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DESEMPENHO DE NOVAS PROPOSTAS DE SELEÇÃO DE PORTFÓLIOS

Robert Aldo Iquiapaza E‐mail: [email protected]

Professor Adjunto e Pesquisador do CEPEAD/UFMG

Carolina Magda da Silva Roma E‐mail: [email protected]

Aluna do Curso de Doutorado em Finanças/Administração, CEPEAD/UFMG

Gustavo Ribeiro Carvalho E‐mail: [email protected]

Aluno do Curso de Graduação em Controladoria e Finanças, FACE/UFMG

Bruna Salerno Delarete Drummond E‐mail: [email protected]

Aluna do Curso de Graduação em Controladoria e Finanças, FACE/UFMG

Evento: 14º Encontro Brasileiro de Finanças, 24, 25 e 26 de julho de 2014, Universidade Federal de Pernambuco ‐ UFPE,

Centro de Ciências Sociais Aplicadas, Cidade Universitária ‐ Recife ‐ PE

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DESEMPENHO DE NOVAS PROPOSTAS DE SELEÇÃO DE PORTFÓLIOS

Robert Aldo Iquiapaza Carolina Magda da Silva Roma

Gustavo Ribeiro Carvalho Bruna Salerno Delarete Drummond

CEPEAD/UFMG

RESUMO

Neste trabalho foram avaliadas estratégias alternativas de seleção de portfólios baseando-se na análise do desempenho out-of-sample. Buscou-se comparar o desempenho obtido pelas estratégias tradicionais baseadas no modelo de otimização por média-variância propostas por Markowitz (1952), o portfólio igualmente ponderado (1/N) e duas abordagens consideradas estatisticamente mais robustas sugeridas por Tu e Zhou (2011). Para a estimação dos modelos, fez-se uso da matriz de covariância amostral e adicionalmente considerou-se um estimador robusto proposto por Ledoit e Wolf (2003) recomendado na literatura. Como amostra, foram coletadas as cotações referentes às ações mais líquidas no mercado acionário brasileiro, incluídas no índice Ibovespa, no período de janeiro de 2004 a dezembro de 2013, tomando como base frequências de rebalanceamento semanais e mensais. A partir de diferentes métricas de avaliação – média, desvio-padrão, índice de Sharpe, breakeven e turnover – foram comparados os desempenhos das diversas estratégias e avaliado o impacto da inclusão dos custos de transação. Somente quando se restringe as vendas a descoberto e com rebalanceamento semanal a estratégia combinada de Kan e Zhou (2007) apresenta resultado próximos aos dos portfólios tangente e de mínima variância. Nos outros casos esses dois portfólios apresentaram melhor performance, superando as outras estratégias sofisticadas, embora quase todas as estratégias testadas tiveram performance superior a estratégias mais simples de 1/N ou de comprar e manter o índice Ibovespa. A vantagem do estimador robusto da covariância parece limitada ao caso de restrição de vendas a descoberto e uma maior frequência de rebalanceamento.

Palavras-chave: Carteiras. Novas técnicas. Desempenho. Investimentos.

ABSTRACT

In this work, alternative strategies for selecting portfolios were evaluated based on the comparison of analysis of out-of-sample performance. The objective was to compare the performance achieved by traditional strategies based on the mean-variance optimization model, proposed by Markowitz (1952), the equally weighted portfolio (1/N) and two approaches considered statistically more robust suggested by Tu and Zhou (2011) . For estimation of the models, it was used the sample covariance matrix and additionally considered a robust estimator proposed by Ledoit and Wolf (2003) suggested by literature. The sample was composed by stock prices related to the most liquid assets, included in Ibovespa’s index, from January 2004 to December 2013, based on weekly and monthly rebalancing frequency. From different metrics - mean, standard deviation, beta, Sharpe ratio, turnover and breakeven - the performances of different strategies

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were compared and the transaction costs evaluated. Only when short sales are not allowed and with weekly rebalancing the Kan and Zhou (2007) combined strategy presented results close to the tangent and minimum variance portfolios. In other cases these two portfolios revealed better performance, outperforming other sophisticated strategies, although almost all tested strategies exhibited performance superior to the simplest strategies of 1/N or buy and hold the Ibovespa index. The advantage of the robust estimator for the covariance seems limited to the case of restricted short sales and a higher frequency of rebalancing.

Keywords: Portfolio. New techniques. Performance. Investments.

1. INTRODUÇÃO

Devido o contínuo desenvolvimento econômico e dos mercados de capitais, assim como o crescente interesse de investidores nos mercados acionários, teorias e análises que proporcionem melhores retornos por meio das decisões de investimento são de inegável contribuição. Entretanto, as teorias financeiras, base para o desenvolvimento de tais decisões, já vem sendo desenvolvida há décadas. Entre os anos cinquenta e sessenta do século XX ocorreu uma revolução teórico-metodológica na pesquisa em finanças que, pela adoção dos fundamentos positivistas, levou-a incorporar modelos matemáticos e estatísticos aos modelos financeiros (IQUIAPAZA; AMARAL; BRESSAN, 2009).

Uma das principais teorias desenvolvidas neste ambiente revolucionário foi a teoria das carteiras, fundamentada por Markowitz (1952). A abordagem desenvolvida pelo autor é considerada um marco nas finanças modernas, na medida em que introduziu aos problemas de definição de portfólios a análise de média-variância, em um contexto no qual os investidores utilizam a correlação menos que perfeita entre os ativos do mercado para reduzir o risco das carteiras.

A Teoria Moderna do Portfólio, a partir de Markowitz (1952), reconhece que os investidores são avessos ao risco, e deveriam considerar ao determinar seus investimentos o trade-off entre risco e retorno esperado da carteira, determinado pela sua função de utilidade. Dessa forma, o investidor escolherá o portfólio que lhe renda maior retorno para um dado nível de risco, ou de forma equivalente, o que apresentar menor risco para determinado nível de retorno esperado. Markowitz (1952) representou todas as combinações de ativos arriscados que proporcionam a maximização dessa utilidade dispostas na chamada Fronteira Eficiente, em que cada ponto refere-se a um par de risco e retorno. Segundo Kirby e Ostdiek (2012), o modelo tradicional de Markowitz (1952) ainda é muito utilizado em problemas de alocação de ativos, mesmo após ter se passado mais de sessenta anos desde sua formulação, e uma razão está em sua abordagem, que acomoda facilmente problemas reais e fornece soluções numéricas rápidas.

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Embora a contribuição de Markowitz (1952) para o desenvolvimento dos estudos em finanças seja reconhecida, como mencionam Santos e Tessari (2012) ao ressaltar sua revolução em direção à diversificação dos investimentos, e como Tu e Zhou (2011), cujos resultados reafirmaram a utilidade dessa teoria de investimento, especialmente quando utilizadas em combinações de estratégias, o modelo proposto traz algumas limitações na sua aplicação prática. Esta abordagem apresenta dificuldades de implementação, já que ao utilizar somente os dois primeiros momentos da distribuição , mesmo que indiretamente assume a normalidade dos retornos, uma premissa que não reflete a realidade de muitos ativos financeiros e uma vez que os verdadeiros parâmetros em questão não são conhecidos.

De acordo com Santos (2010), os erros de estimação na implementação dos modelos clássicos de otimização de portfólios, em especial Markowitz (1952) e Sharpe (1964), são suas principais fraquezas, sendo que este último focou na precificação de ativos desenvolvendo o modelo amplamente utilizado denominado de Capital Asset Pricing Model (CAPM). Entretanto, o fato de um modelo apresentar fraquezas, não significa que ele é totalmente falho, ao contrário, Fabozzi et al. (2007) defendem que o quadro teórico clássico necessita de algumas mudanças a fim de apresentar maior realismo, estabilidade e robustez.

Nesse sentido, emergiram uma série de alternativas que visam aprimorar o processo de seleção de ativos e da gestão das carteiras, com a utilização, por exemplo, de modelos robustos de otimização de portfólios. Devido o desenvolvimento tecnológico e computacional nas últimas décadas, os modelos quantitativos de otimização têm ganhado notoriedade, uma vez que sua aplicabilidade vem sendo desenvolvida e expandida.

Assim, modelos que busquem essas alternativas ganham destaque. Alguns desses modelos sofisticados foram utilizados em estudos recentes nos quais o processo metodológico se assemelha ao observado neste trabalho. Estudos tais como de Tu e Zhou (2011), que aplicaram estratégias sofisticadas de escolha de carteiras, incluindo estratégias combinadas, e o de Santos e Tessari (2012), que propuseram a utilização de estimadores alternativos para a matriz de covariância dos retornos baseados em Ledoit e Wolf (2003, 2004a, 2004b) e compararam os resultados obtidos em relação ao desempenho obtido pela matriz de covariância amostral.

A questão que surge a seguir é saber se tais alternativas são capazes de obter melhores resultados financeiros em ambientes de contínua incerteza e alta volatilidade. Assim, o objetivo foi analisar novas alternativas de formulação de portfólios e verificar a performance fora-da-amostra das mesmas, quando comparadas a procedimentos simples e aos baseados na proposta original de Markowitz (1952). Para tanto, busca-se determinar a performance financeira de cada modelo visando determinar se existem combinações dos modelos que melhoram a performance, e analisar o efeito dos custos de corretagem em cada um dos modelos e suas combinações.

Sendo assim, o presente trabalho está organizado da seguinte maneira. Na seção 2, encontra-se o referencial teórico que embasa o estudo com a apresentação teórico-metodológica desenvolvida por Markowitz (1952), suas limitações e propostas alternativas para contorná-las. Na seção 3, apresentam-se os procedimentos metodológicos adotados. Na seção 4, encontram-se os resultados e análise e discussão da pesquisa. Por último, têm-se as considerações finais realizadas.

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2. REFERENCIAL TEÓRICO

2.1. TEORIA DE CARTEIRAS

A amplamente conhecida teoria de seleção de portfólios baseada no modelo de Markowitz (1952) é considerada o marco das finanças modernas, por revolucionar a escolha e alocação de ativos arriscados em carteiras numa abordagem quantitativa, pouco explorada na época, e com base na função de utilidade dos investidores. Tal função é definidora do nível de trade-off entre risco, representado pela volatilidade dos retornos dos ativos, e retorno, calculado pela média dos retornos históricos dos ativos. A implementação da análise por média-variância foi de grande importância para o âmbito financeiro, assim como a introdução da ideia de diversificação por meio da covariância entre os ativos.

A escolha do portfólio ótimo a partir da análise por média-variância de Markowitz (1952) dependerá então da função de utilidade do investidor, baseada na variância e no retorno esperado dos ativos que compõem a carteira. Segundo Santos (2010), a escolha do prêmio de risco desejado depende da tolerância do investidor ao risco, sendo os investidores amantes do risco mais tolerantes e mais dispostos a um aumento de volatilidade em função de um maior retorno esperado.

Neste sentido, o problema do investidor consiste na alocação de seu patrimônio entre os ativos disponíveis no mercado, com base em percentuais adequados para cada um dos ativos. Estes pesos devem ser definidos de modo a obter o maior retorno possível para certo nível de risco aceitável pelo investidor. Sendo que o retorno do portfólio nada mais é que a soma dos retornos esperados de cada ativo ponderado por seu peso, e o risco da carteira é dado pela soma das variâncias individuais de cada ativo e a covariância entre os pares de ativos, também ponderada pelos pesos referente a cada um.

A inclusão da covariância entre os pares de ativos foi uma revolução da teoria das carteiras de Markowitz (1952), já que introduziu o conceito de diversificação dos portfólios. A diversificação consiste na alocação de ativos menos correlacionados com o intuito de se eliminar a parcela do risco total chamada de diversificável. O risco diversificável, diferentemente do sistemático, é aquele referente às especificidades de cada empresa ou cada setor da economia e que, portanto, pode ser minimizado com a escolha de ativos diferenciados, i.e., pouco correlacionados.

Assim, é possível resolver o problema do investidor na seleção de carteiras da seguinte forma. Seguindo a notação de Santos e Tessari (2012) e conforme desenvolvido por Brandt (2009), representa-se um vetor de pesos N x 1, w = (w1,...,wN)ʹ, com restrição à vendas a descoberto – a carteira é totalmente investida –, i.e., ∑ i = 1 e wi ≥ 0. Supondo N ativos arriscados com vetor de retornos aleatórios Rt +1, o retorno do portfólio do período t a t + 1 é dado pelo somatório dos retornos dos ativos (Ri,t+1) ponderados pelos seus respectivos pesos (wi) conhecido em t, Rp,t +1 = ∑ i,t Ri,t +1. Considerando Rt ~ N ( µt , ∑t ), com média µt, µt = {µ1,t ,..., µN,t }, e covariância ∑ t, ∑ t = { σij,t }. O retorno em excesso do portfólio, i.e., o retorno após o ajuste ao CDI do período – proxy para a taxa livre de risco –, é dado por Rp,t = wʹt Rt, e apresenta distribuição normal com média µp,t = wʹt µt e variância p,t = wʹt ∑ t wt .

Markowitz (1952) afirma que o investidor deverá resolver um problema de minimização restrita, na medida em que a carteira de média-variância é a solução do problema de otimização seguinte:

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min ′∑ , (1)

sujeito a lʹw = 1, um vetor de uns que garante que da soma dos pesos seja equivalente a um.

wi ≥ 0 para todo i = 1, ..., N

onde w ϵ representa o vetor de pesos da carteira, , é a média amostral dos retornos em excesso do portfólio, wʹ∑w é a variância amostral dos retornos da carteira, γ corresponde à medida do nível de aversão ao risco do investidor e wi ≥ 0 representa a restrição às vendas a descoberto.

Para diferentes peso w1, ..., wN escolhidos, o investidor obterá diferentes combinações de risco e retorno. O conjunto de todas as combinações possíveis e que ao mesmo tempo maximiza µ para um dado nível de , consiste na chamada fronteira eficiente. Supondo que os investidores são racionais e avessos ao risco, eles desejarão maximizar µ e minimizar , escolhendo para cada nível de aversão γ uma carteira na fronteira eficiente.

2.2. 2 EVIDÊNCIAS EMPÍRICAS DE PROPOSTAS ALTERNATIVAS PARA SELEÇÃO E GESTÃO DE CARTEIRAS

A literatura acadêmica recente tem buscado apresentar soluções para o tratamento de problemas de otimização com parâmetros incertos através de modelos robustos de otimização. Genericamente essas técnicas buscam encontrar soluções para os problemas de otimização que forneçam bons resultados para os diferentes valores possíveis de serem assumidos pelos parâmetros incertos, de forma a reduzir a sensibilidade dos modelos às variações dos parâmetros (BEYER; SENDHOF, 2007).

Tu e Zhou (2011) questionam se os modelos de diversificação tem melhores resultados que o investimento em uma carteira em iguais proporções (regra ou estratégia 1/N). O resultado depende das informações e metodologias utilizadas para estimar os retornos esperados e riscos e especialmente da aversão ao risco do investidor. A estratégia ingênua ou igualmente ponderada (1/N) consiste em manter pesos iguais para todos os ativos disponíveis, equivalentes a 1/N, sendo N o número total de ativos, e durante todo o período analisado. Em geral, quando se usa um número maior de ativos e o investidor tem menos aversão ao risco maior é a perda de regra 1/N. Assim, segundo os autores podem existir combinações de pesos de 1/N com pesos resultantes da otimização de Markowitz (1952) que proporcionem melhores resultados do que as estratégias que as originam.

Segundo Pflug, Pichler, Wozabal (2012) a estratégia de investimento uniforme é interessante por ser difícil de ser superada, e estudos mostram que é usada em casos de incerteza na decisão do agente. Eles evidenciaram que há convergência para a estratégia uniforme em problemas de otimização de carteiras com Markowitz Functional e Conditional Value-at-Risk como funções objetivas, mas não garante que o real portfólio

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ótimo para um alto nível de ambiguidade é o portfólio uniforme. Em geral, agentes preferem portfólio diversificado quando a incerteza do modelo aumenta, levando essa estratégia a ser mais recomendada para alguns tipos de aversão ao risco.

Já Kirby e Ostdiek (2012) indicam que quando na diversificação de Markowitz (1952) se estabelece como objetivo um retorno igual ao da estratégia 1/N, a diversificação 1/N resulta superior em termos de retorno obtido por unidade de risco, ou índice de Sharpe (IS). Os autores recomendam a utilização de modelos condicionais de retornos esperados e de volatilidade, para obter uma performance superior à regra 1/N, já que dessa forma se reduziria a rotação dos ativos nas carteiras.

De acordo com Fletcher (2011) a estratégia de Tu e Zhou (2011) apresenta uma alta rotação nos pesos dos ativos, e dependendo dos custos de transação, em alguns casos não superam a estratégia 1/N. Fletcher (2011) testou diferentes combinações e formas de se determinar os pesos de uma carteira no Reino Unido, incluindo as estratégias sugeridas por Tu e Zhou (2011) e Kirby e Ostdiek (2012), e encontraram que a segunda supera significativamente a estratégia 1/N, mesmo quando se incorpora altos custos de transação. Já Pflug, Pichler e Wozabal (2012) indicam que em geral a estratégia de investimento 1/N proporciona melhores resultados quando há uma alta incerteza sobre a estimação dos parâmetros necessários para especificar os modelos de otimização.

Freitas (2009), por exemplo, propõe a utilização de otimização robusta para reduzir a dependência de um modelo de seleção de portfólios ao retorno esperado para os ativos. Na ocasião o autor utiliza o Valor em Risco Condicional (Conditional Value at Risk), CVaR, como medida de risco e propõe contrapartidas robustas conforme as abordagens de Soyster (1973) e Betsimas e Sim (2004) aplicadas ao mercado nacional.

Santos (2010) faz uma revisão da literatura acerca dos modelos de otimização robusta, apresentando um breve estado da arte dessa temática. Num segundo momento analisa a performance fora-da-amostra e a estabilidade das composições ótimas das carteiras obtidas com otimização robusta e com métodos tradicionais, isto é o modelo de média-variância e suas extensões, utilizando para tanto dados simulados.

Dentre outros trabalhos que buscam combinar as expectativas do investidor com as expectativas do mercado, ou ponderar os resultados da otimização clássica com a estratégia de pesos iguais, dependendo das condições de incerteza. Em alguns casos pode-se reduzir a rotação nos pesos dos ativos, e assim dos custos de transação, podendo conduzir a melhores resultados.

3. PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

3.1. AMOSTRA

Para fins do presente estudo, foram selecionados os ativos que compuseram a carteira do índice Bovespa (Ibovespa), proxy tomada como representativa da carteira de mercado. Como o Ibovespa é rebalanceado, os ativos que compõem a carteira são aqueles presentes na carteira teórica havendo assim, entradas e saídas de ativos dos portfólios.

Foram coletadas as cotações referentes ao período de janeiro de 2004 à dezembro de 2013, sendo que os retornos foram calculados usando o logaritmo natural. Como proxy para o ativo livre de risco fez-se uso do Certificado de Depósito

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Interbancário (CDI). A coleta dos dados deu-se através do Software Economática® e do sítio eletrônico da BM&FBovespa.

Para analisar o desempenho fora-da-amostra (out-of-sample) utilizou-se o período de sessenta observações mensais ou cinco anos a partir do início da amostra, logo os rebalanceamentos foram iniciados em janeiro de 2009, em base mensal e semanal.

Entretanto, para composição da carteira optou-se por considerar as ações que apresentaram um mínimo de cotações de vinte meses anteriores ao início dos rebalanceamentos ou à sua entrada no Ibovespa. Dessa forma, dentre os 106 ativos que fizeram parte do Ibovespa no período entre janeiro de 2004 e dezembro de 2013, foram utilizados 83 ativos do mercado acionário brasileiro para a aplicação das estratégias de seleção de carteiras.

A metodologia deste trabalho foi baseada na aplicação de estratégias tradicionais de seleção de carteiras, dentre elas as com base no modelo de Markowitz – Portfólio Tangente e Portfólio de Variância Mínima – e a estratégia ingênua ou igualmente ponderada (1/N); e estratégias alternativas. Dentre estas, como proposto por Tu e Zhou (2011), está a regra de máxima verossimilhança padrão (ML), ou regra de Markowitz estimada; uma estratégia combinada da ML e da regra 1/N; uma abordagem sugerida por Kan e Zhou (2007) (KZ); e outra estratégia combinada da KZ e da 1/N. Quanto à matriz de covariância, utilizou-se além da matriz amostral, um dos três estimadores estudados por Santos e Tessari (2012) e proposto por Ledoit & Wolf (2003).

Além disso, como comprar e vender tem custos, consideraram-se os custos de transação, através do chamado custo de transação breakeven. Para a comparação dos desempenhos fora-da-amostra das diferentes estratégias utilizou-se como métricas a média, o desvio-padrão, betas, o índice de Sharpe (IS), o turnover e o Certainty-Equivalent Return (CER).

Para realizar os procedimentos metodológicos, utilizou-se o Software R.

3.2. ESTIMAÇÃO DAS ESTRATÉGIAS ALTERNATIVAS E ANÁLISE DO DESEMPENHO

Neste trabalho foram aplicadas sete estratégias de construção de carteiras. Dentre elas, encontram-se a abordagem tradicional de média-variância de Markowitz (1952) com a carteira de mínima variância (MV) e o portfólio tangente (PT), além da carteira igualmente ponderada (1/N), que embora seja uma regra simples é muito utilizada em amostras pequenas e como benchmark nos estudos empíricos, como por exemplo, em De Miguel e Nogales (2009).

As estratégias alternativas foram àquelas propostas por Tu e Zhou (2011). Os autores trabalharam com combinações da estratégia de Markowitz (1952), de Kan e Zhou (2007), Jorion (1986) e Mackinlay e Pástor (2000). Os autores analisaram o desempenho dessas estratégias sempre em conjunto com a carteira 1/N.

Porém, Tu e Zhou (2011) encontraram que os coeficientes ótimos das combinações que envolvem os dois últimos autores mencionados apresentaram maior viés devido à falta do desenvolvimento analítico e mais preciso no processo de estimação. Portanto, na presente pesquisa foram utilizadas somente as estratégias de Tu e Zhou (2011) baseadas em Markowitz (1952) e Kan e Zhou (2007).

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As estratégias propostas foram: carteira de mínima variância ( MVw ), portfólio tangente ( PTw ), carteira igualmente ponderada (1/N), regra 1/N em combinação com a estratégia de Markowitz ( CMLw ), regra 1/N combinada com a estratégia de Kan e Zhou (

CKZw ), estratégia de Markowitz ( MLw ) e a estratégia de Kan e Zhou ( KZw ).

Adicionalmente, foi utilizado um estimador alternativo para a matriz de covariância dos retornos, resultando na aplicação de duas matrizes, a matriz de covariância amostral e a matriz pelo método de encolhimento, sugerida por Santos e Tessari (2012).

3.2.1. Carteira de mínima variância

Um caso especial do portfólio de média-variância é conhecido como carteira de mínima variância (MV), em que o coeficiente de aversão ao risco relativo do investidor é infinito (γ = ∞). Ela pode ser obtida através da solução do seguinte problema de mínima-variância:

min ʹ∑ (2)

sujeito a l’w = 1

wi ≥ 0 para todo i = 1, ..., N

A carteira de mínima variância tem sido muito utilizada em estudos recentes por ser menos sensível aos erros de estimação, uma vez que não depende do retorno esperado dos ativos (Santos e Tessari, 2012).

3.2.2. Portfólio tangente

A estratégia conhecida como portfólio tangente (PT) consiste em outro caso especial da abordagem por média-variância e, assim como carteira de mínima variância, o PT encontra-se sobre a fronteira eficiente. Entretanto, ele representa o melhor “mix” de ativos arriscados disponíveis, apresentando o maior índice de Sharpe (razão entre excesso de retorno esperado e desvio-padrão). Os pesos do portfólio tangente são facilmente obtidos pela ponderação dos elementos resultantes da multiplicação matricial da inversa da matriz de covariância e do vetor de retornos em excesso dos ativos.

3.2.3. Carteira igualmente ponderada

A carteira ingênua ou igualmente ponderada (1/N) se baseia na manutenção de pesos iguais para cada um dos N ativos arriscados disponíveis no mercado, wi = 1/N, para cada data de rebalanceamento da carteira. Consiste numa estratégia amplamente conhecida e utilizada, apesar do desenvolvimento de estratégias mais robustas, uma vez que apresenta bom desempenho em amostras pequenas, é de fácil implementação e não depende dos momentos dos retornos dos ativos, teorias ou de qualquer técnica de otimização. Neste sentido, a carteira igualmente ponderada é também muito utilizada

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em estudos como benchmark para monitorar resultados e comparar desempenhos, como em Santos e Tessari (2012), e como ponto de partida para combinações de estratégias de alocação, como em Tu e Zhou (2011). Existem estudos empíricos, tais como de DeMiguel, Garlappi e Uppal (2009), cujos resultados corroboram com a superioridade da estratégia 1/N em relação a estratégias sofisticadas. Entretanto, como ressalta Tu e Zhou (2011), a regra ingênua falha ao convergir para a regra ótima, se não for equivalente a ela, enquanto as estratégias combinadas sempre convergem e são desenhadas para superar a 1/N ou qualquer estratégia individual baseada na amostra.

3.2.4. Combinação da regra 1/N com estratégias sofisticadas

Seguindo a notação de Tu e Zhou (2011), tem-se que a combinação de duas estratégias é dada por:

c = (1- δ) + δ (3)

em que corresponde à regra 1/N, representa a carteira sofisticada baseada nos dados amostrais, e δ é chamado coeficiente de combinação, 0 ≤ δ ≤ 1. O retorno do portfólio combinado em T + 1 será RpT+1 = rfT+1 + c’ RT+1 , onde rfT+1 é o retorno do ativo livre de risco, e RT+1 é um vetor dos retornos em excesso dos N ativos arriscados. Assumindo que os excessos de retornos são independentes e identicamente distribuídos, com distribuição normal multivariada de média µ e matriz de covariância ∑. A utilidade esperada de c será

U( c) = rfT+1 + µʹ c - ʹc∑ c (4)

onde γ é o coeficiente de aversão ao risco relativo do investidor de média-variância. Deseja-se encontrar o coeficiente δ ótimo que minimize a função de perda esperada L(w*, c).

L(w*, c) = U(w*) – E[U( c)] (5)

onde U(w*) representa a utilidade esperada do verdadeiro portfólio ótimo, w* = ∑ µ/γ. Na prática, o coeficiente de combinação δ é desconhecido, entretanto, consiste em apenas um parâmetro a ser estimado, o que reduz seus os erros de estimação. Dessa forma, segundo Tu e Zhou (2011), sua combinação estimada ótima com a regra 1/N pode melhor a performance de ambas as estratégias.

3.2.5. Combinação com a estratégia de Markowitz (1952)

A primeira combinação sugerida por Tu e Zhou (2011) consiste na junção da regra 1/N e portfólio de máxima verossimilhança padrão ou portfólio de Markowitz (ML)

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estimado. Seja μ a média e ∑ a matriz de covariância de RT+1, a regra ML será dada por = ∑ μ / γ. Porém, ao invés de se utilizar é feito um escalonamento da forma:

= ∑ μ (6)

onde ∑ ∑ . O é não enviesado e tem performance superior a . O

portfólio combinado será dado por c = (1- δ) + δ , e a perda esperada de c será

L(w*, c) = [(1- δ)² π1 + δ² π2] (7)

onde π1 = ( – w*)’ ∑ ( – w*), π2 = E[( – w*)’ ∑ ( – w*)]; π1 corresponde a uma medida do impacto do viés da regra 1/N, e π2 do impacto da variância da estratégia

. Assim, δ determina o trade-off entre viés e variância, sendo o coeficiente ótimo igual a

δ* =

(8)

Segundo a Proposição 1 de Tu e Zhou (2011), caso π1 > 0, então existe um coeficiente ótimo δ*, 0 < δ* < 1, de forma que a estratégia combinada ótima c é estritamente dominante em relação a 1/N e a . A condição π1 > 0 é facilmente verificada na prática, uma vez que a regra 1/N será diferente do real portfólio ótimo com probabilidade igual a um.

Para estimar δ*, é preciso estimar apenas π1 e π2, da forma

1 = wʹe∑ - wʹeμ + ² (9)

2 = ² (c1 – 1) ² +

² (10)

onde ² é um estimador de θ² = µʹ∑ μ , sugerido por Kan e Zhou (2007), e c1 = (T-2)(T-N-2)/((T-N-1)(T-N-4)), sob a condição T > N+4 , que garante a existência do segundo momento de ∑ .

De acordo com a Proposição 2 de Tu e Zhou (2011), assumindo T > N+4, na combinação da regra 1/N e , o portfólio ótimo estimado será

= ( 1 - ) + (11)

onde = 1 / ( 1 + 2 ). Essa combinação é facilmente aplicável, já que consiste apenas em uma função dos dados. Porém, não se pode garantir que combinação ótima estimada será sempre superior a regra 1/N ou , pois existem erros ao estimar δ*.

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3.2.6. Combinação da estratégia de Kan e Zhou (2007)

A estratégia sugerida por Kan e Zhou (2007), , objetiva minimizar o impacto dos erros de estimação via um portfólio de três fundos. Seja ̂ o estimador da inclinação ao quadrado da assíntota para a fronteira de mínima variância (squared slope of the asymptote to the minimum-variance frontier), e μ g o excesso de retorno esperado do portfólio de mínima variância.

Segundo a Proposição 3 de Tu e Zhou (2011), assumindo T > N+4, a combinação ótima estimada da regra 1/N e da estratégia de Kan e Zhou (2007) será

= ( 1 - k ) + k (12)

onde k = ( 1 - 13 ) / ( 1 - 2 13 + 3 ), sendo 13 e 3 dados por

13= ²²- wʹe μ+ ([ ̂wʹe μ +(1- ̂)μ gwʹe1N ]- [ ̂ μʹ ∑ μ +(1- ̂)μg μʹ∑ 1N])

(13)

3 = ² ² -

² ( ² - ̂ ) (14)

Espera-se que a combinação , pelo seu design, supere a regra 1/N se os erros de estimação do verdadeiro coeficiente ótimo δk forem pequenos, e se a regra 1/N não for idêntica ao verdadeiro portfólio ótimo.

3.2.7. Matriz de covariância amostral

A matriz de covariância amostral, evidenciada no modelo clássico de Markowitz (1952), usa retornos históricos com mesma ponderação e os considera independentes e identicamente distribuídos ao longo do tempo (i.i.d.). Desta forma, supõe-se que os retornos em períodos subsequentes são não correlacionados, com média e desvio padrão constantes (SANTOS; TESSARI, 2012). Entretanto, já é conhecido que a hipótese de retornos i.i.d. não costuma ser verificada em dados reais, levando a aplicação da matriz amostral ao desuso.

Seja R uma matriz N x T de N retornos em T observações, sendo T < L, a matriz de covariância amostral empírica, ∑ , é dada por:

∑ ∑ μ μ ʹ (15)

Em que, refere-se ao vetor de retornos dos ativos no tempo t, T é o número de

observações utilizadas na estimação, L é o número total de observações e µ = ∑

consiste na média amostral dos retornos dos ativos em questão.

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Como foi ressaltado anteriormente, a matriz de covariância amostral atribui o mesmo peso a todas as observações da amostra, o que gera limitações de sua adaptação à informações mais recentes. Neste sentido, Santos e Tessari (2012) sugerem o uso de uma janela móvel (rolling window) com um número fixo de observações para a estimação da matriz amostral.

3.2.8. Matriz de covariância encolhida

Segundo DeMiguel & Nogales (2009) pequenas mudanças no cálculo da matriz de covariância dos retornos podem causar mudanças nos pesos das carteiras. Neste sentido, os problemas de estimação intrínsecos à matriz amostral tradicional, já citados na seção anterior, podem afetar o desempenho das estratégias de investimento de forma significativa e relevante. Com isso, surgiram diversos trabalhos propondo estimadores alternativos, como Jorion (1986) – para as médias – e Ledoit & Wolf (2003, 2004a, 2004b) – para a matriz de covariância. Rubesam e Beltrame (2013) ressaltam que a dificuldade de estimação dos retornos afeta o desempenho das carteiras em períodos futuros, então propõe a solução de se ignorar as médias e focar na estimação da matriz de covariância como propõe Jagannathan & Ma (2003), sendo assim a fronteira eficiente não seria mais construída, e a única carteira a ser formada seria a de variância mínima global.

De acordo Santos e Tessari (2012), a matriz amostral clássica estimada com retornos históricos não apresenta viés, mas apresenta erros de estimação; e os estimadores mais robustos introduzem viés, mas reduzem os erros de estimação. Dessa forma, combinaram a matriz de covariância amostral e um estimador estruturado, explorando o trade-off entre erro de especificação e variância estimada. Stein (1956) utilizou um método de encolhimento (shrinkage) para alcançar este trade-off ótimo, obtendo uma matriz de covariância bem condicionada através da ponderação dos estimadores viesado e não-viesado. Ledoit & Wolf (2003) empregaram uma abordagem com base no método de encolhimento, diminuindo a sensibilidade dos portfólios tradicionais às entradas incertas do modelo de Markowitz (1952), e propuseram um método Bayesiano para controlar a estrutura em um estimador da matriz de covariância (SANTOS; TESSARI, 2012).

Santos e Tessari (2012) aplicaram, além da abordagem tradicional para matriz de covariância, a metodologia RiskMetrics proposta por J.P. Morgan & Reuters (1996), e três estimadores propostos por Ledoit & Wolf (2003, 2004a, 2004b). Desta maneira, este trabalho se propôs a empregar o estimador sugerido por Ledoit & Wolf (2003), na medida em que Santos e Tessari (2012) encontraram melhor desempenho geral via este estimador, cujas carteiras apresentaram maiores desempenhos ajustado ao risco e retorno médio sobre os ativos.

Sendo assim, a matriz de covariância estimada ∑ pode ser representada pela média ponderada de maneira ótima de dois estimadores já existentes, o tradicional e o estruturado,

∑ αFt + (1- α)∑ t (16)

onde α ϵ [0,1] é a intensidade de encolhimento ótima, que representa o peso referente ao estimador estruturado. F representa o estimador estruturado e consiste numa matriz

14

positiva, enquanto ∑ é a matriz de covariância amostral. Como α não é observável, Ledoit e Wolf (2004a) afirmaram que para que F seja considerado estruturado, a matriz deve apresentar poucos parâmetros independentes e refletir as principais características dos parâmetros desconhecidos sendo estimados.

Dessa forma, Ledoit e Wolf (2003) propuseram como estimador da matriz F o modelo de um único fator de Sharpe (1963), a ser combinado com a matriz de covariância amostral para obter a matriz de covariância alternativa. A matriz estruturada é dada pelo modelo de um fator e a amostral pode ser interpretada como um modelo N-fatorial, em que cada ativo é um fator e não existem resíduos. O coeficiente de encolhimento α, por sua vez, é obtido através de expressões de forma fechada que, segundo Santos e Tessari (2012), torna a abordagem atrativa por sua implementação computacional.

A partir da notação de Ledoit e Wolf (2003), tem-se que o modelo de um único fator proposto por Sharpe (1963) leva ao seguinte estimador da matriz de covariância estruturada dos retornos:

F = ∑² bbʹ + D (17)

onde ∑² equivale à variância amostral dos retornos de mercado, b é o vetor da inclinação estimada e D representa a matriz diagonal contendo as estimativas da variância residual. Assumindo que a matriz de covariância estruturada é diferente da matriz amostral e que o portfólio de mercado apresenta variação positiva, ∑² > 0.

3.2.9. Medidas de desempenho

A partir da metodologia descrita anteriormente, foram calculados para cada estratégia os pesos wt, em cada período t. A aplicação da carteira wt por um período de tempo proporciona um excesso de retorno do portfólio em t + 1, t +1 = wʹt R t . Foram então aplicadas medidas de desempenho fora-da-amostra nos (L - T) excessos de retornos calculados, para cada uma das estratégias de alocação. Medidas tais quais: média dos excessos de retornos, desvio-padrão, Certainty-Equivalent Return (CER), índice de Sharpe (IS), turnover e breakeven, dados respectivamente por:

μ =

∑ ʹt t + 1 (18)

= ∑ ʹ μ (19)

CER = μ - ² (20)

IS = (21)

15

Turnover = ∑ ∑ (| w j,t +1 – w j,t |) (22)

)(

),(

m

mi

rVar

rrCov (23)

onde wj,t representa o peso do portfólio no ativo j no período t, antes do rebalanceamento, e wj,t +1 é o peso desejado no período t + 1 no ativo j. O turnover de um portfólio indica o nível dos custos de corretagem relacionados à sua estratégia, e pode ser considerado como uma medida de variabilidade dos pesos.

Com o intuito de se medir o impacto dos custos de corretagem no desempenho dos portfólios utilizados, foi considerada a média dos retornos líquidos de custos de transação, μCT. Seguindo a notação utilizada por Santos e Tessari (2012), tem-se:

μCT = ∑ [ (1 + wʹt Rt +1)(1 – c ∑ (| w j,t +1 – w j,t |)) – 1 ] (24)

em que c é a taxa paga a cada transação. O valor de c tal que μCT seja igual a zero é conhecido como custo de transação breakeven. Sendo que estratégias com custos breakeven mais elevados são consideradas preferíveis. O índice Herfindahl também foi analisado e representa o grau de diversificação da carteira.

O desempenho dos portfólios foi medido e avaliado nas frequências de rebalanceamento semanal e mensal. Para fins comparativos as estratégias foram simuladas com e sem restrições às vendas a descoberto, e utilizando duas matrizes de covariância, a amostral e a encolhida.

4. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

4.1. Performance das carteiras sem restrição de vendas a descoberto

A Tabela 1 apresenta os resultados obtidos com a matriz de covariância amostral (painel A) e a matriz de covariância encolhida (painel B), para o período de avaliação out of sample, utilizando rebalanceamento mensal. Além disso, são apresentados os indicadores para o portfólio Nw /1 , Ibovespa e CDI utilizados como benchmarks.

Para o rebalanceamento mensal o portfólio tangente PTw , com covariância amostral, se destacou em termos de retorno médio, superando aos três benckmarks; já o portfólio de variância mínima MVw , também usando a covariância amostral teve o melhor índice de Sharpe (Fig. 1). Os portfólios combinados MLw , CMLw e CKZw obtiveram retornos médios próximos da média do CDI, mas um turnover menor quando comparados a PTw e MVw . Os portfólios MLw obtiveram o melhor índice de Sharpe, quando comparados às outras estratégias combinadas com covariância amostral.

Em termos anualizados, o retorno médio dos portfólios PTw e MVw foi de 17.7% e 17.2%, respectivamente, sendo que o retorno do CDI foi 9.5% no mesmo período.

A estratégia KZw teve a maior volatilidade, com ambas as matrizes de covariâncias, embora tenha apresentado retornos médios interessantes e superiores aos benchmarks quando usada a covariância amostral, os retornos foram negativos quando

16

foi usada a covariância encolhida. Além disso, esta carteira mostrou os maiores índices de rotatividade da carteira evidenciada pelos índices Herfindahl e turnover.

Os betas foram inferiores aos do mercado, sendo o CKZw quem mais se aproximou ao superar 0.8, já o KZw apresentou alguns betas negativos.

Em geral, a utilização da matriz de covariância encolhida não teve resultados esperados, os portfólios tiveram piores indicadores de performance. Na maior parte dos casos ao utilizar a covariância encolhida se obteve maior turnover das carteiras quando comparados com a covariância amostral. Este resultado é surpreendente e deveria ser melhor avaliado futuramente, já que não se obteve os resultados esperados. O fato de ter utilizado um período de queda das cotações poderia estar influenciando esse resultado,

Retorno médio (%)

Devio-padrão (%)

Betas Índice de

Sharpe (IS )

Certainty Equivalent

Return

Índice Herfindahl

Turnover Breakeven

(%)

Painel A: Rebalanceamento Mensal, Covariância Amostral

1.366% 4.982% 0.195 0.122 0.002 0.339 13.69% 5.05%

1.335% 3.973% 0.304 0.145 0.003 0.202 7.64% 9.66%

γ = 3 0.961% 1.670% 0.066 0.121 0.002 0.010 4.56% 5.13%

γ = 5 0.880% 1.010% 0.041 0.120 0.001 -0.017 2.74% 5.15%

γ = 7 0.845% 0.730% 0.030 0.119 0.001 -0.024 1.96% 5.16%

γ = 3 1.145% 21.235% -0.524 0.018 -0.064 5.807 66.71% -0.05%

γ = 5 1.221% 13.100% -0.193 0.035 -0.038 2.232 40.55% 0.68%

γ = 7 1.254% 9.741% -0.051 0.051 -0.028 1.244 29.44% 1.39%

γ = 3 0.764% 4.871% 0.799 0.001 -0.004 -0.002 1.63% 24.38%

γ = 5 0.788% 4.564% 0.747 0.006 -0.005 -0.006 1.56% 24.81%

γ = 7 0.819% 4.164% 0.679 0.015 -0.005 -0.010 1.45% 25.67%

γ = 3 0.743% 5.119% 0.842 -0.003 -0.004 0.000 1.44% 27.73%

γ = 5 0.743% 5.119% 0.842 -0.003 -0.007 0.000 1.44% 27.73%

γ = 7 0.560% 5.116% 0.811 -0.039 -0.011 0.034 12.99% 3.31%

Painel B: Rebalanceamento Mensal, Covariância Encolhida

1.006% 6.363% 0.348 0.039 -0.004 3.073 70.57% 0.81%

1.307% 5.294% 0.442 0.104 0.001 2.364 59.81% 1.08%

γ = 3 0.841% 2.139% 0.117 0.039 0.000 0.313 23.52% 0.82%

γ = 5 0.808% 1.297% 0.071 0.038 0.000 0.093 14.11% 0.83%

γ = 7 0.794% 0.937% 0.051 0.038 0.000 0.032 10.08% 0.83%

γ = 3 -5.948% 45.339% -0.283 -0.148 -0.375 109.902 367.99% -0.32%

γ = 5 -3.046% 27.767% 0.007 -0.137 -0.231 41.049 228.89% -0.21%

γ = 7 -1.802% 20.340% 0.132 -0.126 -0.170 22.087 173.70% -0.10%

γ = 3 0.757% 4.776% 0.781 0.000 -0.003 -0.001 2.85% 13.60%

γ = 5 0.776% 4.485% 0.732 0.004 -0.005 -0.005 2.73% 13.82%

γ = 7 0.803% 4.114% 0.669 0.011 -0.005 -0.008 2.79% 13.03%

γ = 3 0.743% 5.119% 0.842 -0.003 -0.004 0.000 1.44% 27.73%

γ = 5 0.743% 5.119% 0.842 -0.003 -0.007 0.000 1.44% 27.73%

γ = 7 -0.495% 9.253% 0.835 -0.135 -0.042 2.844 40.17% -0.15%

Painel C: Benchmarks, mensal

0.743% 5.119% 0.842 -0.003 -0.004 0.000 1.44% 27.73%

0.567% 5.654% 1.000 -0.034 -0.007

0.758% 0.137% 0.002 0.000 0.000

* Todos os indicadores referem-se ao período de rebalanceamento.

Fonte: Elaboração Própria

Tabela 1 - Perfomance das sete estratégias aplicadas considerando as medidas de desempenho fora-da-amostrasem restrição à vendas a descoberto: retorno médio, desvio-padrão, betas, IS, Índice Herfindahl, turnover ebreakeven. Foram testados diferentes níveis do coeficiente de aversão ao risco (γ = 3, 5, 7), para orebalanceamento em frequência mensal. Dados estimados para as matrizes de covariância amostral e encolhidade Ledoit e Wolf.

wCDI

wMV

wML

wKZ

wCML

wCKZ

wIBOV

wCKZ

Portfólio

wPT

w1/N

wPT

wMV

wML

wKZ

wCML

17

mas também poderia ser devido à covariância amostral sempre estar incorporando informações reduzindo o erro de estimação.

Figura 1. Retorno, Risco e Índice de Sharpe (IS) para estratégias com IS positivo, apuradas fora-da-amostra, com rebalanceamento mensal. CA = Covariância amostral, CE = Covariância encolhida.

A Tabela 2 apresenta os resultados obtidos com a matriz de covariância amostral (painel A) e a matriz de covariância encolhida (painel B), para o período de avaliação out of sample, utilizando rebalanceamento semanal. Além disso, são também apresentados os indicadores para o portfólio Nw /1 , Ibovespa e CDI utilizados como benchmarks.

Para o rebalanceamento semanal em termos de retorno médio se destacaram os portfólios de variância mínima MVw e tangente PTw , tanto com a covariância encolhida e quanto com a amostral, superando aos três benckmarks e às demais estratégias. Os mesmos portfólios estiveram entre os três de maior performance medida pelo índice de Sharpe (Fig. 2).

Ao igual que no rebalanceamento mensal, entre os portfólios combinados os MLw com os três graus de aversão ao risco obtiveram os melhores índices de Sharpe,

principalmente por ter um menor desvio-padrão. Além disso, em geral quanto maior o grau de aversão ao risco (maior coeficiente gamma γ) menor o risco resultante da carteira. Os portfólios KZw e CKZw obtiveram retornos médios próximos da média do CDI, mas uma maior volatilidade e um turnover maior quando comparados às carteiras

PTw e MVw .

Em termos anualizados, o retorno médio do portfólio MVw com as covariâncias encolhida e amostral foi de 16.6% e 16.2%, respectivamente, sendo que o retorno do CDI foi 9.2% no mesmo período.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.0%

5.0%

10.0%

15.0%

20.0%

25.0%

Retorno médio (%) Devio‐padrão (%) Índice de Sharpe (IS)

18

As estratégias MLw e especialmente a CMLw tiveram os menores índices de turnover, com ambas as matrizes de covariâncias.

Os betas foram inferiores aos do mercado, sendo o CKZw quem mais se aproximou ao superar 0.8, já o KZw novamente apresentou alguns betas negativos.

Em geral, e ao contrário do que no caso de rebalanceamento mensal, com rebalanceamento semanal a utilização da matriz de covariância encolhida teve melhores resultados quando comparados aos de covariância amostral; os portfólios apresentaram melhores indicadores de performance. Mesmo que em alguns casos ao utilizar a covariância encolhida se obteve maior turnover das carteiras quando comparados com a

Retorno médio (% )

Devio-padrão (% )

Betas Índice de

Sharpe (IS )


Return

Índice Herfindahl

Turnover Breakeven

(% )

Painel A: Rebalanceamento Semanal, Covariância Amostral

0.240% 2.601% 0.252 0.025 0.000 0.318 5.25% 2.37%

0.299% 2.179% 0.320 0.057 0.001 0.200 2.21% 6.56%

γ = 3 0.196% 0.867% 0.084 0.025 0.000 0.007 1.75% 2.37%

γ = 5 0.188% 0.520% 0.050 0.025 0.000 -0.018 1.05% 2.37%

γ = 7 0.184% 0.372% 0.036 0.025 0.000 -0.025 0.75% 2.37%

γ = 3 -0.133% 9.670% -0.152 -0.032 -0.017 3.918 24.74% -0.26%

γ = 5 0.040% 6.077% 0.037 -0.022 -0.011 1.590 15.15% 0.13%

γ = 7 0.114% 4.613% 0.118 -0.013 -0.008 0.935 11.07% 0.50%

γ = 3 0.186% 2.297% 0.699 0.005 -0.001 -0.005 0.60% 11.69%

γ = 5 0.190% 1.950% 0.591 0.008 -0.001 -0.012 0.56% 11.11%

γ = 7 0.193% 1.591% 0.480 0.012 -0.001 -0.018 0.51% 10.58%

γ = 3 0.187% 2.637% 0.806 0.005 -0.001 0.000 0.38% 20.06%

γ = 5 0.040% 6.077% 0.037 -0.022 -0.011 1.590 15.15% 0.13%

γ = 7 0.114% 4.613% 0.118 -0.013 -0.008 0.935 11.07% 0.50%

Painel B: Rebalanceamento Semanal, Covariância Encolhida

0.275% 2.513% 0.236 0.040 0.000 0.688 8.65% 1.49%

0.322% 2.158% 0.286 0.068 0.001 0.368 4.17% 3.41%

γ = 3 0.208% 0.838% 0.078 0.040 0.000 0.048 2.88% 1.49%

γ = 5 0.195% 0.503% 0.047 0.040 0.000 -0.003 1.73% 1.49%

γ = 7 0.189% 0.360% 0.033 0.040 0.000 -0.017 1.24% 1.49%

γ = 3 -0.106% 10.624% -0.230 -0.026 -0.020 16.437 48.35% -0.16%

γ = 5 0.065% 6.666% -0.023 -0.016 -0.012 6.327 29.54% 0.04%

γ = 7 0.138% 5.036% 0.065 -0.007 -0.009 3.497 21.52% 0.23%

γ = 3 0.188% 2.251% 0.684 0.006 -0.001 -0.005 0.78% 8.83%

γ = 5 0.192% 1.915% 0.580 0.009 -0.001 -0.011 0.75% 8.30%

γ = 7 0.195% 1.567% 0.473 0.013 -0.001 -0.017 0.70% 7.62%

γ = 3 0.187% 2.637% 0.806 0.005 -0.001 0.000 0.38% 20.06%

γ = 5 0.189% 5.992% 0.067 0.002 -0.009 5.592 35.04% -0.10%

γ = 7 0.138% 5.036% 0.065 -0.007 -0.009 3.497 21.52% 0.23%

Painel C: Benchmarks, semanal

0.187% 2.637% 0.806 0.005 -0.001 0.000 0.38% 20.06%

0.140% 3.063% 1.000 -0.011 -0.002

0.175% 0.034% 0.000 0.000 0.000



Portfólio

w IBOV

w CDI

w PT

w MV

w ML

w KZ

w CML

w CKZ

w KZ

w CML

w CKZ

w 1/N

Tabela 2 - Perfomance das sete estratégias aplicadas considerando as medidas de desempenho fora-da-amostra sem restrição à vendas a descoberto: retorno médio, desvio-padrão, betas, IS, Índice Herfindahl,turnover e breakeven. Foram testados diferentes níveis do coeficiente de aversão ao risco (γ = 3, 5, 7), para orebalanceamento em semanal. Dados estimados para as matrizes de covariância amostral e encolhida deLedoit e Wolf.

w PT

w MV

w ML

19

covariância amostral, mas essa troca de ativos foi recompensada com um maior retorno médio.

Figura 2. Retorno, Risco e Índice de Sharpe (IS) para estratégias com IS positivo, apuradas fora-da-amostra, com rebalanceamento semanal. CA = Covariância amostral, CE = Covariância encolhida.

Como assinalado anteriormente obtiveram-se resultados diferentes ao utilizar a matriz de covariâncias encolhida e amostral, com rebalanceamento mensal e semanal. Sem dúvida são necessárias análises adicionais para se encontrar um ótimo, caso o mesmo exista.

Muitos autores tem destacado a vantagem de se realizar uma diversificação ingênua, a estratégia Nw /1 , mas a mesma apresentou resultados bem inferiores em termos de performance, com rebalanceamento mensal o retorno foi inferior ao CDI, já com rebalanceamento semanal teve retorno ligeiramente superior ao CDI. Como esta estratégia só se altera quando há a exclusão ou inclusão de algum ativo no índice, a mesma tem o menor turnover e também o maior breakeven. A estratégia CMLw ao ser uma combinação com Nw /1 também apresentou breakeven elevado que, conforme Santos e Tessari (2012, p. 380), quanto maior este indicador melhor, uma vez que representa o custo de transação incorrido para que tais estratégias obtivessem um lucro igual a zero.

4.2. Performance das carteiras com restrição de vendas a descoberto

Na seção anterior foram apresentados os resultados das simulações de negociação sem restringir as ventas a descoberto. Como nem todos os investidores têm essa possibilidade por diferentes tipos de limitação, na presente seção são analisados os resultados de simulações de estratégias de negociação idênticas, mas com a imposição da restrição de vendas a descoberto.

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%


20

A Tabela 3 apresenta os resultados obtidos com a matriz de covariância amostral (painel A) e a matriz de covariância encolhida (painel B), para o período de avaliação out of sample, utilizando rebalanceamento mensal e restrição de vendas a descoberto. Além disso, no painel C são apresentados os indicadores para o portfólio Nw /1 , Ibovespa e CDI utilizados como benchmarks.

Para o rebalanceamento mensal os portfólios com maiores retornos foram obtidos utilizando a covariância amostral. Especificamente, o portfólio de variância mínima MVw e o portfólio tangente PTw , tiveram os maiores retornos, superando aos três benckmarks e às outras estratégias.

Em termos de performance ajustada ao risco, os mesmos portfólios MVw e PTw , com covariância amostral, tiveram os maiores índices de Sharpe (Fig. 3). Os mesmos

Retorno médio (%)

Devio-padrão (%)

Betas Índice de

Sharpe (IS )


Return

Índice Herfindahl

Turnover Breakeven

(%)

Painel A: Rebalanceamento Mensal, Covariância Amostral

1.067% 4.337% 0.399 0.071 0.000 0.287 6.79% 7.47%

1.086% 4.044% 0.468 0.081 0.001 0.120 3.81% 15.79%

γ = 3 0.861% 1.462% 0.134 0.070 0.001 0.004 2.26% 7.54%

γ = 5 0.820% 0.890% 0.081 0.069 0.000 -0.019 1.36% 7.55%

γ = 7 0.802% 0.647% 0.059 0.068 0.000 -0.025 0.97% 7.55%

γ = 3 1.000% 7.667% 0.265 0.032 -0.006 2.067 27.75% 1.15%

γ = 5 1.032% 5.254% 0.348 0.052 -0.004 0.700 15.65% 2.79%

γ = 7 1.045% 4.480% 0.383 0.064 -0.004 0.356 10.63% 4.57%

γ = 3 0.755% 4.891% 0.802 -0.001 -0.004 -0.002 1.62% 24.18%

γ = 5 0.777% 4.591% 0.751 0.004 -0.005 -0.006 1.56% 24.35%

γ = 7 0.805% 4.196% 0.684 0.011 -0.006 -0.010 1.45% 25.21%

γ = 3 0.743% 5.119% 0.842 -0.003 -0.004 0.000 1.44% 27.73%

γ = 5 0.743% 5.119% 0.842 -0.003 -0.007 0.000 1.44% 27.73%

γ = 7 0.732% 5.100% 0.839 -0.005 -0.009 0.007 5.36% 7.51%

Painel B: Rebalanceamento Mensal, Covariância Encolhida

1.018% 4.145% 0.372 0.063 0.000 0.296 6.09% 7.30%

0.992% 4.147% 0.497 0.056 0.000 0.124 4.50% 12.59%

γ = 3 0.845% 1.399% 0.125 0.062 0.001 0.005 2.03% 7.36%

γ = 5 0.810% 0.853% 0.076 0.061 0.000 -0.019 1.22% 7.37%

γ = 7 0.795% 0.621% 0.055 0.060 0.000 -0.025 0.87% 7.37%

γ = 3 1.016% 8.412% 0.111 0.031 -0.008 2.591 29.41% 0.38%

γ = 5 1.004% 5.370% 0.267 0.046 -0.005 0.858 16.09% 1.87%

γ = 7 0.998% 4.397% 0.334 0.055 -0.004 0.423 10.58% 3.60%

γ = 3 0.762% 4.765% 0.781 0.001 -0.003 -0.003 1.66% 23.25%

γ = 5 0.781% 4.477% 0.732 0.005 -0.005 -0.007 1.55% 24.19%

γ = 7 0.808% 4.108% 0.670 0.012 -0.005 -0.011 1.42% 25.35%

γ = 3 0.743% 5.119% 0.842 -0.003 -0.004 0.000 1.44% 27.73%

γ = 5 0.743% 5.119% 0.842 -0.003 -0.007 0.000 1.44% 27.73%

γ = 7 0.492% 5.373% 0.777 -0.050 -0.013 0.102 5.42% 4.00%

Painel C: Benchmarks, mensal

0.743% 5.119% 0.842 -0.003 -0.004 0.000 1.44% 27.73%

0.567% 5.654% 1.000 -0.034 -0.007

0.758% 0.137% 0.002 0.000 0.000



wCML

wCKZ

w1/N

wIBOV

wCDI

wCML

wCKZ

wPT

wMV

wML

wKZ

Tabela 3 - Perfomance das sete estratégias aplicadas considerando as medidas de desempenho fora-da-amostracom restrição à vendas a descoberto: retorno médio, desvio-padrão, betas, IS, Índice Herfindahl, turnover ebreakeven. Foram testados diferentes níveis do coeficiente de aversão ao risco (γ = 3, 5, 7), para orebalanceamento em frequência mensal. Dados estimados para as matrizes de covariância amostral e encolhidade Ledoit e Wolf.

Portfólio

wPT

wMV

wML

wKZ

21

foram seguidos pelos portfólios MLw com os três coeficientes de aversão ao risco que novamente tiveram retornos com menores desvios-padrão, tanto com covariância amostral quanto com a covariância encolhida.

Figura 3. Retorno, Risco e Índice de Sharpe (IS) para estratégias com IS positivo, apuradas fora-da-amostra, com rebalanceamento mensal, sem vendas a descoberto. CA = Covariância amostral, CE = Covariância encolhida.

Considerando ambas as covariâncias analisadas, os portfólios combinados KZw , CMLw e CKZw obtiveram retornos médios próximos da média do CDI, risco similar

quando comparados a PTw e MVw , mas um turnover menor e um maior breakeven.

Em termos anualizados, o retorno médio dos portfólios MVw e PTw foi de 13.8% e 13.6%, respectivamente, sendo que o retorno do CDI foi 9.5% no mesmo período. Como esperado, observa-se que o custo ou perda pela imposição da restrição de vendas a descoberto de aproximadamente 4% em termos anuais para o retorno do portfólio tangente.

A estratégia KZw , considerando ambas as matrizes de covariâncias, embora tenha apresentado retornos médios interessantes e superiores aos benchmarks, apresentou os maiores índices de turnover, logo os menores percentuais de breakeven, ou seja a movimentação da carteira não foi suficientemente recompensada para cobrir os custos de transação.

Os betas foram inferiores aos do mercado, sendo o CKZw quem mais se aproximou ao superar 0.8, neste caso não se observou betas negativos como quando se permitiram vendas a descoberto.

Em geral, ao igual que no caso de vendas a descoberto, a utilização da matriz de covariância encolhida não teve resultados esperados, os portfólios tiveram similares retornos, mas desvios-padrão superiores, piorando assim os indicadores de performance. Contudo, na maior parte dos casos ao utilizar a covariância encolhida se obteve menor turnover das carteiras quando comparados com a covariância amostral, resultado de

0

0.01

0.02

0.03

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1.0%

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3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

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9.0%

wMV CA

wPT CA

wML γ = 3 CA

wML γ = 5 CA

wML γ = 7 CA

wKZ γ = 7 CA

wPT CE

wML γ = 3 CE

wML γ = 5 CE

wML γ = 7 CE

wMV CE

wKZ γ = 7 CE

wKZ γ = 5 CA

wKZ γ = 5 CE

wKZ γ = 3 CA

wKZ γ = 3 CE

wCML γ = 7 CE

wCML γ = 7 CA

wCML γ = 5 CE

wCML γ = 5 CA

wCML γ = 3 CE

wCDI


22

acordo com o esperado. Desta forma, a aparentemente a vantagem de se usar a covariância encolhida estaria relacionada com a imposição de restrição de vendas a descoberto, e igualmente deveria ser melhor avaliado futuramente.

A Tabela 4 apresenta os resultados obtidos com a matriz de covariância amostral (painel A) e a matriz de covariância encolhida (painel B), para o período de avaliação out of sample, utilizando rebalanceamento semanal e restrição de vendas a descoberto. Além disso, são também apresentados os indicadores para o portfólio Nw /1 , Ibovespa e CDI utilizados como benchmarks (no painel C).

Para o rebalanceamento semanal em termos de retorno médio se destacaram o portfólio de variância mínima MVw tanto com a covariância encolhida, quanto com a amostral, superando aos três benckmarks e às demais estratégias. Os mesmos portfólios estiveram entre os de maior performance medida pelo índice de Sharpe (Fig. 4).

Diferentemente das combinações analisadas anteriormente, desta vez os portfólios KZw e CKZw com aversão ao risco de γ=7 obtiveram retornos médios superiores ao portfólio tangente PTw , mas com menor volatilidade, melhor performance mensurada pelo IS e turnover similar.

Ao igual que no rebalanceamento mensal, entre os portfólios combinados os MLw e CMLw com os três graus de aversão ao risco obtiveram os menores índices de

turnover.

Em termos anualizados, o retorno médio do portfólio MVw com as covariâncias encolhida e amostral foi de 14.4% e 13.8%, respectivamente, sendo que o retorno do CDI foi 9.2% no mesmo período. Neste caso, a imposição da restrição de vendas a descoberto reduziu o retorno do portfólio MVw em 3.4% em um ano.

Figura 4. Retorno, Risco e Índice de Sharpe (IS) para estratégias com IS positivo, apuradas fora-da-amostra, com rebalanceamento semanal, sem vendas a descoberto. CA = Covariância amostral, CE = Covariância encolhida.

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3.0%

wMV CE

wMV CA

wKZ γ = 7 CE

wCKZ γ = 7 CE

wML γ = 3 CE

wML γ = 5 CE

wML γ = 7 CE

wPT CE

wPT CA

wKZ γ = 7 CA

wCKZ γ = 7 CA

wML γ = 3 CA

wML γ = 5 CA

wML γ = 7 CA

wCML γ = 7 CA

wCML γ = 7 CE

wCML γ = 5 CA

wCML γ = 5 CE

wCKZ γ = 3 CA

wCKZ γ = 3 CE

w1/N

wCKZ γ = 5 CE

wCML γ = 3 CA

wCML γ = 3 CE

wKZ γ = 5 CE

wKZ γ = 5 CA

wCKZ γ = 5 CA

wCDI


23

Os betas foram inferiores aos do mercado, sendo o CKZw quem mais se aproximou ao superar 0.8, e ao igual que no caso com rebalanceamento mensal também não se observaram betas negativos, como foi registrado quando se permitiram vendas a descoberto.

Ao contrário do que no caso de rebalanceamento mensal, com rebalanceamento semanal a utilização da matriz de covariância encolhida teve melhores resultados quando comparados aos de covariância amostral; em geral os portfólios apresentaram melhores indicadores de performance por ter retornos ligeiramente superiores. Igualmente, ao utilizar a covariância encolhida se obteve turnover igual ou menor nas carteiras quando comparados com a covariância amostral.

Por tanto, aparentemente a vantagem de se usar a covariância encolhida estaria relacionada com a imposição de restrição de vendas a descoberto com intervalos de

Retorno médio (%)

Devio-padrão (%)

Betas Índice de

Sharpe (IS )


Return

Índice Herfindahl

Turnover Breakeven

(%)

Painel A: Rebalanceamento Semanal, Covariância Amostral

0.206% 2.414% 0.402 0.013 -0.001 0.287 3.99% 2.55%

0.257% 2.057% 0.474 0.040 0.000 0.105 1.05% 10.91%

γ = 3 0.185% 0.804% 0.134 0.013 0.000 0.003 1.33% 2.60%

γ = 5 0.181% 0.483% 0.080 0.013 0.000 -0.019 0.80% 2.60%

γ = 7 0.179% 0.345% 0.057 0.013 0.000 -0.026 0.57% 2.60%

γ = 3 0.128% 3.395% 0.309 -0.014 -0.002 0.947 11.65% 0.71%

γ = 5 0.181% 2.553% 0.374 0.003 -0.002 0.370 6.69% 1.43%

γ = 7 0.204% 2.287% 0.402 0.013 -0.002 0.222 4.78% 2.13%

γ = 3 0.184% 2.323% 0.706 0.004 -0.001 -0.005 0.64% 10.72%

γ = 5 0.187% 1.979% 0.600 0.006 -0.001 -0.012 0.61% 10.02%

γ = 7 0.190% 1.621% 0.490 0.010 -0.001 -0.018 0.54% 9.60%

γ = 3 0.187% 2.637% 0.806 0.005 -0.001 0.000 0.38% 20.06%

γ = 5 0.181% 2.553% 0.374 0.003 -0.002 0.370 6.69% 1.43%

γ = 7 0.204% 2.287% 0.402 0.013 -0.002 0.222 4.78% 2.13%

Painel B: Rebalanceamento Semanal, Covariância Encolhida

0.207% 2.414% 0.397 0.013 -0.001 0.289 3.85% 2.48%

0.267% 2.092% 0.472 0.044 0.000 0.121 1.12% 9.95%

γ = 3 0.185% 0.804% 0.132 0.013 0.000 0.004 1.29% 2.47%

γ = 5 0.181% 0.483% 0.079 0.013 0.000 -0.019 0.78% 2.47%

γ = 7 0.179% 0.345% 0.057 0.013 0.000 -0.026 0.55% 2.47%

γ = 3 0.125% 3.405% 0.301 -0.014 -0.002 0.912 11.43% 0.60%

γ = 5 0.183% 2.552% 0.369 0.003 -0.002 0.371 6.53% 1.32%

γ = 7 0.208% 2.288% 0.398 0.015 -0.001 0.231 4.66% 2.01%

γ = 3 0.183% 2.281% 0.693 0.004 -0.001 -0.006 0.66% 10.14%

γ = 5 0.187% 1.947% 0.590 0.006 -0.001 -0.013 0.61% 9.74%

γ = 7 0.190% 1.599% 0.483 0.009 -0.001 -0.018 0.54% 9.48%

γ = 3 0.187% 2.637% 0.806 0.005 -0.001 0.000 0.38% 20.06%

γ = 5 0.185% 2.653% 0.441 0.004 -0.002 0.345 7.15% 0.88%

γ = 7 0.208% 2.288% 0.398 0.015 -0.001 0.231 4.66% 2.01%

Painel C: Benchmarks, semanal

0.187% 2.637% 0.806 0.005 -0.001 0.000 0.38% 20.06%

0.140% 3.063% 1.000 -0.011 -0.002

0.175% 0.034% 0.000 0.000 0.000



wCKZ

w1/N

wIBOV

wCDI

wCKZ

wPT

wMV

wML

wKZ

wCML

Portfólio

wPT

wMV

wML

wKZ

wCML

Tabela 4 - Perfomance das sete estratégias aplicadas considerando as medidas de desempenho fora-da-amostracom restrição à vendas a descoberto: retorno médio, desvio-padrão, betas, IS, Índice Herfindahl, turnover ebreakeven. Foram testados diferentes níveis do coeficiente de aversão ao risco (γ = 3, 5, 7), para orebalanceamento em semanal. Dados estimados para as matrizes de covariância amostral e encolhida de Ledoite Wolf.

24

rebalanceamento mais frequente, algo que e igualmente deveria ser melhor avaliado futuramente.

Novamente, ao igual que no rebalanceamento mensal, com dados semanais a diversificação ingênua, a estratégia Nw /1 , apresentou resultados bem inferiores às estratégias vencedoras em termos de performance, superando o CDI, só com rebalanceamento semanal. Como já assinalado esta estratégia só se altera quando há a exclusão ou inclusão de algum ativo no índice, tenso assim o menor turnover e também o maior breakeven. Da mesma forma, a estratégia CMLw ao ser uma combinação com

Nw /1 também apresentou breakeven elevado.

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Foram testadas combinações de estratégias de seleção de carteiras, junto com a utilização ou não das restrições de vendas a descoberto e duas formas de determinar a matriz de covariâncias, a resultante da estimativa amostral e uma matriz robusta para o erro de estimação, proposta por Ledoit e Wolf (2003), também conhecida como encolhida. A avaliação da performance fora da amostra permitiram identificar resultados interessantes.

As estratégias sofisticadas de seleção de carteiras, apesar de serem consideradas mais robustas, não apresentaram desempenho muito superior às estratégias tradicionais (portfólio tangente e de mínima variância), como constataram diversos dos autores mencionados no texto, mas na maior parte de casos superaram os indicadores considerados como benchmarks (portfólio ingênuo, Ibovespa e retorno do CDI), mesmo em um contexto de baixa de mercado. Com rebalanceamento semanal, e aversão ao risco de 7, a única carteira com desempenho interessante foi a proposta combinada de Kan e Zhou (2007), mas somente quando se restringem as vendas a descoberto.

As vantagens da utilizando da matriz de covariâncias encolhida parece estar relacionada à restrição de vendas a descoberto e rebalanceamento semanal, nos outros casos, rebalanceamento mensal e com vendas a descoberto, não melhorou os resultados da covariância amostral.

Uma possível explicação para tais resultado pode estar nas especificidades do mercado acionário brasileiro, que ainda apresenta divergências quando comparado aos mercados mais desenvolvidos, assim como na aplicabilidade prática das estratégias, devido à análise out-of-sample e a existências dos custos de transação. Constatou-se que as estratégias mais simples como o portfólio tangente e de variância mínima podem resultar em performance superior à regra 1/N, representando assim uma forma de investimento viável no caso do mercado brasileiro.

Novas estratégias precisam ser testadas, e com diferentes frequências de rebalanceamento das carteiras. A vantagem da matriz de covariâncias encolhida parece estar relacionada com maiores frequências na ausência de vendas a descoberto.

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