departamento de engenharia civil e meio ambiente - marcela … tese apresentada como requisito...

Marcela Torno de Azeredo Lopes

Análise de Confiabilidade de Estruturas Aplicada ao Projeto de Reforço à Força Cortante de Vigas em

Concreto Armado com Compósitos de Fibras de Carbono

Tese de Doutorado

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Área de Concentração: Estruturas.

Orientadoras: Marta de Souza Lima Velasco Cláudia Ribeiro Eboli

Rio de Janeiro Abril de 2007

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0221075/CB

Marcela Torno de Azeredo Lopes

Análise de Confiabilidade de Estruturas Aplicada ao Projeto de Reforço à Força Cortante de Vigas em Concreto

Armado com Compósitos de Fibras de Carbono

Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Marta de Souza Lima Velasco, D.Sc. Orientadora

Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio

Cláudia Ribeiro Eboli Co-orientadora

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Sofia Maria Carrato Diniz Universidade Federal de Minas Gerais

Sérgio Hampshire de Carvalho Santos Universidade Federal do Rio de Janeiro

Luiz Eloy Vaz Universidade Federal do Rio de Janeiro

Ricardo Amorim Einsfeld Universidade do Estado do Rio de Janeiro

Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio

José Eugênio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 13 de abril de 2007.

DBD


Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução

total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e dos orientadores.

Marcela Torno de Azeredo Lopes Graduou-se em Engenharia Civil pela FOA (Fundação Oswaldo Aranha). Mestre em Estrutruas pela UFF (Universidade Federal Fluminense). Na PUC-Rio desenvolveu sua tese de doutorado com ênfase em Concreto Armado e Confiabilidade de Estruturas.

Ficha Catalográfica

CDD: 624

Lopes, Marcela Torno de Azeredo

Análise de confiabilidade de estruturas aplicada ao

projeto de reforço à força cortante de vigas em concreto armado com compósitos de fibras de carbono / Marcela Torno de Azeredo Lopes; orientadoras: Marta de Souza Lima Velasco, Cláudia Ribeiro Eboli. – 2007.

209 f. : il. ; 30 cm

Tese (Doutorado em Engenharia Civil)–Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2007.

Inclui bibliografia

1. Engenharia Civil – Teses. 2. Concreto armado. 3. Força cortante. 4. Compósitos de fibras de carbono. 5. Confiabilidade de estruturas. I. Velasco, Marta de Souza Lima. II. Eboli, Cláudia Ribeiro. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.

DBD


Este trabalho é dedicado aos meus queridos

pais, Vera Lúcia e Marcelo Vaz, pelo amor

incondicional, apoio constante e confiança,

imprescindíveis para minha formação.

DBD


Agradecimentos

À minha orientadora Marta de Souza Lima Velasco, pelos conhecimentos

transmitidos, disponibilidade, incentivo e principalmente pela amizade

desenvolvida ao longo destes anos.

À minha co-orientadora Cláudia Ribeiro Eboli, pelos conhecimentos

transmitidos, apoio e confiança constante.

Aos professores que participaram da banca examinadora, especialmente ao

Prof. Luiz Eloy Vaz pelos ensinamentos e colaboração ao longo deste trabalho.

Ao Prof. Plácido Barbosa, pela imensa confiança, apoio e disponibilidade.

Ao Prof. Emil de Souza Sanchez Filho, pelos ensinamentos e principalmente

por ter sido a pessoa responsável pelo início de toda esta jornada com minha

ida para Juiz de Fora em abril de 2000.

Ao meu namorado Rodrigo Abalem, pelo amor, incentivo, confiança e apoio

constante durante a execução deste trabalho.

À minha família e familiares pela presença constante, carinho e confiança. Em

especial ao meu irmão Raphael Torno e à minha avó Zilda Azevedo.

Aos colegas Paola, Bianca, Júlio, Flávio, Renato, Marcos, Anderson e Ramires

pelo companheirismo. Em especial ao colega Alex Fabiano pela disponibilidade

e colaboração ao longo deste trabalho.

Às minhas queridas amigas e também colegas Christiana Niskier e Marcélia

Gomes Machado pelo carinho, companheirismo e contribuição.

Às funcionárias Ana Roxo e Rita de Cássia, pela atenção e paciência ao longo

destes anos.

Ao CNPq e a PUC-Rio pelo apoio financeiro.

À Deus pela família espetacular que tenho, pelos amigos que conquistei e por

me iluminar e me dar força em todas as etapas da minha vida.

DBD


Resumo

Lopes, Marcela Torno de Azeredo; Velasco, Marta de Souza Lima; Eboli, Cláudia Ribeiro. Análise de Confiabilidade de Estruturas Aplicada ao Projeto de Reforço à Força Cortante de Vigas em Concreto Armado com Compósitos de Fibras de Carbono. Rio de Janeiro, 2007. 209p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

A análise de confiabilidade aplicada ao projeto de estruturas é uma

ferramenta que permite avaliar a probabilidade de falha da estrutura para um

certo modo de comportamento e a sensibilidade deste projeto em relação às

variáveis consideradas. Neste trabalho a análise de confiabilidade é aplicada

ao projeto de reforço à força cortante com compósitos de fibras de carbono de

vigas em concreto armado. Inicialmente, modelos e prescrições normativas

para verificar a capacidade resistente do reforço à força cortante são

implementados em MathCad. Os resultados teóricos são comparados com os

obtidos de programas experimentais realizados por diversos pesquisadores.

Posteriormente, um programa de confiabilidade de estruturas é implementado

em liguagem C onde é utilizado o método FORM “First Order Reliability

Method”. Este programa permite: avaliar a confiabilidade à força cortante de

seções de vigas de concreto armado reforçadas ou não e dimensionar a taxa

geométrica de reforço para um valor estabelecido de índice de confiabilidade

de referência e este valor segue recomendações do Eurocode EN1990 (2001).

As taxas geométricas de reforço são dimensionadas por dois enfoques: o semi-

probabilístico, prática corrente de projetos, e o probabilístico, projeto baseado

em confiabilidade. Os resultados obtidos são comparados. No enfoque

probabilístico, as taxas geométricas de reforço são calculadas estabelecendo

que o valor do índice de confiabilidade equivalente, avaliado utilizando

formulação de sistemas em série, seja maior ou igual ao valor do índice de

confiabilidade de referência. Os valores dos índices de confiabilidade,

considerando ou não a formulação de sistemas em série, das probabilidades

de falha e dos fatores de importância das variáveis aleatórias são obtidos para

a seção sem e com reforço. As coordenadas dos pontos de projeto e os

coeficientes parciais de segurança são obtidos para a seção reforçada.

Palavras-chave Concreto armado, força cortante, compósitos de fibras de carbono,

confiabilidade de estruturas.

DBD


Abstract

Lopes, Marcela Torno de Azeredo; Velasco, Marta de Souza Lima; Eboli, Cláudia Ribeiro. Structural Reliability Analysis Application to the Design of Carbon Fibres Reinforced Polymer Shear Strengthening of Reinforced Concrete Beams. Rio de Janeiro, 2007. 209p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Structural reliability analysis provides a prediction of the structural

probability of failure against some behavior mode and the design sensibility with

respect to the random variables evaluated at the design point. In this research

the reliability analysis is applied to design the carbon fibres reinforced polymer

shear strengthening of reinforced concrete beams. First, models and code

recommendations, available in literature, to verify the shear strengthening are

implemented in MathCad. Further, a structural reliability-based software, using

the First Order Reliability Method (FORM), is implemented in C programming

language. This software provides the evaluation of the shear reliability of

reinforced concrete beams cross-sections, either strengthened or not by CFRP,

and the shear reinforcement ratio for a target reliability index. The target

reliability index is established as defined by Eurocode EN 1990 (2001). The

random variables probabilistic models are based upon code’s recommendations

available in specialized literature. The shear reinforcement ratio is designed by

two approaches: semi-probabilistic, as the current design practice, and the

probabilistic, reliability-based design. The results are compared. In the

probabilistic approach, the shear reinforcement ratio design aims to obtain a

series system reliability index value larger than a predefined target value. The

reliability index values, their corresponding failure probabilities and the

percentages of total uncertainty associated to which random variable arise from

reliability-based design, developed for either strengthened or not reinforced

concrete beams cross-sections. For the strengthened cross-sections, the

design point and the partial safety factors are also obtained.

Keywords

Reinforced concrete, shear, carbon fibre reinforced polymer, structural

reliability.

DBD


Sumário

1. Introdução 32

1.1. Considerações Gerais 32

1.2. Objetivos 33

1.3. Organização do Trabalho 34

2. Considerações sobre o Reforço para Avaliação da Resistência à Força Cortante

36

2.1. Introdução 36

2.2. Modelos Semi-Empíricos 40

2.2.1. Estudos de TRIANTAFILLOU (1998 e 2000) 40

2.2.2. Estudos de KHALIFA e NANNI (2002) 45

2.2.3. Estudos de ADHIKARY et alii (2003) 49

2.2.4. Estudos de CHEN e TENG (2003 a,b) 50

2.3. Prescrições Normativas 56

2.3.1. Prescrições do Bulletin 14 fib (2001) 56

2.3.2. Prescrições do ACI 440 (2001) 57

2.4. Análise dos Resultados Experimentais Disponíveis na Bibliografia 60

3. Confiabilidade de Estruturas 70


3.2. Conceitos Fundamentais sobre Confiabilidade de Estruturas 73

3.2.1. Função de Estado e Probabilidade de Falha 73

3.2.2. Problema Básico de Confiabilidade 74

3.2.3. Definição do Índice de Confiabilidade Beta 76

3.2.4. Método FORM (First Order Reliability Method) 78

3.2.4.1. Transformação de Nataf 80

3.2.4.2. Pesquisa do Ponto de Projeto 81

3.2.4.3. Medidas de Sensibilidade 82

3.2.4.4. Calibração de Coeficientes Parciais de Segurança 83

3.2.5. Confiabilidade de Sistemas Estruturais 84

3.3. Revisão Bibliográfica 89

DBD


4. Formulação do Problema 93


4.2. Programa Implementado 94

4.2.1. Dados de Entrada Necessários 94

4.2.2. Definição das Opções de Análise e Dados de Saída 95

4.2.3. Índice de Confiabilidade de Referência 99

4.2.4. Funções de Estado Implementadas 101

4.2.4.1. Seção de Concreto Armado 101

4.2.4.2. Seção de Concreto Armado Reforçada com CFRP 103

5. Exemplos de Aplicação 106


5.2. Primeiro Exemplo 108

5.2.1. Modelos Probabilísticos das Resistências e das Solicitações 108

5.2.2. Resultados 111

5.3. Segundo Exemplo 113


5.4. Terceiro Exemplo 116

5.4.1. Considerações e Modelos Probabilísticos dos Fatores de Modelagem 116


5.5. Quarto Exemplo 119


5.6. Quinto Exemplo 120

5.6.1. Considerações 120

5.6.2. Modelo Probabilístico da Resistência à Tração do Compósito 122


5.7. Sexto Exemplo 149

5.7.1. Considerações 149

5.7.2. Modelos Probabilísticos da Resistência do Concreto à Compressão

e das Solicitações 150


6. Conclusões e Propostas para Trabalhos Futuros 154

6.1. Conclusões 154

6.2. Propostas para Trabalhos Futuros 158

DBD


7 Referências Bibliográficas 160

Anexo A Rotinas para Obter a Parcela à Força Cortante Resistida pelo FRP 168

A.1. Introdução 168

A.2. Rotinas elaboradas segundo TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS

(2000) 168

A.2.1. Rotina Teórica 168

A.2.2. Rotina de Cálculo 169

A.3. Rotina elaborada segundo KHALIFA e NANNI (2002) 170

A.4. Rotina elaborada segundo ADHIKARY et alii (2003) 171

A.5. Rotinas elaboradas segundo CHEN e TENG (2003 a, b) 172

A.5.1. Rotina Teórica 172

A.5.2. Rotina de Cálculo 173

A.6. Rotina elaborada segundo o Bulletin 14 da fib (2001) 175

A.7. Rotina elaborada segundo o ACI 440 (2001) 176

Anexo B Revisão Bibliográfica dos Programas Experimentais 177

B.1. Introdução 177

B.2. Programa Experimental de CHAALLAL et alii (1998) 177

B.3. Programa Experimental de KHALIFA et alii (1999) 178

B.4. Programa Experimental de KHALIFA e NANNI (2000) 179

B.5. Programa Experimental de KHALIFA e NANNI (2002) 179

B.6. Programa Experimental de DENIAUD e CHENG (2001) 180

B.7. Programa Experimental de ADHIKARY et alii (2003) 181

B.8. Programa Experimental de BEBER (2003) 182

B.9. Programa Experimental de DIAGANA et alii (2003) 183

B.9. Programa Experimental de CAROLIN e TÄLJSTEN (2005) 184

Anexo C Parâmetros Utilizados nos Programas Experimentais 187

C.1. Introdução 187

C.2. Parâmetros Geométricos e Mecânicos dos Programas Experimentais 187

Anexo D Resumo sobre Teoria da Probabilidade 197

D.1. Introdução 197

D.2. Função Densidade de Probabilidades (PDF) e Função de Distribuição

DBD


Cumulativa (CDF) 197

D.3. Propriedades Estatísticas de Variáveis Aleatórias Contínuas 199

D.4. Distribuições de Probabilidades 200

D.4.1. Distribuição Normal ou Gaussiana 200

D.4.1.1. Soma ou Diferença de Variáveis Aleatórias Normais 201

D.4.2. Outras Distribuições 202

D.4.2.1. Função Densidade de Probabilidades Bidimensional Normal 203

D.4.2.2. Função Densidade Probabilidades M-Dimensional Normal Padrão 203

D.4.3. Distribuições Normais Equivalentes 203

D.4.4. Coeficientes de Correlações Equivalentes 204

D.4.4.1. Decomposição de Choleski da Matriz dos Coeficientes de Correlações

Equivalentes 209

DBD


Lista de Figuras

Figura 2.1 – Diagrama tensão x deformação de CFRP unidirecionais................36

Figura 2.2 – Configurações de reforço, quanto ao seu envolvimento na seção

transversal da viga: a) colado apenas nas laterais; b) colado com

envolvimento em forma de U; c) colado com envolvimento completo; d)

colado com envolvimento em forma de U com ancoragem do FRP na mesa

da viga. ........................................................................................................37

Figura 2.3 – Configurações de reforço, quanto à sua continuidade ao longo do

comprimento da viga: a) colado de forma contínua; b) colado em faixas

espaçadas. ..................................................................................................37

Figura 2.4 – Configurações de reforço, quanto à orientação de suas fibras

principais, em relação ao eixo longitudinal da viga: a) colado com °= 90β ;

b) colado com °= 45β . ...............................................................................37

Figura 2.5 – Foto de uma viga de concreto armado após a ruptura, devido ao

esmagamento da biela comprimida; retirada de MacGregor (1988). ..........38

Figura 2.6 – Foto de um viga de concreto armado reforçada com CFRP colado

envolvendo completamente a seção transversal da viga, em faixas e com

°= 90β , após a ruptura, devido à ruptura do reforço; retirada de Beber

(2003). .........................................................................................................38


apenas nas laterais da viga, em faixas e com °= 90β , após a ruptura,

devido ao descolamento do reforço; retirada de Beber (2003)....................39

Figura 2.8 – Gráfico deformação específica efetiva do FRP x rigidez do FRP;

adaptada de TRIANTAFILLOU (1998).........................................................42

Figura 2.9 – Gráfico 32 /cfffe f/Ex ρε para o colapso da viga devido ao

descolamento do FRP; adaptada de TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS

(2000). .........................................................................................................43

Figura 2.10 – Gráfico 32 /cfffe f/Ex ρε para o colapso da viga devido à ruptura

do FRP; adaptada de TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000). .......43

Figura 2.11 – Esquema das variáveis dimensionais adotadas; adaptada de

KHALIFA e NANNI (2002). ..........................................................................46

DBD


Figura 2.12 – Gráfico fffufe Ex/R ρεε= ; adaptada de KHALIFA et alii (1998).

.....................................................................................................................47

Figura 2.13 – Largura efetiva do FRP. ...............................................................48

Figura 2.14 – Esquema de reforço à força cortante; adaptada de TENG et alii

(2002). .........................................................................................................51

Figura 2.15 – Relação entre fw e fs para o reforço contínuo; adaptada de

TENG et alii (2002). .....................................................................................51

Figura 2.16 – Efeito da localização na efetividade do estribo de FRP; adaptada

de TENG et alii (2002). ................................................................................55

Figura 2.17 – Gráficos de teo,fexp,f VxV , com teo,fV obtido pelas rotinas de

TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000). ..........................................65


KHALIFA e NANNI (2002). ..........................................................................65


ADHIKARY et alii (2003)..............................................................................65


CHEN e TENG (2003 a, b). .........................................................................66

Figura 2.21 – Gráficos de teo,fexp,f VxV , com teo,fV obtido pelas rotinas do

Bulletin 14 da fib (2001). ..............................................................................66


ACI 440 (2001). ...........................................................................................66

Figura 3.1 – Definição do domínio de falha; adaptada de MELCHERS (2002)..74

Figura 3.2 – Problema básico de confiabilidade.................................................75

Figura 3.3 – Representação da “integral de convolução”; adaptada de

MELCHERS (2002). ....................................................................................76

Figura 3.4 – Probabilidade de Falha; adaptada de MELCHERS (2002). ...........77

Figura 3.5 – Transformação do espaço original para o espaço reduzido (Normal

Padrão) ; adaptada de CHOI e YOUN (2001). ............................................79

Figura 3.6 – Aproximação do Método FORM para superfícies Côncavas e

Convexas. ....................................................................................................79

Figura 3.7 – Representação gráfica da busca do ponto de projeto pelo enfoque

RIA para um problema com duas variáveis; adaptada de CHOI e YOUN

(2001). .........................................................................................................82

DBD


Figura 3.8 – (a) Sistemas em série e (b) Sistemas em paralelo, dentro da análise

de confiabilidade de estruturas; adaptada de LIMA e SAGRILO (2002). ....85

Figura 3.9 – Significado do coeficiente de correlação entre dois modos de falha;

adaptada de SØRENSEN (2004).................................................................88

Figura 4.1 – Fluxograma esquemático das opções de análise implementadas no

programa de confiabilidade de estruturas....................................................98

Figura 5.1 – Propriedades geométricas e mecânicas utilizadas nos exemplos.

...................................................................................................................107

Figura 5.2 – Gráfico coeficiente de variação de Vq x índices de confiabilidade:

...................................................................................................................115

Figura 5.3 – Gráfico coeficiente de variação de Vq x fatores de importância das

variáveis aleatórias (caso 1): (a) para função de estado que avalia o

esmagamento da biela, (b) para função de estado que avalia a tração

diagonal. ....................................................................................................115

Figura 5.4 – Desenho esquemático do tipo de execução do reforço considerado

nos exemplos.............................................................................................121

Figura 5.5 – Retas tensão x deformação dos compósitos constituídos pelos

tecidos de fibras de carbono Wabo®MBrace. ...........................................123

Figura 5.6 – Gráfico taxa geométrica do reforço x índices de confiabilidade para

o Caso 2a do quinto exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130,

considerando os fatores de modelagem....................................................132

Figura 5.7 – Gráfico taxa geométrica do reforço x índices de confiabilidade para

o Caso 2a do quinto exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530,


Figura 5.8 – Gráfico taxa geométrica do reforço x índice de confiabilidade β4

para o Caso 1b do quinto exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-

130.............................................................................................................133


para o Caso 1b do quinto exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-

530.............................................................................................................133

Figura 5.10 – Gráfico taxa geométrica do reforço x índice de confiabilidade β4,

variando a quantidade de camadas de reforço, para o Caso 1b do quinto

exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, sem considerar os

fatores de modelagem. ..............................................................................134

DBD




exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, considerando os










Figura 5.14 – Gráfico representando a importância de cada variável aleatória

para o modo de falha avaliado em G3, para o Caso 1b apresentado na

Tabela 5.38. ...............................................................................................139

Figura 5.15 – Gráfico representando a importância de cada variável aleatória

para o modo de falha avaliado em G4, para o Caso 1b apresentado na

Tabela 5.39. ...............................................................................................141

Figura 5.16 – Gráfico resistência característica do concreto à compressão x taxa

geométrica do reforço, do sexto exemplo..................................................151

Figura 5.17 – Gráfico resistência característica do concreto à compressão x

índices de confiabilidade (β2, β3 e β4), do sexto exemplo. .........................152


índices de confiabilidade (β3 – fib e β4 – fib), do sexto exemplo para o tecido

Wabo®MBrace CF-530. ............................................................................153

Figura C.1 – Altura efetiva do FRP...................................................................187

Figura D.1 – (a) Função Densidade de Probabilidades (PDF) e (b) Função de

Distribuição Cumulativa (CDF). .................................................................198

DBD


Lista de Tabelas

Tabela 2.1 – Comparações teórico-experimentais das vigas que tiveram o

reforço executado com tecido de CFRP colado apenas nas laterais de sua

seção transversal, com °= 45β . ..................................................................62


reforço executado com tecido de CFRP colado apenas nas laterais de sua



reforço executado com tecido de CFRP colado envolvendo em forma de U

sua seção transversal, com °= 45β . ...........................................................63


reforço executado com tecido de CFRP colado envolvendo em forma de U



reforço executado com tecido de CFRP colado envolvendo completamente



reforço executado com tecido de CFRP colado envolvendo completamente



reforço executado com tecido de CFRP. ....................................................64


reforço executado com lâmina de CFRP colado apenas nas laterais de sua



reforço executado com lâmina de CFRP colado apenas nas laterais de sua



reforço executado com lâmina de CFRP. ...................................................65

Tabela 2.11 – Análise da Tabela 2.2, sem as vigas nomeadas de BT5, 290 e

390...............................................................................................................68

DBD


Tabela 2.12 – Análise da Tabela 2.4, sem as vigas nomeadas de BT2, BT4,

T6S4C90, C-1, PU1 e PU2. .........................................................................69

Tabela 4.1 – Classes de conseqüências. ..........................................................101

Tabela 4.2 – Relação entre probabilidade de falha fp e índice de confiabilidade

β . ..............................................................................................................101

Tabela 4.3 – Valores dos índices de confiabilidade de referência dados em

função da classe de confiabilidade e do período de retorno. ....................102

Tabela 5.1 – Proporções de carga permanente e acidental em relação à carga

total. ...........................................................................................................108

Tabela 5.2 – Modelos probabilísticos das resistências do concreto e do aço e das

solicitações permanente e acidental..........................................................109

Tabela 5.3 – Desvio Padrão a ser adotado em função da condição de preparo do

concreto. ....................................................................................................110

Tabela 5.4 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha do primeiro

exemplo para os modos de colapso. .........................................................112

Tabela 5.5 – Índice de confiabilidade equivalente e probabilidade de falha do

primeiro exemplo para sistema em série. ..................................................113

Tabela 5.6 – Fatores de importância das variáveis aleatórias do primeiro


Tabela 5.7 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha do segundo

exemplo para os modos de colapso, com CoV_Vq = 10%........................114

Tabela 5.8 – Índice de confiabilidade e probabilidade de falha do segundo

exemplo para sistema em série, com CoV_Vq = 10%. .............................115

Tabela 5.9 – Fatores de importância das variáveis aleatórias do segundo

exemplo para os modos de colapso, com CoV_Vq = 10%........................115

Tabela 5.10 – Fatores de importância das variáveis aleatórias do segundo

exemplo para os modos de colapso, supondo distribuição Normal e CoV =

10% para cargas permanentes e acidentais..............................................117

Tabela 5.11 – Modelo probabilístico do fator de modelagem da resistência.....118

Tabela 5.12 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha do terceiro


Tabela 5.13 – Índice de confiabilidade e probabilidade de falha do terceiro

exemplo para sistema em série. ................................................................119

Tabela 5.14 – Fatores de importância das variáveis aleatórias do terceiro


DBD


Tabela 5.15 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha do quarto


Tabela 5.16 – Índice de confiabilidade e probabilidade de falha do quarto

exemplo para sistema em série. ................................................................120

Tabela 5.17 – Acréscimos de cargas acidentais. .............................................121

Tabela 5.18 – Alterações nos modelos probabilísticos das cargas acidentais e

nas combinações de cargas devido aos acréscimos de carga acidental. .121

Tabela 5.19 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha para os

acréscimos de carga do quinto exemplo, para duas situações: I - sem

considerar os fatores de modelagem e II – considerando os fatores de

modelagem. ...............................................................................................122

Tabela 5.20 – Valores médio e característico da resistência à tração última e

valores do módulo de elasticidade longitudinal dos compósitos constituídos

pelos tecidos de fibras de carbono Wabo®MBrace. .................................124

Tabela 5.21 – Modelos probabilísticos das resistências à tração dos compósitos

constituídos pelos tecidos de fibras de carbono Wabo®MBrace. .............125

Tabela 5.22 – Taxas geométricas de reforço obtidas para o quinto exemplo,

utilizando o tecido unidirecional de fibras de carbono Wabo®MBrace CF-

130.............................................................................................................127


utilizando o tecido unidirecional de fibras de carbono Wabo®MBrace CF-

530.............................................................................................................127

Tabela 5.24 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha obtidos para as

taxas geométricas de reforço dimensionadas pelo projeto corrente,

utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130. ..............................................128

Tabela 5.25 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha obtidos para as

taxas geométricas de reforço dimensionadas pelo projeto corrente,

utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530. ..............................................128

Tabela 5.26 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha do quinto




quinto exemplo para sistema em série, utilizando o tecido Wabo®MBrace

CF-130, sem considerar os fatores de modelagem...................................129

DBD







CF-130, considerando os fatores de modelagem......................................130






CF-530, sem considerar os fatores de modelagem...................................131

Tabela 5.32 – Índices de confiabilidade (β3 e b 4) e probabilidades de falha do

quinto exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, considerando

os fatores de modelagem. .........................................................................131



CF-530, considerando os fatores de modelagem......................................131

Tabela 5.34 – Deformação específica efetiva do reforço. ................................137

Tabela 5.35 – Número de camada de compósito necessária para o reforço. ..137

Tabela 5.36 – Fatores de importância das variáveis aleatórias do quinto exemplo

para os modos de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, sem

considerar os fatores de modelagem.........................................................139


para os modos de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130,



para os modos de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, sem



para os modos de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530,


Tabela 5.40 – Número de camada de compósito necessária para o reforço. ..144

DBD


Tabela 5.41 – Coordenadas do ponto de projeto do quinto exemplo para os

modos de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, sem considerar



modos de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, considerando



modos de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, sem considerar



modos de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, considerando


Tabela 5.45 – Fatores parciais de segurança do quinto exemplo para o modo de

falha preponderante, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, sem



falha preponderante, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130,



falha preponderante, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, sem



falha preponderante, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530,


Tabela 5.49 – Valores de Vc, VRd3 e VSd, para variações de fck. ........................150

Tabela 5.50 – Acréscimos de cargas acidentais, para variações de fck. ...........151

Tabela 5.51 – Modelos probabilísticos da resistência do concreto à compressão

e das solicitações, para variações de fck....................................................151

Tabela C.1 – Parâmetros Geométricos e Mecânicos dos Programas

Experimentais. ...........................................................................................188

Tabela D.1 – Caracterização de Algumas Distribuição de Probabilidades. .....199

Tabela D.2 – Coeficientes de Correlações Equivalentes. ................................206

DBD


Lista de Símbolos

Romanos

a Parâmetro da distribuição Uniforme

a Distância do ponto de aplicação de uma carga concentrada ao centro do apoio

fA Área de FRP

sA Área de amadura longitudinal de aço

swA Área de amadura transversal de aço

b Parâmetro da distribuição Uniforme

wb Largura da seção transversal da viga

C Valor da confiabilidade da estrutura

CoV Coeficiente de variação

( )ijXcov Covariância

d Altura útil da viga

fD Fator de distribuição da tensão

fd Altura efetiva do FRP

fbd Distância entre a face comprimida da viga e a extremidade inferior do FRP

ftd Distância entre a face comprimida da viga e a extremidade superior do FRP

fE Módulo de elasticidade do FRP

fGE Módulo de elasticidade do FRP expresso em MPa

sE Módulo de elasticidade do aço

F Fator que transforma coeficientes de correlações em coeficientes de correlações equivalentes

cdf Resistência de cálculo do concreto a compressão

DBD


cjf Resistência média do concreto à compressão, prevista para a idade de j dias

ckf Resistência característica do concreto à compressão

cmf Resistência média do concreto à compressão (cilindro padrão)

ctdf Resistência de cálculo do concreto à tração direta

inf,ctkf Resistência característica inferior do concreto à tração

ctmf Resistência média do concreto à tração

ff Tensão última do FRP

fef Tensão efetiva do FRP

fkf Valor característico da resistência à tração última do CFRP

fmf Valor médio da resistência à tração última do CFRP

c'f Resistência característica do concreto à compressão

mf Resistência média dos materiais

Rf Função densidade de probabilidade marginal da resitência

RSf Função densidade de probabilidades conjunta

Sf Função densidade de probabilidade marginal da solicitação

yf Tensão de escoamento à tração do aço

ykf Resistência característica de escoamento do aço

ywf Resistência de escoamento da armadura transversal de aço

ywdf Resistência de cálculo de escoamento da armadura transversal de aço

)X(fX Função densidade de probabilidades conjunta

)(FX Função de distribuição cumulativa

2G Função de estado relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto

3G Para seção de concreto armado – Função de estado relativa à ruína

DBD


por tração diagonal. Para seção reforçada – Função de estado relativa à ruína por tração diagonal devido à ruptura do reforço

4G Função de estado relativa à ruína por tração diagonal devido ao descolamento do reforço

)X(G Função de estado no espaço original X

)Y(G Função de estado no espaço reduzido Y

h Altura da viga

feh Altura efetiva do FRP

J Jacobiano da transformação de Nataf

j Número de modos de ruptura (funções de estado) possíveis no problema

k Coeficiente de redução

k Parâmetro das distribuições Tipo II Máximo e Tipo III Mínimo (Weibull)

1k Coeficiente de modificação que leva em consideração a resistência do concreto

2k Coeficiente de modificação que leva em consideração o tipo de execução do reforço

gk Proporção de carga permanente

qk Proporção de carga acidental

vk Coeficiente de redução devido à colagem

L Matriz triangular inferior obtida a partir da decomposição de Choleski da matriz dos coeficientes de correlações equivalentes das variáveis X

al Comprimento de ancoragem do reforço

eL Comprimento de ancoragem efetivo

máxL Comprimento de aderência máximo

m Vetor com as médias normais equivalentes das variáveis aleatórias X

iP Termo de primeira ordem da probabilidade de falha de um sistema em série

DBD


ikP Termo de segunda ordem da probabilidade de falha de um sistema em série

iklP Termo de terceira ordem da probabilidade de falha de um sistema em série

fp Probabilidade de falha

2fp Probabilidade de falha referente ao esmagamento das bielas de compressão

3fp Para seção de concreto armado – Probabilidade de falha referente à tração diagonal. Para seção reforçada – Probabilidade de falha referente à tração diagonal devido à ruptura do reforço

4fp Probabilidade de falha referente à tração diagonal devido ao descolamento do reforço

sfp Probabilidade de falha de um sistema em série

pfp Probabilidade de falha de um sistema em paralelo

série,fp Probabilidade de falha obtida considerando a formulação de sistema em série

R Coeficiente de redução

b_R Coeficiente de redução utilizado no caso do colapso da viga ser controlado pelo descolamento do compósito

l_R Coeficiente de redução utilizado no caso do colapso da viga ser controlado pela ruptura do compósito

r_R Coeficiente de redução utilizado no caso da deformação específica efetiva do FRP ser limitada pela deformação máxima

)X(R Resistência do elemento

s Espaçamento entre as armaduras transversais de aço

dS Desvio padrão da dosagem do concreto, tabelado na NBR 12655 (1996) de acordo com a condição de preparo do concreto

fs Espaçamento de eixo a eixo entre estribos de FRP

máxfs Espaçamento máximo de eixo a eixo entre estribos de FRP

nomS Valor característico da resistência de escoamento do aço

)X(S Solicitação imposta ao elemento

DBD


ft Espessura de FRP

st Espessura da mesa de uma viga T

u Parâmetro da distribuição Tipo I Máximo (Gumbel) e Tipo I Mínimo

v Parâmetro das distribuições Tipo II Máximo e Tipo III Mínimo (Weibull)

)X(Var Variância de uma variável aleatória

cV Parcela da força cortante resistida pelo concreto

cdV Valor de projeto da parcela da força cortante resistida pelo concreto

fV Parcela da força cortante resistida pelo FRP

fdV Valor de projeto da parcela da força cortante resistida pelo FRP

fdeV Valor de projeto da parcela da força cortante resistida pelo FRP permitida

d,fV Parcela de força cortante resistida pelo FRP, limitada pelo descolamento do compósito

exp,fV Valor da parcela de força cortante resistida pelo FRP obtida a partir de programas experimentais

r,fV Parcela de força cortante resistida pelo FRP, limitada pela ruptura do compósito

teo,fV Valor da parcela de força cortante resistida pelo FRP obtida a partir de modelos semi-empíricos ou de prescrições normativas

gV Força cortante proveniente do carregamento permanente

gkV Força cortante característica proveniente do carregamento permanente

nV Força cortante nominal

qV Força cortante proveniente do carregamento acidental

qkV Força cortante característica proveniente do carregamento acidental

inicial,qkV

Força cortante característica proveniente do carregamento acidental inicial (antes do acréscimo de carga)

final,qkV Força cortante característica proveniente do carregamento acidental final (depois do acréscimo de carga)

DBD


1RdV Valor de projeto da parcela da força cortante resistida pelo concreto

2RdV Valor de projeto da força cortante resistida pelas bielas comprimidas

3RdV Força cortante resistente de cálculo

max,RdV Valor de projeto da força cortante resistida pelas bielas comprimidas

SV Força cortante solicitante

SdV Força cortante solicitante de cálculo

swV Parcela da força cortante resistida pela armadura transversal de aço

swdV Valor de projeto da parcela da força cortante resistida pela armadura transversal

uV Força cortante solicitante

fw Largura do estribo de FRP

few Largura efetiva do FRP dada em função do tipo de execução do reforço

X Vetor das variáveis básicas

i*)x( Valor da variável aleatória i no ponto de projeto

ik )x( Valor característico da variável aleatória usado no projeto

y Variável reduzida

*y Ponto de projeto no espaço das variáveis reduzidas Y

bz Coordenada da extremidade inferior

tz Coordenada da extremidade superior

Gregos

α Ângulo de inclinação entre a armadura transversal de aço e o eixo longitudinal da viga

α Coeficiente de redução

α Parâmetro das distribuições Tipo I Máximo (Gumbel) e Tipo I Mínimo

iα Co-seno diretor entre o vetor normal à superfície de falha no ponto de projeto *y e o eixo da variável reduzida iY

DBD


ki ,αα Vetores dos co-senos diretores nos pontos de projeto *y associados aos modos de ruptura

vα Fator de efetividade do concreto

)y( Kα Vetor unitário normal à superfície de falha no ponto y

β Ângulo de inclinação entre a orientação das fibras do FRP e o eixo longitudinal da viga

β Índice de confiabilidade

2β Índice de confiabilidade referente ao esmagamento das bielas de compressão

3β Para seção de concreto armado – Índice de confiabilidade referente à tração diagonal. Para seção reforçada – Índice de confiabilidade referente à tração diagonal devido à ruptura do reforço

4β Índice de confiabilidade referente à tração diagonal devido ao descolamento do reforço

série,eβ Índice de confiabilidade equivalente obtido considerando a formulação se sistemas em série

Lβ Coeficiente que traduz o comprimento de ancoragem efetivo

tβ Índice de confiabilidade alvo (target)

rβ Índice de confiabilidade de referência

wβ Coeficiente relacionado à largura do FRP

Δ Relação entre teo,fV e exp,fV

qkVΔ Acréscimo de carga acidental

)X(Gx∇

Gradiente da função de estado no espaço original X avaliado no ponto Ky

)Y(Gy∇ Gradiente da função de estado no espaço reduzido Y avaliado no ponto Ky

iy *)y(G∇ Componente do gradiente da função de estado no espaço reduzido

Xδ Coeficiente de variação de uma variável aleatória

fdeε Deformação específica efetiva de cálculo do FRP

DBD


feε Deformação específica efetiva do FRP

1feε Deformação específica efetiva do reforço correspondente ao colapso da viga por descolamento do reforço

2feε Parcela de acréscimo da deformação específica efetiva do reforço devido à adição de um sistema de ancoragem

b_feε Deformação específica efetiva do reforço correspondente ao colapso da viga por descolamento do reforço

r_feε Deformação específica efetiva do reforço correspondente ao colapso da viga por ruptura do reforço

fkeε Valor característico da deformação específica efetiva do FRP

fuε Deformação específica última do FRP

máxε Deformação específica máxima, ou limite, do FRP

)(Φ Função de distribuição cumulativa da variável normal padrão

),,( ρΦ Função de distribuição cumulativa bidimensional normal padrão

φ Coeficiente de redução da resistência

)y(φ Função densidade de probabilidade da variável normal padrão

Rφ Fator de modelagem das resistências

Sφ Fator de modelagem dos efeitos das cargas

Γ Matriz inversa da matriz L

)(Γ Função Gamma

cγ Fator de segurança do concreto

fγ Fator de segurança parcial do FRP

fbγ Fator de segurança parcial do FRP aplicado quando a ruptura é dominada pelo descolamento

ffγ Fator de segurança parcial do FRP aplicado quando a ruptura é dominada pela ruptura do compósito

flγ Fator de segurança parcial do FRP aplicado quando o valor característico de sua deformação específica efetiva é limitado pela deformação específica máxima

gγ Fator de ponderação das cargas provenientes do carregamento

DBD


permanente

qγ Fator de ponderação das cargas provenientes do carregamento acidental

sγ Fator de segurança do aço

),,( ikρϕ Função densidade de probabilidades bidimensional padrão

( )ρϕ ;m Função densidade de probabilidades m-dimensional normal padrão

λ Comprimento de aderência máximo normalizado

λ Parâmetro da distribuição Lognormal

yfμ Valor médio da resistência de escoamento do aço

Xμ Valor médio de uma variável aleatória

NXμ Média da variável aleatória normal equivalente no ponto *x

θ Inclinação das bielas de compressão

ρ Matriz de correlação

fρ Taxa geométrica de FRP

max,fρ Taxa geométrica de reforço máxima

min,fρ Taxa geométrica de reforço mínima

ikρ Coeficiente de correlação entre dois modos de ruptura (duas funções de estado)

lρ Taxa geométrica de armadura longitudinal

ijXρ Coeficiente de correlação

EXij

ρ Coeficiente de correlação entre variáveis normais equivalentes

σ Matriz diagonal contendo os desvios padrões normais equivalentes das variáveis aleatórias X

ffσ Desvio padrão da resistência à tração última do CFRP

máxfσ Tensão máxima no FRP

bmax_fσ Tensão máxima no FRP, limitada pelo descolamento do compósito

DBD


rmax_fσ Tensão máxima no FRP, limitada pela ruptura do compósito

ywfσ Desvio padrão da resistência de escoamento do aço

Rσ Parâmetro da distribuição Rayleigh

Xσ Desvio padrão

2Xσ Variância

NXσ Desvio padrão da variável aleatória normal equivalente no ponto *x

τ Parâmetro da distribuição Rayleigh

ξ Parâmetro da distribuição Lognormal

fψ Coeficiente de redução adicional, dado em função do tipo de execução do reforço

ζ Relação entre a coordenada superior e inferior do FRP

DBD


Lista de Abreviaturas

PUC-Rio Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

CFRP Carbon Fibre Reinforced Polymer (Polímero Armado comFibras de Carbono)

FRP Fibre Reinforced Polymer (Polímero Armado com Fibras)

AFRP Aramid Fibre Reinforced Polymer (Polímero Armado com Fibras de Aramida)

GFRP Glass Fibre Reinforced Polymer (Polímero Armado com Fibrasde Vidro)

fib Federation Internationale du Beton

ACI American Concrete Institute

JCSS Joint Committee on Structural Safety

PDF Probability Density Function (Função Densidade deProbabilidades)

CDF Cumulative Distribution Function (Função de DistribuiçãoCumulativa)

FORM First Order Reliability Method

RIA Reliability Index Approach

PMA Performance Measure Approach

RBDO Reliability-Based Design Optimization

DBD


1 Introdução

1.1. Considerações Gerais

O reforço estrutural é utilizado quando é necessário aumentar ou

restabelecer a capacidade resistente de uma estrutura ou de um elemento

estrutural.

A técnica de reforço com a aplicação de compósitos de fibras de carbono

possui como vantagens: facilidade e rapidez de execução, leveza, manutenção

das dimensões originais da peça e resistência à corrosão. Os motivos que podem levar a esta necessidade são: aumento de

carregamento, devido à modificação no tipo de utilização; redistribuição de

cargas, devido à alteração da geometria de elementos estruturais; deterioração

da estrutura, devido ao envelhecimento natural ou resultante da ação de agentes

agressivos; acidentes como incêndios ou choques; correção de erros de projeto

ou de execução; novas exigências normativas.

Neste trabalho supõe-se que o reforço é necessário para complementar a

capacidade resistente da viga em concreto armado quando ocorre acréscimo de

carga acidental.

Um projeto estrutural deve levar em consideração as incertezas dos

modelos de cálculo e de análise estrutural e as incertezas referentes às variáveis

envolvidas, que podem ser: a intensidade e a distribuição das cargas

permanentes e acidentais, as propriedades mecânicas dos materiais e os

parâmetros geométricos da estrutura.

Estas incertezas impossibilitam que uma estrutura apresente segurança

absoluta, pois uma determinada combinação de valores das variáveis pode

resultar numa condição de falha.

A confiabilidade de estruturas tem como principal objetivo determinar a

probabilidade de ocorrência de um cenário de falha na estrutura, visto que

sempre haverá uma probabilidade não-nula da estrutura desempenhar um

comportamento não apropriado durante sua vida útil.

Entre outros resultados, a análise de confiabilidade permite, também,

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0221075/CA

33

estimar a sensibilidade do projeto em relação às variáveis aleatórias

consideradas no modelo. Esta informação é importante em decisões

relacionadas à segurança da estrutura porque possibilita saber qual a

importância que cada variável aleatória tem na resposta da probabilidade de

falha.

Na análise de confiabilidade as variáveis aleatórias são consideradas

segundo um modelo probabilístico definido por: um determinado valor esperado

(média), uma certa medida de dispersão (desvio padrão ou coeficiente de

variação), uma distribuição de probabilidades e uma medida de correlação entre

elas. Esta análise é uma alternativa aos procedimentos convencionais de

cálculo, como os adotados pelas normas de projeto de estruturas que

recomendam a aplicação de uma filosofia semi-probabilística de segurança.

Nestas normas são utilizados fatores parciais de segurança para majorar as

solicitações e minorar as resistências. Estes fatores são aplicados aos valores

característicos das variáveis transformando-os em valores de cálculo.

1.2. Objetivos

A contribuição principal deste trabalho é estabelecer e implementar uma

metodologia para o projeto ou avaliação da confiabilidade do reforço à força

cortante com compósitos de fibras de carbono (CFRP) em vigas de concreto

armado pela ótica da confiabilidade de estruturas.

Nesta metodologia o reforço é dimensionado por um processo iterativo,

com a utilização da formulação de sistemas em série com o objetivo de

considerar no dimensionamento os três modos de comportamento que podem

levar à falha da estrutura por solicitações tangenciais.

Um programa de confiabilidade de estruturas é desenvovido em

linguagem C onde o método FORM “First Order Reliability Method” é

implementado. Este programa é utilizado na resolução de exemplos numéricos

desenvolvidos para seções de concreto armado sem reforço e com reforço.

Inicialmente estuda-se a seção mais solicitada de uma viga em concreto

armado sem reforço, previamente dimensionada para o estado limite último

seguindo o modelo de cálculo I da NBR 6118 (2003), com o objetivo de avaliar a

confiabilidade à força cortante.

DBD


34

Posteriormente, estuda-se a seção mais solicitada de uma viga em

concreto armado reforçada à força cortante com CFRP com o objetivo de:

dimensionar a taxa geométrica de reforço pelo projeto corrente e pelo projeto

baseado em confiabilidade e avaliar a confiabilidade da seção para valores

fornecidos de taxa geométrica de reforço.

1.3. Organização do Trabalho

Como ponto de partida para o desenvolvimento deste trabalho, o

Capítulo 2 é dedicado ao estudo do reforço de vigas à força cortante com

compósitos de fibras de carbono. Nele são reunidos os modelos e as prescrições

recentes que abordam o cálculo da parcela da força cortante resistida pelo

reforço fV . Os resultados de teo,fV obtidos com a utilização destes modelos e

das prescrições são comparados com os resultados experimentais ( exp,fV )

disponíveis na literatura. Gráficos de teo,fexp,f VxV são apresentados no final do

capítulo.

O Capítulo 3 tem como objetivo introduzir conceitos fundamentais de

confiabilidade de estruturas. O método analítico FORM é abordado. Neste

capítulo é apresentado, também, uma revisão bibliográfica de trabalhos que

abordam avaliação da confiabilidade de vigas em concreto armado.

No Capítulo 4, é apresentada a metodologia utilizada para a resolução

dos exemplos descritos no Capítulo 5. São discutidos os dados de entrada, as

opções de análise implementadas no programa de confiabilidade de estruturas,

os resultados obtidos na saída da análise, o valor do índice de confiabilidade de

referência e as funções de estado consideradas.

No Capítulo 5, são analisadas situações que podem ocorrer na prática

profissional. Os exemplos são elaborados para seções de concreto armado e

para seções de concreto armado reforçadas com compósitos de fibras de

carbono. Os modelos probabilísticos adotados para as variáveis consideradas

como aleatórias são apresentados.

O Capítulo 6, parte final deste trabalho, é constituído por conclusões e

sugestões para trabalhos futuros.

DBD


35

No Anexo A, são disponibilizados os modelos e prescrições apresentados

no Capítulo 2, no formato de rotinas de cálculo, para implementação em

MathCad.

No Anexo B, alguns programas experimentais, disponíveis na literatura,

sobre reforço de vigas em concreto armado à força cortante com CFRP são

relatados sucintamente.

No Anexo C, os dados geométricos e as propriedades dos materiais dos

programas experimentais do Anexo B são tabelados.

No Anexo D, são apresentados, em linhas gerais, alguns conceitos

estatísticos e probabilísticos.

DBD


2 Considerações sobre o Reforço para Avaliação da Resistência à Força Cortante

2.1. Introdução

Os compósitos são o resultado da união de dois ou mais materiais de

natureza distinta, que juntos possuem características de desempenho superiores

as que cada um apresenta separadamente. Os compósitos de fibras são

formados pela armadura (fibras) e pela matriz.

A armadura fornece resistência mecânica e rigidez ao compósito,

enquanto a matriz é responsável por assegurar o alinhamento das fibras,

transferir as tensões, fornecer aderência e proteger as fibras.

O compósito, analisado nesta Tese, é constituído por resina de base

epoxídica reforçada por fibras longas de carbono (CFRP). Este material

apresenta comportamento linear ( εσ ⋅= E ) e ruptura frágil. O compósito de

fibra de carbono de alto módulo alcança deformação específica última menor do

que o constituído de fibra de carbono de alto resistência e conseqüentemente

apresenta menor capacidade resistente à tração (Figura 2.1).

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20Deformação específica do CFRP (‰)

Res

istê

ncia

à tr

ação

do

CFR

P (M

Pa)

EfEf

CF-130 Fibrade Carbono de Alta Resis

tência

CF-53

0 Fibr

ade

Car

bono

de A

lto M

ódulo

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500


Res

istê

ncia

à tr

ação

do

CFR

P (M

Pa)

EfEf

CF-130 Fibrade Carbono de Alta Resis

tência

CF-53

0 Fibr

ade

Car

bono

de A

lto M

ódulo

Figura 2.1 – Diagrama tensão x deformação de CFRP unidirecionais.

Os sistemas de reforço com CFRP podem ser de dois tipos: a) tecidos de

DBD


37

fibras de carbono, impregnados in situ por resina epoxídica; b) laminados pré-

fabricados, onde as fibras já se apresentam pré-impregnadas pela resina.

Informações adicionais sobre polímeros armados com fibras (FRP), são

encontradas em Bulletin 14 - fib (2001) e ACI 440 (2001).

A execução do FRP como reforço à força cortante em vigas de concreto

armado pode assumir configurações diferentes:

Quanto ao seu envolvimento na seção transversal da viga (Figura 2.2);

A B C DA B C D

Figura 2.2 – Configurações de reforço, quanto ao seu envolvimento na seção transversal da viga: a) colado apenas nas laterais; b) colado com envolvimento em

forma de U; c) colado com envolvimento completo; d) colado com envolvimento em forma de U com ancoragem do FRP na mesa da viga.

Quanto à sua continuidade ao longo do comprimento da viga (Figura 2.3);

A BA B

Figura 2.3 – Configurações de reforço, quanto à sua continuidade ao longo do comprimento da viga: a) colado de forma contínua; b) colado em faixas espaçadas.

Quanto à orientação de suas fibras principais, em relação ao eixo

longitudinal da viga (Figura 2.4);

A Bββ

A Bββ

Figura 2.4 – Configurações de reforço, quanto à orientação de suas fibras

principais, em relação ao eixo longitudinal da viga: a) colado com °= 90β ; b)

colado com °= 45β .

De acordo com resultados de programas experimentais encontrados na

DBD


38

literatura, expostos no Anexo B e Anexo C, observa-se que os modos de ruptura,

devido à força cortante, em vigas reforçadas são:

(a) Esmagamento das bielas comprimidas (Figura 2.5);

(b) Ruptura do compósito à tração (Figura 2.6);

(c) Descolamento do compósito (Figura 2.7).

Percebe-se, também, que os modos de ruptura (b) e (c) estão

diretamente associados à configuração do reforço quanto ao seu envolvimento

na seção transversal da viga. Quando o reforço não é ancorado de maneira

eficiente (Figuras 2.2a e 2.2b) ele descola sob uma determinada deformação,

ocasionando a ruptura precoce da viga. Quando o comprimento de ancoragem

do reforço é adequado (Figuras 2.2c e 2.2d) ele alcança sua capacidade máxima

e rompe por deformação excessiva imposta pelas fissuras diagonais de tração

formadas na viga.

Figura 2.5 – Foto de uma viga de concreto armado após a ruptura, devido ao esmagamento das bielas comprimidas; retirada de MacGregor (1988).


envolvendo completamente a seção transversal da viga, em faixas e com °= 90β ,

após a ruptura, devido à ruptura do reforço; retirada de Beber (2003).

DBD


39


apenas nas laterais da viga, em faixas e com °= 90β , após a ruptura, devido ao

descolamento do reforço; retirada de Beber (2003).

Estimar a deformação do FRP na ocasião de ruptura da viga,

denominada na literatura de deformação específica efetiva, feε , é a grande

dificuldade imposta ao cálculo da capacidade resistente à força cortante, deste

sistema de reforço, uma vez que feε é menor que a deformação específica

última do compósito, obtida no ensaio de tração direta do mesmo e fornecida nos

catálogos dos fabricantes de FRP.

Os modelos e prescrições normativas apresentados adiante se baseiam

na treliça clássica de Mörsch (com inclinação das bielas de compressão

°= 45θ ) para determinar o valor da parcela da força cortante resistida pelo FRP,

fV , adotando um procedimento análogo ao que é feito para o cálculo da parcela

da força cortante resistida pela armadura transversal de aço. Os modelos e

prescrições sugerem expressões diferentes para o cálculo da deformação

específica efetiva feε ou sua correspondente tensão efetiva fef . Para o cálculo

da capacidade resistente total à força cortante é proposto somar as parcelas

resistentes de cada material, concreto, aço e compósito, semelhante ao que se

apresenta em normas vigentes de concreto armado.

A partir da análise dos programas experimentais disponíveis na literatura,

dos modelos e das prescrições normativas, observa-se que reforço com FRP

eficientemente ancorado alcança capacidade resistente superior ao que

apresenta ancoragem deficiente.

A parcela da força cortante resistida pelo FRP, fV , também varia de

acordo com a configuração de reforço adotada, quanto à sua continuidade ao

longo do comprimento da viga e quanto à orientação de suas fibras principais em

relação ao eixo longitudinal da viga, sendo superior para casos em que o reforço

DBD


40

é colado de forma contínua e inclinado perpendicularmente às fissuras de tração

formadas na viga ( °= 45β ).

Neste capítulo reúnem-se modelos e prescrições recentes que abordam o

reforço à força cortante de vigas de concreto armado com a utilização de

materiais compósitos de fibras de carbono colados externamente (CFRP).

No item 2.2., apresentam-se formulações propostas por pesquisadores

para a determinação do valor da parcela de força cortante resistida pelo reforço,

fV , com o objetivo de comparar os resultados obtidos com essas formulações

com os resultados experimentais fornecidos na bibliografia.

Com base nos estudos de pesquisadores, instituições como fib e ACI

elaboraram suas prescrições para estruturas de concreto armado reforçadas

com FRP, apresentadas no item 2.3. Nessas prescrições são embutidos, além

de fatores de redução, limites pré-estabelecidos, com o objetivo de minorar o

valor da força cortante resistida pelo FRP, para que a resistência de cálculo seja

sempre menor do que o valor experimental.

No item 2.4. apresenta-se tabelas contendo resultados experimentais

obtidos por vários autores. Essas tabelas mostram os resultados de

comparações entre esses valores e os valores teóricos obtidos usando-se os

modelos e as prescrições. São apresentados gráficos de teo,fexp,f VxV .

Todas as formulações são abordadas no Anexo A em forma de rotinas.

2.2. Modelos Semi-Empíricos

2.2.1. Estudos de TRIANTAFILLOU (1998 e 2000)

Com o intuito de se obter equações que possam estimar o valor da

deformação específica efetiva do FRP, TRIANTAFILLOU (1998) reuniu um

conjunto de resultados experimentais de vigas reforçadas com FRP, incluindo

CFRP (Polímero Armado com Fibras de Carbono), AFRP (Polímero Armado com

Fibras de Aramida) e GFRP (Polímero Armado com Fibras de Vidro), onde o

reforço foi executado em três configurações (envolvimento completo da seção

transversal da viga, envolvimento em forma de U ou colado apenas nas laterais

da viga).

DBD


41

Inicialmente foi obtido o valor da deformação específica efetiva do FRP

feε para cada viga reforçada, utilizando a expressão 2.1, sendo esta semelhante

à utilizada para se obter a parcela resistida pela armadura transversal de aço à

força cortante:

( ) ββρε sincot1dbE9,0V wfffef += (2.1)

onde:

fV - parcela resistida pelo FRP à força cortante, neste caso obtida

experimentalmente;

fE - módulo de elasticidade do FRP;

wb - largura da seção transversal da viga;

d - altura útil da viga;

β - ângulo de inclinação entre a orientação das fibras do FRP e o eixo

longitudinal da viga;

fρ - taxa geométrica do FRP, expressa por:

f

f

w

ff s

wbt

⋅=2

ρ (2.2)

sendo:

ft - espessura do FRP;

fw - largura do estribo de FRP;

fs - espaçamento de eixo a eixo entre estribos de FRP.

No caso do reforço executado continuamente ao longo do trecho de

cisalhamento da viga tem-se ff sw = .

TRIANTAFILLOU (1998) observou que feε depende do comprimento de

ancoragem necessário para que a ruptura do FRP por tração se dê antes do seu

descolamento. Este comprimento de ancoragem depende das condições de

colagem e varia quase proporcionalmente à rigidez axial do reforço, expressa

pelo produto ff Eρ . Percebe-se que feε é inversamente proporcional a ff Eρ ,

pois se o compósito torna-se mais rígido e espesso ele tende a descolar antes

de romper por tração, reduzindo o valor da deformação específica efetiva do

FRP. O descolamento do compósito leva a viga a entrar em colapso

precocemente.

DBD


42

Com base nos fatos mencionados, TRIANTAFILLOU (1998) elaborou um

gráfico contendo o valor de feε calculado pela expressão 2.1, para cada viga, e

os respectivos valores da rigidez axial (Figura 2.8).

A partir deste gráfico TRIANTAFILLOU (1998) estabeleceu duas

equações para feε , sendo:

para GPaEff 10 ≤≤ ρ :

( ) ( )2010400205001190 fffffe E,E,, ρρε +−= (2.3)

para GPaEff 1>ρ :

( ) 002450000650 ,E, fffe +−= ρε (2.4)

Por meio dos resultados experimentais verifica-se que quando o reforço é

executado envolvendo completamente a seção transversal da viga ou em forma

de U com um efetivo sistema de ancoragem o colapso da viga se dá por ruptura

do FRP à tração. Para os demais tipos de execução do reforço o modo de

colapso que prevalece é o descolamento do compósito. As expressões 2.3 e 2.4

não fazem nenhuma distinção sobre o tipo de execução do reforço em FRP.

ρf Ef (GPa)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

Sem envolvimento completo

Envolvimento completo

ε fe

ρf Ef (GPa)

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,00,000

0,002

0,004

0,006

0,008

0,010

0,012

0,014

Sem envolvimento completo

Envolvimento completo

ε fe

Figura 2.8 – Gráfico deformação específica efetiva do FRP x rigidez do FRP;

retirada de TRIANTAFILLOU (1998).

Seguindo essa mesma metodologia, TRIANTAFILLOU e

ANTONOPOULOS (2000) elaboraram dois gráficos com dados experimentais de

75 vigas reforçadas, um para cada modo de colapso da viga (ruptura do FRP por

tração e descolamento do FRP). Esses gráficos expressam a dependência de

DBD


43

feε em relação ao parâmetro 3/2cmff f/E ρ (Figuras 2.9 e 2.10), pois segundo

esses autores, além das dependências já citadas anteriormente, feε é

proporcional à resistência à tração do concreto, que por sua vez é proporcional a 3/2

cmf . Na Figura 2.10 fuε representa a deformação específica última do FRP.

εfe

Ef ρf / fcm2/3

εfke

CFRPGFRPεfe

εfe

Ef ρf / fcm2/3

εfke

CFRPGFRPεfe

Figura 2.9 – Gráfico 3/2cmfffe f/Ex ρε para o colapso da viga devido ao

descolamento do FRP; retirada de TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000).

εfe / εfu

Ef ρf / fcm2/3

εfke/εfu

εfke/εfu

εfe/εfu

εfe/εfu

,

εfe / εfu

Ef ρf / fcm2/3

εfke/εfu

εfke/εfu

εfe/εfu

εfe/εfu

,

Figura 2.10 – Gráfico 3/2cmfffe f/Ex ρε para o colapso da viga devido à ruptura

do FRP; retirada de TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000).

DBD


44

A partir dos gráficos das Figuras 2.9 e 2.10 esses autores elaboraram

duas equações para feε do CFRP:

no caso do descolamento do reforço ser responsável pelo colapso da

viga:

3

56,0

ff

32

cmfe 10

Ef65,0 −

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

ρε (2.5)

no caso da ruptura do reforço por tração ser responsável pelo colapso da

viga:

fu

30,0

ff

32

cmfe E

f17,0 ερ

ε⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= (2.6)

sendo cmf expresso em MPa e fE em GPa .

De acordo com esses autores, para se obter o valor de fV calcula-se feε

por uma das expressões (2.5 ou 2.6) e substitui-se o valor encontrado na

equação 2.1.

TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000) fornecem uma rotina de

projeto para se determinar a parcela da força cortante resistida pelo FRP.

Recomendam que feε na expressão 2.1 seja substituída por ffke / γε , sendo

fkeε dado por:

máxfefke εαεε ≤= (2.7)

onde:

fkeε - valor característico da deformação específica efetiva do FRP;

α - coeficiente de redução, dado como 80,=α ;

máxε - deformação específica máxima do FRP adotada igual a 0050, , a fim de

limitar a abertura das fissuras, garantindo que a integridade do concreto

seja mantida, de modo a evitar que ocorra perda do engrenamento dos

agregados.

A deformação específica efetiva feε é obtida pela expressão 2.6 caso o

reforço seja executado envolvendo completamente a seção transversal da viga,

ou em forma de U com um efetivo sistema de ancoragem. Para os demais tipos

de execução do reforço, feε é definido pelo menor valor entre os fornecidos

pelas expressões 2.5 e 2.6.

DBD


45

O valor do fator de segurança parcial do FRP fγ sugerido por esses

autores é função do modo de colapso da viga ou de máxε , então:

se o colapso da viga é controlado pela ruptura do CFRP:

201,fff == γγ ;

se o colapso da viga é dominada pelo descolamento do CFRP:

301,fbf == γγ ;

se máxfke εε = : 301,f =γ .

TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000) recomendam valores

limites para a rigidez axial ffE ρ e para o espaçamento dos estribos de FRP fs ,

conforme especificado a seguir:

( ) 3/2c

3/2cm

56,01

máx

3

limff f018,0f1065.0E =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×=

−

εαρ (2.8)

Este limite para a rigidez axial é especificado com base na expressão 2.5

e no gráfico da Figura 2.9. Neste gráfico percebe-se que:

Para valores abaixo deste valor limite a deformação específica efetiva do

FRP é limitada pela deformação específica máxima. Nenhum tipo de

colapso, devido ao reforço, é atingido;

Para valores de ffE ρ maiores que o valor limite o colapso da viga é

governado pelo descolamento do FRP, no caso do reforço executado

sem um efetivo sistema de ancoragem. Para evitar o descolamento deve-

se adotar o valor limite para ffE ρ dado pela expressão 2.8.

O valor limite para o espaçamento do FRP é dado por:

d,sf 80≤ (2.9)

estabelecido de forma que nenhuma fissura diagonal se forme sem que seja

interceptada por pelo menos um estribo.

Esta sistemática de projeto fornecida por TRIANTAFILLOU e

ANTONOPOULOS (2000) foi adotada pelas prescrições do Bulletin 14 da fib

(2001), as quais são descritas no item 2.3.1.

2.2.2. Estudos de KHALIFA e NANNI (2002)

KHALIFA e NANNI (2002) propõem uma expressão de projeto, similar à

expressão 2.1, para determinar a contribuição do FRP à força cortante:

DBD


46

( )f

ff

f

fefd s

sincot1d9,0AfV

ββγ

+= (2.10)

onde:

fef - tensão efetiva do FRP;

fd - altura efetiva do FRP, usualmente igual a d para vigas retangulares e

sf tdd −= para vigas T, com st representando a espessura da mesa;

fA - área do FRP, obtida por:

fff wtA 2= (2.11)

sendo o valor de ft calculado multiplicando a espessura do material de reforço

utilizado (tecido ou lâmina) pelo número de camadas empregadas.

As variáveis dimensionais adotadas são indicadas na Figura 2.11.

dfh d

bwsf

wf

dfh d

bwsf

wf

Figura 2.11 – Esquema das variáveis dimensionais adotadas; adaptada de KHALIFA e NANNI (2002).

O fator de segurança parcial do CFRP fγ sugerido por KHALIFA e

NANNI (2002) é igual a 3,1 .

Esses autores admitem que no estado limite último não é possível atingir

a resistência última do FRP, pois a ruptura pode ocorrer por:

a) ruptura do FRP com tensão inferior à sua capacidade resistente, devido à

ocorrência de concentração de tensões junto à fissura ou nas arestas da

viga reforçada;

b) descolamento do FRP da superfície do concreto;

c) diminuição significativa da capacidade resistente do concreto à força

cortante devido à redução da contribuição do engrenamento dos

agregados.

Para se obter a tensão média efetiva do FRP foi sugerido aplicar um

coeficiente de redução R na sua resistência última:

DBD


47

ffe Rff = (2.12)

onde:

ff - tensão última do FRP.

Para calcular este coeficiente de redução utilizam-se duas equações que

dependem do modo de colapso da viga reforçada (ruptura do FRP ou

descolamento do mesmo). Esses autores estabelecem um limite superior para

este coeficiente de modo a controlar a largura das fissuras e a redução da

contribuição do engrenamento dos agregados.

No caso do colapso da viga ocorrer devido à ruptura do FRP, o

coeficiente de redução é calculado por um polinômio estabelecido em função de

ff Eρ . Esse polinômio foi obtido com base no modelo proposto por

TRIANTAFILLOU (1998), porém KHALIFA et alii (1998) analisaram mais dados

experimentais e propuseram uma pequena modificação no modelo.

KHALIFA et alii (1998) elaboraram um gráfico contendo a relação entre a

deformação específica efetiva do FRP e a deformação específica última,

fufeR εε /= , e a rigidez axial do compósito, ff Eρ (Figura 2.12), onde feε foi

obtida como sugerido por TRIANTAFILLOU (1998).

0,2 0,40

ρf Ef (GPa)

0,6 0,8 1,0 1,20

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

ε fe

/ εfu

CFRP (envolvimento completo)

CFRP (colado apenas nas laterais)

CFRP (envolvimento em “U”)

AFRP (envolvimento completo)

AFRP (envolvimento em “U”)

Equação 2.13

Limite para controle da aberturada fissura de cisalhamento

0,2 0,40

ρf Ef (GPa)

0,6 0,8 1,0 1,20

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

ε fe

/ εfu

CFRP (envolvimento completo)

CFRP (colado apenas nas laterais)

CFRP (envolvimento em “U”)

AFRP (envolvimento completo)

AFRP (envolvimento em “U”)

Equação 2.13

Limite para controle da aberturada fissura de cisalhamento

Figura 2.12 – Gráfico fffufe Ex/R ρεε= ; retirada de KHALIFA et alii (1998).

DBD


48

A partir deste gráfico foi estabelecido uma equação para R em função de

ff Eρ , com a rigidez axial limitada em GPa,70 , conforme KHALIFA e NANNI

(2002), portanto:

( ) ( ) 78,022,156,0 2 +−= ffff EER ρρ (2.13)

Quando o descolamento do FRP é responsável pelo colapso da viga,

este coeficiente de redução é função da resistência do concreto, da rigidez axial

do FRP, da largura efetiva do FRP e da configuração da superfície de colagem:

( ) ( )[ ] 6ff

ffu

fe3/2

c 10Et06,493,738d

w'fR −⋅−=ε

(2.14)

onde mmGPaEtmmGPa ff 9020 ≤≤ , sendo:

few - largura efetiva do FRP que depende do tipo de execução do reforço e

para °= 45θ é definido na Figura 2.13.

dfh d

bw

Le

45o

wfe = df - Le

dfh d

bw wfe = df - 2Le

Le

Le

dfh d

bw

Le

45o

wfe = df - Le

dfh d

bw wfe = df - 2Le

Le

Le

Figura 2.13 – Largura efetiva do FRP.

Para envolvimento em forma de U:

effe Ldw −= (2.15)

Para reforço colado somente nas laterais:

effe Ldw 2−= (2.16)

onde o comprimento de ancoragem efetivo eL possui um valor constante e

conservativo. Segundo os estudos de Miller apud KHALIFA e NANNI (2002)

mmLe 75= .

DBD


49

Os valores fornecidos pelas expressões 2.13 e 2.14 devem atender a um

valor limite:

fuR

ε006,0

=

(2.17)

para que a deformação média efetiva feε não exceda o valor de 0060, . Deve-se

efetuar uma comparação entre os três valores do coeficiente de redução e

adotar o menor. No caso de se utilizar o reforço executado envolvendo

completamente a seção transversal da viga, ou em forma de U com um efetivo

sistema de ancoragem, o descolamento do FRP não é levado em conta,

desconsiderando-se seu coeficiente de redução.

Após se obter o valor do coeficiente de redução calcula-se a parcela da

força cortante resistida pelo FRP por meio da expressão 2.10. KHALIFA e

NANNI (2002) sugerem limitar o valor do espaçamento do FRP fs em:

4dws ff +≤

(2.18)

Esses autores limitam a contribuição do FRP à força cortante para

garantir que as bielas inclinadas de concreto não esmaguem:

( )[ ]swdcdmax,Rdfd VVVV +−≤ (2.19)

onde:

max,RdV - valor de projeto da força cortante resistida pelas bielas;

cdV - valor de projeto da parcela da força cortante resistida pelo concreto;

swdV - valor de projeto da parcela da força cortante resistida pela armadura

transversal.

As expressões para max,RdV , cdV e swdV são fornecidas no Anexo A.

2.2.3. Estudos de ADHIKARY et alii (2003)

Com base na expressão 2.5 proposta por TRIANTAFILLOU e

ANTONOPOULOS (2000), que leva em conta o colapso da viga à força cortante

prematura devido ao descolamento do reforço, esses autores apresentaram uma

nova formulação para se obter o valor da deformação específica efetiva do

reforço:

21 fefefe εεε += (2.20)

sendo:

DBD


50

1feε - deformação específica efetiva do reforço correspondente à ruptura da

viga por descolamento do mesmo;

2feε - parcela de acréscimo da deformação específica efetiva do reforço

devido à adição de um sistema de ancoragem.

com:

fuff

3/1c

1fe E'f038,0 ε

ρε = (2.21)

onde 010250 ,E, ff ≤< ρ , com c'f expresso em MPa e fE em GPa .

fuw

a3/2c2fe b

l100ln'f0043.0 εε ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (2.22)

sendo 500 ,b/l wa ≤< , e

al - comprimento de ancoragem do reforço.

A expressão 2.22 foi elaborada a partir de ajuste de resultados

experimentais em função do parâmetro adimensional wa b/l . Quando 0=al ,

ou seja, não houver a adição de ancoragem do reforço 1fefe εε = .

Segundo estes autores, o valor de fV é obtido por:

( )ββερ cossinbdEV wffefff += (2.23)

2.2.4. Estudos de CHEN e TENG (2003 a, b)

Segundo o modelo de CHEN e TENG (2003 a, b), a parcela resistente à

força cortante devido ao FRP é dada por:

( )f

fefffef s

sinβcotβcotθhwt2fV

+=

(2.24)

onde feh é a altura efetiva do FRP (Figura 2.14),

tbfe zzh −= (2.25)

bz e tz são as coordenadas das extremidades superior e inferior do FRP

respectivamente, definidas por:

( )[ ] d1,0dhdz fbb −−−= (2.26)

( ) ftftt dd,dd,z =−+= 1010 (2.27)

DBD


51

sendo fbd a distância entre a face comprimida da viga e a extremidade inferior

do reforço e ftd a distância entre a face comprimida da viga e a extremidade

superior do reforço.

0,1d

0,9d

ts

bw

d h

B

zzb

zt

dfb

dft

hfe

θβ

0,1d

0,9d

ts

bw

d h

B

zzb

zt

dfb

dft

hfe

θβ

Figura 2.14 – Esquema de reforço à força cortante; retirada de TENG et alii (2002).

Para o reforço colado continuamente ao longo do comprimento da viga

βsinw

s ff =

(2.28)

tendo a largura do reforço tomada perpendicularmente à orientação de suas

fibras principais, conforme Figura 2.15.

Figura 2.15 – Relação entre fw e fs para o reforço contínuo; retirada de TENG et

alii (2002).

A tensão média do FRP fef é obtida considerando-se os dois principais

modos de colapso à força cortante: a) ruptura do FRP por tração; b)

descolamento do FRP.

CHEN e TENG (2003 a, b) consideram que a distribuição de tensão no

FRP ao longo da fissura crítica devido à força cortante não é uniforme para o

estado limite último, portanto a tensão máxima no FRP máxfσ é limitada por um

fator de distribuição da tensão fD

máxfffe Df σ= (2.29)

DBD


52

O valor de máxfσ e o valor de fD dependem do modo de colapso da

viga reforçada.

Quando a ruptura do reforço é responsável pelo colapso da viga, CHEN e

TENG (2001) observaram que a distribuição de tensão no FRP ao longo da

fissura devido à força cortante não é uniforme. O colapso da viga começa

quando o ponto mais tracionado do FRP que intercepta esta fissura alcança sua

resistência à tração última, ou seja:

fmáxf f=σ (2.30)

A partir deste momento a ruptura se propaga rapidamente ao longo da

fissura levando ao colapso da viga. CHEN e TENG (2001) propuseram uma

distribuição de tensão parabólica ao longo da fissura devido à força cortante,

porém, como uma simples aproximação, adotaram um modelo de distribuição

linear.

No modelo de distribuição proposto, a tensão no FRP aumenta

linearmente, de zero na extremidade superior da fissura até o valor da

resistência à tração última na extremidade inferior da mesma, e o fator de

distribuição da tensão para este caso é expresso por:

21 ζ+

=fD

(2.31)

sendo:

b

t

zz

=ζ

(2.32)

Para o reforço executado envolvendo completamente a seção transversal

da viga tem-se: 0=ζ e 50,Df = .

No caso do colapso da viga ocorrer devido ao descolamento do FRP, o

que tem sido observado nos reforços executados apenas nos lados da viga ou

envolvendo sua seção transversal em forma de U, é que a resistência à força

cortante da viga reforçada é controlada pela resistência de aderência entre o

FRP e o concreto, alcançando seu valor máximo no local onde o FRP tem o

maior comprimento de aderência.

No entanto, a tensão máxima no FRP é limitada tanto por sua resistência

à tração última quanto pela resistência por aderência última:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

f

cfLw

f

máxf

t'fE

427,0

fmín

ββσ (2.33)

DBD


53

A equação para o cálculo da resistência por aderência é proveniente do

modelo proposto por CHEN e TENG (2001), baseado nos resultados obtidos de

ensaios de aderência entre blocos de concreto e faixas de reforço.

Neste modelo o coeficiente wβ reflete o efeito da relação entre a largura

do bloco de concreto com a largura do reforço, adotadas nos ensaios de

aderência, e Lβ é o coeficiente que traduz o comprimento de ancoragem efetivo:

( )

( )β

ββ

sinsw

1

sinsw

2

f

f

f

f

w+

−=

(2.34)

para 1≥λ :

1=Lβ (2.35)

para 1<λ :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2sinL

πλβ

(2.36)

sendo λ o comprimento de aderência máximo normalizado, máxL o

comprimento de aderência máximo, e eL o comprimento de aderência efetivo,

onde:

e

máx

LL

=λ

(2.37)

para envolvimento em forma de U:

βsinh

L femáx =

(2.38)

para reforço colado somente nas laterais:

βsin2h

L femáx =

(2.39)

c

ffe 'f

tEL = (2.40)

Nas expressões 2.33 e 2.40 o módulo de elasticidade do FRP e a

resistência à compressão do concreto são expressos em MPa e a espessura do

FRP é expressa em milímetros.

A partir das equações que definem Lβ , CHEN e TENG (2003 a, b)

relatam que onde existe um comprimento de aderência efetivo a resistência por

DBD


54

aderência não aumentará se este comprimento for aumentado. Esta é a

diferença fundamental entre o FRP e a armadura de aço.

Segundo estes autores, assumindo-se que a fissura crítica devido à força

cortante é uma linha reta, o comprimento de aderência máximo para o FRP

ocorre na extremidade inferior desta fissura para o caso do reforço executado

envolvendo em forma de U a seção transversal da viga e no meio da altura da

fissura para o reforço colado apenas nos lados da viga.

Para este modo de ruptura a distribuição da tensão no FRP não é

uniforme, pois o comprimento de aderência do FRP depende da localização da

fissura crítica devido à força cortante em relação às extremidades do FRP. O

fator de distribuição da tensão é dado por:

para 1≤λ :

λπ

λπ

πλ2

sin

2cos12Df

−= (2.41)

para 1>λ :

πλπ 21 −

−=fD

(2.42)

De acordo com o modo de ruptura esperado calcula-se fD e máxfσ ,

posteriormente obtém-se o valor da tensão efetiva do FRP fef , com este valor

determina-se fV por meio da expressão 2.24.

CHEN e TENG (2003 a, b) fornecem uma sistemática de projeto para se

determinar a parcela da força cortante resistida pelo FRP. Nesta sistemática as

expressões 2.30 e 2.33 são substituídas respectivamente por:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

≤=

fuf

f

ff

ffu

fuf

f

ff

f

máxf

Ef

seE

,

Ef

sef

,

εγ

ε

εγ

σ80

80

(2.43)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

cf

fLw

fb

ff

f

máxf'f

tE315,0

f8,0mín

ββγ

γσ (2.44)

onde para CFRP 251,fbff == γγ , e sugere-se que 0150,fu =ε , a fim de controlar

a abertura das fissuras.

DBD


55

O fator 80, foi introduzido por CHEN e TENG (2001) para levar em conta

situações não consideradas no modelo, como por exemplo, o efeito prejudicial

proveniente das arestas das vigas na resistência à tração do FRP, caso essas

arestas não sejam adequadamente arredondadas.

Como recomendação para projeto, CHEN e TENG (2003 a, b) sugerem

limitar o espaçamento dos estribos em metade da distância horizontal alcançada

pela fissura devido à força cortante, garantindo que em todos os tipos de

execução, pelo menos dois estribos cruzem a fissura. Esta recomendação é para

se assegurar que pelo menos um estribo tenha uma efetividade adequada

(Figura 2.16), portanto:

( )2

cossinhss fe

máxffββ +

=≤

(2.45)

FRP

Fissura Fissura

FRP

FRPFRP

FRP

Fissura

Fissura

FRP

Fissura Fissura

FRP

FRPFRP

FRP

Fissura

Fissura

Figura 2.16 – Efeito da localização na efetividade do estribo de FRP; adaptada de TENG et alii (2002).

Segundo esses autores a efetividade do estribo de FRP depende de sua

localização, assim como do tipo de execução de reforço, sendo:

para execução do reforço envolvendo completamente a seção transversal

da viga, a posição mais eficiente é na extremidade inferior da fissura, pois

a resistência à tração última do FRP será alcançada para uma abertura

da fissura não muito larga, mantendo-se a resistência à força cortante do

concreto, assim como o engrenamento dos agregados. A posição mais

ineficiente é na extremidade superior da mesma, pois até que o estribo

de FRP seja solicitado, a abertura da fissura já estará muito acentuada;

para execução do reforço envolvendo em forma de U a seção transversal

DBD


56

da viga, a posição mais eficiente é na extremidade inferior da fissura, pois

é onde ocorre o comprimento de aderência máximo do FRP para esse

tipo de execução. O estribo posicionado na extremidade superior da

fissura é completamente ineficiente devido à carência de comprimento de

aderência que ocorre nesta região;

para execução do reforço colado apenas nos lados da viga, a posição

mais eficiente é no meio da altura da fissura, por esta localização ser a

que apresenta um maior comprimento de aderência. Os estribos

posicionados nas extremidades da fissura não apresentam nenhuma

eficiência, pois não existe comprimento de aderência nestas regiões para

esse tipo de execução.

Portanto, um esquema de reforço à força cortante pode ser ineficiente se

apenas um estribo interceptar a fissura formada devido à força cortante.

2.3. Prescrições Normativas

2.3.1. Prescrições do Bulletin 14 fib (2001)

As prescrições do Bulletin 14 da fib (2001) seguem o formato do

Eurocode 2 (2002) e se baseiam no modelo apresentado por TRIANTAFILLOU e

ANTONOPOULOS (2000). A capacidade resistente à força cortante devido ao

FRP é dada por:

( ) ββθρε sincotcotdbE9,0V wfffdefd += (2.46)

onde

f

fkefde γ

εε =

(2.47)

e

fefke kεε = (2.48)

sendo 80,k = e feε obtida pela formulação proposta por TRIANTAFILLOU e

ANTONOPOULOS (2000), tal como apresentada no item 2.2.1.

O fator de redução k foi proposto pelos mesmos autores, devido à falta

de dados experimentais, sendo chamado de α .

DBD


57

O coeficiente de segurança parcial do FRP sugerido pela fib (2001) é de

301,fbf == γγ , se o colapso da viga é dominado pelo descolamento do CFRP,

e varia entre 201, e 351, dependendo do tipo de aplicação do reforço, conforme

especificado na Tabela 3-1 do Bulletin 14 da fib (2001) se o colapso da viga é

controlado pela ruptura do CFRP.

Como recomendação adicional este boletim limita o valor do

espaçamento fs em:

para vigas de seção transversal retangular:

290 f

fw

d,s −≤ (2.49)

para vigas de seção transversal T:

2f

sfw

tds −−≤

(2.50)

O valor de projeto da força cortante resistente da viga reforçada RdV ,

deve ser limitado à max,RdV :

max,RdfdswdcdRd VVVVV ≤++= (2.51)

No estado limite de serviço admite-se que o FRP tem aderência perfeita

com a viga de concreto armado, desde que diversos problemas não ocorram,

tais como: penetração de umidade e propagação de fissura. A fib (2001) adota

como valor limite para fkeε o valor dado por:

s

yke,fk E

f,80=ε

(2.52)

2.3.2. Prescrições do ACI 440 (2001)

Segundo as prescrições do ACI 440 (2001) os elementos de concreto

armado reforçados com FRP devem ter sua resistência à força cortante nominal

maior que a força cortante solicitante, sendo a resistência nominal obtida

utilizando-se um coeficiente de redução da resistência φ :

un VV ≥⋅φ (2.53)

( )ffscn VVVV ψφφ ++=⋅ (2.54)

onde:

nV - força cortante nominal;

DBD


58

uV - força cortante solicitante;

cV - parcela da força cortante resistida pelo concreto;

sV - parcela da força cortante resistida pela armadura transversal de aço;

fV - parcela da força cortante resistida pelo FRP;

fψ - coeficiente de redução adicional, em função do tipo de execução do

reforço, sendo 950,f =ψ se o reforço envolver completamente a seção

transversal da viga e 850,f =ψ para os demais tipos de execução.

A expressão adotada pelo ACI (2001) para a contribuição do FRP à força

cortante é similar às apresentadas anteriormente, obtida por meio da analogia da

Treliça de Mörsch:

( )f

ffeff s

dcossinfAV

ββ += (2.55)

A parcela fV é função da deformação específica efetiva feε que é

governada pelo modo de ruptura do FRP. O ACI 440 (2001) fornece expressões,

apresentadas aqui no sistema internacional de unidades (SI), para se obter o

valor da deformação específica efetiva em função do tipo de execução do

reforço:

Para o reforço executado envolvendo completamente a seção transversal

da viga:

fufe ,, εε 7500040 ≤= (2.56)

A deformação específica efetiva é limitada em 0040, para este tipo de

execução do reforço porque tem sido observado que a perda do engranamento

dos agregados ocorre antes da ruptura do FRP, esta medida limita a largura da

fissura de cisalhamento.

Para reforço executado envolvendo em forma de U a seção transversal

da viga, ou colado apenas nos lados:

0040,k fuvfe ≤= εε (2.57)

Para estes tipos de execução tem sido observado que o descolamento do

FRP ocorre antes da perda do engrenamento dos agregados. O ACI 440 (2001)

prescreve que a deformação específica efetiva deve ser obtida utilizando-se um

coeficiente de redução devido à colagem vk , de acordo com a equação 2.57,

expressa no sistema internacional de unidades, assim como as demais

equações.

DBD


59

Este coeficiente de redução é função da resistência do concreto, do tipo

de execução do reforço e da rigidez do FRP:

75011900

21 ,Lkk

kfu

ev ≤=

ε (2.58)

onde

( ) 58023300

,ff

eEt

L =

(2.59)

32

c1 27

'fk ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= (2.60)

O parâmetro 2k é função do tipo de execução do reforço:

para envolvimento em forma de U:

f

ef

dLd

k−

=2

(2.61)

para FRP colado apenas nos lados da viga:

f

ef

dLd

k2

2−

=

(2.62)

sendo:

1k - o coeficiente de modificação que leva em consideração a resistência do

concreto;

2k - o coeficiente de modificação que leva em consideração o tipo de

execução do reforço.

Segundo ACI 440 (2001) essa metodologia para a determinação de vk

só é válida para regiões de vigas de concreto armado que possuam força

cortante de valor elevado e momento fletor de baixo valor. Em regiões em que o

momento fletor é acentuado, como em apoios de vigas contínuas, devem ser

adotados valores mais conservativos para vk .

Em caso de utilizar um sistema de ancoragem nos extremos permite-se

que feε exceda 0040, , se forem realizados testes representativos para isso.

O ACI 440 (2001) prescreve que o valor do espaçamento de eixo a eixo

entre estribos de FRP deve ser limitado ao valor imposto pelo ACI 318 para

armaduras transversais de aço (expressão 2.18) e limita a força cortante

resistida pela soma entre a armadura transversal de aço e de FRP em:

db'f,VV wcfsw 660≤+ (2.63)

DBD


60

2.4. Análise dos Resultados Experimentais Disponíveis na Bibliografia

Neste item são apresentados:

Valores de exp,fV procedentes de diversos programas experimentais

descritos no Anexo B, com os dados geométricos e as propriedades dos

materiais contidos no Anexo C;

Valores de teo,fV obtidos a partir da implementação dos modelos semi-

empíricos e das prescrições normativas, apresentados nos itens 2.2. e

2.3., em um programa de Computação Algébrica e Simbólica (rotinas

fornecidas no Anexo A) ;

Comparações entre resultados experimentais e teóricos

( teo,fexp,f V/V=Δ );

Gráficos de teo,fexp,f VxV , com teo,fV calculado utilizando as rotinas

teóricas (sem coeficiente de segurança e fatores de ajuste) e as rotinas

de cálculo (com os coeficientes e fatores).

Comentários referentes aos modelos, às prescrições e aos resultados

experimentais.

Para as comparações teórico-experimentais as vigas foram agrupadas de

acordo com o material utilizado para o reforço (tecido ou lâmina) e de acordo

com a configuração de reforço (quanto ao seu envolvimento na seção

transversal da viga e quanto à orientação de suas fibras principais, em relação

ao eixo longitudinal da viga).

As vigas dos programas experimentais que não entraram em colapso

devido à ruptura do CFRP ou devido ao descolamento do mesmo foram

desprezadas, assim como as vigas que por algum motivo não se mostraram

convenientes para esta análise.

As prescrições propostas pelo Bulletin 14 da fib (2001) fornecem os

mesmos valores de teo,fV obtidos pelo modelo de TRIANTAFILLOU e

ANTONOPOULOS (2000), portanto não são incluídos nas tabelas a seguir.

Reforço executado com lâmina de CFRP apresenta rigidez axial ( ff Eρ )

elevada e por esta razão os modelos semi-empíricos propostos por KHALIFA e

NANNI (2002) e ADHIKARY et alii (2003) não fornecem resultados de teo,fV para

algumas vigas e são excluídos das tabelas correspondentes.

DBD


61

Tabela 2.1 – Comparações teórico-experimentais das vigas que tiveram o reforço executado com tecido de CFRP colado apenas nas laterais de sua seção

transversal, com °= 45β .

TRIANT. KHALIFA ADHIKARY CHEN ACI 440 Viga

exp,fV

kN fV kN Δ fV kN Δ fV kN Δ fV kN Δ fV kN Δ

V12_B 44,68 45,47 0,98 15,36 2,91 33,44 1,34 31,53 1,42 19,49 2,29 V14_B 34,68 45,47 0,76 15,36 2,26 33,44 1,04 31,53 1,10 19,49 1,78 V14_A 71,48 71,84 0,99 43,45 1,65 56,24 1,27 44,59 1,60 55,11 1,30 V15_A 63,68 71,84 0,89 43,45 1,47 56,24 1,13 44,59 1,43 55,11 1,16 245a 137,60 178,43 0,77 180,84 0,76 175,91 0,78 102,12 1,35 133,96 1,03 245b 185,60 159,98 1,16 156,69 1,18 159,57 1,16 94,36 1,97 133,96 1,39

245Ra 186,60 174,61 1,07 180,84 1,03 172,54 1,08 100,54 1,86 133,96 1,39 245Rb 131,60 152,96 0,86 144,63 0,91 153,31 0,86 91,33 1,44 133,96 0,98

345 214,60 216,09 0,99 267,84 0,80 218,69 0,98 124,54 1,72 207,03 1,04

Média * 0,94 * 1,44 * 1,07 * 1,54 * 1,37 Coef.Variação (%) * 14,13 * 50,60 * 16,84 * 17,57 * 31,02

Tabela 2.2 – Comparações teórico-experimentais das vigas que tiveram o reforço executado com tecido de CFRP colado apenas nas laterais de sua seção



exp,fV


BT5 31,50 57,78 0,55 17,67 1,78 35,26 0,89 27,68 1,14 23,41 1,35 V9_A 41,18 37,45 1,10 15,36 2,68 28,12 1,46 29,21 1,41 19,48 2,11 V9_B 47,38 37,45 1,27 15,36 3,08 28,12 1,68 29,21 1,62 19,48 2,43

V21_A 58,28 37,45 1,56 15,36 3,79 28,12 2,07 29,21 2,00 19,48 2,99 V13_A 65,08 50,80 1,28 30,72 2,12 39,77 1,64 41,31 1,58 38,97 1,67 V13_B 68,78 50,80 1,35 30,72 2,24 39,77 1,73 41,31 1,66 38,97 1,76 290a 136,60 117,74 1,16 119,01 1,15 116,94 1,17 93,84 1,46 94,72 1,44 290b 178,60 112,32 1,59 109,40 1,63 112,12 1,59 90,57 1,97 94,72 1,89 290 61,00 107,29 0,57 100,81 0,61 107,63 0,57 87,49 0,70 94,72 0,64 390 61,00 129,94 0,47 141,81 0,43 133,80 0,46 105,35 0,58 146,39 0,42


DBD


62

Tabela 2.3 – Comparações teórico-experimentais das vigas que tiveram o reforço executado com tecido de CFRP colado envolvendo em forma de U sua seção



exp,fV


T6NSC45 103,50 121,11 0,85 75,35 1,37 65,15 1,59 68,96 1,50 55,82 1,85 PU3 44,50 60,19 0,74 32,24 1,38 39,08 1,14 36,39 1,22 27,92 1,59 PU4 40,00 54,03 0,74 27,63 1,45 36,18 1,11 31,79 1,26 23,94 1,67


Tabela 2.4 – Comparações teórico-experimentais das vigas que tiveram o reforço executado com tecido de CFRP colado envolvendo em forma de U sua seção



exp,fV


CO2 40,00 33,95 1,18 21,29 1,88 27,25 1,47 29,46 1,36 22,02 1,82 CO3 65,00 50,81 1,28 53,22 1,22 43,08 1,51 48,72 1,33 55,05 1,18 BT2 65,00 86,47 0,75 76,03 0,85 55,75 1,17 54,02 1,20 76,44 0,85 BT4 72,00 57,78 1,25 30,41 2,37 35,26 2,04 32,67 2,20 30,58 2,35

SO3-2 54,00 37,89 1,43 25,89 2,09 32,54 1,66 32,09 1,68 26,78 2,02 SO3-3 56,50 45,29 1,25 38,84 1,45 39,85 1,42 42,11 1,34 40,17 1,41 SO3-4 67,50 56,70 1,19 64,74 1,04 51,45 1,31 53,06 1,27 66,96 1,01 SO4-2 62,50 37,89 1,65 25,89 2,41 32,54 1,92 32,09 1,95 26,78 2,33

T6S4C90 85,25 85,64 1,00 53,28 1,60 46,06 1,85 54,88 1,55 39,47 2,16 C-1 53,00 91,09 0,58 53,90 0,98 55,51 0,95 41,41 1,28 58,77 0,90

V11_A 41,48 37,45 1,11 26,58 1,56 28,12 1,48 33,17 1,25 25,81 1,61 V11_B 67,88 37,45 1,81 26,58 2,55 28,12 2,41 33,17 2,05 25,81 2,63 V17_B 35,98 37,45 0,96 26,58 1,35 28,12 1,28 33,17 1,08 25,81 1,39 V15_B 81,48 50,80 1,60 53,16 1,53 39,77 2,05 46,91 1,74 51,61 1,58 V16_B 55,48 50,80 1,09 53,16 1,04 39,77 1,40 46,91 1,18 51,61 1,07 PU1 32,50 50,87 0,64 34,20 0,95 33,84 0,96 37,29 0,87 29,62 1,10 PU2 20,00 46,12 0,43 27,36 0,73 30,27 0,66 30,68 0,65 23,69 0,84


DBD


63

Tabela 2.5 – Comparações teórico-experimentais das vigas que tiveram o reforço executado com tecido de CFRP colado envolvendo completamente sua seção



exp,fV


PC3 35,50 60,19 0,59 37,70 0,94 56,77 0,63 41,89 0,85 27,92 1,27 PC4 22,00 54,03 0,41 32,31 0,68 51,35 0,43 35,90 0,61 23,94 0,92

245W1 218,60 295,03 0,74 180,84 1,21 272,08 0,80 204,93 1,07 133,96 1,63


Tabela 2.6 – Comparações teórico-experimentais das vigas que tiveram o reforço executado com tecido de CFRP colado envolvendo completamente sua seção



exp,fV


V12_A 59,44 49,89 1,19 34,84 1,71 44,56 1,33 42,92 1,38 25,81 2,30 V18_A 70,37 49,89 1,41 34,84 2,02 44,56 1,58 42,92 1,64 25,81 2,73 V20_A 83,20 49,89 1,67 34,84 2,39 44,56 1,87 42,92 1,94 25,81 3,22 290WR 268,60 208,61 1,29 127,88 2,10 192,39 1,40 204,93 1,31 94,72 2,84

PC1 67,50 56,53 1,19 39,98 1,69 52,61 1,28 44,43 1,52 29,62 2,28 PC2 45,00 48,35 0,93 31,99 1,41 45,28 0,99 35,54 1,27 23,69 1,90


Tabela 2.7 – Comparações teórico-experimentais das vigas que tiveram o reforço executado com tecido de CFRP.

TRIANT. KHALIFA ADHIKARY CHEN ACI 440 Execução

Média CV(%) Média CV(%) Média CV(%) Média CV(%) Média CV(%)

S 1,02 31,08 1,54 54,64 1,21 34,70 1,47 26,48 1,53 41,45 U 1,08 34,66 1,34 35,50 1,47 29,39 1,40 27,09 1,57 34,32 W 1,05 39,15 1,41 35,81 1,15 40,84 1,29 31,43 2,12 35,77

Todas 1,05 33,59 1,43 44,90 1,30 34,28 1,41 27,40 1,66 39,13

onde: CV – coeficiente de variação; S – reforço colado apenas nos lados da viga;

U – reforço colado envolvendo em forma de U a seção transversal da viga; W –

reforço colado envolvendo completamente a seção transversal da viga.

DBD


64

Tabela 2.8 – Comparações teórico-experimentais das vigas que tiveram o reforço executado com lâmina de CFRP colado apenas nas laterais de sua seção


TRIANT. CHEN ACI 440 Viga

exp,fV

kN fV kN Δ fV kN Δ fV kN Δ RS135-1 40,75 86,13 0,47 44,97 0,91 56,88 0,72 RS135-2 46,25 86,13 0,54 44,97 1,03 56,88 0,81 V21_B 78,78 131,85 0,60 63,11 1,25 96,53 0,82 V22_A 68,68 131,85 0,52 63,11 1,09 96,53 0,71

Média * 0,53 * 1,07 * 0,76 Coef.Variação (%) * 9,65 * 13,32 * 7,61

Tabela 2.9 – Comparações teórico-experimentais das vigas que tiveram o reforço executado com lâmina de CFRP colado apenas nas laterais de sua seção


TRIANT. CHEN ACI 440 Viga

exp,fV

kN fV kN Δ fV kN Δ fV kN Δ RS90-1 34,25 72,80 0,47 35,90 0,95 60,33 0,57 RS90-2 41,75 72,80 0,57 35,90 1,16 60,33 0,69 V20_B 85,98 108,58 0,79 47,09 1,83 96,52 0,89 V22_A 55,58 108,58 0,51 47,09 1,18 96,52 0,58

Média * 0,59 * 1,28 * 0,68 Coef.Variação (%) * 24,37 * 29,49 * 22,09

Tabela 2.10 – Comparações teórico-experimentais das vigas que tiveram o reforço executado com lâmina de CFRP.

TRIANT. CHEN ACI 440 Execução

Média CV(%) Média CV(%) Média CV(%)

S 0,56 18,53 1,17 24,50 0,72 15,85

Os gráficos de teo,fexp,f VxV são apresentados a seguir:

DBD


65

Triantafillou (teórico)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350

Vf exp (kN)

Vf t

eo (

kN)

Triantafillou (de cálculo)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350

Vf exp (kN)

Vf t

eo (

kN)


TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000).

Khalifa e Nanni (teórico)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350

Vf exp (kN)

Vf t

eo (

kN)

Khalifa e Nanni (de cálculo)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350

Vf exp (kN)

Vf t

eo (

kN)


KHALIFA e NANNI (2002).

Adhikary (teórico)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350

Vf exp (kN)

Vf t

eo (

kN)

Adhikary (de cálculo)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350

Vf exp (kN)

Vf t

eo (

kN)


ADHIKARY et alii (2003).

DBD


66

Chen e Teng (teórico)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350

Vf exp (kN)

Vf t

eo (

kN)

Chen e Teng (de cálculo)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350

Vf exp (kN)

Vf t

eo (

kN)


CHEN e TENG (2003 a, b).

fib (teórico)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350

Vf exp (kN)

Vf t

eo (

kN)

fib (de cálculo)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350

Vf exp (kN)

Vf t

eo (

kN)


Bulletin 14 da fib (2001).

ACI (teórico)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350

Vf exp (kN)

Vf t

eo (

kN)

ACI (de cálculo)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 50 100 150 200 250 300 350

Vf exp (kN)

Vf t

eo (

kN)


ACI 440 (2001).

DBD


67

Comentários:

Os modelos propostos por TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000)

e ADHIKARY et alii (2003) não diferenciam reforço colado apenas nos lados da

viga para o reforço colado envolvendo em forma de U sua seção transversal. O

modelo de TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000) considera na equação

de fV o braço de alavanca da viga ( d9,0 ) ao invés da altura efetiva do reforço

fd , obtendo-se valores maiores do que o apropriado para vigas com seção

transversal T ou para aquelas em que o reforço não começa no topo da viga.

A seguir é feita uma análise dos resultados apresentados nas tabelas

anteriores. Deve-se ressaltar que o número de vigas disponíveis na literatura e

apropriadas para esta análise ainda é limitado, portanto os comentários feitos

adiante não podem ser considerados como definitivos.

Primeiramente, observou-se que o coeficiente de variação é sempre

menor para °= 45β chegando, às vezes, a ser muito menor. No caso do

reforço executado envolvendo completamente a seção transversal da viga, a

situação se inverte, possivelmente devido à execução ser mais complicada. As

médias de teo,fexp,f V/V se apresentam, na maioria das vezes, menores para

°= 45β quando comparadas com as apresentadas para °= 90β , sugerindo que

o acréscimo de resistência, devido à inclinação, é menor do que o esperado.

A Tabela 2.1 sugere que, quando o reforço é colado apenas nas laterais

da viga com °= 45β , deve-se utilizar as prescrições do ACI 440 (2001), exceto

para as vigas V12_B e V14_B (reforço colado em faixas) onde o modelo

proposto por ADHIKARY et alii (2003) mostra-se mais apropriado.

Na Tabela 2.2 é constatado que, quando o reforço é colado apenas nas

laterais da viga com °= 90β , o modelo com menor coeficiente de variação é o

proposto por CHEN e TENG (2003 a, b) seguido do proposto por

TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000). Neste último modelo três vigas

apresentam exp,fteo,f VV > , sendo: viga BT5 (seção transversal T); vigas 290 e

390 (contendo armadura interna com exp,fteo,f VV > para todos os modelos e

prescrições). Caso se retire da análise estas vigas obtêm-se:

Tabela 2.11 – Análise da Tabela 2.2, sem as vigas nomeadas de BT5, 290 e 390.

TRIANT. KHALIFA ADHIKARY CHEN ACI 440 Média CV(%) Média CV(%) Média CV(%) Média CV(%) Média CV(%) 1,33 14,00 2,39 37,31 1,62 16,90 1,67 13,86 2,04 25,74

DBD


68

Os resultados apresentados na Tabela 2.11 indicam que para esta

situação o modelo proposto por TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000)

parece mais apropriado por apresentar valores mais próximos do experimental e

pequeno coeficiente de variação. Para a viga BT5 o modelo mais adequado é o

proposto por CHEN e TENG (2003 a, b).

A quantidade de vigas com o reforço executado em forma de U com

°= 45β (Tabela 2.3) é muito reduzida, ficando difícil de analisar, porém o

modelo de KHALIFA e NANNI (2002) é o que apresenta menor coeficiente de

variação.

A partir da Tabela 2.4 percebe-se que, quando o reforço é executado em

forma de U com °= 90β , o modelo com menor coeficiente de variação é o

proposto por CHEN e TENG (2003 a, b), porém caso se retire da tabela as vigas

com seção T ou seção quadrada (BT2, BT4, T6S4C90, C-1) e as vigas com

armadura interna (PU1 e PU2, com exp,fteo,f VV > para todos os modelos e

prescrições) tem-se:

Tabela 2.12 – Análise da Tabela 2.4, sem as vigas nomeadas de BT2, BT4, T6S4C90, C-1, PU1 e PU2.

TRIANT. KHALIFA ADHIKARY CHEN ACI 440 Média CV(%) Média CV(%) Média CV(%) Média CV(%) Média CV(%)

1,32 20,19 1,65 31,57 1,63 21,85 1,48 21,87 1,64 31,58

Os valores apresentados na Tabela 2.12 sugerem que o modelo de

TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000) é o mais conveniente. O modelo

mais indicado para as vigas de seção T e de seção quadrada parece ser o


A Tabela 2.5 sugere que, quando o reforço é executado com

envolvimento completo com °= 45β , é mais apropriado utilizar o modelo de

CHEN e TENG (2003 a, b) para a viga 245W e as prescrições recomendadas

pelo ACI 440 (2001) para as vigas PC3 e PC4 que contêm armaduras internas.

A Tabela 2.6 indica que, quando o reforço é executado com envolvimento

completo com °= 90β , deve-se utilizar o modelo proposto por TRIANTAFILLOU

e ANTONOPOULOS (2000). O modelo de KHALIFA e NANNI (2002) e as

prescrições do ACI 440 (2001) subestimam a capacidade da viga reforçada.

A partir da Tabela 2.8 é verificado que, quando o reforço é executado

com lâminas coladas apenas nas laterais da viga com °= 45β , o modelo de

DBD


69

CHEN e TENG (2003 a, b) é o mais apropriado, apesar de ter o maior coeficiente

de variação, pois é o único que apresenta valores maiores do que o

experimental. O mesmo é observado na Tabela 2.9, quando °= 90β .

De um modo geral o modelo proposto por CHEN e TENG (2003 a, b) é o

que apresenta coeficiente de variação menor e valores sempre menores do que

os obtidos nos programas experimentais, exceto para algumas vigas com

armadura interna. Este modelo normalmente subestima um pouco a capacidade

da viga reforçada (Figura 2.20), principalmente quando a deformação específica

última do compósito é elevada.

O modelo proposto por TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000) é o

que apresenta exp,fteo,f VV > para um número maior de vigas, sendo menos

conservador e em alguns casos contra a segurança (Figura 2.17).

O modelo proposto por KHALIFA e NANNI (2002) e as prescrições

recomendadas pelo ACI 440 (2001) subestimam a capacidade da viga reforçada,

principalmente quando o reforço é colado em faixas ou envolvendo

completamente a seção transversal da viga.

O modelo proposto por KHALIFA e NANNI (2002) é o que apresenta

maior coeficiente de variação (Figura 2.18).

Nesta análise é observado que a grande maioria das vigas que contêm

armadura interna apresenta ganho de resistência menor do que o esperado,

provavelmente porque os modelos semi-empíricos propostos devem ter sido

calibrados com vigas sem armadura transversal interna. Esta constatação

contraria as necessidades práticas, pois o reforço é utilizado em vigas já

existentes, portanto com armadura transversal interna.

DBD


3 Confiabilidade de Estruturas

3.1. Introdução

Um projeto estrutural deve levar em consideração as incertezas inerentes

às variáveis envolvidas, que podem ser:

incertezas sobre a intensidade e a distribuição das cargas

permanentes e acidentais;

incertezas sobre as propriedades mecânicas dos materiais;

incertezas sobre os parâmetros geométricos da estrutura;

incertezas sobre os modelos de cálculo e de análise estrutural.

Estas incertezas impossibilitam que uma estrutura apresente segurança

absoluta, pois uma determinada combinação de valores das variáveis pode

resultar numa condição de falha.

A confiabilidade de estruturas tem como principal objetivo determinar a

probabilidade de ocorrência de um cenário de falha qualquer na estrutura, visto

que sempre haverá uma probabilidade não-nula da estrutura desempenhar um

comportamento não apropriado durante sua vida útil. A confiabilidade, C , mede

a probabilidade da estrutura não violar um determinado estado limite e em

termos estatísticos é definida pelo complemento da probabilidade de falha:

fp1C −= (3.1)

Como para estruturas civis a ordem de grandeza de fp é de 310− a 610−

por ano geralmente utiliza-se o valor da probabilidade de falha como medida de

confiabilidade de uma estrutura.

O conceito de que a verificação da segurança estrutural deve ser

estabelecida através de análises probabilísticas é recente, porém na tentativa de

quantificar a segurança estrutural diversos métodos foram propostos

anteriormente.

MADSEN et alli (1986) classificam os métodos de confiabilidade de

estruturas em níveis, de acordo com a quantidade de informação disponível:

Nível 0 – Método das Tensões Admissíveis: este método consiste

DBD


71

em calcular, no regime elástico-linear, o valor da tensão para o

carregamento máximo esperado e comparar este valor com o da

tensão admissível do material. A tensão admissível é calculada

dividindo o valor da tensão limite, que define o limite do

comportamento elástico-linear, por um fator de segurança;

Nível 1 – Método dos Estados Limites: neste método são utilizados

fatores parciais de segurança para majorar as solicitações e minorar

as resistências. Estes fatores são aplicados aos valores

característicos das variáveis transformando-os em valores de cálculo

e têm como objetivo levar em consideração as incertezas inerentes

às variáveis de projeto. O método dos estados limites também é

conhecido como método semi-probabilístico e são adotados como

critério de segurança pelas normas brasileiras de projeto de

estruturas;

Nível 2 – Método do Índice de Confiabilidade: neste método as

variáveis incertas são consideradas segundo um modelo

probabilístico definido por: um determinado valor esperado (média),

uma certa medida de dispersão (desvio padrão ou coeficiente de

variação) e uma medida de correlação entre as variáveis que

apresentam aleatoriedade. No método de Nível 2 assume-se que as

variáveis aleatórias têm distribuição Normal, pois não se tem

conhecimento das distribuições de probabilidade das mesmas. Para

avaliar o estado da estrutura (de falha ou não) é utilizado uma

função de estado )X(G , onde X é o vetor de variáveis aleatórias.

Se 0)X(G > a estrutura está segura, caso contrário ( 0)X(G < ) a

estrutura se apresenta no domínio de falha. A superfície de falha é

definida por 0)X(G = . O índice de confiabilidade representa a

menor distância entre a superfície de falha e a origem (no espaço

normal padrão);

Nível 3 – Método da Probabilidade de Falha: neste método as

distribuições de probabilidade são especificadas e a probabilidade

de falha pode ser calculada a partir do valor do índice de

confiabilidade;

Nível 4 – Método da Minimização dos Custos Envolvidos ao Longo

da Vida Útil: este método combina a confiabilidade de estruturas

com a otimização de estruturas e tem como objetivo projetar

DBD


72

estruturas econômicas tendo como restrição o nível de

confiabilidade desejado.

Esta Tese utiliza o método de confiabilidade de estrutura de Nível 3.

O item 3.2. aborda os principais conceitos de confiabilidade de estruturas.

De forma resumida, são considerados na análise da confiabilidade os seguintes

passos:

1) Selecionar o valor desejado para a confiabilidade;

2) Identificar os modos de falha;

3) Classificar os modos de falha em sistemas em série ou em paralelo;

4) Formular as funções de falha (funções de estado limite);

5) Identificar as variáveis aleatórias e as variáveis determinísticas nas

funções de estado;

6) Especificar os tipos de distribuições e os parâmetros estatísticos

(média e desvio padrão) para as variáveis aleatórias. Estabelecer a

dependência entre as variáveis;

7) Estimar a confiabilidade de cada modo de falha;

8) Estimar a confiabilidade do sistema (em série ou em paralelo);

9) Em projeto baseado em confiabilidade – mudar o projeto se a

confiabilidade não alcançar o valor desejado.

Em análise de confiabilidade – comparar a confiabilidade obtida com

o valor desejado;

10) Avaliar os fatores de sensibilidade.

No Anexo D é apresentado um resumo sobre teoria da probabilidade.

MELCHERS (2002), NOWAK e COLLINS (2000), MADSEN et alli (1986) e HART (1982) abordam estes assuntos mais detalhadamente.

Nos itens 3.3. e 3.4. são apresentados, respectivamente, um breve

histórico sobre o desenvolvimento da confiabilidade de estruturas e uma revisão

bibliográfica de trabalhos que abordam avaliação da confiabilidade de vigas de

concreto armado.

DBD


73

3.2. Conceitos Fundamentais sobre Confiabilidade de Estruturas

3.2.1. Função de Estado e Probabilidade de Falha

A falha em um estado significa que a estrutura atingiu condições

indesejáveis, podendo ocasionar colapso total ou parcial (estado limite último) ou

então interrupção do uso normal da estrutura (estado limite de serviço).

Na confiabilidade estrutural, os modos de comportamento são

representados pelas funções de estado )X(G . Essas funções são,

normalmente, definidas por:

)X(S)X(R)X(G −= (3.2)

onde:

X - é o vetor de variáveis aleatórias;

)X(R - representa a resistência do elemento;

)X(S - representa a solicitação imposta ao elemento.

Conforme já mencionado, uma determinada combinação de valores das

variáveis de projeto pode resultar numa condição de falha para estrutura. Nesta

situação )X(S)X(R < e 0)X(G < . A estrutura se encontra no domínio de

falha.

Para determinar a probabilidade de ocorrer um cenário de falha na

estrutura é utilizada a função de estado. O interesse é conhecer qual a

probabilidade da função de estado assumir valores menores que zero, ou seja,

pertencentes ao domínio de falha:

( )0≤= )X(GPpf (3.3)

podendo ser expressa por:

∫=F

Xf dx)X(fp

(3.4)

onde )X(fX representa a função densidade de probabilidades conjunta das

variáveis aleatórias no vetor X envolvidas no problema e F representa o

domínio de falha.

Na Figura 3.1 estão representadas, para um problema com duas

variáveis aleatórias )S,R( , as funções densidade de probabilidades marginais

DBD


74

de cada variável, Rf e Sf , a função densidade de probabilidades conjunta RSf e

o domínio de falha.

Figura 3.1 – Definição do domínio de falha; retirada de MELCHERS (2002).

3.2.2. Problema Básico de Confiabilidade

O problema básico de confiabilidade de estruturas considera apenas um

modo de falha e duas variáveis aleatórias )S,R( , R representando a resistência

e S a solicitação. A função de estado é dada por:

SRZ)X(G −== (3.5)

ou

1SRZ)X(G −== (3.6)

A probabilidade de falha é expressa pela seguinte equação:

( )[ ] ∫ ∫=≤=F

RSf dsdr)s,r(fS,RGPp 0 (3.7)

A Figura 3.2 mostra, para o problema básico de confiabilidade, as curvas

da função densidade de probabilidade conjunta, representada no plano das

variáveis aleatórias R e S , e o domínio de falha )G( 0< , limitado por 0=G .

DBD


75

Figura 3.2 – Problema básico de confiabilidade.

No caso de R e S serem variáveis estatisticamente independentes,

)s(f)r(f)s,r(f SRRS = , a probabilidade de falha é calculada por:

∫ ∫∞

∞− ∞−

=s

SRf dsdr)s(f)r(fp (3.8)

)r(fR e )s(fS são as funções densidade de probabilidade (PDF).

Porém, ∫∞−

s

R dr)r(f define a função de distribuição cumulativa (CDF) da

variável aleatória R , então a equação 3.8 pode ser reescrita:

∫∞

∞−

= ds)s(f)s(Fp SRf (3.9)

esta integral é conhecida como “integral de convolução”, onde )s(FR representa

a probabilidade de sR ≤ , o que levaria à ruptura, e ds)s(fS representa a

probabilidade de S assumir um valor entre s e dss + , com 0ds → , conforme

Figura 3.3.

DBD


76

s

fR(s),fS(s)

0

fS(s) fR(s)

s s + ds

s

fR(s),fS(s)

0

fS(s) fR(s)

s s + ds

Figura 3.3 – Representação da “integral de convolução”; adaptada de MELCHERS (2002).

3.2.3. Definição do Índice de Confiabilidade Beta

Para o problema básico representado na equação 3.5, com R e S sendo variáveis normais e independentes, tem-se que Z também é uma variável

normal e de acordo com a regra de adição ou subtração de variáveis aleatórias

normais (Anexo D):

SRZ μμμ −= (3.10)

222SRZ σσσ +=

(3.11)

A Figura 3.4 representa graficamente a probabilidade de falha fp e o

índice de confiabilidade β para este problema. Observando que β mede a

distância entre o valor médio de Z e o ponto zero (onde é definido o limite entre

estado seguro e estado de falha) em unidades de desvios padrões. Portanto, a

falha ocorre quando:

0=− ZZ βσμ (3.12)

e

Z

Z

σμ

β =

(3.13)

ou

22SR

SR

σσ

μμβ

+

−=

(3.14)

DBD


77

Figura 3.4 – Probabilidade de Falha; adaptada de MELCHERS (2002).

Para efetuar o cálculo da probabilidade de falha, deste problema, é usual

transformar a variável Z numa variável padrão com média zero e desvio padrão

unitário denominada variável reduzida (conforme Anexo D):

Z

ZZY

σμ−

= (3.15)

então:

∫∞−

=≤=y

Yf dy)y(f)G(Pp 0 (3.16)

)y()y(fY φ= representa a distribuição normal padrão de probabilidades, e y a

variável reduzida.

Se 0== Z)X(G :

βσμ

−=−=Z

ZY (3.17)

e

∫−

∞−

=β

dy)y(fp Yf (3.18)

ou:

)(pf βΦ −= (3.19)

0 μZ

σZ σZ

βσZ

fZ(z)

G>0 G<0

seguro falha

Z

Probabilidade

de falha

DBD


78

)(Φ é a função de distribuição cumulativa padrão, tabelada em livros de

estatística.

3.2.4. Método FORM (First Order Reliability Method)

Na maioria dos problemas que utilizam confiabilidade de estruturas a

função de estado é complexa, envolvendo várias variáveis aleatórias

estatisticamente dependentes entre si, dificultando muito a resolução do

problema por avaliação numérica, pois para estes casos a integral de

convolução, apresentada anteriormente, não pode ser utilizada.

Para estes problemas a equação geral para se obter a probabilidade de

falha é a seguinte:

( ) nn

x x

X,,X,X

x

f dxdxdxx,,x,xfpa n

n

b

LLL L 212121∫ ∫∫∞− ∞−∞−

= (3.20)

onde nba x,,x,x L são constantes.

Métodos alternativos estão sendo empregados para a resolução destes

problemas, como: o método de simulação de Monte Carlo e os métodos

numéricos, conhecidos como FORM (First Order Reliability Method) e SORM

(Second Order Reliability Method). Nesse trabalho é utilizado o método FORM,

devido à sua eficiência (rapidez computacional).

No método FORM as variáveis aleatórias X (de distribuições quaisquer e

dependentes entre si ou não) são transformadas do espaço original para o

espaço normal padrão, sendo variáveis aleatórias estatisticamente

independentes Y . A função de estado é escrita em função das variáveis do

espaço normal padrão. A superfície de falha é aproximada, em cada iteração,

por uma superfície linear tangente à 0=)Y(G no ponto com a menor distância

entre a superfície de falha 0=)Y(G e a origem. Depois que ocorre a

convergência obtém-se *y , denominado de ponto de projeto no espaço das

variáveis reduzidas Y , e determina-se o índice de confiabilidade β que

representa a distância de *y até a origem, sendo β um valor nominal de

referência. A Figura 3.5 ilustra o processo realizado no método FORM.

DBD


79

Figura 3.5 – Transformação do espaço original para o espaço reduzido (Normal Padrão); adaptada de CHOI e YOUN (2001).

No espaço normal padrão, β é definido por:

*y=β (3.21)

Dependendo da forma da função de estado no espaço Y a aproximação

feita por este método pode ser a favor ou contra a segurança, sendo a favor

para funções convexas em torno do ponto de projeto e contra para funções

côncavas (Figura 3.6).

Figura 3.6 – Aproximação do Método FORM para superfícies Côncavas e Convexas.

1

G(X) = 0Superfície de falha

G(X) < 0

G(X) > 0

Região segura

Região de falha

G(Y) = 0Superfície de falha

G(Y) < 0

FORM

Indice de Confiabilidade β

G(Y) > 0

PDF conjunta

fY(y)

PDF conjunta

fY(y) PDF

Conjunta fX(x)

*

Média

Superfície de falha Côncava

MétodoFORM

PDF conjunta

fY(y)

Superfície de falha Convexa

G(Y) = 0

G(Y) = 0 β

Y1

Y2

DBD


80

A transformação de variáveis aleatórias quaisquer, correlacionadas ou

não, em variáveis normais estatisticamente independentes é feita utilizando as

distribuições normais equivalentes. As transformações dessas variáveis

correlacionadas em variáveis normais padrão estatisticamente independentes é

realizada através da transformação de Nataf, conforme apresentado adiante.

Para variáveis correlacionadas não normais são obtidos coeficientes de

correlações equivalentes, conforme explanado no Anexo D.

A busca do ponto de projeto *y é um dos passos fundamentais para a

obtenção da probabilidade de falha pelo método FORM, sendo realizada a partir

de um problema de programação não linear P com uma restrição.

Utilizando o enfoque RIA (Reliability Index Approach) obtém-se, a partir

de um algoritmo de otimização, o ponto de projeto *y tendo como restrição a

função de estado 0=)Y(G .

0)Y(GaSujeitoyMinimiza:P

= (3.22)

O índice de confiabilidade é calculado a partir de:

*y=β (3.23)

e a probabilidade de falha, pelo método FORM, é obtida por:

( )βΦ −=fp (3.24)

3.2.4.1. Transformação de Nataf

A transformação de Nataf é realizada tendo como dados as funções

densidade de probabilidades marginais de cada variável aleatória e o coeficiente

de correlação equivalente entre pares de variáveis, não sendo necessário

conhecer a função densidade de probabilidades conjunta.

Um vetor X contendo variáveis normais correlacionadas ou não é

transformado em outro vetor Y contendo variáveis normais padrão

estatisticamente independentes:

)mX(Y −= −1σΓ (3.25)

no ponto corrente x :

m - é o vetor com as médias normais equivalentes das variáveis aleatórias

X ; σ - é a matriz diagonal contendo os desvios padrões normais equivalentes

das variáveis aleatórias X .

DBD


81

As médias e desvios padrões equivalentes são obtidos para variáveis

aleatórias que não tenham distribuições de probabilidades normais (Anexo D).

A matriz Γ é obtida por:

1−= LΓ (3.26)

L é a matriz triangular inferior obtida a partir da decomposição de Choleski da

matriz dos coeficientes de correlações equivalentes entre as variáveis X ,

(Anexo D).

Quando variáveis aleatórias não normais são correlacionadas, o valor

original do coeficiente de correlação deve ser corrigido para um valor de

coeficiente de correlação entre variáveis normais equivalentes (Anexo D).

A equação 3.25 pode ser reescrita da seguinte forma:

)mX(JY −= (3.27)

pois J representa o Jacobiano da transformação, calculado por:

XYJ

∂∂

= (3.28)

3.2.4.2. Pesquisa do Ponto de Projeto

A busca do ponto de projeto *y , como já mencionada, pode ser

representada como um problema de otimização (ou programação não-linear)

com uma restrição. O algoritmo varia de acordo com o enfoque utilizado (RIA ou

PMA).

No enfoque RIA o algoritmo mais usado na análise de confiabilidade de

estruturas é o denominado de HLRF, desenvolvido por Hasofer e Lind (1974) e

aperfeiçoado por Rackwitz e Fiessler (1978), apud SAGRILO (2004), definido

pela seguinte expressão (Figura 3.7):

[ ])y(G

y)y(G)y(G)y(y

Ky

KKy

KKK

∇

∇−=+ α1 (3.29)

sendo:

)y(G

)y(G)y(

Ky

KyK

∇

∇−=α

(3.30)

)X(G)Y(G = (3.31)

)X(G)J()Y(G xT

y ∇=∇ −1

(3.32)

DBD


82

onde: )y( Kα representa o vetor unitário normal ao plano tangente à superfície

)y(G no ponto y ; )X(G e )Y(G são, respectivamente, as funções de estado

no espaço original e reduzido; )X(Gx∇ e )Y(Gy∇ são os gradientes, avaliados

nos pontos Kx e Ky respectivamente.

Figura 3.7 – Representação gráfica da busca do ponto de projeto pelo enfoque RIA para um problema com duas variáveis; adaptada de CHOI e YOUN (2001).

Neste processo iterativo de busca do ponto mais provável *y é obtido o

valor correspondente de 1+Ky no espaço original X :

( ) ( )KKTKK yyJxx −+= +−+ 111 (3.33)

O processo é repetido até a convergência de 1+Ky para *y , sendo o

critério de convergência definido por:

tolerânciay

yy*

1k*

≤− +

(3.34)

o valor da tolerância adotado neste trabalho é 410 − .

3.2.4.3. Medidas de Sensibilidade

Além da probabilidade de falha, o método FORM fornece na análise da

confiabilidade outras respostas, chamadas de medidas de sensibilidades, como

fatores de importância, fatores de omissão, fatores de sensibilidade

paramétricos, entre outros.

Y2

0

β

y*

αKyK

yK+1

G(Y) = 0

G(Y) = GK > 0

KK

y

K

)y(G

)y(Gα

∇

KKK )y( αα•

Y1

DBD


83

É apresentado, a seguir, apenas o fator de importância. Este fator indica

qual a importância que cada variável aleatória tem na resposta da probabilidade

de falha de um determinado modo, sendo definido por:

2iiI α=

(3.35)

para a variável iY , iα representa o co-seno diretor entre o vetor normal à

superfície de falha no ponto de projeto *y e o eixo da variável reduzida iY ,

dado por:

*)y(G

*)y(G

y

iyi

∇

∇=α (3.36)

sendo iy *)y(G∇ a componente do gradiente da função de estado no espaço

reduzido.

A partir desse cálculo observa-se que as variáveis aleatórias com fatores

de importância elevados são as que realmente influenciam na avaliação da

probabilidade de falha obtida, ou seja, a variabilidade dessas variáveis tem maior

influência na resposta. As variáveis que apresentam fatores de importância

baixos podem passar a ser consideradas como determinísticas.

3.2.4.4. Coeficientes Parciais de Segurança

O método do estados limites últimos, utilizado nos projetos estruturais, é

um método semi-probabilístico, onde se utilizam modelos de cálculo

determinísticos, considerando as incertezas associadas às variáveis envolvidas,

através da aplicação de coeficientes parciais de segurança. Os valores de

cálculo utilizados são obtidos a partir da aplicação destes coeficientes a valores

característicos da resistência e da solicitação.

O valor característico de uma variável aleatória é determinado como um

valor que, de acordo com sua distribuição de probabilidades, representa um nível

percentual de ser ultrapassado, sendo dependente do tipo de material e da

classe da estrutura.

A definição dos coeficientes parciais de segurança foi feita, durante anos,

com base na experiência dos projetistas estruturais. Recentemente estes

coeficientes vêm sendo determinados com base científica, utilizando a


É estabelecido um valor aceitável para a probabilidade de falha, ou índice

de confiabilidade. O projeto inicial (dimensões da estrutura) é modificado até que

este valor de probabilidade de falha seja alcançado. Tendo definido os modelos

DBD


84

probabilísticos e os valores característicos das variáveis aleatórias envolvidas no

problema, determinam-se os valores dos coeficientes parciais de segurança para

uma estrutura específica.

O método FORM pode ser utilizado, para calibrar estes coeficientes, pois

um dos resultados deste método é o ponto de projeto *y composto pelos

valores de projeto das variáveis aleatórias quando a probabilidade de falha

desejada é alcançada. Se forem adotados, no projeto estrutural, valores de

cálculo iguais ao do ponto de projeto, a estrutura terá a probabilidade de falha

resultante desta análise de confiabilidade.

Os coeficientes parciais de segurança são obtidos

para as solicitações impostas à estrutura por:

ik

ii

)x(*)x(

=γ (3.37)

onde:

i*)x( - é o valor da variável i no ponto de projeto quando a probabilidade de

falha aceitável é alcançada;

ik )x( - é o valor característico desta variável usado no projeto.

para as resistências dos materiais a partir de:

i

ik

i *)x()x(

=γ

(3.38)

3.2.5. Confiabilidade de Sistemas Estruturais

Quando a falha de um elemento estrutural pode ocorrer devido a mais de

uma função de estado limite se denomina, na teoria de confiabilidade de

estruturas, de sistema.

Sistema na análise de confiabilidade de estruturas pode ser

representado, por exemplo, por uma viga, pois esta pode falhar devido a mais de

uma função de estado limite.

Neste caso a probabilidade de falha fp é calculada para cada função de

estado separadamente, utilizando os processos já apresentados, e em seguida

avalia-se a probabilidade de falha do sistema, considerando a contribuição de

todas as funções de estado, ou seja, todos os modos de falha.

Dentro da confiabilidade de estruturas um sistema pode ser classificado

em: sistema em série, quando a falha de um de seus modos leva a ruptura do

DBD


85

mesmo; sistema em paralelo, quando a ruptura do mesmo só ocorre depois da

falha de todos os seus modos; ou sistema misto, quando existe uma combinação

de sistema em série e em paralelo. A Figura 3.8 representa graficamente esta

classificação.

Y2

Y1

β1

β2

G1(Y) = 0

G2(Y) = 0

FORM

Y2

Y1

β1

β2

G1(Y) = 0

G2(Y) = 0

FORM

(a) (b)

Y2

Y1

β1

β2

G1(Y) = 0

G2(Y) = 0

FORM

Y2

Y1

β1

β2

G1(Y) = 0

G2(Y) = 0

FORM

(a) (b)

Figura 3.8 – (a) Sistemas em série e (b) Sistemas em paralelo, dentro da análise de confiabilidade de estruturas; adaptada de LIMA e SAGRILO (2002).

Matematicamente, a probabilidade de falha de um sistema em série é

expressa pela união dos eventos que representam os modos de ruptura,

enquanto que para um sistema em paralelo é expressa pela interseção dos

mesmos, conforme definida nas equações a seguir.

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≤=

=U

j

ii

sf )Y(GPp

10

(3.39)

( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡≤=

=I

j

ii

pf )Y(GPp

10

(3.40)

j é o número de modos de ruptura possíveis no problema.

Reescrevendo a equação 3.39:

...PPPpj

i

j

i

j

ik

j

klikl

j

ikik

j

ii

sf −+−= ∑ ∑ ∑ ∑∑∑

= = > >>= 1 11 (3.41)

sendo

( )0≤= )Y(GPP ii (3.42)

( ) ( )[ ]00 ≤∩≤= )Y(GP)Y(GPPP kiik (3.43)

( ) ( ) ( )[ ]000 ≤∩≤∩≤= )Y(GP)Y(GP)Y(GPPP lkiikl (3.44)

DBD


86

A probabilidade de falha de um sistema em série pode ser calculada

conforme definido na equação a seguir, sendo previamente conhecidos os

valores de iβ obtidos pelo Método FORM.

( ) .dxdxdx;Xp1 m2

m21msf ∫ ∫∫

∞− ∞−∞−

=β ββ

ρϕ LL (3.45)

onde:

( )ρϕ ;Xm - é a função densidade de probabilidades m-dimensional normal

padrão, ver Anexo D;

X - é o vetor das variáveis aleatórias normais padrão;

ρ - é o vetor dos coeficientes de correlação entre os modos de ruptura.

A integral multi-dimensional definida na equação 3.45 só pode ser

resolvida de forma analítica em alguns casos especiais. O cálculo da

probabilidade de falha pode ser efetuado utilizando os limites de primeira-ordem

ou segunda-ordem (limites de Ditlevsen), obtendo como resposta os limites

superior e inferior da probabilidade de falha do sistema em série.

Para modos de ruptura estatisticamente independentes a probabilidade

de falha pode ser representada por:

( )∏=

−−=j

ii

sf Pp

111 (3.46)

a expansão da equação 3.46 resulta na equação 3.41. Se 1Pi << os termos de

segunda e terceira ordem ( ikP e iklP ) são desprezados, sendo:

∑=

≅j

ii

sf Pp

1 (3.47)

No caso onde todos os modos de ruptura são totalmente dependentes a

probabilidade de falha pode ser representada por:

( )i

j

isf Pmaxp

1== (3.48)

significando que o modo de ruptura que apresenta a maior probabilidade de falha

é sempre o mais provável de ocorrer.

Os limites de primeira ordem para qualquer sistema em série onde os

modos de falha estão entre completamente independentes e totalmente

dependentes são definidos por:

( ) ∑==

≤≤j

1ii

sfi

j

1iPpPmax (3.49)

DBD


87

As equações 3.46 a 3.49 são válidas para 0≥ikρ (condição abordada no

Capítulo 5). No caso de 0ik <ρ os limites inferior e superior de primeira ordem

são obtidos em ANG e TANG (1984).

Nos limites de segunda ordem (ou limites de Ditlevsen) os termos ikP

são considerados. Os limites, inferior e superior, são respectivamente obtidos a

partir de:

∑ ∑=

−

= ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∩−+≥

j

i

i

kkii

sf ,PPPmaxPp

2

1

11 0 (3.50)

[ ]∑∑= <=

∩−≤j

iik

ik

j

ii

sf PPmaxPp

21 (3.51)

j é o número de modos de ruptura (funções de estado) possíveis no problema.

Surge a necessidade de se calcular os termos de segunda ordem, que

podem ser obtidos por:

),,(P ikkiik ρββ −−Φ= (3.52)

onde:

),(, ρΦ - CDF bidimensional normal padrão;

iβ - índice de confiabilidade do modo i de ruptura;

jβ - índice de confiabilidade do modo j de ruptura;

ikρ - coeficiente de correlação entre dois modos de ruptura (Figura 3.9),

definido por:

kiik ααρ ⋅= (3.53)

sendo iα e kα os vetores dos co-senos diretores nos pontos de projeto *y

associados aos modos de ruptura.

A função cumulativa bidimensional normal padrão é obtida por:

dz)z,,()()(),,( kikiikki

ik

ββϕβΦβΦρββΦρ

−−+−−=−− ∫0

(3.54)

onde ),,( ikρϕ é a função densidade de probabilidades bidimensional normal

padrão, definida no Anexo D.

DBD


88

αj

βj

αi

βi

ρij = -1 θij = 180°

y1

y2

αj

βj

αi

βi y1

y2

αjβj

αi

βi

y1

y2

αi , αj

βi , βj y1

y2

Se βi = βj = 3,0βe,série = 2,782

ρij = 0 θij = 90°


ρij = √0,5 θij = 45°


ρij = 1 θij = 0°


αj

βj

αi

βi

ρij = -1 θij = 180°

y1

y2

αj

βj

αi

βi y1

y2

αjβj

αi

βi

y1

y2

αi , αj

βi , βj y1

y2


ρij = 0 θij = 90°


ρij = √0,5 θij = 45°


ρij = 1 θij = 0°


Figura 3.9 – Significado do coeficiente de correlação entre dois modos de falha; adaptada de SØRENSEN (2004).

A CDF bidimensional normal padrão também pode ser obtida pelos

limites ikP :

para 0≥ikρ :

[ ] )B(P)A(P),,()B(P),A(Pmax ikikikkiikik +≤−−Φ≤ ρββ (3.55)

para 0<ikρ :

[ ])B(P),A(Pmin),,(0 ikikikki ≤−−Φ≤ ρββ (3.56)

)A(P ik e )B(P ik são calculados pelas seguintes expressões:

DBD


89

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−=

21 ik

iikkiik )()A(P

ρ

βρβΦβΦ (3.57)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−−−=

21 ik

kikikik )()B(P

ρ

βρβΦβΦ (3.58)

reescrevendo as equações 3.50 e 3.51:

( )∑ ∑=

−

=

+

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∩−+≥

j

i

i

kkii

sf ,PPPmaxPp

2

1

11 0 (3.59)

( )[ ]∑∑=

−

<=

∩−≤j

iik

ik

j

ii

sf PPmaxPp

21 (3.60)

( )+∩ ki PP e ( ) −∩ ik PP são os limites superior e inferior de ikP ,

respectivamente.

Obtido o valor de sfp calcula-se, a partir da inversa da CDF normal

padrão, o valor do índice de confiabilidade correspondente. Este valor não

representa a distância do ponto de projeto à origem, pois no caso de sistemas há

mais de um ponto de projeto. O valor obtido pela inversa da CDF normal padrão

é chamado de índice de confiabilidade equivalente série,eβ .

3.3. Revisão Bibliográfica

A seguir são apresentadas revisões bibliográficas de trabalhos que

abordam avaliação da confiabilidade de vigas de concreto armado.

LU et alii (1994) avaliaram a confiabilidade de vigas de concreto armado

submetidas à flexão, à força cortante e à torção, projetadas segundo as

prescrições do ACI 318 (1989). As vigas submetidas à força cortante foram

avaliadas, também, utilizando a formulação de Zsutty (1971). A interação entre a

força cortante e o momento de torção foi considerada através de uma superfície

de falha elíptica proposta pelo ACI 318 (1989). Foram consideradas como

variáveis aleatórias as resistências dos materiais, os carregamentos e os

parâmetros geométricos da seção transversal da viga e da armadura. Incluiu-se

em cada função de estado limite uma variável aleatória, denominada de fator de

modelagem, para considerar as incertezas relativas ao modelo de cálculo

utilizado. Os modelos probabilísticos dos fatores de modelagem dependiam do

DBD


90

estado limite analisado. A avaliação da confiabilidade foi realizada utilizando o

método FORM e o método SORM. Os valores dos índices de confiabilidade

obtidos para os vários modos de falha foram comparados. Realizou-se uma

análise de confiabilidade considerando a formulação de sistemas em série. Foi

verificado, a partir dos resultados obtidos, que os valores dos índices de

confiabilidade, considerando sistemas em série ou não, são mais sensíveis à

carga acidental, às resistências dos materiais e aos fatores de modelagem.

Observou-se que o modo de falha à flexão controlou a confiabilidade das vigas

nos casos onde a relação entre carga acidental e permanente era alta. Quando

esta relação era menor do que um o modo de falha à força cortante controlou a

segurança da viga.

VAL et alii (1997) apresentou um método probabilístico para avaliar a

confiabilidade de vigas e pórticos planos de concreto armado submetidos à

flexão. Foi adotado um modelo de elementos finitos não-linear para análise de

estruturas. Para análise probabilística foi utilizado o método numérico FORM.

Identificou-se, a partir de análises de sensibilidade, as variáveis que alteravam o

valor do índice de confiabilidade em mais de %5 . Foram adotadas como

variáveis aleatórias as resistências dos materiais, a altura útil da viga e os

carregamentos. Um estudo considerando ou não a correlação entre as

propriedades dos materiais entre os elementos do pórtico foi realizado e

constatou-se que a correlação deve ser considerada. Inclui-se como variável

aleatória um fator de modelagem associado às incertezas existentes no modelo

estrutural adotado. Foram avaliados índices de confiabilidade para duas

situações (falha da coluna externa e falha da coluna interna), considerando ou

não o fator de modelagem. Verificou-se que a coluna externa apresentou maior

probabilidade de falha. Os fatores de sensibilidade foram avaliados e observou-

se que as variáveis mais significativas foram a carga acidental e a resistência à

tração do aço.

MACHADO et alii (2000) analisaram a confiabilidade de vigas de concreto

armado submetidas à flexão e à força cortante, projetadas segundo as

prescrições da NBR 6118 (1980) e da NBR 8681 (1984). O método AFORM

(Advanced First-Order Reliability Method) foi utilizado. Foram consideradas como

variáveis aleatórias as resistências dos materiais, os carregamentos e os

parâmetros geométricos da seção transversal da viga. Incluiu-se uma variável

aleatória para representar o erro contido no modelo utilizado para a flexão.

Foram obtidos valores de índice de confiabilidade para 24 vigas analisadas à

DBD


91

flexão e 48 vigas analisadas à força cortante. Para análise a flexão obteve-se o

menor índice de confiabilidade (maior probabilidade de falha) quando a

resistência do concreto era maior, a relação entre carga acidental e permanente

era maior e a taxa de armadura longitudinal era menor. O maior índice de

confiabilidade foi obtido para a situação contrária. Para análise à força cortante o

menor índice de confiabilidade foi obtido quando a resistência do concreto era

maior, a relação entre carga acidental e permanente era maior, a taxa de

armadura longitudinal era maior e a taxa de armadura transversal era menor. O

maior índice de confiabilidade foi obtido para a situação contrária.

REAL e CAMPOS (2000) utilizaram o Método de Monte Carlo para

avaliar o efeito da variabilidade das propriedades geométricas e dos materiais

sobre a resposta estática da estrutura. Foram consideradas como variáveis

aleatórias as propriedades mecânicas dos materiais e os parâmetros

geométricos da seção transversal da viga. As correlações existentes entre as

propriedades mecânicas do concreto foram levadas em consideração no modelo

de geração de variáveis aleatórias. Foi empregado um modelo não-linear de

elementos finitos para efetuar análises de vigas e pilares de concreto armado

previamente dimensionados segundo a NBR 6118 (1980). As vigas e os pilares

foram levados à ruptura com carregamento sempre crescente. A influência de

cada variável aleatória foi analisada tanto para carga de serviço quanto para

carga de ruptura. Foi verificado que a variabilidade da flecha em vigas sob carga

de serviço é muito influenciado pela dispersão das propriedades mecânicas do

concreto. Observou-se que a variabilidade da carga de ruptura das vigas,

projetadas para terem uma ruptura dúctil, é controlada pela dispersão da tensão

de escoamento da armadura. Para os pilares analisados, dimensionados a flexo-

compressão, foi verificado que a variabilidade da resposta cresce na medida em

que a dispersão das propriedades do concreto cresce, porém este efeito diminui

com o aumento da taxa de armadura.

SANTOS e EBOLI (2004) analisaram um pórtico de concreto armado

resistente a forças de vento. Os esforços solicitantes no pórtico foram obtidos da

análise elástica efetuada com auxílio do programa SALT-UFRJ (2001). Foram

consideradas como variáveis aleatórias as resistências dos materiais e os

carregamentos. Incluíram-se duas variáveis aleatórias para se levar em

consideração as incertezas das hipóteses de análise e do projeto estrutural,

denominadas de fatores de modelagem das cargas e de fatores de modelagem

das resistências. Foram obtidos valores de índice de confiabilidade, de ponto de

DBD


92

projeto e de sensibilidade, pela implementação computacional do método FORM

para a função de estado limite à flexão da seção crítica, definida com diversos

valores de área de seção transversal de armadura. Como resultado um gráfico

que relaciona o valor do índice de confiabilidade com o valor da área de

armadura foi apresentado. Duas soluções em particular foram analisadas, a

primeira considerou a área de armadura para a qual se obteve valor de índice de

confiabilidade igual a 3,80 (definido pelo Eurocode EN1990 (2001) como um

valor aceitável no caso de prédios residenciais, escolas e hotéis). A segunda

considera a área de armadura obtida pelo dimensionamento da seção crítica no

ELU conforme especificação da NBR 6118 (2003). Para esta situação foi obtido

um valor de índice de confiabilidade maior do que 3,80, indicando que o

dimensionamento convencional é conservador. Os coeficientes de segurança

obtidos para estas duas situações foram avaliados.

KASZYNSKA et alii (2005) avaliaram o efeito da qualidade do concreto e

da mão-de-obra na confiabilidade das vigas. A análise da confiabilidade foi

realizada para vigas de concreto armado e para vigas metálicas submetidas à

flexão e à força cortante utilizando as prescrições do ACI 318 (2002) para as

vigas de concreto armado e as prescrições AISC LRFD (1992) para as vigas

metálicas. Foram consideradas como variáveis aleatórias as resistências dos

materiais e os carregamentos. Os parâmetros de resistência analisados foram o

fator fornecido pela relação entre o valor médio e o valor nominal (“bias factor”) e

o coeficiente de variação. Os resultados obtidos indicaram que o “bias factor” é o

parâmetro determinante. Quando foi avaliada a capacidade à flexão verificou-se

que a resistência das barras de aço (para vigas de concreto armado) ou a

resistência dos perfis de aço (para vigas metálicas) influenciaram mais. Quando

foi analisada a capacidade à força cortante percebeu-se que a resistência do

concreto também apresentou visível influência no valor do índice de

confiabilidade.

DBD


4 Formulação do Problema

4.1. Introdução

O objetivo deste capítulo é apresentar um resumo da metodologia adotada

para o desenvolvimento de diversos exemplos de aplicação apresentados no

Capítulo 5.

Como já mencionado, este trabalho tem como enfoque principal avaliar

seções transversais de vigas de concreto armado reforçadas com CFRP à força

cortante utilizando confiabilidade de estruturas.

Para seções de concreto armado sem reforço, previamente dimensionadas

(com área de armadura transversal de aço conhecida), faz-se, apenas, a análise

de confiabilidade. No caso de seções de concreto armado reforçadas, são

realizadas análises de confiabilidade para variações de taxas geométricas de

reforço ou é efetuado o dimensionamento da taxa geométrica de reforço para um

valor mínimo de índice de confiabilidade pré-determinado, denominado de índice

de confiabilidade de referência (especificado no item 4.2.4.).

Para realizar os estudos mencionados acima foi desenvolvido um

programa em linguagem C que permite avaliar a confiabilidade à força cortante

de seções reforçadas, ou não, e dimensionar o reforço à força cortante utilizando

confiabilidade de estruturas. Neste programa foi utilizado o método numérico de

primeira ordem, FORM.

Nos itens, subseqüentes, são apresentados, com mais detalhes:

• os dados de entrada do programa;

• as opções de análise e os dados de saída do programa;

• o fluxograma esquemático das opções de análise;

• o valor do índice de confiabilidade de referência adotado;

• as funções de estado implementadas.

DBD


94

4.2. Programa Implementado

4.2.1. Dados de Entrada Necessários

a) Valores das variáveis consideradas como determinísticas:

Propriedades geométricas da seção de concreto armado:

Largura da viga ( wb );

Altura da viga ( h );

Altura útil da viga (d );

Área da armadura transversal de aço ( swA );

Espaçamento entre as armaduras transversais de aço (s );

Ângulo de inclinação das bielas de compressão (θ ).

Propriedades geométricas e mecânicas do reforço – CFRP:

Altura inferior do reforço ( fbd );

Altura superior do reforço ( ftd );

Módulo de elasticidade longitudinal do compósito ( fE );

Ângulo de inclinação das fibras principais do compósito ( β );

Tipo de execução do reforço, adotado o número 2 quando o reforço

for executado apenas nos lados da viga, adotado o número 3 quando

o reforço for executado envolvendo em forma de U a seção

transversal da viga e o número 4 quando o reforço for executado

envolvendo completamente a seção transversal da viga. Ressaltando

que para o envolvimento completo não é considerado o modo de

colapso referente à tração diagonal devido ao descolamento do

reforço ( 4β ), conforme Capítulo 2;

Taxa geométrica de reforço mínima ( min,fρ );

Taxa geométrica de reforço máxima ( max,fρ ). Quando se pretende

analisar a confiabilidade min,fmax,f ρρ = .

b) Modelos probabilísticos das variáveis ( cf , ywf , ff , gV , qV , Rφ e Sφ )

adotadas como aleatórias:

Os modelos são definidos pelos seguintes dados de entrada:

Quantidade de variáveis consideradas como aleatórias;

DBD


95

Vetor contendo o tipo de distribuição de probabilidade adotado para

cada variável aleatória. Foi utilizado no vetor o número 1 para

distribuição Normal, o número 2 para Lognormal, o número 3 para

Gumbel Max e o número 4 para Weibull;

Vetor contendo o valor característico de cada variável aleatória;

Vetor contendo o valor médio de cada variável aleatória;

Vetor contendo o desvio padrão de cada variável aleatória;

Matriz contendo os coeficientes de correlações existentes entre as

variáveis aleatórias. Nos exemplos apresentados no Capítulo 5 não

há correlação entre as variáveis aleatórias, no entanto o programa de

confiabilidade foi implementado considerando esta possibilidade.

São dados de entrada também: o valor do índice de confiabilidade de

referência, utilizado quando se pretende dimensionar o reforço, e o ponto inicial

no espaço original (vetor contendo os valores iniciais das variáveis aleatórias

para o procedimento numérico, normalmente este vetor é igual ao que contém os

valores médios das variáveis aleatórias).

4.2.2. Definição das Opções de Análise e Dados de Saída

O programa implementado permite realizar as seguintes análises:

a) Avaliar a confiabilidade de uma seção de concreto armado previamente

dimensionada pelo Estado Limite Último (ELU):

Nesta análise são considerados no cálculo os dados de entrada

referentes à seção de concreto armado (especificados no item 4.2.1.).

Utilizando as funções de estado implementadas para avaliar uma seção

de concreto armado obtém-se, pelo método FORM, os seguintes dados de

saída: os índices de confiabilidade referentes ao esmagamento das bielas

( 2β ) e à tração diagonal ( 3β ); as correspondentes probabilidades de falha;

os fatores de importância das variáveis aleatórias para os modos de falha

analisados; o valor do índice de confiabilidade considerando o problema

como um sistema em série com a correspondente probabilidade de falha.

b) Avaliar a confiabilidade de uma seção de concreto armado reforçada à força

cortante com CFRP para um valor fornecido de taxa geométrica de reforço:

DBD


96

Nesta análise são considerados no cálculo todos os dados de entrada,

com exceção do valor do índice de confiabilidade de referência. Os valores

mínimos e máximos da taxa geométrica de reforço devem ser os mesmos.


de concreto armado reforçada com CFRP obtém-se, pelo método FORM,

os seguintes dados de saída (resultados): o índice de confiabilidade

referente ao esmagamento das bielas ( 2β ); os índices de confiabilidade,

para cada taxa geométrica de reforço, referentes à tração diagonal devido à

ruptura do reforço ( 3β ) e à tração diagonal devido ao descolamento do

reforço ( 4β ); as correspondentes probabilidades de falha; os fatores de

importância das variáveis aleatórias para os três modos de falha

analisados; o valor do índice de confiabilidade, para cada taxa geométrica

de reforço, considerando o problema como um sistema em série com a

correspondente probabilidade de falha.

c) Avaliar a confiabilidade de uma seção de concreto armado reforçada à força

cortante com CFRP com a taxa geométrica de reforço variando do valor

mínimo ao máximo:

Nesta análise são considerados no cálculo todos os dados de entrada,

com exceção dos valores mínimos e máximos da taxa geométrica de

reforço e do valor do índice de confiabilidade de referência. O valor da taxa

geométrica de reforço é variado, internamente, desde o valor mínimo

(adotado levando em consideração o espaçamento máximo proposto por

CHEN e TENG (2003 a, b) que apresenta o limite inferior para o

espaçamento máximo) até o valor máximo (adotado levando em

consideração a utilização de cinco camadas de reforço colado

continuamente ao longo do comprimento da viga).


de concreto armado reforçada com CFRP obtém-se, pelo método FORM,

os seguintes dados de saída (resultados): o índice de confiabilidade

referente ao esmagamento das bielas ( 2β ); os índices de confiabilidade,

para cada taxa geométrica de reforço, referentes à tração diagonal devido à

ruptura do reforço ( 3β ) e à tração diagonal devido ao descolamento do

reforço ( 4β ); as correspondentes probabilidades de falha; os fatores de

importância das variáveis aleatórias para os três modos de falha

DBD


97

analisados; o valor do índice de confiabilidade, para cada taxa geométrica

de reforço, considerando o problema como um sistema em série com a

correspondente probabilidade de falha.

Esta opção de análise possibilita traçar gráficos que relacionem as taxas

geométricas de reforço com os índices de confiabilidade, permitindo

verificar, de uma maneira geral, o comportamento da seção de concreto

armado reforçada com CFRP.

d) Dimensionar a taxa geométrica de reforço necessária:

Nesta análise são considerados no cálculo todos os dados de entrada.

Utilizando a função de estado que avalia o esmagamento das bielas

obtém-se, pelo método FORM, o valor do índice de confiabilidade referente

a este modo de colapso, se este valor for maior que o valor do índice de

confiabilidade de referência inicia-se o dimensionamento do reforço.

Com os valores das taxas geométricas de reforço mínima e máxima

fornecidos, busca-se a partir de um processo iterativo, realizado utilizando o

método da bisseção, o valor da taxa geométrica de reforço necessária para

que o valor do índice de confiabilidade equivalente avaliado considerando a

formulação de sistemas em série seja maior ou igual ao valor do índice de

confiabilidade de referência.

Os resultados obtidos são: o valor da taxa geométrica de reforço

necessária; os índices de confiabilidade referentes ao esmagamento das

bielas, à tração diagonal devido à ruptura do reforço e à tração diagonal

devido ao descolamento do reforço; as correspondentes probabilidades de

falha; os fatores de importância das variáveis aleatórias para os três modos

de falha analisados; as coordenadas dos pontos de projeto obtidos para

cada modo de falha; os coeficientes parciais de segurança para o modo de

falha que apresentar o menor valor de índice de confiabilidade; o valor do

índice de confiabilidade equivalente considerando a formulação de sistemas

em série com a correspondente probabilidade de falha.

Esta metodologia de análise garante que o reforço seja dimensionado

tendo pré-determinado o nível de confiabilidade desejado.

As análises descritas acima estão representadas de forma esquemática

no fluxograma apresentado a seguir.

DBD


98

Valores das variáveis determinísticasTaxas geométricas mínima e máxima de reforçoModelos probabilísticos das variáveis aleatórias

Índice de confiabilidade de referênciaPonto inicial

Seção de concretoarmado

Sim

FORM(função estado G2 .. G3)

β2 , β3Probabilidades de falhaFatores de importânciadas variáveis aleatórias

Não

Dimensionamentodo reforço

Não

Sim

FORM(função estado G2)

β2

β2 ≥ βrNão Reforço

nãoindicadoSim

ρf,nec = ρf

novo ρf

Não

FORM (função estado G2 ..G4)

β2 , β3 , β4 , Probabilidade de falhaFatores de importância das variáveis aleatórias

Coeficientes parciais de segurança

β3 , β4



β2

Sistema em série:Índice de confiabilidadeProbabilidade de falha



βe,série , ρf

FORM(sistema em série)

βe,série = βr

Sim

ρf,min = ρf,maxSim

β3 , β4




Nãoρf ρf,min .. ρf,max

ρf = ρf,maxNão

Valores das variáveis determinísticasTaxas geométricas mínima e máxima de reforçoModelos probabilísticos das variáveis aleatórias

Índice de confiabilidade de referênciaPonto inicial

Seção de concretoarmado

Sim


β2 , β3Probabilidades de falhaFatores de importânciadas variáveis aleatórias

Não

Dimensionamentodo reforço

Não

Sim


β2

β2 ≥ βrNão Reforço

nãoindicadoSim

ρf,nec = ρf

novo ρf

Não

FORM (função estado G2 ..G4)

β2 , β3 , β4 , Probabilidade de falhaFatores de importância das variáveis aleatórias

Coeficientes parciais de segurança

β3 , β4



β2




βe,série , ρf

FORM(sistema em série)

βe,série = βr

Sim

ρf,min = ρf,maxSim

β3 , β4




Nãoρf ρf,min .. ρf,max

ρf = ρf,maxNão

Figura 4.1 – Fluxograma esquemático das opções de análise implementadas no programa de confiabilidade de estruturas.

No programa de confiabilidade de estruturas são utilizados os limites de

segunda ordem (ou limites de Ditlevsen) para avaliação da probabilidade de

DBD


99

falha de um sistema em série. Os modos de ruptura são ordenados de forma

decrescente em relação ao valor da probabilidade de falha, segundo

recomendação de SØRENSEN (2004).

4.2.3. Índice de Confiabilidade de Referência

Índice de confiabilidade de referência é o valor mínimo estabelecido para o

índice de confiabilidade, associado a um valor máximo de probabilidade de falha

que expresse o nível de falha desejável para a estrutura.

O Eurocode EN1990 (2001) fornece valores de índices de confiabilidade

de referência rβ diferentes de acordo com classes de conseqüências, classes

de confiabilidade e períodos de retorno.

São definidas três classes de conseqüências (CC1, CC2 e CC3)

distinguidas pela proporção de impacto que a falha da estrutura pode ocasionar:

Classe CC1: pequeno número de perdas de vidas humanas e

conseqüências: ambientais, sociais ou econômicas pequenas.

Classe CC2: moderado número de perdas de vidas humanas e

conseqüências: ambientais, sociais ou econômicas consideráveis.

Classe CC3: elevado número de perdas de vidas humanas e

conseqüências: ambientais, sociais ou econômicas elevadas.

Considera-se que as conseqüências de falha são: baixas para

construções agrícolas, onde as pessoas normalmente não transitam; médias

para prédios residenciais e comerciais, hotéis, escolas, pontes de residências

(fazendas); altas para teatros, prédios e pontes com significativa utilização.

No entanto, as conseqüências de falha incluem, também: conseqüências

sociais e ambientais (por exemplo, quando a falha da estrutura pode causar uma

catástrofe ambiental) e conseqüências econômicas (devido ao custo gerado pela

reconstrução do edifício, substituição dos conteúdos que existiam no edifício e

perda de utilização do edifício).

A Tabela 4.1 fornece a classe de conseqüência que deve ser

considerada em função da freqüência de uso e da conseqüência de falha. Assim,

se uma construção agrícola, por exemplo, tiver moderada utilização, com

entrada de pessoas, a classe de conseqüência adotada é a CC2.

DBD


100

Tabela 4.1 – Classes de conseqüências.

Conseqüências de falha Freqüência de uso Baixa Média Alta

Baixa CC1 CC2 CC3

Média CC2 CC2 CC3

Alta ---- CC3 CC3

Pode ser requerido que se considere classes de conseqüências diferentes

para elementos estruturais de um hotel, por exemplo, adotando classe CC3 para

elementos de suporte de salas utilizadas para conferências, eventos sociais,

casamentos, etc, e adotando classe CC2 para os elementos de suporte dos

quartos do hotel. No entanto, normalmente considera-se classe de conseqüência

única para todos os elementos estruturais de uma construção.

As classes de conseqüência CC1, CC2 e CC3 são, respectivamente,

associadas às classes de confiabilidade RC1, RC2 e RC3, que são definidas

pelo valor do índice de confiabilidade de referência rβ . A seguir é apresentado,

na Tabela 4.2, a relação entre o valor da probabilidade de falha e o valor do

índice de confiabilidade.

Tabela 4.2 – Relação entre probabilidade de falha fp e índice de confiabilidade β .

fp β

10-1 1,28

10-2 2,32

10-3 3,09

10-4 3,72

10-5 4,27

10-6 4,75

10-7 5,20

A Tabela 4.3 fornece valores dos índices de confiabilidade de referência

dados em função da classe de confiabilidade e do período de retorno (1 ano ou

50 anos) para o Estado Limite Último.

Nas aplicações numéricas apresentadas neste trabalho é adotada a classe

de confiabilidade RC2, que considera como aceitável uma probabilidade de

falha de 10-6 por ano ( 7,4r =β ). O período de retorno adotado é o de 50 anos

( 5f 102,7p −⋅= e 8,3r =β ).

DBD


101

Tabela 4.3 – Valores dos índices de confiabilidade de referência dados em função da classe de confiabilidade e do período de retorno.

Valores para β

Estado Limite Último Classes de conseqüências

Classes de confiabilidade

1 ano 50 anos

CC3 RC3 5,2 4,3

CC2 RC2 4,7 3,8

CC1 RC1 4,2 3,3

4.2.4. Funções de Estado Implementadas

4.2.4.1. Seção de Concreto Armado

As funções de estado adotadas são definidas a partir das prescrições

apresentadas na NBR 6118 (2003) para a verificação do estado limite último de

peças lineares sujeitas à força cortante, conforme o Modelo de Cálculo I.

O Modelo de Cálculo I admite diagonais de compressão inclinadas de

°= 45θ em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e, também, que a

parcela complementar cV tenha valor constante, independente de SdV .

Segundo a NBR 6118 (2003), a resistência do elemento estrutural, numa

determinada seção transversal, deve ser considerada satisfatória quando

verificadas simultaneamente as seguintes condições:

a) a força cortante solicitante de cálculo SdV não exceda a força cortante

resistente de cálculo 2RdV , relativa à ruína das diagonais comprimidas de

concreto.

2RdSd VV ≤ (4.1)

b) a força cortante solicitante de cálculo SdV não exceda a força cortante

resistente de cálculo 3RdV , relativa à ruína por tração diagonal.

SdRd VV ≥3 (4.2)

sendo:

swcRd VVV +=3 (4.3)

onde:

DBD


102

cV - é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos

complementares ao de treliça;

swV - é a parcela de força cortante resistida pela armadura transversal,

calculada por:

( )αα cossenfd,s

AV ywd

swsw += 90 (4.4)

O Modelo de Cálculo I define que:

dbf,V wcdvRd α2702 = (4.5)

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=

2501 ck

vf

α (4.6)

e: dbf,V wctdc 60= (4.7)

sendo:

c

inf,ctkctd

ff

γ= (4.8)

ctminf,ctk f7,0f = (4.9)

32

ckctm f3,0f = (4.10)

substituindo as equações 4.8, 4.9 e 4.10 na equação 4.7 tem-se:

dbf126,0V w32

ckc = (4.11)

A equação 4.7 só é válida para casos de elementos estruturais

submetidos à flexão simples ou flexo-tração com a linha neutra cortando a

seção.

De acordo com o apresentado, formulam-se duas funções de estado,

relacionadas às condições impostas nas equações 4.1 e 4.2, porém sem adotar

valores característicos ou de cálculo para as resistências ou solicitações:

Primeira função de estado – relativa à ruína das diagonais comprimidas

de concreto:

1VV

GS

2R2 −= (4.12)

substituindo a equação 4.6 na equação 4.5, e decompondo a solicitação SV nas

duas parcelas das cargas consideradas, gV e qV (provenientes de cargas

permanentes e acidentais respectivamente), tem-se reescrita a expressão 4.12:

DBD


103

1)VV(

dbf250f

127,0G

qg

wcc

2 −+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

= (4.13)

Segunda função de estado – relativa à ruína por tração diagonal:

1VV

GS

3R3 −= (4.14)

substituindo a equação 4.4 e a 4.11 e decompondo a solicitação SV , tem-se

reescrita a expressão 4.14:

( )1

)VV(

cossinfd9,0s

Adbf126,0G

qg

ywsw

w32

c3 −

+

++=

αα (4.15)

As equações 4.13 e 4.15 são as funções de estado utilizadas no

programa de confiabilidade de estruturas, implementado em C, para analisar a

seção transversal, mais solicitada, de uma viga de concreto armado sujeita à

força cortante. As variáveis consideradas como aleatórias são: cf , ywf , gV e qV .

Conforme apresentado no Capítulo 3, é necessário avaliar os gradientes

das funções de estado. Esta avaliação foi obtida analiticamente num programa

de Computação Algébrica e Simbólica e posteriormente inserida ao programa de


4.2.4.2. Seção de Concreto Armado Reforçada com CFRP

Para vigas reforçadas, deve-se considerar três funções de estado, sendo:

Primeira função de estado )G( 2 – relativa à ruína das diagonais

comprimidas de concreto, definida na equação 4.13;

Segunda função de estado – relativa à ruína por tração diagonal, devido

à ruptura do reforço:

1)VV(

VVVG

qg

r,fswc3 −

+

++= (4.16)

Terceira função de estado – relativa à ruína por tração diagonal, devido

ao descolamento do reforço:

1)VV(

VVVG

qg

d,fswc4 −

+

++= (4.17)

A segunda e terceira função de estado dependem do modelo (ou

prescrição) adotado para efetuar o cálculo da parcela de força cortante fV

resistida pelo FRP. Duas formulações foram consideradas. Optou-se por utilizar

DBD


104

o modelo semi-empírico de CHEN e TENG (2003 a, b) e as prescrições do

Bulletin 14 fib (2001), pois, de uma maneira geral, foram os que apresentaram

valores menores de coeficientes de variação na comparação teórico-

experiemental realizada no Capítulo 2.

Cada modelo (ou prescrição) apresenta duas formulações para

verificação de fV , devido as duas limitações existentes: ruptura à tração do

compósito, que fornece r,fV , e descolamento do compósito, que fornece d,fV .

As equações de r,fV e d,fV são acrescentadas na expressão 4.14, conforme

mostrado em 4.16 e 4.17.

1) CHEN e TENG (2003 a, b):

Reescrevendo as equações apresentadas no item 2.2.4. de forma a se

obter expressões de r,fV e d,fV em função da taxa geométrica do compósito fρ

e das variáveis aleatórias, tem-se:

para parcela de força cortante resistida pelo FRP, limitada pela ruptura do

compósito:

( ) ββρς sincot1hbf21

21V fewffr,f +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += (4.18)

para parcela de força cortante resistida pelo FRP, limitada pelo

descolamento do compósito:

se 1>λ :

( ) ββρ

βππ

sincot1hb

tfE

ftE

L21427,0V

fewf

f

cfw

c

ff

máxd,f

+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=

(4.19)

se 1<λ :

( ) ββρ

πβπ

sincot1hb

tfE

ftE

L21sin

ftE

L854,0V

fewf

f

cf

c

ff

máxw

c

ff2

máxd,f

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= (4.20)

se 1=λ :

( ) ββρβπ

sincot1hbt

fEf

tEL854,0V fewf

f

cfw

c

ff2

máxd,f += (4.21)

onde λ é obtido pela equação 2.36 ou, em função de ff , por:

DBD


105

c

ff

máx

ftE

L=λ

(4.22)

no programa de confiabilidade implementado λ é calculado para cada iteração

de acordo com o valor da variável aleatória cf .

Conforme mencionado no item 2.2.4. o módulo de elasticidade do FRP e

a resistência à compressão do concreto, são expressos em MPa, enquanto a

espessura do FRP em milímetros.

Em r,fV é considerada como variável aleatória a resistência à tração do

compósito ff , enquanto que em d,fV a variável considerada como aleatória é a

resistência à compressão do concreto cf .

2) Bulletin 14 fib (2001):

Reescrevendo as equações propostas pelo Bulletin 14 fib (2001),

apresentadas no item 2.3.1., de forma a se obter expressões de r,fV e d,fV em

função das variáveis aleatórias, tem-se:

para parcela de força cortante resistida pelo FRP, limitada pela ruptura do

compósito:

( ) ββρρ

sincot1dbfE

fk153,0V wff

30,0

ff

3 2c

r,f +⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= (4.23)

para parcela de força cortante resistida pelo FRP, limitada pelo

descolamento do compósito:

( ) ββρρ

sincot1dbEE

fk585,0V wff

56,0

ff

3 2c

d,f +⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛= (4.24)

sendo cf expresso em MPa e fE em GPa .

Em r,fV são consideradas como variáveis aleatórias a resistência à

tração do compósito ff e a resistência à compressão do concreto cf , enquanto

que em d,fV apenas cf é considerada como variável aleatória.

DBD


5 Exemplos de Aplicação

5.1. Introdução

Neste capítulo são apresentados seis exemplos elaborados de forma que

todas as opções de análises implementadas no programa de confiabilidade de

estruturas, descritas no item 4.2.2. sejam utilizadas.

A seguir, é apresentado um resumo do que é realizado nos exemplos.

Do primeiro ao quarto exemplo avalia-se a confiabilidade da seção mais

solicitada de uma viga de concreto armado (Figura 5.1a) para os modos de

colapso ocasionados pela força cortante. Os modelos probabilísticos das

variáveis consideradas aleatórias são definidos no primeiro exemplo. No

segundo exemplo, o modelo probabilístico das cargas acidentais é variado. No

terceiro, são incluídos os fatores de modelagem como variáveis aleatórias. No

quarto, as propriedades geométricas são alteradas.

No quinto exemplo é estudada a seção mais solicitada de uma viga de

concreto armado reforçada à força cortante com CFRP (Figura 5.1b), devido aos

acréscimos de cargas acidentais, para os modos de colapso ocasionados pela

força cortante. É efetuado o dimensionamento da taxa geométrica de reforço

pelo projeto corrente e pelo projeto baseado em confiabilidade e é avaliada a

confiabilidade da seção para valores fornecidos de taxa geométrica de reforço.

No sexto exemplo é efetuado o dimensionamento da taxa geométrica de

reforço pelo projeto baseado em confiabilidade, sendo variado o valor da

resistência à compressão do concreto.

Para desenvolvimento dos exemplos algumas decisões foram tomadas:

Foi considerado que o dimensionamento da armadura transversal tenha

sido efetuado, para o estado limite último, a partir do modelo de cálculo I

da NBR 6118 (2003), com o valor da intensidade da força cortante

solicitante de cálculo igual ao valor da resistência de cálculo:

DBD


107

swcRdSd VVVV +== 3 (5.1)

onde kN68,59Vc = , kN19,73Vsw = e kN87,132VV 3RdSd == .

150

6,3

@ 2

00

fck = 20 MPa

fywk = 500 MPa

dimensões em mm

640

600

fck = 20 MPa

fywk = 500 MPa

dimensões em mm

ff = 3790 MPaou

ff = 3517 MPa

150

640

600

refo

rço

tf variável

(a) (b)150

6,3

@ 2

00

fck = 20 MPa

fywk = 500 MPa

dimensões em mm

640

600

fck = 20 MPa

fywk = 500 MPa

dimensões em mm

ff = 3790 MPaou

ff = 3517 MPa

150

640

600

refo

rço

tf variável

(a) (b)

Figura 5.1 – Propriedades geométricas e mecânicas utilizadas nos exemplos: a) viga de concreto armado; b) viga reforçada.

Adotou-se a força cortante solicitante constituída por duas parcelas de

cargas, a primeira proveniente de cargas permanentes e a segunda de

cargas acidentais.

g

Sdggk

VkV

γ=

(5.2)

q

Sdqqk

VkV

γ=

(5.3)

com 4,1qg == γγ .

Foram supostas duas situações distintas para a natureza da carga total,

com predominância de parcela permanente ou acidental, de acordo com

as proporções abaixo.

Tabela 5.1 – Proporções de carga permanente e acidental em relação à carga total.

Proporções de carga permanente e acidental em relação à carga total Caso

(%)kg (%)kq

1 75 25

2 25 75

DBD


108

5.2. Primeiro Exemplo

Este exemplo tem como objetivo avaliar a confiabilidade da seção mais

solicitada de uma viga de concreto armado (Figura 5.1a) para os modos de

colapso ocasionados pela força cortante. É utilizada a opção implementada no

programa de confiabilidade de estruturas para análise de seções de concreto

armado (letra (a) do item 4.2.2.).

Os resultados obtidos são comparados com os resultados fornecidos pelo

Programa Comrel Versão 8.00 para aferição do programa implementado.

5.2.1. Modelos Probabilísticos das Resistências e das Solicitações

Neste exemplo são consideradas como variáveis aleatórias: a resistência

à compressão do concreto ( cf ), a resistência à tração do aço ( ywf ), a parcela da

força cortante proveniente das cargas permanentes ( gV ) e a parcela da força

cortante proveniente das cargas acidentais ( qV ).

Os modelos probabilísticos adotados para as variáveis são sintetizados na

tabela a seguir e definidos adiante. Estes modelos são utilizados também nos

demais exemplos, exceto quando há alguma modificação relatada no exemplo.

Tabela 5.2 – Modelos probabilísticos das resistências do concreto e do aço e das solicitações permanente e acidental.

Caso Variável Aleatória

Valor Característico Média Desvio

Padrão

Coeficiente de Variação

(%) Distribuição

1 e 2 cf )MPa( 20 26,6 4 15,04 Lognormal

1 e 2 ywf )MPa( 500 560 30 5,36 Lognormal

gV )kN( 71,18 71,18 7,12 10 Normal

1 qV

)kN( 23,73 23,73 5,93 25 Gumbel

gV )kN( 23,73 23,73 2,37 10 Normal

2 qV

)kN( 71,18 71,18 17,79 25 Gumbel Definição dos modelos probabilísticos das variáveis aleatórias:

1) Resistência à compressão do concreto

DBD


109

O modelo probabilístico adotado para a resistência à compressão do

concreto se baseia nas recomendações da NBR 8681 (2003), da NBR 12655

(1996) e do JCSS (2001).

Segundo a NBR 8681 (2003), a resistência característica inferior inf,kf

dos materiais é admitida como sendo o valor que tem apenas %5 de

probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de

material. O valor de inf,kf é sempre menor do que a resistência média mf ,

dada pela média aritmética das resistências dos elementos que compõe o

lote considerado de material.

A NBR 12655 (1996) fornece para o cálculo da resistência média do

concreto à compressão cjf , prevista para a idade de j dias, a seguinte

expressão:

dckcj S,ff 651+= (5.4)

onde:

dS - é o desvio padrão da dosagem, tabelado na norma de acordo com a

condição de preparo do concreto (Tabela 5.3).

Tabela 5.3 – Desvio Padrão a ser adotado em função da condição de preparo do concreto.

Condição de Preparo Desvio Padrão MPa

Boa 4,0

Média 5,5

Ruim 7,0 O valor constante ( 65,1 ) da equação 5.4 é obtido pela inversa da função

de distribuição cumulativa normal padrão (média zero e desvio padrão

unitário) para uma probabilidade de %5 , o que representa

05,0)ff(P ckc =≤ .

O JCSS (2001) sugere que seja adotada a distribuição Lognormal.

2) Resistência à tração da armadura de aço

O modelo probabilístico adotado para a resistência à tração do aço se

baseia nas recomendações do JCSS (2001) que fornece para o cálculo da

média da resistência de escoamento do aço a seguinte expressão:

ywyw fnomf 2S σμ += (5.5)

DBD


110

onde:

nomS - valor característico da resistência de escoamento ywkf , emMPa ;

ywfσ - desvio padrão da resistência de escoamento do aço, sendo

recomendado pelo JCSS (2001) o valor de MPa30 .

É sugerido adotar distribuição Lognormal.

3) Força cortante proveniente da carga permanente

Considera-se como carga permanente o peso próprio da estrutura e os

elementos não estruturais conectados permanentemente à estrutura.

O modelo probabilístico adotado para a carga permanente é baseado em

ELLINGWOOD et alii (1980), que propõe 10,0CoV = e distribuição Normal,

e na NBR 8681 (2003), onde é mencionado que para as cargas permanentes

o valor característico é igual ao valor médio.

Considera-se que o modelo probabilístico adotado para a força cortante

proveniente da carga permanente é o mesmo adotado para a carga

permanente.

4) Força cortante proveniente da carga acidental

A carga acidental é dividida em duas categorias:

a) contínua: constituída do peso dos móveis, dos equipamentos, das

pessoas e de seus pertences.

b) momentânea: constituída do peso das pessoas e de seus pertences

que pode existir durante um evento não usual como numa

emergência, quando todos se posicionam numa mesma sala, ou

devido ao armazenamento de móveis numa determinada área.

Segundo NOWAK e COLLINS (2000), os parâmetros estatísticos das

duas categorias de carga acidental dependem da área de influência, sendo,

quanto maior a área de contribuição para a carga acidental menor é o valor

nominal da carga. O valor do coeficiente de variação também diminui com o

aumento da área de influência.

A carga acidental máxima equivalente, considerada para um período de

retorno de 50 a 100 anos, é resultante da combinação da carga acidental

contínua com a carga acidental momentânea e os parâmetros probabilísticos

dependem da variação temporal da carga acidental momentânea, da

duração da carga acidental contínua e do tempo de retorno considerado.

O modelo probabilístico adotado para a carga acidental máxima

equivalente, para um período de retorno de 50 anos, é baseado em

DBD


111

ELLINGWOOD et alii (1980), que propõe 25,0CoV = ; distribuição de valores

extremos máximos do tipo I (Gumbel) e valor médio igual ao valor

característico.

Considera-se que o modelo probabilístico adotado para força cortante

proveniente da carga acidental é o mesmo adotado para a carga acidental.

5.2.2. Resultados

Pela Tabela 5.4 constata-se que os valores obtidos pelos dois programas

são muito próximos e que a seção de concreto armado analisada tem maior

probabilidade de falhar devido à ruína de sua alma por tração diagonal,

coincidindo com a filosofia adotada pela NBR 6118 (2003).

Observa-se que os índices de confiabilidade diminuem com o aumento

da proporção de cargas acidentais, sendo que o valor da carga total é mantido.

Comparando os valores obtidos de índices de confiabilidade ( 2β e 3β )

com o valor de 8,3r =β , sugerido pelo Eurocode ENV (1990), verifica-se que

para o Caso 1 os valores de 2β e 3β são exagerados, porém para o Caso 2, o

valor de 3β (referente à tração diagonal) é menor do que 8,3r =β .

Esta diferença de nível de confiabilidade ocorre porque o método semi-

probabilístico utilizado na NBR 6118 (2003) adota coeficientes de segurança

iguais para cargas permanentes e acidentais, não levando em consideração a

maior variabilidade das cargas acidentais. Na análise de confiabilidade de

estruturas a diferença de variabilidade é considerada através da adoção de

valores diferentes de coeficientes de variação para cargas permanentes e

acidentais e, também, distintas distribuições de probabilidade.

Tabela 5.4 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha do primeiro exemplo para os modos de colapso.

Programa Proporções das cargas (%) Implementado em C Comercial – Comrel Caso

gk qk

2β 2fp 3β 3fp 2β 2fp 3β 3fp

1 75 25 9,72 - 5,66 7,44E-9 9,72 1,26E-22 5,66 7,47E-9

2 25 75 6,74 7,68E-12 3,27 5,41E-4 6,74 7,70E-12 3,27 5,36E-4

DBD


112

A Tabela 5.5 mostra que os valores do índice de confiabilidade

equivalente e da probabilidade de falha, considerando a formulação de sistemas

em série, assumem os mesmos valores obtidos para o modo de falha referente à

tração diagonal (contidos na Tabela 5.4).

Os valores do coeficiente de correlação entre as duas funções de falha

(Tabela 5.5) indicam que os modos de ruptura são dependentes entre si,

apresentando dependência maior para o Caso 2.

Tabela 5.5 – Índice de confiabilidade equivalente e probabilidade de falha do primeiro exemplo para sistema em série.

Caso ikρ série,eβ série,fp

1 0,88 5,66 7,44E-9

2 0,93 3,27 5,41E-4

Quanto aos fatores de importância observa-se, pela Tabela 5.6, que para a

função de estado que avalia o esmagamento das bielas as variáveis aleatórias

cf e qV apresentam fatores de importância próximos no Caso 1, porém qV

passa a ter uma importância bem maior no Caso 2, devido à proporção de

cargas acidentais ser maior. Na função de estado que avalia a tração diagonal

somente o fator de importância de qV é significativo, isto pode estar relacionado

com o fato de que o valor do coeficiente de variação adotado para qV é bem

maior do que os adotados para as demais variáveis.

Tabela 5.6 – Fatores de importância das variáveis aleatórias do primeiro exemplo para os modos de colapso.

Fatores de importância (%)

Programa Implementado Programa Comrel Caso Índice

cf ywf gV

qV cf ywf

gV qV

2β 48,7 - 2,4 48,9 49,0 - 2,4 48,6 1

3β 9,6 3,1 6,9 80,4 9,6 3,5 6,9 80,0

2β 26,6 - 0,1 73,3 26,7 - 0,1 73,2 2

3β 3,7 1,0 0,2 95,1 3,6 1,1 0,2 95,1

DBD


113

5.3. Segundo Exemplo

Este exemplo tem como objetivo analisar o elevado fator de importância

obtido no exemplo anterior para a variável aleatória qV .

O exemplo anterior é repetido considerando os mesmos modelos

probabilísticos, porém alterando o valor do coeficiente de variação das cargas

acidentais de %25 para %10 , passando a ter um valor igual ao adotado para as

cargas permanentes. Posteriormente o valor do coeficiente de variação da

variável qV é variado, assumindo valores entre %10 a %30 , e finalmente a

confiabilidade é avaliada adotando distribuição Normal e coeficiente de variação

igual a %10 para a variável aleatória qV .

5.3.1. Resultados

Adotando um coeficiente de variação menor para as cargas acidentais a

seção de concreto armado passa a apresentar uma confiabilidade maior (Tabela

5.7), os valores dos índices de confiabilidade aumentam e valores de

probabilidades de falha diminuem, comparado com os valores obtidos no

primeiro exemplo (Tabela 5.4).

A partir da Tabela 5.7 observa-se que com o aumento de proporção de

cargas acidentais (Caso 2) os valores dos índices de confiabilidade diminuem,

conforme constatado, também, no primeiro exemplo. Isto indica que adotar

distribuição Gumbel (distribuição de valores extremos máximos) para as cargas

acidentais influencia muito o resultado, mostrando que uma variável com o

comportamento representado pela distribuição Gumbel torna-se determinante na

avaliação de falha da estrutura.

Tabela 5.7 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha do segundo exemplo para os modos de colapso, com CoV_Vq = 10%.

Proporções das cargas (%)

Índices de confiabilidade e probabilidades de falha Caso

gk qk 2β 2fp 3β 3fp

1 75 25 11,41 - 7,96 8,88E-16

2 25 75 9,32 - 5,34 4,74E-8

DBD


114

A Tabela 5.8 mostra que os valores do índice de confiabilidade equivalente

e da probabilidade de falha, considerando a formulação de sistemas em série,

continuam assumindo os mesmos valores obtidos para o modo de falha

referente à tração diagonal (contidos na Tabela 5.7).

Tabela 5.8 – Índice de confiabilidade e probabilidade de falha do segundo exemplo para sistema em série, com CoV_Vq = 10%.


1 0,78 7,96 8,88E-16

2 0,90 5,34 4,74E-8

Os valores dos fatores de importância obtidos para as variáveis aleatórias

(Tabela 5.9) deixam claro a elevada influência da distribuição Gumbel, adotada

para as cargas acidentais, pois mesmo no Caso 1 onde %75 da carga total é de

natureza permanente a variável qV apresenta, para a função de estado que

avalia a tração diagonal, um fator de importância bem maior, chegando a ser

aproximadamente duas vezes maior do que o apresentado para a variável gV .

Tabela 5.9 – Fatores de importância das variáveis aleatórias do segundo exemplo para os modos de colapso, com CoV_Vq = 10%.

Fatores de importância (%) Caso Índice

cf ywf gV

qV

2β 79,5 - 10,2 10,3 1

3β 21,0 8,8 22,1 48,1

2β 43,7 - 0,2 56,1 2

3β 7,9 2,5 0,6 89,0

Na Figura 5.2 é verificada a influência do valor do coeficiente de variação

adotado para qV nos valores dos índices de confiabilidade ( 2β e 3β ).

DBD


115

0

2

4

6

8

10

12

14

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30Coeficiente de Variação de Vq

Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade beta 2 beta 3

0

2

4

6

8

10

12

14


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade beta 2 beta 3

Caso 1 Caso 2

(a) (b)

0

2

4

6

8

10

12

14


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade beta 2 beta 3

0

2

4

6

8

10

12

14


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade beta 2 beta 3

Caso 1 Caso 2 0

2

4

6

8

10

12

14


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade beta 2 beta 3

0

2

4

6

8

10

12

14


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade beta 2 beta 3

Caso 1 Caso 2

(a) (b) Figura 5.2 – Gráfico coeficiente de variação de Vq x índices de confiabilidade:

(a) Caso 1, (b) Caso 2.

A Figura 5.3 apresenta gráficos que relacionam fatores de importância

das variáveis aleatórias com coeficientes de variação adotados para a variável

aleatória qV para o Caso 1, onde %75 da carga total é de natureza permanente.

0

15

30

45

60

75

90


Fato

res

de Im

portâ

ncia

I_fc I_Vg I_Vq

0

15

30

45

60

75

90


Fato

res

de Im

portâ

ncia

I_fc I_fyw I_Vg I_Vq

(a) (b)

0

15

30

45

60

75

90


Fato

res

de Im

portâ

ncia

I_fc I_Vg I_Vq

0

15

30

45

60

75

90


Fato

res

de Im

portâ

ncia


(a) (b)

G2 G3

0

15

30

45

60

75

90


Fato

res

de Im

portâ

ncia

I_fc I_Vg I_Vq

0

15

30

45

60

75

90


Fato

res

de Im

portâ

ncia


(a) (b)

0

15

30

45

60

75

90


Fato

res

de Im

portâ

ncia

I_fc I_Vg I_Vq

0

15

30

45

60

75

90


Fato

res

de Im

portâ

ncia


(a) (b)

G2 G3

Figura 5.3 – Gráfico coeficiente de variação de Vq x fatores de importância das

variáveis aleatórias (caso 1): (a) para função de estado que avalia o esmagamento das bielas, (b) para função de estado que avalia a tração diagonal.

Se fosse adotada a distribuição Normal e coeficiente de variação igual a

10% para as duas parcelas de cargas (permanentes e acidentais) os resultados

dos índices de confiabilidade obtidos para os Casos 1 e 2 seriam iguais

( 49,112 =β e 54,83 =β ) e a importância das variáveis aleatórias gV e qV se

revezariam de acordo com a proporção adotada de carga permanente e

acidental (Tabela 5.10), confirmando que o elevado valor do fator de importância

da variável aleatória qV , no primeiro exemplo, é principalmente devido a se

adotar distribuição Gumbel para as cargas acidentais.

DBD


116

Tabela 5.10 – Fatores de importância das variáveis aleatórias do segundo exemplo para os modos de colapso, supondo distribuição Normal e CoV = 10% para cargas

permanentes e acidentais.


cf ywf gV

qV

2β 86,0 - 12,6 1,4 1

3β 33,4 16,1 45,4 5,1

2β 86,0 - 1,4 12,6 2

3β 33,4 16,1 5,1 45,4

5.4. Terceiro Exemplo

Este exemplo tem como objetivo acrescentar os fatores de modelagem

como variáveis aleatórias.

O primeiro exemplo é repetido considerando os mesmos modelos

probabilísticos, porém com o acréscimo os modelos probabilísticos referentes

aos fatores de modelagem, definidos adiante.

5.4.1. Considerações e Modelos Probabilísticos dos Fatores de Modelagem

Os modelos de cálculo são de natureza numérica, analítica ou empírica.

Na maioria das vezes, são incompletos e inexatos, devido à introdução de

algumas simplificações. Para considerar as incertezas existentes nos modelos

são utilizados os fatores de modelagem (tratados como variáveis aleatórias).

Estes fatores são empregados nos seguintes modelos de cálculo:

a) modelos de cálculo das cargas;

b) modelos de cálculo dos efeitos das cargas;

c) modelos de cálculo das resistências.

Segundo ELLINGWOOD et alii (1980), as incertezas existentes nos

modelos de cálculo das cargas já estão sendo consideradas nos valores dos

coeficientes de variação adotados para as cargas permanentes e acidentais

(item 5.2.1.).

O JCSS (2001) recomenda modelos probabilísticos para os fatores de

modelagem dos efeitos das cargas Sφ e das resistências Rφ em função do tipo

DBD


117

de estrutura e do material utilizado. Para o modelo de cálculo da força cortante

atuante em vigas e para o modelo de cálculo da resistência à força cortante de

elementos de concreto armado são recomendados os seguintes modelos

probabilísticos para Sφ e Rφ , respectivamente.

Tabela 5.11 – Modelo probabilístico do fator de modelagem da solicitação e da resistência.



Padrão


(%) Distribuição

1 e 2 Sφ 1,0 1,0 0,10 10 Lognormal

1 e 2 Rφ 1,4 1,4 0,35 25 Lognormal

O modelo probabilístico recomendado pelo JCSS (2001) para o fator de

modelagem da resistência Rφ contém valores de média e de coeficiente de

variação elevados. Estes valores são adotados neste trabalho, pois ainda existe

discordância em relação ao modelo de cálculo da capacidade resistente à força

cortante, no que diz respeito à parcela de força cortante absorvida por

mecanismos complementares ao de treliça, pois cada norma fornece uma

equação diferente.

Acrescentando os fatores de modelagem como variáveis aleatórias

passa-se de quatro para seis variáveis aleatórias nos problemas de análise de

confiabilidade de seções de concreto armado. As funções de estado são

modificadas, para incluir as novas variáveis:

( ) 1SRG

iS

iRi −=

φφ (5.6)

5.4.2. Resultados

Utilizando os fatores de modelagem, a estrutura apresenta valores

menores de índices de confiabilidade quando comparados com os fornecidos no

primeiro exemplo, porque as imperfeições dos modelos de cálculo foram levadas

em consideração e a estrutura foi melhor avaliada.

Verifica-se que o valores dos índices de confiabilidade (Tabela 5.12)

diminuem mais para o Caso 1 do que para o Caso 2, comparado com os valores

apresentados na Tabela 5.4, e que tanto para o Caso 1 quanto para o Caso 2 o

valor de 3β (referente à tração diagonal) é menor do que 8,3r =β .

DBD


118

Tabela 5.12 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha do terceiro exemplo para os modos de colapso.

Proporções das cargas (%)


gk qk

2β 2fp 3β 3fp 1 75 25 6,74 7,66E-12 3,63 1,44E-4

2 25 75 5,71 5,66E-9 3,11 9,23E-4 A partir da Tabela 5.13 percebe-se que os valores do índice de

confiabilidade equivalente (Caso 1 e Caso 2), considerando a formulação de

sistemas em série, continuam assumindo os mesmos valores dos obtidos para o

modo de falha referente à tração diagonal (Tabela 5.12) porque os valores de 3β

são muito menores do que os valores de 2β .

Tabela 5.13 – Índice de confiabilidade e probabilidade de falha do terceiro exemplo para sistema em série.


1 0,96 3,63 1,44E-4

2 0,97 3,11 9,23E-4

A Tabela 5.14 mostra que o fator de modelagem da resistência Rφ é a

variável aleatória que apresenta, no Caso 1, o maior fator de importância. No

Caso 2, a variável aleatória qV continua tendo importância elevada porque %75

da carga total é de natureza acidental.

Tabela 5.14 – Fatores de importância das variáveis aleatórias do terceiro exemplo para os modos de colapso.


cf ywf gV

qV Rφ Sφ

2β 18,3 - 3,6 8,2 60,0 9,9 1

3β 3,0 0,8 5,5 5,8 72,9 12,0

2β 11,8 - 0,1 42,3 39,3 6,5 2

3β 1,9 0,5 0,2 43,8 46,0 7,6

DBD


119

5.5. Quarto Exemplo

Este exemplo é teórico e tem como objetivo ilustrar a necessidade de se

considerar a formulação de sistemas em série.

O terceiro exemplo é repetido diminuindo a altura útil da seção

transversal ( mm220d = ), diminuindo o espaçamento da armadura transversal

( mm100s = ) e aumentando a área de armadura transversal ( 2sw mm144A = ).

5.5.1. Resultados

A partir das Tabelas 5.15 e 5.16 verifica-se que quando os valores dos

índices de confiabilidade 2β (referente ao esmagamento das bielas) e 3β

(referente à tração diagonal) se aproximam, o índice de confiabilidade

equivalente obtido considerando a formulação de sistemas em série assume um

valor menor do que os valores obtidos para 2β e 3β , mostrando a importância

de se considerar esta formulação. Neste exemplo, os fatores de modelagem são

considerados.

Tabela 5.15 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha do quarto exemplo para os modos de colapso.

Proporções dascargas (%)


gk qk 2β 2fp 3β 3fp

1 75 25 3,57 1,80E-4 3,66 1,25E-4

2 25 75 3,14 8,47E-4 3,14 8,52E-4 Tabela 5.16 – Índice de confiabilidade e probabilidade de falha do quarto exemplo

para sistema em série.


1 0,92 3,49 2,41E-4

2 0,95 3,03 1,21E-3

DBD


120

5.6. Quinto Exemplo

Este exemplo tem como objetivo dimensionar o reforço à força cortante

necessário devido à suposição de dois acréscimos diferentes de cargas

acidentais, conforme especificado na Tabela 5.17.

Tabela 5.17 – Acréscimos de cargas acidentais.

Caso gkV

)kN(

inicial,qkV

)kN(

qkVΔ

)kN(

final,qkV

)kN( inicial,S

final,S

VV

1a 71,18 23,73 71,18

2a 23,73 71,18 47,45

118,63 1,50

1b 71,18 23,73 94,91

2b 23,73 71,18 71,18

142,36 1,75

5.6.1. Considerações

Com os acréscimos de carga acidental os valores característicos, os

valores médios e os valores dos desvios padrões contidos nos modelos

probabilísticos (Caso 1 e Caso 2) de qV são alterados. O valor do coeficiente de

variação de qV continua sendo 25%. As proporções das cargas permanentes e

acidentais em relação à carga total também se alteram.

Tabela 5.18 – Alterações nos modelos probabilísticos das cargas acidentais e nas combinações de cargas devido aos acréscimos de carga

acidental.

Proporções das cargas em relação

à carga total Caso Valor

Característico )kN(

Média )kN(

Desvio Padrão

)kN( (%)kg (%)kq

1a 71,18 71,18 17,79 50 50

2a 118,63 118,63 29,66 17 83

1b 94,91 94,91 23,73 43 57

2b 142,36 142,36 35,59 14 86 Avaliando-se os índices de confiabilidade da seção de concreto armado

para as novas solicitações, devido aos acréscimos de carga acidental, verifica-se

que os valores do índice de confiabilidade 2β (referente ao esmagamento das

DBD


121

bielas) diminuem, mas ainda continuam maiores do que o valor de referência

8,3r =β , enquanto que os valores do índice de confiabilidade 3β (referente à

tração diagonal) tornam-se muito baixos (Tabela 5.19).

Neste exemplo, são analisadas duas situações diferentes: I – sem

considerar os fatores de modelagem e II – considerando os fatores de

modelagem. Assim, pode-se observar a influência da adoção destes fatores, no

entanto, ressalta-se que em problemas reais os fatores de modelagem devem

sempre ser considerados.

Tabela 5.19 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha para os acréscimos de carga do quinto exemplo, para duas situações: I - sem considerar

os fatores de modelagem e II – considerando os fatores de modelagem.

Sem fator de modelagem Com fator de modelagem Caso

2β 2fp 3β 3fp 2β 2fp 3β 3fp 1a 6,22 2,55E-10 2,10 1,76E-2 5,11 1,63E-7 2,13 1,65E-2

2a 5,04 2,26E-7 1,55 6,01E-2 4,55 2,67E-6 1,92 2,77E-2

1b 5,32 5,27E-8 1,14 1,26E-1 4,56 2,55E-6 1,61 5,41E-2

2b 4,47 3,97E-6 0,90 1,85E-1 4,14 1,77E-5 1,47 7,08E-2 A partir dos valores dos índices de confiabilidade apresentados na Tabela

5.19 verifica-se a possibilidade ( r2 ββ > ) e a necessidade ( r3 ββ < ) de se

realizar o reforço à força cortante. O reforço é executado com CFRP colado em

forma de “U” (Figura 5.4) com o ângulo de suas fibras principais °= 90β .

(a) (b)

Reforçocom tecido:

CF-130ou

CF-530

tf variável

β

sf variável

wf variável

(a) (b)

Reforçocom tecido:

CF-130ou

CF-530

tf variável

β

sf variável

wf variável

Figura 5.4 – Desenho esquemático do tipo de execução do reforço considerado

nos exemplos.

As taxas geométricas de reforço necessárias para resistir aos acréscimos

de carga acidental são dimensionadas por dois enfoques:

DBD


122

semi-probabilístico – projeto corrente (rotinas de cálculo apresentadas no

Anexo A);

probabilístico – projeto baseado em confiabilidade (opção implementada

no programa de confiabilidade de estruturas para dimensionamento do

reforço à força cortante com CFRP (letra (c) dos itens 4.2.2. e 4.2.3.).

O material de reforço adotado é o tecido unidirecional de fibras de

carbono impregnado “in situ” por resina epoxídica. São utilizados dois tipos

diferentes de tecidos unidirecionais de fibras de carbono:

Wabo®MBrace CF-130 (de alta resistência);

Wabo®MBrace CF-530 (de alto módulo).

O dimensionamento da taxa geométrica de reforço necessária é realizado

utilizando as propriedades geométricas e mecânicas desses dois tipos de tecidos

(CF-130 e CF-530).

Os valores obtidos de taxas geométricas de reforço, para os dois

enfoques de cálculo e para os dois tipos de tecidos considerados, são

comparados.

5.6.2. Modelo Probabilístico da Resistência à Tração do Compósito

Para realizar o dimensionamento baseado em confiabilidade é preciso

adotar modelos probabilísticos para as resistências à tração dos dois compósitos

considerados, de acordo com o tipo de tecido de fibras de carbono utilizado (CF-

130 ou CF-530).

Segundo manual técnico da MBrace, o compósito de fibras de carbono é

fortemente influenciado pelas propriedades mecânicas do tecido de fibras

utilizado. No dimensionamento do reforço somente a resistência à tração e o

módulo longitudinal do tecido de fibras são considerados. Estes valores são

determinados a partir da realização do ensaio de tração direta em corpos de

prova de CFRP, executados conforme recomendações da ASTM

D3039/D3039M (2000). A resistência à tração última é determinada

considerando apenas a área do tecido, para isso considera-se no cálculo da área

a espessura nominal do tecido ( mm165,0tf = ). A resistência característica fkf

do CFRP, utilizada no dimensionamento, é determinada por:

fffmfk 3ff σ−= (5.7)

sendo:

DBD


123

fmf - valor médio da resistência à tração última do CFRP;

ffσ - desvio padrão da resistência à tração última do CFRP.

A Tabela 5.20 fornece os valores médio e característico da resistência à

tração última e os valores do módulo de elasticidade longitudinal dos compósitos

constituídos pelos tecidos de fibras de carbono Wabo®MBrace. A Figura 5.5

apresenta as retas tensão x deformação dos mesmos compósitos.

Tabela 5.20 – Valores médio e característico da resistência à tração última e valores do módulo de elasticidade longitudinal dos compósitos constituídos pelos

tecidos de fibras de carbono Wabo®MBrace.

Tecidos unidirecionais fmf )MPa( fkf )MPa( fE )GPa(

Wabo®MBrace CF-130 4275 3790 228

Wabo®MBrace CF-530 4027 3517 372

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500


Res

istê

ncia

à tr

ação

do

CFR

P (M

Pa)

εfmεfk

Ef εfmεfk

ffm

ffk

Ef

CF-130

CF-53

0

3σff3σff

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500


Res

istê

ncia

à tr

ação

do

CFR

P (M

Pa)

εfmεfk

Ef εfmεfk

ffm

ffk

Ef

CF-130

CF-53

0

3σff3σff

Figura 5.5 – Retas tensão x deformação dos compósitos constituídos pelos

tecidos de fibras de carbono Wabo®MBrace.

Os modelos probabilísticos adotados para as resistências à tração dos

dois compósitos de fibras de carbono Wabo®MBrace são baseados nos valores

fornecidos na Tabela 5.20, conforme apresentado na Tabela 5.21. O módulo de

elasticidade longitudinal é tratado como variável determinística.

A distribuição de probabilidades recomendada para a resistência à tração

dos compósitos de fibras de carbono é a de valores extremos mínimos do Tipo III

(Weibull), segundo PLEVRIS et alii (1995).

DBD


124

Tabela 5.21 – Modelos probabilísticos das resistências à tração dos compósitos

constituídos pelos tecidos de fibras de carbono Wabo®MBrace.



Padrão


(%) Distribuição

Tecido Wabo®MBrace CF-130

1 e 2 ff )MPa( 3790 4275 161,67 3,78 Weibull

Tecido Wabo®MBrace CF-530

1 e 2 ff )MPa( 3517 4027 170 4,22 Weibull

5.6.3. Resultados

Os resultados apresentados nas tabelas a seguir (exceto Tabelas 5.24 e

5.25) foram obtidos utilizando a opção implementada no programa de

confiabilidade de estruturas para dimensionamento da taxa geométrica de

reforço (letra (d) do item 4.2.2.).

Os resultados das Tabelas 5.24 e 5.25 foram obtidos utilizando a opção

implementada no programa de confiabilidade de estruturas para análise de

seções de concreto armado reforçadas à força cortante com CFRP para um

valor fornecido de taxa geométrica de reforço (letra (b) do item 4.2.2.). O valor de

taxa geométrica fornecido no programa é o obtido pelo projeto corrente.

Os gráficos foram elaborados a partir dos resultados obtidos utilizando a

opção implementada para análise de seções de concreto armado reforçadas à

força cortante com CFRP com a taxa geométrica de reforço variando do valor

mínimo ao máximo (letra (c) dos itens 4.2.2. e 4.2.3.).

Como mencionado no Capítulo 4, optou-se por dimensionar o reforço

utilizando o modelo semi-empírico de CHEN e TENG (2003 a, b) e as

prescrições do Bulletin 14 fib (2001). Os valores obtidos de taxa geométrica de

reforço necessária, pelo enfoque semi-probabilístico e pelo enfoque

probabilístico, são apresentados nas Tabelas 5.22 e 5.23, conforme o material

de reforço utilizado (tecido unidirecional de fibras de carbono Wabo@MBrace

CF-130 ou Wabo@MBrace CF-530). Para cada caso analisado, o reforço é

dimensionado sem considerar os fatores de modelagem e, também,

considerando, assim pode-se avaliar a influência dos fatores de modelagem.

Pelo enfoque semi-probabilístico, a taxa geométrica de reforço obtida

utilizando o modelo de CHEN e TENG (2003 a, b) é maior do que utilizando as

prescrições do Bulletin 14 fib (2001). Isto ocorre, principalmente, porque as

DBD


125

equações apresentadas pelo Bulletin 14 fib (2001) são dadas em função da

resistência média do concreto à compressão, enquanto que as equações

apresentadas no modelo CHEN e TENG (2003 a, b) são dadas em função da

resistência característica do concreto à compressão. No enfoque probabilístico a

resistência à compressão do concreto é considerada como variável aleatória

utilizando nos dois modelos, CHEN e TENG (2003 a, b) e Bulletin 14 fib (2001), o

mesmo modelo probabilístico de cf .

De acordo com os valores apresentados nas Tabelas 5.22 e 5.23 verifica-

se que quando é utilizado como material de reforço o tecido unidirecional de

fibras de carbono Wabo@MBrace CF-530 a taxa geométrica de reforço

necessária fρ é bem menor do que quando é utilizado o tecido Wabo@MBrace

CF-130.

Quando os fatores de modelagem não são considerados, verifica-se que

para os Casos 1a e 1b (maior proporção de carga permanente) as taxas

geométricas de reforço obtidas pelo enfoque probabilístico são bem menores do

que as obtidas pelo enfoque semi-probabilístico. Para os Casos 2a e 2b (maior

proporção de carga acidental) ocorre o contrário.

Quando os fatores de modelagem são considerados, as taxas

geométricas de reforço obtidas pelo enfoque probabilístico, para todos os casos,

são bem maiores do que as obtidas pelo enfoque semi-probabilístico.

Nos casos onde o valor do índice de confiabilidade 3β obtido para a

seção original, antes do acréscimo de carga (Caso 1, quando os fatores de

modelagem não são considerados – Tabela 5.4) é maior do que 8,3r =β a taxa

geométrica de reforço fornecida pelo projeto probabilístico é menor do que a

obtido pelo projeto corrente, pois a seção de concreto armado original será

responsável por suportar uma parcela da carga que foi acrescida. Nesta situação

a seção reforçada passa a apresentar uma confiabilidade menor do que

apresentava antes, porém ainda assim dentro de um nível aceitável de

confiabilidade.

Nos casos onde o valor do índice de confiabilidade 3β obtido para a

seção sem reforço (Caso 1 e Caso 2, quando os fatores de modelagem são

considerados – Tabela 5.12) a taxa geométrica de reforço fornecida pelo projeto

probabilístico é maior do que a obtido pelo projeto corrente, pois o reforço é

responsável por aumentar o índice de confiabilidade da seção original, sem

reforço, para 8,3r =β e ainda suportar a carga acidental acrescida mantendo

DBD


126

este valor de índice de confiabilidade. Nesta situação o reforço é responsável,

também, por suportar uma parcela da carga acidental já existente antes do

acréscimo de carga e a seção passa a apresentar uma confiabilidade maior do

que apresentava antes.


utilizando o tecido unidirecional de fibras de carbono Wabo®MBrace CF-130.

Sem fator de modelagem

Com fator de modelagem

Proporções das cargas

(%)

fρ (%) projeto

corrente fρ (%) dimensionamento baseado

em confiabilidade Caso

Δ (%)

gk qk Chen fib Chen fib Chen fib

1a 50 50 0,0845 0,0715 0,2284 0,2367

2a 50

17 83 0,1747 0,1327

0,3041 0,3503 0,4780 0,5564

1b 43 57 0,2542 0,2784 0,5099 0,5987

2b 75

14 86 0,4343 0,3335

0,6601 0,7658 0,9718 1,1231


utilizando o tecido unidirecional de fibras de carbono Wabo®MBrace CF-530.

Sem fator de modelagem

Com fator de modelagem

Proporções das cargas

(%)

fρ (%) projeto

corrente fρ (%) dimensionamento baseado

em confiabilidade Caso

Δ (%)

gk qk Chen fib Chen fib Chen fib

1a 50 50 0,0631 0,0445 0,1325 0,1451

2a 50

17 83 0,1164 0,0813

0,1850 0,2147 0,2969 0,3410

1b 43 57 0,1493 0,1706 0,3151 0,3670

2b 75

14 86 0,3099 0,2044

0,4032 0,4693 0,5979 0,6884 A seguir, são apresentadas tabelas (Tabelas 5.24 e 5.25) com valores

dos índices de confiabilidade obtidos para as taxas geométricas de reforço

dimensionadas pelo projeto corrente. Verifica-se que, quando os fatores de

modelagem não são considerados, os valores dos índices de confiabilidade 4β

obtidos para o Caso 2a e o Caso 2b são menores que 80,3r =β . Quando os

fatores de modelagem são considerados todos os casos apresentam r4 ββ < .

DBD


127

Tabela 5.24 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha obtidos para as taxas geométricas de reforço dimensionadas pelo projeto corrente, utilizando o

tecido Wabo®MBrace CF-130.

Sem fator de modelagem Com fator de modelagem

3β 4β 3β 4β Caso 2β

Chen fib Chen fib 2β

Chen fib Chen fib 1a 6,22 6,74 5,71 4,51 4,20 5,11 5,08 4,48 3,70 3,50 2a 5,04 5,14 4,35 3,41 3,18 4,55 4,46 3,93 3,26 3,09 1b 5,32 8,62 6,41 4,30 3,95 4,56 6,34 4,05 3,67 3,43 2b 4,47 7,12 5,18 3,43 3,15 4,14 4,91 3,63 3,39 3,08

Tabela 5.25 – Índices de confiabilidade e probabilidades de falha obtidos para as taxas geométricas de reforço dimensionadas pelo projeto corrente, utilizando o

tecido Wabo®MBrace CF-530.

Sem fator de modelagem Com fator de modelagem

3β 4β 3β 4β Caso 2β

Chen fib Chen fib 2β

Chen fib Chen fib 1a 6,22 5,47 4,53 4,51 4,20 5,11 4,30 3,71 3,70 3,50 2a 5,04 4,14 3,42 3,41 3,18 4,55 3,78 4,05 3,26 3,43 1b 5,32 7,17 4,87 4,48 3,95 4,56 3,78 5,47 3,26 3,79 2b 4,47 7,12 5,18 3,43 3,15 4,14 4,91 3,63 3,39 3,08

Adiante, são apresentadas tabelas com valores dos índices de

confiabilidade e suas respectivas probabilidades de falha considerando ou não a

formulação de sistemas em série, para as taxas geométricas de reforço obtidas

pelo dimensionamento baseado em confiabilidade.

Utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130 (Tabelas 5.26 e 5.28), verifica-

se que os valores dos índices de confiabilidade 2β e 3β são muito maiores do

que os valores de 4β , portanto os valores de série,eβ (Tabelas 5.27 e 5.29),

considerando a formulação de sistemas em série, assumem valores iguais aos

valores de 4β e o reforço é dimensionado tendo como restrição

8,34série,e == ββ . A seção transversal analisada tende a falhar devido ao

descolamento do compósito. No entanto, no Caso 2b o valor do índice de

confiabilidade 2β se aproxima do valor apresentado por 4β e para que

8,3série,e =β é preciso que 4β assuma valor um pouco maior do que 8,3r =β .

No Caso 2b (utilizando formulação de CHEN e TENG (2003 a, b)),

quando os fatores de modelagem não são considerados, o índice de

DBD


128

confiabilidade 4β assume valor maior que 8,3r =β , porque a formulação de

CHEN e TENG (2003 a, b) apresenta descontinuidade por ser dada em função

da espessura do compósito ft . Para a taxa geométrica de reforço %66,0f =ρ

( mm165,03tf ⋅= - três camadas de CFRP) → 78,34 =β e para %66001,0f =ρ

( mm165,04tf ⋅= - quatro camadas de CFRP) → 81,34 =β . O índice de

confiabilidade série,eβ assume valor igual a 4β .


exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, sem considerar os fatores de

modelagem.

Chen fib Chen fib Caso 2β 2fp


1a 6,22 2,55E-10 4,89 4,96E-7 4,75 1,02E-6

2a 5,04 2,26E-7 6,70 1,05E-11 5,98 1,09E-9

1b 5,32 5,27E-8 6,72 9,05E-12 6,02 8,65E-10

3,80 7,23E-5 3,80 7,23E-5

2b 4,47 3,97E-6 8,69 - 6,96 1,74E-12 3,81 6,94-5 3,80 7,22E-5


quinto exemplo para sistema em série, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130,

sem considerar os fatores de modelagem.

Chen fib Caso

23ρ 24ρ 34ρ série,eβ série,fp 23ρ 24ρ 34ρ série,eβ série,fp

1a 0,89 0,93 0,99 0,92 0,94 0,99

2a 0,90 0,95 0,98 0,94 0,96 0,99

1b 0,87 0,94 0,98

3,800 7,23E-5

0,92 0,94 0,99

2b 0,88 0,95 0,97 3,810 6,94E-5 0,93 0,96 0,98

3,800 7,23E-5

sendo: 23ρ – coeficiente de correlação entre os modos de ruptura 2G e 3G ; 24ρ – coeficiente de correlação entre os modos de ruptura 2G e 4G ; 34ρ – coeficiente de correlação entre os modos de ruptura 3G e 4G .

DBD


129


exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, considerando os fatores de

modelagem.



1a 5,11 1,63E-7 5,59 1,12E-8 5,17 1,14E-7

2a 4,55 2,67E-6 6,37 9,63E-11 5,63 9,06E-9

1b 4,56 2,55E-6 6,71 9,72E-12 5,88 2,10E-9

3,80 7,23E-5 3,80 7,23E-5

2b 4,14 1,77E-5 7,54 2,41E-14 6,20 2,72E-10 3,80 7,14E-5 3,80 7,18E-5



considerando os fatores de modelagem.

Chen fib Caso


1a 0,94 0,97 0,99 0,96 0,97 0,99

2a 0,95 0,98 0,99 0,97 0,98 0,99

1b 0,93 0,97 0,99 0,96 0,97 0,99

2b 0,94 0,98 0,99

3,800 7,23E-5

0,96 0,98 0,99

3,800 7,23E-5

Quando o tecido Wabo®MBrace CF-530 é utilizado constata-se o mesmo

observado anteriormente, para o tecido Wabo®MBrace CF-130, com a diferença

de que para o Caso 1a (utilizando formulação do Bulletin 14 fib (2001)), quando

os fatores de modelagem não são considerados, os valores de 3β e 4β são

próximos e maiores que 3,8 para que 8,3série,e =β .


exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, sem considerar os fatores de

modelagem.



1a 6,22 2,55E-10 4,24 1,12E-5 3,85 5,88E-5 3,81 6,97E-5

2a 5,04 2,26E-7 5,13 1,44E-7 4,62 1,92E-6

1b 5,32 5,27E-8 4,99 2,98E-7 4,58 2,36E-6

3,80 7,23E-53,80 7,23E-5

2b 4,47 3,97E-6 6,64 1,62E-11 5,26 7,00E-8 3,80 7,22E-5 3,80 7,22E-5

DBD


130



sem considerar os fatores de modelagem.

Chen fib Caso


1a 0,90 0,93 0,99 0,92 0,94 1,00

2a 0,91 0,95 0,99 0,94 0,96 0,99

1b 0,89 0,94 0,99 0,92 0,94 0,99

2b 0,90 0,95 0,97

3,800 7,23E-5

0,94 0,96 0,99

3,800 7,23E-5

Tabela 5.32 – Índices de confiabilidade (β3 e β4) e probabilidades de falha do quinto

exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, considerando os fatores de

modelagem.



1a 5,11 1,63E-7 4,50 3,34E-6 4,25 1,05E-5

2a 4,55 2,67E-6 5,28 6,58E-8 4,62 1,89E-6

1b 4,56 2,55E-6 5,51 1,81E-8 4,76 9,52E-7

3,80 7,23E-5 3,80 7,23E-5

2b 4,14 1,77E-5 6,26 1,91E-10 5,06 2,04E-7 3,80 7,14E-5 3,80 7,18E-5




Chen fib Caso


1a 0,95 0,97 0,99 0,96 0,97 1,00

2a 0,95 0,98 0,99 0,97 0,98 1,00

1b 0,94 0,97 0,99 0,96 0,98 0,99

2b 0,94 0,98 0,99

3,800 7,23E-5

0,97 0,98 0,99

3,800 7,23E-5

Nas figuras a seguir (Figuras 5.6 e 5.7) são apresentados gráficos que

relacionam valores de taxa geométrica de reforço com os valores dos índices de

confiabilidade ( 2β , 3β , 4β e rβ ) para o Caso 2a, quando os fatores de

modelagem são considerados.

DBD


131

Os valores de taxa geométrica de reforço variam do valor mínimo,

definido pelo espaçamento máximo permitido, para o valor máximo, definido pelo

número máximo de camadas de reforço recomendado.

Para este exemplo mm270s max,f = (entre eixos de estribos de CFRP).

Adotando largura dos estribos de CFRP igual a mm50 o valor mínimo da taxa

geométrica de reforço é %041,0min,f =ρ . O valor máximo é %1,1max,f =ρ ,

considerando a utilização de cinco camadas de reforço com ff sw = .

As figuras indicam que a seção analisada neste exemplo tende sempre a

falhar devido ao descolamento do reforço, independente da taxa geométrica de

reforço utilizada e que enquanto o valor de 3β aumenta consideravelmente com

o aumento da taxa de reforço, o valor de 4β tende a ficar constante.

O valor do índice de confiabilidade 3β é referente a função de estado

que avalia a tração diagonal, devido à ruptura à tração do reforço, portanto

quanto maior a área de compósito utilizada maior é o valor da resistência

alcançada pelo reforço, tornando maior o valor de 3β .

O valor do índice de confiabilidade 4β é referente a função de estado

que avalia a tração diagonal, devido ao descolamento do reforço, neste caso,

quanto mais espessa a camada de reforço maior é a propensão do mesmo

descolar e com isso a resistência atingida pelo reforço tende a ficar constante,

assim como o valor de 4β .

A partir das Figuras 5.6 e 5.7 verifica-se que quando as equações

propostas pelo modelo de CHEN e TENG (2003 a, b) são utilizadas nas funções

de estado obtém-se valores maiores de 3β e 4β do que quando são utilizadas

as equações propostas pelas prescrições do Bulletin 14 fib (2001), a não ser

quando %10,0f ≤ρ .

DBD


132

2,02,53,03,54,04,55,05,56,06,57,07,58,08,5

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10

Taxa geométrica do reforço (%)

Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

1 camada 2 camadas 3 camadas 4 camadas 5 camadas

ruptura compósito - fib

bielaβ2 = 4,55

βr = 3,8

ruptura compósito - Chen

descolamento - fib

descolamento - Chen2,02,53,03,54,04,55,05,56,06,57,07,58,08,5

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade



bielaβ2 = 4,55

βr = 3,8


descolamento - fib

descolamento - Chen

Figura 5.6 – Gráfico taxa geométrica do reforço x índices de confiabilidade para o

Caso 2a do quinto exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130,


2,02,53,03,54,04,55,05,56,06,57,07,58,08,5

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade



bielaβ2 = 4,55

βr = 3,8


descolamento - fib

descolamento - Chen2,02,53,03,54,04,55,05,56,06,57,07,58,08,5

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade



bielaβ2 = 4,55

βr = 3,8


descolamento - fib

descolamento - Chen

Figura 5.7 – Gráfico taxa geométrica do reforço x índices de confiabilidade para o

Caso 2a do quinto exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530,


Nas figuras a seguir (Figuras 5.8 e 5.9) são apresentados gráficos que

relacionam valores de taxa geométrica de reforço com os valores dos índices de

confiabilidade ( 4β e rβ ) para o Caso 1b, sem considerar os fatores de

modelagem e, também, considerando.

DBD


133

Os gráficos ilustram a necessidade de acréscimo de taxa geométrica de

reforço quando os fatores de modelagem são considerados para 8,3r4 =≥ ββ .

2,32,62,93,23,53,84,14,44,75,05,35,65,9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade


fib – sem fator

βr = 3,8

Chen – sem fator

fib – com fatorChen – com fator

2,32,62,93,23,53,84,14,44,75,05,35,65,9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade


fib – sem fator

βr = 3,8

Chen – sem fator


Figura 5.8 – Gráfico taxa geométrica do reforço x índice de confiabilidade β4 para o

Caso 1b do quinto exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130.

2,32,62,93,23,53,84,14,44,75,05,35,65,9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade


fib – sem fator

βr = 3,8

Chen – sem fator


2,32,62,93,23,53,84,14,44,75,05,35,65,9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade


fib – sem fator

βr = 3,8

Chen – sem fator


Figura 5.9 – Gráfico taxa geométrica do reforço x índice de confiabilidade β4 para o

Caso 1b do quinto exemplo, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530.

As equações propostas por CHEN e TENG (2003 a, b) para calcular d.fV ,

apresentadas no item 4.2.4.2, são dadas em função da espessura do reforço ft .

Quando mais de uma camada de CFRP é utilizada o valor de ft é multiplicado

DBD


134

pelo número de camadas. Portanto, o índice de confiabilidade 4β avaliado pela

função de estado 4G varia de acordo com o número de camadas de CFRP.

2,32,62,93,23,53,84,14,44,75,05,35,65,9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

1 camada

2 camadas

3 camadas

4 camadas

5 camadas

βr = 3,8

2,32,62,93,23,53,84,14,44,75,05,35,65,9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

1 camada

2 camadas

3 camadas

4 camadas

5 camadas

βr = 3,8

1 camada

2 camadas

3 camadas

4 camadas

5 camadas

βr = 3,8


variando a quantidade de camadas de reforço, para o Caso 1b do quinto exemplo,

utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, sem considerar os fatores de

modelagem.

2,32,62,93,23,53,84,14,44,75,05,35,65,9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

1 camada

2 camadas

3 camadas

4 camadas

5 camadas

βr = 3,8

2,32,62,93,23,53,84,14,44,75,05,35,65,9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

1 camada

2 camadas

3 camadas

4 camadas

5 camadas

βr = 3,8

1 camada

2 camadas

3 camadas

4 camadas

5 camadas

βr = 3,8



utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, considerando os fatores de modelagem.

Os gráficos apresentados nas Figuras 5.10 a 5.13 mostram que o valor

de 4β diminui para a mesma taxa geométrica de reforço quando a quantidade

DBD


135

de camadas aumenta. Pode-se afirmar que é mais apropriado adotar sempre o

menor número de camadas possível.

Estes gráficos indicam os valores de fρ necessários para r4 ββ ≥ de

acordo com o número de camadas utilizadas.

2,32,62,93,23,53,84,14,44,75,05,35,65,9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

1 camada

2 camadas

3 camadas

4 camadas

5 camadas

βr = 3,8

2,32,62,93,23,53,84,14,44,75,05,35,65,9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

1 camada

2 camadas

3 camadas

4 camadas

5 camadas

βr = 3,8

1 camada

2 camadas

3 camadas

4 camadas

5 camadas

βr = 3,8



utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, sem considerar os fatores de

modelagem.

2,32,62,93,23,53,84,14,44,75,05,35,65,9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

1 camada

2 camadas

3 camadas

4 camadas

5 camadas

βr = 3,8

2,32,62,93,23,53,84,14,44,75,05,35,65,9

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

0,70

0,75

0,80

0,85

0,90

0,95

1,00

1,05

1,10


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

1 camada

2 camadas

3 camadas

4 camadas

5 camadas

βr = 3,8

1 camada

2 camadas

3 camadas

4 camadas

5 camadas

βr = 3,8



utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, considerando os fatores de modelagem.

No reforço à força cortante o compósito não deve se deformar muito,

então utilizando um material que apresenta alto módulo de elasticidade

DBD


136

consegue-se chegar a resistências maiores com menores quantidades de

reforço e com o mesmo valor de deformação específica efetiva obtido para um

material que apresenta alta resistência, e conseqüentemente maior valor de

deformação específica última. A Tabela 5.34 apresenta os valores da

deformação específica efetiva para os dois materiais de reforço e para cada

situação analisada.

Tabela 5.34 – Deformação específica efetiva do reforço.

Deformação Específica Efetiva (‰)

Wabo®MBrace CF-130 ‰6,16fu =ε

Wabo®MBrace CF-530 ‰4,9fu =ε

Sem fator Com fator Sem fator Com fator

Caso

Chen fib Chen fib Chen fib Chen fib

1a 4,9 5,8 3,1 3,0 4,0 5,7 3,3 3,0

2a 2,8 2,4 2,2 1,9 2,8 2,4 2,2 1,9

1b 3,0 2,7 2,1 1,8 3,1 2,7 2,1 1,8

2b 1,8 1,5 1,5 1,3 1,8 1,5 1,5 1,3 A Tabela 5.35 fornece a quantidade de camadas de compósito

necessária para atender os valores de taxas geométricas de reforço

apresentados nas Tabelas 5.22 e 5.23, sendo mm165,0tf = .

Utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530 realiza-se o reforço

necessário com uma quantidade menor de camadas, o que torna o reforço mais

eficiente.

As prescrições do Bulletin 14 fib (2001) recomendam que não se utilizem

mais de cinco camadas de reforço, assim, considerando os fatores de

modelagem, para o Caso 2b, deve-se optar por utilizar o tecido CF-530.

Tabela 5.35 – Número de camadas de compósito necessárias para o reforço.

N° de camadas de compósito necessária para o reforço

Wabo®MBrace CF-130 Wabo®MBrace CF-530

Sem fator Com fator Sem fator Com fator Caso

Chen fib Chen fib Chen fib Chen fib

1a 1 1 2 2 1 1 1 1

2a 2 2 3 3 1 1 2 2

1b 2 2 3 3 1 1 2 2

2b 4 4 5 6 2 3 3 4

DBD


137

Quanto aos fatores de importância das variáveis aleatórias observa-se,

para as situações onde os fatores de modelagem não são considerados

(Tabelas 5.36 e 5.38), que na função de estado que avalia o esmagamento das

bielas 2G , a variável aleatória cf influencia bem menos para a seção reforçada,

enquanto qV influencia mais, pois a carga acidental foi acrescida e o valor da

resistência do concreto continuou o mesmo.

Nas funções de estado que avaliam a tração diagonal, devido à ruptura

do reforço 3G ou devido ao descolamento do reforço 4G , somente o fator de

importância de qV é significativo.

Estas funções de estado ( 3G e 4G ) dependem do modelo, ou prescrição,

adotados para efetuar o cálculo da parcela de força cortante fV resistida pelo

reforço, conforme já mencionado no item 4.2.4.2. Os valores obtidos para os

fatores de importância das variáveis aleatórias permitem avaliar se o modelo

proposto por CHEN e TENG (2003 a, b) e as prescrições do Bulletin 14 fib

(2001) tratam as variáveis aleatórias da mesma forma.

Na função de estado que avalia a tração diagonal devido à ruptura do

reforço 3G , observa-se que as variáveis aleatórias cf e ff têm influências

diferentes, no modelo proposto por CHEN e TENG (2003 a, b) e nas prescrições

do Bulletin 14 fib (2001). Enquanto o modelo proposto por CHEN e TENG (2003

a, b) dá importância maior à variável ff do que à variável cf , nas prescrições do

Bulletin 14 fib (2001) ocorre o contrário. A importância da variável aleatória ff

aumenta de acordo com o aumento da taxa geométrica de reforço utilizada.

A função 3G avalia a tração diagonal devido à ruptura do reforço,

portanto é mais coerente que a variável aleatória da resistência à tração do

compósito ff tenha importância maior do que cf , como propõe o modelo


DBD


138


para os modos de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, sem considerar

os fatores de modelagem.

Fatores de Importância (%) Caso Índice Modelo

cf ywf ff gV qV

2β - 31,09 - - 0,64 68,27

Chen 1,76 0,50 0,58 1,02 96,143β

fib 3,67 0,53 0,52 1,07 94,21

Chen 4,75 0,79 - 1,60 92,86

1a

4β fib 5,68 0,79 - 1,60 91,93

2β - 21,96 - - 0,04 78,00

Chen 0,37 0,10 2,28 0,02 97,233β

fib 2,23 0,13 1,43 0,03 96,18

Chen 2,83 0,29 - 0,06 96,82

2a

4β fib 3,69 0,29 - 0,06 95,96

2β - 27,76 - - 0,48 71,76

Chen 0,56 0,16 2,60 0,31 96,373β

fib 2,84 0,19 1,66 0,39 94,92

Chen 4,00 0,45 - 0,90 94,65

1b

4β fib 5,12 0,45 - 0,90 93,53

2β - 20,68 - - 0,03 79,29

Chen 0,13 0,04 4,90 0,01 94,923β

fib 2,22 0,07 3,08 0,01 94,62

Chen 2,77 0,20 - 0,05 96,98

2b

4β fib 3,68 0,20 - 0,04 96,08

Na função de estado que avalia a tração diagonal devido ao

descolamento do reforço 4G , observa-se que apesar das formulações

apresentadas no modelo proposto por CHEN e TENG (2003 a, b) e nas

prescrições do Bulletin 14 fib (2001) serem muito diferentes, elas dão

importâncias semelhantes às variáveis que foram consideradas como aleatórias.

Quando os fatores de modelagem são considerados, os fatores de

importância das demais variáveis aleatórias diminuem (Tabelas 5.37 e 5.39). A

variável aleatória qV é a que mais reduz sua importância.

DBD


139


para os modos de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, considerando



cf ywf ff gV qV Rφ Sφ

2β - 14,23 - - 0,82 29,73 47,43 7,79

Chen 0,24 0,07 0,56 0,73 36,46 53,21 8,73 3β

fib 1,23 0,09 0,47 0,83 35,18 53,43 8,77

Chen 2,02 0,23 - 1,30 29,73 57,31 9,41

1a

4β fib 2,58 0,23 - 1,30 29,51 57,02 9,36

2β - 11,18 - - 0,04 45,03 37,58 6,17

Chen 0,07 0,02 0,73 0,02 48,45 43,56 7,15 3β

fib 0,85 0,03 0,56 0,03 49,23 42,35 6,95

Chen 1,46 0,12 - 0,06 49,50 41,97 6,89

2a

4β fib 1,93 0,12 - 0,06 49,25 41,78 6,86

2β - 13,52 - - 0,57 33,17 45,30 7,44

Chen 0,07 0,02 0,92 0,30 40,85 49,69 8,15 3β

fib 0,98 0,03 0,71 0,38 40,49 49,32 8,09

Chen 1,82 0,15 - 0,77 35,78 52,81 8,67

1b

4β fib 2,43 0,15 - 0,76 35,51 52,53 8,62

2β - 11,04 - - 0,03 45,58 37,24 6,11

Chen 0,02 0,01 1,11 0,01 46,58 44,90 7,37 3β

fib 0,78 0,01 0,75 0,02 48,83 42,62 6,99

Chen 1,44 0,08 - 0,04 50,34 41,32 6,78

2b

4β fib 1,93 0,09 - 0,04 50,08 41,11 6,75

96,8% 95%

1%

0,3%0,6%

1,3%

3%

0,3%

0,7%

1%

fc ff Vgfyw Vq

Legenda:96,8% 95%

1%

0,3%0,6%

1,3%

3%

0,3%

0,7%

1%

fc ff Vgfyw Vq

Legenda:

Chen fib

96,8% 95%

1%

0,3%0,6%

1,3%

3%

0,3%

0,7%

1%

fc ff Vgfyw Vq

Legenda:96,8% 95%

1%

0,3%0,6%

1,3%

3%

0,3%

0,7%

1%

fc ff Vgfyw Vq

Legenda:

Chen fib

Figura 5.14 – Gráfico representando a importância de cada variável aleatória para

o modo de falha avaliado em G3, para o Caso 1b apresentado na Tabela 5.38.

DBD


140


para os modos de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, sem considerar



cf ywf ff gV qV

2β - 31,09 - - 0,64 68,27

Chen 2,29 0,65 0,45 1,32 95,293β

fib 4,17 0,77 0,30 1,57 93,19

Chen 4,79 0,79 - 1,60 92,82

1a

4β fib 5,67 0,79 - 1,59 91,95

2β - 21,96 - - 0,04 78,00

Chen 0,61 0,17 1,16 0,04 98,023β

fib 2,17 0,20 0,82 0,05 96,76

Chen 2,82 0,29 - 0,06 96,83

2a

4β fib 3,69 0,29 - 0,06 95,96

2β - 27,76 - - 0,48 71,76

Chen 0,98 0,27 1,25 0,55 96,953β

fib 2,97 0,32 0,95 0,65 95,11

Chen 3,98 0,45 - 0,90 94,67

1b

4β fib 5,12 0,45 - 0,90 93,53

2β - 20,68 - - 0,03 79,29

Chen 0,26 0,07 3,79 0,02 95,863β

fib 2,00 0,11 1,55 0,02 96,32

Chen 2,75 0,20 - 0,04 97,01

2b

4β fib 3,68 0,20 - 0,04 96,08

O fator de modelagem Rφ é a variável aleatória que apresenta maior

fator de importância nos Casos 1a e 1b, onde %75 da carga total é de natureza

permanente. Nos Casos 2a e 2b, onde %75 da carga total é de natureza

acidental, qV continua apresentando fator de importância maior, porém a

importância de Rφ , nestes casos, é bem próxima da importância apresentada

por qV .

DBD


141

52,8%

1,8% 0,1%

0,8%

35,8%

8,7%

52,6%

2,4% 0,1%

0,8%

35,5%

8,6%

φSfc Vg Vq φRfyw

Legenda:52,8%

1,8% 0,1%

0,8%

35,8%

8,7%

52,6%

2,4% 0,1%

0,8%

35,5%

8,6%

φSfc Vg Vq φRfyw

Legenda:

Chen fib

52,8%

1,8% 0,1%

0,8%

35,8%

8,7%

52,6%

2,4% 0,1%

0,8%

35,5%

8,6%

φSfc Vg Vq φRfyw

Legenda:52,8%

1,8% 0,1%

0,8%

35,8%

8,7%

52,6%

2,4% 0,1%

0,8%

35,5%

8,6%

φSfc Vg Vq φRfyw

Legenda:

Chen fib

Figura 5.15 – Gráfico representando a importância de cada variável aleatória para

o modo de falha avaliado em G4, para o Caso 1b apresentado na Tabela 5.39.


para os modos de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, considerando



cf ywf ff gV qV Rφ Sφ

2β - 14,23 - - 0,82 29,73 47,43 7,79

Chen 0,52 0,14 0,42 1,03 33,37 55,42 9,10 3β

fib 1,49 0,17 0,35 1,12 31,98 55,74 9,15

Chen 2,01 0,23 - 1,30 29,74 57,31 9,41

1a

4β fib 2,58 0,23 - 1,30 29,51 57,02 9,36

2β - 11,18 - - 0,04 45,03 37,58 6,17

Chen 0,15 0,04 0,64 0,03 49,90 42,30 6,94 3β

fib 0,96 0,06 0,47 0,04 49,96 41,67 6,84

Chen 1,46 0,12 - 0,06 49,49 41,98 6,89

2a

4β fib 1,93 0,12 - 0,06 49,25 41,78 6,86

2β - 13,52 - - 0,57 33,17 45,30 7,44

Chen 0,16 0,04 0,83 0,42 40,51 49,86 8,18 3β

fib 1,14 0,07 0,61 0,54 38,98 50,39 8,27

Chen 1,83 0,15 - 0,77 35,78 52,80 8,67

1b

4β fib 2,43 0,15 - 0,76 35,51 52,53 8,62

2β - 11,04 - - 0,03 45,58 37,24 6,11

Chen 0,05 0,01 1,04 0,02 48,94 42,90 7,04 3β

fib 0,84 0,03 0,67 0,02 50,32 41,34 6,78

Chen 1,44 0,08 - 0,04 50,34 41,32 6,78

2b

4β fib 1,93 0,09 - 0,04 50,08 41,11 6,75

DBD


142

A variável aleatória Rφ tem importância significativa devido aos valores

elevados de seu coeficiente de variação ( %25CoV = ) e de sua média

( 4,1R

=φμ ). A variável aleatória Sφ apresenta importância significativa, porém

bem menor do que a apresentada por Rφ , devido aos valores de seu coeficiente

de variação ( %10CoV = ) e de sua média ( 0,1R

=φμ ) serem menores.

As tabelas, a seguir, apresentam as coordenadas do ponto de projeto

obtido para cada situação analisada. Verifica-se que, quando os fatores de

modelagem não são considerados (Tabelas 5.41 e 5.43), a variável aleatória cf

assume valores menores do que seu valor característico (Tabela 5.40) nos

pontos de projeto obtidos para a função de estado que avalia o esmagamento

das bielas 2G . Nos pontos de projeto obtidos para as demais funções de estado

( 3G e 4G ) ocorre o contrário, MPa20fc > .

Quando os fatores de modelagem são considerados (Tabelas 5.42 e

5.44), cf só assume valor menor do que seu valor característico no ponto de

projeto obtido para o Caso 1a para a função de estado que avalia o

esmagamento das bielas 2G .

As variáveis aleatórias ywf , ff , gV e qV assumem valores maiores do

que seus valores característicos nos pontos de projeto obtidos para todas as

situações analisadas. Estas variáveis aleatórias têm seus valores mais próximos

dos valores característicos quando o ponto de projeto é obtido para a função de

estado 4G que é o modo de falha que comanda o dimensionamento de fρ .

A variável aleatória Rφ (Tabelas 5.42 e 5.44) assume sempre valores

bem menores do que seu valor característico, sendo que para a função de

estado 4G o valor obtido no ponto de projeto para Rφ é um pouco maior do que

os valores obtidos para as demais funções de estado.

A variável aleatória Sφ assume em todas as situações valores

maiores do que seu valor característico, sendo que para a função de estado 4G

o valor obtido no ponto de projeto para Sφ é um pouco menor do que os valores

obtidos para as demais funções de estado.

DBD


143

Tabela 5.40 – Valores característicos das variáveis aleatórias no quinto exemplo.

Valores característicos das variáveis aleatórias

Caso cf )MPa(

ywf

)MPa( ff

)MPa(gV

)kN(

qV

)kN( Rφ Sφ

1a 71,18 71,18

2a 23,73 118,63

1b 71,18 94,91

2b

20 500

3790 (CF130)

3517 (CF530) 23,73 142,36

1,4 1,0

Tabela 5.41 – Coordenadas do ponto de projeto do quinto exemplo para os modos

de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, sem considerar os fatores de

modelagem.

Coordenadas do Ponto de Projeto

Caso Índice Modelo cf )MPa(

ywf

)MPa(ff

)MPa(gV

)kN(

qV

)kN(

2β - 15,7 - - 74,71 282,09

Chen 23,9 549 4242 74,69 257,92 3β

fib 23,0 549 4247 74,68 245,20

Chen 23,2 549 - 74,60 187,83

1a

4β fib 23,0 549 - 74,60 186,85

2β - 18,5 - - 23,96 391,74

Chen 24,8 553 4132 23,96 675,28 3β

fib 23,0 553 4186 23,96 566,25

Chen 23,9 553 - 23,96 320,10

2a

4β fib 23,6 553 - 23,96 318,58

2β - 17,3 - - 73,80 317,54

Chen 24,4 551 4117 73,86 539,23 3β

fib 22,6 551 4175 73,84 453,84

Chen 23,5 552 - 73,75 252,99

1b

4β fib 23,1 552 - 73,75 251,41

2β - 19,4 - - 23,92 411,20

Chen 25,2 555 4046 23,97 1108,05 3β

fib 22,5 554 4090 23,92 840,97

Chen 24,0 554 - 23,94 378,88

2b

4β fib 23,6 554 - 23,92 382,57

DBD


144


de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, considerando os fatores de

modelagem.



ywf

)MPa(ff

)MPa(gV

)kN(qV

)kN( Rφ Sφ

2β - 19,7 - - 74,47 145,32 0,57 1,15

Chen 25,2 555 4235 74,58 172,81 0,50 1,17 3β

fib 24,1 555 4245 74,54 157,89 0,53 1,16

Chen 24,2 554 - 74,29 117,62 0,67 1,12

1a

4β fib 24,0 554 - 74,28 117,35 0,67 1,12

2β - 21,0 - - 23,95 262,21 0,68 1,11

Chen 25,6 557 4215 23,96 389,12 0,48 1,18 3β

fib 24,3 556 4235 23,96 339,95 0,55 1,15

Chen 24,6 555 - 23,94 234,38 0,74 1,10

2a

4β fib 24,3 555 - 23,94 233,91 0,74 1,10

2β - 20,5 - - 73,62 184,94 0,64 1,13

Chen 25,6 556 4198 73,79 299,20 0,42 1,20 3β

fib 24,1 556 4223 73,76 256,06 0,49 1,18

Chen 24,4 555 - 73,55 166,65 0,69 1,11

1b

4β fib 24,1 555 - 73,55 166,23 0,69 1,11

2β - 21,4 - - 23,91 291,26 0,73 1,10

Chen 25,9 558 4172 23,92 565,21 0,39 1,22 3β

fib 24,2 557 4216 23,92 454,80 0,50 1,17

Chen 24,6 556 - 23,91 283,32 0,74 1,10

2b

4β fib 24,3 556 - 23,91 282,67 0,74 1,10

DBD


145


de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, sem considerar os fatores de

modelagem.



ywf

)MPa(ff

)MPa(gV

)kN(

qV

)kN(

2β - 15,7 - - 74,71 282,09

Chen 23,9 549 4006 74,65 215,16 3β

fib 23,4 549 4018 74,61 190,89

Chen 23,2 549 - 74,60 187,79

1a

4β fib 23,0 549 - 74,60 187,34

2β - 18,5 - - 23,96 391,74

Chen 24,8 553 3961 23,96 463,32 3β

fib 23,8 553 3985 23,96 401,28

Chen 23,9 553 - 23,96 320,13

2a

4β fib 23,6 553 - 23,96 318,58

2β - 17,3 - - 73,80 317,54

Chen 24,4 551 3960 73,82 354,86 3β

fib 23,4 551 3980 73,80 314,01

Chen 23,5 552 - 73,75 253,03

1b

4β fib 23,1 552 - 73,75 251,41

2β - 19,41 - - 23,92 411,20

Chen 25,00 554 3815 23,92 790,24 3β

fib 23,53 554 3943 23,92 568,91

Chen 23,94 554 - 23,92 384,56

2b

4β fib 23,59 554 - 23,92 382,57

DBD


146


de falha, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, considerando os fatores de

modelagem.



ywf

)MPa(ff

)MPa(gV

)kN(qV

)kN( Rφ Sφ

2β - 19,7 - - 74,47 145,32 0,57 1,15

Chen 25,1 554 4005 74,44 137,58 0,59 1,14 3β

fib 24,3 554 4012 74,39 129,86 0,62 1,13

Chen 24,3 554 - 74,29 117,62 0,67 1,12

1a

4β fib 24,0 554 - 74,28 117,35 0,67 1,12

2β - 21,0 - - 23,95 262,21 0,68 1,11

Chen 25,5 556 3984 23,96 319,02 0,58 1,14 3β

fib 24,6 556 4002 23,95 279,16 0,65 1,12

Chen 24,6 555 - 23,94 234,37 0,74 1,10

2a

4β fib 24,3 555 - 23,94 233,91 0,74 1,10

2β - 20,5 - - 73,62 184,94 0,64 1,13

Chen 25,4 556 3970 73,74 239,37 0,52 1,16 3β

fib 24,4 555 3992 73,68 204,82 0,59 1,14

Chen 24,4 555 - 73,55 166,65 0,69 1,11

1b

4β fib 24,1 555 - 73,55 166,23 0,69 1,11

2β - 21,4 - - 23,91 291,26 0,73 1,10

Chen 25,7 557 3946 23,92 460,29 0,50 1,17 3β

fib 24,5 556 3985 23,92 368,27 0,61 1,13

Chen 24,6 556 - 23,91 283,32 0,74 1,10

2b

4β fib 24,3 556 - 23,91 282,67 0,74 1,10

A seguir são apresentadas tabelas com valores dos fatores parciais de

segurança para as variáveis consideradas como aleatórias.

Os fatores parciais de segurança são calculados para o modo de falha

que comanda o dimensionamento da taxa geométrica de reforço. Em todas as

situações analisadas 4G é a função de estado que avalia o modo de falha que

apresenta maior probabilidade de falha e menor índice de confiabilidade. A

variável aleatória ff não é considerada nesta função de falha.

DBD


147


falha preponderante, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, sem considerar os

fatores de modelagem.

Fatores Parciais de Segurança

Caso Índice Modelo *c

ckf

f*yw

ywkf

f*f

ff

fgk

*g

VV

qk

*q

VV

Chen 0,86 0,91 - 1,05 2,64 1a

fib 0,87 0,91 - 1,05 2,62

Chen 0,84 0,90 - 1,01 2,70 2a

fib 0,85 0,90 - 1,01 2,68

Chen 0,85 0,91 - 1,04 2,66 1b

fib 0,86 0,91 - 1,04 2,65

Chen 0,83 0,90 - 1,01 2,66 2b

4β

fib 0,85 0,90 - 1,01 2,69


falha preponderante, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-130, considerando os




ckf

f

*yw

ywkf

f*f

ff

fgk

*g

VV

qk

*q

VV

*R

Rkφ

φ Sk

*S

φφ

Chen 0,82 0,90 - 1,04 1,65 2,10 1,12 1a

fib 0,83 0,90 - 1,04 1,65 2,09 1,12

Chen 0,81 0,90 - 1,01 1,98 1,89 1,10 2a

fib 0,82 0,90 - 1,01 1,97 1,89 1,10

Chen 0,82 0,90 - 1,03 1,76 2,03 1,11 1b

fib 0,83 0,90 - 1,03 1,75 2,03 1,11

Chen 0,81 0,90 - 1,01 1,99 1,88 1,10 2b

4β

fib 0,82 0,90 - 1,01 1,98 1,88 1,10 Os valores apresentados nas Tabelas 5.45 a 5.48 indicam que, para

dimensionar o reforço pelo enfoque semi-probabilístico tendo como requisito o

valor do índice de confiabilidade de referência 8,3r =β , devem ser

considerados no projeto estrutural os seguintes valores de projeto para as

resistências, as solicitações e os fatores de modelagem:

DBD


148

valor de projeto para a resistência à compressão do concreto maior

do que seu valor característico, em torno de %18 quando não são

considerados os fatores de modelagem e %22 quando são

considerados;


falha preponderante, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, sem considerar os




ckf

f*yw

ywkf

f*f

ff

fgk

*g

VV

qk

*q

VV

Chen 0,86 0,91 - 1,05 2,64 1a

fib 0,87 0,91 - 1,05 2,63

Chen 0,84 0,90 - 1,01 2,70 2a

fib 0,85 0,90 - 1,01 2,68

Chen 0,85 0,91 - 1,04 2,67 1b

fib 0,86 0,91 - 1,04 2,65

Chen 0,84 0,90 - 1,01 2,70 2b

4β

fib 0,85 0,90 - 1,01 2,69


falha preponderante, utilizando o tecido Wabo®MBrace CF-530, considerando os




ckf

f

*yw

ywkf

f*f

ff

fgk

*g

VV

qk

*q

VV

*R

Rkφ

φ Sk

*S

φφ

Chen 0,82 0,90 - 1,04 1,65 2,10 1,12 1a

fib 0,83 0,90 - 1,04 1,65 2,09 1,12

Chen 0,81 0,90 - 1,01 1,98 1,89 1,10 2a

fib 0,82 0,90 - 1,01 1,97 1,89 1,10

Chen 0,82 0,90 - 1,03 1,76 2,03 1,11 1b

fib 0,83 0,90 - 1,03 1,75 2,03 1,11

Chen 0,81 0,90 - 1,01 1,99 1,88 1,10 2b

4β

fib 0,82 0,90 - 1,01 1,98 1,88 1,10

DBD


149

valor de projeto para a resistência à tração do aço um pouco maior

do que seu valor característico, em torno de %10 , para todas as

situações analisadas;

valor de projeto para as ações permanentes aproximadamente igual

ao valor característico, para todas as situações analisadas;

valor de projeto para as ações acidentais bem maior do que seu

valor característico, em torno de 6,2 vezes, quando não são

considerados os fatores de modelagem, e em torno de 8,1 vezes,

quando são considerados;

valor de projeto para o fator de modelagem da resistência

aproximadamente %50 menor do que seu valor característico;

valor de projeto para o fator de modelagem da solicitação

aproximadamente %10 maior do que seu valor característico.

5.7. Sexto Exemplo

Este exemplo tem como objetivo analisar a influência do acréscimo do

valor de ckf no comportamento de ruptura da seção transversal.

O Caso 1a do exemplo anterior é repetido para os dois tecidos de fibras

de carbono Wabo®Mbrace, sem considerar os fatores de modelagem e,

também, considerando-os.

5.7.1. Considerações

A filosofia adotada, de Sd3Rd VV = , continua sendo considerada e de

acordo com o valor de ckf tem-se:

Tabela 5.49 – Valores de Vc, VRd3 e VSd, de acordo com variações de fck.

ckf )MPa( cV )kN( swV )kN( Sd3Rd VV = )kN(

20 59,68 132,87

25 69,25 142,44

30 78,2 151,39

35 86,67 159,86

40 94,74

73,19

167,93

DBD


150

Tabela 5.50 – Acréscimos de cargas acidentais, de acordo com variações de fck.

ckf )MPa( gkV )kN( inicial,qkV )kN( qkVΔ )kN( final,qkV )kN(

20 71,18 23,73 47,45 71,18

25 76,31 25,44 50,87 76,31

30 81,10 27,03 54,07 81,10

35 85,64 28,54 57,09 85,64

40 89,96 29,99 59,97 89,96

5.7.2. Modelos Probabilísticos da Resistência do Concreto à Compressão e das Solicitações

Os modelos probabilísticos das variáveis aleatórias são os mesmos

utilizados no exemplo anterior, exceto os modelos de cf , gV e qV que são

modificados, conforme tabela a seguir.

Tabela 5.51 – Modelos probabilísticos da resistência do concreto à compressão e das solicitações, de acordo com fck.

ckf Variável Aleatória


Padrão


(%) Distribuição

cf )MPa( 20 26,6 4 15,04 Lognormal

gV )kN( 71,18 71,18 7,12 10 Normal 20

qV )kN( 23,73 23,73 5,93 25 Gumbel


gV )kN( 76,31 76,31 7,63 10 Normal 25

qV )kN( 25,44 25,44 6,36 25 Gumbel


gV )kN( 81,10 81,10 8,11 10 Normal 30

qV )kN( 27,03 27,03 6,76 25 Gumbel


gV )kN( 85,64 85,64 8,56 10 Normal 35

qV )kN( 28,54 28,54 7,14 25 Gumbel


gV )kN( 89,96 89,96 9,00 10 Normal 40

qV )kN( 29,99 29,99 7,50 25 Gumbel

DBD


151

5.7.3. Resultados

Os resultados deste exemplo são apresentados nos gráficos a seguir. A

Figura 5.16 indica que para se obter valores de 3β e 4β maiores que 8,3r =β é

preciso aumentar o valor da taxa geométrica de reforço conforme aumento da

resistência característica do concreto à compressão.

Quando é utilizado o tecido Wabo®Mbrace CF-530 precisa-se de um

valor de fρ menor, principalmente quando os fatores de modelagem são

considerados.

0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0,18

0,21

0,24

0,27

20 25 30 35 40Resistência à compressão (MPa)

Taxa

geo

mét

rica

do re

forç

o (%

) fib

CF-530sem fator

CF-130sem fator

CF-530 com fator

CF-130com fator

Chen

fib

Chen Chen

Chen

fib

fib0,03

0,06

0,09

0,12

0,15

0,18

0,21

0,24

0,27


Taxa

geo

mét

rica

do re

forç

o (%

) fib

CF-530sem fator

CF-130sem fator

CF-530 com fator

CF-130com fator

Chen

fib

Chen Chen

Chen

fib

fib

Figura 5.16 – Gráfico resistência característica do concreto à compressão x taxa

geométrica do reforço, do sexto exemplo.

A partir da Figura 5.17 verifica-se que os valores dos índices de

confiabilidade 2β diminuem quando os fatores de modelagem são considerados

e os valores dos índices de confiabilidade 3β aumentam. Quando é utilizado o

tecido Wabo®Mbrace CF-130 obtêm-se valores maiores de 3β comparando

com os valores obtidos quando se utiliza o tecido Wabo®Mbrace CF-530.

Para o tecido Wabo®Mbrace CF-130 a Figura 5.17 informa que, tanto

sem considerar os fatores de modelagem quanto considerando, os valores dos

índices de confiabilidade 3β diminuem com o aumento de ckf e que 4β tem

valor constante igual a 8,3r =β . O índice de confiabilidade série,eβ assume, em

todos as situações, valor igual a 4β . O modo de falha dominante é ruptura da

alma por tração diagonal devido ao descolamento do reforço.

DBD


152

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

CF-130 CF-530

Legenda: β2 – sem fator

β2 – com fator

β3 – Chen – sem fator

β3 – Chen – com fator

β3 – fib – sem fator

β3 – fib – com fator

CF-130 β4 – para todas situaçõesCF-530 β4 – para: Chen – com fator; Chen – sem fator; fib – com fator

CF-530 β4 – para: fib – sem fator

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

CF-130 CF-530


β2 – com fator






CF-530 β4 – para: fib – sem fator


β2 – com fator






CF-530 β4 – para: fib – sem fator Figura 5.17 – Gráfico resistência característica do concreto à compressão x

índices de confiabilidade (β2, β3 e β4), do sexto exemplo.

Para o tecido Wabo®Mbrace CF-530 a Figura 5.17 mostra que, tanto

sem considerar os fatores de modelagem quanto considerando, os valores dos

índices de confiabilidade 3β diminuem com o aumento de ckf . Quando os

fatores de modelagem não são considerados e são utilizadas na função de

estado as equações do Bulletin 14 fib (2001) o valor de 4β é maior do que

8,3r =β e aumenta com o aumento de ckf . A partir de MPa25fck = o valor do

índice de confiabilidade 3β passa a ser menor do que o valor de 4β e a ruptura

da alma por tração diagonal devido à ruptura do reforço passa a comandar o

dimensionamento. O índice de confiabilidade série,eβ assume valor igual a

8,3r =β . Quando os fatores de modelagem são considerados, 4β tem valor

constante igual a 8,3r =β e obtém-se 4série,e ββ = . O modo de falha dominante

é ruptura da alma por tração diagonal devido ao descolamento do reforço.

A partir da Figura 5.18 pode-se verificar melhor os valores de 3β e 4β

quando as equações do Bulletin 14 fib (2001) são utilizadas nas funções de

estado.

DBD


153

3,7

3,8

3,9

4,0

4,1

4,2

4,3


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade

Legenda: β4 – fib – sem fator




CF-530

3,7

3,8

3,9

4,0

4,1

4,2

4,3


Índi

ces

de c

onfia

bilid

ade









CF-530


índices de confiabilidade (β3 – fib e β4 – fib), do sexto exemplo para o tecido

Wabo®MBrace CF-530.

DBD


6 Conclusões e Propostas para Trabalhos Futuros

6.1. Conclusões

Este trabalho teve como principal objetivo aplicar a análise de

confiabilidade de estruturas ao projeto de reforço à força cortante com

compósitos de fibras de carbono de vigas em concreto armado.

Inicialmente, modelos semi-empíricos e prescrições normativas

disponíveis na literatura para verificar a capacidade resistente do reforço à força

cortante foram analisados e implementados em MathCad versão 2001

Professional. Programas experimentais realizados por diversos pesquisadores

foram analisados e os resultados dos ensaios reunidos para comparação teórico-

experimental. Esta comparação permitiu concluir que, de uma maneira geral, o

modelo proposto por CHEN e TENG (2003 a,b) seguido do proposto por

TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000) se mostraram mais apropriados

do que os demais estudados. As prescrições do Bulletin 14 da fib (2001) seguem

integralmente o modelo proposto por TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS

(2000).

Posteriormente, foi desenvolvido um programa para análise de

confiabilidade de estruturas em linguagem C onde o método FORM foi utilizado.

Este programa permitiu:

avaliar a confiabilidade à força cortante de seções de concreto

armado (utilizando as prescrições da NBR 6118 (2003));

avaliar a confiabilidade à força cortante de seções de concreto

armado reforçadas com CFRP (utilizando as prescrições da NBR

6118 (2003) de forma conjunta com o modelo proposto por CHEN e

TENG (2003 a,b) ou com as prescrições do Bulletin 14 da fib (2001));

dimensionar o reforço à força cortante para um nível de confiabilidade

pré-estabalecido (utilizando as mesmas prescrições e modelos

citados acima).

Os exemplos apresentados no Capítulo 5 foram desenvolvidos utilizando

este programa de confiabilidade de estruturas.

DBD


155

Com base nestes exemplos conclui-se para a seção de concreto armado

original, sem reforço, que:

como esperado, a seção tem maior probabilidade de falhar devido à

ruína de sua alma por tração diagonal do que por compressão

diagonal ( 3β < 2β );

o aumento da proporção de cargas acidentais, sendo mantido o valor

da carga total, resulta em valores menores de índices de

confiabilidade ( 2β e 3β );

quando são introduzidos os fatores de modelagem ( Sφ e Rφ ), os

valores dos índices de confiabilidade diminuem porque as

imperfeições dos modelos de cálculo passam a ser consideradas;

variável aleatória com coeficiente de variação elevado e

comportamento representado por distribuição de valores extremos

Gumbel apresenta importância significativa na avaliação de falha da

seção, caso constatado para a variável aleatória qV ;

fatores de modelagem ( Sφ e Rφ ), também, apresentam fator de

importância significativo por serem variáveis aleatórias que

multiplicam toda a parcela solicitante ou resistente da função de

estado. Quanto maior o valor do coeficiente de variação da variável e

da média maior é o valor de seu fator de importância, caso verificado

para a variável Rφ ;

quando existe um modo de falha nitidamente preponderante ( 3β <<

2β ) o valor do índice de confiabilidade equivalente série,eβ , obtido

considerando a formulação de sistemas em série, assume o mesmo

valor do índice de confiabilidade obtido para o modo de falha

preponderante ( 3β ); e, quando os valores dos índices de

confiabilidade são próximos, série,eβ apresenta valor menor do que os

obtidos para 2β e 3β .

Para justificar a necessidade de reforçar a seção de concreto armado

original foram supostos dois acréscimos distintos de carga acidental.

As taxas geométricas de reforço foram dimensionadas por dois enfoques:

o semi-probabilístico, baseado na prática corrente de projeto, e o probabilístico,

DBD


156

baseado em análise de confiabilidade. No enfoque probabilístico, as taxas

geométricas de reforço foram obtidas considerando o índice de confiabilidade

equivalente avaliado considerando a formulação de sistemas em série com um

valor maior ou igual ao valor do índice de confiabilidade escolhido como sendo o

de referência )8,3( série,e ≥β .

Com base nos exemplos do Capítulo 5 conclui-se para a seção de

concreto armado reforçada com compósito de fibras de carbono, que:

o tecido de fibras de carbono mais apropriado para o reforço à força

cortante, situação na qual o compósito não deve se deformar muito, é

o de alto módulo de elasticidade porque se consegue chegar a

resistências maiores com menores quantidades de reforço; e, quanto

menor a quantidade de camadas necessárias de compósito mais

eficiente é o reforço. As prescrições do Bulletin 14 fib (2001)

recomendam que não se utilizem mais de cinco camadas de reforço

quando este é executado com tecidos;

o projeto do reforço pelo enfoque semi-probabilístico pode fornecer

resultados contra a segurança )8,3( <β principalmente quando há

predominância de carga acidental e quando os fatores de modelagem

são introduzidos;

a seção tem maior probabilidade de falhar por tração diagonal devido

ao descolamento do compósito do que pelos demais modos ( 4β < 3β

e 4β < 2β ), portanto, o reforço é dimensionado pelo enfoque

probabilístico tendo como restrição 8,34série,e == ββ ;

quando o reforço é executado com envolvimento completo a função

de falha que avalia o descolamento não é considerada. Para esta

situação, a compressão diagonal pode passar a ser determinante no

dimensionamento do reforço, 8,32série,e == ββ , o que indica a

necessidade de sempre se verificar a capacidade resistente das

diagonais comprimidas de concreto;

quando há aumento da proporção de cargas acidentais, sendo

mantido o valor da carga total, o dimensionamento pelo enfoque

probabilístico fornece maiores taxas geométricas de reforço;

DBD


157

quando os fatores de modelagem ( Sφ e Rφ ) são introduzidos os

valores de taxas geométricas de reforço são maiores quando o

dimensionamento é realizado pelo enfoque probabilístico;

quando a quantidade de camadas aumenta o valor do índice de

confiabilidade referente ao descolamento do reforço )( 4β diminui

para a mesma taxa geométrica de reforço, permitindo concluir que é

sempre mais apropriado adotar o menor número de camadas

possível. Essa situação é constatada quando se utiliza as equações

propostas por CHEN e TENG (2003 a, b), que são dadas em função

da espessura do reforço ft (quando mais de uma camada de

compósito é utilizada o valor de ft é multiplicado pelo número de

camadas);

em relação aos fatores de importância os comentários são os

mesmos feitos para a seção de concreto armado;

no dimensionamento baseado em confiabilidade, tanto as variáveis

aleatórias das resistências ( cf , ywf e ff ) como as das solicitações

( gV e qV ) assumem nos pontos de projeto, obtidos para cada função

de estado, valores maiores do que seus valores característicos.

No dimensionamento probabilístico o nível de confiabilidade desejado é

estabelecido. Como vantagens pode-se ressaltar, também, que a importância de

cada variável aleatória é obtida, permitindo saber quais variáveis merecem maior

atenção e que o dimensionamento pode ser realizado considerando a

formulação de sistemas em série, o que conduz a uma solução sempre a favor

da segurança.

Neste trabalho, o reforço é utilizado para complementar a capacidade

resistente da seção de concreto armado original quando ocorre acréscimo de

carga acidental.

No projeto baseado em confiabilidade o reforço é dimensionado levando

em consideração a capacidade resistente da seção de concreto armado antes do

acréscimo de carga, ou seja, o reforço é utilizado como calibrador para que se

atinja o nível de confiabilidade desejado.

Podem ocorrer situações onde a seção de concreto armado original

suportará uma parcela da carga acrescida. Neste caso, a seção reforçada

passará a apresentar uma confiabilidade menor do que a seção sem reforço

DBD


158

apresentava para o seu carregamento original, porém ainda assim dentro de um

nível aceitável. Em outras situações, o reforço será responsável por aumentar o

nível de confiabilidade da seção de concreto armado original, sem reforço, e

ainda suportar a carga acidental acrescida mantendo o nível de confiabilidade.

Nesta situação o reforço será responsável, também, por suportar uma parcela da

carga acidental já existente antes do acréscimo de carga e a seção passará a

apresentar nível de confiabilidade maior do que a seção sem reforço

apresentava para o seu carregamento original.

6.2. Propostas para Trabalhos Futuros

A seguir são apresentadas algumas propostas para trabalhos futuros.

No que diz respeito ao reforço:

novos estudos experimentais em vigas de concreto armado

reforçadas com compósitos de fibras de carbono para:

• pesquisar sistemas de ancoragem do reforço eficientes, de forma

a previnir o descolamento do mesmo;

• medir a deformação específica efetiva do compósito colado à

viga;

• medir o ângulo de inclinação da fissura de cisalhamento e medir o

ângulo de inclinação das bielas de concreto comprimidas.

novos estudos experimentais para avaliar a parcela resistida por

mecanismos complementares ao da treliça, comparando os

resultados obtidos com a equação proposta pela NBR 6118 (2003);

aperfeiçoamento dos modelos de cálculo para verificar a capacidade

resistente do reforço à força cortante.

No que diz respeito à confiabilidade de estruturas:

aprimoramento do programa de confiabilidade introduzindo interface

gráfica;

investigar novos modelos probabilísticos, principalmente dos fatores

de modelagem;

DBD


159

introduzir a confiabilidade à flexão de seções transversais de vigas de

concreto armado. Utilizar a formulação de sistemas em série de forma

conjunta para flexão e força cortante;

calcular o ponto de projeto equivalente para a formulação de sistemas

em série;

calcular os fatores de importância das variáveis aleatórias para a

formulação de sistemas em série;

varrer o espaço das resistências e solicitações para calibrar os

coeficientes parciais de segurança utilizando técnicas de otimização;

introduzir o RBDO (Reliability-Based Design Optimization) ao projeto

do reforço à força cortante com compósitos de fibras de carbono

(CFRP) em vigas de concreto armado.

DBD


7 Referências Bibliográficas

ADHIKARY, B.B.; MUTSUYOSHI, H; ASHRAF, M. Effective Shear

Strengthening of Concrete Beams Using FRP Sheets with Bonded Anchorage. 6th International Symposium on Fiber-Reinforced Polymer

Reinforcement for Concrete Structures (FRPRCS-6), Singapore, 2003, p.457–

466.

ADHIKARY, B.B.; MUTSUYOSHI, H. Enhancement of Shear Strength for Reinforced Concrete Beams Using Externally Bonded Fiber-Reinforced Polymer Sheet. Repair, Rehabilitation and Maintenance of Concrete Structures

and Innovations in Design and Construction, Proceedings of Fourth International

Conference, Seoul, Korea, 2000, p.587–604.

AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (ACI). COMMITTEE 440. Guide for the Design and Construction of Externally Bonded FRP Systems for Strengthening Concrete Structures. 2001.

AMERICAN SOCIETY FOR TESTING AND MATERIALS (ASTM)

D3039/D3039M. Standard Test Method for Tensile Properties of Polymer Matrix Composite Materials. USA, 2000.

ANG, A.-H.; TANG, W.H. Probability Concepts in Engineering Planning and Design – Decision, Risk and Reliability. Vol.2, John Wiley and Sons, 1984.

APRILE, A.; BENEDETTI, A. Coupled flexural-shear design of R/C beams strengthened with FRP. Composites: Part B, Vol.35, 2004, p.1–25.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto de Estruturas de Concreto – Procedimento: NBR 6118. Rio de Janeiro, Brasil,

2003.

DBD


161

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Ações e Seguranças nas Estruturas – Procedimento: NBR 8681. Rio de Janeiro,

Brasil, 2003.

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Concreto – Preparo, Controle e Recebimento: NBR 12655. Rio de Janeiro, Brasil, 1996.

BEBER, A.J. Comportamento Estrutural de Vigas de Concreto Armado Reforçadas com Compósitos de Fibra de Carbono. Tese de Doutorado,

Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Rio Grande do Sul, Brasil, 2003.

BOUSSELHAM, A.; CHAALLAL, O. Shear Strengthening Reinforced Concrete Beams with Fiber-Reinforced Polymer: Assessment of Influencing

Parameters and Required Research. ACI Structural Journal, Vol.101, N°2,

2004, p.219–227.

CAROLIN, A.; TÄLJSTEN, B. Experimental Study of Strengthening for Increased Shear Bearing Capacity. ASCE – Journal of Composites for

Construction, Vol.9, N°.6, 2005, p.488–496.

CAROLIN, A. Carbon Fibre Reinforced Polymers for Strengthening of Structural Elements. Doctoral Thesis, Luleå University of Technology, 2003.

CHAALLAL, O.; NOLLET, M.J., PERRATON, D. Shear Strengthening of RC Beams by Externally Bonded Side CFRP Strips. ASCE – Journal of

Composites for Construction, 1998, p.111–113.

CHAALLAL, O.; NOLLET, M.J., PERRATON, D. Strengthening of Reinforced Concrete Beams with Externally Bonded Fiber-Reinforced-Plastic Plates: Design Guidelines for Shear and Flexure. Can. J. Civil Eng., Vol.25, 1998,

p.692–704.

CHEN, J.F.; TENG, J.G. Shear Capacity of FRP-Strengthened RC Beams: FRP Debonding. Construction and Building Materials, Vol.17, 2003a, p.27–41.

DBD


162

CHEN, J.F.; TENG, J.G. Shear Capacity of FRP-Strengthened RC Beams:

FRP Rupture. Journal of Structural Engineering, Vol.129, N°.5, 2003b, p.615–

625.

CHEN, J.F.; TENG, J.G. A Shear Strength Model for FRP-Strengthened RC Beams. 5th International Symposium on Fiber-Reinforced Polymer Reinforcement

for Concrete Structures (FRPRCS-5), London, 2001, p.205–214.

CHOI, K.K.; YOUN, B.D. Advances in Reliability-Based Design Optimization and Probability Analysis. NASA/ICASE Series on Risk-Based Design, Center

for Computer-Aided Design, University of Iowa, 2001.

CONCRETE SOCIETY. Design Guidance for Strengthening Concrete

Structures Using Fibre Composite Materials. Technical Report N°55, 2000.

DENIAUD, C.; CHENG, J.J.R. Shear Behavior of Reinforced Concrete T-Beams with Externally Bonded Fiber-Reinforced Polymer Sheets. ACI

Structural Journal, Vol.98, 2001, p.386–394.

DIAGANA, C.; LI, A.; GEDALIA, B.; DELMAS, Y. Shear Strengthening Effectiveness with CFF Strips. Engineering Structures, Vol.25, 2003, p.507–

516.

DINIZ, S.M.C. A Confiabilidade Estrutural e a Evolução das Normas Técnicas. VI Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto, São Paulo, Brasil,

2006, p. 1-16.

DITLEVSEN, O. Structural Reliability Codes for Probabilistic Design – A Debate Paper based on Elementary Reliability and Decision Analysis Concepts. Structural Safety, Vol.19, 1997, p.253–270.

EBOLI, C.R.; VAZ, L.E. Optimization of plane trusses with constraints in the reliability index Beta. 6th World Congresses of Structural and Multidisciplinary

Optimization, Rio de Janeiro, 2005.

ELLINGWOOD, B. R. Reliability-based condition assessment and LRFD for existing structures. Structural Safety, Vol.18, 1996, p.67–80.

DBD


163

ELLINGWOOD, B.R.; GALAMBOS, T.V.; MACGREGOR, J.C.; CORNELL, C.A.

Development of a Probability Based Load Criteria for American National Standard A58, NBS Special Publication No. 577. National Bureau of

Standards, US Department of Commerce, Washington, DC, 1980.

EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION (CEN). Eurocode: Basis of Structural Design – EN 1990, Brussels, 2002.

EUROPEAN COMMITTEE FOR STANDARDIZATION (CEN). Eurocode 2: Design of Concrete Structures – EN 1992-1-1, Brussels, 2004.

FIB (CEB-FIP). Externally Bonded FRP Reinforcement for RC Structures.

Bulletin 14, 2001.

GULVANESSIAN, H.; CALGARO, J.-A.; HOLICKÝ, M. Designers’ Guide to EN 1990 Eurocode: Basis of Structural Design. Thomas Telford, 2002.

HART, G.C. Uncertainty Analysis, Loads, and Safety in Structural Engineering. Prentice-Hall, 1982.

HOU, W.; GENE, J. A Most Probable Point-Based Method for Reliability Analysis, Sensitivity Analysis and Design Optimization. NASA/CR-2004-

213002, University Norfolk, Virginia, 2004.

JOINT COMMITTEE ON STRUCTURAL SAFETY. JCSS: Probabilistic Model Code. Disponível em: http://www.jcss.ethz.ch. Acesso em 25 de março de 2005.

KASZYNSKA, M.; LAUMET, P.; NOWAK, A.S. Material Quality and Reliability of Beams in Flexure and Shear. 9th International Conference on Structural

Safety and Reliability (ICOSSAR), Rome, Italy, 2005, p.687–694.

KHALIFA, A.; NANNI, A. Rehabilitation of Rectangular Simply Supported RC Beams with Shear Deficiencies Using CFRP Composites. Construction and

Building Materials, Vol.16, 2002, p.135–146.

KHALIFA, A.; NANNI, A. Improving Shear Capacity of Existing RC T-Section Beams Using CFRP Composites. Cement & Concrete Composites, Vol.22,

N°2, 2000, p.165–174.

DBD


164

KHALIFA, A.; BELARBI, A.; NANNI, A. Shear Performance of RC Members Strengthened with Externally Bonded FRP Wraps. 12th World Conference on

Earthquake Engineering, New Zealand, 2000, p.305–314.

KHALIFA, A.; LORENZIS, L. FRP Composites for Shear Strengthening of RC Beams. 3rd Inter. Conf. on Advanced Composite Materials in Bridges and

Structures, Canada, 2000, p.137–144.

KHALIFA, A.; TUMIALAN, G.; NANNI, A.; BELARBI, A. Shear Strengthening of Continuous RC Beams Using Externally Bonded CFRP Sheets. SP-188,

American Concrete Institute, 4th International Symposium on Fiber-Reinforced

Polymer Reinforcement for Concrete Structures (FRPRCS-4), Baltimore, USA,

1999, p.995–1008.

KHALIFA, A.; GOLD, W.J.; NANNI, A.; AZIZ, M.I.A. Contribution of Externally Bonded FRP to Shear Capacity of Flexural Members. ASCE – Journal of

Composites for Construction, Vol.2, N°4, 1998, p.195–203.

KLING, D.V. Um Método para Simulação de Redes de Atividades Não-Deterministas com Recursos Escassos. Dissertação de Mestrado,

Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2005.

LEMAIRE, M. Reliability and Mechanical Design. Reliability Engineering and

System Safety, Vol.55, 1997, p.163–170.

LIMA, E.C.P.; SAGRILO, L.V.S. Confiabilidade Estrutural – COPPE/UFRJ.

Notas de Aula, Rio de Janeiro, Brasil, 2002.

LOPES, M.T.A. Reforço à Força Cortante em Vigas de Concreto Estrutural através da Colagem de Compósitos de Fibra de Carbono. Dissertação de

Mestrado, Universidade Federal Fluminense, Niterói, Brasil, 2002.

LOPES, M.T.A.; BARBOSA, P. Regiões de Dimensionamento para o Esforço Cortante Considerando os Novos Conceitos da Revisão da NBR 6118. V

Simpósio EPUSP sobre Estruturas de Concreto, São Paulo, Brasil, 2002.

DBD


165

LOPES, M.T.A.; EBOLI, C.R.; VELASCO, M.S.L.; VAZ, L.E. Confiabilidade à

Força Cortante de Seções Transversais de Vigas de Concreto Armado Reforçadas com Compósitos de Fibras de Carbono. VI Simpósio EPUSP

sobre Estruturas de Concreto, São Paulo, Brasil, 2006, p. 897-913.

LOPES, M.T.A.; VELASCO, M.S.L.. Estudo Teórico-Experimental do Reforço à Força Cortante de Vigas de Concreto Armado Utilizando Compósitos de Fibras de Carbono. XXXII Jornadas Sul-americanas de Engenharia Estrutural,

2006, Campinas, Brasil.

LU, R.; LUO, Y.; CONTE, J.P. Reliability Evaluation of Reinforced Concrete Beams. Structural Safety, Vol.14, 1994, p.277–298.

OpenSees. Disponível em: http://www.opensees.berkeley.edu. Acesso em 20 de

abril de 2005.

MacGREGOR, J.G. Reinforced Concrete – Mechanics and Design. Prentice

Hall, 1988.

MACHADO, E.R.; FREITAS, M.S.R.; DINIZ, S.M.C. Avaliação da Confiabilidade de Estruturas em Concreto Armado. XXI Iberian Latin-

American Congress on Computational Methods in Engineering, Rio de Janeiro,

Brasil, 2000.

MASTER BUILDERS TECHNOLOGIES. Catálogo eletrônico de produtos.

Disponível em: http://www.degussa-cc.com.br. Acesso em 15 de março de 2004.

MASTER BUILDERS TECHNOLOGIES. Fabricante de produtos para reforço com materiais compósitos. Disponível em: http://www.mbrace.com. Acesso em

15 de março de 2004.

MADSEN, H.O., S. KRENK & N.C. LIND. Methods of Structural Safety.

Prentice-Hall, 1986.

MELCHERS, R.E. Structural Reliability Analysis and Prediction. John Wiley

& Sons, 2002.

DBD


166

NEVES, R.A. Desenvolvimento de Modelos Mecânico-Probabilísticos para Estruturas de Pavimentos de Edifícios. Tese de Doutorado, Escola de

Engenharia de São Carlos – USP, São Paulo, Brasil, 2004.

NOGUEIRA, C.G. Um Modelo de Confiabilidade e Otimização Aplicado às Estruturas de Barras de Concreto Armado. Dissertação de Mestrado, Escola

de Engenharia de São Carlos – USP, São Paulo, Brasil, 2005.

NOWAK, A.S.; COLLINS, K.R. Reliability of structures. McGraw Hill Higher

Education, 2000.

PLEVRIS, N.; TRIANTAFILLOU, T.C.; VENEZIANO, D. Reliability of RC Members Strengthened with CFRP Laminates. ASCE – Journal of Structural

Engineering, Vol.121, N°7, 1995, p.1037–1044.

REAL, M.V.; FILHO,A.C. Análise Probabilística de Estruturas de Concreto

Armado. Teoria e Prática na Engenharia Civil, N°1, 2000, p.37–46.

REAL, M.V.; FILHO,A.C.; PALIGA, C.M. Estudo da Variabilidade da Resposta Estrutural de Vigas de Concreto Armado Reforçadas com Laminados de

Fibra de Carbono. IBRACON - 46° Congresso Brasileiro do Concreto, Vol.6,

2004, p.759–773.

RELIABILITY CONSULTING PROGRAMS (RCP GmbH). COMREL & SYSREL Users Manual – DEMO Version. 1998.

SAGRILO, L.V.S. Confiabilidade Estrutural – COPPE/UFRJ, Notas de Aula,

Rio de Janeiro, 2004.

SANTOS, S.H.C.; EBOLI, C.R. Avaliação da Confiabilidade Estrutural com base nas Normas NBR-6118 e NBR-8681. VI Simpósio EPUSP sobre

Estruturas de Concreto, São Paulo, Brasil, 2006, p. 502-517.

SANTOS, S.H.C.; EBOLI, C.R. Análise de um Pórtico de Concreto Armado

Utilizando os Conceitos de Confiabilidade Estrutural. IBRACON - 46°

Congresso Brasileiro do Concreto, Vol.6, 2004, p.142–155.

DBD


167

SCHNEIDER, J. Introduction to Safety and Reliability of Structures.

International Association for Bridge and Structural Engineering (IABSE), 1997.

SØRENSEN, J.D. Structural Reliability Theory. 2004. Disponível em: http://www.civil.auc.dk/~i6cfrier/ls/. Acesso em 10 de maio de 2006.

TÄLJSTEN, B. Strengthening Concrete Beams for Shear with CFRP Sheets.

Construction and Building Materials, Vol.17, 2003, p.15–26.

TENG, J.G.; CHEN, J.F.; SMITH, S.T.; LAM, L. FRP – Strengthened RC Structures. Wiley, Great Britain, 2002, p. 103–134.

TRIANTAFILLOU, T.C.; ANTONOPOULOS, P. Design of concrete structures strengthened in shear with CFRP. ASCE – Journal of Composites for

Construction, 2000, p.198–205.

TRIANTAFILLOU, T. C. Shear Strengthening of Reinforced Concrete Beams

Using Epoxy-Bonded FRP Composites. ACI Structural Journal, Vol.95, N°.2,

1998, p.107–115.

VAL, D.; BLJUGER, F.; YANKELEVSKY, D. Reliability Evaluation in Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete Structures. Structural Safety, Vol.19, 1997,

p.203–217.

VROUWENVELDER, T. The JCSS Probabilistic Model Code. Structural

Safety, Vol.19, 1997, p.245–251.

DBD


168

Anexo A Rotinas para se Obter a Parcela da Força Cortante Resistida pelo FRP

A.1. Introdução

Neste anexo são apresentadas rotinas teóricas, utilizadas para

comparação teórico-experimental, e rotinas de cálculo, utilizadas para

dimensionamento. As duas rotinas foram implementadas em MathCad e

utilizadas no Capítulo 2. Nos itens, a seguir, onde é fornecido apenas uma rotina

adota-se para comparação teórico-experimental 1f =γ e cc f'f = .

A.2. Rotinas elaboradas segundo TRIANTAFILLOU e ANTONOPOULOS (2000)

A.2.1. Rotina Teórica

( )

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ε

ε=εε=ε

←

ββ+ρε←ε←

εε=ε

←ε

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ←ε

ε⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ←ε

←ρ

←

=

−

f

fe

fe

b_fefe

r_fefewfffef

ffefe

b_fer_fe

r_fefe

3

56.0

ffG

3 2cm

b_fe

fu

30.0

ffG

3 2cm

r_fe

f

f

w

ff

ffG

louTriantafil_f

Vf

Rupturaif"toDescolamen"

if"reforçodoRuptura"Ruptura

sincot1dbE9.0VEf

otherwise,min"W"execuçãoif

10E

f65.0

Ef

17.0

sw

bt2GPaEE

:V

DBD


169

Legenda do tipo de execução:

W – se envolvimento completo da seção transversal da viga;

U – se envolvimento em forma de U;

S – se colado apenas nos lados da viga.

Quando o envolvimento é executado em forma de U com adição de um

sistema de ancoragem, legenda UA, é considerado para utilização das rotinas o

tipo de execução W.

A.2.2. Rotina de Cálculo

( )( )

( )( )

( )

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ε

+−=ε=ε

ε=εε=ε

←

+−+−≤

←

ββ+ργ

ε←

ε←ε=εγε=εγε=εγ

←γ

εαε←εεε

=ε←ε

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ←ε

ε⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ←ε

←ρ

←

=

−

fde

fd

fe

fe

swdcdmax,Rdfde

maxfke

b_fefe

r_fefe

swdcdmax,Rd

swdcdmax,Rdfdfdfde

wfff

fkefd

ffefemaxfkefl

b_fefefb

r_fefeff

f

maxfefke

b_fer_fe

r_fefe

3

56.0

ffG

3 2cm

b_fe

fu

30.0

ffG

3 2cm

r_fe

f

f

w

ff

ffG

louTriantafil_fd

VVf

RupturaVVVVif"oEsmagament"

if"excessivaDefomação"if"toDescolamen"

if"reforçodoRuptura"

Ruptura

otherwiseVVVVVVVifV

V

sincot1dbE9.0V

Efififif

,minotherwise,min

"W"execuçãoif

10E

f65.0

Ef

17.0

sw

bt2GPaE

E

:V

DBD


170

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

≤≠

=←

≤ρ←

=

f

fff

ff

f

3 2cmffG

saxial_Rigidez

otherwise"itelimdoacima"d8.0sif"OK"

wsifwsif"OK"

s

otherwise"itelimdoacima"f018.0Eif"OK"axial_Rigidez

:esVerificaçõ

A.3. Rotina elaborada segundo KHALIFA e NANNI (2002)

( ) ( )

( )[ ]{ }

( )( )

( )

( )( )

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ε

+−=

=

=

=

←

+−

+−≤←

ββ+γ

←

←ε

←

=←

ε←

≤≤−ε←

≤ρ+ρ−ρ←

←=−

=−

=

←

←≠−

=←

←ρ

←

=

−

fde

fd

fe

fe

swdcdmax,Rdfde

swdcdmax,Rd

swdcdmax,Rdfdfdfde

f

ff

f

fefd

ffefe

ffe

fu

ff6

fGfffu

fe3 2

c

fGffGf2

fGf

fffef

ef

f

fe

ess

sf

f

f

w

ff

ffG

Khalifa_fd

VVf


l_RRif"excessivaDeformação"b_RRif"toDescolamen"

r_RRif"reforçodoRuptura"

Ruptura

otherwiseVVVVVVVifV

V

ssincot1d9.0AfV

E/ffRf

otherwisel_R,b_R,r_Rmin"W"execuçãoifl_R,r_Rmin

R

/006.0l_Rotherwise0

mmGPa90EtmmGPa20if10Et06.493.738dw'f

b_R

otherwise0GPa7.0Eif778.0E2188.1E5622.0r_R

wt2A"S"execuçãoifL2d

"U"execuçãoifLd"W"execuçãoifw

w

mm75L0tiftd

0tifdd

sw

bt2GPaEE

:V

DBD


171

( )f

ffff

ff

f

sotherwise"itelimdoacima"

4/dwsif"OK"wsif

wsif"OK"s:oVerificaçã

+≤≠

=

←=

sendo:

2190

250160

θαθ

cotcotcotbd,f

f,V wcd

ckmax,Rd

+

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−= (A.1)

dbfk,V wcklcd3 100180 ρ= (A.2)

022001 ,d

k ≤+= (A.3)

020,db

A

w

sl ≤=ρ (A.4)

( ) ααθ sincotcotd9,0fs

AV ywd

swswd += (A.5)

A.4. Rotina elaborada segundo ADHIKARY et alii (2003)

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ε

ε=ε

ε+ε=ε←

ββ+ρε←

ε←ε

=ε+ε←ε

≤<ε⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρ←ε

≤ρ<ερ←ε

←ρ

←

=

f

fe

fe

1fefe

2fe1fefewfffef

ffefe1fe

2fe1fefe

w

afu

w

a

fGf

3 2c

2fe

fMffufGf

3c

1fe

f

f

w

ff

ffG

Adhikary_f

Vf



sincot1dbEVEf

otherwise"W"execuçãoif

otherwise0

5.0bl0if

bl100ln

E

'f043.0

otherwise0

GPa0.1EGPa25.0ifE

'f038.0sw

bt2GPaEE

:V

DBD


172

A.5. Rotinas elaboradas segundo CHEN e TENG (2003 a, b)

A.5.1. Rotina Teórica

( )

1if21

1if

2sin

2cos1

2

if2

1zz

if

D


'ftE

427.0

frws1rws2

1if2

sin

1if1L

L

"S"execuçãoifsin2h

"U"execuçãoifsinh

L

'ftE

L

sinsw

rws

wsifsinw

wsifss

zzhdhd9.0z

dz

:V

bmax_fmaxf

b

t

rmax_fmaxf

f

bmax_frmax_f

rmax_fmaxf

cf

fLwbmax_f

frmax_f

w

L

e

max

fe

fe

max

c

ffe

fe

f

fff

ffffe

tbfe

fbb

ftt

Chen_f

>λπλ−π

−

≤λ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ λπ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ λπ

−

πλ

σ=σ

ζ+

←ζ

σ=σ

←

σσ=σ

←σ

ββ←σ

←σ+−

←β

<λ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ πλ≥λ

←β

←λ

=β

=β←

←

β←

=β

≠←

−←+−←

←

=

DBD


173

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ε

σ=σ

σ=σ←

ββ+θ←

←ε

σ←

=

f

fe

fe

bmax_fmaxf

rmax_fmaxf

2feffef

f

fefe

maxfffe

Chen_f

Vf



sincotcothrwstf2VEf

D

:V

A.5.2. Rotina de Cálculo

( ) otherwise,min"W"execuçãoif

'ftE315.0

Ef

ifE

8.0

Ef

iff

8.0

rws1rws2

1if2

sin

1if1L

L

"S"execuçãoifsin2h

"U"execuçãoifsinh

L

'ftE

L

sinsw

rws

wsifsinw

wsifss

zzhdhd9.0z

dz

:V

bmax_frmax_f

rmax_fmaxf

cf

fLw

fbbmax_f

fuf

f

ff

ffu

fuf

f

ff

f

rmax_f

w

L

e

max

fe

fe

max

c

ffe

fe

f

fff

ffffe

tbfe

fbb

ftt

Chen_fd

σσ=σ

←σ

ββγ

←σ

ε>γ

ε

ε≤γ←σ

+−

←β

<λ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ πλ≥λ

←β

←λ

=β

=β←

←

β←

=β

≠←

−←+−←

←

=

DBD


174

( )

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ε

σ=σ

σ=σ←

ββ+θ←

←ε

σ←

>λπλ−π

−

≤λ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ λπ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ λπ

−

πλ

σ=σ

ζ+

←ζ

σ=σ

←

=

fd

fe

fe

bmax_fmaxf

rmax_fmaxf

2feffefd

f

fefe

maxfffe

rmax_fmaxf

b

t

rmax_fmaxf

f

Chen_fd

Vf



sincotcothrwstf2VEf

Df

1if21

1if

2sin

2cos1

2

if2

1zz

if

D

:V

( )

( )f

fef

ff

ff

f


2cossinh

sif"OK"

wsifwsif"OK"

s:oVerificaçãβ+β

≤

≠

=

←=

DBD


175

A.6. Rotina elaborada segundo o Bulletin 14 da fib (2001)

( )

( )( )

( )

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

εε

+−=ε=ε

ε=ε←

+−+−≤

←

ββ+ρε←ε←

γε

←ε

ε←εε=εγε=εγ

←γ

εε=ε

←ε

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ←ε

ε⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ρ←ε

←ρ

←

=

−

fde

fd

fe

fde

fe

swdcdmax,Rdfde

b_fefe

r_fefe

swdcdmax,Rd

swdcdmax,Rdfdfdfde

wfffdefd

ffefef

fkefde

fefke

b_fefefb

r_fefefff

b_fer_fe

r_fefe

3

56.0

ffG

3 2cm

b_fe

fu

30.0

ffG

3 2cm

r_fe

f

f

w

ff

ffG

fib_fd

VVf


if"toDescolamen"if"reforçodoRuptura"

Ruptura

otherwiseVVVVVVVifV

V

sincot1dbE9.0VEf

kifif


10E

f65.0

Ef

17.0

sw

bt2GPaE

E

:V

( )f

ff

s

ff

sff

ff

f

s

otherwise"itelimdoacima"2

wd9.0sif"OK"

0tifotherwise"itelimdoacima"

2w

d9.0sif"OK"

0tifwsif

wsif"OK"

s:oVefiricaçã

−≤

≠

−≤

=≠

=

←=

DBD


176

A.7. Rotina elaborada segundo o ACI 440 (2001)

( )

( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

φ

ε

−=

ε=ε

ε=ε

←

ψ←φ−

−≤←

β+βε←

ε←ε

=ε←ε

≤εε←ε

ε

ε≤←ε

≤←

ε←

=−

=−

←

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛←

←

←

←

f

f

fe

fe

swwcfe

b_fefe

r_fefe

feff

swwc

swwcfffe

f

fffeff

ffefe

b_fe

r_fefe

fuvfuvb_fe

fu

fur_fe

vvvvv

fu

e21vv

f

eff

ef

2

32

c1

58.0ff

e

fff

f

VVf

RupturaVdb'f66.0Vif"oEsmagament"

if"toDescolamen"if"reforçodoRuptura"

Ruptura

VVotherwiseVdb'f66.0

Vdb'f66.0VifVV

sd

cossinEAV

Efotherwise

"W"execuçãoifotherwise004.0

004.0kifkotherwise75.0

75.0004.0if004.0otherwise75.0

75.0kifkk

11900Lkk

k

"S"execuçãoifd

L2d

"U"execuçãoifd

Ld

k

27'f

k

Et

23300L

wt2A

ACI_V

( )f

ffff

ff

f


4/dwsif"OK"wsif

wsif"OK"s:oVerificaçã

+≤≠

=

←=

DBD


177

Anexo B Revisão Bibliográfica dos Programas Experimentais

B.1. Introdução

Neste anexo são apresentadas as revisões bibliográficas dos programas

experimentais, encontrados na literatura, de vigas reforçadas à força cortante

com a utilização de CFRP.

B.2. Programa Experimental de CHAALLAL et alii (1998)

Este programa consistiu de oito vigas de concreto armado bi-apoiadas de

seção transversal retangular.

Os parâmetros variáveis neste ensaio foram:

Taxa geométrica da armadura transversal, por meio da utilização de

diferentes espaçamentos dos estribos;

Configuração do reforço, quanto sua continuidade e orientação das fibras

principais.

As vigas foram agrupadas em três séries. As duas vigas da primeira

série, designada de FS, estavam adequadamente armadas à força cortante, não

necessitando de reforço. As demais séries, US e RS, continham a mesma

armadura transversal, sendo esta deficiente. As duas vigas de série US não

receberam reforço, utilizadas como vigas de referência, enquanto que as quatro

vigas da série RS foram reforçadas com uma determinada quantidade de CFRP

para se obter a mesma resistência à força cortante encontrada nas vigas da

série FS.

As vigas da série RS foram divididas em dois grupos, designados de

RS90 e RS135, com duas vigas em cada grupo. Estas foram agrupadas de

acordo com o valor de β e fs adotados.

A lâmina de compósito de fibras de carbono utilizada como reforço foi

fornecida pela SIKA Inc.

O carregamento aplicado foi de forma concentrada em dois pontos nos

terços do vão.

DBD


178

O ganho de capacidade resistente à força cortante das vigas reforçadas

variou de 64% a 87%, e os autores deste programa concluíram que:

O reforço colado nos lados da viga com °= 45β apresenta melhor

desempenho, em termos de propagação de fissuras, rigidez e resistência

à força cortante. Entretanto, a adoção deste tipo de reforço pode levar ao

colapso prematura da viga devido ao descolamento do reforço.

B.3. Programa Experimental de KHALIFA et alii (1999)

Este programa foi composto de nove vigas contínuas (com dois vãos), de

concreto armado, todas com seção transversal retangular.


Resistência à compressão do concreto;

Taxa de armadura longitudinal e taxa de armadura transversal;

Configuração do reforço, incluindo: quanto ao seu envolvimento; sua

continuidade e a orientação das fibras principais.

As vigas foram agrupadas em três séries, denominadas de CW, CO e

CF, de acordo com as taxas das armaduras internas, sendo longitudinal ou

transversal. A série CW foi composta de duas vigas e eram as únicas que

continham estribos no comprimento de interesse para o ensaio. A série CO

continha três vigas com armadura longitudinal igual à existente nas vigas da

série anterior. A série CF foi composta de quatro vigas com taxa de armadura

longitudinal diferente das demais vigas.

As vigas CW1, CO1 e CF1 não receberam reforço e o carregamento foi

executado em dois pontos por cargas concentradas aplicadas no meio de cada

vão.

Para estas vigas ensaiadas o ganho de capacidade resistente à força

cortante variou de 22% a 135%. Todas as vigas reforçadas da série CF

romperam por flexão. Os autores deste programa concluíram que:

O reforço com CFRP pode ser utilizado para aumentar a capacidade

resistente à força cortante de vigas tanto em regiões de momento

positivo quanto em regiões de momento negativo;

A contribuição do CFRP à força cortante é maior para vigas que não

contêm armadura transversal do que para as que contêm.

DBD


179

B.4. Programa Experimental de KHALIFA e NANNI (2000)

Estes autores ensaiaram seis vigas de concreto armado de seção

transversal T.

O parâmetro variável neste ensaio foi:

Configuração do reforço, quanto ao seu envolvimento, incluindo a adição

de um sistema de ancoragem do CFRP em uma viga; quanto a sua

continuidade e quanto à orientação das fibras principais.

Cada viga foi reforçada com uma configuração de reforço diferente,

conforme especificado na Tabela C.1, com exceção da viga BT1 que não

recebeu reforço, servindo como viga de referência. As vigas foram bi-apoiadas e

receberam o carregamento em dois pontos.

Foi utilizado para o reforço o tecido unidirecional de fibras de carbono

Wabo®MBrace CF-130 (Master Builders Technologies, Inc).

O ganho de capacidade resistente à força cortante para estas vigas


A eficiência do reforço com CFRP colado externamente pode ser

significativamente aumentada se for efetuado um adequado sistema de

ancoragem;

O sistema de ancoragem utilizado é recomendado;

Se a ruptura por descolamento do CFRP não é prevenida, onde a

quantidade de reforço é ótima, aumentá-la pode não significar aumento

de resistência, assim, a aplicação de estribos de CFRP pode ser tão

eficiente quanto a aplicação do reforço de forma contínua;

Nenhuma contribuição foi observada para acréscimo de resistência

devido à utilização de uma segunda camada de CFRP com °= 0β .

B.5. Programa Experimental de KHALIFA e NANNI (2002)

Estes autores ensaiaram 12 vigas de concreto armado bi-apoiadas de



Relação d/a (onde a é a distância do ponto de aplicação da carga

concentrada ao meio do apoio);

Resistência à compressão do concreto;

Existência de armadura transversal de aço;

Configuração do reforço, incluindo: quanto ao seu envolvimento; sua

DBD


180

continuidade e a orientação das fibras principais.

As vigas foram agrupadas em duas séries principais, designadas de SW

e SO dependendo da presença de armadura transversal ou não. A série SW foi

composta de quatro vigas, metade com relação 3=d/a , nomeadas de SW3, e

metade com 4=d/a , nomeadas de SW4. Nesta série as vigas continham

estribos. A série SO continha oito vigas, cinco com relação 3=d/a , designadas

de SO3 e três com 4=d/a , chamadas de SO4. Nesta série as vigas não

continham estribos, no trecho ensaiado.

A primeira viga de cada grupo não recebeu reforço, servindo como viga

de referência. O carregamento das vigas foi em dois pontos.

O tecido de fibras de carbono unidirecional utilizado no reforço foi o

Wabo®MBrace CF-130 (Master Builder Technologies, Inc).


cortante variou de 40% a 138%, e os autores deste programa concluíram que:

A contribuição do CFRP à força cortante é influenciada pela relação

d/a , e parece aumentar com o aumento desta relação;

Acréscimo na quantidade de CFRP pode não resultar em proporcional

aumento de resistência à força cortante;

A adição de uma segunda camada de reforço com °= 0β aumenta a

capacidade resistente à força cortante devido à restrição horizontal

provocada por ela.

B.6. Programa Experimental de DENIAUD e CHENG (2001)

Neste programa, quatro vigas de concreto armado de seção transversal

T, bi-apoiadas, com o carregamento aplicado em dois pontos eqüidistantes

foram ensaiadas. Os dois trechos da viga que continham força cortante foram

ensaiados separadamente, então, no total, foram realizados oito testes.


Tipo de FRP utilizado;

Existência de armadura transversal de aço, assim como o espaçamento

utilizado entre esta armadura;

Configuração do reforço, quanto à orientação das fibras principais.

Três tipos de tecidos foram utilizados nos reforços das vigas: tecidos de

fibras de carbono uniaxial (Replark 20 – Mitsubishi); tecidos de fibras de vidro

uniaxial e tecidos de fibras de vidro triaxial. Em todos os casos, o reforço foi

DBD


181

estendido por baixo da mesa da seção transversal da viga, a fim de proporcionar

uma ancoragem.

Como em cada viga foram feitos dois testes, um para cada trecho que

continha força cortante, reforçou-se com estribos externos o trecho que não

seria testado no momento.

Os testes foram agrupados em três séries, apenas na primeira série as

vigas não continham armadura transversal interna, na segunda e terceira séries

o espaçamento entre essas armadura eram mms 400= e mms 200=

respectivamente. A primeira viga de cada série não recebeu reforço.

As quatro barras longitudinais que constituíam a armadura de tração

(barras de alta resistência – Dywidag) foram estendidas mm150 a partir dos

extremos da viga e ancoradas em chapas metálicas de mm50 de espessura.

A viga reforçada com CFRP, T6S2-C90, rompeu repentinamente quando

o reforço descolou, para uma carga menor do que a carga da viga de referência.

A partir de uma inspeção na viga observou-se que na região da fissura formada

devido à força cortante os estribos internos estavam rompidos. Estes estribos

alcançaram a tensão de escoamento antes do descolamento do reforço aplicado

nesta região. Os autores deste programa acreditam que no instante que o

reforço descolou a energia liberada para os estribos internos foi tão elevada que

a viga escorregou ao longo da fissura, ocasionando a ruptura dos estribos

internos.


variou de 45% a 94%. A viga T6S2-C90 foi descartada pela razão exposta

acima. Os autores deste programa concluíram que:

A efetividade do FRP é menor quando as vigas são armadas

internamente à força cortante;

Seções planas não permanecem planas no trecho da força cortante

depois que um certo nível de carga é alcançado, mas a presença do FRP

colado externamente retarda a perda do comportamento de seção plana.

B.7. Programa Experimental de ADHIKARY et alii (2003)

Estes autores ensaiaram nove vigas de concreto armado com seção

transversal quadrada, em quatro vigas o reforço foi executado com compósito de

fibras de aramida.

O parâmetro variável neste programa foi:

Configuração do reforço, quanto ao seu envolvimento e comprimento de

DBD


182

ancoragem.

A viga designada de B-1 não recebeu reforço, e as quatro vigas da série

VC receberam reforço de compósito de fibras de carbono. As arestas vivas das

vigas foram arredondadas de mm100 de diâmetro.

O carregamento foi aplicado em dois pontos e as vigas eram

simplesmente apoiadas, sem armadura transversal.



O reforço executado com ancoragem adequada é muito mais eficiente

que o reforço executado apenas envolvendo em forma de U a seção

transversal da viga. A adição da ancoragem pode ser uma maneira

eficiente de retardar ou até mesmo evitar o descolamento do mesmo.

B.8. Programa Experimental de BEBER (2003)

Este programa foi composto de 44 vigas de concreto armado, com seção

transversal retangular, 14 vigas foram reforçadas à flexão e 30 à força cortante

com a utilização de CFRP.


Configuração do reforço, quanto ao seu envolvimento, sua continuidade e

orientação das fibras principais;

Material utilizado para o reforço, foram empregados dois tipos de

materiais diferentes. Em quatro vigas foi utilizado o compósito pré-

fabricado, laminado (CFK 200/2000 – S&P Reinforcements – MBrace), no

restante das vigas aplicou-se o sistema curado in situ, tecido

unidirecional (Replark 20 – Mitsubishi). Isto variou as propriedades do

reforço.

As vigas V8_A e V8_B não receberam reforço e serviram como vigas de

referência, as demais 28 vigas foram separadas em 12 grupos de acordo com as

diferentes configurações de reforço utilizadas.

Nas vigas V10_A, V10_B, V17_A, V19_A e V19_B o reforço foi

executado envolvendo a seção transversal da viga em forma de “L”. Para

avaliação teórica deste tipo de execuçao do reforço (em “L”) o autor considerou

a mesma formulação utilizada quando o reforço é executado envolvendo em

forma de “U” a seção transversal da viga.

DBD


183

O carregamento foi aplicado de forma concentrada em dois pontos

eqüidistantes, sendo a viga bi-apoiada. Não foi utilizada armadura transversal de

aço.


variou de 61% a 255%, e o autor deste programa concluiu que:

O descolamento do reforço caracterizou-se como o modo de colapso da

viga mais freqüente. As vigas que tiveram o reforço executado

envolvendo completamente sua seção transversal (ancoragem suficiente)

entraram em colapso devido à ruptura do CFRP. Existiram situações

intermediárias, em que houve uma combinação destes dois modos de

colapso;

No caso particular das vigas reforçadas com faixas orientadas à °45 , a

solução de ancoragem tipo “L” representou uma alternativa eficiente na

elevação da resistência, porém, a execução destes reforços demonstrou

ser bastante complexa;

Os reforços contínuos necessitaram maiores quantidades de reforço e

não proporcionaram incrementos de resistência na mesma proporção;

O desempenho das vigas reforçadas com os laminados foi limitado, o

único tipo de execução do reforço possível é colando-o somente nas

laterais da viga, assim o modo de colapso da viga foi controlado pelo

descolamento do reforço.

B.9. Programa Experimental de DIAGANA et alii (2003)

Neste programa foram ensaiadas dez vigas de concreto armado, com


O parâmetro variável neste ensaio foi:

Configuração do reforço, quanto ao seu envolvimento, sua continuidade e

orientação das fibras principais.

O tecido de fibras de carbono utilizado no reforço foi o TFC® da

Freyssinet, bi-direcional, com 70% das fibras na direção principal (utilizada no

teste) e 30% na outra direção.

As vigas foram agrupadas em duas séries, a primeira foi chamada de PU,

onde o reforço foi executado envolvendo em forma de U a seção transversal da

viga, e a segunda série foi designada de PC devido ao envolvimento completo

da seção transversal pelo reforço. Duas vigas não foram reforçadas (P0 e P0-bis).

DBD


184

O carregamento foi aplicado em um ponto, sendo as vigas simplesmente

apoiadas.



A efetividade do reforço varia em função do tipo de envolvimento,

espaçamento e orientação do mesmo, a configuração que apresentou

melhor resultado foi a da viga PC1, onde o reforço foi executado

envolvendo completamente a seção transversal da viga, com o menor

espaçamento e °= 90β ;

O envolvimento completo da seção transversal da viga pelo reforço

proporciona maior ganho de capacidade resistente para vigas com

°= 90β , percebendo-se a importância do comprimento de ancoragem

para a efetividade do reforço;

Para o caso de °= 45β foi observado que o envolvimento da seção

transversal em forma de U é mais eficiente, pois utilizando o

envolvimento completo tem-se o aparecimento de uma flexão local que

provoca uma sobrecarga nos bordos do reforço na região de compressão

da viga.

B.10. Programa Experimental de CAROLIN e TÄLJSTEN (2005)

Estes autores ensaiaram 20 vigas de concreto armado, com seção

transversal retangular. Quatro vigas foram ensaiadas em duas etapas, a primeira

etapa sem reforço, servindo como viga de referência, e a segunda etapa

reforçada com CFRP, proporcionando a realização de ensaio em viga pré-

fissurada.

O sistema utilizado para reforço à força cortante foi o BPE® Composite

de fibras de carbono unidirecionais.

As vigas foram divididas em dois tipos, o Tipo A foi designado para vigas

que não receberam armadura transversal e o Tipo B foi composto de vigas que

continham armadura transversal de aço. As vigas do Tipo B receberam um

reforço à flexão adicional para assegurar que a ruptura ocorresse por algum

mecanismo relacionado à força cortante.


Existência de armadura transversal de aço;

Configuração do reforço, incluindo: quanto ao seu envolvimento e a

orientação das fibras principais;

DBD


185

Tipo de aplicação de carga, podendo ser carga cíclica ou não, assim

como, aplicação do reforço em viga pré-fissurada ou não.

A resistência à compressão do concreto não foi considerada como

parâmetro variável, no entanto, variou de MPa,fc 836= a MPa,fc 856= . Todas

as vigas foram levadas à ruptura a partir de um carregamento controlado pela

deformação.

A designação das vigas foi dada da seguinte forma: o primeiro número

significa o peso do compósito, sendo 1, 2 e 3 para 2125 m/g , 2200 m/g e

2300 m/g respectivamente; o segundo número denomina o ângulo de

inclinação das fibras principais do reforço; as letras maiúsculas descrevem o

diferencial contido na viga ensaiada, sendo: W para envolvimento completo do

reforço, R para viga pré-fissurada e F para viga carregada ciclicamente depois

de executado o reforço; a letra minúscula representa a primeira ou segunda viga

ensaiadas de mesma espécie.

A viga nomeada de R2 passou a se chamar 245Ra depois de reforçada,

assim como a viga R3 passou a ser 245Rb, a R4 passou a ser 245RF e a viga

R5 passou a se chamar 290WR depois de receber o reforço.

A viga 290W rompeu por flexão, então as vigas 290WR e 245W foram

reforçadas à flexão com a utilização de lâmina de CFRP calada em todo o

comprimento do lado tracionado das vigas. Esta lâmina apresentavam as

seguintes propriedades: MPaff 2800> , GPaEf 210= e %,fu 31>ε .

O carregamento foi aplicado em dois pontos eqüidistantes, sendo as

vigas simplesmente apoiadas. As vigas 145F, 245F, 245RF e 345F foram

submetidas a 610 ciclos de carga antes da carga de ruptura, este carregamento

foi aplicado por dez dias com uma freqüência de zH,21 .


cortante das vigas reforçadas variou de 26% a 225%, e os autores deste

programa concluíram que:

As vigas de concreto armado reforçadas podem ter o seu modo de

ruptura modificado devido a algum mecanismo relacionado à força

cortante para ruptura devido à flexão;

Devido à anisotropia dos CFRP a efetividade do reforço depende de

escolher corretamente a orientação das fibras principais do mesmo em

relação à fissura de cortante, o esquema de reforço com °= 0β não

contribui significantemente para a capacidade resistente, e o pequeno

DBD


186

aumento apresentado parece ser decorrente do aumento na parcela do

concreto cV ;

Vigas pré-fissuradas podem ser reforçadas, e apresentam ganho em sua

capacidade resistente;

Para vigas que contêm armadura transversal e necessitam de elevado

efeito do reforço à força cortante é preciso executar um reforço à flexão;

Para as vigas que não foram pré-fissuradas, as fibras do compósito não

se deformam até que seja alcançada a carga de fissuração da viga de

referência, para as demais vigas as fibras são deformadas desde o inicio

do ensaio. As fibras do compósito das extremidades da seção transversal

das vigas completamente envolvidas pelo reforço não se deformam até

que o reforço descole. Para todos os casos as fibras do compósito que

mais se deformam são as posicionadas no meio da altura da viga.

DBD


187

Anexo C Parâmetros Utilizados nos Programas Experimentais

C.1. Introdução

Neste anexo é apresentada uma tabela contendo os dados geométricos

das vigas de concreto armado, dos reforços com compósito de fibras de carbono

e as propriedades dos materiais (concreto, aço e CFRP) utilizados nos diversos

programas experimentais relatados no Anexo B.

Os dados contidos nesta tabela foram utilizados nos cálculos da parcela

da força cortante resistida pelo FRP fV (rotinas apresentadas no Anexo A).

C.2. Parâmetros Geométricos e Mecânicos dos Programas Experimentais

O valor da altura efetiva do FRP não foi fornecido, pois obtém-se através

dos valores de d , ftd e fbd , conforme mostra a Figura C.1.

Figura C.1 – Altura efetiva do FRP.

As legendas dos modos de ruptura observados experimentalmente são:

EB – esmagamento das bielas;

TD – tração diagonal;

R – ruptura do reforço;

D – descolamento do reforço;

DR – descolamento e ruptura do reforço ocorrendo ao mesmo tempo;

D+R – descolamento do reforço seguido de sua ruptura;

F – Flexão.

As vigas dos programas experimentais reforçadas com AFRP ou GFRP

não foram incluídas nesta tabela.

dfh d d f b

d f t

dfh d d f b

d f t

DBD


188

Tabela C.1 – Parâmetros Geométricos e Mecânicos dos Programas Experimentais.

Viga

wbmm

dmm d

a

Seçã

o

cfMPa sA swA

yf

MPaywf

MPasE

GPaftd

mmfbd

mm

ftmm

fwmm

fsmm

ffMPa

fEGPa

β °

almm

Exe

cuçã

o

Rup

tura

expV

kN fρ %

CH (FS1)

150 220 2,5 R 35 3x15 6@ 50 400 400 200 * * * * * * * * * * EB 110,0 *

CH (FS2)

150 220 2,5 R 35 3x15 6@ 50 400 400 200 * * * * * * * * * * EB 108,0 *

CH (US1)

150 220 2,5 R 35 3x15 6@ 200 400 400 200 * * * * * * * * * * TD 55,0 *

CH (US2)

150 220 2,5 R 35 3x15 6@ 200 400 400 200 * * * * * * * * * * TD 51,5 *

CH (RS90-1)

150 220 2,5 R 35 3x15 6@ 200 400 400 200 0 250 1,000 50 100 2400 150 90 0 S R 87,5 0,67

CH (RS90-2)

150 220 2,5 R 35 3x15 6@ 200 400 400 200 0 250 1,000 50 100 2400 150 90 0 S D 95,0 0,67

CH (RS135-1) 150 220 2,5 R 35 3x15 6@ 200 400 400 200 0 250 1,000 50 150 2400 150 45 0 S D 94,0 0,44

CH (RS135-2) 150 220 2,5 R 35 3x15 6@ 200 400 400 200 0 250 1,000 50 150 2400 150 45 0 S D 99,5 0,44

KH1 (CW1) 150 254 3,6 R 27,5 2x32 10@

125 460 350 200 * * * * * * * * * * TD 175,0 *

KH1 (CW2) 150 254 3,6 R 27,5 2x32 10@

125 460 350 200 0 305 0,165 915 915 3500 228 90 / 0 0 U /

S EB 214,0 NU

KH1 (CO1)

150 254 3,6 R 20,5 2x32 * 460 350 200 * * * * * * * * * * EB 48,0 *

KH1 (CO2)

150 254 3,6 R 20,5 2x32 * 460 350 200 0 305 0,165 50 125 3500 228 90 0 U D 88,0 0,09

KH1 (CO3)

150 254 3,6 R 20,5 2x32 * 460 350 200 0 305 0,165 915 915 3500 228 90 0 U D 113,0 0,22

DBD


189

Viga

wbmm

dmm d

a

Seçã

o

cfMPa sA swA

yf

MPaywf

MPasE

GPaftd

mmfbd

mm

ftmm

fwmm

fsmm

ffMPa

fEGPa

β °

almm

Exe

cuçã

o

Rup

tura

expV

kN fρ %

KH1 (CF1)

150 254 3,6 R 27,5 2x16 * 430 350 200 * * * * * * * * * * EB 93,0 *

KH1 (CF2)

150 254 3,6 R 27,5 2x16 * 430 350 200 0 305 0,165 915 915 3500 228 90 0 U F 119,5 NU

KH1 (CF3)

150 254 3,6 R 27,5 2x16 * 430 350 200 0 305 0,165 915 915 3500 228 90 / 0 0 U /

S F 131,0 NU

KH1 (CF4)

150 254 3,6 R 27,5 2x16 * 430 350 200 0 305 0,165 915 915 3500 228 90 75 W F 140,0 NU

KH2 (BT1)

150 354 3 T 35 2x28 * 470 * 200 * * * * * * * * * * EB 90,0 *

KH2 (BT2)

150 354 3 T 35 2x28 * 470 * 200 100 405 0,165 1070 1070 3790 228 90 0 U D 155,0 0,22

KH2 (BT3)

150 354 3 T 35 2x28 * 470 * 200 100 405 0,165 1070 1070 3790 228 90 / 0 0 U /

S D 157,5 NU

KH2 (BT4)

150 354 3 T 35 2x28 * 470 * 200 100 405 0,165 50 125 3790 228 90 0 U D 162,5 0,09

KH2 (BT5)

150 354 3 T 35 2x28 * 470 * 200 100 405 0,165 50 125 3790 228 90 0 S D 121,5 0,09

KH2 (BT6)

150 354 3 T 35 2x28 * 470 * 200 100 405 0,165 1070 1070 3790 228 90 50 UA F 221,0 NU

KH3 (SW3-1) 150 254 3 R 19,3 2x32 10@

125 460 350 200 * * * * * * * * * * TD 126,5 *

KH3 (SW3-2) 150 254 3 R 19,3 2x32 10@

125 460 350 200 0 305 0,165 760 760 3790 228 90 / 0 0 U /

S EB 177,0 NU

KH3 (SW4-1) 150 254 4 R 19,3 2x32 10@

125 460 350 200 * * * * * * * * * * TD 100,0 *

DBD


190

Viga

wbmm

dmm d

a

Seçã

o

cfMPa

sA swA yf

MPaywf

MPasE

GPa ftd

mmfbd

mm

ftmm

fwmm

fsmm

ffMPa

fEGPa

β °

almm

Exe

cuçã

o

Rup

tura

expV

kN fρ %

KH3 (SW4-2) 150 254 4 R 19,3 2x32 10@

125 460 350 200 0 305 0,165 1020 1020 3790 228 90 / 0 0 U /

S EB 180,5 NU

KH3 (SO3-1)

150 254 3 R 27,5 2x32 * 460 * 200 * * * * * * * * * * TD 77,0 *

KH3 (SO3-2)

150 254 3 R 27,5 2x32 * 460 * 200 0 305 0,165 50 125 3790 228 90 0 U D 131,0 0,09

KH3 (SO3-3)

150 254 3 R 27,5 2x32 * 460 * 200 0 305 0,165 75 125 3790 228 90 0 U D 133,5 0,13

KH3 (SO3-4)

150 254 3 R 27,5 2x32 * 460 * 200 0 305 0,165 760 760 3790 228 90 0 U D 144,5 0,22

KH3 (SO3-5)

150 254 3 R 27,5 2x32 * 460 * 200 0 305 0,165 760 760 3790 228 90 / 0 0 U /

S EB 169,5 NU

KH3 (SO4-1)

150 254 4 R 27,5 2x32 * 460 * 200 * * * * * * * * * * TD 65,0 *

KH3 (SO4-2)

150 254 4 R 27,5 2x32 * 460 * 200 0 305 0,165 50 125 3790 228 90 0 U D 127,5 0,09

KH3 (SO4-3)

150 254 4 R 27,5 2x32 * 460 * 200 0 305 0,165 1020 1020 3790 228 90 0 U EB 155,0 NU

DE (T6NS)

140 540 2,9 T 44,1 4x26 * NF 520 200 * * * * * * * * * * TD 110,1 *

DE (T6NS -C45)

140 540 2,9 T 44,1 4x26 * NF 520 200 150 600 0,11 50 100 3400 230 45 0 U D 213,6 0,08

DE (T6S4)

140 540 2,9 T 44,1 4x26 6@ 400 NF 520 200 * * * * * * * * * * TD 187,6 NU

DE (T6S4 -C90)

140 540 2,9 T 44,1 4x26 6@ 400 NF 520 200 150 600 0,11 50 100 3400 230 90 0 U D 272,8 0,08

DBD


191

Viga

wbmm

d

mm

da

Seçã

o

cfMPa

sA swA

yf

MPa

ywfMPa

sEGPa

ftdmm

fbdmm

ftmm

fwmm

fsmm

ffMPa

fEGPa

β °

almm

Exe

cuçã

o

Rup

tura

expV

kN fρ %

DE (T6S2)

140 540 2,9 T 44,1 4x26 6@ 200 NF 520 200 * * * * * * * * * * TD 356,9 *

DE T6S2-C90) 140 540 2,9 T 44,1 4x26 6@ 200 NF 520 200 150 600 0,11 50 100 3400 230 90 0 U D 309,8 NU

AD (B-1)

300 245 4 Q 38 4x32 * 395 * 196 * * * * * * * * * * TD 112,0 *

AD (C-1)

300 245 4 Q 37,2 4x32 * 395 * 196 50 300 0,167 1000 1000 3400 230 90 0 U D 165,0 0,11

AD (C-2)

300 245 4 Q 41 4x32 * 395 * 196 0 300 0,167 1000 1000 3400 230 90 80 UA EB 228,5 NU

AD (C-3)

300 245 4 Q 41,1 4x32 * 395 * 196 0 300 0,167 1000 1000 3400 230 90 110 UA EB 237,5 NU

AD (C-4)

300 245 4 Q 42,4 4x32 * 395 * 196 0 300 0,167 1000 1000 3400 230 90 150 W F 250,0 NU

BE (V8_A)

150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF * * * * * * * * * * TD 57,35 *

BE (V8_B)

150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF * * * * * * * * * * TD 56,49 *

BE (V9_A)

150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 100 3400 230 90 0 S D 98,1 0,07

BE (V9_B)

150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 100 3400 230 90 0 S D 104,3 0,07

BE (V21_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 100 3400 230 90 0 S D 115,2 0,07

BE (V10_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 100 3400 230 90 0 L DR 107,5 NU

DBD


192

Viga

wbmm

d

mm

da

Seçã

o

cfMPa

sA swA

yf

MPa

ywfMPa

sEGPa

ftdmm

fbdmm

ftmm

fwmm

fsmm

ffMPa

fEGPa

β °

almm

Exe

cuçã

o

Rup

tura

expV

kN fρ %

BE (V10_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 100 3400 230 90 0 L DR 106,0 NU

BE (V17_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 100 3400 230 90 0 L DR 102,8 NU

BE (V11_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 100 3400 230 90 0 U DR 98,4 0,07

BE (V11_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 100 3400 230 90 0 U DR 124,8 0,07

BE (V17_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 100 3400 230 90 0 U DR 92,9 0,07

BE (V12_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 100 3400 230 90 75 W R 116,4 0,07

BE (V18_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 100 3400 230 90 75 W R 127,3 0,07

BE (V20_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 100 3400 230 90 75 W R 140,1 0,07

BE (V12_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 141,4 3400 230 45 0 S D 101,6 0,05

BE (V14_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 141,4 3400 230 45 0 S D 91,6 0,05

BE (V19_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 141,4 3400 230 45 0 L DR 118,4 NU

BE (V19_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 50 141,4 3400 230 45 0 L DR 115,1 NU

BE (V13_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 655 655 3400 230 90 0 S D 122,0 0,15

DBD


193

Viga

wbmm

d

mm

da

Seçã

o cfMPa

sA

swA

yf

MPa

ywfMPa

sEGPa

ftdmm

fbdmm

ftmm

fwmm

fsmm

ffMPa

fEGPa

β °

almm

Exe

cuçã

o

Rup

tura

expV

kN fρ %

BE (V13_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 655 655 3400 230 90 0 S D 125,7 0,15

BE (V15_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 655 655 3400 230 90 0 U D 138,4 0,15

BE (V16_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 655 655 3400 230 90 0 U D 112,4 0,15

BE (V16_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 655 655 3400 230 90 75 W F 183,9 NU

BE (V18_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 655 655 3400 230 90 75 W F 202,4 NU

BE (V14_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 655 655 3400 230 45 0 S D 128,4 0,15

BE (V15_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 0,111 655 655 3400 230 45 0 S D 120,6 0,15

BE (V20_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 1,4 50 100 2500 205 90 0 S D 142,9 0,93

BE (V22_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 1,4 50 100 2500 205 90 0 S D 112,5 0,93

BE (V21_B) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 1,4 50 141,4 2500 205 45 0 S D 135,7 0,66

BE (V22_A) 150 253 2,9 R 32,8 6x16 * 625 * NF 0 300 1,4 50 141,4 2500 205 45 0 S D 125,6 0,66

DI1 (P0)

130 410 2,2 R 40 2x16 2x14 6@ 300 550 240 210 * * * * * * * * * * TD 110,0 *

DI (PO-bis)

130 410 2,2 R 40 2x16 2x14 6@ 300 550 240 210 * * * * * * * * * * TD 110,0 *

DI (PU1)

130 410 2,2 R 40 2x16 2x14 6@ 300 550 240 210 0 450 0,43 40 200 1400 105 90 0 U D 142,5 0,13

DBD


194

Viga

wbmm

d

mm

da

Seçã

o

cfMPa

sA swA

yf

MPa

ywfMPa

sEGPa

ftdmm

fbdmm

ftmm

fwmm

fsmm

ffMPa

fEGPa

β °

almm

Exe

cuçã

o

Rup

tura

expV

kN fρ %

DI (PU2)

130 410 2,2 R 40 2x16 2x14 6@ 300 550 240 210 0 450 0,43 40 250 1400 105 90 0 U D 130 0,11

DI (PU3)

130 410 2,2 R 40 2x16 2x14 6@ 300 550 240 210 0 450 0,43 40 300 1400 105 45 0 U D 154,5 0,09

DI (PU4)

130 410 2,2 R 40 2x16 2x14 6@ 300 550 240 210 0 450 0,43 40 350 1400 105 45 0 U D 150,0 0,08

DI (PC1)

130 410 2,2 R 40 2x16 2x14 6@ 300 550 240 210 0 450 0,43 40 200 1400 105 90 65 W R 177,5 0,13

DI (PC2)

130 410 2,2 R 40 2x16 2x14 6@ 300 550 240 210 0 450 0,43 40 250 1400 105 90 65 W R 155,0 0,11

DI (PC3)

130 410 2,2 R 40 2x16 2x14 6@ 300 550 240 210 0 450 0,43 40 300 1400 105 45 65 W R 145,5 0,09

DI (PC4)

130 410 2,2 R 40 2x16 2x14 6@ 300 550 240 210 0 450 0,43 40 350 1400 105 45 65 W R 132,0 0,08

CA (R1)

180 460 2,7 R 52 12x16 * 515 515 210 * * * * * * * * * * TD 126,0 *

CA (R2)

180 460 2,7 R 53,6 12x16 * 515 515 210 * * * * * * * * * * TD 124,0 *

CA (R3)

180 460 2,7 R 37,6 12x16 * 515 515 210 * * * * * * * * * * TD 103,0 *

CA (R4)

180 460 2,7 R 42,4 12x16 * 515 515 210 * * * * * * * * * * TD 119,0 *

CA (R5)

180 460 2,7 R 36,8 12x16 * 515 515 210 * * * * * * * * * * TD 125,0 *

CA (145)

180 460 2,7 R 53,6 12x16 * 515 515 210 0 500 0,07 1250 1250 4500 234 45 0 S R 247,0 0,08

DBD


195

Viga

wbmm

d

mm

da

Seçã

o

cfMPa

sA swA

yf

MPa

ywfMPa

sEGPa

ftdmm

fbdmm

ftmm

fwmm

fsmm

ffMPa

fEGPa

β °

almm

Exe

cuçã

o

Rup

tura

expV

kN fρ %

CA (145F)

180 460 2,7 R 39,2 12x16 * 515 515 210 0 500 0,07 1250 1250 4500 234 45 0 S R 338,0 NU

CA (20)

180 460 2,7 R 47,2 12x16 * 515 515 210 0 500 0,11 1250 1250 4500 234 0 0 S TD 154,0 NU

CA (245a)

180 460 2,7 R 56,8 12x16 * 515 515 210 0 500 0,11 1250 1250 4500 234 45 0 S DR 257,0 0,12

CA (245b)

180 460 2,7 R 42,4 12x16 * 515 515 210 0 500 0,11 1250 1250 4500 234 45 0 S DR 305,0 0,12

CA (245W) 180 460 2,7 R 36,8 12x16 * 515 515 210 0 500 0,11 1250 1250 4500 234 45 90 W D+R 338,0 0,12

CA (245F)

180 460 2,7 R 39,2 12x16 * 515 515 210 0 500 0,11 1250 1250 4500 234 45 0 S DR 319,0 NU

CA (245Ra) 180 460 2,7 R 53,6 12x16 * 515 515 210 0 500 0,11 1250 1250 4500 234 45 0 S DR 306,0 0,12

CA (245Rb) 180 460 2,7 R 37,6 12x16 * 515 515 210 0 500 0,11 1250 1250 4500 234 45 0 S DR 251,0 0,12

CA (245RF) 180 460 2,7 R 42,4 12x16 * 515 515 210 0 500 0,11 1250 1250 4500 234 45 0 S DR 291,0 NU

CA (290a)

180 460 2,7 R 47,2 12x16 * 515 515 210 0 500 0,11 1250 1250 4500 234 90 0 S D 256,0 0,12

CA (290b)

180 460 2,7 R 41,6 12x16 * 515 515 210 0 500 0,11 1250 1250 4500 234 90 0 S D 298,0 0,12

CA (290W) 180 460 2,7 R 41,6 12x16 * 515 515 210 0 500 0,11 1250 1250 4500 234 90 90 W F 367,0 NU

CA (290WR) 180 460 2,7 R 36,8 12x16 * 515 515 210 0 500 0,11 1250 1250 4500 234 90 90 W D+R 388,0 0,12

DBD


196

Viga

wbmm

d

mm

da

Seçã

o

cfMPa

sA swA

yf

MPa

ywfMPa

sEGPa

ftdmm

fbdmm

ftmm

fwmm

fsmm

ffMPa

fEGPa

β °

almm

Exe

cuçã

o

Rup

tura

expV

kN fρ %

CA (345)

180 460 2,7 R 56,8 12x16 * 515 515 210 0 500 0,17 1250 1250 4500 234 45 0 S D 334,0 0,19

CA (345F)

180 460 2,7 R 43,2 12x16 * 515 515 210 0 500 0,17 1250 1250 4500 234 45 0 S D 344,0 NU

CA (R)

180 460 2,2 R 36 12x16 6@ 200 515 515 210 * * * * * * * * * * EB 237,0 *

CA (290)

180 460 2,2 R 36,8 12x16 6@ 200 515 515 210 0 500 0,11 1000 1000 4500 234 90 0 S D 298,0 0,12

CA (390)

180 460 2,2 R 36,8 12x16 6@ 200 515 515 210 0 500 0,17 1000 1000 4500 234 90 0 S D 298,0 0,19

Legendas de “Viga”, de acordo com o programa experimental que ela pertence: CH(...) – CHAALLAL et alii (1998); KH1(...) – KHALIFA e NANNI

(1999); KH2(...) – KHALIFA e NANNI (2000); KH3(...) – KHALIFA e NANNI (2002); DE(...) – DENIAUD e CHENG (2001); AD(...) – ADHIKARY et

alii (2003); BE(...) – BEBER (2003); DI(...) – DIAGANA et alii (2003); CA(...) – CAROLIN e TÄLJSTEN (2005).

Demais legendas: NF – dado não fornecido no programa experimental, NU – viga não utilizada na comparação teórico-experimental.

DBD


197

Anexo D Resumo sobre Teoria da Probabilidade

D.1. Introdução

Neste anexo são apresentados, em linhas gerais, alguns conceitos de

teoria da probabilidade.

D.2. Função Densidade de Probabilidades (PDF) e Função de Distribuição Cumulativa (CDF)

A função densidade de probabilidades é uma função matemática

contínua que tem como objetivo descrever os resultados obtidos em

experimentos aleatórios, ou seja, representar estatisticamente este experimento.

Assumindo que uma determinada variável aleatória X tenha um valor x

e adotando um intervalo de ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2dxx até ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

2dxx , a probabilidade dos

resultados dos experimentos ficarem contidos neste intervalo é dx)x(fX , onde

)x(fX é a função densidade de probabilidades. A probabilidade da variável X

assumir valores, por exemplo, entre a e b é obtida por:

∫=≤≤b

aX dx)x(f)bXa(P (D.1)

Para que uma função matemática )x(fX seja considerada uma PDF

(Figura D.1a) as seguintes condições devem ser satisfeitas:

0≥)x(fX (D.2)

∫∞

∞−

= 1dx)x(fX

(D.3)

)bXa(Pdx)x(fb

aX ≤≤=∫

(D.4)

A função de distribuição cumulativa é definida como a integral da função

densidade de probabilidades:

DBD


198

∫∞−

=a

XX dx)x(f)a(F

(D.5)

onde )a(FX representa a probabilidade da variável aleatória X assumir valores

menores ou iguais a a . Uma CDF (Figura D.1b) deve satisfazer as seguintes

condições:

0=−∞ )(FX (D.6)

10 ≤≤ )x(FX (D.7)

1=∞ )(FX (D.8)

Figura D.1 – (a) Função Densidade de Probabilidades (PDF) e (b) Função de Distribuição Cumulativa (CDF).

Quando mais de uma variável aleatória são associadas a um

experimento, por exemplo, duas variáveis aleatórias, a função densidade de

probabilidades conjunta é requerida, esta deve satisfazer as seguintes

condições:

02121≥)x,x(f X,X

(D.9)

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= 1122121dxdx)x,x(f X,X

(D.10)

)dXc,bXa(Pdxdx)x,x(fb

a

d

cX,X ≤≤≤≤=∫ ∫ 21122121

(D.11)

e a função de distribuição cumulativa conjunta é expressa por:

0

fX(x)

X a b

FX(a)

0

FX(x)

X a b

FX(a)

FX(b)

(a) (b)

1,0

DBD


199

∫ ∫∞− ∞−

=a b

X,XX,X dxdx)x,x(f)b,a(F 12212121 (D.12)

Quando a PDF de uma variável aleatória é obtida a partir da função de

densidade de probabilidades conjunta é chamada função densidade de

probabilidades marginal, sendo:

∫∞

∞−

= 2211 211dx)x,x(f)x(f X,XX

(D.13)

∫∞

∞−

= 1212 212dx)x,x(f)x(f X,XX

(D.14)

Se duas variáveis aleatórias são independentes entre si, a função de

densidade de probabilidades conjunta é obtida pelo produto da PDF de cada

variável, conforme a seguir:

)x(f)x(f)x,x(f XXX,X 2121 2121= (D.15)

D.3. Propriedades Estatísticas de Variáveis Aleatórias Contínuas

O valor esperado ou o valor médio de uma variável aleatória é obtido por:

∫∞

∞−

== dx)x(xf)X(E XXμ (D.16)

e o valor médio quadrático desta variável é definido como:

∫∞

∞−

= dx)x(fx)X(E X22 (D.17)

O termo que mede a dispersão dos valores da variável aleatória em torno

da média é chamado de variância, representado por )X(Var ou 2Xσ , e

calculado pela seguinte equação:

( )∫∞

∞−

−== dx)x(fx)X(Var XxX22 μσ (D.18)

222XX )X(E)X(Var μσ −== (D.19)

O desvio padrão da variável aleatória é obtido pela raiz quadrada da

variância:

)X(VarX =σ (D.20)

e o coeficiente de variação desta variável é obtido a partir da razão entre o

desvio padrão e a média:

DBD


200

X

XXCoV

μσ

δ == (D.21)

O coeficiente de correlação entre duas variáveis aleatórias 1X e 2X é

definido por:

21

21

21

XXX,X

)X,Xcov(σσ

ρ = (D.22)

onde 1Xσ e

2Xσ são os desvios padrões de 1X e 2X , respectivamente, e

)X,Xcov( 21 representa a covariância entre estas variáveis, sendo obtida por:

[ ]2121 212121 XXXX )XX(E)X)(X(E)X,Xcov( μμμμ −=−−= (D.23)

)XX(E 21 é o valor esperado do produto 21XX :

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

= 21212121 21dxdx)x,x(fxx)XX(E X,X (D.24)

Quando 1X e 2X são independentes o coeficiente de correlação torna-

se nulo, pois neste caso tem-se:

212121 XX)X(E)X(E)XX(E μμ== (D.25)

Para um experimento que englobe n variáveis aleatórias, a matriz de

correlação entre elas é definida por:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

X,XX,XX,X

X,XX,XX,X

X,XX,XX,X

ρρρ

ρρρρρρ

ρ

L

MMMM

L

L

21

122212

12111

(D.26)

D.4. Distribuições de Probabilidades

D.4.1. Distribuição Normal ou Gaussiana

Essa distribuição é a mais usada, e tem sua função densidade de

probabilidades definida conforme a seguir:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

2

21

21

X

X

XX

xexp)x(f

σμ

πσ (D.27)

os parâmetros são a média Xμ e o desvio padrão Xσ da variável aleatória.

Introduzindo uma variável auxiliar, denominada de variável reduzida y ,

pode-se reescrever a equação D.27:

DBD


201

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−== 2

21

21 yexp)y()y(fY π

φ (D.28)

sendo a variável reduzida determinada por:

X

X

Y

Y XYσ

μσ

μ −=

− (D.29)

onde 0=Yμ e 1=Yσ .

Esta transformação resulta em uma nova variável aleatória Y com PDF

normal padrão, conhecida como )y(φ . A CDF chamada, neste caso, de função

de distribuição cumulativa normal padrão ou simplesmente )y(Φ é usualmente

tabelada e pode ser obtida por:

∫∞−

=y

Y dy)y(f)y(Φ (D.30)

A função de distribuição cumulativa de uma variável aleatória normal é

obtida a partir de:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

X

XX

x)x(F

σμ

Φ (D.31)

D.4.1.1. Soma ou Diferença de Variáveis Aleatórias Normais

Quando uma variável aleatória Z é definida pela soma de variáveis

normais independentes, por exemplo 1X e 2X , esta também é uma variável

aleatória normal:

21 XXZ += (D.32)

a média desta variável é definida por:

)X(E)X(E)XX(E)Z(E 2121 +=+= (D.33)

21 XXZ μμμ += (D.34)

e o desvio padrão da mesma é obtido através de:

( )[ ] ( )[ ]221

2221 XXZZ XXEZE μμσμ −−+==−

(D.35)

( ) ( ) ( )( )[ ]2121 21

22

21

2 2 XXXXZ XXXXE μμμμσ −−+−+−= (D.36)

sendo 1X e 2X variáveis aleatórias normais independentes, tem-se:

22YXZ σσσ +=

(D.37)

DBD


202

D.4.2. Outras Distribuições

A seguir, é apresentada uma tabela contendo a PDF, CDF, Xμ e Xσ de algumas distribuições de probabilidades mais utilizadas.

Tabela D.1 – Caracterização de Algumas Distribuição de Probabilidades.

Distribuição PDF - )x(fX CDF - )x(FX Média - Xμ Desvio Padrão - Xσ

Normal ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

2

21

21

X

X

X

xexp

σμ

πσ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

X

Xxσ

μΦ Xμ Xσ

Lognormal ( )

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

2

21

21

ξλ

πξxlnexp

x ( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ξ

λΦ

xln ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 2

21

ξλexp 12 −)exp(X ξμ

Rayleigh ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

−2

2 21

RR

xexpxσ

τσ

τ ⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−

2

211

R

xexpσ

τ 2π

στ R+ 2

2 πσ −R

Uniforme ab −

1 abax

−−

2ba +

12ab −

Tipo I Máx (Gumbel)

( ) ( )[ ]{ }uxexpuxexp −−−−− ααα ( )[ ]{ }uxexpexp −−− α α

57720.u + 6α

π

Tipo I Mínimo

( ) ( )[ ]{ }uxexpuxexp −−− ααα ( )[ ]{ }uxexpexp −−− α1 α

57720.u − 6α

π

Tipo II Máximo ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+ kk

xvexp

xv

vk 1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

k

xvexp ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

kv 11Γ

502 1121

.

kkv ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − ΓΓ

Tipo III Mín (Weibull) ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

− kk

vxexp

vx

vk 1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

k

vxexp1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

kv 11Γ

502 1121

.

kkv ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ΓΓ

DBD


203

O parâmetro k, contido nas distribuições Tipo II Máximo e Tipo III Mínimo

(Weibull), é obtido por:

091,CoVk −= (D.38)

e )(Γ representa a função Gamma, calculada através da seguinte integral:

( )∫∞

−−=0

1 dxxxexp)k( kΓ (D.39)

D.4.2.1. Função Densidade de Probabilidades Bidimensional Normal

A função densidade de probabilidades conjunta de duas variáveis

aleatórias normais é definida por:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−+−

−= 2

22

2211

221

12

1

21

21 ρρ

ρσπσρ hkkhexp),x,x(f

XXX,X (D.40)

onde ( )111 XX /xh σμ−= , ( )

222 XX /xk σμ−= e ρ representa o coeficiente de

correlação entre as variáveis.

No caso das variáveis aleatórias serem normais padrão a equação D.40

pode ser reescrita:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−+−

−= 2

2122

21

2211

221

12

1ρ

ρ

ρπρϕ

xxxxexp),x,x( (D.41)

esta é a função densidade de probabilidades bidimensional normal padrão.

D.4.2.2. Função Densidade de Probabilidades M-Dimensional Normal

Padrão

A função densidade de probabilidades conjunta de m variáveis aleatórias

normais padrão é definida por:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= − XX

21exp

)2(1);X( 1T

2/mm ρρπ

ρϕ (D.42)

onde X é o vetor das variáveis aleatórias normais padrão e ρ é o vetor dos

coeficientes de correlação entre as variáveis.

D.4.3. Distribuições Normais Equivalentes

Se uma variável aleatória tem uma distribuição de probabilidades que

não é normal, uma distribuição normal equivalente num ponto *x deve ser

obtida, para isso iguala-se as funções densidade de probabilidades (PDF) e de

DBD


204

distribuição cumulativa (CDF) dessa variável a de uma normal, no determinado

ponto *x , conforme a seguir:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= N

X

NX

*

NX

*X

x)x(f

σμ

φσ

1 (D.43)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= N

X

NX

**

Xx

)x(Fσ

μΦ (D.44)

)(φ e )(Φ significam, respectivamente, a PDF e a CDF normais padrão.

Assim, obtém-se a média e o desvio padrão da variável aleatória normal

equivalente no ponto *x através da resolução do sistema de equações

apresentado anteriormente:

[ ]{ })x(f

)x(F*

X

*XN

X

1−

=Φφ

σ

(D.45)

[ ])x(Fx *X

NX

*NX

1−−= Φσμ (D.46)

onde )p(1−Φ fornece o valor da variável reduzida cuja probabilidade de

ocorrerem valores menores ou iguais a ela seja igual a p , pois )(1−Φ

representa a inversa da CDF normal padrão.

D.4.4. Coeficientes de Correlações Equivalentes

Se variáveis aleatórias não normais são correlacionadas é necessário

obter os coeficientes de correlações equivalentes, ou seja, os coeficientes de

correlações entre as variáveis originais devem ser corrigidos para coeficientes de

correlações entre variáveis normais equivalentes, sendo:

ijij XEX Fρρ = (D.47)

onde F depende de ijXρ e dos coeficientes de variação CoV das variáveis

aleatórias originais, não normais.

OpenSees (2001) fornece expressões analíticas para o coeficiente de

correlação equivalente EXij

ρ para um grande número de distribuições de

probabilidades, transcritas a seguir:

DBD


205

Tabela D.2 – Coeficientes de Correlações Equivalentes.

Variável Aleatória )i( Normal correlacionada com Variável Aleatória )j( ...

Normal ijijX

EX ρρ =

Lognormal ijijX

2i

iEX

)CoV+ln(1

CoVρρ =

Rayleigh ijijX

EX 1,014ρρ =

Uniforme ijijX

EX 1,023ρρ =

Tipo I Máx (Gumbel) ijij

XEX 1,031ρρ =

Tipo I Mínimo ijij

XEX 1,031ρρ =

Tipo II Máximo ijij

Xj2j

EX )CoV0,238+CoV0,364+(1,030 ρρ =

Tipo III Mín (Weibull) ijij

Xj2j

EX )CoV0,195-CoV0,328+ (1,031 ρρ =

Variável Aleatória )i( Lognormal correlacionada com Variável Aleatória )j( ...

Normal ijijX

2j

jEX

)CoV+ln(1

CoVρρ =

Lognormal ij

ij

ij

ijX

2j

2iX

jiXEX

)CoV+ln(1)CoV+ln(1

)CoVCoV+ln(1ρ

ρ

ρρ =

Rayleigh ijijij

ijij

XXX

iXiEX

))0,004+(0,001+

0,014)CoV+0,130-CoV(0,231+(1,011

ρρρ

ρρ =

Uniforme ijijijX

2iXi

EX )CoV0,249 +)(0,010 + CoV0,014 + (1,019 ρρρ 2=


ijijij

ijij

XXX

iiXEX

))0,004+(0,001+

CoV)CoV0,233+0,197-(0,014+(1,029

ρρρ

ρρ =

Tipo I Mínimo

ijij

ijijij

XiX2i

2XiX

EX

)CoV0,197 +CoV0,233 +

)(0,004 +CoV0,014 + 0,001- (1,029

ρρ

ρρρ =

Tipo II Máximo

2j

2i

2X

jiX

CoV0,379 + CoV0,288 +)0.018( +

CoV0,222 + CoV0,019- 0,082 +1,026 = temp

ij

ij

ρ

ρ

jXjiiXEX CoV0,277- CoVCoV0,126 +CoV0,441- temp

ijijijρρρ =

Tipo III Mín (Weibull)

ij

ijijij

ijij

Xij

XiXX

jjXEX

)CoV0,210)-CoV0,009+

0,174-CoV(0,350+)0,002+(0,052+

CoV)CoV0,220+0,005+(0,052+(1,031

ρ

ρρρ

ρρ =

DBD


206

Variável Aleatória )i( Rayleigh correlacionada com Variável Aleatória )j( ...

Normal ijijX

EX 1,014ρρ =

Lognormal ijijij

ijij

XXX

jXjEX

))0,004+(0,001+

0,014)CoV+0,130-CoV(0,231+(1,011

ρρρ

ρρ =

Rayleigh ijijijXX

EX )0,029-(1,028 ρρρ =

Uniforme ijijijX

2X

EX ))0,008(-(1,038 ρρρ =

Tipo I Máx (Gumbel) ijijijij

XXXEX ))0,006+(-0,045+(1,046 ρρρρ =

Tipo I Mínimo ijijijij

X2

XXEX ))0,006(+0,045+(1,046 ρρρρ =

Tipo II Máximo

ijij

ijijij

XjX2j

2XjX

EX

)CoV0.229- 0,383CoV+

)(0,028+CoV0,266+0,038-(1,036

ρρ

ρρρ =

Tipo III Mín (Weibull) ijijijij

XXjXjEX )0,042+CoV0,212)-0,136-CoV(0,353+(1,047 ρρρρ =

Variável Aleatória )i( Uniforme correlacionada com Variável Aleatória )j( ...

Normal ijijX

EX 1,023ρρ =

Lognormal ijijijX

2jXj

EX )CoV0,249 +)(0,010 + CoV0,014 + (1,019 ρρρ 2=

Rayleigh ijijijX

2X

EX ))0,008(-(1,038 ρρρ =

Uniforme ijijijX

2X

EX ))0,047(-(1,047 ρρρ =

Tipo I Máx (Gumbel) ijijij

X2

XEX ))0,015(+(1,055 ρρρ =

Tipo I Mínimo ijijij

X2

XEX ))0,015(+(1,055 ρρρ =

Tipo II Máximo ijijij

X2jXj

EX )CoV0,405+)0,074(+CoV0,305+(1,033 ρρρ 2=

Tipo III Mín (Weibull) ijijij

X2jXj

EX )CoV0,379+)0,005(-CoV0,237-(1,061 ρρρ 2=

Variável Aleatória )i( Tipo I Máx (Gumbel) correlacionada com Variável Aleatória )j( ...

Normal ijijX

EX 1,031ρρ =

Lognormal ijijij

ijij

XXX

jjXEX

))0,004+(0,001+

CoV)CoV0,233+0,197-(0,014+(1,029

ρρρ

ρρ =

Rayleigh ijijijijXXX

EX ))0,006+(-0,045+(1,046 ρρρρ =

Uniforme ijijijX

2X

EX ))0,015(+(1,055 ρρρ =

DBD


207


XXXEX )0,069)-(0,005+(1,064 ρρρρ =


X2

XXEX ))0,005(+0,069+(1,064 ρρρρ =

Tipo II Máximo

ijij

ijijij

XiX2j

XjXEX

)CoV0,332-CoV0,383+

)0,020(+CoV0,263+0,060-(1,056

ρρ

ρρρ 2=


ijijij

ijij

XXX

jXjEX

))0.003+(0.065+

CoV0,210)-0,211-CoV(0,356+(1,064

ρρρ

ρρ =

Variável Aleatória )i( Tipo I Mínimo correlacionada com Variável Aleatória )j( ...

Normal ijijX

EX 1,031ρρ =

Lognormal ijij

ijijij

XjX2j

2XjX

EX

)CoV0,197 +CoV0,233 +

)(0,004 +CoV0,014 + 0,001- (1,029

ρρ

ρρρ =

Rayleigh ijijijijX

2XX

EX ))0,006(+0,045+(1,046 ρρρρ =

Uniforme ijijijX

2X

EX ))0,015(+(1,055 ρρρ =


X2

XXEX ))0,005(+0,069+(1,064 ρρρρ =


X2

XXEX ))0,005(+0,069-(1,064 ρρρρ =

Tipo II Máximo

ijij

ijijij

XjX2j

2XjX

EX

)CoV0.332+CoV0,383+

)0,020(+CoV0,263+0,060+(1,056

ρρ

ρρρ =


ijij

ijijij

XjX2j

2XjX

EX

)CoV0,211+CoV0,356+

)0,003(+CoV0,210-0,065-(1,064

ρρ

ρρρ =

Variável Aleatória )i( Tipo II Máximo correlacionada com Variável Aleatória )j( ...

Normal ijijXi

2i

EX )0,238CoV+CoV0,364+(1,030 ρρ =

Lognormal 2i

2j

2X

ijX

CoV0,379 + CoV0,288 +)0.018( +

CoV0,222 + CoV0,019- 0,082 +1,026 = temp

ij

ij

ρ

ρ

iXijjXEX CoV0,277- CoVCoV0,126 +CoV0,441- temp

ijijijρρρ =

Rayleigh ijij

ijijij

XiX2i

2XiX

EX

)CoV0.229- 0,383CoV+

)(0,028+CoV0,266+0,038-(1,036

ρρ

ρρρ =

Uniforme ijijijX

2iXi

EX )CoV0,405+)0,074(+CoV0,305+(1,033 ρρρ 2=

DBD


208


ijij

ijijij

XiX2i

XiXEX

)CoV0,332-CoV0,383+

)0,020(+CoV0,263+0,060-(1,056

ρρ

ρρρ 2=

Tipo I Mínimo

ijij

ijijij

XiX2i

2XiX

EX

)CoV0.332+CoV0,383+

)0,020(+CoV0,263+0,060+(1,056

ρρ

ρρρ =

Tipo II Máximo

)CoVCoV(0,203+

)CoV+CoV(0,570-)CoV+0,662(CoV+

)0,055(-)CoV+CoV(0,104+0,054+1,086 = temp

ji

jiX2j

2i

2XjiX

ij

ijij

ρ

ρρ

ij

ijij

ijij

Xjiji

ji2

X2j

2iX

3j

3i

3X

EX

))CoV+)(CoVCoV0.141(CoV+

)CoV+(CoV)0,257(+)CoV+(CoV0,371-

)CoV+CoV(0,218-)0,020(-(temp

ρ

ρρ

ρρ =


2j

2i

2X

jiX

CoV0,435+CoV0,372+)+0,013(

CoV0,259-CoV0,241+0,146+1,065 = temp

ij

ij

ρ

ρ

ijijijijXjXjiiX

EX )CoV0,481-CoVCoV0,034+CoV0,005+(temp ρρρρ =

Variável Aleatória )i( Tipo III Mín (Weibull) correlacionada com Variável Aleatória )j( ...

Normal ijijXi

2i

EX )CoV0,195-CoV0,328+ (1,031 ρρ =

Lognormal

ij

ijijij

ijij

Xji

XjXX

iiXEX

)CoV0,210)-CoV0,009+

0,174-CoV(0,350+)0,002+(0,052+

CoV)CoV0,220+0,005+(0,052+(1,031

ρ

ρρρ

ρρ =

Rayleigh ijijijijXXiXi

EX )0,042+CoV0,212)-0,136-CoV(0,353+(1,047 ρρρρ =

Uniforme ijijijX

2iXi

EX )CoV0,379+)0,005(-CoV0,237-(1,061 ρρρ 2=


ijijij

ijij

XXX

iXiEX

))0.003+(0.065+

CoV0,210)-0,211-CoV(0,356+(1,064

ρρρ

ρρ =

Tipo I Mínimo

ijij

ijijij

XiX2i

2XiX

EX

)CoV0,211+CoV0,356+

)0,003(+CoV0,210-0,065-(1,064

ρρ

ρρρ =

Tipo II Máximo

2i

2j

2X

ijX

CoV0,435+CoV0,372+)+0,013(

CoV0,259-CoV0,241+0,146+1,065 = temp

ij

ij

ρ

ρ

ijijijijXiXjijX

EX )CoV0,481-CoVCoV0,034+CoV0,005+(temp ρρρρ =

DBD


209


ijijij

ij

ijij

XjiXX

jjX

iiXEX

)CoVCoV0,007- )0,001+(0,004-

CoV0,200)-CoV0,337+(0,007+

0,200)CoV-CoV0,337+(0,007+(1,063

ρρρ

ρ

ρρ =

D.4.4.1. Decomposição de Choleski da Matriz dos Coeficientes de Correlações Equivalentes

Se uma matriz simétrica definida A pode ser decomposta em duas

matrizes triangulares, em que uma é a transposta da outra, como é o caso da

matriz dos coeficientes de correlações equivalentes, pode-se obter os elementos

da matriz triangular inferior L a partir das seguintes equações gerais:

11

11

01

1

1

2

1

1

11

11

>−=

<<⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−=

==

∑

∑−

=

−

=

iLL

ikLLL

L

L,L

i

jijii

k

jkjijik

kkik

ii

ρ

ρ

(D.48)

onde ikρ é o coeficiente de correlação entre as variáveis.

Assim obtém-se a matriz triangular inferior L :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn LLL

LL L

L

L

MMMM

21

2212

11

00000

(D.49)

DBD


departamento de engenharia civil e meio ambiente - marcela … tese apresentada como requisito...

Documents