dinâmica cap17a

MECÂNICA - DINÂMICA

Dinâmica do Movimento Plano de um Corpo Rígido:

Força e Aceleração

Cap. 17

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica © 2013 Curotto, C.L. - UFPR 2

Objetivos

Introduzir os métodos utilizados para calcular o

momento de inércia de massa de um corpo

Desenvolver as equações dinâmicas do movimento

plano para um corpo rígido simétrico

Discutir aplicações destas equações para corpos em

movimento de translação, rotação em torno de um eixo

fixo e movimento plano geral


17.1 Momento de Inércia

Movimento de translação:

F = m a

Movimento de rotação:

M = I a

onde I é o momento de inércia.

O momento de inércia é uma resistência do corpo à

aceleração angular enquanto que a massa mede a

resistência do corpo à aceleração



O momento de inércia é obtido pelo cálculo do segundo

momento de massa em relação a um eixo:

2

m

I r dm r é o braço de momento ou a distância

perpendicular do eixo considerado até o

elemento de massa dm.



Para um corpo de densidade variável r, dm = rdV e:

2

V

I r dVr

E para r constante:

2

V

I r dVr


Exemplo 17.1

Determine o momento de inércia do cilindro mostrado

em relação ao eixo z. Considere a densidade do material

constante.


Exemplo 17.1 - Solução

Usando o elemento de casca cilíndrica:

hRdrrhI

drhrrdmrI

drhrdmdVdm

drhrdV

R

z

R

m

z

4

0

3

0

22

22

))(2(

))(2(

))(2(

rr

r

rr



2

0

2

Como a massa do cilindro

1

2

é:

(2 )( )

Assim:

z

R

m

m dm r h dr R h

I mR

r r



Teorema dos Eixos Paralelos

2

z GI I md

onde:

IG = momento de inércia em

torno do eixo z’ passando pelo

centro de massa G

m = massa do corpo

d = distância perpendicular

entre os dois eixos



Raio de Giração

2 ou I mkI

km

Observe-se a semelhança com a equação do

diferencial do momento de inércia:

dmrdI 2



Corpos compostos

Usa-se o Teorema dos Eixos Paralelos

2

z GI I md

Portanto para uma somatória

de corpos:

2

z GI I md


Exemplo 17.3

Determine o momento de inércia da placa em relação ao

eixo z perpendicular a placa passando pelo ponto O. A

placa possui densidade constante de 8000 kg/m3 e

espessura 10 mm.



A placa consiste de duas partes, um disco sólido e um

furo:

Portanto para uma somatória de corpos:

2

2

d d dO

f f fO

O d fO O

I I m d

I I m

I I

d

I



Disco:

2

2 2

2

2

2

8000 (0.25) (0.01) 15.708 kg

0 25 m

1 1(15.71)(0.25) 0.49087

2 2

0.49087 15.708(0.25

1.4726 kg.

)

m

d d d

d

d d d

d

O

d

d O

O

d

m V

d .

I m r

I

I I m

I

d

r



Furo:

2

2

2

2

2

2

8000 (0.125) (0.01) 3.9270 kg

0 25 m

1 1(3.9270)(0.125) 0.030680

2 2

0.030

0.27612

680 3.9270(0.

k m

2

.

5)

g

f f

f

d

f f

d d d

d O

O

fO

m V

d .

I m

I I d

r

I

m

I

r



Placa:

2

1.4726 0.27612

1.20 kg.m

O d f O

O

O

O

I

I I I

I


Objetivos

Introduzir os métodos utilizados para calcular o

momento de inércia de massa de um corpo

Desenvolver as equações dinâmicas do movimento

plano para um corpo rígido simétrico

Discutir aplicações destas equações para corpos em

movimento de translação, rotação em torno de um eixo

fixo e movimento plano geral


17.2 Equações Dinâmicas do Movimento Plano

Nosso estudo será restrito para

corpos rígidos que possuem

simetria em relação a um plano

de referência. Assim todas as

forças (e momentos) atuantes no

corpo poderão ser projetadas

neste plano e o movimento a ser

estudado será planar.



Equação do Movimento de Translação:

GmF a

Esta equação define que a soma de todas as forças

atuantes no corpo é igual a massa do corpo vezes a

aceleração do seu centro de massa G.



Equação Planar do Movimento de Translação:

x G x

y G y

F m a

F m a



Equação do Movimento de Rotação:

iiii m arfrFr

Diagrama cinético da partículaDiagrama de corpo livre da partícula


16.3 Rotação em Torno de um Eixo Fixo

Movimento do Ponto P

2

2

t

n

P

P P

v ωr

a r

a ω r

ω

a

v ω r v ω r

a α r ω ω r a α r r

Resumo:




)( 2rrαarM

arM

ωm

m

PiiP

iiiP

Desenvolvendo o produto vetorial, usando os

componentes cartesianos do momento e aceleração:

2αraxaymMyPxPiiP



Equação do Movimento de Rotação

Integrando sobre toda a massa do corpo:

m

yP

m

xP

m

P dmrαaxdmaydmM 2




SMP representa somente momentos externos desde que os

momentos internos se anulam.

m

yP

m

xP

m

P dmrαaxdmaydmM 2




A primeira integral é a ordenada do centro de massa vezes a

massa

m

yP

m

xP

m

P dmrαaxdmaydmM 2




segunda integral é a coordenada do centro de massa vezes a

massa

m

yP

m

xP

m

P dmrαaxdmaydmM 2




A terceira integral é o momento de inércia de massa do corpo.

m

yP

m

xP

m

P dmrαaxdmaydmM 2




P P P Px yM ym a xm a αI




Se o ponto P coincide com o centro de massa G:

G GM αI

ou seja: a soma de todos os momentos

externos atuantes no corpo, calculados

em relação ao centro de massa G é igual

ao produto da aceleração angular do

corpo pelo momento de inércia em

relação a um eixo que passa por G.



Equação do Movimento de Rotação escrita em

função do momento de inércia em relação ao centro

de massa G:

P G G Gx yM ym a xm a αI

Diagrama cinéticoDiagrama de corpo livre



Equação do Movimento de Rotação escrita de uma

forma geral em função do momento cinético:

P k PM M

P P P Px yM ym a xm a αI

P G G Gx yM ym a xm a αI



Resumo:

P k PM M

x G x

y G y

F m a

F m a

G GM αI


Problema 17.A

2

Uma empilhadeira é constituída de uma estrutura com uma massa

de 800 kg e centro de massa em , conforme mostrado na figura.

Se a aceleração vertical da estrutura é de 4 m/s , determine as

reações horizo

G

ntal e vertical nos pinos e quando a carga de

elevação é de 1250 kg.

A B

0.25 1.00 2.00

1.20

0.30


Problema 17.A - Solução

0.25 1.00 2.00

1.20

0.30

Diagrama de Corpo Livre

BX

AX

AY

PCPE

g=9.81 m/s2

a=4 m/s2

CG

xCG


Problema 17.A - Solução

1250 800

1250 1250 9.81

800 8

2050.0 kg

12263 N

7800 9.81

7848.0 12263 2 0

2050 0

7848 12262.50 2050 4

1.5

28.3 kN

48.

0

0

0 N

1.2195 m

28310 N

CG C

C

G

x x x x

y

x y

G

y

G

x

y

y

x

y

m

PC g

PE g

x x

A B A B

A

M

m

PC

PE

x

A

A

F ma

m

A

F

A

a

1.00 1.2195 0

1.50 28310 1.00 1.2195 0 41.9 kNxx xA BA

dinâmica cap17a

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