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Disciplina: Matemática Financeira Assunto: Descontos

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Introdução Se alguém deve uma quantia em dinheiro em uma data futura, é comum entregar ao credor um título de crédito, que é

o comprovante dessa dívida. Todo título de crédito tem uma data de vencimento; porém, o devedor pode resgatá-lo

antecipadamente, obtendo com isso um abatimento denominado desconto.

Títulos de Crédito Os títulos de crédito mais comuns nas operações financeiras são a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio.

A Nota Promissória é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito utilizado entre pessoas físicas e uma instituição financeira. A Duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vendeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos no futuro, segundo um contrato. A Letra de Câmbio, assim como a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação de capital com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma instituição financeira.

Desconto Com relação aos títulos de crédito, pode ocorrer:

Que o devedor efetue o pagamento antes do dia predeterminado. Nesse caso, ele se beneficia com um abatimento correspondente ao juro que seria gerado por esse dinheiro durante o intervalo de tempo que falta para o vencimento. Que o credor necessite do seu dinheiro antes da data predeterminada. Neste caso, ele pode vender o título de crédito a um terceiro e é justo que este último obtenha um lucro, correspondente ao juro do capital que adianta, no intervalo de tempo que falta para o devedor liquidar o pagamento; assim, ele paga uma quantia menor que a fixada no título de crédito.

Em ambos os casos há um benefício, definido pela diferença entre as duas quantias.

Esse benefício, obtido de comum acordo, recebe o nome de desconto.

As operações anteriormente citadas são denominadas operações de desconto, e o

ato de efetuá-las é chamado descontar um título.

Além disso:

Dia do vencimento é o dia fixado no título para o pagamento (ou recebimento) da aplicação.

Valor nominal (ou valor futuro, ou valor de face ou valor de resgate) é o valor indicado no título (importância a ser paga

no dia do vencimento).

Valor atual (ou valor descontado) é o líquido pago (ou recebido) antes da data de vencimento.

Tempo ou prazo é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o de seu vencimento.

Assim:

Desconto é a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual.

Obs.: o desconto pode ser feito considerando-se como capital o valor nominal ou o valor atual. No primeiro caso, é denominado

desconto comercial, no segundo, desconto racional.

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Desconto Comercial

Chamamos desconto comercial, bancário ou por fora o equivalente ao juro simples produzido pelo valor nominal do

título no período de tempo correspondente e à taxa fixada.

Dessa forma, o desconto simples d aplicado a um título com valor nominal N a uma taxa i antecipado em n períodos de

tempo é dado por:

d = N . i . n

Valor Atual

Chama-se valor atual de um título o resultado da diferença entre o valor nominal e o desconto.

A = N d ou A = N.(1 i.n)

Desconto Racional

Chamamos desconto racional ou por dentro, o equivalente ao juro produzido pelo valor atual do título no período de

tempo correspondente e à taxa fixada.

Dessa forma, o desconto racional dr aplicado a um título com valor atual A a uma taxa i antecipado em n períodos de

tempo é dado por:

dr = Ar . i . n

mas, como Ar = N – dr, conclui-se que

. .

1 .

N i ndr

i n

Obs.: na prática, somente o desconto comercial é utilizado.

Desconto Composto

O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples: é o abatimento que obtemos ao saldar um compromisso antes do seu vencimento.

Empregamos o desconto composto para operações a longo prazo, já que a aplicação do desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo (com o desconto ultrapassando o valor nominal do título). Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto composto: o racional e o comercial. O desconto composto comercial praticamente não é empregado entre nós; assim, ficaremos restritos ao estudo do

desconto composto racional.

Valor Atual

Valor Atual, em regime de juros compostos, de um capital N disponível no fim de n períodos, à taxa i relativa a esse

período, é o capital A que, colocado a juros compostos à taxa i, produz no fim dos n períodos o montante N.

A .(1 + i)n = N ou A = N.(1 + i) -n

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EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS

1. Sendo R$ 800,00 o valor nominal de um título, será antecipado em 2 meses à taxa de 2% ao mês. Calcule, nesta operação financeira, o valor dos descontos: simples comercial, simples racional e composto.

2. Qual a taxa mensal de desconto simples, utilizada num resgate de um título de R$ 1000,00 com vencimento para 90 dias, ao valor atual de R$ 880,00?

3. Determine o valor atual de um título de R$ 800,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês.

4. Calcule o valor atual de um título de valor nominal correspondente a R$ 12100,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 44% ao ano.

5. Um título de valor nominal de R$150.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% ao ano, capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto simples comercial concedido?

Capitalização

Quando queremos fazer um investimento, podemos aplicar, de tempos em tempos, uma certa quantia em um fundo.

Com isso pode-se constituir um capital que, em geral, oferece rendimentos segundo o regime de juros compostos.

Rendas

A sucessão de depósitos, em épocas diferentes, destinados a formar o capital, é denominada renda. Cada depósito

(ou parcela) é um termo da renda e o intervalo de tempo decorrido entre duas aplicações de termos consecutivos é

o período da renda.

Exemplo: Pedro deseja comprar um terreno e, para isso, deposita mensalmente R$ 200,00 em um fundo de renda

fixa, que rende juros compostos mensais, à taxa de 1%. Quanto Pedro terá acumulado após 2 anos de aplicação?

Neste exemplo, os depósitos são os termos da renda e o período é mensal.

Tipos de Renda

Rendas certas (ou anuidades) ocorrem quando o número de termos, seus vencimentos e seus respectivos valores podem ser prefixados – é o caso do exemplo acima.

Rendas aleatórias ocorrem quando pelo menos um dos elementos não pode ser previamente determinado – é o caso de um seguro de vida, por exemplo, onde o número de termos é indeterminado.

Observações:

i. Quando o período da renda é sempre o mesmo, dizemos que ela é periódica, caso contrário, é não-periódica.

ii. Se todos os termos da renda são iguais, ela é denominada constante; caso contrário, é variável. iii. Quanto à data do vencimento do primeiro termo, a renda pode ser: imediata (quando o vencimento do

primeiro termo ocorre ao final do primeiro período após a assinatura de contrato), antecipada (quando o vencimento do primeiro termo se dá no ato da assinatura de contrato) ou diferida (quando o vencimento do primeiro termo ocorre ao final de um certo número de períodos após a assinatura de contrato). Contudo, quando não for especificado o tipo de renda, vamos considerá-la como imediata – o tipo mais comum.

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Montante

O capital acumulado é o montante de uma capitalização composta (que consideraremos com renda constante e

imediata). Assim, podemos realizar uma capitalização em n períodos, de termos no valor T, a uma taxa i,

obedecendo ao padrão de uma Progressão Geométrica (P. G.).

A fórmula para obtermos tal montante é:

n i

(1 ) 1S .

niT

i

n iS (lê-se Sn, cantoneira i ou, simplesmente, s, n, i).

EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS

1. Pedro deseja comprar um terreno e, para isso, deposita mensalmente R$ 200,00 em um fundo de renda fixa, que rende juros compostos mensais, à taxa de 1%. Quanto Pedro terá acumulado após 2 anos de aplicação?

2. Um investidor deposita 12 parcelas mensais de R$ 400,00 em um fundo de investimentos que rende juros compostos mensais à taxa de 2% ao mês. Que montante o investidor terá acumulado imediatamente após o último depósito?

3. Calcule o valor da importância a ser depositada anualmente em um banco, a uma taxa de 6% ao ano para capitalização composta, de tal modo que ao fazer o décimo depósito, o valor acumulado seja igual a R$ 1.975,00.

Amortização

É o processo através do qual se paga uma dívida (ou empréstimo em prestações periódicas fixas e constantes

sobre as quais incide a mesma taxa.

Rendas

Obedecem à mesma classificação vista em capitalização composta.

Cálculo das prestações

O valor V , financiado a um percentual i de juros compostos, que incidem sobre o saldo devedor a cada

período, gera uma prestação P dada por:

P = V . .(1 )

(1 ) 1

n

n

i i

i

EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS

1. Carlos deseja comprar um automóvel e, para tanto, terá de financiar o valor de R$ 10.000,00. O plano escolhido

previa uma taxa de juros de 2% ao mês para pagamento em 12 parcelas fixas mensais, sendo a primeira para 30 dias

após a assinatura do contrato. Qual será o valor de cada parcela? (Desconsidere os centavos)

2. Determine o valor a ser pago mensalmente para amortizar, com 10 prestações, um empréstimo no valor de

R$ 15 000,00 contraído a juros de 2,5% ao mês.