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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

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DERIVADA DIRECIONAL E PLANO TANGENTE8

Gil da Costa Marques

8.1 Diferencial total de uma função escalar8.2 Derivada numa Direção e Máxima Derivada Direcional8.3 Perpendicular a uma superfície8.4 Plano tangente a uma superfície por um ponto

131

Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp

8.1 Diferencial total de uma função escalarA diferencial total de uma função de três variáveis V = V(x,y,z) é definida como

8.1

Exemplos

• ExEmplo 1:

Seja ( ) 2 21,3

V x y x y= . Utilizando a diferencial da função V, vamos encontrar um valor aproximado

para a variação ΔV quando passamos do ponto (1,2) para o ponto (1,03;2,01); em seguida, vamos

avaliar o erro cometido nessa aproximação. Temos:

8.2

e, portanto,

8.3

Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,03 e dy = 0,01, temos

8.4

Por outro lado,

8.5

Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,03 e dy = 0,01, obtemos

8.6

o que nos leva à conclusão de que se trata de uma boa aproximação quando dizemos que ΔV é bem aproximado por dV.

( ) ( ) ( ), , , , , ,V x y z V x y z V x y zdV dx dy dz

x y z∂ ∂ ∂

+ +∂ ∂ ∂

2 22 2 e 3 3

V Vxy x yx y

∂ ∂= =

∂ ∂

2 22 23 3

dV xy dx x ydy= +

0,09dV ≅

2 2 2 21 1( ) ( )3 3

V x dx x dy x y∆ = + + −

0,09V∆ ≅

132

TÓPICO 8 Derivada Direcional e Plano Tangente


• ExEmplo 2:Vamos calcular um valor aproximado para (1,02)2,01. Em primeiro lugar, consideremos a função V(x, y) = xy e então temos:

8.7

8.8

e, portanto,

8.9

Fazendo x = 1, y = 2, dx = 0,02 e dy = 0,01, temos

8.10

Por outro lado,

8.11

• ExEmplo 3: Calcule aproximadamente 2,01.4,02.1,97Vamos considerar a função ( , , )V x y z xyz= e suas derivadas parciais:

8.12

8.13

8.14

e, portanto,

8.15

1. yV y xx

−∂=

∂(fazendo y constante)

e lnyV x xy

∂=

∂ (fazendo x constante)

1. ln y ydV y x dx x x dy−= +

0,04dV =

2,01 2(1,02) 1 1,0406 1 0,0406V∆ = − = − =

2V yzx xyz

∂=

∂

2V xzy xyz

∂=

∂

2V xyz xyz

∂=

∂

2 2 2yz xz xydV dx dy dzxyz xyz xyz

= + +

133



Fazendo x = 1, y = 4, z = 2, dx = 0,01, dy = 0,02 e dz = -0,03 temos

8.16

(Verifique!)Logo,

8.17

8.2 Derivada numa Direção e Máxima Derivada Direcional

Consideremos uma direção e sentido especificados pelo versor:

8.18

isto é, um vetor que tem módulo unitário (para esses vetores colocamos um acento circunflexo

a fim de denotar tal fato). Assim,

8.19

Um vetor derivado desse mediante a multiplicação por uma constante h,

8.20

tem a mesma direção e sentido do versor a, se h > 0, e tem sentido contrário se h < 0.

O módulo desse vetor é, evidentemente, igual a |h|, uma vez que |a| = 1.

0,01dV = −

2,01.4,02.1,97 3,99≅

x y za a i a j a k= + +

( ) ( ) ( )22 21 1x y za a a a a= ⇒ + + =

x y zha ha i ha j ha k= + +

134



Sendo V = V(x, y, z), (x0, y0, z0) um ponto do domínio de V, e h tal que os pontos

(x0 + axh, y0 + ayh, z0 + azh) também pertencem ao domínio de V, definimos a derivada

direcional de V, no ponto (x0, y0, z0) e na direção de

8.21

como

8.22

se tal limite existe e é finito.

Denotamos a derivada direcional definida acima como

8.23

Se a função V e suas derivadas parciais forem contínuas então a derivada direcional definida

em 8.23 é dada por:

8.24

8.25

Observamos assim que a derivada direcional de V, no ponto (x0, y0, z0) e na direção de a é igual ao produto escalar do vetor ˆ


pelo vetor cujas componentes são as

derivadas parciais da função V no ponto (x0, y0, z0). Este último vetor é denominado vetor

gradiente da função V no ponto (x0, y0, z0) e é indicado com a seguinte notação:

8.26

Assim, escrevemos

8.27


( ) ( )0 0 0 0 0 0

0

, , , ,lim x y z

h

V x a h y a h z a h V x y z

h→

+ + + −

0 0 0 0 0 00 0 0 0

( , , ) ( , , )( , , ) lim x y z

a h

V x a h y a h z a h V x y zD V x y z

h→

+ + + −=

a x y zV V VD V a a a a Vx y z

∂ ∂ ∂= + + ≡ ∇

∂ ∂ ∂

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )a x y z

V V VD V x y z a x y z a x y z a x y z a Vx y z

∂ ∂ ∂= + + = ∇

∂ ∂ ∂

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ). ( , , ). ( , , ).V V VV x y z x y z i x y z j x y z kx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

ˆ 0 0 0 0 0 0ˆ( , , ) ( , , )aD V x y z a V x y z= ⋅∇

135



Consequentemente, a derivada direcional de uma

função pode ser escrita em função do ângulo θ entre

o vetor unitário a e o gradiente da função (definido

em 8.26), como:

8.28

E, assim, a direção e sentido, para os quais a deri-

vada direcional de uma função V é máxima, são os do

vetor gradiente de V, pois nesse caso cosθ = 1.

Lembrando que a variação infinitesimal do vetor de

posição ou, ainda, o vetor deslocamento infinitesimal

é dado pela expressão:

8.29

podemos observar que a variação infinitesimal de uma função escalar V, sua diferencial, pode

ser escrita sob a forma do produto escalar de dois vetores:

8.30

pois o vetor gradiente V∇

é, por definição,

8.31

Exemplos

• ExEmplo 4: Encontre o vetor u∇

no ponto (5,3,−1), sendo u(x, y, z) = 3x2 − 3y2 + z2.Temos

8.32

Figura 8.1: O gradiente de uma função determina a normal à superfície associada a valores constantes da mesma.

cosa

D V V a V= ∇ = ∇ θ

dr dxi dyj dzk= + +

( ), ,dV x y z V dr= ∇

V V VV i j kx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

6 , 6 e 2u u ux y zx y z∂ ∂ ∂

= = − =∂ ∂ ∂

136



Como

8.33

temos

8.34

• ExEmplo 5:Sendo V(x, y, z) = x2 + y2 + z2, vamos encontrar a derivada direcional 0 0 0( , , )aD V x y z em (x0, y0, z0) = (1, 2, 3) na direção do vetor 2 2 2 13 u i j k= + −

.Sabemos que

8.35

Temos

8.36

Logo,

8.37

Como a é um vetor unitário, versor do vetor u dado, vamos encontrar o módulo do vetor u:

8.38

Assim,

8.39

Logo,

8.40

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ). ( , , ). ( , , ).u u uu x y z x y z i x y z j x y z kx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

(5,3, 1) (5,3, 1). (5,3, 1). (5,3, 1). 30 18 2u u uu i j k i j kx y z∂ ∂ ∂

∇ − = − + − + − = − −∂ ∂ ∂

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )a x y zV V VD V x y z a x y z a x y z a x y zx y z

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂

2 , 2 e 2V V Vx y zx y z

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

(1,2,3) 2, (1,2,3) 4 e (1,2,3) 6V V Vx y x

∂ ∂ ∂= = =

∂ ∂ ∂

| | 4 8 13 5u = + + =

2 2 2 13ˆ 5 5 5

a i j k= + −

ˆ2 2 2 13 4 8 2 6 13(1,2,3) 2 4 65 5 5 5aD V + −

= ⋅ + ⋅ − ⋅ =

137



• ExEmplo 6: Sendo

8.41

determine o vetor em que a derivada direcional no ponto (1,1,1) é máxima e encontre esse valor máximo.Em primeiro lugar, temos o vetor gradiente

8.42

e, portanto, como

8.43

8.44

A direção e sentido, segundo os quais a derivada direcional da função V é máxima, são os do vetor gradiente de V; logo, segundo o versor,

8.45

Como

8.46

o valor máximo procurado da derivada direcional é 6.

• ExEmplo 7: Seja f(x,y) = 3x2 − 2y2. Encontre a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção que forma um ângulo de 120° com o eixo horizontal.Sendo f(x,y) = 3x2 − 2y2, temos:

8.47

Logo,

8.48

2( , , )V x y z xyz=

2 2 2 V V VV i j k yz i xz j xyz kx y z

∂ ∂ ∂∇ = + + = + +

∂ ∂ ∂

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ). ( , , ). ( , , ).V V VV x y z x y z i x y z j x y z kx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

(1,1,1) 2V i j k∇ = + +

(1,1,1) 1 1 2ˆ6 6 6 6

Va i j k∇= = + +

ˆˆ ˆ| | . | | | |aD V V a V a V= ∇ = ∇ = ∇

6 4 f ff i j x i y jx y∂ ∂

∇ = + = −∂ ∂

(1,1) 6 4 f i j∇ = −

138



Um vetor unitário que tenha a direção que forma um ângulo de 120° com o eixo horizontal é

8.49

Logo,

8.50

e, portanto, como

8.51

8.52

8.3 Perpendicular a uma superfícieConsideremos uma função escalar de três variáveis

8.53

A equação

8.54

onde wi é uma constante, para cada i é a equação de uma superfície.

Sendo wi uma constante, sua diferencial é nula. Escrevemos:

8.55

ˆ cos120 sen120a i j= ° + °

1 3ˆ2 2

a i j= − +

ˆˆ

aD f f a= ∇

ˆ1 3ˆ(1,1) (1,1) 6. ( 4). 3 2 32 2aD f f a

= ∇ = − + − = − −

( , , )W W x y z=

( , , )iw W x y z=

0i

i W wdw W dr

== ∇ =

139



Tendo em vista que o vetor deslocamento pertence à superfície aludida, definida por 8.54

concluímos, de 8.55, que o gradiente de uma função escalar da forma 8.53 é tal que ele é

perpendicular à superfície definida em 8.54.

Assim, podemos dizer que a normal tem a direção do vetor

8.56

Em cada ponto P0 = (x0, y0, z0) pertencente a uma superfície,

podemos determinar o vetor normal a ela passando pelo ponto P0.

Esse vetor é dado por:

8.57

8.4 Plano tangente a uma superfície por um pontoDada a função

8.58

que admite derivadas parciais contínuas no ponto P0 = (x0, y0), o plano de equação

8.59

é denominado plano tangente à superfície, que é o gráfico de f, no ponto (x0, y0, f(x0, y0)). Convém observar que a equação do plano tangente acima pode ser entendida como o

resultado do produto escalar

8.60

Figura 8.2: Normal, em cada ponto de uma superfície.

iW wn W

== ∇

( ) ( )0 0 0 0 0 0, , , ,iW w

n x y z W x y z=

= ∇

( , )z f x y=

0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , )( ) ( , )( )f fz f x y x y x x x y y yx y∂ ∂

− = − + −∂ ∂

( )0 0 0 0 0 0 0 0( , ). ( , ). ( ). ( ). ( ( , ). 0f fx y i x y j k x x i y y j z f x y kx y

∂ ∂+ − − + − + − = ∂ ∂

140



onde o vetor 0 0 0 0( , ). ( , ).f fx y i x y j kx y

∂ ∂+ − ∂ ∂

é o vetor normal à superfície no ponto

(x0, y0, f(x0, y0)).No caso de W = W(x, y, z), já vimos que 0 0 0( , , )W x y z∇

é normal à superfície de nível

8.61

no ponto (x0, y0, z0). O plano que passa por esse ponto e é perpen-

dicular ao vetor 0 0 0( , , )W x y z∇

denomina-se plano tangente à

superfície W(x, y, z) = wi no ponto (x0, y0, z0).A equação desse plano é obtida tomando o produto escalar

8.62

Exemplos

• ExEmplo 8: A equação do plano tangente à superfície dada por z = f(x, y) = x2 − y2 no ponto (x0, y0, f(x0, y0)) = (1, 2, −3) é:

8.63

isto é,

8.64

Agora

8.65

Logo,

8.66

Figura 8.3: Plano tangente a uma superfície.

( , , ) iW x y z w=

( )0 0 0 0 0 0( , , ) ( , , ) ( , , ) 0W x y z x y z x y z∇ − =

0 0 0 0 0 0 0 0( , ) ( , )( ) ( , )( )f fz f x y x y x x x y y yx y∂ ∂

− = − + −∂ ∂

3 (1,2).( 1) (1,2).( 2)f fz x yx y∂ ∂

+ = − + −∂ ∂

(1,2) 2 e (1,2) 4f fx y∂ ∂

= = −∂ ∂

3 2.( 1) 4.( 2)z x y+ = − − −

141



de onde z − 2x + 4y − 3 = 0 é a equação do plano tangente à superfície dada no ponto (1,2,-3).Por outro lado, 2 4n i j k= − −

é o vetor normal à superfície no ponto (1, 2, -3). Logo, a equação da reta normal é:

8.67

ou seja,

8.68

que são as equações paramétricas da reta normal procurada.

• ExEmplo 9:

Suponha que z = z(x, y) é uma função contínua que admite derivadas parciais contínuas e que é

dada implicitamente pela equação 2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + = . Mostre que 0 0 02 2 2 1x x y y z z

a b c+ + = é a equação

do plano tangente no ponto (x0, y0, z0), z0 ≠ 0.Vejamos:

8.69

acarreta, por derivação implícita, que:

8.70

derivando implicitamente com relação a x;

8.71

derivando implicitamente com relação a y.Mas, então,

8.72

( , , ) (1,2, 3) (2, 4, 1)x y z = − + λ − −

1 22 43

xyz

= + λ = − λ = − − λ

2 2 2

2 2 2 1x y za b c

+ + =

2 2

2 2 0x z za c x

∂+ ⋅ =

∂

2 2

2 2 0y z zb c y

∂+ ⋅ =

∂

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 e 2 2

z x c c x z y c c yx a z a z y b z b z∂ ∂

= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅∂ ∂

142



Logo, a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z0) é:

8.73

ou seja,

8.74

de onde

8.75

isto é,

8.76

e, portanto,

8.77

2 20 0

0 0 02 20 0

( ) ( )x yc cz z x x y ya z b z

− = − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −

2 20 0

0 0 02 20 0

( ) ( )x yc cz z x x y ya z b z

− = − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −

20 0 0 0

0 02 2 2 2

. ( ) ( )z z z x yx x y yc c a b

− = − − − −

2 2 20 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2 2

. . .z z z x x x y y yc c a a b b

− = − + − +

2 2 20 0 0 0 0 0

2 2 2 2 2 2

. . . 1 pois 1z z x x y y x y zc a b a b b

+ + = + + =

derivada direcional fundamentos da … · isto é, um vetor que tem módulo unitário (para esses...

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