diktat an um

8/17/2019 Diktat an Um

1/82

Kata Pengantar

Alhamdulillãh, puji-pujian bagi Allãh Yang telah menaqdirkan segala

sesuatu dan memberikan hidayah kepada penyusun sehingga tulisan ini

dapat diselesaikan.

Kemudian penyusun menyampaikan terima kasih kepada keluarga,

teman, rekan seprofesi dan semua pihak yang telah memberikan

dukungan selama penyusunan buku ajar Metode Numerik ini.

Materi yang terdapat dalam penyusunan ini kami sesuaikan dengan GBPP

yang selama ini telah berlaku di jurusan teknik mesin Unimal. Dan dalam

penyajiannya, kami berusaha untuk menjelaskan setiap pokok bahasan

disertai dengan contoh-contoh. Dengan demikian mahasiswa diharapkan

lebih mudah memahami setiap materi yang disajikan.

Penulis tidak menutup kemungkinan bahwa tulisan ini masih memiliki

berbagai kekurangan, baik dari segi metode penyampaian maupun

cakupan pembahasan. Menyadari hal ini, maka penulis mengharapkan

saran dan kritik dari setiap pembaca untuk membantu menyempurnakan

tulisan ini.

Semoga buku ajar yang sederhana ini dapat memberikan manfaat praktis

bagi mahasiswa yang mengambil perkuliahan metode numerik dan para

peminat baca secara umum.

Penyusun

Lhokseumawe, Februari 2007


2/82

Daftar Isi

Kata Pengantar ............................................................................................. i

Daftar Isi ................................................................................................... ii

BAB I.

Persamaan Non-Linier ............................................................... 1

I.1. Pendahuluan ................................................................................. 1 I.2. Metode Tertutup ............................................................................ 2

I.2.1.

Metode Bagi Dua ................................................................... 3

I.2.2.

Metode Regula Falsi .............................................................. 6

I.3. Metode Terbuka .......................................................................... 10 I.3.1.

Metode Iterasi Titik Tetap .................................................... 10

I.3.2.

Metode Newton-Raphson .................................................... 13

I.3.3. Metode Secant ..................................................................... 14 I.4. Akar Ganda ................................................................................. 16

BAB II. Sistem Persamaan Linear ....................................................... 20

II.1.

Pendahuluan ............................................................................... 20 II.2. Aturan Cramer ............................................................................. 21

II.3. Metode Eliminasi Gauss ............................................................. 23 II.3.1. Strategi pivoting ................................................................... 25 II.3.2. Penskalaan .......................................................................... 26

II.4. Metode Eliminasi Gauss Jordan ................................................. 27 II.5. Metode Iterasi Gauss Seidel ....................................................... 29

BAB III. Pencocokan Kurva .................................................................. 33 III.1. Pendahuluan ............................................................................... 33 III.2. Interpolasi .................................................................................... 34

III.2.1. Interpolasi Linear ................................................................. 35

III.2.2.

Interpolasi Kuadratik ............................................................ 35

III.2.3.

Interpolasi Lagrange ............................................................ 37

III.2.4. Interpolasi Maju Newton-Gregory ........................................ 39 III.2.5.

Interpolasi Mundur Newton-Gregory.................................... 43

III.2.6. Polinom Newton ................................................................... 44 III.3. Regresi ........................................................................................ 47

BAB IV. Integral ..................................................................................... 55 IV.1. Metode Trapesium ................................................................... 55 IV.2.

Metode Simpson 1/3 ................................................................ 57

IV.3. Metode Simpson 3/8 ................................................................ 59 IV.4. Metode Gauss ......................................................................... 60

IV.4.1.

Integrasi Kuadratur Gauss Dengan Pendekatan 2 Titik ...... 61

IV.4.2.

Integrasi Kuadratur Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik ...... 63

BAB V.

Differensiasi ............................................................................. 66

V.1. Permasalahan Differensiasi Numerik .......................................... 66 V.2. Metode Selisih Maju .................................................................... 67 V.3.

Metode Selisih Tengahan ........................................................... 69

V.4.

Differensiasi Tingkat Tinggi ......................................................... 71

V.5. Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva .................. 73


3/82

Persamaan Non-Linier i

Kata Pengantar

Alhamdulillãh, puji-pujian bagi Allãh Yang telah menaqdirkan segala

sesuatu dan memberikan hidayah kepada penyusun sehingga tulisan ini

dapat diselesaikan.

Kemudian penyusun menyampaikan terima kasih kepada keluarga,

teman, rekan seprofesi dan semua pihak yang telah memberikan

dukungan selama penyusunan buku ajar Metode Numerik ini.

Materi yang terdapat dalam penyusunan ini kami sesuaikan dengan GBPP

yang selama ini telah berlaku di jurusan teknik mesin Unimal. Dan dalam

penyajiannya, kami berusaha untuk menjelaskan setiap pokok bahasan

disertai dengan contoh-contoh. Dengan demikian mahasiswa diharapkan

lebih mudah memahami setiap materi yang disajikan.

Penulis tidak menutup kemungkinan bahwa tulisan ini masih memiliki

berbagai kekurangan, baik dari segi metode penyampaian maupun

cakupan pembahasan. Menyadari hal ini, maka penulis mengharapkan

saran dan kritik dari setiap pembaca untuk membantu menyempurnakan

tulisan ini.

Semoga buku ajar yang sederhana ini dapat memberikan manfaat praktis

bagi mahasiswa yang mengambil perkuliahan metode numerik dan para

peminat baca secara umum.

Penyusun

Lhokseumawe, Februari 2007


4/82

Persamaan Non-Linier ii

Daftar Isi

Kata Pengantar ............................................................................................. i

Daftar Isi ................................................................................................... ii

BAB I. Persamaan Non-Linier ............................................................... 1 I.1. Pendahuluan ................................................................................. 1 I.2. Metode Tertutup ............................................................................ 2

I.2.1. Metode Bagi Dua ................................................................... 3 I.2.2. Metode Regula Falsi .............................................................. 6

I.3. Metode Terbuka .......................................................................... 10 I.3.1. Metode Iterasi Titik Tetap .................................................... 10 I.3.2. Metode Newton-Raphson .................................................... 13 I.3.3. Metode Secant ..................................................................... 14

I.4. Akar Ganda ................................................................................. 16

BAB II. Sistem Persamaan Linear ....................................................... 20

II.1. Pendahuluan ............................................................................... 20 II.2. Aturan Cramer ............................................................................. 21 II.3. Metode Eliminasi Gauss ............................................................. 23

II.3.1. Strategi pivoting ................................................................... 25 II.3.2. Penskalaan .......................................................................... 26

II.4. Metode Eliminasi Gauss Jordan ................................................. 27 II.5. Metode Iterasi Gauss Seidel ....................................................... 29

BAB III. Pencocokan Kurva .................................................................. 33 III.1. Pendahuluan ............................................................................... 33 III.2. Interpolasi .................................................................................... 34

III.2.1. Interpolasi Linear ................................................................. 35

III.2.2. Interpolasi Kuadratik ............................................................ 35 III.2.3. Interpolasi Lagrange ............................................................ 37 III.2.4. Interpolasi Maju Newton-Gregory ........................................ 39 III.2.5. Interpolasi Mundur Newton-Gregory.................................... 43 III.2.6. Polinom Newton ................................................................... 44

III.3. Regresi ........................................................................................ 47

BAB IV. Integral ..................................................................................... 55 IV.1. Metode Trapesium ................................................................... 55 IV.2. Metode Simpson 1/3 ................................................................ 57 IV.3. Metode Simpson 3/8 ................................................................ 59 IV.4. Metode Gauss ......................................................................... 60

IV.4.1. Integrasi Kuadratur Gauss Dengan Pendekatan 2 Titik ...... 61

IV.4.2. Integrasi Kuadratur Gauss Dengan Pendekatan 3 Titik ...... 63

BAB V. Differensiasi ............................................................................. 66 V.1. Permasalahan Differensiasi Numerik .......................................... 66 V.2. Metode Selisih Maju .................................................................... 67 V.3. Metode Selisih Tengahan ........................................................... 69 V.4. Differensiasi Tingkat Tinggi ......................................................... 71 V.5. Differensiasi Untuk Menentukan Titik Puncak Kurva .................. 73


5/82

Persamaan Non-Linier 1

0)( x f

BAB I. Persamaan Non-Linier

I.1. Pendahuluan

Dalam dunia sains dan rekayasa, para ahli sering berhadapan dengan

persoalan mencari solusi persamaan non-linear yan g disebut dengan

akar persamaan (root of equation) atau nilai-nilai nol. Contoh persamaan

non-linier adalah sebagai berikut:

a. 1 4 16 3 3 0

b. 0,

c...

..

3.69 0, 0 1

d. tan tanh2

Persamaan mencari solusi persamaan non-linier dapat dirumuskan secara

singkat sebagai berikut: tentukan nilai x yang memenuhi persamaan yaitu

nilai x = s sedemikian sehingga f(s) sama dengan nol.

Sampai saat ini sudah banyak ditemukan metode pencarian akar. Secara

umum, semua metode pencarian akar tersebut dapat dikelompokkan

menjadi dua.1. Metode Tertutup

Suatu metode yang digunakan untuk mencari akar dalam selang

[a, b]. Dalam selang [a, b] sudah dipastikan berisi minimal satu akar.

Iterasi yang dilakukan untuk mendapatkan akar selalu konvergen

(menuju) ke akar. Jadi dengan menggunakan metode tertutup akan

selalu berhasil menemukan akar persamaan.

2. Metode Terbuka

Pencarian akar tidak memerlukan selang [a, b] yang mengandungakar, tetapi menebak nilai awal akar. Selanjutnya dengan prosedur

iterasi kita akan memperoleh hampiran akar yang baru. Setiap kali

iterasi dilakukan, mungkin saja nilai hampiran akar mendekati akar


6/82


x

b

a

b

ba

b

sejati (konvergen), atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Jadi

dengan metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar.

I.2. Metode Tertutup

Seperti telah dijelaskan bahwa metode tertutup memerlukan selang [a, b]

yang mengandung akar. Proses yang dilakukan pada metode ini adalah

mempersempit lebar selang tersebut sehingga diperoleh suatu nilai akar

sejati.

Dalam suatu selang mungkin terdapat satu buah akar atau tidak sama

sekali. Untuk mengetahui kemungkinan tersebut maka perlu dilakukan

pengujian syarat cukup keberadaan akar. Dari gambar berikut dapat

ditunjukkan bahwa:

1. f(a).f(b) < 0 , maka terdapat akar sebanyak bilangan ganjil

(gambar 1.1).

Gambar 1.1 Banyaknya akar ganjil

2. f(a).f(b) > 0, maka terdapat akar sebanyak bilangan genap atau

tidak ada akar sama sekali (gambar 1.2).

Gambar 1.2 Banyaknya akar genap

xb

a

a

ba

a


7/82


8/82

Langkah

Jika hasi

perhitunditetapka

Contoh 1

Tentuka

dua.

Penyeles

Langkah

5: Tentu

deng

lebih

Dima

il perhitun

an dari ln.

.1

akar-aka

aian:

1: Deng

persaa2 = 2

a

kan apak

n meme

kecil dari

a:

= h

NT = n

gan belu

ngkah 1

dari pers

an bantua

maan ters dan b2

Gambar 1

baR

baru

n

n

ah taksir

uhi syar

ilai tolera

arga mutl

ilai toleran

memen

/d 5 sam

maan

n gambar

ebut yaitu= 3.

.3:Grafik pe

(f

u

laman

n baru

t bahwa

si kesala

k aproksi

si yang dit

hi nilai t

pai meme

kita dapa

diantara

yelesaian

) 2 x x

(f

ersamaa

ukup aku

aproksim

an

asi kesal

entukan,

leransiny

nuhi nilai

deng

t melihat

1 = -2 da

a

3

3) 2 x x x

Non-Lini

rat atau

asi kesal

ahan

issal 0,0

, maka u

toleransi

n metode

letak dari

n b1 = -1

NT

r

tidak

ahan

langi

yang

bagi

akar

serta


9/82


Cek apakah f(a).f(b) < 0 dengan memasukkan harga taksiran

akar ke fungsinya sebagai berikut:

f(-2) = f(x) = (-2)2 – (-2) – 3 = 3

f(-1) = f(x) = (-1)2 – (-1) – 3 = -1

f( 2) = f(x) = ( 2)2 – ( 2 ) – 3 = -1

f( 3) = f(x) = ( 3)2 – ( 3) – 3 = 3

Cek apakah: f(a1).f(b1) < 0 ; ( 3).(-1) < 0

f(a2).f(b2) < 0 ; (-1).( 3) < 0

Langkah 2: Taksiran pertama harga akar R1 dan R2 ditentukan oleh:

Langkah 3: Buatlah evaluasi untuk menentukan subinterval dimana akar

terletak, sbb:

f(R1) = f(-1,5) = (-1,5)2 – (-1,5) – 3 = 0,75

f(R2) = f(2,5) = ( 2,5 )2 – ( 2,5 ) – 3 = 0,75

Untuk f(a1).f(R1) > 0 akar terletak pada subinterval kedua,

maka a1 = R1 = -1,5 sedangkan b1 tetap = -1.

Untuk f(a2).f(R2) < 0 akar terletak pada subinterval pertama,

maka b2 = R2 = 2,5 sedangkan a2 tetap = 2.

Langka 4: Hitung harga taksiran harga akar baru Rn ditentukan oleh:

Langkah 5: Dengan NT = 0,05 maka

; tidak memenuhi

; tidak memenuhi

2

111

baR 5,1

2

)1(2

5,22

32

2

222

baR

25,12

)1(5,1

2

111

baR

25,22

5,22

2

222

baR

05,02,025,1

)5,1(25,11

a

05,011,025,2

)5,2(25,22

a


10/82


a

1a

2a

1a

2a

1a

2a

3)( 2 x x x f

Karena kedua harga akar tidak memenuhi syarat nilai

toleransi, maka langkah 1 s/d 5 diulangi (di-iterasi) hingga nilai

toleransi dipenuhi, sebagai mana tabulasi berikut:

Tabel 1.1: Iterasi Metode bagi dua

Iterasi Langkah 1 Rn lama

Langkah 2

Langkah 3 Rn baru

Langkah 4

1

a1 = -2

b 1 = -1

a2 = 2

b2 = 3

R1 = -1,5

R2 = 2,5

a1 = -1,5

b 1 = -1

a2 = 2

b2 = 2,5

R1 = -1,25

R2 = 2,25

= 0,2

= 0,11

2

a1 = -1,5

b 1 = -1

a2 = 2

b2 = 2,5

R1 = -1,25

R2 = 2,25

a1 = -1,5

b 1 = -1,25

a2 = 2,25

b2 = 2,5

R1 = -1,375

R2 = 2,375

= 0,09

= 0,052

3

a1 = -1,5

b 1 = -1,25

a2 = 2,25

b2 = 2,5

R1 = -1,375

R2 = 2,375

a1 = -1,375

b 1 = -1,25

a2 = 2,25

b2 = 2,375

R1 = -1,313

R2 = 2,313

= 0,047

= 0,027

Dari table diatas terlihat bahwa pada iterasi ketiga, nilai toleransinya lebih

kecil dari yang ditetapkan. Sehingga akar persamaan

adalah x1 = -1,313 dan x2 = 2.313.

I.2.2. Metode Regula Falsi

Metode Regula Falsi adalah suatu metode pencarian akar yang dilakukan

dengan membuat garis lurus yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan

(b, f(b)). Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x merupakan taksiran

akar persamaan. Garis lurus tadi seolah-olah berlaku menggantikan kurva

f(x) dan memberikan posisi palsu pada akar.

Metode Regula Falsi memiliki konvergensi yang lebih cepat dibandingkan

dengan metode bagi dua.


11/82


x = a

x = b

Interpolasi ke-1Interpolasi ke-

perkiraan ke-1perkiraan ke-2perkiraan ke-3

Akar sejati (R )

)()(

)()(

af bf

abf baf R

Gambar 1.4: Metode posisi salah

Bila selang [a, b] yang mengandung akar, maka fungsi linear yang

melewati (a, f(a)) dan (b, f(b)) adalah:

(1.2)

atau solusi untuk x:

(1.3)

Posisi xR dimana garis berpotongan dengan aksis x, diperoleh dengan

menjadikan y = 0. Sehingga persamaan 1.4 menjadi:(1.4)

Adapun prosedur penyelesaian Metoda Regula falsi adalah sbb:

Langkah 1: Masukkan nilai taksiran akar terendah a dan tertinggi b yang

memungkinkan pada selang tersebut terdapat fungsi yang

berubah tanda. Hal ini dapat diperiksa dengan f(a)f(b) < 0.

Langkah 2: Taksiran akar R diperoleh dengan:(1.5)

Langkah 3: Buat evaluasi berikut untuk menentukan sub-interval dimana

akar terletak.

)()()(

)( a x ab

af bf af y R

)()()(

af y af bf

aba x R

)()(

)()()(

)()( af bf

abf baf af

af bf

abaR


12/82


a. Jika f(a).f(Rn) < 0, akar terletak pada sub-interval

pertama, maka b diganti dengan Rn (b = Rn) kemudian

lanjutkan ke langkah 4.

b. Jika f(a).f(Rn) > 0, akar terletak pada sub-interval kedua,

maka a diganti dengan Rn (a = Rn) kemudian lanjutkan ke

langkah 4.

c. Jika f(a).f(Rn) = 0, akar = Rn kemudian lanjutkan ke

langkah 4.

Langkah 4: Hitung harga akar baru Rn:

Langkah 5: Tentukan apakah taksiran baru cukup akurat atau tidakdengan memenuhi syarat bahwa aproksimasi kesalahan

lebih kecil dari nilai toleransi kesalahan

Dimana:

|∈|

(1.6)

= harga mutlak aproksimasi kesalahan

NT = nilai toleransi yang ditentukan, missal 0,05

Jika hasil perhitungan belum memenuhi nilai toleransinya, maka ulangi

perhitungan dari langkah 1 s/d 5 sampai memenuhi nilai toleransi yang

ditetapkan.

Contoh 1.2:

Tentukan harga akar persamaan dengan menggunakan

Metode Regula falsi.

Penyelesaian:

Langkah 1: Sama halnya dengan contoh 1.2, aksiran akar terletak padaa1 = -2 dan b1 = -1 serta a2 = 2 dan b2 = 3.

Langkah 2: Taksiran akar R1 dan R2 diperoleh dengan:

)()(

)()(

af bf

abf baf R n

NT a

3)( 2 x x x f

25,131

)3)(1()1(21

R

25,2)1(3

)1(3)3(22

R


13/82


Langkah 3: Buat evaluasi berikut untuk menentukan sub-interval dimana

akar terletak.

f(R1) = f(-1,25) = (-1,25)2 – (-1,25) – 3 = -0,1875

f(R2) = f(2,25) = ( 2,25 )2 – ( 2,25 ) – 3 = -0,1875

Untuk f(a1).f(R1) < 0 akar terletak pada subinterval pertama,

maka b1 = R1 = -1,25 sedangkan a1 tetap = -2.

Untuk f(a2).f(R2) > 0 akar terletak pada subinterval kedua,

maka a2 = R2 = 2,25 sedangkan b2 tetap = 3.

Langkah 4: Hitung harga akar baru Rn:

Langkah 5: Dengan NT = 0,05 maka

; memenuhi

; memenuhi

Karena kedua akar memenuhi syarat nilai toleransi, maka akarnya adalah

x1 = -1,294 dan x2 = 2,294.

Bila kita bandingkan dengan metode Bagi dua maka, metode Regula falsi,

memiliki kecepatan konvergensi yang lebih tinggi. Hal ini ditunjukkan

dengan jumlah proses iterasi yang lebih sedikit pada metoda Regula falsi.

294,131875,0

)3)(25,1()1875,0(21

R

294,2)1875,0(3

)1875,0(3)3(25,22

R

05,0034,0294,1

)25,1(294,11

a

05,001,0294,2

)25,2(294,22

a


14/82


15/82


I.

Dalam hal ini,

Maka prosedur iterasinya adalah Ambil nilai

dugaan awal x 0 = 4.

Tabel 1.1: Iterasi persamaan g(x) =

r xr

0. 4

1. 3,316625 0,683375

2. 3,103748 0,212877

3. 3,034385 0,0693621

4. 3,011440 0,0229455

5. 3,003811 0,0076291

6. 3,001270 0,0025409

7. 3,000423 0,0008467

8. 3,000141 0,0002822

9. 3,000047 9,404E-05

10. 3,000016 3,136E-05

11. 3,000005 1,045E-05

12. 3,000002 3,484E-06

13. 3,000001 1,161E-06

14. 3,000000 4,301E-08

II.

Dalam hal ini, g(x) = 3/(x-2). Prosedur iterasinya adalah :xr+1 =

3/(x-2). Ambil nilai dugaan awal x 0 = 4.

3)2( x x

32 x x

322 x x

)32()( x x g

)32(1 x x r

0322 x x

)2/(3 x x

)32( x

r r xx

1


16/82


Tabel 1.2: Iterasi persamaan g(x) = 3/( x-2)

r xr

0. 4,000000 -

1. 1,500000 2,500000

2. -6,000000 7,500000

3. -0,375000 5,625000

4. -1,263158 0,888158

5. -0,919355 0,343803

6. -1,027624 0,108269

7. -0,990876 0,036748

8. -1,003051 0,012175

9. -0,998984 0,004067

10. -1,000339 0,001355

11. -0,999887 0,000452

12. -1,000038 0,000051

13. -0,999987 0,000050

14. -1,000004 0,000017

15. -0,999999 0,000006

16. -1,000000 0,000002

17. -1,000000 0,000001

III.

Prosedur iterasinya adalah

Ambil nilai dugaan awal x 0 = 4.

Tabel 1.3: Persamaan

r xr

0. 4 -

1. 6,500000 2,5000002. 19,625000 13,125000

3. 191,070313 171,445312

4. 18252,432159 18061,361847

5. …

2/)3(2

r x x

0322 x x

r r xx 1

2/)3(2

1 r r x x

r r xx 1

2( ) ( 3) / 2

r g x x


17/82


xxrxr+1

Garis singgung kurva di xr dengan gradien f ’(xr )

y = f(xr )

I.3.2. Metode Newton-Raphson

Diantara metode pencarian akar, metode Newton-Raphson adalah yang

paling terkenal dan banyak digunakan. Hal ini dikarenakan konvergensi

metode ini paling cepat diantara metode lain.

Pada gambar 1.5, jika tebakan awal xi, sebuah garis ditarik dari titik [f(xi),

xi] hingga memotong sumbu x di xr+1 biasanya menunjukkan perbaikan

harga taksiran akar.

Gambar 1.5: Tafsiran Geometri metode Newton-Rapson

Gradien garis singgung di xr adalah

(1.8)

atau

(1.9)

sehingga prosedur iterasinya adalah:

; (1.10)

contoh 1.4

Tentukan harga akar persamaan f(x) = x 2 - x - 3 dengan metode Newton-

Raphson.

Penyelesaian:

Iterasi pertama (I = 1) untuk akar pertama (x1 = 3):

1

' 0)()(

r r

r r

x x

x f

x

y x f m

1

' 0)()(

r r

r r

x x

x f x f

1r

r r '

r

f ( x ) x x

f ( x )

0' r f ( x )


18/82


xrxr+1 xr-1

y = g(x)

f(x) = x 2 - x – 3 : f(-3) = (-3)2 – (-3) – 3 = 9

f ’(x) = 2x - 1 : f ’(-3) = 2(-3) – 1 = -7

dengan NT = 0,05 maka,

; tidak memenuhi

Kemudian dilanjutkan dengan iterasi berikutnya hingga lebih kecil dari

harga NT, sebagai mana pada table berikut:

Tabel 1.4: Hasil perhitungan dengan metode Newton-Raphson

Akar pertama Akar kedua

Iterasi, r xr |εa| % Iterasi, r xr |εa| %

1 -3 - 1 2 -

2 -1,714 75 2 2,333 14,3

3 -1,341 27,8 3 2,303 1,3

4 -1,303 2,9 4 2,303 0

Pada hasil tabulasi terlihat bahwa akar-akarnya adalah x1 = -1,303 dan

x2 = 2,303.

I.3.3. Metode Secant

Pada beberapa kasus, penggunaan metode Newton-Rapson dihadapkan

pada kesukaran dalam mengevaluasi turunan suatu persamaan. Untuk

menghadapi keadaan yang demikian maka turunan fungsi dapat didekati

dengan cara menggantikannya dalam bentuk lain yang ekivalen.

Modifikasi metode Newton-Raphson ini dinamakan dengan metode

secant . Dari gambar 1.5 dapat ditentukan gradien dari f’ (x) sebagai

berikut:

7141

7

931 ,

)(

)('

r

r r r

x f

x f x x

0507507141

371411 ,,

,

)( ,a

Gambar 1.6: Metode Secant


19/82


(1.11)

Subtitusikan persamaan 1.11 kedalam persamaan Newton-Raphson:

(1.12)

sehingga diperoleh:

(1.13)

Formula secant memerlukan dua harga taksiran akar x0 dan x1.

Contoh 1.5:Hitunglah akar f(x) = ex – 5x2 dengan metode secant. Gunakan ε = 0,0001.

Tebakan awal akar adalah x-1 = 0,5 dan x0 = 1.

Penyelesaian:

> 0,0001(tidak memenuhi)

maka dilanjutkan dengan iterasi kedua:

> 0,0001 (tidak memenuhi)

1

1

r r

r r r

x x

x f x f

BC

AC

x

y x f

)()()('

) x ( f

) x ( f x x

r

'

r r r 1

) x ( f ) x ( f

) x x )( x ( f x x

r r

r r r r r

1

11

399050550250

1 , ),( e ),( f ) x ( f ,

2822151 210 , )( e )( f ) x ( f

5703990282

5013990

110

10001 , ),( ,

),( ,

) x ( f ) x ( f

) x x )( x ( f

x x

74120570

1570,

,

,a

2822151 210 , )( e )( f ) x ( f

597028221260

15701260570

01

01112 ,

),( ,

),( ,,

) x ( f ) x ( f

) x x )( x ( f x x

014505970

5705970,

,

,,a

126057055702570

1 , ),( e ),( f ) x ( f ,


20/82


begitu seterusnya hingga galat memenuhi nilai toleransi yang telah

ditetapkan, sebagai mana terlihat pada table berikut:

Tabel 1.5: Hasil perhitungan dengan

metode Secanti Xr ε = |xr+1-xr |

0 0.5

1 1

2 0,574376 0,74102

3 0,596731 0,037462

4 0,605533 0,014537

5 0,605265 0,000443

6 0,605267 3,66E-06

Pada tabel terlihat bahwa akarnya adalah x = 0,605267.

I.4. Akar Ganda

Akar ganda terjadi bila kurva fungsi menyinggung sumbu-x, misalnya:

memiliki akar ganda dua di x = 1.

Pada gambar dapat dilihat bahwa kurva menyinggung sumbu-x di sekitar

x = 1.

Gambar 1.7: Contoh akar ganda yang menyinggung sumbu x

Akar-akar ganda memiliki kendala-kendala sebagai berikut:

1. Fungsi tidak berubah tanda pada akar ganda sehingga metode bagi

dua dan metode tertutup lainnya tidak dapat digunakan.

2. Kenyataan bahwa tidak hanya f(x) tetapi juga f ’(x) menuju nol pada

akar, dimana pada metode Newton-Raphson dan secant

-1,4

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0 1 2 3 4

3 25 7 3 ( 3)( 1)( 1) x x x x x x


21/82


mengandung turunan fungsi f(x) dalam penyebut masing-masing

formula.

Untuk mengatasi masalah tersebut dilakukan suatu modifikasi yang

diusulkan oleh Raltson dan Robinowitz terhadap formulasi berikut:

(1.14)

dengan m adalah bilangan multiplikasi akar, misalnya:

- akar tunggal, m = 1

- akar ganda dua, m = 2

- akar ganda tiga, m = 3 dan seterusnya.

Penggunaan persamaan diatas tidak memuaskan karena kita perlu tahu

terlebih dahulu bilangan multiplikasi akar. Disamping itu, untuk x dekatakar ganda, nilai f(x) » 0 dan juga nilai f ’(x) » 0, yang dapat mengakibatkan

pembagian dengan nol.

Maka didefinisikan

′

selanjutnya,

dimana:

sehingga

atau

(1.15)

1 '

( )

( )

r r r

r

f x x x m

f x

1 '( )( )

r r r

r

u x x xu x

'

' ' '' ' 2 '''

' ( )

( ) ' 2 ' 2

( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( )( )

[ ( )] [ ( )]

f x

f x

f x f x f x f x f x f x f xu x

f x f x

'

( )

( )

1 ' 2 ''

' 2

[ ( )] ( ) ( )

[ ( )]

r

r

f x

f x

r r

r r r

r

x x f x f x f x

f x

'

1 ' 2 ''

( ) ( )

[ ( )] ( ) ( )

r r

r r

r r r

f x f x x x

f x f x f x


22/82


contoh:

Hitung akar dengan metode Newton-Raphson

baku dan metode Newton-Raphson yang telah diperbaiki. Tebakan awal

x0 = 0.

Penyelesaian:

Dengan metode Newton-Raphson baku

Dengan metode Newton-Raphson yang telah dimodifikasi:

Tabel iterasinya adalah sebagai berikut:Tabel 1.6: Iterasi akar ganda

Newton-Rapson baku Newton Rapson modifikasi

r xr r xr 0 0 1,105263

1 0,4285714 1 1,003082

2 0,6857143 2 1,000002

3 0,8328654 3 1

4 0,9133299

5 0,9557833

6 0,9776551

7 0,9887662

8 0,9943674

Terlihat bahwa dengan menggunakan Metode Newton-Rapson yang

dimodifikasi memiliki iterasi yang lebih sedikit.

3 2( ) 5 7 3 f x x x x

3 2( ) 5 7 3 f x x x x

' 2( ) 3 10 7 f x x x

''( ) 6 10 f x x

3 2

1 25 7 3

3 10 7

r r r r

r

r r

x x x x x x x

3 2 2

1 2 2 3 2

( 5 7 3)(3 10 7)

(3 10 7) (6 10)( 5 7 3)

r r r r r

r

r r r r r r

x x x x x x

x x x x x x


23/82


Tugas:

1.

Tentukan akar persamaan diatas dengan metode:

a. Bagi dua

b. Regula falsi

c. Newton-Raphson

d. Secant

dimana NT = 2%

2.


a. Bagi dua

b. Regula falsi

c. Newton-Raphson

d. Secant

dimana NT = 2%

3.


a. Bagi dua

b. Regula falsi

c. Newton-Raphson

d. Secant

dimana NT = 2%

2( ) 0,8459 1, 75 2, 625 y x x x

2( ) 5, 78 11, 4504 y x x x

2( ) 1, 75 2, 625

x y x e x


24/82

Sistem Persamaan Linear 2

BAB II. Sistem Persamaan Linear

II.1. PendahuluanPembahasan utama pada bab ini adalah mempelajari metode komputasi

dasar untuk menyelesaikan suatu persamaan linear. Suatu persamaan

linear dapat terdiri dari beberapa persamaan yang penyelesaiannya

dilakukan secara serempak. Berbeda dengan bab sebelumnya, masalah

yang diselesaikan adalah akar-akar dari satu persamaan saja.

Bentuk umum dari persamaan linear adalah sebagai berikut:

a11 x 1 + a12 x 2 + a13 x 3 + …+ a1n x n = c 1

. . . . .

. . . . .

(2.1)

dimana a adalah koefisien, c adalah konstanta dan x adalah variable.

Dengan menggunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan

nnn sebagai persamaan matriks:

(2.2)

dimana:

A = [aij] adalah matriks berukuran n x n

x = [xij] adalah matriks berukuran n x 1

b = [b j] adalah matriks berukuran n x 1 (disebut juga vektor kolom)

yaitu:

(2.3)

22323222221 c x a... x a x a x a nn

nnnnnnn c x a... x a x a x a 332211

b Ax

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

n n n nn

a a a ... aa a a ... a

. . . . .

a a a ... a

1

2

n

bb

.

b

1

2

n

x x

.

x


25/82


Metode komputasi yang digunakan dalam penyelesaian system

persamaan aljabar linear adalah:

1. Aturan Cramer

2. Metode Eliminasi Gauss

3. Metode Gauss Jordan

4. Metode Gauss Seidel

II.2. Aturan Cramer

Aturan Cramer merupakan suatu metode pemecahan permasalahan

sistem persamaan linear simultan berjumlah kecil dengan jumlah variable

bebas (x) ≤ 3. Setiap variable yang akan dicari, diperoleh dari pembagian

dua buah determinan. Terhadap determinan pembilang pada kolom yang

akan dicari variabelnya, diisi dengan konstanta c1, c2, … cn. Misalkan

suatu permasalahan system persamaan linear simultan sebagai berikut:

a11 x 1 + a12 x 2 + a13 x 3 = c 1

a21 x 1 + a22 x 2 + a23 x 3 = c 1

a31 x 1 + a32 x 2 + a33 x 3 = c 3

maka matriks koefisien adalah:

[A] =

(2.4)

determinan dari [A] adalah:

(2.5)

(2.6)

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

n n n nn

a a a ... a

a a a ... a

. . . . .

a a a ... a

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

D

3231

2221

13

3331

2321

12

3332

2322

11aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaD


26/82


23313321

3331

2321 aaaaaa

aa

22313221

3231

2221aaaa

aa

aa

dimana minor-minornya adalah sebagai berikut:

kemudian untuk pembilang, kolom determinan yang tidak diketahui

variabelnya dingganti dengan koefisien c1, c2 dan c3. Misalkan kita

mencari x1, x2, x3:

Contoh 2.1:

Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan permasalahan berikut:

0,3 x 1 + 0,52x 2 + x 3 = -0,01

0,5 x 1 + x 2 + 1,9x 3 = 0,67

0,1 x 1 + 0,3 x 2 + 0,5x 3 = -0,44Penyelesaian:

minor-minornya adalah:

23323322

3332

2322aaaa

aa

aa

D

aac

aac aac

x 33323

23222

13121

1 D

c aa

c aa

c aa

x 33231

22221

11211

3 D

ac a

ac aac a

x 33331

23221

13111

2

503010

91150

152030

,,,

,,

,,

D

07091305015030

911,,.,,.

,,

,

060911050505010

9150,,.,,.,

,,

,,

0501101503010

150,.,.,

,,

,


27/82


sehingga harga determinan-nya adalah:

Kemudian harga x1, x2, x3 dapat ditentukan dengan:

II.3. Metode Eliminasi Gauss

Prinsip dasar metode ini adalah merubah bentuk matriks dari suatu

persamaan liniear simultan menjadi menjadi bentuk matriks segitiga atas

seperti persamaan berikut ini:

= (2.7)

maka solusinya dapat dihitung dengan teknik subtitusi mundur (backward

substitution):

00220050106052007030 , ),( ),( , ),( ,D

91400220

032780

00220

503010

911670

1520010

1 ,,

,

,

,,,

,,

,,

x

52900220

06490

00220

501010

9167050

101030

2 ,,

,

,

,,,

,,,

,,

x

81900220

043560

00220

103010670150

01052030

3 ,,

,

,

,,,,,

,,,

x

11 12 13 1

22 23 2

33 3

0

0 0

0 0 0

n

n

n

nn

a a a a

a a a

a a

a

1

2

3

n

x

x

x

x

1

2

3

n

b

b

b

b

nn n n n n nna x b x b / a

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

n n ,n nn ,n n n ,n n n n

n ,n

b a x a x a x b x

a

2 2 1 1 2

2 2 2 2 1 1 2 2 2

2 2

n n ,n n n ,n n

n ,n n n ,n n n ,n n n n

n ,n

b a x a x a x a x a x b x

a

dst.


28/82


sehingga persamaan umumnya dapat dibentuk menjadi:

, k = n-1, n-2, …,1 dan akk ≠ 0 (2.8)

Contoh 2.2: Selesaikan persamaan-persaman dibawah ini dengan metode

eliminasi Gauss.

2x1 + x2 – 3x3 = -1

-x1 + 3x2+ 2x3 = 12

3x1 + x2 – 3x3 = 0

Penyelesaian:

Persamaan diatas disusun dalam bentuk matriks, sbb:2 1 -3 -1

-1 3 2 12

3 1 -3 0

Eliminasi dilakukan dengan mengalikan baris pertama dengan -1/2 dan

melakukan pengurangan baris kedua dengan baris pertama. Kemudian

baris pertama dikalikan dengan 3/2 dan melakukan pengurangan baris

ketiga dengan baris pertama.

2 1 -3 -10 7/2 1/2 23/2

0 -1/2 3/2 3/2

Eliminasi dilanjutkan dengan mengalikan baris kedua dengan -1/7 dan

dikurangi dengan baris ketiga.

2 1 -3 -1

0 7/2 1/2 23/2

0 0 11/7 22/7

Dan ini adalah akhir dari proses eliminasi. Kemudian dilakukan subtitusi

mundur yang dimulai dari baris terakhir, sbb:

(11/7)x3 = 22/7

x3 = 2

Kemudian persamaan baris kedua:

1

n

k kj j

j k

k

kk

b a x

x

a


29/82


30/82


1 2 1 2

R2 – 3R1 0 0 -3 3

R3 – 2R1 0 4 2 2

Setelah operasi pertama, elemen a22 yang akan menjadi pivot pada

operasi berikutnya berharga nol. Oleh karena itu, baris 2 dipertukarkan

dengan baris ketiga sehingga elemen a22 = 4 ≠ 0.

1 2 1 2

R2

↑↓ 0 4 2 2

R3 0 0 -3 3

II.3.2. Penskalaan

Penskalaan adalah cara lain yang dilakukan untuk mengurangi galat

pembulatan pada system persamaan linier. Penskalaan dilakukan bila

terdapat perbedaan koefisien yang mencolok. Cara yang dilakukan adalah

dengan membagi setiap baris persamaan dengan nilai mutlak koefisien

terbesar diruas kiri. Sehingga nilai keofisien maksimum menjadi 1. Cara

seperti ini disebut dengan menormalkan system persamaan linier.

Contoh 2.4:

Selesaikan system persamaan linier berikut sampai 3 angka decimaldengan menggunakan eliminasi Gauss yang menerapkan penskalaan dan

tanpa penskalaan:

Penyelesaian:

Dengan tanpa penskalaan:

Solusinya adalah: x 1 = 1,00 x 2 = 0 (salah)

1 2

1 2

2 100000 100000

2

x x

x x

2 12 100000 100000 1 / 2 2 100000 100000

1 1 2 0 50000 50000

R R


31/82


Dengan penskalaan:

solusinya, x 1 = 1,00 x 2 = 1,00 (benar)

II.4. Metode Eliminasi Gauss Jordan

Metode eliminasi Gauss Jordan merupakan variasi dari metode eliminasi

Gauss. Matriks dari persamaan diubah menjadi bentuk matriks identitas I.

Solusi dari variable-variabelnya dapat langsung diperoleh dari vector

kolom b, tanpa melakukan subtitusi mundur.

A x = b → I x = b’

Dari persamaan 2.9, matriks identitas dibentuk dengan melakukaneliminasi mundur (backward elimination). Proses tersebut dilakukan

pertama sekali dengan membagi baris terakhir dengan , sehingga

berbentuk:

0 0 0 …

dimana:

Koefisien ke-n dari tiap baris kecuali baris terakhir dieliminasi dengan

melakukan pengurangan baris ke-i dengan hasil kali baris terakhir dan

koefisien ke-n:

(2.9)

1 2

1 2

1 2

1 2

2 100000 100000 :100000

2 :1

0, 00002 1

2

x x

x x

x x

x x

1 20, 00002 1 1 1 1 2 1 1 2

1 1 2 0, 00002 1 1 0 1 1, 00

:

R R

1( n )

n,na

nna

1 1 ( n ) ( n )nn nn nna a / a

11 12 13

22 23

33

0

0 0

0 0 0

0 0 0 1

a a a

a a

a


32/82


dimana:

(2.10)

Kemudian dijadikan acuan dalam melakukan

eliminasi, begitu seterusnya.

contoh 2.5:

Selesaikan persoalan pada contoh 2.1 dengan metode eleminasi Gauss

Jordan.

Penyelesaian:

Dari bentuk matriks:

2 1 -3 -1

0 7/2 1/2 23/2

0 0 11/7 22/7

eiminasi dilanjutkan dengan membagi baris ketiga dengan 11/7. Baris

kedua dikurangi hasil kali baris ketiga dengan ½ , dan baris pertama

dikurangi hasil kali baris ketiga dengan -3:

2 1 0 5

0 7/2 0 21/2

0 0 1 2

Kemudian baris kedua dijadikan basis eleminasi dengan membagi baris

kedua dengan 7/2. Baris pertama dikurangi hasil kali baris kedua dengan

1.

2 0 0 2

0 1 0 3

0 0 1 2

Selanjutnya baris pertama dibagi dengan 2.

1 0 0 1

0 1 0 3

0 0 1 2

Maka variable x adalah: x1 = 2, x2 = 3 dan x3 = 1.

1 1( i ) ( i )in nnin ina a a a

2

1 1 1

( n )

i ,( n- ) i ,( n ) i ,( n )a a / a


33/82


II.5. Metode Iterasi Gauss Seidel

Metode eleminasi Gauss maupun Gauss Jordan melibatkan banyak galat

pembulatan sehingga dapat menyebabkan hasil yang diperoleh jauh dari

hasil yang sebenarnya. Untuk mengatasi hal tersebut, maka metode

iterasi pada persamaan linear dapat juga digunakan untuk menyelesaikan

system persamaan linear. Dengan menggunakan metode ini, galat

pembulatan dapat diperkecil dengan semakin kecilnya toleransi galat yang

kita tetapkan.

Misal ada sekumpulan n persamaan:

Dengan syarat diagonal matriks akk ≠ 0, k = 1, 2, 3, …, n, maka

persamaan iterasinya dapat ditulis sebagai:

(2.11)

dengan k = 0, 1, 2, …

Langkah-langkah iterasi Gauss-Siedel:

1. Asumsikan x2 = x3 =…=xn = 0, sehingga dapat diperoleh x1 =

2. Hasil dari x1 dimasukkan kedalam persamaan berikutnya untuk

mendapatkan harga x2. Dimana x3 = x4 =….=xn = 0, sehingga

x2 =

3. Cara yang sama terus dilakukan hingga diperoleh nilai xn untuk

iterasi pertama.

A x b

1

11

b

a

2 21 1

11

1( )b a x

a

1 1 12 2 11

11

k ( k )( k ) n nb a x ... a x x

a

1 2 21 1 23 3 22

22

k ( k ) ( k )( k ) n nb a x a x ... a x x

a

1 1 1 2 2 1 1

k ( k ) ( k )( k ) n n n nn n

n

nn

b a x a x ... a x x

a


34/82


4. Iterasi berikutnya dilakukan berdasarkan harga yang diperoleh dari

iterasi sebelumnya. Proses iterasi dihentikan berdasarkan galat

relative:

(2.12)

untuk semua i = 1, 2, 3, …, n

Contoh 2.6:Selesaikan persamaan simultan berikut:

27 x + 6 y – z = 85 (1a) 6 x + 15 y + 2 z = 72 (1b)

x + y + 54 z = 110 (1c)

Penyelesaian:Persamaan diatas dapat diubah menjadi:

(2a)

(2b)

(2c)

Iterasi pertama:

1. Asumsikan y =z = 0, sehingga dari persamaan (2a) diperoleh:

2. Nilai x1 dimasukkan kedalam persamaan (2b) untuk mendapatkan y1

dengan menganggap z = 0.

3. Masukkan nilai x1 dan y1 kedalam persamaan (2c) untuk mendapatkan

nilai z1:

Iterasi kedua:

1

1

( k ) ( k )i i

( k )

i

x x

x

1(85 6 )

27 x y z

1(72 6 2 )

15 y x z

1(110 )

54 z x y

1

1(85) 3,15

27 x

1

1[72 6(3,15)] 3,54

15 y

1

1(110 3,15 3,54) 1,91

54 z

2

1(85 6(3,54) 1,91) 2,43

27 x

2

1[72 6(3,15) 2(1,91)] 3,57

15 y

2

1(110 2,43 3,57) 1,926

54 z


35/82


Iterasi selanjutnya ditabelkan sebagai berikut:

Tabel 2.1: Iterasi Gauss-Siedel

Iterasi x y z

1 3,15 3,54 1,91

2 2,43 2,57 1,926

3 2,423 3,574 1,926

4 2,425 3,573 1,926

5 2,425 3,573 1,926

Hasil dari perhitungan adalah:

X = 2,425 y = 3,573 z = 1,926


36/82


37/82

Pencocokan Kurva 33

BAB III. Pencocokan Kurva

III.1. Pendahuluan

Data dari suatu pengukuran atau pengamatan, ditampilkan dalam bentuk

diskrit. Artinya data tidak dapat ditampilkan kontinyu (terus-menerus tak

berhingga). Namun demikian data mengikuti pola tertentu (trend) yang

memiliki fungsi linier atau non-linier.

Masalah yang cukup sering muncul dengan data adalah menentukan nilai

antara titik-titik diskrit tersebut dengan tidak melakukan pengukuran lagi.

Salah satu solusinya adalah mencari fungsi yang mencocokkan (fit) titik-

titik data. Pendekatan seperti ini dinamakan pencocokan kurva (curvefitting).

Pencocokan kurva dibedakan atas dua metode:

1. Interpolasi.

Bila data diketahui memiliki ketelitian yang tinggi, maka pencocokan

kurva dibuat melalui setiap titik data tersebut. Metode seperti ini

disebut dengan interpolasi titik-titik data dengan sebuah fungsi.

Pencocokan kurva yang dilakukan dengan polinom sehingga

dinamakan interpolasi polinom.

Gambar 3.1: Kurva interpolasi

2. Regresi.

Data dari suatu hasil mengukuran biasanya bersifat fluktuatif atau galat

yang cukup berarti. Hal ini dapat disebabkan oleh kesalahan

pembacaan alat ukur, ketelitian system pengukuran atau sifat system

0

5

10

15

20

25

0 0,5 1 1,5


38/82

Pencocokan Kurva 34

yang diukur. Karena data tersebut tidak teliti, maka kurva yang

mencocokkan titik data itu tidak perlu melalui semua titik. Jadi kurva

yang dibentuk mengikuti trend dari sebaran data.

a b

Gambar 3.2: a. Pencocokan kurva linier

b. Pencocokan kurva non-linier

III.2. Interpolasi

Sering kita menghadapi suatu fakta harus menaksir harga diantara titik-

titik data yang telah tepat. Interpolasi adalah suatu cara yang dilakukan

untuk mendapatkan harga diantara titik-titik data tersebut. Berbagai

bentuk interpolasi dapat dilakukan antara lain dengan polynomial, fungsi

spline, fungsi rotasional, atau deret Fourier dan lain-lain. Interpolasi

polynomial merupakan satu diantara bahasan yang paling mendasardalam metode numerik karena banyak dari metode interpolasi didasari

pada interpolasi polynomial.

Gambar 3.3: Interpolasi Linier

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

0 2 4 6 8 10

p1(x)

x x1 x0

y0

y1

p(x)

f(x)


39/82

Pencocokan Kurva 35

III.2.1. Interpolasi Linear

Interpolasi linier adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis

lurus seperti pada gambar 3.3.. Misal diberikan dua buah titik, (x0, y0) dan

(x1, y1). Polinom yang menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaangaris lurus yang berbentuk:

(3.1)

Koefisien a0 dan a1 dicari dengan mensubtitusikan (x0, y0) dan (x1, y1)

kedalam persamaan 3.1, diperoleh persamaan linier:

Kemudian melakukan eleminasi, didapatkan:

(3.2)

dan(3.3)

Subtitusikan kedua persamaan diatas kedalam persamaan 3.1 untuk

mendapatkan:

(3.4)

Kemudian dengan manipulasi aljabar diubah menjadi:

(3.5)

Contoh 3.1:

Harga eksak ln (9,0) = 2,1972, ln (9,5) = 2,2513, Tentukan ln (9,2) dengan

interpolasi linier.

Penyelesaian:

Kesalahan ε = 2,2192 - 2,2188 = 0,0004.

III.2.2. Interpolasi Kuadratik

Pada contoh diatas kurva didekati dengan sebuah garis lurus, sehingga

taksiran harga interpolasi memiliki kemungkinan galat yang besar. Untuk

1 0 1( ) p x a a x

0 0 1 0

1 0 1 1

y a a x

y a a x

1 01

1 0

y ya x x

1 0 0 10

1 0

x y x ya

x x

1 01 0 0 1

1

1 0 1 0

( ) y y x x y x y

p x x x x x

1 01 0 0

1 0

( )( ) ( )

( )

y y p x y x x

x x

1

(2,2513 2,1972)(9, 2) 2,1972 (9, 2 9, 0) 2, 2188

(9,5 9,0)

p


40/82

Pencocokan Kurva 36

mengatasi hal tersebut, sebuah strategi untuk memperbaiki harga taksiran

dilakukan dengan menggunakan lengkungan kedalam garis yang

menghubungkan titik-titik data. Metode ini disebut dengan metode

interpolasi kuadratik.

Misal diberikan tiga buah titik data, (x0, y0), (x1, y1), dan (x2, y2). Polinom

yang menginterpolasi ketiga titik tersebut berbentuk:

(3.6)

Gambar 3.4: Interpolasi Kuadratik

Polinom p2 (x) ditentukan dengan cara berikut:- Subtitusikan (xi, yi) kedalam persamaan 3.6, I = 0, 1, 2. Dari sini

diperoleh tiga buah persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak

diketahui, yaitu a0, a1, a2

Hitung a0, a1, a2 dengan metode eliminasi.

Contoh 3.2:

Harga eksak ln (8,0) = 2,0794, ln (9,0) = 2,1972, ln (9,5) = 2,2513,

Tentukan ln (9,2) dengan interpolasi kuadratik.

y

x

(x1, y1)

(x2, y2)(x0, y0)

2

2 0 1 2( ) p x a a x a x

2

0 1 0 2 0 0

2

0 1 1 2 1 1

2

0 1 2 2 2 2

a a x a x y

a a x a x y

a a x a x y


41/82

Pencocokan Kurva 37

Penyelesaian:

dengan menggunakan metode eliminasi gauss menghasilkan a0 = 0,6762,

a1 = 0,2266, a2 = -0,0064. Maka polinom kuadratiknya adalah:

dengan memasukkan harga x = 9,2 diperoleh:

Gambar 3.5: Posisi p(x) untuk x = 9,2

III.2.3. Interpolasi Lagrange

Interpolasi polynomial dapat ditampilkan dalam berbagai bentuk sebagai

alternativ dalam menyelesaikan masalah numerik. Salah satunya adalah

interpolasi polynomial Lagrange.

Sebagaimana diketahui bahwa polinomial orde N yang melewati N+1 titik-

titik data dapat dituliskan dalam bentuk deret pangkat sebagai berikut:

(3.7)

dimana ai adalah koefisien yang tidak diketahui. Pencocokan (fitting) deret

pangkat terhadap N+1 titik-titik data memberikan sebuah bentuk

persamaan linier sebagai berikut:

2,05

2,1

2,15

2,2

2,25

2,3

7,5 8 8,5 9 9,5 10

(9.2 , 2.2192)

2

0 1 2

2

0 1 22

0 1 2

8, 0 8, 0 2, 0794

9, 0 9, 0 2,1972

9, 5 9, 5 2, 2513

a a a

a a a

a a a

2

2 ( ) 0, 6762 0, 2266 0, 0064 p x x x

2

0 1 2( ) N

N N P x a a x a x a x L


42/82

Pencocokan Kurva 38

(3.8)

Ide dasar dari formulasi Lagrange adalah perkalian faktor-faktor sebagai

berikut:

(3.9)

Fungsi adalah polynomial orde ke N dari x, dan menjadi nol pada

x = x1, x2, …,xN. Bila dibagi dengan , maka menghasilkan:

(3.10)

persamaan diatas akan menjadi satu untuk x = x0 dan nol untuk x = x1,

x = x2, … ,x = xN. Dalam bentuk yang sama kita dapat menuliskan

persamaan 3.8 menjadi:

(3.11)

dimana pembilang tidak termasuk (x - xi) dan penyebut tidak termasuk

(xi – xi). Bila kita melakukan perkalian , …, dengan y 0 ,

y 1,…, y N , berturut-turut dan menjumlahkan seluruhnya, maka sumasinya

adalah polinomial orde N dan sama dengan yi untuk masing-masing i = 0

hingga i = N.

Formula interpolasi Lagrange orde N dapat ditulis sebagai berikut:

(3.12)

0 1 2( ) ( )( )...( )

N V x x x x x x x

0V

0 ( )V x 0 0( )V x

1 20

0 1 0 2 0

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

N

N

x x x x x xV x

x x x x x x

0 1

0 1

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

N i

i i i N

x x x x x xV x

x x x x x x

0 ( ),V x 1( )V x ( ) N V x

1 20

0 1 0 2 0

0 21

1 0 1 2 1

0 1 1

0 1 1

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

N N

N

N

N

N N

N N N N

x x x x x xP x y

x x x x x x

x x x x x x y

x x x x x x

x x x x x x y

x x x x x x

2

0 0 1 0 2 0 0

2

1 0 1 1 2 1 1

2

0 1 2

N

N

N

N

N

N N N N N

y a a x a x a x

y a a x a x a x

y a a x a x a x

L

L

M

L

⋯⋯

⋯

⋮


43/82

Pencocokan Kurva 39

Contoh 3.3:

Densitas dari sodium untuk tiga keadaan temperature adalah sebagai

berikut:

Tabel 3.1:

i Temperatur (Ti) Densitas (i)

0 94 0C 929 kg/m3

1 205 902

2 371 860

Tentukan densitas untuk T = 251 0C dengan menggunakan interpolasi

Lagrange.

Penyelesaian:

Karena jumlah titik-titik data ada tiga, maka orde formula Lagrange adalahN = 2. Interpolasi Lagrange menjadi:

kg/m3

III.2.4. Interpolasi Maju Newton-Gregory

Interpolasi dengan menggunakan polinom Lagrange kurang disukai dalam

praktek karena alasan berikut:

1. Jumlah komputasi yang besar dalam sekali interpolasi.

2. Interpolasi untuk nilai x yang lain membutuhkan jumlah komputasi

yang sama karena tidak ada bagian komputasi sebelumnya yang

dapat digunakan.3. Bila jumlah data meningkat atau menurun, hasil komputasi

sebelumnya tidak dapat digunakan.

4. Evaluasi kesalahan tidak mudah.

Dengan polinom Newton, polinom yang dibentuk seblumnya dapat dipakai

untuk membuat polinom derajat yang lebih tinggi.

2

( 205)( 371)( ) (929)

(94 205)(94 371)

( 94)( 371)(902)

(205 94)(205 371)

( 94)( 205)(860)

(371 94)(371 205)

T T P T

T T

T T

2 (251) 890, 5P


44/82

Pencocokan Kurva 4

Kita asumsikan bahwa absis titik data memiliki jarak yang sama dengan

interval h. Untuk mengevaluasi formula interpolasi Newton, maka perlu

didefinisikan tabulasi selisih maju (forward difference) dengan:

D0f i = f i (orde ke nol selisih maju) (3.13)

D1f i = f i+1 - f i (orde ke satu selisih maju) (3.14)

D2f i = D

1f i+1 – D1f i (orde ke dua selisih maju) (3.15)

D3f i = D

2f i+1 – D2f i (orde ke tiga selisih maju) (3.16)

Dkf i = D

k-1f i+1 – Dk-1f i (orde ke k selisih maju) (3.17)

Apabila ditabulasikan, selisih maju adalah sebagai berikut:

Tabel 3.2: Selisih maju

i f iD f

i D f

i D f

i D f

i D f

i

0 f 0 D f 0 D f 0 D f 0 D f 0 D f 0

1 f 1 D f 1 D f 1 D f 1 D f 1

2 f 2 D f 2 D 2 i D f 2

3 f 3 D f 3 D f 3

4 f 4 D f 4

5 f 5

Kolom pertama adalah indeks dari titik data, kolom kedua adalah ordinat

data. Kolom ketiga adalah selisih orde pertama, yang diperoleh dari kolom

kedua. Kolom ke-empat adalah selisih orde kedua yang diperoleh dari

kolom sebelumnya dan seterusnya. Kemudian koefisien binomial adalah

sebagai beikut:

⋮

10s

1

ss

1( 1)

2 2!

ss s

1( 1)( 2)

3 3!

ss s s


45/82

Pencocokan Kurva 41

dimana s adalah koordinat lokal yang didefinisikan dengan s = (x – x 0)/h.

Formula interpolasi Newton yang melalui k+1 titik-titik data, f 0, f 1, f 2, …,f k

ditulis dengan:

∑ ∆ (3.18)Persamaan 3.18 adalah polynomial orde k karena adalah suatu

polynomial orde n, dan orde tertinggi adalah k. Persamaan 3.18 bila

dijadikan sama dengan f 0 , f 1 , f 2 , …,f k pada x = x0 , x1 , …,xk adalah sebagai

berikut:

s = 0:

s = 1:

s = 2:

⋮ s = k: (3.19)

Contoh 3.4:

Diperoleh data sebagai berikut:

Tabel 3.3: Data

i 0 1 2 3 4 5 6

x 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3

g(x) 0,9975 0,97763 0,93847 0,8812 0,80752 0,71962 0,62009

Tentukan nilai g(x) hingga orde ke 4 selisih maju untuk x = 0,23.

Penyelesaian:Buat tabulasi selisih maju sebagai berikut:

1( 1)( 2) ( 1)

!

ss s s s n

n n

L

s

n

0 0 0( ) ( 0)g x g x f

1 0 0 0 1( ) ( )g x g x h f f f

2

2 0 0 0 0 2( ) ( 2 ) 2g x g x h f f f f

2

0 0 0 0

( 1)( ) ( ) ...

2k k

k k g x g x kh f k f f f


46/82

Pencocokan Kurva 42

Tabel 3.4: Hasil selisih maju

i xi f i D1f i D

2f i D3f i D

4f i D5f i D

6f i

0 0,1 0,9975 -0,01987 -0,01929 0,00118 0,00052 -3E-05 -6E-05

1 0,3 0,97763 -0,03916 -0,01811 0,0017 0,00049 -9E-05

2 0,5 0,93847 -0,05727 -0,01641 0,00219 0,0004

3 0,7 0,8812 -0,07368 -0,01422 0,002594 0,9 0,80752 -0,0879 -0,01163

5 1,1 0,71962 -0,09953

6 1,3 0,62009

Gunakan formulasi interpolasi Newton:

Bila orde interpolasi ditingkatkan maka nilai hampiran akan mendekati nilai

sebenarnya, sebagaimana yang tampak pada gambar berikut:

Gambar 3.6: Perbandingan orde interpolasi Maju Newton-Gregory

0,58

0,63

0,68

0,73

0,78

0,83

0,88

0,93

0,98

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Mendekati nilai eksak

orde 6

orde 5

orde 4

orde 3

orde 2

orde 1

2 3 4

0 0 0

( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)( )

2! 3! 4!

s s s s s s s s sg x f f s f f f

0 0,23 0,1 0,650, 2

x xs

h

0,65(0, 65 1)(0, 23) 0,99750 0,01987 0,65 0,01929

2!

0, 65(0,65 1)(0,65 2)0,00118

3!

0,65(0, 65 1)(0, 65 2)(0, 65 3)0,00052

4!

g


47/82

Pencocokan Kurva 43

III.2.5. Interpolasi Mundur Newton-Gregory

Polinomial interpolasi mundur Newton-Gregory dibentuk dari tabel selisih

mundur. Polinom ini sering digunakan pada perhitungan nilai turunan

(derivative) secara numerik. Titik-titik yang digunakan berjarak sama yaitu:x0, x1, .., xn. Selisih mundur ditulis sebagai berikut:

Ñ 0f i = f i (orde ke nol selisih mundur)

Ñ 1f i = f i – f i -1 (orde ke satu selisih mundur)

Ñ 2f i = Ñ

1f i – Ñ 1f i -1 (orde ke dua selisih mundur)

Ñ 3f i = Ñ

2f i – Ñ 2f i -1 (orde ke tiga selisih mundur)

⋮ Ñ

kf i = Ñ k-1f i – Ñ

k-1f i -1 (orde ke k selisih mundur)

Kemudian koefisien binomial dalam interpolasi mundur Newton adalah

sebagai beikut:

⋮

1 1! 1 2⋯ 1

Interpolasi Newton mundur yang dicocokkan dengan titik-titk data pada x =

x j, x = x j - 1, x = x j – 2, …, dan x = x j – k ditulis sebagai berikut:

∑ , 0 (3.20)dimana s adalah koordinat local yang didefinisikan dengan s = (x –x j)/h

11

0

s

1

ss

1 1( 1)

2 2!

ss s

2 1( 1)( 2)

3 3!

ss s s


48/82

Pencocokan Kurva 44

contoh 3.5:

Dari contoh, tentukan nilai g(x) dengan interpolasi mundur Newton pada

titik-titik data i = 0, 1, 2 untuk x = 0,23.

Penyelesaian:

Tabel 3.5: Hasil selisih mundur

i xi f i Ñ1f i Ñ

2f i Ñ 3f i Ñ

4f i Ñ 5f i Ñ

6f i

0 0,1 0,9975

1 0,3 0,97763 -0,01987

2 0,5 0,93847 -0,03916 -0,01929

3 0,7 0,8812 -0,05727 -0,01811 0,00118

4 0,9 0,80752 -0,07368 -0,01641 0,0017 0,00052

5 1,1 0,71962 -0,0879 -0,01422 0,00219 0,00049 -3E-05

6 1,3 0,62009 -0,09953 -0,01163 0,00259 0,0004 -9E-05 -6E-05

∑ 2 0

dimana:

III.2.6. Polinom Newton

Interpolasi Newton-gregory yang dibahas sebelumnya dibatasi pada titik-

titik data yang berjarak sama. Ada kalanya dibutuhkan interpolasi

terhadap titik data yang berjarak tidak sama. Interpolasi Newton dapat

digunakan untuk menghadapi kebutuhan yang seperti itu.

Tinjau kembali persamaan 3.5:

Bentuk persamaan ini diubah menjadi:

(3.21)

dimana:

a0 = y0 = f(x0)

2

2 2 6

1( 1)

2 f s f s s f

2( ) / (0, 23 0, 5) / 0, 2 -1, 35s x x h

0,01163(0, 23) 0,62009 0,09953(-1,35) (-1,35)(-1,35 1)

2g

1 01 0 0

1 0

( )( ) ( )

( )

y y p x y x x

x x

1 0 1 0( ) ( ) p x a a x x


49/82

Pencocokan Kurva 45

dan

(3.22)

Persamaan 3.22 ini merupakan bentuk selisih terbagi (devided difference).

Berdasarkan bentuk polinom linier persamaan 3.5, maka persamaan

polinom kuadratik dapat ditulis menjadi:

(3.23)

(3.24)

Dan seterusnya polinom Newton dapat dibentuk dengan cara rekursif

sebagai berikut: …

… ⋯

Nilai konstanta a0, a1, a2, …, an merupakan nilai selisih terbagi, dengan

nilai masing-masing:

dimana:

1 0 1 01

1 0 1 0

( ) ( ) y y f x f xa

x x x x

2 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( ) p x a a x x a x x x x

2 1 2 0 1( ) ( ) ( )( ) p x p x a x x x x

3 2 3 0 1 2

0 1 0 2 0 1 3 0 1 2

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )( )

p x p x a x x x x x x

a a x x a x x x x a x x x x x x

0 0

1 1 0

2 2 1 0

1 1 0

,

, ,

, , , ,n n n

a f x

a f x x

a f x x x

a f x x x x

M

L

⋮

1 1 1 2 0

1 1 0

0

( ) ( ),

, ,, ,

, , , ,, , ,

i j

i j

i j

i j j k

i j k

i k

n n n n

n n

n

f x f x f x x

x x

f x x f x x f x x x x x

f x x x f x x x f x x x x

x x

M

L LL

⋮

⋯ ⋯ ⋯


50/82

Pencocokan Kurva 46

Dengan demikian polinom Newton lengkap dapat ditulis sebagai berikut:

Nilai selisih terbagi dapat dibentuk dengan menggunakan table yang

disebut dengan table selisih terbagi, sebagai berikut:

Tabel 3.5: Selisih terbagi

,,,⋯, ,,⋯ ,,,⋯,

Contoh 3.6: Bentuk selisih terbagi dari data berikut:

Tabel 3.6: Data

i xi f i

0 0,1 0,99750

1 0,2 0,99002

2 0,4 0,96040

3 0,7 0,88120

4 1,0 0,76520

5 1,2 0,67113

6 1,3 0,62009

Kemudian tuliskan rumus interpolasi menggunakan selisih terbagi pada

titik i = 0 hingga 6.

1 0

0,1

1 0

f f f

x x

1,2 0,1

0,1,2

2 0

f f f

x x

0 1 0 0 2 1 0 0 1

1 1 0 0 1 1

( ) ( ) , ( ) , , ( )( )

, , , ( )( ) ( )

n

n n n

p x f x f x x x x f x x x x x x x

f x x x x x x x x x x

M

L L⋯ ⋯

x0 f 0

x1 f 1

x2 f 2

xn f n

2 11,2

2 1

f f f x x

2,3 1,2

1,2,3

3 1

f f f x x

3 22,3

3 2

f f f

x x

3,4 2,3

2,3,4

4 2

f f f

x x

1, 1

1

n nn n

n n

f f f

x x


51/82

Pencocokan Kurva 47

Penyelesaian:

Tabel 3.7: Hasil selisih terbagi

i xi f i f i, i+1 f i,…,i+2 f i,…,i+3 f i,…,i+4 f i,…,i+5 f i,…,i+6

0 0,1 0,9975 -0,0748 -0,24433 0,02089 0,01478 -0,00239 0,00129

1 0,2 0,99002 -0,1481 -0,2318 0,03419 0,01215 -0,00085

2 0,4 0,9604 -0,264 -0,20444 0,04635 0,01122

3 0,7 0,8812 -0,38667 -0,16737 0,05644

4 1 0,7652 -0,47035 -0,1335

5 1,2 0,67113 -0,5104

6 1,3 0,62009

III.3. Regresi

Untuk mencocokan kurva terhadap titik-titik data yang memiliki ketelitian

yang rendah dapat dilakukan dengan metode regresi. Kurva yang

terbentuk tidak melewati titik-titik data secara persis tetapi mengikuti

kecendrungan dari sebaran data.

Misalkan kita menginginkan untuk mendapatkan fungsi linier yangmencocoki data pada tabel 3.1 dengan deviasi terhadap titik-titik data

yang minimal. Fungsi linier yang diperoleh dalam metode ini disebut

regresi linier.

Tabel 3.8 Data dari suatupengukuran

i x y

1 0,1 0,61

2 0,2 0,92

3 0,3 0,99

4 0,4 1,52

5 0,5 1,47

6 0,6 2,03

0,1,...,5 ( ) 0,9975 0,0748( 0,1) 0,24433( 0,1)( 0,2)

0,02089( 0,1)( 0,2)( 0,4)

0,01478( 0,1)( 0,2)( 0,4)( 0,7)

0,00239( 0,1)( 0, 2)( 0, 4)( 0, 7)( 1)

0,00129( 0,1)( 0,2)( 0,4)( 0,7)(

p x x x x

x x x

x x x x

x x x x x

x x x x x

1)( 1,2) x


52/82

Pencocokan Kurva 48

Gambar 3.7 : Kurva regresi dari data hasil pengukuran

Fungsi linier dapat ditulis dengan:

(3.25)

yang mencocokan data sedemikian hingga deviasinya:(3.26)

Total kuadrat deviasi persamaan diatas adalah:

(3.27)

Agar minimum, maka:

(3.28)

(3.29)setelah dibagi dengan -2 dapat ditulis dalam bentuk matrik:

(3.30)

dimana:

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8

( ) ( ) i i ir y f x y a bx

2 2

1

( ) ( )

n n

i i

i i

R r y a bx

2 ( ) 0i i

R y a bx

a

2 ( ) 0i i i

R x y a bx

b

1,1 1,2 1

2,1 2,2 2

A A Z a

A A Z b

1,1

1,2

1

2,1

2

2,2

2

( )

i

i

i

i

i i

A n

A x

Z y

A x

A x

Z x y

( ) f x a bx


53/82

Pencocokan Kurva 49

(3.31)

dimana:

Contoh 3.7:

Tentukan regresi linier untuk data pada table berikut

i xi yi xi2

xiyi

1 0,1 0,61 0,01 0,061

2 0,4 0,92 0,16 0,368

3 0,5 0,99 0,25 0,495

4 0,7 1,52 0,49 1,064

5 0,7 1,47 0,49 1,0296 0,9 2,03 0,81 1,827

Total 3,3 7,54 2,21 4,844

A1,1 = n = 6, A1,2 = 3,3 Z 1 = 7,54

A2,1 = 3,3, A2,2 = 2,21 Z 1 = 4,844

Dengan menggunakan persamaan 3.33:

solusinya adalah:

a = 0,2862 b = 1,7645

regresinya linier adalah:

g(x) = 0,2862 + 1,7645 x

Titik-titik data diplot pada gambar berikut:

Gambar 3.8: Pencocokan kurva data tabel 3.1

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

y = 0,2862 + 1,7645x

2,2 1 2,1 2

1,1 2 2,1 1

A Z A Z a

d

A Z A Z b

d

1,1 2,2 1,2 2 ,1d A A A A

6 3,3 7,54

3,3 2, 21 4,844

a

b


54/82

Pencocokan Kurva 5

Deviasi dari pencocokan kurva terlihat pada table berikut:

i x y y = a + bx Deviasi

1 0,1 0,61 0,46265 0,14735

2 0,4 0,92 0,992 -0,072

3 0,5 0,99 1,16845 -0,17845

4 0,7 1,52 1,52135 -0,001355 0,7 1,47 1,52135 -0,05135

6 0,9 2,03 1,87425 0,15575

Metode regresi linier dapat diterapkan untuk pencocokan fungsi non-linier.

Misalkan kita akan mencocokkan data dengan fungsi:

(3.32)

dimana C dan b adalah konstanta yang akan dicari.

Dengan mengubah persamaan diatas kedalam bentuk logaritmik, maka:

ln(y) = ln(C) + b ln(x)

dengan definisi:

Y = ln(y) X = ln(x) a = ln(C)

Persamaan regresi liniernya adalah:

Y = a + bx

Lakukan pengubahan (xi, yi) menjadi (ln(xi), ln(xi)), lalu hitung a dan b

dengan cara regresi linier. Dari persamaan a = ln(C), kita menghitung nilai:

C = ea

Subtitusikan nilai b dan C kedalam persamaan pangkat y = Cxb

Contoh 3.8:

Cocokkan data berikut dengan fungsi y = Cxb

i xi yi1 0,15 4,4964

2 0,4 5,1284

3 0,6 5,6931

4 1,01 6,2884

5 1,5 7,0989

6 2,2 7,5507

7 2,4 7,5106

8 2,7 8,0756

9 2,9 7,8708

10 3,5 8,2403

11 3,8 8,5303

12 4,4 8,7394

b y Cx


55/82

Pencocokan Kurva 51

13 4,6 8,9981

14 5,1 9,1450

15 6,6 9,5070

16 7,6 9,9115

Gambar 3.9: Titik-titik data

Penyelesaian:

Konversikan xi, yi kedalam ln(xi), ln(yi) sebagai berikut:

i ln(xi) ln(yi)

1 -1,8971 1,5033

2 -0,9163 1,6348

3 -0,5108 1,7393

4 0,0100 1,8387

5 0,4055 1,9599

6 0,7885 2,0216

7 0,8755 2,0163

8 0,9933 2,0888

9 1,0647 2,063210 1,2528 2,1090

11 1,3350 2,1436

12 1,4816 2,1678

13 1,5261 2,1970

14 1,6292 2,2132

15 1,8871 2,2520

16 2,0281 2,2937

Dengan metode regresi linier, kita dapatkan:

Y = 1,8588 + 0,2093 x

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8


56/82

Pencocokan Kurva 52

Gambar 3.10: Titik-titik data dan pencocokan kurva

atau

ln(C) = 1,8588, b = 0,2093

Oleh karena itu kurva pada koordinat x-y menjadi:

Y(x) = (6,4160)x0,2093

dimana: C = e1,8588 = 6,4160

Untuk melakukan linierisasi terhadap fungsi yang lain dapat dilakukan

sebagaimana contoh berikut:

Lakukan linierisasi sebagai berikut:

definisikan:

Y = 1/y

a = 1/C

b = d/C

X = 1/x

Persamaan regresi liniernya:

Y = a + bx

Lakukan pengubahan (xi, yi) menjadi (1/(xi), 1/(xi)), lalu hitung a dan b

dengan cara regresi linier.

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

2,2

-2 -1 0 1 2

ln(Y)

ln(x)

Y = 1,8588 + 0,2093x

Cx y

d x

1 1 1d

y C x C


57/82

Pencocokan Kurva 53

Dari persamaan a = 1/C, kita dapat menghitung nilai C = 1/a.

Dari persamaan b = d/C, kita dapat menghitung d = bC

Subtitusikan d dan C kedalam persamaan y = Cx/(d+x).


58/82

Pencocokan Kurva 54

Tugas:

1. Diberikan pasangan nilai x dan f(x), sebagai berikut:

x 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3

f(x) 0,003 0,067 0,148 0,248 0,370 0,518 0,697

a. Berapa derajat polinomyang dengan tepat melalui ketujuh titik data

tersebut.

b. Berapa derajat polinom yang terbaik untuk menginterpolasi ketujuh

titik data tersebut.

c. Dengan derajqt terbaik yang anda nyatakan dalam jawaban (b),

tentukan nilai fungsi di x = 0,58 dengan polinom interpolasi:

i. Lagrange

ii. Newton

iii. Newton-Gregory maju

iv. Newton-Gregory mundur

2. Tentukan fungsi linier yang mencocokkan titik-titik data berikut dengan

metode regresi:

x 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

y 2,0 3,2 4,1 4,9 5,9

3. Diberikan titik-titik data sebagai berikut:

x 1 2 3 4 5

y 0,6 0,9 4,3 7,6 12,6

a. Cocokkan titik-titik di tabel masing-masin dengan fungsi f(x) = Cebx

dan f(x) = Cxb.

b. Hitung deviasi = yi – f(xi)


59/82


60/82

Integral 56

Luas trapesium ke-i (Li) adalah :

(4.1)

Dan luas keseluruhan dihitung dengan menjumlahkan luas dari semua

bagian trapesium.

(4.2)

sehingga diperoleh :(4.3)

dimana:

h = (b - a)/N

Contoh 4.1:

Sebuah kurva yang diputar terhadap sumbu x seperti pada gambarmerupakan fungsi dari f(x) = 1 + (x/2)2 , 0OxO2.Hitung volume dengan

menggunakan metode trapesium untuk N =2, 4 , 8, 16, 32, 64 dan 128.

Penyelesaian:

Gambar 4.3: Volume yang terbentuk dari rotasi kurva

-14

0

14

0 2

iiii

iiii

x f f L

atau

x x f x f L

.2

1

.

2

1

1

1

1

0

( )b

ia

i

I f x L

1

1 0 1 2 1

0

1( ) 2 2 ... 2

2 2

nb

i i n na

i

h I f x h f f f f f f f


61/82

Integral 57

Dimana

Perhitungan untuk N = 2 dan 4 adalah sebagai berikut:

N = 2: h = 2/2 = 1

N = 4: h = 2/4 = 0,5

Hasil perhitungan untuk nilai N berikutnya ditabelkan sebagai berikut:

N h Ih Eh

2 1 12,7627 -1,0341

4 0,5 11,9895 -0,2609

8 0,25 11,7940 -0,0654

16 0,125 11,7949 -0,0163

32 0,0625 11,7326 -0,0040

64 0,03125 11,7296 -0,0010

128 0,015625 11,7298 -0,0002

Nilai exact = 11,7286

IV.2. Metode Simpson 1/3

Metode integrasi Simpson merupakan pengembangan metode integrasi

trapezoida, hanya saja daerah pembaginya bukan berupa trapesium tetapi

berupa dua buah trapesium dengan menggunakan pembobot berat di titik

tengahnya seperti telihat pada gambar berikut ini. Atau dengan kata lain

metode ini adalah metode rata-rata dengan pembobot kuadrat.

2

0

( ) I f x dx

2

( ) 12

x f x

1

(0) 2 (1) (2) 0, 5 1 2(1, 5625) 42

12,7627

I f f f

;

0,5

(0) 2 ( 0, 5) 2 (1) 2 (1, 5) (2) 11, 98952

I f f f f f ;


62/82

Integral 58

Gambar 4.4: Dua buah trapesium dengan pembobot berat di titik tengah

Bila menggunakan trapesium luas bangun di atas adalah :

(4.4)

Pemakaian aturan simpson dimana bobot fi sebagai titik tengah dikalikan

dengan 2 untuk menghitung luas bangun diatas dapat dituliskan dengan:

(4.5)

Perhatikan gambar berikut:

Gambar 4.5: Segmen trapesium dengan pembobot berat di titik tengah

Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi

fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

(4.6)

atau dapat dituliskan dengan:

xi xi+1 xi-1

f(xi+1)

f(xi-1)

f(xi)

a b

x0 x1 x2 x3 xnxn-1xn-2x4 x5

…f(x0)

f(x1)f(x2)

f(xn-1)f(xn)

1 1 1 122 2 2

i i i i i i i

h h h I f f f f f f f

1 1 1 12 2 43 3 3

i i i i i i i

h h h I f f f f f f f

0 1 1 2 2 3 3 4

2 1 1

2 2 2 2 ...3 3 3 3

2 23 3

n n n n

h h h h I f f f f f f f f

h h f f f f


63/82

Integral 59

4∑ 2 ∑ (4.7)

Contoh 4.2:

Hitung dengan h=0.1

Dengan menggunakan tabel diperoleh :

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

f(x) 0 0,002 0,016 0,054 0,128 0,25 0,432 0,686 1,024 1,458 2

Dan aturan simpson dapat dituliskan dengan :

Dibandingkan dengan hasil perhitungan kalkulus, maka kesalahannya

sangat kecil.

IV.3. Metode Simpson 3/8

Metode Simpson 3/8 diperoleh dengan mengintegralkan formula

interpolasi polinomial orde ketiga. Batas [a, b] dibagi kedalam 3 bagian

dan ditulis dengan:

dimana:

Penggunaan metode Simpson mensyaratkan jumlah selang n harus

kelipatan 3.

1

0

32 dx x

5,015

3

1,0

2)458,1)(4()024,1)(2(...)128,0)(2()054,0)(4()016,0)(2()002,0)(4(03

1,0

L

1 3

0 1 21 3,6,9

3,6,9,...

3( ) [ 3 3 ]

8

n nb

na

i i

i

I f x dx h f f f f

( ) / , ( )n i

h b a n f f a ih


64/82

Integral 6

Contoh 4.3:

Dari contoh 4.2, gunakan metode Simpson 3/8.

Penyelesaian:

N = 3:

Interval h = 2/3

N = 9Interval h = 2/9

IV.4. Metode Gauss

Metode integrasi Gauss merupakan metode yang tidak menggunakan

pembagian area yang banyak, tetapi memanfaatkan titik berat dan

pembobot integrasi. Metode ini secara komputasi memiliki banyak

keuntungan karena mempunyai kecepatan yang tinggi hal ini ditunjukkan

dengan jumlah pembaginya yang kecil dan dengan jumlah pembagi yang

relatif kecil mempunyai kesalahan yang sama dengan metode lain dengan

jumlah pembagi yang besar. Metode integrasi Gauss dapat dijelaskan

sebagai berikut:

2 82 43 3 33

2 2 223

3( )[ (0) 3 ( ) 3 ( ) ( )]

8

3( ) [1 3(1,111) 3(1,444) (2) ]

8

11,548

I f f f f

2 6 82 49 9 9 99

16 189 9

2 2 223

2 2

3( )[ (0) 3 ( ) 3 ( ) 2 ( ) 3 ( )

8

3 ( ) ( )]

3( ) [1 3(1,012) 3(1,049) 2(1,111) 3 (1,198)

8

3(1,790) (2) ]

11,723

I f f f f f

f f

f

L

L


65/82

Integral 61

Untuk luas daerah ke i, mempunyai luas:

Pertama yang harus dilakukan adalah mengubah range x=[xi-1,xi]=[a,b]

pada integrasi di atas menjadi u=[-1,1] dengan menggunakan:

atau

sehingga bentuk integral dapat dituliskan menjadi:

dimana:

Dari bentuk ini, dapat diambil sejumlah titik pendekatan yang digunakan

sebagai titik acuan dalam integrasi kuadratur gauss sebagai berikut:

untuk menentukan nilai Li dapat digunakan persamaan polinom Legendre:

Dan untuk menentukan nilai Ai digunakan pembobot sebagai berikut:

IV.4.1. Integrasi Kuadratur Gauss Dengan Pendekatan 2 TitikMetode ini menggunakan formulasi integrasi:

Untuk menghasilkan metode ini diambil n = 2 pada persamaan polinom

Legendre, sehingga diperoleh:

i

i

x

x

i dx x f L

1

)(

ab

ab xu

)(2 )(2

1

2

1abuab x

1

1

)( duug Li

)()()(21)( 2

121 abuab f abug

1

1 1

)()(n

iii g Aduug

)()1()(121

)(

)(

1)(

21

1

0

uPmuuPmm

uP

uuP

uP

mmm

2'2 )()1(2

ini

i

P A

)()()( 1100

1

1

g Ag Aduug


66/82

Integral 62

Akar-akar dari persamaan polinomial di atas adalah jadi diperoleh:

dan

Nilai A0 dan A1 dapat dicari dengan:

dan

Sehingga model dari integrasi kuadratur gauss dengan pendekatan 2 titik

dapat dituliskan dengan:

Contoh 4.4:Hitung integral :

Pertama yang harus dilakukan adalah menghitung u, dengan:

dan

Dengan demikian diperoleh fungsi g(u):

2

1

2

31.1.14

2

1)(

2

2 uuuuP

1

3

0

1

3

1

1

3

0

21

11 (3)

3

A

1

2

111 (3)3

A

3

1

3

1)(

1

1

ggduug

12

0 I x dx

diktat an um

Documents