departamento de matematica´ universidade da beira interior
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Exercıcios de Algebra Linear - Capıtulo 7.1
Departamento de MatematicaUniversidade da Beira Interior
Propriedades dos Determinantes
Tabela de Conteudos - Capıtulo 7.1
Questao 1 Questao 2 Questao 3 Questao 4 Questao 5Questao 6 Questao 7 Questao 8 Questao 9 Questao 10
Tabela de Conteudos
Quest ao 1
Averigue por tres processos distintos se a permutcao
(2 1 6 4 3 5)
e par ou ımpar.
Tabela de Conteudos
Quest ao 2
Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
A =
[3 −24 5
]B =
[2 (a− b) a
a (a+b)2
]C =
[k −k4 2k
]Resolucao Solucao Solucao
D =
2 3 11 0 21 4 2
E =
1 2 2 10 1 0 22 0 1 10 2 0 1
F =
2 1 0 01 2 1 00 1 2 10 0 1 2
Resolucao Resolucao Solucao
G =
2 0 13 2 −3−1 −3 5
H =
2 0 13 0 24 −3 7
Solucao Solucao
Tabela de Conteudos
Quest ao 2
I =
2 3 5 90 α 0 00 3 2 40 4 1 3α
J =
12 −1 −1
334
12 −1
1 −4 1
L =
5 4 10 −1 20 0 1
Solucao Solucao Solucao
M =
1 2 −3−3 −1 0−2 0 0
N =
−1 −2 −3−3 −1 00 0 0
Solucao Solucao
O =
1 2 32 −2 90 −3 3
P =
1 9 1 32 6 1 82 2 1 31 5 1 9α
Solucao Solucao
Tabela de Conteudos
Quest ao 2
Q =
−2 −3 −1 −2−1 0 1 −2−3 −1 −4 1−2 2 −3 −1
R =
[sin θ 0
2 2 cos θ
]Solucao Solucao
a) Que valores de a e b tornam as filas de B l.ind.?
b) Que valores de k tornam as filas de C l.ind.?
c) Que valores de α tornam as filas de I l.ind.?
Tabela de Conteudos
Quest ao 3
Calcule o valor do determinante de ordem n, cujo termo geraldos seus elementos e aij = i − j .
Tabela de Conteudos
Quest ao 4
Prove que ∣∣∣∣∣∣∣∣2a a + b a + c a + d
b + a 2b b + c b + dc + a c + b 2c c + dd + a d + b d + c 2d
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
Tabela de Conteudos
Quest ao 5
Prove que det A e multiplo de 11, sendo:
A =
1 9 1 32 6 1 82 2 1 31 5 1 9
Calcule o determinante de A por tres processos distintos.
Tabela de Conteudos
Quest ao 6
Calcule o determinante da matriz:
D =
∣∣∣∣∣∣∣∣−2 −3 −1 −2−1 0 1 −2−3 −1 −4 1−2 2 −3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣a) Utilizando o teorema de Laplace.
b) Utilizando o metodo da condenscao.
c) Utilizando o teorema de Laplace aplicado as duas ultimascolunas.
d) Utilizando o calculo abreviado.
Tabela de Conteudos
Quest ao 7
Verifique a identidade:∣∣∣∣∣∣1 1 1
sin x sin y sin zcos x cos y cos z
∣∣∣∣∣∣ = 4 sin(
x − y2
)sin
(x − z
2
)sin
(y − z
2
)
Tabela de Conteudos
Quest ao 8
Prove que sendo A, B e C os tres angulos de um trianguloobedecem a: ∣∣∣∣∣∣
1 1 1cos A cos B cos Ctan A
2 tan B2 tan C
2
∣∣∣∣∣∣ = 0
Tabela de Conteudos
Quest ao 9
Utilizando o teorema de Laplace, aplicado as duas primeirascolunas, calcule o determinante da matriz:
A =
1 2 00 1 3−1 −2 1
Tabela de Conteudos
Quest ao 10
Resolva as seguintes equacoes polinomiais sobre o corpo R:
a)
∣∣∣∣∣∣x 0 00 −1 −11 1 x
∣∣∣∣∣∣ = 0
Resolucao
b)
∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 xx 1 1 11 x 2 1−1 1 x 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0
Tabela de Conteudos
Resoluc ao exercıcio 2 - a
∣∣∣∣ 3 −24 5
∣∣∣∣ = (3 · 5)− (4 · −2) = 23
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - b
∣∣∣∣ 2 (a− b) aa (a+b)
2
∣∣∣∣ = b2
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - c
∣∣∣∣ k −k4 2k
∣∣∣∣ = 2k2 + 4k = 2k(k + 2)
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Tabela de Conteudos
Resoluc ao exercıcio 2 - d
∣∣∣∣∣∣2 3 11 0 21 4 2
∣∣∣∣∣∣ = −1 ·∣∣∣∣ 3 1
4 2
∣∣∣∣− 2 ·∣∣∣∣ 2 3
1 4
∣∣∣∣ = −2− 10 = −12
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Tabela de Conteudos
Resoluc ao exercıcio 2 - e
∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 2 10 1 0 22 0 1 10 2 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣1 2 12 1 10 0 1
∣∣∣∣∣∣ + 2 ·
∣∣∣∣∣∣1 2 22 0 10 2 0
∣∣∣∣∣∣ = −3 + 2 · 6 = 9
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - f
∣∣∣∣∣∣∣∣2 1 0 01 2 1 00 1 2 10 0 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - g
∣∣∣∣∣∣2 0 13 2 −3−1 −3 5
∣∣∣∣∣∣ = −5
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - h
∣∣∣∣∣∣2 0 13 0 24 −3 7
∣∣∣∣∣∣ = 3
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - i
∣∣∣∣∣∣∣∣2 3 5 90 α 0 00 3 2 40 4 1 3α
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4α(3α− 2)
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - j
∣∣∣∣∣∣12 −1 −1
334
12 −1
1 −4 1
∣∣∣∣∣∣ = 1.1667
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - l
∣∣∣∣∣∣5 4 10 −1 20 0 1
∣∣∣∣∣∣ = −5
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - m
∣∣∣∣∣∣1 2 −3−3 −1 0−2 0 0
∣∣∣∣∣∣ = −6
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - n
∣∣∣∣∣∣−1 −2 −3−3 −1 00 0 0
∣∣∣∣∣∣ = 0
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - o
∣∣∣∣∣∣1 2 32 −2 90 −3 3
∣∣∣∣∣∣ = −9
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - p
∣∣∣∣∣∣∣∣1 9 1 32 6 1 82 2 1 31 5 1 9α
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −44
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - q
∣∣∣∣∣∣∣∣−2 −3 −1 −2−1 0 1 −2−3 −1 −4 1−2 2 −3 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −55
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Tabela de Conteudos
Soluc ao exercıcio 2 - r
∣∣∣∣ sin θ 02 2 cos θ
∣∣∣∣ = sin(2θ)
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Tabela de Conteudos
Resoluc ao exercıcio 10 - a
∣∣∣∣∣∣x 0 00 −1 −11 1 x
∣∣∣∣∣∣ = x ·∣∣∣∣ −1 −1
1 x
∣∣∣∣ = x(−x + 1)
x(−x + 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1
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