Diagramas Lógicos

O uso de diagramas para representar as proposições são de extrema importância, pois ajudam a visualizar todas as

proposições de um enunciado de forma conjunta. Os diagramas lógicos nada mais são do que a representação de

proposições utilizando o diagrama de Venn-Euler, que são círculos utilizados para representar os conjuntos, no nosso

caso, as proposições.

Os diagramas lógicos são mais utilizados nas questões de lógica que envolvem as palavras todo, algum e nenhum. As proposições que envolvem tais termos são:

Todo A é B

Nenhum A é B

Algum A é B e

Algum A não é B

As proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: o

conjunto A está contido em B. Sua representação na forma de diagrama lógico é:

Atenção: dizer que Todo A é B não significa necessariamente o mesmo que Todo B é A.

As proposições da forma Nenhum A é B querem dizer que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum, e as representamos da seguinte forma:

Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.

Na Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em

comum com o conjunto B. Contudo, devemos nos atentar para o seguinte: quando afirmamos que "alguns pássaros

voam", está perfeitamente correto mesmo que todos eles voem.

Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. São também equivalentes a esta, as

seguintes proposições:

Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B

Suas representações possíveis são:

Qualquer uma das quatro representações está correta, porém a que deverá ser utilizada na resolução das questões que contém esta proposição (algum A é B), para que não haja confusão, será a primeira.

Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências:

Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A.

Mas não é equivalente a Algum B não é A.

Para esta proposição (algum A é B), teremos três representações possíveis:

Vejamos agora um exemplo de questão envolvendo diagramas lógicos:

(ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de

história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também

alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno

de história, então:

a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.

b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.

c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.

d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.

e) todos os alunos de informática são alunos de português.

Resolução:

Temos, do enunciado, as seguintes proposições:

1. Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês

2. Nenhum aluno de inglês é aluno de história

3. Todos os alunos de português são também alunos de informática

4. Alguns alunos de informática são também alunos de história

5. Nenhum aluno de informática é aluno de inglês 6. Nenhum aluno de português é aluno de história

Agora iremos representar cada proposição utilizando os diagramas lógicos. Como não há uma ordem a ser seguida,

podemos começar com qualquer uma das proposições até que façamos a representação de todas elas. Após desenharmos os diagramas para cada proposição, chegamos ao seguinte resultado:

Analisando as alternativas e as comparando com o desenho acima, vemos claramente que o item correto é item C.

Resposta: alternativa C.

O uso de diagramas para representar as proposições são de extrema importância,

pois ajudam a visualizar todas as proposições de um enunciado de forma conjunta. Os

diagramas lógicos nada mais são do que a representação de proposições utilizando o

diagrama de Venn-Euler, que são círculos utilizados para representar os conjuntos, no

nosso caso, as proposições.

Os diagramas lógicos são mais utilizados nas questões de lógica que envolvem as

palavras todo, algum e nenhum. As proposições que envolvem tais termos são:

Todo A é B

Nenhum A é B

Algum A é B e

Algum A não é B

As proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto

do conjunto B. Ou seja: o conjunto A está contido em B. Sua representação na forma de

diagrama lógico é:

Atenção: dizer que Todo A é B não significa necessariamente o mesmo que Todo B é

A.

As proposições da forma Nenhum A é B querem dizer que os conjuntos A e B são

disjuntos, isto é, não tem elementos em comum, e as representamos da seguinte forma:

Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é

A.

Na Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem

pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, devemos nos atentar

para o seguinte: quando afirmamos que "alguns pássaros voam", está perfeitamente

correto mesmo que todos eles voem.

Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. São

também equivalentes a esta, as seguintes

proposições:

Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B

Suas representações possíveis são:

Qualquer uma das quatro representações está correta, porém a que deverá ser

utilizada na resolução das questões que contém esta proposição (algum A é B), para que

não haja confusão, será a primeira.

Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo

menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências:

Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A.

Mas não é equivalente a Algum B não é A.

Para esta proposição (algum A é B), teremos três representações

possíveis:

Vejamos agora um exemplo de questão envolvendo diagramas lógicos:

(ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum

aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de

informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como

nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é

aluno de história, então:

a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.

b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.

c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.

d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.

e) todos os alunos de informática são alunos de português.

Resolução:

Temos, do enunciado, as seguintes proposições

1. Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês

2. Nenhum aluno de inglês é aluno de história

3. Todos os alunos de português são também alunos de informática

4. Alguns alunos de informática são também alunos de história

5. Nenhum aluno de informática é aluno de inglês

6. Nenhum aluno de português é aluno de história

Agora iremos representar cada proposição utilizando os diagramas lógicos. Como não

há uma ordem a ser seguida, podemos começar com qualquer uma das proposições até

que façamos a representação de todas elas. Após desenharmos os diagramas para cada

proposição, chegamos ao seguinte resultado:

Analisando as alternativas e as comparando com o desenho acima, vemos claramente

que o item correto é item C.

Resposta: alternativa C.