sao as chamadas equacoes de Bogoliubov

O procedimento que foi realizado serviu para trazer de volta o operador φ que foi

descartado quando separamos o sistema Eq (24) para calcular somente a fracao con-

densada Portanto esse operador vai introduzir uma dependencia temporal na densidade

de maneira pertubativa

Sendo assim o sistema condensado vai ser a combinacao linear da fracao conden-

sada com a parte nao condensada (excitacoes) ou seja

n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)

Foi utilizado um procedimento chamado de aproximacao de Popov Consequente-

31

mente um desenvolvimento variacional foi feito de maneira correta Com issofoi descar-

tados das solucoes as densidades anomalas

32

3 EVOLUCAO TEMPORAL DE UM CBE

Neste capıtulo discutiremos a evolucao temporal de um condensado de Bose-

Einstein homogeneo fora do equilıbrio (BARCI 2000 BARCI 2002) Vamos aplicar

uma teoria quantica de campos nao relativistica para um campo escalar complexo φ(~x t)

que esta acoplado a um reservatorio termico

A principal ideia de fazer esse estudo e analisar o estado inicial fora do estado

condensado quando o sistema e rapidamente resfriado para uma temperatura bem abaixo

da temperatura crıtica ie quando o sistema sofre um quench Para realizar esse estudo

utilizamos o formalismo de Schwinger-Keldysh (formalismo de tempo real) que e o mais

indicado para estudar sistemas em materia condensada que estao fora do equilıbrio Com

a utilizacao desse formalismo descreveremos a densidade deste gas em funcao do tempo e

da temperatura de equilıbrio Com isso acharemos um conjunto de equacoes diferenciais

auto-consistentes que vao definir a evolucao temporal do condensado Estas equacoes

serao resolvidas numericamente

31 Densidade Lagrangeana flutuacoes

A hamiltoniana de interacao que descreve um gas de Bose homogeneo extrema-

mente diluıdo com massa m tem a seguinte forma em segunda quantizacao (BARCI

2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2

intd3~r d3~r primeφdagger(~r prime t)φdagger(~r t)V (~r minus ~r prime)φ(~r prime t)φ(~r t) (59)

Consideramos um potencial local da forma Vint = V (~r minus ~r prime) = gδ(~r minus ~r prime)Podemos escrever a hamiltoniana total como sendo

HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1

2g (φdaggerφ)2 (60)

Considerando uma densidade finita definida pelo potencial quimico micro pode ser

escrita da seguinte forma (considerando h = 1) (BARCI 2002)

L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2

)φ+ microφlowastφminus 1

2g(φlowastφ)2 (61)

33

Como e usual na descricao de um CBE para pesquisar sua evolucao temporal

fora do equilıbrio e necessario decompor o campo e o seu conjugado complexo em uma

parte uniforme (o condensado) e as flutuacoes A diferenca e que agora deixaremos no

condensado uma dependencia temporal (BARCI 2002) Consideramos entao

φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)

φlowast(~x t) = ϕlowast0(t) + ϕlowast(~x t) (62)

onde ϕ0(t) ϕlowast0(t) representa o condensado (uniforme) e ϕ(~x t) ϕlowast(~x t) as flutuacoes fora

do condensado

Vamos agora substituir os campos Eq (62) na densidade Lagrangeana Eq(61)

Obtendo desta forma uma densidade lagrangiana do tipo L = Lprime + Lϕ + LI onde sepa-

ramos a contribuicao do condensado das flutuacoes O termo LI descreve a interacao das

partıculas fora do condensado isto e as flutuacoes com o CBE

A approximacao usual quando o sistema e tratado em equilibrio e chamada de

aproximacao de Bogoliuvov onde sao considerados apenas termos quadraticos nas flu-

tuacoe Porem fora do equilıbrio esta aproximacao nao e suficiente De fato se consid-

erarmos apenas flutuacoes quadraticas o resultado seria que o tempo de condensacao e

infinito Ou seja o sistema nunca condensa Desta forma termos do tipog

2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado

Para tratar os termos quarticos fazemos uma approximacao de Hartree-Fock (HF)

Esta consiste em reescrever o termo de interacao como

g

2(ϕlowastϕ)2 = 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ+ [g(ϕlowastϕ)2 minus 4g〈ϕlowastϕ〉ϕlowastϕ] (63)

desprezando o ultimo termo Dado que a densidade total e fixa dada por

〈φlowastφ〉 =| ϕ0(t) |2 +〈ϕlowastϕ〉 = n (64)

A equacao (63) vai induzir um acoplamento das flutuac oes com o condensado

Finalmente usando estas aproximacoes e fixando o potencial quımico micro = 2gn

obtemos a densidade lagrangiana

LT = L0 + Lflut (65)

onde a dinamica das flutuacoes e dada por

Lflut(ϕ ϕlowast) = ϕlowast

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)

Desta lagrangeana pode-se escrever as eaquacoes de movimento para as flutuacoes

34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1

2mnabla2ϕlowast = minusg(ϕlowast20 (t))ϕ (67)

Estas equacoes serao usadas para o calculo das funcoes de correlacao e da densidade

do condensado

32 O cenario quench

Nesta secao descreveremos o comportamento do sistema quando ele sofre um pro-

cesso de resfriamento instantaneo ie um quench de uma temperatura alta para uma

temperatura muito abaixo do que a temperatura crıtica (Tc) (BARCI 2002)

Consideramos que em t lt 0 o estado inicial do sistema e de equilıbrio com uma

temperatura Ti gtgt Tc entao podemos observar que a densidade do condensado | ϕ0 |2

(t lt 0) = nc(t lt 0) sim 0 No entanto os estados fora do condensado nexc(t lt 0) sim n

Em t = 0 o sistema sofre um resfriameto brusco (quench) para uma temperatura

muito abaixo da temperatura crıtica isto e Tf ltlt Tc onde Tf e a temperatura do

reservatorio termico (banho termico) na qual o sistema e imerso (β = 1kBTf ) podemos

dizer que e a temperatura de equilıbrio que o sistema alcanca assintoticamente ou seja

trarrinfin

Podemos supor que um estado inicial razoavel seria nc(t = 0) =| ϕ0(t = 0) |2equiv 0

para o condensado e para os estados excitados nexc(t = 0) = 〈ϕlowastϕ〉 asymp n

Desta forma a dinamica para t gt 0 estara vinculada pela condicao de densidade

constante que supondo invariancia traslacional podemos escrever como

| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)

ou seja a dinamica se reduz a um sistema de dois estados Esta aproximacao e valida desde

que as temperaturas iniciais e finais estejam bem afastadas da crıtita Ti gtgt Tc gtgt Tf

As excitacoes fora do condensado nexc podem ser escritas em termos dos valores

esperados dos campos no mesmo ponto e no mesmo tempo ie nexc =lt ϕlowast(x t)ϕ(x t) gt

Dada a invariancia translacional essa funcao nao depende de x E conveniente escrever

esta expressao em termos da parte real e parte imaginaria dos campos

nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)

onde ϕ = ϕ1 + iϕ2 e ϕlowast = ϕ1 minus iϕ2

A media dos campos acima podem ser expressas em termos de funcoes de Green

35

para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) Estas funcos de Green por sua vez dependem do valor de ϕ0(t)

Desta forma obtemos equacoes autoconsistentes que deveremos resolver numericamente

para achar ϕ0(t)

33 Equacoes auto-consistentes

Aqui faremos um desenvolvimento para solucionar as equacoes auto-consistentes

que vao ser responsaveis para descrever a evolucao fora do equilıbrio (BARCI 2000)

E conveniente escrever a media dos campos ( funcao de dois pontos) em termos de

funcoes de Green para ϕ1 e ϕ2 (j = 1 2) como sendo

〈ϕj(t)ϕj(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)

onde Ggtjj(~k t t) e a definicao de funcao de Green retardada no formalismo de Keldish

(ver apendice) A temperatura final aparece neste formalismo como uma condicao de

contorno

Gltjj(~k t tprime) = Ggt

jj(k tminus iβ tprime) (71)

onde Ggt e a funcao de Green avancada Esta funcao de Green pode ser escrita em termos

das solucoes das equacoes de movimento homogeneas (67) no espaco de Fourier

Ggtjj(~k t tprime) =

i

1minus eminusβεk[χj(~k t)χ

lowastj(~k tprime) + eminusβεkχlowastj(

~k t)χj(~k tprime)]

(72)

onde usando a expressao da densidade lagrangeana para as flutuacoes Eq (66) pode-se

escrever as equacoes para os modos de flutuacoes χ1 e χ2 que sao solucoes homogeneas

para os operadores das flutuacoes quadraticas como sendo

dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)

Dessa forma pode-se reescrever a Eq (69) em termos de modos de flutuacoes


intd3~k

(2π)3

i

1minus exp(minusβεk)

[χj(~k t)χ

lowastj(~k tprime) + exp(minusβεk)χlowastj(~k t)χj(~k tprime)

](74)

A partir desta expresao pode-se agora calcular a densidade de partıculas nos es-

36

tados fora do condensado como

nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)

A condicao iniciais para essas solucoes sao tais que para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0

Temos entao que a partir de (73) χ1(~k t) = exp(ıεkt)radic

2N e χ2(~k t) = ı exp(ıεkt)radic

2N

com εk = k22m Onde N e uma constante de normalizacao a determinar

Portanto em t = 0 todo o sistema estara no estado excitado isto e no estado nao

condensado Dessa forma temos como expressao para a densidade do estado condensado

nc equiv ϕ0 |2= 0 e consequentemente a expressao para o estado excitado e

nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)

A partir desta equacoes substraindo a energia do ponto zero (divergente a T = 0)

determinamos o valor de N = 2nζ(32) (m2πβ)32 que em termos da temperatura crit-

ica de um gas ideal β0 tem a expresao mais simples N = 2 (β0β)32 Fazendo uso destas

normalizacoes achamos finalmente a densidade do condensado como n0(t) =| ϕ0(t) |2

como sendo (BARCI 2000)

| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)

onde nk = (eβεk minus 1)minus1 As condicoes iniciais para t lt 0 | ϕ0(t) |2= 0 e portanto

χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)

Portanto as equacoes (73) e (77 ) com as condicoes iniciais (78) formam um

conjunto de equacoes integro-diferenciais acopladas que determinan completamente a

evolucao do condensado

Na equacao (77) o limite imposto para valores k lt kc correspondem aos modos

de instabilidade que leva o sistema de um dado estado inicial pertubado para um estado

condensado Podemos determinar kc atraves das equacoes para os modos de flutuacoes

Eq (73) que e dado pelo valor de k que muda de sinal no produto das frequencias

37

34 Integracao numerica

Para achar o valor do condensado em funcao do tempo temos que resolver as

equacoes auto-consistentes (73) e (77) O algoritimo e bem simples e e baseado em uma

equacao de evolucao Primeiro vamos integrar as equacoes (73) para um dado valor inicial

de ϕ0 Com essas solucoes vamos integrar numericamente a equacao (77) para se obter

um novo valor do condensado em um tempo posterior Introduziremos esse novo valor

nas equacoes diferenciais e repetiremos o processo Com isso geramos o grafico da figura

3 Nesta figura e mostrado resultados para a densidade | ϕ0 |2 como funcao do tempo

para diferentes valores de temperatura Para tempos iniciais o sistema e completamente

dominado por estado estaveis A medida que o tempo passa ocorre um aumento da

populacao do estado condensado Em um dado momento e em um determinado ponto

a curva vai crescer exponencialmente ate saturar no estado de equilıbrio Deve-se notar

que nao sao todas as partıculas excitadas que vao condensar pois sempre havera uma

fracao mınima que dependera de varios parametros existentes no sistema

Na figura 3 mostramos a evolucao temporal para diferentes temperaturas Como

era de se esperar observamos que a fracao de partıculas nao condensada isto e as flu-

tuacoes diminui conforme a temperatura final abaixa

38

Figura 4 - Densidade da fracao condensada como funcao

do tempo

Legenda Para na3 = 001 e

T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e

τ equiv (hma2)t e o tempo adimensional e

ρ equiv a3 | ϕ0 |2 e a densidade adimensional

Fonte BARCI 2002 p6

39

Neste capıtulo foi desenvolvida uma teoria quantica de campos a temperatura

finita para se estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio de um gas de Bose ho-

mogeneo que e bruscamente resfriado ie sofre um processo chamado de quench para

uma temperatura muito abaixo da temperatura crıtica (Tc) Para isso foi empregado o

formalismo de tempo real ou seja formalismo de Schwinger-Keldysh (trajetoria temporal

fechada) Esse formalismo foi utilizado pois no ramo da fısica da materia condensada e o

mais indicado para descrever a evolucao temporal de um sistema quantico que esta fora

do equilıbrio

Para esse desenvolvimento ser entendido claramente e essencial prestarmos a atencao

nas escalas de tempo e o tamanho final do condensado que sao parametros importantes

para o entendimento da dinamica desse sistema quantico Dessa forma a evolucao tem-

poral do condensado e completamente direcionada pelas interacoes entre as flutuacoes

microscopicas dos campos em torno do estado fundamental ou seja o resultado para

a evolucao temporal da densidade desse sistema condensado e dado pela solucao para

o grupo de equacoes integro-diferenciais acopladas (73) e (77) para os tres valores de

temperatura final

Portanto podemos observar que ao despresarmos os termos de acoplamento entre

as partıculas fora do condensado o sistema se tornaria estavel

Os tempos de equilıbrio sao inversamente proporcionais para a densidade e o

acoplamento

Entretanto apesar da ausencia dos efeitos nao homogeneos esperamos que a prox-

imacao que foi desenvolvida possa ser util na analise e no desenvolvimento de experimentos

com gases atomicos de Bose

Nossos resultados tambem serao aplicado em gases atomicos que estao presos em

uma armadilha magnetica em uma regiao central da mesma

40

4 DINAMICA DE DUAS ESPECIES DE GAS DE BOSE

Neste capıtulo extendemos a analise do capıtulo anterior para duas especies ho-

mogeneas do gas de Bose acoplados e interagentes que serao imersos em um reservatorio

termico Como no capıtulo anterior Modelamos o sistema usando uma teoria quantica

de campos nao relativıstica Vamos modelar esse sistema composto por meio de dois cam-

pos escalares complexos φ1(~x t) e φ2(~x t) que auto interagem entre si atraves de suas

densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)

com i = 1 2 A densidade de interacao e dada por

LI = minusg(φlowast1φ1)(φlowast2φ2) (81)

O comportamento deste sistema depende fundamentalmente do sinal da constante

de acoplamento g Se g gt 0 o que vai representar uma interacao repulsiva a presenca de

um condensado vai inibir a condensacao do outro Como consequencia esperamos uma

transicao de fase de primeira ordem entre os dois condensados ϕ1 e ϕ2 No caso de uma

interacao atrativa g lt 0 o condensado de uma especie induz a condensacao do condensado

da outra especie Neste caso esperamos ter fases de dois condensados coexistentes Esta

analise e puramente estatistica O objetivo deste capıtulo e estabelecer um marco para o

estudo da dinamica deste sistema

Seguindo os passos do capıtulo anterior separamos os campos em uma parte con-

densada dependente do tempo e as flutuacoes

φ1(~x t) = ϕ01(t) + ϕ1(~x t)rarr φlowast1(~x t) = ϕlowast01 (t) + ϕlowast1(~x t)

φ2(~x t) = ϕ02(t) + ϕ2(~x t)rarr φlowast2(~x t) = ϕlowast02 (t) + ϕlowast2(~x t) (82)

onde ϕ01(t) ϕ0

2(t) ϕlowast01 (t) ϕlowast02 (t) sao as partes correspondentes aos estados condensados e

ϕ1(~x t) ϕ2(~x t) ϕlowast1(~x t) ϕlowast2(~x t) sao as flutuacoes(fora do condensado)

Desta forma escrevemos o numero total de partıculas de cada uma das especies

41

de condensado como sendo

n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +〈ϕlowast1ϕ1〉

n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +〈ϕlowast2ϕ2〉 (83)

41 Flutuacoes

Substituindo as Eqs (82) na equacao (81) pode-se escrever a lagrangeana de

interacao como

LI = g[

(ϕlowast01 + ϕlowast1)(ϕ0 + ϕ1)] [

(ϕlowast02 + ϕlowast2)(ϕ02 + ϕ2)

](84)

Fazendo o mesmo tipo de separacao em (81) e usando a aproximacao de Hartree-

Fock para as flutuacoes obtemos a lagrangiana das flutuacoes

L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0

1 |2 〈ϕlowast2ϕ2〉+(ϕlowast01 ϕ

02

)(ϕ1ϕ

lowast2) + (ϕlowast1ϕ2)

(ϕ0

1ϕlowast02

)+ 〈ϕlowast1ϕ1〉 | ϕ0

2 |2]

(85)

Utilizando esta densidade lagrangeana e imediato escrever as equacoes de movi-

mento que devem satisfazer as flutuacoes

ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)

Comparando estas equacoes com o caso de apenas uma especie observamos efeitos

muito interesantes Por um lado vemos que os dois condensados contribuem para gerar

flutuacoes dos dois tipos devido ao acoplamento das densidades Por outro lado o ultimo

termo destas equacoes depende das fases relativas dos condensados e acoplam desta forma

flutuacoes de especies diferentes

42


Para escrever as equacoes auto-consitentes que vao governar a evolucao temporal

dos condensados procedemos de forma analoga ao capıtulo anterior A ideia e escrever os

condensados como funcao das solucoes das equacoes de movimento para as flutuacoes que

por sua vez dependem do valor dos condensados Para chegar neste objetivo comecamos

escrevendo a densidade das duas diferentes especies que consideramos constantes

n1 = 〈φlowast1φ1〉 =| ϕ01(t) |2 +nexc(1)

n2 = 〈φlowast2φ2〉 =| ϕ02(t) |2 +nexc(2) (88)

onde separando parte real e parte imaginaria das flutuacoes

nexc(1) = 〈ϕlowast1ϕ1〉 = 〈ϕ11(t)ϕ1

1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)

As medias podem ser escritas em termos de funcoes de Green no espaco de mo-

mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)

Escrevendo as funcoes de Green em termos dos modos das partes real e imaginaria

das flutuacoes vamos obter

〈ϕij(t)ϕij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

i

1minus e(minusβεk)

[χij(~k t)χlowastij (~k tprime) + e(minusβεk)χlowastij (~k t)χi

j(~k tprime)

](91)

onde os modos obedecem as equacoes de movimento

dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2

1 minus g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)

A partir destas expressoes e simples escrever agora a densidade das excitacoes para

43

cada uma das especies do gas como sendo

nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)

Portanto o condensado como funcao do tempo fica finalmente escrito desta forma

| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)

onde N e a constante de normalizacao

Portanto as equacoes (99) e (100) junto com as Eqs (93) (94) (95) e (96) for-

mam um sistema de equacoes auto-consistentes que tem que ser resolvido numericamente

para estudar a evolucao temporal dos condensados acoplados Para sua solucao deve ser

assumido que para t lt 0 os gases se encontram numa temperatura alta muito maior que

a temperatura critica (Tc) Com isso nc1 = | ϕ01(t) |2sim 0 e nc2 = | ϕ0

2(t) |2sim 0 e as

funcoes χji sao puramente oscilatorias

44

CONCLUSAO

Apresentamos um formalismo para estudar a evolucao temporal fora do equilıbrio

de condensados de gases compostos acoplados Usamos o exemplo de um gas com duas

especies acoplados com uma interacao de densidade O formalismo pode ser generalizado

facilmente a um conjunto N de especies sem grandes modificacoes

Um resultado interessante e a observacao que o diagrama de fases do equilibrio

nao e afetado pelas fases relativas dos condensados Porem na evolucao fora do equilibro

a diferenca de fases e importante e colabora na determinacao das escalas de tempo dos

condensados como pode ser deduzido das equacoes de movimento (93) (94) (95) e (96)

O algoritmo para resolver as equacoes integro-diferenciais auto-consistentes e um

pouco mais sofisticado que no caso de uma especie Embora a logica seja a mesma

a possibilidade de obter diferentes tipos de fases no equilibrio faz com que a analise

das solucoes seja bem mais complexa O algoritmo se encontra em estado avancado de

implementacao e os resultados especıficos da evolucao temporal de gases binarios sera

apresentado em breve

45

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48

APENDICE A ndash Teorias de campos no formalismo de campo medio

Neste capıtulo faremos uma breve apresentacao da principal ferramentas que usaremos

no decorrer dessa dissertacao

Em teoria quantica de campos ha varios formalismo que se pode introduzir a temperatura

como parametro Aqui na presente dissertacao abordaremos o formalismo desenvolvido

por Schwinger e Keldysh que descreveram um formalismo que se baseia em uma escolha

no contorno no plano complexo que e frequentemente chamado de formalismo de tempo

real

Esse formalismo e largamente aplicado para que possamos estudar a evolucao temporal

de um sistema que esteja fora do equilıbrio ou seja situacoes em que envolva o calculo

de quantidades dependente do tempo

Uma das principais caracterısticas do formalismo de tempo real e a posibilidade de obter

as funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo do tempo imaginario

isso acarretaria ter que fazer um prolongamento analıtico para retornar ao formalismo

do tempo real

A1 Introducao sobre o formalismo

Aqui vamos escrever um sistema que e definido pelo operador matriz densidade ρ como

sendo

ρ(β) = exp(minusβH) (100)

onde β (fazendo k = 1 β = 1T ) e o inverso da temperatura de equilıbrio

De maos do operador matriz densidade definiremos tambem a funcao particao como

sendo

Z(β) = Trρ(β) = Tr exp(minusβH) (101)

onde Tr e o traco sobre os valores medios Aqui definiremos a media para qualquer

observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1

Z(β)Tr exp(minusβH)A

〈A〉 =1

Tr exp(minusβH)Tr exp(minusβH)A (102)

Alem disso definiremos tambem o valor esperado de uma funcao de dois pontos para

quisquer operador A e B que e escrita da seguinte forma

〈AB〉 =1

Z(β)Trρ(β)AB (103)

Aqui vamos introduzir um conjunto de operadores de Schrodinger e entao definiremos

os operadores na representacao de Heisenberg Onde AS e o operador de Schrodinger e

AH(t) e o operador de Heisenberg ( os operadores evoluem no tempo) Obtemos

AH(t) = exp(iHt)AS exp(minusiHt)

AH(t) = eiHtASeminusiHt = U daggerASU (104)

onde U = eminusiHt e o operador de evolucao temporal e U dagger U = 1

Dessa forma escreveremos agora uma funcao de dois pontos para dois operadores de

Heisenberg AH(t1) e BH(t2)

〈AH(t1)BH(t2)〉 =1

Z(β)Trρ(β)AH(t1)BH(t2)

〈AH(t1)BH(t2)〉 =1

Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1)︸︷︷︸BH(t2)

〈AH(t1)BH(t2)〉 =1

Z(β)Tr exp(minusβH) AH(t1) exp(βH) exp(minusβH)︸︷︷︸BH(t2)

〈AH(t1)BH(t2)〉 =1

Z(β)Tr exp(minusβH) exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸︷︷︸

()

BH(t2) (105)

50

onde

exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = exp(minusβH) exp(ıHt)︸︷︷︸AS exp(minusıHt) exp(βH)︸︷︷︸= exp(minusβH + ıHt)AS exp(minusıHt+ βH)

= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı

)]= exp[iH(t+ iβ)]AS exp[minusiH(t+ i)] = AH(t+ iβ) (106)

temos entao

exp(minusβH)AH(t1) exp(βH) = AH(t+ iβ) (107)

Substituindo essa ultima equacao na equacao (105) obtemos

〈AH(t1)BH(t2)〉 =1

Z(β)Tr exp(minusβH)AH(t1) exp(βH)︸︷︷︸ exp(minusβH)BH(t2)

=1

Z(β)TrAH(t+ iβ) exp(minusβH)BH(t2)

=1

Z(β)Tr exp (minusβHBH(t2)AH(t+ iβ))

= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)

Nas ultimas manipulacoes desenvolvidas acima fizemos o uso da propriedade cıclica do

traco e a relacao (108) e chamada de relacao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) Vemos

que da relcao KMS temos

〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)

Essa propriedade vai conduzir a periodicidade ou anti-periodicidade nas funcoes de

Green de dois pontos a temperatura finita

Devido a essas propriedades de KMS o tempo dos campos comeca em um tı (tempo

inicial) e vai ate a um t = tı minus ıβ (tempo final) Obviamente que ao fazer uma escolha

certa de contorno apropriado incluiremos o eixo do tempo real Vamos utilizar essa

propriedade de KMS nas secoes subsequentes

51

A2 Funcao de Green como propagador

A definicao de uma teoria quantica de campos (TQC) se da a partir de Z[J ] que e

o funcional gerador das funcoes Green e que tem a influencia de campos externos J

Usando essa definicao estamos introduzindo o conceito de integrais de trajetorias

O Z[J ] das funcoes de Green e a solucao da equacao de Dyson-Schwinger

Lembrando que os operadores de campo escalar (paramero de ordem) podem ser escritos

em funcao de operadores de criacao e aniquilacao isto e

φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk[a(k)eminusikx + adagger(k)eikx ]

φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)

onde a e o operadore de aniquilacao (para bosons) adagger e operador de criacao (para

bosons) N = adaggera e o operador numero [a adagger] = 1

Dessa forma observamos que no formalismo a temperatura finita podemos escrever o

valor esperado da funcao de correlacao de dois pontos como medias termicas Temos

entao

iG =langφ(t)φ(tprime)

rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)

onde Z(β) = eminusβH e a funcao particao G e a funcao de correlacao de dois pontos (ou

propagador)

Podemos escrever T como sendo operador de ordenamento temporal que leva para a

esquerda os operadores correspondentes a tempos maiores

Tφ(t)φ(tprime)

= θ(tminus tprime)φ(t)φ(tprime) + θ(tprime minus t)φ(tprime)φ(t) (112)

onde δ(~x) = ddxθ(~x) e a funcao Delta de Dirac θ(~x) e a funcao step heaviside

θ(~x) = 0rarr ~x lt 0 e θ(~x) = 1rarr ~x gt 0

A expresao (111) nos mostra que a partir das derivadas de Z[J ] em relacao a J obtem-se

todas as funcoes de correlacao de dois pontos

52

A3 Formalismo de Schwinger-Keldysh

Neste capıtulo abordaremos o formalismo no qual sera a principal base dessa dissertacao

Quando analisamos a temperatura muito proxima da temperatura crıtica observamos

que temos que fazer um estudo mais profundo da dinamica dentre os muitos nıveis

de estados excitados portanto nao poderemos fazer mais o uso da aproximacao de

campo medio que e o procedimento mais indicado para descrever o estado fundamental

de um sistema que esteja em equilıbrio Dessa forma introduziremos o formalismo

de Schwinger-Keldysh que vai ser uma ferramenta extremamente importante para o

desenvolvimento e entendimento de sistemas que estao fora do equilıbrio

A funcao de Green pode ser definida a partir de um funcional gerador para a nossa

densidade lagrangeana eq (34) vamos usar essa ferramenta para inserir o conceito de

integrais de trajetorias ou seja vamos estudar uma teoria quantica de campos em uma

temperatura finita (TQCTF) desenvolvida em um formalismo de tempo real onde o

funcional gerador Z[J ] pode ser escrito em termos de uma fonte externa dada por

Z[J ] =

intc

DφDφlowast exp iS [φ φlowast J ] (113)

A principal vantagem em usar o formalismo de tempo real e de se poder escrever as

funcoes de Green de dois pontos sem precisar usar o formalismo de tempo imaginario o

que nos obrigaria a fazer um prolongamento analıtico para poder voltar ao tempo real

Este formalismo e usado como um inıcio para se estudar a dinamica de que estao fora do

equilıbrio

A acao classica e dada por

S[φ φlowast J ] =

intc

d4~x L[φ φlowast + J(~x)φlowast(~x) + Jlowast(~x)φ(~x) (114)

Aqui utilizaremos o contorno de Schwinger-Keldysh consequencia do uso do formalismo

de tempo real Este contorno e utilizado em muitos problemas de materia condensada ou

seja em sistema fora do equilibrio (calculo de quantidades que dependam explicitamente

do tempo)

Quando utilizamos esse formalismo as funcoes de Green sao colocadas no plano

complexo para que possamos diferenciar na evolucao os tempos crescentes e os tempos

decrescentes

Para calcular as funcoes de Green e melhor usar o contorno ti rarr minusinfin e tf rarr infin(contorno de Schwinger) O contorno de Schwinger e o contorno no plano complexo do

tempo mais simples que possamos escolher Ele consiste em fixar um tempo inicial ti no

53

Figura 5 - Contorno de Schwinger-Keldysh

Fonte MIZHER 2006 f48

passado (minusinfin) andando em direcao ao futuro (+infin) sem deixar marcado nenhum ponto

inicial e depois retornar ao passado (minusinfin)

Vamos agora escrever o funcional gerador das funcoes de Green ao longo dess trajetoria

Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J

+]minus L[φminus φlowastminus J

minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)

onde Gabjj e o propagador (funcao de Green) a b = +minus j = 1 2

Jminus corresponde ao caminho de +infin para minusinfin e consequentemente J+ corresponde ao

caminho minusinfin para +infin Como consequencia temos os seguintes propagadores Gabjj

G++jj (~k t tprime) = Ggt

jj(~k t tprime)θ(tminus tprime) +Glt

jj(~k t tprime)θ(tprime minus t)

Gminusminusjj (~k t tprime) = Ggtjj(~k t tprime)θ(tprime minus t) +Glt

jj(~k t tprime)θ(tminus tprime)

G+minusjj (~k t tprime) = minusGlt

jj(~k ttprime)

Gminus+jj (~k t tprime) = minusGgt

jj(~k t tprime) (117)

Aqui foi inserido o operador de ordenamento temporal T que vai ordenar os operadores

54

para a esquerda aqueles que tenham os tempos maiores ou seja

T [φi(t)φj(tprime)] = θ(tminus tprime)φi(t)φj(t

prime) + θ(tprime minus t)φj(tprime)φi(t) (118)

Vemos entao que a funcao θ seleciona o intervalo de tempo como sendo

θ(tminus tprime)rarr tminus tprime gt 0

θ(tprime minus t)rarr tprime minus t lt 0 (119)

Alem disso temos G++jj que e denominado de propagador fısico muito usado em teoria

quantica de campos os outros tres propagadores (nao fısicos) isto e G+minusjj G

minus+jj G

minusminusjj

aparecem como consequencia do contorno de tempo fechado e tambem pode ser chamado

de propagadores auxiliares

As funcoes Ggt e Glt representam as funcoes de Green retardada e avancada

respectivamente e satisfazem a propriedade de periodicidade no tempo real de

Kubo-Martin-Schwinger (KMS)


jj(k tminus iβ minus tprime) (120)

A condicao de Kubo-Martin-Schwinger (KMS) estabelece que o tempo dos campos

comeca em um tempo inicial t e termina em um tempo final tprime = tminus iβ onde β(β = 1T

)

e o inverso da temperatura do reservatorio termico ( banho termico) que aparece como

consequencia das condicoes de contorno resultante da construcao da integral temporal

complexa

Introduccedilatildeo

Condensaccedilatildeo de Bose-Einstein de um gaacutes ideal

Condensaccedilatildeo de Bose-Einstein de um gaacutes interagente

Equaccedilatildeo de Gross-pitaeviskii (modelo de campo meacutedio)

Estado condensado em uma armadilha harmocircnica

Interaccedilotildees repulsivas e atrativas

Aproximaccedilatildeo de Thomas-Fermi

Teoria de Bogoliubov

Equaccedilatildeo de Bogoliubov-de Gennes e excitaccedilotildees

Evoluccedilatildeo temporal de um CBE

Densidade Lagrangeana flutuaccedilotildees

O cenaacuterio quench

Equaccedilotildees auto-consistentes

Integraccedilatildeo numeacuterica

Dinacircmica de duas espeacutecies de gaacutes de Bose

Flutuaccedilotildees


Conclusatildeo

Referecircncias

Apecircndice A ndash Teorias de campos no formalismo de campo meacutedio




Orientador Prof Dr Daniel Gustavo Barci

Rio de Janeiro

2010



___________________________________________________ ____________________________ Assinatura Data



CDU 530145








Rio de Janeiro

2010

AGRADECIMENTOS










RESUMO




termico

ABSTRACT







temperatura 17









LISTA DE SIMBOLOS





SUMARIO

INTRODUCAO 10



AGENTE 18













41 Flutuacoes 41


CONCLUSAO 44

REFERENCIAS 45


10

INTRODUCAO



































11


Fonte MASSACHUSETTS

INSTITUTE OF

TECHNOLOGY 2010





















12





























13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias




___________________________________________________ ____________________________ Assinatura Data



CDU 530145








Rio de Janeiro

2010

AGRADECIMENTOS










RESUMO




termico

ABSTRACT







temperatura 17









LISTA DE SIMBOLOS





SUMARIO

INTRODUCAO 10



AGENTE 18













41 Flutuacoes 41


CONCLUSAO 44

REFERENCIAS 45


10

INTRODUCAO



































11


Fonte MASSACHUSETTS

INSTITUTE OF

TECHNOLOGY 2010





















12





























13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias









Rio de Janeiro

2010

AGRADECIMENTOS










RESUMO




termico

ABSTRACT







temperatura 17









LISTA DE SIMBOLOS





SUMARIO

INTRODUCAO 10



AGENTE 18













41 Flutuacoes 41


CONCLUSAO 44

REFERENCIAS 45


10

INTRODUCAO



































11


Fonte MASSACHUSETTS

INSTITUTE OF

TECHNOLOGY 2010





















12





























13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


AGRADECIMENTOS










RESUMO




termico

ABSTRACT







temperatura 17









LISTA DE SIMBOLOS





SUMARIO

INTRODUCAO 10



AGENTE 18













41 Flutuacoes 41


CONCLUSAO 44

REFERENCIAS 45


10

INTRODUCAO



































11


Fonte MASSACHUSETTS

INSTITUTE OF

TECHNOLOGY 2010





















12





























13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


RESUMO




termico

ABSTRACT







temperatura 17









LISTA DE SIMBOLOS





SUMARIO

INTRODUCAO 10



AGENTE 18













41 Flutuacoes 41


CONCLUSAO 44

REFERENCIAS 45


10

INTRODUCAO



































11


Fonte MASSACHUSETTS

INSTITUTE OF

TECHNOLOGY 2010





















12





























13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


ABSTRACT







temperatura 17









LISTA DE SIMBOLOS





SUMARIO

INTRODUCAO 10



AGENTE 18













41 Flutuacoes 41


CONCLUSAO 44

REFERENCIAS 45


10

INTRODUCAO



































11


Fonte MASSACHUSETTS

INSTITUTE OF

TECHNOLOGY 2010





















12





























13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias





temperatura 17









LISTA DE SIMBOLOS





SUMARIO

INTRODUCAO 10



AGENTE 18













41 Flutuacoes 41


CONCLUSAO 44

REFERENCIAS 45


10

INTRODUCAO



































11


Fonte MASSACHUSETTS

INSTITUTE OF

TECHNOLOGY 2010





















12





























13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias







LISTA DE SIMBOLOS





SUMARIO

INTRODUCAO 10



AGENTE 18













41 Flutuacoes 41


CONCLUSAO 44

REFERENCIAS 45


10

INTRODUCAO



































11


Fonte MASSACHUSETTS

INSTITUTE OF

TECHNOLOGY 2010





















12





























13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


SUMARIO

INTRODUCAO 10



AGENTE 18













41 Flutuacoes 41


CONCLUSAO 44

REFERENCIAS 45


10

INTRODUCAO



































11


Fonte MASSACHUSETTS

INSTITUTE OF

TECHNOLOGY 2010





















12





























13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


10

INTRODUCAO



































11


Fonte MASSACHUSETTS

INSTITUTE OF

TECHNOLOGY 2010





















12





























13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


11


Fonte MASSACHUSETTS

INSTITUTE OF

TECHNOLOGY 2010





















12





























13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


12





























13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


13









niεi (1)



Z =sumni

eminusβEni =sumni








[eβmicroN

sumni

eminusβsumi niεi

]

=infinsumN=0

[sumni


]

=infinsumN=0

[sumni

prodi


)ni](3)





14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


14





)n2]

=

[sumn1


)n1

][sumn2


)n2

] (4)

mas

Zi =sumni





Zi =sumni



)minus1(6)



Zi(7)


ni =

sumniniP (ni)

Zi= kBT

part

partmicrolnZi (8)


ni =1





N =nsumi=1

〈ni〉 =nsumi=1

1









15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


15









N = N0 +Nε

N = N0 +

int infin0

nε ρ (ε) dε

N = N0 +

int infin0

1














Nε =

int infin0

ρ(ε)1


onde

ρ(ε) =dN

dε=

V

3π2

(2m

h2

)323

2ε12 (13)


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


16

(12) obtemos

Nε =V

3π2

(2m

h2

)32 int infin0

3

2ε12 1


Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32

int infin0

3

2ε12 1



obter

Nε

V=

1

3π2h3 (2m)32 3

2

int infin0

ε12

eβεi minus 1dε

=1

2π2

(2mkBT

h2

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (15)



N

V=

1

2π2

(2mkBTc

h

)32 int infin0

x12

ex minus 1d~x (16)


Tc =2πh2

mkB

(1

2 612

N

V

)32

(17)


Nε

N=

(T

Tc

)32

(18)




N0

N= 1minus

(T

Tc

)32

(19)



tal isto e

(T gt Tc)N0

N= O

(1

N


(T lt Tc)N0

N= 1minus

(T

Tc

)32


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


17



temperatura


















18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


18




















baixa












respectivamente

19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


19

H =


1

2




2mnabla2 + Vext(~r)


mutacao para bosons






(GREINER 1996)




ihpartΨ

partt(~r t) = [Ψ(~r t) H] (21)


[Ψ(~r t) H] =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r t)

]+

[Ψ(~r t)


]+

[Ψ(~r t)

1

2


](22)

20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


20


I1 =

[Ψ(~r t)


(minush2

2mnabla2


]I1 =


(minush2

2mnabla2

)Ψ(~r prime t)

]d~r prime

I1 =

intδ(~r minus ~r)

(minush2

2mnabla2


I1 =minush2




ihpartΨ

partt(~r t) =

[H0 +


]Ψ(~r t) (24)



Ψ(~r t) = ψ + δφ (25)

















21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


21

campo temos

ihpartψ

partt=

[H0 +


]ψ(~r t) (26)











as =m

4πh2




ihpartψ(~r t)

partt=

[minush2


]ψ(~r t) (27)


(EGPDT)






ht)ψ0(~r) (29)



2mnabla2 + V (~r) + g | ψ0(~r) |2

]ψ0(~r) = microψ0(~r) (30)

22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


22




ihpartψ

partt=

δE

δψlowast(31)

E[ψ] =

intd~r

[h2


1

2g | ψ |4

](32)

onde h2



1



C J 2002)

δ

intLdt = 0


L =

intd~r

ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

partt

)minus E =

intd~r

[ih

2

(ψlowastpartψ

parttminus ψpartψ

lowast

partt

)minus ε]

(33)

onde

ε =h2

2m| nablaψ(~r) |2 +V (~r) | ψ(~r) |2 +

1

2g | ψ(~r) |4 (34)









23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


23



resultados



2002)

Vext =1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2) (35)


armadilha harmonica


partıculas
















seguinte forma

εnxnynz =

(nx +

1

2

)hwx +

(ny +

1

2

)hwy +

(nz +

1

2

)hwz

εnxnynz =

(nx + ny + nz +

3

2

)hwi (36)



Φ(~r1~rn) =prod

i

ϕ0(~ri) (37)

24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


24

e

ϕ0(~r) =(mwhπh

) 34

exp

[minus1

2m(w2

xx2 + w2

yy2 + w2

zz2)

](38)




ah =

(h

mwh

) 12

sim 10minus6m (39)









aT =

(kBT

hwh


temos portanto

aT gtgt ah (41)





N =infinsum

nx=0

infinsumny=0

infinsumnz=0

1








para infinito

25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


25


condensado


sodio


OF TECHNOLOGY 2010



N = N0 +Nεi (i = x y z)

N = N0 +

int infin0

dnx

int infin0

dny

int infin0

dnz1





N = N0 + ζ(3)

(kBT

hw

)3

(44)









N0 rarr 0 temos

kBTc = hw

(N

ζ(3)

)13

asymp 094h w N13 (45)


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


26





da armadilha





















baixa ou seja






momento mınimo



27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


27


EintEcin

sim N | a |ah

(47)








N | a |aho

gtgt 1















fundamental




28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


28










excitadas















um valor elevado












29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


29













obtemos

minus h2



]= ih

partδφ

partt

minus h2



]= minusihpartδφ

lowast

partt(49)


sendo





](51)


para u(~r) e v(~r)


]u(~r) + gφ2(~r)v(~r)


]v(~r) + gφ2(~r)u(~r) (52)







30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


30

transformacao

φ(~r) =sumj


daggerj

](53)





(BARCI 2000)




]φ = microφ (54)






minus h2


]v(~r)minus g(nc + ρ)u(~r) = 0 (55)






minus h2


]v(~r)minus gnu(~r) = 0 (56)








n =| ϕ0 |2 +〈ϕlowastϕ〉 (57)


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


31



32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


32


















2002)

HT = H0 +Hint (58)

onde

Hint =1

2



HT =

intd~rφdagger

[minus1

2mnabla2

]φ+

1




L = φlowast(

id

dt+

1

2mnabla2



33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


33





φ(~x t) = ϕ0(t) + ϕ(~x t)



do condensado










2(ϕlowastϕ)2 nao

pode ser desprezado



g










[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ+ ϕlowast

(minus1

2g ϕ2

0

)ϕlowast + ϕ

(minus1

2g ϕlowast20

)ϕ (66)


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


34

como

ipartϕ

partt+

1

2mnabla2ϕ = g(ϕ2

0(t))ϕlowast

ipartϕlowast

parttminus 1



do condensado

32 O cenario quench











trarrinfin





| ϕ0(t) |2 +nexc(t) = n (68)







nexc(t) = 〈ϕ1(t)ϕ1(t)〉+ 〈ϕ2(t)ϕ2(t) 〉 (69)



35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


35



para achar ϕ0(t)







intd3~k

(2π)3

[minusiGgt

jj(~k t t)

](70)



contorno






i




(72)




dχ2(~k t)

dt+

(~k2

2m+ g | ϕ0 |2

)χ1(~k t) = 0

dχ1(~k t)

dtminus

(~k2

2mminus g | ϕ0 |2

)χ2(~k t) = 0 (73)



intd3~k

(2π)3

i


[χj(~k t)χ


](74)


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


36


nexc(t) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

]coth

(βεk2

)(75)




2N





nexc = n =1

2Nπ2

intd~kk2 coth

(βεk2

)(76)






| ϕ0(t) |2=1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~k~k2[1minusN

(| χ1(~k t) |2 + | χ2(~k t) |2

)]nk (77)


χ1(~k t) =1

2

(β

βc

)34

eiεkt

χ2(~k t) =i

2

(β

βc

)34

eiεkt (78)








37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


37


















38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


38


do tempo


T1T0 = 006 T2T0 = 008 T3T0 = 01 e



Fonte BARCI 2002 p6

39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


39








do equilıbrio








temperatura final




acoplamento






40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


40







densidades

LT = L1(φ1) + L2(φ2)︸︷︷︸Lφ1+φ2

+Li(φ1φ2) (79)

onde

Li = φlowasti

(id

dt+

1

2mnabla2

)φi + microiφ

lowastiφi minus

1

2gi(φ

lowastiφi)

2 (80)















onde ϕ01(t) ϕ0




41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


41




41 Flutuacoes


interacao como

LI = g[



](84)



L = ϕlowast1

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ1 + ϕlowast1

(minus1

2g1(ϕ0

1)2

)ϕlowast1 + ϕ1

(minus1

2g1(ϕlowast01 )2

)ϕ1

+ ϕlowast2

[id

dt+

1

2mnabla2

]ϕ2 + ϕlowast2

(minus1

2g2(ϕ0

2)2

)ϕlowast2 + ϕ2

(minus1

2g2(ϕlowast02 )2

)ϕ2

+ g[| ϕ0


02

)(ϕ1ϕ


(ϕ0

1ϕlowast02


2 |2]

(85)



ipartϕ1

partt=

(1

2mnabla2

)ϕ1 +

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕlowast1 + g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕlowast2

ipartϕlowast1partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast1 minus

(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ1 minus g

(ϕlowast01 ϕ

02

)ϕ2 (86)

ipartϕ2

dt=

(1

2mnabla2

)ϕ2 +

(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)ϕlowast2 + g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕlowast1

ipartϕlowast2partt

=

(minus 1

2mnabla2

)ϕlowast2 minus

(g2 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)ϕ2 minus g

(ϕlowast02 ϕ

01

)ϕ1 (87)






42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


42











1(t)〉+ 〈ϕ21(t)ϕ2

1(t)〉


2(t)〉+ 〈ϕ22(t)ϕ2

2(t)〉 (89)


mentos como sendo

〈ϕij(t)ϕ

ij(t)〉 =

intd3~k

(2π)3

[minusiGgtii

jj (~k t t)]

(90)

com (i = 1 2 j = 1 2)




intd3~k

(2π)3

i



j(~k tprime)

](91)


dχ21

dt+

[~k2

2m+(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ1

1 + g(ϕlowast01 ϕ

02

)χ1

2 = 0 (92)

dχ22

dt+

[~k2

2m+(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ1

2 + g(ϕlowast02 ϕ

01

)χ1

1 = 0 (93)

dχ11

dtminus

[~k2

2mminus(g1 | ϕ0

1 |2 +g | ϕ02 |2)]χ2


02

)χ2

2 = 0 (94)

dχ12

dtminus

[~k2

2mminus(g2 | ϕ0

2 |2 +g | ϕ01 |2)]χ2


01

)χ2

1 = 0 (95)


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


43


nexc(1) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

]nk(β) (96)

nexc(2) =

intd3~k

(2π)3

[| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

]nk(β) (97)


| ϕ01(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

1(~k t) |2 + | χ21(~k t) |2

)](98)

| ϕ02(t) |2 =

1

2π2

(β

βc

)32 intkltkc

d~kk2[1minusN

(| χ1

2(~k t) |2 + | χ22(~k t) |2

)](99)







2(t) |2sim 0 e as


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


44

CONCLUSAO















45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


45

REFERENCIAS







479-482 2000






















46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


46


1989 225 p


Lett New York v75 p 3969-3973 1995



















n 21 p 6687-6693 2006








47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


47




v45 p 4521 2004

48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


48








real







do tempo real



sendo




sendo



observavel A

49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


49

〈A〉 =1

Z(β)Trρ(β)A

〈A〉 =1


〈A〉 =1




〈AB〉 =1










〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


()

BH(t2) (105)

50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


50

onde


= exp

[ıH(tminus β

ı

)]AS exp

[minusıH

(tminus β

ı


temos entao



〈AH(t1)BH(t2)〉 =1


=1


=1


= 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (108)




〈AH(t1)B(t2)〉 = 〈BH(t2)AH(t+ ıβ)〉 (109)







51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


51








φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1


φ(~x) =

intd3~k

(2π)3

1

2wk(ak + adaggerk)e

i~k~x (110)





entao


rang=

δ2Z[J ]

δJ(~x)δJ(~xprime)

=1

Z(β)Tr[eminusβHT

(φ(t)φ(tprime)

)](111)


propagador)



Tφ(t)φ(tprime)






52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


52















Z[J ] =

intc






equilıbrio


S[φ φlowast J ] =

intc





do tempo)



decrescentes



53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

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jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


53






Z[J+ Jminus] =

intDφDφlowast

(i

intd4~x

L[φ+ φ

lowast+ J


minus])

(115)

Z[J+ Jminus] = exp

(i

intd4x

[Lint

(minusi

δ

δJ+j

)minus Lint

(iδ

δJminusj

)])

times exp

i

2

intd4xd4yJaj (x)Gab

jj(x y)J bj (y)

(116)










jj(~k ttprime)




54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


54









minus+jj G

minusminusjj










)



complexa


















Conclusatildeo

Referecircncias


dinâmica da condensação de bose-einstein em gases fracamente

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