RICARDINHO

FUNÇÕES

y = f(x) = ax + b

a > 0

yD = ℜℜℜℜ Im = ℜℜℜℜ

FUNÇÃO CRESCENTE

(0, b)

x

y

(0, b)

x

FUNÇÃO DECRESCENTEa < 0

Raiz ou zero da funçãoy = 0

FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU

y = ax2 + bx + c

Vértice

a > 0

c

xV

yV

∆∆∆∆ > 0 x1 ≠≠≠≠ x2

2 4V V

bx e y

a a

− −∆= = ou 1 2 ( )2V V V

x xx e y f x

+= =

Côncava para cima

x1 x2

a < 0 Côncava para baixo

∆∆∆∆ = 0 x1 = x2

∆∆∆∆ < 0 não há raízes reais

Lembrando....Lembrando....

RESUMO GRÁFICO

∆∆∆∆ > 0

x1 ≠≠≠≠ x2

x1 x2

y

x

∆∆∆∆ = 0

x1 = x2

x1 = x2 x

y

∆∆∆∆ < 0

x1, x2 ∉∉∉∉ R

x

y

Sejam as funções

definida para todo x real. Determine a soma dos

números associados à(s) proposição(ões)

VERDADEIRA(S).

definida para todo x

real e x ≠≠≠≠ 4, g(x) = x + 3 e h(x) = 2x2 – 12x + 16

4x12xf(x) −

+=

4x12xf(x) −

+= g(x) = x + 3 h(x) = 2x2 – 12x + 16

01. O domínio da função h(x)k(x)=D(h) = {x ∈∈∈∈ ℜℜℜℜ/ 2 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 4}

é definido por

h(x)k(x)= 1612x2x2 +−=k(x)

2 4

++_

2x2 – 12x + 16 ≥≥≥≥ 0

x2 – 6x + 8 ≥≥≥≥ 0D(hD(h) { x ) { x ∈∈∈∈∈∈∈∈ R | R | x x ≤≤≤≤≤≤≤≤ 2 2 ouou x x ≥≥≥≥≥≥≥≥ 5} 5}

FALSO

02. A função h(x) é par.

FALSO

4x12xf(x) −

+= g(x) = x + 3 h(x) = 2x2 – 12x + 16

04. O valor de f(g(2)) é igual a 11.

g(x) = x + 34x12xf(x) −

+=

4512.5f(5) −

+=

4x12xf(x) −

+=

g(2) = 2 + 3

g(2) =5f(5) = 11

08.

VERDADEIRO

2x14x(x)f 1-

−+=

VERDADEIRO

16. A reta que representa a função g intercepta o eixo das

abscissas em (1,0)

4x12xf(x) −

+= g(x) = x + 3 h(x) = 2x2 – 12x + 16

y

(0, b)

x

Raiz ou zero da funçãoy = 0

g(x) = x + 3

(0, 3)

(-3,0)

32. A função f assume valores estritamente positivos para

x < -1/2 ou x > 4

FALSO

VERDADEIRO

64. O valor mínimo de h(x) é – 1.

4x12xf(x) −

+= g(x) = x + 3 h(x) = 2x2 – 12x + 16

Vértice

(0,16)

3

-2

x1 x2

y

x

h(x) = 2x2 – 12x + 16

a

bxV 2

−= ∴2.2

)12(−−=Vx

3=Vx

h(3) = 2.(3)2 – 12.3 + 16

h(3) = - 2

EXPONENCIAL e LOGARITMOS

log 2 x + log (1 + 2 x) = log 6

log 2 x + log (1 + 2 x) = log 6

log [(2 x (1 + 2x)] = log 6

2x (1 + 2x) = 6

y (1 + y) = 6

y + y2 = 6

y2 + y – 6 = 0

Incógnita auxiliar:

2X = y

y’ = 2 y’’ = - 3

2x = 2

x = 1

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Forma: f(x) = ax

(a > 1) → função crescente

(0 < a < 1) → função decrescente

INEQUAÇÃO EXPONENCIAL

ax > ay

x > y x < y

a > 1 0 < a < 1

log B A = x ↔↔↔↔ A = B x

log B 1 = 0 log A A = 1

log C (A.B) = log c A + log c B

log C (A/B) = log c A – log c B

log A Am = m

DefiniDefini ççãoão

A > 0 1 ≠ B > 0

log C Am = m.log c A

MUDANMUDANÇÇA DE BASEA DE BASE

BlogAlog

Alogc

cB =

Casos ParticularesCasos Particulares

PropriedadesPropriedades

x

y

01

y = loga x

y = loga x

Função Logarítmica

a > 1

0 < a < 1

M = C(1 + i) t

log 1,12 = log 112 – log 100

Uma pessoa comprou um im óvel com intenção de investir seu dinheiro. Sabendo-se que este im óvel valorizou 12% ao ano, determine:

a) Dados: log 2 = 0,30 e log 7 = 0,84. Determine o v alor do log 1,12.

=100

112log12,1log

log 1,12 = log (2 4.7) – log 10 2

log 1,12 = log 2 4 + log 7 – 2 log 1,12 = 4.0,30 + 0,84 – 2

log 1,12 = 0,04

b) Após quanto tempo o valor valor do im óvel duplicou?

2x = x(1 + 0,12) t

2 = (1,12)t

log 2 = log (1,12) t

0,30 = t .log (1,12)0,30 = t .0,04t = 7,5 (7 anos e 6 meses)

PROGRESSÕES

a1, a2, a3, ……., an

P. G.

RAZÃO DA P.G.

TERMO GERAL

a2 = aaaa1111 .... qqqq

a3 = aaaa1111 .... qqqq2222

a4 = aaaa1111 .... qqqq3333

aaaannnn = a= a= a= a1111 .... q q q q n n n n –––– 1 1 1 1

3 TERMOS EM P.G.

q...aa

aa

2

3

1

2 ===

xqx;;qx

a1, a2, a3, ……., an

P. A.

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA:

a2 – a1 = a3 – a2 = rTERMO GERAL

a2 = aaaa1111 + r + r + r + r

a3 = aaaa1111 + 2r + 2r + 2r + 2r

a4 = aaaa1111 + 3r + 3r + 3r + 3r

aaaannnn = a= a= a= a1111 + (n + (n + (n + (n –––– 1).r1).r1).r1).r

SOMA DOS TERMOS

Sn = (a1 + an). n

2

1q1).(qa

Sn

1n −

−=

SOMA DOS TERMOS

q-1a

Slimite 1=∞

PROGRESSÕES: ASSINALE V ou F

A sequência (1 – 3x, x – 2, 2x + 1) é uma P.A e a sequência (1 + y, 13 + y, 49 +y) é uma P.G, então o valor de x.y é 10.

VERDADEIRO

P.A

a2 – a1 = a3 – a2

x – 2 – (1 – 3x) = 2x + 1 – (x – 2)

x = 2

4x – 3 = x + 3

P.G

=a1

a2 a3

a2

=1 + y

13+ y 49 + y

13 + y(13 + y)2 = (1 + y).(49 + y)

y = 5

PROGRESSÕES: ASSINALE V ou F

A soma dos números ímpares de 27 a 75 é 1275.

27 75

a1 an

an = a1 + (n – 1)r

75 = 27 + (n – 1).2

n = 25

Sn = ( a1 + an) · n

2

S25 = ( a1 + a25) · 25

2

S25 = ( 27 + 75) · 25

2

S25 = 1275

VERDADEIRO

PROGRESSÕES: ASSINALE V ou F

A soma dos termos da P.G (3 -1, 3-2, 3-3, ...........) é 1

(3-1 + 3-2 + 3-3 + ……..)

+++ ....271

91

31

3113

1S

−=

S = 0,5

Falso

q-1a

S 1=∞ 0 < |q| < 1

MATRIZ INVERSA

MATRIZ INVERSA

A . A -1 = In

detA1

detA 1 =−

• Se det A ≠ 0 a matriz possui inversa, sendo assim chamada de inversível.

• Se det A = 0 a matriz não admite inversa é chamada de singular.

=

dc

baA

−−

=ac

bd1-A

=

A det

a

Adet

c-

A det

b-

A det

d

1-A

=

57

12A

−−

=2

51-A

7

1

=

3

2

3

7-

3

1-

3

5

1-A

det A =3

LEMBRAR !!!!!!det(A.B) = detA.det B (Teorema de Binet)

CUIDADO: det(A + B) ≠ detA + det B

vale lembrar que:vale lembrar que:

det (k.A) = k n. det A

k ∈∈∈∈ R, n é a ordem da matriz

GEOMETRIA ANAL ÍTICA

ESTUDO DA RETA

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear

FORMAS DE OBTENÇÃO

0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR

Dados 1 ponto e o coef. angular

y – yo = m(x – xo)

B

x

y

O

yB

yA

xBxA

A

αααα

(0, n)

αααα

yB– yA

xB– xA

r

AB

AB

xx

yym

−−

=m = tg α

POSIÇÕES RELATIVAS

PARALELAS: mr = ms

CONCORRENTES: mr ≠ ms

PERPENDICULARES: mr . ms = – 1

ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

x

y

C

αααα x

y P

ββββ x - αααα

y - ββββR

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

EQUAÇÃO REDUZIDA

(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2

EQUAÇÃO GERAL

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

A = - 2αααα B = - 2 ββββ C = αααα2 + ββββ2 – R2

x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0

αααα = 2

÷ (-2)

÷(-2

)

ββββ = 3

C = αααα2 + ββββ2 – R2

9 = (2)2 + (3)2 – R2

R = 2C( 2 , 3 )

PORCENTAGEM

AUMENTOS E DESCONTOS

AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,2

AUMENTAR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 2% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 1,02

DIMINUIR O PREÇO DE UMA MERCADORIA EM 20% SIGNIFICA MULTIPLICAR SEU VALOR POR: 0,8

Aumento sucessivo de 10% e 20% no preço de um determinado produto é equivalente a um único aumento de:

1,1 . 1,2 = 1,32 32%

Quando chegou o inverno, um comerciante aumentou em 10% o preço de cada jaqueta de couro do seu estoque. Terminada a estação, fez uma promoção com 20% de desconto, passando o preço da jaqueta para R$ 176,0 0. O preço inicial de cada jaqueta, antes do aumento, er a:

PREÇO INICIAL:x

0,88x = 176 0,88x = 176

x = 200 x = 200

x1,1 0,8 = 176

Se um cubo tem as suas arestas aumentadas em 20% ca da uma, então o seu volume fica aumentado em:

1,2 a

1,2 a

1,2 a

V = a3

a

a

a

V = (1,2a)3

V = 1,728a3

Portanto, o volume aumentado em 72,8%

1

Um município de 628 km ² é atendido por duas emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10km do município, conforme mostra a figura:

Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente:

n(E)n(A)

P(A) =n(A) é o número de elementosdo evento desejado

n(E) é o número de elementosdo espaço amostral

P(A)= 157

6280,25 = 25%=

10km 10kmA = 1/2 (ππππ R2)A = 1/2 (3,14 102)

A = 157km 2