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DESENVOLVIMENTO DE UMA METODOLOGIA PARA

PLANEJAMENTO DE TRAJETÓRIAS EM SOLDAGEM

ROBOTIZADA

Renato Ventura Bayan Henriques

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Renato Ventura Bayan Henriques

DESENVOLVIMENTO DE UMA METODOLOGIA PARA

PLANEJAMENTO DE TRAJETÓRIAS EM SOLDAGEM

ROBOTIZADA

Tese apresentada ao Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial à obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica. Área de concentração: Processos de fabricação Orientador: Prof. Alexandre Queiroz Bracarense, PhD. Co-Orientador: Prof. Carlos Eduardo Pereira, Dr. Ing.

Belo Horizonte Escola de Engenharia da UFMG

2005

RESUMO

Em soldagem, existem posições normalizadas para a execução de um cordão de solda. Dentre

estas, a soldagem na posição plana é considerada a melhor posição de soldagem, independente

do processo adotado, pois permite a utilização de parâmetros constantes ao longo de toda a

trajetória. O planejamento da trajetória da tocha ao longo de toda a trajetória de soldagem

pode ser considerado um problema da cinemática de manipuladores, que trata dos

movimentos da ferramenta e de como realizá-los por meio dos movimentos coordenados de

todas as suas juntas. No planejamento de trajetórias em soldagem robotizada muitas vezes as

peças possuem restrições geométricas que afetam o posicionamento da tocha ao longo do

caminho de soldagem. Os métodos tradicionais, baseados em relações cinemáticas,

apresentam lacunas no tratamento dos problemas de singularidades e inúmeras técnicas vêm

sendo desenvolvidas para contornar este problema. Este trabalho tem como objetivo o

desenvolvimento de uma metodologia para o planejamento de trajetórias para soldagem

robotizada priorizando a posição plana. O trabalho propõe a utilização da cinemática

diferencial, da teoria dos helicóides e das cadeias virtuais como ferramentas matemáticas para

o equacionamento do problema.

Palavras-chave: Robôs Cooperativos, Cadeias Virtuais, Teoria dos Helicóides.

ABSTRACT

In welding, different normalized positions for the execution of a weld exist. From

these, welding in the plain position is considered the best welding position, independent of the

adopted welding process, since it allows the use of constant parameters throughout the entire

trajectory. The planning of the torch trajectory along the welding path can be considered a

problem of manipulators kinematics, that deal with the coordinated of movements of the tool

and all joints. When industrial robots are used to automate the welding process, planning of

torch trajectories must take into account singularities and other geometrical/spatial

restrictions. Traditional methods, based only on kinematics relations, can usually not handle

these restrictions and therefore new techniques are sought. This work propones a

methodology for path planning of welding trajectories aiming to achieve high quality welds,

so that plain welding position is priorized. The proposed methodology integrates techniques

such as differential kinematics, screw theory and virtual chains as math. The methodology has

been validated is some real case studies and obtained results are presented and discussed in

this work.

Keywords: Cooperative robots, Virtual Chains, Screw Theory.

A minha esposa Adriana,

Exemplo de carinho e dedicação, Por sua paciência e amizade,

e por ser o grande amor da minha vida.

Aos meus filhos,

Ricardo, Rafaela e Renato Filho, por serem a razão da minha existência

e das minhas conquistas.

AGRADECIMENTOS À Deus, criador de todas as coisas, que me permitiu navegar nas águas do desconhecido e

aportar em terra segura.

Aos meus pais, Mário e Mamede pelo exemplo, dedicação e carinho.

Ao Professor Dr. Alexandre Queiroz Bracarense que com seu apoio incondicional, otimismo e

perseverança, que me guiaram na busca de meus objetivos.

Ao Departamento de Engenharia Mecânica e à Coordenação do Curso de Pós-graduação da

UFMG.

Ao Departamento de Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Rio Grande do Sul e à

Coordenação do Programa de Pós-graduação.

Aos colegas do Grupo de Controle, Automação e Robótica – GCAR, em especial ao Prof. Dr.

Carlos Eduardo Pereira e ao Prof. Dr. Walter Fetter Lages pelo apoio.

Ao Prof. Dr. Humberto Ferasoli e Prof. Dr. Rene Pegoraro pelo apoio constante durante toda a

jornada.

Ao Prof. Dr. João Mauricio Rosário pela ajuda durante todo o trabalho.

À MANET – Manufacturing Automation Network, pelo suporte oferecido ao

desenvolvimento desse trabalho.

Aos Professores e colegas do Laboratório de Robótica Soldagem e Simulação – LRSS, em

especial a, Dra. Ivanilza Felizardo, Eduardo Lima II, Carlos Castro, Leonardo Vieira,

Leonardo Panicali, Ezequiel Caíres, José Pedro, Newton Maia, Álvaro Reis e Adgenor Neto

pelo apoio e amizade.

À família Felizardo, que me fez sentir em casa durante a minha estadia em Belo Horizonte.

Ao amigo Daniel Dall´agnese pelo auxilio prestado na revisão deste documento.

À CAPES pelo suporte financeiro.

À São Jerônimo, Pai Xangô, por sempre estar ao meu lado durante as caminhadas na estrada

da vida.

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS .......................................................................................................................................... X

LISTA DE TABELAS......................................................................................................................................XIII

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS...............................................................................................XIV

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO E OBJETIVOS............................................................................................. 16

1.1 INTRODUÇÃO.....................................................................................................................................16 1.2 OBJETIVO DA TESE.............................................................................................................................17 1.3 MOTIVAÇÃO ......................................................................................................................................17

CAPÍTULO 2 – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA.......................................................................................... 20

2.1 SOLDAGEM ROBOTIZADA ..................................................................................................................20 2.1.1 Automação do processo.............................................................................................................21 2.1.2 Limitações da Soldagem Robotizada.........................................................................................22 2.1.3 Posicionamento da tocha de soldagem......................................................................................22 2.1.4 Características cinemáticas para um robô de soldagem...........................................................24

2.2 FERRAMENTAS MATEMÁTICAS..........................................................................................................26 2.2.1 Cinemática diferencial ..............................................................................................................26 2.2.2 Método de Kirchhoff-Davies .....................................................................................................30 2.2.3 Cadeias Virtuais ........................................................................................................................33 2.2.4 Cinemática de robôs cooperativos ............................................................................................39

2.3 PLANEJAMENTO DE TRAJETÓRIAS .....................................................................................................42 2.3.1 Curvas, Superfícies e sua Geometria diferencial. .....................................................................42 2.3.2 A parametrização de curvas e a geração de trajetórias............................................................48 2.3.3 Formulação de curvas e superfícies ..........................................................................................54

2.4 LEVANTAMENTO DA LINHA DO CORDÃO DE SOLDA ...........................................................................58

CAPÍTULO 3 - ANÁLISE DO ESTADO DA ARTE....................................................................................... 63

3.1 INTRODUÇÃO.....................................................................................................................................63

CAPÍTULO 4 - EXEMPLO DE APLICAÇÃO: QUADRO DE BICICLETA .............................................. 68

4.1.1 Mapeamento do Perfil da Peça .................................................................................................68 4.1.2 Cálculo das Velocidades Relativas............................................................................................70 4.1.3 Definição do número de experimentos ......................................................................................72 4.1.4 Montagem do experimento ........................................................................................................73 4.1.5 Comunicação entre os robôs .....................................................................................................74 4.1.6 Programação dos dispositivos...................................................................................................75

CAPÍTULO 5 - METODOLOGIA .................................................................................................................... 77

5.1 INTRODUÇÃO.....................................................................................................................................77 5.2 PROCEDIMENTO PARA GERAÇÃO DE TRAJETÓRIAS DE SOLDAGEM .....................................................77

5.2.1 Geração da trajetória a partir da geometria ............................................................................78 5.2.2 Cálculo das velocidades ............................................................................................................79 5.2.3 Cálculo dos Helicóides..............................................................................................................80 5.2.4 Cinemática direta por helicóides ..............................................................................................87

CAPÍTULO 6 – VALIDAÇÃO .......................................................................................................................... 90

6.1 INTRODUÇÃO.....................................................................................................................................90 6.2 APLICAÇÃO DA METODOLOGIA NO CASO PLANAR..............................................................................90 6.3 SIMULAÇÃO DE SOLDAGEM TRIDIMENSIONAL...................................................................................98

6.3.1 Estudo do posicionamento do suporte de pivotamento de uma motoniveladora..................... 102

CAPÍTULO 7 - DISCUSSÃO E RESULTADOS ........................................................................................... 107

7.1 TESTES ............................................................................................................................................ 107 7.2 HELICÓIDES E CADEIAS VIRTUAIS ................................................................................................... 112

7.2.1 Solução dependente dos graus de liberdade ........................................................................... 112 7.2.2 Aplicação do conceito de cadeias virtuais .............................................................................. 114

CAPÍTULO 8 - CONCLUSÃO ........................................................................................................................ 116

CAPÍTULO 9 - TRABALHOS FUTUROS..................................................................................................... 118

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................................ 119

APÊNDICE A .................................................................................................................................................... 134

APÊNDICE B .................................................................................................................................................... 143

ANEXO I............................................................................................................................................................ 145

PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ........................................................................................................... 146 EXECUÇÃO DA SOLDAGEM.................................................................................................................... 148

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 – Posição Plana. ......................................................................................................16

Figura 2.1 – Processo básico de soldagem MIG/MAG. ...........................................................21

Figura 2.2 – Efeito da Orientação da tocha na geometria do cordão........................................22

Figura 2.3 – Posições longitudinais da peça.............................................................................23

Figura 2.4 Posições transversais da tocha. ...............................................................................23

Figura 2.5- Restrições de posicionamento da tocha e da superfície de deposição. ..................24

Figura 2.6 – Movimento combinado de rotação e translação – Heligiro. ................................27

Figura 2.7 - Componentes de heligiro para uma junta genérica...............................................28

Figura 2.8 - Mecanismo de quatro barras – malha única..........................................................30

Figura 2.9 – Cadeia Virtual PPR ortogonal..............................................................................35

Figura 2.10 – Cadeia Virtual RPR............................................................................................35

Figura 2.11 – Cadeia Virtual PPS.............................................................................................37

Figura 2.12 – Cadeia Virtual RPPS. .........................................................................................37

Figura 2.13 – Cadeia Virtual RRPS. ........................................................................................38

Figura 2.14 – Robôs cooperativos. ...........................................................................................39

Figura 2.15 - Imposição de movimentos por cadeias virtuais. .................................................40

Figura 2.16 – Sistema de coordenadas de Frenet. ....................................................................46

Figura 2.17 – Detalhe dos vetores - Sistema de coordenadas de Frenet. .................................47

Figura 2.18 – Planos referentes ao sistema de Frenet...............................................................48

Figura 2.19 – Visualização do vetor tangente no espaço paramétrico. ....................................50

Figura 2.20 - Ângulo entre a normal da curva N e a normal à superfície n. ............................52

Figura 2.21 – Círculo osculante................................................................................................53

Figura 2.22 – Parábola obtida com algoritmo de De Casteljau. ...............................................55

Figura 2.23 - Definição da geometria do cordão, planos e vetores. .........................................59

Figura 2.24 – Sensor óptico para varredura..............................................................................60

Figura 2.25 – Alguns modelos de braços de medição. .............................................................61

Figura 2.26 – Extração dos pontos da geometria. ....................................................................61

Figura 3.1 - Soldagem na posição plana...................................................................................63

Figura 3.2 – Sistema de coordenadas. ......................................................................................64

Figura 4.1 - Quadro da bicicleta e perfil retirado do quadro. ...................................................68

Figura 4.2 - Seção transversal do perfil do quadro da bicicleta. ..............................................69

Figura 4.3 – Divisão da trajetória em segmentos. ....................................................................69

Figura 4.4 - Posicionamento ideal dos pontos..........................................................................70

Figura 4.5 - Velocidades Relativas...........................................................................................71

Figura 4.6 - Robô Motoman SK6. ............................................................................................73

Figura 4.7 - Motor de passo......................................................................................................74

Figura 4.8 - Ciclo de Operação.................................................................................................74

Figura 4.9 - Driver do motor de passo, fonte e PC...................................................................75

Figura 4.10 - Mapeamento do perfil da peça em função dos raios...........................................75

Figura 5.1 – Estrutura da metodologia proposta. .....................................................................77

Figura 5.2 – Cálculo das velocidades. ......................................................................................79

Figura 5.3 – Decomposição das velocidades a partir da geometria do cordão.........................79

Figura 5.4 – Representação dos heligiros num robô de cadeia cinemática aberta. ..................81

Figura 5.5 – Representação do deslocamento helicoidal..........................................................82

Figura 5.6 – Rotação do sistema iO em torno de si. .................................................................83

Figura 5.7 – Referencial e sistemas de eixos helicoidais. ........................................................89

Figura 5.8 – Translação helicoidal entre elos adjacentes. ........................................................89

Figura 5.9 – Rotação e eixos helicoidais. .................................................................................89

Figura 6.1 – Manipuladores planares 3R e seus sistemas de helicóides...................................91

Figura 6.2 – Simulação da trajetória para soldagem na posição plana.....................................97

Figura 6.3 – Mudança brusca na orientação, superfície irregular. ...........................................97

Figura 6.4 - Tubo principal.......................................................................................................98

Figura 6.5 - Montagem dos tubos.............................................................................................98

Figura 6.6 – Cordão de solda tipo Fillet. ..................................................................................98

Figura 6.7 – Interface de extração de pontos............................................................................99

Figura 6.8 – Vista da célula no ambiente do simulador Workspace. .....................................101

Figura 6.9 – Movimento do TCP............................................................................................101

Figura 6.10 – Evolução temporal dos ângulos das juntas. .....................................................102

Figura 6.11 – Suporte de pivotamento motoniveladora. ........................................................103

Figura 6.12 – Modelagem 3D do pivô....................................................................................103

Figura 6.13 – Célula para extração de pontos. .......................................................................104

Figura 6.14 – Trajetória de soldagem selecionada. ................................................................104

Figura 6.15 – Identificação dos pontos da trajetória. .............................................................105

Figura 6.16 – Movimento do TCP..........................................................................................105

Figura 6.17 – Evolução temporal das juntas. .........................................................................106

Figura 6.18 – ângulo das juntas do posicionador. ..................................................................106

Figura 7.1 - Representação esquemática da metodologia desenvolvida. ...............................110

Figura 7.2 – Cadeias Virtuais e graus de liberdade. ...............................................................113

Figura 7.3 – Disposição das cadeias cinemáticas virtuais. .....................................................114

Figura 8.1 – Resumo da Metodologia. ...................................................................................117

Figura A.1 – Manipulador paralelo 3RRR no plano XY .......................................................134

Figura A.2 – Dígrafo de acoplamento GC do Manipulador paralelo 3RRR. ..........................135

Figura A.3 – Dígrafo de acoplamento GM do Manipulador paralelo 3RRR. .........................135

Figura A.4 - Cadeia cinemática espacial com múltiplas malhas SSCCE...............................140

Figura A.5 - Dígrafo de acoplamento GC da cadeia cinemática SSCCE...............................140

Figura A.6 - Dígrafo de movimento GM da cadeia cinemática SSCCE. ................................141

Figura B 1– Transformação de Helicóides .............................................................................144

LISTA DE TABELAS

Tabela 6.1 – Helicóide em relação ao sistema de referência....................................................91

Tabela 6.2 – Projeções de So. ....................................................................................................92

Tabela 6.3 – Heligiros da cadeia virtual. ..................................................................................93

Tabela 6.4 – Pontos do TCP. ..................................................................................................104

Tabela A.1 – Parâmetros de Soldagem...................................................................................147

Tabela A.2 – Seqüência de Soldagem nos experimentos .......................................................148

Tabela A.3 – Parâmetros e macrografias................................................................................149

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS

X(t) Espaço da ferramenta θ(t) Trajetória no espaço das juntas T6WT Matriz de transformação homogênea ToolWT Matriz de transformação homogênea T6p Matriz de transformação homogênea Toolp Matriz de transformação homogênea Base Matriz de transformação homogênea WCM Matriz de transformação homogênea τ Ângulo transversal de avanço da tocha $ Heligiro $̂ Helicóide normalizado h Passo do helicóide ω Vetor de velocidade angular

pV Vetor de velocidade linear NML ,, Componentes da velocidade angular RQP ,, Componentes da velocidade linear

S Vetor normalizado paralelo ao eixo de helicóide oS Vetor posição de qualquer ponto no eixo de helicóide iψ Magnitude do helicóide da junta i pψ Vetor de magnitudes primárias sψ Vetor de magnitudes secundárias

n Número de elos do manipulador *** ,,,,, RQPNML Componentes do helicóide normalizado.

yx pp , e zr Graus de liberdade da cadeia virtual. t Comprimento do deslocamento de translação O Referencial Inercial N Matriz de rede

pN Matriz de rede primária sN Matriz de rede secundária

d Ordem mínima do sistema de helicóides l Número de malhas independentes do digrafo e Número de arestas do digrafo f Número de graus de liberdade de cada junta Fb Número de graus de liberdade bruto FN Número de graus de liberdade liquido Gc Digrafo de acoplamento GM Digrafo de movimento Mi i-ésima malha do digrafo B Matriz de malhas do digrafo Bi Matriz diagonal correspondente a i-ésima linha de B D Matriz de helicóides diretos r(t) Curva parametrizada em t r(s) Comprimento do arco r(si) Comprimento da curva ao ponto i T Vetor tangente do sistema de Frenet N Vetor normal do sistema de Frenet

B Vetor binormal do sistema de Frenet )(sr Vetor tangente a curva

k(s) Curvatura da curva ρ(s) Raio de curvatura da curva τ(s) Torção da curva (u,v) Espaço paramétrico I 1ª Forma fundamental

ii R1− Matriz de rotação do sistema de coordenadas i para i-1

ii A1− Matriz de transformação homogênea do elo i para i-1

ii p1− Vetor de posição relativa da origem do sistema de

coordenadas i em relação a i-1 ti Deslocamento linear da i-ésima junta

GMAW Gas Metal Arc Welding GTAW Gas Tungsten Arc Welding RSW Resistance Spot Welding AWS American Welding Society TCP Tool Center Point

CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO E OBJETIVOS 16

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO E OBJETIVOS

1.1 Introdução

Em soldagem, existem posições normalizadas para a execução de um cordão de solda. Dentre

estas, a soldagem na posição plana, Figura 1.1, é considerada a melhor posição de soldagem,

independente do processo adotado, pois permite a utilização de parâmetros constantes ao

longo de toda a trajetória.

Figura 1.1 – Posição Plana.


O planejamento da trajetória da tocha ao longo de toda a trajetória de soldagem pode ser

considerado um problema da cinemática de manipuladores, que trata dos movimentos da

ferramenta e de como realizá-los por meio dos movimentos coordenados de todas as suas

juntas.

No planejamento de trajetórias busca-se programar o efetuador para percorrer um

determinado conjunto de posições e orientações no espaço operacional ou espaço de tarefas.

O problema cinemático inverso de manipuladores está na determinação da transformação dos

movimentos do espaço operacional em espaço de juntas. Na cinemática direta os movimentos

das juntas são conhecidos e, a partir deste conhecimento, determinam-se os movimentos da

ferramenta. Na cinemática inversa, o movimento da ferramenta é dado e calculam-se os

movimentos das juntas.

No contexto de soldagem um fator importante na qualidade do cordão é a velocidade da

ferramenta. A cinemática diferencial inversa permite especificar a velocidade da ferramenta

ao longo da trajetória desejada, situação conveniente para os processos de soldagem,

calculando as velocidades requeridas nas juntas do manipulador. Por essa razão, a cinemática

diferencial se mostra interessante para essa situação e, assim, será utilizada para o

desenvolvimento deste trabalho.

1.2 Objetivo da tese

Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de uma metodologia para o planejamento

de trajetórias para soldagem robotizada priorizando a posição plana. O trabalho propõe a

utilização da cinemática diferencial, da teoria dos helicóides e das cadeias virtuais como

ferramentas matemáticas para o equacionamento do problema.

1.3 Motivação

Em soldagem, a degeneração dos graus de liberdade acentua a dificuldade de posicionamento

da tocha, tornando-se praticamente inviável a utilização de robôs em algumas tarefas. Na

realidade, um procedimento para soldagem robotizada de peças com geometria irregular, que


utiliza cordões na posição plana, necessita de um tratamento adequado dos problemas de

singularidade.

Par facilitar a compreensão sobre a dificuldade do problema que se quer resolver tome-se, por

exemplo, a soldagem do perfil de um quadro de bicicleta de alumínio1. O objetivo é gerar um

cordão sobre a seção transversal do tubo, suavizando-se a trajetória sobre o perfil em relação à

trajetória da ferramenta do robô (planificação da trajetória).

Há várias dificuldades a serem vencidas para que a soldagem robotizada seja executada na

posição plana na maior parte do caminho de soldagem. Podem-se citar: a) as trajetórias

normalmente são curvas no espaço tridimensional; b) restrições de posicionamento e

orientação da ferramenta; e, c) tratamento das restrições de movimento.

As dificuldades citadas nos itens a) e b) referem-se às características geométricas da peça e do

manipulador, podendo ser minimizadas por meio da utilização de cinemática convencional.

Essas dificuldades são o interesse principal deste trabalho e estão relacionadas com o

posicionamento relativo entre a peça e a tocha durante todo o caminho de soldagem. Durante

o movimento faz-se necessário que a tocha permaneça na posição plana em relação à junta, e

por sua vez, deve-se garantir que a peça seja posicionada e orientada adequadamente em

relação à tocha durante todo o intervalo do movimento. A dificuldade c) está relacionada à

degeneração dos graus de liberdade, o que restringe o movimento, dificultando-o em alguns

pontos da trajetória.

O presente trabalho propõe por meio de técnicas utilizando cadeias virtuais e a teoria dos

helicóides que se estabeleça uma nova metodologia para o planejamento de trajetórias de

soldagem na posição plana.

Esta tese de doutorado está assim estruturada: no Capítulo 2 apresenta os fundamentos

teóricos necessários para o entendimento da metodologia proposta, no Capítulo 3 apresenta-se

uma análise do estado da arte, no Capítulo 4 apresenta-se um exemplo de aplicação do

planejamento de trajetórias em soldagem robotizada, no Capítulo 5 apresenta-se a

metodologia proposta na tese, no Capítulo 6 apresentam-se os testes para a validação da

1 O estudo sobre a soldagem do perfil do quadro de bicicleta será apresentado em detalhe no Capítulo 4.


proposta, no Capítulo 7 apresentam-se as discussões e resultados e finalmente no Capítulo 8

apresentam-se alguns comentários sobre trabalhos futuros.

CAPÍTULO 2 – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 20

CAPÍTULO 2– FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Soldagem Robotizada

Soldagem robotizada é uma forma específica de soldagem automática e é definida pela

Associação Americana de Soldagem – AWS (American Welding Society) como a soldagem

feita com equipamento (robô, manipulador, etc.), o qual executa operações de soldagem, após

programação, sem ajuste ou controle por parte do operador [Romano, 2002].

Um dos grandes problemas em aplicações de soldagem é a definição da posição e orientação

da tocha em relação ao cordão de solda, considerando que os robôs de seis juntas

normalmente não são suficientes para garantir o envelope e/ou orientação desejada para a

ferramenta em peças com trajetórias espaciais de complexidade elevada.

Nas aplicações de soldagem robotizada, a orientação da tocha no espaço ao longo da trajetória

de soldagem tem uma importância fundamental na formação e proteção do cordão. O robô

tem como tarefa posicionar a tocha ao longo de cada ponto do caminho de soldagem com uma

determinada posição e orientação ao longo da trajetória no espaço cartesiano de acordo com

as especificações do processo.

A operação de soldagem robotizada pode ser classificada em dois grandes grupos:

• Soldagem a ponto – Utilizada principalmente na indústria automobilística. Os

movimentos são programados para o robô deslocar-se sobre a trajetória, movendo-se

de ponto a ponto.

• Soldagem em trajetória contínua – Utilizada basicamente na junção de peças. Nesse

processo o robô conduz a tocha de soldagem ao longo de uma trajetória contínua

definida no espaço cartesiano, realizando a transição entre os pontos continuamente,

seguindo as definições de posição e orientação de cada ponto.

Neste capítulo, são discutidas as especificações e os aspectos mais relevantes na aplicação de

robôs em processos de soldagem. Pretende-se construir uma base de conhecimento para

analisar as especificações necessárias para a utilização dos robôs de soldagem.


2.1.1 Automação do processo

Quando se realiza uma solda, deseja-se sempre obter um cordão com características de

largura, reforço, penetração e metalografia aceitáveis aos requisitos do processo [Bomlsjo,

1993; Doumanidis, 1993]. Para atingir tal objetivo, recorre-se à automação a fim de garantir a

qualidade e a repetitividade dos cordões executados. Pode-se afirmar, a partir de uma visão

geral, que a automação se tornou um fator determinante na qualidade e produtividade de

qualquer processo fabril. Sob esse enfoque, o processo de automação da soldagem,

implementado na sua forma robotizada, pode ser considerado essencial para que se obtenham

resultados satisfatórios na fabricação e acabamento dos produtos.

Dos processos de soldagem robotizados, a maioria dos sistemas existentes utiliza a soldagem

por resistência elétrica, o RSW (Resistance Spot Welding), ou o processo de soldagem a arco

elétrico com proteção gasosa e eletrodo consumível, o GMAW (Gas Metal Arc Welding),

comumente conhecido como MIG/MAG, Figura 2.1.

Figura 2.1 – Processo básico de soldagem MIG/MAG (Fonte: Fortes, 2004).

A robotização de um processo de soldagem numa linha de produção implica em uma análise

dos procedimentos utilizados pela empresa, visto que o robô acarretará alterações na linha de

produção. Tais alterações visam a garantir a qualidade final do produto e geram limitações

tais como: Alterações de projeto, Preparação das peças; Qualidade da solda; Restrições de

montagem.


2.1.2 Limitações da Soldagem Robotizada

De uma maneira geral, o objetivo do processo de soldagem é a deposição de material metálico

pelo posicionamento de uma tocha de soldagem. Essa operação deve acontecer de maneira

adequada, respeitando as especificações definidas pela tarefa e pelo processo.

A qualidade da operação de soldagem depende do controle dos parâmetros do processo para

obter-se uma geometria adequada do cordão de solda. Se a operação for realizada com

velocidades de deslocamento da tocha e de alimentação do arame adequadas e ainda, com

controle de energia de deposição a qualidade do cordão será garantida. Tais especificações

são difíceis de serem alcançadas, mesmo utilizando a operação robotizada.

Uma das operações fundamentais no processo de soldagem está no controle de trajetórias no

espaço cartesiano. Esse controle toma como referência a posição e orientação do ponto central

da ferramenta, elemento este que deve ser posicionado e orientado sob um conjunto de pontos

sobre uma superfície de operação em relação a um sistema de coordenadas de referência.

Mesmo assim, imprecisões de origem mecânica podem acontecer e restrições cinemáticas

durante essa trajetória podem inviabilizar o processo.

2.1.3 Posicionamento da tocha de soldagem

A orientação adequada da tocha torna-se de fundamental importância ao percorrer uma

determinada trajetória, afetando profundamente a execução do processo. Em função da

orientação da tocha, Figura 2.2, define-se a geometria do cordão e, conseqüentemente, a sua

qualidade.

Figura 2.2 – Efeito da Orientação da tocha na geometria do cordão (Fonte: Fortes, 2004).


A orientação da tocha é função basicamente de três fatores: do processo de soldagem, do

material a ser soldado e da orientação da superfície de deposição [Bolmsjö, 1989]. Para o caso

da soldagem, a posição e orientação da tocha e da junta são fundamentais e algumas restrições

são determinantes para a execução do cordão de solda.

A posição da tocha afeta as características da solda e refere-se à maneira pela qual a tocha é

mantida relativamente ao cordão de solda. A posição da tocha é normalmente definida em

duas direções, o ângulo relativo ao comprimento do cordão e o ângulo relativo às chapas,

como está ilustrado na Figura 2.3 e Figura 2.4, respectivamente.

Figura 2.3 – Posições longitudinais da peça (Fonte: Fortes, 2004).

Figura 2.4 Posições transversais da tocha (Fonte: Fortes, 2004).

Restrições como o posicionamento da tocha ao longo da trajetória de soldagem e a

planificação da trajetória por meio do reposicionamento da junta a ser soldada em relação à

posição plana de soldagem, são consideradas fundamentais no desenvolvimento deste

trabalho.


Seja uma peça de geometria qualquer, Figura 2.5, tal que se deseje realizar a soldagem na

superfície do segmento AB . Segundo Pashkevich [2003], para que a deposição de material

seja satisfatória e não haja escorrimento na região de aplicação, deve-se procurar aplicar a

solda de forma que o vetor normal à superfície no ponto de aplicação tenha a mesma direção e

sentido oposto ao vetor da gravidade, o que caracteriza a soldagem na posição plana.

Figura 2.5- Restrições de posicionamento da tocha e da superfície de deposição.

A localização espacial de um objeto, normalmente um corpo rígido, pode ser definida por um

sistema de coordenadas com seis parâmetros independentes. No entanto, para definir a linha

do cordão de solda é necessário um esforço adicional que depende da superfície a ser soldada

e da trajetória de soldagem sobre essa superfície. Na Seção 2.3 serão abordados com maior

detalhamento os vetores e planos associados à trajetória do cordão de solda.

2.1.4 Características cinemáticas para um robô de soldagem

Uma célula típica de soldagem compreende, normalmente, um robô manipulador de seis graus

de liberdade, um posicionador e, opcionalmente, um robô de pórtico. Tal configuração

representa um sistema cinemático redundante que geralmente não possui uma solução fechada

para a cinemática inversa dos dispositivos. Além disso, em aplicações de soldagem a arco,

robôs de seis graus de liberdade normalmente não são suficientes para garantir o envelope

e/ou orientação desejada da ferramenta para que a soldagem aconteça na posição plana ao

longo da trajetória de soldagem.


Devido às restrições impostas pelo processo de soldagem ao planejamento de trajetórias em

soldagem robotizada as características listadas a seguir são de fundamental importância para a

escolha de um robô de soldagem a arco [Santos, 1992]:

• A configuração cinemática: basicamente representada por dois grandes grupos de

juntas, as rotacionais e as prismáticas.

• O número de graus de liberdade: são definidos pelo número de juntas dos robôs e

definem o posicionamento e a orientação da ferramenta.

• O volume de trabalho: definido pelo espaço gerado pelas posições e orientações

alcançadas pelo robô.

• A precisão, repetitividade e desempenho dinâmico: determinam se o robô é adequado

para execução da tarefa. A precisão de posição é a diferença entre a posição

programada e a posição real do robô, após a execução do movimento programado. A

repetitividade é a capacidade do robô de retornar repetidamente a uma determinada

postura, sob as mesmas condições operacionais. E o desempenho dinâmico avalia o

comportamento do robô durante os seus movimentos.

• A velocidade de deslocamento – deve ser compatível com as velocidades utilizadas

para soldagem. Normalmente, representa a velocidade do ponto central da ferramenta.

• Carga útil – é a capacidade que um robô pode carregar. Para soldagem MIG/MAG

uma capacidade de carga de 5 kg normalmente é suficiente para carregar uma tocha de

soldagem.

O processo de soldagem robotizada requer projeto e análise das características listadas acima.

Estas características afetam diretamente a qualidade do produto final e, conseqüentemente, a

sua competitividade no mercado.

Atualmente, algumas peças não são soldadas por um único robô devido à dificuldade no

planejamento das trajetórias, ou seja, singularidades que inviabilizam a execução da trajetória

planejada. Normalmente, utilizam-se para a soldagem dois ou mais robôs cooperativos,

aumentando-se assim o número de graus de liberdade e facilitando-se o processamento das

trajetórias [Ahmad, 1989; Agapakis, 1990].

Técnicas clássicas, utilizando a convenção de Denavit-Hartenberg [Sciavicco e Siciliano,

1996], são utilizadas para resolver problemas de cooperação usando cinemática de posição.


Esse enfoque trata apenas de relações de posição, não possibilitando um tratamento para

evitar as singularidades. A grande vantagem em se utilizar as técnicas de cinemática

diferencial em vez de cinemática de posição é a utilização de robôs redundantes possibilitando

evitar as singularidades na trajetória. Maiores detalhes são apresentados no Capítulo 3.

A Seção seguinte apresenta as questões matemáticas envolvidas na modelagem de trajetórias

de soldagem, onde serão discutidos aspectos da cinemática diferencial de robôs industriais.

2.2 Ferramentas Matemáticas

Em robótica, uma determinada tarefa executada pelo robô consiste na movimentação da

ferramenta ao longo de uma trajetória com determinada posição e orientação. Como

mencionado no item 1.1, o problema cinemático pode ser classificado em cinemática direta e

cinemática inversa.

No caso do planejamento de trajetórias trabalha-se com a cinemática inversa, pois a partir de

uma posição e orientação dadas, deseja-se determinar os ângulos das juntas. A cinemática de

um manipulador pode ser tratada em nível de posição ou em nível diferencial. Como

mencionado anteriormente, o nível diferencial se mostra interessante por permitir especificar

a velocidade ao longo da trajetória. Além disso, podem-se utilizar as leis de circulação de

Kirchhoff aplicadas a mecanismos, adaptadas por Davies [1990]. Um fator restritivo na

utilização desta técnica é que sua aplicação é limitada a cadeias fechadas, o que se contorna

utilizando-se cadeias cinemáticas virtuais [Campos, 2004].

O método de Davies e as cadeias cinemáticas virtuais utilizam à teoria dos helicóides. Sendo

assim, apresenta-se uma breve revisão das técnicas mencionadas para um melhor

entendimento da metodologia proposta para o planejamento de trajetórias de soldagem.

2.2.1 Cinemática diferencial

A teoria dos helicóides é uma importante ferramenta na análise de cadeias cinemáticas e

estáticas. Sua formulação está baseada no teorema de Mozzi [1763] e foi sistematizada por


Ball [Ball, 1900]. Os aspectos de geometria cinemática foram desenvolvidos em [Tsai, 1999 e

Hunt, 2004]. Adicionalmente o teorema de Chasles, 1830, estabelece que "qualquer

movimento de um corpo rígido pode ser obtido por uma rotação ao longo de uma linha junto

com uma translação ao longo desta mesma linha". O movimento completo é chamado de

heligiro (do inglês twist) e representado por “$ ”.

Um corpo com movimento em torno de um eixo instantaneamente fixo em relação a um

sistema de referência inercial “O” é mostrado na Figura 2.6. Este eixo instantâneo é

denominado eixo de helicóide e a razão das magnitudes da velocidade translacional e angular

é denominada passo do helicóide “h” sendo representado pela equação ωτ= /h .

Figura 2.6 – Movimento combinado de rotação e translação – Heligiro.

O movimento completo de um corpo rígido em relação a um sistema inercial representado por

um heligiro é composto por um par de vetores, , ou em coordenadas de helicóide

, também conhecidas como coordenadas de Plücker. O vetor

representa a velocidade angular do corpo em relação ao sistema inercial. O

vetor

TpV );($̂ ω=

)( *** R,Q,PN,M,L,

),,( zyx ωωω=ω

),,( pzpypxpV ψψψ= representa a velocidade linear de um ponto p que se move com o

corpo e tem sua origem instantaneamente coincidente com a origem O do sistema inercial.

Considerando um heligiro dado por , o seu helicóide

normalizado $ é definido por um par de vetores, e assim:

TTpV )();($ *** R,Q,PN,M,L,=ω=

ˆ ),,( NML ),,( *** RQP


.$̂

*

*

*

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

RQPNML

R

Q

P

N

M

L

2.1

sendo

;⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+×

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

hSSSS

RQPNML

o

2.2

onde é o vetor normalizado paralelo ao eixo do helicóide. S

Dependendo do corpo, se nenhuma parte coincidir com a origem O, como na Figura 2.6,

costuma-se adicionar uma extensão fictícia a ele de forma que um ponto nesta extensão,

chamado ponto p, coincida com a origem O, Figura 2.7.

O vetor é formado por duas componentes de velocidade: a) uma componente paralela ao

eixo de helicóide, representada por

pV

ωτ ×= h ; e b) outra componente normal ao eixo de

helicóide , representada por $ ω×oS , onde é a posição de qualquer ponto no eixo de

helicóide representada vetorialmente no sistema de referência da Figura 2.7.

oS

Figura 2.7 - Componentes de heligiro para uma junta genérica.


Um heligiro pode ser representado pela sua magnitude Ψ e pelo seu helicóide normalizado

por meio de:

$̂

.$̂$ Ψ= 2.3

A magnitude do heligiro é a magnitude da velocidade angular do corpoΨ ω se seu

movimento é de rotação, ou a magnitude da velocidade linear pV se seu movimento é só de

translação. Quando o movimento do corpo combina rotação e translação, a magnitude do

heligiro é a magnitude da velocidade angular do corpo ω .

O movimento entre dois elos adjacentes, pertencentes a uma cadeia cinemática, pode ser

representado por um heligiro. Nesse caso, o heligiro representa o movimento do elo i em

relação ao elo . Na robótica, em geral, tem-se juntas rotativas ou juntas prismáticas. O

passo do helicóide normalizado que representa o movimento de um corpo determinado por

uma junta rotativa é nulo . Assim, o helicóide normalizado para uma junta rotativa é

dado por:

)1( −i

0=h

.$̂ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

=SS

S

o

o 2.4

O passo do helicóide normalizado que representa o movimento de um corpo determinado por

uma junta prismática é infinito ( ∞=h ) e o helicóide normalizado para uma junta prismática é

reduzido a:

.0

$̂ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

S 2.5

As componentes de um heligiro são funções do sistema de coordenadas onde este é

representado. Freqüentemente representa-se um heligiro em diferentes sistemas de

coordenadas, sendo para isto utilizada, como ferramenta, a transformação de coordenadas de

helicóide.


2.2.2 Método de Kirchhoff-Davies

O método de Kirchhoff-Davies é uma adaptação de Davies da lei das malhas de Kirchhoff

[Davies, 1981] para formular e resolver a cinemática diferencial no espaço das juntas da

cadeia cinemática fechada. A lei das malhas de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das

diferenças de potencial ao longo de qualquer circuito elétrico é nula. Similarmente, o método

de Kirchhoff-Davies estabelece que o somatório das velocidades relativas entre elos

adjacentes ao longo de uma cadeia cinemática fechada é nulo.

Para uma melhor compreensão reproduz-se aqui o exemplo apresentado em Campos [2004].

Seja o mecanismo de quatro barras planar da Figura 2.8, composto pelos elos 1, 2, 3 e 4 e

pelas juntas rotativas A, B, C e D, onde a junta A é atuada externamente.

Figura 2.8 - Mecanismo de quatro barras – malha única.

Considere que o heligiro $A descreve a cinemática diferencial da junta A, i.e. $A representa o

movimento do elo 2 em relação ao elo 1, $B o movimento do elo 3 em relação ao elo 2, $C o

movimento do elo 4 em relação ao elo 3 e $D o movimento do elo 4 em relação ao elo 1.

Sendo assim, os heligiros $A, $B, $C e $D representam os pares cinemáticos A, B, C e D.

Considere-se ainda que o mecanismo esteja no plano XY de forma que os heligiros $A, $B, $C

e $D têm apenas três componentes, uma vez que a velocidade linear de qualquer ponto do

mecanismo, , não tem a componente na direção do eixo Z. Adicionalmente, a

velocidade angular

pV *R

ω de qualquer elo do mecanismo não tem as componentes L e no

plano XY. Tem-se então para o mecanismo de quatro barras no plano XY que os

componentes do heligiro são apenas N , e .

M

*P *Q


O mecanismo de quatro barras forma uma cadeia cinemática fechada. Percorrendo-se a malha

da cadeia e somando-se as contribuições de velocidade de cada junta no sentido horário a

partir do elo 1 tem-se que o movimento do elo 2 em relação ao elo 1 é $A . O movimento do

elo 3 em relação ao elo 1 é expresso por $A + $B . O movimento do elo 4 em relação ao elo 1

pode ser expresso por $A + $B + $C e o movimento do elo 1 em relação a ele mesmo é $A +

$B + $C + $D .

Os pares cinemáticos que conectam o elo 1 a ele mesmo formam uma cadeia cinemática

fechada e a lei de circulação de Davies, considerando-se a direção do circuito na Figura 2.8, é

dada por:

[ ] ,0 $ $ $ $ DCBA =+++ 2.6

onde [0] é um vetor nulo de dimensão (3x1), correspondente às dimensões dos heligiros A, B,

C e D.

De acordo com a Equação 2.3 pode-se reescrever:

[ ] ,0 $̂ - $̂ $̂ $̂ )13(DDCCBBA xA =ΨΨ+Ψ+Ψ 2.7

onde representa o helicóide normalizado do heligiro e A$̂ A$ AΨ representa a magnitude da

velocidade2 do heligiro A, e da mesma forma para os pares cinemáticos B, C e D.

A equação é referida como equação de restrição do mecanismo de quatro barras e, na sua

forma matricial, pode ser dada por:

[ ] [ ] .0$̂$̂$̂$̂ )13(

)14(

)43( ×

×

× =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨ

D

C

B

A

DCBA 2.8

Como o mecanismo é planar, todos os heligiros são uma combinação de três heligiros

independentes [Campos, 2004]. Neste caso, todos os helicóides normalizados pertencem a um

sistema de helicóides de terceira ordem. Adicionalmente, pode ser observado que o

mecanismo tem apenas um circuito ou laço independente em sua cadeia cinemática fechada.

2 Angular nesses casos.


A equação geral de restrição de um mecanismo com movimentos em um sistema helicoidal de

ordem d e l circuitos independentes pode ser escrita como [Davies, 1990]:

[ ] ,0 )1()1()( ××× =Ψ dlFFdl bbN 2.9

onde N é a matriz contendo os helicóides normalizados e é chamada de matriz de rede; Ψ é o

vetor de magnitudes das velocidades; l é o numero de circuitos independentes do mecanismo;

Fb é o grau de liberdade bruto, por exemplo, o somatório dos graus de liberdade de cada junta

(fi) no mecanismo e é o grau de liberdade do mecanismo. Caso se tenha apenas

juntas de 1 grau de liberdade

)( fF Σ= F

if

ib N

i ∀= 1 jF, então b = , que é o número de juntas da cadeia.

Para a obtenção da cinemática no espaço das juntas, reescreve-se o vetor , rearranjando-o

em duas partes: uma referente às magnitudes conhecidas ou cadeias primárias , e outra

referente a magnitudes desconhecidas ou cadeia secundária

Ψ

pΨ

sΨ , tem-se .

Rearranjando-se a matriz coerentemente com a divisão de magnitudes. Tem-se

que resulta:

[ ]Tps ΨΨ=Ψ

)( bFdl×N

][ )()()( FNdlpdldlsFdl b ××× = NNN

[ ] ,0 )1()1(

)1(

)()( ××

×

×× =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ΨΨ

dlFNp

dls

FNdlpdldls NN 2.10

onde a submatriz secundária corresponde às juntas das cadeias secundárias e a submatriz

primária corresponde às juntas das cadeias primárias. A equação 2.10 pode ser escrita

como:

sN

pN

,s pps Ψ−=Ψ NN 2.11

onde a solução cinemática para o espaço de juntas é dada por :

.1s pps Ψ−=Ψ − NN 2.12


O mecanismo planar de quatro barras da Figura 2.8 possui quatro juntas, cada uma com um

grau de liberdade . A soma dos graus de liberdade de todo o mecanismo é igual a 4,

. O grau de liberdade do mecanismo é dado por

)1( =if

4=bF 134 =−=−= dFF bN . Seja A um par

atuado (primário), e B, C e D pares não atuados ou passivos (secundários). Nesse caso, a

magnitude da velocidade do par A é determinado por um atuador externo e a magnitude

da velocidade dos pares cinemáticos passivos

AΨ

BΨ , CΨ e DΨ são funções da magnitude AΨ .

Rearranjando-se a Equação 2.8, a submatriz primária resulta em e a submatriz

secundária resulta em . Se a matriz admite inversa, isto é, se a matriz

é quadrada e tem posto completo, é possível calcular as magnitudes das velocidades das

juntas secundárias

]$̂[ Ap =N

]$̂$̂$̂[ DCBs =N sN

sN

sΨ por meio de 2.12 e, tem-se:

[ ] [ AADCB

D

C

B

Ψ−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨ

−$̂$̂$̂$̂

1 ] 2.13

Se existem colunas de linearmente dependentes (det( ) = 0), não admite inversa;

assim o manipulador está em uma singularidade. A relação entre as velocidades das juntas

atuadas e passivas de uma cadeia cinemática fechada é obtida diretamente da equação de

restrição. A construção da equação de restrição para cadeias cinemáticas com múltiplas

malhas é, com freqüência, um trabalho difícil e pode ser facilitado por meio da teoria de

grafos (maiores detalhes no Apêndice A).

sN sN sN

2.2.3 Cadeias Virtuais

As cadeias cinemáticas virtuais proposta por Campos [2004] são usadas tanto para obter

informações quanto para impor movimentos à cadeia cinemática real e são utilizadas para

fechar a cadeia cinemática real. Um manipulador é uma cadeia cinemática. Portanto, para

obter sua cinemática diferencial por meio do método de Davies, adicionam-se à cadeia

original cadeias virtuais para a obtenção da equação de restrição e da solução da cinemática

no espaço das juntas.


Pode-se adicionar uma cadeia virtual para, por exemplo, evitar problemas cinemáticos tais

como colisões ou, mais especificamente nesta tese, para garantir o posicionamento relativo da

tocha em relação a junta soldada e para garantir a soldagem na posição plana. Para tanto se

utilizam cadeias virtuais para fechar as cadeias cinemáticas.

Consideram-se cadeias virtuais aquelas que atendem as seguintes propriedades [Campos,

2004]:

• A cadeia virtual é uma cadeia cinemática serial aberta composta por elos e juntas,

denominados elos virtuais e juntas virtuais;

• Os heligiros que representam o movimento das juntas virtuais são linearmente

independentes; e

• A cadeia virtual não altera o número de graus de liberdade da cadeia cinemática real.

Na seqüência são apresentadas algumas cadeias virtuais planas e espaciais, desenvolvidas por

Campos [2004], úteis para obter e impor movimentos em robótica.

2.2.3.1 Cadeias Virtuais Planas

Em cadeias virtuais planas a ordem do sistema de helicóides é d=3, o que impõe

conseqüentemente três graus de liberdade à cadeia virtual.

As cadeias virtuais planares, normalmente, são compostas de juntas prismáticas e rotacionais.

São úteis em aplicações de robótica as cadeias cinemáticas virtuais compostas por: duas juntas

prismáticas e uma rotativa (PPR) e as cadeias virtuais com uma junta rotativa uma prismática

e outra junta rotativa (RPR). Tais cadeias podem ser associadas a um sistema de coordenadas

cartesiano no caso da estrutura (PPR) ou a um sistema de coordenadas polar no caso da

estrutura (RPR).

Considere-se que as cadeias cinemáticas virtuais (PPR) e (RPR), definidas a seguir, têm seus

movimentos descritos em um plano definido pelos eixos XY, denominado aqui por sistema de

base {B}. Sendo assim, todos os heligiros das cadeias cinemáticas possuem então três

componentes: N, P* e Q*.


Cadeia Virtual PPR ortogonal

Uma cadeia virtual PPR é composta por duas juntas prismáticas com movimentos nas

direções dos eixos ortogonais X e Y, e uma junta rotativa com movimento na direção de um

eixo ortogonal a X e Y, Figura 2.9. As juntas prismáticas são representadas por px e py e

descritas pelos heligiros , e a junta rotativa chamada de , com movimento descrito

pelo heligiro .

px$ e py$ zr

rz$

Figura 2.9 – Cadeia Virtual PPR ortogonal (Fonte: Campos, 2004).

Nesse caso, as juntas de ligação px e rz ligam à cadeia cinemática virtual a cadeia cinemática

real a ser analisada. Analisando a estrutura da cadeia cinemática se percebe que a cadeia

cinemática PPR ortogonal representa um sistema planar cartesiano.

Cadeia Virtual RPR

Outra cadeia útil na análise de cadeias cinemáticas virtuais no plano XY é a cadeia RPR,

composta por duas juntas rotativas rz1 e rz2 com movimentos na direção do eixo Z e uma junta

prismática pr com movimento na direção radial, definida pela coordenada de azimute (α),

Figura 2.10.

Figura 2.10 – Cadeia Virtual RPR (Fonte: Campos, 2004).


Conforme nomenclatura adotada, os heligiros que representam os movimentos das juntas rz1,

pr e rz2 são denominados , , respectivamente. Nesse caso, as junções rz1$rz pr$ e 2$rz 1 e rz2

estão acopladas à cadeia cinemática real e podem ser representadas por um sistema de

coordenadas polar.

2.2.3.2 Cadeias Virtuais Espaciais

Em cadeias virtuais espaciais têm-se o sistema de helicóides de ordem d=6 e,

conseqüentemente, a cadeia virtual tem seis graus de liberdade.

No espaço tridimensional são úteis cadeias cinemáticas virtuais com três juntas prismáticas e

uma junta esférica (PPPS), as cadeias virtuais com uma junta rotativa, duas juntas prismáticas

e uma junta esférica (RPPS) e as cadeias virtuais com duas juntas rotativas, uma junta

prismática e uma junta esférica (RRPS). Tais cadeias virtuais podem ser associadas a um

sistema de coordenadas cartesiano, cilíndrico e esférico respectivamente.

Descrevem-se a seguir as cadeias cinemáticas virtuais PPPS, RPPS e RRPS. Todos os

movimentos ocorrem no espaço 3D descrito pelo sistema de referência XYZ, notado pelo

sistema de base {B}. Assim, todos os heligiros das cadeias cinemáticas possuem as seis

componentes: . *** e, RQPN,M,L,

Cadeia Virtual PPS ortogonal

Essa cadeia virtual é formada por três juntas prismáticas ortogonais (PPP) e uma junta

esférica (S).

Nessa cadeia os movimentos das juntas prismáticas ocorrem ao longo dos eixos ortogonais X,

Y e Z e são representados pelos heligiros , respectivamente. A junta esférica é

substituída instantaneamente por três juntas rotativas ortogonais em série, rx, ry e rz, com

movimentos representados pelos heligiros e , como mostrado na Figura 2.11.

px$ , py$ e pz$

rx$ , ry$ rz$


Figura 2.11 – Cadeia Virtual PPS (Fonte: Campos, 2004).

Essa cadeia começa na junta de ligação px e termina com a junta de ligação esférica S.

Observa-se que a cadeia PPPS representa um sistema cartesiano no espaço 3D.

Cadeia Virtual RPPS

A cadeia virtual RPPS é formada por uma junta rotativa (rz) na direção do eixo de coordenada

Z, uma junta prismática (pz) na direção do eixo coordenado Z, uma junta prismática (pr) em

uma direção ortogonal ao eixo Z, e uma junta esférica (S), como mostrado na Figura 2.12.

Figura 2.12 – Cadeia Virtual RPPS (Fonte: Campos, 2004).


Na cadeia virtual RPPS as três primeiras juntas (rz, pz e pr) realizam movimentos dentro de

um cilindro, sendo o movimento de cada uma delas descrito pelos heligiros $ , e ,

respectivamente. A junta esférica é substituída instantaneamente por três juntas rotativas com

movimentos nas direções normal ao cilindro (rn), tangencial ao cilindro (rt) e binormal ao

cilindro (rb), representadas pelos heligiros

r z $ p z $ pr

nr$ , tr$ e br$ .

A cadeia virtual começa na junta de ligação rz e termina na junta de ligação esférica S,

responsável pelo movimento entre o último elo virtual e um elo da cadeia real. Salienta-se que

tal cadeia pode ser representada por um sistema de coordenadas cilíndrico.

Cadeia Virtual RRPS

A cadeia RRPS é formada por uma junta rotativa na direção Z (rz), uma junta rotativa em uma

direção ortogonal ao eixo Z (ro), definida pelo ângulo α, Figura 2.13, uma junta prismática na

direção radial (pr), estabelecida por meio do ângulo β, Figura 2.13, e por uma junta esférica S.

Na cadeia RRPS as três primeiras juntas rz, ro e pr realizam movimentos dentro de uma

esfera, cuja origem coincide com a origem do sistema {B} (XYZ) fixo à base, e o movimento

de cada uma das cadeias virtuais é descrito pelos heligiros , respectivamente. A

junta esférica é substituída instantaneamente por três juntas rotativas ortogonais com

movimentos na direção normal à esfera (r

zr$ , or$ e pr$

n), tangencial à esfera (rt) e binormal à esfera (rb),

representados pelos heligiros nr$ , tr$ e br$ .

Figura 2.13 – Cadeia Virtual RRPS (Fonte: Campos, 2004).


Essa cadeia virtual começa na junta de ligação rz e termina com a junta de ligação esférica S,

por meio da qual ocorre o movimento entre o último elo virtual e um elo da cadeia real.

2.2.4 Cinemática de robôs cooperativos

Reproduz-se aqui para um melhor entendimento da metodologia apresentada no Capítulo 5 o

método desenvolvido por Dourado [2005] para a resolução da cinemática de robôs

cooperativos. Apresenta-se por questões didáticas uma aplicação genérica no plano. Casos

espaciais também podem ser resolvidos, mudando-se as cadeias virtuais planas para cadeias

virtuais espaciais.

Seja um sistema composto por dois robôs seriais articulados 3R e uma peça, com três graus de

liberdade no plano, ou seja, translação ao longo dos eixos x e y e rotação sobre o eixo z.

Deseja-se mover a peça ao longo de uma trajetória pré-determinada enquanto uma operação é

executada sobre a peça, como por exemplo, a soldagem de um perfil.

Um robô efetuará o posicionamento e orientação da peça e de agora em diante será

denominado por robô posicionador. O segundo robô será responsável pela execução da tarefa

sobre a peça, e será denominado de robô operador. A Figura 2.14 representa os dois robôs e a

peça.

Figura 2.14 – Robôs cooperativos.

O problema resume-se em encontrar as velocidades das juntas do robô de forma que estes

executem a tarefa de forma sincronizada, isto é, trabalhando em cooperação.

Para que se atinjam as posições e orientações desejadas a peça deverá ter velocidades

específicas, tanto de translação quanto de rotação. Como visto anteriormente essas


velocidades podem ser representadas por heligiros de uma cadeia cinemática virtual PPR.

Considera-se a junção entre a peça e a ferramenta do robô posicionador rígida, logo, a peça

será considerada como extensão da ferramenta. Assim, impõe-se movimento a peça por meio

de uma cadeia cinemática virtual PPR ($px1, $py1, $rz1) e consegue-se o movimento da

ferramenta do robô operador nas direções desejadas por meio de uma cadeia cinemática

virtual PPR ($px2, $py2, $rz2).

Deseja-se ainda, além do movimento que o robô operador efetue uma tarefa sobre a superfície

da peça. Para tanto se faz necessário que a ferramenta do robô posicionador mova-se em

relação à superfície da peça com velocidade adequada. Um sistema de coordenadas fixo a

peça deve ser criado facilitando assim que as velocidades de execução da tarefa sobre a

superfície sejam referenciadas em relação ao sistema da peça.

Essas velocidades são representadas por heligiros, cuja origem coincide com o sistema de

coordenadas da peça. Para evitar uma transformação de coordenadas adicional a origem do

sistema de coordenadas da peça deve ser o ponto de contato entre o efetuador do posicionador

e a peça, assim, quando se gira a peça o sistema fixo a ela também girará, Figura 2.15.

Figura 2.15 - Imposição de movimentos por cadeias virtuais.

Logo que o sistema esteja montado, devem-se definir os helicóides para obterem-se as

equações de resolução do problema. As juntas A, B, C e D, E, F tem seus movimentos

descritos pelos helicóides $A, $B, $C, e $D, $E, $F respectivamente. As cadeias cinemáticas

virtuais PPR1 e PPR2 têm seus movimentos dados pelos helicóides $px1, $py1, $rz1 e $px2,

$py2, $rz2 respectivamente. Incluindo-se as duas cadeias virtuais criam-se dois laços sendo


possível assim utilizar o método de Davies [Campos, 2004; Davies, 1990] para a solução do

problema. A equação de restrição, conforme descrito anteriormente, é dada por:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−−

00

$̂$̂$̂$̂$̂$̂$̂$̂$̂000000$̂$̂$̂000$̂$̂$̂

2

2

2

1

1

1222111

111

rzpypxrzpypxFEDCBA

rzpypxrzpypxFEDrzpypxCBA 2.14

Nesta aplicação o problema é achar as velocidades das juntas dos robôs, o que representa o

problema de cinemática inversa diferencial. Considera-se que as juntas passivas são as juntas

dos robôs reais e lembrando que a equação para o cálculo das velocidades das juntas passivas

é dada pela Equação 2.12, separam-se os helicóides das juntas passivas e ativas obtendo-se a

seguinte equação:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨΨΨ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨΨΨ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

ΨΨ

00

$̂$̂$̂$̂$̂$̂000$̂$̂$̂

$̂$̂$̂000000$̂$̂$̂

2

2

2

1

1

1

222111

111

p

Np

s

Ns

rzpypxrzpypx

rzpypxrzpypxrzpypx

FEDCBA

FEDCBA

2.15

Rearranjando-se os termos da equação e resolvendo para ψs, de acordo com a Equação 2.12,

tem-se:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨΨΨ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨΨΨ

−

2

2

2

1

1

1

222111

1111

$̂$̂$̂$̂$̂$̂000$̂$̂$̂

$̂$̂$̂000000$̂$̂$̂

rzpypxrzpypx

rzpypxrzpypxrzpypx

FEDCBA

FEDCBA

2.16


No método apresentado, a programação é feita de maneira única para todos os mecanismos

envolvidos, e, como o sistema após a inclusão das cadeias cinemáticas virtuais comportasse

como um mecanismo de cadeia fechada devido a restrições impostas pelo método de Davies

[Davies, 1990; Campos, 2004], o efeito de cada mudança em determinada junta é prontamente

sentido pelas juntas de todo o sistema.

2.3 Planejamento de Trajetórias

A geração de trajetórias no espaço cartesiano é realizada geralmente sobre uma superfície. A

identificação desta superfície comumente é feita por meio de uma interpolação numérica, de

onde se extraem as informações de posicionamento ao longo da trajetória definida sobre a

superfície.

No caso da soldagem robotizada, a definição de uma trajetória de soldagem no plano 2D ou

no espaço 3D é de fundamental importância e para tanto se necessitam de informações

auxiliares tais como os vetores tangentes e normais à superfície.

A modelagem da superfície permite obter uma formulação que a represente matematicamente.

Por meio de softwares de CAD podem-se extrair da superfície os pontos do caminho de

soldagem que representam matematicamente a trajetória determinada sobre a superfície.

2.3.1 Curvas, Superfícies e sua Geometria diferencial.

A geometria diferencial busca uma descrição local sobre uma curva ou superfície. Esta

descrição consiste da obtenção das informações sobre os vetores direcionais e a forma da

curva ou superfície [do Carmo, 1976].

Os vetores direcionais de uma curva ou superfície definem como a forma da curva varia em

relação ao referencial. Comumente utilizam-se: o vetor tangente, o vetor normal e o vetor

binormal. Associados aos vetores e às suas respectivas derivadas estão associados os valores

de curvatura e torção que descrevem como estes vetores se alteram em relação a um

referencial espacial. Apresenta-se uma breve descrição sobre a formulação utilizada para

curvas e superfícies no espaço cartesiano.


2.3.1.1 Formulação no espaço cartesiano

A curva é uma entidade geométrica que possui um grau de liberdade, ou seja, é possível

descrevê-la por uma função de uma única variável. Pode-se realizar o equacionamento das

funções de três maneiras básicas [Qiulin and Davies, 1987]:

Função Explícita: ( , )z f x y= ;

Função Implícita: ( , , ) 0f x y z = ;

Função Paramétrica:

( )( ) ( )

( )

x tr t y t

z t

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

.

As formulações explícitas e implícitas são normalmente definidas por funções básicas, tais

como: seno, cosseno, exponenciais, etc. Para aplicação em planejamento de trajetórias de

robôs é pouco provável que se utilize tais formulações pela dificuldade de encontrar uma

formulação simples e que permita uma sistematização para implementação em algoritmos

computacionais.

Além disso, a descrição de uma trajetória requer a obtenção de informações adicionais de

vetores auxiliares sobre a curva que servirão de referência para a descrição da orientação da

ferramenta final e da peça a ser soldada.

Normalmente para descrição e definição de uma trajetória para robôs é mais conveniente

adotar a forma paramétrica. De uma maneira geral, o equacionamento de curvas pela

parametrização possui as seguintes vantagens [Qiulin and Davies, 1987]:

• As equações para cada coordenada são funções de um parâmetro e independentes

entre si;

• Permitem uma sistematização na obtenção das derivadas e integrais de maneira mais

direta e independente;

• Facilitam o armazenamento da curva através de seus parâmetros.


2.3.1.2 Geometria diferencial de curvas

Seja uma curva r(t), parametrizada em t como mostra a Equação 2.17.

,)()()(

)(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

tztytx

trr ℜ⊂∈ ],[ bat , 2.17

onde x(t), y(t) e z(t) são funções diferenciáveis em t.

Uma parametrização particularmente interessante para o planejamento de trajetórias de

soldagem é a parametrização pelo comprimento do arco r(s). Nesta parametrização, adota-se

como parâmetro de um ponto da curva, r(si), o comprimento da curva desde o seu início (s=0)

até o ponto final.

O resultado útil para os propósitos desta tese é que para a parametrização da curva pelo seu

comprimento de arco, a derivada de primeira ordem da curva resulta num vetor unitário

tangente à curva. Este vetor é importante, pois define o primeiro vetor de orientação sobre a

curva.

Referencial sobre a curva

A introdução de um sistema de coordenadas sobre a curva, fixo em r(t) auxilia na descrição e

no levantamento das propriedades da curva.

Pode-se utilizar o conhecido triedo de Frenet como um sistema de coordenadas local. O

sistema de coordenadas de Frenet é composto por três vetores ortonormais: T, vetor tangente;

N, vetor normal e B, vetor binormal.

Para definir este sistema de coordenadas considera-se uma curva parametrizada pelo

comprimento de arco, sendo assim o vetor tangente T unitário é definido por:

dsdrsrT == )( , 2.18


que representa a derivada da curva r(s) em relação ao comprimento de arco.

Geometricamente, este vetor é tangente à curva.

Para a definição do vetor normal N e perpendicular a T, tome-se por base o plano normal a

uma curva. Este plano deve conter o ponto r(s) e é orientado de forma perpendicular ao vetor

T no ponto r(s). Desta maneira o plano normal possui infinitos vetores perpendiculares a T.

Seja o vetor T unitário e como conseqüência o produto escalar 1=⋅TT .Como a derivada do

vetor tangente é perpendicular a T. Então a direção do vetor normal unitário N é definida

pela direção de . Observa-se que T não é um vetor unitário, logo sua relação com N é dada

por:

)(T

T

)()()( sNsksT = , 2.19

onde k(s) é um escalar positivo que descreve a curvatura da curva. A partir de 2.18 e 2.19

pode ser definida por:

)()()( srsTsk == . 2.20

Define-se também:

)()(

1 ssk

ρ= , 2.21

onde é o raio de curvatura da curva, este raio define um círculo tangente à curva com

centro determinado pela direção do eixo N, posicionado em r(s).

( )sρ

O vetor N normalizado, obtido na Equação 2.19, é escolhido como um segundo eixo do

sistema de coordenadas local de um ponto sobre a curva. Uma vez que temos dois eixos

ortonormais definidos e unitários definidos, o vetor binormal é obtido pelo produto vetorial

desses vetores como mostra a Equação 2.22.,

)()()( sNsTsB ×= , 2.22


onde B é o vetor binormal unitário. A direção deste vetor completa o triedo de Frenet com o

terceiro eixo do sistema de coordenadas local. Estes três vetores formam um sistema de

coordenadas ortonormal posicionado sobre a curva r(s), Figura 2.16.

Figura 2.16 – Sistema de coordenadas de Frenet.

Quando a parametrização é realizada sobre um parâmetro t qualquer, o sistema de

coordenadas de Frenet é obtido de uma forma diferente. O vetor T tem a mesma direção do

vetor derivada de r(t). Como a norma do vetor não é unitária, o vetor tangente é calculado

pela normalização de , como mostra a Equação 2.23. ( )r t

)()()(

trtrtT = . 2.23

Para a obtenção dos vetores N e B faz-se necessário utilizar o processo de Gram-Schmidt

[Farin, 2001]. Genericamente os vetores N, e pertencem a um mesmo plano chamado

plano osculante. Sendo assim o vetor B é perpendicular aos vetores e e pode ser

obtido pela relação da Equação 2.24.

)(tr )(tr

)(tr )(tr

(tr(t)r(t)r(t)r)(

××

=tB . 2.24

O vetor N é obtido pelo produto vetorial de T e B: ( ) ( ) ( )N t B t T t= × .


Fórmula de Frenet-Serret

A Equação 2.18 é conhecida como primeira equação das fórmulas de Frenet-Serret. Tais

equações representam as relações entre e os vetores T, N e B. A Equação 2.19 é

definida como a segunda fórmula de Frenet-Serret.

, ,T N B

Utilizando-se as relações anteriores obtêm-se as fórmulas de Frenet-Serret apresentadas na

Equação 2.25.,

erretFrenet de Fórmulas

)()()()()()()()(

)()()()()(

S

sNssBsTsksBssN

sNsksTsTsr

−

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

τ−=−τ=

==

2.25

onde representa a torção da curva e uma condição em que ocorre variação na direção do

vetor binormal. A Figura 2.17 apresenta uma interpretação geométrica das fórmulas de

Frenet-Serret.

( )sτ

Figura 2.17 – Detalhe dos vetores - Sistema de coordenadas de Frenet.

Além do plano osculante dois outros planos são referenciados pelo sistema de coordenadas de

Frenet: o plano retificante e o normal, mostrados na Figura 2.18. Tais planos são úteis na

definição dos ângulos de orientação e deslocamento do processo de soldagem descritos nas

Figuras 2.3 e 2.4 da Seção 2.1.3.


Figura 2.18 – Planos referentes ao sistema de Frenet.

Quando se utiliza uma parametrização t qualquer, a torção e a curvatura podem ser obtidas

pelas Equações 2.26 e 2.27.

3)(

)()()(

tr

trtrtk

×= , 2.26

2))()(()()).()(()(

trtrtrtrtrt

××

=τ . 2.27

2.3.2 A parametrização de curvas e a geração de trajetórias

A trajetória a ser percorrida por um robô na execução de uma tarefa no espaço cartesiano,

pode ser definida por um conjunto de pontos pertencentes a uma curva parametrizada r(t). Ao

parametrizar, tem-se o controle do espaçamento entre os pontos determinando-se assim uma

discretização da curva por meio de incrementos do parâmetro t a cada passo de um valor ∆t.

Sejam e pontos consecutivos pertencentes a uma trajetória no espaço cartesiano.

Sabe-se que os controladores de robôs utilizam-se da técnica de controle independente por

junta e por essa razão, as posições dos atuadores das juntas correspondentes aos pontos e

são calculadas por meio de cinemática inversa.

)( itr )( ttr i ∆+

)( itr

)( ttr i ∆+


Ao realizarem-se movimentos entre os dois conjuntos de posições angulares os deslocamentos

intermediários da ferramenta irão depender da configuração cinemática no instante e da

magnitude do incremento .

it

t∆

A fundamentação teórica apresentada aplica-se à geração de trajetórias isoladas, caso típico da

soldagem robotizada onde cada cordão pode ser considerado como uma única trajetória.

Procura-se uma forma sistematizada para obtenção de uma seqüência de trajetórias que

consistem em curvas parametrizadas sobre superfícies. Estas seqüências de curvas

parametrizadas deverão privilegiar a posição plana de soldagem e as informações extraídas

destas curvas servirão de referência para a descrição da orientação da tocha ao longo da

trajetória e da orientação da peça a ser soldada.

2.3.2.1 Superfícies parametrizadas

Geometricamente falando uma superfície possui dois graus de liberdade, ou seja, para

construir uma superfície são necessárias duas variáveis. Assim como na formulação de

curvas, a forma mais usual de representar uma superfície é a forma parametrizada. Na

representação paramétrica, cada coordenada de ponto da curva depende de variáveis

adicionais, parâmetros u e v, e estão desacopladas ou linearmente independentes. A

formulação parametrizada de uma superfície tem a seguinte forma:

[ ] 2

vu

onde ,),(),(),(

),( ℜ⊂∈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== ba

vuzvuyvux

vurr

2.28

onde as coordenadas cartesianas x, y e z de um ponto sobre a superfície são diferenciáveis em

relação aos parâmetros u e v. Os parâmetros u e v constituem o espaço paramétrico que tem

um retângulo [a,b] como limites.

1ª forma fundamental

Seja uma curva sobre uma superfície r(u, v) definida por uma parametrização do espaço

paramétrico u(t) e v(t) em t, Figura 2.19. O comprimento do vetor tangente da curva

resultante pode ser obtido a partir da fórmula:


tv

vr

tu

urvur

dtdr

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

== ),( , 2.29

ou

vrurdtdrvur vu +==),( . 2.30

O vetor descreve o vetor tangente à curva num ponto sobre a curva r(u,v), com u e v

parametrizados em t representado na Figura 2.19.

( , )r u v

Figura 2.19 – Visualização do vetor tangente no espaço paramétrico.

Para o cálculo do comprimento do vetor tangente tem-se:

[ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅⋅

=

+++++==

vu

Ivu

vu

rvrvrvrurvrururu

vu

vrurvrurvrurdsr vzuzvyuyvxux

][][][ 22222

, 2.31

onde I é chamada de 1ª forma fundamental da geometria clássica de curvas e superfícies

[Qiulin and Davies, 1987; Farin, 2001].


2ª forma fundamental

Tomando-se a Equação 2.29 obtém-se a derivada de 2ª ordem para a curva sobre uma

superfície conforme a Equação 2.32.

tvrv

trvu

vrvu

ur

turu

trr

dtrd

vvuv

uu

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

==2

2

. 2.32

Pode-se reescrever a Equação 2.32 como segue

vrurvrvururr vuvvuvuu ++++= 22 2 . 2.33

Reparametrizando-se a curva r(t) pelo comprimento do arco tem-se

))(()( tsrtrr == . 2.34

Obtêm-se então as derivadas de 1ª e 2ª ordem

sTsTr

sTsrdtds

dsdrr

+=

=== , 2.35

substituindo-se na relação 2.19 tem-se

sTskNr += , 2.36

onde N é o vetor normal e k a curvatura da curva sobre a superfície. Igualando-se a Equação

2.33 com a Equação 2.36 e realizando-se o produto escalar desta igualdade pelo vetor normal

da superfície tem-se a seguinte relação:

vNvuMuLrk ++=φ 2)cos( 22 , 2.37

onde


• uurnL ⋅=

• uvrnM ⋅=

• vvrnN ⋅=

• n é o vetor normal à superfície definido por vu

vu

rrrrvun

××

=),(

• , é o cosseno do ângulo formado entre a normal da curva com a normal da

superfície, Figura 2.20.

nN ⋅=φ)cos(

Figura 2.20 - Ângulo entre a normal da curva N e a normal à superfície n.

A relação descrita pela Equação 2.37 é conhecida como 2ª forma fundamental da geometria

clássica. O ângulo φ, para efeitos de cálculo, pode ser considerado nulo [Qiulin and Davies,

1987], ou seja, o vetor normal da curva N é coincidente com o vetor normal a superfície n.

Pode-se reescrever a Equação 2.37 na sua forma matricial, considerando-se 1)cos( =φ , tem-

se:

[ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∏=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⋅⋅

=

+⋅+⋅=

vu

vu

vu

rnrnrnrn

vu

vnrvurnurnrk

vvuv

uvuu

vvuvuu

2 222

. 2.38


Relacionando-se os resultados das Equações 2.38 e 2.31, pode-se obter a curvatura da curva

descrita sobre uma superfície pelo círculo denominado osculante e definido pelos vetores T e

n, como mostra a Figura 2.21.

Figura 2.21 – Círculo osculante.

Comparando-se os resultados obtidos na Equação 2.38 com os resultados da Equação 2.31

tem-se que:

[ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∏

=

vu

Ivu

vu

vuk

. 2.39

O parâmetro k determina a curvatura de um círculo, ou de maneira estendida, para uma esfera

osculante num ponto r(u, v) sobre a superfície.

A 1ª forma fundamental, a 2ª forma fundamental e a curvatura são parâmetros que serão

utilizados na determinação das trajetórias de soldagem robotizada. A utilização desses

parâmetros será apresentada no Capítulo 4, onde se descreve a utilização desses parâmetros na

metodologia proposta para o planejamento de trajetórias de soldagem.


2.3.3 Formulação de curvas e superfícies

A formulação de curvas e superfícies consiste em encontrar uma equação que interpole e se

ajuste a cada par de pontos definidos no espaço cartesiano de acordo com sua localização e

condições derivadas locais. Para o caso da soldagem robotizada a modelagem de curvas e

superfícies parametrizadas por meio de equações polinomiais deve ser obtida de tal maneira

que exista uma condição de continuidade entre os segmentos consecutivos de curva em

relação às derivadas nos pontos conhecidos.

Nesta seção descreve-se a modelagem de curvas e superfícies parametrizadas por meio de

equações polinomiais em função dos parâmetros: u e v. Existem vários tipos de metodologias

de interpolação utilizadas para a formulação de curvas parametrizadas, curvas de De

Casteljau, curvas de Bézier, Curvas de Hermite, etc. Para o caso da soldagem robotizada

utiliza-se a abordagem por polinômios de Hermite que se apresentam mais adequados para

utilização na metodologia proposta nesta tese.

2.3.3.1 Curvas de De Casteljau

As curvas construídas pelo algoritmo de De Casteljau são conhecidas como curvas de Bézier

e as funções de mistura são chamadas de base Bézier ou polinômios de Bernstein. As curvas

de De Casteljau são uma generalização da interpolação linear parametrizada apresentada na

Equação 2.40.

1010 )1( tbbtb +−= 2.40

onde é um ponto definido no espaço cartesiano pertencente a uma reta ente os pontos b10b 0 e

b1 no intervalo . ]1,0[∈t

Este conceito pode ser estendido para a representação de uma parábola. Sejam três pontos no

espaço cartesiano, . A interpolação linear entre os pontos em função de

t é dada por:

3210 ,, ℜ∈bbb 210 ,, bbb

212

1

1010

)1(

)1(

tbbtb

tbbtb

+−=

+−= . 2.41


Realizando-se uma segunda interpolação linear com os pontos obtido na Equação 2.41 obtém-

se: 2

110

20 )1( tbbtb +−= . 2.42

Substituindo-se a Equação 2.30 em 2.42, tem-se:

22

1020 )1(2)1( btbttbtb +−+−= . 2.43

Graficamente pode-se representar o método utilizado como na Figura 2.22.

Figura 2.22 – Parábola obtida com algoritmo de De Casteljau.

Generalizando-se este resultado para um polinômio de ordem superior, tem-se:

)()()1()( 11

1 ttbtbttb ri

ri

ri

−−

− +−= 2.44 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−==

rninr

,,0,,1

……

Curvas de Bézier

As curvas construídas pelo algoritmo de De Casteljau são conhecidas como curvas de Bézier

e as funções de mistura são chamadas de base Bézier ou polinômios de Bernstein.

Da Equação 2.44 é possível encontrar os polinômios de Bernstein na forma genérica como

mostra a Equação 2.45.

,)1()( inini tt

in

tB −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2.45


Onde o coeficiente binormal é dado por:

⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

0)!(!

! niseini

n

in

2.46

A correspondência entre os polinômios de Bernstein e os pontos de controle de Bézier, do

algoritmo de Casteljau, é dada por:

∑=

==n

j

njj

nn tBbtbtb0

0 )()()( . 2.47

Derivadas da curva de Bézier

As derivadas, inicial e final da curva de Bézier são referências para a descrição de

continuidade dos segmentos da curva e são representadas a seguir.

[ )()()1()( 111

1 tBtBnttin

dtdtB

dtd n

ini

nini

−−−

− −=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ] . 2.48

Logo, pode-se calcular a derivada da curva de Bézier como

1 11

0( ) ( ) ( )

nn n ni i

j

d b t n B t B t bdt

− −−

−∑ j⎡ ⎤= −⎣ ⎦ 2.49

Que pode ser reescrita como

∑−

−

−∆=1

0

1 )()(n

j

nij

n tBbntbdtd 2.50

A formulação recursiva e a sistematização de algoritmos para o cálculo de derivadas tornam a

curva de Bézier uma alternativa adequada à interpolação de curvas e superfícies

parametrizadas.


2.3.3.2 Polinômios de Hermite

Sabe-se que o valor das derivadas iniciais e finais de um segmento de curva entre os pontos

conhecidos determina a forma final da curva. Para um dado conjunto de pontos pi sobre a

curva é desejável que se mantenha sobre cada ponto conhecido a continuidade das derivadas.

Para o primeiro e último pontos sucessivos, referentes às extremidades, as derivadas devem

ser estimadas. A estimativa da derivada inicial para o ponto po pode ser obtida considerando-

se os dois primeiros pontos po e p1 pertencentes a uma reta, calculando-se assim a derivada

desta reta. Existem métodos mais sofisticados para interpolação, esses interpolam parábolas

(para três pontos) ou funções cúbicas (quatro pontos) por métodos de Lagrange, de onde se

obtém a derivada inicial. A mesma metodologia pode ser aplicada recursivamente a partir do

último ponto pn, considerando-se os pontos anteriores (pn-1, pn-2,...) como referência de

cálculo.

O caso mais utilizado na prática é o polinômio cúbico do qual são conhecidos dois pontos po e

p1 e estimadas as respectivas derivadas inicial m0 e final m1. O objetivo é encontrar o

polinômio b3(t) que interpola estes dois pontos.

Seja o parâmetro t variando no intervalo [ ] ℜ∈10 tem-se que:

13

13

03

03

)1(

)1(

)0(

)0(

mb

pb

mb

pb

=

=

=

=

. 2.51

Para escrever o polinômio cúbico de Bézier deve-se, encontrar os quatro pontos de controle

b0, b1, b2 e b3. Sabe-se que os pontos de controle das extremidades coincidem com os pontos

conhecidos, logo:

1300 , pbpb == , 2.52

Obtêm-se os outros dois pontos resolvendo-se a Equação 2.51, para , logo: 3n =

,3)0( 03 bb ∆= , 2.53 2

3 3)1( bb ∆=


De onde b1 e b2 podem ser determinados pelas equações:

,31

001 mpb += ,31

112 mpb −= 2.54

Rearranjando-se a Equação 2.54 e colocando-se numa forma explícita o polinômio

interpolante de Bézier tem-se:

)()()()31()()

31()()( 3

3132

1301

3100

30 tBptBtBmptBmptBptp o +++++= 2.55

Rearranjando-se o polinômio, tem-se:

)()()()()( 331

321

310

300 tHptHmtHmtHptp +++= 2.56

onde:

)()()(

)(31)(

)(31)(

)()()(

33

32

33

32

32

31

31

31

30

30

tBtBtH

tBtH

tBtH

tBtBtH

+=

−=

=

+=

2.57

Os elementos da Equação 2.57 são conhecidos como polinômios de Hermite para Splines

cúbicas.

2.4 Levantamento da linha do cordão de solda

Uma célula típica de soldagem compreende normalmente um robô manipulador de 6 graus de

liberdade, um posicionador e opcionalmente um robô de pórtico. Tal configuração representa

um sistema cinemático redundante que normalmente não possui uma solução fechada para a

cinemática inversa dos dispositivos.

Usando pacotes computacionais tais como: IGRIP, ROBCAD, WORKSPACE, CATIA,

SOLIDWORKS, o processo de identificação e geração de trajetórias é automatizado e


utilizado para gerar a cinemática direta/inversa para os robôs, mas somente a cinemática

direta para os posicionadores.

A localização espacial de um dado objeto, normalmente um corpo rígido, pode ser definida

por um sistema de coordenadas (com seis parâmetros independentes). No entanto, definir a

linha do cordão de solda necessita de um esforço adicional que depende do tipo de junta

soldada e da posição relativa desta junta soldada em relação à tocha de soldagem durante toda

a trajetória de soldagem.

Conforme descrito na Seção 2.3.1.2, a introdução de um sistema de coordenadas sobre a

curva, auxilia na descrição e no levantamento das suas propriedades. Introduz-se o sistema de

coordenadas de Frenet, composto por três vetores ortonormais (T, tangente; N, normal e B,

binormal) posicionados sobre a curva e os planos osculante, retificante e o normal

representados na Figura 2.23. Esta figura apresenta os planos e vetores utilizados na definição

dos ângulos de orientação e deslocamento do processo de soldagem.

Figura 2.23 - Definição da geometria do cordão, planos e vetores.

Diversas técnicas são utilizadas para que a linha do cordão de solda seja levantada semi-

automaticamente ou automaticamente. Para a obtenção da linha do cordão podem ser usadas

as seguintes técnicas: sistemas de medição laser, câmeras de vídeo, braços de medição e

programas de CAD.


Sistemas de medição Laser: Sistemas acoplados à ferramenta do robô capazes de efetuar uma

varredura ao longo da junta e a partir da utilização de técnicas de reconhecimento de imagens,

identificar e corrigir o posicionamento da tocha ao longo da junta. Em Ishida [1994], Figura

2.24, tem-se acoplado a tocha do robô um sistema detector de bordas para a determinação dos

limites do chanfro e da linha central. Em Bonacorso [2004], acopla-se um laser a um robô de

recuperação de rotores de turbinas hidráulicas de grande porte, ROBOTURB, e aplica-se uma

técnica de reconhecimento da região de aplicação da soldagem, assim como técnicas de

geração automática de trajetória.

Figura 2.24 – Sensor óptico para varredura, [Ishida, 1994].

Câmeras de vídeo: Uma alternativa para a determinação da geometria seria a utilização de

câmeras de vídeo. Técnicas utilizando visão estéreo e fusão de sensores podem ser utilizadas

para a obtenção de informações 3D a partir de diversas vistas do mesmo objeto. Algumas

referências podem se encontradas em [Motta, 2001; Nerosky, 2001; Souza, 2003; Hornung,

2004].

Braços de medição: Consistem de uma possibilidade não automatizada, mas ainda assim

reduzem o tempo de aquisição de dados da peça e da geometria do cordão. Por não necessitar

o reposicionamento da peça nem do robô a cada ponto da trajetória este método reduz o

tempo de programação e ainda pode ser feito fora da linha de produção. A varredura pode ser

feita ponto a ponto ou contínua sobre a trajetória. A Figura 2.25 apresenta a estrutura de um

braço de medição.


Figura 2.25 – Alguns modelos de braços de medição.

Programas de CAD: Permitem o levantamento das coordenadas dos pontos de um objeto com

qualquer geometria no espaço bidimensional ou tridimensional por meio das ferramentas

oferecidas no pacote utilizado ou desenvolvidas pelo próprio usuário. A Figura 2.25 apresenta

a estrutura de um braço de medição. Esses pontos são obtidos fora da linha de produção e

armazenados em um banco de dados com informações pertinentes a geometria da peça. A

Figura 2.26 apresenta uma interface para o levantamento da geometria de uma peça por meio

de um programa de CAD.

Figura 2.26 – Extração dos pontos da geometria.


A extração dos pontos da trajetória nesse trabalho será feita automaticamente e descrita em

detalhes no Capítulo 6.

Maiores detalhes sobre a utilização de programas de CAD na extração de pontos e geração de

trajetórias de soldagem podem ser encontrados nas seguintes referências [Zheng and Luh,

1985; Tarn, 1986; Bolmsjo, 1989; Ahmad and Luo, 1989; Tao, 1990; Bolmsjo and Nikoleris,

1993; Xi, 1996; Johnson and Marsh, 1998; Tzafestas, 1998; Carvalho, 1998; Penz, 2001;

Helms, 2002; Norberto Pires, 2004; Hackel, 2004].

CAPÍTULO 3 – ANÁLISE DO ESTADO DA ARTE 63

CAPÍTULO 3 - ANÁLISE DO ESTADO DA ARTE

3.1 Introdução

Alguns trabalhos relacionados à tarefa de soldagem a arco foram desenvolvidos visando a

solucionar o problema de cooperação de robôs por meio dos métodos tradicionais baseados

em relações cinemáticas, relatados por Agapakis [1990], Jouaneh [1990] e Kasagami [1992].

Em Agapakis, a coordenação de movimentos é obtida pela gravação de pontos muito

próximos e em grande número em dois dispositivos capazes de repeti-los coordenadamente, o

que é possível graças à arquitetura de controle centralizada utilizada. Tal arquitetura

preocupa-se unicamente com a repetição dos pontos e não considera explicitamente a

geometria e a trajetória da peça.

Em Jouaneh, o artigo apresenta o planejamento de trajetórias para o movimento coordenado

de um robô e uma mesa posicionadora. Tal estratégia utiliza-se de transformações de

coordenadas e é aplicada para uma peça com geometria regular.

Posições sucessivas de soldagem, idealizadas por Kasagami [1992], são mostradas na Figura

3.1. Conforme apresentado nesta figura, a tocha mantém a orientação constante em relação à

linha de referência da peça. Apesar de a solução adotada representar uma solução ideal para a

soldagem (posição plana), não foi considerada na solução a geometria da peça e, além disso, a

programação é feita ponto a ponto nos dois robôs, conforme Figura 3.2, utilizados para a

tarefa e nenhum tratamento de singularidades é mencionado.

Figura 3.1 - Soldagem na posição plana.


A peça a ser soldada tem seção reta elíptica, conforme Figura 3.1. O sistema de controle

consiste de dois controladores e de um computador para a coordenação das tarefas. Por meio

de um teach pendant, as relações entre a peça e a tocha de soldagem são obtidas. Depois os

dados são transferidos para o computador central que coordenará os movimentos entre os dois

robôs.

A programação define o movimento coordenado da ferramenta e da tocha como apresentado

na Figura 3.2. Baseando-se no relacionamento das matrizes de transformação homogênea, o

programa gera as trajetórias cartesianas das extremidades dos robôs, de soldagem e de

posicionamento. A trajetória cartesiana dos robôs é convertida para ângulos de junta usando o

procedimento de cinemática inversa.

Figura 3.2 – Sistema de coordenadas.

No movimento coordenado, a relação posição-orientação entre dois órgãos terminais pode ser

descrita usando a formulação clássica dada em Paul [1982].

. WCM* Tool* T6 = Tool* T6* Base PPWTWT 3.1

As variáveis T6WT, ToolWT, T6p, Toolp, Base e WCM, da Equação 3.1, são matrizes de

transformação homogênea, 4x4. Os valores numéricos da matriz WCM dependem da tarefa de

soldagem, quando a operação de soldagem está em andamento. Os movimentos relativos dos

dois robôs estão limitados e a posição e a orientação permanecem as mesmas. Assim, WCM é

uma matriz constante. Quando a trajetória cartesiana do posicionador é especificada, a

trajetória cartesiana correspondente ao robô posicionador da peça pode ser determinado pela

Equação 3.1. Pode-se, conseqüentemente, encontrar a transformação T6WT pela seguinte

equação.

.) (Tool* WCM* Tool* T6 * Base = T6 -1WTPP

-1WT 3.2


Os ângulos das juntas do robô posicionador da ferramenta podem ser obtidos usando a

cinemática inversa. Kasagami afirma que o método de teach and play-back é usado porque

erros mecânicos são inevitáveis em robôs industriais, mas estes erros podem ser compensados

durante a tarefa de ensinamento sem o uso de sensores adicionais.

Inúmeros trabalhos investigaram a questão do posicionamento relativo entre a tocha e a junta,

utilizando o robô como ferramenta para a soldagem [Bolmsjö e Nikoleris, 1993; Pashkevich,

1997; Pashkevich et al, 2003]. Estes desenvolveram estratégias para obterem as relações

espaciais que representam o posicionamento de sistemas de soldagem compreendendo um

robô manipulador e um posicionador. Destaca-se que exploraram as relações cinemáticas

entre os mecanismos de posicionamento da peça e da tocha e não levaram em consideração as

restrições geométricas da peça.

Os métodos tradicionais são utilizados para resolver problemas de cooperação usando

cinemática de posição. Esses métodos utilizam-se da convenção de Denavit-Hartenberg

[Sciavicco e Siciliano, 1996], e apresentam restrições de aplicação.

Os processos de robotização da soldagem [Romano, 2002] e cooperação entre robôs têm

focado a atenção na possibilidade de se obter qualidade e produtividade, com a concomitante

redução de tempo e custos na produção de um determinado produto.

A cooperação entre robôs é caracterizada por ações que acontecem de forma coordenada para

realizar uma tarefa ou atingir um objetivo comum. Os robôs cooperam entre si para executar

uma tarefa bem definida, geralmente quando um só robô não é capaz de fazê-lo. Um bom

exemplo da necessidade de cooperação entre robôs aparece na indústria, quando se deseja

soldar uma peça onde a geometria da peça dificulta o processo de planejamento das trajetórias

de soldagem.

A coordenação de sistemas com múltiplos robôs, manipuladores ou móveis vem recebendo

grande atenção dos pesquisadores desde a década passada [Hirose, 1996; Simmons, 2000;

Caccavale, 2001; Penz, 2001] e podem-se identificar na literatura três tipos principais de

estratégias de controle. A primeira estratégia diz respeito ao controle "master-slave" [Zheng,

1985; Arimoto, 1987], onde um manipulador está sob a ação do controlador de posição e o(s)

outro(s) controlado(s) pelo controle de força, mantendo-os dentro das restrições impostas pelo


modelo. A segunda estratégia de controle utiliza uma arquitetura de "controle centralizado”

[Tarn, 1986; Yoshikawa, 1988; Koivo, 1991; Wen, 1991] onde os robôs e a carga são

considerados como uma cadeia cinemática fechada. Este método considera a modelagem do

conjunto robô/carga como um único modelo dinâmico. A terceira estratégia é o "controle

descentralizado” [Hsu, 1989; Kosuge, 1993; Liu, 1996; Xi, 1996], no qual cada robô é

controlado independentemente.

A grande maioria das abordagens considera a situação onde múltiplos manipuladores estão

fisicamente conectados entre si em tarefas de montagem [Xu, 1998; Chiaverini, 1999] e não

exploram com profundidade o problema de coordenação, quando os robôs não estão sujeitos à

restrições, mas desempenham uma tarefa em conjunto. Uma das características mais

importantes neste processo é a sincronização dos movimentos.

Trabalhos foram relatados na literatura a respeito da cooperação e/ou coordenação de robôs.

Alford e Belyeu [1984], por exemplo, focaram o problema de usar dois manipuladores para

mover um objeto, mantendo-o paralelo ao plano xy. Zheng e Luh [1990] estenderam o uso de

condições de contorno do movimento para o planejamento coordenado do movimento de dois

robôs que seguram tipos diferentes de objetos. Tais trabalhos apresentam-se como motivação

para o desenvolvimento de uma metodologia para o planejamento de trajetórias em soldagem

robotizada, visto que as condições de contorno do problema, nesse caso a posição plana, ainda

não foram completamente equacionadas por meio de técnicas clássicas como as apresentadas

por tais autores.

A condição de soldagem mais prática é a condição plana, que não é garantida apenas pelo

posicionamento relativo entre o cordão e a tocha. Faz-se necessário que o vetor velocidade de

deslocamento da tocha seja perpendicular ao vetor aceleração da gravidade durante todo o

período de execução da solda. É essencial, então, coordenar o movimento da configuração

cinemática de modo a garantir a condição plana da solda movimentando-se a peça que está

sendo soldada em relação ao robô soldador.

É importante observar que, para que a movimentação e demais eventos do processo ocorram

de maneira sincronizada e eficiente, faz-se necessário obter informações sobre o estado dos

agentes envolvidos, seja por meio de comunicação explícita ou pelo uso de sensores.


Os resultados desses trabalhos, contudo, não apresentam uma contribuição efetiva para o

planejamento de trajetórias mantendo-se a posição plana. Propõe-se neste trabalho uma nova

metodologia para o tratamento do planejamento de trajetórias de soldagem robotizada

privilegiando a posição plana. Para a validação da proposta desta tese pretende-se executar

simulações, verificando-se as vantagens do uso da teoria dos helicóides e das cadeias virtuais

no planejamento de trajetórias de soldagem robotizada.

CAPÍTULO 4 – EXEMPLO DE APLICAÇÃO: QUADRO DE BICICLETA 68

CAPÍTULO 4 - EXEMPLO DE APLICAÇÃO: QUADRO DE BICICLETA

A fim de melhorar o entendimento do problema a ser resolvido descreve-se um estudo sobre a

cooperação entre um robô Motoman SK6 utilizado como soldador e um motor de passo

controlado por um PC como posicionador (que pode ser considerado como um robô de uma

junta) utilizando o processo GMAW (Gas Metal Arc Welding) para a soldagem de uma peça

de alumínio de um quadro de bicicleta. Na Figura 4.1 apresenta-se o quadro de bicicleta o

perfil retirado para o ensaio e o dispositivo montado para efetuar a soldagem.

Figura 4.1 - Quadro da bicicleta e perfil retirado do quadro.

Para tanto foi desenvolvida uma metodologia [Neto, 2004], para o cálculo da trajetória e

velocidades relativas entre tocha e peça, um sistema de comunicação entre o robô e a estação

de controle, responsável pela sincronização dos movimentos do robô e do sistema de controle

do motor de passo, e uma garra para fixação da peça ao conjunto mesa e motor de passo.

O objetivo desse estudo é gerar um cordão sobre o tubo, suavizando-se a trajetória do perfil

em relação à trajetória da tocha do robô.

4.1.1 Mapeamento do Perfil da Peça

Antes de proceder-se a soldagem faz-se necessário o mapeamento da peça a ser soldada,

buscando-se uma aproximação da geometria da peça para obtenção de uma trajetória

aproximadamente linear. Inicialmente utilizou-se uma imagem da seção transversal do perfil

Figura 4.2 como referência para o ajuste.


Figura 4.2 - Seção transversal do perfil do quadro da bicicleta.

Utilizando um software de CAD, modelou-se o perfil, dividindo-o em três segmentos

representados por equações de circunferências, conforme o esquema mostrado na Figura 4.3.

Figura 4.3 – Divisão da trajetória em segmentos.

As equações paramétricas 4.1 a 4.3 a seguir representam os trechos 1, 2 e 3 respectivamente:

2 2 218,56 18,56 0,28x y x+ = − ≤ ≤ 4.1

2 2 2( 1,01) ( 105,32) 123,88 0,28 27,21x y x+ + + = ≤ ≤ 4.2

2 2 2( 24,56) ( 3,84) 11,77 27,21 36,33x y x+ + + = ≤ ≤ 4.3

A partir destas equações obtêm-se todos os pontos ao longo da trajetória do perfil de forma

algébrica. Como a peça será movimentada por um motor de passo, calculam-se 200 pontos ao

longo do perfil para uma rotação de 180º do motor obtendo-se assim o valor de todos os

pontos por onde a solda será depositada a incrementos angulares de 0,9°.

Esses pontos podem ser obtidos calculando-se as interseções entre, o ponto localizado na

equação paramétrica que modela o trecho do perfil e segmentos de reta de origem no centro

de rotação da peça3, variando-se o ângulo conforme Equação 4.5.

3 Considerado convenientemente como a origem do sistema de coordenadas


22 2( ) ( )k c k cx x y y r+ + + = , 4.4

(0,9 )ky tg k xk= . 4.5

Arranjam-se então os dados em uma tabela com as coordenadas cartesianas e polares de todos

os 200 pontos.

4.1.2 Cálculo das Velocidades Relativas

Deve-se agora calcular a posição e velocidade de cada um dos pontos e do ponto central da

ferramenta TCP (Tool Center Point) da tocha, para satisfazer instantaneamente as condições

da solda plana em cada ponto da trajetória.

A primeira condição para a solda na posição plana é que a velocidade da tocha seja

perpendicular à aceleração da gravidade no local da solda. Além disso, deve-se satisfazer a

uma outra condição, que impõe que a velocidade relativa entre a tocha e o perfil deve manter-

se constante, no local da solda durante todo o intervalo de tempo. Como o perfil varia ao

longo da trajetória, as velocidades da tocha e do motor de passo também devem variar.

Para cada um dos 200 pontos mapeados, calculam-se o ângulo do motor em que a tangente

seja zero (posição horizontal). Na Figura 4.4, deseja-se saber para quais valores de θi a

tangente no ponto 2 é nula.

Figura 4.4 - Posicionamento ideal dos pontos.

\


iyA tangente em um ponto será nula quando a condição 1iy − = for válida, ou seja:

1 2

1 1 2( ) ( )y yr sen r sen 2

=θ = θ

, 4.6

o que é verdadeiro para:

21

1 2

(0,9)arctancos(0,9)

r senr r

⎛ ⎞θ = ⎜ −⎝ ⎠

⎟ . 4.7

Uma das condições para efetuar a soldagem na posição plana impõe que o cálculo das

velocidades relativas entre a tocha e o perfil deve manter-se constante durante o movimento

entre o motor e a tocha. Na Figura 4.5 apresenta-se na linha cheia A o sentido de rotação do

motor de passo e na linha pontilhada B o sentido de rotação do robô.

Figura 4.5 - Velocidades Relativas.

Sendo o ponto 1' a posição ideal para que ocorra a solda no ponto 1, e a posição 2' a ideal para

que ocorra a solda no ponto 2, o robô que carrega a tocha deve percorrer o perfil deslocando-

se no sentido de 1' para 2', enquanto o robô posicionador da peça deslocasse do ponto 2 para

2'. Os dois movimentos devem ocorrer durante o mesmo intervalo de tempo, t, e são definidos

pela velocidade de soldagem Vs.

Seja Vr a velocidade linear de deslocamento da tocha e Vm a velocidade tangencial do ponto 2,

tem-se:

rr

SVt

∆= , 4.8

mm

SVt

∆= . 4.9


Monta-se então o sistema de equações:

mr

r m

r m

SSV V

V V V

∆∆⎧ =⎪⎨⎪

s+ =⎩

. 4.10

Tem-se, ainda que a velocidade tangencial do ponto 2 é:

2mS r∆ = ∆θ . 4.11

E a velocidade linear da tocha é:

22 1 1( )rS r r r∆ = + + ∆θ . 4.12

Tem-se, assim:

,

.

s mm

r m

r s m

V SVS

V V V

∆=∆ + ∆

= − 4.13

4.1.3 Definição do número de experimentos

Em experimentos que envolvem o estudo dos efeitos de dois ou mais fatores, pode ser

mostrado, que em geral, Projetos Fatoriais são mais eficientes. Num projeto fatorial propõe-

se que, em cada experimento completo ou em réplica deste, todas as combinações possíveis

dos níveis dos fatores sejam investigadas.

Os níveis de um fator representam à quantidade de valores, distintos, que ele assume durante a

execução dos experimentos. O efeito do fator é definido como sendo a mudança na resposta

produzida por uma alteração do nível do fator. A este efeito atribui-se o nome de principal

justamente por referir-se aos fatores fundamentais de interesse no experimento.

Em outros trabalhos relatados na literatura [Kim, 1996; Carvalho, 1998; Allen, 2002; Kim,

2003] utiliza-se a técnica do projeto fatorial e pode-se verificar que a diferença na resposta

entre os níveis de um fator não é a mesma em todos os níveis dos outros fatores.


Existem vários casos especiais de projeto fatorial genérico, que são importantes e largamente

utilizados em trabalhos de pesquisa. O primeiro destes casos especiais é aquele de "K" fatores,

cada um em apenas dois níveis. Estes níveis podem ser quantitativos ou qualitativos. Uma

investigação completa do projeto requer 2K observações. Ele é chamado de projeto fatorial 2K.

O segundo caso especial é aquele de K fatores, cada fator em três níveis, que necessita de 3K

investigações e é chamado projeto fatorial 3K.

Neste trabalho utilizar-se-á o projeto fatorial 3K, cada fator terá três níveis e serão usados três

parâmetros de soldagem configurando-se um total de 27 experimentos. Maiores detalhes

encontram-se no Anexo I.

4.1.4 Montagem do experimento

Baseado nos procedimentos descritos foi montado um experimento para soldagem do perfil. O

robô que carrega a tocha é um robô Motoman, modelo SK6, de 6 graus de liberdade conforme

Figura 4.6.

Figura 4.6 - Robô Motoman SK6.

Para o robô posicionador, seria desejável um robô de arquitetura aberta, que fosse possível a

implementação de um algoritmo para variação das velocidades, previamente calculadas. No

entanto, para a peça em questão seria suficiente apenas um grau de liberdade de movimento

(giro da peça), optou-se por utilizar um motor de passo apresentado na Figura 4.7.


Figura 4.7 - Motor de passo (posicionador da peça).

4.1.5 Comunicação entre os robôs

Para que a cooperação entre robôs seja executada corretamente, deve haver comunicação

entre eles, possibilitando que os robôs mantenham a coordenação dos movimentos durante

todo o processamento da trajetória.

Essa comunicação utiliza um sinal de saída da placa de controle do motor de passo e um sinal

de entrada do controlador do robô SK6. A comunicação unilateral, nesse caso, é suficiente, já

que o movimento do robô soldador é previamente conhecido, e são necessários apenas pontos

de sincronismo entre as tarefas.

O diagrama da Figura 4.8 apresenta a evolução dos sinais ao longo do ciclo de operação do

programa e os respectivos sinais de controle de cada dispositivo.

Figura 4.8 - Ciclo de Operação.


4.1.6 Programação dos dispositivos

O programa de controle do “robô" controlador do processo (Computador com software de

controle do motor de passo) foi implementado em linguagem C++ para acionar o driver do

motor de passo com as seqüências de velocidades calculadas como descrito nas seções

anteriores. A Figura 4.9 apresenta a estrutura do hardware utilizada para o controle e

acionamento.

Figura 4.9 - Driver do motor de passo, fonte e PC

O robô soldador foi programado marcando-se pontos sobre a peça e definindo-se as 3

trajetórias, como observado na Figura 4.3. O mapeamento dos raios, referentes aos pontos da

trajetória do robô, podem ser vistos na Figura 4.10.

Figura 4.10 - Mapeamento do perfil da peça em função dos raios.


A Figura 4.10 representa o perfil da peça, descrito pelos raios calculados para cada um dos

200 pontos distribuídos ao longo dos três segmentos definidos na Figura 4.3. E a partir de

cada um deles definem-se os movimentos do robô e do motor de passo de forma síncrona.

Salienta-se que o procedimento adotado permite a suavização da trajetória ao longo da linha

do cordão de solda, no caso do perfil funciona como se a trajetória da Figura 4.10 fosse

projetada sobre um plano perpendicular a tocha do robô. Para o robô soldador, a peça

apresenta-se, no sentido de posicionamento cartesiano, na posição horizontal em relação ao

ponto central da ferramenta, o que garante a melhor condição de soldagem para cada ponto da

trajetória.

Tratando-se de trajetórias complexas, a dificuldade se torna muito maior, mas com a aplicação

da metodologia de cálculo das velocidades e movimentos consegue-se equilibrar de forma

suave o movimento da tocha ao longo do perfil e com a aplicação de parâmetros adequados, o

resultado pode ser comparável ao obtido por Vieira [2003].

Diante dos resultados obtidos verificou-se a viabilidade de obter a cooperação entre robôs na

soldagem de peças complexas, por meio do equacionamento de suas geometrias. Devem-se

levar em consideração as dificuldades do experimento, principalmente o fato de utilização de

um robô posicionador com apenas um grau de liberdade, além das dificuldades inerentes ao

processo de soldagem do alumínio.

A partir dos resultados obtidos verificou-se a possibilidade da sistematização desse

procedimento e sua aplicação em outras peças. Os seguintes trabalhos desenvolvidos em

Henriques [2003; 2004] serão utilizados como base para a construção da metodologia

apresentada no Capítulo 5.

CAPÍTULO 5 – METODOLOGIA 77

CAPÍTULO 5- METODOLOGIA

5.1 Introdução

Propõe-se uma metodologia para a soldagem robotizada de peças que permita a realização da

soldagem na posição plana. Encaminha-se uma solução aplicável ao caso de curvas no plano e

no espaço. Apresenta-se a seguir o procedimento proposto para a geração das trajetórias em

soldagem robotizada. A Figura 5.1 apresenta a estrutura utilizada para o planejamento das

trajetórias.

Figura 5.1 – Estrutura da metodologia proposta.

A Figura 5.1 apresenta o diagrama de blocos representando a seqüência de utilização das

ferramentas matemáticas apresentadas no Capítulo2. Maiores detalhes serão apresentados nos

Capítulos 6 e 7 onde se apresentam a validação e comentários sobre os resultados obtidos..

5.2 Procedimento para geração de trajetórias de soldagem

O procedimento para o desenvolvimento de trajetórias em soldagem utilizando-se robôs

cooperativos pode ser resolvido pela metodologia apresentada na Figura 5.1 e envolve as

seguintes etapas:


1. Levantamento da geometria da linha do cordão de solda.

a. Identificação da curva e dos referenciais envolvidos

b. Extração dos pontos da trajetória.

2. Geração da trajetória a partir da geometria

3. Cálculo das velocidades.

a. Cálculo das velocidades no espaço de trabalho

b. Cálculo das velocidades no espaço das juntas.

4. Cálculo dos Helicóides.

a. Cálculo dos helicóides do robô posicionador

b. Cálculo dos helicóides do robô soldador.

5. Simulação das trajetórias

5.2.1 Geração da trajetória a partir da geometria

A partir de um dos métodos listados anteriormente obtêm-se os pontos da trajetória e ajusta-se

uma função a estes pontos. Esta função deve ser gerada com sistema de referência fixo à peça

conforme descrito no Capítulo 2 (Figura 2.16).

Ao utilizar um programa de CAD os parâmetros da curva, seja no espaço 2D ou 3D, são

determinados automaticamente, cabendo ao usuário a correta identificação e utilização desses

parâmetros.

Salienta-se ainda que da mesma forma que no procedimento de programação de robôs on-line,

onde um operador guia fisicamente o robô ao longo da trajetória e as posições e orientações

são armazenadas para posterior interpolação, nesse procedimento utiliza-se a mesma

estratégia. Portanto, é bem razoável considerar a geometria dos cordões compostas por

segmentos de arcos, elipses, parábolas, etc.

Em Pashkevich [1997] utilizam-se os recursos disponíveis em softwares comerciais para o

processamento automático dessas informações e de basicamente dois tipos de perfis, "linear"

e "circular". A geração de trajetórias será apresentada no Capítulo 6 com maiores detalhes.


5.2.2 Cálculo das velocidades

Como visto no Capítulo 2, Seção 2.2.3.1, a cadeia virtual PPR2 está fixa à peça e está alinhada

com o sistema de referência que também está fixo à peça, como na Figura 5.2.

Figura 5.2 – Cálculo das velocidades.

Por este motivo, as velocidades das juntas prismáticas podem ser calculadas diretamente por

meio das equações:

2 cosspx VΨ = θ , 5.1

2 spy V senΨ = θ , 5.2

onde tan dydxarcθ = e Vs é a velocidade de avanço do processo de soldagem, constante ao longo

da trajetória. Sabendo-se as velocidades das juntas prismáticas virtuais da cadeia PPR2,

calculam-se as velocidades das juntas rotativas conforme esquema da Figura 5.3 a seguir.

Figura 5.3 – Decomposição das velocidades a partir da geometria do cordão.


n

1

A Figura 5.3 representa as velocidade de avanço Vs e suas componentes rotativas, para os

pontos de , representando um trecho da trajetória sobre a peça. 1i = …

A orientação da tocha deve ser mantida constante ao longo do processo de soldagem e

depende de duas variáveis: ρ1 e ρ2 que são dependentes das velocidades e . Como a

orientação não deve ser alterada em relação ao sistema de coordenadas global, tem-se

[Dourado, 2005].

1rzΨ 2rzΨ

2rz rzΨ = −Ψ

Divide-se a trajetória em intervalos de tempo pequenos, por meio de interpolação linear e

tendo-se os ângulos θ da superfície da peça calculados para cada ponto da trajetória como

descrito acima, o cálculo das velocidades é feito de forma direta. Considerando-se intervalos

de tempo pequenos, tem-se:

i

i

i trz

∆θ∆

−≅Ψ1 5.3

onde s

iiiii V

Lt =∆θ−θ=θ∆ + ,1 e Li é o comprimento do arco.

5.2.3 Cálculo dos Helicóides

Genericamente o movimento relativo entre dois elos, descrito por uma junta, pode ser

representado por um deslocamento helicoidal. O deslocamento helicoidal combina um

deslocamento rotativo com um deslocamento de translação (Figura 2.6).

Tal generalização permite o tratamento das questões de posicionamento de uma maneira

unificada, resumindo o problema a um deslocamento rotacional ou prismático, dependendo do

tipo de junta utilizada.

A utilização da representação por helicóides, Figura 5.4, é uma alternativa mais flexível visto

que a clássica notação de Denavit-Hartenberg determina a escolha do posicionamento inicial

do robô e conseqüentemente fixa a localização e orientação dos sistemas de coordenadas.


Figura 5.4 – Representação dos heligiros num robô de cadeia cinemática aberta.

Segundo Campos (2004) o método para calcular o jacobiano baseado na teoria de helicóides

permite representar os helicóides normalizados referentes às juntas do manipulador em

qualquer sistema de coordenadas. Esta característica permite escolher convenientemente o

sistema de coordenadas para os quais os helicóides normalizados resultam mais simples e o

jacobiano mais esparso e mais fácil de ser invertido no cálculo da cinemática inversa [HUNT,

1987].

5.2.3.1 Construção da matriz homogênea

Um movimento helicoidal de um ponto P no espaço em relação a um referencial fixo pode ser

descrito por quatro parâmetros, dois vetoriais e dois escalares, a saber:

• si : vetor unitário que determina a direção de translação e rotação do movimento

helicoidal, o índice i indica o elo em que é fixado;

• soi : vetor de posição de si em relação ao referencial;

• θ : ângulo de deslocamento rotativo do ponto P;

• t: comprimento do deslocamento de translação do ponto P.

Escolhem-se os vetores si e soi de tal maneira que sejam perpendiculares, ou seja:

0 .Ti ois s⋅ = 5.4


Definem-se sistemas de coordenadas auxiliares para representar a matriz homogênea entre

dois corpos submetidos a um deslocamento helicoidal. A seguir apresenta-se o procedimento

de obtenção desta matriz.

Sejam dois sistemas de coordenadas paralelos e e na mesma posição. Sejam siO 1−iO i e soi

respectivamente os vetores de direção do movimento helicoidal e de posição no espaço

cartesiano em relação ao referencial . Realizando-se o deslocamento helicoidal do sistema

de coordenadas em relação à na direção de s

1−iO

iO 1−iO i, de acordo com a regra da mão direita e

com magnitudes de rotação e translação dadas por θ e t, tem-se como resultado a Figura 5.5.

Figura 5.5 – Representação do deslocamento helicoidal.

A Figura 5.5 mostra que os sistemas de coordenadas Q e Q’ estão localizados na interseção

dos eixos si e soi e rotacionados entre si na direção positiva da coordenada xQ de um ângulo θ.

A coordenada yq está na direção inversa ao vetor soi e zQ está direcionada de acordo com a

regra da mão direita.

Vê-se que o deslocamento helicoidal pode ser tratado pela combinação de movimentos

rotacionais e translacionais indistintamente. Esta funcionalidade consiste na base para os

desenvolvimentos da matriz homogênea que descreve o movimento helicoidal do sistema de

coordenadas em relação ao sistema de coordenadas . iO 1−iO


Pode-se resumir o deslocamento rotacional do sistema de coordenadas em relação à

por dois tipos de movimentos distintos:

iO 1−iO

• a rotação em torno do eixo si alterando a orientação de para . 1−iO iO'

• o deslocamento da origem para . 1−iO iO'

Tais deslocamentos são tratados independentemente, como será apresentado na próxima

seção.

5.2.3.2 Deslocamentos helicoidais sucessivos

Seja a rotação do sistema de coordenadas para na direção do vetor siO iO' i. Observando-se

essa rotação do ponto de vista de um observador sobre si, como se estivesse saindo da página,

verifica-se que o problema de rotação pode ser tratado como se houvesse somente a rotação,

como mostra a Figura 5.6 [Tsai, 1999].

Considerando-se o eixo helicoidal unitário si no ponto onde as origens dos sistemas de

coordenadas e são coincidentes, pode-se encontrar a solução para a rotação descrita

na Figura 5.6.

1−iO 'O

Figura 5.6 – Rotação do sistema em torno de siO i.


A matriz resultante desta rotação define as projeções do sistema de coordenadas

rotacionadas na direção de s

'O

i e representado nas coordenadas de ,e é descrita por Tsai

[1999] como segue:

1−iO

y2

21

2

(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 )

x x y z x zi

i x y z y y z x

x z y y x

s c c s s c s s s s c s sR s s c s s s c c s s c s s

s s c s s s sz c s s sz c c−

⎡ ⎤− θ + θ − θ − θ − θ + θ⎢ ⎥= − θ + θ − θ + θ − θ − θ⎢ ⎥⎢ ⎥− θ + θ − θ + θ − θ + θ⎣ ⎦

, 5.5

onde cθ o cosseno do ângulo θ, sθ é o seno do ângulo θ e as componentes sx, sy e sz são as

projeções do vetor si nas coordenadas do sistema . 1−iO

Uma vez conhecida a matriz de rotação entre dois sistemas de coordenadas adjacentes, pode-

se determinar o ângulo de deslocamento θ e o respectivo eixo helicoidal gerador do

deslocamento, manipulando-se algebricamente os componentes rij da matriz da seguinte

forma:

1−ii R

• ângulo de rotação

11 (cos( )2

iitraço R −−

θ =) , 5.6

• eixo de rotação si

32 23

31 13

21 12

12 ( )

r rs r

senr r

−r

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥θ⎢ ⎥−⎣ ⎦

. 5.7

As Equações 5.6 e 5.7 representam o teorema de Eüler. O teorema de Eüler determina que

todo o deslocamento rotativo entre dois corpos rígidos pode ser descrito por um deslocamento

de um ângulo θ em torno de um eixo unitário. A segunda componente do movimento

helicoidal é a translação na direção de si. Tal deslocamento não influi na rotação do sistema

de coordenadas em relação à , portanto a solução encontrada na Equação 5.5 é a matriz

final de rotação do deslocamento helicoidal.

iO 1−iO

Resta ainda descrever o procedimento para encontrar a posição do sistema em relação à

.

iO

1−iO


5.2.3.3 Descrição da posição

Para encontrar a posição do sistema de coordenadas em relação à utilizam-se dois

sistemas de coordenadas auxiliares, Q e Q’ referenciados de acordo com os seguintes

critérios:

iO 1−iO

• as origens dos sistemas de coordenadas Q e Q’ estão localizadas no cruzamento do

eixo de deslocamento helicoidal si e o eixo soi, referenciados no sistema de

coordenadas ; 1−iO

• a direção do eixo Qx do sistema de coordenadas Q é paralela a direção do vetor si;

• o eixo é posicionado na direção inversa ao vetor sQy oi em relação ao sistema ; 1−iO

• o eixo Qz é direcionado de acordo com a regra da mão direita, pelo produto vetorial

. QQ yx ⋅

Conforme a Figura 5.5 o sistema de coordenadas auxiliar Q’ é orientado pelo sistema de

coordenadas Q rotacionado de um ângulo θ na direção do eixo Qx . Para encontrar a matriz

homogênea entre os sistemas de coordenadas adjacentes em relação à , utiliza-se o

encadeamento de matrizes como segue:

iO 1−iO

iO

OQ

QQ

Qi

ii AAAAA '

''

''11 −− = . 5.8

E de acordo com a Figura 5.5 tem-se:

1

0 0 0 1

o o

o o

s sos si

Q

s sA

− −

−⎡ ⎤×⎢=⎢ ⎥⎣ ⎦

s⎥ , 5.9

'

1 0 0 00 00 00 0 0 1

i iQQ

i i

c sA

s c

⎡ ⎤⎢ ⎥θ − θ⎢ ⎥=⎢ ⎥θ θ⎢ ⎥⎣ ⎦

, 5.10

' 1' (Q i

OA A 1)Q− −= , 5.11


3 3'

0 0 0 1xO

i

I tsA

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

. 5.12

A posição é resultado da multiplicação das matrizes componentes da Equação 3.8 e o

resultado obtido é dado por:

1

(1 cos( )) ( ) ( )( ) (1 cos( )) ( )( ) ( ) (1 cos( ))

ox oy z oz y xi

i ox z oy oz x y

ox y oy x oz z

s s s sen s s sen tsp s s sen s s s sen ts

s s sen s s sen s ts

−

⎡ ⎤− θ + θ − θ +⎢ ⎥= − θ + − θ + θ +⎢ ⎥⎢ ⎥θ − θ + − θ +⎣ ⎦

, 5.13

onde o vetor 1iip− descreve a posição relativa do sistema de coordenadas em relação à . iO 1−iO

Unindo-se os resultados das Equações 5.5 e 5.13 tem-se a matriz homogênea que descreve a

posição e orientação do sistema de coordenadas em relação à para um deslocamento

helicoidal. A matriz pode ser representada ainda na seguinte forma:

iO 1−iO

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−

41414141

31313131

21212121

11111111

1

aaaaaaaaaaaaaaaa

A ii , 5.14

onde cada elemento da matriz é dado por:

1000

))cos(1()()()cos())cos(1(

)())cos(1(

)())cos(1(

)())cos(1()()())cos(1(

)cos())cos(1(

)())cos(1(

)()())cos(1(

)())cos(1(

)())cos(1()cos())cos(1(

44

43

42

41

34

233

32

31

24

23

222

21

14

13

12

211

====

+θ−+θ−θ=θ+θ−=

θ+θ−=

θ+θ−=

+θ+θ−+θ−=θ−θ−=

θ+θ−=

θ+θ−=

+θ−θ+θ−=

θ+θ−=

θ−θ−=θ+θ−=

aaaa

tsssensssenssasa

sensssa

sensssa

tssenssssenssasensssa

sa

sensssa

tssensssensssa

sensssa

sensssasa

zozxoyyox

z

xzy

yzx

yxozoyzox

xzx

y

zyx

zyozzoyox

yzx

zyx

z


5.2.4 Cinemática direta por helicóides

Em robôs industriais, construtivamente pode-se dizer que se executam basicamente dois tipos

de deslocamentos: deslocamentos puramente rotacionais executados pelas juntas rotativas e

deslocamentos puramente translacionais executados pelas juntas prismáticas.

Baseando-se nos quatro parâmetros descritos anteriormente, si, soi, θ e t, que descrevem o

movimento helicoidal entre dois corpos, pode-se desenvolver uma matriz homogênea para

cada tipo de junta.

Para deslocamentos translacionais, onde o deslocamento angular descrito por θ é nulo, isto é,

zerando-se o valor do ângulo na Equação 5.14, tem-se:

1

1 0 00 1 00 0 10 0 0 1

x

yii

z

tsts

Ats−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. 5.15

Para deslocamentos rotativos, o deslocamento translacional descrito por t é nulo, como

resultado tem-se a seguinte estrutura para a matriz homogênea:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θ+θ−θθ+θ+θθ+

θ++θ−θ−θ+θ+

θ−θ+θ+θ−θ+

=θθ

θθθθ

θθθθ

−

10001

21

1112

1

11112

1csssssssccssscsssscszs

ssscsssssscssccssscsssssssscssscsssscssccs

Aozxoyyoxxxzyyyx

xozoyzoxxzxxzyx

yozzoyoxyzxzyxx

ii , 5.16

onde

)(

)(cos

)cos(11

θ=θ

θ=θ

θ−=θ

sens

c

c

Conclui-se que as Equações 5.15 e 5.16 representam respectivamente as matrizes homogêneas

das juntas prismáticas e rotacionais.


5.2.4.1 Etapas para construção da cinemática direta por helicóides

A implementação da cinemática direta utilizando-se a teoria dos helicóides segue o seguinte

procedimento:

1) Enumerar os elos do robô a partir do primeiro elo (base), que é definido como corpo 0 e

assim sucessivamente até o efetuador, corpo n.

2) Arbitrar um sistema de coordenadas fixo em relação a um corpo do robô, não

necessariamente a base.

3) Para cada junta entre os elos adjacentes 1−i e posicionar um eixo helicoidal unitário si i

na intersecção da linha da junta i com o vetor soi.

4) Definir o tipo de junta e a variável de deslocamento respectiva

• θi para juntas rotativas

• ti para juntas prismáticas

5) Obter as matrizes homogêneas dos elos adjacentes.

A escolha da localização de um sistema de coordenadas de referência, item 2, apresenta como

principal desvantagem a possibilidade de gerar matrizes homogêneas pouco esparsas,

interferindo assim no esforço computacional para o cálculo das cinemáticas direta e inversa.

Ainda não há na literatura, metodologia específica para aperfeiçoar a escolha do corpo e a

localização de seu sistema de coordenadas de referência. Segundo Campos [2004] os

melhores resultados são obtidos quando o sistema de coordenadas de referência é localizado

num ponto onde se acumula um maior número de eixos helicoidais. Como conseqüência desta

escolha os vetores de posição soi terão magnitude nula, o que simplificará a matriz homogênea

resultante.

Pode-se exemplificar o parágrafo acima com os punhos esféricos, onde três eixos de rotação

se encontram num único ponto, simplificando as matrizes e conseqüentemente o

processamento matemático das matrizes homogêneas.

Na Figura 5.7 pode-se identificar o corpo escolhido como referencial (j), a base (corpo 0) e os

corpos restantes até o último corpo, (n).


Figura 5.7 – Referencial e sistemas de eixos helicoidais.

De acordo com Tsai [1999], para um helicóide de posição cada elo possui uma extensão dele

próprio até a posição de referência na posição escolhida como inicial. Nesta extensão situa-se

seu sistema de coordenadas fixo em relação ao elo. Uma conseqüência imediata da escolha

desse referencial, é que todos os sistemas de coordenadas dos elos estarão na mesma

localização em relação ao sistema de coordenadas de referência.

As Figuras 5.7 e 5.8 descrevem respectivamente os deslocamentos prismáticos e rotacionais

entre dois elos adjacentes.

Figura 5.8 – Translação helicoidal entre elos

adjacentes.

Figura 5.9 – Rotação e eixos helicoidais.

Para ambos os casos descritos acima o referencial está fixo no elo i-1. As matrizes

homogêneas, que descrevem os deslocamentos representados na Figura 5.8 e Figura 5.9, são

dadas pelas Equações 5.15 e 5.16 em função dos parâmetros θi, si, soi e ti.

CAPÍTULO 6 – VALIDAÇÀO 90

O objetivo deste capítulo é apresentar os testes e simulações executadas ao longo do

desenvolvimento do trabalho para a validação da metodologia proposta. Apresentam-se

simulações utilizando-se das ferramentas cinemáticas apresentadas no Capítulo 2.

Apresentam-se a seguir resultados de aplicação da metodologia proposta utilizando um

exemplo em duas dimensões e um exemplo em três dimensões para testar a viabilidade da

metodologia e das ferramentas utilizadas.

A metodologia apresentada no Capítulo 5 pretende encaminhar a solução para o problema de

planejamento de trajetórias em soldagem robotizada, auxiliando o programador nos problemas

oriundos das restrições de posição e orientação advindas do processo de soldagem.

Como exposto anteriormente, podem-se utilizar vários métodos para o planejamento de

trajetórias com obstáculos tais como: Diagramas de Voronoi, PRM (Probabilistc Roadmap)

[Latombe, 1993].

A metodologia descrita no Capítulo 5, utiliza-se de ferramentas cinemáticas para impor as

restrições sobre a trajetória, simplificando-se o problema, do ponto de vista da complexidade

de utilização dos algoritmos.

6.2 Aplicação da metodologia no caso planar

Seja a superfície a ser soldada representada por uma curva parametrizada dada pelas

Equações 4.1 a 4.3. Como foi visto na Seção 4.1.1 a tarefa de soldagem cooperativa com

correção da orientação da peça pode ser viável com apenas um grau de liberdade, com

correção do posicionamento da tocha de soldagem sobre o cordão de solda e equacionamento

das velocidades da trajetória de ambos os robôs.

CAPÍTULO 6 – VALIDAÇÃO

6.1 Introdução


A partir das trajetórias defini sobre a superfície da seção

transversal do tubo da Figura 4.3, para demonstrar a aplicação da metodologia, aplica-se o

ado [2005], utilizando-se dois robôs 3R no plano como na Figura 6.1, para

executar a soldagem em uma das trajetórias.

das pelos segmentos identificados

método de Dour

Figura 6.1 – Manipuladores planares 3R e seus sistemas de helicóides.

ve-se colocar o robô na posição estendida e a partir daí encontram-se

junta. Se

o sistema de referência, a matriz Ns torna-se mais simples simplificando a

ura 6.1 são planares, os valores de seus helicóides não variam e são

Segundo Tsai [1999], de

as projeções dos valores dos helicóides S em relação ao sistema de base. Conforme descrito

na equação de solução cinemática para o espaço de juntas, Equação 2.12, deve-se inverter a

matriz Ns que é formada pelos helicóides normalizados do robô que posiciona a

adotado a base com

operação de inversão.

Os robôs da Fig

apresentados na Tabela 6.1.

Tabela 6.1 – Helicóide em relação ao sistema de referência.

$̂ xS yS Sz

A 0 0 1

B 0 0 1

C 0 0 1

onde:

[ ]0 0 1 TA B CS S S= = = 6.1

Deve-se a seguir encontrar os valores de projeção de So em relação ao referencial. De acordo

com a posição inicial, nas condições apresentadas na Figura 6.1, tem-se na Tabela 6.2 os

alores das projeções de So, nos três eixos cartesianos. v


Tabela 6.2 – Projeções de So.

$̂ oxS oyS ozS

A 0 0 0

B a1 0 0

C a1+a2 0 0

No instante em que o manipulador altera sua posição esses valores são alterados. Então por

meio da cinemática direta, os valores de So devem ser calculados como apresentado na Seção

5.2.3.

A atualização do valor dos helicóides pode ser obtida pela seguinte equação:

oiro SASf= 6.2

Onde as matrizes de transformação homogêneas da Equação 5.16, são das por:

⎤⎡ − 00AA sc

⎥⎥⎥⎥

⎦⎣

⎢⎢⎢⎢

=

1000010000

1AA cs

A

⎢⎢

⎣

⎡−

−−

1000

0)1(0

1

1

BBB

BBB

sacscasc

−+

=

100010

)(0)1)(0

2

1

3CCC

CCC

saascsc

A .

Sabe-se que está sobre a origem do sistema de coordenadas, logo, . De

acordo com a Equação 2.4 o cálculo do heligiro normalizado de um

.3

⎥⎥⎢

=01002A ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+1−

−

00

(a 2ac

A$̂ [ ]ToAS 000=

a junta rotacional é dado

por:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×

=SS

S

o

o$̂ 6


Assim, tem-se que ] e:

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

10

100

0100

1

1

1

A

A

AA

A

ozB

oyB

oxB

sacaa

sSSS

tilizando-se novamente da Equação 6.2 encontra-se o valor de . Logo

⎣− Aca1

erativamente pode-se encontrar o valor de SoC seguindo o mesmo procedimento, sendo o

⎦

⎢

⎣

⎥

⎦

⎢⎢

⎣

⎡−−−

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

1

0

1000

)(0(0

1

1

1

ssacsccasc

SS

ABAABAB

ABAABAB

oyC

oxC

.

Onde

Como antes usando a Equação 6.2 para o cálculo de , tem-se:

.

Agora se calculam os valores para a cadeia virtual PPR1, representados na Tabela 6.3,

adotando o procedimento para o cálculo dos heligiros da cadeia real.

Tabela 6.3 – Heligiros da cadeia virtual.

[ TA 001$̂ = . Para o cálculo de oBS tem-s

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎤1

⎦⎢⎣ 0⎢⎢

0

⎢⎡c − A

cs

100000

B$̂U

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

= Asa1

1$̂B

⎦

It

calculo de if oCoC SAAS 21= executado da seguinte forma

⎥⎥

⎢⎢⎥⎥

⎢⎢

⎥⎥

⎢⎢ 00100SozC

⎥⎥⎤

⎢⎡ +⎥⎤) 21 aa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

012

12

AAB

AAB

ozC

oyC

oxC

sasacaca

SSS

.

C$̂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+=

AAB

AABC

cacasasa

12

12

1$̂

$̂ x ySS Sz

px1 1 0 0

py1 0 1 0

rz1 0 0 1


o de uma junta prismática é

ado por:

6.4

Como estamos operando no plano, anulando-se as linhas referentes às rotações em torno de x

s reduzem-se a:

De acordo com a Equação 2.5, o cálculo do heligiro normalizad

d

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

S0

$̂

e y e a linha referente à translação em torno de z os helicóides normalizado

[ ][ ]Tpy

Tpx

100$̂

010$̂

1

1

=

=

O cálculo de que é dependente da posição da ferram1$̂rz depende de enta do robô, como

a Figura 5.2. A posição final da ferramenta, Pef, pode ser calculada pela cinemática direta de

posição, como segue:

f i

f

f

f

ef ef

fx

fy

fz

1orzS

n

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 1 2 1

2 1 2 11 2 3

0011

0 ( )0 ( )

0 0 1 00 0 0 1

ABC ABC ABC AB A

ABC ABC ABC AB A

P A A A P

Pe a a aPe

A A APe

c S a a a c a cS C a a s a s a s

A A A

=

⎡ ⎤ + +⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

− − + + +⎡ ⎤⎢ ⎥− + + +⎢ ⎥=⎢ ⎥

ssim, o valor calculado de Pef é dado por:

2

12

rz

rz

rz

f

f

f

oz

oy

ox

A

AABCABCe

fz

fy

fx

SSS

sacacaca

PePePe

.

e

c

⎢ ⎥⎣ ⎦

A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1

1

1

01

1 saABCABCe s a


torno de x e y e a translação em z obtêm-se o valor normalizado de .

⎦⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−++=

AABABC

AABABCrz

cacacasasa

123

1231

1$̂

Salienta-se, entretanto, que os helicóides serão calculados em função do sistema de

coordenadas j fixo ao robô operador, como mostra a Figura 6.1.

ides (maiores detalhes no Apêndice B) a fim de compatibilizar as

perações entre os helicóides. Feitas as devidas substituições e transformações, chegam-se

aos seguintes resultados para os helicóides do robô operador:

Utilizando a Equação 6.2 e eliminando-se as linhas referentes aos graus de liberdade de

rotação em 1$̂rz

⎥⎥⎥⎤

sa .

Repete-se o procedimento de cálculo dos helicóides executado para o robô operador da

mesma forma, com as devidas substituições de variáveis, para o robô posicionador.

Para o cálculo do valor dos helicóides do robô operador, aproveitam-se os valores dos

helicóides calculados para o robô posicionador, devendo ser feita uma transformação de

coordenadas de helicó

o

[ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−=

−=

xDDE

DDEF

xD

DE

TxD

Dcacasasa

Dcasa

D

45

45

4

4

(

1$̂

(

1$̂

01$̂

Para os helicóides da cadeia virtual PPR2, tem-se:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++−++=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

)(

1$̂

0$̂

0$̂

456

4562

2

2

xDDEDEF

DDEDEFrz

ABC

ABCpy

ABC

ABCpx

Dcacacasasasa

cs

sc


A partir da determinação de todos os helicóides montam-se as matrizes Ns e Np, conforme a

Equação 2.16.

⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

−−−+−+

= AABA

AABA

scacaca

sasasa

N 121

121

111000000)(00000000111

6.5

⎢⎢ ++−

=000100

123 AABABCp

cacacaN 6.6

is para movimentar a

tocha sobre o cordão. Para dar mais realidade a simulação foi adicionada à translação em x e

y.

Para a simulação consideraram-se, sem perda de generalidade, os segmentos de trajetória

como sendo partes de uma senóide, e impôs-se o movimento por meio da cadeia cinemática

virtual PPR1. O resultado destas simulações é apresentado na Figura 6.2. Na figura considera-

se que o arco de circunferência representa a trajetória 1 da peça da Figura 4.3. Pode-se

bservar que a ferramenta permanece com a orientação constante ao longo do arco de

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣ ++++−−

xDDExDx

DDED

DcacaDcaDsasasa

454

454

000)(0000

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣ +++−++−++−++

)()(1001

100100

456123

456123

xDDEDEFABCABCAABABC

DDEDEFABCABCAABABC

Dcacacacscacacasasasascsasasa

Obtidas as matrizes simulam-se os dois robôs para a tarefa de soldagem. Neste exemplo,

utilizam-se três graus de liberdade, um para o giro da peça e outros do

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

++−−−

00)(01000101

123 AABABC sasasa

o

circunferência.


Figura 6.2 – Simulação da trajetória para soldagem na posição plana.

ara o caso de mudanças bruscas na trajetória, ou seja, uma função mais irregular que P

permita a simulação de mudanças bruscas na orientação da ferramenta pode-se observar que

há um seguimento da condição plana. A Figura 6.3 representa essa situação.

Des

loca

men

to e

m Y

Deslocamento em X

Figura 6.3 – Mudança brusca na orientação, superfície irregular.


6.3 Simulação de Soldagem tridimensional

Como validação da criação da trajetória de soldagem no espaço, foi simulada a soldagem de 2

perfis tubulares onde a peça poderá ser criada e posicionada livremente. Os dois tubos serão

inseridos em uma montagem, usando o software SolidWorks. O perfil quadrado é posicionado

em relação ao perfil circular como apresentado na Figura 6.4 e Figura 6.5.

Figura 6.4 - Tubo principal.

Figura 6.5 - Montagem dos tubos.

Insere-se um “cordão de solda” com as características definidas pelo usuário como: largura,

tipo e posição. Para facilitar e obter o efeito desejado, o cordão deverá ser do tipo de solda

“fillet” com uma superfície plana como mostra a Figura 6.6.

Figura 6.6 – da tipo Fillet.

ontagem final dos perfis, de acordo com a metodologia proposta extraem-se os pontos da trajetória de soldagem. A

6.7 apresenta a interface de extração de pontos desenvolvida por Cardoso [2005] e

modificada para atender as necessidades desse trabalho.

Cordão e sol d

Após a m

Figura


Figura 6.7 – Interface de extração de pontos.

O Solidworks possui uma biblioteca de funções (“API”) que disponibiliza o acesso e manipulação das suas peças e desenhos. Esta biblioteca pode ser acessada tanto por programas em C++ como em VisualBasic. Com a interface extraem-se a posição e orientação ao longo da trajetória marcada na Figura 6.7 e por meio da modificação do código desenvolvido por Cardoso [2005], calculam-

se de acordo com a teoria apresentada na Seção 2.3, os valores da normal e bi-normal a cada

ponto da trajetória.

O primeiro passo na utilização da interface é a seleção do trecho sobre a superfície,

representados na figura por trecho 1 e trecho 2. Utilizando-se as funções da API, calculam-se

as coordenadas cartesianas dos pontos a orient ais a cada ponto,

entificadas pelas caixas na Figura 6.7.

do software Workspace. Abaixo se

ação da ferramenta e as norm

id

Com as informações pré-processadas pela interface, calculam-se as posições e geram-se

automaticamente o código para a simulação no ambiente


transcreve um trecho do código exportado para o Workspace na forma de VBAtracks 4,

representam-se apenas três pontos da trajetória. Apresentam-se a título de exemplo algumas

linhas do código do programa.

Dim TP_bead21_1 As WsTeachpoint Dim TP_bead21_2 As WsTeachpoint Dim TP_bead21_31 As WsTeachpoint SetCartesianTeachpoint RRobot, TP_bead21_1, -78.0035534048247, 64.9044666511155, 37.5820463617168, 58.3189584753761, -117.653389491132, 0, "LUNB" SetCartesianTeachpoint RRobot, TP_bead21_31, 78.0105430735801, 65.0164043816979, -37.388061748044, 62.2346723685351, 115.495351567554, 0, "LUNB" MoveTo RRobot, TP_bead21_1 MoveTo RRobot, TP_bead21_31

onde a sintaxe dos comandos é dada por:

• Dim TP As WsTeachpoint

Descrição: Esta linha declara a variável TP como um tipo WsTeachpoint.

• SetCartesianTeachpoint

Syntaxe :public Sub SetCartesianTeachpoint(rRobot As Robot, MyWsTeachpoint As

WsTeachpoint, x As Double, y As Double, z As Double, a As Double, b As Double, c

As Double, MyCon s Variant)

Descrição: Atribui os valores cartesianos a ponto especificado na sintaxe da linha

em o arquivo de saída, exportam-se a peça e o programa em VBA. A

eometria da peça pode ser exportada pelo software SolidWorks e importada pelo Workspace

5 ; Workspace, 2004]. A Figura 6.8 apresenta a

montagem da célula no ambiente do simulador

fig As String, ParamArray JointValues() A

comando.

• MoveTo

Syntaxe: Sub MoveTo(rRobot As Robot, MyTeachpoint As WsTeachpoint)

Descrição: Move o robô para o ponto especificado na sintaxe da linha de comando.

Uma vez que já se t

g

usando o formato de conversão ACIS. Para as simulações utiliza-se o modelo virtual do robô

ABB IRB6400-24, disponível na biblioteca de robôs do software Workspace. Para maiores

informações sobre a sintaxe dos comandos da API do SolidWorks e do simulador Workspace,

consultar os manuais [SolidWorks, 200

.

4 Linguagem de programação adotada pelo software Workspace.


Figura 6.8 – Vista da célula no ambiente do simulador Workspace.

partir dos pontos calculados de acordo com a metodologia, geram-se os valores do

ensional, conforme apresentado na Figura 6.9.

A

movimento da ferramenta no espaço tridim

15351540

15451550

15551560

15651570

51.5

52

52.5

53

53.5

541052

1052.5

1053

1053.5

1054

1054.5

XY

Figura 6.9 – Movimento do TCP.

A Figura 6.9 apresenta o movimento do TCP do robô sobre a trajetória, tais movimentos

seguem as coordenadas estabelecidas pela interface e apresentadas no trecho de código

apresentado acima. Vê-se que a trajetória do TCP movimenta-se paralela ao plano XY e

consequentemente com valores aproximadament

Z Trecho 1

Trajetoria do TCP

e constantes em Z o que confirma a trajetória

plana sobre a peça.

Trecho 2


A evolução temporal das juntas durante o movimento completo é apresentada na Figura 6.10,

a parte central da figura, representa o movimento sobre a superfície da solda e apresenta

valores angulares com pequena variação como esperado.

0 1 2 3 4 5 6 7 8-100

-50

50

100

0

150

200

250Evolução temporas das juntas

Tempo [s]

Âng

ulo

[gra

us]

Junta 1Junta 2Junta 3Junta 4Junta 5Junta 6

Figura 6.10 – Evolução temporal dos ângulos das juntas.

Como se trata de uma junta simples vê-se que somente com a simulação e com o

procedimento de extração de pontos em line resolve-se o problema da geração de

trajetórias na posição plana. Para exemplos com trajetórias mais complexas, ou seja, que

exijam um maior esforço para as juntas do robô necessita-se de um estudo mais aprofundado.

6.3.1 Estudo do posicionamento do suporte de pivotamento de uma motoniveladora

Apresenta-se nessa seção, a aplicação da metodologia para extração de pontos apresentada

anteriormente para o suporte de pivotamento da motoniveladora fabricada pela Case New

Holland. A Figura 6.11 apresen namento

e soldagem manual.

dor transfere o suporte de pivotamento já ponteado para o posicionador,

off-

ta a peça e um posicionador mecanizado para posicio

O processo de montagem do suporte de pivotamento do chassis da motoniveladora ocorre em

etapas. O ciclo de fabricação inicia-se pela colocação dos componentes no gabarito de

montagem e fixação, fixadas as partes o soldador executa o ponteamento da estrutura. Após o

ponteamento o solda


Figura 6.11, e de acordo com o especificado no procedimento de soldagem começa a executar

os cordões.

Figura 6.11 – Suporte de pivotamento motoniveladora [cortesia Case New Holland].

De acordo com a m

modelagem da peça, como representado na Figura 6.12.

etodologia apresentada no Capítulo 5, inicia-se o procedimento pela

Figura 6.12 – Modelagem 3D do pivô.

Utilizando-se o software de simulação de robôs Workspace, Figura 6.13, a peça é colocada

bre um posicionador em frente ao robô. Utilizando-se as ferramentas adequadas, extraem-se so

as coordenadas do espaço das juntas e do espaço operacional. A Figura 6.13 apresenta a célula

modelada para a extração de pontos das trajetórias de soldagem sobre o pivô.


Figura 6.13 – Célula para extração de pontos.

Após escolhida uma trajetória de soldagem, Figura 6.14 ,simula-se o movimento e gravam-se

os ângulos das juntas durante a movimentação do robô ao longo da superfície a ser soldada.

Figura 6.14 – Trajetória de soldagem selecionada.

A Tabela 6.4 apresenta os cinco primeiros pontos monitorados, esses pontos são gravados em

planilhas no formato Excel.

Px Py Pz

Tabela 6.4 – Pontos do TCP.

1294,825 -24,2759 1129,7581275,744 -60,483 1051,8891250,523 -86,5319 978,26521221,023 -102,866 911,26251189,184 -110,788 852,848 1156,848 -112,198 804,46851125,583 -109,47 766,9728


A Figura 6.15 apresenta a extração dos pontos do pivô para a simulação no ambiente do

Workspace.

Figura 6.15 – Identificação dos pontos da trajetória.

Na Figura 6.16 pode-se verificar o movimento do TCP e na Figura 6.17 a evolução temporal

do ângulo das juntas.

800

1000

1200

1400-150 -100 -50 0 50 100 150

700

750

800

850

900

950

1000

1050

1100

1150Movimento do TCP

YX

posição inicial do robo

Z

inicio do c

fim do cordão de solda

ordão de solda

Figura 6.16 – Movimento do TCP.


ição zero) e o deslocando-se até atingir o ponto de inicio do cordão, onde se

verifica que a soldagem acontece na posição plana.

Na Figura 6.17 apresenta-se o deslocamento do TCP do robô, partindo da posição (todas as

juntas na pos

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Tempo [s]

Âng

ulo

[gra

us]

Evolução temporal das juntas

Junta 1Junta 2Junta 3Junta 4Junta 5Junta 6

Figura 6.17 – Evolução temporal das juntas.

Na Figura 6.18 apresenta-se a evolução temporal das juntas rotativas do posicionador da peça,

a junta prismática de deslocamento da peça sobre o trilho não é representada.

0 2 4 6 8 10 12-30

-20

-10

0

10

20

30

40Angulo das juntas 8 e 9

Tempo [s]

Ang

ulo

[gra

us]

Figura 6.18 – ângulo das juntas do posicionador.

Essas simulações serviram como base para o estudo do posicionamento entre a tocha e o

cordão e permitiram a validação da metodologia apresentada no Capítulo 5.

CAPÍTULO 7 – DISCUSSÃO E RESULTADOS 107

CAPÍTULO 7- DISCUSSÃO E RESULTADOS

Neste capítulo os resultados obtidos nos desenvolvimentos apresentados no capítulo 4 serão

discutidos em duas etapas. A primeira mostra os resultados dos testes preliminares que

permitiram a elaboração da metodologia apresentada no Capítulo 5 e a segunda seção discute

a sistematização e aplicação dessa metodologia utilizando-se das relações cinemáticas

apresentadas anteriormente.

7.1 Testes

Quanto ao quadro de bicicleta apresentado na Figura 4.1, para a execução de um simples

cordão sobre esse perfil conforme descrito no Capítulo 4, um levantamento da geometria do

perfil, posições e velocidades fez-se necessário. Entretanto, essa simples tarefa de executar o

cordão de solda sobre o perfil está sujeita as restrições oriundas do processo de soldagem.

Tais restrições são determinantes para o resultado do procedimento de soldagem e pode-se

citar, por exemplo: a velocidade de soldagem, posicionamento da tocha, posições

normalizadas de soldagem, etc.

Optou-se por utilizar como condição para esse trabalho a posição plana de soldagem, por esta

ser a condição de soldagem mais recomendada independente do processo utilizado. Para

tanto, a suavização da trajetória de soldagem, ajustando os pontos do caminho para que para o

robô execute a tarefa como se a peça estivesse posicionada no plano, foi de importância

fundamental. O mapeamento dos raios calculados em relação à trajetória na superfície do

perfil (Figura 4.10), o cálculo das posições e velocidades a serem percorridas pelo robô ao

longo da trajetória segue uma seqüência determinada o que permite uma sistematização da

metodologia.

Os dispositivos utilizados para efetuar a soldagem são mostrados na Figura 4.6 e Figura 4.7.

Vê-se que para a movimentação da peça utiliza-se apenas um grau de liberdade para a rotação

o que torna o sistema mais restritivo. Os resultados finais mostraram-se promissores e

comparáveis aos resultados obtidos em cordões realizados sobre chapa desenvolvidos no

trabalho de Vieira [2003], o que permite afirmar que a metodologia utilizada pode ser

aplicada para um caso com maior número de graus de liberdade de posicionamento da peça.


Aumentando-se o n

ente a idéia de cooperação. A cooperação de robôs, já foi relatada em diversos

convenção de Denavit-Hartenberg. Como já foi comentado, por

atar-se apenas da posição têm-se problemas com as singularidades ao longo da trajetória, o

ldagem inviabiliza a sua utilização em casos onde a geometria da peça apresenta-

se irregular. Tais problemas na indústria inviabilizam a utilização de robôs em algumas peças.

, 2004], permitiram a busca de ferramentas matemáticas que

ossibilitassem a generalização e sistematização do problema. Em Dourado [2005] apresenta-

tamento adequado das restrições do processo. Baseando-se em cinemática

onvencional percebe-se que o caminho é de difícil solução e que ainda não se conhece uma

úmero de graus de liberdade de posicionamento da peça, surge

naturalm

trabalhos, discutidos no Capítulo 3 e ao longo do texto, e apresenta soluções utilizando-se

sistemas com dois ou mais robôs e posicionadores.

Essas soluções passam necessariamente pela utilização de cinemática de posição e

conseqüentemente da clássica

tr

que para a so

Constata-se que para soldar peças somente na posição plana necessita-se de conhecimentos

para o correto posicionamento da peça, que não são problemas relacionados aos parâmetros

do processo de soldagem. O problema torna-se um problema de posicionamento, que é

resolvido utilizando-se as relações cinemáticas geralmente utilizadas nos problemas de

planejamento de trajetórias de robôs industriais.

Os resultados obtidos em [Neto

p

se um exemplo, desenvolvido para validação do modelo cinemático proposto na dissertação, e

a partir dos resultados desses trabalhos desenvolveu-se a metodologia apresentada no Capítulo

5. Destaca-se que o objetivo do trabalho de Dourado [2005] é a resolução de problemas

cinemáticos na cooperação de robôs e não o planejamento de trajetórias.

Com a metodologia utilizada obtiveram-se resultados satisfatórios e para sua utilização em

sistemas de um maior número de graus de liberdade fazem-se necessárias ferramentas que

permitam o tra

c

solução fechada para esse problema cinemático. Soluções para problemas envolvendo o

planejamento de trajetórias, sujeitas a restrições, semelhantes ao problema de soldagem

robotizada apresentam-se como soluções viáveis para o problema. Entretanto, optou-se por

utilizar uma abordagem baseada na cinemática diferencial.


to da geometria do cordão de solda e a

eração das trajetórias, constituem-se numa possível solução para problemas no planejamento

luções para o planejamento de trajetórias, salienta-se que pelo método utilizando a

Utiliza-se então a abordagem cinemática desenvolvida por Dourado [2005], que permite um

tratamento mais adequado das restrições e problemas cinemáticos que são determinantes para

a elaboração da metodologia apresentada. Tais relações cinemáticas em conjunto com a

solução adotada no Capítulo 4, para o levantamen

g

de trajetórias em soldagem robotizada. A Figura 7.1 apresenta um resumo da metodologia

proposta e a comparação com o método baseado na cinemática de posição.

A Figura 7.1 apresenta uma comparação entre a solução utilizando-se cinemática de posição e

a solução utilizando a cinemática diferencial. As duas abordagens apresentam-se como

so

convenção de Denavit-Hartenberg, são relatados na literatura problemas cinemáticos que

praticamente inviabilizam, em alguns casos, a utilização da soldagem robotizada.


Denavit-Hartenberg

Cinemática de

Posição

CinemáticaDiferencial

2

3

4

Função paramétrica: ),(),(

),( ⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

== vuyvux

vurr 1

,),( ⎥⎦⎢⎣ vuz

Helicóides+

Cadeias Viruais

Extração de pontos

Figura 7.1 - Representação esquemática da metodologia desenvolvida.


A figura representa as diversas etapas da metodologia apresentadas no Capítulo 5 para a

geração de trajetórias em soldagem robotizada.

1. A parte superior da figura, identificada pelo número 1, ilustra a modelagem e extração

dos pontos da trajetória baseado nas restrições de posicionamento impostas pelo

processo (identificado pela figura dos robôs, da trajetória e dos planos referentes ao

sistema de coordenadas de Frenet).

2. A parte identificada pelo número 2 simboliza a parametrização dos pontos da trajetória

e o cálculo das coordenadas normais e bi normais a cada ponto.

rte identificada pelo número 3 representa que a cinemática do problema pode ser

resolvida tanto pela cinemática direta (em termos de posição) como pela cinemática

diferencial (em termos de velocidade). Como apresentado no Capítulo 3 à utilização

do método de Denavit-Hartenberg pode apresentar um alto grau de complexidade para

o planejamento de trajetórias em soldagem robotizada.

4. A seqüência identificada pelo núm 4 é adotada utilizando-se a Teoria dos

Helicóides e as cadeias virtuais para o cálculo das posições e velocidades relativas

entre a ferramenta e a peça ao longo da trajetória a ser percorrida, impondo-se as

restrições de posição e orientação.

Pode-se concluir que a partir dos resultados obtidos no ensaio prático e da validaç

da aplicação da teoria dos helicóides e das cadeias virtuais, reduzem-se as dificuldades

cinemáticas envolvidas, viabilizando-se assim a solução de alguns problemas de planejamento

de trajetórias em soldagem robotizada.

A metodologia apresentada esta restrita a aplicação em robôs planares ou a trajetórias qu

possam ser reduzidas a trajetórias no plano. Acredita-se que a partir dos resultados

apresentados no Capítulo 6, para trajetórias no plano, os resultados alcançados possam ser

aplicados para trajetórias no espaço tridimensional.

3. A pa

ero

ão or meio

e


.2 Helicóides e Cadeias virtuais

utilização da teoria dos helicóides e das cadeias virtuais apresentou-se como uma solução

romissora para os problemas de singularidades encontrados quando da utilização da

inemática de posição.

A flexibilidade da utilização dos helicóides deve-se principalmente a liberdade de

posicionamento dos sistemas de coordenadas de referência, facilitando assim a construção das

matrizes de transformação Com a escolha adequada do posicionamento dos sistemas de

referência, consegue-se reduzir os efeitos das singularidades.

As cadeias virtuais são utilizadas para impor as condições de contorno ao problema de

posicionamento, neste caso no planejamento de tr etórias em soldagem robotizada. No caso

apresentado n obôs cadeias

em.

A adição de cadeias virtuais aum

leva a c

7.2.1 Solução dependente dos graus de liberdade

Dada um para a soldagem

robotizada, deve-se posicioná-la e orientá-la de acordo com posição de soldagem normalizada

esc

condiç

a utiliz

Para um deias cinemáticas virtuais são

adicionadas a cadeia cinemática do robô no espaço bidimensional para garantir a execução da

tarefa de so

7

A

p

c

aj

o Capítulo 6, para manter a posição plana foram adicionadas aos r

virtuais para garantir o posicionamento da tocha e o reposicionamento da superfície em

relação à tocha durante todo o caminho de soldag

enta o numero de graus de liberdade do sistema o que nos

oncluir que a solução é dependente do número de graus de liberdade.

a determinada peça, a fim de executar o planejamento de trajetórias

olhida. Partindo-se de soluções advindas da soldagem manual não se consegue respeitar as

ões impostas para posicionar e orientar a peça devido à falta de graus de liberdade, daí

ação das cadeias virtuais.

melhor entendimento apresentam-se dois casos onde ca

ldagem no segmento AB , como na Figura 7.2.


(a) Peça Fixa 1 (b) Peça móvel 1

Figura 7.2 – Cadeias Virtuais e graus de liberdade.

às cadeias cinemáticas reais. Tais cadeias permitem a

ovimentos externamente garantindo-se que as restrições cinemáticas

postas pelo processo de soldagem sejam seguidas.

convencional em dois casos:

Duas cadeias virtuais são ligadas

coordenação dos m

im

Pode-se separar a tarefa de soldagem

1. No primeiro caso tem-se a peça fixa e o robô como posicionador da tocha. Conclui-se

que não há condições de planificar a trajetória sobre o arco AB por ausência de graus

de liberdade para a movimentação da peça, Figura 7.2(a), necessitando-se para o

posicionamento correto das juntas do robô os três graus d rdade mostrados pela

cadeia virtual formada por

e libe

xp , yp e . zr

2. No segundo caso, tem-se a peça em movimento e a tocha fixa, Figura 7.2(b), e como

antes se necessita de mais três movimentos auxiliares para executar a tarefa e,

novamente, não se consegue planificar a trajetória do segmento de arco AB .

Para planificar a trajetória utilizam-se dois robôs em cooperação, um para a manipulação da

ientação relativa

a tocha em relação à junta busca-se o seguimento da trajetória respeitando-se as restrições do

processo de soldagem.

tocha e outro para a manipulação da peça. Aplicando-se a teoria dos helicóides e o conceito de

cadeias virtuais para o tratamento das restrições cinemáticas, de posição e or

d


7.2.2 Aplicação do conceito de cadeias virtuais

entada na Figura 2.5, são um fator determinante para que a

solda aconteça na posição plana. O simples ajuste das condições de posicionamento e

de velocidade, garantam que o

planejamento de trajetórias siga as restrições impostas pelo processo de soldagem.

A adição de duas cadeias cinemáticas virtuais aumenta o número de graus de liberdade do

sistema e permite o tratamento das restrições. Uma cadeia cinemática por parte do robô

soldador, com os graus de liberdade,

A adaptação de soluções utilizadas em soldagem manual na soldagem robotizada não resolve

o problema das restrições impostas como condições de contorno, e por isso, propõe-se o uso

da seguinte estrutura de cadeias virtuais, Figura 7.3.

As condições de contorno repres

orientação das técnicas de soldagem manual, Figuras 2.14, 2.15 e 2.16, não garantem que as

condições sejam respeitadas. Para que a trajetória seja plana, necessita-se de ferramentas

matemáticas que aplicadas à cinemática de posição ou

xp , yp e responsáveis pela posição e orientação da

tocha em função da geometria da peça e a outra cadeia cinemática por parte do robô

posicionador, com os graus de liberdade,

zr

'xp , 'yp e 'zr responsáveis pelo posicionamento da

junta em relação ao solo, garantindo a planificação da trajetória.

Figura 7.3 – Disposição das cadeias cinemáticas virtuais.

aplicação no planejamento de trajetórias à estrutura apresentada na Figura 7.3 permite

lo da cinemática diferencial ao longo da trajetória de soldagem, garantindo-se o

Para a

o cálcu

tratamento adequado das singularidades presentes na trajetória e o cumprimento das


condiçõ

caso pl fechada para o caso espacial.

A a

robotiz

restriçõ ento das

singularidades devido às vantagens apresentadas em relação ao método de Denavit-

apresentados no Capítulo 6 ainda têm-se uma série se casos a

serem avaliados, visto que, foram apresentados casos de baixa e média complexidade apenas

es de contorno enunciadas para o problema. Tal solução tem aplicação aplicável ao

anar e ainda não tem solução

dição das cadeias virtuais, em problemas de planejamento de trajetórias em soldagem

ada, apresenta-se como uma solução promissora, quando o procedimento está sujeito a

es. Somado a isto a utilização da teoria dos helicóides permite um tratam

Hartenberg [Campos, 2004].

A metodologia desenvolvida no Capítulo 5 reúne as vantagens destas ferramentas e apresenta-

se como uma solução para o planejamento de trajetórias em soldagem robotizada na posição

plana. A partir dos exemplos

para validação da proposta.

CAPÍTULO 8 – CONCLUSÃO 116

CAPÍTULO 8- CONCLUSÃO

Esta tese foi desenvolvida no contexto do projeto PQI - Programa de Qualificação

Institucional apresentado pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da

Universidade Federal do Rio Grande do Sul a CAPES. Tal projeto originou-se na participação

do autor desta tese no projeto de pesquisa financiado pela FINEP denominado RECOPE –

Redes Cooperativas de Pesquisa, na sub-rede de Automação da Manufatura.

Devido ao caráter multidisciplinar da sub-rede de Automação da Manufatura, chamada

atualmente de MAN lho contou com a

de diversos centros de pesquisa participantes dessa rede e que contribuíram para

a Figura 6.2 e Figura 6.3.

onsideram-se nessas simulações trajetórias compostas pela composição de arcos de

alguns resultados das simulações executadas para validação dos

iversos passos enunciados na Seção 5.2. Conclui-se que a interface de extração de pontos,

ma generalização do método para o caso espacial, ainda tem de ser desenvolvida, pois ainda

ão se tem resultados satisfatórios, apresentam-se apenas o desenvolvimento da solução

inemática considerando-se a trajetória no espaço. Os resultados das simulações

idimensionais apresentadas no Capítulo 6 permitiram um estudo mais aprofundado das

relações entre as restrições de posicionamento e orientação da tocha e do cordão e seus

resultados no planejamento de trajetórias.

ET (Manufacturing Automation Network), o traba

colaboração

os testes e a validação da proposta.

Quanto aos resultados apresentados no Capítulo 4, estes são desenvolvidos para o caso planar

e permitem afirmar que a metodologia apresenta resultados aceitáveis, garantindo que as

condições de contorno são cumpridas, conforme apresentado n

C

circunferência, retas, senóides, etc., o que representam sem perda de generalidade as

trajetórias encontradas em peças como as apresentadas nos exemplos do Capítulo 4 e 6

(Figura 4.1 e Figura 6.11).

No Capítulo 6 demonstram-se

d

implementada de forma a extrair as características desejadas da curva de acordo com os

requisitos necessários para o processamento das posições e velocidades relativas a cada ponto

da trajetória, atende as necessidades e permite a implementação do cálculo da cinemática

diferencial utilizando as próprias funções do simulador.

U

n

c

tr

CAPÍTULO 8 – CONCLUSÃO 117

A aplicação da metodologia de m-se um caminho sistemático

a do planejamento de trajetórias em soldagem robotizada, Figura

monstra que para o caso planar te

para a solução do problem

8.1, preenchendo assim esta lacuna para o caso de trajetórias no espaço bidimensional. A

utilização de robôs planares a princípio, por ser uma condição restritiva permite afirmar que

se pode utilizar robôs de seis eixos sem perda de generalidade do método.

Figura 8.1 – Resumo da Metodologia.

Os resultados apresentados são promissores e permitem afirmar que a metodologia

esenvolvida pode ser aplicada para o planejamento de trajetórias em soldagem robotizada.

plexidade semelhante à soldagem

botizada, onde existam restrições ao longo da trajetória. Aplicações em medicina,

d

Algumas lacunas devem ser preenchidas e estudadas para o caso de trajetórias

tridimensionais. O método é importante quando sensores externos não são empregados

garantindo assim uma consistência na trajetória resultante.

A partir dos resultados apresentados acredita-se que a metodologia possa ser aplicada no

planejamento de trajetórias em aplicações de com

ro

planejamento de robôs móveis, compartilhamento de cargas, entre outras podem ter suas

soluções avaliadas utilizando-se a metodologia proposta.

CAPÍTULO 9 – TRABALHOS FUTUROS 118

caso simples,

ra confirmar os resultados apresentados ao longo dessa tese.

Para o caso espacial, deve-se trabalhar em simulação até obterem-se resultados que possam

comprovar a eficácia da metodologia e das ferramentas utilizadas se garantido assim que as

restrições sejam seguidas e que os problemas cinemáticos associados sejam resolvidos.

A utilização da metodologia para outras aplicações em planejamento de trajetórias que

tenham restrições ao longo da trajetória se constitui em um vasto campo de aplicação.

O desenvolvimento de ferramentas de projeto utilizando softwares comerciais e as

ferramentas apresentadas apresentam-se como um trabalho promissor a ser desenvolvido.

Reunindo as facilidades dos programas de CAD e as funcionalidades dos programas de

simulação de robôs podem- planejamento e simulação

e trajetórias em soldagem robotizada e para outras aplicações.

CAPÍTULO 9 - TRABALHOS FUTUROS

A metodologia deve ser testada em robôs reais, primeiramente para um

utilizando-se robôs planares pa

se desenvolver interfaces de extração,

d

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 119

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Z

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APÊNDICE A

REPRESENTAÇÃO DA CADEIA CINEMÁTICA:

erconectados por meio de arcos. Esta representação auxilia

a visualização da construção da equação de restrição para cadeias cinemáticas complexas. A

[2004].

ntas,

omo por exemplo, a cadeia do manipulador paralelo 3RRR da Figura A.1. Geralmente, as

tras usadas nos nomes dos manipuladores definem os tipos de juntas que formam a cadeia

inemática, por exemplo, rotativa (R), prismática (P), esférica (S), cilíndrica (C), plana (E),

tc.

GRAFOS Um grafo é um sistema de nós int

n

equação de restrição é obtida sistematicamente por meio da matriz de incidência do grafo da

cadeia. Para uma melhor compreensão reproduz o exemplo apresentado por Campos

Seja uma cadeia cinemática constituída de elos e juntas com movimento relativo entre si.

Além disso, uma cadeia cinemática fechada contém uma ou mais malhas de elos e ju

c

le

c

e

Figura A.1 – Manipulador paralelo 3RRR no plano XY (Fonte: Bonilha, 2004).

anipulador paralelo 3RRR é composto por três juntas rotativas A, F e G, que definem a

eometria da base, três juntas rotativas C, D e I que definem a geometria da ferramenta e três

pernas que conectam o efetuador por meio das juntas C, D e I, a base, nas juntas A, F e G,

spectivamente. Cada perna possui dois elos conectados por uma junta rotativa, juntas B, E e

H (Tsai, 1999). Os heligiros $ estão associados a cada junta e representam o movimento

relativo do elo i+1 em relação ao elo i, por exemplo, o heligiro $A está associado à junta A e

O m

g

re

Apêndices 135

representa o movimento do elo 2 em relação ao elo 1. Similarmente, $B, $C, $D, $E, $F, $G, $H, e

I são os heligiros associados às juntas B,C,D,E,F,G,H e I, respectivamente.

O grafo de uma ca

relações entre as velocidades das juntas pertencentes à malha. O conjunto de

ma para cada malha, é denominada equação de restrição da cadeia cinemática. Observa-se

tilizam-se dois tipos de grafos nesta tese, os grafos de acoplamento e os grafos de

adas arcos e o grafo é denominado dígrafo (grafo direcionado). Um arco representa a

velocidade relativa entre dois elos; por exemplo, na Figura A.2 o arco A do nó 1 para o nó 2

representa a velocidade do elo 2 em relação ao elo 1. A Figura A.2 mostra o digrafo GC do

manipulador paralelo plano 3RRR, com n=8 e e=9.

$

deia cinemática fechada é uma ferramenta que facilita a obtenção das

tais relações,

u

que é possível obter diferentes equações de restrição para uma cadeia cinemática, porém estas

equações são linearmente dependentes, conseqüência direta da aplicação dos princípios

básicos da lei das malhas de Kirchhoff.

U

movimento. O grafo de acoplamento GC de uma cadeia cinemática representa cada elo da

cadeia por meio de um nó (n), identificado por um número, e cada junta por meio de uma

aresta (e), identificada por uma letra.

Os nós são ligados pelas arestas. Se as arestas de um grafo são orientadas, as arestas são

cham

Figura A.2 – Dígrafo de acoplamento GC do

Manipulador paralelo 3RRR.

Figura A.3 – Dígrafo de acoplamento GM do

Manipulador paralelo 3RRR.

Apêndices

O digrafo de movimento G

136

ermitem um grau

e liberdade. O digrafo de movimento é construído trocando cada junta original por uma ou

ada conjunto de f arcos de GM, que representam um arco de GC, define o movimento de um

eja o grau de liberdade bruto da cadeia cinemática Fb o somatório dos graus de liberdade de

item um grau de liberdade, logo não se

substituições de arcos. Assim, o digrafo de acoplamento GC da Figura A.2 e o

digrafo de movimento GM da Figura A.3 são iguais. O digrafo de movimento GM permite a

visualização das malhas da cadeia. A Figura A.3 mostra o digrafo GM com l=2 malhas

independentes: MA e MG.

A velocidade de qualquer elo da malha MA em relação a si mesmo é nula. Esta velocidade

pode ser expressa em função de todas as juntas pertencentes a MA, gerando a equação

M descreve o grau de liberdade de cada junta da cadeia cinemática.

No digrafo de movimento GM, as arestas representam somente as juntas que p

d

mais juntas substitutas de um grau de liberdade. Considerando-se f o número de graus de

liberdade de cada junta, cada um dos arcos de GC é substituído por f arestas em GM. Os arcos

substitutos são colocados em série e com o mesmo sentido do arco original. Entre as arestas

substitutas aparecem f-1 nós (elos) virtuais com o objetivo de mediar os f arcos (juntas)

substitutos [Davies, 1981].

C

par cinemático original. Cada um dos f arcos destes conjuntos definem um movimento

simples. Tais movimentos determinam conjuntamente o movimento permitido pelo par

cinemático original, representado pelo arco do digrafo GC.

S

todas as juntas da cadeia. Logo, o número de arcos de GM indica o grau de liberdade bruto Fb

da cadeia cinemática. Todos os Fb heligiros da cadeia são gerados por d heligiros linearmente

independentes, onde d )61( ≤≤ d é a ordem mínima do sistema de helicóides [Hunt, 1978].

No manipulador da Figura A.1, todas as juntas perm

realizam

0$$$$$$ =−−−++ FEDCBA , (A.1)

onde i o 3x1 pois os movimen dem

o plano XY.

),, FAi = e 0 tem dimensã($ tos do manipulador se esten

n

Apêndices 137

A Equação (A.1) pode ser expressa como

0$̂$̂$̂$̂$̂$̂ =Ψ−Ψ−Ψ−Ψ+Ψ+Ψ FFEEDDCCBBAA , (A.2)

onde i$̂ é o helicóide normalizado da junta i e iΨ é a magnitude do heligiro da junta i. Como

tratam-se de juntas rotativas suas magnitudes possuem unidades de velocidade angular. De

maneira similar, a velocidade de qualquer elo em relação a ele mesmo na malha MG pode ser

xpressa como e

0$̂$̂$̂$̂$̂$̂

0$$$$$$

=Ψ−Ψ−Ψ−Ψ+Ψ+Ψ

=−−−++

IIHHGGFFEEDD

IHGFED . (A.3)

O manipulador é planar (d=3) e tem l=2 malhas independentes, a partir da lei das malhas tem-

1

3

2

2

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎦

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

⎣

ΨΨ

ΨΨ

×Ψ

×

b

E

D

C

C

A

b

F

FdlN

(A.4)

onde N é a matriz de rede é o vetor das magnitudes do

do-se a isto s

4 – 7 – 8 – 1, e a equação de restrição resultante é linearmente dependente ao

onjunto de equações (A.1) e (A.2).

se duas equações, Equação (A.2) e Equação (A.3), de dimensão três, ou seja, seis equações. A

combinação matricial destas seis equações pode ser expressa como a equação de restrição do

manipulador 3RRR [Campos, 2004].

1 ⎤⎡ΨA

,00

$̂$̂$̂$̂$̂$̂000000$̂$̂$̂$̂$̂$̂

1

3

2

1

3

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

ΨΨΨΨΨ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−−

C

B

B

B

A

IHGFED

FEDCBA

)1(

)(

2

1

2

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

ΨΨΨ

E

D

, Ψ s heligiros.

Soman , a velocidade de qualquer elo pode ser expressa na malha definida pelo

nós 1 – 2 – 3 –

c

Apêndices 138

cadeias de múltiplas malhas utilizando a matriz de

cidência da teoria de grafos, como é apresentado a seguir.

s dígrafos de acoplamento e de movimento de uma cadeia cinemática podem ser

representados por meio de matrizes de incidência as quais indicam a presença dos arcos em

as (linhas de B) e e é o número de arcos (colunas de B). Cada elemento (bij)

e B(lxe) é:

• 0, se a malha i não inclui o arco j,

• +1, se a orientação da malha i e a orientação do arco j são opostas,

or 3RRR contém l=2 malhas, por exemplo, MA e MG.

Logo, a representação matricial de MA e MG de GM é

(A.5)

A matriz de malhas B é usada para obter a equação de restrição da cadeia de múltiplas malhas

de forma sistemática. Seja Bi(FbxFb),

A equação de restrição é estabelecida para

in

O

cada percurso fechado do dígrafo.

O digrafo de movimento GM pode ser representado pela matriz de malhas B(lxe), onde l é o

número de malh

d

• -1, se a orientação da malha i e a orientação do arco j são opostas.

Vê-se na Figura A.3 que o manipulad

G

A

MM

B

IHGFEDCBA

111111000

000111111⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

−−−=

li ,,2,1 …= uma matriz diagonal cujos elementos não

nulos são os elementos da linha i da matriz B. Seja D a matriz de helicóides diretos que

contém os helicóides normalizados correspondentes a todos os arcos de GM.

avies [1981]:

1

Fbdll

DB

×⎥⎥⎦

⎤

⎣

⎡

A matriz de rede N da equação de restrição (Equação A.4) obtida por D

)(

3

2

)( Fbdl

DB

DBDB

×⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

=N (A.6)

Apêndices 139

Para o manipulador 3RRR as matrizes Bi são obtidas a partir da matriz de malhas da Equação

(A.5) desta forma

[ ]{ }[ ]{ }111111000

000111111

2

1

−−−=−−−=

diagBdiagB

, (A.7)

onde a matriz de helicóides diretos é dada por

$$$$$$$$[ IHGFEDCBAD . (A.8)

Log s

⎣

⎡ −−−

IHGFED

ˆˆˆˆˆˆ

)( bFdlD ×

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ= ]$

o egue que,

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

−−−= FEDCBA

$̂$̂$̂$̂$̂$̂000000$$$$$$N . (A.9)

Tem e revem as juntas do

anipulador

-s o vetor Ψ composto pelas magnitudes dos heligiros que desc

m

[ ]IHGFEDCBA ΨΨΨΨΨΨΨΨΨ=Ψ . (A.10)

De acordo com a Equação (2.9), a equação de restrição do manipulador é expressa da mesma

rma que a Equação (A.4), ou seja,

⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Ψ

Ψ

ΨΨΨ

− $̂

I

C

B

A

GF

FE

fechada,

facilitando a montagem da equação de restrição para cadeias com múltiplas malhas.

fo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢

ΨΨ

ΨΨ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−

00

$̂$̂$̂$̂$̂000000$̂$̂$̂$̂$̂$̂

H

G

F

E

D

IHED

DCBA . (A.11)

⎥

A Equação (A.6) estabelece a matriz de rede N para qualquer cadeia cinemática

01Ψ ×× FbFbdlN

. (A.12) =

Apêndices 140

método de Kirchhoff-Davies pode ser aplicado a cadeias cinemáticas espaciais assim como

a cadeias cinemáticas planas sem considerações adicionais. Seja o mecanismo espacial

SSCCE da Figura A.4.

Exemplo Espacial

O

Figura A.4 - Cadeia cinemática espacial com múltiplas malhas SSCCE [Davies, 1981]. (Fonte:

Campos, 2004).

sta por cinco juntas: duas juntas esféricas (A e B), duas

ntas cilíndricas (D e E) e uma junta plana (C). Neste exemplo, todas as juntas permitem

mais de um grau de liberdade, logo, devem-se realizar substituições em todos os arcos de GC

para obter GM, onde os arcos permitem somente um grau de liberdade. O dígrafo de

acoplamento GC, mostrado na Figura A.5, correspondente a esta cadeia é obtido considerando

a disposição das juntas na cadeia.

A cadeia cinemática SSCCE é compo

ju

Figura A.5 - Dígrafo de acoplamento GC

da cadeia cinemática SSCCE.

Apêndices 141

Cada junta esférica (A e B) é substitu tativas ortogonais em série (A1, A2,

3 e B1, B2, B3) alinhadas aos três eixos cartesianos X, Y e Z, respectivamente. Cada junta

original. A junta plana (C) é substituída por uma junta rotativa (C1) e

duas juntas prismáticas ortogonais (C2 e C3), cujos eixos são paralelos a X e Y,

respectivamente.

No mecanismo da Figura A.4 o heligiro $A1 está associado à junta A1. De maneira similar os

heligiros $A2, $A3, $B1, $B2, $B3, $C1, $C2, $C3, $D1, $D2, $E1 e $E2 são os heligiros associados às

juntas A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3, D1, D2, E1 e E2, respectivamente. A Figura A.6 mostra o

dígrafo de movimento GM da cadeia SSCCE com duas malhas individuais MD e ME.

ída por três juntas ro

A

cilíndrica (D e E) é substituída por uma junta rotativa (D1 e E1) e por uma junta prismática (D2

e E2). A direção do eixo da junta rotativa e a direção da junta prismática são coincidentes com

o eixo da junta cilíndrica

Figura A.6 - Dígrafo de movimento GM da cadeia cinemática SSCCE.

A matriz de malhas B da cadeia cinemática é obtida com base no dígrafo de movimento da

Figura A.6, considerando as malhas MD e ME.

, (A.13)

e as matrizes Bi, são dadas por:

(A.14)

2121321321321

11001110001110011111111000

EEDDCCCBBBAAA

B ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=

[ ]{ }

[ ]{ },1100111000111

,0011111111000

2

1

−−−=

=

diagB

diagB

Apêndices 142

)132(21321321

21321321 0$̂$̂00$̂$̂$̂000$̂$̂$̂00$̂$̂$̂$̂$̂$̂$̂$̂000

x

xE

E

D

D

C

C

C

B

xEECCCAAA

DDCCCBBB =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

ΨΨΨΨΨΨΨ

Ψ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−

A.16

Neste caso a matriz de helicóides diretos é:

.]$̂$̂$̂$̂$̂$̂$̂$̂$̂$̂$̂$̂$̂[ 2121321321321 EEDDCCCBBBAAAD = (A.15)

Substituindo-se as Equações A.15 e A.13 na equação da matriz de rede N, da equação de

restrição, tem-se:

)12(

)113(2

1

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

B

B

A

A

A

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

ΨΨΨΨΨ

Apêndices 143

APÊNDICE B

TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS DE HELICÓIDES

a resolução de problemas de cinemática diferencial, usam se helicóides

definidos em sistemas de coordenadas diferentes. Entretanto, para a operação entre helicóides

deve haver um único referencial. Para compatibilizar esses sistemas faz-se a transformação de

coordenadas de helicóides para um único sistema.

A transformação de coordenadas de helicóides entre sistemas de coordenadas pode ser feita

por meio da seguinte relação [Tsai, 1999]:

Muitas vezes para

$~$ jj

ii T= (B.1)

onde a matriz jiT~ é dada por:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

ji

ji

ji

ji

ji

RRWR

T0~ (B.2)

A matriz é a matriz de rotação entre os sistemas adjacente i e j e ji R j

i T~ é uma matriz de

dimensão 6x6. A matriz é dada por:

(B.3)

A matriz é anti-simétria e representa o vetor

jiW

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

00

0

xy

xz

yz

ji

pppp

ppW

jiW ji OO da Figura B.1 e expresso no sistema de

coordenadas i.

Apêndices 144

Figura B 1– Transformação de Helicóides

W ica e é ortogonal, pode-se escrever a matriz de

ansformação inversa como segue:

Uma vez que i é anti-simétrj ji R

tr

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

Tj

iTj

iTj

i

Tj

i

ij

RRW

RT

0~ (B.4)

ANEXO I 145

ANEXO I

Soldagem do Quadro de Bicicleta

ANEXO I 146

Procedimento experimental

Em experimentos que envolvem o estudo dos efeitos de dois ou mais fatores, pode ser

mostrado, que em geral, Projetos Fatoriais são ais eficientes [Kim, 1996; Allen, 2002; Kim,

2003]. Num projeto fatorial propõe-se que, em cada experimento completo ou em réplica

deste, todas as combinações possíveis dos níveis dos fatores sejam investigadas.

Os níveis de um fator representam à quantidade de valores, distintos, que ele assume durante a

execução dos experimentos. O efeito do fator definido como sendo a mudança na resposta

produzida por uma alteração do nível do fato A este efeito atribui-se o nome de principal

justamente por referir-se aos fatores fundam experimento. Algumas

vantagens do projeto fatorial são [Silva, 1999]:

• Necessidade de um número menor de experimentos para se obter informações

desejadas em condições similares com outros métodos;

• No projeto fatorial, além de investigar o efeito dos fatores isoladamente, pode-se

investigar

• O projeto fatorial permite que os efeitos de um fator, seja estimado em relação aos

vários níveis de outros fatores, fornecendo conclusões que são válidas sobre uma faixa

de condições experimentais.

Podem-se citar vários casos especiais de projeto fatorial genérico, que são importantes e

largamente utilizados em trabalhos de pesquisa. O primeiro destes casos especiais é aquele de

"K" fatores, cada um em apenas dois níveis. Estes níveis podem ser quantitativos ou

qualitativos. Uma investigação completa do projeto requer 2K observações. Ele é chamado de

projeto fatorial 2K. O segundo caso especial é aquele de K fatores, cada fator em três níveis,

que necessita de 3K investigações e é chamado de projeto fatorial 3k. Para o problema adota-se

à técnica do projeto fatorial para três fatores em três níveis, ou seja, um projeto fatorial 33.

Como fatores foram utilizados três parâmetros de soldagem:

• Ajuste de Tensão (V)

• Corrente (I)

• Velocidade de Soldagem (cm/min)

m

é

r.

entais de interesse no

o efeito das interações entre os fatores;

ANEXO I 147

ores são os fatores de entrada do processo e são independentes.

Os fatores de saída, ou seja, a resposta do sistema são os parâmetros geométricos do cordão

e solda. Os parâmetros de entrada foram usados em três níveis diferentes, como mostrado na

Parâmetros mínimo médio máximo

Segundo Cook [1994] estes fat

d

Tabela A.1.

Tabela A.1 – Parâmetros de Soldagem

-1 0 1 Corrente 90 105 120 Tensão 17 18 19 Velocidade 80 90 100

Os valores dos parâmetros de soldagem foram adotados de acordo com os resultados obtidos

or Vieira [2003] e [Felizardo, 2003] avaliando parâmetros tais como, ângulo da tocha,

ajus s

calcula

p

te de tensão, corrente, velocidade de soldagem, etc. O número de experimentos foi

do pela equação dada a seguir.

3KNC = .

onde:

(parâmetros de soldagem)

• 3 = Número de níveis de fatores

Qua o ntos, para evitar-se um mascaramento dos efeitos investigados

ou um uma variação imprevista deve-se obedecer a

um e

• NC = Número de Corridas

• K = Quantidade de fatores

Para o planejamento experimental indica-se o uso de índices representando os valores dos

fatores, neste trabalho estes, serão representados por índices padronizados como segue:

• -1 para os valores mínimos dos fatores

• 0 para os valores médios dos fatores

• 1 para os valores máximos dos fatores

nt à ordem dos experime

comportamento tendencioso devido a alg

a s qüência aleatória.

ANEXO I 148

icar na Tabela A.2, o cordão de solda a ser executado;

2. Conferir o cordão de solda a ser executado;

3. Selecionar na unidade d Tabela A.2;

4. Atribuir um nome para o arquivo da placa de aquisição de dados obedecendo-se a um critério de

identificação;

5. Testar o programa a ser e bloqu a sol ;

6. Conferir a programaçã oqu da

7. Identificar o corpo de me corrid

8. Executar o cordão de solda e adquirir os dados;

is de Tensão Níveis de Velocidade Corridas aleatórias

Execução da Soldagem

A soldagem dos corpos de prova obedeceu à seqüência abaixo:

1. Identif

e programação do robô os parâmetros conforme a

xecutado,

esbl

eando d

g

agem

o geral e d ear a sol em;

prova com o nu ro da a;

Todos os cordões executados devem seguir sempre todos os itens listados acima. Ao término

da soldagem gravar os dados em mídia adequada e analisar os dados.

Tabela A.2 – Seqüência de Soldagem nos experimentos

Experimento Níveis de Corrente Níve

1 -1 -1 -1 25 2 0 -1 -1 23 3 1 -1 -1 26 4 -1 0 -1 5 5 0 0 -1 15 6 1 0 -1 6 7 -1 1 -1 12 8 0 20 1 -1 9 1 1 -1 2 10 -1 -1 0 16 11 0 -1 0 1 12 -1 -1 0 21 13 -1 0 0 17 14 0 0 0 9 15 1 0 0 8 16 -1 1 0 19 17 0 1 0 14 18 1 1 0 4 19 -1 1 7 -1 20 0 -1 1 13 21 1 -1 1 27 22 -1 0 1 11 23 0 0 1 22 24 1 0 1 3 25 -1 1 1 10 26 0 1 1 18 27 1 1 1 24

ANEXO I 149

realizados apresenta-se na Tabela A.3 o quadro resumo dos valores

aos ensaios

xecutados com a soldagem de alumínio do quadro de bicicleta.

ografias.

S Macrografias

A partir dos experimentos

médios dos parâmetros utilizados e as respectivas macrografias referentes

e

Tabela A.3 – Parâmetros e macr

V I

1 17,012 92,042 80

2 16,930 103,013 80

3 16,786 120,832 80

4 18,177 84,871 80

5 18,068 104,940 80

6 17,855 122,382 80

7 19,027 96,984 80

8 19,420 101,746 80

9 18,962 123,602 80

ANEXO I 150

10 17,162 81,029 90

11 16,645 101,715

90

12 17,013 88,811 90

13 18,077 95,586 90

14 18,004 103,794 90

15 17,975 121,324 90

16 19,550 98,800 90

17 19,048 107,022 90

18 18,977 120,760 90

19 17,378 83,259 100

20 17,021 101,666 100

ANEXO I 151

21 16,749 119,933 100

22 18,155 95,074 100

23 18,130 103,345 100

24 17,924 120,421 100

25 19,397 95,258 100

26 19,012 106,170 100

27 18,902 124,734 100

A análise dos dados de Largura, Reforço e Penetr es aos ensaios executados não

são apresentadas aqui por não constituírem inform a da proposta. ações relevantes ao tem

ação referent

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