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Diego Orlando
Absorsor Pendular para Controle de Vibrações de Torres Esbeltas
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Concentração: Estruturas.
Orientador: Paulo Batista Gonçalves
Rio de Janeiro, março de 2006
Diego Orlando
Absorsor Pendular para Controle de Vibrações de Torres Esbeltas
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Paulo Batista Gonçalves Presidente/Orientador
Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Prof. Carlos Magluta Universidade Federal do Rio de Janeiro - COPPE-UFRJ
Prof. João Luis Pascal Roehl Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Prof. Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio
Prof. José Eugênio Leal Coordenador(a) Setorial do Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 03 de março de 2006
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.
Diego Orlando Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidade de Passo Fundo (UPF), em janeiro de 2004. Participou de projetos de iniciação científica no Laboratório de Ensaios em Sistemas Estruturais (LESE-UPF). Ingressou no curso de mestrado em Engenharia Civil da PUC-Rio em março de 2004, atuando na área de Dinâmica Estrutural e Controle de Vibrações.
Ficha Catalográfica
CDD: 624
Orlando, Diego Absorsor pendular para controle de vibrações de torres esbeltas / Diego Orlando ; orientador: Paulo Batista Gonçalves. – Rio de Janeiro : PUC, Departamento de Engenharia Civil, 2006. 168 f. : il. ; 30 cm Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil. Inclui referências bibliográficas. 1. Engenharia civil – Teses. 2. Torres esbeltas. 3. Absorsor dinâmico de vibrações. 4. Absorsor pendular. 5. Controle de vibrações. 6. Oscilações não-lineares. 7. Estabilidade dinâmica. I. Gonçalves, Paulo Batista. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.
Dedico este trabalho como minha mais saudosa homenagem aos meus pais, Wilson Orlando e Melânia Maria Orlando, por todo amor, carinho e auxílio no
decorrer da minha vida. Para meu irmão Thiago Orlando, pela amizade e por todas as oportunidades de
brincadeira e descontração.
Agradecimentos
Agradeço a vida, e àqueles que passam fazendo-a valer a pena.
Ao Professor Paulo Batista Gonçalves pelas conversas, pelo auxílio constante na
realização deste trabalho, pela paciência e por sua amizade.
Aos professores do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio pelos
ensinamentos transmitidos.
Aos professores que participaram da Comissão examinadora.
A meus familiares que sempre acreditaram em mim, em especial a minhas avós e
a meus avôs (Fidelis Orlando e Bonifácio Popiolek, in memoriam). A minha “Tia
Ninha”, que ainda está viva em minha memória.
Aos meus amigos de uma vida inteira, em especial Eduardo de Mattos, Erblai de
Mattos Junior, Cleiton Batista Silverio, Henrique Marek, André Guimarães,
Eduardo Zimmer, Maikel Orlando, Célio França, Taiana França, Denise Marek,
Carla Dall’Agnol, Osmar Cervieri e Jaime Giolo.
Aos Professores, Engenheiros e amigos Zacarias Chamberlain e Gilnei Artur
Drehmer pelo constante apoio e incentivo.
Aos colegas e amigos que colaboraram nessa Dissertação em especial Frederico
Martins, André Muller, Eduardo Pasquetti, Walter Menezes e Igor Otiniano.
Aos grandes amigos Julio e Gisele Holtz, Patrícia Cunha, Fernando Ramires e
Alexandre Del Savio obrigado pelo incentivo e apoio.
Aos colegas, companheiros e amigos de festa e descontração Adriano, Thiago
Pecin, Ygor, Christiano, Tiago Proto e Adenilson.
Aos antigos companheiros de republica Tinho, Zé, Fred, Pasquetti e Magnus, por
terem me aturado tanto tempo e aos novos colegas de apartamento Thiago, Erblai
e Luis Gustavo.
A Cnpq e a Capes pelo apoio financeiro, sem os quais este trabalho não poderia
ser realizado.
A PUC-Rio pela complementação da bolsa através do programa de bolsa de
rendimento acadêmico.
Por fim, a todos aqueles que contribuíram de uma forma ou outra na realização
desta Dissertação.
Resumo
Orlando, Diego; Gonçalves, Paulo Batista. Absorsor Pendular para Controle de Vibrações de Torres Esbeltas. Rio de Janeiro, 2006. 168p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
Nesse trabalho, estuda-se o desempenho de um absorsor pendular no
controle de vibrações de torres altas e esbeltas, ocasionadas por carregamentos
dinâmicos, tais como, por exemplo, cargas ambientais. Em virtude da
possibilidade de oscilações de grande amplitude, considera-se na modelagem do
problema a não-linearidade do pêndulo. O principal objetivo é estudar o
comportamento do sistema torre-pêndulo, submetido a um carregamento
harmônico, no regime não-linear, abordando-se aspectos gerais ligados à
estabilidade dinâmica. Apresenta-se, inicialmente, a formulação necessária para
obter o funcional de energia do sistema coluna-pêndulo, tanto para o caso linear
quanto para o caso não-linear, do qual derivam-se as equações diferenciais
parciais de movimento. A partir das equações lineares, obtêm-se as freqüências
naturais e modos de vibração para alguns casos relevantes de coluna. A seguir,
com base na análise modal do sistema coluna-pêndulo, deriva-se um modelo de
dois graus de liberdade capaz de descrever com precisão o comportamento do
sistema na vizinhança da freqüência fundamental da coluna, do qual obtêm-se as
equações de movimento e as equações de estado não-lineares. Uma análise
paramétrica detalhada das oscilações não-lineares do sistema coluna-pêndulo
demonstra que o absorsor pendular passivo pode reduzir ou amplificar a resposta
da coluna. No estudo da influência da não-linearidade geométrica do pêndulo,
verifica-se a importância dessa na resposta do sistema, evidenciando que a não-
linearidade não pode ser desprezada nessa classe de problema. Por fim, com base
nos resultados, propõe-se um absorsor pendular híbrido. Os estudos revelam que
este controle é mais eficiente que o passivo e que não requer grande gasto de
energia.
Palavras-chave Torres esbeltas, absorsor dinâmico de vibrações, absorsor pendular, controle
de vibrações, oscilações não-lineares, estabilidade dinâmica.
Abstract
Orlando, Diego; Gonçalves, Paulo Batista. Vibration Control of Slender Towers with a Pendulum Absorber. Rio de Janeiro, 2006. 168p. MSc. Dissertation - Department of Civil Engineering, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
In the present work the performance of a pendulum absorber in the vibration
control of tall and slender towers, caused by dynamic loads, such as,
environmental loads, is studied in detail. Due to the possibility of large amplitude
oscillations, the non-linearity of the pendulum is considered in the modeling of
the problem. The main objective of this research is to study the behavior of the
tower-pendulum system, submitted to a harmonic load, in the nonlinear regimen,
with emphasis on general aspects related to its dynamic stability. It is presented,
initially, the formulation necessary for the derivation of the system’s energy
functional, both for the linear and the nonlinear cases, from which the partial
differential equations of motion are derived and the vibration frequencies and
related vibration modes are obtained. Then, based on the modal analysis of the
column-pendulum system, a two degrees of freedom model, capable of describing
with precision the behavior of the system in the neighborhood of the fundamental
frequency of the column is derived, from which the equations of motion and the
nonlinear state-space equations are obtained. A detailed parametric analysis of the
nonlinear oscillations of the system is carried out. It shows that the pendulum may
reduce or amplify the response of the column. The results show a marked
influence of the geometric not-linearity of the pendulum on the response of the
system, showing that its not-linearity cannot be neglected in this class of
problems. Finally, based on the results, a hybrid control approach is proposed.
These studies show that this control strategy is more efficient than the passive
control alone and that it does not require a large amount of energy.
Keywords Slender towers, dynamic vibration absorber, pendulum absorber, vibration
control, nonlinear oscillations, dynamic stability.
Sumário
1 Introdução 27 1.1. Motivação 32
1.2. Objetivos 33
1.3. Organização do Trabalho 33
2 Formulação do Problema 35
2.1. Funcional de Energia do Sistema – Formulação Não-Linear 36
2.1.1. Energia Potencial Total da Coluna 37
2.1.2. Energia Cinética da Coluna 42
2.1.3. Amortecimento da Coluna 43
2.1.4. Força Harmônica 44
2.1.5. Funcional de Energia da Coluna – Formulação Não-Linear 44
2.1.6. Funcional de Energia do Pêndulo – Formulação Não-Linear 44
2.1.7. Montagem do Funcional de Energia do Sistema – Formulação
Não-Linear 47
2.2. Funcional de Energia do Sistema – Coluna Linear 47
2.3. Dedução das Equações Diferenciais de Movimento 48
3 Freqüências Naturais e Modos de Vibração da Coluna 50
3.1. Coluna de Seção Constante sem Força Axial 50
3.1.1. Estudo das Freqüências Naturais 57
3.1.2. Estudo dos Modos de Vibração 60
3.2. Coluna de Seção Variável com Força Axial 62
3.2.1. Avaliação da Força Axial 66
3.2.2. Exemplo Numérico 67
3.2.2.1. Coluna sem o Efeito do Peso Próprio 69
3.2.2.2. Coluna com o Efeito do Peso Próprio 69
4 Solução do Sistema Coluna-Pêndulo 71
4.1. Solução Modal 71
4.2. Exemplo 72
4.3. Justificativa para o Modelo de dois Graus de Liberdade 76
4.3.1. Equações Não-Lineares do Modelo de Dois Graus de
Liberdade 76
4.4. Correlação com o Modelo Discreto de Dois Graus de
Liberdade 76
4.5. Relação Freqüência-Amplitude da Coluna com Pêndulo
Absorsor 79
5 Estudo Paramétrico do Sistema Coluna-Pêndulo 87
5.1. Influência da Freqüência da Excitação no Comportamento
do Sistema 87
5.2. Influência da Freqüência do Pêndulo no Comportamento
do Sistema 97
5.3. Influência das Condições Iniciais do Pêndulo Absorsor no
Comportamento do Sistema 100
5.3.1. Resposta do Sistema a um Carregamento Senoidal 100
5.3.2. Comportamento do Sistema sob um Pulso Senoidal 104
5.3.3. Comportamento do Sistema sob um Pulso Retangular 105
5.3.4. Comportamento do Sistema para uma Velocidade Inicial 106
5.4. Influência do Amortecimento do Pêndulo no Comportamento
do Sistema 107
5.5. Influência de uma Mola com Rigidez Linear 108
5.5.1. Variação da Rigidez Linear 109
5.5.2. Efeito de uma Mola Não-Linear 111
6 Resposta do Sistema Não-Linear 114
6.1. Obtenção das Equações Algébricas Não-Lineares 114
6.2. Resultados Numéricos 117
6.2.1. Exemplo 1 118
6.2.2. Exemplo 2 127
7 Absorsor Dinâmico de Vibrações Híbrido 139
7.1. Comportamento do Sistema em Função dos Parâmetros
da Força de Controle 142
7.1.1. Influência do parâmetro f 143
7.1.2. Influência do parâmetro β 147
7.2. Comportamento do Sistema Considerando Defasagem
no Cálculo da Força de Controle 151
7.3. Comportamento do Sistema para um Pulso Retangular 155
7.4. Comportamento do Sistema para um Pulso com Amplitude
Variável 157
8 Conclusões e Sugestões 160
8.1. Conclusões 160
8.2. Sugestões 161
9 Referências Bibliográficas 162
Lista de Figuras
Figura 1.1: Torres de telecomunicações. 27
Figura 1.2: Desprendimento de vórtices (Techet, 2005). 28
Figura 2.1: Coluna em estudo. 35
Figura 2.2: Deslocamento transversal e encurtamento da coluna. 38
Figura 2.3: Elemento infinitesimal da linha neutra da viga. 38
Figura 2.4: Parâmetros do pêndulo. 45
Figura 3.1: Coluna de seção constante sem força axial. 51
Figura 3.2: Modos de vibração da coluna. 54
Figura 3.3: Parcelas da condição de continuidade do esforço
cortante. 55
Figura 3.4: Variação da primeira freqüência em função de α e υ . 58
Figura 3.5: Variação da segunda freqüência em função de α e υ . 59
Figura 3.6: Variação da terceira freqüência em função de α e υ . 59
Figura 3.7: Comparação entre as três primeiras freqüências
quando 1=υ . 60
Figura 3.8: Forma do primeiro modo de vibração variando-se υ . 61
Figura 3.9: Forma do segundo modo de vibração variando-se υ . 61
Figura 3.10: Forma do terceiro modo de vibração variando-se υ . 62
Figura 3.11: Coluna de seção variável com força axial. 63
Figura 3.12: Variação da força axial (Li et al., 2000). 67
Figura 3.13: Coluna do exemplo numérico. 68
Figura 3.14: Modos de vibração da coluna sem o efeito do
peso próprio. 69
Figura 3.15: Modos de vibração da coluna com o efeito do
peso próprio. 70
Figura 4.1: Exemplo em estudo. 72
Figura 4.2: Modos de vibração do sistema coluna-pêndulo. 75
Figura 4.3: Sistema discreto massa-pêndulo. 77
Figura 4.4: Comportamento do fator de amplificação de
deslocamento da coluna. 82
Figura 4.5: Comportamento do fator de amplificação da rotação
no topo da coluna. 82
Figura 4.6: Comportamento do fator de amplificação de
deslocamento da coluna para o ajuste ótimo. 85
Figura 4.7: Comportamento do fator de amplificação de
deslocamento da coluna para diferentes relações de µ . 86
Figura 5.1: Espectro de resposta de deslocamento do sistema
para 7965.0/ =cp ωω . 88
Figura 5.2: Espectro de resposta de deslocamento do sistema
para 00.1/ =cp ωω . 88
Figura 5.3: Espectro de resposta de deslocamento do sistema
para 1151.1/ =cp ωω . 89
Figura 5.4: Espectro de resposta de deslocamento da coluna
para 7965.0/ =cp ωω . 89
Figura 5.5: Espectro de resposta de deslocamento da coluna
para 00.1/ =cp ωω . 90
Figura 5.6: Espectro de resposta de deslocamento da coluna
para 1151.1/ =cp ωω . 90
Figura 5.7: Variação das amplitudes máximas de deslocamento
da coluna original e com absorsor na resposta permanente. 92
Figura 5.8: Diagramas de bifurcação para o deslocamento da
coluna na resposta permanente. 93
Figura 5.9: Resposta no tempo, plano fase e seção de Poincaré
da resposta permanente da coluna. 94
Figura 5.10: Diagramas de bifurcação para o deslocamento angular
do pêndulo na resposta permanente. 95
Figura 5.11: Resposta no tempo, plano fase e seção de Poincaré
da resposta permanente do pêndulo. 96
Figura 5.12: Amplitudes máximas da resposta total e permanente
da coluna e do pêndulo. 98
Figura 5.13: Comportamento das amplitudes durante a resposta
permanente. 99
Figura 5.14: Comportamento da força adimensional F. 100
Figura 5.15: Comportamento das amplitudes máximas da coluna
na resposta total para um carregamento harmônico senoidal. 101
Figura 5.16: Comportamento das amplitudes máximas da coluna
na resposta permanente para um carregamento harmônico senoidal. 101
Figura 5.17: Resposta da coluna no tempo para um carregamento
harmônico senoidal. 102
Figura 5.18: Comportamento das amplitudes máximas do pêndulo
na resposta total para um carregamento harmônico senoidal. 102
Figura 5.19: Comportamento das amplitudes máximas do pêndulo na
resposta permanente para um carregamento harmônico senoidal. 103
Figura 5.20: Resposta do pêndulo no tempo para um carregamento
harmônico senoidal. 103
Figura 5.21: Pulso senoidal. 104
Figura 5.22: Comportamento das amplitudes máximas da coluna
para um pulso senoidal. 104
Figura 5.23: Comportamento das amplitudes máximas do pêndulo
para um pulso senoidal. 105
Figura 5.24: Pulso retangular. 105
Figura 5.25: Comportamento das amplitudes máximas da coluna
para um pulso retangular. 106
Figura 5.26: Comportamento das amplitudes máximas da coluna
para uma velocidade inicial. 106
Figura 5.27: Amplitudes de deslocamento da coluna na resposta
transiente para diferentes valores de pξ . 107
Figura 5.28: Influência da variação da taxa de amortecimento
do pêndulo nas amplitudes máximas de resposta da coluna e
do pêndulo. 108
Figura 5.29: Comportamento das amplitudes máximas do sistema
na resposta total em função da variação de rigidez do pêndulo. 110
Figura 5.30: Comportamento das amplitudes máximas do
sistema na resposta permanente em função da variação de
rigidez do pêndulo. 111
Figura 6.1: Variação de θ para cp ωω / =1.0, pξ =0.0%, µ =0.20 e
F = 0.092. 119
Figura 6.2: Variação de ζ para cp ωω / =1.0, pξ =0.0%, µ =0.20 e
F = 0.092. 119
Figura 6.3: Variação do ângulo de fase ϕ para cp ωω / =1.0,
pξ =0.0%, µ =0.20 e 092.0=F . 120
Figura 6.4: Variação do ângulo de fase ψ para cp ωω / =1.0,
pξ =0.0%, µ =0.20 e 092.0=F . 120
Figura 6.5: Influência do amortecimento do pêndulo em θ e
ζ para cp ωω / =1.0, µ =0.20 e F = 0.092. 121
Figura 6.6: Variação de θ para cp ωω / =0.833, pξ =26.23%,
µ =0.20 e F = 0.041. 121
Figura 6.7: Variação do deslocamento angular θ ao longo do
tempo para cp ωω / =0.833, pξ =26.23%, µ =0.20 e F = 0.041. 122
Figura 6.8: Variação de ζ para cp ωω / =0.833, pξ =26.23%,
µ =0.20 e F = 0.041. 123
Figura 6.9: Variação do deslocamento ζ ao longo do tempo para
cp ωω / =0.833, pξ =26.23%, µ =0.20 e F = 0.041. 123
Figura 6.10: Variação do ângulo de fase ϕ para cp ωω / =1.0,
pξ =26.23%, µ =0.20 e F = 0.041. 124
Figura 6.11: Variação do ângulo de fase ψ para cp ωω / =1.0,
pξ =26.23%, µ =0.20 e F = 0.041. 124
Figura 6.12: Variação das amplitudes de deslocamento θ e
ζ )/( estxx para cp ωω / =0.833, pξ =26.23%, µ =0.20 e
F = 0.041 (Pinheiro, 1997). 125
Figura 6.13: Influência da não-linearidade do pêndulo em θ e
ζ para cp ωω / =1.0, µ =0.20 e F = 0.092. 127
Figura 6.14: Influência da não-linearidade do pêndulo em θ e
ζ para cp ωω / =1.0, µ =0.20, F = 0.092 e 25.0=pótimoξ . 127
Figura 6.15: Amplitudes de deslocamento angular θ para
cp ωω / =1.018, pξ =0.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007. 128
Figura 6.16: Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré.
Variação da coordenada θ para cp ωω / =1.018, pξ =0.0%,
µ =0.04 e sζ = 0.007. 129
Figura 6.17: Amplitudes de deslocamento ζ para cp ωω / =1.018,
pξ =0.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007. 129
Figura 6.18: Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré.
Variação da coordenada ζ para cp ωω / =1.018, pξ =0.0%,
µ =0.04 e sζ = 0.007. 130
Figura 6.19: Amplitudes de deslocamento angular θ para
cp ωω / =1.018, pξ =7.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007. 130
Figura 6.20: Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré.
Variação da coordenada θ para cp ωω / =1.018, pξ =7.0%,
µ =0.04 e sζ = 0.007. 131
Figura 6.21: Variação do deslocamento angular θ ao longo
do tempo para cp ωω / =1.018, pξ =7.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007. 132
Figura 6.22: Amplitude de deslocamento ζ para cp ωω / =1.018,
pξ =7.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007. 133
Figura 6.23: Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré.
Variação da coordenada ζ para cp ωω / =1.018, pξ =7.0%,
µ =0.04 e sζ = 0.007. 133
Figura 6.24: Variação do deslocamento ζ ao longo do tempo para
cp ωω / =1.018, pξ =7.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007. 134
Figura 6.25: Comportamento das amplitudes de deslocamento
angular do pêndulo para diferentes valores de sζ e cp ωω / =1.018,
pξ =0.0% e µ =0.04. 136
Figura 6.26: Comportamento das amplitudes de deslocamento
da coluna para diferentes valores de sζ e cp ωω / =1.018,
pξ =0.0% e µ =0.04. 136
Figura 6.27: Comportamento das amplitudes de deslocamento
da coluna original para diferentes valores de sζ . 137
Figura 6.28: Comportamento das amplitudes de deslocamento
angular do pêndulo para diversos valores de sζ e cp ωω / =1.018,
pξ =7.0% e µ =0.04. 137
Figura 6.29: Comportamento das amplitudes de deslocamento
da coluna para diversos valores de sζ e cp ωω / =1.018, pξ =7.0%
e µ =0.04. 138
Figura 7.1: Comportamento da função )tanh( xβ . 140
Figura 7.2: Comportamento das amplitudes do sistema e da
força de controle. 141
Figura 7.3: Comparação das amplitudes de deslocamento da
coluna, sem e com a força de controle. 142
Figura 7.4: Comparação das amplitudes de deslocamento
angular do pêndulo, sem e com a força de controle. 142
Figura 7.5: Comportamento das amplitudes de deslocamento
da coluna no tempo variando f . 145
Figura 7.6: Comportamento das amplitudes de deslocamento
angular do absorsor pendular no tempo variando f . 147
Figura 7.7: Comportamento das amplitudes de deslocamento
da coluna no tempo variando β . 148
Figura 7.8: Comportamento das amplitudes de deslocamento
angular do absorsor pendular no tempo variando β . 150
Figura 7.9: Comportamento da função )(sign x . 150
Figura 7.10: Variação da amplitude máxima da coluna em
função de β . 155
Figura 7.11: Variação da amplitude máxima da coluna em
função de f . 155
Figura 7.12: Comportamento das amplitudes do sistema com
a força de controle para um pulso retangular. 156
Figura 7.13: Força de excitação da equação (7.3). 158
Lista de Tabelas
Tabela 3.1: Comparação dos resultados. 53
Tabela 3.2: Freqüências naturais da coluna sem o efeito do
peso próprio (rad/s). 69
Tabela 3.3: Freqüências naturais da coluna com o efeito do
peso próprio (rad/s). 70
Tabela 4.1: Freqüências naturais do sistema (rad/s). 74
Tabela 4.2: Modos de vibração do sistema. 75
Tabela 5.1: Valores máximos da resposta não controlada. 98
Tabela 5.2: Amplitudes de deslocamento da coluna na resposta
transiente para diferentes pξ . 107
Tabela 5.3: Variação da relação de freqüências com a variação
da rigidez do pêndulo. 109
Tabela 5.4: Amplitudes máximas da coluna na resposta total
com a variação de rigidez não-linear. 112
Tabela 5.5: Amplitudes máximas do pêndulo na resposta total
com a variação de rigidez não-linear. 113
Tabela 5.6: Amplitudes máximas da resposta da coluna na fase
permanente em função da variação de rigidez não-linear 113
Tabela 5.7: Amplitudes máximas da resposta do pêndulo na fase
permanente em função da variação de rigidez não-linear. 113
Tabela 6.1: Comparação das amplitudes máximas obtidas
no domínio da freqüência e no domínio do tempo para
cp ωω / =0.833, pξ =26.23%, µ =0.20 e F = 0.041. 126
Tabela 6.2: Comparação das amplitudes máximas obtidas
no domínio da freqüência e no domínio do tempo para
cp ωω / =1.018, pξ =7.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007. 135
Tabela 7.1: Influência do parâmetro f nas amplitudes máximas
da coluna na resposta total. 143
Tabela 7.2: Influência do parâmetro f nas amplitudes máximas
da coluna na resposta permanente. 144
Tabela 7.3: Influência do parâmetro f nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta total. 145
Tabela 7.4: Influência do parâmetro f nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta permanente. 146
Tabela 7.5: Influência do parâmetro β nas amplitudes máximas
da coluna na resposta total. 147
Tabela 7.6: Influência do parâmetro β nas amplitudes máximas
da coluna na resposta permanente. 148
Tabela 7.7: Influência do parâmetro β nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta total. 149
Tabela 7.8: Influência do parâmetro β nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta permanente. 149
Tabela 7.9: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
da coluna na resposta total para 00.1=f e 6000=β . 151
Tabela 7.10: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
da coluna na resposta permanente para 00.1=f e 6000=β . 151
Tabela 7.11: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta total para 00.1=f e 6000=β . 152
Tabela 7.12: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta permanente para 00.1=f e 6000=β . 152
Tabela 7.13: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
da coluna na resposta total para 00.1=f e 60=β . 153
Tabela 7.14: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
da coluna na resposta permanente para 00.1=f e 60=β . 153
Tabela 7.15: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta total para 00.1=f e 60=β . 154
Tabela 7.16: Influência da defasagem nas amplitudes máximas
do pêndulo na resposta permanente para 00.1=f e 60=β . 154
Tabela 7.17: Influência da duração do pulso retangular na
resposta da coluna. 156
Tabela 7.18: Influência da duração do pulso retangular na resposta
do pêndulo. 157
Tabela 7.19: Influência do parâmetro 0ε nas amplitudes máximas
da coluna. 158
Tabela 7.20: Influência do parâmetro 0ε nas amplitudes máximas
do pêndulo. 159
Lista de Símbolos
,A área da seção transversal da coluna de seção transversal constante;
,jA amplitudes; constantes da função nf ;
,0A área da seção transversal da base da coluna de seção transversal
variável;
,xA área da seção tranversal a uma altura x da base da coluna de seção
transversal variável;
,b número de termos necessários para descrição do campo de
deslocamento com a precição desejada;
,C coeficiente de amortecimento da coluna;
,C vetor de constantes;
,dC coeficiente de amortecimento da massa do modelo discreto;
,iC constantes;
,pC coeficiente de amortecimento do pêndulo;
,pdC coeficiente de amortecimento do pêndulo no modelo discreto;
,extd diâmetro externo da seção da coluna;
,ds elemento infinítessimal curvo;
,dx elemento infinítessimal linear na direção do eixo x;
,e espessura da parede da coluna;
,E módulo de elasticidade do material da torre; energia dissipada;
,dE energia dissipada do sistema;
,0EI rigidez a flexão na base da coluna;
,xEI rigidez a flexão da coluna na seção x;
,f magnitude da força de controle;
,nf função de aproximação para deflexão da coluna;
,F força de excitação adimensional;
,F matriz de coeficientes;
,ζFA fator de amplificação de deslocamento da coluna;
,ψFA fator de amplificação de rotação da coluna;
,_ ótimoFAζ fator de amplificação da coluna ótimo;
,Fc força de controle;
,eF força de excitação para uma explosão, ou terremoto, ou rajada de
vento;
,oF amplitude da força de excitação;
,g aceleração da gravidade;
,I momento de inércia da seção transversal da coluna;
,nI função de Bessel de terceiro tipo;
,xI momento de inércia da seção transversal da coluna, na seção x;
,l comprimento da haste do pêndulo absorsor;
,dl comprimento da haste do pêndulo no modelo discreto;
,, in JJ função de Bessel de primeiro tipo;
,L comprimento da coluna;
,1L comprimento da extremidade engastada até a massa concentrada cM ;
,2L comprimento da massa concentrada cM até a extremidade livre da
coluna;
,K matriz de rigidez do sistema coluna-pêndulo;
,dK rigidez elástica da massa do modelo discreto;
,nK função de Bessel de quarto tipo;
,nlK rigidez não-linear do pêndulo absorsor;
,pK rigidez torsional do pêndulo absorsor;
,pdK rigidez torsional do pêndulo do modelo discreto;
,m massa do pêndulo absorsor;
,dm massa do pêndulo do modelo discreto;
,M massa por unidade de comprimento na coluna da seção transversal
constante;
,M matriz de massa do sistema coluna-pêndulo;
,cM massa concentrada na coluna;
,dM massa do modelo discreto;
,oM massa por unidade de comprimento na base da coluna de seção
transversal variável;
,tM massa total da coluna;
,xM massa por unidade de comprimento da coluna de seção transversal
variável na seção x; ,n parâmetro que descreve a mudança de seção transversal da coluna;
,N força axial na coluna de seção transversal constante;
,0N força axial na base da coluna de seção transversal variável;
,xN força axial na coluna de seção transversal variável na seção x;
,p carga concentrada no topo da coluna;
),,( txP força transversal que age na seção x em um tempo t ;
,q carga axial devida ao peso próprio da coluna de seção transversal
constante;
,iq coordenadas generalizadas;
,xq carga axial devida ao peso próprio da coluna de seção transversal
variável na seção x;
,0q carga axial devida ao peso próprio na base da coluna de seção
transversal variável;
,Q força genérica externa;
,t tempo;
,T energia cinética; período do sistema coluna-pêndulo;
,plT energia cinética do pêndulo;
,u deslocamento axial;
,U energia interna de deformação; carga de vento;
,fU energia da membrana gerada pela deformação axial;
,mU energia de flexão gerada pelo alongamento das fibras tracionadas e o
encurtamento das fibras comprimidas; ,v velocidade tangencial da massa do pêndulo;
,pV potencial das cargas externas;
,plV energia potencial total do pêndulo;
),(dYn função de Bessel de segundo tipo;
,x coordenada axial; ,w deslocamento transversal da coluna; ,w deslocamento transversal da coluna;
,esw deslocamento estático da coluna;
,W trabalho;
,ncW trabalho realizado pelas forças não conservativas;
,pW trabalho realizado pela força harmônica;
,1
0R curvatura da estrutura indeformada;
,1
fR curvatura do eixo deformado;
,α relação entre a massa concentrada ( cM ) e massa total da coluna ( tM );
parâmetro de controle da rigidez não-linear do pêndulo;
,β parâmetro de controle da força de controle;
,jβ parâmetro de freqüência;
,δ variação dos termos; função delta de Dirac;
,ε deformação específica da linha neutra;
,0ε parâmetro de controle da força de excitação eF ;
,ζ parâmetro adimensional de deslocamento da coluna;
,sζ parâmetro adimensional de deslocamento estático; amplitude da força
de excitação (adimensional);
,origζ parâmetro adimensional de deslocamento da coluna original;
,η parâmetro que descreve a mudança de seção transversal da coluna;
,ϖ relação entre a freqüência de excitação e a freqüência natural da
coluna;
,θ deslocamento angular do pêndulo absorsor;
,θ deslocamento angular do pêndulo absorsor;
,0θ condição inicial do deslocamento angular do pêndulo absorsor;
,ϑ relação entre a freqüência natural do pêndulo e a freqüência natural da
coluna;
,ótimoϑ relação ótima entre a freqüência natural do pêndulo e a freqüência
natural da coluna; ,µ relação entre a massa do pêndulo e massa da coluna;
,cξ taxa de amortecimento da coluna;
,pξ taxa de amortecimento do pêndulo absorsor;
,pótimoξ taxa de amortecimento do pêndulo absorsor ótimo;
,π energia potencial; pi; ,ρ massa por unidade de volume;
,τ parâmetro adimensional de tempo (dado por teω );
,υ parâmetro de posição da massa concentrada ao longo da coluna;
),(xφ deslocamento lateral da torre; modos de vibração;
,, 21 φφ funções peso;
,ϕ ângulo de fase; ,χ mudança de curvatura; ,ψ ângulo formado entre o eixo x e o eixo da viga; ângulo de fase; ,ω freqüência do sistema coluna-pêndulo;
,cω freqüência natural da coluna;
,eω freqüência de excitação;
,pω freqüência natural do pêndulo absorsor;
,Γ função gamma;
,∆ encurtamento na extremidade da coluna.
1 Introdução
Em virtude dos constantes avanços nas áreas de materiais e técnicas
construtivas, aliadas ao desenvolvimento dos métodos de cálculo e às
necessidades tecnológicas, as estruturas do tipo torres de telecomunicações têm-se
tornado cada vez mais altas e esbeltas. A Figura 1.1 apresenta algumas torres de
telecomunicações.
(a) CN Tower, Toronto, 553m. (b) Europe Tower, Frankfurt, 331m.
(c) Torre da TV, Brasília, 224m. (d) Torre da Telepar, Curitiba, 109.4m.
Figura 1.1: Torres de telecomunicações.
28
As torres de telecomunicações, devido a sua altura e esbeltez, estão cada vez
mais vulneráveis à ocorrência de vibrações excessivas causadas por
carregamentos dinâmicos, tais como, por exemplo, ventos e terremotos.
A ação do vento é de suma importância nas torres, pois gera vibrações por
flexão, ocasionando grandes deslocamentos e rotações no topo das mesmas. Estas
vibrações causam irregularidades nos sinais de torres de telecomunicação, em
função de desvios excessivos das antenas, trazendo também certo desconforto às
pessoas, em função do movimento, no caso de torres altas com plataformas de
observação. Em certos casos estas vibrações podem até mesmo afetar a
integridade estrutural da torre.
Figura 1.2: Desprendimento de vórtices (Techet, 2005).
As vibrações por flexão em torres são usualmente provocadas pelo
desprendimento cadenciado de vórtices, como ilustrado na Figura 1.2, gerando
uma força perpendicular à incidência do vento na torre, sendo essa força lateral
uma força praticamente harmônica. Conceitos e estudos do comportamento de
estruturas submetidas à ação do vento são apresentadas por Korenev & Reznikov
(1993) e Pinheiro (2004).
Uma alternativa para minimizar estas vibrações, amplamente estudada nas
últimas décadas, é o controle estrutural, que é capaz de absorver e dissipar parte
da energia vibratória. O controle estrutural basicamente promove uma alteração
nas propriedades de rigidez e amortecimento da estrutura, seja pela adição de
dispositivos externos, seja pela ação de forças externas (Avila et al., 2005).
Estruturas sujeitas a ações dinâmicas, projetadas com esses mecanismos de
controle, apresentam vida útil maior, pois as amplitudes de vibração são menores
(Pinheiro, 1997). Conceitos básicos, experimentos e aplicações práticas desses
dispositivos são encontrados em Korenev & Reznikov (1993) e Soong & Dargush
29
(1997), dentre outros. No Brasil as aplicações práticas de controle estrutural ainda
não estão muito difundidas, mas vem atraindo a atenção da comunidade científica
devido a sua importância, resultando numa série de trabalhos. Dentre as pesquisas
correlacionadas com esse trabalho, podem-se citar: Magluta (1993), Pinheiro
(1997), Pinto (1999), Marques (2000) e Avila (2002).
Hoje existem várias metodologias de controle de vibrações em estruturas,
que vão desde técnicas simples baseadas na introdução de materiais
amortecedores passivos, modificação e otimização do projeto estrutural, até o uso
de sofisticados sistemas de controle ativo em malha fechada (Marques, 2000).
Nesse contexto, um controle estrutural em franca expansão são os absorsores
dinâmicos de vibrações (ADVs). Esse tipo de controle estrutural tem-se revelado
robusto, confiável e econômico, sendo que, por essa razão, os ADVs tornaram-se
objeto da atenção dos pesquisadores e engenheiros em todo o mundo.
A invenção do ADV é associada ao nome de Frahm, que em 1909 patenteou
o primeiro projeto de um ADV (Korenev & Reznikov, 1993). De acordo com
Borges et al. (2005), pode-se citar como aplicações práticas desses dispositivos os
estabilizadores de navios, a absorção de vibração em linhas de transmissão de
potência, a redução de vibração em estrutura rígida contínuas de grande porte,
torres, edifícios altos e pontes, dentre outras.
Nesse tipo de controle, o sistema auxiliar (ADV), a partir de suas
propriedades de massa, rigidez e amortecimento, é responsável pela criação de
forças de inércia, forças elásticas e de amortecimento opostas às forças atuantes na
estrutura, fazendo com que o trabalho realizado pela força distribuída na estrutura
principal seja reduzido. De acordo com Avila et al (2005), a adição de um ADV
tem como objetivo trazer a amplitude do pico de ressonância para seu mais baixo
valor possível, a fim de que amplificações menores ao longo de uma faixa mais
larga de freqüência próxima à de ressonância possam ser atingidas.
Os absorsores dinâmicos de vibrações são divididos em: passivos, onde a
magnitude das forças de controle é dependente das propriedades do próprio
sistema auxiliar; adaptativos, que são aqueles cujos parâmetros físicos de massa,
rigidez e amortecimento podem ser ajustados; e híbridos, que dispõem de um
elemento ativo (atuador), colocado paralelamente aos elementos passivos. Avila
(2002) apresenta uma revisão bibliográfica detalhada sobre os diversos
dispositivos de controle estrutural.
30
No ADV passivo a magnitude das forças de controle depende apenas de
suas propriedades físicas de massa, rigidez e amortecimento. De acordo com
Marques (2000), a escolha de seus parâmetros de inércia, amortecimento e rigidez
é baseada na sintonização de sua freqüência natural à freqüência de excitação
harmônica cujo valor é admitido como fixo. Os ADVs passivos destacam-se dos
demais por não necessitarem de energia e não causarem instabilidade, sendo
simples e confiáveis. Entretanto, há limitações no uso dessa tecnologia, já que os
dispositivos são projetados de forma a funcionar eficientemente dentro de uma
determinada faixa de freqüência (Avila, 2002). Uma vez que a estrutura seja
excitada fora da faixa de freqüência de projeto, o controle reduz sua eficiência.
Liu & Liu (2004), oferecem uma detalhada contribuição ao estudo de absorsores
dinâmicos de vibrações passivos, introduzindo novos conceitos e apresentando
novos parâmetros ótimos.
No campo dos AVDs passivos, Mustafa & Ertas (1995), Ertas et al. (2000),
Cuvalci (2000) e Yaman & Sen (2004) apresentam estudos do comportamento de
um absorsor pendular acoplado a uma estrutura de um grau de liberdade. Todos
destacam a eficiência desse dispositivo na redução das vibrações da estrutura.
Mustafa & Ertas (1995) mostram a influência de uma mola torsional junto ao
absorsor pendular no ponto de conexão desse com a estrutura. Ertas et al. (2000) e
Yaman & Sen (2004) estudam a influência da não-linearidade geométrica da
estrutura principal e Cuvalci (2000) analisa o comportamento desse sistema com a
adição da não-linearidade do absorsor pendular. Mais recentemente, Vyas & Bajaj
(2001) estudaram o comportamento de vários absorsores pendulares acoplados a
uma estrutura principal de um grau de liberdade. Naquele trabalho também é
apresentado um estudo do comportamento do sistema com a variação dos
parâmetros dos absorsores e sua influência na qualidade dos resultados. Já Pirner
(2002) apresenta um absorsor esférico de vibrações, descrevendo a teoria,
experimentos e aplicações práticas e Naprstek & Pirner (2002) demonstram o
comportamento não-linear e estabilidade dinâmica desse dispositivo de controle.
Os ADVs adaptativos são aqueles cujos parâmetros físicos de massa, rigidez
e amortecimento podem ser ajustados, conferindo aos dispositivos a capacidade de
sintonização em uma gama maior de freqüências (Marques, 2000). Ainda, nesse
contexto, os recentes avanços tecnológicos obtidos na produção dos chamados
materiais inteligentes (materiais piezelétricos, materiais com memória forma,
31
fluidos eletro-reológicos e magneto-reológicos) oferecem amplas possibilidades
para a proposição de novas configurações de ADVs adaptativos. Winthrop et al.
(2005) apresentam uma sumarização dos diversos mecanismos de controle de
rigidez, fazendo uma comparação da performance desses dispositivos e mostram,
ainda, que os resultados encontrados na literatura podem ser explicados a partir da
solução exata por eles obtida. Finalizando, apresentam uma ferramenta para o uso
dessa técnica em sistema com dispositivos de controle adaptativo de rigidez.
No que diz respeito aos ADVs adaptativos, Franchek et al. (1995) propõem
um absorsor adaptativo, que tem a rigidez controlada por um algoritmo de
realimentação robusto que é baseado nas variações dos parâmetros do absorsor e é
insensível a outras perturbações ou mudanças. Williams et al. (2002) apresentam
um absorsor adaptativo que utiliza uma liga de memória forma para controlar a
rigidez, aumentando assim a faixa de freqüência em que o absorsor atua de forma
eficiente. Eles apresentam ainda uma discussão das propriedades desse material e
seu uso como um material estrutural adaptável no controle de vibrações. Mais
tarde, Williams et al. (2005) iriam expandir os conceitos do absorsor adaptativo
com liga de memória forma utilizando um controlador não-linear, mostrando a
melhoria na performance do absorsor. Já Nagarajaiah & Varadarajan (2005)
propõem um novo algoritmo para controle de rigidez do absorsor adaptativo para
estruturas altas e esbeltas.
Os ADVs híbridos ou ativos possuem um elemento ativo (atuador),
colocado paralelamente aos elementos passivos, sendo a força exercida pelo
atuador calculada através de uma estratégia de controle previamente estabelecida
(Marques, 2000). De acordo com Avila (2002), esse tipo de controle tem a
vantagem de exigir forças de magnitudes bem menores nos atuadores que no
controle puramente ativo, gerando uma redução considerável no custo, além de
um desempenho mais eficiente quando comparado ao controle passivo, ampliando
assim a faixa de freqüências em que o mesmo funciona de forma eficiente. Ainda,
o ADV híbrido tem a vantagem de seu componente passivo propiciar um certo
grau de proteção à estrutura na falta de energia.
Filipovic & Schoroder (1998) apresentam um tipo de absorsor ativo que
possui realimentação local, mostrando os conceitos e o comportamento desse
dispositivo. Já Jalili & Olgac (1999) apresentam um absorsor ativo que possui
múltiplos ressonadores defasados para controlar as vibrações de estruturas com
32
vários graus de liberdade. Oueini et al. (1999) propõem um absorsor não-linear
ativo baseado na introdução de um absorsor na estrutura juntamente com um
sensor e um atuador, onde a realimentação e o controle do sinal são quadráticos.
Nesse estudo aborda-se o comportamento de uma torre com um absorsor
dinâmico de vibração sujeita a um dado carregamento harmônico senoidal, que
representa, de maneira simplificada, uma carga dinâmica de vento. O ADV
utilizado para reduzir as vibrações da torre é o absorsor pendular, que está fixado
na extremidade superior da estrutura. Inicialmente, considera-se que o sistema de
controle é passivo. Posteriormente, com base no comportamento do absorsor
passivo, é proposto um ADV híbrido.
Uma característica do absorsor pendular é que ele pode desenvolver
oscilações em regime não-linear, diferente da maioria dos sistemas de absorção
massa-mola ou outros mais comuns, sendo o seu uso bastante adequado a
estruturas do tipo torre. Assim, deve-se ter um conhecimento melhor dos
parâmetros de eficiência no regime não-linear de oscilação. Ao considerar apenas
as equações que regem o movimento desse sistema no regime linear, tem-se que
os resultados não são confiáveis. Ainda, o modelo matemático que melhor
representa o funcionamento do absorsor é dado pelas equações não-lineares
completas, contendo os termos de inércia, elástico e amortecimento do absorsor
pendular dinâmico de vibrações.
1.1. Motivação
A motivação para o estudo de absorsores dinâmicos de vibrações é o grande
interesse da comunidade científica que afirma que o controle estrutural tem um
grande potencial para melhorar a performance de estruturas existentes ou novas.
Para Avila (2002), obstáculos devem ser superados antes que essa tecnologia de
controle estrutural seja aceita de forma geral pelos profissionais de engenharia e
construção, apesar dos estudos já realizados e do razoável número de aplicações
práticas (Spencer Jr. & Sain, 1997).
33
1.2. Objetivos
Essa dissertação está inserida na linha de pesquisa em Instabilidade e
Dinâmica das Estruturas do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.
Pretende-se com essa pesquisa fornecer uma contribuição na área de proteção de
estruturas civis contra excitações dinâmicas indesejáveis.
O objetivo é aprofundar o estudo paramétrico do sistema torre-pêndulo no
regime não-linear, abordando aspectos gerais ligados à estabilidade dinâmica e
propor um sistema de controle estrutural híbrido para controle de vibrações por
flexão em torres de telecomunicações.
1.3. Organização do Trabalho
O presente trabalho constitui-se de oito capítulos, incluindo-se esse de
introdução, onde são apresentados conceitos básicos, formulações utilizadas,
resultados obtidos, conclusões e sugestões para continuação da pesquisa, a saber:
O capítulo 2 apresenta a formulação necessária para obter o funcional de
energia, tanto para o caso linear quanto para o caso não-linear. Além disso, são
obtidas as equações de movimento através dos funcionais de energia.
No capítulo 3 é apresentada a solução analítica das equações lineares de
movimento para obter as freqüências naturais e os modos de vibração de alguns
casos relevantes de coluna, para esse estudo.
O capítulo 4 mostra a metodologia utilizada para obter as freqüências e
modos de vibração do sistema coluna-pêndulo. Ainda, é feita uma correlação entre
o sistema coluna-pêndulo com um modelo discreto de dois graus de liberdade, de
onde obtêm-se as equações de movimento do sistema coluna-pêndulo. Na
seqüência é apresentada uma análise linear das equações de movimento do
sistema, donde são obtidas algumas relações ótimas para o sistema de absorção.
No capítulo 5 é investigado o desempenho do pêndulo absorsor na redução
das oscilações da coluna, bem como o comportamento das amplitudes máximas de
deslocamento, velocidade e aceleração do sistema.
34
No capítulo 6 é apresentada uma análise da influência do grau de não-
linearidade do sistema na resposta, bem como uma análise dos casos onde se
tornem necessários ajustes do absorsor pendular.
No capítulo 7 é proposto um absorsor dinâmico de vibrações híbrido, que
consiste na junção do absorsor pendular (controle passivo) com uma força de
controle ativo (atuador).
Por fim, no capítulo 8, são apresentadas as conclusões e algumas sugestões
para continuação desse trabalho.
2 Formulação do Problema
Nesse capítulo é apresentada a formulação necessária para obter o funcional
de energia do sistema torre-pêndulo, tanto em sua forma linear quanto em sua
forma não-linear. Através dos funcionais de energia e utilizando as ferramentas do
Cálculo Variacional, obtêm-se as equações diferenciais de movimento.
A torre é modelada como uma coluna de seção transversal variável com a
extremidade inferior engastada e a extremidade superior livre. Plataformas de
observação, antenas e equipamentos são modelados como massas concentradas ao
longo da torre. Exemplos dessa classe de estruturas foram mostrados na Figura
1.1. O pêndulo absorsor é considerado como um elemento discreto ao longo da
torre. Em termos de eficiência, a melhor localização para o pêndulo é o topo da
torre, embora, em alguns casos, por motivos construtivos, o pêndulo deva ser
colocado em uma outra posição.
L2
L1
L
m
P (x, t)Mc
l
MxEIx
qx
x
Figura 2.1: Coluna em estudo.
36
O modelo estrutural considerado é ilustrado na Figura 2.1, onde xEI é a
rigidez a flexão em x e xN , a força axial em x devido ao peso próprio xq . xM é a
massa por unidade de comprimento em x, ),( txP a força transversal que age na
seção x em um tempo t e L , o comprimento da coluna. cM é a massa
concentrada a uma distância 1L da base da coluna. Finalmente, l e m são o
comprimento da haste e a massa do absorsor pendular.
2.1. Funcional de Energia do Sistema – Formulação Não-Linear
As equações de movimento são obtidas através do Princípio de Hamilton.
Para um sistema conservativo, ou seja, sem dissipação de energia, tem-se que a
variação da energia cinética menos a energia potencial durante um intervalo de
tempo de t1 a t2 é nula, a saber:
∫ =−2
1
0)(t
t
dtT πδ (2.1)
sendo que T é a energia cinética, π a energia potencial total e o símbolo δ
representa a variação dos termos entre parênteses.
A equação (2.1) é utilizada para sistemas onde tem-se a vibração livre sem
amortecimento ou qualquer outra forma de dissipação de energia.
Para o caso de terem-se forças não-conservativas, tem-se que a variação de
energia cinética e potencial mais a variação do trabalho realizado pelas forças não
conservativas durante um intervalo de tempo de t1 a t2 deve ser igual a zero, ou
seja:
∫ ∫ =+−2
1
2
1
0)()(t
t
t
tnc dtWdtT δπδ (2.2)
onde ncW é o trabalho realizado pelas forças não conservativas.
37
2.1.1. Energia Potencial Total da Coluna
A energia potencial total de uma estrutura (π ) é obtida através da soma da
energia interna de deformação (U ) com o potencial das cargas externas ( pV ), ou
seja:
pVU +=π (2.3)
Na expressão (2.3), U é o somatório da energia de membrana gerada pela
deformação axial ( mU ) e da energia de flexão gerada pelo alongamento das fibras
tracionadas e o encurtamento das fibras comprimidas ( fU ), que, portanto, pode
ser expresso como:
∫ ∫+=+=L L
xxfm dxEIdxEAUUU0 0
22
21
21 χε (2.4)
onde E é o módulo de elasticidade do material, xI , o momento de inércia da
seção transversal em x , xA , a área da seção transversal em x , χ , representa a
mudança de curvatura e ε , a deformação específica da linha neutra.
Seguindo procedimento adotado na literatura na análise de colunas esbeltas
desprezou-se a parcela relativa à deformação axial da coluna (Timoshenko, 1961).
Então, a expressão (2.4) toma a forma:
∫=L
x dxEIU0
2
21 χ (2.5)
Através da Figura 2.2, tem-se que o trabalho realizado (W) é dado pelo
produto da força axial no topo da coluna, xN , pelo encurtamento da coluna, ∆
nesta seção. Logo tem-se a equação:
∆= xNW (2.6)
38
L
∆
w
u
dx-duP1
dsdw
P2
x
Figura 2.2: Deslocamento transversal e encurtamento da coluna.
O potencial das cargas é dado por:
∆−=−= xp NWV (2.7)
Assim, pode-se chegar à equação da energia potencial total π , substituindo-
se (2.5) e (2.7) em (2.3).
∆−= ∫ x
L
x NdxEI0
2
21 χπ (2.8)
Partindo da Figura 2.2, tem-se que o deslocamento de um ponto 1P na
configuração indeformada para uma nova posição 2P em uma configuração
deformada pode ser representado por um vetor de deslocamentos decomposto em
duas componentes: deslocamento axial u e deslocamento lateral w. Ainda, se a
linha neutra da estrutura é inextensível, considera-se o elemento infinitesimal dx
igual ao elemento curvo ds, como apresentado na Figura 2.3.
dx-du
dw
ds=dx
ψ
Figura 2.3: Elemento infinitesimal da linha neutra da viga.
Da Figura 2.3, pode-se deduzir as relações:
39
xwdxdw
dsdwsen ,===ψ (2.9)
),(1xwsen−=ψ (2.10)
sendo que ψ é o ângulo formado entre o eixo horizontal e o eixo da estrutura
deformada.
A curvatura do eixo deformado, fR/1 , é dada por:
2/121
),1(,
),,(,1
x
xxxxx
f ww
wsenR −
=== −ψ (2.11)
Já a curvatura da estrutura indeformada, 0/1 R , é:
011
0
=∞
=R
(2.12)
Assim, a variação da curvatura, χ , tem a forma:
2/120 ),1(
,11
x
xx
f ww
RR −=−=χ (2.13)
Expandindo a expressão (2.13) em séries de Taylor até a segunda ordem,
chega-se à aproximação:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += xxx ww ,
211, 2χ (2.14)
Substituindo (2.14) em (2.5), pode-se reescrever a energia interna de
deformação (U) como:
40
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++≅
L
xxxxxxxxx dxwwwwwEIU0
42222 ,,41,,,
21 (2.15)
Observa-se na equação (2.15), que a grandeza xEI não é constante, pois
varia com o comprimento da coluna. Nesse caso é necessário adotar uma função
aproximada para representar a variação de rigidez à flexão da coluna. Li et al.
(2000) sugerem a seguinte expressão:
( ) 21 ++= nox xEIEI η (2.16)
onde oEI é a rigidez a flexão na base da coluna, η e n são os parâmetros que
descrevem a mudança da seção transversal da coluna.
Escolhendo-se de forma conveniente os parâmetros η e n , pode-se
representar uma série de geometrias encontradas na prática ( Li et al. , 2000).
Com isso, a equação (2.15) é dada, agora, por:
( )∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++≅ +
L
xxxxxxxxn
o dxwwwwwxEIU0
422222 ,,41,,,1
21 η (2.17)
Dym & Shames (1973) demonstram que esta expressão não-linear é
suficiente para determinar de forma precisa a energia interna de deformação,
incluindo até a região de grandes deslocamentos laterais.
O parâmetro ∆ , que representa o encurtamento da coluna, pode ser escrito
em termos do vetor deslocamento. Através da Figura 2.3 e usando o Teorema de
Pitágoras, tem-se:
222 )()()( dwdudxds +−= (2.18)
Dividindo-se todos os termos da equação (2.18) por 2)(dx , obtém-se:
222
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
dxdw
dxdudx
dxds (2.19)
41
Admitindo que dxds = , tem-se:
xx wu ,),1(1 22 +−= (2.20)
o que leva a
2/12 ),1(1 xwdxdu
−−= (2.21)
Partindo da relação
[ ]∫ ∫ −−==∆L L
x dxwdu0 0
2/12 ),1(1 (2.22)
e expandindo o termo 2/12 ),1( xw− até a quarta ordem em séries de Taylor,
chega-se à expressão:
dxwwL
xx∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=∆
0
42 ,81,
21 (2.23)
Assim, substituindo a expressão (2.23) em (2.7), tem-se:
dxwwNVL
xxxp ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−=
0
42 ,81,
21 (2.24)
Considere agora que a força axial, xN , varia como a rigidez a flexão, xEI .
Em conformidade com a expressão (2.16), adota-se:
1)1( ++= n
ox xNN η (2.25)
onde oN é um parâmetro que depende do carregamento.
42
Com base em (2.24), Li et al. (2000) sugerem a seguinte expressão para o
potencial das cargas externas.
dxwwxNVL
xxn
op ∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+−= +
0
421 ,81,
21)1( η (2.26)
Para cada distribuição de cargas axiais a expressão (2.26) deve-se
determinar os valor de oN , como será mostrado no próximo capítulo.
Finalmente, de posse das equações (2.17) e (2.26), referentes,
respectivamente, à energia interna de deformação e ao potencial das cargas
externas, pode-se escrever a expressão para a energia potencial total da coluna.
( )
dxwwxN
dxwwwwwxEI
L
xxn
o
L
xxxxxxxxn
o
∫
∫
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++=
+
+
0
421
0
422222
,81,
21)1(
,,41,,,1
21
η
ηπ (2.27)
2.1.2. Energia Cinética da Coluna
Em um elemento de coluna esbelta geralmente é considerado apenas o efeito
da inércia à translação na direção transversal ao eixo da viga. A energia cinética é
dividida em duas parcelas, a primeira parcela é referente ao efeito da massa da
coluna e a segunda refere-se ao efeito da massa concentrada, cM , então:
2
1
0
2 )(21
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
= ∫ tLwMdx
twMT c
L
x (2.28)
Na equação anterior, xM representa a massa por unidade de comprimento
da coluna na seção x. Como a seção transversal da coluna não é constante, tem-se
que esse coeficiente é variável. Como feito para a rigidez a flexão, xEI , e para a
força axial, xN , adota-se, para representar a variação da massa, a função:
43
( )nox xMM η+= 1 (2.29)
onde oM é a massa por unidade de comprimento na base da coluna.
Assim, a energia cinética é dada por:
( )2
1
0
2 )(211
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+= ∫ tLwMdx
twxMT c
Ln
o η (2.30)
2.1.3. Amortecimento da Coluna
O amortecimento está presente em todos os sistemas oscilatórios. Entretanto
é difícil a descrição real da força de amortecimento, embora seja possível a
admissão de modelos ideais de amortecimento, que muitas vezes resultam em
prognósticos satisfatórios da resposta. Dentre esses modelos, a força de
amortecimento viscoso, proporcional à velocidade, conduz a um tratamento
matemático simples. A presença do agente amortecedor muda as características do
movimento, passando-se a ter um “movimento harmônico amortecido” ou até sem
caráter oscilatório.
Portanto, a parcela de trabalho )(Re é adicionada ao funcional de energia,
sendo que essa parcela pode ser escrita da forma sugerida por Rayleigh:
∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
=L
dxtwCRe
0
2
(2.31)
onde C é o parâmetro de amortecimento. C pode ser expresso em termos da taxa
de amortecimento, cξ , e da freqüência natural da coluna, cω (Meirovitch, 1975).
Considerando um sistema em vibração livre, o valor de cξ determina o
caráter oscilatório do sistema. Se o parâmetro cξ < 1,0 tem-se um movimento
oscilatório subamortecido, quando cξ > 1,0 o movimento é superamortecido. Para
cξ = 1,0 tem-se o caso crítico.
44
2.1.4. Força Harmônica
Considera-se que a coluna está submetida a uma carga harmônica lateral
),( txP (veja Figura 2.1) dada por:
)(),( tsenFtxP eo ω= (2.32)
onde eω é a freqüência da excitação e oF a sua amplitude em x .
No funcional introduz-se a força harmônica, ao considerar o trabalho pW
realizado por essa, que tem a forma:
∫=L
p wdxtxPW0
),( (2.33)
2.1.5. Funcional de Energia da Coluna – Formulação Não-Linear
Com base nas equações (2.27) e (2.30), tem-se a função de Lagrange que
representa a coluna em estudo, sendo esta:
( )
( )
dxwwxN
dxwwwwwxEI
tLwMdx
twxMTL
L
xxn
o
L
xxxxxxxxn
o
c
Ln
og
∫
∫
∫
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+=−=
+
+
0
421
0
422222
21
0
2
1
,81,
21)1(
,,41,,,1
21
)(211
21
η
η
ηπ
(2.34)
2.1.6. Funcional de Energia do Pêndulo – Formulação Não-Linear
O funcional de energia do pêndulo absorsor é obtido através da equação
(2.1), como o funcional da coluna. O mesmo é expresso em sua forma não-linear
devido a não-linearidade geométrica do pêndulo.
45
As parcelas de energia cinética )( plT , energia potencial total )( plV e energia
dissipada do sistema ( dE ) podem ser deduzidas através da Figura 2.4, onde θ
representa o deslocamento angular do pêndulo e v é a velocidade tangencial da
massa m . Considera-se também que na ligação coluna-pêndulo há uma mola de
rigidez torsional, pK . O pêndulo possui ainda um amortecimento, pC , que não
está representado na Figura 2.4.
v
l
h2
vx
vyθ
h
h1
w(L) Kp
m
Figura 2.4: Parâmetros do pêndulo.
As parcelas de energia cinética, energia potencial e energia dissipada são:
2
21 mvTpl = (2.35)
2
21 θppl KmghV += (2.36)
2
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
dtdCE pdθ (2.37)
onde g é a aceleração da gravidade.
Da Figura 2.4 têm-se as seguintes equações:
))cos(1(1 θ−=−= lhlh (2.38)
yx vvv 222 += (2.39)
46
Tomando θ como coordenada generalizada, torna-se necessário escrever v
em função de θ , para isso deve-se ter em mente que:
)(sen)(2 θlLwhxx +=+= (2.40a)
)cos(1 θlhy == (2.40b)
de onde pode-se chegar às seguintes componentes de velocidade:
)cos()( θθ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
∂∂
==dtdl
tLw
dtxdvx (2.41a)
)(sen θθ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−==
dtdl
dtdyvy (2.41b)
Substituindo as expressões (4.41) em (4.39), tem-se:
2
22
2 )cos()(2)(⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=t
ltt
LwltLwv θθθ (2.42)
As parcelas de energia cinética, energia potencial e energia dissipada
resultantes são:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=2
22
)cos()(2)(21
tl
ttLwl
tLwmTpl
θθθ (2.43)
2
21))cos(1( θθ ppl KmglV +−= (2.44)
2
21
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
dtdCE pdθ (2.45)
Então, o funcional não-linear do pêndulo é:
47
2
22
2
2
21))cos(1(
)cos()(2)(21
θθ
θθθπ
p
g
Kmgl
tl
ttLwl
tLwmTL
−−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=−= (2.46)
2.1.7. Montagem do Funcional de Energia do Sistema – Formulação Não-Linear
Através das expressões anteriores pode-se estudar as vibrações não-lineares
livres ou forçadas com e sem amortecimento, de um sistema coluna-pêndulo.
Com as equações (2.34) e (2.46), chega-se a função de Lagrange que
representa o sistema coluna-pêndulo.
( )
( )
2
22
2
0
421
0
422222
21
0
2
21))cos(1(
)cos()(2)(21
,81,
21)1(
,,41,,,1
21
)(211
21
θθ
θθθ
η
η
η
p
L
xxn
o
L
xxxxxxxxn
o
c
Ln
og
Kmgl
tl
ttLwl
tLwm
dxwwxN
dxwwwwwxEI
tLwMdx
twxML
−−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−++
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+=
∫
∫
∫
+
+
(2.47)
2.2. Funcional de Energia do Sistema – Coluna Linear
Considerando que a coluna sofre pequenas rotações após a sua deformação,
tem-se que o ângulo ψ , apresentado na Figura 2.3, é muito pequeno e, dessa
forma, pode-se fazer a aproximação:
1),1( 2/12 ≅− xw (2.48)
Em conseqüência dessa aproximação, a energia interna de deformação toma
a forma:
48
( ) dxwxEIU xx
Ln
o ,121 2
0
2∫ ++= η (2.49)
Considerando mais uma vez a hipótese de pequenas rotações, tem-se que o
potencial das cargas é dado por:
( )∫ ++−=L
noxp dxxNwV
0
12 )1(,21 η (2.50)
Com as expressões (2.49) e (2.50), pode-se reescrever a energia potencial da
coluna )(π , sendo essa:
( ) ( )∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+= ++
Ln
oxxxn
o dxxNwwxEI0
1222 )1(,21,1
21 ηηπ (2.51)
Somando as expressões (2.51), (2.30) e (2.46), tem-se o funcional de
energia do sistema coluna-pêndulo.
( )
( ) ( )
2
22
2
0
1222
21
0
2
21))cos(1(
)cos()(2)(21
)1(,21,1
21
)(211
21
θθ
θθθ
ηη
η
p
Ln
oxxxn
o
c
Ln
og
Kmgl
tl
ttLwl
tLwm
dxxNwwxEI
tLw
MdxtwxML
−−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+=
∫
∫
++
(2.52)
2.3. Dedução das Equações Diferenciais de Movimento
Como o sistema coluna-pêndulo, apresentado na Figura 2.1, possui duas
variáveis, w e θ , tem-se uma equação diferencial parcial para cada variável. O
funcional, a ser minimizado nesse caso, é dado por:
49
( )∫ ∫2
1 0
,,,,,,,,,,t
t
L
ttxxxg dxdttwwwwL θθ (2.53)
Faz-se necessário encontrar uma função ( , )w x t , para o deslocamento
transversal da coluna, e uma função ( )tθ , para o deslocamento angular do
pêndulo absorsor, porém as ferramentas do cálculo variacional não fornecem essas
funções diretamente, mas sim as equações diferenciais que essas funções devem
satisfazer. Aplicando as ferramentas do cálculo variacional e o princípio de
Hamilton, tem-se:
∫ ∫ =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂
∂−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂2
1 02
2
0,,,
t
t
L
xx
g
x
gg
t
g wdxdtwL
dxd
wL
dxd
wL
wL
dtd δ (2.54)
0,
2
1
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂
∂∫ dt
LdtdLt
t t
gg δθθθ
(2.55)
Na expressão (2.54), o termo entre colchetes representa a equação de Euler-
Lagrange da coluna, ou seja, sua equação de movimento. Já na expressão (2.55) o
termo entre colchetes na integral representa a equação de Euler-Lagrange do
pêndulo, sendo essa a sua equação de movimento.
Com base nas expressões (2.54) e (2.55) e no funcional de energia, dado
pela expressão (2.52), e ainda calculando as derivadas necessárias, obtêm-se as
equações diferenciais para o sistema coluna-pêndulo.
0)(sen)()cos()(
)()()1(
)1()1(
2
2
2
2
2
2
2
12
2
12
22
2
2
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+ ++
θθδθθδ
δδη
ηη
dtdLxml
dtdLxml
twLxm
twLxM
twxM
xwxN
dxd
xwxEI
dxd
cn
o
no
no
(2.56)
0)cos()()(sen 2
2
2
22 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−+++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛θδθθθ
twLxmlmglK
dtdml p (2.57)
onde δ é a função delta de Dirac.
3 Freqüências Naturais e Modos de Vibração da Coluna
Nesse capítulo é apresentada a solução analítica das equações lineares de
movimento para se obter as freqüências naturais e os modos de vibração de alguns
casos relevantes para esse trabalho.
São deduzidas as equações diferenciais parciais de movimento com as suas
respectivas condições de contorno a partir do funcional de energia. Com isso, tem-
se um problema de valor de contorno cuja solução analítica fornece uma família
de autovalores e autovetores que são, respectivamente, as freqüências naturais e
os modos de vibração. As equações diferenciais parciais de movimento com as
suas respectivas condições de contorno são obtidas através do funcional de
energia da coluna:
( )
( ) ( )∫
∫
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∂∂
+=
++L
noxxx
no
c
Ln
og
dxxNwwxEI
tLw
MdxtwxML
0
1222
21
0
2
)1(,21,1
21
)(211
21
ηη
η (3.1)
Pode-se citar os trabalhos de Low (1998), Uscilowska & Kolodzeij (1998),
Dwivedy & Kar (1999) e Ozkaya (2002) como sendo estudos detalhados, que
permitem compreender o comportamento de colunas de seção constante. Já os
trabalhos de Auciello (1995), Li et al. (1999), De Rosa & Maurizi (2005), Wu &
Chen (2004) e Elishakoff & Johnson (2005) apresentam uma detalhada
contribuição para o estudo e compreensão do comportamento de colunas com
seção variável.
3.1. Coluna de Seção Constante sem Força Axial
Apresenta-se, nesse item, o comportamento de colunas de seção constante e
descarregadas. Estas colunas são apresentadas na Figura 3.1.
51
L
L
L1
L2
Mc
(a) Coluna sem massa concentrada (b) Coluna com massa concentrada
Figura 3.1: Coluna de seção constante sem força axial.
Inicialmente estuda-se a coluna mostrada na Figura 3.1 (a). Essa coluna já
foi estudada por vários autores, entre eles, Meirovitch (1975) e Blevins (1979).
Partindo do funcional de energia da coluna, equação (3.1), desprezando a
parcela referente ao carregamento axial e considerando que a coluna é de seção
constante, tem-se a equação de movimento de uma coluna à flexão:
0)()(2
2
4
4
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂t
twEIM
xxw (3.2)
Para determinar as freqüências naturais, pode-se escrever que o
deslocamento transversal da coluna é dado, usando separação de variáveis, por:
ti cexwtrxwtxw ω)()()(),( == (3.3)
Assim, a equação (3.2) toma a forma:
0)()( 44
4
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xwk
dxxwd (3.4)
onde EIMk c24 ω= .
52
A solução da equação diferencial ordinária (3.4) é dada em termos de
funções trigonométricas e hiperbólicas, por:
)(cosh)(senh)(cos)(sen)( 4321 xkCxkCxkCxkCx jjjj +++=φ (3.5)
onde jk são as raízes da equação característica 044 =+ jkλ , sendo estas:
jik±=2,1λ e jk±=4,3λ .
Tratando-se de uma coluna engastada e livre, tem-se que suas condições de
contorno são:
0)0(')0( == φφ (3.6a)
0)(''')('' == LL φφ (3.6b)
Substituindo a solução geral da equação diferencial ordinária (3.5) nas
condições de contorno (3.6), obtém-se o sistema:
0FC = (3.7)
onde F é a matriz dos coeficientes e C o vetor das constantes a serem
determinadas.
Considerando que a solução geral do problema (3.5) pode ser representada
por:
)()()()()( 44332211 xWCxWCxWCxWCx +++=φ (3.8)
na qual as funções )4,3,2,1)(( =jxW j são dadas pela expressão (3.5), tem-se que
o sistema (3.7) apresenta a seguinte forma:
53
0=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
34
3
33
3
32
3
31
3
24
2
23
2
22
2
21
2
4321
4321
CCCC
dxWdEI
dxWd
EIdx
WdEIdx
WdEI
dxWd
EIdx
WdEI
dxWd
EIdx
WdEI
dxdW
dxdW
dxdW
dxdW
WWWW
(3.9)
Para que o sistema homogêneo (3.7) apresente uma solução não-trivial é
necessário que o determinante de F seja igual a zero. A equação obtida a partir do
determinante da matriz F é chamada de equação característica e tem como
incógnitas as freqüências naturais que são os autovalores da matriz. Fazendo as
derivações necessárias tem-se que o determinante da matriz F é dado por:
0)cosh()cos(22 =+ jj ββ (3.10)
onde Lk jj =β é o j-ésimo autovalor.
As raízes da expressão (3.10), fornecem as freqüências naturais da coluna.
Na Tabela 3.1 é apresentada uma comparação das três primeiras raízes da equação
(3.10) com os resultados encontrados na literatura.
Tabela 3.1: Comparação dos resultados.
Raízes Meirovitch (1975)
Blevins (1979) Presente Trabalho
1β 1.875 1.87510407 1.87510407
2β 4.694 4.69409113 4.69409113
3β 7.855 7.85475744 7.85475744
Com as raízes da expressão (3.10) obtidas, pode-se determinar as
freqüências naturais da coluna, a partir da expressão:
( ) 42 / MLEIjcj βω = (3.11)
Ao substituir os valores de jβ no sistema homogêneo (3.7), obtêm-se as
constantes iC e, conseqüentemente, os modos de vibração através da expressão
54
(3.5). Os três primeiros modos da coluna engastada e livre são apresentados na
Figura 3.2. Esses modos foram normalizados de tal forma que a amplitude
máxima é unitária.
(a) Primeiro (b) Segundo (c) Terceiro
Figura 3.2: Modos de vibração da coluna.
Adicionando à coluna uma massa concentrada, tem-se o problema mostrado
na Figura 3.1 (b). Nessa etapa, opta-se por dividir a coluna em dois segmentos,
onde o primeiro segmento vai do engaste até a massa concentrada e o segundo
segmento vai da massa concentrada até a extremidade livre. A equação diferencial
de cada trecho é deduzida a partir do funcional (3.1). Assim, tem-se:
121
2
41
4
00)()(
Lxt
twEIM
xxw
≤≤=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂ (3.12)
LxLt
twEIM
xxw
≤≤=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂12
22
42
4
0)()( (3.13)
Adotando a mesma metodologia empregada na solução da coluna
apresentada na Figura 3.1 (a), tem-se que a solução geral das equações (3.12) e
(3.13) são:
)(cosh)(senh)(cos)(sen)( 43211 xkCxkCxkCxkCx jjjj +++=φ (3.14)
)(cosh)(senh)(cos)(sen)( 87652 xkCxkCxkCxkCx jjjj +++=φ (3.15)
As condições de contorno são dadas, para esse caso, por:
55
0)0(')0( 11 == φφ (3.16a)
0)(''')('' 22 == LL φφ (3.16b)
Além das condições de contorno, são necessárias as condições de
continuidade que podem ser deduzidas do funcional (3.1), sendo essas:
)()( 1211 LL φφ = (3.17a)
)(')(' 1211 LL φφ = (3.17b)
)('')('' 1211 LL φφ = (3.17c)
)(''')()(''' 12114
11 LLkLL φφαφ =+ (3.17d)
onde, tc MM /=α é a relação entre a massa concentrada e o massa total da
coluna, MLM t = . Na Figura 3.3 são apresentadas as parcelas da condição de
continuidade do esforço cortante, equação (3.17d). Cabe ressaltar que não foi
considerado o efeito de rotação da massa concentrada em (3.17c).
( 1111 LEILV φ=
= φV L EI L2 1 2 1( ) ' ' '( )
2112
12
)()(ccc LM
dtLwdM ωφ−=
)(''') Figura 3.3: Parcelas da condição de continuidade do esforço cortante.
Substituindo as soluções do problema (3.14) e (3.15) nas condições de
contorno (3.16) e nas condições de continuidade (3.17), obtêm-se novamente o
sistema (3.7), 0FC = . A matriz F , nesse caso, tem dimensão 8x8 devido às
quatro condições de contorno e às quatro condições de continuidade.
Escrevendo as soluções gerais do problema na forma:
56
)()()()()( 443322111 xWCxWCxWCxWCx +++=φ (3.18)
)()()()()( 887766552 xWCxWCxWCxWCx +++=φ (3.19)
onde )8,7,6,5,4,3,2,1)(( =jxW j , são dadas pelas expressões (3.14) e (3.15), tem-se
que o sistema (3.7) toma a forma:
0
8
7
6
5
4
3
2
1
8887868584838281
7877767574737271
6867666564636261
5857565554535251
4847464544434241
3837363534333231
2827262524232221
1817161514131211
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
CCCCCCCC
FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF
(3.20)
Os termos da matriz F são:
ii WF =1 01 =jF (3.21a)
dxdW
F ii =2 02 =jF (3.21b)
03 =iF 2
2
3 dxWd
EIF jj = (3.21c)
04 =iF 3
3
4 dxWd
EIF jj = (3.21d)
ii WF =5 jj WF −=5 (3.21e)
dxdW
F ii =6
dxdW
F jj −=6 (3.21f)
2
2
7 dxWd
EIF ii =
2
2
7 dxWd
EIF jj −= (3.21g)
ii
i WkLdx
WdEIF 4
3
3
8 α+= 3
3
8 dxWd
EIF jj −= (3.21h)
com 4..1=i e 8..5=j .
57
Igualando o determinante de F a zero, obtêm-se a equação característica em
termos dos parâmetros β , υ e α :
0)(cosh)2cos()(cosh)sen()()senhsen()(sen)(cos
)(senh)(cos)(senh)(cos)(cos)(cosh)(sen)(cosh)()coshsen()(sen)(senh
)()senhsen()(cos)(senh)()coshcos()(cos)(senh)()senhsen()(cos)(senh)(senh)()coscos()cosh()(senh)()sensen()cosh()cosh()()sencos()cosh(
)cosh()()cossen()cosh())senh(sen()cosh(2
2
2
=+−
++
+−
+++−−−
−++
βββυαββυββυβαββυ
βυαββυββυβαβ
βββυαβββυββυαβ
ββυββυαββββυβυαββββυβυαβββυββυαβββυββυαβββυββυαβ
ββυββυαββυββυαβ
(3.22)
onde LL /1=υ , é o parâmetro de posição da massa concentrada ao longo da
coluna.
Com as raízes de (3.22), têm-se as freqüências naturais da coluna
apresentada na Figura 3.1 (b) através da expressão (3.11) e conseqüentemente os
modos de vibração a partir das funções (3.14) e (3.15).
3.1.1. Estudo das Freqüências Naturais
Nesse estudo buscou-se mostrar o comportamento das freqüências naturais,
com a variação dos parâmetros υ (posição da massa concentrada) e α (relação
entre a massa concentrada e a massa da coluna). Os casos analisados são:
• →= 0.0υ Coluna sem massa concentrada;
• →= 25.0υ Massa concentrada a 0.25 do comprimento da coluna;
• →= 50.0υ Massa concentrada a 0.50 do comprimento da coluna;
• →= 75.0υ Massa concentrada a 0.75 do comprimento da coluna;
• →= 00.1υ Massa concentrada na ponta da coluna.
As freqüências naturais são obtidas através da equação (3.22), onde, para
determinados valores de υ e α , podem ser obtidas as raízes jβ . De posse dos
jβ , calculam-se as freqüências a partir da expressão (3.11).
Com as três primeiras freqüências naturais obtidas para cada caso, partiu-se
para a análise do comportamento das mesmas, onde estudaram-se as alterações
58
dos valores de jβ , ou seja, variações das freqüências naturais, com a mudança do
parâmetro α na expressão geral das freqüências naturais (3.22). Adotou-se α
variando de 0.01 a 100.
O comportamento da primeira freqüência natural com a variação de α e υ
é apresentado na Figura 3.4.
Figura 3.4: Variação da primeira freqüência em função de α e υ .
Observa-se que o valor de jβ decresce conforme aumenta o valor da
relação de massa, α , ou seja, cM cresce. Esse decréscimo é mais acentuado para
posições da massa concentrada próximas do topo da coluna. Com isso há uma
redução marcante da freqüência natural, indicando que o sistema fica mais
flexível quanto mais próxima da extremidade livre estiver a massa concentrada.
O comportamento da segunda freqüência natural é ilustrado na Figura 3.5.
Na mesma observa-se que a segunda freqüência é bastante sensível à posição da
massa. Para valores de α menores que três, a redução é maior quando a massa
concentrada esta na metade da coluna. A partir desse ponto, a maior redução
ocorre para 25.0=υ . Nota-se ainda que, quando a massa está a um quarto da
extremidade livre ( 75.0=υ ), praticamente não há alteração no valor da
freqüência, fato este explicado observando-se a Figura 3.9, que apresenta o
comportamento do segundo modo de vibração de uma coluna engastada e livre.
Como se observa, nesse caso, a massa concentrada coincide praticamente com a
posição do nó.
59
Figura 3.5: Variação da segunda freqüência em função de α e υ .
A Figura 3.6 mostra o comportamento da terceira freqüência natural com a
variação do parâmetro α .
Figura 3.6: Variação da terceira freqüência em função de α e υ .
Nota-se na Figura 3.6 que também há redução da freqüência natural e ainda,
quando a massa concentrada esta no meio da coluna não há variação dos valores,
em comparação com uma coluna sem massa concentrada.
Pode-se observar na Figura 3.7, uma comparação entre as freqüências da
coluna para uma relação de massas 1=υ .
60
Figura 3.7: Comparação entre as três primeiras freqüências quando 1=υ .
Nota-se que as freqüências são bem separadas para esse caso, sendo que o
mesmo acontece para as demais relações de massas.
3.1.2. Estudo dos Modos de Vibração
Os modos de vibração são obtidos através da resolução do sistema (3.7),
onde, uma vez obtidas as constantes jC para cada jβ , pode-se desenhar os modos
de vibração a partir das expressões (3.14) e (3.15) que descrevem as autofunções
do problema.
Para essa análise é adotada a relação entre massas 1.0 ( 0.1=α ). Então,
pode-se encontrar os três primeiros modos de vibração normalizados para υ igual
a 0.00, 0.25, 0.50, 0.75, 1.00.
O comportamento do primeiro modo de vibração, normalizado, para
diferentes valores de υ , é apresentado na Figura 3.8.
61
Figura 3.8: Forma do primeiro modo de vibração variando-se υ .
Observa-se que quase não há alteração na forma do primeiro modo de
vibração para diferentes valores de υ .
O segundo modo de vibração, normalizado, comporta-se como apresentado
na Figura 3.9.
Figura 3.9: Forma do segundo modo de vibração variando-se υ .
Pode-se observar que os modos têm amplitude máxima na extremidade
livre, com exceção do modo para 0.1=υ . Observa-se ainda que as configurações
dos modos são parecidas, entretanto a posição do nó varia com a posição da massa
ao longo da coluna.
62
O comportamento do terceiro modo de vibração, normalizado, é apresentado
na Figura 3.10.
Figura 3.10: Forma do terceiro modo de vibração variando-se υ .
Nota-se que há uma influência marcante da posição da massa na forma do
terceiro modo de vibração.
Em resumo, pode-se afirmar que a massa concentrada tem pouca influência
na forma do primeiro modo, mas sua influência cresce para os modos mais altos.
3.2. Coluna de Seção Variável com Força Axial
As colunas de seção variável estudadas estão expostas na Figura 3.11.
Observa-se que as colunas possuem seção transversal variável e estão sob a ação
de uma força axial devida à carga concentrada p no topo da torre e ao
carregamento axial xq (peso próprio).
63
L
p
MxEIx
qx
x
x
qx
EIx Mx
Mc
p
L
L1
L2
(a) Coluna sem massa concentrada (b) Coluna com massa concentrada
Figura 3.11: Coluna de seção variável com força axial.
A equação de movimento da coluna apresentada na Figura 3.11 (a) é
deduzida a partir do funcional de energia da coluna (3.1), de onde se obtém a
equação diferencial com coeficientes variáveis:
0)()1(
)()1()()1(
2
2
12
22
2
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+ ++
ttwxM
xxwx
dxdN
xxwx
dxdEI
no
no
no
η
ηη (3.23)
Adotando (3.3) como solução do problema, reduz-se (3.23) à equação
diferencial ordinária de quarta ordem:
0)()()1(
)()1()()1)(2(
)()2)(1(2)()1(
2
2
2
2
22
3
3
4
42
=−⎥⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎥
⎦
⎤⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
xwMdx
xdwn
dxxwdxN
dxxwdnn
dxxwdnx
dxxwdxEI
co
o
o
ωη
ηη
ηηη
(3.24)
64
Seguindo a metodologia apresentada por Li et al. (2000), tem-se que a
solução geral da equação diferencial ordinária (3.24) é dada por:
)()()()()( 224223112111 dKdCdIdCdYdCdJdCx nn
nn
nn
nn −−−− +++=φ (3.25)
na qual
xsNNd ee ηη
+++= 12 421 (3.26)
xsNNd ee ηη
++−= 12 422
(3.27)
onde ooe EINN 2/= e oco EIMs /24 ω= .
Os termos )(dJ n , )(dYn , )(dI n e )(dKn são funções de Bessel de
primeiro, segundo, terceiro e quarto tipo, respectivamente.
Para a coluna apresentada na Figura 3.11 (a), as condições de contorno são
dadas pelas expressões (3.6). Substituindo a expressão (3.25) nas condições de
contorno (3.6), obtém-se, novamente, o sistema (3.7).
Admitindo que a solução geral do problema pode ser representada pela
expressão (3.8), onde os )4,3,2,1)(( =jxW j são dados pela expressão (3.25), tem-
se que o sistema (3.7) toma a forma:
0
4
3
2
1
24
2
23
2
222
2
21
2
424
2
323
2
222
2
121
2
4321
4321
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
++++
CCCC
WNdx
WdEIdxdWN
dxWdEI
dxdWN
dxWdEI
dxdWN
dxWdEI
dxd
WNdx
WdEIWNdx
WdEIWNdx
WdEIWNdx
WdEI
dxdW
dxdW
dxdW
dxdW
WWWW
xxxxxxxx
xxxxxxxx (3.28)
Para que o sistema (3.7), nesse caso, tenha solução não-trivial é necessário,
novamente, que o determinante da matriz F seja igual a zero. Assim tem-se que
suas raízes fornecem as freqüências naturais através de (3.11) e,
conseqüentemente, os seus modos de vibração através de (3.25).
65
Adicionando ao problema uma massa concentrada tem-se o problema
representado pela Figura 3.11 (b), onde suas equações de movimento também são
deduzidas através do funcional de energia da coluna (3.1).
0)(
)1(
)()1()()1(
21
2
112
12
22
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+ ++
ttw
xM
xxwx
dxdN
xxwx
dxdEI
no
no
no
η
ηη
(3.29)
0)()1(
)()1()()1(
22
2
212
22
22
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+ ++
ttwxM
xxwx
dxdN
xxwx
dxdEI
no
no
no
η
ηη
(3.30)
Utilizando o mesmo processo empregado na coluna exposta na Figura 3.11
(a), chega-se à solução das equações (3.29) e (3.30), que são:
)()()()()( 2242231121111 dKdCdIdCdYdCdJdCx nn
nn
nn
nn −−−− +++=φ (3.31)
)()()()()( 2282271161152 dKdCdIdCdYdCdJdCx nn
nn
nn
nn −−−− +++=φ (3.32)
Como se trata de uma coluna engasta e livre com uma massa concentrada,
tem-se que suas condições de contorno e suas condições de continuidade são
dadas pelas expressões (3.16) e (3.17), respectivamente. Substituindo as
expressões (3.31) e (3.32) em (3.16) e (3.17), obtém-se, novamente, o sistema
(3.7), 0FC = .
Admitindo que as soluções gerais do problema possam ser expressas como
as expressões (3.18) e (3.19), tem-se que o sistema (3.7) é dado pelo sistema
(3.20) e os termos da matriz F são:
ii WF =1 01 =jF (3.33a)
dxdW
F ii =2 02 =jF (3.33b)
66
03 =iF jx
jxj WN
dxWd
EIF += 2
2
3 (3.33c)
04 =iF ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+= jx
jxj WN
dxWd
EIdxdF 2
2
4 (3.33d)
ii WF =5 jj WF −=5 (3.33e)
dxdW
F ii =6
dxdW
F jj −=6 (3.33f)
ixi
xi WNdx
WdEIF += 2
2
7 jxj
xj WNdx
WdEIF −−= 2
2
7 (3.33g)
iii
i WkLNWdx
WdEI
dxdF 4
3
3
8 α+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−= j
jj NW
dxWd
EIdxdF 3
3
8 (3.33h)
onde 4..1=i e 8..5=j .
Conseqüentemente, chega-se ao mesmo problema da coluna da Figura 3.11
(a), onde, novamente, o determinante da matriz F , igualado a zero, fornece os
autovalores a partir de (3.11) e os modos de vibração através das expressões
(3.31) e (3.32).
3.2.1. Avaliação da Força Axial
Ao considerar a força axial agindo sobre a coluna é necessário saber como
comporta-se a distribuição dessa força ao longo da mesma. Para os casos da
Figura 3.11, tem-se que a força axial é dada pelo somatória da carga concentrada
p e o carregamento axial xq (peso próprio), como ilustrado na Figura 3.12.
67
x
p
Lqx
Figura 3.12: Variação da força axial (Li et al., 2000).
Através da Figura 3.12 pode-se deduzir a função que descreve a variação da
força axial agindo na coluna. Assim tem-se:
)()( xLqpxN xx −+= (3.34)
onde gMq xx = .
No Capítulo 2 desse estudo foi adotado que 1)1( ++= nox xNN η . Então, para
correlacionar estas duas expressões e determinar oN , é utilizado o processo
apresentado por Li et al. (2000), onde este parâmetro pode ser determinado
através da equivalência de momentos fletores na base da coluna.
[ ] dxxxLqpdxxxNL
x
Ln
o )(.)()()1(00
1 φφη ∫∫ −+=+ + (3.35)
Para facilidade o processo, adota-se )(xφ como sendo o primeiro modo de
vibração da coluna da Figura 3.11 (a) sem a consideração da força axial.
3.2.2. Exemplo Numérico
Os parâmetros do exemplo numérico estão apresentados na Figura 3.13.
68
x
qx
EIx Mx
10m
Figura 3.13: Coluna do exemplo numérico.
Observa-se que esse exemplo trata de uma coluna com seção variável, tendo
um comprimento total de 10 m, um diâmetro inferior de 1.00 m e um diâmetro
superior de 0.80 m. Para representar a variação da seção transversal foram
adotados os parâmetros 1021.0 −−= mη e 1=n .
Para obterem-se os parâmetros do problema, é necessário calcular os valores
da área e do momento de inércia em 0.0=x . Esses valores são dados por:
)(0 edeA ext −= π (3.36)
))2((64
440 eddI extext −−=
π (3.37)
onde, e é a espessura da parede da coluna e extd é o diâmetro externo da seção.
Adotando 11101.2 xE = N/m2, 2125=ρ Kg/m3 e 5=e cm, pode-se
determinar a rigidez a flexão e a massa por unidade de comprimento da seção em
0.0=x , que são:
• 80 1035.450418x=EI Nm2;
• 317.1045100 == ρAM Kg/m.
69
3.2.2.1. Coluna sem o Efeito do Peso Próprio
Com os parâmetros definidos, tem-se que as três primeiras freqüências
naturais da coluna, sem o efeito do peso próprio, são apresentadas na Tabela 3.2.
Tabela 3.2: Freqüências naturais da coluna sem o efeito do peso próprio (rad/s).
1ω 2ω 3ω
120.82572142 687.037720005 1869.35950259
Os três primeiros modos de vibração para essa coluna são mostrados na
Figura 3.14.
(a) Primeiro (b) Segundo (c) Terceiro
Figura 3.14: Modos de vibração da coluna sem o efeito do peso próprio.
3.2.2.2. Coluna com o Efeito do Peso Próprio
Para se obter as freqüências naturais e os modos de vibração considerando a
carga distribuída é necessário calcular o valor de 0N . A distribuição de carga
axial é dada pela equação (3.34), sendo nesse caso 0.0=p . Conforme o método
proposto, xN é dado por 1)1( ++= nox xNN η , sendo 0N determinado a partir da
equação (3.35).
Para simplificar, é assumido que )(xφ tem a forma do primeiro modo de
vibração da coluna da Figura 3.13 sem o efeito da carga axial (peso próprio).
Assim obtém-se 31196.102100 =N N.
70
As três primeiras freqüências naturais estão apresentadas na Tabela 3.3.
Nota-se que a influência do peso próprio é desprezível. Na verdade, está
influência é pequena na maioria das torres esbeltas.
Tabela 3.3: Freqüências naturais da coluna com o efeito do peso próprio (rad/s).
1ω 2ω 3ω
120.82310965 687.03331335 1869.35483997
Os três primeiros modos de vibração para essa coluna estão apresentados na
Figura 3.15.
(a) Primeiro (b) Segundo (c) Terceiro
Figura 3.15: Modos de vibração da coluna com o efeito do peso próprio.
4 Solução do Sistema Coluna-Pêndulo
Nesse capítulo apresenta-se a metodologia para se obter as freqüências e
modos de vibração do sistema coluna-pêndulo. Um exemplo de uma coluna com
absorsor pendular é apresentado. A seguir, é realizada uma correlação do sistema
coluna-pêndulo com um modelo discreto, donde são obtidas as equações de
movimento que representam um sistema coluna-pêndulo com dois graus de
liberdade. Por fim, faz-se uma análise linear das equações de movimento do
sistema, obtendo-se algumas relações ótimas para o sistema de absorção.
4.1. Solução Modal
Para analisar o sistema coluna-pêndulo, é utilizado o método de Rayleigh-
Ritz. Esse método apresenta-se como uma boa ferramenta na análise linear e não-
linear, quando tem-se um sistema que apresenta condições de contorno e equações
diferenciais não-lineares complexas. O método consiste na substituição, no
funcional de energia, de uma função de aproximação, bf , para a deflexão da
coluna, usualmente na forma de séries:
∑=
=b
jjjb Af
0φ (4.1)
onde jA são constantes que multiplicam as funções jφ e b é o número de termos
necessário para a descrição do campo de deslocamentos com a precisão desejada.
As funções jφ são dadas pelos modos de vibrações das colunas apresentadas no
capítulo anterior.
Substituindo-se a expressão (4.1) no funcional de energia (2.52) e
integrando-se a expressão resultante, tem-se uma expressão em termos das
constantes jA e θ .
72
As constantes jA e θ são determinadas utilizando o princípio de Hamilton
e a expressão discretizada do funcional de energia. Portanto, tem-se 1+b
equações de equilíbrio, encontradas a partir de:
0=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂
j
g
j
g
AL
dtd
AL
& bj ...1= (4.2)
0=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂
∂
θθ &gg L
dtdL
(4.3)
Assim, chega-se a um sistema de equações algébricas com as amplitudes jA
e θ como sendo as únicas incógnitas do problema, resultando em um problema de
autovalor, onde as freqüências naturais são os autovalores e os autovetores os
respectivos modos de vibração.
4.2. Exemplo
O exemplo trata de um sistema coluna-pêndulo, onde a coluna tem seção
transversal constante e está sujeita a um carregamento axial devido ao peso
próprio. O sistema em estudo é apresentado na Figura 4.1.
q360 m
6 m
Figura 4.1: Exemplo em estudo.
Os demais parâmetros do sistema são:
73
• 360=L m, comprimento da coluna;
• 976.2=A m2, área da seção transversal da coluna;
• 4176=ρ Kg/m3, massa por unidade de volume da coluna;
• 11101.2 ×=E N/m2, modulo de elasticidade da coluna;
• 61.133=I m4, momento de inércia da seção transversal da coluna;
• 44740=m Kg, massa do pêndulo (1.0% da massa total da coluna);
• 0.6=l m, comprimento da haste do pêndulo;
• 81.9=g m/s2, aceleração da gravidade.
Esses dados foram baseados no trabalho de Pinheiro (1997), que considerou
uma torre de seção variável com 362.7m de altura e uma massa total de 4473.9 t.
Seguindo a teoria clássica para sintonização do absorsor tem-se, para esses
dados, que a freqüência do pêndulo isolado é aproximadamente igual à primeira
freqüência natural da coluna sem absorsor ( )pc ωω ≈ .
Adotando a metodologia do item 4.1, considerando os três primeiros termos
de (4.1), obtêm-se as quatro equações de movimento do sistema coluna-pêndulo.
(4.4a)
(4.4b)
(4.4c)
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+−++
=−++−+
+−−+
=−−+−−
+−−+
=−++−+
+++−+
0)cos()sen(
0)sen()cos(
25.047.1294.054.063.951
0)sen()cos(
25.094.032.421.038.121
0)sen()cos(
25.054.021.078.009.3
3212
2321
332133
2321
232132
2321
132131
θθθ
θθθθ
θθθθ
θθθθ
AAAmlmlmgl
mlAAAm
AMLAAAMgL
EIA
mlAAAm
AMLAAAMgL
EIA
mlAAAm
AMLAAAMgLEIA
&&&&&&&&
&&&&&&&&&
&&
&&&&&&&&&
&&
&&&&&&&&&
&&
(4.4d)
onde jA e θ são as incógnitas do problema.
É importante ressaltar que ρAM = e que o carregamento axial para esse
caso é dado por )( xLqN −= , onde Mgq = .
74
Para obter as freqüências naturais e os modos de vibração é necessário que
as equações de movimento (4.4) sejam linearizadas. Para linearizar, considera-se
θθ ≅)(sen e 1)cos( ≅θ . A seguir, adota-se como solução itjj eAtA ω=)( e
itet ωθθ =)( . Então, tem-se que o sistema de equações de movimento (4.4) se
reduz ao sistema de equações algébricas:
(4.5a)
(4.5b)
(4.5c)
( )( )
( )( )
( )( )
( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+−++
=++−+
+−−+
=−+−−
+−−+
=++−+
+++−+
0
0
25.047.1294.054.063.951
0
25.094.032.421.038.121
0
25.054.021.078.009.3
321222
2321
2
32
32133
2321
2
22
32132
2321
2
12
32131
AAAmlmlmgl
mlAAAm
AMLAAAMgL
AEI
mlAAAm
AMLAAAMgL
AEI
mlAAAm
AMLAAAMgL
AEI
ωθωθ
θωω
ω
θωω
ω
θωω
ω
(4.5d)
Com as equações e os parâmetros do problema definidos pode-se obter o
sistema (4.6) do qual têm-se as freqüências naturais e os respectivos modos de
vibração.
0|| 2 =− MK ω (4.6)
Em (4.6) M é matriz de massa, K, a matriz de rigidez, e ω , a freqüência
natural do sistema coluna-pêndulo.
As quatro primeiras freqüências naturais do sistema acoplado são
apresentadas na Tabela 4.1.
Tabela 4.1: Freqüências naturais do sistema (rad/s).
1ω 2ω 3ω 4ω
1.144791021 1.401425568 8.053438208 22.59139432
75
Determinadas as freqüências naturais, pode-se obter a configuração dos
modos de vibração do sistema, que estão apresentados na Tabela 4.2 e Figura 4.2.
Os mesmos estão normalizados de modo que as amplitudes máximas sejam
unitárias.
Tabela 4.2: Modos de vibração do sistema.
Constantes 1φ 2φ 3φ 4φ
1A 0.78372 0.65126 -0.00009 -0.00002
2A -0.00356 0.00378 0.12867 0.00003
3A 0.00032 -0.00057 0.00005 -0.09135
θ 0.53022 -0.64364 0.022 0.01528
(a) Primeiro (b) Segundo
(c) Terceiro (d) Quarto
Figura 4.2: Modos de vibração do sistema coluna-pêndulo.
76
4.3. Justificativa para o Modelo de dois Graus de Liberdade
Com essa calibração, o pêndulo tem grande influência no primeiro e
segundo modo de vibração. Comparando o terceiro e quarto modo da coluna com
e sem pêndulo, verifica-se que a influência do pêndulo sobre esses modos é
desprezível, o mesmo ocorrendo com as freqüências naturais associadas a esses
modos, que são bem superiores às duas primeiras. No segundo modo de vibração
o pêndulo atinge seu maior deslocamento angular. Como o pêndulo tem apenas
influência no primeiro e segundo modo de vibração, adota-se para a análise do
sistema um modelo simplificado com dois graus de liberdade, um grau referente
ao deslocamento transversal da coluna e outro referente ao deslocamento angular
do pêndulo.
4.3.1. Equações Não-Lineares do Modelo de Dois Graus de Liberdade
As equações de movimento do sistema coluna-pêndulo com dois graus de
liberdade é obtida, novamente, através da metodologia explicitada no item 4.1.
Considerando o primeiro termo da expressão (4.1), tem-se que o sistema de
equações de movimento é dado por:
(4.7a) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++
=−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++
0)cos()sen(
0)sen()cos(78.009.325.0
2
23
θθθ
θθθθ
wmlmglml
mlwMgL
EIwmML
&&&&
&&&&&
(4.7b)
onde w é o deslocamento transversal da coluna e θ , o deslocamento angular do pêndulo.
4.4. Correlação com o Modelo Discreto de Dois Graus de Liberdade
O sistema coluna-pêndulo pode ser correlacionado com um modelo discreto
de dois graus de liberdade, ou seja, o sistema massa-pêndulo apresentado na
Figura 4.3.
77
md
θ ld
Cd
Kd
w(L)
Md Fo sen(ωet)Kpd
Figura 4.3: Sistema discreto massa-pêndulo.
Na Figura 4.3 dM , dC e dK são a massa, o coeficiente de amortecimento e
a rigidez elástica da massa do sistema discreto, respectivamente, 0F é a amplitude
da força de excitação e eω , a freqüência de excitação. Já dm , pdC , pdK , dl são,
respectivamente, a massa do pêndulo, o seu coeficiente de amortecimento (não
representado na Figura 4.3), a rigidez e o comprimento da haste do pêndulo.
As equações de movimento do sistema discreto são obtidas usando-se a
equação de Lagrange em sua forma fundamental para coordenadas generalizadas
iq , que são dadas por:
QqE
qV
qT
qT
dtd
iiii
=∂∂
+∂∂
+∂∂
−∂∂
&&
)()()()( (4.8)
onde T é a energia cinética, V a energia potencial, E a energia dissipada e Q a
força genérica externa.
As parcelas de energia são deduzidas da Figura 4.3, a saber:
22
21
21 vmwMT dd += & (4.9a)
22
21
21 θpddd KghmwKV ++= (4.9b)
22
21
21 θ&& pdd CwCE += (4.9c)
78
Sabendo que h e 2v são dadas pelas expressões (2.38) e (2.42),
respectivamente, tem-se que as expressões de energia tomam a forma:
))cos(2(21
21 2222 θθθ &&&&& llwwmwMT dd +++= (4.10a)
22
21))cos(1(
21 θθ pddd KglmwKV +−+= (4.10b)
22
21
21 θ&& pdd CwCE += (4.10c)
Aplicando a equação de Lagrange e adotando como coordenadas
generalizadas w e θ tem-se o sistema de equações de movimento.
(4.11a) ( ) ( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=++++
=−++++
0)cos()sen(
t)sen()sen()cos(2
e02
θθθθθ
ωθθθθ
wlmglmKClm
FlmwKwCwmM
ddddpdpddd
dddddd
&&&&&
&&&&&&
(4.11b)
Então, faz-se uma correlação entre o sistema dado em (4.7), com o sistema
da expressão (4.11), resultando nas equações de movimento que serão estudas no
decorrer desse trabalho:
(4.12a) ( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=++++
=
−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+++
0)cos()sen(
t)sen()sen(
)cos(78.009.325.0
2
e02
3
θθθθθ
ωθθ
θθ
wmlmglKCml
Fml
mlwMgL
EIwCwmML
pp &&&&&
&
&&&&&
(4.12b)
Para facilitar a análise paramétrica, as equações de movimento (4.12) são
transformadas em equações adimensionais. Para isso são adotados os parâmetros:
MLm 25.0/=µ , ccMLC ωξ225.0/ = , 225.0/ cMLK ω= ,
22/ lmC ppp ωξ= , 2/ plg ω= e 20 25.0/ ceswMLF ω= .
onde cω é a freqüência natural da coluna, pω a freqüência natural do pêndulo, cξ
a taxa de amortecimento da coluna, pξ a taxa de amortecimento do absorsor
pendular e esw o deslocamento estático do sistema principal.
79
Além disso, considera-se ζlw = , onde ζ é o parâmetro adimensional de
deslocamento da coluna. Ainda, utilizando a variável auxiliar teωτ = , onde eω é
a freqüência de excitação, chega-se às equações de movimento
adimensionalizadas:
(4.13a)
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
0)(sen)cos(,,2,
)(sen)(sen,
)cos(,,2,)1(
2
22
2
θωω
µθµζθωω
µξµθ
τωω
ζθµθ
θµθζωω
ζωω
ξζµ
τττττ
τ
τττττ
e
p
e
pp
e
cs
e
c
e
cc
(4.13b)
onde sζ refere-se ao parâmetro adimensional do deslocamento estático.
Chegando as equações de estado:
(4.14a)
(4.14b)
(4.14c)
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=
=+
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
=
)(sen)cos(2
)1(
)(sen)cos(2)(sen
3
2
3244
43
32
4341
2
2
2
2
21
yyyyy
yy
yyyyyyy
yy
e
p
e
pp
e
c
e
cs
e
cs
ωω
ωω
ξ
µ
µµωω
ωω
ξτωω
ζ
&&
&
&
&
&
(4.14d)
onde, 1y é o deslocamento, 1y& ou 2y , a velocidade e 2y& a aceleração da coluna, e
3y é o deslocamento, 3y& ou 4y , a velocidade e 4y& a aceleração do pêndulo
absorsor.
4.5. Relação Freqüência-Amplitude da Coluna com Pêndulo Absorsor
Introduzindo-se um absorsor em um sistema de um grau de liberdade busca-
se, obviamente, reduzir as amplitudes dos deslocamentos do sistema principal.
80
Assim, em um sistema massa-mola sob excitação harmônica, Den Hartog (1956),
apud Pinheiro (1997), indica que a freqüência do absorsor deve ser escolhida de
forma a igualar-se com a freqüência da perturbação. Nessa condição, e na
ausência de amortecimento, a massa principal não vibra, pois o sistema de
absorção oscila de forma que a força criada por sua presença é igual e oposta, a
todo instante, à força de excitação. Com base nesses conceitos, pretende-se obter
relações semelhantes para o absorsor pendular.
É necessário que as equações de movimento (4.12) sejam linearizadas,
sendo que, para facilitar a análise, tomou-se a rigidez do pêndulo nula. As
equações de movimento linearizadas são:
(4.15a) ( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+++
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+++
0
t)sen(78.009.325.0
2
e03
wmlmglCml
FmlwMgL
EIwCwmML
p &&&&&
&&&&&
θθθ
ωθ
(4.15b)
Adotando como solução ti eeww ω= e ti ee ωθθ = , chega-se às equações
algébricas:
(4.16a)
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−+−
=−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
0)(
)25.0(78.009.3
22
022
3
θωωω
θωωω
iClgmlwml
FmlwMLmCMgL
EI
ePee
eee
(4.16b)
Para facilitar o desenvolvimento adotou-se:
231 )25.0(78.009.3
ee MLmCMgL
EIQ ωω +−−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= (4.17a)
22 emlQ ω−= (4.17b)
)( 23 elgmlQ ω−= (4.17c)
Com isso tem-se as amplitudes do deslocamento horizontal da coluna e do
deslocamento angular do pêndulo, que são:
81
iCQQQQiCQF
weP
ePo
ωω
12
231
3 )(+−
+= (4.18a)
iCQQQQQF
eP
o
ωθ
12
231
2
+−
−= (4.18b)
Aplicando algumas operações de números complexos na equação referente
ao deslocamento horizontal (4.18a), tem-se que a sua magnitude no domínio dos
reais é dada por:
( )( ) 2
1
22231
223
2
32
)(
)(78.009.3
iCQQQQ
iCQMgL
EI
ww
eP
eP
es ω
ω
+−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (4.19)
sendo, ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=Mg
LEI
Fw o
es
78.009.33
.
Da expressão (4.19) obtêm-se o fator de amplificação de deslocamento da
coluna, que é dado, em sua forma adimensional, por:
( ) ( )( ) ( )2222422222
2222
)21(2)21)((
2
ϑϖµξµϖϖϖξϖµµϖϖϖξµϖµϑ
ϑϖµξµϖµϑζ
pcc
pFA−−−+−−−−−
+−= (4.20)
onde ϑ é a relação entre a freqüência natural do absorsor pendular e a freqüência
natural da coluna; µ a razão entre as massa do pêndulo e a massa modal da
coluna e ϖ a relação entre a freqüência de excitação e a freqüência natural da
coluna.
Nas Figuras 4.4 e 4.5 mostram-se a variação do fator de amplificação de
deslocamento e rotação no topo da coluna, respectivamente, com a relação entre a
freqüência de excitação e a freqüência natural da coluna, ϖ , para níveis
crescentes de amortecimento do pêndulo absorsor.
82
Figura 4.4: Comportamento do fator de amplificação de deslocamento da coluna.
Figura 4.5: Comportamento do fator de amplificação da rotação no topo da coluna.
Observa-se que as amplitudes de deslocamento e rotação da coluna são
proporcionais. Nota-se na Figura 4.4 que, comparando o comportamento da
coluna com e sem absorsor, têm-se que o pêndulo não-amortecido causa a maior
redução das amplitudes da coluna na região de ressonância, mas gera duas regiões
próximas onde se faz sentir o efeito da ressonância relativas aos dois primeiros
modos de vibração. À medida que se aumenta o amortecimento do pêndulo esses
picos decrescem até atingir um valor ótimo. Se o amortecimento for aumentado
além desse limite a amplitude máxima de vibração volta a crescer, e a eficiência
do pêndulo absorsor vai decrescendo até que praticamente desaparece, como se
observa na resposta para 0.1=pξ .
Nota-se, ainda, que as cinco curvas para os diferentes valores de
amortecimento do pêndulo absorsor passam pelos pontos P e Q .
83
O projeto ótimo dos absorsores passivos, tal como proposto por Den Hartog
(1956), é baseado na determinação dos valores de ϑ e pξ que fazem com que os
pontos invariantes P e Q estejam a uma mesma altura e que o mais alto pico de
amplitude passe por um deles. Ainda, esse critério assegura que a curva de
resposta em freqüência da massa primária será a mais plana possível, tornando o
absorsor eficiente em uma maior faixa de freqüências.
Então, inicialmente, é necessário encontrar os valores de ϖ para os pontos
invariantes, onde ζFA seja independente do fator de amortecimento pξ .
Reescrevendo a expressão (4.19) na forma:
( )( ) 4
23
22
1
2
DCDDCD
ww
P
P
es ++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (4.21)
onde,
22
31 78.009.3eMg
LEID ω⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= (4.22a)
23
2
32 78.009.3 QMgL
EID ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= (4.22b)
2213 eQD ω= (4.22c)
( )222314 QQQD −= (4.22d)
pode-se visualizar, na expressão (4.22), que 1D e 3D independem de pC , e que
2D e 4D são proporcionais a pC . A resposta será independente de pC se
4231 // DDDD = , o que ocorre nos pontos P e Q .
Resolvendo essas equações, obtém-se uma equação a ser resolvida em eω ,
cujos valores são os dois pontos independentes do amortecimento do absorsor.
02 2231
42 =− QQQQ (4.23)
84
Substituindo os valores de 1Q , 2Q e 3Q em (4.23), obtém-se a expressão
(4.24), que representa a solução da expressão (4.23). Além das soluções triviais, a
equação fornece os valores de eω nos pontos P e Q . São estas:
)2(
)1(2)1( 2422422
+
++−±++=− µ
µωωωωµωωω ppccpc
QeP (4.24)
Com os valores de eω obtidos nos pontos P e Q , é necessário ajustar a
relação de freqüências ϑ para que esses pontos tenham a mesma ordenada. Para
isso, deve-se substituir ePω na expressão (4.19), obtendo uma ordenada para a
amplitude de deslocamento. Fazendo o mesmo para eQω , tem-se a ordenada desse
outro ponto. Igualando as duas, chega-se à equação que determina a calibração
ótima do pêndulo com a estrutura:
( ) ( ) 012111
2/1
242
22
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛µ
ωω
ωω
µωω
c
p
c
p
c
p (4.25)
Tomando-se o primeiro termo da expressão (4.25), tem-se que a razão de
sintonia ótima é:
µωω
ϑ+
==1
1
c
pótimo (4.26)
O segundo termo da expressão (4.25) fornece as outras soluções, mas como
essas possuem forma complexa, não têm significado físico.
Com a expressão (4.26), fica garantido que os pontos P e Q possuem a
mesma ordenada. Para determinar o valor dessa ordenada é necessário substituir
uma das raízes de (4.24) em (4.21), adotando a relação (4.26). Assim obtém-se:
µζ21_ +=ótimoFA (4.27)
85
Se a inclinação da curva de resposta for igualada a zero em cada um dos
pontos invariantes, obtêm-se para o amortecimento do absorsor pendular:
( )µµµµ
ξ+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+±
=18
23
2p
(4.28)
Segundo Den Hartog (1956), uma boa estimativa para pξ ótimo é o valor
médio da expressão (4.28).
( )µµξ+
=183
pótimo (4.29)
Na Figura 4.6 comparam-se algumas curvas para diferentes valores de pξ
com a curva obtida com a calibração ótima, dada por 1201.0=pótimoξ .
Figura 4.6: Comportamento do fator de amplificação de deslocamento da coluna para o
ajuste ótimo.
Nota-se na Figura 4.6 que, para um 04.0=µ e 0.0=pξ , a resposta é
bastante sensível a alterações em ϖ , pois qualquer mudança da magnitude de ϖ
ótimo na região de ressonância leva a um alto valor de amplitude. Isso pode ser
provocado, por exemplo, por variações na freqüência de excitação. Segundo
86
Franchek (1995), para reduzir a sensibilidade de ϖ pode-se aumentar a
magnitude da relação de massas µ , aumentando, assim, a largura da faixa entre
os picos de ressonância. Apresenta-se na Figura 4.7 o comportamento das
amplitudes para diferentes magnitudes de µ e 0.0=pξ . Observa-se que, quanto
maior a relação de massas, µ , maior é a largura da faixa entre os picos de
ressonância, diminuindo assim a sensibilidade do sistema e conseqüentemente de
variações na excitação e na freqüência da própria estrutura.
Figura 4.7: Comportamento do fator de amplificação de deslocamento da coluna para
diferentes relações de µ .
5 Estudo Paramétrico do Sistema Coluna-Pêndulo
Um estudo paramétrico detalhado para investigar o desempenho do pêndulo
absorsor na redução das amplitudes da coluna, bem como o comportamento do
próprio pêndulo, é apresentado na seqüência. Utilizando as equações de estado
(4.14), obtêm-se os deslocamentos, velocidades e/ou acelerações da coluna e do
pêndulo absorsor por integração numérica, através do método de Runge-Kutta.
Inicialmente, é apresentado um estudo do comportamento das amplitudes do
sistema com a variação da freqüência de excitação. Posteriormente, é mostrado
um estudo de como o sistema se comporta alterando-se os parâmetros do pêndulo
absorsor, tais como a freqüência natural , o amortecimento e a rigidez.
5.1. Influência da Freqüência da Excitação no Comportamento do Sistema
Partindo das equações de estado (4.14), são obtidas as respostas no tempo e
os planos fase, bem como os diagramas de bifurcação através do método da força
bruta e as seções de Poincaré para esses diagramas de bifurcação, dos quais pode-
se compreender o funcionamento do pêndulo absorsor, para o sistema submetido a
um carregamento harmônico senoidal.
Conhecendo a freqüência da coluna ( cω ) pode-se variar as freqüências da
excitação ( eω ) e do pêndulo ( pω ) de modo que todos os casos possíveis em
termos de relações de freqüências ( ce ωω / , ep ωω / e cp ωω / ) possam ocorrer,
verificando, posteriormente, quais dessas relações promovem o controle de
vibrações da coluna original.
A análise é referente ao exemplo do item 4.2, que possui os seguintes
parâmetros:
• 255428.1=cω rad/s, que representa o freqüência natural da coluna;
• %7.0=cξ , é a taxa de amortecimento da coluna;
88
• %0.0=pξ , é a taxa de amortecimento do pêndulo absorsor;
• 04.0=µ , relação de massas (representa 4.0% da massa modal);
• 007.0=sζ , amplitude da força de excitação (adimensional);
• 0.0=pK , rigidez do absorsor pendular.
Inicialmente, são apresentados os espectros de resposta das amplitudes de
deslocamento da coluna e do pêndulo em função da freqüência de excitação,
usando tanto a formulação linear como a não-linear. As Figuras 5.1, 5.2 e 5.3
mostram os espectros para os casos cp ωω < , cp ωω = , cp ωω > ,
respectivamente.
(a) Comportamento Linear (b) Comportamento Não-Linear
Figura 5.1: Espectro de resposta de deslocamento do sistema para 7965.0/ =cp ωω .
(a) Comportamento Linear (b) Comportamento Não-Linear
Figura 5.2: Espectro de resposta de deslocamento do sistema para 00.1/ =cp ωω .
89
(a) Comportamento Linear (b) Comportamento Não-Linear
Figura 5.3: Espectro de resposta de deslocamento do sistema para 1151.1/ =cp ωω .
Nesse conjunto de resultados tem-se o comportamento das amplitudes de
deslocamento do sistema em relação a freqüência de excitação, donde observa-se
os picos de ressonância para o sistema acoplado em três casos distintos. Embora
apresentem as mesmas ressonâncias, a não-linearidade afeta de modo positivo as
vibrações da torre, diminuindo as amplitudes de vibração na região mais crítica.
As Figuras 5.4, 5.5 e 5.6 apresentam uma comparação entre os espectros de
resposta de deslocamento da coluna com absorsor e da coluna original, para os
mesmos casos estudados anteriormente.
(a) Comportamento Linear (b) Comportamento Não-Linear
Figura 5.4: Espectro de resposta de deslocamento da coluna para 7965.0/ =cp ωω .
90
(a) Comportamento Linear (b) Comportamento Não-Linear
Figura 5.5: Espectro de resposta de deslocamento da coluna para 00.1/ =cp ωω .
(a) Comportamento Linear (b) Comportamento Não-Linear
Figura 5.6: Espectro de resposta de deslocamento da coluna para 1151.1/ =cp ωω .
Observa-se nesses resultados que o desempenho do absorsor pendular está
intimamente ligado as relações de freqüências. No caso cp ωω < tem-se que o
pico de ressonância da coluna original coincide com o segundo pico de
ressonância do sistema acoplado, já para cp ωω > tem-se que o pico de
ressonância da coluna original coincide com o primeiro pico do sistema acoplado,
em ambos os casos o absorsor pendular é eficiente para uma pequena faixa de
freqüências de excitação. Como esperado, no caso em que cp ωω = a eficiência
91
do absorsor pendular é maior, pois o pico de ressonância da coluna original está
na região onde a coluna com absorsor atinge suas menores amplitudes.
Para melhor compreensão do funcionamento do absorsor pendular é
apresentado no decorrer desse capítulo um estudo detalhado do comportamento do
pêndulo bem como da coluna.
Na Figura 5.7 mostra-se o comportamento das amplitudes máximas de
deslocamento da coluna no estado permanente para diferentes magnitudes da
freqüência de excitação. Para referência, mostra-se também o valor do
deslocamento da coluna original em comparação com a coluna com absorsor.
Analisando esses resultados, conclui-se que quando ce ωω < , se ep ωω < há uma
redução na magnitude das oscilações, mas se ep ωω > , não há redução, mas sim
um aumento das amplitudes de vibração da coluna com absorsor. Já para ce ωω >
há uma inversão desse comportamento, se ep ωω < não há redução, mas se
ep ωω > , há redução. Finalmente observa-se que, quando ce ωω = , há sempre
redução (Figura 5.7 (d)).
A Figura 5.8 apresenta os respectivos diagramas de bifurcação, que ilustram
o comportamento da coluna com absorsor no estado permanente. Observando
esses diagramas, conclui-se que para ce ωω < a maior não-linearidade da resposta
ocorre na região em que ep ωω ≈ , com uma região de comportamento
particularmente complexa quando ep ωω < . Quando ce ωω > a resposta apresenta
sempre o mesmo período da excitação (representada por um ponto na seção de
Poincaré).
Já Figura 5.9 exemplifica o comportamento não-linear da coluna através das
respostas no tempo (fase permanente), dos planos fase e das seções de Poincaré de
pontos obtidos nos diagramas de bifurcação da Figura 5.8 para valores
selecionados de pω e ce ωω / .
92
(a) 3.0=eω rad/s e 2389.0/ =ce ωω (b) 7.0=eω rad/s e 5575.0/ =ce ωω
(c) 0.1=eω rad/s e 7965.0/ =ce ωω (d) ce ωω = e 00.1/ =ce ωω
(e) 4.1=eω rad/s e 1151.1/ =ce ωω (f) 7.1=eω rad/s e 3541.1/ =ce ωω
(g) 0.2=eω rad/s e 5931.1/ =ce ωω
Figura 5.7: Variação das amplitudes máximas de deslocamento da coluna original e com
absorsor na resposta permanente.
93
(a) 3.0=eω rad/s e 2389.0/ =ce ωω (b) 7.0=eω rad/s e 5575.0/ =ce ωω
(c) 0.1=eω rad/s e 7965.0/ =ce ωω (d) ce ωω = e 00.1/ =ce ωω
(e) 4.1=eω rad/s e 1151.1/ =ce ωω (f) 7.1=eω rad/s e 3541.1/ =ce ωω
(g) 0.2=eω rad/s e 5931.1/ =ce ωω
Figura 5.8: Diagramas de bifurcação para o deslocamento da coluna na resposta
permanente.
94
(a) 4.0=pω rad/s e 5575.0/ =ce ωω
(b) 6.0=pω rad/s e 7965.0/ =ce ωω
(c) 1.0=pω rad/s e 00.1/ =ce ωω
(d) 4.0=pω rad/s e 1151.1/ =ce ωω
(f) 6.0=pω rad/s e 3541.1/ =ce ωω
Figura 5.9: Resposta no tempo, plano fase e seção de Poincaré da resposta permanente
da coluna.
95
(a) 3.0=eω rad/s e 2389.0/ =ce ωω (b) 7.0=eω rad/s e 5575.0/ =ce ωω
(c) 0.1=eω rad/s e 7965.0/ =ce ωω (d) ce ωω = e 00.1/ =ce ωω
(e) 4.1=eω rad/s e 1151.1/ =ce ωω (f) 7.1=eω rad/s e 3541.1/ =ce ωω
(g) 0.2=eω rad/s e 5931.1/ =ce ωω
Figura 5.10: Diagramas de bifurcação para o deslocamento angular do pêndulo na
resposta permanente.
96
(a) 4.0=pω rad/s e 5575.0/ =ce ωω
(b) 6.0=pω rad/s e 7965.0/ =ce ωω
(c) 3.0=pω rad/s e 00.1/ =ce ωω
(d) 4.0=pω rad/s e 1151.1/ =ce ωω
(f) 2.0=pω rad/s e 3541.1/ =ce ωω
Figura 5.11: Resposta no tempo, plano fase e seção de Poincaré da resposta
permanente do pêndulo.
97
A Figura 5.10 ilustra a variação do deslocamento angular do pêndulo
através dos seus diagramas de bifurcação. É interessante notar que na região em
torno de ep ωω )3/1(≈ há sempre a presença de soluções eminentemente não-
lineares, possivelmente em virtude da presença de um sub-harmônico de ordem
três.
Já o comportamento não-linear do pêndulo absorsor é apresentado na Figura
5.11, que mostra as respostas no tempo, planos fase e seções de Poincaré para os
mesmos valores de pω e ce ωω / estudados na Figura 5.10.
Os resultados demonstram que o sistema passivo de absorção pendular pode
reduzir ou amplificar as amplitudes de deslocamento da coluna, conforme
alteram-se as relações entre as freqüências natural da coluna, natural do pêndulo e
da excitação.
5.2. Influência da Freqüência do Pêndulo no Comportamento do Sistema
Com base nas equações de estado (4.14), estuda-se a resposta do sistema,
com a variação da relação cp ωω / . São apresentadas as amplitudes máximas da
reposta total como da permanente, tanto para a coluna quanto para o pêndulo.
Também é mostrada a reposta permanente para diferentes valores de pω .
Os resultado foram obtidos com os parâmetros apresentados no item 5.1,
considerando, agora, ce ωω = . Na Figura 5.12 mostra-se a variação das
amplitudes máximas de deslocamento, velocidade e aceleração da coluna e do
pêndulo em função da relação cp ωω / . Cabe ressaltar que, em todos os casos, a
amplitude máxima ocorre nos instantes iniciais da resposta transiente. Para a
coluna, como esperado, as menores amplitudes ocorrem para cp ωω = . Entretanto,
pode-se verificar que o pêndulo é eficiente para uma ampla faixa do parâmetro
cp ωω / , tanto na fase transiente quanto na permanente. Os valores máximos da
resposta não controlada são dados para efeito de comparação na Tabela 5.1.
98
(a) Deslocamento da coluna. (b) Deslocamento do pêndulo.
(c) Velocidade da coluna. (d) Velocidade do pêndulo.
(e) Aceleração da coluna. (f) Aceleração do pêndulo.
Figura 5.12: Amplitudes máximas da resposta total e permanente da coluna e do
pêndulo.
Tabela 5.1: Valores máximos da resposta não controlada.
ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
Total Permanente Total Permanente Total Permanente
0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999 0.499999
A Figura 5.13 mostra o comportamento da resposta permanente no tempo
das amplitudes da coluna e do absorsor pendular para três relações de cp ωω / .
A estrutura é excitada por um carregamento harmônico senoidal dado, em
sua forma adimensional, por:
99
)sen(2
e
c τωω
ζ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= sF (5.1)
(a) Deslocamento da coluna
(b) Velocidade da coluna
(c) Aceleração da coluna
(d) Deslocamento do pêndulo
(e) Velocidade do pêndulo
(f) Aceleração do pêndulo
95.0=c
p
ωω
00.1=c
p
ωω
05.1=c
p
ωω
Figura 5.13: Comportamento das amplitudes durante a resposta permanente.
100
O gráfico da função (5.1) para o intervalo de tempo considerado na Figura
5.13 é mostrado na Figura 5.14.
Figura 5.14: Comportamento da força adimensional F.
Para cp ωω < , a coluna está em fase com a força e o pêndulo encontra-se
fora de fase ( o180 ). Para cp ωω > , a coluna e o pêndulo estão em fase e ambos
encontram-se fora de fase com relação a excitação.
5.3. Influência das Condições Iniciais do Pêndulo Absorsor no Comportamento do Sistema
Para isso, buscou-se variar o parâmetro de entrada, que representa o
deslocamento angular do pêndulo, de 2/π− até 2/π , e observou-se o
comportamento das amplitudes do sistema para diferentes tipos de excitação.
Os parâmetros do sistema são os mesmos utilizados no item 5.1, sendo que
agora pce ωωω == , pois é onde o pêndulo apresenta seu melhor desempenho na
redução das amplitudes da coluna.
5.3.1. Resposta do Sistema a um Carregamento Senoidal
Nessa análise são utilizadas as equações de estado (4.14). Na Figura 5.15
observa-se o comportamento das amplitudes máximas da coluna na resposta total.
Independente das condições iniciais, há sempre redução dos valores máximas de
deslocamento, velocidade e aceleração. A máxima redução ocorre para 00 =θ .
101
(a) Deslocamento (b) Velocidade (c) Aceleração
Figura 5.15: Comportamento das amplitudes máximas da coluna na resposta total para
um carregamento harmônico senoidal.
A Figura 5.16 apresenta o comportamento das amplitudes máximas da
coluna na resposta permanente. Como esperado, as condições iniciais do pêndulo
não interferem na redução na resposta permanente.
(a) Deslocamento (b) Velocidade (c) Aceleração
Figura 5.16: Comportamento das amplitudes máximas da coluna na resposta
permanente para um carregamento harmônico senoidal.
Na Figura 5.17 ilustra-se a resposta no tempo da coluna sujeita a um
carregamento harmônico senoidal, para alguns valores da condição inicial 0θ .
102
(a) o900 −=θ (b) o100 −=θ
(c) o0.00 =θ (d) o100 =θ
(e) o500 =θ (f) o900 =θ
Figura 5.17: Resposta da coluna no tempo para um carregamento harmônico senoidal.
As Figuras 5.18 e 5.19 ilustram, respectivamente, o comportamento das
amplitudes máximas do pêndulo na resposta total e na reposta permanente para
diferentes valores do deslocamento inicial do pêndulo, 0θ .
(a) Deslocamento (b) Velocidade (c) Aceleração
Figura 5.18: Comportamento das amplitudes máximas do pêndulo na resposta total para
um carregamento harmônico senoidal.
103
(a) Deslocamento (b) Velocidade (c) Aceleração
Figura 5.19: Comportamento das amplitudes máximas do pêndulo na resposta
permanente para um carregamento harmônico senoidal.
Na Figura 5.20 pode-se observar a resposta no tempo do pêndulo para a
coluna sujeita ao carregamento senoidal e diferentes valores de 0θ . Observa-se
que 0θ influência de forma marcante a fase transiente.
(a) o900 −=θ (b) o100 −=θ
(c) o0.00 =θ (d) o100 =θ
(e) o500 =θ (f) o900 =θ
Figura 5.20: Resposta do pêndulo no tempo para um carregamento harmônico senoidal.
104
5.3.2. Comportamento do Sistema sob um Pulso Senoidal
A Figura 5.21 ilustra o pulso senoidal.
ζs
τ0 τ1 τ
Figura 5.21: Pulso senoidal.
O pulso senoidal atua na estrutura até o instante 1τ , sendo 1τ equivalente a
um período do sistema, dado por π2 . As equações de estado utilizadas são as
dadas pela expressão (4.14).
A Figura 5.22 representa o comportamento das amplitudes máximas da
coluna para diferentes valores de condições iniciais do deslocamento angular do
pêndulo.
(a) Deslocamento (b) Velocidade (c) Aceleração
Figura 5.22: Comportamento das amplitudes máximas da coluna para um pulso senoidal.
Na Figura 5.23 mostra-se o comportamento das amplitudes máximas de
deslocamento angular do pêndulo absorsor quando a coluna está sujeita a um
pulso senoidal, isso para diferentes valores das condições iniciais do pêndulo.
105
(a) Deslocamento (b) Velocidade (c) Aceleração
Figura 5.23: Comportamento das amplitudes máximas do pêndulo para um pulso
senoidal.
Nessas condições a coluna com absorsor apresenta valores máximos
superiores ao da coluna original sem absorsor. Verifica-se também que uma
condição inicial não-nula piora o comportamento do sistema.
5.3.3. Comportamento do Sistema sob um Pulso Retangular
O pulso retangular é ilustrado na Figura 5.24.
ττ1τ0
ζs
Figura 5.24: Pulso retangular.
O pulso retangular atua até o instante 1τ , duração de um período do sistema.
Para esse caso as equações de estado (4.14) tomam a forma:
(5.2a)
(5.2b)
(5.2c)
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=
=+
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=
=
)(sen)cos(2
)1(
)(sen)cos(2
3
2
3244
43
32
4341
2
2
2
21
yyyyy
yy
yyyyyyy
yy
e
p
e
pp
e
s
e
sss
ωω
ωω
ξ
µ
µµωω
ωω
ξζ
&&
&
&
&
&
(5.2d)
106
Observa-se na Figura 5.25 o comportamento da coluna em função da
condição inicial do pêndulo 0θ . Sendo a força de pequena duração, o absorsor não
consegue controlar as vibrações. Novamente 0θ piora o comportamento do
sistema.
(a) Deslocamento (b) Velocidade (c) Aceleração
Figura 5.25: Comportamento das amplitudes máximas da coluna para um pulso
retangular.
5.3.4. Comportamento do Sistema para uma Velocidade Inicial
Para estudar o comportamento do sistema quando a estrutura é posta em
movimento por uma velocidade inicial, ou seja, por exemplo uma rajada de vento,
é necessário alterar-se o parâmetro de entrada que representa a velocidade inicial
da coluna, sendo que esta assumiu a magnitude de 0.2.
Na Figura 5.26 mostra-se o comportamento das amplitudes máximas da
coluna na resposta total conforme varia a condição inicial de deslocamento
angular do absorsor pendular.
(a) Deslocamento (b) Velocidade (c) Aceleração
Figura 5.26: Comportamento das amplitudes máximas da coluna para uma velocidade
inicial.
107
5.4. Influência do Amortecimento do Pêndulo no Comportamento do Sistema
Os parâmetros do sistema são os mesmos utilizados no item 5.1, sendo que
nessa análise pce ωωω == . São utilizadas as equações de estado (4.14) e o
sistema está sujeito a um carregamento harmônico senoidal.
A Figura 5.27 demonstra o comportamento das amplitudes de deslocamento
da coluna na resposta transiente. Na seqüência, a Tabela 5.2 mostra as amplitudes
máximas da coluna, para os mesmos casos apresentados na Figura 5.27. Os
resultados indicam que o amortecimento do pêndulo, pξ , é desfavorável durante a
resposta transiente do sistema.
Figura 5.27: Amplitudes de deslocamento da coluna na resposta transiente para
diferentes valores de pξ .
Tabela 5.2: Amplitudes de deslocamento da coluna na resposta transiente para
diferentes pξ .
pξ (%) ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
0.0 0.033228 0.032752 0.033239
5.0 0.037015 0.036456 0.036381
Na Figura 5.28 apresenta-se o comportamento das amplitudes máximas da
coluna e do pêndulo absorsor com a variação da taxa de amortecimento do
pêndulo.
108
(a) Deslocamento da coluna. (b) Deslocamento do pêndulo.
(c) Velocidade da coluna. (d) Velocidade do pêndulo.
(e) Aceleração da coluna. (f) Aceleração do pêndulo.
Figura 5.28: Influência da variação da taxa de amortecimento do pêndulo nas amplitudes
máximas de resposta da coluna e do pêndulo.
Na medida em que aumenta a taxa de amortecimento do pêndulo absorsor, a
sua eficiência diminui. Entretanto, os valores obtidos permanecem sempre abaixo
dos valores máximos para a coluna sem absorsor. A presença do amortecimento
provoca, por outro lado, um decréscimo nos valores máximos de deslocamento,
velocidade e aceleração do pêndulo absorsor.
5.5. Influência de uma Mola com Rigidez Linear
Quando adiciona-se a rigidez do pêndulo ao sistema, altera-se
automaticamente a freqüência natural do pêndulo, assim pode-se varia a rigidez
do pêndulo de modo que a sua freqüência fique dentro de uma faixa de valores
estabelecida, tornando o absorsor pendular mais eficiente, já que, com um ajuste
109
na mola pode-se sintonizá-lo com mais facilidade. São adotados nessa análise os
mesmos parâmetros do item 5.1, com pce ωωω == e o sistema sendo excitado
por um carregamento harmônico senoidal.
5.5.1. Variação da Rigidez Linear
São utilizadas as equações de estado (4.14), com a adição do termo que
representa a rigidez do pêndulo. Considera-se que a freqüência natural do pêndulo
pode variar de cω90.0 até cω10.1 . Assim, é necessário que a freqüência inicial do
pêndulo coincida com cω90.0 , sendo que nessa magnitude a rigidez linear da
mola é nula, e, para que freqüência natural do pêndulo varie até cω10.1 , é
necessário aumentar gradativamente a rigidez linear da mola. Isso pode ser obtido
de diversas formas. Uma sugestão promissora encontrada na literatura recente é o
uso de novos materiais cujas propriedades variam em função da temperatura ou de
uma corrente elétrica. Para que o valor inicial de pω seja cω90.0 deve-se adotar
que o comprimento da haste do pêndulo é 7.68 m.
A Tabela 5.3 mostra a rigidez linear do pêndulo e a respectiva freqüência.
Tabela 5.3: Variação da relação de freqüências com a variação da rigidez do pêndulo.
cp ωω / pK (Nm)
0.90 0.00
0.92 151558.79
0.94 306448.54
0.96 464669.26
0.98 626220.93
1.00 791103.57
1.02 959317.17
1.04 1130861.74
1.06 1305737.26
1.08 1483943.75
1.10 1665481.20
110
Na Figura 5.29 comparam-se os valores máximos da resposta total
considerando o pêndulo sem a rigidez adicional da mola com aqueles obtidos
variando-se a rigidez da mola entre os valores estabelecidos. Observa-se que o
absorsor perde um pouco sua eficiência. Por outro lado diminuem bastante os
valores máximos da resposta do pêndulo, tornando sua resposta praticamente
linear.
(a) Deslocamento da coluna. (b) Deslocamento do pêndulo.
(c) Velocidade da coluna. (d) Velocidade do pêndulo.
(e) Aceleração da coluna. (f) Aceleração do pêndulo.
Figura 5.29: Comportamento das amplitudes máximas do sistema na resposta total em
função da variação de rigidez do pêndulo.
A Figura 5.30 mostra o comportamento das amplitudes máximas do sistema
com a variação da rigidez na resposta permanente. Nota-se, novamente, uma
queda na eficiência do absorsor em virtude de uma diminuição drástica de suas
amplitudes de oscilação. Foi também analisado o comportamento do absorsor
considerando um pêndulo invertido. Os resultados demonstraram que, tanto na
111
fase transiente quanto na permanente, os valores obtidos são bem superiores a
aqueles alcançados com o pêndulo na posição original.
(a) Deslocamento da coluna. (b) Deslocamento do pêndulo.
(c) Velocidade da coluna. (d) Velocidade do pêndulo.
(e) Aceleração da coluna. (f) Aceleração do pêndulo.
Figura 5.30: Comportamento das amplitudes máximas do sistema na resposta
permanente em função da variação de rigidez do pêndulo.
5.5.2. Efeito de uma Mola Não-Linear
O objetivo é analisar a influência da não-linearidade da mola do dispositivo
absorsor na resposta da coluna. Considerando uma mola com não-linearidade
cúbica, as equações de movimento (4.12) tomam a forma:
112
(5.3a) ( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=++−+
=
−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+++
0)cos()sen(6
t)sen()sen(
)cos(78.009.325.0
32
e02
3
θθθαθθ
ωθθ
θθ
wmlmglk
Cml
Fml
mlwMgL
EIwCwmML
nlp &&&&&
&
&&&&&
(5.3b)
onde nlK representa a rigidez não-linear do pêndulo.
Para ter uma noção da ordem de grandeza desse termo não-linear, expandiu-
se a função não-linear )sen(θ em séries de Taylor, obtendo-se o termo cúbico
( 6/3θ− ). Então, considera-se que a rigidez não-linear da mola é
3
6θα nl
pnlk
K −= , sendo α um parâmetro de controle. Assim, as equações de
estado são dadas, agora, por:
(5.4a)
(5.4b)
(5.4c)
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
=+
+−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=
=
)(sen)cos(6
2
)1(
)(sen)cos(2)(sen
3
2
323
3
2
44
43
32
4341
2
2
2
2
21
yyyyyy
yy
yyyyyyy
yy
e
p
e
p
e
pp
e
s
e
ss
e
ss
ωω
ωωα
ωω
ξ
µ
µµωω
ωω
ξτωω
ζ
&&
&
&
&
&
(5.4d)
Nas Tabelas 5.4 e 5.5 observar-se o comportamento das amplitudes
máximas de deslocamento da coluna e do pêndulo, respectivamente, para a
resposta total.
Tabela 5.4: Amplitudes máximas da coluna na resposta total com a variação de rigidez
não-linear.
α ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
-1 0.033206 0.032740 0.033216
0 0.033235 0.032756 0.033244
1 0.033264 0.032772 0.033273
113
Tabela 5.5: Amplitudes máximas do pêndulo na resposta total com a variação de rigidez
não-linear.
α θ (máximo) τθ , (máximo) ττθ , (máximo)
-1 0.331020 0.332588 0.328784
0 0.333699 0.334775 0.331375
1 0.336410 0.336985 0.333998
Já nas Tabelas 5.6 e 5.7 são mostradas as amplitudes máximas da resposta
da coluna e do pêndulo, respectivamente, durante a resposta permanente.
Tabela 5.6: Amplitudes máximas da resposta da coluna na fase permanente em função
da variação de rigidez não-linear
α ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
-1 0.000701 0.000742 0.000635
0 0.000681 0.000727 0.000617
1 0.000661 0.000712 0.000602
Tabela 5.7: Amplitudes máximas da resposta do pêndulo na fase permanente em função
da variação de rigidez não-linear.
α θ (máximo) τθ , (máximo) ττθ , (máximo)
-1 0.175638 0.175803 0.175310
0 0.176322 0.176489 0.175988
1 0.177022 0.177192 0.176683
A não-linearidade positiva (α=1) causa uma pequena perda de eficiência do
absorsor. Cabe lembrar que, nesse caso, tem-se uma redução no grau de não-
linearidade do absorsor. Já uma não-linearidade negativa (α=-1) aumenta o grau
de não-linearidade do sistema melhorando a eficiência do absorsor. Isso indica
que a não-linearidade do absorsor têm um efeito positivo no comportamento do
sistema, o que será analisado com mais profundidade no próximo capítulo.
6 Resposta do Sistema Não-Linear
As equações de movimento (4.12) apresentam não-linearidade geométrica e
inercial em virtude do movimento do pêndulo. Ao considerar a não-linearidade, o
sistema passa a não possuir uma solução fechada. Assim, deve-se procurar uma
solução aproximada, que pode ser obtida, por exemplo, no domínio da freqüência.
Isso permite uma análise da influência do grau de não-linearidade do sistema na
resposta, bem como uma análise dos casos onde tornem-se necessários ajustes do
absorsor pendular. Para isso, torna-se indispensável obter as equações que
fornecem relações entre a freqüência de excitação, as amplitude de movimento de
cada grau de liberdade e os ângulos de fase. A solução das equações de
movimento não-lineares é encontrada através de uma forma simplificada, pelo
método de Galerkin-Urabe. O estudo é similar ao de Pinheiro (1997).
6.1. Obtenção das Equações Algébricas Não-Lineares
O sistema oscilatório não-linear e não-autônomo descrito pelas equações
diferenciais (4.12) distingue-se do linear por não prevalecer o princípio da
superposição para o mesmo, o que gera uma certa dificuldade na resolução. Para
encontrar uma solução harmônica aproximada para o sistema não-linear de
equações diferenciais é utilizado o método Galerkin-Urabe, o qual transforma o
sistema (4.12) em um sistema de equações algébricas não-lineares.
Considere que a solução do sistema de equações de movimento (4.12)
submetido a uma excitação harmônica de freqüência eω é da forma
)cos( tww eω= (6.1a)
)cos( ϕωθθ += te (6.1b)
115
onde ϕ é a defasagem entre a resposta da coluna e a do pêndulo, e considere
também que há uma defasagem entre a força externa descrita por um ângulo de
fase ψ . Assim a força pode ser escrita na forma:
t)sen()cos()(sen eseceo FtFtF ωωψω +=+ (6.2)
Substituindo-se as expressões (6.1) e (6.2) no sistema de equações de
movimento (4.12), obtém-se o sistema de equações algébricas não-lineares.
(6.3a)
[[
]
[ ][ ]⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+−+
−+−+++
+=+++
++−⎥⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−+−
0))cos(cos()cos())cos((sen
)cos()(sen)cos(
)(sen)cos())cos((sen)(sen
))cos(cos()cos()cos(78.009.3
)(sen)cos()25.0(
2
22
2
23
2
ϕωθωωϕωθ
ϕωϕωωϕωωθ
ωωϕωθϕωθ
ϕωθϕωθωωρ
ωωωρω
ttwtg
mltKtCtml
tFtFtt
ttmltAgL
EI
tCtmLAw
eee
epepee
esecee
eeee
eeee
(6.3b)
Observa-se que essas equações contêm funções trigonométricas cujos
argumentos são outras funções trigonométricas. Então, ao empregar o método de
Galerkin-Urabe, surgem integrais que não têm solução analítica. Perante isso, é
utilizada a expansão de Jacobi de funções trigonométricas em series de funções de
Bessel de primeira espécie ( iJ ), que são dadas por:
∑∞
−+=1
20 )2cos()()1(2)())cos(cos( δθθδθ nJJ nn (6.4a)
( )∑∞
− −−−=1
12 )12(cos)()1(2))cos(( δθδθ nJsen nn (6.4b)
Tomando-se apenas o primeiro termo ou o primeiro harmônico da série, as
equações perdem os termos em seno e co-seno de argumentos também
trigonométricos, adquirindo a forma:
( ))(2cos)(2)())cos(cos( 20 ϕωθθϕωθ +−=+ tJJt ee (6.5a) )cos()(2))cos(( 1 ϕωθϕωθ +=+ tJtsen ee (6.5b)
116
Substituindo-se as expressões (6.5) em (6.3), tem-se:
(6.6a)
[[{
( )] [ ]}
[ ][ ] ( )[ ]{ }
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=+−+
−+−+++
+=++++
−+−⎥⎦
⎤⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−+−
0)(2cos)(2)cos()cos()(2
)cos()(sen)cos(
)(sen)cos()cos()(2)(sen)(2cos)(2
)()cos()cos(78.009.3
)(sen)cos()25.0(
22
1
22
12
2
02
3
2
ϕωθωωϕωθ
ϕωϕωωϕωωθ
ωωϕωθϕωθϕωθ
θϕωθωωρ
ωωωρω
tJtwtJg
mltKtCtml
tFtFtJttJ
JtmltAgL
EI
tCtmLAw
eee
epepee
esec
eee
eee
eeee
(6.6b)
Multiplicando cada uma das equações (6.6) pelas funções peso
)cos(1 teωφ = e )(sen2 teωφ = , e integrando cada uma das quatro equações
resultantes de 0 a ωπ /2 , obtém-se o sistema algébrico não-linear:
(6.7a)
(6.7b)
(6.7c) ( )( )
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−−−−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−
0)cos(2)2()()(2)(
0)()cos(2
)(2)()()2cos()cos(
)(
)(2
)()()(2
)cos(
)(2
)()()cos()1(
21
2
1
2
02
2
120
2
120
2
ϕθωω
µϕθµζθθωω
µϕ
θϕωω
µ
ϕθωω
µξθθϕζϕθµ
ψωω
ζ
θθθθϕθµωω
ζξ
ψωω
ζ
θθθθϕθµωω
µζ
e
p
e
p
e
p
e
pp
e
cs
e
cc
e
cs
e
c
senJJsen
J
senJJ
sen
JJJsen
JJJ
(6.7d)
117
Esse sistema de equações não-lineares já está na sua forma adimensional.
As equações foram adimensionalizadas através da metodologia empregada no
item 4.4. As equações algébricas não-lineares possuem como variáveis, além da
freqüência de excitação, eω , as amplitudes ζ e θ , e os ângulos de fase ϕ e ψ .
Observa-se a não-linearidade nos termos trigonométricos e nos termos que
contêm as funções de Bessel de primeira espécie, levando a um certo grau de
dificuldade para sua resolução, nesse caso, deve-se utilizar um método iterativo. O
método escolhido é o método iterativo de Newton-Raphson.
Antes da implementação do método de Newton-Rapshon é necessário
definir as funções de Bessel, sendo essas funções obtidas a partir de:
∑∞
=
+
++Γ−
=0
2
)1(!)2/()1()(
k
knk
n nkkJ θθ (6.8)
onde, Γ é a função gama.
Assim, as funções de Bessel são obtidas a partir das séries:
2222222222
20
222
6
22
4
2
2
0 2018161412108642...
6424221)( θθθθθ ++−+−=J (6.9a)
222018161412108642...
642422)( 2222222222
21
22
5
2
3
1θθθθθ +++−=J (6.9b)
)()(2)( 012 θθθ
θ JJJ −= (6.9c)
6.2. Resultados Numéricos
Quando usa-se um absorsor não-linear, aumenta-se, em geral, a faixa de
freqüência para a qual ele é eficiente. A não-linearidade faz com que as
freqüências naturais do sistema sejam uma função de suas amplitudes de vibração.
Ainda, elas aumentam ou diminuem, dependendo do tipo de não-linearidade.
Apresenta-se nesse item dois exemplos. O primeiro exemplo estudado é
dado por Pinheiro (1997). O segundo exemplo refere-se à torre apresentada no
capitulo 4. Mostra-se, também, a validação dos resultados do presente trabalho.
118
6.2.1. Exemplo 1
O primeiro exemplo refere-se ao modelo discreto apresentado na Figura 4.3.
Partindo das equações de movimento (4.11) e aplicando a metodologia
apresentada no item 6.1, chega-se ao mesmo sistema de equações algébricas não-
lineares (6.7). Os principais parâmetros, os mesmos adotados por Pinheiro (1997),
são:
• 0.1=cω rad/s, que representa o freqüência natural do sistema
principal;
• %7.0=cξ , é a taxa de amortecimento da coluna;
• 20.0=µ , relação de massas;
• 092.0=F , amplitude da força de excitação;
• 0.0=pK , rigidez do absorsor pendular.
Para comparar os resultados obtidos nesse trabalho com os obtidos por
Pinheiro (1997) deve-se considerar que:
( )2/ pcs
Fωω
ζ = (6.10)
onde 0F é a amplitude da força de excitação.
Inicialmente considera-se um caso onde a taxa de amortecimento do
pêndulo é de 0.0%. A variação da amplitude da resposta permanente em função da
razão ce ωω / é mostrada na Figura 6.1 para o pêndulo e na Figura 6.2 para o
sistema principal.
119
Figura 6.1: Variação de θ para cp ωω / =1.0, pξ =0.0%, µ =0.20 e F = 0.092.
Verifica-se a presença de uma não-linearidade do tipo “softening”, isto é,
um decréscimo da freqüência natural com a amplitude, levando a mudanças
bruscas de amplitudes, tanto nas amplitudes dos deslocamentos angulares do
pêndulo, apresentados na Figura 6.1, como nas amplitudes dos deslocamentos do
sistema principal, apresentados na Figura 6.2. Convém ressaltar a influência da
não-linearidade do pêndulo no comportamento do sistema principal.
Figura 6.2: Variação de ζ para cp ωω / =1.0, pξ =0.0%, µ =0.20 e F = 0.092.
O regime não-linear de oscilações do pêndulo muda os parâmetros ótimos
de ajuste quando comparados com a teoria linear, alterando assim os níveis de
deslocamentos atingidos pela estrutura.
Nas Figuras 6.3 e 6.4 observa-se o comportamento dos ângulos de fase do
pêndulo e da força.
120
Figura 6.3: Variação do ângulo de fase ϕ para cp ωω / =1.0, pξ =0.0%, µ =0.20 e
092.0=F .
Figura 6.4: Variação do ângulo de fase ψ para cp ωω / =1.0, pξ =0.0%, µ =0.20 e
092.0=F .
A seguir, é estudado um caso onde a taxa de amortecimento do pêndulo é de
26.23%. É bom ressaltar que essa taxa de amortecimento é dificilmente obtida em
situações prática, mas foi adotada para demonstrar como o sistema comporta-se
com uma taxa de amortecimento tão alta. Na Figura 6.5 compara-se o
comportamento da resposta considerando o pêndulo amortecido com o não-
amortecido.
121
(a) Amplitudes de deslocamento angular do
pêndulo. (b) Amplitudes de deslocamento da coluna.
Figura 6.5: Influência do amortecimento do pêndulo em θ e ζ para cp ωω / =1.0,
µ =0.20 e F = 0.092.
Agora, é estudado o comportamento do sistema apresentado por Pinheiro
(1997), que tem como parâmetros diferentes dos anteriores: 833.0/ =cp ωω ,
%23.26=pξ e 041.0=F . Na Figura 6.6, apresenta-se o comportamento das
amplitudes dos deslocamentos do absorsor pendular.
Figura 6.6: Variação de θ para cp ωω / =0.833, pξ =26.23%, µ =0.20 e F = 0.041.
Para ilustrar o comportamento das amplitudes de oscilação do pêndulo são
apresentadas na Figura 6.7 as repostas no tempo no estado permanente para
algumas relações de freqüências, obtidas a partir da integração numérica das
equações diferenciais de movimento pelo método de Runge-Kutta de quarta
ordem.
122
(a) 4.0/ =ce ωω (b) 7.0/ =ce ωω
(c) 0.1/ =ce ωω (d) 3.1/ =ce ωω
(e) 6.1/ =ce ωω (f) 9.1/ =ce ωω
Figura 6.7: Variação do deslocamento angular θ ao longo do tempo para
cp ωω / =0.833, pξ =26.23%, µ =0.20 e F = 0.041.
Verifica-se que os resultados obtidos no domínio da freqüência condizem
com os resultados obtidos no domínio do tempo, comprovando a formulação
adotada.
O comportamento das amplitudes dos deslocamentos do sistema principal é
apresentado na Figura 6.8. Já os resultados obtidos por integração numérica para a
resposta do sistema principal no regime permanente são mostrados na Figura 6.9.
123
Figura 6.8: Variação de ζ para cp ωω / =0.833, pξ =26.23%, µ =0.20 e F = 0.041.
(a) 4.0/ =ce ωω (b) 7.0/ =ce ωω
(c) 0.1/ =ce ωω (d) 3.1/ =ce ωω
(e) 6.1/ =ce ωω (f) 9.1/ =ce ωω
Figura 6.9: Variação do deslocamento ζ ao longo do tempo para cp ωω / =0.833,
pξ =26.23%, µ =0.20 e F = 0.041.
124
Observa-se que os resultados das amplitudes de deslocamentos do sistema
principal obtidos no domínio da freqüência condizem com os resultados obtidos
no domínio do tempo.
A variação dos ângulos de fase para esse caso é mostrada nas Figuras 6.10 e
6.11.
Figura 6.10: Variação do ângulo de fase ϕ para cp ωω / =1.0, pξ =26.23%, µ =0.20 e
F = 0.041.
Figura 6.11: Variação do ângulo de fase ψ para cp ωω / =1.0, pξ =26.23%, µ =0.20 e
F = 0.041.
Na Figura 6.12 apresentam-se os resultados obtidos por Pinheiro (1997).
125
Figura 6.12: Variação das amplitudes de deslocamento θ e ζ )/( estxx para
cp ωω / =0.833, pξ =26.23%, µ =0.20 e F = 0.041 (Pinheiro, 1997).
Nota-se que os resultados obtidos usando a presente metodologia não
concordam qualitativamente e quantitativamente com os obtidos por Pinheiro
(1997), provavelmente porque naquele trabalho não foi considerado o efeito dos
ângulos de fase do sistema.
Com isso, decidiu-se validar os resultados aqui obtidos usando-se o método
aproximado de Galerkin-Urabe com as amplitudes máximas da resposta
permanente obtidas por integração numérica das equações de movimento não-
lineares. A comparação dos resultados é apresentada na Tabela 6.1, onde observa-
se que os valores obtidos no domínio da freqüência e no domínio do tempo para a
amplitudes máximas das respostas permanentes são compatíveis, mostrando assim
a qualidade dos resultados do presente trabalho.
126
Tabela 6.1: Comparação das amplitudes máximas obtidas no domínio da freqüência e no
domínio do tempo para cp ωω / =0.833, pξ =26.23%, µ =0.20 e F = 0.041.
Domínio da Freqüência Domínio do Tempo ce ωω /
Coluna Pêndulo Coluna Pêndulo
0.1 1.012175 0.000420 1.012190 0.000419
0.2 1.050946 0.001813 1.050945 0.001812
0.3 1.124289 0.004658 1.124275 0.004656
0.4 1.250965 0.010135 1.250896 0.010135
0.5 1.475850 0.021212 1.475314 0.021211
0.6 1.915655 0.046191 1.914891 0.046199
0.7 2.781537 0.105330 2.778078 0.105285
0.8 3.225476 0.165431 3.220688 0.165259
0.9 2.958723 0.165201 2.959096 0.165187
1.0 3.165240 0.167297 3.163646 0.167103
1.1 3.033103 0.146905 3.027960 0.146605
1.2 2.214956 0.099134 2.212796 0.099052
1.3 1.534828 0.064243 1.533398 0.064201
1.4 1.147592 0.045693 1.113240 0.044118
1.5 0.894859 0.034185 0.850454 0.032237
1.6 0.676638 0.024720 0.676456 0.024710
1.7 0.610544 0.021957 0.554355 0.019651
1.8 0.489171 0.017035 0.464927 0.016077
1.9 0.435653 0.014933 0.396897 0.013446
2.0 0.379767 0.012788 0.343771 0.011440
Os resultados considerando a influência da não-linearidade do pêndulo são
comparados aos resultados obtidos com as equações linearizadas, apresentadas no
Capítulo 4, na equação (4.15). Esses resultados, apresentados na Figura 6.13,
mostram de forma clara a influência dos termos não-lineares nos resultados.
Como esperado, está influência se faz sentir na região de ressonância do sistema
acoplado.
127
(a) Variação da amplitude da resposta permanente θ .
(b) Variação da amplitude da resposta permanente ζ .
Figura 6.13: Influência da não-linearidade do pêndulo em θ e ζ para cp ωω / =1.0,
µ =0.20 e F = 0.092.
A Figura 6.14 mostra uma comparação entre a resposta linear e não-linear,
considerando para o pêndulo o valor do amortecimento ótimo deduzido na análise
linear, Capítulo 4, equação (4.29) ( 25.0=pótimoξ ). Mesmo para este valor de
amortecimento ainda se nota uma diferença razoável entre a resposta linear e não-
linear.
(a) Variação da amplitude da resposta permanente θ .
(b) Variação da amplitude da resposta permanente ζ .
Figura 6.14: Influência da não-linearidade do pêndulo em θ e ζ para cp ωω / =1.0,
µ =0.20, F = 0.092 e 25.0=pótimoξ .
6.2.2. Exemplo 2
O segundo exemplo analisado é o da torre analisada no Capitulo 4. Partindo
das equações (4.12), aplicando a metodologia do item 6.1, chega-se ao sistema de
equações algébricas não-lineares (6.7). Os principais parâmetros para essa análise
são:
• 255428.1=cω rad/s, freqüência natural da coluna;
128
• 278671.1=pω rad/s, freqüência natural do pêndulo;
• %7.0=cξ , é a taxa de amortecimento da coluna;
• 04.0=µ , relação de massas;
• 0.0=pK , rigidez do absorsor pendular;
• 007.0=sζ , amplitude da força de excitação.
Para estudar o comportamento das amplitudes de oscilação da coluna e do
absorsor pendular é considerado inicialmente que o sistema possui uma taxa de
amortecimento para o pêndulo de 0.0%. Nas Figuras 6.15 e 6.16 observa-se o
comportamento das amplitudes do deslocamento angular do pêndulo e o
respectivo diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré associado a esse caso,
respectivamente. O diagrama de bifurcação é obtido a partir da integração
numérica das equações de movimento pelo método de Runge-Kutta de quarta
ordem e usando o algoritmo da força bruta, como implementado por Del Prado
(2001). Esse diagrama permite verificar a periodicidade e estabilidade das
resposta obtidas pelo método de Galerkin-Urabe e, mais uma vez, comprovar a
exatidão da presente formulação. Nota-se que o diagrama de bifurcação apresenta
os mesmos saltos obtidos pela solução aproximada. Vale ressaltar que no
diagrama de bifurcação não se tem o deslocamento máximo da resposta
permanente, mas sim a coordenada θ da seção de Poincaré.
Figura 6.15: Amplitudes de deslocamento angular θ para cp ωω / =1.018, pξ =0.0%,
µ =0.04 e sζ = 0.007.
129
Figura 6.16: Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré. Variação da coordenada θ
para cp ωω / =1.018, pξ =0.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007.
Na Figura 6.17 observa-se o comportamento das amplitudes de
deslocamento da coluna e na Figura 6.18 tem-se o correspondente diagrama de
bifurcação.
Figura 6.17: Amplitudes de deslocamento ζ para cp ωω / =1.018, pξ =0.0%, µ =0.04 e
sζ = 0.007.
130
Figura 6.18: Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré. Variação da coordenada ζ
para cp ωω / =1.018, pξ =0.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007.
Nota-se claramente a influência da não-linearidade do pêndulo na resposta
do sistema. Verifica-se, novamente, a presença de uma não-linearidade do tipo
“softening” levando a mudanças bruscas de amplitude em função de bifurcações
tipo nó-sela ao longo das curvas de ressonância não-lineares.
A seguir, é estudado um caso em que o pêndulo possui uma taxa de
amortecimento de 7.0%. Na Figura 6.19 mostra-se a variação da amplitude de
oscilação do absorsor pendular em função da freqüência de excitação. Já na
Figura 6.20 apresenta-se o respectivo diagrama de bifurcação, onde observa-se
uma coerência entre os resultados obtidos pelas duas metodologias.
Figura 6.19: Amplitudes de deslocamento angular θ para cp ωω / =1.018, pξ =7.0%,
µ =0.04 e sζ = 0.007.
131
Figura 6.20: Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré. Variação da coordenada θ
para cp ωω / =1.018, pξ =7.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007.
Observa-se nas Figuras 6.19 e 6.20 que, em virtude da taxa de
amortecimento adotada para o pêndulo, as amplitudes de oscilação do pêndulo
não apresentam as mudanças bruscas em seus valores, embora as não-linearidades
continuem a ser importantes nas regiões de ressonância. Cabe lembrar que, apesar
do aumento da taxa de amortecimento do pêndulo melhorar o comportamento do
sistema na região de ressonância, ele é desfavorável durante o regime transiente,
como observado no Capítulo 5.
Na Figura 6.21 mostra-se o comportamento das oscilações do pêndulo no
regime permanente obtidas da integração no tempo das equações de movimento
não-lineares. Nota-se que as amplitudes máximas das oscilações do absorsor
pendular na resposta permanente condizem com os resultados obtidos no domínio
da freqüência.
132
(a) 4.0/ =ce ωω (b) 7.0/ =ce ωω
(c) 0.1/ =ce ωω (d) 3.1/ =ce ωω
(e) 6.1/ =ce ωω (f) 9.1/ =ce ωω
Figura 6.21: Variação do deslocamento angular θ ao longo do tempo para
cp ωω / =1.018, pξ =7.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007.
O comportamento das amplitudes de oscilação da coluna está apresentado
na Figura 6.22 e na Figura 6.23. Observa-se um certo grau de não-linearidade na
resposta, mostrando que essa não pode ser desconsiderada na análise desse
problema.
133
Figura 6.22: Amplitude de deslocamento ζ para cp ωω / =1.018, pξ =7.0%, µ =0.04 e
sζ = 0.007.
Figura 6.23: Diagrama de bifurcação do mapa de Poincaré. Variação da coordenada ζ
para cp ωω / =1.018, pξ =7.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007.
A Figura 6.24 mostra a variação das amplitudes de oscilação da coluna no
domínio do tempo, para diferentes valores da freqüências de excitação.
134
(a) 4.0/ =ce ωω (b) 7.0/ =ce ωω
(c) 0.1/ =ce ωω (d) 3.1/ =ce ωω
(e) 6.1/ =ce ωω (f) 9.1/ =ce ωω
Figura 6.24: Variação do deslocamento ζ ao longo do tempo para cp ωω / =1.018,
pξ =7.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007.
Para demonstrar, novamente a qualidade dos resultados dessa formulação,
são comparados os resultados obtidos no domínio da freqüência, através do
método de Galerkin-Urabe, com os resultados obtidos no domínio do tempo por
integração numérica das equações de movimento não-lineares. A comparação é
apresentada na Tabela 6.2.
135
Tabela 6.2: Comparação das amplitudes máximas obtidas no domínio da freqüência e no
domínio do tempo para cp ωω / =1.018, pξ =7.0%, µ =0.04 e sζ = 0.007.
Domínio da Freqüência Domínio do Tempo ce ωω /
Coluna Pêndulo Coluna Pêndulo
0.1 1.010513 0.000068 1.010527 0.000068
0.2 1.043471 0.000267 1.043471 0.000292
0.3 1.103671 0.000733 1.103659 0.000733
0.4 1.201266 0.001530 1.201236 0.001530
0.5 1.357067 0.003003 1.356995 0.003002
0.6 1.617784 0.005970 1.617578 0.005970
0.7 2.111663 0.013008 2.110726 0.013014
0.8 3.365384 0.036286 3.365164 0.036456
0.9 10.606079 0.231825 10.602437 0.231758
1.0 3.377611 0.160691 3.375527 0.160648
1.1 5.213058 0.184330 5.212735 0.184923
1.2 2.976019 0.068316 2.974934 0.068353
1.3 1.693551 0.029381 1.668746 0.029088
1.4 1.136327 0.016366 1.135094 0.016491
1.5 0.848269 0.010798 0.847921 0.010843
1.6 0.669031 0.007773 0.668673 0.007786
1.7 0.546784 0.005916 0.546592 0.005917
1.8 0.458293 0.004686 0.458182 0.004686
1.9 0.391477 0.003824 0.391406 0.003824
2.0 0.339403 0.003193 0.339355 0.003192
Verifica-se que os valores obtidos pelos dois métodos são compatíveis,
mostrando assim, novamente, a qualidade dos resultados.
Observa-se nos exemplos apresentados anteriormente, a grande influência
das não-linearidades do pêndulo na resposta da coluna, mostrando que essa não
pode ser desprezada na análise do sistema. A não-linearidade pode inclusive gerar
bifurcações que levam a mudanças bruscas da resposta do sistema, o que deve ser
evitado.
136
Mostrar-se, a seguir, o comportamento das amplitudes desse último exemplo
quando a amplitude da força de excitação, sζ , muda gradativamente.
Inicialmente, adota-se para o amortecimento do pêndulo 0.0%. Na Figura 6.25
observa-se o comportamento das amplitudes de deslocamento angular do pêndulo
com a variação gradativa da amplitude da força de excitação. Já na Figura 6.26
mostra-se o comportamento das amplitudes de deslocamento da coluna.
Figura 6.25: Comportamento das amplitudes de deslocamento angular do pêndulo para
diferentes valores de sζ e cp ωω / =1.018, pξ =0.0% e µ =0.04.
Figura 6.26: Comportamento das amplitudes de deslocamento da coluna para diferentes
valores de sζ e cp ωω / =1.018, pξ =0.0% e µ =0.04.
137
Para comparação pode-se observar na Figura 6.27 o comportamento das
amplitudes de deslocamento da coluna original.
Figura 6.27: Comportamento das amplitudes de deslocamento da coluna original para
diferentes valores de sζ .
Adotando uma taxa de amortecimento para o absorsor pendular de 7.0%,
tem-se que as amplitudes de deslocamento do sistema comportam-se como
apresentado nas Figuras 6.28 e 6.29
Figura 6.28: Comportamento das amplitudes de deslocamento angular do pêndulo para
diversos valores de sζ e cp ωω / =1.018, pξ =7.0% e µ =0.04.
138
Figura 6.29: Comportamento das amplitudes de deslocamento da coluna para diversos
valores de sζ e cp ωω / =1.018, pξ =7.0% e µ =0.04.
7 Absorsor Dinâmico de Vibrações Híbrido
Observa-se nos resultados até aqui apresentados, que o absorsor dinâmico
de vibrações passivo (pêndulo absorsor) mostra-se eficiente para uma faixa de
freqüência de excitação em torno da freqüência natural da coluna, para qual foi
calibrado. Para torres esbeltas o absorsor é mais eficiente quando epc ωωω ≈≈ ,
permitindo algumas variações no valor da freqüência de excitação na vizinhança
desse ponto. Para aumentar a sua eficiência, é necessário expandir a faixa de
freqüência de excitação para o qual o absorsor pendular atua, sem comprometer o
comportamento da estrutura principal.
Então, é proposto um absorsor dinâmico de vibrações híbrido. Esse consiste
na junção do absorsor pendular (controle passivo) com uma força de controle
ativo, atuador. A força de controle é aplicada diretamente na estrutura principal,
no sentido contrário à força de excitação. A força de controle proposta é dada, em
sua forma adimensional, por:
ζβζζ τ ),tanh(fFc = (7.1)
onde f é a magnitude da força de controle e β é um parâmetro de controle,
sendo função do deslocamento e da velocidade no topo da torre.
Essa força de controle é recalculada a todo instante, para isso é necessário
que na estrutura principal sejam instalados dispositivos que meçam a todo instante
os seus deslocamentos e suas velocidades para que seja realimentado o atuador.
Para ilustrar o comportamento da força de controle, mostra-se na Figura 7.1
a variação da função )tanh( xβ para diferentes valores de β . Observa-se que o
fator β define a velocidade de aplicação da força de controle. Forças dessa
natureza podem ser obtidas através de vários mecanismos, como comentam
Winthrop et al. (2005) e Nagarajaiah & Varadarajan (2005).
140
Figura 7.1: Comportamento da função )tanh( xβ .
Uma vez considerada essa força de controle agindo no sistema, têm-se que
as equações de estado (4.14) tomam a forma:
(7.2a)
(7.2b)
(7.2c) ]
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−=
=++−
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=
)(sen)cos(2
)1/()(sen)cos(
2)tanh()(sen
3
2
3244
43
32
434
1
2
2121
2
2
21
yyyyy
yyyyyy
yyyyyfy
yy
e
p
e
pp
e
s
e
ss
e
ss
ωω
ωω
ξ
µµµ
ωω
ωω
ξβτωω
ζ
&&
&
&
&
&
(7.2d)
Para conhecer o comportamento do sistema com ação dessa força de
controle, é feito um estudo do comportamento das amplitudes do sistema original
e do sistema com controle, bem como das amplitudes do absorsor pendular e da
força de controle. Para mostrar o comportamento do sistema adotou-se em (7.2)
que 00.1=f e 6000=β , sendo que os demais parâmetros adotados são os
mesmo apresentados no item 5.1. Na Figura 7.2 observa-se o comportamento dos
deslocamentos da coluna sem controle, da coluna com controle, do absorsor
pendular e da força de controle.
141
(a) Coluna sem controle (b) Coluna com absorsor
(c) Força de controle (d) Absorsor pendular
Figura 7.2: Comportamento das amplitudes do sistema e da força de controle.
Observa-se que a força de controle atua quando o absorsor pendular começa
a se mover. Após o mesmo atingir as amplitudes necessárias para controlar as
oscilações da coluna, as amplitudes da força de controle diminuem
significativamente.
Nas Figuras 7.3 e 7.4 mostra-se uma comparação do comportamento das
amplitudes de deslocamento da coluna e do pêndulo, respectivamente, para o
sistema coluna-pêndulo sem a força de controle em relação ao sistema com a
força de controle. Os resultados foram obtidos para 8991.0/ =ce ωω , resultando
em 128765.1=eω rad/s. Esse ponto coincide com o ponto onde o sistema coluna-
pêndulo atinge a amplitude máxima (primeira ressonância). Como pode-se
observar, o controle híbrido praticamente anulou as oscilações nessa região.
Assim, mostra-se ter um controle bem mais eficiente que o passivo, mas sem um
grande gasto de energia.
142
Figura 7.3: Comparação das amplitudes de deslocamento da coluna, sem e com a força
de controle.
Figura 7.4: Comparação das amplitudes de deslocamento angular do pêndulo, sem e
com a força de controle.
7.1. Comportamento do Sistema em Função dos Parâmetros da Força de Controle
Inicialmente, adotou-se um β fixo e variou-se f . A seguir, adotou-se um
valor de f e alterou-se β .
143
7.1.1. Influência do parâmetro f
Para variar o parâmetro f é fixada a magnitude de β em 60. A Tabela 7.1
mostra a influência do parâmetro f no comportamento das amplitudes máximas
de deslocamento, velocidade e aceleração da coluna. Observa-se que, a medida
que aumenta-se o parâmetro f , o controle híbrido de vibrações torna-se mais
eficiente. Entretanto este ganho não é acentuado, o que é um aspecto atraente em
tratando-se de um mecanismo de controle ativo. Isso quer dizer que pode-se
adotar uma força de pequena magnitude, o que acarreta em um menor dispêndio
de energia.
Tabela 7.1: Influência do parâmetro f nas amplitudes máximas da coluna na resposta
total.
f ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
0.00 0.033235 0.032756 0.033245
0.20 0.032916 0.032499 0.032922
0.40 0.032609 0.032249 0.032623
0.60 0.032311 0.032006 0.032331
0.80 0.032024 0.031770 0.032047
1.00 0.031746 0.031539 0.031771
1.20 0.031476 0.031315 0.031510
1.40 0.031215 0.031096 0.031270
1.60 0.030961 0.030882 0.031036
1.80 0.030716 0.030674 0.030808
2.00 0.030480 0.030471 0.030585
2.20 0.030250 0.030272 0.030367
2.40 0.030027 0.030078 0.030154
2.60 0.029810 0.029888 0.029954
A Tabela 7.2 mostra a influência da variação de f no comportamento das
amplitudes máximas da coluna na resposta permanente. Nota-se que as
magnitudes das amplitudes máximas da coluna na resposta permanente não
sofrem alterações nos seus valores com o aumento do parâmetro f . Isso se
144
explica, como mostrado anteriormente, pelo fato do pêndulo ser o responsável
pelo controle das vibrações nessa fase, sendo a força de controle externa
praticamente nula.
Tabela 7.2: Influência do parâmetro f nas amplitudes máximas da coluna na resposta
permanente.
f ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
0.00 0.000682 0.000727 0.000617
0.20 0.000682 0.000727 0.000617
0.40 0.000682 0.000727 0.000617
0.60 0.000682 0.000727 0.000617
0.80 0.000682 0.000727 0.000617
1.00 0.000682 0.000727 0.000617
1.20 0.000682 0.000727 0.000617
1.40 0.000682 0.000727 0.000617
1.60 0.000682 0.000727 0.000617
1.80 0.000682 0.000727 0.000617
2.00 0.000682 0.000727 0.000617
2.20 0.000682 0.000727 0.000617
2.40 0.000682 0.000727 0.000617
2.60 0.000682 0.000727 0.000617
Na Figura 7.5 ilustra-se a variação das amplitudes de deslocamento da
coluna no tempo para alguns valores de f . Como nota-se nos resultados,
acontecem apenas pequenas variações nas amplitudes da coluna, sendo essas
variações para as amplitudes atingidas no início da resposta do sistema (fase
transiente).
145
(a) 00.0=f (b) 80.0=f
(c) 20.1=f (d) 00.2=f
Figura 7.5: Comportamento das amplitudes de deslocamento da coluna no tempo
variando f .
Tabela 7.3: Influência do parâmetro f nas amplitudes máximas do pêndulo na resposta
total.
f θ (máximo) τθ , (máximo) ττθ , (máximo)
0.00 0.333699 0.334775 0.331375
0.20 0.330619 0.331611 0.328299
0.40 0.327712 0.328618 0.325396
0.60 0.324963 0.325782 0.322648
0.80 0.322356 0.323088 0.320042
1.00 0.319880 0.320525 0.317566
1.20 0.317524 0.318080 0.315208
1.40 0.315277 0.315746 0.312960
1.60 0.313131 0.313514 0.310813
1.80 0.311078 0.311375 0.308759
2.00 0.309113 0.309324 0.306791
2.20 0.307224 0.307350 0.304900
2.40 0.305415 0.305459 0.303090
2.60 0.303673 0.303634 0.301346
146
Tabela 7.4: Influência do parâmetro f nas amplitudes máximas do pêndulo na resposta
permanente.
f θ (máximo) τθ , (máximo) ττθ , (máximo)
0.00 0.176322 0.176489 0.175989
0.20 0.176322 0.176489 0.175989
0.40 0.176322 0.176489 0.175989
0.60 0.176322 0.176489 0.175989
0.80 0.176322 0.176489 0.175989
1.00 0.176322 0.176489 0.175989
1.20 0.176322 0.176489 0.175989
1.40 0.176322 0.176489 0.175989
1.60 0.176322 0.176489 0.175989
1.80 0.176322 0.176489 0.175989
2.00 0.176322 0.176489 0.175989
2.20 0.176322 0.176489 0.175989
2.40 0.176322 0.176489 0.175989
2.60 0.176322 0.176489 0.175989
Nas Tabelas 7.3 e 7.4 mostra-se o comportamento das amplitudes máximas
do pêndulo na resposta total e permanente, respectivamente. Nota-se que as
amplitudes máximas do pêndulo diminuem com o aumento do parâmetro f , já as
amplitudes máximas no estado permanente não sofrem alterações com o aumento
de f .
A Figura 7.6 apresenta a variação do deslocamento angular do pêndulo ao
longo do tempo, para alguns valores de f .
147
(a) 00.0=f (b) 80.0=f
(c) 20.1=f (d) 00.2=f
Figura 7.6: Comportamento das amplitudes de deslocamento angular do absorsor
pendular no tempo variando f .
7.1.2. Influência do parâmetro β
Para variar o parâmetro β é fixado o parâmetro f com magnitude igual a
1.00. Nas Tabelas 7.5 e 7.6 mostra-se o comportamento das amplitudes máximas
de deslocamento, velocidade e aceleração da coluna na resposta total e
permanente do sistema, respectivamente.
Tabela 7.5: Influência do parâmetro β nas amplitudes máximas da coluna na resposta
total.
β ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
0.00 0.033235 0.032756 0.033245
6.00 0.033074 0.032627 0.033075
60.0 0.031746 0.031539 0.031771
600.0 0.025490 0.025113 0.026036
6000.0 0.015469 0.016007 0.018705
60000.0 0.009689 0.010928 0.016703
148
Tabela 7.6: Influência do parâmetro β nas amplitudes máximas da coluna na resposta
permanente.
β ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
0.00 0.000682 0.000727 0.000617
6.00 0.000682 0.000727 0.000617
60.0 0.000682 0.000727 0.000617
600.0 0.000682 0.000727 0.000617
6000.0 0.000682 0.000727 0.000617
60000.0 0.000682 0.000727 0.000617
Observa-se que as amplitudes da coluna na resposta total melhoram
bastante, ou seja, diminuem de forma significativa com o aumento do parâmetro
β , já as amplitudes da coluna na resposta permanente não se alteram.
A Figura 7.7 mostra a variação do deslocamento da coluna no tempo, para
alguns valores de β .
(a) 00.0=β (b) 0.60=β
(c) 0.600=β (d) 0.6000=β
Figura 7.7: Comportamento das amplitudes de deslocamento da coluna no tempo
variando β .
Nota-se que, na medida que se aumenta o parâmetro β , a coluna tende a
chegar mais rapidamente a sua fase permanente.
149
A seguir, mostra-se o comportamento das amplitudes do absorsor pendular
com a variação do parâmetro β . As Tabelas 7.7 e 7.8 mostram o comportamento
das amplitudes máximas do pêndulo na resposta total e permanente do sistema,
respectivamente.
Tabela 7.7: Influência do parâmetro β nas amplitudes máximas do pêndulo na resposta
total.
β θ (máximo) τθ , (máximo) ττθ , (máximo)
0.00 0.333699 0.334775 0.331375
6.00 0.332135 0.333170 0.329815
60.0 0.319880 0.320524 0.317566
600.0 0.265315 0.264634 0.263003
6000.0 0.207974 0.208279 0.208295
60000.0 0.184697 0.185256 0.185301
Tabela 7.8: Influência do parâmetro β nas amplitudes máximas do pêndulo na resposta
permanente.
β θ (máximo) τθ , (máximo) ττθ , (máximo)
0.00 0.176322 0.176489 0.175989
6.00 0.176322 0.176489 0.175989
60.0 0.176322 0.176489 0.175989
600.0 0.176322 0.176489 0.175989
6000.0 0.176321 0.176488 0.175988
60000.0 0.176315 0.176482 0.175982
Nota-se um significativo decréscimo nas amplitudes do pêndulo na resposta
total, ou seja, houve redução das amplitudes do pêndulo na medida em que
aumentou-se β . A Figura 7.8 ilustra o comportamento do pêndulo ao longo do
tempo, para diferentes valores de β . Essas reduções ocorrem, como visto na
Tabela 7.7, durante a resposta transiente, enquanto está ativo o atuador.
150
(a) 00.0=β (b) 0.60=β
(c) 0.600=β (d) 0.6000=β
Figura 7.8: Comportamento das amplitudes de deslocamento angular do absorsor
pendular no tempo variando β .
Como mostrado, o parâmetro β controla a velocidade da força de controle.
Tem-se, ainda, que quanto maior o valor de β maior é quantidade de energia que
a força de controle requer. Na literatura em geral usa-se a função )(sign x que
representa uma mudança brusca e instantânea da força de controle em x=0
(Winthrop et al., 2005). A função proposta neste trabalho, )tanh( xβ , apresenta
um comportamento mais suave e mais fácil de ser obtido na prática. O
comportamento da função )(sign x é mostrado na Figura 7.9.
Figura 7.9: Comportamento da função )(sign x .
151
7.2. Comportamento do Sistema Considerando Defasagem no Cálculo da Força de Controle
Investiga-se, agora, o comportamento do absorsor dinâmico de vibrações
híbrido no controle de vibrações da estrutura principal considerando que força de
controle tem uma defasagem no tempo, ou seja, o cálculo da força de controle não
é mais feito com os deslocamentos e velocidades de cada instante e sim com
deslocamentos e velocidades medidos em instantes anteriores.
A defasagem para calcular a força de controle é baseada no período de
oscilação do sistema, ou seja, uma defasagem de 5.00% significa 5% do período
do sistema. Nessa análise adota-se 00.1=f e 6000=β . Nas Tabelas 7.9 e 7.10
observa-se a influência da defasagem nas amplitudes máximas da coluna durante
a resposta total e permanente, respectivamente.
Tabela 7.9: Influência da defasagem nas amplitudes máximas da coluna na resposta
total para 00.1=f e 6000=β .
Defasagem (%) ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
0.00 0.015469 0.016007 0.018705
5.00 0.015901 0.015283 0.022131
10.0 0.017010 0.015386 0.024899
15.0 0.019354 0.022520 0.028044
20.0 0.022849 0.0321433 0.033540
23.0 18.320434 28.965204 37.726468
Tabela 7.10: Influência da defasagem nas amplitudes máximas da coluna na resposta
permanente para 00.1=f e 6000=β .
Defasagem (%) ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
0.00 0.000682 0.000727 0.000617
5.00 0.000682 0.000727 0.000617
10.0 0.000682 0.000727 0.000617
15.0 0.000682 0.000727 0.000618
20.0 0.000681 0.000727 0.000618
23.0 6.291596 9.543803 19.750983
152
Já o comportamento das amplitudes do pêndulo na resposta total e
permanente está ilustrado nas Tabela 7.11 e 7.12, respectivamente.
Tabela 7.11: Influência da defasagem nas amplitudes máximas do pêndulo na resposta
total para 00.1=f e 6000=β .
Defasagem (%) θ (máximo) τθ , (máximo) ττθ , (máximo)
0.00 0.207974 0.208279 0.208295
5.00 0.206345 0.205290 0.204021
10.0 0.208071 0.205788 0.201988
15.0 0.219752 0.216193 0.211272
20.0 0.242929 0.241386 0.238837
23.0 105864.620464 18.713047 30.431517
Tabela 7.12: Influência da defasagem nas amplitudes máximas do pêndulo na resposta
permanente para 00.1=f e 6000=β .
Defasagem (%) θ (máximo) τθ , (máximo) ττθ , (máximo)
0.00 0.176321 0.176488 0.175988
5.00 0.176319 0.176486 0.175986
10.0 0.176315 0.176482 0.175982
15.0 0.176312 0.176479 0.175978
20.0 0.176310 0.176478 0.175977
23.0 105864.620464 18.032139 13.696515
Os resultados mostram que, quando a defasagem passa de 20.0% do
período, o sistema torna-se instável.
Tendo em vista esse resultado, resolveu-se investigar o efeito de β na
estabilidade do sistema de controle híbrido. Inicialmente considerou-se 00.1=f
e 60=β . Os resultados são apresentados nas Tabelas 7.13 e 7.14 para,
respectivamente, as amplitudes máximas da coluna durante a resposta total e
permanente. Já o comportamento das amplitudes do pêndulo na resposta total e
permanente está ilustrado nas Tabelas 7.15 e 7.16, respectivamente. Nesse caso,
variou-se a defasagem até 200% do período da coluna. Verifica-se que o sistema
153
permanece estável ocorrendo apenas pequenas variações nos valores extremos a
medida que a defasagem aumenta.
Tabela 7.13: Influência da defasagem nas amplitudes máximas da coluna na resposta
total para 00.1=f e 60=β .
Defasagem (%) ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
0.00 0.031746 0.031539 0.031771
20.00 0.032688 0.032573 0.032852
40.00 0.034166 0.033685 0.034957
60.00 0.033921 0.033686 0.033245
80.00 0.033076 0.032413 0.033016
100.00 0.032791 0.032544 0.032876
120.00 0.033154 0.032798 0.033270
150.00 0.033358 0.032784 0.033359
200.00 0.033220 0.032755 0.033232
Tabela 7.14: Influência da defasagem nas amplitudes máximas da coluna na resposta
permanente para 00.1=f e 60=β .
Defasagem (%) ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
0.00 0.000681 0.000727 0.000617
20.00 0.000681 0.000727 0.000617
40.00 0.000681 0.000727 0.000617
60.00 0.000681 0.000727 0.000617
80.00 0.000681 0.000727 0.000617
100.00 0.000681 0.000727 0.000617
120.00 0.000681 0.000727 0.000617
150.00 0.000681 0.000727 0.000617
200.00 0.000681 0.000727 0.000617
154
Tabela 7.15: Influência da defasagem nas amplitudes máximas do pêndulo na resposta
total para 00.1=f e 60=β .
Defasagem (%) θ (máximo) τθ , (máximo) ττθ , (máximo)
0.00 0.319880 0.320524 0.317566
20.00 0.326190 0.327535 0.323897
40.00 0.346123 0.347489 0.344258
60.00 0.348622 0.348620 0.345859
80.00 0.329743 0.329994 0.326568
100.00 0.319804 0.321733 0.317728
120.00 0.329758 0.332263 0.329182
150.00 0.345766 0.345107 0.343614
200.00 0.325997 0.328136 0.324017
Tabela 7.16: Influência da defasagem nas amplitudes máximas do pêndulo na resposta
permanente para 00.1=f e 60=β .
Defasagem (%) θ (máximo) τθ , (máximo) ττθ , (máximo)
0.00 0.176322 0.176489 0.175988
20.00 0.176322 0.176489 0.175988
40.00 0.176322 0.176489 0.175988
60.00 0.176322 0.176489 0.175989
80.00 0.176322 0.176489 0.175989
100.00 0.176322 0.176489 0.175988
120.00 0.176322 0.176489 0.175988
150.00 0.176322 0.176489 0.175988
200.00 0.176322 0.176489 0.175988
Com base nesses resultados, estudou-se a variação do valor crítico de β em
função da defasagem. Os resultados estão apresentados na Figura 7.10, onde se
mostra a variação da amplitude máxima da coluna na fase transiente em função de
β para diversos valores de defasagem (25%, 50%, 75% e 100%). Nota-se que a
pior situação (menor β crítico) ocorre para 50% de defasagem, quando a força do
controle ativo começa a agir fora de fase. Dos resultados apresentados conclui-se
que para valores pequenos de β , ou seja para quando a mudança de sinal da força
155
de controle é suave, o sistema é sempre estável. Para variações bruscas da força de
controle a estabilidade é função da defasagem.
Figura 7.10: Variação da amplitude máxima da coluna em função de β .
Fazendo o mesmo estudo para a variação do parâmetro f tem-se os
resultados apresentados na Figura 7.11. Onde pode-se observar a variação da
amplitude máxima da coluna na fase transiente em função de f para alguns
valores de defasagem. Nota-se, novamente, que a pior situação ocorre para 50%
de defasagem.
Figura 7.11: Variação da amplitude máxima da coluna em função de f .
7.3. Comportamento do Sistema para um Pulso Retangular
O pulso retangular de curta duração é dado pela Figura 5.24. As amplitudes
máximas são calculadas para diferentes pulsos retangulares, ou melhor, são
156
adotadas diferentes durações para o pulso retangular. A duração de cada pulso
retangular é medida em função do período de resposta do sistema (T ). Adota-se
nesse estudo os parâmetros 00.1=f e 60=β .
Inicialmente, adota-se que a duração do pulso retangular é de um período do
sistema e é feita uma avaliação da resposta no tempo. Essa avaliação é
apresentada na Figura 7.12.
(a) Coluna sem controle (b) Coluna controlada
(c) Força de controle (d) Absorsor pendular
Figura 7.12: Comportamento das amplitudes do sistema com a força de controle para um
pulso retangular.
Na Tabela 7.17 observa-se a influência da duração do pulso.
Tabela 7.17: Influência da duração do pulso retangular na resposta da coluna.
ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo) Duração Sem
Controle Com
Controle Sem
Controle Com
Controle Sem
Controle Com
Controle 1/4 T 0.000434 0.000427 0.000439 0.000439 0.006980 0.006979
1/2 T 0.000434 0.000427 0.000439 0.000439 0.006980 0.006979
3/4 T 0.000434 0.000427 0.000439 0.000439 0.006980 0.006979
T 0.013847 0.013478 0.006923 0.006798 0.006980 0.006979
5/4 T 0.013847 0.013478 0.006923 0.006798 0.006980 0.006979
2 T 0.013847 0.013478 0.006923 0.007752 0.006980 0.007821
5 T 0.013847 0.013478 0.006923 0.012657 0.006980 0.012784
157
Nota-se que as amplitudes da coluna original e controlada são semelhantes.
A Tabela 7.18 mostra a variação das amplitudes máximas do pêndulo em função
da duração do pulso retangular.
Tabela 7.18: Influência da duração do pulso retangular na resposta do pêndulo.
Duração θ (máximo) τθ , (máximo) ττθ , (máximo)
1/4 T 0.002079 0.002094 0.006965
1/2 T 0.002079 0.002094 0.006965
3/4 T 0.002079 0.002094 0.006965
T 0.019353 0.020319 0.020274
5/4 T 0.019353 0.020319 0.020274
2 T 0.036373 0.036933 0.037673
5 T 0.060304 0.061100 0.061390
7.4. Comportamento do Sistema para um Pulso com Amplitude Variável
O comportamento do sistema sob o carregamento de um pulso com
amplitude variável, é apresentado na seqüência. A força de excitação é dada, na
sua forma adimensional, por:
)1(
00.)( τετεζτ −= eF se (7.3)
onde 0ε é um parâmetro de controle e sζ é a magnitude da força.
A Figura 7.13 demonstra o comportamento dessa força de excitação.
158
Fe(τ)
τ Figura 7.13: Força de excitação da equação (7.3).
A equação (7.3) é apresentada por Korenev & Reznikov (1993) que
menciona que esse tipo de força de excitação é usada em projetos, quando são
investigadas as vibrações nas construções causadas por explosões, cargas
sísmicas, rajadas de vento e cargas de ondas. Essa força atinge o seu valor
máximo em 0/1 ετ = .
As Tabelas 7.19 e 7.20 ilustram o comportamento das amplitudes máximas
durante a resposta total da coluna e do pêndulo, respectivamente, variando-se o
parâmetro da força de excitação 0ε . Para esse tipo de carregamento, ao contrário
do pulso retangular, já nota-se o efeito benéfico do controle na resposta da torre,
em particular no que se refere às velocidades e acelerações, sendo que a redução
de magnitude cresce à medida que 0ε aumenta.
Tabela 7.19: Influência do parâmetro 0ε nas amplitudes máximas da coluna.
ζ (máximo) τζ , (máximo) ττζ , (máximo)
0ε Sem Controle
Com Controle
Sem Controle
Com Controle
Sem Controle
Com Controle
0.5 0.012886 0.012561 0.008477 0.007647 0.007525 0.006902
1.0 0.011178 0.010912 0.009678 0.008959 0.009262 0.008399
1.5 0.009197 0.008996 0.008646 0.008097 0.008473 0.007773
2.0 0.007654 0.007494 0.007414 0.006985 0.007316 0.006925
2.5 0.006483 0.006351 0.006358 0.006014 0.006723 0.006713
3.0 0.005584 0.005477 0.005503 0.005218 0.006807 0.006801
159
Tabela 7.20: Influência do parâmetro 0ε nas amplitudes máximas do pêndulo.
0ε θ (máximo) τθ , (máximo) ττθ , (máximo)
0.5 0.035241 0.035537 0.035462
1.0 0.044206 0.044457 0.045025
1.5 0.040907 0.041105 0.041987
2.0 0.035461 0.035648 0.036551
2.5 0.030537 0.030690 0.031547
3.0 0.026486 0.026635 0.027406
8 Conclusões e Sugestões
8.1. Conclusões
Os objetivos do trabalho foram alcançados, demonstrando a influência da
não-linearidade do pêndulo absorsor na resposta do sistema e propondo um
sistema de controle híbrido eficiente.
Um estudo paramétrico detalhado no domínio do tempo mostrou a
influência dos parâmetros físicos e geométricos do sistema na capacidade do
absorsor pendular de reduzir as amplitudes de vibração da coluna. Os resultados
indicaram que em muitas situações o pêndulo pode amplificar a resposta da
coluna. Desse estudo, tem-se que o pêndulo deve ser calibrado com uma
freqüência menor que a de excitação quando ce ωω < e uma freqüência maior que
a de excitação quando ce ωω > .
A análise no domínio da freqüência da influência da não-linearidade
geométrica do pêndulo mostrou a importância dessa na resposta do sistema,
evidenciando que a não-linearidade não pode ser desprezada nessa classe de
problema. A qualidade dos resultados foi demonstrada através da comparação
entre os resultados obtidos no domínio da freqüência, pelo método aproximado de
Galerkin-Urabe, e os resultados obtidos no domínio do tempo por integração
numérica das equações de movimento não-lineares.
Com base nos resultados, foi proposto um absorsor pendular híbrido, que
consiste de um elemento passivo (absorsor pendular) e um elemento ativo
(atuador). Na análise desse novo dispositivo verificou-se que a força de controle
atua quando o absorsor pendular começa a se mover. Após o absorsor atingir as
amplitudes necessárias para controlar as oscilações da coluna, as amplitudes da
força de controle diminuem significativamente. Observou-se, ainda, que esse
controle pode praticamente anular as oscilações do sistema na região de
ressonância.
161
O controle híbrido mostrou-se bem mais eficiente que o passivo, sem um
grande gasto de energia. Demonstrando, a priori, ser um bom mecanismo de
controle de vibrações de torres esbeltas. Entretanto são necessários alguns estudos
adicionais para que seja comprovada a eficiência do controle híbrido.
8.2. Sugestões
O controle de vibrações de estruturas é uma área de pesquisa em franca
expansão. Como se pode observar ao longo deste trabalho, existem vários tópicos
importantes cujo estudo deve ser aprofundado. Dentre esses, pode-se enumerar
como continuação natural desta dissertação, os seguintes tópicos:
• Estudo sobre o emprego de novos materiais ou materiais inteligentes
(materiais piezelétricos, materiais com memória forma, fluidos
eletro-reológicos e magneto-reológico) no controle híbrido ou
adaptativo de vibrações. Nesse contexto, podem ser citados os
trabalhos recentes de Carlson & Jolly (2000), Williams et al. (2005),
Nagarajaiah & Varadarajan (2005) e Winthrop et al. (2005);
• Aprofundamento da análise não-linear através de métodos numéricos
e aproximados para a análise de sistemas dinâmicos não-lineares.
Uma revisão detalhada desses métodos pode ser encontrada no
trabalho de Del Prado (2001);
• Análise de aspectos práticos relativo à instalação do absorsor
pendular e do controle híbrido em torres. Neste contexto, pode-se
citar os trabalhos de Korenev & Reznikov (1993) e Soong &
Dargush (1997);
• Estudo do absorsor pendular com impacto para se obter uma maior
dissipação de energia. Neste campo tem-se os trabalhos de Collette
(1998) e Veprik & Babitsky (2001).
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