determinação da direção de chegada (doa) de um sinal...
TRANSCRIPT
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
ESCOLA POLITÉCNICA
DEPARTAMENTO DE ELETRÔNICA E COMPUTAÇÃO
Determinação da Direção de Chegada (DOA)
de um Sinal Sonoro usando o
microcontrolador Arduino
Autor: _________________________________________________
Bernardo Ferreira da Silva
Orientador: _________________________________________________
Prof. Ricardo Rhomberg Martins, DSc
Examinador: _________________________________________________
Prof. Felipe Maia Galvão França, PhD.
Examinador: _________________________________________________
Prof. Alessandro Jacoud Peixoto, DSc
DEL
Agosto de 2014
'
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Escola Politécnica – Departamento de Eletrônica e de Computação
Centro de Tecnologia, bloco H, sala H-217, Cidade Universitária
Rio de Janeiro – RJ CEP 21949-900
Este exemplar é de propriedade da Universidade Federal do Rio de Janeiro, que poderá
incluí-lo em base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma
de arquivamento.
É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecas
deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser
fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde3 que sem finalidade comercial
e que seja feita a referência bibliográfica completa.
Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do(s) autor(es) e do(s)
orientador(es).
'
'
DEDICATÓRIA
Aos meus pais e irmãos, que em todos os momentos difíceis de minha vida, têm
intercedido pelo meu sucesso e felicidade.
A pessoa mais especial deste mundo, Jessica Freitas, por todo amor, carinho,
compreensão e incentivo, dedico-lhe essa conquista com gratidão e amor.
Ao meu filho, Miguel, razão da minha vida e motivo maior de todo meu esforço nesta reta
final de conclusão de curso.
'
AGRADECIMENTOS
Ao meu orientador, Professor Ricardo Rhomberg Martins, DSc., pela paciência, pelas
sugestões, por ter acreditado na realização desta pesquisa e confiado em meus ideais.
Ao professor e coordenador do Departamento de Engenharia Eletrônica e Computação,
Carlos José Ribas D'Avila, por todo o apoio nos momentos difíceis e ajuda no desembaraço de
assuntos acadêmicos.
Ao meu amigo Leonardo Vladimir Fernandes Barbosa, por todo o incentivo nesses
longos anos de graduação.
A minha médica psiquiatra, Dra. Silvia Mariama, que me ajudou na cura de problemas
durante o curso.
Ao meu primo Diego Garcia Barroso, pelo incentivo com os estudos e com concursos
bem sucedidos.
A todos meus amigo e primos, que são muito importantes na minha vida e que
fortaleceram os laços da igualdade, num ambiente fraterno e respeitoso. Jamais lhes
esquecerei.
Aos professores, colegas e todos os integrantes do curso de graduação, que direta ou
indiretamente contribuíram para a conclusão desse trabalho.
i
'
RESUMO
A importância da determinação da direção de chegada de um sinal, no que diz respeito
às novas tecnologias de telecomunicações está diretamente relacionada ao recente surgimento
das chamadas Antenas Inteligentes ou Adaptativas (Smart Antennas). [1]
Tais antenas estão começando a ganhar imensa popularidade uma vez que houve um
gigantesco crescimento de novas formas de comunicação sem fio. Este crescimento foi
facilitado e proporcionado pelo avanço da capacidade dos novos sistemas de processamento
de sinal e pelo interesse global nas aplicações de banda larga sem fio.
São várias as formas de aplicações interessantes em que as Antenas Adaptativas
podem ser utilizadas visando seu aperfeiçoamento: Aumento das velocidades de
comunicação, expansão da largura de banda, melhora nas taxas sinal/ruído e nos sistemas de
comunicações MIMO. A comunidade militar e de defesa também se beneficia desta
tecnologia quando a mesma é utilizada para comunicações seguras, sistemas de radar MIMO,
localização de direção, etc.
Sendo assim, neste Trabalho de Conclusão de Curso pretende-se explicar algumas
técnicas de como determinar a direção de chegada de um sinal (DOA). Para tanto, descreverei
de forma sucinta tais métodos, além de expor exemplos práticos com a ajuda de um micro
controlador Arduino e algoritmos computacionais via MatLab.
Antes de chegar ao propósito principal deste projeto, introduzirei teorias importantes
para o entendimento dos fenômenos de recepção de sinais por antenas e escreverei
brevemente sobre o que é o Arduino.
ii
'
Sumário
RESUMO ........................................................................................................................................... i
LISTA DE ABREVIAÇÕES .............................................................................................................. v
LISTA DE FIGURAS ....................................................................................................................... vii
1 Introdução .................................................................................................................................. 1
1.1 Motivação .......................................................................................................................... 1
1.2 Objetivo do Trabalho .......................................................................................................... 1
1.3 Descrição do Trabalho ........................................................................................................ 1
2 Revisão de Eletromagnetismo e Antenas [2] ............................................................................... 3
2.1 Ondas ................................................................................................................................. 3
2.1.1 De Coulomb à 1ª Equação de Maxwell ........................................................................ 3
2.1.2 De Biot e Savart à 3ª Equação de Maxwell .................................................................. 5
2.1.3 De Biot e Savart à 4a Equação de Maxwell passando por Ampère ................................ 7
2.1.4 De Faraday à 2a. Equação de Maxwell .......................................................................10
2.1.5 Equação de Ondas ......................................................................................................12
2.1.6 Cálculo dos campos elétrico e magnético irradiados por um dipolo infinitesimal ........26
2.2 Diagrama de irradiação ......................................................................................................27
2.3 Tipos de antenas ................................................................................................................29
3 Processamento Adaptativo de Sinais Eletromagnéticos ..............................................................35
3.1 Introdução .........................................................................................................................35
3.2 Compreensão física do assunto ..........................................................................................35
3.3 Compreensão Física do assunto usando ondas eletromagnéticas .........................................38
3.4 Um aperfeiçoamento no sistema anterior ............................................................................41
4 O Arduino .................................................................................................................................43
4.1 O que há em uma placa de Arduino? ..................................................................................43
4.2 Conectando um receptor de sinal na entrada analógica do Arduino .....................................45
4.3 Arduino e Matlab ...............................................................................................................48
5 Descobrindo a DOA com o Arduino ..........................................................................................49
6 Determinando a DOA com o Matlab .........................................................................................53
6.1 Primeiro programa: Determinando a DOA com o mesmo algoritmo usado no Arduino .......53
6.2 Segundo programa: Determinando a DOA por um método alternativo (deslocamento de um
sinal em relação ao outro fazendo o produto escalar entre eles em cada posição)............................58
6.3 Terceiro programa: Determinando o Diagrama de Irradiação de um conjunto pelo método do
Atraso e Soma (Delay-and-Sum) considerando a Potência irradiada...............................................60
iii
'
7 Conclusões ................................................................................................................................63
Referências Bibliográficas ................................................................................................................64
iv
'
v
'
LISTA DE ABREVIAÇÕES
DOA – Direction of Arrival (Direção de chegada).
MIMO – Multiple-Input and Multiple-Output (Múltiplas Entradas e Múltiplas
Saídas).
Div – Divergente.
Rot – Rotacional.
FEM – Força Eletromotriz.
UHF – Ultra High Frequency.
LED – Light Emitting Diode (Diodo emissor de luz).
GPS – Global Positioning System (Sistema de Posicionamento Global).
GSM – Global System for Mobile Communications (Sistema Global para
Comunicações).
USB – Universal Serial Bus (Porta Serial Universal).
RAM – Random Access Memory (Memória de Acesso Randômico).
EEPROM – Electrically-Erasable Programmable Read-Only Memory –
(Memória de Apenas Leitura Programável e Apagável Eletricamente).
vi
'
PC – Personal Computer (Computador Pessoal).
GND – Ground (Terra).
DC – Direct Corrent.
AC – Alternating Corrent.
Hz – Hertz.
uF – Micro Faradays.
nF – Nano Faradays.
Rad – Radianos.
SDMA – Space-Division Multiple Access (Acesso Múltiplo por Divisão
Espacial).
vii
'
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 – Sistema com duas cargas elétricas.
Figura 2 – O campo magnético B em qualquer ponto à esquerda do fio.
Figura 3 – Orientação das linhas de campo magnético geradas por uma corrente
entrando no plano da página.
Figura 4 – Experiência onde limalhas de ferro foram salpicadas sobre uma
cartolina e se agrupam em círculos concêntricos quando uma corrente percorre o
fio central.
Figura 5 – Campo resultante da simplificação de E tem apenas componente em
x.
Figura 6 – O campo magnético associado a este campo elétrico só tem
componentes na direção y.
Figura 7 – Campo elétrico existente numa linha de transmissão paralela.
Figura 8 – Campo elétrico existente num cabo coaxial.
Figura 9 – Dipolo.
Figura 10 – Dipolo infinitesimal.
Figura 11 – Dipolo infinitesimal com todos os pontos da integração.
viii
'
Figura 12 – Diagrama de derivadas, integrais e rotacionais.
Figura 13 – Diagrama de irradiação de um dipolo de 0,8 λ.
Figura 14 – Diagrama de irradiação de um dipolo de 1,25 λ.
Figura 15 – Os dois diagramas juntos para efeitos de comparação.
Figura 16 – Monopolo real da faixa de UHF.
Figura 17 – Diagrama de Irradiação tridimensional de um dipolo.
Figura 18 – Montagens práticas de antenas Yagi.
Figura 19 – Yagi: Diagrama de irradiação típico.
Figura 20 – Log-periódica real. O tubo de cima alimenta alguns dipolos e o de
baixo outros (realização prática da alimentação cruzada).
Figura 21 – Log-Periódica: diagrama de irradiação típico.
Figura 22 – Antenas parabólicas reais.
Figura 23 – Ângulo de elevação de uma Parabólica.
ix
'
Figura 24 – Exemplo de conjunto de parabólicas.
Figura 25 – Exemplos de antenas refletoras.
Figura 26 – Exemplos de antenas de abertura.
Figura 27 – Exemplo de antena-lente. A velocidade da onda é menor no
plástico.
Figura 28 – Representação da onda gerada por uma série de gotas que caem na
superfície de uma bacia a intervalos regulares de tempo.
Figura 29 – Gotas simultâneas caindo com a mesma frequência.
Figura 30 – “Diagrama de Irradiação” das gotas que caem em fase.
Figura 31 – “Diagrama de Irradiação” de duas gotas que caem fora de fase.
Figura 32 – Configuração do conjunto que rejeita o sinal vindo de uma
determinada direção.
Figura 33 – Recepção do sinal de forma aperfeiçoada.
Figura 34 – Placa Arduino Duemilanove.
Figura 35 – Sinal senoidal em um osciloscópio.
x
'
Figura 36 – Circuito do esquema de recepção de sinais pelo Arduino.
Figura 37 – Sinal amplificado com offset de 2.5V que entra no Arduino.
Figura 38 – Código simples para apresentação dos dados que chegam à entrada
analógica do Arduino.
Figura 39 – Script de Matlab para capturar os dados recebidos na porta serial.
Figura 40 – Módulo do Produto Escalar x Ângulo em Graus.
Figura 41 – Senoides defasadas plotadas no Matlab.
Figura 42 – Resultados obtidos no Matlab.
Figura 43 – Senoides de 140hz.
Figura 44 – Senoides de 160hz.
Figura 45 – Senoides de 180Hz.
Figura 46 – Parte do arquivo com os dados do sinal de 140hz.
Figura 47 – Sinais de 140hz plotados no Matlab
Figura 48 – Sinais de 160hz plotados no Matlab
xi
'
Figura 49 – Sinais de 180hz plotados no Matlab.
Figura 50 – Senoides defasadas de N amostras.
Figura 51 – Estrutura ‘Beamforming’ clássica.
Figura 52 – Diagrama de Irradiação da energia de saída em função de θ para o
sinal de 180Hz.
xii
'
1
'
1 Introdução
1.1 Motivação
Este trabalho foi elaborado pela necessidade da consolidação de material didático para
a disciplina Antenas, relativo às técnicas de determinação da direção de chegada de um sinal
com o auxílio de um microcontrolador.
Este estudo é fruto dos crescentes e numerosos benefícios trazidos com o advento das
Antenas Adaptativas. Tal estudo envolve o conhecimento e entendimento de muitas outras
disciplinas e tópicos relacionados, tais como eletromagnetismo, antenas, propagação,
comunicações, processos randômicos, teoria adaptativa, estimação espectral e processamento
de sinais.
Não há uma disciplina única em engenharia que possa providenciar o crescimento e
evolução rápidos deste tipo de tecnologia. O assunto de Antenas Adaptativas transcende
aplicações específicas e assim requer um tratamento global.
1.2 Objetivo do Trabalho
O objetivo geral deste trabalho é propor uma análise metodológica para a concepção
de um sistema capaz de determinar o ângulo ou direção de chegada de um sinal qualquer em
uma antena.
1.3 Descrição do Trabalho
Este trabalho está estruturado em 06 (seis) capítulos, configurados da seguinte forma:
Capítulo 1 – Introdução: apresentação do assunto, descrevendo-se a motivação e o
objetivo do estudo.
Capítulo 2 – Revisão de Eletromagnetismo e Antenas: revisão dos principais
tópicos de eletromagnetismo e antenas relacionados ao estudo das Antenas Adaptativas.
2
'
Capítulo 3 – Processamento Adaptativo de Sinais Eletromagnéticos: são descritas
as teorias e técnicas para a recepção e processamento dos sinais eletromagnéticos recebidos
por antenas.
Capítulo 4 – O Arduino: a placa do microcontrolador é apresentada, juntamente com
técnicas de recepção dos sinais pela entrada analógica e métodos de integração com o Matlab.
Capítulo 5 – Descobrindo a DOA com o Arduino: o programa feito em C, rodando
no Arduino, para determinação da direção de chegada é apresentado.
Capítulo 6 - Determinando a DOA com o Matlab: são apresentados três algoritmos
distintos para a determinação da direção de chegada de um sinal, com o intuito de comprovar
os resultados obtidos com o Arduino.
Capítulo 7 – Conclusões: são apresentadas informações relevantes e relacionadas às
atuais técnicas de determinação da DOA e às Antenas Adaptativas.
Ao final encontra-se a bibliografia consultada.
3
'
2 Revisão de Eletromagnetismo e Antenas [2]
2.1 Ondas
A título de início de nosso estudo, vamos chegar à equação de ondas a partir das
equações básicas do eletromagnetismo. A mesma equação poderia ser gerada a partir de bases
mecânicas (caso das ondas sonoras).
2.1.1 De Coulomb à 1ª Equação de Maxwell
Ficou constando na história a contribuição de Coulomb que pode ser expressa em
forma de equação como:
2
21
r
qqKF ou
2
21
04
1
r
qqF
onde 12
0 1085.8
Em forma de palavras, a força que se estabelece entre duas cargas elétricas é
diretamente proporcional aos seus valores e inversamente proporcional ao quadrado da
distância entre elas.
Figura 1 – Sistema com duas cargas elétricas
Se as cargas tiverem mesmo sinal, como na figura 1, as forças são de repulsão. Caso
contrário elas serão de atração.
A semelhança desta lei com a da gravitação universal de Newton (massa atrai massa
na razão direta de seus valores e inversa do quadrado da distância) é evidente.
4
'
Campo Eletrostático
Se admitirmos que uma das cargas da figura 1 (por exemplo q2) é apenas uma “carga
de teste”, podemos dizer que, no lugar onde ela estava, q1 cria um campo a que se dá o nome
de eletrostático (por oposição ao campo eletrodinâmico a ser analisado mais adiante) que é
dado pelo valor da Força dividido por q2.
2
1
04
1
r
qE
Vê-se que, por definição, campo eletrostático é “aquilo que, multiplicado por carga, dá
força”. Esta é uma interpretação interessante porque normalmente estamos mais
familiarizados com “forças”, às quais somos sensíveis, do que com “campos”, sejam eles de
que naturezas forem.
Fica faltando definir uma carga elétrica. Por ora basta admitir que carga é “aquilo que
cria campo eletrostático”.
Com a definição de campo acima, conclui-se ser ele uma grandeza vetorial, admitindo-
se que a carga seja escalar.
Como não é interessante que o sentido da força resultante da exposição do campo à
“carga de teste” dependa do sinal da mesma, admite-se que esta seja sempre positiva.
Consequentemente, cargas positivas criam campo “para fora” e cargas negativas criam
campo “para dentro”, o que pode ser visualizado na figura abaixo.
Outra definição que será útil daqui a pouco é a da densidade volumétrica de cargas
(ou seja, carga dividida pelo volume por ela ocupado):
dv
dq o que implica em: qdv.
Teorema de Gauss
Em palavras o teorema de Gauss afirma que a integral de volume do divergente de um
campo iguala a integral do mesmo campo ao longo da superfície que fecha aquele volume.
5
'
Pode-se chegar a ele através da própria definição de divergente. Se o divergente de um
campo é a quantidade de campo que nasce num volume dsE. dividida pelo próprio volume,
uma integração de volume dos dois lados leva ao teorema de Gauss.
Em forma de equação:
. E = dvdsE /. dsEdvE .. (teorema de Gauss) (I)
Se as operações indicadas forem feitas sobre uma esfera que tenha uma carga no
centro, considerando que a única variável envolvida na expressão do campo é o raio r,
EdsEdsE. 4 r2
00
12
2
1
0
44
1
dvqr
r
q
ou seja:
dsEdv .0
(II)
donde, comparando-se (I) com (II):
0
.
E (1
a equação de Maxwell)
Notar que o caminho inverso é verdadeiro, isto é, estipulando-se a 1a Equação de
Maxwell, chega-se, através do teorema de Gauss, à equação de Coulomb.
2.1.2 De Biot e Savart à 3ª Equação de Maxwell
A lei de Biot e Savart diz que o campo magnético gerado pela corrente que passa por
um fio pode ser dado por:
2
0 .
4 r
adliB r
, onde μo = 4 π 10
-7
6
'
Notar que ela não apresenta grandes novidades porque desde o ensino fundamental já
sabemos que corrente cria campo magnético (as célebres experiências de uma bússola
próxima de um fio no qual se faz passar corrente...).
Matematicamente sim que ela permite exprimir uma coisa interessante: o módulo, a
direção e o sentido deste campo.
Apesar dela se aplicar a qualquer geometria do fio, aqui vamos nos limitar à análise do
campo criado por um fio retilíneo. Para aproveitar simetrias vamos admitir que este fio é
infinito.
Figura 2 - O campo magnético B em qualquer ponto à esquerda do fio,
em (a) é perpendicular à linha radial tracejada e está dirigido para dentro da página, no sentido das pontas dos quatro dedos, como indicado pelo
símbolo x. Já em (b) está dirigido para fora da página.
O valor do campo gerado a uma distância R do fio pode ser calculado por:
2
0
4 r
adliB r
Lembrando-se da definição de linha de campo (linha contínua que é tangente ao
campo magnético em cada ponto de espaço) nota-se que todas elas serão sempre “fechadas”,
isto é, não começarão, não nascerão em nenhum lugar do espaço.
Como o divergente de um campo é a integral de superfície fechada de um campo,
dividida pelo volume encerrado por esta superfície, nota-se que ele é sempre nulo no caso do
campo magnético (pode-se resumir dizendo que o campo magnético não “nasce” em nenhum
“ponto” do espaço, seu jeito de começar a existir é diferente do campo eletrostático que nasce
nas cargas elétricas).
Matematicamente pode-se escrever: ZeroBdiv
(3a. Equação de Maxwell).
7
'
2.1.3 De Biot e Savart à 4a Equação de Maxwell passando por Ampère
À lei de Ampère chega-se “olhando” o campo magnético gerado por uma corrente de
outro ponto de vista (como se a corrente furasse o papel ou a tela em que você está lendo este
texto). Mais uma vez chamamos a atenção para o fato de que os desenhos poderiam ser
genéricos, mas não acrescentariam nada a não ser dificuldade de entendimento.
Figura 3 - Orientação das linhas de campo magnético geradas
por uma corrente entrando no plano da página.
Figura 4 - Experiência onde limalhas de ferro foram
salpicadas sobre uma cartolina e se agrupam em círculos
concêntricos quando uma corrente percorre o fio central.
8
'
Pode-se notar que a integral de B ao longo de um círculo que envolva a corrente iguala
o valor desta multiplicado por o.
dlB . = dlB = oi/(2r) dl = oi/(2r) .2r dlB . = oi (Lei de Ampère)
Se a circunferência fosse feita junto do fio, seu perímetro envolveria exatamente a área
da secção reta do mesmo.
Lembrando-se da definição de densidade superficial de corrente, conclui-se que
dsJdlB .. 0
Que, comparada com o teorema de Stokes ( dsBdlB ... ) permite concluir que:
JB 0
Ou, definindo-se 0/BH :
JH
(1a. versão da 4a Eq.de Maxwell)
2.1.3.1 Equação da Continuidade e 4a. Lei de Maxwell
A equação da continuidade fala de um conceito bastante óbvio (que as cargas que
compõem a corrente elétrica saem de algum lugar), mas que deve ser explicitado
matematicamente para chegar a ser útil.
Para chegar a tal expressão, vamos começar imaginando uma região do espaço (que
pode ter qualquer formato, mas que fica mais fácil de imaginar e desenhar se for um volume
esférico) que contenha uma densidade volumétrica de cargas . Como nós vamos querer
analisar sua evolução ao longo do tempo, podemos explicitar isto escrevendo (t).
A densidade superficial de corrente saindo de tal volume vai ser denominada J, sendo
representada por um vetor que aponta para fora do volume e de igual módulo ao longo de toda
a superfície. Podemos então escrever:
idsJ .
9
'
Mas a corrente é uma variação de carga ao longo do tempo: i = dq/dt, (aqui se fala da
carga que atravessa a superfície).
Como não se admite o aumento ou a diminuição da quantidade de carga existente no
sistema analisado, a carga que sai do volume “deixa de estar dentro dele”, podendo ser
representada por uma diminuição da densidade volumétrica de carga no seu interior. Ou seja,
i = - dq/dt (aqui se fala da carga total envolvida pela esfera) = dt
dvd
.
Logo,
dvdtddsJ /.
que, comparada com o teorema de Gauss, leva a concluir que:
Div J = dt
dJ
.
(equação da continuidade)
Conclusão bastante espontânea, uma vez que ela apenas explicita o fato de que, de
uma região cuja densidade volumétrica de cargas esteja diminuindo, partem linhas de campo
de corrente (ou, dito de outra forma, a corrente nasce nas regiões das quais saem cargas).
2.1.3.2 Inconsistência na 1a. versão da 4a. equação de Maxwell
Se lembrarmos que div(rot H) = 0)( H , e aplicarmos isto à 4a equação no
jeito como ela está escrita até agora, chega-se a uma inconsistência:
Div J = J. 0 ,
que não está adequada à equação da continuidade na qual temos mais confiança por ser mais
espontânea.
2.1.3.3 Solução dada por Maxwell
Ao chegar à incongruência da qual se falou no item anterior, Maxwell propôs que se
somasse um fator à expressão anteriormente escrita da sua 4a. Equação:
10
'
Rot H = x H = J + X
Agora temos:
. ( J + X ) = 0 ou . J + . X = 0 ,
ou, aplicando a equação da continuidade:
-dt
d + . X = 0 ,
donde se conclui que:
. X = + dt
d ,
eliminando a inconsistência.
Como de acordo com a 1a Equação de Maxwell ( . E =
o
), que, derivada dos dois
lados em relação ao tempo, pode ser escrita como . (o dt
dE) =
dt
d, conclui-se que:
x H = J + o dt
dE
(forma definitiva da 4a. Equação de Maxwell)
2.1.4 De Faraday à 2a. Equação de Maxwell
A lei de Faraday foi descoberta quando ele tentava demonstrar que, se uma corrente
cria campo magnético (Biot e Savart), o contrário também deve ser verdadeiro (um campo
magnético deve gerar uma corrente).
“Diz a lenda” que, ao montar dois circuitos acoplados (por exemplo, duas espiras
concêntricas) e fazendo passar uma corrente num deles (de modo a criar com o primeiro um
campo magnético que atravessasse o outro) ele não obteve sucesso. Porém, ao desligar a
11
'
corrente do 1º circuito, notou “uma piscada” na lâmpada ligada ao outro. Ao religar o
primeiro, notou novamente o mesmo efeito no 2º.
Depois de repetir várias vezes a experiência, chegou à conclusão de que não era o
campo magnético que gerava a corrente, mas a sua variação no tempo. Como a corrente no
segundo circuito pode ser considerada como consequência de uma Força Eletromotriz (FEM)
neste, Faraday escreveu inicialmente:
dt
dFEM
, onde é o fluxo do campo magnético ( = dsB )
Deve-se a um contemporâneo dele (Lenz) a percepção de que o campo gerado na 2ª
espira é sempre no sentido de tentar diminuir aquele que o criou. Daí surgiu o que se chamou
de lei de Lenz (prestar atenção no sinal de menos):
dt
dsBd
dt
dFEM
Num texto sobre eletromagnetismo em geral deveríamos analisar outras maneiras de
se conseguir uma FEM diferente de zero (ds/dt diferente de zero, ângulo entre B e ds variando
no tempo) mas no caso de Antenas, a única possibilidade de interesse é dB/dt diferente de
zero, permitindo que nos restrinjamos a:
ds
dt
dBFEM
Se nos lembrarmos que toda FEM é a integral de linha de um campo elétrico não
estático (campo Eletrodinâmico por contraste com o Eletrostático analisado na 1ª. equação de
Maxwell), podemos escrever:
ds
dt
dBdlE
Se escrevermos o teorema de Stokes para o campo Eletrodinâmico acima,
12
'
dsExdlE , conclui-se que:
dt
dBEx (2ª. Equação de Maxwell)
Notar, mais uma vez, que o caminho inverso também é possível.
2.1.5 Equação de Ondas
Vamos começar fazendo notar que estamos escrevendo a equação de ondas para uma
região que não contenha cargas e portanto = zero e J = zero.
Sendo assim, as equações de Maxwell em rotacional se reduzem a:
dt
dHxE 0 e
dt
dExH 0
Se lembrarmos da definição de rotacional de um campo vetorial, veremos que as
expressões acima “escondem” derivadas relativas a x, y e z de campos que podem ter
componentes nas direções x, y e z (ou seja, nove parcelas para cada rotacional, em
coordenadas cartesianas).
Como primeira aproximação, com a finalidade de tornar mais didática a dedução da
equação de ondas, vamos admitir que o campo elétrico (mais explicitamente o campo
eletrodinâmico) do qual estamos falando tenha apenas uma componente na direção x: Ex.
Eliminamos assim as componentes Ey, Ez e suas respectivas variações em função de x, y e z.
Ainda por cima vamos admitir que Ex varia somente em função de z, eliminando assim
suas variações em função de x e y. É claro que não existe na natureza um campo assim porque
ele implicaria em frentes de onda infinitas por não ser função de x e y. Daqui a pouco vamos
ver alguns campos reais que se aproximam desta simplificação.
Se desenharmos o campo resultante das simplificações feitas acima:
13
'
Figura 5 – Campo resultante da simplificação de E tem apenas componente em x.
Concluímos imediatamente que o campo H só pode ter componente em y (cuja
variação longitudinal no tempo será o rotacional de E com o sinal trocado) e variar em função
de z.
Figura 6 - O campo magnético associado a este campo elétrico só tem
componentes na direção y
Donde podemos escrever:
dt
dH
dz
dE yx0
e
dt
dE
dz
dHxy
0 (o sinal de menos vem da expressão do rotacional )
14
'
Devemos juntar as duas para exprimir matematicamente um fenômeno no qual os dois
campos estão associados na natureza. Uma maneira simples de o fazer é derivar a 1a equação
em relação a z mais uma vez como forma de obter a 2a equação no seu lado direito:
td
zd
dHd
zd
Edy
x
02
2
A qual, substituída a 2a equação, nos fornece:
2
2
002
2
td
Ed
zd
Ed xx
(equação de onda escrita para o campo eletrodinâmico)
A equação de ondas também pode ser chamada de equação de Helmholtz em
homenagem a quem primeiro a derivou.
2.1.5.1 Solução da equação de ondas sem incluir as fontes dos campos
Lembrando que a solução de uma equação diferencial é uma função que a torna
verdadeira, podemos testar, por exemplo, a função cosseno por ser ela do tipo que, derivada
duas vezes, pode se enquadrar na equação de ondas.
Temos de admitir um cosseno que seja função de z e t para poder derivá-lo em função
das duas. E devemos acrescentar algumas constantes que tornarão a solução mais genérica:
Ex(z,t) = Eo cos(t + z),
Donde: dEx/dz= - Eo sen(t + z) e d2Ex/dz
2= -
2Eo cos(t + z)
De forma semelhante, dEx/dt= - Eo sen(t + z) e d2Ex/dt
2= -
2Eo cos(t + z)
Que, substituídas na equação de ondas, revelam que o co-seno realmente pode ser uma
solução e permite tirar algumas conclusões:
15
'
2Eo cos(t + z) = oo (-
2Eo cos(t + z))
O fato de Eo poder ser “cortado” indica que qualquer amplitude para a função cosseno
seria solução.
Nota-se também que, se = oo , a expressão é solução da equação de ondas.
Isto significa que, escolhida uma frequência, fica determinado. De fato, se lembrarmos que
1/ oo é a velocidade da luz, e que = 2f, vemos que outra expressão para é: = 2/,
mostrando que ele está associado ao comprimento de onda que fica determinado quando
escolhida a frequência.
O fato de haver dois ’s, indica que uma solução completa para a equação é:
Ex(z,t) = E+ cos(t + z) + E- cos(t - z)
Onde uma das parcelas é interpretada como uma onda que caminha na direção de z e a
outra na direção oposta a z.
2.1.5.2 Dois exemplos de Aplicações
Começamos a resolver a equação de ondas assumindo que o campo elétrico teria
apenas uma componente na direção x, Ex , variando sua amplitude apenas em função de z . No
desenvolvimento do raciocínio comentamos que este campo não existe na realidade física
porque implicaria em frentes de onda infinitas.
Não parece difícil admitir que, se a nossa opção fosse por um campo que tivesse
apenas uma componente na direção y, Ey, variando sua amplitude apenas em função de z, a
resposta que obteríamos seria do tipo:
Ey (z,t) = Ey+ cos(t + z) + Ey - cos(t - z)
Variações de amplitude em função de x e y levariam a um desenvolvimento mais
trabalhoso e não acrescentariam nada de novo.
Há pelo menos duas estruturas físicas, a linha de transmissão paralela e o cabo coaxial
que, enquanto considerados feitos de condutores perfeitos, admitiriam campos cujas
16
'
componentes estariam apenas nas direções x e y (variando suas amplitudes em função de x e y
além de z).
Abaixo se mostram os desenhos dos campos elétricos nas duas estruturas citadas, a
título de aplicação do que acaba de ser visto.
Figura 7 - Campo elétrico existente numa linha de transmissão paralela
Figura 8 - Campo elétrico existente num cabo coaxial
2.1.5.3 Solução da equação de ondas incluindo as fontes dos campos
Se vamos analisar as “fontes dos campos”, a primeira coisa a fazer é “ressuscitar” o J
da segunda equação em rotacional que foi eliminado justamente porque no item anterior não
nos interessava analisar as fontes do campo analisado. Fica claro que, na realidade, ao
falarmos de “fontes de um campo” estamos falando da corrente que o cria...
17
'
dt
dHE o
e
dt
dEJH o
Em segundo lugar vamos “esconder” a variação das funções no tempo passando a
trabalhar no domínio da frequência. Para tanto basta substituir as derivadas em relação ao
tempo por j. Não será demais lembrar que as demais variáveis passam a representar números
complexos cujo módulo é a amplitude dos sinais (que passam a ser puramente senoidais) e
cuja fase representa o atraso (ou o avanço) do mesmo em relação a uma dada referência:
HjE o
e
EjJH o
Em terceiro lugar vamos deixar claro de que tipo de fonte estamos falando e qual é a
sua localização no espaço. Na parte analítica deste texto pretendemos falar apenas de antenas
simples, de um tipo chamado dipolo.
Um dipolo é um tubo (ou bastão) de braços de igual comprimento, que se considera
colocado simetricamente em relação à origem de um sistema de coordenadas, como se pode
ver na figura a seguir.
Figura 9 - Dipolo
18
'
Apesar de estarmos falando do tipo mais simples de antena que existe, ainda assim,
para efeito de análise matemática, ele é considerado complexo por ser muito extenso. Vamos,
portanto, nos restringir a um “elemento de corrente” como o que se vê no desenho abaixo, e
imaginar o dipolo composto por uma infinidade destes elementos.
Imediatamente se pensa que o efeito de um dipolo real poderá ser obtido por
integração dos efeitos destes dipolos infinitesimais. Daqui a pouco será útil lembrar que esta
integração será feita na região em que se encontra o dipolo (origem do sistema de
coordenadas).
Figura 10 – Dipolo infinitesimal
Por outro lado, a região em que os campos elétrico e magnético se relacionam por
rotacionais, fica fora da origem.
Isto posto, percebe-se que serão necessárias integrações (como sugere a figura abaixo)
feitas na região que contém as fontes e derivadas em função de posições (isto é, rotacionais)
na região em que se calculam os campos. As duas operações poderiam ser feitas
simultaneamente, mas não é esta a maneira mais habitual de fazê-lo.
19
'
Figura 11 – Dipolo infinitesimal com todos os pontos da integração
Normalmente se trabalha com campos matemáticos chamados potenciais (vetor e
escalar) que são obtidos através de integrações feitas na região que contém as fontes dos
campos. Depois, através de rotacionais, se obtêm os campos a partir dos potenciais calculados
na região de interesse. O que fica dito pode ser representado pela figura abaixo
Figura 12 – Diagrama de derivadas, integrais e rotacionais
Vamos definir o Potencial Vetor A como o campo cujo rotacional é o campo
magnético. Assim:
BA
O Potencial Vetor é um campo puramente matemático. Ele só está sendo inventado
para facilitar o cálculo de B, do qual depois tiraremos E. Ficaremos devendo
(temporariamente) a definição do seu divergente porque toda vez que se define um campo
vetorial devem-se falar das suas duas fontes.
Se multiplicarmos a segunda equação em rotacional por o, obteremos:
20
'
EjJH o o o o ou EjJB o o o
Usando a recém obtida definição de A:
EjJA o o o
Se lembramos da definição de Laplaciano de um campo vetorial:
AAA )( .2 [ ==> AAA 2)( . ] ,
podemos escrever:
EjJAA o o o2).( ,
ou
EjJAA o o o2 ).( (III)
A outra equação em rotacional não fica indiferente à definição do Potencial Vetor.
Vamos aproveitar isto para definir o Potencial Escalar .
)( AjBjHjE o ==> zeroAjE )( .
Lembrando de que na eletrostática se costuma definir um potencial escalar porque
zeroE , podemos generalizar aquela definição:
AjE
Dizemos que se trata de uma generalização porque, lembrando que j no domínio da
frequência corresponde a uma derivada no tempo, podemos dizer que esta definição se aplica
ao caso estático (porque nele dA/dt = zero).
Da equação anterior tiramos:
AjE
que, substituída em (III), fornece:
21
'
)().( o o2 AjjJAA o
ou
AAjJA oo o2
oo2 ).(
ou, definindo (como se disse acima), o. ojA , e o o22 :
JAA o22
(equação de onda para o potencial vetor A, incluindo a fonte dos campos)
Não devemos estranhar a definição dada ao divergente de A. Ele é um campo
puramente matemático. Podemos definir suas fontes da maneira que mais nos ajudar...
Se olharmos agora para o desenho que mostra qual é a fonte que estamos tratando e
notarmos que do lado esquerdo da última equação existe uma constante multiplicando o vetor
A que, somado ao laplaciano do mesmo vetor se iguala a J, concluímos duas coisas:
1) A fonte é tão pequena que existe simetria esférica no problema. Isto nos leva a usar
coordenadas esféricas na sua solução (que não será função de nem de ).
2) Se J aponta na direção z, A aponta na mesma direção.
Ou seja:
zzz JAA o22
Que pode ser escrita usando apenas escalares, uma vez que estamos tratando de
vetores de uma única direção [Collin 1985]
JAA o22
O Laplaciano de um escalar em coordenadas esféricas, usando as simetrias notadas no
problema, permite escrever a equação acima como segue:
22
'
JAdr
drdArd
ro
2
2
2]
)([
1
Se procurarmos inicialmente uma solução que atenda a equação acima na região em
que não há fontes (todo o espaço, excetuada a origem), podemos escrever:
zeroAdr
drdArd
r 2
2
2][
)(1
Multiplicando os dois lados por r2
zeroArdr
drdArd
22
2
][)(
Admitindo que A seja do tipo r
F , o que implica em que
2
)(
r
Fdr
dFr
dr
dA
, simplificam-se os r2
zeror
Fr
dr
Fdr
dFrd
22
)(
ou:
zerorFdr
dF
dr
Fdr
dr
dF 2
2
2
. Onde se anulam os dr
dF .
Dividindo os dois lados por r, temos:
zeroFdr
Fd 2
2
2
Desta vez, para solução duma equação na qual a derivada segunda de uma função
somada à própria função dá zero, escolheremos uma exponencial.
23
'
rjKeCF
O que fornece : rjKer
CA (a rigor deveríamos admitir também a solução com
expoente positivo mas ela representaria uma onda dirigindo-se para a origem, o que não faz
sentido no presente caso).
Esta solução é válida para todo o espaço, exceto na origem. Se quisermos incluí-la,
temos de fazer uma adequação de fronteiras...isto pode ser conseguido fazendo-se a integral
de volume dos dois lados da equação sobre uma esfera de raio ro e fazendo ro tender a zero:
dvJdvAA ][][ o22
zeroo r zeroo r
Sendo A um escalar, pode-se considerar )(2 A , donde:
dvJAdvdvA ][)( o2 ][
zeroo r zeroo r
Usando-se o teorema da divergência ( VdsVdv ) na 1a. integral, vem:
dvJAdvAds ][ o2 ][
zeroo r zeroo r
Considerando-se que o potencial vetor é função apenas de r (devido à simetria esférica
do problema); temos:
ds = r2 sendd , como elemento de área e
dv = r2 sendddr , como elemento de volume em coordenadas esféricas e
dv = ds.dl no lado direito:
24
'
dsdlJdrddsenArKddsenrdr
dA][ o
222 ][
zeroo r zeroo r
Substituindo rjKer
CA , (solução obtida para pontos externos à fonte), vem:
dldsJdrddsenrer
CKddsenr
dr
er
Cd
rjK
rjK
][)( o222 ][
zeroo r zeroo r
Uma vez que 2
])([
r
eejKrC
dr
er
Cd rjKrjK
rjK
, vem:
dldsJdrddsenrer
CKddsenr
r
eejKrC rjKrjKrjK
][)(])([
o222
2][
zeroo r zeroo r
Em que se eliminam os r2 da 1ª. parte do lado esquerdo. Pode notar que a segunda
integral do lado esquerdo tende a zero quando o raio tende a zero.
Considerando-se ainda que IJds , vem:
dlIddseneejKrC rjKrjKo])([
zeroo r
A 1a parcela dentro dos colchetes tende a zero quando r tende a zero. A segunda, no
entanto, tende a - 1. Logo, ficamos com:
dlIddsenC o
25
'
Como CddsenC 4 , vem: - 4 π C = - μo I dl
4
o dlIC
e
rjKer
dlIA ]
4[
o
Vamos lembrar que rjKer
CA foi a solução que encontramos para o espaço livre.
Nas últimas passagens encontramos o valor da constante C que a adapta à existência de uma
fonte infinitesimal colocada na origem do sistema de coordenadas.
Do resultado a que chegamos se conclui que a amplitude de A cai com r (como
havíamos suposto), mas a interpretação mais interessante vem da expressão acima convertida
para o domínio do tempo (o que se faz multiplicando-a por e -jt
e pegando a parte real do
resultado):
)cos(]4
[)(o
Krtr
dlItA
Onde vemos que um elemento de corrente emite uma onda na qual, não só a amplitude
decai com a distância, mas se afasta da origem, uma vez que, para manter (t - Kr) constante
à medida em que o tempo passa, r tem de crescer.
Voltando à expressão rjKer
dlIA ]
4[
o
e lembrando que ela é a amplitude de um
vetor que aponta na direção z, podemos expressar:
rjKz e
r
dlIA ]
4[
o
Notar, desde logo, que um aumento de I dl (ou mais propriamente da integral de I dl)
vai aumentar a amplitude de A.
Uma vez que estamos tratando de funções senoidais, um aumento da sua amplitude
implica num aumento da sua derivada.
26
'
Consequentemente um aumento da integral de I dl fará crescer o campo magnético que
é uma derivada espacial de A. Crescendo o campo magnético, cresce também o elétrico que
também é uma derivada espacial daquele.
2.1.6 Cálculo dos campos elétrico e magnético irradiados por um dipolo infinitesimal
Para calcular o xAz e consequentemente o campo B, temos de expressar as
componentes de Az nas direções de r e (a projeção de um vetor az na direção é nula):
Ar = Az cos θ = rjKer
dlI
cos
4][
o
rA- rjKesen
r
dlI
][
4
o
e
Aθ = - Az sen θ = - rjKesenr
dlI
][
4
o
r
rAjω rjKesen
r
dlI
][
4
o
B = x A =
a
A
r
rA
r
r
1=
aesenj
rr
dlI rjK
1
4
o
A qual, para pontos nos quais r >> 1, região chamada “de campo distante” se
simplifica:
B =
aesen
r
dlIj rjK
4
o H =
aesen
r
dlIj rjK
4
Seguindo raciocínio semelhante, usando Ej
xH
o
, chega-se a:
E =
aesen
r
dlIj rjK
o
o
4
27
'
Notar que, na região de campo distante,
o
o
H
E chamada impedância
intrínseca do vácuo. Esta relação é válida para qualquer tipo de antena, desde que
considerados os campos na região distante.
Outra relação genérica que fica patente é: rE H S , chamado vetor de Poynting
ou densidade superficial de potência, uma vez que a sua unidade é 2
V A W
m m m , que
demonstra que a antena de fato “irradia”, isto é, emite campos elétrico e magnético na direção
radial.
2.2 Diagrama de irradiação
Figura 13 - Diagrama de irradiação de um dipolo de 0,8 λ
28
'
Figura 14 - diagrama de irradiação de um dipolo de 1,25 λ
Figura 15 - Os dois diagramas juntos para efeitos de comparação
Podemos definir diagrama de irradiação como “qualquer demonstração gráfica das
propriedades de irradiação de uma antena em função apenas de variáveis de direção”. Ou seja,
29
'
o diagrama de irradiação não pode ser função da distância do ponto considerado até a antena.
Por causa disto eles são feitos na região de campo distante e “escalados” de modo que o
máximo da irradiação seja sempre tangente ao círculo máximo do diagrama e tomado como
referência de direções (ela passa a ser o “zero graus” da escala de direções).
2.3 Tipos de antenas
Além dos dipolos, existem também os monopolos (metade de um dipolo) como
componentes de uma classe à qual se poderia dar o nome de antenas de fios.
Figura 16 - Monopolo real da faixa de UHF
Figura 17 - Diagrama de Irradiação tridimensional de um dipolo.
Uma outra classe de antenas pode ser genericamente chamada de conjuntos. Os
conjuntos mais fáceis de serem vistos no dia-a-dia são as antenas compostas por vários
dipolos (as “espinhas de peixe”), mas eles podem ser compostos por diversos tipos de
elementos.
30
'
Num conjunto Yagi, apenas um elemento é alimentado (o 2o. da esquerda para a
direita). Os demais são chamados parasitas porque re-irradiam o que recebem do alimentado.
O resultado final é a soma do que irradiam todos os elementos. Este tipo de antena se
caracteriza pelo alto ganho e estreita faixa de frequências em que trabalham (as dimensões
dos dipolos e as distâncias entre eles são função do comprimento de onda para o qual a antena
é projetada. Consequentemente ela fica “amarrada” a uma determinada frequência).
Figura 18 - Montagens práticas de antenas Yagi
Figura 19 - Yagi: Diagrama de irradiação típico
Num conjunto log-periódico, todos os elementos são alimentados de forma cruzada
como se pode ver na figura acima. Ela se caracteriza por não ter um ganho tão alto quanto o
de uma Yagi, mas tem uma faixa de frequências de trabalho bem ampla (pode-se pensar que,
em cada trecho desta faixa, um dos dipolos vai “trabalhar bem” enquanto os demais vão
“atrapalhar pouco”). Suas dimensões e espaçamentos decaem de forma logarítmica, daí o
nome dado a este tipo de conjunto.
31
'
Figura 20 - Log-periódica real. O tubo de cima alimenta alguns
dipolos e o de baixo outros (realização prática da alimentação cruzada)
Figura 21 - Log-Periódica: diagrama de irradiação típico
32
'
No caminho inverso a parabólica funciona como uma receptora de alta receptividade
(também chamada de área efetiva de recepção como veremos adiante).
Figura 22 - Antenas parabólicas reais
Pares de parabólicas são usados para ligações ponto a ponto em que se necessita de
grande concentração da energia, tais como links de satélites. Neste caso concreto, como a
maioria das comunicações é feita com satélites geoestacionários, a elevação da antena (ver
figura abaixo) varia com a latitude do local.
No Equador a antena fica voltada “para cima” na vertical. À medida que se afasta do
Equador, o ângulo de elevação vai diminuindo.
Figura 23 – Ângulo de elevação de uma Parabólica
33
'
O ganho de uma parabólica está relacionado com o diâmetro da sua “boca”.
Figura 24 - Exemplo de conjunto de parabólicas
(DiSEqC = Digital Satellite Equipment Control)
Outros tipos de antenas refletoras podem ter refletores planos, ou formando um “canto” de
90° em cujo interior se coloca um dipolo.
Figura 25 - Exemplos de antenas refletoras
Existem também as antenas de abertura, ou cornetas. As cornetas usadas na prática
também podem ter secção reta circular ou elíptica.
Figura 26 - Exemplos de antenas de abertura
34
'
No caso das antenas refletoras e das de abertura seria muito difícil determinar as
correntes existentes na estrutura para, depois, calcular a irradiação destas. Prefere-se então
calcular o efeito de uma antena deste tipo a partir do campo conhecido existente em alguma
região.
Antenas-lente Como acontece com os raios de luz, os das ondas eletromagnéticas também
têm suas direções alteradas ao passar pela separação de meios em que elas têm velocidades
diferentes. Desta forma existem antenas feitas de materiais plásticos (nos quais a velocidade
da onda normalmente é menor que no ar por causa do seu elevado ε, vamos lembrar que, a
grosso modo, a velocidade de uma onda é proporcional ao inverso da raiz de µε). Uma
aplicação típica para este tipo de antena é nas “bocas” dos guias que alimentam parabólicas
(no lugar das habituais cornetas) com a vantagem de que, além de proporcionar cobertura para
todo o paraboloide, mantém a entrada tampada, livre da entrada de chuva e outras sujeiras
que, ao longo do tempo, prejudicariam o funcionamento do sistema.
Um exemplo deste tipo de antena pode ser visto na figura a seguir:
Figura 27 - Exemplo de antena-lente. A velocidade da onda é menor no plástico
35
'
3 Processamento Adaptativo de Sinais Eletromagnéticos
3.1 Introdução
Passaremos a estudar um dos temas de maior atualidade no campo das Antenas. As
antenas adaptativas são elementos extremamente promissores e já estão sendo usadas em
sistemas de telefonia móvel, radares, e aviões não tripulados.
Este tipo de sistema é sempre composto por um conjunto de antenas. No caso das
transmissoras a sua alimentação é adequadamente defasada de modo a se construir um
determinado diagrama de irradiação. No caso das receptoras os sinais recebidos é que são
adequadamente defasados para, por exemplo, receber melhor sinais vindos de determinada
direção.
Nunca é demais lembrar que o que um sistema faz na transmissão ele faz também na
recepção (desde que na mesma frequência, claro). Sem nos demorarmos em demonstrações
matemáticas complicadas, basta pensar que, se não fosse assim nenhum radar funcionaria
porque eles usam uma única antena para transmitir e receber os pulsos irradiados e recebidos
em momentos diferentes que podem ser considerados como indo e vindo da mesma direção,
uma vez que a velocidade de giro (mecânica) do sistema é muito menor que a da propagação
das ondas eletromagnéticas (mesmo que estas tenham de caminhar uma distância muito
grande). Estas grandezas devem ser levadas em consideração no projeto e na implementação
de qualquer radar para definir o tamanho (duração) do seu pulso e a sua FRP (Frequência de
Repetição de pulsos).
3.2 Compreensão física do assunto
A figura abaixo representa a conhecida onda que se forma quando gotas caem a
intervalos regulares de tempo em uma bacia com água:
36
'
Figura 28 - Representação da onda gerada por uma série de gotas
que caem na superfície de uma bacia a intervalos regulares de tempo
Comecemos imaginando uma cuba d’água na qual caem duas séries de gotas a espaços
iguais de tempo (mesma frequência) e simultâneas (em fase).
As ondas originadas em cada ponto em que caem gotas se propagarão com
velocidades iguais, uma vez que esta depende apenas do meio de propagação que é o mesmo
para as duas (a água). Elas levarão sempre tempos iguais para chegarem a qualquer ponto da
mediana que passa pelo ponto central da reta que une os dois pontos em que caem gotas como
se pode ver na figura abaixo:
Figura 29 - Gotas simultâneas caindo com a mesma frequência
Na direção da mediana as duas chegarão sempre em fase e, portanto somando-se.
Quando houver uma crista de uma haverá uma crista da outra. Quando houver um vale de
uma haverá um vale da outra... Logo, nesta direção elas se somam e a amplitude resultante
das duas será o dobro da de cada uma isolada.
37
'
À medida que nos afastamos desta direção particular a simultaneidade diminui e, em
consequência, a interferência construtiva entre ambas, acarretando menores amplitudes na
resultante. Aproveitando o que já sabemos sobre diagramas de irradiação, poderíamos resumir
o que foi dito na figura que segue:
Figura 30 - “Diagrama de Irradiação” das gotas que caem em fase.
Se, no entanto, uma das gotas cair um pouco atrasada em relação à outra, a primeira
onda caminhará mais até atingir um ponto em que esteja em fase com a que saiu do ponto em
que cai a segunda gota (simplesmente porque saiu antes). Consequentemente o diagrama de
irradiação “dá uma inclinada” como pode ser visto na figura a seguir:
Figura 31 - “Diagrama de Irradiação” de duas gotas que caem fora de fase.
Em (a) a gota da esquerda está atrasada, ao contrário do que acontece em (b).
38
'
Esta é a ideia física que está por trás do assunto que estamos estudando: vamos ver de
que modo alterar a diferença de fase entre duas ou mais antenas de modo a obter alguma
vantagem no processo (por exemplo, um diagrama de irradiação de particular interesse).
3.3 Compreensão Física do assunto usando ondas eletromagnéticas
Esta(s) diferença(s) de fase é (são) conseguida(s) com a inserção de atrasadores dos
sinais em que isto seja interessante. Matematicamente estes atrasadores são simbolizados por
multiplicadores inseridos no circuito. Vale a pena lembrar que, pelo menos no domínio da
frequência, (em que os multiplicadores são representados por números complexos) os
atrasadores são conseguidos pelo produto de um sinal por um número complexo de fase
negativa.
Um exemplo simples serve para ilustrar a existência e o cálculo de um conjunto de
pesos (multiplicadores) W1 a W4 que permitirão a recepção do sinal de uma determinada
direção ao mesmo tempo em que rejeitarão um ruído que chegue de outra direção (por
enquanto suposta conhecida). O exemplo é ilustrado pela figura a seguir:
Figura 32 - Configuração do conjunto que rejeita o sinal vindo de uma determinada direção
Chamemos o sinal que vem da direção desejada de “piloto”, p(t)=Psen(ωot), onde
ωo=2πf. Chamemos o outro sinal (ruído) de n(t)=Nsen(ωot), incidindo no conjunto a um ângulo
de π/6 radianos. Assume-se que o sinal e o ruído têm exatamente a mesma frequência fo. No
39
'
conjunto há duas antenas omnidirecionais afastadas de λ/2 uma da outra. Tomaremos como
referência de tempos (e fases) o ponto médio da reta que une as duas antenas.
O sinal recebido por cada antena é repassado para dois pesos variáveis sendo que um
deles é precedido por um atrasador de 1/(4fo) = T/4 = 90º = π/2, (dependendo da variável que
interesse usar em cada momento). Depois os quatro sinais são somados para formar a saída do
conjunto.
Estamos em condições de estudar o problema de obter um conjunto de pesos que
aceitem p(t) e rejeitem n(t). Note que, para qualquer conjunto de pesos não nulos a saída será
do tipo Asen(ωot+α) e existem algumas soluções que fazem a saída ser p(t). Entretanto a saída
deve ser independente da amplitude e da fase do ruído para que este seja rejeitado.
Satisfazendo estas duas condições, chegamos a um conjunto único de pesos.
A saída do conjunto em função do piloto (notar que ele vem da direção de 0º, tomada
como referência de direções, não causando, portanto, diferenças de fase devidas a diferenças
de percursos até as antenas) é:
S(t) = P[(w1 + w3) senωot + (w2 + w4) sen(ωot – π/2)],
onde os w’s são pesos e ω é a frequência angular.
Para que esta saída seja exatamente igual ao sinal desejado p(t)=Psen(ωot) é necessário
que
W1 + W3 = 1
W2 + W4 = 0
Com respeito ao ponto intermediário entre as antenas, as fases relativas do ruído nas
duas antenas são: ±[1/(4fo) sen π /6 = ±1/(8fo) = ± λo/8c, que correspondem a uma mudança de
fase de ± π/4 na frequência fo.
Outra maneira de descobrir a defasagem entre os ruídos que chegam às antenas e o que
chega ao ponto de referência (intermediário entre elas), notando que a diferença de percursos
vale λ/4 sen(π/6), o que implica em uma defasagem de sen ( a defasagem causada
por um percurso de λ/4 é /2 por uma simples regra de três, uma vez que a distância λ
causaria 2 de defasagem). Numa delas o ruído vai chegar antes de chegar ao ponto de
referência (implicando em avanço, ou seja, fase positiva) e na outra depois (implicando em
atraso, ou seja, fase negativa).
40
'
A saída correspondente a um ruído que chega em um ângulo de π/6 com relação à
direção de referência é:
N[W1sen(ωot – π/4)+W2sen(ωot - 3π/4)+W3sen(ωot + π/4) + W4sen(ωot – π/4)]
O sinal ligado a W1 estará atrasado de π/4 em relação ao que chega no centro
geométrico do conjunto. Ao sinal ligado em W2 soma-se ainda um atraso de π/2. O sinal
ligado a W3 estará adiantado de π/4 e ao ligado a W4 soma-se um atraso (portanto negativo)
de π/2 àquele.
Uma vez que sen(ωot + π/4) = sen(ωot - 3π/4 + π) = - sen(ωot + π/4) pode-se escrever:
N[W1sen(ωot – π/4)+W2sen(ωot - 3π/4) - W3sen(ωot - π/4) + W4sen(ωot – π/4)]
Para esta resposta ser nula é necessário que:
W1 + W4 = 0
W2 – W3 = 0
O conjunto de pesos que satisfaz os requerimentos do sinal e do ruído pode ser
encontrado resolvendo as equações acima. A solução é:
w1 = ½; w2 = ½; w3 = ½ e w4 = -1/2.
Com estes pesos o conjunto terá o comportamento desejado aceitando o sinal de uma
determinada direção e rejeitando o ruído que chega de outra direção, mesmo que este tenha a
mesma frequência do sinal.
O método descrito é mais ilustrativo que prático. Ele seria útil num caso com poucos
sinais de ruído, de mesma frequência e cujas direções de chegada fossem conhecidas a priori.
Um sistema prático não pode depender de informação detalhada sobre o número e a natureza
dos sinais de ruído incidentes.
41
'
3.4 Um aperfeiçoamento no sistema anterior
Supondo agora que haja um único sinal interferente (chamado de ruído na figura a
seguir), cuja direção se pretenda determinar, de igual frequência que a de um sinal desejado
(chamado de Piloto), podemos, didaticamente, fazer o seguinte raciocínio:
Figura 33 – Recepção do sinal de forma aperfeiçoada
Sabemos que um sinal que incida no conjunto fazendo um ângulo de 90º (notar que
estamos usando agora a reta suporte que une as antenas como referência de direções para que
se note que isto é arbitrário) estará em fase nas duas antenas.
Se ele chegar fazendo um ângulo de 60º, podemos pensar em W1 = 1 e obrigar W2 a
atrasar o sinal que incide na antena da direita de 2(d/).cos 60º (se a distância percorrida a
mais pelo sinal que incide na antena 1 fosse o atraso seria de 2sendo d.cos o atraso será
proporcional).
Isto seria conseguido fazendo W2 = e –j(d/) cos60º. Para entender isto, basta lembrar que
o sinal incidente, por exemplo cos ot, pode ser representado por ejot e, depois dele passar
pelo sistema, considerar apenas a parte real do resultado. Como (e–j(d/) cos60º)x(ejot) =
ej(ot-(d/) cos 60º), a parte real do resultado seria cos(ot - (d/cos60º), ou seja, o sinal original
atrasado de 60º.
Por comparação, conclui-se que se o sinal chegar fazendo um ângulo W2 deveria ser
ej(d/)cos para se conseguir a soma de dois sinais em fase na saída do sistema.
42
'
Para se descobrir a direção de chegada de um sinal pode-se, por exemplo, fazer
variar de grau em grau (ou seja, variar W2 continuamente) analisando a saída do sistema até
que ela seja máxima.
43
'
4 O Arduino
“Um Arduino é um microcontrolador de placa única e um conjunto de software para
programá-lo. O hardware consiste em um projeto simples de hardware livre para o
controlador, com um processador Atmel AVR e suporte embutido de entrada/saída. O
software consiste de uma linguagem de programação padrão e do bootloader que roda na
placa.” [3]
Simplificando, podemos dizer que se trata de um dispositivo eletrônico programável
que tem a função de controlar os dispositivos conectados a ele. Um exemplo básico e clássico
seria sua utilização para monitorar a acendimento automático de luz em ambientes comerciais.
Basta conectar um sensor de presença em sua entrada e a lâmpada em sua saída. [4]
Outros exemplos de projetos interessantes seriam conecta-lo a LEDs, displays
(mostradores) de matriz de pontos, botões, interruptores, motores, sensores de temperatura,
sensores de pressão, sensores de distância, receptores GPS, receptores GSM, Antenas, etc.
São vastos os tipos de aplicações possíveis.
Um importante e vantajoso atributo do Arduino é o fato do mesmo ser totalmente
“open source”, além de ser considerado como tecnologia ou plataforma embarcada, ou seja,
caso queira-se transformar um projeto em algo permanente, basta retirar o chip e coloca-lo em
uma placa de circuito impresso.
Dentre as inúmeras variações, destacam-se o Arduino Uno. Este utiliza um chip
Atmega8U2, que além das vantagens econômicas, sobressai-se por possuir uma tecnologia
mais amigável e de fácil acesso para iniciantes. Ao conecta-lo a um computador via USB, o
mesmo é reconhecido como um dispositivo, assim como um pendrive. Neste projeto, a versão
utilizada será o Arduino Uno.
4.1 O que há em uma placa de Arduino?
O coração do Arduino é o microcontrolador. Praticamente todo o resto está ligado às
estradas e saídas analógica, digital, de energia e comunicação com o computador. Ele possui
tudo que um computador comum tem. Um processador, uma memória RAM de alguns
44
'
kilobytes, uma EEPROM ou uma memória FLASH para programarmos e pinos de entrada e
saída.
As entradas podem ler ambos os sinais digital e analógico. Isto permite conectar
diferentes tipos de sensores nele. As saídas também podem ser analógica e digital. Sendo
assim, podemos setar um pino como ligado ou desligado (0V ou 5V) ou podemos usar a saída
para controlar dispositivos de maior potência como motores.
A figura abaixo apresenta uma placa Arduino típica:
Figura 34 – Placa Arduino Duemilanove
Conectores de Energia: O primeiro pino é o de Reset. Ele reinicia a placa, assim como
acontece quando reiniciamos nosso PC. O resto dos pinos desta seção fornecem
diferentes valores de voltagem (3.3, 5, GND e 9).
A próxima seção de conectores são as Entradas Analógicas numeradas de 0 a 5. Estes
seis pinos podem ser usados para medir a voltagem conectadas a eles e então estes
valores serão usados na programação. Mesmo nomeados como entradas analógicas,
estes pinos também podem ser usados como entradas ou saídas digitais, mas por
padrão, elas vêm configuradas com entradas analógicas.
Por último vêm os conectores digitais. Numerados de 0 a 13, estes podem ser usados
tanto como entrada quanto saída com os valores 0V e 5V.
45
'
4.2 Conectando um receptor de sinal na entrada analógica do Arduino
Quando analisamos uma onda senoidal através de um osciloscópio, vemos algo como
na figura abaixo:
Figura 35 – Sinal senoidal em um osciloscópio
A amplitude do sinal é a distância entre a voltagem central e seu valor máximo ou
mínimo. No caso da figura 35, a onda possui uma amplitude de 2V de pico, ou seja, +2V de
máximo e -2V de mínimo.
Isto se torna um problema quando tentamos analisar este tipo de sinal na entrada
analógica do Arduino, uma vez que o mesmo pode medir apenas voltagens positivas entre 0V
e 5V. Caso tentemos analisar valores negativos com o Arduino, ele medirá como sendo 0V e a
onda ficará grampeada neste valor inferior. [5]
Sendo assim, um circuito como o da figura abaixo foi utilizado neste projeto para a
recepção dos sinais senoidais através do Arduino:
46
'
Figura 36 – Circuito do esquema de recepção de sinais pelo Arduino
O sinal (Vin) que chega é amplificado com o auxílio do amplificador não inversor com
ganho ajustável, composto por um Amplificador Operacional, um potenciômetro de 10K
ohms e um resistor de 100K ohms. Os capacitores de 10uF e 47nF têm a função de eliminar
qualquer tipo de interferência DC do sinal amplificado e o divisor resistivo formado pelos
dois resistores de 100K ohms adicionam um offset de 2.5V na entrada. Sendo assim, o sinal
que entra no Arduino seria bem parecido com o da figura 37.
Figura 37 – Sinal amplificado com offset de 2.5V que entra no Arduino
Ao carregar o código da figura 38 no Arduino, exibimos na interface serial em que o
Arduino está conectado (PC, Laptop, etc) os dados recebidos na entrada analógica A0.
47
'
Figura 38 – Código simples para apresentação dos dados
que chegam na entrada analógica do Arduino
Os valores da variável “incomingSignal” estarão no intervalo de 0 a 1023, o que
significa que ao entrar no Arduino, o sinal é convertido digitalmente em outro de 10bits.
Sendo assim, teríamos a seguinte correspondência:
Analógico Digital
0.0V 0
2.5V 512
5.0V 1023
Fica evidente que os valores não se limitam a apenas estes três e a quantidade de dados
entre estes intervalos dependerá muito da taxa de amostragem com que os valores analógicos
serão convertidos para digital pelo Arduino.
48
'
4.3 Arduino e Matlab
No que tange este projeto, esta comunicação poderia ser feita de forma simples. Os
valores “printados” na porta serial via Arduino seriam capturados pelo Matlab, utilizando a
linha de comando apresentada na figura 39.
Figura 39 – Script de Matlab para capturar os dados recebidos na porta serial
Como se pode ver, seriam capturadas 100 amostras vindas do Arduino!
49
'
5 Descobrindo a DOA com o Arduino
Este foi o objetivo maior deste projeto. Trata-se do programa em C rodando no
Arduino. Os comentários nele constantes são bem explicativos.
int analogPin1 = 0; // 1a. entrada analógica int analogPin2 = 2; // 2a. entrada analógica int primeira_vez = 1;
int i = 1; // contador do while que vai calcular a média dos valores de entrada int k1 = 0; // contador do número de picos que serão encontrados int sinal_original_um[100]; int sinal_original_dois[100]; int contador_de_medidas; float pi = 3.1415; float valor_temporario_de_pico_sinal_um = 0; float valor_temporario_de_pico_sinal_dois = 0;
float Media_do_sinal_um = 0; float Media_do_sinal_dois = 0; float Media_valdois = 0; float soma_sinal_um = 0; float soma_sinal_dois = 0; float sinal_um_sem_media =0; unsigned long tempo_primeiro_pico; unsigned long tempo_segundo_pico;
float periodo; float frequencia; unsigned long time1[100]; unsigned long time2[100]; void setup() { Serial.begin(9600); // setup serial }
void loop() { // Colhe 100 amostras de cada uma das entradas if (primeira_vez == 1) // verifica se é a primeira vez que está passando por aqui { while (i<=100) { sinal_original_um[i] = analogRead(analogPin1); // lê 100 valores da 1a. entrada
time1[i] = micros(); sinal_original_dois[i] = analogRead(analogPin2); // lê 100 valores da 2a. entrada time2[i] = micros(); i++; } // calcula valor de pico e valor médio de cada sinal // calcula período, frequência do sinal um e diferença de // tempos entre os dois sinais
i=1; int derivada_um = 0; int derivada_dois = 0; int contador_de_picos_um =0; int contador_de_picos_dois =0; float valor_de_pico_sinal_um [10]; float valor_de_pico_sinal_dois [10]; float tempo_do_pico_um [10];
float tempo_do_pico_dois [10]; float Diferenca_de_tempos; float Diferenca_relativa_de_tempos; float Direcao_de_chegada;
50
'
As figuras abaixo ilustram os sinais recebidos pelo Arduino. A atenuação do sinal em
vermelho é decorrente do circuito responsável pela defasagem “forçada” que foi criada entre
os sinais. Os resultados obtidos na saída serial do Arduino estão abaixo de cada figura.
while (i<=100) { if (sinal_original_um[i-1] <= sinal_original_um[i] && sinal_original_um[i] > sinal_original_um[i+1]) { contador_de_picos_um = contador_de_picos_um +1; tempo_do_pico_um [contador_de_picos_um] = time1[i]; }
if (sinal_original_dois[i-1] <= sinal_original_dois[i] && sinal_original_dois[i] > sinal_original_dois[i+1]) { contador_de_picos_dois = contador_de_picos_dois +1; tempo_do_pico_dois [contador_de_picos_dois] = time2[i]; } i++; }
periodo = tempo_do_pico_um [2] - tempo_do_pico_um [1]; Serial.print ("periodo = "); Serial.println (periodo); frequencia = 1000000.0/periodo; // lembrar que o período está em microsegundos Serial.print ("frequencia = "); Serial.println (frequencia);
Diferenca_de_tempos = tempo_do_pico_dois [1] - tempo_do_pico_um [1]; // Supondo que a distância entre os microfones equivalha a lambda/2 ==> T/2 // que a diferença de tempos haja sido causada apenas pela diferença de percursos // tomando a reta que contem os microfones como referência de ângulos Direcao_de_chegada_rad = acos(Diferenca_de_tempos/(periodo/2)); // (diferença de tempos / tempo necessário para percorrer // a distância entre as antenas que é a hipotenusa do triângulo que contem as duas grandezas)
Serial.print ("Direcao de chegada do sinal = "); Serial.print(180*Direcao_de_chegada_rad/npi); Serial.println (" graus"); primeira_vez = 0; // avisa que já passou pela amostragem } // fecha o if primeira_vez
} // fecha o void loop()
51
'
Figura 43 – Senoides de 140hz.
Período = 6968.00
Frequência = 143.51
Diferença relativa de tempos = 0.23
Direção de chegada do sinal = 61.90 graus
Figura 44 – Senoides de 160hz.
Período = 6000.00
Frequência = 166.67
52
'
Diferença relativa de tempos = 0.26
Direção de chegada do sinal = 58.67 graus
Figura 45 – Senoides de 180Hz.
Período = 5520.00
Frequência = 181.16
Diferença relativa de tempos = 0.24
Direção de chegada do sinal = 61.43 graus
53
'
6 Determinando a DOA com o Matlab
Para fins de comparação e confirmação dos resultados obtidos com o Arduino,
podemos agora programar alguns algoritmos de determinação da direção de chegada de um
sinal através do Matlab.
Seria interessante utilizar os mesmos dados de entrada analisados com o Arduino.
Sendo assim, foram gerados arquivos de texto com os logs das amostras tratadas para os
sinais de 140hz, 160hz e 180hz. Estes arquivos contêm apenas uma linha e N*5 colunas, onde
N representa o número de amostras de cada sinal num determinado intervalo de tempo.
Figura 46 – Parte do arquivo com os dados do sinal de 140hz.
Como pode ser visualizado na figura 46, a primeira coluna contém o índice das
primeiras amostras, a segunda coluna contém o valor do primeiro sinal, a terceira coluna
contém o instante do primeiro sinal, a quarta coluna contém o valor do segundo sinal e a
quinta coluna contém o instante do segundo sinal. A partir daí vemos as amostras
subsequentes respeitando o mesmo padrão.
6.1 Primeiro programa: Determinando a DOA com o mesmo
algoritmo usado no Arduino
Primeiramente parece interessante utilizarmos o poder computacional do Matlab para
simularmos e plotarmos os resultados obtidos via Arduino. Sendo assim, abaixo será
apresentado um programa que utiliza o mesmo algoritmo implementado no microcontrolador.
54
'
clear all;
clc;
%Lendo os dados do arquivo de texto referente ao sinal recebido x = importdata(arquivo.txt');
%O conteúdo do arquivo é do tipo: %'1 456 272.00 492 392.00 2 560 512.00 493 632.00 ...' %onde o primeiro termo ('1') se refere ao número da amostra %o segundo termo se refere ao valor da amostra na entrada A0 %o terceiro termo se refere ao instante da amostra na entrada A0 %o quarto termo se refere ao valor da amostra na entrada A1 %o quinto termo se refere ao instante da amostra na entrada A1 %a partir daí temos as próximas amostras onde o padrão se repete
%Carregando os dados do arquivo em variáveis i=1; j=1; while i<length(x) X(j)=x(i+1); %Matriz com os valores das amostras na entrada A0 t1(j)=x(i+2);%Matriz com os instantes das amostras na entrada A0 Y(j)=x(i+3); %Matriz com os valores das amostras na entrada A1 t2(j)=x(i+4);%Matriz com os instantes das amostras na entrada A1 j=j+1; i=i+5; end
%Eliminando repetições desnecessárias que podem atrapalhar a
%determinação da DOA for i=1:length(Y)-1 if Y(i)==Y(i+1) Y(i+1)=Y(i)+1; end end for i=1:length(X)-1 if X(i)==X(i+1) X(i+1)=X(i)+1; end end
%Determinando os pontos no tempo onde há máximo em cada senoide j=1; for i=2:(length(X)-1) if (X(i-1)<X(i))&&(X(i)>X(i+1)) MAX_X(j) = t1(i); j=j+1; end end j=1; for i=2:(length(Y)-1) if (Y(i-1)<Y(i))&&(Y(i)>Y(i+1)) MAX_Y(j) = t2(i); j=j+1; end
end
55
'
Os resultados obtidos foram:
%Tendo os pontos de máximo de cada senoide, determina-se o periodo
médio periodo=0; for i=2:(length(MAX_X)) periodo=periodo+MAX_X(i)-MAX_X(i-1); end periodo=periodo*0.000001/(i-1); %O tempo está em microssegundos frequencia = 1/periodo;
%Apenas para saber que matriz é maior if(length(MAX_X)>=length(MAX_Y)) limite=length(MAX_Y); else limite=length(MAX_X); end
%Determinando a fase e diferença de tempo dos dois sinais fase=0; for i=1:limite fase=fase+MAX_Y(i)-MAX_X(i); end fase=fase/limite; diferencaTempo=fase*0.000001;
%Plotando os sinais e apresentando os resultados plot(t1,X, 'r', t2,Y, 'g')
xlabel('t', 'Color', 'b')
ylabel('Sinais defasados', 'Color', 'b')
fase=(diferencaTempo/periodo)*2*pi
DOA=acosd(2*diferencaTempo/periodo)
56
'
Figura 47 – Sinais de 140hz plotados no Matlab
Frequência = 143.2938Hz.
Fase =1.4790rad.
DOA = 61.9158º.
Figura 48 – Sinais de 160hz plotados no Matlab
Frequência = 164.1138Hz.
57
'
Fase = 1.5529rad.
DOA = 60.3757º.
Figura 49 – Sinais de 180hz plotados no Matlab
Frequência = 184.7063Hz.
Fase = 1.5366rad.
DOA = 60.7184º.
Abaixo, temos uma tabela comparando os valores encontrados com este método tanto
no Arduino como no Matlab, para os sinais de 140Hz, 160Hz e 180Hz:
140Hz 160Hz 180Hz
Fase DOA Fase DOA Fase DOA
Com o
Arduino
1.44rad 61.90º 1.62rad 58.67º 1.51rad 61.43º
Com o
Matlab
1.48rad 61.92º 1.55rad 60.37º 1.54rad 60.72º
Tabela 1 – Comparativo entre o mesmo método implementado no Arduino e Matlab.
Como era previsto, os resultados são quase idênticos aos encontrados com o Arduino.
58
'
6.2 Segundo programa: Determinando a DOA por um método
alternativo (deslocamento de um sinal em relação ao outro
fazendo o produto escalar entre eles em cada posição)
Este método alternativo tem o intuito de verificar os resultados obtidos com o
Arduino.
Ele consiste no princípio de deslocar um dos sinais e manter o outro “parado”. Em
alguma posição do deslocamento eles ficarão em fase. Se continuarmos deslocando o sinal,
em outra posição relativa eles ficarão defasados de 180º. Como pode ser visto na figura 50,
se resolvermos deslocar o sinal em verde e mantivermos o sinal em vermelho parado, quando
este deslocamento for de N amostras, teremos os sinais em fase. Com esta informação
determina-se a defasagem Φ entre eles.
Ao continuarmos o deslocamento, fica fácil de entender que quando este for de N+M,
os sinais estarão defasados de 180º, ou seja, T= π.
Figura 50 – Senoides defasadas de N amostras
59
'
Sendo os sinais verde e vermelho vetores X(k)=A.sen(kt) e Y(k)=B.sen(kt+Φ),
respectivamente, onde k corresponde à amostra atual, podemos fazer o produto escalar entre
eles a cada deslocamento de X(k) de uma em uma amostra. Este produto escalar será máximo
quando eles estiverem em fase e mínimo quando estiverem defasados de 180º. Uma simples
relação matemática nos daria o valor de Φ.
O programa em Matlab que implementa este método de determinação da defasagem de
dois sinais é:
% ALGORITMO QUE DESCOBRE A FASE ATRAVÉS DO DESLOCAMENTO DO PRIMEIRO
%SINAL EM 360º, FAZENDO O PRODUTO ESCALAR COM O 2º SINAL
% O primeiro pico do produto escalar mostrará quando estiverem em fase,
%daí basta determinar quantas amostras há do início a este primeiro pico. Esta
%será a defasagem dos sinais.
%Sendo X E Y os vetores que contém as amostras dos sinais defasados.
%Deslocando X de 360º e realizando o produto escalar dos dois sinais
Y=transpose(Y);
for i=1:length(X)
ProdScalar(i)=X*Y;
k=X(length(X));
for j=1:length(X)-1
X(length(X)-j+1)=X(length(X)-j);
end
X(1)=k;
end
%Achando o primeiro ponto de máximo do produto escalar, ou seja, quando os dois
%sinais entram em fase
for i=2:(length(ProdScalar))
if (ProdScalar(i-1)<ProdScalar(i))&&(ProdScalar(i)>ProdScalar(i+1))
break;
end
end
pontoMax=i;
%Achando o primeiro ponto de mínimo do produto escalar para termos a noção de
%quanto vale meio período do sinal
for i=2:(length(ProdScalar))
if (ProdScalar(i-1)>ProdScalar(i))&&(ProdScalar(i)<ProdScalar(i+1))
break;
end
end
pontoMin=i;
%Sabendo os primeiros pontos de máximo e mínimo do produto escalar, basta fazer
%uma simples regra de 3 onde a distância do ponto de máximo ao ponto de mínimo
%corresponde a 180º de fase e a distância da origem ao ponto de máximo corresponde
%à fase desejada
disp('Fase dos sinais e DOA encontrados por um método alternativo:');
fase=pontoMax*pi/(pontoMin-pontoMax)
DOA= acosd(fase2/pi)
60
'
A tabela a seguir apresenta os resultados obtidos por este método, comparando com os
resultados do Arduino:
140Hz 160Hz 180Hz
Fase DOA Fase DOA Fase DOA
Método do
Arduino
1.44rad 61.90º 1.62rad 58.67º 1.51rad 61.43º
Método
Alternativo
1.47rad 62.18º 1.45rad 62.51º 1.71rad 56.94º
Tabela 2 – Resultado comparativo entre os métodos Arduino x Alternativo
6.3 Terceiro programa: Determinando o Diagrama de Irradiação de
um conjunto pelo método do Atraso e Soma (Delay-and-Sum)
considerando a Potência irradiada.
Figura 51 – Estrutura ‘Beamforming’ clássica
Segundo Rias Muhamed [6] este método, também chamado de Método
‘Beamforming’ Clássico ou Método de Fourier, é uma das técnicas mais simples de
determinação da direção de chegada (DOA) de um sinal. Deve-se, no entanto, lembrar que o
diagrama de irradiação e o de recepção de uma antena (normalizados) são idênticos numa
mesma frequência. A seguir trata-se de um ou de outro indistintamente.
y(k) na figura 51 é dado pela soma linear dos sinais recebidos, multiplicados pelos
respectivos pesos w,
61
'
A potência total de saída pode ser expressa por
Onde é a matriz de autocorrelação de x(k).
Sendo os pesos w=a(θ), onde a(θ) é composto pelos vetores das defasagens de cada
sinal, temos a nova relação
Portanto, tendo uma estimativa da autocorrelação das entradas e dos vetores a(θ) para
cada θ desejado, é possível estimar a potência de saída em função de θ. A potência de saída
em função do ângulo θ é comumente denominada Espectro Espacial.
Um programa que apresenta o Diagrama de Irradiação é:
Resultados obtidos:
O resultado obtido para a onda de 180Hz foi:
%Sabendo a priori o valor da fase dos sinais, temos a(θ) dados por
a=[1 ; exp(1i*fase)];
prodacum=zeros(2);
for k=1:200
% cálculo da autocorrelaçao de X
Z=exp(1i*omega*k)*a;
Zt=conj(Z);
for linha = 1:length(Z),
for col = 1:length(Z),
prod(linha,col) = Z(linha)*Zt(col);
end
end
prodacum = prodacum + prod;
end
Rxx = prodacum/k;
% Calculando P(θ)
for teta=1:180
tetaRad=teta*pi/180;
phi(teta) = tetaRad;
a=[1 ; exp(1i*pi*cos(tetaRad))];
Pot(teta)=ctranspose(a)*Rxx*a;
end
polar(phi, Pot);
62
'
Figura 52 – Diagrama de Irradiação da energia de saída em função de θ para o sinal de 180Hz.
Este método serviu apenas para termos uma noção visual e didática de como fica o
Diagrama de Irradiação da energia de saída em função de θ.
63
'
7 Conclusões
Conforme descrito no Capítulo 1, o objetivo deste trabalho foi propor uma análise
metodológica para a concepção de um sistema capaz de determinar o ângulo ou direção de
chegada de um sinal sonoro.
Foi implementado um algoritmo no domínio do tempo que rodou num Arduino e
seus resultados foram validados através de uma metodologia diferente (deslocamento de
amostras fazendo o produto escalar dos vetores a cada posição) no Matlab.
Foi apresentado também um algoritmo para se traçar um diagrama de irradiação em
função da potência irradiada.
Por fim, no que tange o programa rodando no Arduino diretamente, foi observado que
as respostas foram rápidas e precisas. Isto prova que esta tecnologia pode ser empregada em
diversas aplicações de controle em tempo real.
64
'
Referências Bibliográficas
[1] GROSS, Frank B. - Smart Antennas for Wireless Communications with
MATLAB, McGraw-Hill, 2005.
[2] MARTINS, Ricardo Rhomberg, Apostila do Curso de Antenas e
Processamento, v.14.
[3] CONTEÚDO aberto. In: Wikipédia: a enciclopédia livre. Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Arduino > Acesso em: 8 out 2013.
[4] MCROBERTS, Michael – Arduino Básico, Novatec Editora Ltda. 2011.
[5] MONK, Simon – 30 Arduino Projects for th Evil Genius, McGraw-Hill,
2010.
[6] MUHAMED, Rias – Direction of Arrival Estimation using Antenna Arrays,
Master of Science in Electrical Engineering, Virginia Polytechnic Institute and
State University, 1996.