DEFINIÇÕES, TEOREMAS E PROVAS

Uma definição explica o significado matemático de uma palavra, permitindo separar uma classe de objetos de outra. A palavra é geralmente definida em termos de propriedades. Por exemplo: (i) um inteiro é par se ele é o produto de 2 e outro inteiro, (ii) um número natural é dito ser primo se ele é maior que 1 e é divisível somente por 1 e ele mesmo.

As palavras teorema, proposição, lema e corolário denotam afirmações que são verdadeiras. Teoremas são as mais importantes afirmações matemáticas. Proposições são afirmações consideradas “menos importantes”. Por exemplo, nos teoremas abaixo, encontre as hipótese e as conclusões:

(1) Todo número natural pode ser escrito como um produto de primos;(2) Existem infinitos números primos;(3) O número é irracional.

Obs. 1: Os melhores teoremas têm hipóteses fracas e conclusões fortes. Uma hipótese forte refere-se a um pequeno conjunto de objetos. Uma conclusão forte diz respeito a algo muito definido e preciso sobre esses objetos. Por exemplo, a hipótese de (2) é forte, pois refere-se somente ao conjunto de primos, enquanto a hipótese de (1) é fraca. Podemos enfraquecer as hipóteses do teorema (3) por investigar a raiz quadrada de números primos, digamos “Se p é primo, então é irracional.” Uma parte importante do desafio matemático é sabermos o quanto podemos enfraquecer as hipóteses. Por exemplo, se for n um número natural, a afirmação (3) é falsa.

Obs. 2: A recíproca é verdadeira? Considerar a recíproca nos força a considerar as hipóteses e conclusões e muitas vezes nos diz algo importante. Por exemplo, “se f é uma função derivável, então f é contínua”. A recíproca é verdadeira?

Um lema é uma afirmação que serve de base para provar um teorema ou uma proposição. Um corolário é uma afirmação de interesse que é deduzida (conseqüência) de um teorema ou proposição.

Uma prova é uma explanação do porque uma afirmação é verdadeira. Provas são difíceis de entender porque o trabalho inicial em geral é removido. Outra razão para os estudantes não gostarem de provas é que elas são difíceis de criar. Não existe procedimento, nem algoritmo ou mágica para criar provas. Existem técnicas que podemos empregar.

Exemplo: Sejam m e n números naturais. O produto mn é ímpar se, e somente se, m e n são ímpares.

Prova: Suponha que m e n sejam números ímpares. Então, por definição, podemos escrever e , para alguns números naturais k e j. Assim

. Desde que 2kj+j+k é um número natural, temos que mn é ímpar. Reciprocamente, assuma que um dos números m ou n é par. Sem perda de generalidade podemos assumir m = 2k para algum natural k. Então temos que mn = 2kn, isto é, mn é divisível por 2 e daí é par. Logo, mn é ímpar somente se m e n são ímpares.

Ao ler uma prova (i) procure quebrar ela em pedaços (nesse caso, implicação e recíproca), (ii) identifique os métodos usados: cálculo, direto, indução, contra-positiva,

contradição, casos, contra-exemplo, etc., (iii) encontre onde as hipóteses foram usadas, (iv) verifique o texto: “sem perda de generalidade”.

Conjectura é uma afirmação que acreditamos ser verdadeira, mas não temos prova. Em matemática há uma certa confusão: por exemplo, o último teorema de Fermat que era uma conjectura é um corolário da conjectura Taniyama-Shimura, que é na verdade um teorema.

O principal propósito de uma definição é fazer com que alguém saiba o que estamos falando. Dada uma definição, necessitamos perguntar se um tal objeto existe, como eles são, se é único, se existe um número finito. Por exemplo, um número primo p é dito um primo-gêmeo se ou é primo. Assim, 5 e 7 são primos gêmeos, também são 41 e 43. Mas, existem mais? Ninguém sabe.

O MÉTODO DIRETO

O objetivo é ensinar você a ler e entender uma prova escrita por identificar a técnica que tem sido usada.

Para provar que diretamente, você prova que , que , e assim por diante, até obter . Então a hipótese que P é verdade e o uso repetido de modus ponens mostra que Q é verdade.

O método direto é o método de prova mais amplamente usado. Na prática, pode ser completamente difícil entender as várias afirmações intermediárias que permitem você proceder de P a Q. Com o objetivo de encontrar elas, a maioria dos matemáticos usam um processo chamado técnica pra frente-pra trás. Você inicia trabalhando para frente e perguntando a si mesmo: o que eu sei sobre a hipótese? Quais afirmações seguem desse fato? E assim por diante. Nesse ponto temos uma lista de afirmações implicadas por P cuja conexão com a conclusão Q ainda não está clara.

Agora trabalhamos para trás a partir de Q perguntando: Quais fatos garantem que Q é verdadeiro? Quais afirmações implicam nesses fatos? Temos agora uma lista de afirmações que implicam Q. Compare ela com a primeira lista. Se você for um felizardo, alguma afirmação estará em ambas as listas, ou mais provavelmente, existirá uma afirmação S da primeira lista e uma afirmação T da segunda lista tal que você será capaz de mostrar que . Logo, teremos que e e , donde .

Obtendo sucesso na técnica pra frente-pra trás, devemos reescrever a prova numa forma mais polida, contendo somente os fatos que são necessários na prova.

Exemplo: Se o triângulo retângulo XYZ com lados de comprimento x e y, e hipotenusa de

comprimento z, tem uma área de , então o triângulo XYZ é isósceles.

Primeiro de tudo precisamos identificar o que é hipótese e o que é conclusão. Temos

duas hipóteses: - o triângulo XYZ é retângulo e - sua área é . Nossa conclusão

é Q - o triângulo XYZ é isósceles. Vamos começar como o processo para trás: (1) Como posso mostrar que um triângulo é isósceles? Certamente um modo é mostrar que dois de

seus lados têm comprimentos iguais. Ou seja, ; (2) Como posso mostrar que dois números reais são iguais? Mostrando que sua diferença é zero. Ou seja,

. Para fazermos as perguntas corretas levamos em conta a intuição, a criatividade, a experiência, diagramas, etc. Você poderia mostrar também que dois lados de um triângulo são iguais por mostrar que os ângulos opostos são iguais. Mas um exame do conteúdo da afirmação P não parece proporcionar muita informação sobre os ângulos do triângulo XYZ.

No processo para frente fazemos perguntas em cima de nossas hipóteses. Que quer dizer

que a área do triângulo XYZ é ? Como é definida a área de um triângulo? Claro!

. Que sei eu sobre um triângulo retângulo? Conheço o Teorema de

Pitágoras que diz que . Assim, . Podemos combinar as novas afirmações para produzir mais afirmações. Por exemplo, de e deduzimos que . Podemos reescrever de forma a obter . Portanto, encontramos que , , , , e .

Em geral não é prático escrever todo o processo que levou à prova, pois isto requereria muito tempo e espaço. Ao invés, apresentamos uma versão condensada e poucas vezes fazermos referência ao processo pra trás. Por exemplo, escreveríamos a prova anterior da seguinte forma: Das hipóteses e da fórmula para a área de um triângulo retângulo

obtemos que . Pelo Teorema de Pitágoras, e substituindo na

expressão anterior temos que . Portanto, x = y e o triângulo XYZ é isósceles.

Exemplo: Às vezes assumimos o que é para ser mostrado com o intuito de descobrirmos uma técnica de prova. Consideremos o seguinte teorema: Sejam m e n números reais. Se

n > m > 0, então . Assim, assumindo que nossa conclusão é verdadeira, temos

que (note que isso é verdadeiro porque m > 0 e n > 0). Dessa forma, e cancelando a parcela em comum, obtemos que . Nossa esperança

é poder reverter o argumento. De fato, partindo de nossa hipótese temos que

PROVAS TIPO P SE, E SOMENTE SE, Q

Temos que provar as duas condicionais: e sua recíproca .

Exemplo: Seja ,b e c números reais. Então

.

Desde que , podemos dividir a expressão por a para obtermos

. Sem perda de generalidade, podemos assumir que estamos

resolvendo . Posteriormente podemos substituir por e . Assim,

por completar os quadrados, temos que

Faça a prova da recíproca.

Exemplo: Sejam X e Y conjuntos. Então se, e somente se, e .

Prova: Se , então X e Y têm os mesmos elementos. Assim, se ,então o que implica . Analogamente, se , então o que implica . Agora para a recíproca suponhamos que e . Então cada elemento de X está em Y e cada elemento de Y está em X. Isto significa que X e Y possuem os mesmos elementos, ou seja, X = Y.

Obs.: Existem alguns erros que acontecem e devemos evitar:

(1) Não assuma o que é para ser provado. Por exemplo, “se a e b são números reais, então ”. Uma falácia seria: supondo , temos que

. Assim . Como a última desigualdade é verdadeira, segue que . Contudo, para se ter uma idéia de como encontrarmos uma prova, esse

processo pode ser frutífero.

(2) Quando resolvemos uma equação, passamos de uma linha para a seguinte mostrando que a primeira implica a segunda. Contudo é importante checar que a segunda implica a primeira. O que queremos é uma seqüência de equivalências para encontrar todas as soluções. Por exemplo:

Então x = 1 ou x= -2 são nossas soluções. Devemos observar que x = -2 não é solução. Isso se deve porque nem todas as implicações são reversíveis. Descubra qual.

(3) Não divida por zero. Por exemplo, suponha a = b. Então e dessa forma . Assim, colocando b em evidência no primeiro termo e usando o fato que a diferença de quadrados é o produto da soma pela diferença, obtemos que

. Dividindo por encontramos que . Desde que , segue que , e conseqüentemente, !

PROVA POR CASOS

Temos visto que pode ser provado por mostrar que e . Em outras palavras, quebramos o problema em dois casos. No método de casos precisamos exaurir todas as possibilidades.

Teorema(Desigualdade Triangular): Suponha que x e y sejam números reais. Então

Prova: Consideremos os casos em que x e y são ambos positivos, ambos negativos ou diferentes em sinal.

Caso 1: Suponha e . Então e por definição de valor absoluto temos que .

Caso 2: Suponha e . Então e por definição de valor absoluto temos que .

Caso 3: Suponha que x e y tenha sinais diferentes, digamos e . Assim temos dois subcasos a considerar: ou . No primeiro subcaso encontramos que . Observe que trocamos por algo maior . No segundo subcaso, segue da definição de valor absoluto que

.

Esses três casos exaure todas as possibilidades e nossa prova está completa.

PROVA POR CONTRADIÇÃO (REDUÇÃO AO ABSURDO)

Suponha que você assume a verdade de uma afirmação R e que por um argumento válido verifica-se que . Se a afirmação S é de fato falsa, então existe somente uma conclusão possível: a afirmação original R deve ser falsa porque se R e são verdadeiras, então por modus ponens, S teria que ser verdadeiro. Nesse sentido, para provarmos um teorema do tipo , assumiremos como habitual que P é verdadeiro. Então supondo como sendo verdade, verificamos que , onde S é uma

afirmação conhecida ser falsa. Concluímos então que deve ser falso, donde Q é verdadeiro.

Teorema: A raiz quadrada de 2 é um número irracional.

Prova: Suponha que seja um número racional, ou seja, que existam inteiros m e

tais que . Sem perda de generalidade, podemos assumir que m e n seja tais que

mdc{m,n} = 1. Então temos que

.

Isto implica que 2 divide o número e assim 2 divide m (verifique!). Logo, podemos escrever m = 2k, para algum inteiro k. Substituindo m na expressão acima, obtemos que

, donde . Dessa forma, concluímos que 2 também divide n, mas isso não é possível pois tomamos m e n tais que mdc{m,n} = 1. Portanto, é um número irracional.

O MÉTODO DA CONTRA-POSITIVA

Este método segue da equivalência entre as afirmações e sua contra-positiva . Por exemplo, dizemos que uma função é injetiva se elementos

distintos no domínio A são levados por f em elementos distintos na imagem, ou seja, . Em geral, para mostrarmos a injetividade de uma funçao usamos a

contra-positiva dessa última afirmação. Assim, para a função f(x) = ax + b, com , sobre os números reais, temos que se f(x) = f(y), então ax + b = ay + b, donde ax = ay e daí x = y. Logo f é injetiva.

PROVAS DE EXISTÊNCIA

Retornaremos nossa atenção para provas de teoremas de existência, isto é, teoremas que afirmam dentro do universo de discurso, de um objeto ou objetos com uma certa propriedade P. Simbolicamente, .

Exemplos: (1) Alguns números primos são da forma 32n + 1, onde n é um inteiro.(2) Nem todos os números reais são racionais.(3) O Teorema do Valor Médio diz que se f é uma função contínua sobre o

intervalo fechado [a,b] e derivável sobre o intervalo aberto (a,b), então existe tal

que .

A maneira mais óbvia de provar um teorema da forma é encontrar (construir) um objeto específico no universo de discurso para o qual é verdadeiro. Este método de prova é também chamado prova por construção. A definição de limite é um exemplo de uma afirmação de existência. Sejam e . A afirmação

significa que para cada dado, existe um tal que, se então

. Assim, para mostrarmos que , tomamos um qualquer

e exibimos para ele um de forma que a definição de limite seja satisfeita. Para construirmos um tal usamos o que queremos provar. Ou seja,

e observamos que esta expressão será menor que se fizermos . Logo,

dado , existe tal que se temos .

Exemplo: Considere o seguinte teorema: Para qualquer inteiro n, a multiplicação de matrizes n x n não é comutativa. Dizer que a multiplicação é comutativa é dizer que

. Assim, o nosso teorema afirma justamente a negação desse fato, ou

seja, . Logo, para provarmos o teorema, devemos encontrar duas matrizes, digamos 2 x 2, A e B, com a propriedade que . Por

exemplo, e .

USO DE CONTRA-EXEMPLOS

Um contra-exemplo é um exemplo que desaprova uma afirmação universal. Ou seja, dada uma afirmação tipo , queremos encontrar um no universo de discurso tal que

seja falso. De fato, recorde que .

Exemplo: Em 1540 Fermat afirmou que para todo inteiro positivo n, o inteiro é

primo, mas não foi capaz de fornecer uma prova. De fato, observamos que , , , e são primos. Mas isto não constitui uma prova! Somente

em 1732 é que Euler (Óiler) estabeleceu que era um número composto e, portanto, a conjectura de Fermat era falsa.

Obs.: (1) Um único exemplo não pode provar uma afirmação universal, mas um único contra-exemplo pode desaprová-la.

(2) Para dá um contra-exemplo de uma afirmação condicional , encontre um caso onde P é verdade, mas Q é falso.

Exemplo: Encontre um contra-exemplo para a proposição: para todos os números reais x e y, se , então . Precisamos encontrar números reais a e b tais que , porém . Tente!

PROVAS DE UNICIDADE

Algumas vezes em Matemática, desejamos provar não somente que um objeto com certas propriedades existe, mas também que existe somente um tal objeto, isto é, o objeto

é único. O método é essencialmente o método de prova por contradição. Seja P(x) a função proposicional e x um objeto com as propriedades requeridas. Então supomos que existem dois objetos distintos satisfazendo as mesmas propriedades, ou seja,

. A conclusão falsa que é geralmente obtida da nossa hipótese é que x = y.

Exemplo: Mostre que se a,b,c e d são números reais tais que , então existe uma única solução para o sistema de equações

quaisquer que sejam os reais s e t. Para provarmos a existência construiremos uma solução. É claro que a ou c é diferente de zero, pois se ambos fossem zero teríamos

, contrariando nossa hipótese. Vamos supor . Então podemos “tirar” o valor de x na primeira equação e substituir na segunda equação. De fato,

Retornando esse valor de y na expressão em x, encontramos que . Logo

exibimos uma solução. Agora para mostrarmos que esta é única, supomos a existência de duas soluções distintas, digamos e . Ou seja,

e .

Agindo de forma semelhante ao realizado para encontrar uma solução, verificamos que

e .

INDUÇÃO MATEMÁTICA

Existem muitos teoremas matemáticos e podem ser formulados como , onde o universo de discurso é o conjunto dos números naturais. Por exemplo:

(1) a soma dos primeiros n + 1 números naturais é dado pela expressão ;

(2) para todo número natural n, qualquer conjunto com n elementos possui subconjuntos.

Assumiremos o seguinte axioma: (Axioma da Boa-Ordenação) Todo subconjunto não-vazio dos números naturais contém um menor elemento.

Teorema (O Princípio de Indução Matemática): Assuma que para cada inteiro não-negativo n, uma afirmação P(n) é dada. Se

(i) P(0) é uma afirmação verdadeira; e(ii) sempre que P(k) for uma afirmação verdadeira implicar que P(k+1) também o

seja,então P(n) é verdade para todo n natural.

Prova: Seja S o subconjunto dos naturais constituído pelo números naturais j tais que P(j) é falso. Provaremos que S é vazio. Para isso usamos uma prova por contradição. Suponha que S é não-vazio. Então podemos usar o Axioma da Boa-Ordenação para garantir a existência de um menor elemento em S, digamos d. Desde que P(d) é falso, pela definição de S, e P(0) é verdadeiro, devemos ter . Conseqüentemente, . Como , ele não pode está em S, donde P(d-1) é verdadeiro. Mas pela hipótese (ii) segue que P(d) = P((d – 1) + 1) é também verdadeiro. Isto é uma contradição, pois . Portanto, S é vazio.

Obs.: Observe que (ii) não afirma que P(k) é verdadeiro para todo k natural, mas somente que uma relação condicional vale. A hipótese (ii) é chamada a hipótese de indução.

Exemplo: Para todo número natura n, a soma dos n+1 primeiros naturais é dada pela

expressão P(n): . Assim, para provarmos que de fato essa afirmação vale

para todo n, devemos verificar que as hipóteses (i) e (ii) são válidas. É claro que P(0) é

verdadeiro, pois e . Com o intuito de mostrarmos a validade da

hipótese (ii), supomos que a expressão é válida para n = k, ou seja, P(k) é verdadeiro. Em

outras “palavras”, . Devemos verificar que isto implica que P(k+1) também é

verdadeiro. De fato isto acontece, pois

e colocando k+1 em evidência, obtemos que

donde P(k+1) é verdadeiro. Em qual ponto usamos a hipótese de indução? Portanto, pelo Princípio de Indução Matemática podemos concluir que a expressão P(n) é válida para todo n natural.

Exemplo: Para cada natural n, qualquer conjunto com n elementos tem subconjuntos. Se n = 0, então o conjunto deve ser vazio, e assim o único subconjunto dele é ele mesmo. Ou seja, P(0): “conjuntos com zero elementos tem subconjuntos” é verdadeiro. Para verificarmos (ii), assumimos a veracidade de P(k): “conjuntos com k elementos tem subconjuntos” e usamos esta hipótese de indução para provarmos que P(k+1) também é verdadeiro. Para fazermos isto, consideremos T um conjunto com k+1 elementos e fixemos c algum elemento de T. Assim, os subconjuntos de T ou contém c ou não. Os subconjuntos de T que não contém c são precisamente os subconjuntos de T-{c}. Desde que o conjunto T-{c} tem k elementos, segue da hipótese de indução que ele tem subconjuntos. Agora, cada subconjunto de T que contém c deve ser da forma , onde D é um subconjunto de T-{c}. Logo, existem subconjuntos de T que contém c. Conseqüentemente, o total de subconjuntos de T é . Portanto, P(k+1)

também é verdadeiro, e pelo Princípio de Indução Matemática podemos concluir que P(n) é verdade para todo n natural.

Algumas afirmações matemáticas são falsas (ou indefinidas) para n = 0 ou outros valores menores que n = r, mas verdadeiros para n = r e todos os naturais subseqüentes. Por exemplo, vale para n = 1, mas não vale para n = 2,3,4,5 e 6 (verifique!). Porém, a partir de n = 7 o resultado volta a valer de novo. Podemos reformular o Princípio de Indução Matemática no seguinte sentido:

Teorema: Seja r um número natural e assuma que para cada natural uma afirmação P(n) seja dada. Se

(i) P(r) é uma afirmação verdadeira; e(ii) sempre que e P(k) é verdadeira implicar que P(k+1) é verdadeira,

então P(n) é verdadeiro para todo natural .

Exemplo: Voltando ao nosso último exemplo, suponhamos que para algum número natural a expressão seja verdadeira. Vamos verificar que esta continua sendo verdadeira para k+1. Com efeito, e desde que , podemos majorar o segundo termo, de forma que . Mais uma vez, usando o fato que , podemos trocar 3 por k, de forma que . Nesse ponto usamos nossa hipótese de indução para obtermos que . Assim a desigualdade continua valendo para n = k+1. Pelo Princípio de Indução Matemática (reformulado) concluímos que esta desigualdade vale para todo n natural maio ou igual a 7.