delineamento de experimentos-prova4 -...

Cul

tura

Aca

dêm

ica

DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

Carlos Roberto Padovani


DELIN

EAM

ENT

O D

E EXP

ERIM

ENT

OS

Carlos Roberto Padovani é professor titular de Bioestatística do Instituto de Bio -ciências, Unesp, câmpus de Botucatu, tendo atuado como professor e/ou orientador de Programas de Pós-Graduação da USP, Unicamp, Unesp, UFMT e UnB. Foi bol-sista produtividade do CNPq; membro da Comissão de Avaliação de Programas de Pós-Graduação junto à Capes; coordenador da Área de Ciências Biológicas junto à Runesp, presidente da Região Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria. Atualmente ministra disciplinas da área de Estatística na graduação e de Bioestatística e Metodologia da Pesquisa Científi ca em vários programas de Pós-Graduação na Unesp, com orientações em nível de Mestrado e Doutorado e supervisão de Pós-Doutorado.

O texto apresenta noções básicas, históricas e conceituais de delineamentos experimen-tais, em particular dos planejamentos inteiramente casualizado e em blocos completos casualizados, complementado com os esquemas fatoriais, correlação e regressão linear simples e testes de aderência e associação para variáveis categorizadas. A abordagem não é realizada sob o aspecto tradicional de fórmulas e uso de “pacotes” computacionais para os cálculos estatísticos, mas sim, trazendo à realidade o planejamento e o desenvolvimento da experimentação aos alunos das áreas de Ciências Biológicas e da Saúde.

Capa_Delineamento_minha versao.indd 1Capa_Delineamento_minha versao.indd 1 19/05/2014 18:17:1619/05/2014 18:17:16


delineamento_de_experimentos-prova4.indd 1delineamento_de_experimentos-prova4.indd 1 28/05/2014 15:49:1528/05/2014 15:49:15

Universidade Estadual Paulista

Reitor Julio Cezar Duriganr

Pró-Reitor de Graduação Laurence Duarte Colvara

Pró-Reitor de Pós-Graduação Eduardo Kokubun

Pró-Reitora de Pesquisa Maria José Soares Mendes Giannini

Pró-Reitora de Extensão Universitária Mariângela Spotti Lopes Fujita

Pró-Reitor de Administração Carlos Antonio Gamero

Secretária Geral Maria Dalva Silva Pagottol

Chefe de Gabinete Roberval Daiton Vieira



Cul

tura

Aca

dêm

ica Carlos Roberto Padovani

São Paulo2014


©Pró-Reitoria de Graduação, Universidade Estadual Paulista, 2014.

Ficha catalográfica elaborada pela Coordenadoria Geral de Bibliotecas da Unesp

Padovani, Carlos RobertoDelineamento de experimentos / Carlos Roberto Padovani. –

São Paulo : Cultura Acadêmica : Universidade Estadual Paulista,Pró-Reitoria de Graduação, 2014

128 p. : tabs.

BibliografiaISBN: 978-85-7983-523-0

1. Planejamento Experimental. 2. Bioestatística. I. Título. II.Universidade Estadual Paulista. Pró-Reitoria de Graduação.

CDD 378.8161

P124d

Pró-reitorr Laurence Duarte Colvara

Secretária Joana Gabriela Vasconcelos Deconto

Assessoria José Brás Barreto de Oliveira Maria de Lourdes Spazziani Valéria Nobre Leal de Souza Oliva

Técnica Bambina Maria Migliori Camila Gomes da Silva Cecília Specian Eduardo Luis Campos Lima Gisleide Alves Anhesim Portes Ivonette de Mattos Maria Emília Araújo Gonçalves Maria Selma Souza Santos Renata Sampaio Alves de Souza Sergio Henrique Carregari

Projeto gráfi co e diagramação Andrea Yanaguita

equipe


PROGRAMA DE APOIO

À PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO

Considerando a importância da produção de material didático-pedagógi-

co dedicado ao ensino de graduação e de pós-graduação, a Reitoria da UNESP,

por meio da Pró-Reitoria de Graduação (PROGRAD) e em parceria com a

Fundação Editora UNESP (FEU), mantém o Programa de Apoio à Produção

de Material Didático de Docentes da UNESP, que contempla textos de apoio

às aulas, material audiovisual, homepages, soft wares, material artístico e outras

mídias, sob o selo CULTURA ACADÊMICA da Editora da UNESP, disponibi-

lizando aos alunos material didático de qualidade com baixo custo e editado

sob demanda.

Assim, é com satisfação que colocamos à disposição da comunidade

acadêmica mais esta obra, “Delineamento de Experimentos”, de autoria do

Prof. Dr. Carlos Roberto Padovani, do Instituto de Biociências do Câmpus de

Botucatu, esperando que ela traga contribuição não apenas para estudantes da

UNESP, mas para todos aqueles interessados no assunto abordado.


SUMÁRIO

1. Delineamento de Experimentos 9 1.1. Introdução 9 1.2. Delineamento ou Planejamento ou Desenho (“Design”) do Experimento 13 1.3. Delineamentos Experimentais 17 1.4. Exemplos 18

2. Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) 20 2.1. Introdução 20 2.2. Modelo do Experimento DIC com Dados Balanceados 20 2.3. Procedimento Estatístico: Análise de Variância 22 2.4. Independência dos Erros 23 2.5. Variância Constante (Homocedasticidade) 25 2.6. Normalidade dos Erros 26 2.7. Técnica da Análise de Variância (ANOVA) 29 2.8. Coefi cientes de Determinação e Variação de um Experimento 33 2.9. Comparações Múltiplas 34 2.10. Exercícios (DIC com Dados Balanceados) 36 2.11. Respostas dos Exercícios (DIC com Dados Balanceados) 38 2.12. Modelo do Experimento DIC com Dados Não Balanceados 40 2.13. Exercícios (DIC Não Balanceado) 43 2.14. Respostas dos Exercícios (DIC Não Balanceado) 44

3. Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) 47 3.1. Introdução 47 3.2. Modelo do Experimento (Biológico) 49 3.3. Procedimento Estatístico: Análise de Variância 50 3.4. Comparações Múltiplas 53 3.5. Exercícios (DBCC) 54 3.6. Respostas dos Exercícios (DBCC) 55

4. Esquemas Fatoriais 57 4.1. Introdução 57 4.2. Esquema Fatorial a*b no DIC 58 4.3. Exemplo de Fatorial a*b no DIC 63 4.4. Esquema Fatorial a*b no DBCC 65 4.5. Exemplo de Fatorial a*b no DBCC 68 4.6. Exercícios (Esquemas Fatoriais: DIC e DBCC) 71 4.7. Respostas dos Exercícios (Esquemas Fatoriais : DIC e DBCC) 72

5. Análise de Aderência e Associação 75 5.1. Introdução 75 5.2. Teste de Aderência 75 5.3. Teste de Homogeneidade 78 5.4. Teste de Independência 82


5.5. Exercícios (Testes de Aderência e Associação) 84 5.6. Respostas dos Exercícios (Testes de Aderência e Associação) 87

6. Correlação Linear Simples 89 6.1. Introdução 89 6.2. Diagrama de Dispersão 90 6.3. Coefi ciente de Correlação 91 6.4. Teste de Hipótese da Correlação 94 6.5. Exercícios (Correlação Linear Simples) 95 6.6. Respostas dos Exercícios (Correlação Linear Simples) 98

7. Regressão Linear Simples 101 7.1. Introdução 101 7.2. Modelo de Regressão Linear Simples 102 7.3. Coefi ciente de Determinação 107 7.4. Teste do Coefi ciente (Angular) de Regressão 108 7.5. Exercícios (Regressão Linear Simples) 109 7.6. Respostas dos Exercícios (Regressão Linear Simples) 112

8. Bibliografi a 115

9. Tabelas 117

Tabela 9.1 Distribuição t de Student P t t t− < <( )= −⎡⎣ ⎤⎦0 0 1 a 117

Tabela 9.2 Distribuição Qui-quadrado P χ χ α202>( )=⎡

⎣⎢⎤⎦⎥ 118

Tabela 9.3 Distribuição F P F F>( )=⎡⎣ ⎤⎦0 0 01, 119



Tabela 9.6 Distribuição “studentized range” ( )q Tukey0 01 1, ; : %ϕ ( )[ ] 122



Tabela 9.9 Valores críticos do coefi ciente de correlação linear de Pearson (teste bilateral) 128


1DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS

1.1 INTRODUÇÃO

Sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962) nasceu em Londres no dia 17 de

fevereiro de 1890 e bacharelou-se em Matemática pela Universidade de Cam-

bridge em 1912. Sua miopia exagerada salvou da convocação para o serviço mili-

tar na 1ª Guerra Mundial, defeito que possibilitou desenvolver um treinamento

matemático de alta abstração (visualização no plano imaginário) o que deve ter

contribuído para sua preferência pela apresentação hipergeométrica, possibili-

tando assim a exibir soluções singulares independentes de simbolismo algébrico.

No início do século XX, em 1919, após trabalhar dois anos como estatísti-

co e mais quatro como professor de matemática e física em escolas públicas

recebeu o convite para criar e chefi ar um laboratório de estatística na Estação

Experimental de Agricultura de Rothamstead, Inglaterra, onde permaneceu

até 1933.

Durante este período, unido a outros estatísticos e pelo contato diário

com problemas da área agrícola, Fisher desenvolveu os métodos de análise e

os delineamentos experimentais, conforme descreve SALSBURG(2009). Car-

acteriza-se por delineamento do experimento ou delineamento experimental

(experimental design, em inglês, diseño experimental, em espanhol) o modo

de dispor as parcelas no experimento, ou seja, a maneira de designar os trata-

mentos às unidades experimentais ou parcelas. A técnica mais fi sheriana trata-

se de análise de variância. Juntamente com a análise de covariância, também

de sua autoria, constitui-se no instrumental básico para interpretação dos re-

sultados dos experimentos planejados. Deve ser destacado que esses métodos

procedentes do cotidiano agrícola se tornaram universais e aplicáveis em todas


DELINEAMENTO DE EXPERIMENTOS10 |

as áreas de conhecimento: medicina, psicologia, engenharia, odontologia, bio-

logia, ecologia, entre outras.

Porém, como a formalização dos procedimentos ocorreu em um ambiente

agrícola, a origem dos termos técnicos da experimentação apresenta conota-

ção bem agronômica. Assim o termo parcela foi criado para designar a uni-

dade de área usada no experimento. Essa unidade de área era, originalmente,

uma faixa de terra ou um vaso. Hoje, parcela, tem um signifi cado mais geral,

pois, dependendo do experimento pode ser um animal, uma pessoa, uma peça

anatômica, um corpo de prova, entre várias outras possibilidades que podem

ser utilizadas como unidades experimentais. A terminologia mais utilizada,

atualmente consiste em designar parcela por unidade experimental, que con-

siste na unidade física ou biológica para conduzir o experimento.

De mesma maneira, o termo tratamento também foi introduzido pela área

agrícola. Indicava o que estava em comparação: fertilizantes, inseticidas, var-

iedades, nutrientes. Hoje o termo tratamento tem um signifi cado mais geral.

Muitos experimentos são feitos para comparar métodos, grupos, produ-

tos, máquinas, materiais e, inclusive, combinações destes. Mas o interesse, em

experimentação, nem sempre é de comparar tratamentos. Muitas vezes, pre-

tende-se apenas saber se determinado tratamento produz efeito (nesse caso,

compara-se um grupo que recebeu tratamento - Grupo Tratado – com um

grupo que não recebeu o tratamento – Grupo Controle ou Testemunha).

A respeito do grupo controle duas considerações quanto à sua constitu-

ição podem ser feitas: Controle Negativo e Controle Positivo. O grupo controle

negativo é composto por unidades experimentais que não recebem tratamento

(“virgem de tratamento”), ou recebem apenas placebo (substância inerte). No

entanto, o grupo controle positivo, constitui-se de unidades que recebem o

tratamento padrão ou convencional. Na prática, a terminologia grupo controle

ou testemunha é utilizada como sinônimo de controle negativo.


Delineamento de Experimentos | 11

Embora o uso de grupo controle já esteja consagrado em experimentação,

na área médica, torna-se fundamental discutir a ética de constituir o grupo

controle negativo. Neste sentido, a experimentação com seres humanos exige

um aprofundamento quanto às questões éticas do uso de placebo (controle

negativo), inclusive pelo fato de se caracterizar por omissão de tratamento.

A exequibilidade do experimento está subordinada ao princípio básico da

repetição, segundo o qual indica que se deve ter repetições do experimento

para que seja possível produzir uma medida de variabilidade que permitirá a

realização dos testes de hipóteses sobre a presença de efeitos dos tratamentos

ou à estimação desses efeitos. O número de unidades experimentais (parcelas

ou repetições) para cada tratamento deve ser determinado a partir de informa-

ções sobre a variabilidade das parcelas em termos da variável resposta (depen-

dente), custo e poder dos testes de signifi cância.

Em experimentação a proposta básica que se formula consiste em com-

parar grupos, não apenas unidades. As medidas experimentais do mesmo

grupo recebem o nome de repetições. Do ponto de vista estatístico é sem-

pre desejável que os experimentos tenham grande número de repetições por

grupo. Na prática, muitas vezes, o número de repetições fi ca limitado aos re-

cursos (físicos, fi nanceiros, materiais,...) disponíveis. Um dado importante que

deve ser considerado para o tamanho dos grupos, consiste em: quanto mais

homogêneo for o material - em termos de características que possam inter-

ferir nas observações ou medições que serão feitas - menor será o número de

repetições necessário para evidenciar o efeito signifi cativo de tratamentos.

No contexto experimental, defi ne-se fator como uma característica em es-

tudo da qual há interesse em verifi car a inferência sobre uma resposta do experi-

mento, conforme destacam ANDRADE & OGLIARI (2007). Os níveis do fator

constituem os tratamentos do estudo. Um fator é indicado como quantitativo

quando seus níveis são referentes a quantidades (doses de uma droga, níveis de



adubação, etc). Por outro lado, um fator é referido qualitativo quando seus níveis

são relativos a atributos (diferentes dietas, variedades de capim, etc).

Defi nidos os fatores e seus respectivos níveis que serão designados como

os tratamentos do estudo, a unidade experimental (parcela) e a variável de-

pendente, torna-se necessário estabelecer qual o esquema de alocação dos

tratamentos às unidades experimentais será utilizado, ou seja, como deve ser

conduzido o delineamento experimental.

Para formar grupos tão iguais quanto possível é fundamental que os trata-

mentos sejam sorteados às unidades experimentais (casualização). Ou seja, o

que importa é entender que os tratamentos devem ser designados às unidades

experimentais por puro e simples sorteio. A casualização teve início em 1920

na área agronômica, porém, na pesquisa médica, só começou a ser aceita mui-

to mais tarde. A idéia de “sortear” os pacientes que irão receber o tratamento

pode levantar questões de ética. Os que fazem objeções ao uso de casualização

em experimentos médicos usam o argumento de que não é ético “sortear” o

tratamento para alguns pacientes e deixar outros sem tratamento. Ora, essa

objeção refere-se à condução do experimento e não à técnica de casualizar.

Não existem alternativas válidas para a casualização. O pesquisador que

escolhe as unidades por critério próprio por melhores que sejam as intenções,

introduz tendenciosamente nos resultados.

O princípio da casualização pode ser considerado como uma das maio-

res contribuições dos procedimentos estatísticos à ciência experimental, pois

nele está assegurada a fi dedignidade das conclusões. O efeito de proceder a

casualização constitui-se na garantia que parcelas (unidades experimentais)

com características diferentes tenham igual probabilidade de serem designa-

das para todos os grupos.



1.2 DELINEAMENTO OU PLANEJAMENTO OU DESENHO (“DESIGN”) DO

EXPERIMENTO

O procedimento geral e comum na pesquisa científi ca consiste em formu-

lar hipóteses (afi rmativas sob julgamento) e verifi cá-las diretamente ou por suas

consequências. Neste sentido, faz-se necessário um conjunto de observações e o

planejamento de experimentos é então imprescindível para indicar o procedi-

mento que será utilizado para verifi car se as hipóteses são verdadeiras ou falsas.

As hipóteses são avaliadas por meio de métodos de tomada de decisão

estatística (teoria das probabilidades) cujos procedimentos quantitativos e

análises objetivas (teoria estatística) dependem da maneira sob a qual as ob-

servações foram obtidas. Procedimento bem distinto da matemática no qual

para calcular a área de uma fi gura plana, por exemplo, de um triângulo, basta

multiplicar sua base por sua altura e dividir por dois que se obtém de maneira

exata o valor numérico relativo à área desejada.

Nas áreas das ciências biológicas a situação é bem mais complexa, surgem

inúmeras causas de variação de controle impossível ou só parcialmente pos-

sível (variações genéticas, erros de medidas inerentes à precisão dos aparelhos,

efeitos sazonais, etc). Essas causas de variação, várias e às vezes até desconhe-

cidas ou mal conhecidas, acumulam variações nos dados observados que pos-

sibilitam alterar em menor ou maior intensidade os resultados das unidades

experimentais, cuja precisão deve ser discutida em termos probabilísticos de

quão prováveis são os valores encontrados. Neste contexto, troca-se a exatidão

da matemática pela construção probabilística das possibilidades dos resulta-

dos encontrados nos dados (precisão das informações estatísticas). O plane-

jamento experimental e a análise estatística dos resultados estão interligados

e, desta forma, devem ser considerados de maneira sucessiva nas pesquisas

científi cas de todas as áreas de conhecimento (Sampaio, 2010).



Existe uma semelhança muito expressiva entre o médico e o estatístico

(“cuidador da saúde dos números”).

O primeiro passo para o médico é o diagnóstico (para o estatístico, o

planejamento); saber onde há necessidade de cura (qual o modelo para coleta

de dados). A primeira atitude dos médicos é examinar os sintomas – se você

chegar ao médico já pedindo determinado remédio, não será atendido; antes,

é preciso saber quais os sintomas aparentes do problema, detectando os sinto-

mas físicos (material e métodos) e emocionais (imparcialidade e não viés de

planejamento) – para fi nalmente realizar a prescrição.

Assim acontece com a estatística, a análise dos dados (prescrição de remé-

dio) deve acontecer após o conhecimento dos sintomas (características da pes-

quisa em estudo) para que se tenha o diagnóstico (modelo do delineamento

experimental).

Segundo Sir Ronald Aylmer Fisher, o arquiteto da estatística experimental:

“Chamar o especialista em estatística depois que o experimento foi feito pode

ser o mesmo que pedir para ele fazer um exame post-mortem. Talvez ele con-

siga dizer de que foi que o experimento morreu”.

A melhor maneira para a visualização sequencial destes aspectos consiste

em considerar a circularidade do método científi co, no qual pode-se verifi car

a necessidade e a importância do planejamento experimental juntamente com

a análise estatística de dados.



Observações (2)

(Planejamento)

Formulação de hipóteses (1)

(Planejamento)

Verifi cação das hipóteses (3)

(Análise)

Desenvolvimento da Teoria (4)

Uma pesquisa científi ca estatisticamente planejada deve seguir a seguinte

sequência de passos quanto ao planejamento e execução:

1. Enunciado claro do problema e formulação das hipóteses que serão estuda-

das (as hipóteses científi ca e estatística devem manter uma correspondên-

cia perfeita e o enunciado apresentar-se de maneira clara e objetiva).

2. Indicação dos fatores (variáveis independentes – variáveis controladas

pelo pesquisador) do estudo (a escolha dos fatores e seus respectivos níveis

constituirão os tratamentos).

3. Indicação da unidade experimental (parcela). Deve ser defi nida no sentido

de minimizar o erro experimental.

4. Indicação das variáveis (variáveis respostas) que serão medidas na unidade

experimental (a distribuição probabilística associada à variável resposta é

essencial para a escolha do método de análise estatística).

5. Indicação das regras e procedimentos pelos quais os diferentes tratamen-

tos (combinação de níveis de fatores) serão atribuídos às unidades experi-

mentais (processo de casualização ou aleatorização).

6. Análise estatística dos dados do experimento (tem como objetivo verifi car

as hipóteses estabelecidas no início da pesquisa).

7. Descrição dos resultados analíticos com as medidas de precisão das estima-

tivas e o respectivo nível de signifi cância nas interpretações inferenciais.



Para melhor entendimento das características e as etapas do planejamento

experimental, suponha que o interesse de um pesquisador consista em com-

parar duas dietas (normocalórica e hipercalórica) quanto ao desempenho

ponderal fi nal de ratos Wistar-Kyoto submetidos aos tratamentos (dietas) por

um período fi nal de 12 semanas.

Caracteriza-se que o experimento está planejado quando estão defi nidos:

i. a unidade experimental (animal – rato Wistar);

ii. a variável em análise (resposta) e a forma como será medida (variação per-

centual do ganho de peso, medido pela diferença 100( ) %PF PIPI

- ), sendo

PF o peso fi nal e PI o peso inicial;

iii. tratamentos em comparação (dieta normocalórica e dieta hipercalórica);

iv. forma de designar os tratamentos às unidades experimentais (por sorteio)

considerando que os animais são homogêneos;

v. o número de ratos de cada dieta será de 12 unidades.

Os itens iv e v formam os princípios básicos da experimentação: casualiza-

ção (fi dedignidade) e a repetição (exequibilidade).

As hipóteses de interesse da pesquisa são verifi cadas com a utilização de

métodos de análise estatística que dependem da maneira sob a qual as observa-

ções foram obtidas, ou seja, sob qual modelo de casualização dos tratamentos

às unidades experimentais os dados foram coletados. Portanto, planejamento

de experimentos e análise dos dados coletados sob o modelo operacional uti-

lizado não podem ser considerados isolados, pois a ordem dos acontecimentos

está em uma sequência dentro do desenvolvimento nas pesquisas.

O procedimento estatístico exigido ao analisar dados experimentais ou ob-

servacionais fundamenta-se em gerar modelos que explicitem as estruturas do

fenômeno biológico, as quais continuamente estão misturadas com variações

casuais, aleatórias ou acidentais. Quanto mais identifi cada e entendida forem

essas estruturas, maior conhecimento do fenômeno, assim como, melhores



serão as informações sobre os possíveis comportamentos do mesmo. Ou seja,

tem-se uma aproximação consistente da realidade biológica expressa num

modelo considerado (modelo é uma expressão resumida de algum fenômeno).

A percepção biológica e a identidade estatística com o processo estocástico

ponderam admitir cada observação composta por duas partes: uma previsível

(controlada) e outra aleatória (não previsível).

Cada observação pode ser representada pelo modelo:

OBSERVAÇÃO = PREVISÍVEL + ALEATÓRIO , no caso aditivo, ou

OBSERVAÇÃO = PREVISÍVEL × ALEATÓRIO , no caso multiplicativo.

A parte previsível sistematiza o conhecimento que o pesquisador tem so-

bre o fenômeno, normalmente expressada por uma função matemática envol-

vendo parâmetros desconhecidos. À parte aleatória, dada sua característica de

não previsibilidade, exige-se que esteja sujeita a algum modelo probabilístico.

A partir destas considerações, seguindo o planejamento proposto para a

coleta de informações (dados) nas unidades experimentais, o procedimento

estatístico consiste em estabelecer estimativas para os parâmetros desconhe-

cidos (propostos na parte sistematizada previsível segundo as hipóteses e os

objetivos do pesquisador), baseando-se em amostras observadas.

1.3 DELINEAMENTOS EXPERIMENTAIS

No contexto do planejamento de um experimento, torna-se essencial

defi nir a maneira como os tratamentos serão designados às unidades. O pro-

cesso de casualização envolvido no planejamento designando como os trata-

mentos serão alocados às unidades experimentais estabelecem o delineamento

do experimento. Nesse contexto, serão apresentados no presente texto, duas

situações comuns na área biológica, quais são: unidades homogêneas e uni-

dades heterogêneas, conforme descrito a seguir.



i. Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC)

Consiste em alocar de maneira inteiramente ao acaso os tratamentos às

unidades experimentais. Para sua realização, exigem-se unidades experi-

mentais homogêneas (similares).

ii. Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC)

Consiste em considerar grupos similares (blocos) de unidades experimen-

tais, quando o conjunto é heterogêneo, e alocar casualmente os tratamen-

tos às unidades experimentais dentro dos blocos.

Na área biomédica o termo bloco é, geralmente, substituído por estrato.

1.4 EXEMPLOS

Para melhor entendimento de um planejamento experimental são apre-

sentados a seguir dois exemplos práticos.

4.1 Planeje um experimento para estudar (comparar) o uso de sobredoses de vi-

tamina B12 na diminuição de aterosclerose, em pacientes com a doença.

Unidade experimental: paciente com a doença.

Variável resposta: diminuição da aterosclerose (diâmetro do calibre em mm).

Tratamentos em comparação: dose padrão, sobredoses baixa, média e alta.

Designação dos tratamentos: por sorteio.

Número de repetições: oito doentes por tratamento.

4.2 Planeje um experimento para comparar quatro métodos de ensino da Linguagem

Americana de Sinais em alunos de uma turma homogênea de 120 alunos.

Unidade experimental: aluno da turma.

Variável resposta: nota de um teste padrão de linguagem (0 a 100 pontos

inteiros).



Tratamentos em comparação: métodos A, B, C, D.

Designação dos tratamentos: sorteio do aluno participante.

Número de repetições: 15 alunos por método.

Sob o aspecto dos delineamentos experimentais mais utilizados nos ex-

emplos práticos propostos em 1.4.1 e 1.4.2; o primeiro envolve como unidade

experimental o ser humano (paciente com doença) com suas características

biológicas heterogêneas, levando a necessidade do DBCC (são construídos

grupos de quatro pacientes com características biológicas tão próximas quanto

possível e então, procede-se o sorteio dos tratamentos). No segundo, como se

trata de uma turma homogênea, o DIC é mais apropriado.


2DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO (DIC)

2.1 INTRODUÇÃO

O primeiro planejamento experimental a ser abordado trata-se do Delin-

eamento Inteiramente Casualizado (DIC), bastante simples quanto ao proces-

so de alocação dos tratamentos às unidades experimentais. Para melhor desen-

volvimento didático será apresentado, primeiramente com dados balanceados

(mesmo número de repetições por tratamento) e, na sequência, com dados

não balanceados (ausência da consideração de mesmo número de repetições

por tratamento).

2.2 MODELO DO EXPERIMENTO DIC COM DADOS BALANCEADOS

Este delineamento consiste em designar os tratamentos às unidades ex-

perimentais por puro e simples sorteio, isto é, sem qualquer tipo de restrição

(equiprobabilidade para cada unidade experimental receber qualquer um dos

tratamentos). A operacionalização do procedimento de alocação dos tratamen-

tos fi ca condicionada à disponibilidade de parcelas similares no experimento

(parcelas homogêneas). O entendimento de similaridade ou semelhança não

deve ser confundido com igualdade (igualdade conceito muito matemático e

“nada” provável em biologia).

Esse plano experimental é tão mais efi ciente quanto maior for o grau de

homogeneidade entre as unidades experimentais em termos da variável de-

pendente. Se as unidades experimentais são heterogêneas, o número de parce-

las necessário para uma boa precisão pode ser muito grande (na prática deve-

se procurar outros planejamentos experimentais, tais como blocos ou utilizar



variáveis auxiliares – covariáveis, pois estes podem reduzir o erro experimen-

tal).

Sob o aspecto dos procedimentos de testes estatísticos é aconselhável o

balanceamento das repetições (todos tratamentos com igual número de

repetições), embora nem sempre isso seja possível (principalmente na pes-

quisa com seres humanos quando o uso de grupo controle tem restrições de

natureza ética).

O modelo estocástico que indica a forma da resposta biológica de uma

unidade experimental submetida a um dos tratamentos, isto é:

Resposta Biológica = Média Tratamento + Erro Casual Biológico, é descrito como

y (i ,...k j ,...,r)ij i ij= + = =μ ε e 1 1

sendo i o índice referente ao tratamento e j à unidade experimental.

2.3 PROCEDIMENTO ESTATÍSTICO: ANÁLISE DE VARIÂNCIA

A análise de variância (ANOVA), embora exija o cálculo de variâncias,

na verdade compara as médias dos tratamentos. Constitui-se numa extensão

do teste t de Student (que compara apenas duas e só duas médias) para um

número qualquer de médias. A estatística do teste para a ANOVA é calculada

por meio do teste F (Fisher-Snedecor).

A lógica de uma análise de variância consiste em considerar a variação

total existente nos dados desmembrada em duas partes: uma variação devida

aos tratamentos e outra devida ao acaso (ou resíduo). A idéia é comparar a

variação devida aos tratamentos com a variação devida ao acaso.

Algumas pressuposições básicas precisam estar satisfeitas para o uso da

técnica da análise de variância, que são: i) os erros são variáveis aleatórias in-

dependentes; ii) a variância é constante (homogênea nos tratamentos); iii) a

distribuição dos erros é normal ou aproximadamente normal.


Delineamento Inteiramente Casualizado (DIC) | 23

2.4 INDEPENDÊNCIA DOS ERROS

Uma regra prática consiste em utilizar um gráfi co de resíduos padroniza-

dos versus a ordem de coleta dos dados. Se a pressuposição de independência

estiver satisfeita, os resíduos devem fi car distribuídos casualmente ao redor de

zero, sem um padrão defi nido. Para a construção gráfi ca devem ser considera-

das as seguintes defi nições:

Resíduo ⇒ − •e y yij ij i= (resíduo relativo à j-ésima observação do i-ésimo

grupo), i k j r= =1 1,..., ; ,..., .

Resíduo padronizado ⇒ =ze

QMResijij

(resíduo padronizado relativo à j-

ésima observação do i-ésimo grupo ), onde QMRes signifi ca Quadrado Médio

Residual e tem seu valor dado por: QMRes S n S n kpool i ii

k

= = −( )⎛⎝⎜⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −( )

=∑2 2

1

1 .

Para o entendimento da regra prática considere um conjunto homogêneo

de 20 animais e quatro dietas para a comparação das alterações de pesos, cujos

5 animais de cada dieta foram escolhidos por processo randômico (sorteio).

As dietas estudadas foram:

A: dieta padrão;

B: dieta padrão suplementada com amendoim;

C: dieta padrão suplementada com girassol;

D: dieta padrão suplementada com abóbora.

Os ganhos de peso(g) avaliados considerando a variação absoluta entre o

início e o fi nal do experimento, são apresentados na Tabela 2.1.



Tabela 2.1 Ganhos de peso segundo dieta (g)

Dieta A Dieta B Dieta C Dieta D25 31 22 3326 25 26 2920 28 28 3123 27 25 3421 24 29 28

A Tabela 2.2 apresenta o resultado da estatística descritiva dos dados:

Tabela 2.2 Estatística descritiva das dietas

Dieta A B C DMédia 23,0 27,0 26,0 31,0

Variância 6,5 7,5 7,5 6,5

Portanto,

QMRes Spool= = × + × + × + ×( ) −( )=2 4 6 5 4 7 5 4 7 5 4 6 5 20 4 7 0, , , , , .

Os resíduos estão apresentados na Tabela 2.3.

Tabela 2.3 Resíduos dos ganhos de peso segundo dieta (g)

Resíduo (eijj) Resíduo Padronizado (zijjz )

A B C D A B C D

2 4 -4 2 0,756 1,512 -1,512 0,756

3 -2 0 -2 1,134 -0,756 0,000 -0,756

-3 1 2 0 -1,134 0,378 0,756 0,000

0 0 -1 3 0,000 0,000 -0,378 1,134

-2 -3 3 -3 -0,756 -1,134 1,134 -1,134

O gráfi co bidimensional dos pares (ordem da observação; resíduo pa-

dronizado) está apresentado na Figura 2.1.



01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

-1,890

-1,512

-1,134

-0,756

-0,378

0,000

0,378

0,756

1,134

1,512

1,890

Zij

Observação

Figura 2.1. Gráfi co dos resíduos padronizados zij

A inspeção gráfi ca dos resíduos permite indicar que a pressuposição de

independência pode ser aceita.

Em situações que se deseja um resultado mais objetivo, isto é, se há in-

teresse em um estudo mais avançado de delineamento de experimentos, re-

comenda-se aplicar o teste de Durbin-Watson para avaliar a signifi cância da

presença de dependência (autocorrelação) dos erros (Draper & Smith, 1998).

2.5 VARIÂNCIA CONSTANTE (HOMOCEDASTICIDADE)

Uma regra prática indicada por DEAN & VOSS (1999) sugere pressupor

que os resultados de uma ANOVA sejam considerados válidos desde que a

maior variância não exceda em três vezes a menor. BOX (1953) sugere que a

maior variância não deva exceder em quatro vezes a menor. No nível analítico,

no qual exige-se decisão mais objetiva, foram propostos diversos testes para a

igualdade de variâncias, destacando-se entre eles: Cochran, Hartley, Bartlett e

Levene. Em nosso caso, será utilizado o teste de Hartley que considera a razão



entre a maior e a menor variância, cuja estatística do teste é dada pela distri-

buição F.

Ou seja,

H k0 12

22 2: ...s s s= = = (Variâncias Homogêneas)

H1 : Existe s si i2 2¹ ’ , para i i¹ ’ (Variâncias Heterogêneas)

A estatística do teste é obtida considerando

F (S ,...,S )(S ,...,S )

~ Fk

k(glnum;glden)= max

min12 2

12 2 .

Sob a veracidade de H0 , a estatística F do teste de hipótese da homogenei-

dade de variâncias tem distribuição F (Fisher-Snedecor) com os parâmetros:

graus de liberdade do numerador (glnum) e graus de liberdade do denomina-

dor (glden).

A regra de decisão é a habitual, isto é, F F(α glnum;glden)> ; , rejeita-se

H0 ; caso contrário, não há rejeição.

No exemplo:

, t4 6ão

F SS

= = =

=

max(Smin(S

7,56,5

,ent

1

1

242

242 1 15

0 05

,..., ),..., )

,

,α ; portanto, não se rejeiglnum glden F= = =⇒ 390 05 4 4( , ; ; ) ta H0.

2.6 NORMALIDADE DOS ERROS

Um processo prático consiste em fazer um gráfi co de probabilidades nor-

mais (“NORMAL PROBABILITY PLOT”). O gráfi co de probabilidade normal

consiste em uma técnica gráfi ca que permite avaliar se existe ou não um conjun-

to de dados que apresenta aderência à distribuição normal de probabilidades.

Os dados são plotados em um gráfi co cartesiano para verifi car se os pontos

formam uma reta aproximada, levando-se em consideração que quanto mais

afastados da reta situarem os pontos, maior fuga da normalidade apresenta a

situação. Os resíduos padronizados ( Zij ) são colocados no eixo das abscissas

e os escores da distribuição normal padronizada [valores esperados obtidos



de P Z Fi( )£ ] no eixo das ordenadas, para i n=1, , . A cada i-ésimo resíduo,

associa-se a frequência percentual acumulada empírica F ini =−100 1

2( ) %, em

seguida calcula-se P Z Fi( )£ .

Na presença da normalidade, os pontos fi carão em torno de uma reta que

passa pela origem e tem coefi ciente angular 1. De maneira analítica, a hipótese

de que a distribuição dos erros é normal pode ser colocada em teste utilizando-

se os testes de aderência de: Kolmogorov-Smirnov(KS), Shapiro-Wilks(SW) e

Qui-quadrado(χ2).

Em linhas gerais, o pesquisador não precisa preocupar-se com a não-

normalidade, o teste estatístico F é bastante robusto, ou seja, pequenas trans-

gressões à pressuposição de normalidade não afetam, substancialmente, o re-

sultado da análise de variância ANOVA, a menos que a distribuição dos erros

tenha: i) curtose positiva; ii) assimetria. Nesses dois casos, têm-se falsas re-

jeições (mais diferenças signifi cantes do que, na realidade, existem).

Considerando o exemplo dos ganhos de peso segundo dieta com o total 20

animais, tem-se F i ii =− = −100 0 5

205 0 5( , ) % ( , )% . Com os valores dos resíduos pa-

dronizados ordenados em ordem crescente de magnitude constrói-se a Tabela 2.4.



Tabela 2.4 Resíduos padronizados ordenados e escores esperados sob normalidade(Distribuição Z)

Ordem ( i ) Zij (ordenado) Fi (%) Escore Esperado

1 -1,512 2,5 -1,96

2 -1,134 7,5 -1,44

3 -1,134 12,5 -1,15

4 -1,134 17,5 -0,93

5 -0,756 22,5 -0,76

6 -0,756 27,5 -0,60

7 -0,756 32,5 -0,45

8 -0,378 37,5 -0,32

9 0,000 42,5 -0,19

10 0,000 47,5 -0,06

11 0,000 52,5 0,06

12 0,000 57,5 0,19

13 0,378 62,5 0,32

14 0,756 67,5 0,45

15 0,756 72,5 0,60

16 0,756 77,5 0,76

17 1,134 82,5 0,93

18 1,134 87,5 1,15

19 1,134 92,5 1,44

20 1,512 97,5 1,96

Para melhor entendimento do processo considere o resíduo padronizado

de menor magnitude (-1,512). A ordem associada ao valor é i =1 e, logo,

F1 5 1 0 5 2 5(%) ( , )% , %= − = . O escore esperado sob a distribuição normal pa-

dronizada é dado por P Z( , ) ,≤ =−0 025 1 96 . E assim, procede-se sucessiva-

mente até o escore padronizado de maior magnitude (1,512).



-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0 0,5 1,0 1,5 2,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

-2,5

EscoreEsperado

Zij

2.7 TÉCNICA DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA (ANOVA)

Quando se tem um experimento completamente ao acaso com um fator

fi xo (fonte de variação controlada em estudo), o interesse consiste em veri-

fi car a infl uência dos k níveis desse fator (k grupos ou k tratamentos) sobre

uma variável dependente (resposta) biológica Y em estudo. Uma maneira de

verifi car a existência dessa infl uência do fator consiste em comparar as médias

populacionais da variável Y sob os níveis do fator (tratamento = agente causal).

Um teste estatístico para verifi car a igualdade dessas k médias relativas aos

níveis do fator consiste na técnica da análise de variância (ANalysisNN Of O VAri-

ance, título em inglês que deriva a sigla ANOVA, utilizada na língua inglesa e,

muitas vezes na língua portuguesa). Embora o procedimento envolva o cálculo

de variâncias, seu objetivo fundamenta-se em comparar as médias dos níveis

do fator (tratamento).

A lógica da ANOVA para o delineamento inteiramente ao acaso é muito

simples, ou seja, resume-se em fracionar a variabilidade total dos dados em

duas fontes de variação ortogonais entre si, sendo uma devido a variação en-



tre os níveis do fator (variação entre tratamentos) e outra, devido a variação

dentro dos níveis (dentro de tratamentos). Esta última tem a fi nalidade espe-

cífi ca de estimar a variação atribuída ao acaso; enquanto a primeira, envolve

a variação do acaso acumulada, devido aos níveis de tratamento. Feito isso,

determina-se a razão da variação entre os níveis e a variação dentro dos níveis

e, se o resultado obtido for “muito grande” a conclusão é estabelecida a favor

das diferenças entre as médias dos níveis do fator (diferenças entre as médias

dos tratamentos).

Deve ser considerado que para a utilização da técnica da ANOVA, embora

o entendimento da lógica seja muito fácil, algumas pressuposições devem es-

tar satisfeitas, quais sejam: independência dos erros, normalidade dos dados

e homogeneidade de variâncias; conforme será mostrado a seguir a partir dos

dados da Tabela 2.5.

Considere um conjunto homogêneo de 20 animais e quatro dietas para a

comparação das alterações de pesos, cujos 5 animais de cada dieta foram escol-

hidos por processo randômico (sorteio). As dietas estudadas foram:

A: dieta padrão;

B: dieta padrão suplementada com amendoim;

C: dieta padrão suplementada com girassol;

D: dieta padrão suplementada com abóbora.

Tabela 2.5 Ganhos de peso segundo dieta

Dieta A Dieta B Dieta C Dieta D

25 31 22 33

26 25 26 29

20 28 28 31

23 27 25 34

21 24 29 28

23 (2,55) (*) 27 (2,74) 26 (2,74) 31 (2,55)(*) média (desvio padrão)



Cada ganho de peso é uma resposta biológica do modelo geral

yij i ij i ij= + = + +μ ε μ τ ε , com i k=1,..., (número de tratamentos) e j r=1,...,

(número de repetições por tratamento), onde:

μ é a média geral comum a todas as observações defi nida como

, sendo

μi a média populacional de Y no i-ésimo tratamento;ri o número de repetições no i-ésimo tratamento (no caso balanceado é o

valor comum r para todos tratamentos);ti é o efeito do i-ésimo nível do fator na variável dependente Y e mede

o desvio da média μi em relação a m, isto é: τ μ μi i= − ;eij é o erro casual não observável (em nosso estudo, variável aleatória in-

dependente e identicamente distribuída como N 0 2,s( ) ).

Neste sentido, tem-se:

a) E Yij i i( )= + =μ τ μ

b) Var Yij=( )=s2

c) Y Nij i~ ,μ σ2( )Considerando satisfeitas as suposições de independência dos erros, nor-

malidade dos dados e homogeneidade das variâncias de tratamentos, a técnica

da ANOVA consiste em comparar a variação devida aos tratamentos (entre

tratamentos) com a variação devida ao acaso (ou resíduo, ou dentro de trata-

mentos).

Para o cálculo das causas de variação são determinadas:

a) Graus de liberdade (GL)

Total n n kr;Tratamento k ;

duo n k k r

= − == −

= − = −( )

11

1

, onde

Resí

b) Somas de quadrados (SQ)



SQTot y y y ny yi

k

ijj

r

i

k

ijj

r

= − = − ==

••= =

••=

••∑ ∑ ∑ ∑1

2

1 1

2 2

1

1( ) onde nn

y

SQTrat y y yr

ny

i

k

ijj

r

i

k

ij

ri

i

= =

=• ••

=

•••

=

∑ ∑

∑ ∑= − = − =

1 1

1

2

1

22

;

( )11

2

1

2

1

1

1

k

ii

k

i ijj

r

i

k

ij

ry -ny

yr

y

SQRes y

∑ ∑

∑

∑

•=

••

•=

=

=

= −

; onde

;

( yy y yr

SQTot SQTratij

r

i

k

ijj

ri

i

k

•= = =

•

=∑ ∑ ∑ ∑= − = −) .2

1 1

2

1

2

1

c) Quadrados Médios (QM)

QMTrat SQTrat kQMRes SQRes n k

= −= −

/ ( )/ ( )

1

F QMTrat QMRes= /

As quantidades obtidas anteriormente são dispostas na Tabela 2.6, denom-

inada tabela de análise de variância.

Tabela 2.6 Tabela geral de ANOVA de um DIC balanceado

Causa de variação GL SQ QM F

Tratamentos k-1 SQTrat QMTrat QMTrat QMRes/

Resíduo n k- SQRes QMRes

Total n-1 SQTot

O teste de hipóteses relativo à Tabela 2.6 consiste em:

H0 : Não existe efeito de tratamentos ⇔ = = = ⇔ = = = H Hk k0 1 0 10: ... : ...τ τ μ μ μ

H1 : Existe efeito de tratamentos ⇔ ≠ = Existe H i ki1 0 1: ( ,..., )t

Se F F k n k≥ − −( ; ; )a 1 , rejeita-se H0H . Caso contrário não há rejeição.

No exemplo, tem-se:

k = 4 (tratamentos) e r = 5 (repetições por tratamento);



y y•• ••= = =535 535 20 26 75, logo, / ,

y y y y y y y1 1 2 2 3 3 4115 23 135 27 130 26 15• • • • • • •= = = = = = =( ); ( ); ( ); 55 314( )y • =

SQTot = − =14587 00 14311 25 275 75, , ,

SQTrat= − =14475 00 14311 25 163 75, , ,

SQRes= − =275 75 163 75 112 00, , ,

QMTrat = =163 75 3 54 58, / ,

QMRes = =112 00 16 7 00, / ,

Tabela 2.7 ANOVA dos ganhos de peso


Dietas 3 163,75 54,58 7,80 (p < 0,005)

Resíduo 16 112,00 7,00

Total 19 275,75

Conclui-se, no nível de signifi cância 5%, que existem diferenças entre as

médias das alterações (ganhos) de pesos segundo as dietas estudadas (rejeita-

se H0 1 2 3 4 0: t t t t= = = = ). Ou seja, os resultados experimentais (com base

no “p-value”) permitem rejeitar a hipótese de que as médias de tratamentos

são iguais, ao nível de signifi cância de 5%.

2.8 COEFICIENTES DE DETERMINAÇÃO E VARIAÇÃO DE UM EXPERIMENTO

O coefi ciente de determinação ( R2) de um experimento é dado pela razão

entre a SQTrat (variação devida aos tratamentos) e a SQTot (variação total

dos valores observados), indicando a proporção da variação total explicada

pela variação devida aos tratamentos ( 0 12£ £R ).

O coefi ciente de variação ( CV ) de um experimento é dado pela razão entre

o desvio padrão (na ANOVA, consiste na raiz quadrada positiva de QMRes ) e



a média geral dos dados ( y·· ), indicando como os dados comportam-se (dis-

persão) em relação à média geral. A grandeza inversa do CV remete à idéia da

precisão dos dados experimentais.

No exemplo anterior, tem-se

= =R2 SQTrat SQTot/ , / , ,=163 75 275 75 0 5938

(59,38% da variação total é explicada pela variação de tratamentos);

CV QMRes y= = =••/ , / , ,7 00 26 75 0 0989

(9,89% estabelece-se como a dispersão relativa dos dados experimentais)

2.9 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS

A técnica da ANOVA permite ao pesquisador verifi car se existe efeito

dos tratamentos, mas não como as médias dos tratamentos diferem entre

si. Portanto, se constatar que existe efeito do fator em estudo, é interessante

complementar a análise a fi m de localizar as diferenças entre as médias dos

tratamentos. A resposta à complementação da ANOVA pode ser concretizada

(principalmente quando os níveis do fator são qualitativos) com um teste de

comparações múltiplas de médias.

Nessa linha de busca de uma resposta biológica mais interessante e in-

formativa foram propostos diversos testes que, em geral, levam o nome do

seu autor (Tukey, Duncan, Dunnet, Bonferroni, Scheff é, Newman-Keuls ou

Student-Newman-Keuls (SNK), e outros). Não existe um teste aceito como o

“melhor” deles; todos apresentam vantagens e desvantagens e situação mais

indicada para seu uso.

Os testes de comparações múltiplas permitem testar hipóteses do tipo:

H c ck k0 1 1 0: ...μ μ+ + = “versus” H c ck k1 1 1 0: ...μ μ+ + ≠ , com c ck1 0+ + =... . Essa

combinação linear de médias, que refl ete uma situação de interesse biológico,

é denominada contraste de médias.



Na maioria das vezes, o interesse consiste na comparação de todas as dife-

renças entre médias de dois tratamentos. Dentro dessa linha de curiosidade a

opção será pelo método de Tukey.

O método de Tukey baseia-se na diferença honestamente signifi cante

(HSD=”Honestly Signifi cant Diff erence”), cujo princípio é encontrar a diferen-

ça mínima signifi cante que assegura a todas as comparações um nível comum

de signifi cância estabelecido a priori. Segundo Gomes (2009), o teste pode ser

utilizado para comparar todo e qualquer contraste entre pares de médias.

No experimento com dados balanceados o teste de Tukey é exato com o

seguinte procedimento operacional:

0 0H e H , com 0 1: : .’ ’μ μi i i i i i’− = − ≠ ≠μ μ

Calcula-se ( ) ( ) ( )HSD q QMResrk= = ; ;α ϕα Δ α q k( ; ; )α ϕ é o quantil de or-

dem (1-α/2) da distribuição estatística denominada “studentized range” com

parâmetros k (número de tratamentos) e j= −n k (graus de liberdade do re-

síduo). Os valores de q, considerando a=0,01 e a=0,05, estão tabelados e são

encontrados em diversos livros de estatística experimental.

A regra de decisão é a habitual, ou seja:

Se y yi i• •− ≥ ( )’ Δ a , rejeita-se H0 . Caso contrário, não há rejeição.

Similarmente, pode-se apresentar o intervalo de confi ança 100 1−( )a %

para a diferença de médias, cujos limites são dados por:

LI y y q QMResri i= −( )−• • ( )’ ; ;α ϕk

LS y y q QMResri i= −( )+• • ( )’ ; ;α ϕk

No exemplo relativo à Tabela 1, tem-se

q 0 05 4 16 4 05, ; ; ,( ) = ; logo, Δ 5 5 4 05 7 005

4 79% % , , ,( )= ( )= =HSD .

Ou seja, o valor mínimo que expressa a diferença signifi cante entre as mé-

dias dos ganhos de peso é da ordem de 4,79 unidades de peso. Neste sentido, as



únicas diferenças encontradas aconteceram entre as dietas A e D (8,00>4,79)

e C e D (5,00>4,79).

Uma maneira elegante e redacional (textos científi cos e biológicos) de

apresentar os resultados está disposta na Tabela 2.8.

Tabela 2.8 Média e desvio padrão do ganho de peso segundo a dieta

DietaHSD

A B C D

23 (2,55)a(1) 27 (2,74)ab 26 (2,74)a 31 (2,55)b 4,79

(1) duas médias seguidas de pelo menos uma mesma letra não diferem entre si (p>0,05) pelo teste de Tukey

2.10 EXERCÍCIOS (DIC COM DADOS BALANCEADOS)

A seguir são apresentados alguns exercícios para o entendimento do

planejamento experimental envolvido no DIC Balanceado (mesmo número de

repetições por tratamento) e também para o treinamento dos cálculos abran-

gidos na técnica da ANOVA e no teste de comparações múltiplas de Tukey. As

respostas dos exercícios são apresentadas no próximo item.

1. Para testar duas drogas diferentes usando grupo controle, um farmacolo-

gista pretende fazer um experimento com cobaias. Estão disponíveis 24

cobaias, bastante similares. Como você planejaria o experimento?

2. Explique com detalhes o procedimento que você faria para designar cinco

tratamentos (A, B, C, D, E) para 25 unidades experimentais (ratos) similares.

3. Num laboratório de biofísica são usados quatro voltímetros diferentes.

Para verifi car se os quatro voltímetros estão igualmente calibrados, mediu-

se a mesma força constante de 100 volts cinco vezes cada voltímetro. Os



dados estão na tabela abaixo. Faça uma análise de variância e interprete o

resultado (considerar α=0,05).

Voltagem segundo o voltímetro

Voltímetro

A B C D

117 115 118 125

120 110 123 121

114 116 119 123

119 115 122 118

115 114 118 118

4. Para detectar a presença de insetos daninhos nas plantações, colocam-se

papelões untados com uma substância pegajosa e examinam-se os insetos

capturados. Ao nível de 5% de signifi cância, que cores atraem mais inse-

tos? Os pesquisadores colocaram seus papelões de cada cor em posições

aleatórias em um campo de aveia, e contaram o número de insetos captu-

rados.

Cor do papelão Insetos Capturados

Azul 16 11 20 21 14 17

Verde 37 32 20 29 37 32

Branco 21 12 14 17 13 20

Amarelo 45 59 48 46 38 47

Obs.: Como a variável “número de insetos” (contagem) não apresenta distribuição normal (variável discreta), para a análise dos dados considerar os valores observados sob a transformação raiz quadrada.

5. Considere o seguinte quadro de ANOVA da PAM:

Fonte de variação Soma Quadrados GL QM F

Entre Grupos 800 3 ? ?

Intragrupos ? ? 33,33 -

Total 2000

a. Qual tipo de ANOVA está apresentado no quadro?

b. Qual a conclusão no nível de 5% de signifi cância?

c. Qual a redação científi ca mais adequada para a conclusão sobre o resul-

tado do teste estatístico empregado?



6. Considere as seguintes dosimetrias de mercúrio no sangue (ppb) de gru-

pos expostos em garimpos da Amazônia Legal (Ferrari et al., Revista de

Saúde Ocupacional, v.20, n.75, p.54-60, 1992).

Grupo Dosimetria Hg

Garimpeiros 24 19 25 23 13

Ribeirinhos 16 8 10 7 15

Índios 28 30 19 23 22

Controle 12 6 8 7 9

Verifi car, considerando o nível de signifi cância 5%, as diferenças entre as

respostas médias dos grupos.

2.11 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (DIC COM DADOS BALANCEADOS)

1. Cada grupo ( Controle, Droga 1 e Droga 2 ) será composto de oito coba-

ias alocadas por processo aleatório simples (casual ou randomizado ). A

variável resposta será comparada quanto às médias dos grupos pela téc-

nica da ANOVA complementada com o teste de comparações múltiplas de

Tukey, considerando o nível de 5% de signifi cância.

2. Os ratos são enumerados de 1 a 25 e, em uma urna são colocadas 25 eti-

quetas idênticas quanto ao tamanho, forma e cor sendo cinco marcadas

com a letra A, cinco com B, cinco com C, cinco com D e, fi nalmente cinco

com E. Em outra urna, são colocadas outras etiquetas enumeradas de 1

a 25, correspondente aos 25 ratos da pesquisa. Procede-se com a realiza-

ção de sorteios em ambas as urnas, formando 25 pares constituídos pelo

tratamento sorteado na primeira urna e o rato correspondente ao número

sorteado na segunda.



3. Tabela 1. ANOVA para a força dos voltímetros


Voltímetro 3 150,00 50,00 7,41 (p<0,005)

Resíduo 16 108,00 6,75

Total 19 258,00

Tabela 2. Média (desvio padrão) da força segundo tipo de voltímetro

A B C D

117,00 (2,55) ab 114,00 (2,35) a 120,00 (2,35) b 121,00 (3,08) b

DHS (5%) = 4,71

4. Tabela 1. ANOVA para a raiz quadrada do número de insetos capturados

Causa variação GL SQ QM F

Cor do papelão 3 33,72 11,24 43,57 (p<0,001)

Resíduo 20 5,16 0,26

Total 23 38,88

Tabela 2. Média (desvio padrão) do número de insetos capturados(*) segundo cor

Azul Verde Branco Amarelo

4,04 (0,47) a 5,56 (0,60) b 4,00 (0,47) a 6,85 (0,49) c

DHS (5%) = 0,82

(*) Variável sob a transformação raiz quadrada

5. a. ANOVA para DIC balanceado (10 animais por grupo).

b. F= 266,67/33,33 = 8,00 (p < 0,001); portanto rejeita-se a hipótese de

ausência de efeito de tratamentos.

c. No nível de 5% de signifi cância conclui-se que existe diferença entre as

médias da PAM nos grupos estudados.

6. Tabela 1. ANOVA para a dosimetria de mercúrio no sangue (ppb)


Grupo 3 871,20 290,40 17,47 (p<0,001)

Resíduo 16 266,00 16,63

Total 19 1137,20



Tabela 2. Média (desvio padrão) da dosimetria de mercúrio no sangue segundo ogrupo

Garimpeiros Ribeirinhos Índios Controle

20,80 (4,92) b 11,20 (4,09) a 24,40 (4,51) b 8,40 (2,30) a

DHS (5%) = 7,39

2.12 MODELO DO EXPERIMENTO DIC COM DADOS NÃO BALANCEADOS

Em algumas situações, pode acontecer que o número de unidades experi-

mentais disponível não seja múltiplo do número de tratamentos que se pre-

tende comparar ou, ainda, começar o experimento com dados balanceados e

algumas unidades, por algum motivo alheio à vontade do pesquisador, torna-

rem-se perdidas para o experimento. Nessas situações, os tratamentos podem

fi car com números de repetições total ou parcialmente diferentes, ou seja, ex-

perimento com número diferente de repetições (dados não balanceados).

Talvez a primeira sugestão, com base no que já foi visto, seria “descartar

utilizando critérios randômicos” unidades experimentais para se ter os dados

balanceados nos tratamentos. Mesmo sendo, do ponto de vista da Estatística

Experimental, melhor que todos os tratamentos apresentem o mesmo número

de parcelas (a análise é realizada por procedimento exato), a importância bi-

ológica das informações das unidades experimentais é mais imperativa que

a simplicidade dos cálculos matemáticos do procedimento e, neste sentido,

torna-se imprescindível um comportamento mais requintado para a situação.

Nessa situação, o caminho mais próximo às características da biologia aca-

ba sendo dado pelo procedimento anterior realizado com os dados balancea-

dos, adaptando-se as fórmulas dos cálculos aos experimentos com dados não-

balanceados. Esta nova maneira faz com que o processo exato seja direcionado

à forma aproximada.



Portanto, a teoria desenvolvida no DIC balanceado passa a ser explicitada

com pequenas modifi cações nas somas de quadrados e no procedimento de

Tukey.

Tem-se:

SQTot y nyijj

r

i

k i

= − ••==∑∑ 2 2

11, onde ri consiste nas repetições do i-ésimo trata-

mento e yn

yijj

r

i

k i

••==

= ∑∑1

11

SQTrat yr

nyi

ii

k

= −•=

••∑2

1

2 y yi ijj

ri

•=

=∑1

SQRes y SQTot SQResijyr

i

k

j

r

i

ki

i

i

= − = −•

===∑∑∑ 2

111

2

.

O quadro da ANOVA permanece o mesmo do DIC para dados balancea-

dos.

Em relação ao teste de Tukey, calcula-se

k e

Se y yi i ii• •− ≥ ( )’ ’Δ a , rejeita-se a hipótese de igualdade de médias. Caso

contrário, não há rejeição.

A Tabela 2.9 mostra os ganhos de peso (kg) no fi nal do experimento re-

alizado para comparar três rações comerciais em um lote de animais (suínos)

homogêneos (PADOVANI, 2002).



Tabela 2.9 Ganho de peso (kg) segundo ração

Ração Ganho de Peso

A 7,12 6,91 6,30 6,72 6,68 6,80

B 8,15 8,45 8,92 9,15

C 6,58 7,04 6,46 7,12 7,06

r r r n1 2 36 4 5 15= = = =; ; ;

y y y y y1 2 340 53 34 67 34 26 109 46 7 297• • • •• ••= = = = =, , , , , ; ; ; ; 33

SQTot = − × = − =810 3948 15 7 2973 810 3948 798 7588 11 63602, , , , ,

SQTrat= + + − = − =40 536

34 674

34 265

798 7588 809 0319 798 75882 2 2, , , , , , 110 2731,

Tabela 2.10 Quadro da ANOVA do ganho de peso

Causa Variação GL SQ QM F

Ração 2 10,2731 5,1366 42,22 (P<0,001)

Resíduo 12 1,3629 0,1136

Total 14 11,6360

Coefi ciente de Variação do experimento: CV = =100 0 11367 2973

4 62,,

% , %

Coefi ciente de Determinação: R2 10 273111 6360

0 8829 88 29= =,,

, ( , %)

Teste de Tukey

a= 0 05, ; k = 3 (tratamentos); ϕ=12 (graus de liberdade do resíduo)

Δiii i

i i

i ir rr r

rr’’

’

’

, , ,= +⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟ =

+3 77 0 11362

1 1 0 8985

Δ12 0 580= , ; Δ13 0 544= , ; Δ23 0 603= ,

y y A B1 2 126 755 8 6675 1 9125• •− = − = > ≠( ), , , Δ

y y A C1 3 136 755 6 852 0 097• •− = − = < =( ), , , Δ

y y B C2 3 238 6675 6 852 1 8155• •− = − = > ≠( ), , , Δ

A Tabela 2.11 mostra a média e o desvio padrão do ganho de peso segundo

a ração comercial administrada.



Tabela 2.11 Média e desvio padrão do ganho de peso segundo ração

Ração A Ração B Ração C

6,755(0,273)a(1) 8,668(0,452)b 6,852(0,307)a

(1) duas médias seguidas de uma mesma letra não diferem (P>0,05) pelo teste de Tukey.

2.13 EXERCÍCIOS (DIC NÃO BALANCEADO)

1. Para testar duas drogas diferentes usando grupo controle, um farma-

cologista pretende fazer um experimento com cobaias. Estão disponíveis

24 cobaias, bastante similares. Discuta o uso de grupos com diferentes

repetições.

2. Considere as seguintes dosimetrias de mercúrio no sangue (ppb) de gru-

pos expostos em garimpos da Amazônia Legal (Ferrari et al., Revista de

Saúde Ocupacional, v.20, n.75, p.54-60, 1992).

Grupo Dosimetria Hg

Garimpeiros 24 19 25 23 18

Ribeirinhos 13 10 12 8

Índios 28 30 24 26 25

Controle 10 6 8 9

Verifi car, considerando o nível de signifi cância 5%, as diferenças entre as

respostas médias dos grupos.

3. Considerar as seguintes avaliações nasométricas

[nasalância(%)=100*(energia acústica nasal) / (energia acústica nasal+energia otoacústica oral)]

do vocábulo “papai” isolado e inserido em frase (Di Ninno et al., Revista de

Atualização Científi ca PRÓ-FONO, v.13, n.1, p.71-77, 2001)



4. Faixa Etária Nasalância (%)

Criança 10,5 11,6 12,3 8,9 9,2 9,6 10,9 11,0

Adolescente 11,5 10,2 13,9 12,0 10,4 10,0 14,1

Adulto 18,5 16,6 20,2 17,8 21,8 17,4

Considerando o nível de signifi cância 5%, avaliar as diferenças entre as

respostas médias das nasalâncias.

2.14 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (DIC NÃO BALANCEADO)

1. Do ponto de vista biológico, o grupo controle (animais que recebem o

placebo, ou seja, soro fi siológico por exemplo) é o referencial das com-

parações (padrão de referência para testar o efeito das drogas), logo deve

ser o grupo agraciado com mais animais. O restante dos animais pode ser

balanceado entre as duas drogas.

2. Tabela 1. Quadro da ANOVA da dosimetria de Hg


Grupos 3 1030,50 343,50 56,22 (p<0,001)

Resíduo 14 85,50 6,11

Total 17 1116,00

Tabela 2. Média (desvio padrão) da dosimetria segundo grupo

Garimpeiro Ribeirinho Índio Controle

21,80 (3,11) b 10,75 (2,22) a 26,60 (2,41) c 8,25 (1,71) a

DHS (G x R) = 4,82 DHS (G x I) = 4,54 DHS (G x C) = 4,82

DHS (R x I) = 4,82 DHS (R x C) = 5,08 DHS (I x C) = 4,82

3. Tabela 1. Quadro da ANOVA da nasalância


Faixas Etárias 2 256,01 128,01 49,81 (p<0,001)

Resíduo 18 46,28 2,57

Total 20 302,29



Tabela 2. Média (desvio padrão) da nasalância segundo faixa etária

Criança Adolescente Adulto

10,50 (1,19) a 11,73 (1,71) a 18,72 (1,94) b

DHS (Cr x Adol)=2,12 DHS (Cr x Adul)=2,21 DHS (Adol x Adul)=2,28


3DELINEAMENTO EM BLOCOS COMPLETOS

CASUALIZADOS (DBCC)

3.1 INTRODUÇÃO

Quando o conjunto de unidades experimentais for relativamente heterogê-

neo (pequenos grupos de unidades similares, mas nenhum sufi cientemente

grande para um planejamento), o plano experimental inteiramente casualizado

torna-se pouco preciso, porque o erro experimental torna-se muito grande. A

partir das informações disponíveis, antes da realização do experimento, é pos-

sível agrupar as unidades experimentais em subconjuntos de unidades mais ho-

mogêneas, denominados blocos. A alocação das unidades experimentais entre

os tratamentos obedece a uma restrição imposta pelos blocos, ou seja, o procedi-

mento de casualização dos tratamentos às unidades experimentais é realizado

dentro de cada bloco. Quando todos os tratamentos aparecerem em todos os

blocos uma única vez, tem-se o Delineamento em Blocos Completo. Toda vez

que os tratamentos tornam-se presentes uma única vez em cada bloco, o número

de blocos coincide com o número de repetições (Banzatto & Kronka, 2006). Deve

ser observado, inclusive por possível confusão de nome, que a aleatorização está

sendo realizada nos tratamentos dentro dos blocos (restrição na casualização).

Na análise estatística de um experimento em blocos casualizados, ou como

normalmente se diz, um experimento em blocos, além dos fatores de interesse,

deve-se levar em conta o fator de controle experimental, blocos, diminuindo

desta maneira o erro experimental. Quanto maior for a heterogeneidade entre

blocos, maior será a efi ciência deste plano experimental em relação ao comple-

tamente aleatorizado. O delineamento em blocos também pode ser planejado

com repetições dos tratamentos dentro do bloco e além disso, de forma incom-



pleta. A análise estatística do delineamento em blocos completos ao acaso com

repetições torna-se relativamente fácil quando o número de unidades dentro

de cada bloco é múltiplo do número de tratamentos em comparação.

O termo bloco (sua origem é de fato agronômica, cujo objetivo referia-se

a faixa de terra de mesma fertilidade – fertilidade homogênea) tem um sen-

tido prático interessante na área biológica, ou seja, caracteriza-se como estrato

e tem como fi nalidade, o controle da homogeneidade dos animais quanto às

variáveis intervenientes.

No presente estudo os blocos são completos quanto aos tratamentos, isto

é, um bloco possui todos os tratamentos de interesse do estudo, alocados por

processo aleatório com uma repetição por bloco. A vantagem mais destacada

dos experimentos em blocos consiste em permitir o uso de unidades experi-

mentais heterogêneas. Os blocos controlam uma causa de variação e esta-

belecem uma restrição à casualização. Essa restrição à casualização devido à

constituição dos blocos indica para a não realização do teste estatístico para a

causa de variação blocos, ou seja, não faz sentido, pois se trata de uma fonte de

variação de controle e não de interesse para a comparação. Se a fonte colocada

como blocos está no interesse do pesquisador para comparação, o esquema de

fatores torna-se o procedimento adequado para a combinação dos níveis dos

dois fatores em estudo.

Em resumo, podem ser destacados:

a. A casualização ocorre dentro dos blocos (os blocos são estratos defi nidos

quanto à heterogeneidade das unidades experimentais e, portanto fi xados

como controles).

b. Os blocos são completos quanto aos tratamentos pesquisados (cada bloco

deve conter todos os tratamentos do estudo).

c. É essencial que os blocos reúnam unidades similares (unidades semelhantes

dentro de blocos asseguram aos tratamentos única fonte de variação).


Delineamento em Blocos Completos Casualizados (DBCC) | 49

d. Quanto maior a heterogeneidade entre blocos maior a efi ciência do delin-

eamento (a perda de heterogeneidade entre blocos indica a falta da neces-

sidade de controle local).

e. O tratamento aparece uma única vez dentro de cada bloco (razão de ser

denominado completo).

f. Os experimentos em blocos são feitos, essencialmente, para comparar

tratamentos (os blocos não são construídos para teste estatístico, mas

como necessidade de controle).

g. Não deve ser feito o teste estatístico de blocos (blocos são utilizados como

fonte de controle da heterogeneidade, sem qualquer interesse de comparação).

h. Fazer blocos signifi ca impor uma restrição como controle às unidades ex-

perimentais (a designação casual dos tratamentos às unidades experimen-

tais dentro de cada bloco).

i. Exemplos biológicos de blocos: posição na estufa, ninhada, faixa de idade,

faixa de peso, uma partida de animais (lote), entre outros.

3.2 MODELO DO EXPERIMENTO (BIOLÓGICO)

O modelo de DBCC com k tratamentos e t blocos é dado por:

y i k j tij i j ij i i= + + = + = =( )μ β ε μ μ τ ; 1 1,..., ; ,..., ; onde:

m é a média geral comum a todas as observações;

ti é o efeito do i-ésimo nível do fator na variável dependente Y ;

b j é o efeito do j-ésimo bloco experimental;

eij é o erro casual não observável (independente e identicamente distribuí-

do com N 0 2,s( ) ).

Neste sentido, para o modelo de efeitos fi xos, tem-se:

a) E Yij i j( )= + +μ τ β ;

b) Var Yij( )=s2 ;



c) Y Nij i i j~ ,μ τ β σ+ +( )2 .

3.3 PROCEDIMENTO ESTATÍSTICO: ANÁLISE DE VARIÂNCIA

Todas as considerações realizadas para o DIC são também válidas para o

DBCC (independência dos erros; variâncias homogêneas e normalidade dos

dados).

Considere o seguinte conjunto de pesos de carcaças (kg) de coelhos (Ta-

bela 3.1) no acabamento segundo o tipo de dieta randomizada oferecida aos

animais.

Tabela 3.1 Peso de carcaças (kg) de coelhos segundo dieta

DietaRaça

Norfolk Angorá I Angorá II Nova Zelândia I Nova Zelândia II

Padrão 1,28 1,08 1,06 1,36 1,19

Padrão+Rami 1,45 1,15 1,28 1,50 1,41

Padrão+Alfafa 1,38 1,08 1,17 1,43 1,26

Padovani, C. R. (2002). Exercícios de Estatística Básica e Experimental. Depto. Bioestatística, IB/UNESP, Botucatu-SP, 40p.

Cada peso de carcaça (kg) é uma resposta biológica do sorteio de três di-

etas dentro dos conjuntos de três animais tornados homogêneos pelas raças,

cujo resultado biológico responde ao modelo:

yij i j ij= + + +μ τ β ε , com i k=1,..., (tratamentos) e j t=1,..., (blocos).

Neste modelo, a técnica da ANOVA consiste em fracionar a SQTotal em

três fontes de variação: a primeira referente aos tratamentos ( SQTrat ), a se-

gunda relativa aos blocos ( SQBloco ) e, por fi m, a expressa nas fl utuações ca-

suais ( SQRes ).

Para a construção da tabela geral de ANOVA segundo as causas de varia-

ção são determinados:



a) Graus de liberdade (GL)

Total n kt= − = −1 1 , onde n kt= ;

Tratamento k= −1 ;

Bloco t= −1 ;

Resíduo t k= −( ) −( )1 1 .

b) Somas de quadrados (SQ)

SQTot y y y nyijj

t

i

k

ijj

t

i

k

= −( ) = −••==

••==

∑∑ ∑∑2

11

2 2

11

; onde yn

yijj

t

i

k

••==

= ∑∑1

11;

SQTrat y y yt

nyij

t

i

ki

i

k

= −( ) = −• ••==

•

=•∑∑ ∑2

11

2

1

2 ; onde yt

yi ijj

t

•=

= ∑11

;

SQBloc y yyk

nyjj

t

i

kj

j

t

= −( ) = −• ••==

•••

=∑∑ ∑2

11

22

1

; onde yk

yj iji

k

•=

= ∑1

1;

SQRes SQTot SQTrat SQBloc= − − .

c) Quadrados médios (QM)

QMTrat SQTrat k= −( )1

QMBloco SQBloco t= −( )1

QMRes SQRes k t= −( ) −( )⎡⎣ ⎤⎦1 1

d) Estatística F

F QMTrat QMRes=

As quantidades obtidas são dispostas na Tabela 3.2 da ANOVA.

Tabela 3.2 Tabela geral de ANOVA de um DBCC


Blocos t -1 SQBloc QMBloc —

Tratamentos k-1 SQTrat QMTrat QMTrat QMRes

Resíduo t k−( ) −( )1 1 SQRes QMRes

Total tk -1 SQTot



O teste de hipótese relativo à Tabela 3.2 consiste em:

H0H : Não existe efeito de tratamento H1:t1=tktt =...=0 H0H : m1=...=mk=m

H H ii1 0 0 1: : ,..., Existe efeito de tratamento Existe ⇔ ≠ =t kk( )

Sob a veracidade de H0 , a estatística F QMTratQMRes

= tem distribuição F

(Fisher-Snedecor) com parâmetros ( )k-1 (graus de liberdade do numerador)

e ( )( )t k- -1 1 (graus de liberdade do denominador).

A regra de decisão é a habitual, ou seja:

Se F F k t k≥ − −( ) −( )( )a ; ;1 1 1, rejeita-se H0 . Caso contrário, não há rejeição.

No exemplo, tem-se:

k = 3 (tratamentos) e t = 5 (blocos);

y•• =19 08, , logo, y•• = =19 08 15 1 272, , ;

SQTot = − =24 5678 24 2698 0 2980, , , ;

y y1 15 97 1 194• •= =( ), , ; y y2 26 79 1 358• •= =( ), , ; y y3 36 32 1 264• •= =( ), ,

SQTrat= − =24 3375 24 2698 0 0677, , ,

y• =1 4 11, ; y• =2 3 31, ; y• =3 3 51, ; y• =4 4 29, ; y• =5 3 86, ;

SQBloc= − =24 4907 24 2698 0 2209, , , ;

SQRes= − − =0 2980 0 2209 0 0677 0 0094, , , ,

A Tabela 3.3 apresenta o resultado da ANOVA.

Tabela 3.3 Tabela ANOVA para o peso das carcaças

Causa Variação GL SQ QM F (valor p)

Blocos 4 0,2209 0,0552

Tratamentos 2 0,0677 0,0339 28,25 (p<0,01)

Resíduo 8 0,0094 0,0012

Total 14 0,2980

Conclui-se, no nível de 5% de signifi cância, que existem diferenças entre

os pesos médios de carcaças dos coelhos segundo as dietas estudadas.



3.4 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS

O procedimento de comparações múltiplas de Tukey para o DBCC con-

siste nos seguintes passos:

H i i0 0: ’μ μ− = e H i i1 0: ’μ μ− ≠ , para i i¹ ’ .

Calcula-se a “Honestly Signifi cante Diference”

HSD q QMRestk t ka a a( )= ( )= −( ) −( )( )Δ ; ; 1 1

, onde t é o número de repetição de

tratamentos (coincide com o número de blocos) e ( )q k; ;α ϕ é o quantil de ordem

(1-a/2) da distribuição “studentized range” com parâmetros k (número de

tratamentos) e j= − −( )( )t k1 1 (graus de liberdade do resíduo).

A regra de decisão do teste de hipóteses é a habitual, ou seja:

Se y yi i• •− ≥ ( )’ Δ a , rejeita-se H0 . Caso contrário, não há rejeição.

Similarmente, pode-se apresentar o intervalo de confi ança de Tukey

100 1( )%-a para a diferença de médias, cujos limites são dados por:

LI y y q QMResti i k= −( )−• • ( )’ ; ;α ϕ ,

LS y y q QMResti i k= −( )+• • ( )’ ; ;α ϕ

.

No exemplo relativo aos dados do peso das carcaças tem-se:

q 0 05 3 8 4 04, ; ; ,( ) = ; logo, Δ 5 4 04 0 00125

0 063% , , ,( )= = .

Ou seja, o valor mínimo que expressa a diferença signifi cante α=0,05 entre

os pesos médios das carcaças é 0,063kg. Os resultados das comparações estão

expressos na Tabela 3.4.

Tabela 3.4 Média e desvio padrão dos pesos segundo dieta

Dieta Padrão Padrão Suplementação Rami Padrão Suplementação Alfafa

1,194(0,128)a 1,358(0,142)c 1,264(0,145)b



Conclui-se, no nível de 5% de signifi cância, que as dietas modifi cam o peso

médio da carcaça dos coelhos e que entre elas, a dieta suplementada com rami

produz maior peso médio.

3.5 EXERCÍCIOS (DBCC)

A seguir são apresentados exercícios sobre o Delineamento em Blocos

Completamente Casualizados contendo planejamento, técnica da análise de

variância, teste de comparações múltiplas e, em especial, o último para apro-

fundamento das considerações apresentadas no capítulo.

1. Planeje um experimento para comparar dois testes de QI, usando dez pares

de gêmeos. Considere cada par de gêmeos como um bloco.

2. Faça a análise de variância dos dados apresentados na tabela a seguir, con-

siderando o nível de 5% de signifi cância:

Dados de um experimento em blocos ao acaso

BlocoTratamento

A B C

I 74 53 58

II 90 68 78

III 78 54 64

IV 98 72 74

3. Pretende-se verifi car a durabilidade de três marcas de tintas que tem preços

de custo bem diferentes. Para isso, foram selecionados seis muros, em que

cada terça parte foi pintada por uma marca sorteada nos terços. Após um

período de dez meses, foi atribuída a cada parte uma nota, resultante de

vários quesitos. Os resultados das notas são apresentados a seguir:

Marca Muro 1 Muro 2 Muro 3 Muro 4 Muro 5 Muro 6

A 8,5 8,9 8,8 8,2 8,6 8,9

B 9,1 9,4 9,1 9,6 9,0 9,3

C 7,3 7,6 7,8 7,5 6,1 7,2



Com esses dados, você diria (α=0,05) que uma das marcas é melhor que

as outras?

4. Supondo que haja interesse em calcular F QMBlocoQMRes

= em um experi-

mento, qual a interpretação biológica que sugere o resultado signifi cativo

(p<0,05)? E o não signifi cativo (p>0,05)?

3.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (DBCC)

1. Considerando 10 pares de gêmeos (G1, G2), para cada par será efetuado o

sorteio dos dois testes de QI. Neste sentido, constituídos os pares por pro-

cesso randomizado dos testes de QI os dados coletados nos gêmeos serão

submetidos à técnica da análise de variância para o modelo experimental

em blocos completamente casualizados (10 blocos no presente estudo) en-

volvendo dois tratamentos independentes (dois testes de QI).

2.

Tabela 1. Tabela ANOVA

C. Variação GL SQ QM F

Blocos 3 847,58 282,53 -

Tratamentos 2 1144,50 572,25 71,26 (p<0,001)

Resíduo 6 48,17 8,03

Total 11 2040,25

Tabela 2. Média (desvio padrão) dos tratamentos

A B C

85,00 (11,02) b 61,75 (9,67) a 68,50 (9,15) a

DHS (5%)=7,47



3.

Tabela 1. ANOVA para a durabilidade


Blocos (Muro) 5 1,04 0,21 -

Tratamentos (Marca) 2 12,64 6,32 45,14 (p<0,001)

Resíduo 10 1,41 0,14

Total 17 15,09

Tabela 2. Média (desvio padrão) das marcas

A B C

8,65 (0,27) b 9,25 (0,23) c 7,25 (0,60) a

DHS (5%)=0,59

4. Se o resultado do teste estatístico for signifi cativo (p < 0,05) existe com-

provação biológica de heterogeneidade entre os blocos, corroborando com

a suspeita do pesquisador no controle fonte de variação bloqueada. Se o

resultado do teste estatístico for não signifi cativo (p > 0,05) existe compro-

vação biológica de homogeneidade entre os blocos, contradizendo com a

suspeita do pesquisador no controle fonte de variação bloqueada.


4ESQUEMAS FATORIAIS

4.1 INTRODUÇÃO

Existem situações práticas na experimentação em que o interesse do pes-

quisador envolve o estudo de dois ou mais fatores combinados, cujos cruza-

mentos dos níveis dos fatores são os tratamentos empenhados nas compara-

ções. No presente texto, será apenas enfocado o caso de dois fatores, ou seja, A

e B. Será admitido que o fator A possui a níveis, e o fator B, b níveis.

Nos experimentos onde cada nível de um fator está combinado com to-

dos os níveis do outro, diz-se que os fatores obedecem a uma classifi cação

cruzada (experimentos cruzados). As combinações desses fatores resultam os

tratamentos do estudo, cuja confi guração recebe o nome de esquema fatorial

a*b (combinações entre os a níveis do fator A e b níveis do fator B).

O esquema de fatores mais simples consiste em considerar dois fatores A

e B, com dois níveis cada um, isto é, o esquema fatorial 2*2. No esquema fato-

rial dois por dois, Tabela 4.1, tem-se como resultado das combinações quatro

tratamentos, que são combinações de dois níveis do fator A com dois níveis

do fator B.

Tabela 4.1 Esquema fatorial 2*2

Fator AFator B

B1 B2

A1 A1 B1 A1 B2

A2 A2 B1 A2B2

Outras combinações dos fatores podem surgir à medida que o número de

níveis dos fatores tornam-se maiores. Ademais, o número de níveis dos fatores

não precisa ter o mesmo valor, ou seja, os níveis a do fator A podem ser nu-



mericamente diferente dos níveis b do fator B. Quando a=b, tem-se um arranjo

quadrático e, se a≠b, o arranjo é retangular. Uma notação interessante que se

utiliza quando o número de níveis é igual para os dois fatores (a=b; arranjo

quadrático) e descrita por 22, 32, 42,... O expoente indica o número de fatores

do estudo e a base da potência indica o número de níveis dos fatores. Por ex-

emplo, um fatorial 32 tem dois fatores em três níveis.

Três hipóteses básicas são avaliadas no esquema fatorial a*b, que são: i) a

interação (A*B) entre os fatores A e B; ii) o efeito do fator principal A e iii) o

efeito do fator principal B. Dependendo do resultado do teste de signifi cância

da interação A*B, duas novas hipóteses podem ser avaliadas: i) efeito do fator A

dentro de um nível fi xo de B e ii) efeito do fator B dentro de um nível fi xo de A.

Como o esquema fatorial é um arranjo dos níveis dos fatores (combina-

ções de níveis) ele pode ser delineado em vários tipos de experimentos. No

enfoque do texto, o esquema fatorial a*b será apresentado no Delineamento

Inteiramente Casualizado (DIC) e no Delineamento em Blocos Completos Ca-

sualizados (DBCC).

4.2 ESQUEMA FATORIAL A*B NO DIC

Considere a Tabela 4.2, genérica de observações yijk de um esquema fato-

rial a*b em um DIC com r repetições por tratamento.


Esquemas Fatoriais | 59

Tabela 4.2 Esquema fatorial a*b com r repetições

Fator AFator B

B1 Bb

A1

y

y r

111

11

y

y

b

br

1 1

1

Aa

y

y

a

a r

11

1

y

y

ab

abr

1

O elemento yijk representa a k-ésima repetição do i-ésimo nível do fator A

e j-ésimo nível do fator B ( i a j b k r= = =1 1 1, , ; , , ; , , ).

O modelo de resposta é expresso por:yijk i j ij ijk= + + +( ) +μ θ γ θγ ε ;

onde:

m: efeito médio comum;

qi : efeito do i-ésimo nível de A;

g j : efeito do j-ésimo nível de B;

( )θγ ij : efeito de interação entre os níveis i e j dos fatores A e B, respectiva-

mente;eijk : erro casual independente, com distribuição N 0 2,s( ) .Considerando os fatores A e B de efeitos fi xos, tem-se a Tabela 4.3 da

ANOVA.



Tabela 4.3 Tabela geral de ANOVA para um esquema fatorial a*b no DIC


Tratamentos ab-1 SQTrat QMTrat FTrat

a-1 SQA QMA FA

Desmembramentoda

SQTratamentosB b-1 SQB QMB FB

AxB a b−( ) −( )1 1 SQA B´ QMA B´ FA B´

Resíduo ab r−( )1 SQRes QMRes

Total abr -1 SQTot

Os cálculos das somas de quadrados são estabelecidos por:

SQTot y nyijkk

r

j

b

i

a

= − •••===∑∑∑ 2 2

111, onde y

nyijk

k

r

j

b

i

a

•••===

= ∑∑∑1

111 e n abr= ;

SQTratyr

nyij

j

b

i

a

= −•==

•••∑∑2

11

2 , onde y yij ijkk

r

•=

=∑1

;

SQRes SQTot SQTrat= −

SQA ybr

nyi

i

a

= −••=

•••∑2

1

2 , onde y yi ijkk

r

j

b

••==

= ∑∑11

;

SQByar

nyj

j

b

= −• •

=•••∑

2

1

2 y yj ijkk

r

i

a

• •==

= ∑∑11

;

SQAxB SQTrat SQA SQB= − −

A obtenção dos quadrados médios é realizada pela divisão entre a soma de

quadrados e os respectivos graus de liberdade.

Em relação aos testes de hipóteses, que serão apresentados a seguir, duas

situações interessantes para a discussão biológica devem ser consideradas: a

primeira consiste no caso onde os efeitos dos fatores A e B na variável resposta

(dependente) serão aditivos e, portanto, toda a informação biológica pode ser

obtida fazendo-se inferências apenas sobre as médias mi· e m·j· (médias margin-

ais); a segunda, onde existe efeito da interação entre os fatores A e B; onde para



avaliar os efeitos existentes na variável dependente, as inferências devem ser

feitas sobre todos os mij.

As hipóteses gerais com os respectivos testes estatísticos acompanhados

das regras de decisão são estabelecidas conforme detalhes na sequência.

HA a0 1 2 0: Não existe efeito do fator A⇔ = = = =θ θ θ…

HA0 a estatística do teste é dada por

F QMAQMRes

FA a res= −( )~ ,1 ϕ , com a regra de decisão habitual e jres ab r= −( )1 .

HB0 : Não existe efeito do fator B 1⇔ = = = =g g g2 0 b

Sob a veracidade de HB0 a estatística do teste é dada por

F QMBQMRes

FB b res= −( )~ ,1 ϕ , com a regra de decisão habitual.

HAxB0 : Não existe efeito de interação AxB⇔( ) = =( ) =θγ θγ

110

ab

Sob a veracidade de HAxB0 a estatística do teste é dada por

F QMA×BQMRes

FAxB a b res= −( ) −( )( )~ ;1 1 ϕ , com a regra de decisão habitual.

Toda vez que o resultado de algum teste de hipóteses possibilitar a rejeição

da hipótese nula, para melhorar a qualidade da informação biológica, torna-se

interessante complementar a técnica da ANOVA com algum procedimento de

comparações múltiplas para as médias. No caso, como já vem sendo rotina, a

continuidade tem sido realizada pelo teste de Tukey para os contrastes entre

todos os pares de médias. Neste sentido, duas considerações serão apresenta-

das; a primeira normalmente utilizada quando o resultado do teste de intera-

ção entre os fatores A e B mostrou-se não signifi cante; a segunda, quando o

resultado foi signifi cante.

Teste de Tukey para o caso FAxB não signifi cante pAxB >( )a

HA i i0 : ’μ μ• •= i i a, ’ ,...,=( )⇔1 não existe diferença entre as respostas médias

dos níveis i e i’ do fator A.

Calcula-se ( ) ( )DMS q QMResbrA A a res

= ( )= ; ;α Δ α α ϕ e se y yi i A•• ••− ≥ ( )’ Δ a ,

rejeita-se a hipótese HA0 . Caso contrário, não há rejeição.



μ μ• •HB j j0 : ’= j j b, ’ ,...,=( )⇔1 não existe diferença entre as respostas médias

dos níveis j e j’ do fator B.

Calcula-se ( )( )DMS q QMResarB B b res

= ( )= ; ;α Δ α α ϕ e se y yj j B• • • •− ≥ ( )’ Δ a ,

rejeita-se a hipótese HB0 . Caso contrário, não há rejeição.

Teste de Tukey para o caso FAxB signifi cante pAxB <( )aH

A Bj ij i j0 /: ’μ μ= i i a j, ’ ,...,=( )⇔1 e fixo não existe diferença entre as respos-

tas médias dos níveis i e i’ do fator A dentro do j-ésimo nível do fator B.

Calcula-se ( )( )DMS q QMResrA B A B a res/ / ; ;= ( )=α αΔ α μ e se y yij i j A B• •− ≥ ( )’ /Δ a ,

rejeita-se HA Bj0 /

. Caso contrário, não há rejeição.

HB Ai ij ij0 /

: ’μ μ= j j b i, ’ ,...,=( )⇔1 e fixo não existe diferença entre as respos-

tas médias dos níveis j e j’ do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A.

Calcula-se ( )( )DMS q QMResrB A B A b res/ / ; ;= ( )=α αΔ α μ e se y yij ij B A• •− ≥ ( )’ /Δ a ,

rejeita-se HB Ai0 /


4.3 EXEMPLO DE FATORIAL A*B NO DIC

Considere o seguinte conjunto de dados de um esquema fatorial 2x2 em

um delineamento inteiramente casualizado para avaliar o perfi l cardiovascular

de ratos hipertensos submetidos a uma dieta hipercalórica (OLIVEIRA Jr, et

al., 2007, Arquivos Brasileiros de Cardiologia, v.89, Supl I, p.927).

Os dois fatores de interesse do estudo são Dieta e Hipertensão, tendo como

variável resposta escolhida para o desenvolvimento do exemplo a Pressão Ar-

terial Sistólica.

Fator A(Dieta): A1(Normocalórica) e A2(Hipercalórica);

Fator B(Hipertensão): B1(WKY-Controle) e B2(SHR-Hipertenso);

Isto é:



DietaHipertensão

Ausente(WKY) Presente(SHR)

Normocalórica(C) WKYC(A1B1) SHRC(A1B2)

Hipercalórica(OB) WKYOB(A2B1) SHROB(A2B2)

Pressão arterial sistólica (mm Hg) dos ratos

WKYC WKYOB SHRC SHROB yyyy

11

12

21

22

120 00 9 06160 00 5 83130 00 7 91210 0

•

•

•

•

= ±= ±= ±=

, ,, ,, ,, 00 4 53± ,

130 120 160 210

120 130 158 205

110 125 162 206

112 140 152 215

128 135 168 214

Quadro auxiliar para o cálculo das SQ

A(Dieta)

B(Hipertensão) Total(Fator A)

a b r ny= = = ==•••

2 2 5 20155 00

; ; ; ,

B1 (WKY) B2 (SHR)

A1 (C) 600 800 1400

A2 (OB) 650 1050 1700

Total(Fator B)

1250 1850 3100

A seguir são calculadas as somas de quadrados para construção da tabela

de ANOVA para o esquma fatorial no DIC.SQTot = + + − × = − =130 214 20 155 00 505796 00 480500 00 25296 002 2 2 , , , ,

SQTrat= + + + − × = −6005

8005

6505

10505

20 155 00 505000 00 480502 2 2 2

2, , 00 00 24500 00, ,=

SQRes= − =25296 00 24500 00 796 00, , ,

SQA=×+×− × = − =1400

2 517002 5

20 155 00 485000 00 480500 00 45002 2

2, , , ,000

SQB=×+×− × = − =1250

2 518502 5

20 155 00 498500 00 480500 00 180002 2

2, , , ,,00

SQAxB SQTrat SQA SQB= − − = 2000 00,

A Tabela 4.4 mostra o resultado da ANOVA.



Tabela 4.4 ANOVA para a PAS (mm Hg) dos ratos

Causa de Variação GL SQ QM F

Tratamento 3 24500,00 8166,67 164,15 (p<0,01)

A (Dieta) 1 4500,00 4500,00 90,45 (P<0,01)

B (Hipertensão) 1 18000,00 18000,00 361,81 (p<0,01)

AxB 1 2000,00 2000,00 40,20 (p<0,01)

Resíduo 16 796,00 49,75

Total 19 25296,00

Como o resultado do teste de interação entre os fatores A e B foi signifi -

cante (p<0,01), o procedimento de comparações múltiplas será efetuado con-

siderando o estudo do fator A fi xado o nível de B e, vice-versa.

DMS q QMResA B A Bj j/ / %; ;% % , , ,1 1

54 13 49 75

513 031 2 16( )= ( )= = =( )Δ mm Hg

DMS q QMResB A B Ai i/ / %; ;% % , , ,1 1

54 13 49 75

513 031 2 16( )= ( )= = =( )Δ mm Hg

das médias e os desvios padrão da hipertensão segundo dieta com as sig-

nifi câncias das comparações múltiplas (Teste de Tukey).

Tabela 4.5 Média e desvio padrão da PAS (mm Hg) segundo dieta e hipertensão

DietaHipertensão

Ausente Presente

Normocalórica 120,00(9,06) a(1)A(2) 160,00(5,83) a B

Hipercalórica 130,00(7,91) a A 210,00(4,53) b B

(1) duas médias seguidas de uma mesma letra minúscula não diferem (p>0,01) quanto às respectivas dietas dentro da classede hipertensão.

(2) duas médias seguidas de uma mesma letra maiúscula não diferem (p>0,01) quanto às classes de hipertensão dentro dadieta em consideração.



4.4 ESQUEMA FATORIAL A*B NO DBCC

Considere a observação yijk de um esquema com dois fatores A (com a

níveis) e B(com b níveis) com os tratamentos casualizados em t blocos comple-t

tos (fator fi xo de controle).

O modelo de resposta é expresso por:

yijk i j ij k ijk= + + +( ) + +μ θ γ θγ β ε ;

onde:

m: efeito médio comum;

qi : efeito do i-ésimo nível de A ( i a=1, , );g j : efeito do j-ésimo nível de B ( j b=1, , );

( )θγ ij : efeito de interação entre os níveis i e j dos fatores A e B, respectiva-

mente;

bk : efeito do k-ésimo nível de bloco ( k t=1, , );eijk : erro casual independente, com distribuição N 0 2,s( ) .A disposição geral das observações pode ser feita conforme Tabela 4.6 a

seguir.

Tabela 4.6 Quadro genérico de um experimento em DBCC

BlocoTratamento

A1B1 … A1Bb … AaB1 … AaBb

Bloco 1 Y111 … y1b1 … ya11 … yab1

Bloco 2 Y112 … y1b2 … ya12 … yab2

Bloco t Y11t … y1bt … ya1t … yabt

Como anteriormente (DIC), considerando os fatores A e B fi xos tem-se, a

seguir, na Tabela 4.7 ANOVA para o esquema fatorial a*b no DBCC.



Tabela 4.7 Tabela geral de ANOVA para um esquema fatorial a*b em DBCC

Causa deVariação

GL SQ QM F

Blocos t -1 SQBloc QMBloc -

Tratamentos ab-1 SQTrat QMTrat FTrat

a-1 SQA QMA FA

B b-1 SQB QMB FB

a b−( ) −( )1 1 SQA B´ QMA B´ FA B´

Resíduo ab t−( ) −( )1 1 SQRes QMRes

abt -1 SQTot

Os cálculos das somas de quadrados são estabelecidos por:

SQTot y nyijkk

t

j

b

i

a

= − •••===∑∑∑ 2 2

111, onde y

nyijk

k

t

j

b

i

a

•••===

= ∑∑∑1

111

e n abt= ;

SQTratyt

nyij

j

b

i

a

= −•==

•••∑∑2

11

2 , onde y yij ijkk

t

•=

=∑1

;

SQBloc yab

nyk

k

t

= −••

=•••∑

2

1

2 y yk ijkj

b

i

a

••==

= ∑∑11

;

SQRes SQTot SQTrat SQBloc= − −

SQA ybt

nyi

i

a

= −••=

•••∑2

1

2 , onde y yi ijkk

t

j

b

••==

= ∑∑11

;

SQByat

nyj

j

b

= −• •

=•••∑

2

1

2 y yj ijkk

t

i

a

• •==

= ∑∑11

;

SQAxB SQTrat SQA SQB= − −

A obtenção dos quadrados médios é realizada pela divisão entre as somas

de quadrados e os respectivos graus de liberdade.

As ponderações sobre os testes de hipóteses são as mesmas realizadas no

DIC, cujas hipóteses gerais são estabelecidas por:

HA0 : Não existe efeito do fator A 1⇔ = = = =q q q2 0 a



Sob a veracidade de HA0 a estatística do teste é dada por

F QMAQMRes

FA a res= −( )~ ;1 ϕ , com a regra de decisão habitual (rejeita-se H

A0 quan-

do F FA a res> −( ; ; )1α ϕ )) e jres ab t= − −( )( )1 1 .

HB0 : Não existe efeito do fator B 1⇔ = = = =g g g2 0 b

Sob a veracidade de HB0 a estatística do teste é dada por

F QMBQMRes

FB b res= −( )~ ,1 ϕ , com a regra de decisão habitual.

HAxB0 : Não existe efeito de interação AxB⇔( ) = =( ) =θγ θγ

110

ab

Sob a veracidade de HAxB0 a estatística do teste é dada por

F QMAxBQMRes

FAxB a b res= −( ) −( )( )~ ;1 1 ϕ , com a regra de decisão habitual.

À semelhança do DIC, têm-se os dois casos para o teste de comparações

múltiplas de Tukey.

Teste de Tukey para o caso FAxB não signifi cante pAxB >( )a

HA i i0 : ’μ μ• •= i i a, ’ ,...,=( )⇔1 não existe diferença entre as respostas médias

dos níveis i e i’ do fator A.

Calcula-se ( )( )DMS q QMResbtA A a res

= ( )= ; ;α αΔ α ϕ e se y yi i A•• ••− ≥ ( )’ Δ a ,

rejeita-se a hipótese HA0 . Caso contrário, não há rejeição.

μ μ• •HB j j’0 : = j j b, ’ ,...,=( )⇔1 não existe diferença entre as respostas médias

dos níveis j e j’ do fator B.

Calcula-se ( )( )DMS q QMResatB B b res

= ( )= ; ;α αΔ α ϕ e se y yj j B• • • •− ≥ ( )’ Δ a ,

rejeita-se HB0 . Caso contrário, não há rejeição.

Teste de Tukey para o caso FAxB signifi cante pAxB <( )a

HA Bj ij i j0 /

: ’μ μ= i i a j, ’ ,...,=( )⇔1 e fixo não existe diferença entre as respos-

tas médias dos níveis i e i’ do fator A dentro do j-ésimo nível do fator B.

Calcula-se ( )( )DMS q QMRestA B A B a res/ / ; ;= ( )=α αΔ α ϕ e se y yij i j A B• •− ≥ ( )’ /Δ a ,

rejeita-se HA Bj0 /




HB Ai ij ij0 /

: ’μ μ= j j b i, ’ ,...,=( )⇔1 e fixo não existe diferença entre as respos-

tas médias dos níveis j e j’ do fator B dentro do i-ésimo nível do fator A.

Calcula-se S q( )α ϕ( )DM QMRest

B A B A b res/ / ; ;= ( )=α αΔ e se y yij ij B A• •− ≥ ( )’ /Δ a ,

rejeita-se HB Ai0 /


4.5 EXEMPLO DE FATORIAL A*B NO DBCC

Considere o seguinte conjunto de dados de um esquema fatorial 2x2 em

um delineamento em blocos completos casualizados para avaliar o efeito da

inibição prolongada de enzima de conversão da angiotensina sobre o diâmetro

diastólico do ventrículo esquerdo (DDVE), avaliado em mm, em ratos com so-

brecarga pressórica persistente (Bregagnollo et al.,2005, Arquivos Brasileiros

de Cardiologia, v.84, n.3, p.225-232). Os fatores A e B são droga (Lisinopril) e

momento de sacrifício, respectivamente:

Fator A (Droga): A1(bandagem aórtica (EA0)-não tratados) e A2(bandagem

aórtica (EA0)-tratados com lisinopril);

Fator B (Momento Sacrifício): B1(6ª semana) e B2(21ª semana).

Foram estabelecidos seis blocos correspondentes às faixas de peso do ani-

mal: Bloco1(70‒|75g), Bloco2(75‒|80g), Bloco3(80‒|85g), Bloco4(85‒|90g),

Bloco5(90‒|95g) e Bloco6(95‒|100g).

O esquema de fatores pode ser apresentado como a seguir:

DrogaMomento Sacrifício

6ª Semana (B1) 21ª Semana (B2)

Ausente (Não tratado) (A1) A1B1 A1B2

Presente (Lisinopril) (A2) A2B1 A2B2



Diâmetro Diastólico do Ventrículo Esquerdo (mm)

Faixa de pesoTratamento

A1B1 A1B2 A2B1 A2B2

70 –| 75g 7,8 9,8 8,0 8,6

75 –| 80g 7,2 10,0 7,6 8,8

80 –| 85g 8,4 9,9 8,3 8,5

85 –| 90g 7,8 10,8 7,5 8,4

90 –| 95g 8,0 9,6 8,6 8,9

95 –| 100g 7,6 8,7 8,0 7,8

Média (DP) 7,8(0,40) 9,80(0,68) 8,00(0,42) 8,50(0,39)

Quadro auxiliar para o cálculo das SQ

A(Droga)

B (Sacrifício)Total

(Fator A)

B1 B2

a b r ny= = = ==•••

2 2 6 248 525

; ; ; ,

A1 46,8 58,8 105,6

A2 48,0 51,0 99,0

Total(Fator B)

94,8 109,8 204,6

Na sequência são obtidos as somas de quadrados para a construção da

ANOVA para o esquema fatorial no DBCC.

SQTot = + + − × = − =7 8 7 8 24 8 525 1763 5 1744 215 19 2852 2 2, , , , , ,

SQTrat= + + + − × = −46 86

58 86

48 06

51 06

24 8 525 1758 78 17442 2 2 2

2, , , , , , ,2215 14 565= ,

SQA=×

+×− × = − =105 6

2 699 02 6

24 8 525 1746 03 1744 215 1 8152 2

2, , , , , ,

SQB=×+×

− × = − =94 82 6

109 82 6

24 8 525 1753 59 1744 215 9 3752 2

2, , , , , ,

SQAxB= − − =14 565 1 815 9 375 3 375, , , ,

y•• = + + + =1 7 8 9 8 8 0 8 6 34 2, , , , ,

y•• = + + + =2 7 2 10 0 7 6 8 8 33 6, , , , ,

y•• = + + + =3 8 4 9 9 8 3 8 5 35 1, , , , ,

y•• = + + + =4 7 8 10 8 7 5 8 4 34 5, , , , ,



y•• = + + + =5 8 0 9 6 8 6 8 9 35 1, , , , ,

y•• = + + + =6 7 6 8 7 8 0 7 8 32 1, , , , ,

SQBloc=×+×+ +

×− × = −34 2

2 233 62 2

32 12 2

24 8 525 1745 82 17442 2 2

2, , , , , ,, ,215 1 605=

SQRes= − − =19 285 1 605 14 565 3 115, , , ,

Tabela 4.5 ANOVA para o DDVE

Causa de Variação GL SQ QM F

Blocos 5 1,605 0,321 -

Tratamentos 3 14,565 4,855 23,34 (p<0,01)

A (Droga) 1 1,815 1,815 8,73 (P<0,01)

B (Sacrifício) 1 9,375 9,375 45,07 (p<0,01)

AxB 1 3,375 3,375 16,23 (p<0,01)

Resíduo 15 3,115 0,208

Total 23 19,285

O resultado do teste de interação entre os fatores A e B mostrou-se signifi -

cante (p<0,01), logo, o teste de Tukey deve ser feito no desmembramento da

interação.

Considere α=0,05, então tem-se:

DMS q QMResA B A Bj j/ / %; ;% % , , ,5 5

63 01 0 208

60 565 2 15( )= ( )= = =( )Δ mm

DMS q QMResB A B Ai i/ / %; ;% % , , ,5 5

63 01 0 208

60 565 2 15( )= ( )= = =( )Δ mm

Tabela 5.6 Média e desvio padrão do DDVE (mm) segundo droga e momento desacrifício

Droga (Grupo)Momento de Sacrifício

6ª Semana 21ª Semana

Ausente (Controle) 7,80(0,40) a(1)A(2) 9,80(0,68) b B

Presente (Lisinopril) 8,00(0,42) a A 8,50(0,39) a A

(1) duas médias seguidas de uma mesma letra minúscula não diferem (p>0,05) quanto aos respectivos grupos, fi xada a semana de sacrifício.

(2) duas médias seguidas de uma mesma letra maiúscula não diferem (p>0,05) quanto aos respectivos momentos de sacri-fício, dentro do grupo.



4.6 EXERCÍCIOS (ESQUEMAS FATORIAIS: DIC E DBCC)

1. O consumo diário de ração em kg/dia, no período de crescimento-aca-

bamento de suínos foi observado em um esquema envolvendo tipos de

ração e formas de arraçoamento em um delineamento em blocos comple-

tos ao acaso. Considerando α=0,05 estudar o consumo médio diário em

função dos dois fatores.

Ração ArraçoamentoBloco

A B C D E

Farelada Livre (Vontade) 2,63 2,68 2,74 2,84 2,76

Farelada Controlada 2,45 2,36 2,44 2,50 2,40

Granulada Livre (Vontade) 2,32 2,25 2,16 2,24 2,38

Granulada Controlada 2,44 2,50 2,42 2,55 2,54

2. Um experimento visando verifi car o efeito do inseticida e do meio de cul-

tura em organismos biológicos foi planejado utilizando-se drosófi las e ob-

servando a longevidade (dias de sobrevida) destas moscas. Os tratamentos

utilizados foram os seguintes:

A1B1: atrazine e carência de glicose;

A1B2: atrazine e carência de hidrato de carbono;

A2B1: dalapon e carência de glicose;

A2B2: dalapon e carência de hidrato de carbono.

Tratamento Repetição

A1B1 49 50 51 54

A1B2 36 37 35 32

A2B1 38 31 35 37

A2B2 34 30 28 25

Considerando o nível de signifi cância 5% e os dados sob a transformação

raiz quadrada, avaliar a sobrevida média das moscas segundo os tipos de

inseticida e meios de cultura.



3. Organize os tratamentos de um esquema fatorial para estudar a interação

de uma droga administrada em três condutas diferentes (manhã, tarde,

noite) com bebida alcoólica.

4. Verifi car se existe interação signifi cante (p<0,05) entre os fatores A e B

estudados em um delineamento em blocos completos casualizados cujos

dados são apresentados a seguir.

Fator A Fator BBloco

I II III IV

A1 B1 16 17 19 12

A1 B2 24 23 27 22

A2 B1 22 21 23 22

A2 B2 33 35 35 32

4.7 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (ESQUEMAS FATORIAIS : DIC E DBCC)

1.Tabela 1. ANOVA para o consumo de ração


Blocos 4 0,030 0,008 -

Tratamentos 3 0,546 0,182 45,50 (p<0,001)

Ração ( R ) 1 0,200 0,200 50,00 (p<0,001)

Arraçoamento ( A ) 1 0,008 0,008 2,00 (p>0,05)

R A´ 1 0,338 0,338 84,50 (p<0,001)

Resíduo 12 0,048 0,004

Total 19 0,624

Tabela 2. Média (desvio padrão) do consumo de ração segundo ração e arraçoa-mento

RaçãoArraçoamento

Livre Controlada

Farelada 2,730 (0,080) b B 2,430 (0,053) a A

Granulada 2,270 (0,084) a A 2,490 (0,058) a B

DHS (Ração/Arraçoamento) = 0,087 (letras minúsculas)DHS (Arraçoamento/Ração) = 0,087 (letras maiúsculas)



Tabela 1. ANOVA para os dias de sobrevida (*)


Tratamento 3 6,539 2,180 35,21 (p<0,001)

Inseticida ( I ) 1 2,967 2,967 47,86 (p<0,001)

Meio ( M ) 1 3,089 3,089 49,82 (p<0,001)

I M´ 1 0,483 0,483 7,79 (p<0,05)

Resíduo 12 0,743 0,062

Total 15 7,282

(*) Variável sob a transformação raiz quadrada

Tabela 2. Média (desvio padrão) da raiz quadrada da sobrevida segundo inseticida emeio de cultura

InseticidaMeio de cultura (carência)

Glicose Hidrato de Carbono

Atrazine 7,140 (0,150) b B 5,914 (0,184) b A

Dalapon 5,933 (0,264) a B 5,400 (0,348) a A

DHS (Inseticida/Meio) = 0,384 (letras minúsculas)DHS (Meio/Inseticida) = 0,384 (letras maiúsculas)

2. Fator A (Bebida Alcoólica): A1 (Ausente) e A2(Presente)

Fator B (Período de Administração): B1(Manhã), B2(Tarde) e B3(Noite)

Tratamentos: A1B1(Bebida Ausente e Período Manhã)

A1B2(Bebida Ausente e Período Tarde)

A1B3(Bebida Ausente e Período Noite)

A2B1(Bebida Presente e Período Manhã)

A2B2(Bebida Presente e Período Tarde)

A2B3(Bebida Presente e Período Noite)

3.Tabela 1. ANOVA para a variável estudada


Blocos 3 32,19 10,73 -

Tratamento 3 652,19 217,40 118,15 (p<0,001)

A 1 248,07 248,07 134,82 (p<0,001)

B 1 390,07 390,07 212,00 (p<0,001)

A B´ 1 14,05 14,05 7,64 (p<0,05)

Resíduo 9 16,56 1,84

Total 15 700,94



F pINT = <7 64 0 05, ( , ) ; ou seja, o resultado do teste da interação dos fatores

A e B é signifi cante, indicando que há necessidade de estudo conjunto

dos fatores para a discussão dos resultados.


5ANÁLISE DE ADERÊNCIA E ASSOCIAÇÃO

5.1 INTRODUÇÃO

Considere o estudo de variáveis aleatórias (que podem ser qualitativas ou

quantitativas) cujos elementos da amostra podem ser classifi cados em catego-

rias, ou intervalos, ou ainda atributos. Em particular, o estudo será aprofun-

dado em tabelas de dupla entrada em que se apresenta a situação geral, em que

duas variáveis aleatórias qualitativas X e Y foram classifi cadas em c categorias c

para X e s categorias para Y.

5.2 TESTE DE ADERÊNCIA

Considere que se tem uma população π e que o objetivo proposto con-

siste em verifi car se ela segue uma distribuição especifi cada π0, ou seja, testar a

hipótese H0 0: p p= . Nesta situação, o teste estatístico comparará o número de

casos ocorridos (frequências observadas) em categorias especifi cadas, com o

número esperado (frequências esperadas) de casos sob a veracidade da hipó-

tese nula H0 .

O procedimento consiste em considerar classes, segundo as quais a variáv-

el X, característica em estudo da população, pode ser classifi cada (a variável X

pode ser qualitativa ou quantitativa).

A situação geral com c categorias pode ser apresentada conforme Tabela 5.1.c



Tabela 5.1 Distribuição do número de casos segundo classe de X

Classe de X Número de casos

Classe 1 n fo1 1( )

Classe 2 n fo2 2( )

Classe c n foc c( )

Total n fo( )i

Lembrar que:n n n nc1 2+ + + =... , ou seja,fo fo fo foc1 2+ + + =... i (total de casos). O número de casos (ocorrências) da classe i, designado por ni , será nomindo de frequência observada na classe i e indicado por foi , com i c=1,..., .

As hipóteses são apresentadas como:

H c c0 1 0 2 0 01 2: ; ;p p p p p p= = = ; H ii1 0: Existe para algum ip p¹ .

As frequências esperadas (fe(( i) do modelo multinomial (c classes) são ob-c

tidas sob a veracidade de H0, especifi cadas na expressão: fe ni i= p0 ; onde n é

o número total de casos e p0i a proporção teórica da classe i expressa em H0 .

A estatística do teste, sob veracidade de H0 , é dada por

c c22

11

2=−( )

=−( )∑ fo fe

fei i

ii

c

c~ , com a regra de decisão habitual (isto é, χ χ α2

12≥ −( );c , re-

jeita-se H0 . Caso contrário, não há rejeição). Deve ser considerado a unilater-

alidade direita do teste, pois quanto maiores os afastamentos entre as frequên-

cias observadas e esperadas mais expressiva torna-se a falta de aderência dos

dados ao modelo proposto e, em consequência, mais provável a veracidade de

H1 em favor da rejeição de H0 .

O emprego apropriado do teste recomenda sua utilização somente quando

não existir mais de 20% das caselas com frequências esperadas menores que 5.

A prática biológica permite a junção de classes adjacentes para contornar essa

situação sempre que possível.

Na sequência serão apresentados dois exemplos para o estudo da aderência.


Análise de Aderência e Associação | 77

Exemplos

1. Um modelo genético especifi ca que animais de certa população devem

estar classifi cados em quatro categorias, nas proporções 8:1:1:2. Numa

amostra de 180 animais da população encontra-se 116, 15, 20 e 29 animais

de cada categoria, respectivamente. Verifi car, no nível de signifi cância 5%,

se os dados estão de acordo com o modelo genético especifi cado.

CategoriaFrequência Observada

C1 116H0 : Modelo Especifi cado 8:1:1:2

p p p p0 0 0 01 2 3 4

812

112

112

212

= = = =; ; ;

H1 : Existe p pi i¹ 0 , para pelo menos um i i( , , , )=1 2 3 4

C2 15

C3 20

C4 29

Total 180

Frequências Esperadas

Categoria 1 → fei = × =180 812

120 animais ,

Categoria 2 → fe2 180 112

15= × = animais ,


15= × = animais ,


30= × = animais .

Logo, tem-se

c22 2 2 2116 120

12015 15

1520 15

1529 30

300 133 0=

−( )+

−( )+

−( )+

−( )= +, ,0000 1 667 0 033 1 833+ + =, , ,

αχ χ

==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= ∴ = >( )( )

0 054

7 81 1 833 0 050 05 32 2,

, , ,, ;cp

Não há rejeição de H0 no nível de 5% de signifi cância. Ou seja, a amostra

de animais está em acordo com modelo genético especifi cado.

2. Considerando-se uma amostra de 100 descendentes de uma população,

verifi car (nível de 5% de signifi cância) a adequabilidade dos dados ao

modelo genético – Equilíbrio Hardy-Weinberg.



GenótipoFrequênciaObservada

AA 26

Aa 35

aa 39

Total 100

Frequência Esperada

Genótipo AA → fe1 100 14

25= × =

Genótipo Aa → fe2 100 12

50= × =

Genótipo aa → fe3 100 14

25= × =

Logo, tem-se

c22 2 226 25

2535 50

5039 25

250 04 4 50 7 84 12 38=

−( )+

−( )+

−( )= + + =, , , ,

αχ χ

==

⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪

= ∴ = <( )( )

0 053

5 99 12 38 0 050 05 22 2,

, , ,, ;cp

Para α=0,05, há rejeição de H0, ou seja, a população não segue o equilíbrio

Hardy-Weinberg.

5.3 TESTE DE HOMOGENEIDADE

Considere m populações π1, π2,..., πm distribuídas em c catego-c

rias mutuamente exclusivas. Objetiva-se verifi car se as m populações

(π1,...,πm) podem ser representadas por uma distribuição comum a todas

H m0 1 2: p p p= = =( ) contra a alternativa em que pelo menos duas são dis-

tintas H i i i i mi i1 1: ’; , ’ , ,’ Existe para p p≠ ≠ =( ) .

Contemplando as m populações em c categorias, as frequências obser-c

vadas podem ser apresentadas na tabela de dupla entrada m c x (Tabela de

Contingência m c x )

H0: Equilíbrio Hardy-Weinberg (Eq HW)

AA Aa aa

Aa Aa

¼ ½ ¼

= =; ;π π π0 0 01 2 3

14

12

14

=

1: Não há Eq HW na descendência



Tabela 5.2 Resultados da categoria segundo população

População Categoria Total

C1 C2 ... Cc

P1 fo11 fo12 ... fo c1 fo1i

P2 fo21 fo22 ... fo c2 fo2i

Pm fom1 fom2 ... fomc fomi

Total foi1 foi2 ... fo ci foii

A hipótese de nulidade a ser testada é estabelecida como:

H

m

m

c c mc

0

11 21 1

12 22 2

1 2

:

p p pp p p

p p p

= = == = =

= = =

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

��

� � ��⎪⎪⎪

, ou equivalentemente, π1= π2=...=πm; contra

a alternativa

H1 : pelo menos uma das igualdades não é verifi cada.

As frequências esperadas, considerando-se a hipótese H0 verdade são ob-

tidas como:

fe fofo fo

foi m j cij i j

i j= × =×

= =•• •

••

p

, para e 1 1,..., ,..., .

Sob a veracidade de H0, a estatística do teste é dada por:

c c2

2

111 1

2=−( )

==−( ) −( )∑∑

fo fe

feij ij

ijj

c

i

m

m c~ , com a regra de decisão habitual. Ou seja,

χ χ α2

1 12≥ −( ) −( )( ); m c rejeita-se H0; caso contrário, não há rejeição.

Exemplos

1. Duas novas drogas vão ser testadas em 200 pessoas portadoras de rinite

alérgica. Metade das pessoas recebe a droga A e a outra metade recebe a

droga B. Considerando os dados apresentados a seguir, teste a hipótese de



que as duas drogas são igualmente efi cazes para tratar a doença (adotar

a=0,05).Droga Efi caz Total

Não Sim

A 25 75 100

B 32 68 100

Total 57 143 200

H0 : Droga A Droga B=

H1 : Droga A Droga B≠

21

12 22

11==

⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪

p pp p


fe1157 100

20028 5= × = ,

fe12143 100

20071 5= × = ,

fe2157 100

20028 5= × = ,

fe22143 100

20071 5= × = ,

c22 2 2 225 28 5

28 532 28 5

28 575 71 5

71 568 71 5

=−( )

+−( )

+−( )

+−( ),

,,

,,

,,

771 50 43 0 43 0 17 0 17 1 20

,, , , , ,= + + + =

αχ χ

===

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

= ∴ = >( )( )

0 052

23 84 1 20 0 050 05 1

2 2

,, , ,, ;m

cp

No nível de 5% de signifi cância, não há rejeição de H0 . Isto é, as duas dro-

gas são igualmente efi cazes, no nível de 5% de signifi cância.

2. Foram consideradas as distribuições do tipo sanguíneo do sistema MN

em três populações (grupos) de indivíduos, conforme dados apresentados

abaixo:



Grupo Tipo Sanguíneo Total

MM MN NN

Controle 50 40 50 140

Gastrite 15 15 25 55

Úlcera 25 22 8 55

Total 90 77 83 250

Verifi car, no nível de 5% de signifi cância, se há diferença entre os grupos

quanto a distribuição do tipo sanguíneo (isto é, se a patologia está asso-

ciada ao sistema sanguíneo).

H0 : Controle = Gastrite = Úlcera

H1 : Existe pelo menos uma diferença entre os grupos

A seguinte tabela de frequências esperadas pode ser elaborada:

Grupo Tipo Sanguíneo Total

MM MN NN

Controle 50,40 43,12 46,48 140

Gastrite 19,80 16,94 18,26 55

Úlcera 19,80 16,94 18,26 55

Total 90 77 83 250

c22 2 250 50 40

50 4040 43 12

43 128 18 26

18 26=

−( )+

−( )+ +

−( ),,

,,

,,

c2 0 0032 0 2258 0 2666 1 1636 0 2222 2 4878 1 3657 1 5114= + + + + + + +, , , , , , , , ++5 7649,

c2 13 01= ,

αχ χ

===

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

= ∴ = <( )( )

0 053

39 49 13 01 0 050 05 4

2

,, , ,, ;m

cp 2

Há rejeição de H0, ou seja, no nível de 5% de signifi cância os grupos dife-

rem quanto a distribuição do tipo sanguíneo (a patologia está associada ao

sistema sanguíneo).



5.4 TESTE DE INDEPENDÊNCIA

Uma situação muito interessante na área biológica consiste em considerar

duas características (variáveis biológicas) avaliadas numa amostra de indi-

víduos e, verifi car se a probabilidade de um indivíduo qualquer ser classifi cado

nas categorias i i m j j c=( ) =( )1 1,..., ,..., e simultaneamente, pode ser obtida pelo

produto das probabilidades marginais. Ou seja, verifi car se as duas caracter-

ísticas são independentes.

Considerando a tabela de dupla entrada com m linhas e c colunas, objeti-c

va-se testar as hipóteses:

H ij i j0 : p p p= ×• • para todo par ( i j, ) as características estudadas são

independentes;

H ij i j1 : p p p≠ ×• • para algum par ( i j, ) as características estudadas são

dependentes.

As frequências esperadas, considerando-se H0 verdade, são dadas por

fefo fo

foiji j= • •

••

. Resultado idêntico ao utilizado no teste de homogeneidade.

Sob a veracidade de H0, a estatística do teste é expressa como

c c2

2

111 1

2=−( )

==−( ) −( )∑∑

fo fe

feij ij

ijj

c

i

m

m c~ , com a regra de decisão habitual.

Exemplos

1. A tabela a seguir relaciona resultados de uma pesquisa obtidos de uma

amostra aleatória de vítimas de diferentes crimes. Utilizando a=0,05, verifi -

car se o tipo de crime é independente do fato do criminoso ser um estranho.

CriminosoCrime

TotalHomicídio Roubo Assalto

Estranho 15 400 230 645

Conhecido 45 100 210 355

Total 60 500 440 1000



H ij i j0 : p p p= ×⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⇔• • = =

para todo

i 1,2;j 1,2,3 Independência entre criminoso ser estranho e tipo de crime;

H ij i j1 : p p p≠ ×⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⇔• • = =

para algum

i 1,2;j 1,2,3 Dependência entre criminoso ser estranho e tipo de crime.


fe1160 645

100038 7= × = , ; fe12

500 6451000

322 5= × = , ; fe13440 645

1000283 8= × = ,

fe2160 355

100021 3= × = , ; fe22

500 3551000

177 5= × = , ; fe23440 355

1000156 2= × = , .

c22 2 215 38 7

38 7400 322 5

322 5210 156 2

156 2=

−( )+

−( )+ +

−( )=

,,

,,

,,

c2 14 51 18 62 10 20 26 37 33 84 18 53 122 07= + + + + + =, , , , , , ,

αχ χ

===

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

= ∴ = <(( )

0 052

35 99 122 07 0 0010 05 2

2

,, , ,, ;m

cp 2 ))

No nível de 5% de signifi cância existe dependência entre o tipo de crime

cometido e o fato do criminoso ser um estranho.

2. Os resultados da classifi cação de 100 pessoas segundo a cor dos olhos e do

cabelo foram os seguintes:

Cor do CabeloCor dos Olhos

TotalCastanhos Azuis Cinza

Claro 13 18 9 40

Escuro 24 24 12 60

Total 37 42 21 100

No nível de 5% de signifi cância a cor dos olhos está relacionada com a cor

do cabelo?H0 : Há independência entre a cor dos olhos e a cor do cabelo p p pij = ×( )• •i j

H1 : Há dependência entre a cor dos olhos e a cor do cabelo p p pij ≠ ×( )• •i j




fe1140 37

10014 8= × = , ; fe12

40 42100

16 8= × = , ; fe1340 21

1008 4= × = ,

fe2160 37

10022 2= × = , ; fe22

60 42100

25 2= × = , ; fe2360 21

10012 6= × = , .

c22 2 213 14 8

14 818 16 8

16 812 12 6

12 6=

−( )+

−( )+ +

−( ),,

,,

,,

c2 0 22 0 09 0 04 0 15 0 06 0 03 0 59= + + + + + =, , , , , , ,

αχ χ

===

⎫

⎬⎪⎪⎪⎪

⎭⎪⎪⎪⎪

= ∴ = >( )( )

0 052

35 99 0 59 0 050 05 2

2

,, , ,, ;m

cp 2

No nível de 5% de signifi cância não se rejeita H0, ou seja, existe inde-

pendência entre a cor dos olhos e a cor do cabelo.

5.5 EXERCÍCIOS (TESTES DE ADERÊNCIA E ASSOCIAÇÃO)

1. Suponha que um teste de aptidão verbal tenha sido aplicado a um grupo

de 120 adolescentes do gênero masculino e 100 do gênero feminino. Os

resultados estão a seguir. Qual a conclusão a respeito da associação entre

gênero e aptidão verbal no nível de 5% de signifi cância?

GêneroNível de Aptidão

TotalSuperior Médio Inferior

Feminino 25 55 20 100

Masculino 20 80 20 120

Total 45 135 40 220

2. Desejando-se colocar à prova a hipótese de que a idade da mãe tem cer-

ta infl uência sobre o nascimento de criança prematura, um pesquisador

verifi cou que, dentre 90 casos de prematuridade, 40 envolviam mães com

idade inferior a 18 anos; 15 envolviam mães de 18 a 35 anos e 35 mães com

idade acima de 35 anos. No nível de 5% de signifi cância, isto leva o pes-

quisador a manter sua hipótese?



3. Em um teste quiquadrado, quanto maior a diferença entre frequências es-

peradas e observadas, maior chance temos de: a) aceitar (não rejeitar) H0

ou b) rejeitar H0? Explicar a resposta.

4. Considere o seguinte resultado quanto ao tabagismo dos pais e fi lhos

PaisFilhos

Tabagistas Não Tabagistas

Tabagistas 49 16

Não Tabagistas 106 79

Verifi car no nível de 5% de signifi cância a associação entre pais e fi lhos

quanto ao tabagismo

5. Conforme a herança mendeliana, a descendência de certo cruzamento de-

veria ser vermelha, preta ou branca na seguinte proporção: 9:3:4. Se um

experimento mostrou 74, 32 e 38 descendentes nessas categorias, a teoria

está confi rmada, sendo α=0,05?

6. A seguir são apresentados dados sobre a presença (ou não) de anomalia

em recém-nascidos vivos segundo o sexo.

SexoAnomalia

Ausente Presente

Masculino 586 14

Feminino 674 26

Verifi que, no nível de signifi cância 5%, se a proporção de recém-nascidos

vivos portadores de anomalia é a mesma nos dois sexos.

7. Com base nos dados apresentados a seguir, verifi car se a condição de vivo

ou natimorto é homogênea nos dois sexos, considerando-se a=0,01.

SexoCondição

Vivo Natimorto

Masculino 825 25

Feminino 960 40



8. Considere a distribuição de ervilhas do cruzamento de plantas de sement-

es lisas e albume amarelo com plantas de sementes rugosas e albume verde.

Sementes Frequência

Amarelo-lisas 380

Amarelo-rugosas 100

Verde-lisas 130

Verde-rugosas 30

No nível de signifi cância de 5%, os resultados estão de acordo com a teoria

postulada por Mendel (9:3:3:1, para as classes de sementes).

9. Considere uma amostra do mês de nascimento de 200 políticos brasileiros.

Verifi car (α=0,05) a hipótese de que o mês de nascimento tem uma distri-

buição uniforme nos políticos brasileiros.

Mês Jan Fev Mar Abr Maio Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

Frequência 16 18 13 15 16 12 20 20 18 14 18 20

10. Numa Universidade, os estudantes de dois programas de pós-graduação

diferentes são submetidos ao mesmo exame de conhecimentos de redação

científi ca. Os conceitos obtidos foram os seguintes:

Programa de PGConceito

Fraco Regular Bom Excelente

XY 16 8 20 9

WZ 18 12 26 22

No nível de signifi cância 5%, a distribuição dos conceitos é homogênea

nos dois programas?

11. Numa pesquisa 120 pares de gêmeos foram classifi cados segundo o sexo e

a ordem que ocorreu o nascimento.



Primeiro a nascerSegundo a nascer

Masculino Feminino

Masculino 38 22

Feminino 26 34

No nível de signifi cância 5% verifi car se o sexo e a ordem de nascimento

são independentes.

12. Foram amostrados 120 pares de gêmeos classifi cados de acordo com o

sexo com o seguinte resultado:

Situação Dois meninos Duas meninas Um menino e Uma menina

Frequência 34 38 48

Verifi car, no nível de signifi cância 5%, se a classifi cação do sexo está em

acordo com o modelo binomial B 2 12;( ) .

5.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (TESTES DE ADERÊNCIA E ASSOCIAÇÃO)

1. c2 3 40 0 05= >, ( , )p

2. c2 11 67 0 01= <, ( , )p

3. Quanto mais os valores observados se afastam dos esperados, têm-se

maiores desvios (sendo o numerador do cálculo elevado ao quadrado) e,

portanto, aumenta a chance de rejeitar a hipótese de nulidade (H0).

4. c2 6 68 0 01= <, ( , )p

5. c2 1 64 0 05= >, ( , )p

6. c2 2 07 0 05= >, ( , )p

7. c2 1 52 0 05= >, ( , )p

8. c2 7 78 0 05= >, ( , )p

9. c2 5 08 0 05= >, ( , )p

10. c2 2 47 0 05= >, ( , )p



11. c2 4 82 0 05= <, ( , )p

12. c2 5 07 0 05= >, ( , )p


6CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES

6.1 INTRODUÇÃO

Nas áreas biológicas, em algumas situações, o pesquisador está interessado

em estudar a maneira como duas variáveis X e Y estão associadas e, mais ai-

nda, medir o seu grau de associação. Alguns exemplos que podem esclarecer

essa situação são bastante comuns em nosso cotidiano, quais são: afi rmar que

a pressão arterial aumenta quando a idade avança; a altura de uma árvore está

relacionada ao perímetro do tronco; o desempenho de um atleta melhora com

o treinamento, e assim por diante.

Em todas as situações estão sendo considerados, simultaneamente, os va-

lores de duas variáveis aleatórias mensuradas num mesmo indivíduo, isto é,

observações pareadas. Como já descrito anteriormente, busca-se verifi car qual

o sentido e a intensidade da associação entre as variáveis, mas jamais utilizar

essa busca como uma relação de causa e efeito. Ou seja, a observação de que

duas grandezas podem variar simultaneamente no mesmo sentido ou em sen-

tidos contrários, não implica a presença de um relacionamento causal entre

elas.

No presente texto será considerado que a associação entre as variáveis

pode ser estudada por meio de uma relação linear, ou seja, os pares de pontos

distribuídos na vizinhança de uma reta.

Para melhorar o entendimento entre correlação e causalidade, suponha,

por exemplo, uma associação positiva entre o consumo de líquido de uma ci-

dade e o número de internações por desidratação. A falácia da causalidade

poderia levar a diminuição de ingestão de líquido para diminuir o número

de internações por desidratação. Lógico, que neste caso, uma terceira ou mais



variáveis (temperatura, umidade relativa do ar,...) podem estar causando a cor-

relação entre consumo de líquido e número de internações. Essas variáveis são

denominadas de variáveis intercorrentes (não conhecidas) e a falsa correlação

que elas fornecem é chamada de correlação espúria.

6.2 DIAGRAMA DE DISPERSÃO

O diagrama de dispersão consiste de um gráfi co bidimensional (sistema

de eixos cartesianos (X,Y)) onde são alocados os n pares de observações das

variáveis aleatórias X e Y.

O objetivo do diagrama de dispersão é possibilitar a visualização da rela-

ção existente entre as variáveis X e Y. Se os pontos estiverem localizados na viz-

inhança de uma reta há indicação de correlação, se X e Y crescem no mesmo

sentido, a indicação é no sentido de correlação positiva, caso a variação acon-

teça no sentido oposto (contrário), existe correlação negativa entre as variáveis.

A Tabela 6.1 apresenta o desempenho físico e psicológico de mulheres obesas

submetidas aos testes relativos à qualidade de vida das participantes.

Tabela 6.1 Desempenho físico e psicológico de mulheres obesas submetidas ao“Deep water running and quality of life in obese women (Arquivos Médicos do ABC,v.32, p.5-10, 2007)”

Mulher D. Físico (%) D. Psicológico (%)

M1 30 35

M2 40 50

M3 75 70

M4 50 50

M5 35 30

M6 60 65

M7 70 55

M8 55 55


Correlação Linear Simples | 91

40

50

60

70

80

20

30

40 50 60 70 8020 30 90

D. Psicológico

D. Físico

Figura 6.1 Diagrama de Dispersão dos Domínios Físico (%) e Psicológico (%)

A inspeção visual, mostra de maneira subjetiva, a tendência linear nas

observações no sentido positivo, ou seja, as mulheres mostraram associação

direta nas respostas dos domínios físico e psicológico. A intensidade dessa as-

sociação pode ser mensurada, objetivamente, pelo coefi ciente de correlação

linear de Pearson, sendo que a intensidade será tanto maior quanto menor for

a dispersão dos pontos em relação à tendência linear.

6.3 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO

A medida do grau (intensidade) de associação linear entre duas variáveis

aleatórias quantitativas (numéricas) pode ser estabelecida pelo coefi ciente de

correlação de Pearson, representado por r e expresso parar n pares (xi, yi) de

uma amostra aleatória das variáveis X e Y como:

rS

S Sxy

xx yy

= , onde

S SP X Y x x y y x y nxyxy i ii

n

i ii

n

= ( )= −( ) −( )= −= =∑ ∑,

1 1

;

S SQ X x x x nxxx ii

n

ii

n

= ( )= −( ) = −= =∑ ∑2

1

2 2

1

;

S SQ Y y y y nyyy ii

n

ii

n

= ( )= −( ) = −= =∑ ∑2

1

2

1

2 .



Algumas considerações interessantes podem ser feitas a respeito do valor

de r:

a) − ≤ ≤1 1r ;

b) r=+1 , correlação perfeita positiva (todos os pontos estão sobre uma

linha reta crescente);

c) r=−1 , correlação perfeita negativa (todos os pontos estão sobre uma

linha reta decrescente);

d) r = 0 ; correlação nula (ausência de associação linear entre as variáveis

X e Y);

e) r é adimensional.

A seguir serão apresentados dois exemplos para o cálculo da correlação

linear simples.

Exemplos

1. Considerando os dados da Tabela 6.1, tem-se:

xii

= + + ==∑ 30 55 415

1

8

, portanto, x = 51 875, ;

x ii

2 2 2

1

8

30 55 23375= + + ==∑ ;

S SQ Xxx = ( )= − × =23375 8 51 875 1846 8752, , ;

yii=∑ = + + =

1

8

35 55 410 , portanto, y = 51 25, ;

yii

2

1

82 235 55 22300

=∑ = + + = ;

S SQ Yyy = ( )= − × =22300 8 51 25 1287 52, , ;

x yi ii=∑ = × + × + + × = + + + =

1

8

30 35 40 50 55 55 1050 2000 3025 22625 ;

S SP X Yxy = ( )= − × × =, , , ,22625 8 51 875 51 25 1356 25 ;

logo r=×

= = ≈1356 251846 875 1287 5

1356 251542 0284

0 8795 0 88,, ,

,,

, ,



A magnitude da associação linear entre as variáveis é da ordem de 0,88,

mostrando que as mulheres que tiveram maiores porcentagens no domínio

físico são também as de maiores valores percentuais no domínio psicológico.

2. Considere as seguintes notas em Bioestatística e Biofísica de 11 alunos de

Ciências Biológicas selecionados aleatoriamente entre todos os matricula-

dos, conforme Tabela 6.2

Tabela 6.2 Notas de 11 alunos em Bioestatística e Biofísica

Aluno A B C D E F G H I J K

Bioestatística (X) 6,7 8,1 6,5 4,2 5,3 4,0 7,1 6,4 6,0 6,8 4,9

Biofísica (Y) 9,2 6,5 8,1 7,5 8,5 7,8 7,7 7,9 8,1 8,2 8,5

xii=∑ =

1

11

66 0, , logo x = 6 0, ; yii=∑ =

1

11

88 0, , logo y = 8 0, ;

x xii

−( ) =( ) +( ) +( ) + −( ) + −( ) + −( )=∑ 2

1

112 2 2 2 2 20 7 2 1 0 5 1 8 0 7 2 0, , , , , , ++( ) +( )

+( ) +( ) + −( ) =

1 1 0 4

0 0 0 8 1 1 16 1

2 2

2 2 2

, ,

, , , , ;

y yii

−( ) =( ) + −( ) +( ) + −( ) +( ) + −( )=∑ 2

1

112 2 2 2 2 21 2 1 5 0 1 0 5 0 5 0 2, , , , , , ++ −( )

+ −( ) +( ) +( ) +( ) =

0 3

0 1 0 1 0 2 0 5 4 64

2

2 2 2 2

,

, , , , , ;

x x y yi ii

−( ) −( )=( )( )+( ) −( )+( )( )+ +=∑

1

11

0 7 1 2 2 1 1 5 0 5 0 1 0 8, , , , , , , (( )( )+ −( )( )=−0 2 1 1 0 5 2 07, , , , ;

r= −×

=− =−2 0716 1 4 64

2 078 64

0 24,, ,

,,

,

O coefi ciente de correlação negativo (-0,24) mostra que os alunos com

maiores notas em Bioestatística estão com menores notas em Biofísica, e vice-

versa. Porém, deve ser observado que o valor r=−0 24, expressa uma fraca

correlação linear negativa entre as variáveis.



6.4 TESTE DE HIPÓTESE DA CORRELAÇÃO

Considerando as variáveis aleatórias X N x x~ ,μ σ2( ) e Y N y y~ ,μ σ2( ) , as

hipóteses a respeito da ausência ou presença de associação linear entre as

variáveis X e Y podem ser estabelecidas como:

H xy0 0: r = (ausência de associação linear entre as variáveis X e Y)

H xy1 0: r ¹ (presença de associação linear entre as variáveis X e Y).

Sob a veracidade de H0 a estatística do teste é dada por: t r n

rt n= −

−−( )

2

1 2 2~ ,

com a regra de decisão habitual ( ou seja, se t tn

≥−( )a

2 2, , rejeita-se a hipótese

H0; caso contrário, não há rejeição).

Alternativamente, o valor do resultado do coefi ciente de correlação linear

de Pearson ( r ) pode ser comparado com os valores críticos da Tabela 9.9, com

a seguinte regra de decisão:

Se r r n> ( ; )a2

, rejeita-se H0 ao nível a (0,05 ou 0,01) de signifi cância estabe-

lecido. Caso contrário, não há rejeição da hipótese nula (ausência de associa-

ção linear entre X e Y).

Exemplos

1. Considerando os dados da Tabela 6.1 e a=0,05, tem-se

H xy0 0: r = (ausência de associação linear)

H xy1 0: r ¹ (presença de associação linear)

t p=−

= = <( )0 88 6

1 0 88

2 1560 475

4 54 0 012

,

,

,,

, ,

== − =

=( )

0 058 2 6

2 450 025 6

,,, ;t

αϕ } ; t > 2 45, , portanto, rejeita-se H0.

No nível de signifi cância 5% existe associação linear entre os domínios

físico e psicológico.



2. Considerando os dados das notas de Bioestatística e Biofísica da Tabela

6.2, tem-se:

H xy0 0: r = (ausência de associação linear)

H xy1 0: r ¹ (presença de associação linear)

t p= −

− −( )=− =− >( )0 24 9

1 0 24

0 720 97

0 74 0 052

,

,

,,

, ,

==

=( )

0 059

2 260 025 9

,,, ;t

αϕ } ; t < 2 26, , não se rejeita H0.

No nível de signifi cância 5%, não foi possível mostrar associação linear en-

tre as notas de Bioestatística e Biofísica nos alunos de Ciências Biológicas.

6.5 EXERCÍCIOS (CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES)

1. Um antropólogo mediu a largura e o comprimento de 30 crânios amostra-

dos de uma população, obtendo um coefi ciente de correlação r=0,75. Su-

pondo α=0,05, verifi car se existe associação entre as variáveis.

2. Os valores das variáveis X e Y devem ser medidos na mesma unidade para

que se possa calcular o coefi ciente de correlação linear?

3. Considere a idade gestacional (semanas) e o peso ao nascer (kg), de uma

amostra casual de 10 recém-nascidos no HC/UNESP-Botucatu(SP).

Recém-nascido RN1 RN2 RN3 RN4 RN5 RN6 RN7 RN8 RN9 RN10

Idade Gestacional 34 35 37 32 42 40 41 39 28 38

Peso ao Nascer 1,60 1,70 2,00 1,55 4,30 3,00 3,40 3,30 1,25 2,35

No nível de signifi cância 5%, verifi car se existe associação linear entre a

idade gestacional e o peso ao nascer.



4. Em um experimento com carneiros foram determinados os seguintes re-

sultados no plasma dos animais:

Carneiro 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Conc. Albumina (g%) 2,3 3,5 4,8 1,9 2,7 5,8 4,6 5,4 3,9

Horm. Crescimento (mμg/ml) 41,4 48,6 56,4 40,3 45,3 61,4 52,0 54,0 42,8

Verifi car se existe associação linear (a=0,05) entre a concentração de albu-

mina e o hormônio de crescimento no plasma de carneiros.

5. Apresenta-se a seguir uma matriz de correlação para instrução (X), salário

(Y) e idade (Z) de uma amostra de 50 indivíduos.

Variável

Variável Instrução Salário Idade

Instrução 1,00 0,60 -0,40

Salário 1,00 0,50

Idade 1,00

Quais são signifi cantes no nível 0,05?

6. A correlação entre aptidão matemática e línguas estrangeiras, baseada em

testes para medir aptidões, está por volta de 0,40. Qual deve ser o tamanho

de uma amostra de estudantes para estarmos certos (nível de signifi cância

5%) de que o valor do r obtido refutaria a hipótese r H0 0: r = ?

7. Como deve ser afetado o valor do coefi ciente de correlação r se trocarmosr

as variáveis X por Y e Y por X?

8. Dê um exemplo de duas variáveis que, sem dúvida, estão altamente rela-

cionadas mas para as quais o valor de r seria pequeno pelo fato de a relação r

não ser linear.

9. Considere os seguintes dados relativos a altura e peso de 10 estudantes de

uma sala de aula e verifi que, no nível de signifi cância 5%, se as variáveis

estão associadas linearmente.



Estudante E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10

Altura 124 161 126 184 172 140 158 135 180 174

Peso 65 76 64 95 86 68 70 68 92 87

10. Indique o erro na conclusão

Fato: Há uma associação linear signifi cante (p<0,05) entre a renda pessoal

e o número de anos de escolaridade.

Conclusão: Mais instrução tem como resultado maior renda pessoal.

11. Como é afetado o valor do coefi ciente de correlação linear quando se adi-

ciona a mesma constante a cada valor da variável X?

12. Com base em uma amostra de 38 pares de valores foi obtido o coefi ciente

de correlação r=0,45. Teste (α=0,05) a hipótese de que o coefi ciente de cor-

relação das variáveis é zero.

13. Verifi car se existe associação signifi cativa (α=0,05) entre horas de estudo e

nota da prova, segundo os dados abaixo:

Aluno A B C D E F G H I K L M

Horas de estudo 4 1 3 5 8 3 6 7 7 6 2 4

Nota da prova 5 2 4 7 9 5 7 10 8 6 3 3

14. Um coefi ciente de correlação linear de Pearson, baseado em uma amostra

de tamanho 18, foi calculado como 0,45. Pode-se concluir, no nível de 5%

de signifi cância, que há associação entre as variáveis X e Y?

15. Para uma amostra de tamanho 11, determinar o valor mínimo do coefi -

ciente de correlação r, de modo que a hipótese de ausência de associação

linear entre X e Y( H0 ) seja rejeitada ao nível de confi ança 99% (isto é,

sempre que r r> ( , ; )0 01 11 ).

16. Nas questões seguintes aprofunde a discussão no erro de conclusão.

a. Fato: Há uma correlação linear signifi cativa entre a renda pessoal e o



número de anos de escolaridade. Conclusão: mais instrução tem como

resultado maior renda pessoal.

b. Fato: Indivíduos fazem um teste de habilidade verbal e um

teste de destreza manual; os pares de observação acusam

um coefi ciente de correlação linear muito próximo de zero.

Conclusão: Não há qualquer relacionamento entre os escores dos dois

testes.

17. Explique o que está errado na seguinte afi rmação: “Determinou-se uma

associação linear forte, expressa pelo valor r=1,16, entre a avaliação do en-

sino ministrado pela universidade indicada pelos estudantes e outra feito

por membros externos à instituição”.

6.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES)

1. t p= <6 00 0 001, ( , )

2. Não. Basta que sejam variáveis quantitativas

3. r = 0 900, ; t p= <5 84 0 001, ( , )

4. r = 0 914, ; t p= <5 96 0 001, ( , )

5. t pINST SAL×( ) = <5 20 0 001, ( , )

t pINST IDADE×( ) =− <3 02 0 01, ( , )

t pSAL IDADE×( ) = <4 00 0 001, ( , )

6. No mínimo composta por 25 estudantes

7. O valor permanece inalterado

8. Quantidade de adubação no solo e produção

9. r = 0 949, ; t p= <8 52 0 001, ( , )

10. A conclusão está fazendo uma relação de causa e efeito, quando na reali-

dade existe apenas uma associação linear



11. O valor permanece inalterado

12. t p= <2 70 0 05, ( , )

13. r = 0 921, ; t p= <7 48 0 01, ( , )

14. t p= >2 02 0 05, ( , )

15. r ³ 0 7348, ; portanto r = 0 7348, (valor mínimo)

16. a. Relação de causa e efeito para um indicativo apenas de associação.

b. b) Não há associação linear, fato que não exclui a possibilidade de outro

tipo de relação.

17. O valor de r não pode ser maior que a unidade.


7REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

7.1 INTRODUÇÃO

Os fenômenos biológicos, quase que na plenitude das situações, podem

ser explicados por meio de modelos matemáticos e estocásticos (modelos

matemáticos que incorporam elementos probabilísticos). Um modelo comum

e de fácil entendimento biológico que tem sido utilizado para estudar a relação

funcional entre duas variáveis consiste na função linear simples Y a bX= +( ) .

Neste modelo, a idéia consiste em estudar a variação da variável aleatória

contínua Y (variável dependente, variável resposta ou variável exógena) em

função de uma variável fi xa X, isto é, determinística (variável independente,

variável explanatória ou variável endógena). Por exemplo, verifi car as quedas

na quantidade de açúcar no sangue de coelhos submetidos a doses diferentes

de insulina (doses controladas).

Para melhor entendimento, considere o seguinte experimento realizado na

área de Bioquímica. Um bioquímico colocou plasma humano em cinco tubos

de ensaio e depois adicionou procaína (quantidade fi xa em cada tubo). Essa

substância é um anestésico local que se decompõe por hidrólise. Para estudar a

velocidade da hidrólise, o pesquisador observou, em tempos defi nidos e dife-

rentes (4 min., 8 min., 12 min., 16 min. e 20 min.), a quantidade (moles/litro)

de procaína hidrolisada em cada tubo de ensaio.

Esquematicamente:



616

23

3341

4 min 8 min 12 min 16 min 20 min

Considerando o tempo com variável independente (X) e a quantidade de

procaína hidrolisada, como a variável dependente (Y), como estabelecer o

modelo da resposta linear de Y em função de X?

7.2 MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

A origem do termo regressão deve-se a Sir Francis Galton ( 1822-1911 ),

inglês de classe alta que estudou medicina em Cambridge e explorou a África

antes de se dedicar ao estudo da hereditariedade. A data do pioneirismo do

uso aconteceu por volta de 1885, quando estava investigando relações antro-

pométricas de sucessivas gerações, em resposta a seguinte interrogativa que

fazia: “Se as alturas das pessoas estão distribuídas normalmente em cada ge-

ração, e se a altura é hereditária, qual é a relação entre as gerações?”. Uma das

constatações verifi cada por Galton apontava que cada particularidade de um

homem é transmitida aos seus descendentes, mas, em média, numa intensi-

dade menor. Ou seja, embora pais com baixa estatura tendam a ter fi lhos tam-

bém com baixa estatura, os fi lhos têm altura média maior que seus pais. Fato

semelhante, em sentido reverso, ocorre com pais com estatura alta. Isto é, os

fi lhos apresentam estatura alta, mas, em média, menor que seus pais. Galton

chamou esse fenômeno de “regressão para a mediocridade”.


Regressão Linear Simples | 103

Em sua análise, Galton denominou esse fenômeno de a altura mover-se em

direção à altura dos pais de regressão, e às vezes de reversão, expressado num

artigo de 1885, publicado no Journal of the Anthropological Institute (Bussab

& Morettin, 2003).

No contexto matemático, que não foi o caso de Galton, o ajuste de uma

linha reta a quaisquer dados de duas variáveis quantitativas pode ser feito pelo

método dos mínimos quadrados criado pelo matemático francês Legendre,

por volta de 1805, cujo procedimento de obtenção dos parâmetros envolvidos

no modelo linear será objeto de estudo no presente texto.

Em relação ao experimento da procaína, inicialmente, como análise ex-

ploratória, torna-se interessante representar os pares de pontos ( x yi i, ) em

um gráfi co no sistema cartesiano para verifi car se há uma tendência linear

nos dados. Caso exista a tendência, o passo seguinte consiste em estabelecer o

modelo de resposta linear Y a bX= + . Se não for verifi cada a tendência, a al-

ternativa seria procurar outros modelos (não-lineares), cujo enfoque não será

abordado neste texto.

Para o gráfi co considere a Tabela 7.1 de valores do tempo e da quantidade

de procaína hidrolisada.



Tabela 7.1 Valores observados nos tubos de ensaio

Tempo (X) 4 8 12 16 20

Quantidade hidrolisada (Y) 6 16 23 33 41

4 8 12 16 20005

1015202530354045

QuantidadeHidrolisada(moles/litro)

Tempo (min)

Figura 7.1 Diagrama de dispersão dos dados

Como pode ser visualizado existe uma tendência linear nos valores ob-

servados no experimento. Então, indaga-se: como procurar a equação da reta

que “melhor” descreve a hidrólise da procaína em função do tempo que foi

adicionado no plasma? Ou seja, como proceder ao ajuste de uma regressão

linear simples (RLS) ao conjunto de dados?

Ajustar uma RLS aos dados signifi ca encontrar a equação da reta que

melhor descreve o fenômeno biológico. Um procedimento matemático que

permite encontrar esse modelo de resposta denomina-se Método de Mínimos

Quadrados (MQ), cujo objetivo consiste em minimizar a soma dos quadrados

dos erros (ou desvios).

Para o ajuste da RLS e, posteriormente, para os testes de hipóteses as se-

guintes pressuposições são básicas:

i. A relação entre as duas variáveis é linear.

ii. Os valores de X são fi xos, isto é, X é variável determinística.

iii. A variabilidade de Y, para qualquer valor dado de X, é sempre a mesma.



iv. O erro de uma observação não está correlacionado com o erro de outra

observação (erros não correlacionados).

v. Para qualquer dado valor de X, Y tem distribuição condicional normal (

E y x x Var y x( )= + ( )=α β σ; 2 ).

Como descrito anteriormente, encontrar os estimadores de mínimos

quadrados para os parâmetros (a, b) do modelo, consiste em considerar uma

amostra aleatória de n pares x y i ni i, , , ,( ) = 1 ; e minimizar a quantidade de

informação perdida pelo modelo, ou seja, a soma dos quadrados dos erros

dada por:

SQ e y xii

n

i ii

n

α β α β,( )= = − +( )( )= =∑ ∑2

1

2

1

, com ei sendo o i-ésimo erro entre o

valor observado yi e o proposto pelo modelo E y x xi i( )= +α β .

Derivando SQ α β,( ) em relação a a e b e igualando a zero, tem-se que as

soluções α (ou a) e β (ou b) devem satisfazer:

α βn x yii

n

ii

n

ˆ ˆ+ == =∑ ∑

1 1

;

α βˆ ˆx x x yii

n

ii

n

i ii

n

= = =∑ ∑ ∑+ =

1

2

1 1

;

as quais produzem as soluções:

α βˆ ˆ= = −a y x ;

β= =bSS

xy

xx

; onde S x x x nxxx ii

n

ii

n

= −( ) = −= =∑ ∑2

1

2 2

1

e

S x x y y x y nxyxy i ii

n

i ii

n

= −( ) −( )= −= =∑ ∑

1 1

.

Portanto, o modelo de regressão ajustado é dado como:

= +α βy xˆ ˆ ˆ a bx y b x xi i i i= + = + −( ).

No experimento bioquímico, tem-se

n = 5 ; X : tempo(min); Y : quantidade hidrolisada (moles/L);



xii=∑ = + + + + =

1

5

4 8 12 16 20 60 , logo x =12 ;

xii

2 2 2 2 2 2

1

5

4 8 12 16 20 880= + + + + ==∑ ;

Sxx = − × = − =880 5 12 880 720 1602 ;

yii

= + + + + ==∑ 6 16 23 33 41 119

1

5

y = 23 8, ;

x yi ii

= × + × + × + × + × ==∑ 4 6 8 16 12 23 16 33 20 41 1776

1

5;

Sxy = − × × =1776 5 12 0 23 8 348, , ;

bSS

xy

xx

= = =348160

2 175, ;

a y bx= − = − × =−23 8 2 175 12 2 3, , , ;

logo, y xˆ , ,i i=− +2 3 2 175 , isto é, QtHid tempoˆ , ,=− +2 3 2 175 .

O modelo y xˆ , ,i i=− +2 3 2 175 , constitui-se num preditor da quantidade de

procaína hidrolisada para qualquer tempo considerado no intervalo de 4min

a 20min. Além disso, o valor 2,175 (denominado coefi ciente angular da re-

gressão) indica a variação da variável Y por unidade de variação em X, ou

seja, para cada minuto decorrido a quantidade de procaína hidrolisada tem

um acréscimo de 2,175 moles/litro.

O modelo estimado pode ser representado no sistema cartesiano por meio

de uma reta correspondente à relação linear encontrada entre as variáveis.

Então, considerando y xˆ , ,i i=− +2 3 2 175 , tem-se:

= →4 2x yi i =− + ( )=3 2 175 4 6 4ˆ , , , ;

x yi i= → =− + ( )=20 2 3 2 175 20 41 2ˆ , , , .



0

10

20

30

40

QuantidadeHidrolisada

Tempo

y xˆ , ,i i=− +2 3 2 175

7.3 COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO

O coefi ciente de determinação (R2) indica a proporção da variação de Y

que é explicada pela reta de regressão, ou seja, uma medida de precisão do

modelo. Portanto, sendo uma proporção seu valor varia entre zero e um, inclu-

sive 0 12≤ ≤( )R . Fica mais prático interpretar quando seu valor é expresso em

porcentagem, sendo 0% o caso extremo de imprecisão do modelo e, oposta-

mente, 100% a retenção de toda informação do fenômeno biológico explicada

pelo modelo ajustado. Valores entre essas porcentagens limites são tão pouco

ou mais representativos quanto aos próximos dos extremos que se alinharem.

O cálculo do coefi ciente de determinação (R2) envolve a relação entre a soma

de quadrados devida à regressão e a soma total de quadrados expressa na se-

guinte fórmula: R SQRegressãoSQTotal

SS S

xy

xx yy

22

= = . Se não existisse qualquer variação

em torno da reta de regressão (todos os pontos observados estivessem sobre xx yy

a reta estimada), não haveria resíduos (erros) e, portanto, a soma de quadra-

dos devida à regressão coincidiria com a soma total de quadrados, resultando

R2 1 0 100= ( ), % . Difi cilmente essa condição acontece em biologia, uma vez que

existe sempre uma componente aleatória nas respostas biológicas.

No experimento bioquímico, tem-se:

xii=∑ =

1

5

60 , com x =12 ; yii

==∑ 119

1

5

, com y = 23 8, ;



xii

2

1

5

880==∑ ; yi

i

2

1

5

3591=∑ = ; x yi i

i

==∑ 1776

1

5

; resultando,

Sxx =160 ; Syy = 758 8, ; Sxy = 348 .

Logo, R22348

160 758 80 9975 99 75=

×= ( )

,, , % , mostrando que o modelo ajusta-

do explica 99,75% da variação da quantidade de procaína hidrolisada em fun-

ção do tempo.

7.4 TESTE DO COEFICIENTE (ANGULAR) DE REGRESSÃO

H0 0: b = (não existe RLS de Y em X)

H1 0: b ¹ (existe RLS de Y em X).

Sob a veracidade de H0, a estatística do teste é dada por tn R

Rt n=

−( )− −( )

21

2

2 2~ ,

com a regra de decisão habitual (rejeita-se H0, quando t t n≥ −( )a 2 2; ). Alternati-

vamente o valor da estatística pode ser obtido como:

tb S

Sxx

e

= , onde Sn

SSSe yy

xy

xx

221

2=−( )

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

.

No experimento bioquímico, tem-se

H0 0: b = (ausência de RLS da quantidade de procaína hidrolisada sobre

o tempo)

H1 0: b ¹ (presença de RLS da quantidade de procaína hidrolisada sobre

o tempo).

n = 5 e R2 0 9975= , , então t p=−( )−

= <( )5 2 0 99751 0 9975

34 6 0 001,

,, , ;

a= 0 05, e n− =2 3 , tem-se t 0 025 3 3 18, ; ,( ) = , logo ( t t> ( )0 025 3, ; ) rejeita-se H0.

Alternativamente:

Sxx =160 ; Syy = 758 8, ; Sxy = 348 e b = 2 175,

Se2

215 2

758 8 348160

0 6333=−

−⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟=, , Se = 0 7958,



t p= = <( )2 175 1600 7958

34 6 0 001,,

, ,

Nesse sentido, conclui-se que existe regressão linear signifi cativa (p<0,001)

da quantidade de procaína hidrolisada em função do tempo.

7.5 EXERCÍCIOS (REGRESSÃO LINEAR SIMPLES)

1. Um laboratório está interessado em medir o efeito da temperatura sobre a

potência de um antibiótico. Oito amostras de 50 gramas foram armazena-

das a diferentes temperaturas, e após uma semana mediu-se a potência. Os

resultados estão descritos a seguir.

Temperatura (ºC) 30 38 46 54 62 70 78 86

Potência 45 41 39 32 28 23 10 17

a. Faça a representação gráfi ca dos dados.

b. Ajuste a regressão linear simples da potência como função da tempera-

tura.

c. A que temperatura a potência seria nula?

2. Sejam X (duração da viagem, em dias) e Y(despesa, em US$, com viagem).

Para uma amostra de 102 viagens, obteve-se: x=∑ 510 ; y=∑ 7140 ;

x2 4150=∑ ; y2 740200=∑ e xy=∑ 54900 .

a. Qual a reta de regressão de Y em função de X?

b. Uma viagem irá durar sete dias. Qual a estimativa de despesa para a

viagem?

3. Para construir um modelo linear relacionando a quantidade de erros da-

tilográfi cos (Y) e o tempo de experiência (X) em meses, constituiu-se uma

amostra casual de 10 funcionários, obtendo-se os seguintes resultados nu-

méricos:



n =10 ; x = 6 0, ; y =17 0, ; Sxx =100 ; Syy = 644 e r=−0 993, .

a. Determine o modelo de regressão linear de Y em X.

b. No nível de signifi cância 5%, faça o teste de hipótese da regressão.

c. Encontre o valor do coefi ciente de determinação.

4. Os dados a seguir referem-se a precipitação anual (cm) e a produção de

algodão (kg/ha) de uma amostra de sete produtores de uma dada região do

estado.

Precipitação 160 140 130 100 70 50 40

Produção 620 510 450 280 140 80 30

No nível de signifi cância de 5%, verifi car se existe RLS da produção de

algodão em função de precipitação anual.

5. Se os fi lhos fossem exatamente 3 cm mais altos do que seus pais, como

fi caria a reta de regressão que daria a altura dos fi lhos em função da altura

dos pais?

6. Considere os dados da idade (em dias) e o peso (em gramas) de ratos ma-

chos da raça Wistar.

Idade 25 28 30 32 34 35 38 40 42 43 45 46 47 48 49 50

Peso 62 61 66 69 74 75 80 82 88 89 91 95 95 97 99 99

Considerando o modelo RLS para o peso em função da idade, quanto deve

ser o peso estimado de um rato com 33 dias de idade?

7. Suponha que, com base em 16 pares de observações, obteve-se as seguintes

informações: x∑ = 896 ; y∑ = 655 ; x2 52300=∑ ; y2 29652=∑ ;

xy∑ = 38368 . Qual é a proporção da variabilidade total dos dados que

pode ser explicada pela regressão de Y em X?



8. Considere os valores de X e Y obtidos em uma amostra com cinco obser-

vações.

X 1 2 3 4 5

Y 16 12 8 7 5

Mostre com os dados que b rSS

yy

xx

=

9. Numa análise de RLS foram obtidos a partir de uma amostra de 6 pares de

valores X e Y, os seguintes resultados:

R2 1625

= ; sx = 3 (desvio padrão de X); sy = 5 (desvio padrão de Y); x = 3 e

y =10 .

a. Qual a equação de RLS de Y em X?

b. No nível de signifi cância 5%, teste as hipóteses H H0 10 0: :b b= × ≠ .

10. Para os pares (1,6);(2,5);(3,3);(4,3);(6,1), determine a equação de RLS de Y

em X. Qual a variação de Y por unidade de variação de X?

11. Um laboratório está interessado em medir a infl uência da temperatura so-

bre a potência de um antibiótico. Dez amostras de 50g cada foram guarda-

das a diferentes temperaturas, e após 15 dias mediu-se a potência (quadro

a seguir).

a. Faça a representação gráfi ca dos dados.

b. Ajuste a reta da potência como função da temperatura.

c. A que temperatura a potência seria nula?

Temperatura (ºC) Potência

30 38 43

50 32 26 33

70 19 27 23

90 14 21

12. Qual o indicador estatístico que fornece o acréscimo ou decréscimo de Y

esperado para cada variação unitária de X, numa relação linear entre Y e X?



13. Considere os seguintes pesos de pais e fi lhos, em kg.

Família F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10

Peso do Pai 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67

Peso do Filho 68 66 68 65 69 66 68 65 71 67

a. Construir o diagrama de dispersão.

b. Estabelecer a regressão do peso do fi lho em função do peso do pai.

Verifi car a signifi cância considerando a=0,05.

14. Suponha que, com base em 16 pares de observações, obteve-se as seguintes

informações:

x y x y xy∑ ∑ ∑ ∑ ∑= = = = =896 655 52330 29652 383682 2; ; ; ;

Utilizando essas informações, responda as questões a seguir:

a. Determine a regressão linear de Y em X.

b. Qual é a proporção da variabilidade total dos Y que pode ser explicada

pela regressão de Y em X?

15. Considere os seguintes resultados de uma pesquisa envolvendo registro de

armas automáticas e taxa de criminalidade em oito estados.

Armas automáticas 11800 8300 3600 1800 6900 2600 4200 5960

Taxa de criminalidade(%) 18,1 16,8 9,4 6,4 14,6 8,8 10,6 11,8

Qual a predição linear para a taxa de criminalidade (%) em um estado com

10000 armas automáticas registradas?

7.6 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS (REGRESSÃO LINEAR SIMPLES)

1. b. POTÊNCIA TEMPERATURA= −64 158 0 600, , ; 30 86£ £TEMP

c. TEMPERATURA C=106 93, ˚

2. a. ( )Y DESPESA X DURAÇÃO( )= +10 12

b. ˆ $ ,Y DESPESA DIAS U7 94 00( )=



3. a. ˆ , ,Y X= −32 12 2 52

b. t p= <( )23 74 0 001, ,

c. R2 0 986= ,

4. PROD PRECIPˆ , ,=− +181 528 4 900 t p= <( )27 01 0 001, ,

5. ALT FILHO ALT PAIˆ = +3

6. PESO IDADEˆ , ,= +17 011 1 661 , 25 50£ £IDADE .PESO DIASˆ ,33 71 824( )= gramas

7. R2 0 676= , (67,6% da variabilidade total dos dados é explicada pelo mod-

elo).

8. SXX =10 ; SYY = 77 2, ; SXY =−27

r=−0 9718, ; b=−2 7, ; r SS

YY

XX

=−2 7,

Ou seja, fi ca mostrado que b r SS

YY

XX

= .

9. a. ˆ , ,Y X= +6 01 1 33 , 1 6£ £X

b. t p= >( )2 67 0 05, , .

10. ˆ , ,Y X= −6 757 0 986 ; ou seja, para cada unidade de X há uma decréscimo

de 0,986 unidades em Y .

11. b. POT TEMPˆ , ,= −50 457 0 381 , 30 90£ £TEMP

c. TEMP C=132 43, ˚

12. Coefi ciente de regressão linear ( b )

13. b. PFILHO PPAIˆ , ,= +35 479 0 482 ; 62 70£ £PPAI ; t p= <( )2 34 0 05, ,

14. a. ˆ , ,Y X=− +2 8856 0 7826

b. R2 0 4654 46 54= =, , %

15. TAXACRIM ARMAS AUTˆ , ,= +5 304 0 0012 ; TAXACRIMˆ , %10000 17 304( )=


8BIBLIOGRAFIA

ANDRADE, D.F.; OGLIARI, P.J. Estatística para as ciências agrárias e biológicas com

noções de experimentação. 2.ed, Florianópolis: Editora UFSC, 2007.

BANZATTO, D.A. & KRONKA, S.N. Experimentação agrícola, 3ªed. São Paulo: FUNEP,

2006.

BOX, G. E. P. Non-normality and tests on variances. Biometrika, v.20, p.318-335, 1953.

BUSSAB, W.O. Análise de variância e regressão. São Paulo: Atual, 1986.

BUSSAB, W.O.; MORETTIN, P.A. Estatística básica. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2003.

DEAN, A. M.; VOSS D. T. Design and analysis of experiments. New York: Springer-

Verlag, 1999.

DRAPER, N. R.; SMITH, H. Applied regression analysis. 3. ed. New York: John Willey,

1998.

GOMES, F. P. Curso de estatística experimental 15ª ed., São Paulo :FEALQ, 2009.l

MLODINOW, L. O andar do bêbado. Como o acaso determina nossas vidas. Rio de

Janeiro: Zahar, 2009.

MONTGOMERY, D.C. Design and analysis of experiment, 6. ed. New York: John Wil-

ley, 2005.

MOORE,D. A estatística básica e sua prática. Rio de Janeiro: LTC Editora,1995.

NORMAN, G.R.; STREINER, D.L. Biostatistics: the bare essentials. 3. ed. St. Louis:

Mosby, 2008.

PADOVANI, C.R. Exercícios de estatística básica e experimental. Botucatu: Depto de

Bioestatística, 2002.

PADOVANI, C.R. Planejamento de experimentos. Botucatu: Depto de Bioestatística,

2009.

PERES, C.A.; SALDIVA, C.D. Planejamento de experimentos. São Paulo: 5. SINAPE,

1982.

SAMPAIO, I. B. M. Estatística aplicada a experimentação animal, 3ªed. Minas Gerais:

FEPMVZ, 2010.



SALSBURG, D. Uma senhora toma chá … como a estatística revolucionou a ciência noséculo XX. Rio de Janeiro: Zahar, 2009.

VIEIRA, S. Estatística experimental. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1999.

VIEIRA, S. Análise de variância (ANOVA). São Paulo: Atlas, 2006.

ZAR, J.H. Boestatistical analysis, 5. ed. New Jersey: Prentice-Hall, 2009.


9TABELAS

Tabela 9.1 Distribuição t de Student P t t t− < <( )= −⎡⎣ ⎤⎦0 0 1 a

Número de grausde liberdade

Nível de signifi cância para o teste bilateral (a)

0,01 0,05 0,10

1 63,657 12,706 6,314

2 9,925 4,303 2,920

3 5,841 3,182 2,353

4 4,604 2,776 2,132

5 4,032 2,571 2,015

6 3,707 2,447 1,943

7 3,499 2,365 1,895

8 3,355 2,306 1,860

9 3,250 2,262 1,833

10 3,169 2,228 1,812

11 3,106 2,201 1,796

12 3,055 2,179 1,782

13 3,012 2,160 1,771

14 2,977 2,145 1,761

15 2,947 2,131 1,753

16 2,921 2,120 1,746

17 2,898 2,110 1,740

18 2,878 2,101 1,734

19 2,861 2,093 1,729

20 2,845 2,086 1,725

21 2,831 2,080 1,721

22 2,819 2,074 1,717

23 2,807 2,069 1,714

24 2,797 2,064 1,711

25 2,787 2,060 1,708

26 2,779 2,056 1,706

27 2,771 2,052 1,703

28 2,763 2,048 1,701

29 2,756 2,045 1,699

30 2,750 2,042 1,697

40 2,704 2,021 1,684

60 2,660 2,000 1,671

120 2,617 1,980 1,658

∞ 2,576 1,960 1,645

Interpolações devem ser feitas com base nos recíprocos dos graus de liberdade (interpolação harmônica)



Tabela 9.2 Distribuição Qui-quadrado P χ χ α202>( )=⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

Graus deliberdade

a

10% 5% 1%

1 2,71 3,84 6,64

2 4,60 5,99 9,21

3 6,25 7,82 11,34

4 7,78 9,49 13,28

5 9,24 11,07 15,09

6 10,64 12,59 16,81

7 12,02 14,07 18,48

8 13,36 15,51 20,09

9 14,68 16,92 21,67

10 15,99 18,31 23,21

11 17,28 19,68 24,72

12 18,55 21,03 26,22

13 19,81 22,36 27,69

14 21,06 23,68 29,14

15 22,31 25,00 30,58

16 23,54 26,30 32,00

17 24,77 27,59 33,41

18 25,99 28,87 34,80

19 27,20 30,14 36,19

20 28,41 31,41 37,57

21 29,62 32,67 38,93

22 30,81 33,92 40,29

23 32,01 35,17 41,64

24 33,20 36,42 42,98

25 34,38 37,65 44,31

26 35,56 38,88 45,64

27 36,74 40,11 46,96

28 37,92 41,34 48,28

29 39,09 42,56 49,59

30 40,26 43,77 50,89


Tabelas | 119

Tabela 9.3 Distribuição F P F F>( )=⎡⎣ ⎤⎦0 0 01,

Nº de graus deliberdade dodenominador

Nº de graus de liberdade do numerador

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 4052 5000 5403 5625 5764 5859 5928 5982 6022

2 98,50 99,00 99,20 99,20 99,30 99,30 99,40 99,40 99,40

3 34,10 30,80 29,50 28,70 28,20 27,90 27,70 27,50 27,30

4 21,20 18,00 16,70 16,00 15,50 15,20 15,00 14,80 14,70

5 16,30 13,30 12,10 11,40 11,00 10,70 10,50 10,30 10,20

6 13,70 10,90 9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98

7 12,20 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72

8 11,30 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91

9 10,60 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35

10 10,00 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94

11 9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63

12 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39

13 9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19

14 8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03

15 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89

16 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78

17 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68

18 8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60

19 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52

20 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46

21 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40

22 7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35

23 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30

24 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26

25 7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22

26 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18

27 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15

28 7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12

29 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09

30 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07

40 7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89

60 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72

120 6,85 4,79 3,95 3,48 3,17 2,96 2,79 2,66 2,56

∞ 6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41






1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 161 200 216 225 230 234 237 239 241

2 18,50 19,00 19,20 19,20 19,30 19,30 19,40 19,40 19,40

3 10,10 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,89 8,85 8,81

4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,09 6,04 6,00

5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,88 4,82 4,77

6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,21 4,15 4,10

7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,79 3,73 3,68

8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,50 3,44 3,39

9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,29 3,23 3,18

10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,14 3,07 3,02

11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 3,01 2,95 2,90

12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,00 2,91 2,85 2,80

13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 2,92 2,83 2,77 2,71

14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,76 2,70 2,65

15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,71 2,64 2,59

16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,66 2,59 2,54

17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,61 2,55 2,49

18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,58 2,51 2,46

19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,54 2,48 2,42

20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,51 2,45 2,39

21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,49 2,42 2,37

22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,46 2,40 2,34

23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,44 2,37 2,32

24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,42 2,36 2,30

25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 2,49 2,40 2,34 2,28

26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,39 2,32 2,27

27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,37 2,31 2,25

28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 2,45 2,36 2,29 2,24

29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 2,43 2,35 2,28 2,22

30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,33 2,27 2,21

40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 2,34 2,25 2,18 2,12

60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 2,25 2,17 2,10 2,04

120 3,92 3,07 2,68 2,45 2,29 2,17 2,09 2,02 1,96

∞ 3,84 3,00 2,60 2,37 2,21 2,10 2,01 1,94 1,88


Tabelas | 121




1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 39,9 49,5 53,6 55,8 57,2 58,2 58,9 59,4 59,9

2 8,53 9,00 9,16 9,24 9,29 9,33 9,35 9,37 9,38

3 5,54 5,46 5,39 5,34 5,31 5,28 5,27 5,25 5,24

4 4,54 4,32 4,19 4,11 4,05 4,01 3,98 3,95 3,94

5 4,06 3,78 3,62 3,52 3,45 3,40 3,37 3,34 3,32

6 3,78 3,46 3,29 3,18 3,11 3,05 3,01 2,98 2,96

7 3,59 3,26 3,07 2,96 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72

8 3,46 3,11 2,92 2,81 2,73 2,67 2,62 2,59 2,56

9 3,36 3,01 2,81 2,69 2,61 2,55 2,51 2,47 2,44

10 3,29 2,92 2,73 2,61 2,52 2,46 2,41 2,38 2,35

11 3,23 2,86 2,66 2,54 2,45 2,39 2,34 2,30 2,27

12 3,18 2,81 2,61 2,48 2,39 2,33 2,28 2,24 2,21

13 3,14 2,76 2,56 2,43 2,35 2,28 2,23 2,20 2,16

14 3,10 2,73 2,52 2,39 2,31 2,24 2,19 2,15 2,12

15 3,07 2,70 2,49 2,36 2,27 2,21 2,16 2,12 2,09

16 3,05 2,67 2,46 2,33 2,24 2,18 2,13 2,09 2,06

17 3,03 2,64 2,44 2,31 2,22 2,15 2,10 2,06 2,03

18 3,01 2,62 2,42 2,29 2,20 2,13 2,08 2,04 2,00

19 2,99 2,61 2,40 2,27 2,18 2,11 2,06 2,02 1,98

20 2,97 2,59 2,38 2,25 2,16 2,09 2,04 2,00 1,96

21 2,96 2,57 2,36 2,23 2,14 2,08 2,02 1,98 1,95

22 2,95 2,56 2,35 2,22 2,13 2,06 2,01 1,97 1,93

23 2,94 2,55 2,34 2,21 2,11 2,05 1,99 1,95 1,92

24 2,93 2,54 2,33 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,91

25 2,92 2,53 2,32 2,18 2,09 2,02 1,97 1,93 1,89

26 2,91 2,52 2,31 2,17 2,08 2,01 1,96 1,92 1,88

27 2,90 2,51 2,30 2,17 2,07 2,00 1,95 1,91 1,87

28 2,89 2,50 2,29 2,16 2,06 2,00 1,94 1,90 1,87

29 2,89 2,50 2,28 2,15 2,06 1,99 1,93 1,89 1,86

30 2,88 2,49 2,28 2,14 2,05 1,98 1,93 1,88 1,85

40 2,84 2,44 2,23 2,09 2,00 1,93 1,87 1,83 1,79

60 2,79 2,39 2,18 2,04 1,95 1,87 1,82 1,77 1,74

120 2,75 2,35 2,13 1,99 1,90 1,82 1,77 1,72 1,68

∞ 2,71 2,30 2,08 1,94 1,85 1,77 1,72 1,67 1,63



Tabel

a 9.6

D

istr

ibui

ção

“stu

dent

ized

ran

ge”

()

qTu

key

001

1,

;:

%ϕ

()

[]

Nº

de g

raus

de

li ber

dade

do

resí

duo

Núm

ero

de t

rata

men

tos

(k)

23

45

67

89

1011

1213

1415

1617

1819

190

135

164

186

202

216

227

237

246

253

260

266

272

277

282

286

290

294

214

,019

,022

,324

,726

,628

,229

,530

,731

,732

,633

,434

,134

,835

,436

,036

,537

,037

,5

38,

2610

,612

,213

,314

,215

,015

,616

,216

,717

,117

,517

,918

,218

,518

,819

,119

,319

,5

46,

518,

129,

179,

9610

,60

11,1

011

,50

11,9

012

,30

12,6

012

,80

13,1

013

,30

13,5

013

,70

13,9

014

,10

14,2

0

55,

706,

977,

808,

428,

919,

329,

679,

9710

,20

10,5

010

,70

10,9

011

,10

11,2

011

,40

11,6

011

,70

11,8

0

65,

246,

337,

037,

567,

978,

328,

618,

879,

109,

309,

498,

659,

819,

9510

,10

10,2

010

,30

10,4

0

74,

955,

926,

547,

017,

377,

687,

948,

178,

378,

558,

718,

869,

009,

129,

249,

359,

469,

55

84,

745,

636,

206,

636,

967,

247,

477,

687,

878,

038,

188,

318,

448,

558,

668,

768,

858,

94

94,

605,

435,

966,

356,

666,

917,

137,

327,

497,

657,

787,

918,

038,

138,

238,

328,

418,

49

104,

485,

275,

776,

146,

436,

676,

877,

057,

217,

367,

487,

607,

717,

817,

917,

998,

078,

15

114,

395,

145,

625,

976,

256,

486,

676,

846,

997,

137,

257,

367,

467,

567,

657,

737,

817,

88

124,

325,

045,

505,

846,

106,

326,

516,

676,

816,

947,

067,

177,

267,

367,

447,

527,

597,

66

134,

264,

965,

405,

735,

986,

196,

376,

536,

676,

796,

907,

017,

107,

197,

277,

347,

427,

48

144,

214,

895,

325,

635,

886,

086,

266,

416,

546,

666,

776,

876,

967,

057,

127,

207,

277,

33

154,

174,

835,

255,

565,

805,

996,

166,

316,

446,

556,

666,

766,

846,

937,

007,

077,

147,

20

164,

134,

785,

195,

495,

725,

926,

086,

226,

356,

466,

566,

666,

746,

826,

906,

977,

037,

09

174,

104,

745,

145,

435,

665,

856,

016,

156,

276,

386,

486,

576,

666,

736,

806,

876,

947,

00

184,

074,

705,

095,

385,

605,

795,

946,

086,

206,

316,

416,

506,

586,

656,

726,

796,

856,

91

194,

054,

675,

055,

335,

555,

735,

896,

026,

146,

256,

346,

436,

516,

586,

656,

726,

786,

84


Tabelas | 123

204,

024,

645,

025,

295,

515,

695,

845,

976,

096,

196,

296,

376,

456,

526,

596,

656,

716,

76

243,

964,

544,

915,

175,

375,

545,

695,

815,

926,

026,

116,

196,

266,

336,

396,

456,

516,

56

303,

894,

454,

805,

055,

245,

405,

545,

655,

765,

855,

936,

016,

086,

146,

206,

266,

316,

36

403,

824,

374,

704,

935,

115,

275,

395,

505,

605,

695,

775,

845,

905,

966,

026,

076,

126,

17

603,

764,

284,

604,

824,

995,

135,

255,

365,

455,

535,

605,

675,

735,

795,

845,

895,

935,

98

120

3,70

4,20

4,50

4,71

4,87

5,01

5,12

5,21

5,30

5,38

5,44

5,51

5,56

5,61

5,66

5,71

5,75

5,79

∞3,

644,

124,

404,

604,

764,

884,

995,

085,

165,

235,

295,

355,

405,

455,

495,

545,

575,

61



Tabel

a 9.7

Dis

trib

uiçã

o “s

tude

ntiz

ed r

ange

” (

)q

Tuke

y0

055

,;

:%

ϕ()

[]

Nº

de g

raus

de

liber

dade

do

resí

duo

Núm

ero

de t

rata

men

tos

(k)

23

45

67

89

1011

1213

1415

1617

1819

20

118

2732

,837

,140

,443

,145

,447

,449

,150

,652

53,2

54,3

55,4

56,3

57,2

5858

,859

,6

26,

088,

339,

8010

,911

,712

,413

,013

,514

,014

,414

,715

,115

,415

,715

,916

,116

,416

,616

,8

34,

505,

96,

87,

58,

08,

58,

99,

29,

59,

710

,010

,210

,310

,510

,710

,811

,011

,111

,2

43,

935,

045,

766,

296,

717,

057,

357,

607,

838,

038,

218,

378,

528,

668,

798,

919,

039,

139,

23

53,

644,

605,

225,

676,

036,

336,

586,

806,

997,

177,

327,

477,

607,

727,

837,

938,

038,

128,

21

63,

464,

344,

905,

305,

635,

906,

126,

326,

496,

656,

796,

927,

037,

147,

247,

347,

437,

517,

59

73,

344,

164,

685,

065,

365,

615,

826,

006,

166,

306,

436,

556,

666,

766,

856,

947,

027,

107,

17

83,

264,

044,

534,

895,

175,

405,

605,

775,

926,

056,

186,

296,

396,

486,

576,

656,

736,

806,

87

93,

203,

954,

414,

765,

025,

245,

435,

595,

745,

875,

986,

096,

196,

286,

366,

446,

516,

586,

64

1 03,

153,

884,

334,

654,

915,

125,

305,

465,

605,

725,

835,

936,

036,

116,

196,

276,

346,

406,

47

113,

113,

824,

264,

574,

825,

035,

205,

355,

495,

615,

715,

815,

905,

986,

066,

136,

206,

276,

33

123,

083,

774,

204,

514,

754,

955,

125,

275,

395,

515,

615,

715,

805,

885,

956,

026,

096,

156,

21

133,

063,

734,

154,

454,

694,

885,

055,

195,

325,

435,

535,

635,

715,

795,

865,

935,

996,

056,

11

143,

033,

704,

114,

414,

644,

834,

995,

135,

255,

365,

465,

555,

645,

715,

795,

855,

915,

976,

03

153,

013,

674,

084,

374,

594,

784,

945,

085,

205,

315,

405,

495,

575,

655,

725,

785,

855,

905,

96

163,

003,

654,

054,

334,

564,

744,

905,

035,

155,

265,

355,

445,

525,

595,

665,

735,

795,

845,

90

172,

983,

634,

024,

304,

524,

704,

864,

995,

115,

215,

315,

395,

475,

545,

615,

675,

735,

795,

84

1 82,

973,

614,

004,

284,

494,

674,

824,

965,

075,

175,

275,

355,

435,

505,

575,

635,

695,

745,

79

192,

963,

593,

984,

254,

474,

654,

794,

925,

045,

145,

235,

315,

395,

465,

535,

595,

655,

705,

75


Tabelas | 125

202,

953,

583,

964,

234,

454,

624,

774,

905,

015,

115,

205,

285,

365,

435,

495,

555,

615,

665,

71

242,

923,

533,

904,

174,

374,

544,

684,

814,

925,

015,

105,

185,

255,

325,

385,

445,

495,

555,

59

302,

893,

493,

854,

104,

304,

464,

604,

724,

824,

925,

005,

085,

155,

215,

275,

335,

385,

435,

47

402,

863,

443,

794,

044,

234,

394,

524,

634,

734,

824,

904,

985,

045,

115,

165,

225,

275,

315,

36

602,

833,

403,

743,

984,

164,

314,

444,

554,

654,

734,

814,

884,

945,

005,

065,

115,

155,

205,

24

120

2,80

3,36

3,68

3,92

4,10

4,24

4,36

4,47

4,56

4,64

4,71

4,78

4,84

4,90

4,95

5,00

5,04

5,09

5,13

∞2,

773,

313,

633,

864,

034,

174,

294,

394,

474,

554,

624,

684,

744,

804,

854,

894,

934,

975,

01



Tabel

a 9.8

Dis

trib

uiçã

o “s

tude

ntiz

ed r

ange

” (

)q

Tuke

y0

1010

,;

:%

ϕ(

)[

]

Nº

de g

raus

de

libe

rdad

edo

res

íduo

Núm

ero

de t

rata

men

tos

(k)

23

45

67

89

1011

1213

1415

1617

1819

20

18,

9313

,40

16,4

018

,50

20,2

021

,50

22,6

023

,60

24,5

025

,20

25,9

026

,50

27,1

027

,60

28,1

028

,50

29,0

029

,30

29,7

0

24,

135,

736,

777,

548,

148,

639,

059,

419,

7210

,00

10,3

010

,50

10,7

010

,90

11,1

011

,20

11,4

011

,50

11,7

0

33,

334,

475,

205,

746,

166,

516,

817,

067,

297,

497,

677,

837,

988,

128,

258,

378,

488,

588,

68

43,

013,

984,

595,

035,

395,

685,

936,

146,

336,

496,

656,

786,

917,

027,

137,

237,

337,

417,

50

52,

853,

724,

264,

664,

985,

245,

465,

655,

825,

976,

106,

226,

346,

446,

546,

636,

716,

796,

86

62,

753,

564,

074,

444,

734,

975,

175,

345,

505,

645,

765,

875,

986,

076,

166,

256,

326,

406,

47

72,

683,

453,

934,

284,

554,

784,

975,

145,

285,

415,

535,

645,

745,

835,

915,

996,

066,

136,

19

82,

633,

373,

834,

174,

434,

654,

834,

995,

135,

255,

365,

465,

565,

645,

725,

805,

875,

936,

00

92,

593,

323,

764,

084,

344,

544,

724,

875,

015,

135,

235,

335,

425,

515,

585,

665,

725,

795,

85

1 02,

563,

273,

704,

024,

264,

474,

644,

784,

915,

035,

135,

235,

325,

405,

475,

545,

615,

675,

73

112,

543,

233,

663,

964,

204,

404,

574,

714,

844,

955,

055,

155,

235,

315,

385,

455,

515,

575,

63

122,

523,

203,

623,

924,

164,

354,

514,

654,

784,

894,

995,

085,

165,

245,

315,

375,

445,

495,

55

132,

503,

183,

593,

884,

124,

304,

464,

604,

724,

834,

935,

025,

105,

185,

255,

315,

375,

435,

48

142,

493,

163,

563,

854,

084,

274,

424,

564,

684,

794,

884,

975,

055,

125,

195,

265,

325,

375,

43

152,

483,

143,

543,

834,

054,

234,

394,

524,

644,

754,

844,

935,

015,

085,

155,

215,

275,

325,

38

162,

473,

123,

523,

804,

034,

214,

364,

494,

614,

714,

814,

894,

975,

045,

115,

175,

235,

285,

33

172,

463,

113,

503,

784,

004,

184,

334,

464,

584,

684,

774,

864,

935,

015,

075,

135,

195,

245,

30

182,

453,

103,

493,

773,

984,

164,

314,

444,

554,

654,

754,

834,

904,

985,

045,

105,

165,

215,

26

192,

453,

093,

473,

753,

974,

144,

294,

424,

534,

634,

724,

804,

884,

955,

015,

075,

135,

185,

23


Tabelas | 127

202,

443,

083,

463,

743,

954,

124,

274,

404,

514,

614,

704,

784,

854,

924,

995,

055,

105,

165,

20

242,

423,

053,

423,

693,

904,

074,

214,

344,

444,

544,

634,

714,

784,

854,

914,

975,

025,

075,

12

302,

403,

023,

393,

653,

854,

024,

164,

284,

384,

474,

564,

644,

714,

774,

834,

894,

944,

995,

03

402,

382,

993,

353,

603,

803,

964,

104,

214,

324,

414,

494,

564,

634,

694,

754,

814,

864,

904,

95

602,

362,

963,

313,

563,

753,

914,

044,

164,

254,

344,

424,

494,

564,

624,

674,

734,

784,

824,

86

120

2,34

2,93

3,28

3,52

3,71

3,86

3,99

4,10

4,19

4,28

4,35

4,42

4,48

4,54

4,60

4,65

4,69

4,74

4,78

∞2,

332,

903,

243,

483,

663,

813,

934,

044,

134,

214,

284,

354,

414,

474,

524,

574,

614,

654,

69



Tabela 9.9 Valores críticos do coefi ciente de correlação linear de Pearson (teste bilateral)

n a=0,05 a=0,01

4 0,95 0,99

5 0,878 0,959

6 0,811 0,917

7 0,754 0,874

8 0,707 0,834

9 0,666 0,798

10 0,632 0,765

11 0,602 0,735

12 0,576 0,708

13 0,553 0,684

14 0,532 0,661

15 0,514 0,641

16 0,497 0,623

17 0,482 0,606

18 0,468 0,59

19 0,456 0,575

20 0,444 0,561

21 0,433 0,549

22 0,423 0,537

23 0,413 0,526

24 0,404 0,515

25 0,396 0,505

26 0,388 0,496

27 0,381 0,487

28 0,374 0,478

29 0,367 0,47

30 0,361 0,463

35 0,335 0,43

40 0,312 0,402

45 0,294 0,378

50 0,279 0,361

60 0,254 0,33

70 0,236 0,305

80 0,22 0,286

90 0,207 0,269

100 0,196 0,256


Cul

tura

Aca

dêm

ica




DELIN

EAM

ENT

O D

E EXP

ERIM

ENT

OS

Carlos Roberto Padovani é professor titular de Bioestatística do Instituto de Bio -ciências, Unesp, câmpus de Botucatu, tendo atuado como professor e/ou orientador de Programas de Pós-Graduação da USP, Unicamp, Unesp, UFMT e UnB. Foi bol-sista produtividade do CNPq; membro da Comissão de Avaliação de Programas de Pós-Graduação junto à Capes; coordenador da Área de Ciências Biológicas junto à Runesp, presidente da Região Brasileira da Sociedade Internacional de Biometria. Atualmente ministra disciplinas da área de Estatística na graduação e de Bioestatística e Metodologia da Pesquisa Científi ca em vários programas de Pós-Graduação na Unesp, com orientações em nível de Mestrado e Doutorado e supervisão de Pós-Doutorado.

O texto apresenta noções básicas, históricas e conceituais de delineamentos experimen-tais, em particular dos planejamentos inteiramente casualizado e em blocos completos casualizados, complementado com os esquemas fatoriais, correlação e regressão linear simples e testes de aderência e associação para variáveis categorizadas. A abordagem não é realizada sob o aspecto tradicional de fórmulas e uso de “pacotes” computacionais para os cálculos estatísticos, mas sim, trazendo à realidade o planejamento e o desenvolvimento da experimentação aos alunos das áreas de Ciências Biológicas e da Saúde.

Capa_Delineamento_minha versao.indd 1Capa_Delineamento_minha versao.indd 1 19/05/2014 18:17:1619/05/2014 18:17:16

delineamento de experimentos-prova4 -...

Documents