Dilatação de sólidos e líquidos Bibliografia e figuras desta aula: Fundamentos da Física, Halliday, Resnick e Walker, 8a Ed., vol 2 pág2 188-190

• Na aula passada vimos que a variação (aumento ou diminuição) da temperatura pode alterar propriedades de sistemas físicos.

• Na aula de hoje, vamos estudar um dos casos mencionados: A dilatação térmica de sólidos e líquidos.

• Consideremos o seguinte exemplo que encontramos no dia a dia:

• Um pote de vidro com uma tampa de metal que está emperrada. O que fazer para abri-lo sem danifica-lo??

• Colocando este pote em água quente podemos resolver o problema sem causar estrago. Por quê?

• Este é um exemplo cotidiano da dilatação térmica!

• Em engenharia este tema é importante quando quer que se vá projetar pontes, viadutos, ferrovias, aviões etc...

Concorde

Devido à velocidade supersônica, o atrito com o ar aumenta consideravelmente a temperatura da fuselagem fazendo com que haja dilatação. Deste modo, folgas na estrutura foram consideradas no projeto. !A diferença de temperatura entre o nariz e a cauda em um vôo supersônico chegava a 40oC, causando uma variação no comprimento da aeronave de aproximadamente 13cm

F I G U R E 2 0 - 4 Expansionjoints, such as this one, allowbridges to expand with increases intemperature. (Frank Siteman/StockBoston, Inc./PictureQuest.)

Thermal Expansion S E C T I O N 2 0 - 1 | 669

We can calculate the stress that would result in a 1000-m-long steel bridge with-out expansion joints (Figure 20-4) by using Young’s modulus (Equation 12-1):

Then

ForThen using (from Table 12-1),

This stress is about one-third of the breaking stress for steel under compression.A compression stress of this magnitude would cause a steel bridge to buckle andbecome permanently deformed.

FA

! Y¢LL

! (2.0 " 1011 N>m2)0.33 m1000 m

! 6.6 " 107 N>m2

Y ! 2.0 " 1011 N>m2¢T! 30 K, ¢L>L!a¢T! (11 " 10#6 K#1)(30 K) ! 3.3 " 10#4 ! 0.33 m>1000 m.

FA

! Y¢LL

! Ya ¢T

Y !StressStrain

!F>A¢L>L

Example 20-3 A Completely Filled Glass

While working in the laboratory, you fill a 1.000-L Pyrex glass flask to the brim with waterat You heat the flask, increasing the temperature of the water and flask to Howmuch water spills out of the flask?

PICTURE The water and the glass both expand when heated, but 1.000 L of water expandsmore than 1.000 L of glass, so some water spills out. We calculate the amount spilled by findingthe changes in volume for using with forwater (from Table 20-1) and with for Pyrexglass, where The difference in these volume changes equals the volume spilled.

SOLVE

Vi ! 1.000 L.a ! 3.25 " 10#6 K#1¢Vglass ! bVi ¢T ! 3aV ¢T

b ! 0.207 " 10#3 K#1¢Vwater ! bVi ¢T¢T ! 20 K

30°C.10°C.

1. The volume of water spilled is the differencein the changes in volume of the water and glass:

Vspill Vspill ! ¢Vwater # ¢Vglass

2. Find the increase in the volume of the water: ¢Vwater ! bwaterVi ¢T3. Find the increase in the volume of the glass flask: ¢Vglass ! bglassVi ¢T ! 3aPyrexVi ¢T4. Subtract to find the amount of water spilled:

4.0 mL! 3.95 " 10#3 L !

! [0.207 " 10#3 K#1 # 313.25 " 10#6 K#12]11.000 L2120 K2! 1bwater # bglass2Vi ¢T ! 1bwater # 3aPyrex2Vi ¢TVspill ! ¢Vwater # ¢Vglass ! bwaterVi ¢T # bglassVi ¢T

CHECK The overflow of 4.0 mL represents only 0.4 percent of the initial volume of 1.000 L.It is feasible that this small amount would result from a 20 K temperature increase.

TAKING IT FURTHER The flask expands, making the space inside the flask larger, as if theflask were a piece of solid Pyrex glass.

!

Pontes

Na vida cotidiana...

• ...podemos utilizar as propriedades de expansão dos materiais em nosso benefício.

• Termostatos:

!

!

!

• Termômetros de líquidos: A expansão de líquidos ocorre de maneira distinta daquela dos materiais que os envolvem.

Expansão linear

• Experimentalmente, verifica-se que aumentando a temperatura de um corpo, a variação em seu comprimento, depende:

• do comprimento inicial do material,

• do próprio material através de seu coeficiente de expansão linear,

• da variação da temperatura, , desde que esta não seja muito grande

L0

L

L0

�T

↵

�L = L0↵�T

�L

Um pouco de matemática...Podemos reescrever a equação anterior como:

�L = L0↵�T ! L� L0 = L0↵�T !! L = L0 + L0↵�T

Podemos reescrever também o coeficiente de dilatação linear como:

↵ =1

�T

�L

L0=

�L/L0

�T

e tomando o limite desta equação para ∆T muito pequeno ficamos com

↵ = lim�T!0�L/L0

�Tou

! L = L0(1 + ↵�T )

↵ =1

L0

dL

dT

• Note que:

• o coeficiente de dilatação linear depende da variação de temperatura mas, para fins práticos, consideramos um valor médio que é constante. A unidade deste coeficiente no SI é [1/K]

• A equação anterior vale para cada dimensão linear de um dado sólido.

• Estamos usando a hipótese de dilatação isotrópica para todos os sólidos mas, em geral, este não é o caso!

Alguns coeficientes de dilatação linear

Material Material

Gelo (0 51 Aço 11

Pb 29 Vidro 9

Al 23 Pirex 3.2

Latão 19 Diamante 1.2

Cu 17 Invar (liga) 0.7

Concreto 12 Quartz 0.5

↵⇥ 10�6⇥K�1

⇤↵⇥ 10�6

⇥K�1

⇤

Expansão volumétrica

• Se todas as dimensões de um sólido se expandem com a variação da temperatura, temos uma expansão do seu volume.

• No caso específico dos líquidos a expansão volumétrica é a única que faz sentido.

• A expansão volumétrica de um material (sólido ou líquido) depende:

• do volume inicial do líquido ou sólido (V0)

• da variação de temperatura (∆T)

• do coeficiente de dilatação volumétrica do material (ß)

�V = V0��T

Analogamente ao caso do coeficiente de dilatação linear podemos escrever o coeficiente de dilatação volumétrica como:

� =1

V0

dV

dT

E podemos mostrar também, para uma dilatação isotrópica, que:

� = 3↵

V = L3

dV

dT= 3L2 dL

dT

Considere um cubo de lado L:

Por outro lado, temos que:

� =1

V0

dV

dT=

1

L33L2 dL

dT

Já sabemos que: ↵ =1

L0

dL

dT! dL

dT= L0↵ = L↵

Portanto, substituindo (3) em (2) ficamos com

(1)

(2)

(3)

� = 3↵

Dilatação Anômala da água

Sabemos que, em geral, para os líquidos o aumento da Temperatura causa uma expansão em seus volumes. A água porém apresenta um comportamento anômalo.

Conceptual

Thermal Expansion S E C T I O N 2 0 - 1 | 667

In the derivation of Equation 20-5, we have assumed that the coefficient of linearexpansion is independent of direction. (This assumption is approximately true formany materials, and it will be used for the calculations in this book.) A similar de-rivation shows that the coefficient of area expansion is twice that of linearexpansion.

Example 20-1 Do Holes Expand?

Suppose we have a steel object with a circular hole through it. If the temperature of the objectincreases, the metal expands. Does the diameter of the hole increase or decrease?

PICTURE The increase in size of any part of an object for a given temperature increase is pro-portional to the original size of that part of the object (in accord with Equation 20-2). For anobject, consider a steel ruler that has a 1-cm-diameter hole in it, centered on the 3.5-cm mark.

SOLVE

1. For an object, we consider a steel ruler thathas a 1-cm-diameter hole in it, centered onthe 3.5-cm mark:

If a steel ruler has a 1-cm-diameterhole in it that is centered on the 3.5-cmmark, the edge of the hole will touchboth the 3-cm line and the 4-cm line

2. When the temperature of the ruler increases bya given amount, the ruler expands uniformly:

The distance between the 3-cm lineand the 4-cm line will increase.

3. The edge of the hole will remain touching the3-cm and 4-cm marks as the ruler expands.

If the distance between the 3-cm lineand the 4-cm line increases, then

the diameter of the hole increases.

CHECK If the hole were made by punching out at 1-cm hole, the punched out materialwould be a steel disk 1-cm in diameter. If the temperature of this disk were then increasedby the same amount as the temperature of the ruler was increased, then the disk would fitthe hole perfectly.

TAKING IT FURTHER An apparatus for demonstrating that a hole expands when heated isshown in Figure 20-1.

Most materials expand when heated and contract when cooled. Water, however,is an important exception. Figure 20-2 shows the volume occupied by 1 g of wateras a function of temperature. The minimum volume, and therefore the maximumdensity, is at Thus, when water at is cooled, it expands rather thancontracts. This property of water has important consequences for the ecology of

4.00°C4.00°C.

1.05

1.04

1.03

1.02

1.01

0 20 40 60 80 100

V, cm3 V, cm3

t, °Ct, °C1.000001.00005

1.00010

1.00015

1.00020

1.00025

0 2 4 6 8 101.00

F I G U R E 2 0 - 2 Volume of 1 g of water atatmospheric pressure versus temperature.The minimum volume, which corresponds tothe maximum density, occurs at Attemperatures below the curve shown isfor supercooled water. (Supercooled water iswater that is cooled below the normal freezingpoint without solidifying.)

0.0°C,4.0°C.

F I G U R E 2 0 - 1 When the ball andring are both at room temperature, theball is too big to pass through the ring.The ring expands when heated, andwhen it is hot the ball, which remains atroom temperature, is able to passthrough the hole. (RichardMegna/Fundamental Photographs.)

Como isto favorece a vida nestes ambientes marinhos?

Algumas conversões entre unidades que vocês devem saber bem.

1cm = 10�2m ! 1cm2 = 1cm⇥ 1cm = 10�2m⇥ 10�2m = 10�4m2

Faça a conversão de cm3 para m3.

1L = 10�3m3

Faça a conversão de Litros para cm3.

Exemplos importantesExemplo 1) Em um dia quente em São Paulo, um caminhoneiro carregou 37000 litros de óleo diesel em seu caminhão e partiu rumo à Porto Alegre onde a temperatura era 23K menor do que na capital paulista. Calcule a quantidade de óleo diesel que foi entregue. Dados que: �diesel = 9.5⇥ 10�4K�1

↵aco

= 11⇥ 10�6K�1

Exemplo 2) Um frasco de vidro com volume igual a 200cm3 a 20oC está cheio de Hg (mercúrio) até a borda. Qual a quantidade de Hg que transborda quando a temperatura do sistema se eleva até 100oC? Dados: �Hg = 18⇥ 10�5K�1 ↵vidro = 0, 40⇥ 10�5K�1