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Revista Brasileira de Ensino de Fısica, vol. 39, nº 3, e3603 (2017)www.scielo.br/rbefDOI: http://dx.doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2016-0245

Historia da Fısica e Ciencias Afinscb

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Determinacao do ındice de refracao dos materiais pelometodo de Ptolomeu

Determination of the refractive index of materials by the method of Ptolemy

Marcos Paulo Martinho∗1, Vitorvani Soares2

1Instituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia do Rio de Janeiro, Av Maria Luzia, Rio de Janeiro, RJ, Brasil2Instituto de Fısica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Cidade Universitaria, Rio de Janeiro, RJ, Brasil

Recebido em 25 de Novembro de 2016. Revisado em 13 de Fevereiro de 2017. Aceito em 14 de Fevereiro de 2017

E conhecido que objetos observados atraves de materiais transparentes tem suas imagens deslocadasde sua posicao original. A experiencia da moeda oculta no fundo do recipiente e que se torna visıvelcom a colocacao de certa quantidade de agua dentro dele e um exemplo comum. O que poucos sabem eque este procedimento ja teria sido descrito por Ptolomeu, no seculo II, ao apresentar o seu metodode analise do fenomeno de refracao em seu livro de Optica, um dos livros mais antigos na historia dafısica. Apresentamos neste trabalho o metodo de Ptolomeu e discutimos uma variacao quantitativa doseu procedimento: determinamos o grau de encurvamento que um dioptro produz na localizacao daimagem de um objeto e estabelecemos a relacao matematica entre a sua posicao angular real e o angulode encurvamento correspondente.Palavras-chave: refracao, experimento, metodo cientıfico, Ptolomeu.

It is known that objects observed through transparent materials have their images shifted from theiroriginal position. The experience of the coin hidden in the bottom of the container and which becomesvisible with the placement of a certain amount of water inside it is a common example. What fewpeople know is that this procedure would have been described by Ptolemy in the second century whenhe presented his method of analyzing the phenomenon of refraction in his book of Optics, one of theoldest books in the history of physics. We present in this work the Ptolemy’s method and discuss aquantitative variation of its procedure: we determine the degree of curvature that the boundary betweentwo transparent materials produces in the image location of an object and we establish the mathematicalrelationship between its real angular position and the corresponding angle of curvature.Keywords: Refraction, experiment, scientific method, Ptolemy.

1. Introducao

O estudo da refracao e um assunto de grande im-portancia para a ciencia e e tema presente em todosos compendios de fısica basica. Muitas explicacoes defenomenos opticos derivam dele, tais como o estudodas lentes, fibra optica, arco–ıris, etc. Aprendemostambem nos livros didaticos que as regras que ba-lizam este fenomeno foram enunciadas no seculoXVII por Snell–Descartes, cerca de 2000 anos aposEuclides enunciar a lei da reflexao. Este intervalode tempo e muito grande entre duas leis que sao

∗Endereco de correspondencia: [email protected].

apresentadas uma em seguida a outra nos livrosescolares.

Feynman, em seu livro The Feynman Lectureson Physics [1], ressalta que o estabelecimento darelacao matematica entre a posicao angular do ob-jeto e o angulo de encurvamento da sua imagem foium grande quebra-cabecas para a ciencia da Anti-guidade. De fato, este assunto e comentado em obrasclassicas deste perıodo historico [2]. Entretanto, ne-nhum estudo sistematico sobre este tema e apontadopelos historiadores da ciencia ate o seculo II d.C.,quando o astronomo Claudio Ptolomeu, em seu livrode optica, publica o primeiro estudo quantitativoconhecido acerca do fenomeno da refracao.

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e3603-2 Determinacao do ındice de refracao dos materiais pelo metodo de Ptolomeu

A obra contendo a Optica de Ptolomeu e compostade cinco livros que ficaram perdidos durante seculosate que uma versao arabe fosse encontrada peloAlmirante Eugenio da Sicılia, no seculo XII. Estetexto em arabe foi traduzido para o latim nestamesma epoca pelo proprio descobridor. Somenteseculos mais tarde, em 1885, foi produzida umaedicao latina com comentarios em italiano [3]; umaoutra edicao, ainda em latim mas com comentariosem frances, foi impressa cerca de 70 anos depois,em 1956 [4]. Uma traducao do latim para o ingles,somente do Livro V, foi feita em 1958 [5] e, maisrecentemente, em 1996, foi publicada uma traducaodo latim para o ingles de todo o livro de Optica [6].Estes autores procuram destacar a habilidade dePtolomeu em realizar, ainda no inıcio da nossa era,uma serie de experimentos para a determinacaoda lei da refracao usando procedimentos cientıficosconsiderados modernos.

Como pode ser observado nas traducoes, Ptolo-meu estabelece uma hipotese (uma possıvel relacaoentre o angulo da posicao da imagem e o angulocorrespondente da posicao do objeto), constroi umgoniometro, faz medidas angulares com intervalosde 10° para tres dioptros diferentes usando os meiosar, agua e vidro e, finalmente, estabelece uma con-clusao a partir dos dados obtidos. Em seu livro,Ptolomeu nao somente organiza varias tabelas comos dados relativos as posicoes angulares do objeto eda sua imagem como tambem apresenta uma analisequantitativa dos seus resultados experimentais, adenominada lei de refracao de Ptolomeu. As Figu-ras 6, 9 e 10 do presente trabalho, retiradas dasreferencias [3–6], retratam a atualidade do procedi-mento adotado por Ptolomeu.

O livro de Feynman e um dos poucos livros con-temporaneos que citam a lei da refracao de Ptolo-meu nominalmente [1] mas nao faz uso dela em seucurso. Os cuidadosos experimentos realizados porPtolomeu para determinar a lei de refracao foramanalisados por Wilk mais recentemente [7] e este au-tor tambem conclui que o procedimento ptolomaicoe identico aos procedimentos efetuados nos labo-ratorios didaticos atuais. Animados por essa pers-pectiva, apresentamos neste artigo a reconstrucao doexperimento realizado por Ptolomeu para estudara refracao em seu tempo, utilizando sua metodo-logia. Nosso intuito e obter e analisar os dados apartir de seu ponto de vista: a determinacao pre-cisa da posicao original de um objeto conhecendo-se

a posicao angular da sua imagem produzida pelosdioptros ar–acrılico e ar–agua. Com este proposito,recriamos o experimento de Ptolomeu e realizamosa investigacao da refracao segundo sua orientacoes.

Ao consultar a literatura atual, observamos que amaior parte dos experimentos didaticos quantitati-vos sugeridos sobre refracao estao ligados a opticafısica [8]. Ao explorarmos este experimento realizadopor Ptolomeu resgatamos uma genuına atividadeoriunda das tradicoes da optica geometrica, ondeestabelecemos uma relacao de causa e efeito entreas posicoes angulares do objeto e de sua imagem,atraves da observacao direta destas grandezas fısicase sem o auxılio de lasers e instrumentos similares.

Assim como feito por Ptolomeu em seu livro ee mostrado em [3–6], a atividade experimental dis-cutida neste artigo esta dividida em duas partes.Ptolomeu comeca o capıtulo dedicado a refracaocom a discussao do experimento da moeda que estano fundo do recipiente opaco e se torna visıvel aposcerta medida de agua despejada em seu interior.Vamos substituir esta experiencia por uma outrautilizando uma lente plano convexa. O objetivo desteexperimento preliminar e similar ao que Ptolomeuquis demonstrar com o experimento da moeda: cons-tatar que, diferente do espelho, um objeto vistoatraves de um meio transparente tem a posicao dasua imagem deslocada em relacao a sua posicao ori-ginal. Em seguida determinamos o grau de desviodas posicoes angulares da imagem com o auxılio deum goniometro. Em seu trabalho original, Ptolomeuestabelece somente uma relacao geometrica de pro-porcionalidade entre as diferencas entre os angulosobservados. Em nosso trabalho obtemos os resulta-dos experimentais, os analisamos e estabelecemosuma equacao algebrica entre os angulos relativosa posicao do objeto e da sua imagem. Em seguidadeterminamos tambem os ındices de refracao dosmeios dioptricos estudados no experimento.

2. Aparato experimental

Para o desenvolvimento desta pratica experimentalfazemos uso dos itens informados a seguir e mos-trados nas Figuras 1 e 2. A descricao geometricada posicao da imagem de um objeto quando ele eobservado atraves de um meio transparente podeser compreendida inicialmente com a ajuda de cincocilindros feito de acrılico que possuem um diametrod = 2.00(5) cm e uma altura h = 2.00(5) cm e cinco

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Martinho e Soares e3603-3

Figura 1: Material para a primeira atividade. (a) Vistasuperior e (b) vista de frente do disco semicilındrico feitoem acrılico, de diametro D = 56.00(5) cm e uma alturah = 2.00(5) cm igual a altura do pequeno cilindro dediametro d = 2.00(5) cm e do pequeno disco preto tambemde mesmo diametro que o cilindro. Um esquadro e umaregua milimetrada tambem devem ser incluıdos no material.

Figura 2: (a) Vista de frente e lateral do nosso baptistir.(b) Representacao esquematica do baptistir.

pequenos discos nao transparentes, de diametro igualao diametro dos cilindros. Tambem temos a nossadisposicao um disco semicilındrico feito tambem emacrılico e que possui um diametro D = 56.00(5) cm

e uma altura h = 2.00(5) cm igual a altura dospequenos cilindros, como ilustrado na Figura 1.

O segundo item e o baptistir, um instrumentopor nos reproduzido conforme as orientacoes de Pto-lomeu descritas no quinto livro da sua Optica [3–6].Trata-se de um recipiente semicilındrico com umdisco conectado a ele que serve como goniometro.O disco tem um raio igual ao raio do semicilindro etanto o disco quanto o recipiente foram reproduzidosem acrılico. As dimensoes internas do recipiente se-micilindrico sao, em cm, 60.00(5)×2.00(5)×30.00(5)e o disco tem as seguintes dimensoes: 60.00(5) ×60.00(5)×1.00(5), como ilustrado na Figura 2(a). So-bre o disco desenhamos uma circunferencia ABGDcom o centro em E coincidente com o centro do discoe tambem estao representados dois diametros AEGe BED perpendiculares entre si e passando pelocentro da circunferencia E, como ilustrado esquema-ticamente na Figura 2(b). Dividimos cada quadranteda circunferencia em noventa partes iguais, denomi-nadas grau, e localizamos o centro da circunferenciacom um indicador colorido. Na secao 4 vamos empre-gar o baptistir para medir os angulos da localizacaodo objeto e da sua imagem correspondente e analisarquantitativamente a refracao produzida por nossosdioptros (ar–acrılico e ar–agua).

3. Procedimento experimental

A experiencia da moeda oculta no fundo do reci-piente e que se torna visıvel com a colocacao decerta quantidade de agua dentro dele, ja teria sidodescrita por Ptolomeu, o experimento que seguetem objetivo de mostrar quantitativamente o graude encurvamento que uma lente de acrılico possui.Entao dado uma lente plano-convexa, observada aimagem de um objeto a partir da face plana e obje-tos colocados ao longo da face curva, quais seriamas reais posicoes do objeto observado? Qual seriaa relacao matematica entre as posicoes reais e osangulos de encurvamento?

A lente plano-convexa devera ser colocada nahorizontal e a observacao devera ser feita a partirda face plana frontal. Com uma regua localiza-se ocentro da da lente E que indica o centro da interfacedo segmento TL, de nosso sistema ar–acrılico. Paraindicar esse ponto colocamos um cilindro de acrılicocomo indicado na Figura 3. Em seguida colocamosum objeto na posicao y ao longo do semi-cırculo.Devemos observar a imagem deste objeto atraves

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Figura 3: Vista superior e de frente da representacao domaterial da primeira atividade: o semidisco em acrılicoque representa o dioptro ar–acrılico, os pequenos cilindros,tambem em acrılico, e os pequenos discos que servemcomo objeto e guia de localizacao, respectivamente. (a)Localizacao do ponto de referencia E no ponto medio daface reta do semidisco.

do cilindro da posicao E. A partir da visualizacaodessa imagem coloca-se outro cilindro sobre a lentee faz suas geratrizes coincidirem com as da imagemobservada (Figura 4).

Ao realizar esta experiencia, duas observacoes saoimediatas. O angulo da orientacao nao e o mesmo daimagem observada em relacao a perpendicular a facereta (EK) do semi disco, e a segunda observacao eque a posicao H esta sob a mesma perpendicular aao segmento TL do semidisco que origina na posicaoreal y, conforme ilustrado na Figura 4.

Em seguida, distribuımos aleatoriamente outroscilindros similares ao longo da face curva e localiza-mos geometricamente as respectivas imagens dessesobjetos vistas pelo mesmo observador atraves domesmo disco semicilındrico transparente, como ilus-trado na Figura 5. Desta figura podemos observarque: (1) todas as posicoes das imagens dos seus res-pectivos objetos apresentam uma posicao angular

Figura 4: Alinhamento entre as posicoes do objeto e daimagem sobre o segmento de reta yM , perpendicular a facereta do semidisco.

Figura 5: Vista superior e de frente da representacao domaterial da primeira atividade: o semidisco de acrılico querepresenta o dioptro ar–acrılico, os pequenos cilindros e ospequenos discos pretos que servem como objeto e guia delocalizacao. A ilustracao tambem mostra que as posicoesdas imagens dos cilindros repousam sobre um arco de curva.

em relacao a normal a interface ar–acrılico maior doque a posicao angular do objeto ao ser observadocom o observador no meio menos denso. Dizemosentao que o dioptro ar–acrılico apresenta a propri-edade de refracao: o encurvamento do raio visualdefinidos pela diretriz de observacao; (2) todas asposicoes das imagens dos seus respectivos objetos selocalizam sobre uma reta perpendicular a interfacear–acrılico que vai da posicao original do objetoate esta interface (TL); (3) todas as posicoes dasimagens dos seus respectivos objetos se localizamsobre um arco de curva particular; (4) existe umaposicao particular, K, definida pelo segmento dereta perpendicular a interface (TL) que passa peloseu ponto medio E onde a imagem do objeto naosofre nenhum desvio; e (5) existe uma posicao limite,w, para a observacao da imagem objeto. Quando elefor colocado alem desse limite, nao havera condicoesde observacao da imagem correspondente.

A partir dessas observacoes podemos formulara seguinte questao: Conhecida a posicao angularda imagem de um objeto, podemos determinar asua posicao real? A partir de uma primeira analiseda Figura 4, poderıamos conjecturar uma solucaotrigonometrica, contudo vamos evita-la para se apro-ximar da visao de Ptolomeu sobre o problema, ja quea trigonometria so seria plenamente desenvolvida daforma que a concebemos somente na India, seculosmais tarde [9]. Na secao seguinte vamos empregaro baptistir para medir os angulos da localizacao doobjeto e da sua imagem correspondente e analisarquantitativamente a refracao produzida por nossodioptro ar–acrılico.



4. A refracao para o dioptro ar–acrılico

Estamos interessados em investigar quantitativa-mente as observacoes feitas na atividade anterior,onde observamos que os angulos de orientacao daimagem e do objeto nao sao iguais e que o primeiro emaior que o segundo quando o observador observa aimagem do objeto a partir do ar (meio menos denso)para o acrılico (meio mais denso).

Para observarmos os efeitos do semidisco trans-parente sobre a formacao da imagem de um objeto,quando o objeto e observado atraves dele, procede-mos conforme a metodologia empregada por Ptolo-meu, do seguinte modo. Primeiramente, colocamoso baptistir na vertical. Em seguida, como indicadona Figura 6, colocamos um marcador no ponto zdo semidisco e o inserimos no recipiente. Medimosentao o angulo KEz ao longo do arco GB, em umdos quadrantes do recipiente semicilındrico.

Finalmente, medimos o arco AZ a partir do pontoA, em um dos quadrantes do disco ABGD, acima dainterface recipiente-semidisco e oposto ao quadranteque contem o angulo KEz. Esta medida e realizadada seguinte forma: com o auxılio de um marcadorcolorido, localizamos a posicao Z nesse quadrantesuperior; com um dos olhos miramos na direcaodo marcador E a partir de Z, de modo que elesestejam orientados com o angulo de guia AEZ e, aomesmo tempo, o marcador em E oculte a imagemdo marcador em z, conforme indicado na Figura 6.

Seguindo a convencao de Ptolomeu, denomina-mos os angulos AEZ e KEz de posicao angular daimagem, θ2, e posicao angular do objeto, θ1, res-

Figura 6: Baptistir e o dioptro ar–acrılico. Os pequenoscırculos brancos representam os pequenos cilindros usadosanteriormente e que agora servem apenas para impedir que osemidisco caia no interior do recipiente e, ao mesmo tempo,tambem servem para alinhar as faces retas do semidisco edo recipiente.

pectivamente. Um conjunto de medidas para estesangulos e apresentado na Tabela 1 e esta represen-tado graficamente na Figura 7.

E interessante perceber que se observarmos o ob-jeto em G a partir da perpendicular AE, a guianao sofre nenhum desvio: a imagem continua so-bre a mesma linha reta AE. Em todas as outrasposicoes, entretanto, uma vez que aumentamos oarco AZ, a posicao angular da imagem, θ2, o arcoKz correspondente, a posicao angular do objeto,θ1, tambem aumenta. Entretanto, o encurvamentoe progressivamente maior, como podemos observarna Tabela 1.

Observamos tambem que, ao variarmos a posicaoangular da imagem, a posicao angular do objetovaria, mas nao na mesma proporcao. Quanto maiora posicao angular da imagem, maior e a diferencaentre a posicao angular da imagem e do objeto. Istonos sugere analisar o comportamento da razao entre

Tabela 1: Medidas em graus para posicao angular do objeto(θ1) vs. posicao da imagem (θ2), para o dioptro ar–acrılico.

θ2 θ1 ∆θ10,0(2) 7,0(2) 3,0(4)20,0(2) 14,0(2) 6,0(4)30,0(2) 19,5(2) 10,5(4)40,0(2) 25,0(2) 15,0(4)50,0(2) 31,0(2) 19,0(4)60,0(2) 35,0(2) 25,0(4)70,0(2) 39,0(2) 31,0(4)80,0(2) 42,0(2) 38,0(4)

Figura 7: Medidas para a posicao angular do objeto, θ1, vs.a posicao angular da imagem, θ2, para o dioptro ar–acrılicoe o objeto e observado a partir do meio menos denso (o ar)para o mais denso (o acrılico).



essas duas grandezas, com representado no graficoda Figura 7.

Percebemos da Figura 8 que, para as posicoesangulares consideradas, esta razao varia linearmentecom a posicao angular da imagem do objeto, θ2.Desse modo, podemos escrever que

θ1θ2

= a− bθ2, (1)

onde a e b sao constantes de valor aproximado

a ≈ 0, 74(1) (2)

eb = 0, 74(1) − 0, 48(1)

100(1)◦ ≈ 0, 0026(2)/◦. (3)

Estas constantes e suas incertezas sao, respectiva-mente, o coeficiente linear e angular de (1), deter-minados por triangulacao a partir do grafico daFigura 8. Portanto, esta analise revela que a razaoentre as medidas da posicao angular da imagem e doobjeto, θ1/θ2, varia linearmente com a posicao an-gular da imagem do objeto, θ2, e podemos concluirque

θ1 = θ2(a− bθ2) (4)ou, ainda, que

θ1 = aθ2

(1 − θ2

θ0

), (5)

Figura 8: Razao entre as medidas da posicao angular daimagem e do objeto, θ1/θ2 vs. posicao angular da imagemdo objeto, θ2, para o dioptro ar–acrılico e o objeto e ob-servado a partir do meio menos denso (o ar) para o maisdenso (o acrılico).

ondeθ0 = a

b(6)

e uma constante que corresponde a um angulo ca-racterıstico do experimento. Esta e a lei da refracaoestabelecida por Ptolomeu, no seculo II, a partir daanalise dos seus experimentos com os dioptros ar–agua, ar–vidro e vidro–agua. Assim, para o dioptroar–acrılico, obtemos

θ0 ≈ 280(30)◦. (7)

Conforme vimos, a Figura 7 representa o compor-tamento parabolico, definido pela equacao (5), darelacao entre a posicao angular do objeto, θ1, e aposicao angular da imagem do objeto, θ2. A partirda equacao (5), tambem observamos que a posicaoangular da imagem do objeto, θ2 = 90◦, define umangulo limite θc para a localizacao angular do objeto:

θ1 = aθ2

(1 − 90◦

θ0

)= 45(3)◦. (8)

Este ultimo resultado pode ser verificado imediata-mente pelo experimentador. Para o nosso dioptroar–acrılico temos que o valor experimental de θc

e igual a 44(1)◦. Portanto, a previsao da posicaolimite do objeto, pela lei de Ptolomeu, apresentauma discrepancia de 1◦ em relacao a posicao angularreal.

Observamos ainda que, para pequenas posicoes an-gulares das imagens, podemos reescrever a equacao (5)na forma

θ1 ≈ aθ2. (9)

E importante salientar que na experimentacao querealizamos o objeto e observado a partir do meiomenos denso (o ar) para o mais denso (o acrılico). Enatural, portanto, se perguntar o que ocorre quandoobservamos a formacao da imagem do objeto a partirde um meio mais denso em direcao a um meio menosdenso. Para realizar tal experimento, rearranjamoso baptistir como ilustrado na Figura 9.

Um conjunto de medidas das posicoes angula-res das imagens do objeto para diferentes posicoesangulares do objeto e apresentado na Tabela 2.

Observamos a partir da Tabela 2 que, para valo-res angulares a posicao do objeto quando o objetoe observado a partir do meio menos denso (o ar)para o mais denso (o acrılico) sao simetricos aquelesdeterminados quando o objeto observado a partirdo meio mais denso (o acrılico) para o menos denso



Figura 9: Baptistir e o dioptro ar–acrılico, onde o objetoem z, no meio menos denso (o ar), e agora observado apartir de Z, o meio mais denso (o acrılico). O semidisco deacrılico agora esta apoiado no recipiente semicircular BGDdo baptistir.

Tabela 2: Medidas em graus para posicao angular da ima-gem (θ2) e do objeto (θ1) para o dioptro acrılico-ar.

θ1 θ2 ∆θ10,0(2) 6,5(2) 3,5(4)20,0(2) 13,0(2) 7,0(4)30,0(2) 19,5(2) 10,5(4)40,0(2) 25,5(2) 14,5(4)50,0(2) 31,5(2) 18,5(4)60,0(2) 36,0(2) 24,0(4)70,0(2) 39,0(2) 31,0(4)80,0(2) 42,5(2) 37,5(4)

(o ar). Uma vez mais podemos analisar o compor-tamento da razao entre essas duas grandezas, comrepresentado na equacao (10):

θ2θ1

= a′ − b′θ1, (10)

onde a′ e b′ sao constantes de valor aproximado

a′ ≈ 0, 76(1) (11)

e

b′ = 0, 76(1) − 0, 48(1)100(1)◦ ≈ 0, 0028(2)/◦. (12)

5. Refracao no dioptro ar–agua

Apos termos investigado o dioptro ar–acrılico, va-mos explorar os efeitos da agua sobre a formacao daimagem de um objeto. Primeiramente, colocamoso baptistir na vertical e preenchemos o seu recipi-ente semicilındrico com agua limpa e em quantidadesuficiente para alcancar a sua borda. Em seguida,verificamos se a superfıcie do disco do baptistir esta

perpendicular a superfıcie da agua. Esta superfıciedivide o disco em duas metades, de maneira quea metade BGD, fica inteiramente abaixo do nıvelda agua. Assim, o diametro AEG tambem esta per-pendicular a superfıcie da agua, como ilustrado naFigura 10. E assim executamos os mesmos proce-dimentos realizados no dioptro ar agua obtendo asseguintes medidas angulares conforme a Tabela 3.

Com os dados obtidos e seguindo os mesmos pas-sos ja realizados chegamos aos seguintes valores paraas constantes a e b de valor aproximado

a ≈ 0, 85(1) (13)

e

b = 0, 85(1) − 0, 57(1)100(1)◦ ≈ 0, 0028(2)/◦. (14)

Observamos mais uma vez que, para pequenas posicoesangulares das imagens podemos escrever a seguinteequacao angular onde a e o termo de proporcionali-dade:

θ1 ≈ aθ2. (15)

6. As caracterısticas dos dioptros

Uma analise das medidas para a posicao angulardo objeto, θ1, e da posicao angular da sua imagem,

Figura 10: Baptistir e o dioptro ar–agua.

Tabela 3: Medidas em graus para posicao angular da ima-gem (θ2) e do objeto (θ1) para o dioptro ar–agua.

θ2 θ1 ∆θ10,0(2) 9,0(2) 1,0(4)20,0(2) 16,0(2) 4,0(4)30,0(2) 23,0(2) 7,0(4)40,0(2) 29,5(2) 10,5(4)50,0(2) 36,0(2) 14,0(4)60,0(2) 41,0(2) 19,0(4)70,0(2) 44,0(2) 25,5(4)80,0(2) 49,0(2) 31,0(4)



θ2, para diferentes dioptros e quando o objeto eobservado a partir do meio menos denso para omais denso, mostraram que estas grandezas fısicasobedecem a lei de Ptolomeu:

θ1θ2

= a

(1 − θ2

θ0

), (16)

onde a e θ0 sao constantes que dependem do dioptroconsiderado. Na Tabela 4 apresentamos um resumodas caracterısticas dos dioptros analisados.

Uma analise da Tabela 4 mostra que o valor doparametro a e menor para o dioptro ar–agua do queo seu correspondente para o dioptro ar–acrılico. En-tretanto, o dioptro ar–acrılico produz uma refracaomaior do que o dioptro ar–agua. Podemos entaodefinir um coeficiente nP = 1/a que represente estecomportamento. Este coeficiente nP e denominadoındice de refracao do material.

Assim, podemos concluir que: (1) o encurvamentodo raio visual nao ocorre em qualquer lıquido oumeios rarefeitos. Um certo grau de encurvamentoocorre somente no caso daqueles meios transparen-tes de caracterısticas refratarias diferentes; (2) o raiovisual se prolonga ao longo de um segmento de retae e naturalmente encurvado somente na interfaceentre os dois meios transparentes de intensidadesdiferentes; (3) o encurvamento ocorre nao somentena interface orientada de um meio menos densopara um mais denso (como no caso da reflexao) mas,tambem, na interface orientada de um meio maisdenso para um menos denso; e (4) este encurva-mento nao ocorre em angulos iguais, quando medi-dos em relacao a perpendicular a interface entre odois meios, mas eles apresentam uma relacao quanti-tativa bem definida, descrita aproximadamente pelalei de Ptolomeu, dada pela equacao (5).

7. Consideracoes finais

Destacamos neste trabalho o estudo da refracao lu-minosa atraves de uma perspectiva empırica, sem anecessidade da apresentacao de um modelo teoricoprevio para analise dos dados observados e coletados.Na primeira etapa de nosso trabalho pudemos explo-rar geometricamente as posicoes das imagens e cons-tatar visualmente os efeitos de refracao, apenas como uso da geometria plana elementar, constituindo-senum bom exercıcio didatico para o entendimentoqualitativo da refracao entre meios.

Na segunda parte deste trabalho determinamos ograu de encurvamento tal como realizado por Ptolo-

meu em seu tratado de optica. Os resultados obtidospelo nosso experimento mostram que os angulos daposicao da imagem, θ2, e a posicao angular do ob-jeto, θ1, se relacionam, em uma boa aproximacao,por uma curva parabolica, para os dois dioptrosinvestigados neste trabalho. Numa relacao de causae efeito, a lei de Ptolomeu (eq. (5)), o modelo ma-tematico encontrado descreve o comportamento dasposicoes de forma satisfatoria, encontra a posicaodo objeto a partir da posicao da imagem.

Outro fator importante esta relacionado com oparametro a da lei de Ptolomeu: vimos que o valor dea varia de um dioptro para outro e, entao, utilizamoso inverso deste parametro para definirmos o ındicede refracao n. Os valores encontrados para os ındicesde refracao, como mostrado na Tabela 4, sao bemrazoaveis se comparados com os obtidos pela lei deSnell-Descartes para os mesmos valores 1,49(2) parao dioptro ar–vidro e 1,32(2) para ar–agua.

Esse tipo de atividade e potencial para que osalunos possam desenvolver habilidades associadasa construcao e a leitura de tabelas e graficos, aconstrucao e a representacao de situacoes-problema,ao manuseio de equipamentos e de instrumentos demedida, a realizacao de medidas e a estimativa deincertezas, alem de poder identificar as grandezasrelevantes associadas ao problema e relaciona-lasalgebricamente, conforme sugerido pelos ParametrosCurriculares Nacionais [10].

Para finalizar, sabemos que atividades dessa natu-reza nao sao faceis de serem desenvolvidas em aulastradicionais e o sucesso dela depende de alguns fa-tores colaborativos que podem estar relacionados aformacao previa do estudante, a infra-estrutura daescola na disposicao de equipamentos, aos recursosfinanceiros disponıveis ou ao tempo de dedicacao.No entanto, nao podemos esperar que esses aspectosse alterem para iniciar o trabalho em atividadesdessa natureza com nossos alunos. Nesses casos, oplanejamento pode fazer a diferenca na aplicacaode estrategias de ensino-aprendizagem em praticaslaboratoriais nas escolas.

Nas palavras de Baker [11], “experimentar, emCiencias, e uma exploracao, uma pesquisa no desco-

Tabela 4dioptro a b nP = 1/aar–acrılico 0,74(1) 0,0026(2) 1,35(1)ar–agua 0,85(1) 0,0028(2) 1,18(1)



nhecido.” Deste modo, esperamos que este trabalhopossa equipar os professores para esta exploracaoao oferecer abordagens alternativas para o desen-volvimento de suas aulas e tambem os inspirar naproducao de materiais dessa natureza, resgatandoo papel da historia da ciencia e da experimentacaocientıfica na formacao dos estudantes.

Referencias

[1] R.P. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands, TheFeynman Lectures on Physics (Addison-Wesley, Re-ading, 1964), v. 1, p. 26-2.

[2] Epicuro et al., Epicuro, Lucrecio, Cıcero, Seneca eMarco Aurelio - Colecao Os Pensadores, organizadopor J.A.M. Pessanha (Abril Cultural, Sao Paulo,1985), 3ª ed, p. 184, traducao e Notas de A. daSilva, A. Cisneiros, G.D. Leoni e J. Bruna.

[3] G. Govi, L’Ottica di Claudio Tolomeo: da Eu-genio Ammiraglio di Sicilia, Scrittore del Se-colo XII. Ridotta in Latino Sovra la Tra-duzione Araba di un Testo Greco Imperfetto(Stamperia Reale Della Ditta GB Paravia, Tu-rin, 1885), disponıvel em https://archive.org/details/lotticadiclaudi00eugegoog, acesso em13/2/2017.

[4] A.L. Lejeune, Optique de Claude Ptolemee: Dans laVersion Latine d’Apres l’Arabe de l’Emir Eugene deSicile (Presses Universitaires de Louvain, Louvain,1956), Fascicule 8.

[5] M. Cohen and I. Drabkin, A Source Book in GreekScience (Harvard University Press, Harvard, 1958).

[6] A.M. Smith, Ptolemy’s Theory of Visual Perception:An English Translation of the Optics with Introduc-tion and Commentary (Transactions of the Ameri-can Philosophical Society, Philadelphia, 1996).

[7] S. Wilk, Optics & Photonics News 15, 14 (2004).[8] M. Martinho, O Experimento de Ptolomeu: Uma

Introducao ao Estudo da Refracao Luminosa. Dis-sertacao de Mestrado em Ensino de Fısica, Institutode Fısica, Universidade Federal do Rio de Janeiro,2013, disponıvel em http://www.if.ufrj.br/˜pef/producao_academica/dissertacoes.html,acesso em 13/02/2017.

[9] M. Anderson, V. Katz e R. Wilson (eds) SherlockHolmes in Babylon and Other Tales of MathematicalHistory (The Mathematical Association of America,Washington, 2004).

[10] Brasil, PCN+Ensino Medio: Orientacoes Educacio-nais Complementares aos Parametros CurricularesNacionais; Ciencias da Natureza, Matematica e suasTecnologias (MEC/SEMTEC, Brasılia, 2002).

[11] A.G. Baker, in: The Systematic Experiment: AGuide for Engineers and Industrial Scientists org. byJ.C. Gibbings (Cambridge University Press, Cam-bridge, 1986).


https://archive.org/details/lotticadiclaudi00eugegoog

https://archive.org/details/lotticadiclaudi00eugegoog

http://www.if.ufrj.br/~pef/producao_academica/dissertacoes.html

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determina¸c˜ao do ´ındice de refra¸c˜ao dos materiais pelo ... · dioptros ar–acr´ılico e...

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