o ultimo teorema de fermat

zo o ÚL:r\i\IO TEOREi\IA DE FER:\IXr

de matemática mais difícil do mundo, eu espero ter conseguidotransmitir um entendimento da matemática usada para resolvê-Io

e uma percepção do motivo que levou os matemáticos a ficaremobcecados por ele durante mais de três séculos. A matemática éuma das disciplinas mais puras e profundas, e minha intenção foidar aos leitores um vislumbre destes mundo fascinante.

o ÚLTIMOTEOREMADEFERMAT

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,Arquimedcs será lembrado enquanto Ésquilo foi esquecido,porque os idiomas morrem mas as idéias matemáticas per-manecem. "Imortalidade" pode ser uma idéia tola, mas pro-vavelmenteum matemático tem a melhor chance que podeexistir de obtê-Ia.

G. H. Hardy

23 de Junho de 1993,Cambridge

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Era a mais importante conferência sobre matemática do nosso sé-culo.Duzentosmatemáticosestavamextasiados.Somenteum quartodaquela platéia compreendia totalmente a densa mistura de sím-bolosgregos e álgebra que cobria o quadro-negro. O resto estavalãmeramente para testemunhar o que esperavamser uma ocasiãohistórica.

Os boatos tinham começado no dia anterior. Mensagens pelaInternet diziam que a palestra terminaria com a demonstraçãodo Último Teorema de Fcrmat, o mais famoso problema mate-máticodo mundo. Rumores desse tipo não eram incomuns. Con-"ersas sobre o Último Teorema surgiam com freqüência na hora

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.-\ndrcw Wiles. com a idade de dez anos, quando encontrou pela

primeira \'cz o Último Teorema de Fermat.

24 o ÚLTI:--IUTEORE:\IA DE FElnl:\T '~CHO QUE VOU PARAR POR AQUI" 25

do chá. Àsvezes, comentários na sala dos professores transforma-vam as especulações em boatos de uma descoberta, mas nada sema terializava.

Dessa vez era diferente. Quando os três quadros-negros fi-caram cheios de símbolos, o conferencista fcz uma pausa. O pri-

meiro quadro foi apagado e a álgebra continuou. Cada linha pa-recia avançar um pequeno passo na direção da solução, mas depoisde trinta minutos o palestrante ainda não anunciara a compro-vação. Os professores reunidos nas fileiras da frente aguarda-vam avidamente pela conclusão. Os estudantes nas fileiras detrás olhavam para seus mestres cm busca de um indício quantoà natureza da solução. Estariam observando uma demonstraçãocompleta do Último Teorema de Fermat ou estaria o conferen-cista meramente delineando um argumento incompleto e anticli-mático?

O conferencista era Andrew Wiles, um inglês de poucas pa-

lavras que emigrara para os Estados Unidos na década de 1980.Assumira.uma cadeira na Universidade de Princeton onde con-

quistara a reputação de ser um dos matemáticos mais talentososde sua geração. Contudo, nos últimos anos, ele quase desapa-recera da programação anual de seminários e conferências. Seuscolegas começaram a pensar se Wiles não estaria acabado. Nãoera ineomum mentes jovens e brilhantes entrarem em decadênciaainda muito cedo, como comentou certa vez o matemático Alfred

. Adler: "A vida de um matemático é muito curta. Seu trabalhoraramente melhora depois da idade de vinte ou trinta. Se ele não

conseguiu muita coisa até essa idade, não vai conseguir maisnada. "

"Os jovens devem provar os teoremas, os velhos devem escre-ver livTos", observou G. H. Hardy em seu livroApologia do mate-mático. "Nenhum matemático jamais deve se esquecer de que amatemática, mais do que qualquer outra ciência ou arte, é um jogo

para jovens. Para citar um exemplo simples, a idade média de elei-ção para a Sociedade Real é mais baixa na matemática." Seu alunomais brilhante, Srinivasa Ramanujan, foi eleito Membro da Socie-dade Real com a idadc de trinta c um anos, tendo feito uma série

de espantosas descobertas durante sua juventude. Apesar de nãoter recebido quase nenhuma educação formal em seu vilarejo deKumbakonam, no Sul da Índia, Ramanujan foi capaz de criarteoremas e soluções que tinham escapado à percepção dos mate-máticos ocidentais. Na matemática a experiência que vem com aidade parece menos importante do que a intuição e o arrojo da ju-ventude. .

Muitos matemáticos tiveram carreiras brilhantes e curtas.No século XIX, o norueguês Niels Henrik Abel deu suas maio-res contribuições à matemática com a idade de dezenove anos emorreu na pobreza, oito anos depois, vítima de tuberculose. Aseu respeito, Charles Hermite comentou: "Ele deixou o suficientepara manter os matemáticos ocupados durante quinhentos anos. "E é verdade que as descobertas de Abel ainda exercem uma pro-funda influência sobre os teóricos dos números nos dias de hoje.Um contemporâneo de Abel, o igualmente talentoso ÉvaristeGalois, também realizou suas descobertas quando era adoles-cente.

Hardy comentou certa vez: "Eu não conheço nenhum avançoimportante da matemática que tenha sido realizado por um ho-mem de mais de cinqüenta anos." Os matemáticos de meia-idademergulham na obscuridade e ocupam os anos que lhes restam en-sinando ou administrando e não fazendo pesquisas. Mas no casode Andrew Wiles nada podia ser mais distante da verdade. Em-bora tivesse alcançado a idade avançada dos quarenta anos, elepassara os últimos sete anos trabalhando em segredo completo,tentando resolver o maior problema da matemática. Enquantooutros achavam que ele estava acabado, Wiles fazia progressosfantásticos, inventando novas técnicas e ferramentas, tudo que agoraestava pronto a revelar. Sua decisão de trabalhar em isolamentototal fora uma estratégia de alto risco, desconhecida no mundoda matemática.

Sem ter invenções para patentear, o departamento da mate-mática de uma universidade é o menos sigiloso de todos. A co-munidade se orgulha da livre troca de idéias, e a hora do chá, à

tarde, se transforma num ritual diário onde as idéias são compar-

26 o ÚLTIMO TEOREMA DE FER~IAT':IICIIO QUE VOU I'AI{AR POR AQUI"

tilhadas e exploradas sob o estímulo das xícaras de café ou chá. Écada vez mais comum a P4blicação de trabalhos por co-autoresou mesmo equipes de matemáticos e, conseqüentemente, a gló-ria é partilhada por todos. Entretanto, se o professor Wiles tinhaconseguido realmente uma solução completa e precisa do Últi-mo Teorema de Fermat, então o prêmio mais cobiçado da matemá-tica era seu e somente seu. Mas ele devia pagar um preço por talsegredo: como não tinha uebatido ou testado suas idéias com acomunidade matemática, havia uma boa chance de que tivessecometido al~um erro fundamental.

Wilcs queria passar mais tempo revendo seu trabalho c veri-ficando o manuscrito final. Mas então surgira uma oportunidadeúnica de allunciar ~HIadescoherta 110III:-itituloI:-iaaeNewtoll, emCambridge, e ele abandonou toda a cautela. A razão da existênciado instituto é reunir os maiores intelectos do mundo, durante al-

gumas semanas, de modo a realizarem seminários sobre pesqui-sas de ponta, de sua escolha. Situado nos limites do cGmplts, bemlonge dos estudantes e de outras distrações, o prédio foi projeta-do especialmente para encorajar os acadêmicos a se concentra-rem nas discussões e colaborações. Não há corredores sem saídaonde alguém possa se esconder. Todos os escritórios se voltampara o fórum central. Os matemáticos devem passar seu temponesta área aberta e são desencorajados quanto a fecharem as portasdos seus gabinetes. A colaboração também é encorajada entreaqueles que estão andando pelo prédio. Até no elevador, que sobeapenas três andares, existe um quadro-negro. Na verdade, cadasala do prédio tem pelo menos um quadro-negro, incluindo osbanheiros. Naquela ocasião, os seminários do Instituto Newtontinham como tema ''Aritmética e funções-I..;'. Os maiores especia-listas do mundo na teoria dos números tinham se reunido paradebater problemas relacionados com este campo altamente espe-cializado da matemática pura, mas somente Wiles percebia queas funções-L podiam ser a chave para a solução do Último Teoremade Fermat.

Emhora fO~~l'atraído pela oportunidade de revclar seu traba-'''11.\\\\1' \\\\\.\ .\\\\\i\;\\I'i.\1:\\\\'l\\i\\t'I\Il', i\ ri\'1:\l)prim"pal de fazer 5ua

exposiçãonoInstituto Newtonera que eleficavaem suacidadenatal,Cambridge. Fora em Cambridge que Wiles nascera e crescera,desenvolvendosua paixãopelos números. E fora lá que ele conhe-cera o problema que dominaria o resto de sua vida.

o Último Problema

Em 1963, quando tinha dez anos de idade, Andrew Wiles já era fas-cinado pela matemática. "Eu adorava resolver problemas na esco-la. Eu os levava para casa e criava novos. Mas os melhores proble-mas eu encontrava na biblioteca local."

Um dia, quando voltava para casa, da escola, o jovem Wilcsuceitliu passar na biblioteca, na rua Milton. Era uma bibliotecapequena, mas tinha uma boa coleção de livros sobre enigmas, eisso era o que atraía a atenção de Andrew. Eram livros rechea-dos com todo o tipo de charadas científicas e problemas dematemática, e para cada problema haveria uma solução convenien-temente colocada nas últimas páginas. Mas naquele dia Andrewfoi atraído por um livro que tinha apenas um problema e nenhumasolução.

O livro era O Últimoproblema, de Eric Temple Bell. Ele apre-sentava a história de um problema matemático q1.letinha suas ori-gens na Grécia antiga, mas só atingira sua maturidade no séculoXVII,quando o matemático francês Pierre de Fermat o colocara comoum desafio para o resto do mundo. Uma sucessão de grandes ma-temáticos fora humilhada pelo legado de Fermat e durante trezen-tos anos ninguém conseguira uma solução. .

Trinta anos depois de ler o relato de Bell, Wiles ainda se lem-brava do que sentira ao ser apresentado ao Último Teorema deFermat: "Parecia tão simples, e no entanto nenhum dos grandesmatemáticos da história conseguira resolvê-Ia. Ali estava um pro-blema que eu, um menino de dez anos, podia entender e eu sabiaque a partir daquele momento nunca o deixaria escapar. Tinha desolucioná-Io. "

Geralmente, metade da dificuldade de 11mprohlcma do 1111111'-

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28 o úernlO TEORE:lIA DE FER:'II.-\T

mática consiste em entender a questão, mas nesse caso ela era di-

reta - provar que não existe solução em nÚmeros inteiros para aseguinte equação:

x" + )'" = Z" para 1lmaior do que 2.

o problematem uma aparência simples e familiarporque é ba-seado num elemento da matemática que todos conhecem - oteorema de Pitágoras:

Num triângulo retângulo o quadrado da hipotcnusa é igual àsoma dos quadrados dos catctos.

Ou: x2 + y2 = Z2.

O teorema de Pitágoras fora impresso em milhões, se não bilhões,de mentes humanas. É o teorema fundamental que toda criançainocente é forçada a aprender. Mas, apesar de poder ser compreen-

dido por uma criança de dez anos, a criação de Pitágoras serviu deinspiração para um problema que desafiou as maiores mentesmatemáticas da história.

No século VI a.C., Pitágoras de Samos foi uma das figurasmais influentes e, no entanto, misteriosas da matemática. Comonão existem relatos originais de sua vida e de seus trabalhos, Pitá-

goras está envolto no mito e na lenda, tornando difícil para oshistoriadores separar o fato da ficção. O que parece certo é que

Pitágoras desenvolveu a idéia da lógica numérica e foi respon-sável pela primeira idade de ouro da matemática. Graças ao seugênio, os nÚmeros deixaram de ser apenas coisas usadas mera-mente para contar e calcular e passaram a ser apreciados porsuas próprias características. Ele estudou as propriedades decertos nÚmeros, o relacionamento entre eles e os padrões queformavam. Ele percebeu que os nÚmeros existem independen-temente do mundo palpável e, portanto, seu estudo não é pre-

judicado pelas incertezas da percepção. Isso significava que elepodcria descobrir vcrdades que eram independentes de precon-

"ACHO QUE VOU PARAR POR AQUI" 29

...Ii.

ceitos ou de opiniões, sendo mais absolutas do que qualquer co-nhecimento prévio.. Pitágoras adquiriu suas habilidades matemáticas em suas via-

gens pelo mundo antigo. Algumas histórias tentam nos fazer crerque Pitágoras teria ido até a Índia e a Inglaterra, mas o mais certoé que ele aprendeu muitas técnicas matemáticas com os egípciose os babilônios. Esses povos antigos tinham ido além da simPlesçontagem e eram capazes de cálculos complexos que lhes permi-tiam criar sistemas de contabilidade sofisticados e construir pré-dios elabora~os. De fato, os dois povos viam a matemática comouma ferramenta para resolver problemas práticos. A motivação queconduziu à descoberta de algumas das leis básicas da geometriaera a necessidade de refazer a demarcação dos campos, perdidadurante as enchentes anuais do Nilo. A palavra geometria significa"a medida da terra".

Observou que os egípcios e os babilônios faziam seus cálculos

na forma de uma receita que podia ser seguida cegamente. As re-ceitas, que tinham sido passadas através de gerações, sempre pro-duziam a resposta correta, e assim ninguém se preocupava em exa-minar, ou questionar, a lógica subjacente daquelas equações. Oimportante para essas civilizações era que os cálculos davam cer-to. Por que davam certo era irrelevante.

Depois de vinte anos de viagens, Pitágoras tinha assimiladotodo o conhecimento matemático do mundo conhecido. Então ele

velejou para seu lar, a ilha de Samos, no mar Egeu, com o pro-pósito de fundar uma escola devotada ao estudo da filosofia e, emparte, voltada para a pesquisa da matemática que acabara deconhecer. Queria entender os nÚmeros e não meramente utili-

zá-Ias. Pitágoras esperava encontrar uma grande quantidade deestudantes de mente aberta que pudessem ajudá-Io a desenvol-ver filosofias novas e radicais. Mas, durante sua ausência, o tira-no Polícrates tinha transformado a outrora liberal Samos em uma

sociedade intolerante e conservadora. Polícrates convidou Pitágorasa fazer parte de sua corte, mas o filósofo percebeu que o objetivoda oferta era meramente silenciá-Ia e recusou a honra. Depoisdeixou a cidade e foi morar em uma caverna, numa parte remota

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30 o Úl;I'I~1O TEOHEi\IA I>E FEH:\IAT

da ilha, onde podia continuar seus estudos sem medo de ser per-seguido.

Pitágoras não apreciava o isolamento e acabou subornando ummenino para ser seu primeiro aluno. A identidade do garoto é in-certa, mas alguns historiadores sugerem que ele também se cha-maria Pitágoras e que o estudante mais tarde ficaria famoso ao sugerirque os atletas deveriam comer carne para melhoria da constitui-ção física. Pitágoras, o mestre, pagava ao seu aluno três ébolos paracada aula a que ele comparecia. Logo percebeu que, à medida queas semanas se passavam, a relutância inicial do menino em apren-der se transformava em entusiasmo pelo conhecimento. Para tes-

tar seu pupilo, Pitágoras fingiu que não podia mais pagar o estu-dante e que teria de interromper as aulas. Então o menino se ofereceupara pagar por sua educação. O pupilo tornara-se discípulo. Infe-lizmente este foi o único adepto que Pitágoras conquistou em Samos.

Ele chegou a estabelecer temporariamente uma escola conhecidacomo o Semicírculo de Pitágoras, mas suas idéias de reforma so-cial eram inaceitáveis e o filósofo foi obrigado a fugir com sua mãee seu único discípulo.

Pitágoras partiu para o Sul da Itália, que era então parte da MagnaGrécia. Ele se estabeleceu em Crotona onde teve a sorte de encon-

trar o patrono ideal em Milo. Milo era o homem mais rico de Crotonae um dos homens mais fortes de toda a história. Embora a reputa-

ção de Pitágoras como o sábio de Samos já estivesse se espalhandopela Grécia, a fama de Milo era ainda maior. Tratava-se de um ho-mem de proporções hercúleas, que fora doze vezes campeão nosjogos olímpicos e de Pítias. Um recorde. Além de sua capacidadecomo atleta, Milo também apreciava e estudava a filosofia e a ma-temática. Ele cedeu uma parte de sua casa para que Pitágoras es-tabelecesse sua escola. E, assim, a mente mais criativa e o corpo

mais poderoso formaram uma aliança.Seguro em seu novolar, Pitágoras fundou a Irmandade Pitagórica

- um grupo de seiscentos seguidores, capazes não apenas de en-tcnder seus ensinamentos, mas também de contribuir criando idéiasnovas e demonstrações. Ao entrar para a Irmandade cada adeptodevia doar tudo o que tinha para um fundo comum. E se alguém

"ACIIO QUE votI l'AltAR I'OR AQUr' 31

quisesse partir receberia o dobro do que tinha doado e uma lápideseria erguida em sua memória. A Irmandade era uma escola igua-litária e incluía várias irmãs. A estudante favorita de Pitágoras era afilha de Milo, a bela Teano, e, apesar da diferença de idade, os doisacabaram se casando.

Logo depois de fundar a Irmandade, Pitágoras criou a palavrafilósofo, e, ao fazê-Io, definiu os objetivos de sua escola. Quandoassistia aos jogos olímpicos, Leon, príncipe de Pilos, perguntou 'aPitágoras como ele descreveria a si mesmo. Pitágoras respondeu:"Eu sou um fiJósofo", mas Leon nunca tinha ouvido a palavra an-tes e pediu que explicasse.

A vida, príncipe Leon, pode muito bem ser comparada a es-tes jogos. Na imensa multidão aqui reunida alguns vieram àprocura de lucros, outros foram trazidos pelas esperanças eambições da fama e daglória. Mas entre eles existem uns poucosque vieram para observar e entender tudo o que se passa aqui.

Com avida acontece a mesma coisa.Alguns são influenciadospela busca de riqueza, enquanto outros são dominados pelafebre do poder e da dominação, Mas os melhores entre oshomens se dedicam à descoberta do significado e do propósi-to da vida. Eles tentam descobrir os segredos da natureza. Estetipo de homem eu chamo de filósofo, pois embora nenhumhomem seja completamente sábio, em todos os assuntos, elepode amar a sabedoria como a chave para os segredos da na-tureza.

Embora muitos conhecessem as aspirações de Pitágoras, ninguémfora da Irmandade conhecia os detalhes ou a extensão de seu su-

cesso. Cada membro da escola era forçado a jurar que nunca reve-laria ao mundo exterior qualquer uma de suas descobertas mate-máticas. Mesmo depois da morte de Pitágoras, um membro daIrmandade, que quebrou o juramento, foi afogado. Ele revelou,publicamente, a descoberta de um novo sólido regular, o dodecaedro,construído a partir de doze pentágonos regulares. Esta naturezaaltamente secreta da Irmandade Pitagórica contribuiu para os mi-

32 o ÚLTIl\IO TEOREl\IA DE FER:'IIAT

tos que se criaram em torno de estranhos rituais que seriam prati-cados. E também explica por que existem tão poucos relatosconfiáveis de suas conquistas matemáticas.

O que se sabe com certeza é que Pitágoras estabeleceu um sis-tema que mudou o rumo da matemática. AIrmandade era realmenteuma comunidade religiosa e um de seus ídolos era o Número. Elesacreditavam que se entendessem as relações entre os númerospoderiam descobrir os segredos espirituais do universo, tornando-sc, assim, próximos dos deuses. Em especial, a Irmandade voltousua atenção para os números inteiros (1,2, 3, ...) e as frações. Osnúmeros inteiros e as frações (proporções entre números inteiros)são conhecidos, tecnicamente, como nÚmeros racionais. E entre a

infinidade de nÚmeros, a Irmandade buscava alguns com signifi-cado especial, e entre os mais importantes estavam os chamadosnúmeros "perfeitos".

De acordo com Pitágoras a perfeição numérica depende donúmero de divisares (números que irão dividi-Ia perfeitamente, semdeixar re$to). Por exemplo, os divisares de 12são 1,2, 3,4 e 6. Quandoa soma dos divisares de um número é maior do que ele, o númeroé chamado de "excessivo". Portanto, 12 é um número excessivoporque a soma dos seus divisares é 16. Por outro lado, quando asoma dos divisares é menor do que o número, ele é chamado "de-ficiente". É o caso de 10, porque seus divisares (1,2 e 5) somam 8.

Os números mais importantes e raros eram aqueles cujosdivisares somados produziam eles mesmos, e estes eram chama-dos de ml111erospelfeitos. O número 6 tem como divisares os nú-meros 1, 2 e 3 e portanto é um número perfeito porque 1 + 2 + 3= 6. O número perfeito seguinte é 28, porque 1 + 2 + 4 + 7 + 14= 28.

Além de ter um significado matemático para a Irmandade, aperfeição de 6 e 28 era reconhecida por outras culturas que obser-varam que a Lua orbita a Terra a cada 28 dias e acreditavam queDeus tinha criado o mundo em 6 dias. Em A cidade de Deus, San-to Agostinho afirma que, embora Deus pudesse ter criado o mun-do em um instante, ele decidiu levar seis dias de modo a refletir aperfeição do universo. E acrescentava que 6 não era perfeito por-

'~CHO QUE VOU PARAR POR AQUI" 33

que Deus assim o quisera, e sim que a perfeição era inerente à I

naturezadonúmero."Onúmeroéperfeitoemsi mesmoe nãoporque:Deus criou todas as coisas em seis dias. O inverso é mais verda-deiro,Deuscrioutodasas coisasem seisdiasporqueestenúmero I

é perfeito.E continuariaperfeito mesmo que o trabalhode seis dias Inão existisse.". I

À medida que os números inteiros se tornam maiores, a t~refa I

de encontrar números perfeitos se torna mais difícil. O terceironúmero perfeito é 496,o quarto é 8.128,o quinto é 33.550.336e osextoé 8.589.869.056.Alémde ser a somade seus divisares,Pitágoraspercebeu que os números perfeitos possuem várias propriedadeselegantes. Por exemplo,números perfeitos são sempre a soma deuma série de nÚmerosinteiros.Assim temos:

6=1+2+3

28=1+2+3+4+5+6+7

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +... + 30 + 318.128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +...+ 126+ 127

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Pitágoras era fascinado pelos números perfeitos, mas ele não secontentava em meramente colecionar esses números especiais, elequeria descobrir seu significado mais profundo. Uma de suas des-

cobertas foi que a perfeição estava ligada a 2. Os números 4 (2 :x2),8 (2 x 2 x 2), 16 (2 x 2 x 2 x 2), etc. são conhecidos eomo potências.de 2 e podem ser escritos como 2n, onde o n representa o númerode vezes em que o 2 é multiplicado por ele mesmo. Todas estas

potências de 2 chegam perto, mas falham em ser números perfei-tos, porque a soma de seus divisares é sempre uma unidade me-nor do que o próprio número. Isso os torna apenas levemente im-

. perfeitos:

22= 2 x 223= 2 x 2 x 224 = 2 x 2 x 2 x 22>= 2 x 2 x 2 x 2 x 2

=4=8= 16= 32

Divisares 1,2Divisares 1,2, 4Divisares 1,2,4,8Divisares 1,2, 4, 8, 16

Soma= 3Soma= 7Soma= 15Soma= 31

34 o Út:rIMO 'rEOREI\1A DE FER!\tAT't\CHO QUE VOU PARAR POR AQUI"

Dois séculos depois, Euc1idesaperfeiçoaria a ligação encontradapor Pitágorasentre o 2 e a perfeição. Euc1ides descobriu que osnúmerosperfeitos são sempre múltiplos de dois números, um dosquais é uma potência de 2 e o outro é a potência seguinte de doismenos 1.

Ou seja,

Thdo É Número

6 =28 =

496 =8.128 =

21 x (22- 1)22 X (23- 1)24 X (25-1)26 x (27- 1)

Além de estudar as relaçõesentre os números, Pitágoras tambémera fascinado pela ligaçãodos números com a natureza. Ele perce-beu que os fenômenos naturais são governadospor leis, e que es-sas leis podem ser descritas por equações matemáticas. Uma dasprimeiras ligaçõesque ele percebeu foi a relação fundamental'~n-tre a harmonia da música e a harmonia dos números.

O instrumento mais importante da antiga música helênica erao tetracórdi~, ou lira de quatro cordas.Antes de Pitágoras,os mú-sicos tinham percebido que certas notas, quando soavamjuntas,criavam um efeito agradávele afinavamsuas liras de modo que aotocarem duas cordas pudessem produzir tal harmonia. Contudo,os antigos músicos não compreendiam por que certas notas, emespecial, eram harmônicas e não tinham nenhum meio preciso deafinar seus instrumentos. Eles afinavamsuas llras peloouvido,atéconseguirem um estado de harmonia - um processo que Platãochamava de torturar as cravelhas.

Iamblicus, um estudiosodo século Iv,descrevecomoPitágorasdescobriu os princípios básicos da harmonia musical.

Hoje em dia os computadores permitiram continuar a busca pelosnúmeros perfeitos e encontraram exemplos gigantescos como 2Z16,090x (2ZH"o')\-1), um número de mais de 130.000 algarismos que obe-dece à regra de Euc1ides.

Pitágoras era fascinado pclos ricos padrões e as ~roprieda-dcs dos números perfeitos e respeitava sua sutileza. A primeira

vista, o conccito de perfeição é relativamente simples de enten-der, no entanto os antigos gregos foram incapazes de sondar algunsdos aspectos fundamentais deste assunto. Por exemplo, embo-ra exista uma grande quantidade de números cujos divisoressomados são uma unidade a menos do que o próprio número,

ou seja, são ligeiramente deficientes, parecem não existir nú-meros ligeiramente excessivos. Os gregos foram incapazes dedescobrir quaisquer números cujos divisores somados excedemem uma unidade o número original e não conseguiam entender

por que isso acontece. E para aumentar sua frustração tambémnão conseguiram provar que tais números não existiam. É com-

preensível que a aparente falta de números levemente excessi-vos não tivesse nenhuma utilidade prática, entretanto era um

problema que poderia revelar a natureza dos números e, por-tanto, valeria a pena estudar. Tais enigmas intrigaram a Irman-dade Pitagórica, e dois mil e quinhentos anos depois os mate-máticos ainda são incapazes de provar que não existem números

ligeiramcnte cxccssivos.

Certa vez ele estava dominado pela idéia de descobrir se po-deria criar um instrumento mecânico para ampliar o sentidoda audição, que fosse preciso e engenhoso. O aparelho seriasemelhante aos compassos, réguas e instrumentos óticosprojetados para o sentido da visão. Do mesmo modo o senti-do do tato tinha escalas e os conceitos de pesos e medidas.Por algum ato divino de sorte, aconteceu de Pitágoras passarpor uma oficina de um ferreiro e ouviu os martelos golpeando

o ferro e produzindo uma harmonia variada, cheia de rever-berações, exceto por uma combinação de sons.

De acordo com Iamblicus, Pitágoras correu imediatamente paradentro da forja a fim de investigar a harmonia dos martelos. Elepercebeu que a maioria dos martelos podia ser usada simultanea-mcnte para gerar sons harmoniosos, enquanto qualquer eombina-

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Figura 1. Uma corda vibrando livremente gera uma nota básica.Ao criar um nódulo, exatamente no meio da corda, a nota produ-zida é uma oitava mais alta e em harmonia com a nota original.Outras notas harmônicas podem ser produzidas movendo-se onódulo para outras posições que sejam frações simples (por exem-plo, um terço, um quarto, um quinto) da distância ao longo dacorda.

ção contendo um martelo em particular produzia um ruído desa-grach1vel.Ele analisou os martelos e descobriu que aqueles que eramharmoniosos entre si tinham uma relação matemática simples -suas massas eram proporções simples, ou frações, umas das ou-tras. Ou seja, martelos que po'ssuíssem a metade, dois terços outrês quartos do peso de um determinado martelo produziriam sonsharmoniosos. Por outro lado, o martelo que gerava desarmoniaquando golpeado junto com os outros tinha um peso que não apre-sentava qualquer relação simples com o peso dos outros.

Pitágora~ descobrira que as relações numéricas simples são asresponsáveis pela harmonia na música. Os cientistas lançaram al-gumas dúvidas quanto ao relato de lamblicus, mas é certo quePitágoras aplicou sua nova teoria de proporções musicais à lira,examinando as propriedades de uma única corda. Tocando simples-mente uma corda temos uma nota padrão, que é produzida pelavibração da corda inteira. Prendendo a corda em determinados pontosde seu comprimento é possível produzir outras vibrações ou no~tas, como ilustrado na Figura 1. As notas harmônicas ocorrem so-mente em pontos muito específicos. Por exemplo, fixando a cordanum ponto correspondente à metade do seu comprimento, ela pro-duz, ao ser tocada, uma nota que é uma oitava mais alta e em har-monia com a nota original. De modo semelhante, se prendermos acorda em pontos correspondentes aum terço, um quarto e um quintodo seu comprimento, produziremos outras notas harmônicas. Jáse prendermos a corda em outros pontos que não formam uma fraçãosimples do seu comprimento, a nota produzida não se harmonizacom as outras.

Pitágoras tinha descoberto pela primeira vez as leis matemá-ticas que governam um fenômeno físico e demonstrara a existênciade uma relação fundamental entre a matemática e a ciência. Desdeesta descoberta, os cientistas têm buscado as regras matemáti-cas que parecem governar cada processo físico e descobriram queos números aparecem em todo o tipo de fenômenos naturais. Porexemplo, um número em especial parece governar o comprimentodos rios tortuosos. O professor Hans-Henrik St0'lum, geólogo daUniversidade de Cambridge, calculou a relação entre o compri-

38 o ÚI:rJi\1O TEOHEi\lA DE FEHi\IAT':-\CHOQUE VOU PARARPOR AQUI" 39

mcnto verdadeiro de um rio, da nascente até a foz, c seu comprimen-to em linha reta. Embora a taxa varie de rio para rio, o valor mé-dio é ligeiramente maior do que 3. Ou seja, o comprimento real éaproximadamente o triplo da distância em linha reta. De fato, aproporção é aproximadamente 3,14, que é próximo do valor donúmero 7t,a proporção entre a circunferência de um círculo e seudiâmetro.

O númcro 7t foi derivado, originalmente, da geometria dos cír-culos, e no entanto ele vive reaparecendo em uma grande varieda-de de acontecimentos científicos. No caso da proporção entre osrios, a aparição de 7té o resultado de uma batalha entre a ordem eo caos.Einstein foi o primciro a sugcrir que os rios possuem umatendência aum caminho mais serpenteante porque uma curva menorvai produzir correntes mais rápidas na margem oposta, que por suavez prouuzir;\() uma crm;ão maior e uma curva mais pronunciaua.Quanto mais fechada a curva, mais rápidas serão as correntezasna margem oposta, maior a erosão e mais o rio irá serpentear. Con-tudo, existe um processo que irá se opor ao caos. Os meandros fa-rão o rio se voltar sobre si mesmo, se anulando. O rio vai se tornar

mais reto, e o meandro será deixado para o lado, formando um lago.a equilíbrio entre esses fatores opostos leva a uma relação médiade 1t entre o comprimento rcal e a digtância cm linha reta da nas-cente até a foz. A proporção de 1t é mais comumente encontradaentre rios que fluem sobre planícies como as que existem no Bra-sil e na tundra siberiana.

Pitágoras percebeu que os números estavam ocultos em tudo,das harmonias da música até as órbitas dos planetas, o que o levou

a proclamar que "tudo é número". Ao explorar o significado damatemática, Pitágoras estava desenvolvendo uma linguagem quepermitiria que ele e outros depois delc descrevessem a naturezado universo. Daí em diante cada avanço da matemática daria aoscientistas o vocabulário de que necessitavam para explicar melhoros fenômenos que nos cercam. De fato, o desenvolvimento da ma-temática iria inspirar revoluções na ciência.

De todas as ligações entre os números e a natureza estudadaspela Irmandade, a mais importante é a relação que leva o nome de

seufundador.OteorcmadePitágorasnosforneceumaequaçãoque I

é verdadeira para todos os triângulos retângulos e que, portanto, !também defineo ânguloreto. Porsuavez,o ânguloreto definea I

perpendicular e a perpendicular define as dimensões - compri- I

mento,larguraealtura- doespaçoondevivemos.Emúltimaanálise, I

a matemática, através do triângulo retângulo, define a próp!:ia es- Itrutura do nosso mundotridimensional. I

É uma realizaçãoprofunda e, no entanto, a matemática usada

para compreender o teorema de Pitágorasé relativamentesimples. .Para entendê-Ia, comece simplesmente medindo o comprimentodos dois catetos (ladosmenores) do triângulo retângulo (x ey), eentão calcule o quadrado de cada um deles (x2,y2). Depois someos quadrados dos dois números (X2+ y2), o que lhe dará o número

final.Se calcular estc número para o triângulo mostrado na Figura2, o resultado será 25.

Agora você pode medir o lado mais comprido, z, a assim cha-mada hipotenusa, e calcular o quadrado do seu comprimento. Oresultado extraordinário é que este número, Z2é idêntico àqueleque você calculou, ou seja, 52= 25.

zI

. Ii

I

II

y

x

x=3, y=4, z=5

X2+y2 =Z29 +16 =25

Figura 2. Todo triângulo retângulo obedece ao teorema de Pitágoras.

40 o ÚLTll\IO TEORE1\lA DE FERi\lAT",\CIIO QUE VOU PARAR POR AQUI" 41

Resumindo:Prova Absoluta

x'l.+ y'l.= Z'l..

A história do Último Teorema de Fermat gira em torno da buscapor uma prova, ou demonstração perdida. Em matemática o con-ceito de prova é muito mais rigoroso e poderoso do que o que usa-mos em nosso dia-a-dia e até mesmo mais preciso do que o con-ceito de prova como entendido pelos físicos e químicos. A diferençaentre prova científica e prova matemática é ao mesmo tempo sutile profunda. Ela é crucial para que possamos entender o trabalhode cada matt:mático, desde Pitágoras.

A idéia da demonstração matemática clássica começa com umasérie de axiomas, declarações que julgamos serem verdadeiras ouque são verdades evidentes. Então, através da argumentação lógi-.ca, passo a passo, é possível chegar a uma conclusão. Se os axio-mas estiverem corretos e a lógica for impecável, então a conclusãoserá inegável. Esta conclusão é o teorema.

Os teoremas matemáticos dependem deste processo lógico, euma vez demonstrados eles serão considerados verdade até o final

dos tempos. A prova matemática é absoluta. Para apreciar o valorde tais provas, devemos compará-Ias com sua prima pobre, a provacientífica. Na ciência apresenta-se uma hipótese para explicar umfenômeno físico. Se as observações do fenômeno são favoráveis àhipótese, então elas se tornam evidências a favor dela. Além disso,a hipótese não deve meramente descrever um fenômeno conheci-do, mas também prever os resultados de outros fenômenos. Expe-riências podem ser feitas para testar a capacidade da hipótese emprever os resultados, e se o resultado for bem-sucedido teremosmais evidências para apoiar a hipótese. Por fim, a soma das evidênciaspode ser tão grande que a hipótese passará a ser aceita como teoriacientífica.

Contudo, uma teoria científica nunca pode ser provada do mesmomodo absoluto quanto um teorema matemático. Ela é meramenteconsiderada como altamente provável, com base nas evidênciasdisponíveis. A assim chamada prova científica depende da obser-vação e da percepção, e ambas são falíveis, fornecendo somenteaproximações em relação àverdade. Como disse certa vez Bertrand

Num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual àsoma dos quadrados dos catetos.

Ou em outras palavras (ou melhor, símbolos):

Isto é claramente verdadeiro para o triângulo da Figura 2, mas o

que é notávelé que o teorema de Pitágoras éverdadeiropara todosos triângulos retângulos que puder imaginar. Trata-se de uma leiuniversal da matemática, e você pode contar com ela sempre queencontrar um ângulo reto. Inversamente, se tiver um triângulo queobedece ao teorema de Pitágoras,então pode ter confiançaabsolu-ta de que é um triângulo retângulo.

Neste ponto é importante mencionar que, embora este teoremaesteja eternamente associadoaPitágoras,ele já e;a usadopelos chi-neses e babilônios mil anos antes. Contudo, estas culturas não sa-biam que o teorema era verdadeiropara todos os triângulos retân-gulos. Era verdadeiro para os triângulos que tinham testado, maseles não tinham meios de demonstrar que era verdadeiro para to-dos os triângulos que aindanão tinham testado. O motivopeloqualo teorema levao nome de Pitágoras é que foi ele o primeiro a de-monstrar esta verdade universal.

Mas como Pitágorassabia que o teorema é verdadeiropara to-dos os triângulos retângulos? Não poderia esperar testar a infinitavariedadede triângulosretângulos,e noentanto estavacempor centocerto de que o teorema era verdadeiro.A razãopara sua confiançaestá no conccito dc prova,ou demonstração matemática. A buscapela provamatemáticaé a busca pelo conhecimento mais absolutodo que o conhecimento acumulado por qualquer outra disciplina.Este desejo pela verdade final através do método da prova,ou de-monstração, é o que tem impulsionado os matemáticos nos últi-mos dois mil e quinhentos anos.

42 o ÚJ:I'Ii\IO TEOHEMA DE FEHi\IAT ""CIIO QUE VOU PARARPORAQUI" 43

Russell: "Embora isto possa parecer um paradoxo, toda a ciênciaexata é dominada pela idéia da aproximação." Até mesmo as "pro-vas" científicas mais aceitas contêm um pequeno elemento de dúvidadentro delas. Às vezes esta dÚvida diminui, mas nunca desaparece

completamente. E em outras ocasiões descobre-se que aprova estavaerrada. Esta fraqueza das provas científicas leva às revoluções naciência, quando uma teoria que se considerava correta é substituídapor outra, aqual pode ser meramente um aperfeiçoamento da teoriaoriginal, ou pode ser sua completa contradição.

Por exemplo, a busca pela partícula fundamental da matériaenvolveu gerações de físicos derrubando, ou no mínimo aperfei-çoando, as teorias de seus antecessores. A busca moderna pe-los tijolos da construção do universo começou no início do sé-culo XIX, quando uma série de experiências iniciadas por JohnDalton sugeriu que tudo era composto de pequenos átomos eque os átomos eram fundamentais. No final do século, J. J.Thomson descobriu o elétron, a primeira partícula subatômicaconhecida, e daí para a frente o átomo não foi mais fundamen-tal ou indivisível.

Durante as primeiras décadas do século XX, os físicos criaramuma imagem "completa" do átomo - um núcleo formado porprótons e nêutrons, orbitado por elétrons. Prótons, nêutrons e elé-trons foram então orgulhosamente apresentados como os ingre-dientes fundamentais do universo. Então, experiências com os raioscósmicos revelaram a existência de outras partículas fundamen-

tais - os píons e múons. Uma revolução ainda maior aconteceuem 1932 com a descoberta da antimatéria - a existência de

antiprótons, antielétrons, antinêutrons etc. A essa altura os físicosde partículas não tinham mais certeza de quantas partículas dife-rentes existiam, mais pelo menos tinham certeza de que tais enti-dades eram fundamentais. Isso durou até a década de 1960, quan-

do surgiu a idéia do quark. O próton era aparentemente formadopor quarks com cargas fracionárias, e o mesmo acontecia com onêutron e o píon. Na próxima década até mesmo a idéia das partí-culas como objetos puntiformes pode ser substituída pela idéia departículas como cordas. A teoria é de que cordas com bilionésimo

de bilionésimo de bilionésimo de um bilionésimo do comprimen-to do metro (tão pequenas que parecem pontos) podem vibrar demodos diferentes, e cada vibração dá origem a uma partícula dife-rente. Isto é análogo à descoberta de Pitágoras de que a corda deuma lira pode dar origem a notas diferentes, dependendo de comoela vibra. A moral da história é que os físicos estão continuamentealterando sua imagem do universo, quando não apagando-a, e co-:-meçando tudo de novo.

O futurólogo e escritor de ficção científica Arthur C. Clarkeescreveu que, s.eum eminente professor declara que alguma coisaé uma verdade indubitável, então é provável que no dia seguinte sedescubra que ele estava errado. A prova científica é inevitavelmen-te mutável e inferior. Por outro lado, a prova matemática é absolutae destituída de dúvida. Pitágoras morreu confiante de que o conhe-cimento de seu teorema, que era verdade em 500 a.C., permanece-ria verdade pelo resto da eternidade.

A ciência funciona por um sistema semelhante ao da justiça.Uma teoria é considerada verdadeira se existem evidências sufici-

entes para apoiá-Ia "além de toda dúvida razoável". Por outro lado,a matemática não depende de evidências tiradas de experiênciassujeitas a falhas e sim construídas sobre lógica infalível. Isso é de-monstrado pelo problema do "tabuleiro de xadrez mutilado", ilus-trado na Figura 3.

Temos um tabuleiro de xadrez onde os lados opostos foramretirados de modo que restam apenas 62 quadrados. Agora pega-mos 31 dominós feitos de modo que cada dominá cobre exata-mente dois quadrados. A pergunta é: Será possível dispor os 31dominós de modo que eles cubram todos os 62 quadrados do ta-buleiro?

Existem duas abordagens para este problema:

(1) A abordagem científicaO cientista tentará resolver o problema através da experimentaçãoe depois de tentar algumas dúzias de arranjos vai descobrir que todoseles fracassam. Por fim, o cientista chegará à conclusão de queexistem evidências suficientes de que o tabuleiro não pode ser co-

44 o ÚLT(;\(O TEOREi\lA DE FER:\IAT ':-\CHO QUE VOU PARAR POR AQUI" 45

BI

. Os cantos extremos, retirados do tabuleiro de xadrez,eram qua-drados brancos. Portanto agora existem 32 quadrados pretos esomente 30 quadrados brancos.

. Cada dominá cobre dois quadrados vizinhos, e os quadrados vi-zinhos são sempre de cores diferentes, ou seja,um branco e umpreto. .

. Portanto, não imp()rta como coloquemos os dominás sobre otabuleiro, os primeiros 30 dominós deverão cobrir 30 quadra-dos pretos c 30 quadrados brancos.. Em cons~qüência disso, ficaremos sempre com um dominá edois quadrados pretos restantes.. Mas lembrem-se, todos os dominós cobrem dois quadrados vi- .

zinhos, e quadrados vizinhos são de cores opostas. Se os qua-drados remanescentes são da mesma cor, eles não podem sercobertos pelo dominó que restou. Portanto, é impossívelcobrirtodo o tabuleiro com os dominás!

(2) A abordagem matemáticaO matemático tenta resolver o problema desenvolvendo um argu-

mento lógico, o qual produzirá uma conclusão que será ao mesmotempo indubitavelmente correta e permanecerá assim para sem-pre. Um argumento desse tipo é o seguinte:

Esta demonstração prova que todos os arranjos possíveis de dominásnão conseguirão cobrir o tabuleiro mutilado. Do mesmo modo,Pitágoras construiu uma demonstração que mostra que todos ostriângulos retângulos possíveis irão obedecer ao seu teorema. ParaPitágoras a idéia da prova matemática era sagrada, e foi esse tipo.de demonstração que permitiu que a Irmandade descobrisse tantacoisa. A maioria das provas modernas são incrivelmente comple- .xas e seguem uma lógica inatingível para o homem comum. Feliz-mente, no caso do teorema de Pitágoras, o argumento é relativa-mente direto e depende apenas de matemática de nível ginasial. Suademonstração está delineada no Apêndice 1.

A prova, ou demonstração, de Pitágoras é irrefutável. Ela mos-tra que seu teorema é verdadeiro para cada triângulo retângulo douniverso. A descoberta foi considerada tão fabulosa que cem boisforam sacrificados num ato de gratidão para com os deuses. A des-coberta foi um marco na história da matemática e um dos saltos

mais importantes da história da civilização.Sua importância foidupla.Primeiro, desenvolveu a idéia da prova. Uma solução matemáticademonstrada era uma verdade mais profunda do que qualquer outra

Figura 3. O problema do tabuleiro de xadrez mutilado.

berto. Contudo, o cientista jamais terá certeza de que isto é verda-

de, porque pode existir algum arranjo ainda não testado que resol-verá o problema. Existem milhões de arranjos diferentes e só épossível explorar uma pequena fração deles. A conclusão de que atarefa é impossível é uma teoria baseada na experimentação, mas ocientista terá que viver com a hipótese de que um dia sua teoriapoderá ser derrubada.

46o ÚLTI;\IO TEOREI\IA DE FER~IAT

por ser o resultado de uma lógica encadeada, passo a passo. Em-bora o filósofo Tales já tivesse inventado algumas demonstrações

geométricas primitivas, Pitágoras levou a idéia muito mais adiantee foi capaz de provar idéias matemáticas muito mais engenhosas.A segunda conseqüência do teorema de Pitágoras é que ele liga ométodo matemático abstrato a alguma coisa tangível. Pitágorasdemonstrou que as verdades da matemática podem ser aplicadasao mundo científico, dando-lhe um fundamento lógico.A matemáticadá à ciência um princípio rigoroso, c sobre seus fundamentos in-falíveis os cientistas acrescentam suas medições imprecisas e suasobservações imperfeitas.

Uma Infinidade de Trios

AIrmandade Pitagórica revigorou a matemática com sua busca zelosa

pela verdade através da demonstração. As notícias de seu sucessose espalharam, e no entanto os detalhes de suas descobertas con-tinuaram um segredo guardado a sete chaves. Muitos pediram paraser admitidos neste círculo interno do conhecimento, mas somenteas mcntcs mais brilhantes eram aceitas. Um dos rejeitados foi umcandidato chamado Cilon. Cilon ficou furioso com sua humilhan-

te rejeição, e vinte anos depois ele se vingou.Durante a sexagésima sétima Olimpíada (510 a. C.) houve uma

revolta na cidade vizinha dc Síbaris. Telis, o líder vitorioso na re-volta, começou uma bárbara campanha de perseguição contra os

partidários do governo anterior, o que levou muitos deles a busca-rcm santuário em Crotona. Telis exigiu que os traidores fossemmandadosdc volta para rCl:cbcrcTll~Hlapunição cm Síbaris. MasMilo c Pitágoras convenceram os cidadãos de Crotona a enfrenta-rem o tirano e protegerem os refugiados. Telis ficou furioso e ime-diatamente reuniu um exército de 300 mil homens e marchou so-bre Crotona. Milo defendeu a cidade com 100mil cidadãos armados.

Dcpois dc setenta dias dc guerra, a liderança superior de Milo le-\'0\1-0à vitória, c, num ato de vingança, ele mudou o curso do rioCmli:\ :\11"11'~ih:\ri:\. jlllllHlatHioe lkstruindn a cidade.


"

Apesar do fim da guerra, a cidade de Crotona ainda estava to-mada pela agitação devido às discussões sobre o que deveria serfeito com os espólios da guerra. Temendo que as terras seriam dadaspara a elite pitagórica, o povo de Crotona começou a protestar. Jáhavia um certo ressentimento entre as massas porque a Irmanda-de continuava a ocultar suas descobertas, mas nada aconteceu atéque Cilon surgiu como o porta-voz do povo. Ele alimentou os te-mores, a paranóia e a inveja da multidão, liderando-a num ataquepara destruir a mais brilhante escola de matemática que o mundojá vira. A cas~ de Milo e a escola adjacente foram cercadas, todas asportas trancadas e bloqueadas para evitar que alguém escapasse, eentão o incêndio começou. Mito abriu caminho para fora das cha-mas e escapou, mas Pitágoras morreu com muitos dos seus discí-pulos.

A matemática tinha perdido seu primeiro grande herói, mas oespírito pitagórico permaneceu. Os números e suas verdades eramimortais. Pitágoras tinha demonstrado que, mais do que qualqueroutra disciplina, a matemática não é subjetiva. Seus discípulos nãoprecisavam de seu mestre para decidirem quanto àvalidade de umadeterminada teoria. A verdade era independente de opiniões. E aconstrução da lógica matemática se tornara o árbitro da verdade.Esta foi a maior contribuição de Pitágoras para a civilização - ummeio de conquistar uma verdade que está além das fraquezas dojulgamento humano.

Depois da morte de seu fundador e do ataque de Cilon, a Ir-mandade deixou Crotona e partiu para outras cidades da MagnaGrécia. Mas as perseguições continuaram e muitos membros ti-veram que se refugiar no estrangeiro. Esta emigração forçada en-corajou os pitagóricos a espalharem seu credo matemático pelomundo antigo. Os discípulos de Pitágoras estabeleceram novasescolas e ensinaram aos seus alunos os métodos da prova lógica.Além de ensinar.em sua prova do teorema de Pitágoras, eles tam-bém explicaram ao mundo o segredo de encontrar os trios pita-góricos.

Os trios pitagóricos são combinações de três números inteirosque se ajustam perfeitamente à equação de Pitágoras: Xl + yl = Zl.

48 o ÚI;rI:\!O TEORE:\IA DE FER:\L\T

Por exemplo, a equação de Pitágoras é verdadeira se x = 3,y = 4 ez = 5:

32 + 42 = SI 9 + 16 = 25.

Outro modode pensar nos trios pitagóricos é relacioná-Ios ao atode rearrumar quadrados. Se temos um quadrado de 3 x 3 feito de 9ladrilhos e um de 4 x 4 feito de 16ladrilhos, então os ladrilhos po-dem ser rearrumados para formarum quadrado de 5 x 5 feito de 25ladrilhos, como mostrado na Figura 4.

Os pitagóricosqueriam encontrar outros trios pitagóricos, ou-tros quadradosque pudessem ser somadospara formar um terceiroquadrado maior. Outro trio pitagórico é :x = 5,y = 12e z = 13:

5 2 + 122 = 132 25 + 144 = 169.

....~..+

32

9

4216

5225

=++ =

Figura 4. Podemos imaginar a busca de soluções com números in-teiros para a equação de Pitágoras como a busca de dois quadradosque possam ser somados para formar um terceiro quadrado. Por exem-plo, o quadrado feito de 9 ladrilhos pode ser somado ao quadradode 16 ladrilhos e rearrumado para formar um terceiro quadrado de25 ladrilhos.

'~CHO QUEvou PARARPORAQUI" 49

Um trio pitagórico maior é x = 99,y = 4.900e z = 4.901. Ostrios pitagóricos se tornam raros à medida que os números aumen-tam, e encontrá-Ios se torna cada vez mais difícil. Para descobrirtantos trios quanto possível, os pitagóricos inventaram um méto-do d,eencontrá-Ios e, ao fazê-Ia, também demonstraram que há umnúmero infinito deles.

Do Teorema de Pitágorasao Último Teorema de Fermat

O teorema de Pitágoras e sua infinidade de trios foram abordadosno livro O último problema, de E. 1: Bell, que despertou a atençãodo jovem Andrew Wiles. Embora a Irmandade tivesse conseguidoum entendimento quase completo dos trios pitagóricos, Wiles logodescobriria que a equação Xl + y2 = Z2,aparentemente inocente,tinha um lado negro. E o livro de Bell descrevia a existência de ummonstro matemático.

Na equação de Pitágoras os três números, x, y e z, são todoselevados ao quadrado (por exemplo, X2 = x Xx ):

X2 + y2 = Z2.

Contudo, o livrodescrevia uma equação parecida na qual x, y e zsãoelevadosao cubo (ou seja,x3 = x Xx x x). A potência de x naequaçãonão é mais 2 e sim 3:

X3+ y3 = Z3.

Encontrar números inteiros que solucionema equaçãooriginal,ouseja,os trios pitagóricos,é relativamentesimples, mas ao mudar apotênciade 2 para 3 (do quadrado para o cubo) e encontrar núme-ros inteiros que satisfaçam a equação cúbica parece impossível.Geraçõesde matemáticosnãoconseguiramencontrar números quese encaixassemperfeitamente na equa'çãoelevadaao cubo.

Na equação original, "quadrada", o desafio era rearrumar os

50 o ÚLTI;\IO TEOREi\1A DE FER:\IAT

ladrilhos de dois quadrados para formar um terceiro quadrado maior.Na versão "ao cubo" o desafio é rearrumar dois cubos, feitos de

tijolos, para formar um terceiro cubo, maior. Aparentemente nãoimporta que tipos de cubos sejam escolhidos como ponto de parti-da, quando eles são combinados o resultado ou é um cubo com-pleto com alguns tijolos sobrando, ou um cubo incompleto. O maispróximo que alguém já chegou de um arranjo perfeito foi aqueleem que sobra ou falta um tijolo. Por exemplo, se começarmos comos cubos de 63 (X3) e 83()'3) e rearrumarmos os tijolos, então che-

gamos perto de construir um cubo de 9 x 9 x 9, como mostrado naFigura 5.

Encontrar três números que se encaixem perfeitamente na

equação ao cubo parece impossível. Ou seja, dizemos que não hásoluções para números inteiros da equação

X3 + )'3 = Z3.

+

63216

83512

93-1729-1

=++ =

Figura 5,Será possíveljuntar os tijolos de dois cubos de modo a formarum terceiro cubo ainda maior? Neste caso um cubo de 6 x 6 x 6 so-mado ao cubo 8 x 8 x 8 não possui tijolos suficientes para criar umcubo de 9 x 9 x 9. Existem 216 w) tijolos no primeiro cubo e 512

(83)no segundo. O total é 728 tijolos, faltando, assim, um para com-pletar 9~.

':ACHO QUE VOU PARAR POR AQUI" 51

Além disso, se a potência for mudada de 3 (cubo) para qual-quer número mais alto n (ou seja, 4, 5, 6), então a descoberta deuma solução se torna igualmente impossível.Parecem não existirsoluções com números inteiros para a equação mais geral

X" + y" = Z" para n maior do que 2.

Ao meramente trocar o 2 da equação de Pitágoras por qualquernúmero maior, a busca por soluções para números inteiros deixade ser um problema relativamente simples e se torna um desafioimpossível. De fato, o grande matemático francês do século XVII,Pierre de Fermat, fez a espantosa afirmação de que não existiriamsoluções para esta equação.

Fermat foi um dos matemáticos mais brilhantes e intrigantesda história. Ele não poderia ter verificado a infinidade. de números,mas tinha certeza absoluta de que não existiam combinações de .

números inteiros capazes de solucionar a equação, com base emuma demonstração. Como Pitágoras, que não precisou checar to-tios os triângulos para demonstrar a validade de seu teorema, Fermatnão tinha que testar todos os números para mostrar a validade doseu teorema. O Último Teorema de Fermat, como é conhecido, de-clara que

x" + y" = z"I

não tem solução no campo dos números inteiros para 11maior doque 2.

Amedida que lia o livro de Bell, Wiles aprendia como Fermat setornara fascinado pelo trabalho de Pitágoras e passara a estudar aforma subvertida de sua equação. Depois ele leu como Fermat afir-mara que nenhum matemático em todo o mundo jamais conseguiriauma solução para a equação, mesmo que passasse toda a eternida-de procurando por ela. O menino deve ter folheado as páginas dolivro, queren.do examinar a prova do Último Teorema de Fermat.Mas a demonstração não estava lá. Não estava em parte alguma.

52 o ('I :J'DlO TEORE~I:\ DE FER~I:\T

Bell terminava o livro dizendo que a demonstração fora perdida hámuito tempo. Não havia nenhum indício de como poderia ter sido,nenhuma pista para a construção ou dedução da prova.Wiles se sentiufrustrado, intrigado e furioso. E não estava sozinho.

Durante mais de trezentos anos, muitos dos grandes matemá-ticos tentaram redescobrir a prova perdida de Fermat e fracassa-ram. E à medida que cada geração fracassava, a próxima se tornavacada vez mais frustrada e determinada. Em 1742, quase um século

depoi5 da morte de Fermat, o matemático suíço Leonhard Eulerpediu ao seu amigo Clêrot para que vistoriasse a casa de Fermat, àprocura de algum pedaço.de papel que pudesse ter restado. Masnenhum indício foi encontrado.

O Último Teorema de Fermat, um problema que fascinara osmatemáticos durante séculos, capturara a imaginação do jovemAndrew Wiles. Na biblioteca da rua Milton, o menino de dez anos

olhou para o mais célebre problema de matemática sem se sentirintimidado com o fato de que as mentes mais brilhantes do plane-ta não tinham conseguido redescobrir sua prova. O menino come-

çou a trabalhar imediatamente, usando todas as técnicas em seuslivros escolares, para tentar recriar a demonstração. Talvez ele pu-desse tropeçar em alguma coisa que todos os outros, exceto Fermat,tinham deixado passar despercebida. Wilcs sonhava em assombraro mundo.

Trinta anos depois Andrew Wiles encontrava-se no auditório doInstitUto Isaac Newton. Ele escrevia no quadro-negro, e então, pro-curando conter sua alegria, olhava para a platéia. A palestra estava

che~ando ao clímax e a audiência sabia disso. Uma ou duas pes-soas tinham conseguido trazer câmeras escondidas e agora flashesmarcavam as observações finais.

Com o giz na mão, Wiles virou-se para o quadro pela última vez.

Algumas linhas finais de lógica completaram a prova. Pela primei-ra vez,em mais de três séculos, o desafio de Fermat fora vencido.Houve mais alguns clarões de flashes tentando captar o momentohiglórico. Wiles terminou, virou-se para a audiência e disse commodéstia: "Acho que vou parar por aqui."

Duzentos matemáticos bateram palmas celebrando o aconte-

'i\CIIOQUE VOU PARARPOR AQUI"

cimento. Mesmo aqueles que tinham previsto o resultado sorriamincrédulos. Depois de três décadas Andrew Wiles acreditava terconquistado seu sonho, e após passar sete anos em isolamento ti-nha revelado seus cálculos secretos. Enquanto um clima de eufo-ria tomava conta do Instituto Newton, todos percebiam que a de-monstração ainda teria que ser verificada rigorosamente por umaequipe independente de juízes. Contudo, Wiles desfrutava do' seumomento de glória e ninguém poderia prever a controvérsia que oaguardava nos próximos meses.

53

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- n.".-.:. _. '. 2........ ......

o Criador de Enigmas~ --

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"Você sabe", admitiu o Diabo, "nem mesmo os melhoresmatemáticos de outros planetas, todos muito mais avançadosque o seu, conseguiram resolvê-Io.Tem um sujeito em Saturno,ele parece um cogumelo sobre pernas de pau, que resolvementalmente equações diferenciais parciais, e mesmo eledesistiu."

--

. -Arthur Poges em "O Diabo e Simon Flagg" -,

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Pierre de Fermat

Pierre de Fermat nasceu em 20 de agosto de 1601, na cidade deBeaumont-de-Lomagne, no sudoeste da França. Seu pai, DominiqueFermat, era um rico mercador de peles, e assim Pierre teve a sortede receber uma educação privilegiada no monastério franciscanode Grandselve, seguido por uma passagem pela Universidade deToulouse. Não há nenhum registro de que o jovem Fermat mos-trasse qualquer talento especial para a matemática.

As pressões de sua família levaram Fermat para o serviço pú-blico,e em 1631ele foinomeadoconseillerauParlementde 7bulouse,conselheiro na Câmara de Requerimentos. Se algum cidadão localquisesse fazer um requerimento -ao Rei, sobre qualquer assunto,primeiro ele tinha que convencer Fermat e seus colegas da impor-

56. o ÚLTI~IO TEORE~IA DE FER:\IAT o CRIADOR DE ENIGMAS

tância do pedido. Os conselheiros formavam um elo vital entre aprovíncia e Paris. Além de servirem de intermediários entre a po-pulação c o monarca, os conselheiros também tomavam providên-cias para que os decretos reais fossem implementados nas váriasregiões. Fermat foi um servidor público eficiente, e todos os rela-tos dizem que ele realizava seu trabalho de modo atencioso e com-passIvo.

As tarefas adicionais de Fermat incluíam prestar serviço comojuiz e ele era suficientemente graduado para lidar com os casos maisgraves. Um registro de sua atuação é dado pelo matemático inglêsSi,. KencIm Digby. Digby tinha solicitado um encontro com Fcrmat,mas em uma carta para seu colega,John Wallis,ele revelaque o francêsestivera ocupado com questões do judiciário, que eliminavam apossibilidade do encontro:

vários colegas. Mas logodepois se corrigiu numa carta para o ho-landês Nicholas Heinsius:

Eu o informei anteriormente da morte de Fermat. Ele ainda

está vivoe não tememos mais por sua saúde, muito emborajáo considerássemos morto há pouco tempo. Apragajá passoupor aqUI.

É verdade que eu tinha escolhido a data da mudança dos juízesde Castres para Toulouse, onde ele (Fermat) é o Juiz Supre-mo na Corte Soberana do Parlamento. E desde então ele tem

estado ocupado com casos da maior importância, e acabou de

lavrar uma sentença que causou grande comoção, mandandoqueimar na fogueira um sacerdote que abusou de suas fun-ções. Esse julgamento acaba de terminar e o condenado foiexecutado.

Além dos perigos para a saúde na França do século XVII, Fermat

tinha que sobreyiver aos riscos da política. Sua nomeação para oParlamento de Toulouse tinha sido três anos depois do CardeàlRichelieu ser apontado primeiro-ministro da França. Aquela era umaépoca de intrigas e tramas e todos os que estavam envolvidos nogoverno, mesmo no governo da província, tinham que tomar cui-dado para não serem envolvidosnas maquinações do cardeal. Fermatadotou a estratégia de cumprir com suas obrigações de modo efi-ciente, mas sem chamar a atenção para si mesmo. Ele não tinhagrandes ambições políticas e fez o melhor que podia para evitar asdisputas do Parlamento. Fermat dedicava toda a energia que lhesobrava à matemática e, quando não estava mandando sacerdotespara a fogueira, ele cuidava do seu hobby. Fermat era um verdadei-ro.estudioso amador, um homem que E. T. Bell chamou de "Prín-cipe dos Amadores". Mas era tão talentoso que, quando JulianCoolidge escreveu sua Matemática dos grandes amadores, ele ex-cluiu Fermat, dizendo que" fora tão grande que devia ser conside-rado profissional".

No começo do século XVII, a matemática ainda se recuperavada Idade das Trevas e não era um assunto muito respeitado. Osmatemáticos não tinham muito prestígio e a maioria tivera quecustear seus próprios estudos. Por exemplo, Galileu foi incapaz deestudar matemática na Universidade de Pisa e teve que buscar umprofessor particular. De fato, a única instituição na Europa queencorajava o estudo da matemática era a Universidade de Oxford,que criaria uma Cadeira Saviliana de Geometria em 1619. Portan-to, de certo modo, é verdade dizer que a maioria dos matemáticosdo século XVII eram amadores, mas Fermat era um caso extremo.

Fermat se correspondia regularmente com Digby eWallis.Mais tardeveremos que essas cartas freqüentemente não eram muito amigá-veis, mas elas fornecem indícios vitais sobre avida diária de Fermat,incluindo seu trabalho acadêmico.

Fennat teve uma ascensão rápida em sua carreira de servidorpúblico e logo se tornou membro da elite, o que lhe permitia usaro de como parte de seu nome. Sua promoção não foi necessaria-mente o resultado de ambição e sim uma questão de saúde. A pra-ga estava devastando a Europa e aqueles que sobreviviam à doençaeram promovidos para ocupar os lugares dos que tinham morrido.Mesmo Fermat ficou seriamente doente em 1652 e piorou tantoque seu amigo Bernard Medon chegou a anunciar sua morte para

57

III

, I

S8 o ÚLTIJ\IO TEOREJ\IA DE FERJ\L\T

Vivendolonge de Paris, ele estava isolado da pequena comunidadede matemáticos que existia na capital, a qual incluía nomes comoPascal, Gassendi, Roberval, Beaugrand e principalmente o padreMarin Mersenne.

Embora padre Mersenne tenha sido responsável por poucosavanços nesta ciência, ele desempenhou um grande papel na ma-temática do século XVII. Depois de entrar para a ordem Mínima,em 1611, Mersenne estudou matemática e depois deu aulas paraoutros mongcs c freiras no convento Mínimo em Ncvers. Oito anosdepois ele se mudou para Paris, juntando-se à ordem Mínima del'Annociade, perto do palácio real, um ponto de encontro dos inte-lectuais. Mersenne encontrou-se com outros matemáticos mas fi-

cou desapontado com a relutância em falar com ele ou mesmo tro-carem idéias entre si.

A natureza reservada dos matemáticos parisienses era uma tra-dição que chegara a eles a partir dos cosistas do século XVI. Oscosistas eram especialistas em cálculos de todos os tipos, freqüen-temente contratados por homens de negócios e comerciantes pararesolver complicados problemas de contabilidade. Seu nome de-riva da palavra italiana cosa, que significa "coisa", porque eles usa-vam símbolos para representar quantidades desconhecidas, domesmo modo como os ma:temáticos usam o x hoje em dia. Todosesses calculistas profissionais inventavam seus métodos para fa-zer cálculos, fazendo todo o possível para mantê-los secretos demodo a proteger sua reputação de serem os únicos capazes deresolver certos problemas. Esta natureza sigilosa da matemáticacontinuou até o fim do século XIX e, como veremos depois, exis-tem até me~mlOcxcmplos de gênios secretos trabalhando no sé-culo xx.

Quando padre Mcrsenne chegou em Paris, ele estava deter-minado a lutar contra este costume de sigilo e tentou encorajaros matemáticos a trocarem idéias, aperfeiçoando os trabalhos unsdos outros. O monge organizou encontros regulares e seu grupodepois formou o núclco do que seria aAcademia Francesa. Quandoa19uérn se recusava a comparecer, Mersenne contava ao grupo oquc podia sobre o trabalho da pessoa em questão, divulgando in-

o CRIADOR DE ENIGMAS 59

clusive cartas e documentos, mesmo que tivessem sido enviadas \

para ele com pedido de sigilo. Este não era um comportamento I

ético para um homem do clero, mas ele justificava dizendo que atroca de informações beneficiaria a humanidade e a matemática.Tais atos de indiscrição causaram vários desentendimentos en-

tre o gentil monge e as taciturnas prima donnas, acabando pordestruir a amizade de Mersenne com Descartes, um relaciona-

mento que durava desde que os dois tinham estudado juntos nocolégio jesuíta de La Fleche. Mersenne revelou escritos filosófi-

cos de Des.cartes que poderiam ofender a Igreja, mas para seucrédito ele -defendeu Descartes dos ataques teológicos, como jáfizera no caso de Galileu.

Mersenne viajou pela França e pelo exterior divulgando as últi-mas descobertas. Em suas viagens ele tentou se encontrar com Pierrede Fermat e acabou se tornando o último contato de Fermat com

outros matemáticos. A influência de Mersenne sobre o Príncipe dosAmadores deve ter sido significativa, e sempre que estava impos-sibilitado de viajar o padre mantinha sua amizade com Fermat e os

outros escrevendo muito. Depois da morte de Mersenne, seu quartofoi encontrado atulhado de cartas enviadas por setenta e oito cor-

respondentes diferentes. IApesar dos esforços do padre Mersenne, Fermat se recusava a - I

revelarsuas demonstrações.A publicação e o reconhecimento pú- !

blico nada significavampara ele. Fermat ficavaplenamente satis- I

feito em criar novos teoremas sem ser perturbado. Contudo, o gê-nio tímido e retraído tinha um toque travesso, o qual, combinadocom o sigilo, levava-o a comunicar-se com outros matemáticosunicamente para zombar deles. Fermat escrevia cartas enuncian-

do seu mais recente teorema, sem fornecer a demonstração. De-pois desafiava seus contemporâneos a encontrarem a prova do seuteorema. E o fato de que ele nunca revelava suas próprias provascausou muita frustração. René Descartes chamou Fermat de "fan-

farrão", enquanto o inglês John Wallis se referia a ele como "aque-le maldito francês". Infelizmente, para o inglês, Fermat parecia terum prazer especial em se divertir com seus primos do outro ladodo canal.

60 o (q :rJ:\IO TEORE:\\,\ DE FER:\\;\T

Além de ~ostar de aborrecer os seus colegas, o hábito deFermat de enunciar um problema e depois esconder a solução

tinha motivações mais práticas. Primeiro, significava que ele nãoteria que perder tempo descnvolvendo completamente os seusmétodos, podendo prosseguir diretamente para sua próxima con-quista. Além disso, ele não tinha que sofrer com críticas invejo-sas. As demonstrações, quando publicadas, seriam examinadas

e avaliadas por todos aqueles que julgavam conhecer alguma coisado assunto. Quando Blaise Pascal o pressionou para que publicasse

alguns de seus trabalhos, o recluso respondeu: "Eu não queroque meu nome apareça em qualquer trabalho meu que seja consi-derado digno de ser publicado." Fermat era o gênio retraído, quesacrificava a fama de modo a não ser distraído por picuinhas comseus críticos.

Essa troea de cartas com Paseal foi aÚnicaocasião em que Fermatdiscutiu idéias com outra pessoa que não Mersenne, sobre a cria-

ção de um novo ramo da matemática, a teoria da probabilidade. Oeremita'matemático ficou conhecendo o assunto através de Pascal,

e assim, apesar do seu desejo de isolamento, ele se sentiu obriga-do a manter o diálogo. Juntos, Fermat e Pascal descobririam as

primeiras provas e certezas da teoria da probabilidade, um assun-to intrinsecamente incerto. O interesse de Pascal fora despertado

por um jogador profissional parisiense, Antoine Gombaud, o Ca-valheiro de Méré, que lhe apresentou um problema relacionado com

um jogo de azar chamado pOlitos .O jogo envolveganhar pontos numjogo de dados, onde o primeiro jogador a acumular certo nÚmerode pontos é o vencedor e leva o dinheiro.

Gombaud estivera jogando com um colega quando foi forçadoa sair devido a um compromisso urgente. Surgiu então a questão

do que fazer com o dinheiro. A solução mais simples seria dar todoo dinheiro para o jogador com mais pontos, mas Gombaud perguntoua Pascal se havia um modo mais justo de dividir o dinheiro. Pascaldeveria calcular a probabilidade que cada jogador teria de vencer

se o jogo tivesse continuado e presumindo-se que ambos os joga-dores tivessem chances iguais. O dinheiro envolvido seria entãodi,idido de acordo com essas probabilidades calculadas.

o CRIADOR DE ENIGMAS

Antes do século XVII as leis da probabilidade eram definidaspela intuição e a experiência dos jogadores. Pascal começou uma

. troca de correspondência com Fermat com o objetivode descobriras lcis matemáticas que mais precisamente descrevessem as leisdo acaso. Três séculos depois Bertrand Russell iria comentar estaaparente contradição: "Como podemos falar em leis do acaso? Nãoseria o acaso a antítese de toda lei?" .

O francês analisou a pergunta de Gombaud e logo percebeu quese tratava de um problema relativamente simples. Ele poderia serresolvido def.inindo-se, rigorosamente, todos os resultados possí-veis do jogo e estabelecendo-se para cada um uma probabilidade.Pascal e Fermat eram capazes de resolver independentemente oproblema de Gombaud, mas sua colaboração apressou a descobertade uma solução e os levou a uma exploração mais profunda de ou-tras questões mais sutis e sofisticadas, relacionadas com a proba-bilidade.

Os problemas da probabilidade às vezes provocam contro-vérsias porque a resposta matemática, a verdadeira resposta, éfreqüentemente contrária ao que a intuição poderia sugerir. Ofracasso da intuição é talvez surpreendente, porque a "sobrevi-vência do mais apto" deveria produzir uma forte pressão evolutivaa favor de um cérebro naturalmente capaz de analisar os pro-blemas da probabilidade. Podemos imaginar nossos ancestraisseguindo a trilha de um jovem cervo e pesando as probabilida-des de um ataque bem-sucedido. Qual seria a chance do animaladulto estar por perto, pronto a defender o seu filhote ferindo oatacante? Ou, por outro lado, qual seria a chance de surgir umapresa mais fácil se esta for considerada muito arriscada? Umtalento para analisar as probabilidades deveria ser parte de nossaestrutura genética, e no entanto, freqüentemente, a intuição nosengana.

Um dos maiores problemas de probabilidade contra-intuitivaé a chance de partilhar com outra pessoa o mesmo dia de aniversá-rio~Imagine-se um campo de futebol com 23 pessoas, dois timesde 11jogadores e o juiz. Qual é a probabilidade de que duas dessas23 pessoas façam aniversário no mesmo dia? Com 365 dias para

61

. \I

I

II\IIII

\

62 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERl\IAT

escolher e apenas 23 pessoas, parece altamente improvável que duasdelas tenham o mesmo dia de aniversário.

A maioria das pessoas calcularia a chance disso acontecer emtorno dos 10%. De fato, a resposta correta é um pouco maior doque 50%- ou seja, na balança das probabilidades, é mais prová-vel que duas pessoas naquele campo façam aniversário no mes-mo dia.

A razão para esta probabilidade alta é que o número de pes-soas envolvidas não importa tanto, o que vale é o número de paresque se pode fazer com essas pessoas. Quando buscamos um ani-versário compartilhado, estamos procurando parcs de pessoas,não indivíduos. Embora existam apenas 23 pessoas no campo,com elas podcmos formar 253 duplas difercntes. Por exemplo,a primeira pessoa pode formar uma dupla com qualquer umadas outras 22 pessoas, dando 22 duplas para começar. Então osegundo indivíduo pode formar dupla com os restantes 21 Uácontamos o par formado pela primeira pessoa com a segunda,de modo que o número de duplas possíveis é reduzido em umaunidade). Temos então mais 21 duplas. Depois a terceira pes-soa pode formar duplas com qualquer um dos 20 restantes, soman-do mais 20 pares possíveis, e assim por diante, até chegarmos a253 duplas.

Ainda restam outras etapas para se calcular aprobabilidade exata,mas com 253 pares e 365 dias de aniversário possíveis não nos pa-rece mais tão improvável encontrar dois indivíduos nascidos nomesmo dia. De fato a probabilidade de se compartilhar o aniversá-rio com alguém num grupo de 23 pessoas é exatamente 50,7%. Istoparece intuitivamente errado, e no entanto a matemática é impe-cável. Jogadores e agenciadores de apostas contam com essas pro-babilidades estranhas para explorar os incautos.

Fermat e Paseal determinaram as regras essenciais que go-vernam todos os jogos de azar e que podem ser usadas pelos joga-dores para estabelecerem melhores estratégias e jogadas perfeitas.Além disso, as leis da probabilidade encontraram aplicações emuma série de situações, das especulações no mercado de açõesà estimativa da possibilidade de ocorrer um acidente nuclear.


I

Pascal estava até mesmo convencido de que poderia usar s,

teorias para justificar a crença em Deus. Ele declarou quelempolgação que um jogador sente quando faz uma aposta, é ig]à quantia que ele pode ganhar multiplicado pela probabilid~de obtê-Ia". Ele então argumentou que o prêmio de uma; feli

ldade eterna tem um valor infinito e que a probabilidade deentrar na céu, levando-se .uma vida virtuosa, não importa q~pequena, é certamente finita. Portanto, de acordo com'a defi~ção de Pascal, a religião é um jogo de entusiasmo infinito, e lijogo que vale a pena jogar, porque se multiplicarmos um

~

.

mio infinito por uma probabilidade finita, teremos o infinito coresultado.

Além de ser um dos autores da teoria da probabilidade,Feresteve profundamente envolvido na criação de outro campo

1

matemática, o cálculo. Cálculo é a capacidade de se calcular

taxa com que uma quantidade (chamada de derivada) muda erelação à outra. Por exemplo, a taxa com que a distância muem relação ao tempo é conhecida, simplesmente, como velocdade. Para os matemáticos, as quantidades tendem a ser coisabstratas e intangíveis, mas as conseqüências do trabalho cFermat revolucionariam a ciência. A matemática de Fermat pemitiu que os cientistas entendessem melhor o conceito de VIlocidade e sua relação com outras quantidades fundamentais coma aceleração - a proporção com que a velocidade varia comtempo.

Durante séculos se acreditou que Isaac Newton tinha inventado o cálculo independentemente e sem conhecimento do trabalhl

de Fermat. Mas então, em 1934, Louis Trenchard Moore desco~

briu uma nota que decidiu a questão e deu a Fermat o crédito qU1ele merece. Newton escreveu que tinha desenvolvido seu cálcul,

baseado no "método de 11lo1lsieurFermat para estabelecer tangentes". Desde o século XVIIo cálculo tem sido usado para descrevea lei da gravidade de Newton e suas leis da mecânica, que depenclem de distância, velocidade e aceleração.

O desenvolvimento do cálculo e da teoria da probabilidade de

veria ser mais do que suficiente para da~a Fermat um lugar na galerij

64 o ÚLTIMO TEOREilL.\DE FElnIAT

de honra da matemática. Mas suas maiores realizações foram em

outro campo da matemática. Embora o cálculo tenha sido usadopara enviar foguetes para a Lua e a teoria da probabilidade seja usadapelas companhias de seguros na avaliação dos riscos, a grande pai-xão de Fermat era por um assunto geralmente inútil- a teoria dosnúmeros. Fermat era obcecado em entender as propriedades e re-

lações entre os números. Esta é a forma mais pura e antiga dematemática, e Fermat estava ampliando um conhecimento que lhe

fora legado por Pitágoras.

A Evolução da Teoria dos Números

Depoisda morte de Pitágoras, a idéia da demonstração matemá-tica se espalhou rapidamente pelo mundo civilizado. Dois sécu-los depois do incêndio de sua escola, o centro do estudo da mate-mática tinha se mudado de Crotona para a cidade de Alexandria.No ano0332 a.C., depois de conquistar a Grécia, a Ásia Menor e oEgito, Alexandre, o Grande, decidiu construir uma capital que seriaa cidade mais imponente do mundo. Alexandria foi de fato umametrópole espetacular, mas só depois se tornaria um centro deestudos. Somente quando Alexandre morreu e Ptolomeu I subiuao trono do Egito é que Alexandria se tornou o lar da primeirauniversidade do mundo. Matemáticos e outros intelectuais emi-

graram para a cidade e, embora eles fossem certamente atraídospela reputação da universidade, a atração principal era a Biblio-teca de Alexandria.

A Biblioteca fora idéia de Demétrio Falem, um orador impo-

pular, que fora forçado a deixar Atenas e acabou encontrando asiloem Alexandria. Ele convenceu Ptolomeu a reunir todos os gran-

des livros, assegurando-lhe que as grandes mentes viriam atrásdeles. Depois que os volumes do Egito e da Grécia estavam colo-cados na Biblioteca, agentes vasculharam a Europa e a Ásia Me-nor em bm~cade outros volumes de conhecimentos. Até mesmo

Ogviajantes que chegavam cm Alcxandria não escapavam do ape-tite voraz da Biblioteca. Quando chegavam na cidade, seus livros


,

eram confiscados e levados para os escribas. Os livros eram copiados Ide modo que, enquanto o original ia para o acervo da Biblioteca, Iuma duplicata era dada ao dono. Esse meticuloso serviço de du-plicação para viajantes dá aos historiadores de hoje a esperançade que algum grande texto perdido vá aparecer um dia em algumlugar do mundo, no sótão de uma casa. Em 1906, J. L. Heibergdescobriu um manuscrito assim em Constantinopla. Trataya-sede O método, volume contendo alguns dos escritos originais deArquimedes.

O sonho de Ptolomeu, de criar uma casa do conhecimento,

sobreviveu 'à sua morte. Depois que outros Ptolomeus ascenderamao trono do Egito, a Biblioteca continha cerca de 600 mil livros. Osmatemáticos podiam absorver todo o conhecimento do mundoestudando em Alexandria. E lá, para ensiná-Ios, estavam os maisfamosos professores. O primeiro diretor do departamento de ma-temática foi ninguém menos do que Euclides. I

Euclides nasceu no ano 330 a.C. Como Pitágoras, ele acredita- 'va na busca pela verdade matemática pura e não buscava aplica-ções para o seu trabalho. Uma história fala de um estudante queindagou ao mestre sobre a utilidade da matemática que estava apren-dendo. Depois de terminar a aula, Euclides virou-se para seu es-cravo e disse: "Dê uma moeda ao rapaz, já que ele deseja ter lucroscom tudo o que aprende." E depois o estudante foi expulso.

Euclides dedicou boa parte de sua vida ao trabalho de escrever' Ios Elementos, o livro-texto mais bem-sucedido de toda a história. 'Até este século tratava-se do segundo maior best seller mundialdepois da Bíblia. Os Elementos consistem em treze livros, algunsdedicados aos trabalhos do próprio Euclides, e os demais sendo umacompilação do conhecimento matemático de sua época, incluindodois volumes dedicados inteiramente aos trabalhos da Irmandade

Pitagórica. Nos séculos a partir de Pitágoras, os matemáticos tinhaminventado uma grande variedade de técnicas lógicas que podiam'ser aplicadas em diferentes circunstâncias. E Euclides habilidosa-mente as usou todas nos Elementos. Em particular, ele explorouuma arma lógica conhecida como reductio ad absurdum, ou provapor contradição.

66 () ÚLTIMO I'EOREl\IA DE FERMAT O CRIADOR DE ENIGMAS 61

Sua abordagem envolvea idéia perversa de provar que um teoremaé verdadeiro, presumindo primeiro que ele seja falso. O matemáti-coentão explora as conseqüências lógicas do teorema ser falso. Emalgum ponto ao longo da seqüência lógica existe uma contradição(por exemplo, 2 + 2 = 5). A matemática abomina a contradição e,portanto, o teorema original não pode ser falso, ou seja, ele deveser verdadeiro.

O matemático inglês G. H. Hardy resumiu o espírito da redu-ção ao absurdo em seu livroApologia do matemático: "Reductio adabsurdum, que Euc1ides amava tanto, é uma das melhores armasdo matemático. É um desafio muito melhor do que qualquer jogode xadrez. O jogador de xadrez pode oferecer o sacrifício de umpeão ou de uma peça mais importante, mas o matemático ofereceo jogo inteiro."

Uma das mais famosas provas de Euc1ides, por redução ao ab-surdo, estabelece a existência dos chamados números irracionais.Suspeita-se de que os números irracionais teriam sido descober-tos pela Irmandade Pitagórica séculos antes, mas a idéia era tão re-pugnante para Pitágoras que ele negou sua existência.

Quando Pitágorasafirmava que o universo é governado pornúmeros, ele se referia a números inteiros e proporções entre nú-meros inteiros (frações), tudo isto conhecido como números ra-cionais. Um número irracional é um número que não é nem in-teiro nem fração c isso é o que o tornava tão horrível para Pitágoras.De fato, os números irracionais são tão estranhos que não podemser escritos nem como decimais. Um decimal recorrente como

0,111111... é, de fato, um número equivalente à fração ~.O fatode que o algarismo 1 se repete para sempre significa que o deci-mal tem um padrão muito simples e regular. Esta regularidade,embora continue pelo infinito, significa que o decimal pode serreescrito como uma fração. Mas, se você tentar expressar um nú-mero irracional como decimal, vai terminar com uma fileira infi-nita de algarismos que não possuem padrão regular ou consis-tente.

A idéia dos números irracionais foi um tremendo avanço. Osmatemáticos olhavam além dos números inteiros e frações e des-

cobriam, ou talvez inventavam,novos números. O matemático dqséculo XIX, Leopold Kronecker, disse: "Deus fez os números in~teiros, todo o resto é obra do homem."

O mais famoso dos números irracionais é 1t. Nas escolas sevaloré às vezes aproximadopara 3 T, ou 3,14.Contudo, o valorverdadeiro de 1testá próximo de 3,14159265358979323846, mas mes

mo isso é apenas uma aproximação. De fato, 1t nunca poderá seescrito com exatidão porque a carreira de decimais se prolonga par

~

1

sempre sem apresentar qualquer padrão. Uma bonita característica dessa.estrutura desordenada é que ela pode ser calculada usando-se uma equação que é extremamente regular:

1t =4(!_.!. +.!._.!.+.!.-~+J.-_J.-+ .

).

1 3 5 7 9 11' 13 15 ..

Ao calcular os primeiros termos, você pode obter um valor bemaproximado de 1t,mas, se calcular mais termos, um valor cada vezmais preciso é obtido. Embora o valor de 1t até 39 casas decimaisseja suficiente para calcular a circunferência do universo com uma

precisão equivalente ao raio do átomo de hidrogênio, isso não evi:-tou que cientistas, usando computadores, tentassem calcular 1t com.o maior número possível de casas decimais. O recorde atual foi

estabelecido por Yasumasa Kanada, da Universidade de Tóquio, quecalculou 1t até seis bilhões de casas decimais, em 1996. Rumoresrecentes dão conta de que os irmãos Chudnovsky, russos radicadosem Nova York, teriam calculado 1t para oito bilhões de casas deci-mais e estariam tentando chegar a um trilhão de casas decimais.Contudo, mesmo se Kanada ou os irmãos Chudnovsky continuas-

Isem a calcular, até seus computadores esgotarem toda a energia

do universo, ainda não encontrariam o valor exato de 1t.É fácil per-Iceber por que Pitágoras conspirou para manter oculta a existência

dessas bestas matemáticas. I

Quando Euc1ides se atreveu a confrontar a questão da I

irracionalidade, no décimo livrodosE/ementas, seu objetivo era provar

I

que podem existir números incapazes de serem escritos como fra-

68 o ÚLTIMO TEOREMA DE FER~IATo CRIADOR DE ENIGIVIAS

ções. No lugar de tentar provar que 1té irracional, ele examinou araiz quadrada de dois, fi - ou seja, o número que multiplicadopor si mesmo é igual a dois. De modo a provar que .J2 não pode serescrita como uma fração, Euelides usou o método da reductio adabsurdu11le começou presumindo que o número poderia ser es-crito como fração. Ele então demonstrou que esta fração hipotéti-ca poderia ser simplificada. (Simplificar uma fração significa, por

exemplo, que a fração ~, pode ser simplificada para ~, dividindo-se os números de cim~2e dc baixo por 2. Por sua vez, ! pode serfi

simplificada para ~, que não pode mais ser simplifieada e, portan-3to, se diz que a fração se encontra em sua forma mais simples.)Euclides demonstrou então que sua fração simplificada, que aindarepresentaria .J2. poderia ser simplificada não apenas mais umavez, mas um infinito número de vezes sem jamais ser reduzida àsua forma mais simples. Isto é absurdo porque todas as frações devemter a sua forma mais simples e, portanto, esta fração hipotética nãopode existir. Portanto, .J2 não 'pode ser escrita como fração e é umnúmero irracional. Uma visão mais detalhada da demonstração deEuclides pode ser vista no Apêndice 2.

Ao usar a prova da contradição, Euelides foi capaz de provar aexistência dos númcros irracionais. Pela primeira vez os númerosadquiriam uma qualidade nova e mais abstrata. Até este ponto dahistória todos os números poderiam ser expressos como númerosinteiros ou como frações, mas Osnúmeros irracionais dc Euc1idesdesafiavam a representação na maneira tradicional. Não existe modode descrever o número igual à raiz quadrada de dois exceto expres-sando-o como.J2, porque ele não pode ser escrito como fração, equalquer tentativa de escrevê-Io como decimal resulta em uma apro-ximação, por exemplo, 1,414213562373...

Para Pitágoras a beleza da matemática era a idéia de que osnúmeros racionais (frações e números inteiros) poderiam explicartodos os fenômenos naturais. Esta filosofia cegou Pitágoras para aexistência dos números irracionais e pode até mesmo ter levado àexccução de um de seus alunos. Uma história afirma que um jo-"cm estudante, chamado Hipaso, estava brincando com a fi , ten-

tando encontrar uma fração equivalente. Até que ele percebeu quetal fração não existia, ou seja, era um número irracional. Hipasodeve ter ficado entusiasmado com sua descoberta, mas seu mestrenão gostou nem um pouco. Pitágoras tinha definido o universo emtermos de números racionais e a existência de números irracionais

questionava seu ideal. A descoberta de Hipaso deveria ter produ-zido um período de debates e contemplação durante o qual Pitágoraspassaria a aceitar esta nova fonte de números. Mas o mestre não'

aceitou a idéia de que pudesse estar errado e ao mesmo tempo foiincapaz de destruir a argumentação de Hipaso pela lógica. Para suaeterna vergonha, Pitágoras sentenciou Hipaso à morte por afoga-mento.

O pai da lógica e do método matemático recorreu à força paranão admitir que estava errado. A negação de Pitágoras aos núme-ros irracionais foi seu ato mais vergonhoso e talvez a pior tragédiada matemática grega. Só depois de sua morte foi que a idéia dosirracionais pôde ser retomada em segurança.

Embora Euelides estivesse claramente interessado na teoria

dos números, ela não foi sua maior contribuição para a matemá-tica. A verdadeira paixão de Euclides era a geometria, e dos trezevolumes que formam seus Elementos os Livros de I a VI concen-tram-se na geometria plana (bidimensional) e os Livros de XI aoXIII lidam com a geometria dos sólidos (tridimensional). Com umconhecimento tão completo, os Elementos foram a base do ensi-

. no da geometria nas escolas e universidades durante os dois milanos seguintes.

O matemático que escreveu um livro equivalente, sobre a teoriados números, foi Diofante de Alexandria, o último herói da tra-dição matemática grega. Embora as realizações de Diofante nateoria dos números estejam bem documentadas, quase nada seconhece sobre este matemático formidável. Seu lugar de nasci-mento é desconhecido e sua chegada a Alexandria pode ter sidoem qualquer ano de um período de cinco séculos. Em seus es-

critos Diofante cita Hipsicles, logo deve ter vivido depois de 150a.C. Por outro lado, seu trabalho é citado por Teon de Alexandria,portanto Diofante deve ter vivido antes do ano 364 de nossa era.

69

I. I

IIII,I

o CRIADORDE ENIGMAS 71

J ) J () 11 r -1i\N r r~ IALEXANDRINI

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U ma data em torno do ano 250 é geralmente aceita como sendo,a estimativa mais provável. De acordo com a memória de umresolvedor de problemas, o único detalhe sobre avida de Diofanteque restou foi um enigma, que dizem ter sido gravado na lápidede seu túmulo:

~ 1 :-'~

., .' ;

Deus lhe concedeu a graça de ser um menino pela sexta par-,te de sua vida. Depois, por um doze avos, ele cobriu seu rosto'com a barba. A luz do casamento iluminou-o após a sétima

parte c:cinco anos depois do casamento Ele concedeu-lhe umfilho. Ah! criança tardia e má, depois de viver metade da vidade seu pai o destino frio a levou. Após consolar sua mágoa emsua ciência dos números, por quatro anos, Diofante terminousua vida.

L IB RI S E X ./. I li E R.. v N V S.

:N:!!.1It,rim;"" Crl«( (J' i...l;"i IJI/i, AlqutA!j.l.tiÇi"'"C._IIIAnu ;:"jh-A//.

"'.. C 1 O 1\~ t L , \. :1 I n (!.\ Sr \ "i 11AC Ji [ , t,>I r Z I "' I A C o 111.' I ,\ N O.., Ç.

o desafioé calcularquanto tempo Diofanteviveu.A resposta podeser encontrada no Apêndice 3.

Este enigma é um exemplo do tipo de problema que Diofanteapreciava.Ele gostavade resolver questões que exigiam soluçõescomnúmeros inteiros, e hoje tais problemas são conhecidos comoproblemas de Diofante. Sua carreira foi passada em Alexandria,onde ele reunia problemas bem conhecidos e inventava novos. .

Depois reuniu tudo em seu tratado, intitulado An'tmética. Dos

treze volumes que formavam aAn'tmética de Diofante, somente Iscis sobreviveramao tumulto da Idade das Trevase inspiraram'matemáticos da Renascença, incluindo Pierre de Fermat. Osoutros sete livros foram perdidos numa série de acontecimentostrágicos que enviaram a matemática de volta para a era babilô-DIca.

Durante os séculos entre Euc1idese Diofante,Alexandriacon-tinuou sendo a capital intelectual do mundo civilizado, mas per-maneceu sob a ameaçade exércitosestrangeiros. O primeiro gran-de ataque aconteceu no ano 47 a.C., quando Júlio César tentouderrubar Clcópatra incendiando sua frota. A Biblioteca, locali-zada perto do porto, também pegou fogo e centenas de milharesde livros foram dcstruídos. Felizmente, para os matemáticos,

1.' .T r TI.' : f' .\ r !q o Rv ~,r.

Sumptibu\H IU;.o~n\l D ROVARr. vi.,Iacob.u.fuI,Scuto Solari.\! I \ I '\ -'0 I

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Frot\~ti~pício da traduçi"\Oda /lr;lmét;m ue Diofantc, por ClaudeGaspar Bachct, publicada em 1621. Este livro tornou-se a bíblia deFcrmat c inspirou muito do seu trabalho.

72 () ÚJ;J"J:\IO TEOREi\L\ DE FER:\L\T o CRIADOR DE ENIGMAS 73

Clcópatra apreciava a importância do conhecimento e ficou de-terminada em regtaurar a ~lória da llibliolcca. Marco AntÔnio

percebeu que o caminho para o coração de uma intelectual pas-sa por sua biblioteca e assim marchou para a cidade de Pérgamo.Esta cidade tinha começado a montar sua própria biblioteca,esperando reunir a melhor coleção de livros do mundo. MarcoAntônio confiscou tudo e levou para o Egito, restaurando a su-

premacia de Alexandria.Durante os próximos quatro séculos, a Biblioteca continuou

a acumular livros, até que no ano 389 ela recebeu o primeiro de

dois golpes fatais, ambos como resultado de intrigas religiosas.O imperador cristão Teodósio ordenou que Teófilo, bispo deAlexandria, destruísse todos os monumentos pagãos. Infelizmente,quando Cleópatra reconstruiu e reequipou a Biblioteca, ela decidiualojá-Ia no Templo de Serápis. E assim a Biblioteca foi jogada nomeio da fúria para a destruição de ícones e altares. Os estudiosos"pagãos" tentaram salvar seis séculos de conhecimento, mas an-tes que pudessem fazer qualquer coisa foram linchados pela hordade cristãos. O mergulho em direção à Idade das Trevas tinha co-meçado.

Algumas cópias preciosas dos livros mais importantes sobrevi-veram ao ataque dos cristãos, e os estudiosos continuaram a visitarAlexandria em busca de conhecimento. Então, no ano 642, o ata-

que dos muçulmanos terminou aquilo que os cristãos tinham co-meçado. Quando lhe perguntaram o que devia ser feito com a Bi-blioteca, o califa Ornar, vitorioso, declarou que os livros que fossemcontrários ao Corão deveriam ser destruídos. E os livros que apoias-

sem o Corão seriam supérfluos e, portanto, também deviam serdestruídos. Os manuscritos foram usados como combustível para

as fornalhas que aqueciam os banhos públicos. A matemática gre-ga virou fumaça. Não é de surpreender que a maior parte do traba-lho de Diofante tenha sido destruída. De fato, é um milagre queseis volumes de sua Aritmética tenham sobrevivido à tragédia deAlcxandria.

Pc10g mil anos seguintes a matemática no Ocidente ficou re-duzida ao básico. Somente alguns luminares na Índia e na Arábia

mantinham esta ciência viva.Eles copiaram as fórmulas dos ma-nuscritos gregos quc tinham restado e começaram a rcinventar amaioriados teoremas perdidos. Também acrescentaram novosele-mentos à matemática, incluindo o número zero.

Na matemática moderna o zero realiza duas funções. Em pri- ~

mciro lugar, ele nos permite fazer a distinção entre números como \52 e 502. Num sistema onde a posição de um número indica s,eu \valor, é preciso um símbolo para marcar uma posição vazia. Por'exemplo, 52 significa cinco vezes dez mais duas vezes um, enquanto \502 signifi.ca cinco vezes cem, mais Ove~es dez, mais duas vezes

Ium, e o zero é essencial para retirar qualquer dúvida. Até mesmo

os babilônios, no terceiro milênio a.C., apreciavam o valor do zero I

para evitar confusões, e os gregos adotaram a idéia, usando um sím- \bolo circular, semelhante ao que usamos hoje. Contudo, o zero tem Ium significadomais sutil e pr?fundo, que só foi percebido séculos I

depois pelos matemáticos da India. Os hindus reconheceram que,o zero tinha uma existência independente, além do mero papel de '

marcar espaços entre os números. O zero era um número como osoutros, ele representava a quantificação do nada. E pela primeiravez o conceito abstrato do nada recebia uma representação simbó-lica.

Igto pode parccer uma coisa trivial para o lcitor moderno, mas,

o profundo significado do símbolo zero tinha sido ignorado pelos, i

antigos filósofos da Grécia, incluindo Aristóteles. Ele chegara a .argumentar que o número zero deviaser proibido porque pertur-bava a consistência dos demais números - a divisão de um núme-

ro por zero levava a um resultado incompreensível. Por volta do século

VI, os matemáticos indianos deixaram de esconder este problemadebaixo do tapete, e no século VII um estudioso chamado Brahma-gupta foi suficientemente sofisticado para usar a divisão por zerocomo uma definição para o infinito.

Enquanto a Europa abandonava a nobre busca pela verdade, aÍndia e a Arábia estavam consolidando o conhecimento que foracontrabandeado das cinzas de Alexandria. E o reinterpretavam comuma linguagem nova e mais eloqüente. Além de acrescentar o zeroaovocabulário matemático, eles substituíram os primitivos símbolos

74 o ÚLTI:\IO TEOREl\tA DE FERl\IAT o CRIADOR DE ENIGMAS 75

gregos e os incômodos numerais romanos pelo sistema de conta-gem agora adotado universalmente. Novamente isso pode parecerum passo à frente absurdamente humilde, mas é só tentar multi-plicar CLVpor DCI e você vai sentir a importância deste avanço.Multiplicar 155 por 601 é muito mais simples. O crescimento dequalquer disciplina depende de sua capacidade de comunicar edesenvolver idéias. Isto, por sua vez, implica uma linguagem queseja suficientemente detalhada c flexível. As idéias de Pitágoras eEuclides não eram menos elegantes em seu modo de expressãodesajeitado. Mas traduzidas para os símbolos da Arábia iriam de-sabrochar c produzir conceitos novos e mais ricos.

No século V,o estudioso francês Gerbert de Aurillac aprendeuo novo sistema de contagem com os mouros da Espanha. Atravésde seu trabalho, ensinando em igrejas e escolas de toda a Europa,ele foi capaz de introduzir o novo sistema no Ocidente. No ano 999,Gerbert foi eleito papa Silvestre 11,uma posição que lhe permitiuencorajar ainda mais o uso dos números indo-arábicos. Embora aeficiência do sistema tenha revolucionado a contabilidade, sendo

rapidamente adotado pelos mercadores, ele fez pouco para inspi-rar um renascimento da matemática européia.

Esta retomada vital para a matemática ocidental só ocorreriadepois de 1453, quando os turcos saquearam Constantinopla. Atéentão os manuscritos que tinham sobrevivido à destruição deAlcxandria tinham sido reunidos em Constantinopla e novamenteeram ameaçados de destruição. Os estudiosos bizantinos fugirampara o Ocidente com os textos que puderam carregar. Depois desobreviverem ao ataque de César, do bispo Teófilo, do califa Ornare agora dos turcos, alguns poucos mas preciosos volumes da Arit-mética chegavam de novo na Europa. Diofante estava destinado aaparecer na escrivaninha de Pierre de Fermat.

vam eram dedicados inteiramente à matemática. Isso acontecia

porque os juízes na França, do século XVII, eram desencorajadosquanto a fazer amizades. Achava-se que amigos e conhecidos po-deriam um dia ser levados a julgamento e qualquer confraterniza-ção com a população local seria um convite ao favoritismo. Isoladoda alta sociedade de Toulouse, Fermat podia se concentrar no seuhobby.

Não há registros de que Fermat tenha adquirido o interes'sepela matemática graças à influência de algum tutor. Foi uma có-pia da Arit11lçtica que se tornou seu mestre. A Aritmética tentava

descrever a teoria dos números, como era no tempo de Diofante,através de uma série de problemas e soluções. De fato, Diofanteestava apresentando a Fermat cerca de mil anos de conhecimen-to matemático. Em um único livro Fermat podia encontrar todo oconhecimento dos números obtido por gênios como Pitágoras eEuclides. A teoria dos números não progredira desde o bárbaroincêndio de Alexandria, mas agora Fermat estava pronto para re-tomar o estudo da mais fundamental de todas as disciplinas ma-temáticas.

A An't11léticaque inspirou Fermat era uma tradução para o la-tim, feita por Claude Gaspar Bachet de Méziriac, que se dizia sero homem mais culto de toda a França. Além de ser um brilhantelingüista, poeta e estudioso dos clássicos, Bachet era fascinado porproblemas matemáticos. Seu primeiro livro foi uma compilação deproblemas intitulada Prob/emes plaisans et délectables qui se font

par les n011lbres,que incluía problemas sobre travessia de rios, umproblema sobre líquidos escoando e vários truques do tipo "pensenum número". Havia também um problema sobre pesos:

o Nascimento de um Enigma

Qualé o menor número de pesos que pode ser usado numconjunto de balanças para pesar qualquer massa variando de1 a 40 quilogramas?

As responsabilidades de Fermat como magistrado ocupavam umaboa parte do seu tempo. Os curtos períodos de lazer que lhe resta-

Bachet tinha uma solução inteligente mostrando que é possívelrealizar esta tarefa com apenas quatro pesos. A solução é dada noApêndice 4.

76 o ÚI:rI~IO TEOREMJ\ DE FER~I"T o CRIADOR DE ENIGMAS 77

Embora fosse apenas um matemático diletante, o interesse deBachet por problemas foi o suficiente para ele perceber que osproblemas de Diofante estavam num nível mais elevado e mere-ciam um estudo mais profundo. Ele resolveu traduzir o livro deDiofante e publicá-Ia, de modo que as técnicas dos gregos pu-dessem ser retomadas. É importante notar que uma grande par-tc do conhecimento matemático antigo tinha sido esquecida to-talmente. A matemática avançada não era ensinada nem mesmonas grandes universidades européias, e somente graças aos es-forços de estudiosos como Bachet é que tanto pôde ser recupe-rado tão rapidamente. Em 1621,quando Bachet publicou sua versãoem latim da Aritmética, ele contribuiu para a segunda era de ouroda matemática.

A An'fmética continha mais de cem problemas, e para cadaum Diofante dava uma solução detalhada. Este nível de escrúpulofoi algo que Fermat jamais aprendeu. Fermat não estava inte-ressado em escrever um livro-texto para as gerações futuras. Elesó queria'. a satisfação pessoal de ter resolvido um problema. En-quanto estudava os problemas e as soluções de Diofante, Fermatera levado a pensar em outras questões mais sutis e enfrentá-Ias. Mas limitava-se a escrever o que achava ser necessário paraconvencer a si mesmo de que tinha uma solução e então não seimportava em registrar o resto da demonstração. Freqüentementeele atirava suas anotações no lixo e passava para o problemaseguinte. Felizmente, para nós, a edição da Aritmética de Bachettinha grandes margens em torno do texto, em cada uma de suaspáginas, e às vezes Fermat apressadamente escrevia comentá-rios e fórmulas nessas bordas. Essas notas se tornariam um

valiosíssi mo registro, ainda que esparso, dos mais brilhantescálculos deste gênio.

Uma das descobertas de Fermat estava relacionada com os

chamados 1llímeros amistosos, ou nlÍmeros amigáveis. Eles estãomuito ligados aos números perfeitos que tinham fascinado Pitágoras,dois mil anos antes. Números amigáveis são pares de números ondeum deles é a soma dos divisares do outro. Os pitagóricos tinhamfeito a descoberta extraordinária de que 220 e 284 são números

amigáveis.Os divisoresde 220 são 1,2,4,5, 10, 11,20,22,44,55 e110e a soma deles é 284.Por outro lado,os divisaresde 284 são 1,2, 4, 71 e 142e a soma deles é 220.

Dizia-se que o par 220 e 284 era um símbolo de amizade. Olivro de Martin Gardner, O show de mágica matemática, eontaque talismãs com esses números eram vendidos na Idade Mé-dia. Dizia-se que o uso do amuleto promovia o amor. l)m

. numerologista árabe registrou a prática dc se gravar 220 em umafruta e 284 em outra. Então eomia-se a primeira fruta e ofere-

. cia-se a segunda para um parceiro, como forma de afrodisíacomatemático. Antigos teólogos notaram que, no Gênesis, Jacó deu220 cabras para Esaú. Eles acreditavam que o número de cabras,a metade de um par amigável, era uma e.xpressão do amor deJacó por Esaú.

Até 1636não se descobriu nenhum outro par amigável. Foi entãoque Fermat descobriu o par 17.296 e 18.416. Embora não fosse umadescoberta profunda, ela demonstra a familiaridade de Fermat eomos números e o quanto ele gostava de brincar eom eles. Fermatcomeçou a mania de se procurar números amigáveis. Descartesdescobriu um terceiro par (9.363.584e 9.437.056) e Leonhard Eulerprosseguiu com a lista encontrando sessenta e dois pares amigá-veis. Curiosamente eles deixaram passar um par muito menor. Em1866um italiano de dezesseis anos, Nicolõ Paganini, descobriu opar 1.184 e 1.210.

Durante o século XX os matemáticos ampliaram ainda mais aidéia buscando pelos chamados números sociáveis, três ou maisnúmeros que formam um círculo fechado. Por exemplo, no cír-culo de cinco números formado por 12.496,14.288,15.472,14.536e 14.264, a soma dos divisares do primeiro número dá o segundonúmero, os divisares do segundo número, somados, formam oterceiro, a soma dos divisares do terceiro forma o quarto núme-ro, os divisares do quarto número, somados, produzem o quintoe os divisares do quinto número, quando somados, geram o pri-meiro número.

Embora a descoberta de um novo par de números amigáveistenha feito de Fermat uma celebridade, sua reputação foi con-

78 o ÚLTIMO TEOREi\IA DE FERI\IATo CRIADOR DE ENIGMAS 79

firmada graças a uma série de desafios matemáticos. Por exem-plo, Fermat descobriu que 26 é o recheio de um sanduíche for-mado por 25 e 27, onde o primeiro número é um quadrado (25= 52 =5 x 5) e o outro é um cubo (27 = 33 = 3 x 3 x 3). Eleprocurou por outros números presos entre um quadrado e umcubo, mas não encontrou nenhum, e suspeitou de que 26 fosseum caso único. Depois dc dias de um esforço cansativo ele con-seguiu construir uma argumentação elaborada provando, semqualqucr dúvida, que 26 é, de fato, o único númcro entrc umquadrado e um cubo. Sua demonstração, passo a passo, esta-belcccu quc nenhum outro número poderia precncher cste cri-tério.

Fermat anunciou csta propriedade única do 26 para a comuni-dade matemáticae desafiou-os a provarque ela era verdadeira.Eleadmitiu abertamente que possuía a demonstração; a pergunta era:será que os outros teriam a habilidade de reproduzi-Ia?Apesar dasimplicidadeda afirmação,a demonstraçãoé tremendamente com-plicada, eFermat se divertiu desafiando os matemáticos inglesesWallise Digby,que acabaram por admitir que estavamderrotados.Mas a mais famosaobra de Fermat foioutro desafiopara o resto domundo. Contudo, seria uma charada acidental, que não era desti-nada à discussão pública.

Pitágoras, tentando descobrir alguma coisa que escapara à aten-ção dos gregos.

Subitamente, num instante de genialidade que imortalizaria oPríncipe dos Amadores, ele criou uma equação que, embora fossemuito semelhante à de Pitágoras, não tinha solução. Foi esta equa-ção que Andrew Wiles, aos dez anos de idade, viu na biblioteca darua Milton.

No lugar de considerar a equação

x2 + y2 = Z2,

Fermat contemplavauma variante da criação de Pitágoras:

x3 + y3 = Z3.

Anotação na Margem

Conforme foi mencionado no capítulo anterior, Fermat tinha apenasmudado a potência de 2 para 3, do quadrado para o cubo, mas suanova equação aparentemente não tinha solução para qualquernúmero inteiro. O método de tentativa e erro logo mostra a difi-culdade de encontrar dois números elevados ao cubo que, ao se-rem somados, produzam outro número elevado ao cubo. Poderiaacontecer desta pequena modificação transformar a equação dePitágoras, com um infinito número de soluções, em uma equa-ção insolúvel?

Fermat alterou ainda mais a equação, trocando a potência paranúmeros maiores do que 3 e descobrindo que a busca de soluçõespara estas equações era igualmente difícil. De acordo com Fermatparecia não existir um trio de números que se encaixasse perfeita-mente na equação

Enquanto estudava o Livro 11da An'lmética, Fermat encontrou todauma série de observações, problemas e soluções relacionadas como tcorema dc Pitágoras e os trios pitagóricos. Fermat ficou impres-sionado com a variedade e a quantidade de trios pitagóricos. Eleestava ciente de que, séculos atrás, Euclides tinha feito uma de-monstração (aqui mostrada no Apêndice 5) provando que, de fato,existe um número infinito de trios pitagóricos. Fermat deve ter olhado

para a exposição detalhada que Diofante fazia dos trios pitagóricose pensado no que poderia acrescentar àquele assunto. Enquantoolhava para a página, ele começou a brincar com a equação de

x" + y" = z", onde n representa 3,4,5...

Na margem de sua A l1'tmética, ao lado do Problema 8, Fermatescreveu uma nota de sua observação:

I. I

I

80 o út:rmo TEORE:\IA DE FER:\L\To CRIADOR DE ENIGMAS

Cubem autem i1lduos cubos, aut quadratoqlladratum il1duos

qlladratoquadratos, et ge1lera/iter n/lllal1l i1l il1Jinitul1l/lltraqlladratu111potestatem i1lduos eillsde11lnominisIas est dividere.

o Último Teorema É Publicado Minal

Éimpossível para um cubo ser escrito como a soma de doiscubos ou uma quarta potência ser escrita como uma soma dedois números elevados a quatro, ou, em geral, para qualquer

número que scja elcvado a uma potência maior do que doisser escrito como a soma dc duas potências semelhantes.

A notória descoberta de Fermat aconteceu no início de sua carrei-

ra como matemático, por volta de 1637.Trinta anos depois, enquantocuidava de seus deveres como magistrado, na cidade de Castres,Fermat ficou seriamente doente. Em 9 de janeiro de 1665 ele assi-nou seu testamento e três dias depois morreu. Continuava isoladoda escola parisiense de matemática e não era lembrado com sau-dade pelos seus frustrados correspondentes. Havia o risco das des-cobertas de Fermat serem perdidas para sempre. Felizmente, seufilho mais velho, Clément-Samuel, percebia a importância do hobbyde seu pai. Ele decidiu que aquelas descobertas não seriam esque-cidas pelo mundo. É graças aos seus esforços que sabemos algu-ma coisa sobre os avanços extraordinários feitos por Fermat na teoriados números. E, em especial, se não fosse por Clément-Samuel, oenigma conhecido como Último Teorema de Fermat teria morridocom seu criador.

Clément-Samuel passou cinco anos reunindo as cartas e ano-tações de seu pai e examinando os rabiscos nas 'margens de suacópia da Aritmética. A nota referindo-se ao Último Teorema deFermat era apenas um dos muitos pensamentos inspirados ano-tados no livro. Clément-Samuel resolveu publicar estas anotaçõesem uma edição especial da Aritmética. Em 1670, em Toulouse,ele apresentou sua Aritmétt'ca de Dia/ante contendo observaçõesde P.de Fermat. Ao lado do original grego e da tradução de Bachetpara o latim, estavam quarenta e oito observações feitas por Fermat.A anotação mostrada na Figura 6 foi aquela que se tornou conhe-cida como o Último Teorema de Fermat.

Depois que as Observações de Fermat chegaram a uma co-munidade maior, ficou claro que as cartas que ele tinha enviadoaos seus colegas eram meras migalhas num banquete de desco-bertas. Suas notas pessoais continham uma série de teoremas. In-felizmente, ou esses teoremas não eram acompanhados por ne-nhuma explicação ou tinham apenas indícios da demonstração queos apoiava. Mas havia vislumbres torturantes de lógica que dei-

Entre todos os números possíveis parecia não haver razão por que

pelo menos um conjunto de soluções não poderia ser encontrado.E, no entanto, Fermat declarava que em parte alguma do infinitouniverso de números existiria um "trio fermatiano". Era uma afir-

mação extraordinária, mas Fermat acreditava que poderia prová-Ia.Depois da primeira nota na margem, esboçando sua teoria, o gêniotravesso colocou um comentário adicional que iria assombrar ge-

rações de matemáticos: .

CUillSrei demonstrationem l1lirabilel1lsane detexi banc marginis

e.\'iguitas IlOn caperet.

Eu tcnho uma demonstração realmente maravilhosa para esta

proposição mas esta margcm é muito cstreita para contê-Ia.

Este era Fermat no seu modo mais frustrante. Suas próprias pala-

vras sugerem que ele estava particularmente satisfeito com suademonstração "realmente maravilhosa" mas não se daria ao incô-modo de escrevê-Ia em detalhe, quanto mais publicá-Ia. Ele nunca

falou a ninguém sobre sua prova e, no entanto, apesar desta com-binação de indolência e modéstia, o Último Teorema de Fermat,como mais tarde seria chamado, se tornaria famoso no mundo in-

tciro pelos séculos seguintes.

81

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OBSERVA TIO DOMINI PETIlI DE F!l\MAT.

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H-iij

Figura 6. A página contendo a notória observação de Fermat.

Frontispício da edição da Alitmética de Diofante, edição de Clément-Samuel Fermat, publicada em 1670. Esta versão inclui as anotaçõesna margem feitas por seu pai.

8+ o ÚLTI;\IO TEORE1\L\ DE FER:\IAT

xaram OSmatemáticos na certeza de que Fermat tivera as demons-

trações. A tarefa de recriá-Ias fora deixada como um desafio paraeles.

Leonhard Euler, um dos maiores matemáticos do século XVIII,tentou demonstrar uma das mais elegantes observações de Fermat,um teorema relacionado com os números primos. Um número primo

é um número que não tem divisares, exceto ele mesmo ou a unida-de. Não se pode dividi-Ia sem deixar resto. Por exemplo, 13 é umnÚmero primo, mas 14 nào é. Nada irá dividir 13 perfeitamente,mas 14 pode ser dividido por 2 e por 7. Todos os números primospodem ser encaixados etn duas categorias: aqueles que são iguaisa 411+ 1 e aqueles que são iguais a 411-1,.onde 11é igual a algumnúmero. Assim, 13pertence ao primeiro grupo (4 x 3 + 1), enquanto

19 pertence ao segundo (4 x 5 -1). O tcorema dos números primosde Fermat afirma que o primeiro tipo de números primos é sem-

pre a soma de dois quadrados (13 = 21.+ 31.),enquanto o segundotipo jamais pode ser escrito deste modo. Esta propriedade dosnúmeros primos é bem simples, mas tentar provar que ela é verda-deira para cada um dos números primos se torna extremamentedifícil. Para Fermat era apenas uma de suas muitas demonstraçõessecretas. O desafio para Euler era reconstruir esta demonstração.Finalmente, em 1749, depois de sete anos de trabalho e quase um

século depois da morte de Fermat, Euler teve sucesso, obtendo aprova para este teorema dos números primos.

Os teoremas de Fermat variam daqueles que são fundamen-

tais aos que são meramente divertidos. Os matemáticos avaliama importância de um tcorema de acordo com o seu impacto parao resto da matemática. Em primeiro lugar, um teorema é consi-

derado importante se contém uma verdade universal, isto é, seele se aplica a todo um conjunto de números. No caso do teoremados números primos, ele não é verdadeiro apenas para alguns nú-meros primos, e sim para todos. Em segundo lugar, os teoremasdevem revelar alguma verdade profunda e subjacente a respeitodo relacionamento entre os números. Um teorema pode ser o tram-

polim para a produção de todo um novo conjunto de teoremas,ou até mesmo inspirar o desenvolvimento de um novo ramo da


matemática. E, finalmente, um teorema é importante se ele re-solver um problema em uma área de pesquisa anteriormenteobstruída pela ausência de uma conexão lógica.Muitos matemá-ticosjá se desesperaram sabendoque sópoderiamobter um granderesultado se pudessem estabelecer um elo perdido em uma cor-rente lógica.

Como os matemáticos usam os teoremas como degraus para'obter outrosresultados,era essencialque cadaum dos teoremas.de Fermat fosse demonstrado. Só porque Fermat afirmava ter aprovapara um tçorema não podia ser aceito como verdade. Antesde poder ser usado, cada teorema tinha que ser demonstrado comrigor implacável,senão as conseqüências poderiam ser desastro-sas. Por exemplo, imagine que os matemáticos tivessem aceito umdos teoremas de Fermat. O teorema seria então incorporado comoelemento de toda uma série de demonstrações maiores. E no de-vido tempo essas demonstrações passariam a fazer parte de ou-tras, mais amplas ainda, e assim por diante. Finalmente, cente-nas de teoremas passariam a depender de que o teorema original,não-verificado, fosse verdadeiro. Mas e se Fermat tivesse come-tido um erro, e o teorema não-provado estivesse e~rado?Todosos outros teoremas que o tivessem incorporado estariam incor-retos e grandes áreas da matemática entrariam em colapso. Osteoremas são os alicerces da matemática, porque, uma vez quetenham sido estabelecidos comoverdade, outros teoremas podemser erguidos, em segurança,por cima deles. Idéias não-fundamen-tadas são muito menos valiosase recebem o nome de conjecturas.Qualquer lógica que dependa de conjecturas é, ela mesma, umaeonjectura.

Fermat dizia ter uma demonstração para cada uma de suasobservações,assim,para ele, elas eram teoremas. Contudo, até quea comunidade como um todo pudesse reconstruir as demonstra-ções para cada uma delas, as observações de Fermat seriam cha-madas de conjecturas. De fato, nos últimos 350 anos, o ÚltimoTeoremade Fermatdeveriater sidochamadodeA ÚltimaConjecturade Fermat.

À medida que os séculos passavam, todas as observações fo-

.86 o ÚI:rIMO TEORDL\ DE FERi\IAT

ram demonstradas, uma por uma, mas o Último Teorema de Fermatse recusava a ceder seu segredo. De fato, ele é conhecido como o"Último" Teorema porque ficou sendo a última observação aindapor ser demonstrada. Três séculos de esforços fracassados para obteruma demonstração levaram à notoriedade do mais famoso proble-ma de matemática. Contudo, esta reconhecida dificuldade não sig-nifica que o Último Teorema de Fermat seja um teorema impor-tante, como descrito acima.

A fama do Último Teorema de Fermat deriva unicamente datremenda dificuldade em demonstrá-lo. E um estímulo extra é

acrescentado pelo fato de que o Príncipe dos Amadores dizia po-der demonstrar este mesmo teorema que frustrou gerações dematemáticos. Os comentários de Fermat na margem de seu exem-plar da Aritmética foram lidos como um desafio para o mundo. Eletinha demonstrado o Último Teorema, a questão era se qualqueroutro matemático poderia igualar seu talento.

O Último Teorema de Fermat é um problema imensamente difícile, no entánto, pode scr enunciado de uma forma que qualquer es-tudante pode entender. Não existe problema de física, química oubiologia que possa ser enunciado de modo tão simples e direto epermanecer tanto tempo sem ser solucionado. No livro O últimoproblema, E. 1: Bell escreveu que a civilização provavelmente aca-baria antes que o Último Teorema de Fermat pudesse ser demons-trado. Essa demonstração tornou-se o prêmio mais valioso da teo-ria dos números e não é de surpreender que tenha levado a algunsdos episódios mais empolgantes da história da matemática.

A fama do enigma se espalhou além do mundo fechado dosmatemáticos. Em 1958, o problema acabou aparecendo num contofaustiano. Uma antologia intitulada Pactos com o demônio con-tén1 um conto escrito por Arthur Poges. Em "O Diabo e SimonFlagg" o Diabo pedc a Simon Flagg que lhe faça uma pergunta.Se o Demônio conseguir responder dentro de vinte e quatro ho-ras, levará a alma de Simon Flagg, mas, se fracassar, dará cem mildÔlarc~ a Simon. Simon então pergunta: "O Último Teorema de"\:-~m,\: ,~:\ I.,\'r,:,;.'~'.'~"(' ~;..1':-\' \.~(,~_l'..".).rt'(,~e 5-:1;.':'e~C"mundo ab-

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trar o Último Teorema. No segundo dia, o Diabo retoma e admi-te sua derrota:

"Você ganhou, Simon", disse ele quase num sussurro, olhan-

do-o com indisfarçável respeito. "Nem mesmo eu posso apren-der matemática suficiente, em tão curto espaço de tempo, pararesolver um problema tão difícil. Quanto mais eu mergulhona coisa, pior ela fica.Fatoração não-única, ideais - Bah! Vocêsabe que", confidenciou o Diabo, "nem mesmo os matemáti-

cos dos 0!ltros planetas, todos eles muito mais adiantados do

que o seu, conseguiram resolvê-Io? Existe um cara em Saturno,ele parece um cogumelo sobre pernas de pau, que resolveequações diferenciais parciais de cabeça, e até mesmo eledesistiu."

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Leonhard Euler

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Uma Desgraça Matemática

A matemática não é uma caminhada cuidadosa através de uma

estrada bem conhecida, é uma jornada por uma terra selvageme estranha, onde os exploradores freqüentemente se perdem.A exatidão deve ser um sinal aos historiadores de que os mapas

já foram feitos e os exploradores se foram para outras terras.

w. S. Anglin

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"Desde que vi o Último Teorema de Fermat pela primeira vez, ain-da criança, ele se tornou minha grande paixão", relembra AndrewWiles, com uma voz hesitante, que transmite a emoção que ele senteem relação ao problema. "Eu encontrara este problema que passa-ra trezentos anos sem ser resolvido. Eu não creio que muitos dos

meus colegas de escola tenham pego a mania pela matemática, assimnão comentei o assunto com meus companheiros. Mas eu tinha umprofessor que fizera alguma pesquisa em matemática e ele me deuum livro sobre a teoria dos números, com algumas pistas sobre comocomeçar a abordar o problema. Para começar eu trabalhei na su-posição de que Fermat não sabia mais matemática do que eu. E tenteiencontrar a demonstração perdida usando os métodos que ele po-deria ter usado em sua época."

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90 o ÚLTI;\IO TEOREl\IA DE FERl\IAT UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA

Wilesera uma criarlçacheia de inocência e ambição, vislum-brando uma oportunidade de ter sucesso onde gerações de mate-máticostinham falhado.MasWilesestavacerto em pensar que ele,um menino de escolado séculoxx, sabia mais matemática do quePierre de Fermat, um gênio do séculoXVII.Talvez,em sua inocên-cia, ele tropeçasse em uma provaque outras mentes mais sofisti-cadas tinham deixado escapar.

Mas, apesar de seu entusiasmo, todos os cálculos resulta-

vam num beco sem saída. Depois de quebrar a cabeça c esgotarseus livros escolares, Wiles não conseguira nada. Após um anode fracassoele mudou sua estratégia e decidiu que poderia apren-der alguma coisa a partir dos erros de outros matemáticos, maiseminentes. "O Último Teorema de Fermat tem essa históriaromântica .incrível. Muitas pessoas o estudaram e quanto maisos grandes matemáticos do passado tentavam demonstrá-Io e fra-cassavam, mais misterioso e desafiador ficavao problema. Tan-tos matemáticos tinham tentado tantas abordagens diferentesnos séculos XVIII e XIX e eu, um adolescente, decidi que de-veria estudar esses métodos, para entender o que eles tinhamfeito. "

O jovem Wiles examinou as abordagens de todos que tinhamfeito umatentativasériade demonstraroÚltimoTeoremade Fermat.Ele começou por estudar o trabalho do matemático mais prolíficode todaahistória,o primeiroaconseguirum avançona batalhacontraFermat.

fato verdade, quando tudo era falso. Efetivamente, os matemáticostêm tentado provar o impossível.

Em toda a história desta ciência somente um punhado de ma-temáticos parecem ter evitado as dúvidas que intimidaram seuscolegas. Talvez o mais notável exemplo seja o gênio do século XVIII,Leonhard Euler, e foi ele quem fez o primeiro avanço em direção àprova do Último Teorema de Fermat. Euler tinha uma memória euma intuição tão incríveis que se dizia que ele poderia fazer todo.um cálculo de cabeça, sem precisar colocar a caneta no papel. Emtoda a Europa ele cra conhecido como "a encarnação da análise", esobre elc o acadêmico francês François Arago disse: "Eu ler calcu-la sem qualquer esforço aparente, como os homens respiram e aságuias se sustentam nos ventos."

Leonhard Euler nasceu em Basiléia, em 1707, filho de um pas-tor calvinista, Paul Euler.Embora o jovem Euler demonstrasse umtalento prodigioso para a matemática, seu pai estava determinadoque o filho estudasse teologia, seguindo carreira na Igreja. Leonhardobedeceu e foi estudar teologia e hebraico na Universidade da Ba-siléia.

Felizmente para Euler, a cidade de Basiléia também era o lardo eminente clã dos Bernoulli. Os Bernoulli podiam tranqüila-mente afirmar serem a mais matemática das famílias, tendo pro-duzido oito das mentes mais extraordinárias da Europa em ape-nas três gerações.

Alguns diziam que a família Bernoulli representava para a ma-temática o que os Bach eram para a música. Esta fama se espalhoualém da comunidade dos matemáticos, e uma história exemplificabem o perfil da família. Conta-se que Daniel Bernoulli estava via-jando pela Europa e um dia começou a conversar com um estra-nho. Depois de um certo tempo ele se apresentou modestamente:"Eu sou Daniel Bernoulli." "E eu", disse o estranho zombando, "souIsaac Newton." Daniel gostava de lembrar este incidente, falandodele em várias ocasiões como sendo o elogio mais sincero que járecebera.

Daniel e Nikolaus Bernoulli eram muito amigos de LeonhardEuler e .percebiam que o mais brilhante dos matemáticos esta-

o Cíclope da Matemática

Criar matemática é uma experiência misteriosa e dolorosa. Freqüen-temente o objetivo da demonstração é claro, mas o caminho até elepermanece enevoado, e o matemático tropeça em seus cálculos,apavorado, temendo que cada passo possa estar levando sua argu-mentação na direção errada. Além disso existe o temor de que ocaminho certo não exista. Um matemático pode acreditar que umaproposição é verdadeira, e perder anos tentando provar que é de

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12 o Úl.:n:\W TEORDIA DE FER:\L\T

-a sendo transformado no mais medíocre dos teólogos. Eles fi-

'cram um apelo a Paul Euler, pedindo que Leonhard tivesse a1ermissão deabandonar o clero em favor dos números. No passa-

10,Euler, o pai, tinha estudado matemática com o patriarca dos'~ernoulli, Jakob, e tinha um trcmendo respeito pela família. Re-lutantemente ele aceitou que seu filho tinha nascido para cal-'ular, não para pregar.

Leonhard Euler logo deixou a Suíça e seguiu para os paláciosle Berlim e São Petersburgo, onde passou o auge de seus anos cria-

I ívos.Na épocade Fermat os matemáticos eram considerados cal-"ulistas amadores, mas no século XVIII eles já eram tratados como

;olucionadores profissionais de problemas. A cultura dos núme-ros tinha mudado, dramaticamente, e isto era em parte uma con-

;eqüência dos cálculos científicos de Si,- Isaac Newton.Newton acreditava que os matemáticos estavam perdendo tempo,

..lesafiando uns aos outros com enigmas sem sentido. Ele queria

lplicar a matemática ao mundo físico, calculando tudo, das órbitasdos planetas às trajetórias das balas de canhão. Quando Newtonmorreu, em i727, a Europa tinha passado por uma revolução cien-tíficae, no mesmo ano, Euler publicou seu primeiro trabalho. Embora

a publicação apresentasse uma matemática elegante e inovadora,seu objetivo era descrever uma solução para um problema relacio-nado com o mastreamento dos navios.

As potências européias não cstavam interessadas no uso damatemática para explorar conceitos abstratos e esotéricos. Elasqueriam a matemática para a solução de problemas práticos, com-petindo entre si para empregar as mentes mais brilhantes. Eulercomeçou sua carreira trabalhando para os czarcs, antcs de ser con-vidado para a Academia de Bcrlim por Frederico, o Grande, daPrússia. Mais tarde ele retomou à Rússia durante o reinado de

Catarina, a Grande, onde passou os últimos anos de sua vida. Emsua carreira Euler lidou com uma infinidade de problemas, da

navegação às finanças, da acústica à irrigação. Contudo, o mundoprático da solução de problemas não prejudicou a habilidadematemática de Euler. A abordagem de cada tarefa nova o inspira-va a criar uma matemática inovadora e engenhosa. Sua paixão O

UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA 93

levava a escrever vários trabalhos num único dia, e conta-se queentre o primeiro e o segundo chamados para o jantar Euler ten-tava rabiscar cálculos completos, dignos de serem publicados. Ele

. não desperdiçava nem um momento e, mesmo quando seguravaum bebê com uma das mãos, a outra estava escrevendo uma de-monstração num papel. .

Uma das maiores realizações dc Euler foi o desenvolvimentodo método dos algoritmos. O objetivo dos algoritmos de Euler eralidar com problemas aparentemente insolúveis. Um desses proble-mas era a previsão das fases da Lua com grande antecedência eprecisão - uma informação que poderia ser usada para a criaçãode tabelas de navegaçãomuito importantes. Newtonjá tinha mos-trado que é relativamente fácilprever a órbita de um corpo em tor-no de outro, mas no caso da Lua a situação não é tão simples. ALua orbita a Terra, mas existe um terceiro corpo, o Sol, que com-plicaenormemente a questão. Enquanto a Terra e a Lua se atraemmutuamente, o Solperturba a posiçãoda Terra e produz um efeitobamboleante na órbita da Lua. É possívelcriar equações para de-terminar os efeitos de qualquer um desses corpos, mas os mate-máticos do século XVIIInão conseguiam incorporar um terceirocorpoem seus cálculos.Mesmo hoje é impossívelobter a soluçãoexatado chamado "problema dos três corpos".

Euler percebeu que os navegantesnão precisavamconhecer asfasesda Lua com absoluta precisão,somente com precisão sufici-ente para determinar a própria posição com uma incerteza de al-gumas milhas náuticas. Assim sendo, Euler desenvolveuuma re-ceitapara produzir uma soluçãoimperfeita, mas suficientementeprecisa.A receita, conhecida como a]goritmo, funcionavaprodu-zindoprimeiro um resultado aproximado,que podia ser colocadonoalgoritmopara produzir um resultado mais preciso. Este resu]-tadomais preciso podia ser novamente processado pelo a]goritmoparaproduzir uma solução ainda mais precisa e assim por diante.Umacentena de cálculosdepois, Eu]er era capazde fornecer umaposiçãoda Lua suficientemente precisa para os usos da Marinha.Eleforneceu seu a]goritmo aoAlmirantado Britânico que, em re-compensa,pagou-lhe um prêmio de 300 libras.

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94 o l1LTli\IO TEOREi\IA DE FERi\IAT UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA 95

Eulcr adquiriu a reputação de ser capaz de resolver qualquerproblema que lhe fosse apresentado, um talento que parecia seestender além dos campos da ciência. Durante uma temporada nacorte de Catarina, a Grande, ele encontrou o grande filósofo fran-cês Denis Diderot. Diderot era um ateu convicto e passava seus diasconvertendo os russos ao ateísmo. Isso deixava Catarina furiosa, e

ela pediu a Euler que fizesse alguma coisa para deter os esforçosdo agnóstico francês.

Euler pensou um pouco no assunto e depois afirmou ter obti-do uma prova algébrica para a existência de Deus. Catarina convi-dou Euler e Diderot ao seu palácio e reuniu seus cortesãos paraassistirem ao debate teológico. Euler apresentou-se diante da au-diência e anunciou:

Sem entender nada de álgebra,Diderot foi incapaz de argumentarcontra o maior matemático da El!ropa e ficou sem palavras. Humi-lhado, ele deixou São Petersburgo e voltou para Paris. Euler conti-nuou apreciando sua volta ao estudo da teologia e publicou váriasprovas falsas relacionadas com a natureza de,Deus e do espírito hu-mano. .

. Um problema mais válido, que cativou a natureza excêntrica'de Euler, relacionava-se com a cidade prussiana de Kõnigsberg, que'hoje se tornou a cidade russa de Kaliningrado. A cidade foi erguidanas margens do rjo Pregel e consiste em quatro bairros separados,ligados por sete pontes. A Figura 7 mostra um diagrama da cidade.Alguns dos moradores mais curiosos se perguntavam se seria pos-sível fazer um passeio, atravessando as sete pontes, sem ter queatravessar duas vezes uma mesma ponte. Os cidadãos de Kõnigsbergtentaram várias rotas, mas todas terminaram em fracasso. Eulertambém não conseguiu encontrar tal rota, mas conseguiu explicarpor que tal jornada era impossível.

"Senhor, (/ + bOI= x, portanto Deus existe, refute!"/1

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Figura 8. Uma representação simplificada das pontes de Kõnigsberg.B

Figura 7. O rio Pregel divide a cidade de Kõnigsberg em quatro par-tes separadas,Jl, B, C e D. Sete pontes ligam as várias partes da ci-dade, e um enigma local pergunta se é possível fazer um passeio demodo que cada ponte seja atravessada uma vez e somente uma vez.

Euler começou com uma planta da cidade e a partir dela produ-ziu uma representação simplificada, na qual os trechos de terrasão reduzidos a pontos e as pontes são substituídas por linhas,como mostrado na Figura 8. Ele então argumentou que, de modoa fazer uma jornada bem-sucedida (ou seja, cruzando todas as

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96 o ÚI;fI~IO TEORE~IA DE FER"IAT UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA 97

pontes só uma vez), um ponto deveser ligadopor um número parde linhas.Isto acontece porque no meio da jornada, quando o via-jante passapor uma massa de terra, ele devechegar por uma pontee sair poroutra. Só existem duas exceções a està regra, quando oviajantecomeça ou termina sua jornada. No começo do passeio oviajantedeixa uma massa de terra e só precisa de uma ponte parasair, e no final chega a uma massa de terra e só precisa de umaponte paraentr~r. Sc a jornada começa e termina em locais dife-rentes, então essas duas massas de terra só podem ter um núme-ro ímpar dc pontes, Mas, se a jornada começa e termina no mes-mo lugar, este ponto, como todos os outros pontos, dcvc tcr umnúmero par de pontes.

Assim,generalizando, Euler concluiu que para qualquer redede pontes só é possível fazer um passeio completo, atravessan-do uma única vez cada ponte, se todas as massas de terra tive-rem um número par de pontes, ou exatamente duas massas deterra tiverem um número ímpar de pontes. No caso de Kõnigsbergexistem guatro massas de terra no total e todas elas são ligadaspor um número ímpar de pontes - três pontos possuem trêspontes e um tem cinco pontes. Euler tinha sido capaz de expli-car por que é impossível atravessar cada uma das pontes deKõnigsberg somente uma vez e, além disso, produziu uma re-gra que pode ser aplicada a qualquer rede de pontes em qual-quer cidade do mundo. O argumento é bem simples e talvezfosseesse tipo de problema lógico que Euler costumava rabiscar an-tes do jantar.

Quando Euler encontrou o Último Teorema de Fermat, cIedeve ter-lhe parecido tão simples quanto o problema das pon-tes de Kõnigsberg. Euler deve ter pensado em resolvê-Io adap-tando uma estratégia igualmente direta. Lembre que Fermatdeclarou que não há soluções com números inteiros da seguin-te equação:

Esta equação representa um conjunto infinito de equações:

X3 + y3 = Z3

X4 + y4 = Z4

X5 + y5 = Z5

X6+y6=Z6

X7 + y7 = Z7

e assim por diante.

Eulcr imaginou,se não poderia provar que uma das equações nãotinha solução e então extrapolar o resultado para todas as outrasrestantes.

Seu trabalho recebeu um empurrão quando ele descobriu umapista oculta nas anotações de Fermat. Embora Fermat nunca te-nha escrito uma demonstração de seu Último Teorema, ele des-creveu, disfarçadamente, uma prova para o caso específico n = 4em outra parte de suaAn'tmética e a incorporou na demonstraçãode um problema totalmente diferente. Embora este fosse o cáleulomais completoque elejamais colocounum papel,os detalhes eramvagose incompletos. Fermat conclui a demonstração dizendo quea falta de tempo e de papel o impedia de apresentar uma explica-çãocompleta.Masapesarda faltade detalhesnosescritosde Fermat,eles claramenteilustramumaprovapor contradiçãoconhecidacomométodo da descida infinita.

De modo a provar que não existem soluções para a equaçãoX4 + y4 = z4, Fermat começoupresumindo que existisseumasolução hipotética

x =XJ Y =~ z = ZJ'

x" + )I"= z", para qualquer número 11maior do que 2,

Examinando as propriedades de (XI' YJ' Z,), Fermat poderiademonstrar que, se esta solução hipotétiea existisse, então existi-ria uma solução menor (Xz' Yz' Zz). E, ao analisar esta segunda so-lução, Fermat poderia mostrar a existência de uma solução ainda

menor (X3,Y3,Z3)' e assim por diante.

98 o ÚLTIl\IO TEOREl\IA DE FERI\IAT UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA 99

Fermat tinha descoberto uma escadaria descendente de solu-

ções que, teoricamente, poderia continuar gerando números cadavez menores. Contudo, x, y e z devem ser números inteiros e, por-tanto, aescadaria infinita é impossível, porque deveexistir uma menorsolução possível. Esta contradição prova que a hipótese inicial, deque existe uma solução (XI' }TI'ZI)' deve ser falsa. Usando o méto-do da descida infinita, Fermat tinha demonstrado que a equaçãocom 11= 4 não pode ter qualquer solução, porque se tivesse as con-seqÜências scriam ilógicas.

Euler tentou usar isso como um ponto de partida para cons-truir uma demonstração geral para todas as outras equações. Alémde criar uma para 11= infinito, ele teria que criar uma para 11= 3,c foi este primeiro degrau para baixo que ele tentou em primeirolugar. No dia 4 de agosto de 1753,Euler divulgou, em uma cartaenviada ao matemático prussiano Christian Goldbach, que tinhaadaptado o método da descida infinita de Fermat e conseguira de-monstrar com sucesso o caso de 11= 3. Depois de cem anos estacra a pritneira vez que alguém conseguia fazer algum progresso nadireção de solucionar o desafio de Fermat.

Mas para fazer com que a prova de Fermat para II = 4 cobrissetambém o caso de 11= 3, Euler teve que incorporar um conceitobizarro, conhecido como nÚmeros i11laginá17'os,uma entidade quefora descoberta pelos matemáticos europeus do século XVI. É es-tranho pensar em novos números sendo "descobertos", mas isso éporque estamos tão acostumados com os números que usamos emnosso dia-a-dia que esquecemos de que houve uma época em quecstcs números não eram conhecidos. Números negativos, fraçõesc nÚmeros irracionais precisaram ser descobertos, e a motivaçãopor trás de cada descoberta era a resposta para perguntas que, deontro modo, não tcriam resposta.

A história dos nÚmeros começa com os nÚmcros quc usamospara contar (1,2,3, ...), conhecidos como nÚmeros naturais. Essesnúmeros são perfeitamente adequados para somar quantidadessimples e inteiras, tais como ovelhas ou moedas de ouro, chegan-do-se a um nÚmero total que é uma quantidade inteira. Além daadição, outra operação simples, a multiplicação, age sobre núme-

ros inteiros produzindo números inteiros. Contudo, a operação dedivisão apresenta um problema complicado. Embora 8 dividido por

2 seja igual a 4, descobrimos que 2 dividido por 8 é igual a :}. Oresultado desta última divisão não é um número inteiro e sim umafração.

.' Assim a divisão é uma operação simples, feita com númerosnaturais, que nos obriga a olhar além dos números naturais demodo a obter urna resposta. Para os matemáticos é impens~velnão ser capaz de responder a cada pergunta, pelo menos em teo-ria, e esta necessidade é chamada de completeza. Existem certasquestões relacionadas com os números naturais que seriam im-possíveis de responder sem se recorrer a frações. Os matemáti-cos expressam isto dizendo que as frações são necessárias para acompleteza.

Foi esta necessidade 'que levou os hindus a descobrirem osnúmeros negativos.Os hindus perceberam que embora 3 subtraí-do de 5 seja obviamente2, subtrair 5 de 3 não é urna questão tãosimples. A resposta se encontra além dos números naturais e sópode ser obtida se introduzirmos o conceito dos números negati-vos.Alguns matemáticos não aceitavameste mergulho na abstra-ção e se referiam aos números negativoscorno"absurdos" ou "fic-tícios". Embora uma pessoa possa segurar uma moeda da ouro, oumesmo meia moeda de ouro, é impossível ter nas mãos urna moe- .

da negativa.Os gregos também buscavam a completeza, e isto os levou a .

descobrir os números irracionais.No Capítulo 2 surgiu a questão:Quenúmero é a raiz quadrada de dois,.fi ? Os gregos sabiam queeste número era aproximadamente igual a f, mas,quandotenta-ram encontrar a fraçãoexata,eles descobriram que ela não existia.Lá estavaum número que nunca poderia ser representado por umafração,mas este novotipo de número era necessário para respon-der a urna pergunta simples: Qual é a raiz quadrada de dois? Aexigência da completeza significavaque outra colônia deveria seracrescentada ao império dos números.

Durante a Renascença, os matemáticos acreditavam ter des-coberto todos os números do universo. Eles poderiam ser ima-

100 o Úl:rIJ\IO TEOREJ\I:\ DE FERi\IAT UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA 101

ginados ao longo de uma linha de nlÍmeros - uma reta infinita-mente longa com o zero no centro, como mostrado na Figura 9.Os números inteiros eram colocados ao longo da linha, com osnÚmeros positivos sc estcndcndo à direita do zero, até o infini-to positivo, e os números negativos se estendendo à esquerdado zero, até o infinito negativo. As frações ocupavam os espaçosentre os nÚmeros inteiros e os nÚmeros irracionais ficavam en-

tre as frações.

-4 -3 -2 -1 O +1 +2 +3 +4!-2 ..f2

+- I I I I I I I I I I I )

óbvios. Ao mesmo tempo a completeza exige que sejamos capa-zes de responder a pergunta.

A solução para Bombelli foi criar um novo número, i, chama-do de lllÍmero imagillán'o, que é definido simplesmente como asolução para a pergunta: Qual é a raiz quadrada de um negativo?Isso pode parecer uma solução covarde para o problema, mas nãoé diferente do modo como surgiram os números negativos.. En-carando outra questão sem resposta, os hindus meramente defi-niram -1 como a resposta para a pergunta: Qual o valor de zeromellOSum? É mais fácil aceitar a idéia de -1 apenas porque temosexperiêncià com o conceito análogo de "dívida". Por outro lado,não temos nada no mundo real para simbolizar a idéia dos núme-ros imaginários. O matemático alemão do século XVII, GottfriedLeibniz, descreveu de modo elegante a natureza estranha dosnúmeros imaginários: "O número imaginário é um recurso óti-mo e maravilhoso do espírito divino, quase um anfíbio entre o sere o não-ser."

Uma vez que tenhamos definido i como sendo a raiz quadradade -1, então 2i deve existir, porque ele seria a soma de i mai~ i (as-

sim como a raiz quadrada de - 4). De modo semelhante, T tam-bém deve existir, porque seria o resultado da divisão de i por 2. Rea-lizando operações simples é possível chegar aoequivalente imagináriodos chamados números reais. Esses são os números naturais ima-

ginários, os números negativos imaginários, as frações imagináriase os imaginários irracionais.

O problema que agora surge é que todos esses números ima-ginários não possuem uma posição natural ao longo da linha dosnúmeros reais. Os matemáticos resolveram a crise criando uma linha

separada para os números imaginários, que é perpendicular à retados números reais e a cruza no zero, como mostrado na Figura 10.Os números não estão mais restritos a uma reta unidimensional e

sim ocupam um plano bidimensional. Enquanto os números ima-ginários puros e os números reais puros ficam restritos às suasrespectivas linhas numéricas, combinações de números reais eimaginários (como, por exemplo, 1 + 2i), chamadas de númeroscomplexos, vivem no assim chamado plano dos números.

Figura 9. Todos os nÚmeros podem ser posicionados ao longo deuma linha de nÚmeros que se estende até o infinito em ambas asdireções.

A linha dos números sugere que talvez a completeza tivesse sidoconquistada. Todos os números pareciam estar no lugar certo, prontosa responderem a todas as questões da matemática - e, em todo ocaso, não havia espaço na linha dos números para qualquer núme-ro novo. Então, no século XVI ouviram-se novos murmúrios deinquietude. O matemático italiano Rafaello Bombelli estava estu-dando as raízes quadradas de vários números quando tropeçou emuma pergunta sem resposta.

O problema começou com a pergunta: Qual é a raiz quadra-da de um,$. ?A resposta óbvia é 1,porque 1x 1 = 1. Uma respostamenos evidente é -1. Um número negativo multiplicado por ou-

tro número negativo gera um número positivo. Isto significa que-I x-I = + I.Assim, a raiz quadrada de + 1é + 1 e -1. Esta abun-

dância de respostas é ótima, mas então surge a pergunta: Qual éa raiz quadrada de um llegativo,$. ? O problema parece não terresposta. A solução não pode ser + 1 ou - 1 porque o quadradodesses números é + 1. Contudo, não existem outros candidatos

102 o ÚLTli\1O TEOREMA DE FERi\IATUMA DESGRAÇA MATEMÁTICA 103

eixoreal

Uma coisa particularmente extraordinária é que os númeroscomplexos podem ser usados para resolver qualquer equação con-cebível. Por exemplo, para calcular a raiz quadrada de~(3+4j)osmatemáticos não precisaram inventar um novo tipo de número -a resposta é 2 + i, outro número complexo. Em outras palavras, osnúmeros imaginários parecem ser rielemento final necessário paratornar a matemática completa. ..

Deve ser lembrado que os matemáticos não consideram osnúmeros imaginários mais abstratos do que um número nega-tivo ou qualquer número natural. Além disso, os físicos desco-briram que os números imaginários representam a melhor lin-guagem para descrever alguns fenômenos do mundo real. Comalgumas pequenas manipulações, os números imaginários serevelam o modo ideal para analisar o movimento oscilante deobjetos como os pêndulos. Este movimento, conhecido tecni-camente como oscilação senoidal, é encontrado na natureza, eassim os números imaginários se tornaram uma parte integralde muitos cálculos da física. Hoje em dia os engenheiros elétri-cos invocam o i para analisar a oscilação de correntes enquantoos físicos teóricos calculam as conseqüências das oscilações nasfunções de onda da mecânica quântica usando as potências dosnúmeros imaginários.

Os matemáticos puros também têm explorado os númerosimaginários, usando-os para encontrar respostas para problemasantes impenetráveis. Os números imaginários literalmente acres-centam uma nova dimensão à matemática, e Euler esperava poderexplorar este grau extra de liberdade para atacar o Último Teoremade Fermat.

No passado outros matemáticos tentaram adaptar o métodode Fermat de descida infinita para resolver outros casos, além de11= 4, mas cada uma dessas tentativas de estender a prova levavaa brechas na lógica. Euler mostrou que, incorporando-se o nú-mero imaginário i em sua prova, ele poderia tapar os buracos nademonstração e forçar o método da descida infinita a funcionarpara o caso de II = 3.

Foi uma realização extraordinária, mas uma realização que ele

eixoimaginário

4i -.-

3i

2i ..- @ 1+2i

-4 -3 -2 -1 +1 +2 +3 +4

-i

-2i

-3i -

-4i

Figura 10.A introdução dc um eixo para os números imagináriostransforma a linha dos números num plano dos nÚmeros. Qualquercombinação dc nÚmcros rcais c imaginários tcm uma posição no planodos números.

104- o ÚLTli\IO TEORE:\IA DE FERi\IAT

não pôde repetir para os outros casos englobados pelo ÚltimoTeorema de Fermat. Infelizmente, todas as tentativas de Euler defazer seu argumento valer para outros números, descendo ao infi-nito, terminaram em fracasso. O homem que criou mais matemá-tica do que qualquer outro na história foi humilhado pelo desafiode Fermat. Seu único consolo era de que tinha feito o primeiro avançol1asolução do problema mais difícil do mundo.

Euler continuou criando uma matemática brilhante até o dia

de sua morte, uma realização ainda mais extraordinária pelo fatode que ele estava totalmente cego nos últimos anos de sua car-reira. Sua perda de visão começou em 1735, quando a Academiade Paris ofereceu um prêmio pela solução de um problema deastronomia. O problema era tão difícil que a comunidade mate-mática pediu vários meses para produzir uma solução, mas paraEuler isto não era necessário. Ele se tornou obcecado com o tra-

balho, trabalhando continuamente durante três dias, e ganhouo prêmio. Mas as péssimas condições de trabalho combinadascom a tensão intensa custaram a Euler, então com vinte e pou-cos anos, a visão de um dos olhos. Isto é mostrado em muitos

retratos de Euler, incluindo o que aparece no início deste capí-tulo.

Seguindo o conselho dc Jean Le Rond d'Alembert, Euler foisubstituído por Joseph-Louis Lagrange como matemático na cor-te de Frederico, o Grande. O rei depois comentou: "Devo aos seuscuidados e recomendações por ter substituído um matemático meiocego por outro com ambos os olhos, o que vai satisfazer especial-mente aos membros anatômicos da minha Academia." Euler "01-

tou para a Rússia onde Catarina, a Grande, deu as boas-vindas aoseu "cícIope matemático".

A perda de um dos olhos cra um problema menor - de fatoEuler afirmava que "agora teria menos distrações". Mas qua-renta anos depois, com a idade de sessenta, sua situação piorouconsideravelmente, quando uma catarata no olho perfeito indi-cou que ele se tornaria completamente cego. Euler estava de-terminado a não se entregar e começou a praticar a escrita como olho afetado fechado, de modo a aperfeiçoar sua técnica antel

UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA105

de ser envolvido pela escuridão. Em questão de semanas ele estavacego.

EuLercontinuou com sua produção matemática pejos dezesseteanos seguintes e conseguiu ser mais produtivo do que nunca. Seuimenso intelecto lhe permitia anaJisar conceitos sem precisar co]ocá-]os no papel e sua memória fenomenal fazia de seu cérebro uma

biblioteca mental. Os colegas chegaram a dizer que a cegueira pa.:.recia ter ampliado os horizontes de sua imaginação. Deve ser ]em-brado que as computações de Eu]er para as posições da Lua foram

terminadas dur.ante este período de cegueira. Para os imperadoresda Europa, esta era a mais vaJiosa das conquistas matemáticas, umproblema que desafiara os maiores matemáticos da Europa, incJu-indo Newton.

Em 1776 foi realizada uma operação para a retirada da catara-ta, e por alguns dias a visão de Eu]er parecia ter sido restaurada.Então ocorreu uma infecção e Eu]er mergulhou de volta na escuri-dão. Sem se abalar, ele continuou trabalhando até 18 de setembrode 1783, quando sofreu um derrame fatal. Nas palavras do filósofoe matemático, o marquês de Condorcet, "Eu]er deixou de viver ede calcu]ar".

Um Avanço Lento

Umséculodepoisda mortede Fermat existiamdemonstraçõesparaapenasdois casosespecíficosdo Último Teorema.Fermat dera aosmatemáticos uma boa pista com sua demonstração de que nãoexistem soluções para a equação:

x4 + y4 = Z4.

Euler tinha adaptado a demonstração para provar que não há so]u-ções para

x3 + y3 = Z3.

106 o ÚI:rmO TEOREI\tA DE FERMAT

Depois do avanço rcalizado por Euler ainda era necessário provarque não há soluções com nÚmeros inteiros para uma infinidade deoutras equações:

.\",+ .1" = z'x6 + )'6 = Z6

X7 + )'7 = Z7

x8 + y8 = Z8

C assim por diantc.

Embora o progresso feito pelos matemáticos fosse embaraçosa-mente lento, a situação não era tão ruim quanto parecia à primei-ra vista. A demonstração para o caso de 11= 4 também serve de

prova para os casos de 11 = 8, 12, 16, 20, ... . A explicação é quequalquer nÚmero que possa scr escrito como uma potência de 8(ou de 12, 16, 20, ...) pode também ser reescrito como uma po-tência de 4. Por exemplo, o nÚmero 256 é igual a 28, mas é tam-bém igual a 4~.Portanto, qualquer demonstração que funcione paraa potência 4 também vai se aplicar para um número elevado a 8 epara qualquer outro que seja múltiplo dc 4. Usando o mesmo prin-cípio, a demonstração de Euler para II = 3 automaticamente pro-va as hipóteses de 11= 6,9,12,15, ...

Subitamente os números estavam rolando e Fermat pareciavulnerável. A demonstração para o caso de II = 3 é particular-

mente significativa, porque 3 é um exemplo de IlÚmero primo.Como explicado anteriormente, um número primo tem a pro-priedade especial de não ser múltiplo de nenhum número in-teiro, exceto 1 e ele mesmo. Outros números primos são 5, 7,11, 13, ... .Todos os números restantes são múltiplos de núme-ros primos e recebem o nome de não-primos ou números com-postos.

Os teóricos dos números consideram os números primos como

os mais importantes entre todos os números, porque eles são osátomos da matemática. Números primos são os tijolos da cons-trução numérica porque todos os outros números podem ser criadosmultiplicando-se combinações de números primos. Isto parece


levar a um avanço extraordinário. Para demonstrar o ÚltimoTcorcma dc' Fcrmat para todos os valores de n só é precisodemonstrá-Io para valores primos de n. Todos os outros casos serãoentão meramente múltiplos dos casos primos e serão demonstradosimplicitamente.

Intuitivamente isto deveriasimplificar bastante o problema. Agoraé possível ignorar as equações que envolvem um valor de n que nãqseja número primo. O número de equações que resta se reduzimensamente. Por exemplo, nos valores de n até 20, só é necessá-rio demonstrar. seis valores:

X5 + y5 = Z5

x7 + y7 = Z7

Xii + yll = zl1

Xl3 + y13 = Z13

Xl7 + yl7 = Z17

Xl9 + y19 = Z19.

Se for possível demonstrar o Último Teorema de Fermat somentepara os valores primos de n, então o teorema está demonstrado paratodos os valores de n. Se pensarmos em todos os números inteiros,é óbvioque existe uma infinidade deles. Mas se considerarmos apenasos números primos, que representam apenas uma pequena fraçãode todos os números inteiros, certamente o problema deveria setornar mais simples.

A intuição sugere que, se você começa com uma quantidadeinfinita e então retira a maior parte dela, o que sobra é alguma coi-sa finita. Infelizmente a intuição não é o árbitro da verdade namatemática e sim a lógica. De fato, é possível provar que a lista denúmeros primos não termina nunca. Por isso, embora possamosignorar a vasta maioria das equações relacionadas com valores não-primos de n, as equações restantes, relativas aos valores primos de1l,ainda aparecem em quantidade infinita.

A demonstração de que existe uma infinidade de números pri-mos vem da época de Euclides, e constitui uma das argumenta-ções clássicas da matemática. Inicialmente, Euclides presumiu que

108 o ÚI:rJl\IO TEOREl\I'\ DE FER~I'\T UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA 1091

existisse uma lista finita de nÚmeros primos conhecidos e entãomostrou que deve existir um número infinito de acréscimos a estalista. Existem N números primos na lista finita de Euclides, quesão chamados de Pp P2,P3, ...PN.Euclides então pôde gerar umnovonúmero Q,\ de modo que:

Q,\ = (P1XP2XP3X...xPS) + 1.

um exemplo de infinito conhecido como o Hotel de Hilbert. Estehotel hipotético tem o desejável atributo de possuir um núme-ro infinito de quartos. Um dia um novohóspede chega e fica de-sapontado ao ser informado de que, apesar do tamanho infinitodo hotel, todos os quartos estão ocupados. Hilbert, o gerente,pensa um pouco e então garante ao recém-chegado de que vaiencontrar um novo quarto para ele. Ele pede a todos os hóspe-

des que se mudem para o quarto adjacente, de modo que o.hós- Ipcde do quarto 1 se muda para o quarto 2, o hóspede do 2 semuda para o 3 e assim por diante. Todos que estavam no hotelcontinuam tcndo um quarto, enquanto o recém-chegado podeagora ocupar o quarto número 1,que ficou vago.Isso mostra queo infinito mais um é igual a infinito. Do mesmo modo, infinitomenos um ainda continua sendo infinito, e, de fato,infinito menosum milhão ainda é infinito.

Na noite seguinte Hilbert precisa lidarcom um problemaaindamaior. O hotel continua cheio quando um veículo infinitamentegrande chegacom um número infinito de novoshóspedes. Hilbertnão se deixa abalar e esfrega as mãos de contentamento pensan-do na quantidade infinita de diárias. Ele pede a todos os seus hós-pedes anteriores para que se mudem para os quartos cujos nú-merossejamo dobrodonúmero doquartoanterior.Assimohóspede'do quarto 1 se muda para o quarto 2, o hóspede do quarto Z semuda para o quarto 4 e assim por diante. Todos aqueles que se'encontravam no hotcl continuam alojados e no entanto um nú-'mero infinito de quartos, os de números ímpares, ficaram vagospara receber os recém-chegados. Isto mostra que o dobro do in-finito ainda é infinito. E a metade do infinito continua sendo in- Ifinito. I

O Hotel de Hilbert sugere que todos os infinitos são igualmente I

grandes, porque vários infinitos podem ser espremidos no mesmo!hotel infinito. O infinito de números pares pode ser igualado peloinfinito de números inteiros. Contudo, alguns infinitos são de fatomaiores do que outros. Por exemplo, qualquer tentativa de fazercorresponder, a cada número racional, um número irracional, ter-mina em fracasso, e pode-se realmente provar que o conjunto infi-

Este novonÚmcroQ,\podc ser primo ou não-primo. Se for primo,cntão tcrcmos tido succsso cm ~crar um númcro primo novoe maior,e portanto nossa lista ori~inal de números primos não estava com-

pleta. Por outro lado, se Q,\ não for primo, então ele deve ser per-feitamente divisível por um nÚmero primo. Este primo não pode

ser um dos números primos conhecidos, porque a divisãode Q,\

por qualquer um dos primos conhecidos vai deixar, inevitavelmen-te, um rcsto dc 1. Portanto, deve existir algum novo número primoquechamaremosdePN+ I"

Agora chegamos ao estágio onde ou Q,\ é um novo númeroprimo ou temos outro número primo novo P,,'+ ,. De qualquerforma teremos feito um acréscimo à nossa lista original. Agorapodemos repetir o processo incluindo nossos novos númerosprimos (Ps + I ou Q,\) em nossa lista para gerar um novo númeroprimo QB.OU este número será um novo número primo ou teráque existir um outro nÚmero primo P,. +2que não estava em nossalista original. A conclusão é que não importa o quão longa seja anossa lista de nÚmeros primos, vai ser scmpre possívcl encon-trar um novo. Portanto, a lista de primos não tem fim, ela é infi-nita.

Mas como pode alguma coisa que é inegavelmente menor doque uma quantidade infinita ser infinita? No começo do século XXo matemático alemão David Hilbert disse: "O infinito! Nenhum outro

conceito estimulou tão profundamente o espírito humano; nenhumaoutra idéia estimulou o intelecto de modo tão frutífero, e no en-tanto nenhum outro conceito precisa ser mais esclarecido do quea idéia do infinito."

Para ajudar a explicar o mistério do infinito, Hilbert criou

110 o ÚLTIMO TEORE:lIA DE FERMAT UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA 111

nito de números irracionais é maior do que o conjunto infinito denúmeros racionais. Os matemáticos tiveram que desenvolver todoum sistema de nomenclatura para lidar com as escalas variáveis doinfinito, e lidar com esse conceito é um dos assuntos mais quenteshoje em dia.

Embora a infinidade de números primos tenha acabado comas esperanças de se encontrar uma prova precoce para o ÚltimoTeorema de Fermat, este mesmo suprimento incontável de núme-ros primos teve implicações bem mais positivas em outras áreas,como por exemplo a espionagem e a evolução dos insetos. Antesde voltarmos à busca pela demonstração do Último Teorema deFermat vale a pena dar uma olhada rápida nos usos e abusos dosnúmeros primos.

A teoria dos números primos é uma das poucas áreas da mate-mática pura que encontra aplicações diretas no mundo real, maisprecisamente na criptografia. A criptografia envolve a codificaçãode mensagens secretas de modo que elas só possam ser decodificadaspelo receptor e não por outra pessoa que possa interceptá-Ias. Oprocesso de codificaçãoenvolveo uso de uma chavesecreta, e tra-dicionalmente a decodificaçãoda mensagem simplesmente exigeque o receptorapliquea chaveaocontrário.Com este procedimentoa chave é o elo mais fraco na corrente da segurança. Em primeirolugar, aquele que enviaa mensagem e aquele que a recebe devemestar de acordoquanto aos detalhes da chave,e a troca desta infor-mação é um processo arriscado. Se o inimigo interceptar a trocade chaves, então ele poderá decodificar todas as mensagens sub-seqüentes. Em segundo lugar,as chavesdevem ser trocadas regu-larmente de modo a manter a segurança da operação, e cada vezque isso acontece há o risco da novachave ser interceptada.

O problema da chavegira em torno do fato de que sua aplica-ção de um modo codifica a mensagem, enquanto aplicando-a emreverso decodifica.Ou seja, decodificar a mensagem deve ser tãofácil quanto codificá-Ia.Contudo, a experiência nos mostra queexistem muitas situações diáriasonde a decodificaçãoé muito maisdifícildo quea codificação.É fácilmexerum ovo,mas fazê-1ovol-tar ao estado original é muito mais difícil.

Na década de 1970, Whitfield Diffie e Martin Hellman tive-ram a idéia de procurar por um processo matemático que fossefácil de realizar em um sentido, mas incrivelmente difícil derealizar na direção oposta. Tal processo seria a chave perfeita.Por exemplo, eu poderia ter uma chave em duas etapas. A meta-de codificadora eu colocaria num diretório público. Assim, qual-quer um poderia me enviar mensagens codificadas, mas só euteria a parte decodificadora da chave. Embora todo mundo sou-besse da parte codificadora, ela não teria relação com a partedecodificadora.

Em 1977 Ronald Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman, umaequipe de matemáticos e cientistas de computadores do Institutode Tecnologia de Massachusetts, perceberam que os números primoseram a base ideal para um processo fácil de codificar/difícil dedecodificar. De modo a fazer a minha própria chave pessoal eu usariadois enormes números primos, cada um contendo cerca de 80 dí-gitos, e então multiplicaria um pelo outro de modo a obter um nú-mero não-primo ainda maior. Para codificar as mensagens tudo oque é necessário é o conhecimento do número não-primo, enquantopara decodificar a mensagem é preciso conhecer os dois númerosprimos originais que foram multiplicados, conhecidos como fato-res primos. Eu posso agora publicar meu número não-primo enorme,a parte codificadora da chave, enquanto mantenho os dois fatoresprimos, ou seja, a parte decodificadora da mensagem para mim. Eo que é importante, embora todo mundo conheça o imenso núme- .ro não-primo, uma dificuldade imensa aguarda quem tentar des-cobrir os fatores primos.

Usando um exemplo simples, eu poderia apresentar o número589, que não é primo, para que todos o usassem na codificação demensagens para mim. Eu manteria em segredo os dois fatores pri-mos de 589, de modo que só eu pudesse decodificar as mensagens.Se outras pessoas pudessem descobrir os dois fatores primos en-tão elas também poderiam ler minhas mensagens, mas mesmo paraeste número pequeno não fica evidente quais são seus fatores pri-mos. Neste caso seriam necessários apenas alguns minutos numcomputador doméstico para calcular os fatores primos como sen-

112 o ÚI;rI;\IO 'mORDIA DE FER;\IAT UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA 113

do 31e 19 (31x 19 = 589) e assim minha chave não ficaria segurapor muito tempo.

Contudo, na realidade, o número não-primo que eu publicariateria mais de cem dígitos, o que torna a tarefa de encontrar os fa-tores primos realmente impossível. Mesmo que os computadoresmais poderosos do mundo fossem usados para decompor este imensonúmero não-primo (a chavecodificadora) em seus dois fatores primos(a chave decodificadora), seriam necessários vários anos para seobter uma resposta. Portanto, para lograr os espiões estrangeiros,eu só tenho que mudar a chave numa base anual. Uma vez por anoeu anuncio meu novo número gigante não-primo e todos os quequiserem decodificar minhas mensagens terão que começar a com-putar os dois fatores primos do início.

Além de encontrar um papel na espionagem, os números pri-mos também aparecem no mundo natural. As cigarras, maisnotadamente a 1I1agicicada septendeci11l,possuem o ciclo de vidamais longo entre os insetos. A vida delas começa embaixo da ter-ra, onde .as ninfas sugarn pacientemente o suco da raiz das árvo-res. Então, depois de 17anos de espera, as cigarras adultas emergemdo solo e voam em grande número espalhando-se pelo campo.Depois de algumas semanas elas acasalam, põem seus ovos emorrem.

A pergunta que intrigava os biólogos era: Por que o ciclo de vidada cigarra é tão longo? E será que existe algum significado no fatode o cicloser um número primo de anos? Outra espécie, aMagicicadah'edeci11l,forma seus enxames a cada 13 anos, sugerindo que umciclo vital que dura um número primo de anos oferece alguma van-tagem evolutiva.

Uma teoria sugere que a cigarra tem um parasita com um ci-clo de vida igualmente longo, que ela tenta evitar. Se o ciclo devida do parasita for de, digamos, 2 anos, então a cigarra procuraevitar um ciclo vital que seja divisível por 2, de outro modo os ci-clos da cigarra e do parasita vão coincidir regularmente. De modosemelhante, se o ciclo de vida do parasita for de 3 anos, então acigarra procura evitar um ciclo que seja divisível por 3, para queseu aparecimento, e o do parasita, não volte a coincidir. No final,

para evitar se encontrar com seu parasita, a melhor estratégia paraas cigarras seria ter um ciclo de vida longo, durando um númeroprimo de anos. Como nenhum número vai dividir 17,aMagicicadaseptendeci11l raramente se encontrará com seu parasita. Se o pa-rasita tiver um ciclo de vida de 2 anos, eles só se encontrarão umavez a cada 34 anos, e se ele tiverum ciclo mais longo, digamos, de16 anos, então eles só vão se enéontrar uma vez a cada 272 (16 x17) anos. ,

De modo a contra-atacar, o parasita só pode ter dois ciclos devida que vã~ aumentar a freqüência de coincidências - o ciclo anuale o mesmo ciclo de 17 anos da cigarra. Contudo, é improvável queo parasita sobreviva se reaparecer durante 17 anos seguidos, por-que pelos primeiros 16anos não vai encontrar cigarras para parasitar.Por outro lado, para alcançar o ciclo de 17 anos, as gerações de pa-rasitas terão que primeiro evoluir para o ciclo de 16 anos. Isto sig-nifica que, em algum estágio de sua evolução, a aparição do parasi-ta e da cigarra não coincidiria durante 272 anos! Em ambos os casoso longo ciclo vital da cigarra a protege.

Isto pode explicar por que o suposto parasita nunca foi en-contrado. Na corrida para alcançar as cigarras, o parasita prova-velmente foi estendendo seu ciclo de vida até atingir a barreirados 16 anos. Então o aparecimento das duas espécies deixou de,coincidir por 272 anos e a ausência de cigarras levou o parasita àextinção. O resultado é uma cigarra com um ciclo de vida de 17anos que ela não mais necessita, porque seu parasita não existe'maIs.

Monsieur Le Blanc

No começo do século XIX o Último Teorema de Fermat já se fir-mara como o mais famoso problema da teoria dos números. Desdeo avanço realizado por Euler não houvera outros progressos, masuma dramática revelação, feita por uma jovem francesa, iria revi-gorar a busca pela demonstração 'perdida. Sophie Germain viveuem uma era de preconceitos e chauvinismo. Para realizar suas pes-

114 o ÚLTIl\1O TEOREl\IA DE FERl\IAT

Sophie Germain

. - -_::..-: - - - - -~--: ~'-:. -.~~,~- _.-- --. --

~= - ~~.~;~:~ =;; ~\: :~~~;~~~~~--~.~-~~~~::::~~~-~:~'~{'~~ .;?~,

tudar matemática, mas apesar da discriminação boU\'e:.mulheres matemáticas que lutaram contra os precow' ::;vando seus nomes na história da ciência. A primeira 'produzir um impacto nesta disciplina foi Theano, noa.C. Ela começou sua carreira como uma das estu.Pitágoras e acabou se casando com ele. Pitágoras é conbec:idó"o filósofo feminista" porque ativamente encorajou ml

UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA

I

115!I

estudantes. Theano foi uma das vinte e oito irmãs da Irmandade

Pitagórica.Nos séculos seguintes, filósofos como Sócrates e Platão conti-

nuariam a convidar mulheres para suas escolas, mas foi somenteno século IV de nossa época que uma mulher fundou sua própriaescola de matemática, e se tornou muito influente. Hipáeia, filhade um professor de matemática da Universidade de Alexandril:l., ficoufamosapor fazer as dissertações mais populares do mundo conhe-cido e por ser uma grande solueionadorade problemas. Matemá-ticosque haviampassadomeses sendofrustrados poralgumproble-ma em especiales~reviampara elapedindo uma solução.E Hipáciararamente desapontava seus admiradores. Ela era obcecada pelamatemática e pelo processo de demonstração lógica.Quando lheperguntavampor que nunca se casara ela respondia que já era ca-sada com a verdade. E, finalmente, sua devoção à causa daracionalidade causou sua ruína, quando Cirilo, o patriarca deAlexandria,começou a oprimir os filósofos,os cientistas e os ma-temáticos, a quem chama\"3 de hereges. O historiador Edward Gibbonfaz um relato \Í\ido do que aconteceu depois que CiriJo tramou contraHipácia e instigou as massas contra ela:

Xum dia fatal, na estação sagrada de Lent, Hipácia foi ar-rancada de sua carruagem, teve suas roupas rasgadas e foiarrastada nua para a igreja. Lá foi desumanamente massa-crada pelas mãos de Pedra, o Leitor, e sua horda de fanáti-cos selvagens. A carne foi esfolada de seus ossos com ostrasafiadas e seus membros, ainda palpitantes, foram atiradosb chamas.

II

depois da morte de Hipácia a matemática entrou num perío- I"deestagnação e somente depois da Renascença foi que outra I

'escreveu seu nome nos anais da matemática. Maria Agnesiem Milãoem 1718e, como Hipácia, era filha de um mate- .

, im. Ela foi reconhecida como um dos melhores matemáticos-..,Europae ficou particularmente famosa por seus tratados sobre

.~J:mgentes às curvas. Em italiano as curvas são chamadas versiera,

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" . .-- -- .,r'",

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116 () úl:rJ;\IO TEORE:\IA DE FER;\IAT

palavraderivada do latim 've11ere,"virar", mas esta palavra tambémé uma abreviação de avversiera, ou "esposa do Diabo". Uma curvaestudada por Agnesi (versiera Agllesi) foi traduzida erradamentepara o inglês como "a bruxa Agnesi" e em pouco tempo a própria.matemática era chamada. pelo mesmo título.

Embora os matemáticos de toda a Europa reconhecessem ashabilidades de Agnesi, muitas instituições acadêmicas, em espe-cial aAcademia Francesa, continuaram a lhe recusar uma vaga como

pesquisadora. A discriminação institucionalizada contra as mu-lheres continuou até o século xx, quando Emmy Noether, des-crita por Einstein como "o mais significante gênio matemáticocriativo já produzido desde que as mulheres começaram a cursaros estudos superiores", teve negado seu pedido para dar aulas naUniversidade de Gottingen. A maioria do corpo docente argumen-tou: "Como podemos permitir que uma mulher se torne Pn'-vatdozelll? Tendo se tornado Privatdozelll ela pode se tornar pro-fessora e membro do Conselho Universitário... O que os nossos

soldados vão pensar quando voltarem para a Universidade e des-cobrirem que devem aprender aos pés de uma mulher?" Seu amigoc mentor David Hilbert respondeu: "Meille Herrell, eu não vejocorno o sexo de um candidato possa ser um argumento contra suaadmissão como Pn'vatdozel1l. Afinal, o Conselho não é uma casade ba.lhos."

Depois perguntaram a seu colega Edmund Landau se Noetherera de fato uma grande matemática, ao que ele respondeu: "Eu possotestemunhar que ela é um grande matemático, mas se ela é umamulher eu não posso garantir."

Além de sofrer discriminação, Nocthcr.tevc muitas outras coi-sas em comum com outras mulheres matemáticas através dos sé-

culos, como o fato de que ela também era filha de um professor dematemática. Muitos matemáticos, de ambos os sexos, são de famí-lias de matemáticos, dando origem a brincadeiras sobre a e}Ústên-cia de um gene matemático, mas no caso das mulheres a porcen-tagem é particularmente alta. A explicação mais provável é que arnaioria das mulheres com potencial nunca teve contato com a dis-ciplina ou foi encorajada a estudá-Ia, enquanto as filhas de profes-


sores não podem evitar viverem rodeadas de números. Além disso,Noether, como Hipáeia, Agnesi e a maioria das outras matemáti-cas nunca se casaram, principalmente porque não era socialmenteaceitável que as mulheres se dedicassem a estas carreiras, e pou-cos homens estavam preparados a esposar mulheres com um pas-sado tão polêmico. A grande matemática russa Sonya Kovalevskyéuma exceção à regra já que ela arranjou um casamento de conve-niência com VIadimir Kovalevsky,um homem que concordou comum relacionamento platônico. Para ambas as partes o casamentopermitiu q~e escapassem de suas famílias e se concentrassem emsuas pesquisas. E no caso de Sonya, tornou mais fácil para ela via-jar sozinha pela Europa depois que se tornara uma respeitável mulhercasada.

De todos os países europeus, a França era o mais preconceituosoquanto a mulheres instruídas, declarando que a matemática erainadequada para as mulheres e além de sua capacidade mental. Eembora os salões de Paris tenham dominado o mundo da matemá-

tica durante a maior parte dos séculos XVIII e XIX, somente umamulher conseguiu escapar da prisão imposta pela sociedade fran-cesa firmando-se como uma grande teórica dos números. SophieGermain revolucionou o estudo do Último Teorema de Fermat e

fez uma contribuição ainda maior do que todos os homens que aantecederam. '11: . I

Sophie Germain nasceu no dia 10de abril de 1776, filha do ne- I

gocianteAmbroise-François Germain. Fora de seu trabalho, sua vida' .

1

foi dominada pelas agitações da Revolução Francesa - o ano em

queeladescobriuseuamorpelosnúmerosfoiomesmoanodaQueda 1

da Bastilha, e seu estudo do cálculo foi obscurecido pelo Reinado I

doTerror.Seuspaiseramfinanceiramentebem-sucedidosmas a \famíliade Sophie não pertencia à aristocracia.Embora as mulheres da classe social de Germain não fossem

estimuladas a estudar matemática, elas deveriamter conhecimen-to suficiente do assunto para poder debatê-Io, caso o tema apare-cesse em uma conversaeducada. Para isso haviauma série de li-vrosescritos paraajudaremas mulheres a se inteirarem dos últimosavançosna matemática e na ciência. Francesco Algarotti foi o au-

118 o lJLTI:\IO TEORE1\IA DE FERMAT

tor de A filosofia de Si,- Isaac Newtoll explicada para as senhoras.Como Algarotti achava que as mulheres estavam interessadas ape-nasem romance, ele tentou explicar as descobertas de Newton atravésde um diálogo entre uma marquesa e seu namorado. Por exemplo,o homem delineia a lei do inverso do quadrado da distância na atraçãogravitacionale a marquesa apresenta sua própria interpretação destalei flJllllamcntal da física. "Eu não posso dcixar dc pClIsar (.u) qucesta proporção dos quadrados das distâncias dos lugares (u.) sejaverdadeira mesmo no amor. Assim, depois de oito dias de ausên-cia, o amor se torna sessenta e quatro vezes menor do que era noprimeiro dia."

Não é de surpreender que este gênero de livro não tenha inspi-rado o interesse de Sophie Germain pela matemática. O aconteci-mento que mudou sua vida ocorreu um dia, quando ela estava na~iblioteca de seu pai e encontrou A histó17ada matemáticadeJean-Etienne Montucla. O capítulo que dominou sua imaginação foi oensaio de Montucla sobre a vida de Arquimedes. O relato das des-cobertàs de Arquimedes era sem dúvida alguma interessante, maso que a deixou fascinada foi a história de sua morte. Arquimedespassara avida em Siracusa, estudando matemática em relativa tran-qüilidade, mas quando se encontrava no fim dos setenta anos a pazfoi quebrada pela invasão do Exército romano. Diz a lenda que,durante a invasão, Arquimedes estava tão entretido, estudando umafigura geométrica desenhada na areia da praia, que deixou de res-ponder a uma pergunta de um soldado romano. E o soldado o ma-tou com uma lança. .

Germain concluiu que, se alguém poderia ser tão envolvido porUtu problema de geometria a ponto de ser morto, então a matemá-tica devia ser o assunto mais interessante do mundo. Ela imedia-

tamente começou a aprender o básico da teoria dos números e docálculo e logo estava dormindo tarde para estudar os trabalhos deEuler e Newton. Este súbito interesse em um assunto tão pouco

feminino deixou seus pais preocupados. Um amigo da família, oconde Guglielmo Libri-Carrucci dalla Sommaja, relata como o paide Sophie tomou suas velas e agasalhos e removeu todo o aqueci.mento de modo a impedi-Ia de estudar. Alguns anos antes, na In-


,

glaterra, a jovem matemática Mary Somerville também teve suasvelas confiscadas pelo pai, que afirmou: "Devemos colocar um fimnisto ou vamos ter que colocar Mary numa camisa-de-força um diadesses. "

No caso de Germain ela reagiu mantendo um estoque secretode vclas c sc enrolando nas roupas de cama. Libri-Carrucci escre-veu que as noites de inverno eram tão frias que a tinta conge,lavadentro do tinteiro, mas Sophie continuava a estudar, apesar de tudo~Ela foi descrita por algumas pessoas como sendo tímida e desajei-tada, mas tinha também uma determinação imensa e finalmenteseus pais foram vencidos e deram a Sophie o seu apoio. Germainnunca se casou e por toda sua carreira seu pai financiou suas pes-quisas. Durante muitos anos Germain continuou a estudar sozi-nha, já que não havia matemáticos na família que pudessem trazerpara ela as últimas idéias e seus professores se recusavam a levá-Iaa sério.

Então, em 1794, a ÉcoIe Polytechnique foi inaugurada em Pa-ris. Ela foi fundada para ser uma academia de elite treinando cien-tistas e matemáticos para o país. Seria um lugar ideal para Germaindesenvolver seu talento matemático a não ser pelo fato de que tra-tava-se de uma instituição reservada apenas para os homens. Suatimidez natural a impedia de enfrentar o corpo de diretores da aca-demia, e, assim, Sophie passou a estudar secretamente na École.Ela assumiu a identidade de um ex-aluno, Monsieur Antoine-AugustLe Blanc. A administração da academia não sabia que o verdadeiroMonsieur Le Blanc tinha deixado Paris e continuava a imprimirresumos de aulas e problemas para ele. Germain conseguia obtertudo o que era destinado a Le Blanc e a cada semana entregava asrespostas dos problemas sob este pseudônimo.

Tudo correu bem até que dois meses depois o supervisor docurso, Joseph-Louis Lagrange, não pôde mais ficar indiferente aotalento demonstrado nas respostas de Monsieur Le Blanc. Não sósuas soluções eram maravilhosamente engenhosas como mostra-vam uma transformação extraordinária em um estudante que an-teriormente fora notório por seus péssimos cálculos. Lagrange, queera um dos melhores matemáticos do século XIX, solicitou um

]20 o L'LTI!\IO TEOHE:\L\ DE FEH:\L\T

encontro com o estudante recuperado e Germain foi forçada e re-velar sua verdadeira identidade. Lagrange ficou atônito mas con-tente ao conhecer a jovem e tornou-se imediatamente seu amigo ementor. Afinal Sophie Germain encontrara um professor que po-deria inspirá':'la e com o qual ela poderia se abrir a respeito de seustalentos e ambições.

Adquirindo confiança, Germain foi além da solução de proble-mas para o curso e passou a estudar áreas inexploradas da mate-mática. E o que é mais importante, ela se tornou interessada nateoria dos nÚmeros e acabou tomando conhecimento do Último

'lcorcma de Fermat. Sophie trabalhou no problema durante váriosanos e afinal chegou ao ponto em que acreditava ter feito uma des-coberta importante. Ela preeisava agora debater suas idéias comoutro teórico dos nÚmeros e resolveu ir direto ao topo, consultan-do o maior teórico dos nÚmeros de todo o mundo, o matemáticoalemão Carl Friedrich Gauss.

Gauss é reconhecido como o mais brilhante matemático que

já viveu. (Enquanto E. T. Bell se refere a Fermat como "O Prínci-pe dos Amadores", ele chama Gauss de "Príncipe dos Matemáti-cos".) Germain tinha tomado contato com o trabalho de Gaussao estudar sua obra-prima Disquisitiolles arithmeticae, o tratadomais amplo e importante desde os Elementos de Euclides. O tra-balho de Gauss influenciou todas as áreas da matemática, mas

estranhamente ele nunca publicou nada sobre o Último Teoremade Fermat. Em uma carta Gauss chega a manifestar seu despre-

zo pelo problema. Seu amigo, o astrônomo alemão Heinrich Olbers.escrevera para Gauss encorajando-o a disputar o prêmio ofereci.do pela Academia de Paris pela solução do desafio de FermaL"Parece-me, caro Ga\lss, que você devia começar a se ocupar dis-:.;u.'o Duas semana:.;depuis Gauss respomleu: .. Fico-lhe lIluilo gralOpeIa notícia referente ao prêmio de Paris. Mas confesso que o Último.,Tcorcma de Fermat, como uma proposição isolada, tem muito pouco

interesse para mim. Eu poderia facilmente apresentar uma sériede proposições semelhantes que ninguém poderia provar ou des--mentir."

Alguns historiadores suspeitam de que Gauss tivesse ten....


do secretamente e fracassado em conseguir algum progresso nasolução do problema. Assim, sua resposta para Olbers seria me-ramente um caso de despeito intelectual. Não obstante, quan-do recebeu as cartas de Germain, ele ficou suficientemente im-pressionado para esquecer sua opinião em relação ao ÚltimoTeorema.

Euler publicara 75 anos antes sua demonstração para o caso de11 = 3,e desde então os matemáticos vinham tentando demons-trar, sem sucesso, os casos individuais. Germain, contudo, adotara

uma nova es~ratégia, e descreveu para Gauss a chamada aborda-gem geral para o problema. Em outras palavras, seu objetivo ime-diato não era provar um caso particular e sim dizer algo sobre muitoscasos de uma só vez. Em sua carta para Gauss, ela delineou umcálculo tomando como base um tipo especial de número primo p.de modo que (2p + I) também fosse primo. A lista de números.primos de Germain incluía 5 porque 11 (2 x 5 + 1) também é pri-mo, mas não incluía 13,porque 27 (2 x 13 + 1) não é primo.

Germain desenvolveu um argumento elegante para demons-trar que provavelmente não existem soluções para x" + y" = z"para valores de n iguais a esses primos de Germain. Com o "pro-vavelmente" ela queria dizer que era improvável existirem solu-ções porque se existisse uma solução então x, y e z seriam múl-tiplos de 11e isso colocaria um~ séria restrição em qualquer solução.Seus colegas examinaram sua lista de primos um por um, ten-tandoprovarquex, y ouz poderiamnãoser múltiplosde n e aca- .

baram demonstrando que para aqueles valores particulares de nnão havia soluções.

Em 1825 o método teve seu primeiro sucesso completo graçasa Gustav Lejeune-Dirichlet e Adrien-Marie Legendre, dois mate-máticos separados por urna geração. Lcgcndrc era um homem nacasa dos setenta anos que atravessou todo o período turbulento da

'. . RevoluçãoFrancesa.Quandoele deixoude apoiaro candidatodoI governo para o Institut National sua pensão foi cortada, e ao fazer

sua contribuição para o Último Teorema de Fermat Legendre es-. favadesamparado e na pobreza. Por outro lado, Dirichlet era umij jovem e ambicioso teórico dos números que acabara de completar

. I

122 0(11:1'1:\10 TEORDI,\ DE FEIU\IAT

vinte anos. Independentemente os dois foram capazes de provarque o caso 11= 5 não tinha solução, mas ambos basearam sua pro-va e seu sucesso no trabalho de Sophie Germain.

Quatorze anos depois a França produziu outro avanço. GabrielLamé fez alguns acréscimos engenhosos ao método de Gcrmain econseguiu a demonstração para o número primo 17= 7. Germaintinha mostrado aos teóricos dos números como eliminar todo um

conjunto de números primos e agora cabia aos esforços combina-dos de seus colegas a demonstração do Último Teorema, um casode cada vez.

O trabalho de Gennain no teorema foi sua maior contribuiçãoà matemática, mas inicialmente ela não recebeu nenhum crédito.Quando escreveu para Gauss, Germain ainda estava na faixa dosvinte anos e, embora ti\'esse conquistado uma reputação em Paris,ela temia que o grande Gauss não a levassea sério por ser uma mulher.De modo a se proteger, Germain recorreu novamente ao seu pseu-dônimo assinando as cartas como Afollsiellr Le Blanc.

Seu',temor e admiração por Gauss é demonstrado em uma das'cartas: "Infelizmente a profundidade de meu intelecto não se igualaà voracidade de meu apetite e sinto um certo receio por incomodarum homem de tamanha genialidade quando não tenho nada paramerecer sua atenção exceto uma admiração necessariamente com-partilhada por todos os seus leitores." Gauss, sem conhecer a ver-dadeira identidade de seu correspondente, tentou deixar Germainà vontade dizendo: "Eu fico encantado que a aritmética tenha en-contrado em você um amigo tão hábil."

As contribuições de Germain poderiam ter sido eternamenteatribuídas ao misterioso Afollsieur Le Blanc, se não fosse pelo im-perador Napoleão. Em 1806, Napoleão invadia a Prússia e o Exér-cito francês conquistava uma cidade depois da outra. Germain fi-cou com medo de que o destino de Arquimedes levasseo outro grandeherói de sua vida, Gauss. Assim ela enviou uma mensagem ao seu

amigo, general Joseph-Marie Pernety, que estava no comando dasforças invasoras. Ela pediu-lhe que garantisse a segurança de Gauss,e como resultado o general tevc um cuidado especial com o mate-mático alemão, explicando-lhe que ele devia sua vida à Mademoiselle

[ UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA 123

Sophie Germain. Gauss ficou grato mas surpreso, pois nunca ti-nha ouvido falar nesta misteriosa mulher.

O jogo terminara, Em sua próxima carta a Gauss, Sophie relu-tantemente revelou sua identidade. Longe de ficar zangado com oengano, Gauss escreveu para ela encantado:

Como descrever minha admiração e espanto ao ver meu esti- .mado correspondente, Monsieur Le Blanc, se transformar na

ilustre personagem que dá um exemplo tão' brilhante de algoque eu t~ria achado difícil de acreditar. O gosto pelas ciênciasabstratas em geral, e acima de tudo pelos mistérios dos números,é tão raro que a admiração nunca é imediata. O charme desta

ciência sublime se revela apenas para aqueles que possuem acoragem para nela mergulhar profundamente. Mas quando umapessoa de seu sexo, que de acordo com nossos costumes epreconceitos, deveria encontrar dificuldades infinitamente

maiores para se familiarizar com estas pesquisas espinhosas,consegue superar os obstáculos e penetrar nas partes maisobscuras, então ela deve, sem dúvida, possuir uma nobrecoragem, talentos extraordinários e gênio superior. De fato,

nada seria para mim tão lisonjeiro e menos equivocado do quesaber que as atrações desta ciência, que enriqueceu minha vida

com tantas alegrias, não são quimeras, e se igualam napredileção com que a tem honrado.

A correspondência de Sophie Germain com Carl Gauss inspiroumuito de seu trabalho, mas em 1808 o relacionamento terminoubruscamente. Gauss foi nomeado professor de astronomia na Uni-versidade de Gõttingen e seus interesses se transferiram da teoriados números para a matemática aplicada. Ele não mais se deu o

trabalho de responder as cartas de Germain. Sem seu mentor, aconfiança dela começou a diminuir e um ano depois Sophie aban-donou a matemática pura.

Ela iniciou uma carreira frutífera na física, uma disciplinaem que novamente se destacaria apenas para enfrentar os pre"':conceitos da sociedade. Sua contribuição mais importante foi a

, .

Gabriel Lamé


"Memória sobre as vibrações de placas elásticas", um trabalhobrilhante que estabeleceu as fundações para a moderna teoriada elasticidade. Como resultado de sua pesquisa e de seu tra-balho no Último Teorema de Fermat, ela recebeu uma medalhado Institut de France e se tornou a primeira mulher, que nãofosse esposa de um membro, a assistir às palestras da Acade-mia de Ciências. No fim de sua vida, Sophie retomou sua ami-zade com Carl Gauss. Ele convenceu a Universidade de Gõttingena conceder a ela um grau honorário. Tragicamentc, antcs quc auniversidade pudesse lhe dar esta honra, Sophie Germain mor-reu de câncer no seio.

Considerando-se tudo, provavelmente ela foi a maior inte-lectual que a França já produziu. E no entanto, estranho comopareça, quando o funcionário do governo redigiu o atesta-do de óbito desta eminente associada e colega de trabalhodos mais ilustres membros da Academia Francesa de Ciên-

cias, ele a classificou como "e1Ztiere-a1Z1Zuitant(mulher sol-

teira sem profissão) - não como mathématicie1Z1Ze.E istonão é tudo. Quando a Torre Eiffel foi erguida, uma obra ondeos engenheiros precisaram dar uma atenção especial à elas-ticidade dos materiais usados, os nomes de 72 sábios fo-

ram gravados na estrutura. Mas ninguém encontrará nestalista o nome desta mulher genial, cujas pesquisas contri-buíram tanto para a teoria da elasticidade dos metais: SophieGermain. Teria ela sido excluída da lista pelo mesmo mo-tivo que tornou Agnesi inelegível para a Academia France-sa - porque era mulher? Parece que sim. Se foi este o casomaior é a vergonha sobre aqueles responsáveis por tama-nha ingratidão para com alguém que serviu tão bem a cau-sa da ciência. Alguém cujas realizações lhe garantem umlugar invejável na galeria da fama.

H. J. Mozans, 1913

"


Os Envelopes Lacrados

i\llgustin Callchy

Depois da descoberta de Sophie Germain, a Academia Francesade Ciências ofereceu uma série de prêmios, incluindo uma me-dalha de ouro e três mil francos, ao matemático que pudesse fi-nalmente terminar com o mistério do Último Teorema de Fermat.

Além do prestígio de demonstrar o Último Teorema, havia agorauma recompensa valiosa ligada ao desafio. Os salões de Paris fi-caram cheios de boatos sobre quem estava adotando qual estra-tégia e o quão perto estariam de anunciar um resultado. Então,no dia 10de março de 1847, a Academia teve a reunião mais dra-mática de sua história.

A ata descreve como Gabriel Lamé, que tinha demonstrado ocaso dc n = 7 alguns anos antes, subiu ao pódio diante dos maisimportantes matemáticos de sua época e anunciou que estava muitopcrto dc dcmonstrar o Último Teorema de Fermat. Ele admitiu quesua prova ainda estava incompleta, mas delineou o método e pre-viu que dentro das próximas semanas publicaria a demonstraçãocompleta no jornal da Academia.

Toda a audiência ficou perplexa, mas assim que Lamé desceudo pódio Augustin Louis Cauchy, outro dos melhores matemáti-cos de Paris, pediu a palavra. Cauchy anunciou para a Academiaque estivera trabalhando numa abordagem semelhante à de Lamé, I

e que também estava a ponto de publicar uma demonstração com-pleta.

Ambos, Cauchy e Lamé, percebiam que a questão do tempo setornara crucial. Aquele que publicasse a demonstração completaprimeiro receberia o prêmio mais valioso e de maior prestígio namatemática. Embora nenhum dos dois tivesse a prova completa,os dois rivais estavam ansiosos por reivindicar o direito da desco-berta. ARsim,apenaR três semanas depois do anúncio, eles deposi-taram cnvelopes lacrados no cofre da Academia. Esta era uma prá-tica comum naquela época, que permitia aos matemáticos fazeremum registro sem revelar os detalhes exatos de seu trabalho. Se maistarde surgisse uma disputa quanto à originalidade das idéias, os

128 o (11:1'1:\10 TEOREi\IA DE FERi\I:\T

I

envelopes lacrados forneceriam a evidência necessária para esta-belecer a prioridade.

A expectativa aumentou em abril, quando Cauchy e Lamé pu-blicaram detalhes vagos mas fascinantes de suas demonstraçõesno jornal da Academia. Embora toda a comunidade matemáticaestivesse desesperada para ver a demonstração completa, muitostorciam para que fosse Lamé e não Cauchy o vencedor da corrida.Todos conheciam Cauchy como um hipócrita, fanático religioso epessoa extremamente impopular com seus colegas. Ele só era to-lerado na Academia por seu talento.

Então, no dia 24 de maio, foi feito um anúncio que acabou comtodas as especulações. Mas não foi nem Cauchy nem Lamé quemse dirigiu à Academià e sim Joseph Liouville. Liouville chocou suaaudiência ao ler o conteúdo de uma carta do matemático alemãoErnst Kummer.

Kummer era um dos melhores teóricos dos números de todo o

mundo, todavia, durante boa parte de sua carreira, seu talento foiprejudicado por um patriotismo exacerbado e um ódio contraNapoieão. Quando Kummer era criança o Exército francês invadiusua cidade natal, Sorau. Os franceses trouxeram com eles uma

epidemia de tifo. O pai de Kummer era o médico da cidade e empoucas semanas foi morto pela doença. Traumatizado pela experiên-cia, Kummer jurou que faria tudo ao seu alcance para defender seupaís de novos ataques. Assim que completou a universidade, eleaplicou todo o seu intelecto ao problema da determinação da traje-tória das balas de canhão. Acabou lecionando as leis da balística no

colégio militar de Berlim.Junto com sua carreira militar, Kummer se dedicou ativamen-

te à pesquisa da matemática pura e estava ciente da disputa queocorria na Academia Francesa. Ele tinha lido os anais e analisado

os poucos detalhes que Cauchy e Lamé tinham se atrevido a reve-lar. Para Kummcr ficou óbvio que os dois franceses estavam se en-caminhando para o mesmo beco sem saída da lógica. Ele delineouseu ponto de vista na carta que enviara a Liouville.

Dc acordo com Kummcr, o problema fundamental era que asdcm()m~traçÔcsde Cauchy e Lamé dependiam do uso de uma pro-

Ernst Kummer

130 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERl\L\T UMA DESGRAÇA MATEMÁTICA

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1\

priedade dos números conhecida como fatoração única. A fatoraçãoúnica diz que só existe uma combinação de números primos que,aoserem multiplicados, produzirão determinado número. Por exem-plo, a única combinação de primos que produz o número 18 é aseguinte:

18 = 2 x 3 x 3.

Aqui (1+.[:11) é um número complexo, uma combinação de unúmero real com um número imaginário. E embora o processomultiplicação seja mais complicado do que para os números cmuns, a existência dos números complexos levaa modos adicionade sc fatorar 12. Outro modo é (2 + H) x (2 - ~). Não exismais fatoração única e sim uma escolha de fatorações.

Esta perda da fatoração única colocou as provas de Cauchye Lamem perigo grave, mas não as destruiu completamente. As demonstrações deveriam mostrar que não existem soluções para a equaçãlx" + y" ~ z", onde 1lrepresenta um número maiordo que 2. Comfoi mostrado no início deste capítulo, a demonstração só precisav;funcionar para valores primos de 1l. Por exemplo, o problema dfatoração única poderia ser evitado para todos os números primoaté, c inclusive, 1l= 31. Contudo, o número primo n = 37 não podser vencido de modo tão fácil. E entre os números primos menoredo que 100, dois outros, 1l= S9 e 67, são também casos problemáticosoEstes, assim chamados primos irregulares, estão espalhados entrlos restantes números primos e eram agora os obstáculos contra aidemonstração.

Kummer chamou a atenção para o fato de que nenhuma mate-mática conhecida poderia abordar todos esses primos irregulares'de uma só ve~. Contudo, ele acreditava que, através de técnicascuidadosamente elaboradas para cada primo irregular, cada casopoderia ser resolvido individualmente. Mas o desenvolvimento destastécnicas seria um exercício lento e penoso. Pior ainda, o númerode primos irregulares continua sendo infinito. Lidar com eles in-dividualmente ocuparia todos os matemáticos do mundo pelo res-to da eternidade.

A carta de Kummer teve um efeito arrasador sobre Lamé. Na Imelhor das hipóteses, a suposição da fatoração única tinha sidoexcesso de otimismo e, na pior das hipóteses, uma tolice. Lamépercebeu que se tivesse sido mais aberto com seu trabalho o erroteria sido detectado mais cedo. Ele escreveu para seu amigo Dirichletem Berlim: "Se ao menos você tivesse estado em Paris, ou eu esti-vesse em Berlim, tudo isto não teria acontecido."

Enquanto Lamé se sentia humilhado, Cauchy se recusava a

Do mesmo modo, os números seguintes são unicamente fatora-

dos dos seguintes modos:

3S = Sx 7180 = 2 x 2 x 3 x 3 x S

106.260 = 2 x 2 x 3 x S x 7 x 11 x 23.

A fatoração única foi descoberta no século IV a.C., por Euclides.Ele provou que ela era verdade para todos os números naturais edescreyeu a demonstração no Livro IX dos seus Elementos. O fatode que a fatoração única é verdadeira para todos os números natu-rais é um elemento vital de muitas outras demonstrações e hoje échamada de te01-emafil1ldamental da aritmética.

À primeira vista pode parecer não existir motivo para Cauchy eLamé não usarem a fatoração única, como centenas de matemáti-

cos já tinham feito antes deles. Infelizmente, ambas as demons-trações envolviam números imaginários. E embora a fatoração únicaseja verdadeira para os números reais, ela pode se tornar falsaquandointroduzimos os números imaginários, lembrava Kummer. E em

sua opinião esta era uma falha fatal.Por exemplo, se nos restringirmos aos números reais, então o

número 12 pode ser fatorado apenas como 2 x 2 x 3. Contudo, sepermitirmos a entrada de números imaginários nesta demonstra-ção, então 12 também pode ser fatorizado do seguinte modo:

12= (1+ ~) x (1- ..Ç11).

132 o (1J;rI~IO TEORDL\ DE FER:\IATUMA DESGRAÇA MATEMÁTICA 133

aceitar a derrota. Ele achava que, comparada com a demonstraçãode Larné, a sua abordagem dependia menos de fatoração única. Atéque a análise de Kummer tivesse sido completamente verificada,havi,a a possibilidade de que estivesse errada. Por várias semanasele continuou a publicar artigos sobre o assunto, até que, pelo fimdo verão, ele também sc calou.

Kummer tinha mostrado que a demonstração completa do Úl-timo Teorema de Fermat encontrava-se além de abordagens coma matemática da época. Era uma peça brilhante de lógica mate-mática, mas um golpe devastador em toda uma geração de matemá-ticos que tivera esperanças de resolver o mais difícil dos problemas.

Esta situação foi resumida por Cauchy em 1857, quando eleescreveu o relatório final da Academia sobre o prêmio para o Últi-mo Teorema de Fermat:

Relatório para a competição pelo Grande Prêmio em ciênciasmatemáticas. Competição estabelecida em 1853e prorroga-da ~m 1856.

Onze trabalhos foram apresentados ao secretário. Nenhumsolucionou a questão proposta. Assim, depois de ser apresen-tado muitas vezes como objetivo do prêmio, o problema conti-nua no ponto em que o1I1ollsiellrKummer o deixou. Contudo,os matemáticos devem se congratular pelos trabalhos realiza-dos pelos geômetras em seu desejo de resolver o problema. Emespecial o lI107lSiellrKummer. Os comissários acreditam que aAcademia tomaria uma decisão honrada se retirasse o proble-ma da competição e entregasse a medalha ao1I1onsiemoKummerpor sua bela pesquisa sobre os números complexos e integrais.

Alguns dos contemporâneos de Wiles começavama suspeitarde que o problema era impossívelde ser resolvido.TalvezFermattivessese iludidoearazãopor que ninguém redescobriraa demons-tração de Fermat é que tal demonstração não existia. Mas apesardo ceticismo Wiles continuou sua busca. Ele era inspirado peloconhecimento de várioscasos'onde demonstrações só tinham sidoobtidas depois de séculos de esforços.E em alguns desses c~sosarevelação que resolvera o problema não dependera de uma novamatemática, era algoque poderia ter sido feito há muito tempo.

Era p9ssível que todas as técnicas necessárias para demons-trar o ÚltimoTeoremade Fermatjá estivessemdisponíveise o únicoingrediente ausente fosse engenhosidade.Wiles não estavaprepa-rado para desistir.A provado Último Teorema deixara de ser umamania de infância para se tornar uma obsessão. Tendo aprendidotudo que haviapara aprender sobre a matemática do século XIX,Wiles decidiu se armar com técnicas do séculoxx.

Durante dois séculostodas as tentativaspara redescobrir a demons-tração para o Último Teorema de Fermat tinham terminado emfracasso. Durante sua juventude Andrew Wiles estudara o traba-lho de Euler, Germain, Cauchy,Lamé e finalmente Kummer. Eleesperavaaprender com os erros de cada um, mas, na ocasiãoemque entrou para a Universidade de Oxford, enfrentou a mesmabarreira que Kummer.

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Mergulho na Abstração

A prova é o ídolo diante do qual o matemático se tortura.

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Depois do trabalho de Ernst Kummer, as esperanças de se desco-brir uma demonstração para o Último Teorema de Fermat pare-c:dmcadavez mais débeis.Além disso, a matemática estavacome-çando ~ se voltar para outras áreas de pesquisa. Havia o risco deque a novageração de matemáticos acabasse ignorando o que pa-recia um beco sem saída.No final do séculoXIXo problema aindaocupavaum lugar especial no coração dos teóricos dos números,mas eles tratavam o Último Teorema de Fermat do mesmo modocomoos químicos encaram aalquimia:amboseram sonhos român-ticos de uma época que passara.

Na virada do século, PaulWolfskehl,um industrial alemão deDarmstadt, deu uma novavida ao problema. A família Wolfskchlera famosa por sua riqueza e pelo modo como apoiavaa arte e asciências.Paulnão era exceção.Ele estudara matemática na univer-sidade e, embora dedicasse a maior parte de sua vidaà construçãodo império financeiro da família, também mantinha contato com

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.

Paul Wolf~kchl

136 o ÚL:J'JMO TEOREMA DE FERMAT

matemáticos profissi(}nai~ c continuava a e~tul1ar a teoria d()~ níl-meros. Em particular, Wolfskehl se recusava a desistir do Último'!corcl11adc Fcrmat.

Ele não cra um matemático talentoso e não fc:cnenhuma gran-de contribuição para a descoberta da demonstração. Entretanto,graças a uma curiosa série de acontecimcntos, Wolfskehl se tor-nou ligado para sempre ao Últirrio Teorema, inspirando milharesde outros a aceitarem o desafio.

A história começa com a obsessão de Wolfskehl por uma linda"mulher, cuja identidade nunca foi determinada. Para sua depres-

são, a mulher misteriosa o rejeitou e Paul foi deixado em tamanhoestado de desespero que resolveu se suicidar. Ele era um homemapaixonado, mas não impetuoso, e planejou sua morte nos meno-res detalhes. Marcou um dia para o suicídio e resolveu que dariaum tiro na cabcça exatamente à meia-noite. Nos dias que lhe res-tavam, ele resolveu todos os seus negócios pendentes e no últimodia cscreveu RClltCRtamcnto e cartas para todos os amigos maischegados e a família.

Mas Wolfskehl fora tão eficiente que tudo estava terminadobem antes da meia-noite. Para passar o tempo até a hora fatal elese dirigiu para lima biblioteca onde começou a ler livros de mate-mática. Não demorou muito e se encontrou diante do trabalho

clássico de Kummcr sobre o fracasso de Cauchy e Lamé. Era umdos grandcs cálculos de sua época e uma leitura adequada paraos Últimos momentos dc um matemático suicida. Wolfskehl co-

meçou a examinar os cálculos linha por linha. Subitamente foisurpreendido pel~ que parecia um erro lógico - Kummer tinhafeito uma suposição e deixara de justificá-Ia em seu argumento.Wolfskehl se perguntou se teria descoberto um erro sério ou se asuposição de Kummer seria justifieada. Se a primeira hipótesefosse verdadeira, então havia uma chance de que a prova para oÚltimo Tcorcma de Fcrmat fosse mais fácil do que muitos tinhampresumido.

Ele se sentou examinando o"segmento inadequado da demons-tração c logo Re tornou envolvido no descnvolvimento de limaminidemonstração que Oll iria consolidar o trabalho de Kummer

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MERGULHO NA ABSTRAÇÃO 137

Ollprovar qllc sua suposição cstava errada. Quando o dia amanhc-ceu, o trabalho estava terminado. A má notícia, no que coneerne àmatemática, é que a demonstração de Kummer tinha sido conser-tada e o Último Teorema permanecia no reino do inatingível. A boanotícia é que a hora mareada para o suicídio tinha passado. Wolfskehlestava tão orgulhoso por ter descoberto e corrigido uma falha notrabalho do grande Ernst Kummer que seu desespero e mágoa ti-nham evaporado. A matemática lhe dera uma nova vontade de viver.

Wolfskehl rasgou suas cartas de despedida e reescreveu seutestamento em face do que acontecera naquela noite. Quando elemorreu, em 1908, o novo testamento foi divulgado e a famíliaWolfskehl ficou chocada ao descobrir que Paul destinara uma grandeporção de sua fortuna como prêmio, a ser entregue a qualquer umque pudcsse provar o Último Teorema de Fermat. O prêmio, de 100mil marcos, equivaleria a um milhão de dólares pelos padrões atuaise era seu modo de pagar uma dívida com o enigma que salvara suavida.

O dinheiro foi colocado sob a guarda do Kihl(ftliclte Gesellscltaftder Wissellschaftell de Gõttingen, que anunciou oficialmente o inícioda competição pelo Prêmio Wolfskehl no mesmo ano:

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i

Pelos poderes conferidos a nós pelo Dr. Paul Wolfskehl, mor-

to em Oarmstadt, nós, portanto, criamos um prêmio de cemmil marcos a ser dado à pessoa quc primeiro provar o grandeteorema de Fermat.

As seguintes regras serão seguidas:(1) O Konigliche Gesellschaft der Wissenschaften, de

Gõttingen, terá liberdade absoluta para decidir a quem oprêmioserá entregue. Ele recusará manuscritos produzidos com o Únicoobjctivo dc cntrar na compctição pelo Prêmio. Só serãoconsiderados os trabalhos de matemática que tiverem apare-cido sob forma de monografia nas publicações especializadas0\1 que estejam à vcndl! nas livraril!s. A Socicdadc pl'dc ao~alllorc~ dc tais trahalhos qllc cnvicm pclo I\ICIIOScinco excl\I-pIares impressos.

138 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

(2) Trabalhos publicados num idioma que não seja entendi-do pelos espceialistas escolhidos pelo jílri serão excluídos dacompctição. Os autores de tais trabalhos poderão substituí-los por traduções de garantida fidelidade.(3) A Sociedade declina sua responsabilidade pelo examede trabalhos que não foram trazidos à sua atenção ou porerros que possam resultar do fato de que o autor de um tra-balho, ou parte de um trabalho, seja desconhecido para aSociedade. .

(4) A Sociedade reserva para si o direito de decisão no casodI' viÍria:\ Iw:,:\O:l:\ (pl!" 11'1111:1111COII:H:j.{lIido 11111:1:mlllf\ão p:lr:l o

problema ou para o caso em que a solução seja o resultado dosesforços combinados de vários estudiosos, em particular noque coneernc ao direito ao Prêmio.

(5) A entrega do Prêmio pela Sociedade não acontecerá an-tes de dois anos depois da publicação do trabalho premiado.O intervalo de tempo destina-se a permitir que matemáticosda Alemanha e do exterior possam dar sua opinião sobre avalidade da solução publicada. .

(6) Assim que o Prêmio for conferido pela Sociedade, o lau-reado será informado pelo secretário em nome da Sociedade.O resultado será publicado onde quer que o Prêmio tenha sidoanunciado no ano anterior. A entrega do Prêmio pela Socie-dade não será sujeita a qualquer discussão posterior.(7) O pagamento do Prêmio será feito ao laureado nos pró-ximos três meses após o anúncio, pelo Tesoureiro Real daUniversidade de Gõttingen, ou, correndo o beneficiário seuspróprios riscos, em qualquer outro local que ele tenha esco-lhido.

(8) O capital será entregue mediante recibo, ou em dinheiroou pela transferênda de valores financeiros. O pagamento doPrêmio será considerado realizado pcla transmissão dessestítulos financeiros, muito embora seu valor total, no final do

dia, pOssa não chegar a 100 mil marcos.(9) Se o Prêmio não for entregue até 13de setembro de 2007,não serão aceitos mais trabalhos.


A competição para o Prêmio Wolfskehl está aberta, a partir dehoje, :wh as cOlldiçcicsacima.

Gõttingen, 27 de junho de 1908Die Kjjnigliehe Cesellsehaft der Wissenschaften

É interessante notar que, embora o Comitê estivesse disposto a dar100 mil marcos ao primeiro matemático capaz de demonstrar queo Último Teorema de Fermat era verdadeiro, nem um centavo se-ria dado àquele que mostrasse que o teorema era falso,

() I'r("lIio WoIrskdll foi alllllwiado «:111todas as revistas e periÚ-

dicos cspecializados em matemática e a notícia da competiçãose espalhou rapidamente pela Europa. Mas apesar da campanhapublicitária c o incentivo do enorme prêmio, o Comitê Wolfskehlnão conseguiu despertar muito interesse entre os matemáticossérios. A maioria dos matemáticos profissionais viam o ÚltimoTeorema de Fermat como uma causa perdida e achavam que nãopodiam desperdiçar suas carreiras numa busca tola. Entretan-

to, o prêmio teve o mérito de apresentar o problema a toda umanova audiência, uma horda de mentes ávidas prontas a se entre-garem ao derradeiro enigma, abordando-o com completa ino-cência.

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A Era dos Enigmas, Charadas e Quebra-Cabeças,fl,

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Desde o tempo dos gregos, os matemáticos têm buscado tempe-rar seus livros recriando demonstrações e tcoremas na forma decharadas com n(lrncros. Durante a (1ltima metade do século XIX

esta abordagem lúdica do assunto encontrou espaço na impren-sa popular. Problemas com números eram encontrados ao lado

das palavras cruzadas c anagramas. No devido tempo formou-seum público ávido por enigmas matemáticos, amadores que ten-tavam solucionar tudo, dos mais simples enigmas até os proble-mas matemáticos mais profundos, incluindo o Último Teoremade Fermat.

140 () ÚLTIMO TEOREMA DE I"ERMAT

Talvcz O mais prolífico criador de enigmas tenha sido HenryDudcney, que cscreveu para dezenas de jornais e revistas incluin-do oStmlld, Cassell's, o Queen, Tit-Bits, o TifkeklyDispatch e oBlighty.Outro grande criador de enigmas da era vitoriana foi o reverendoCharles Dodgson, professor de matemática na Igreja Cristã de Oxforde mais conhecido como o escritor Lewis Carroll. Dodgson dedi-cou vários anos à criação de um gigantesco compêndio de proble-mas e enigmas intitulado Curiosa Mathematica e, embora a sérienão fosse terminada, o autor completou vários volumes, incluindoPillow Proble11ls.

Maso maior charadista de todos era o prodígio americano SamLoyd (1841-1911).Comoadolescente elejá ganhavamuito dinheirocriando novascharadas e reinventando antigas.Ele lembra no livroSa11lLoyd Qlld IzisPuzzles:AllAutobiographicalReview que algunsdos primeiros enigmas foram criados para o mágico e empresáriocircense P.T. Barnum:

Figura 11. Uma caricatura refletindo a mania causada pelo enigma"14-15"cIe Sam Loyd

I.~MEHGUI,IIO NA ABSTHAÇAo 141

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Muitos anos atrás, quando o Circo de Barnum era realmente"o maior espetáculo da Terra", o famoso empresário me pe-diu que preparasse para ele uma série de enigmas para pro-pósitos de propaganda. Eles se tornaram conhecidos como .~perguntas da Esfinge" devido aos grandes prêmios que seriamentregues a quem conseguisse decifrá-los.

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t Curiosamente esta autobiografia foi escrita em 1928, dezesseteanos depois da morte de Loyd. Ele passara suas habilidades aoseu filho, também chamado Sam, que foi o verdadeiro autor dolivro. Sam calculou que qualquer um que comprasse o livro iriaacreditar que fora escrito por Sam Loyd pai, que fora muito maisfamoso.

A mais célebre criação de Loyd foi o equivalente vitoriano do. Cubo de Rubik, o "enigma 14-15", que ainda pode ser encontrado

em algumas lojas de brinquedos mesmo hoje em dia. Quinze pe-ças numeradas de 1 a 15são arrumadas em uma moldura 4 x 4. Oobjetivo é fazer deslizar as peças, rearrumando-as na ordem cor-reta. O cnigma "14-15" de Loyd era vendido com a disposiçãomostrada na Figura 11c ofereciaum prêmio significativopara quemconseguisse completar o desafio, colocando as peças" 14" e "15"nas posições corretas. O filho de Loyd escreveu assim sobre o es-tardalhaço gerado pelo que era, essencialmente, um problema dematemática:

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tUm prêmio de 1.000 dólares, oferecido para a primeira solu-ção correta do problema nunca foi pago, embora existam mi-lhares de pessoas que afirmam ter realizado a façanha. Hou-ve gente que ficou obcecada pelo enigma e histórias cômicaseram contadas sobre lojistas que deixaram de abrir suas lojase sobre um distinto clérigo que passou uma noite de inverno.~1Ohum pORtede iluminação tcntando rclembrar o modo comorealizara o feito. Mas o detalhe misterioso é que ninguém parececapaz de relembrar a Reqiiência de movimcntoR cmbora le-IIhalll 1'1'1"11':1.:1d(' '1111' 1"1':101\'1'1'11111o ('li!:"II'. Fala .:1(' d(' I illlO

IIciros quc dcixaram SCllS navios cncalharem c dc maquinis-

142 o ÚI:I'IMO TEOItEMA DE FEHMAT

tas que deixaram o Irem ultrapassar a estação enquanto ten-tavamresolver o enigma. Um famoso editor de Baltilllore contaquc saiu para almoçar e foi encontrado por seus desespera-dos cmpre~ados somente após a meia-noite, movendo pequenospedaços Jc pastclnum prato!

Loyd estava confiante de que jamais teria que pagar os mil dólares,porque ele sabia que era impossível trocar duas peças de posiçãosem destruir toda a ordem em outro ponto do quadro. Do mesmomodo como um matemático podc provar quc uma cquação em es-pecial não tcm solução, Loyd podia provar que seu enigma "14-15"era insolúvel.

A demonstração de Loyd começa definindo-se uma quantida-de que mede o quão cmbaralhado está o cnigma; este parâmetrode desordem é chamado de D . O fator de desordem para qualquerdisposição das peças consisd no número de pares de peças colo-cados na ordem incorreta, assim, para a disposição correta, mos-

trada na Figura 12(a), Dp = 0, porque não existem peças na ordemerrada.

Começando-se com a dispo~ição correta e movendo-se as pe-ças é relativamente fácil chegar ao arranjo mostrado na Figura 12(b).Ai5peças estão na ordem correta até chegarmos nas peças 12 e 11.Obviamente a peça 11 deveria vir antes da 12 e assim este par depeças encontra-se na seqüência incorreta. A lista completa dos paresque estão na ordem incorreta é a seguinte: (12,11), (15,13), (15,14),(15,11), (13,11) e (14,11). Com seis pares de peças na ordem erra-

da esta disposição tem Dp = 6. (Repare que a peça 10e a peça 12estão uma ao lado da outra, o que é claramente incorreto, mas nãoestão na ordem errada. Portanto, este par não contribui para oparâmetro de desordem.)

Depois de mover as peças mais um pouco chegamos à disposi-ção mostrada na Figura 12(c). Se fizer uma lista dos pares na or-dem incorreta, você vai descobrir que é D = 12.O importante aquié notar que em todosesses casos, (a), (b) ~ (c), ovalordo parâmetrode desordem é um número par (0,6 e 12). De fato, se você come-çar com a disposição correta e for mudando a posição das peças,

MEHGULIIO NA AIISTnAÇÃO 143

isto serÍl sempre verdadeiro. Enquanto o quadrado va:t.ioterminarsempre no canto inferior direito, qualqucr mudança na posição das

peças vai sempre resultar num valor par para D". O valor par noparâmctro de desordem é lima propriedade integral de qw~lqllerarranjo derivado da disposição correta. Na matemática uma pro-priedade que se mantém sempre, não importando o que for feitocom o objeto, é chamada de illvariaule.

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(a) (b) (c)Dp = o Dp= 12Dp= 6

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I,J11.;'

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Figura 12.Ao deslocar as peças é possível criar vários arranjos desordenados.Para cada arrumação é possível medir a quantidade de desordem atravésdo parâmetro de desordem D ."

Contudo, se você examinar o arranjo que estavasendo vendidopor Loyd, no qual as posições de 14 e 15 tinham sido trocadas, ovalor do parâmetro de desordem é um, Dp = 1,já que o único parde peças fora de ordem é 14 e 15.Para o arranjo de Loyd o parâmetrode desordem tem um valor ímpar! E no entanto nós sabemos quequalquer disposição derivada da arrumação correta apresenta umvalor par para o parâmetro de desordcm. A conclusão é que a dis-posição dc Loyd não é derivada da arrumação correta e, portanto, éimpossível ir do arranjo de Loyd para o correto. Os mil dólares deLoyd ficaram, então, scguros.

O enigma de Loyd e o parâmetro de desordem mostram o po-der da invariante. Invariantes dão aos matemáticos uma estratégiaimportante para demonstrar que é impossível transformar um ob-jeto em outro. Por exemplo, uma área estudada com entusiasmo,

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144 () "li :I'IMo 'J'EOI(l~Mi\ I>E FEIH\1i\'J','.

atualmente, se liga ao estudo dos nós. Os teóricos dos. nós estãointeressados em provar se um determinado nó pode ser transfor-mado em outro, torcendo-se e dobrando-se, mas sem cortar a cor-da. De modo a responder a esta pergunta eles tentam encontraruma propriedade do primeiro nó que não possa ser destruída, nãoimporta o quanto ele seja torcido e enrolado - uma invariante denr. Eles então calculam a mesma propriedade para o segundo nó.Se os valores são diferentes, então a conclusão é que é impossívelse chegar ao segundo nó a partir do primeiro.

Até que esta técnica fosse inventada, na década de 1920, porKurt Reidemeister era impossível provar que um nó não pode-ria ser transformado em outro. Em outras palavras, antes da des-coberta das invariantes era impossível provar que um nó triploé fundamentalmente diferente de um nó direito ou mesmo de

um simples laço sem nó algum. O conceito de propriedadeinvariante está no centro de muitas demonstrações matemáti-cas, e, COmoveremos no Capítulo 5, ele seria crucial para re-despertar o interesse dos matemáticos pelo Último Teorema deFennat

Na virada do século, graças a Sam Loyd e seu enigma "14-15" havia milhões de resolvedores de problemas amadores naEuropa e na América, ávidos por enfrentarem novos desafios. Equando as notícias sobre o Prêmio WoUskehl chegaram a essesmatemáticos amadores, o Último Teorema de Fermat voltou aser o problema mais famoso do mundo. O Último Teorema era

infinitamente mais complexo do que o mais difícil dos enigmasde Loyd, mas o prêmio também era muito maior. Os amadoressonhavam em encontrar um truque relativamente simples quetivesse iludido os grandes professores do passado. Um amadorperspicaz do século XX podia se igualar a Pierre de Fermat noque se refere ao conhecimento de técnicas matemáticas. O de-

safio era igualar Fermat na criatividade com que ele m;ava suasté<.:nicas.

Embora todos os candidatos ao Prêmio Wolfskehl fossem obri-

gados a publicar seus trabalhos em revistas especializadas isso nãodcscncorajou os amadores a enviarem uma avalanehe de artigos para

MI\W a 11.110NA i\IIS'I'Hi\(;AO 145

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a Universidade de Gõttingen. Não é de surpreender que todas asdemonstrações estivessem erradas. Embora todos os candidatos aoprêmio estivessem convencidos de que tinham solucionado o se-cular problema, todos tinham cometido erros sutis de lógica, e al-guns não tão sutis assim.. A arte da teoria dos números é tão abs-trata que é muito fácil alguém se desviar do caminho da lógica semao menos perceber que mergulhou no absurdo. O Apêndice 6 mostrao tipo de erro clássico que pode passar despercebido a um amadorentusiasmado.

Não importando quem tivesse mandado uma demonstração emparticular, cada uma tinha que ser examinada escrupulosamente,só para o caso de um amador desconhecido ter tropeçado na maisprocurada das provas matemáticas. O diretor do departamento dematemática de Gõttingen, entre 1909e 1934,era o professor EdmundLandau, sendo sua responsabilidade examinar os trabalhos candi-datos ao Prêmio Wolfskeh1. Landau percebeu que suas pesquisasestavam sendo interrompidas continuamente para examinar dúziasde demonstrações confusas que chegavam na sua mesa todo mês.Para lidar com a situação ele inventou um método hábil de accleraro trabalho. O professor mandou imprimir centenas de cartões ondesc lia:

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Prezado ............................

Grato pelo seu manuscrito com a demonstração para o ÚltimoTeorema de Fermat.

O primeiro erro é:Página linha .....................Isto torna a demonstração inválida.

Professor E. M. Landau

Landau então entregava cada novo manuscrito, junto com um car-tão impresso, a um de seus alunos, e pedia que preenchesse os es-paços em branco.

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146 o ÚI':I'lMO TEQREMA DE FERMAT

Os arl ig'os cOlllillllaralll a chq~ar dllralllc allOS, IlICSIIIO de-

pois da dramática desvalorização sofrida pelo Prêmio Wolfskehl,como resultado da hiperinflação que se seguiu à Primeira GuerraMundial. Existem boatos de que qualquer um que ganhasse oprêmio hoje dificilmente conseguiria tomar uma xícara de cafécom o dinheiro do prêmio, mas esses rumores parecem um tantoexagerados.

O Dr. F. Schlichting, que era responsável pelo exame dos tra-balhos candidatos na década de 1970, escreveu uma carta para PauloRibenboim cxplieando que o prêmio ainda valia 10 mil marcos. Vejano Apêndice 7 o texto completo da carta dc Schlichting. Ela forne-ce uma visão de como trabalha o Comitê Wolfskeh1.

Os concorrentes não se limitavam a enviar "soluções" paraGõttingen- e cada departamento de matemática do mundo prova-velmente tem uma gaveta cheia de demonstrações de amadores.Enquanto a maioria das instituições ignora essas demonstraçõesde amadores, outras lidam com elas de modo mais imaginativo. Oescritor Martin Gardner lembra de um amigo que enviava um bi-lhete explicando não ser suficientemente competente para exami-nar a demonstração. Ele fornecia o nome e endereço de um espe-cialista no assunto quc poderia ajudar-ou seja, o nome e endereçodo último amador que lhe escr'evera. Outro de seus amigos mate-máticos escrevia: "Eu tenho uma extraórdinária contestação parasua demonstração, mas infelizmente esta página é muito pequenapara contê-Ia."

Embora os matemáticos amadores do mundo inteiro tenhampassado este século tentando e fracassando em suas demonstra-ções para o Último 'Icorema, os profissionais continuaram a ig-norar o problema~: No lugar de avançarem com o trabalho deKummer e de outros teóricos dos números do século XIX, osmatemáticos começaram a examinar os fundamentos de sua ciênciade modo a lidar com questões mais fundamentais sobre os nú-meros.Alguns dos grandes nomes do século xx, como David Hilberte Kurt Gõdel, tentaram entender as propriedades mais profun-das dos números de modo a perceber seu verdadeiro significadoe descobrir que perguntas a teoria dos números pode e não pode

! 1

MERGULHO NA AUSTI~ÇÃO 147

rcsponder. () I rabalho delcs abalaria os fllmlalllclllos da lIIalclllática

e acabaria tendo repercussões no Último Teorema de Fermat.

Os Fundamentos do Conhecimento

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Durante centenas de anos os matemáticos estiveram ocupadosusando a demonstração lógica para criar conhecimentos a partirdo desconhecido. O progresso tem sido fenomenal com cada novageração de matemáticos ampliando a grande estrutura c criandonovos conceitos de números e de geometria. Contudo, a partir dofinal do século XIX,os lógicos matemáticos começaram a olhar paraos fundamentos da matemática em luga; de olhar para a frente. Elesqueriam verificar os fundamentos da matemática e reconstruir tudousando os princípios fundamentais, de modo a garantir que essesprincípios fundamentais fossem confiáveis.

Os matemáticos são conhecidos por serem exigentes na horade pedir uma prova absoluta antes de aceitarem qualquer afirma-ção. Esta reputação é claramente mostrada numa anedota contadapor Iari Stewart no livro Conceitos de matemática moderna:

.! Um astrônomo, um físico e um matemático estavam passan-

do férias na Escócia. Olhando pela janela do trem eles avista-ram uma ovelha preta no meio de um campo. "Que interes-sante", observou o astrônomo, "na Ese6eia touas as ovelhas

são pretas." Ao que o físico respondeu: "Não, nada disso! Al-gumas ovelhas cscoccsas são pretas." O matemático olholl paracima em desespero e disse: "Na Escócia existe pelo menosum campo, contendo pelo menos uma ovelha epelo menos umlado dela é preto. "

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E o matemático que se especializa no estudo da lógica matemáticaé ainda mais rigoroso do que o matemático comum. Os matemáti-cos lógicos começaram a questionar idéias que os outros matemá-ticos consideravam certas há séculos. Por exemplo, a lei da tricotomiadeclara que cada número é ou negativo, ou positivo ou enÚio~cro.

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148 o ÚI:I'IMO TEOREMA J)I~ FERMA'J'

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Isso parece óbvio e os matemáticos tinham considerado como ver-dadeiro, mas ninguém jamais se preocupara em provar esta afir-mação. Os lógicos perceberam que, até que a lei da tricotomia fos-se provada, ela poderia ser falsa. E se fosse este o caso, todo o edifíciodo conhecimento, tudo que dependia da lei, desmoronaria. Feliz-mente para a matemática a lei da tricotam ia foi demonstrada comoverdadeira no final do século passado.

Desde os antigos gregos a matemática vem acumulando maisteoremas e verdades, e embQra a maioria dcles tenha sido rigoro-samente provada os matemáticos temiam que alguns casos, comoa lei da tricotomia, tivessem sido aceitos sem o exame. adequado.I\lgllma~ idéiag tinham $e tornado parte da traJição e ninguém ti-nha certeza de como foram originalmente demonstradas, se de fatoalgum dia tinham sido. Assim os lógicos resolveram provar todosOgteoremas, a partir dos princípios fundamentais. Contudo, cadaverdade tinha sido deduzida de outras verdades. E estas, por suavez, tinham sido deduzi das de verdades ainda mais fundamentais,

e assim por diante. Finalmente os lógicos se encontraram lidandocom algumas declarações essenciais que eram tão fundamentaisque não podiam ser provadas. Essas hipóteses fundamentais sãom;axiomagda matemática. .

Um exemplo de axioma é a lei c011lutativada adição, que sim-plesmente declara que para quaisquer nÚmeros J/Ie 11,

11l + n = 11 + 111.

Este e um punhado de outros axiomas são considerados auto-evi-dentes e podem ser facilmente testados aplicando a certos nú-meros. Até agora os axiomas passaram em todos os testes sendoaceitos como os alicerces da matemática. O desafio para os lógi-cos era rccon::;1ruir toda a matcrná1ica a par1ir deRseRaxiomml. Oi\pélluicc Xdefillc 11111cOlljullto UCaxiomaH aritméticus e dá umaidéia de como os lógicos começaram a reconstruir o resto damatemática.

U ma legião de 16gicos participou destc processo lento e dolo-roHOdc reColIHtrllçãodo corpo imcnsamente complexo do conhc-

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150 o ÚLTIMO TF.ORF.MA DF. FF.RMAT I\JIo:ltta 11,111' N,\ ,\mn'U,\t:,\c, (SI

cimento matemático, usando somente um número mínimo de axio-mas. Aidéia era consolidar o que os matemáticos pensavam que jáconheciam, empregando apenas os padrões mais rigorosos da ló-gica. O matemático alemão Hermann Weyl resumiu o espírito doseu tempo: ''Alógica é a higiene que os matemáticos praticam paraIIlóllIlcra~ idéias forl<.:sc saudáveis." Além dc limpar o que era co-nhecido, a esperança era de que esta abordagem fundamentalistalança:;RCuma luz ~obre os problemas ailida lIão-solucionados, in-cluindo o Último Teorema de Fenn:at.

O esforço para reconstruir logicamente o conhecimento mate-mático foi liderado pela figura mais eminente da época, David Hilbert.Hilbert acreditava que tudo na matemática poderia e deveria serprovado a partir dos axiomas básicos. O resultado disso deveriademonstrar conclusivamente os dois elementos mais importantesdo sistema matemático. Em primeiro lugar a matemática deveria,pelo menos em teoria, ser capaz de responder a cada pergunta in-dividual- este é o mesmo espírito de completeza que no passadoexigira a invenção de números novos, como os negativos e os ima-ginários. Em segundo lugar a matemática deveria ficar livre de in-consistências - ou seja, tendo-se mostrado que uma declaração éverdadeira por um método, não deveria ser possível mostrar queela é falsa por outro método. Hilbert estava convencido de que, to-mando apenas alguns axiomas, seria possível responder a qualquerpergunta matemática imaginária, sem medo de contradição.

No dia 8 de agosto de 1900, Hilbert deu uma palestra históricano Congresso Internacional de Matemática em Paris. Hilbert apre-sentou 23 problemas não-resolvidos da matemática que ele acre-ditava serem de imediata importância. Alguns problemas relacio-navam-se com áreasomais gerais da matemática, mas a maioria delesestava ligada aos fundamentos lógicos desta ciência. Esses proble-mas deveriam focalizar a atenção do mundo matemático ~forne-cer um programa de pesquisas. Hilbert queria unir a comunidadepara ajudá-Io a realizar sua visão de um sistema matemático livrede dúvidas ou inconsistências - uma ambição que ele mandariagravar na sua lápide:

Ulir müssen wissen,Wir werdeu wissell.

Nós dcvemos saher,Nós vamos saber. \

I\iII

Na~ duas dé(:adas ~egllilltes os IllatCllláticos telltanull erguerum edifício matemático sem falhas e quando Hilbert se aposentou,na década de 1930, ele se sentia confiante de que a matemáticaestava no caminho da recuperação. Seu sonho de uma lógicaconsistente, suficientemente pode~osa para responder a qual-quer pergunta, estava, aparentemente, a caminho de se tornarrealidade.

Então, em 1931, um matemático desconhecido, de 2S anos deidade, publicou um trabalho que iria destruir para sempre as es-peranças de Hilbert. Kurt Gõdel forçaria os matemáticos a acei-tarem que sua ciência jamais poderá ser lo"gicamente perfeita. Im-plícita em seus trabalhos estava a idéia de que problemas, comoo Último Tcorema de Fermat, podcriam ser impossíveis de solu-cIOnar.

Kurt Gõdel nasceu em 28 de abril de 1906, na Morávia, en-

tão parte do império austro-húngaro e agora parte da RepúblicaCheca. Ainda criança Gõdel exibiu um talento para ciência e ma-temática e sua natureza curiosa levou a família a apelidá-Ia derHerr "Warum (Senhor Por que). Ele foi para a Universidadc ueViena sem ter certeza se devia se especializar em matemáticaou física, mas uma aula inspirada sobre a teoria dos númerospelo professor P.Furtwangler persuadiu Gõdel a devotar sua vidaaos números. A aula foi ainda mais impressionante porqueFurtwangler estava paralisado do pcscoço para baixo e tinha quefalar de sua cadeira de rodas, enquanto seu assistente escreviano quadro-negro.

Quando tinha pouco mais de vinte anos, Gõdel já se estabele-cera no departamento de matemática, mas, junto com seus cole-gas, ele costumava atravessar o corredor para participar dos encontrosdo Wiener Kreis (Círculo Vienense), um grupo de filósofos que se

1/

Kurt Güdcl


reunia para discutir as grandes questões da lógica. Foi durante esteperíodo que Gõdel desenvolveu as idéias que dcvastariam os fun-damentos da matemática.

Em 1931 Gõdel publicou seu livro Überformal unentscheidbareSiitze der Pn"ncipia Mathematica und verwandter Systeme (Sobreas Proposições lndecidíveis no Principia Mathematica e SistemasRelacionados), que continha os chamados teorcmas da indecidi-

bilidade. Quando a notícia dos teoremas chegou aos Estados Uni-dos, o grande matemático John von Neumann imediatamente can-celou uma séric dc aulas que estava dando sobre o programa deIlilbert e substituiu o resto do curso por um debate sobre o traba-lho revolucionário de Gõdel.

Gõdcl tinha provado ser tarefa impossível criar um sistemamatemático completo e consistcnte. Suas idéias podem ser resu-midas em duas declarações:

Primeiro teorema da indecidibilidade

Se o conjunto axiomático de uma teoria é consistente, então exis-

tcm teorcmas que não podcm ser ncm provados nem negados.

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Segundo teorema da indecidibilidadeNão existe procedimento construtivo que prove ser consistente ateoria axiomática.

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Essencialmentc a primeira dcclaração de Gõdc1 di~ quc não im-porta o conjunto de axiomas scndo usado, existcm problcmas queos matemáticos não podem rcsolvcr - a completeza jamais podc-ria ser alcançada. Pior ainda, a segunda declaração di~ quc os ma-temáticos nunca podcrão tcr certc~a dc quc sua cscolha dc axio-mas não os levará a uma contradição - a consistência jamais poderá

ser provada. GÜdcl tinha dcmonstrado quc o programa dc Ililbcrtera um exercício impossível.

Embora a segunda declaração dc GÜdcl diga que é imposRí-vcl provar quc os axiomas são consistcntcs, isto não significa,necessariamente, que eles sejam inconsistentes. Em seus cora-ções muitos matem;iticos ainda acrcditavam quc sua ciência per-

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mancccria consiRtentc, mas em suas mentes elcs nãu pudcriamprovar que isto era verdade. Muitos anos depois, o grande teóri-co dos números, André Weil, iria dizer: "Deus existe já que amatemática é consistcntc c o Diabo cxistc já quc não l?odcmosprová-Io."

Para melhor entender o primeiro teorema de Gõdel, suas ori-gens e implicações, é útil examinarmos um fragmento de lógicada Grécia antiga conhecido como o paradoxo de Creta, ou o pa-radoxo do mentiroso, inventado por Epimenides, um cretense queexclamou:

"Eu sou um mentiroso!"

deira ela não pode ser provada, porque esta declaração (que agorasabemos ser verdadeira) assim o diz.

Como Giidel podia trauu",ir a dcclaração acima em notaçãomatemática, ele foi capaz de demonstrar que existem afirma-ções na matemática que Rãoverdadeiras, mas que nunca pode-rão ser demonstradas como verdadeiras; elas são as chamadasafirmações indecidíveis. Este foi o golpe mortal no programa dcHilbert.

De muitos modos o trabalho de Gõdel aconteceu paralelamentea descobertas semelhantes feitas na física quântica. Apenas qua-tro anos antes de Gõdel publicar seu trabalho sobre a indecidibilidadc,o físico alemão Werner Heisenberg descobriu o princípio da incer-teza. Assim como existia um limite fundamental nos tcorcmas qucos matemáticos poderiam provar, Heisenberg mostrou que haviaum limite fundamental nas propriedades que os físicos poderiammedir. Por exemplo, se eles queriam medir a posição exata de umobjeto, então eles só poderiam medir a velocidade do objeto comuma precisão muito pobre. Isto acontece porque para medir a po-sição do objeto seria necessário iluminá-Io com fótons de luz, maspara determinar a 10callzação exata os fótons precisariam tcr umaenergia enorme. Contudo, se o objeto está sendo bombardeado comfótons de alta energia, sua própria velocidade será afetada e se tor-nará inerentemente incerta. Portanto, ao exigir o conhecimento daposição de um ohjcto ORfíRicoRteriam quc dCRiRtirdo conhecimentode slla velocidadc.

O princípio da incerteza de Heisenberg só se revela nas esca-las atômicas quando medidas de alta precisão se tornam críticas.Portanto, uma boa parte da física pode ser realizada sem proble-mas enquanto os físicos quânticos se preocupam com as questõesprofundas sobre os limites do conhecimento. O mesmo aconteciano mundo da matemática. Enquanto os lógicos se oc':!pavam dodebate altamente esotérico sobre a indecidibilidade, o resto da co-munidade continuava a fazer seu trabalho sem preocupação. Gõdeltinha provado que existiam algumas afirmações que não poderiamser provadas, mas restava uma quantidade plena dc afirmaçõcs quepodiam ser provadas e sua descoberta não invalidava nada que ti-

O paradoxo surge quando tentamos determinar se esta declaraçãoé vcrdadcira ou falsa. Primeiro vamos examinar o que acontece sepresumirmos que a declaração é verdadeira. Averdade implica queEpimenides é um mentiroso, mas estamos presumindo que suadeclaração é verdadeira e, portanto, Epimenides não é mentiroso- temos uma inconsistência. Por outro lado, vamos ver o que acon-tece se presumirmos que a declaração' é falsa. Uma declaração fal-sa implica que Epimcnides não é mentiroso, mas presumimos ini-cialmente que ele fez uma declaração falsa e portanto Epimenidesé mentiroso - e assim temos outra inconsistência. Se presumir-mos que a declaração é verdadeira ou falsa terminamos com umainc()J)siRtência e, portanto, a declaração não é nem verdadeira nemfalsa.

Gõdel reinterpretou o paradoxo do mentiroso e introduziu oconceito de prova. O resultado é uma declaração ao longo da se-guinte linha:

Esta declaração não tem nenhuma prova.

Se a declaração fosse falsa então ela seria provável, mas isto iria::contradizê-Ia. Portanto, a declaração deve ser verdadeira de modo

a evitar a contradição. Contudo, embora a declaração seja verda-

156 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT 157MERGULHO NA ABSTRAÇÃO

vesse sido demonstrado no passado. Além disso, muitos mate má-,. ticos acreditavam quc as declarações de indecidibilidade de Gõdel

só seriam encontradas nas regiões mais extremas e obscuras damatemática e, portanto, talvez nunca tivesscm de ser enfrentadas.Afinal, Gõdel só dissera que essas afirmações indecidíveis existiam;ele não pudera apontar uma. Então, em 1963, o pesadelo teórico deGôdcl se tornou uma realidade viva.

Paul Cohcn, um matemático de 29 anos de idade na Universi-

dade de Stanford, dcsenvolve~a uma técnica para testar se umaquCRtãocm particular é indccidívc1.Atécnica RÓ[unciona para certoscasos muito especiais, mas, de qualquer forma, ele foi a primeirapcsRoaa descobrir que havia questões específicas que eram de fatoilldccidívcis. 'lendo feito sua dcscobcrta, Cohcn imcdiatamentc vooupara Princeton, com a demonstração na mão, de modo que fosseverificada pelo próprio Gõdel. Dois dias depois de receber o traba-lho, Gõdel deu a Cohen sua aprovação de autoridade. E o que eraparticularmente dramático é que algumas dessas questõesindecidíveis estavam no centro da matemática. Ironicamente Cohen

provara -que uma das perguntas que David Hilbert colocara entreos 23 problemas mais importantes da matemática, a hipótese doCOlltil1liUlll,era indccidíve1. .

O trabalho de Gõdel, somado às afirmações indecidíveis deCohen, enviou uma mensagem perturbadora para todos aquelesmatemáticos, profissionais e amadores que persistiam com as ten-tativas de demonstrar o Último Teorema de Fermat - talvez oteorerna fosse indecidível! E se Pierre de Fermat tivesse cometi-

do um CITOao afirmar tcr encontrado uma demonstração? Se as-sim fosse cntão era possível que o Último 'I corema fossc illdeeidívcl.Demonstrar o Último 'lcorema de Fermat podia ser mais do queapenas difícil, poderia ser impossível. E se o teorema fosse inde-cidível, então os matemáticos teriam passado séculos procuran-do urna demonstração que não existia.

Curiosamente, sc o Ú1timo Teorema de Fermat sc revelasseindccidível então isto implicaria quc ele cstava certo. A razão é aseguinte. O teorema diz que não existem soluções eom númerosinteiros para a equação:

xn .+ yn = zn para n maior do que 2.

Se o Último Teorema fosse de fato falso, então seria possível pro-var isto identificando uma solução (um exemplo contrário). E as-sim o Último Teorema seria decidível.Ser falso seria inconsisten-te com a indecidibilidade. Contudo, se o Último Teorema fosseverdadeiro não haveria,necessariamente, um modo tão inequívocode prová-Io, ou seja, ele seria indecidível. Concluindo, o ÚltimoTeorema de Fermat poderia ser verdadeiro, mas não haveria meiodc prová-lo.

A Compulsão da Curiosidade

Uma anotação casual feita por Pierre de Fermat, na margem de suaAritmética de Diofante, levou ao mais frustrante enigma da histó-ria. Apesar de três séculos de fracassos e a sugestão de Gõdel deque poderiam estar procurando por uma prova inexistente, algunsmatemáticos continuaram a ser atraídos pelo problema. O ÚltimoTeorema era uma sereia matemática, atraindo os gênios em sua

direção somcnte para frustrar suas esperanças. Qualquer matemáticoque se envolvesse com o Último Teorema se arriscava a desperdi-çar sua carreira, e, no entanto, qualquer um que pudesse fazer oavanço crucial entraria para a história como tendo resolvido o pro-blema mais difícil do mundo.

Gerações de matemáticos estiveram obcecadas pelo ÚltimoTeorcma dc Fcrmat por dois motivos. Em primeiro lugar havi~1oscntido illlplacávcl dc desafio. () (JhiJUO'Icorcllla cra o tcstc fi-nal e aquele que pudesse demonstrá-Io teria vencido onde Cauchy,Euler, Kummer e outros tinham fracassado. Assim como o pró-prio Fermat tinha grande satisfação em resolver problemas quchavia confundido seus contemporâneos, aquele que demonstrasseo Último Teorema podcria aprcciar a glória de tcr rcsolvido \1mproblcma quc frustrara toJa a comunidade dc matemáticos du-rante centenas de anos. Em segundo lugar, quem venceRse o de-safio dc Fcrlllat podcria apreeiar a satisfação illOl'cllte dt' tcr '"c-

I. I

158 () (lJ:nMO TE~mEMA I>E .,'EHI\1ATMEH(;ULJlU NA AIISTltA<,:Au 159

solvido um cnigma. O pra;!;cr derivado da solução de questõesesotérieas na teoria dos números não é muito diferente da ale-

gria simples ele vencer charadas triviais COlIJOas de Salll Loyd.Um matemático uma vez me confessou que o prazer que ele temem resolver problemas de matemática é semelhante ao dcsfruta-do por viciados em palavras cru;!;adas. Preencher os últimos es-paços em branco de \1mjogo de palavras cruzadm; particularmentedifícil é scmprc uma cxperiêpeia agradável, mas imaginc o senti-do de realização depois de passar anos enfrentando um proble-ma que ninguém no mundo foi capaz de resolver e finalmentedescobrindo uma solução.

Estcs são os mesmos motivos que levaram Andrcw Wiles a fi-car fascinado por Fermat. "Os matemáticos puros adoram um de-safio. Eles adoram problemas não-resolvidos. Quando fa;!;emosmatemática temos esta grande sensação. Você começa com umproblema que o intriga. Não consegue entendê-Io, é tão compli-cado que você não distingue o começo do fim. Mas então, quan-do finalmente consegue rcsolvê-Io, você têm esta sensação incrí-vel de como ele é bonito, de como tudo se encaixa de modo tão

elegante. Os mais enganadores são os problemas que parecem fáceise depois se mostram extremamente complexos. Fermat é o maisbelo exemplo deste tipo de problema. Ele parecia ter uma solu-ção e, é claro, é m~ito especial porque Fermat disse que tinha umasolução."

A matemática tem suas aplicações na ciência e na tcenologia,mas não é isso o que impulsiona os matemáticos. Eles são atraí-

dos pela alegria da descoberta. G. H. Hardy tentou explicar e jus-tificar sua própria carreira em um livro intitulado Apologia do ma-temático.

todos os padrões práticos, o valor dc minha vida como mate-mático é nulo e fora da matemática o valor desta vida também

é im;i~niricantc. Eu s6 tinha lima chance dc escapar ao vere-dicto da completa insignificância, e esta chance é a de que eu

possa ter criado alguma coisa quc valia a pena scr criada. Enão há dúvidas de que eu criei alguma coisa, a questão é seela tem algum valor.

o desejo de solucionar qualquer problema matemático é impul-sionado pela curiosidade e a recompensa é a simples mas enormesatisfação derivada da solução do enigma. O matemático E. C.Titchmarsh uma vez disse: "Não existe utilidade prática em se saberque 7t é irracional, mas, se podemos saber, então certamente seriaintolerável não saber."

No caso do Último Teorema de Fermat não havia escassez decuriosidade. O trabalho de Gõdcl sobre indecidibilidade tinha in-

troduzido um elemento de dúvida se o problema era realmentesolucionável, mas isto não era o suficiente para desencorajar o ver-dadeiro fanático por Fermat. O que era mais desanimador é quepor volta da década de 1930 os matemáticos tinham exaurido todasas suas técnicas e não havia mais nada à sua disposição. O que eranecessário era uma nova ferramenta, alguma coisa que erguesse amoral dos matemáticos. E a Segunda Guerra Mundial forneceriaexatamente o que estava faltando - o maior avanço na capacidadede computação desde a invenção da régua de cálculo.

A Abordagem da Força Bruta

(;

Eu só posso dizer que se um jogo de xadrez é, num sentido

rudc, "inÚtil", então isto é igualmente verdade para a maiorparte da mais refinada matemática (...). Eu nunca fiz nada "útil".Nenhuma descoberta que fiz já produziu, direta ou indireta-

mente, para o bem ou para o mal a menor diferença na melhoria

do mundo. Nem é provável que venha a fazê-to. Julgada por

Quando G. H. Hardy declarou em 1940 que a melhor matemáticaé na sua maior parte inútil, ele acrescentou, rapidamente, que istonão era necessariamente algo ruim. "Averdadeira matemática nãotem efeito sobre a guerra. Ninguém, até agora, descobriu qualquerutilidade bélica para a teoria dos números." Logo se demonstrariaque Hardy estava errado.

160 o ÚI:rIMO '."EOREMA DE FERMAT

Em 1944John von Neumann apareceu como co-autor de um. livro chamadoA teon'adosjogos e o comportamentoeconômico,no

qual ele inventavao termo teon'adosjogos. Esta teoria dos jogosera uma tentativa de Neumann usar a matemática para descrever aestrutura dos jogos c analisar como os humanos os jogarn"Ele co-meçou estudando o xadrez e'o pôquer, depois tentou modelar jo-gos mais sofisticadoscomo a economia. Depois da Segunda Guer-ra Mundial a eorporaçãoRANDpercebeu o potencial das idéias devon Neumann e o contratou para trabalhar no desenvolvimentodascslratégias da gucrra fria. E a partir destc ponto a teoria matemá-tica dos jogos passou a ser um instrun~ento básico para os gene-rais testarem suas estratégias militares tratando as batalhas comose fossem jogos complexos de xadrcz. Uma ilustração simples dasaplicaçõcs da teoria uos jogos é a história do truelo.

Um truelo é semelhante a um duelo, exeeto que existem trêsparticipantes no lugar de dois. Certa manhã o Sr. Blaek,o Sr. Grayc o Sr.White decidem resolver um conflitotruelando com pistolasaté que somcnte um deles fique vivo.O Sr. Black é o pior atirador,acertando seu alvo,em média, uma vez em cada três tentativas. OSr. Grayé um atirador melhor e acerta no alvoem dois de cada trêstiros. Já o Sr. White é um atirador exímio e nunca erra o alvo.Paratornar o truclo mais justo, o Sr. Black tcm a permissão de atirarprimeiro, seguido pelo Sr. Gray (se ele ainda estiver vivo)e depoispelo Sr. White (também se ele ainda estiver vivo). O processo serepete até que só reste um deles. Apergunta é: Contra quem deveo Sr. Black atirar primeiro? Vocêpode dar um palpite baseado naintuição 0\1, melhor ainda, haseado na teoria dos jogos. A.resposta(~ di~;(,lIlid;1 110 t\p{'lIdi('(' ().

Na épuca da gucrra a lllalclllélLicada tlllebra de códigos foi ain-da mais importante do que a teoria dos jogos. Durante a SegundaGucrra Mundial os aliados perceberam q\le a teoria da lógica ma-telllática poderia ser w;ada para decifrar m;IlIcnsagens dos alemães,apenas se os cálculos pudessem ser feitos rapidamente. O desafioera cncontrar \1m mcio de automatizar a matemática, de modo queuma máquina pudcssc fazer o trabalho. O inglês que mais contri-buiu para () esforço de quebra dos códigos FoiA.lanTuring.

Alan 'luring

162I

o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

Em 1938 Turing voltou para Cambridge depois de uma tem-porada lia {)l1iv(;r~idadt de Princctoll. Ele tinha tcstcmullhado orebuliço provocado pelos teoremas de Gõdel sobre a indecidibi-lidade e estivera envolvido na tentativa de reunir o que sobrara dosonho de Hilbert. Em especial ele queria saber se havia um meiode definir quais as perguntas .que eram ou não decidíveis e ten-tou desenvolver um meio metódico de responder a esta pergun-ta. Naquela época os aparelhos de cálculo eram primitivos e efe-tivamente inúteis para a matemática séria. Assim Turing baseousuas idéias no conceito de uma máquina imaginária capaz de com-putação infinita. Esta máquina hipotética, capaz de consumirquantidades infinitas de fita telegráfica, poderia computar durantetoda a eternidade e era tudo de que ele necessitava para explorarsuas perguntas abstratas de lógica. O que Thring não percebia eraque sua mecanização imaginária de questões hipotéticas iria le-var a um avanço fantástico na realização de cálculos reais emmáquinas de verdade.

Apesar do início da guerra, Turing continuou suas pesquisascomo membro do King's College até 4 de setembro-de 1940, quan-do sua vida tranqüila em Cambridge terminou abruptamente. Eletinha sido convocado pela Escola de Cifras e Códigos do Governo,cuja tarefa era decifrar mensagens codificadas do inimigo. Antesda guerra os alemães tinham devotado um esforço considerável nodesenvolvimento de um sistema superior de codificação e isto eramotivo de grande preocupação para o Serviço Secreto Britânico, queno passado conseguira decifrar as mensagens do inimigo com re-lativa facilidade. A história oficial da guerra publicada pelo HMSO,O Serviço Britânico de Informações na Segunda Guerra Mundial,descreve a situação na década de 1930:

Por volta de 1937 ficou estabelecido que, ao contrário dos ja-poneses e italianos, o Exército alemão, sua Marinha e prova-velmente sua ForçaAérea, junto com organizações estatais comoas ferrovias e a 55, usavam para tudo, exceto as comunicaçõest<ítieas, diferentes versões do mesmo sistema cifrado - amáquina Enigma tinha sido colocada no mercado na década

MERGULHO NA AnSTHAÇho 163

de 1920 mas os alemães a tinham tornado mais se~ura atra-vés ue mouificações progressivas. Em 1937 a Escola de Cifrase Códigos do Governo tinha quebrado o código do modelomenos modificado e seguro desta máquina, que estava sendousado pelos alemães, italianos e pelas forças nacionalistasespanholas. Mas, fora isto, a Enigma ainda resistia ao ataquee parecia que ia continuar assim.

l

A máquina Enigma consistia num teclado ligado a uma unidadecodificadora. O codificador tinha três rotores separados e as posi-ções dos rotores determinavam como cada letra no teclado seriacodificada. O que tornava o código da Enigma tão difícil de que-brar era o enorme número de modos nos quais a máquina podiaser regulada. Em primeiro lugar, os três rotorcs na máquina eramescolhidos de uma seleção de cinco que podia ser mudada c trocadapara confundir os adversários. Em segundo lugar, cada rotor podiaser posicionado em 26 modos diferentes. Isto significava que amáquina podia ser regulada em milhões de modos diferentes. E alémdas permutações permitidas pelos rotores, as conexões no quadrode chaveamento, na parte detrás da máquina, podiam ser muda-das manualmente para fornecer um total de 1SO trilhões deregulagens possíveis. E para aumentar ainda mais a segurança, ostrês rotores mudavam de orientação continuamente, de modo que,cada vez que uma letra era transmitida, a regulagem da máquina, eportanto o código, iria mudar de uma letra para outra. Assim, sealguém batesse "DODO" no teclado iria gerar a mensagem "FGTB"- o "D" e o "O" eram transmitidos duas vezes, mas codificadosde modo diferente a cada vez.

As máquinas Enigma foram fornecidas ao Exército, Marinhae Força Aérea da Alemanha e eram até mesmo operadas pelas fer-rovias e outros departamentos do governo. Mas, como aconteciacom os sistemas de código usados naquela época, a fraqueza daEnigma consistia em que o receptor tinha que conhecer a regulagemda máquina que emitira a mensagem. Para manter a segurançaos ajustes da Enigma cram mudados diariamente. Um dos meios

que os transmissores de mensagens tinham de mudar a regulagem

164 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT MERGULHO NA ABSTRAÇÃO 165

diariamente enquanto mantinham os receptores informados erapublicar as regulagens num livro secreto de códigos. O risco des-ta abordagem é que os britânicos podiam capturar um submari-no c obter o livro-código com os ajustes diários da máquina parao mês seguinte. 1\ abordagem alternativa, que Coiauotada duran-te a maior parte da guerra, consistia em transmitir a regulagemdo dia no princípio da mensagem principal, usando o código dodia anterior.

Quando a guerra t:omeçouj a E8eola BritflIlit:a ue Códigos eradominada por lingüistas e filólogos. O Ministério do Exterior logopcrccbeu que os teóricos dos números tinham uma chancc melhordc quebrar os códigos alemães. J)ara começar, nove dos mais bri-lhantes teóricos dos números da Inglaterra se reuniram na nova sede

. da Est:olaue Códigos em llIctchlcyPark,uma mansãovitoriana emBlctchley, Buckinghamshire. Turing teve que abandonar suas má-quinas hipotéticas com fitas telegráficas infinitas e tempo deprocessamento interminável, para enfrentar problemas práticos, comrecursos finitos e um limite de tempo muito real.

A criptografia é uma batalha intelectual entre o criador do có-digo e aquele que tenta decifrá-Io. O desafio para o codificador émisturar a mensagem até um ponto em que ela seja indecifrável sefor interceptada pelo inimigo. Contudo, existe um limite na quan-tidade possível de manipulação matemática devido à necessidadede enviar as mcnsa~ens de modo rápido e eficiente. A força do có-digo alemão da Enigma consistia em que a mensagem passava porvários níveis dc codifieação a uma velocidade muito alta. O desafiopara o decifrador do código era pegar uma mensagem intercepta-da e quebrar o código enquanto o conteúdo da mensagem aindafosse relevante. Uma mensagem alemã ordenando a destruição deum naviobritânico tinha que ser decodificada antes que o navio fosseafundado.

Turing liderou uma equipe de matemáticos que tentou cons-truir réplicas da máquina Enigma. Ele incorporou nesses enge-nhos suas idéias abstratas anteriores à gucrra. /\. idéia era vcrifi-car todos os ajustes possíveis da Enigma até que o eóui~o fossedescoberto. As máquinas britânicas tinham dois metros ue altu-

ra e eram igualmente largas, empregando relês eletromecânicospàra verificar todos os ajustes possíveis da Enigma. O constantetiquetaquear das máquinas deu-Ihes o apelido de bombas. Ape-sar de ~Hlavelocidade era impossível que as bomhas verificassemcada um dos 1SOtrilhócs de ajustes possíveis da Enigma dentrode uma quantidade razoável de tempo. Por isso a equipe de Turingteve que procurar meios de reduzir significativamente o númerode pennutaç(')es extraindo toda a informação que pudesse dasmCllsagen8 enviadas.

Um dos grandes saltos em direção ao sucesso aconteceu quandoos britânicos pcrccberam que a máquina Enigma não podia codifi-car uma letra nela mesma. Ou seja, se o emissor tecIasse "R", en-

tão, dependendo do ajuste, a máquina poderia transmitir todo tipode letra, menos "R". Este fato, aparentemente inócuo, era tudo deque necessitavam para reduzir drasticamente o tempo necessáriopara decifrar as mensagens. Os alemães contra-atacaram limitan-do o comprimento das mensagens que enviavam. Todas as mensa-gens, inevitavelmente, continham indícios para a equipe dedecifradores do código, e quanto maior a mensagem, mais pistasela continha. Ao limitar as mensagens a um máximo de 250 letras,os alemães esperavam compensar a relutância da Enigma em co-dificar uma letra como a mesma.

/\. fim de quebrar os códigos, Turing frcqiientemente tentavaadivinhar palavras chaves nas mensagens. Se acertava, isto acele-rava enormemente a decodifieação do resto da mensagem. Porexemplo, se os uecodifieadores suspeitavam ue que uma mensa-gem continha um relatório meteorológico, um tipo freqüente derelatório couificauo, então eles supunham que a mensagem con-teria palavras como "neblina" ou "velocidade do vento". Se esti-vessem certos podiam decifrar rapidamente a mensagem e, por-tanto, deduzir o ajuste da Enigma para aqucIe dia em particular.E pelo resto do dia outras mensagens, mais valiosas, seriam de-cifradas facilmcnte.

Quando fracassavallllla adivillhação de palavras ligadas ao telllpo,os britânicos tentavalll se colocar lia posição dos operauorcs ale-mães da Enigma para deduzir outras palavras chaves. Um opera-

1M) o (11:1'1MO 'l'Jo:OIU':M/\ I)Jo:"'EH~I"'I' Mlm( ;UI.I H) N/\ /\IIS'I'I(I\(:,\() 167

('

dor descuidado poderia chamar o receptor pelo primeiro nome ouele poderia desenvolver idiossincrasias conhecidas pelos deeifradores.Quando tudo o mais falhava e o.tráfego alemão de mensagens fluíasem ser decifrado, a Escola Britânica de Códigos podia até mes-mo, dizem, recorrer ao recutso extremo de pedir à RAF (Força AéreaBritânica) para que minasse um determinado porto alemão. Ime-diatamente o supervisor do porto atacado iria enviar uma mensa-gem codificada que seria interceptada pelos britânicos. Osdecodificadores teriam certeza então de que a mensagem conteriapalavras como "mina", "evite" e "mapa de referências". Tendo deco-dificado esta mensagem, Turing teria os ajustes da Enigma paraaquele dia e quaisquer mensagens posteriores seriam vulneráveisà rápida decodificação. .

No dia 10 de fevereiro de 1942 os alemães acrescentaram uma

quarta roda às máquin'as Enigma usadas para enviar mensagensparticularmente importantes. Esta foi a maior escalada no nível decodificação durante a guerra, mas finalmente a equipe de Turingrespondeu aumentando a eficiência das bombas. Graças à Escolade Códigos, os aliados sabiam mais sobre seu inimigo do que os.alemães poderiam suspeitar. O impacto da ação dos submarinosno Atlântico foi.grandemeI}te reduzido e os britânicos tinham umaviso prévio dos ataques da Luftwaffe. Os decodificadores também

interceptavam e decifravam a posição exata dos navios de suprimentosalemães, permitindo que os destróieres britânicos os encontras-sem e afundassem.

Mas o tempo todo as forças aliadas tinham que ter cuidado paraque suas ações evasivas e ataques precisos não revelassem sua ha-bilidade de decodificar as comunicações alemãs. Se os alemãessuspeitassem de que o código da Enigma fora quebrado, eles iriamaumentar seu nível de codificação mandando os britânicos de vol-ta para a estaca zero. Por isso houve ocasiões em que a Escola deCódigos informou aos aliados sobre um ataque iminente e o co-mando preferiu não tomar medidas extremas de defesa. Existemmcsmo boatos de que Churchill sabia que Coventry seria o alvo deum bombardeio devastador mas preferiu não tomar precauçõesespeciais para evitar que os alemães suspeitassem. Stuart Milner-

Barry, que trabalhou com 'l"hring, nega o boato. Ele di~ que a men-sagem relevante sobre Coventry só foi decifrada quando já era tar-de demais.

Este uso contido da informação codificada funcionou per-feitamente. Mesmo quando os britânicos usavam as mensagensinterceptadas para causar perdas pesadas no inimigo, os alemãesnão suspeitaram de que o código Enigma fora quebrado. Elespensavam que seu nível de codificação era tão alto que seria to-talmente impossível quebrar os códigos. As perdas excepcionaiseram atribuídas à ação de agentes britânicos infiltrados em suasfileiras.

Devido ao segredo que cercava o trabalho realizado por Turinge sua equipe, em Bletchley, a imensa contribuição que prestaramao esforço de guerra não pôde ser reconhecida publicamente pormuitos anos após o conflito. Costuma-se dizer que a PrimeiraGuerra Mundial foi a guerra dos químicos e a Segunua GuerraMundial, a guerra dos físicos. De fato, a partir da informação re-velada nas últimas décadas, provavelmente é verdade dizer que aSegunda Guerra Mundial também foi a guerra dos matemáticos.E no caso de uma terceira guerra mundial sua contribuição seriaainda mais crítica.

Em toda sua carreira como decifrador de códigos, Turing nun-ca perdeu de vista seus objetivos matemáticos. As máquinas hipo-téticas tinham sido substituídas por máquinas reais, mas as ques-tões esotéricas permaneciam. Quando a guerra terminou, Turingtinha ajudado a construir o Colossus, uma máquina inteiramenteeletrônica com 1.500válvulas que eram muito mais rápidas do queos relês eletromecânicos usados nas bombas. Colossus era um

computador no sentido moderno da palavra. Com sua sofisticaçãoe velocidade extra, ele levou Turing a considerá-Io um cérebro pri-mitivo. Ele tinha memória, podia processar informação, e os esta-dos dentro do computador se assemelhavam aos estados da men-te. Turing tinha transformado sua máquina imaginária no primeirocomputador legítimo.

Depois da guerra, Turing continuou a construir máquinas cadavez mais complexas tais como o Automatic Computing Engine


(ACE). Em 1948ele se mudou para aUniversidade de Manchester,onde construiu o primeiro computador do mundo a ter um pro-~raJ1111gravado cletroJlicamente. Turing tinha fornecido à Grã-Brctanhaos computadoresmaisavançadosdomundo, masnãoviveriaI)araver seus cálculos mais notáveis.

Nos anos posteriores àguerra, 1uring passou a ser vigiadopeloServiçoSecreto Britânico, que sabia ser ele um homossexual pra-ticante. Os agentes temiam que o homem que sabia mais do quequalquer outro sobre oscódigosde segurança da Inglaterra pudesseser vulnerávelà chantagem. Assim todos os seus movimentos erammonitorados. Turing já se acostumara a ser seguido o tempo todo,mas em 1952 ele foi preso por violação das leis britânicas sobrehomossexualidade.Esta humilhaçãotornou avidainsuportávelparaTuring, e seu biógrafo, Andrew Hodges, descreve os eventos queconduziram à morte do matemático:

A morte de Alan Turing foi um choque para todos aqueles queo conheciam (...).Todos sabiam que ele era uma pessoa tensae infeliz, que estava se consultando com um psiquiatra e quesofrera um golpe que derrubaria muitas pessoas. Mas já ti-nham se passado dois anos do julgamento e o tratamento comhormônios tinha terminado no ano anterior. Ele parecia tersuperado tudo isso.

A investi~ação, no dia 10 de junho de 1954, determinou quefora suicídio. Elc fora cncontrado dcitado lia cama. Ilavia IIlIIa

cspuma CIJIlorno dc slJa hoca c os patologÍHtas quc fj;r,cnllllocxame post-nzortem idcntificaram a causa facilmente comoenvenenamento por cianeto (...).Havia um vidro com cianetode potássio na casa e outro vidro contendo uma solução decianeto. Ao lado da cama havia metade de uma maçã, que foramordida várias vezes. Eles não analisaram a maçã e assim nuncadeterminaram com certcza o que parecia tão óbvio. Que a maçãfora mergulhada no cianeto.

o legadode 1uring foi uma máquina que podia iniciar um cálculoimpraticavelmente longo, se realizado por um homem, comple-


I

tando-o em questão de horas. Os computadores de hoje fazemmais cálculos em uma fração de segundo do que Fermat realizouem toda a sua carreira. Os matemáticos que ainda lutavam com oÚltimo Teorema de Fermat começaram a atacar o problema comos computadores,confiandonuma versãocomputadorizadada abor-dagem de Kummer no século XIX.

Kummer tinha descoberto uma falha no trabalho de Cauchye Lamé e mostrara que o maior problema para demonstrar o Úl-timo Teorema de Fermat era lidar com os casos onde 11é igual aum número primo irregular - para valores de n até 100 os úni-cosprimos irregulares sãoos números 37,59 e 67.Aomesmo tempoKummer mostrou que, em teoria, todos os primos irregularespodem ser abordados de modo individual, o único problema sen-do a enorme quantidade de cálculo necessária. E para demons-trar seu ponto de vista Kummer e seu colega Dimitri Mirimanoffexibiram as semanas de cálculosnecessárias para provaro teoremapara os números primos irregulares menores do que 100.Contu-do, ele e os outros matemáticos não estavam preparados para li-dar com o grupo seguinte de primos irregulares que fica entre 100e 1.000.

. Algumas décadas depois os problemas dos cálculos imensoscomeçaram a desaparecer. Com a chegada dos computadores oscasos mais difíceis do Último Teorema de Fermat podiam ser en-frentados com rapidez. Depois da Segunda Guerra Mundial, equi-pes de matem;ítieos c cientistas dos eOJnputatlore~ tIelll()n~tm-ram o Últilllo 'Icorellla de FerJnat para valures dc 11até 500, depoispara valores até 1.000 e 10.000. Na década de 1980, Samuel S.Wagstaff da Universidade de Illinois elevou o limite para 25.000 emais recentemente os matemáticos já podiam afirmar que o Úl-timo Teorema de Fermat é verdadeiro para todos os valores de naté 4 milhões.

Embora os leigos pudessem aehar que a tecnologia modernaestava levando a melhor sobre o Último Teorema, os matemáticossabiam que este sucesso era apenas aparcnte. Mesmo que ossupercomputadores passassem décadas demonstrando um valor den depois do outro eles nunca poderiam demonstrar todos os valo-

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170 () (11:I'IMO TEOItEMA J}I~ I'EltMA'l' MEIt(;ULlIO NA AIIS'l'HAÇÃO 171

rcs de 11até o infinito e, portanto, nunca poderiam demonstrar todoo teorema. Mesmo que o teorema fosse verdadeiro até um bilhão,não há motivo para garantir que fosse verdade para um bilhão e um.E se o teorema fosse demonstrado até um trilhão, ele poderia serfalso para um trilhão e um e assim por diante. Não se pode chegarao infinito através da simples força bruta dos esmagadores de nú-meros computadorizados.

Tudo que os computadores poderiam oferecer eram evidênciasa favor do Último Teorema de Fermat. Para o observador casual a

evidência pode parecer esmagadora, mas nenhuma quantidade deevidência é suficiente para satisfazer os matemáticos, um grupode céticos que não aceita nada exceto a prova absoluta. Extrapolaruma teoria para cobrir uma infinidade de números baseando-se naevidência de alguns números e um jogo arriscado é inaceitável.

Há uma seqüência em particular dos números primos que nosmostra como a extrapolação é uma muleta perigosa de se apoiar.No século XVII os matemáticos mostraram, através de exames de-talhados, que os seguinte números são todos primos:

Durante duzentos anos ninguém pôde provar a conjectura de Euler,mas por outro lado ninguém podia negá-Ia encontrando um exem-plo. Primeiro, cálculos manuais e depois anos de computação ele-trônica não conseguiram encontrar uma solução. A ausência de umexemplo negativo era apontada como uma forte evidência a favorda conjectura. Então, em 1988, Naom Elkies da Universidade deHarvard descobriu a seguinte solução:

2.682.4404 + 15.365.6394 + 18.796.7604 = 20.615.6734.

333.333.331 = 17 x 19.607.843.

Apesar de todas as evidências,a conjectura de Euler revelou-se fal-sa. De fato Elkies provou que existem infinitas soluções para aequação.A moral da história é que não se pode usar a evidência dos primeirosmilhões para provar uma conjeetura referente a todos os números.

Mas a natureza enganadora da conjectura de Euler não é nadacomparada com a conjectura do número primo superestimado. Exa-minando-se números cada vez maiores, torna-se claro que os nú-meros primos ficam cada vez mais difíceis de ser achados. Por exem-plo, entre Oe 100 existem 25 números primo::;,ma::;entrc 10.000.000e IO.()()O.I00 cxi~lclll apclla~ 2 11IalIIer()~ pri IlIOS.EJ.. I71)I , li 18alido

tinha apenas quatorze anos de idade, Carl Gauss previu, de modoaproximado, a freqüência com que os números primos diminui-riam. A fórmula parecia bem precisa, mas parece superestimarlevemente a verdadeira distribuição dos primos. Procurando-setodos os primos até um milhão, um bilhão ou um trilhão sempremostrava que a fórmula de Gauss era levemente generosa e os ma-temáticos eram tentados a acreditar que isto aconteceria para todosos números até o infinito. Daí nasceu a conjectura do número primosuperestimado.

Então, em 1914,J. E. Littlewood, um colaborador de G. I-I.Hardyem Cambridge, mostrou que numa série suficientemente grandea fórmula de Gauss iria subestimar o número de primos. Em 1955S. Skewes mostrou que isso aconteceria pouco antes de se chegarao número

31,331,3.331,33.331,333.331,3.333.331,33.333.331.

Ospróximos números da série se tornam cada vez maiores e o tra-balho de verificar se cles també~ são primos teria exigido um es-forço considerável. Naquela época os matemáticos ficaram tenta-dos a extrapolar a partir destc padrão e presumir que todos osnúmeros da série são primos. Contudo, o número seguinte333.333.331revelou não ser primo:

Outro bom cxemplo que demonstra por que os matemáticos se re-cusam a ser convencidos por alguns exemplos ou pela evidência doscomputadorcsé o caso da conj.ecturade Euler. Euler afirmou quenão há soluções para uma equação não muito diferente da de Fermat:

X4 +y4 + Z4 = W4.1010.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000

10

.,


Este é um nÚmero além da imaginação e além de qualquer apli-cação prática. llanly chamou o nÚmero eleSkcwcs de "o maiornúmero que já serviu a qualquer propósito definido em mate-mática". Ele calculou que se alguém jogasse xadrez com todasas partículas do universo (lOH'/),onele caela movimento signifi-casse simplesmente a troca de duas partículas, então o númeropossível de movimcntos era aproximadamente o nÚmero deSkewes.

E não haviamotivopara não se acreditar que o Último Teoremade Fermat nãopudesse ser tãocruel e enganadorquantoa conjeeturade Euler ou a conjectura do número primo superestimado.

o Estudante de Pós-Graduação

Andrew Wilcs, durante seus anos como estudante.

Em 1975, Andrew Wiles começou sua carreira como estudante depós-graduação na Universidade de Cambridge. Durante os três anosseguintes ele trabalhou em sua tese de Ph.D. e passou por seu apren-dizado matcmático. Cada estudallte é orielltado c estimulado porum supervisar, que no caso de Wiles foi o australiano John Coates,professor no Emmanuel College, originalmente de Possum Brush,Nova Gales do Sul.

Coates aillda se recorda de como adotou Wiles: "Eulcn lbr(} queum colega me disse que tinha um estudante muito bom que aca-bara de terminar a parte lU dos exames para distinção em mate-mática. Elc pediu quc o adotasse como alullo. E eu fui IIIllito felizem ter Andrew como aluno. Mesmo como estudante pesquisadorele tinha idéias muito profundas e sempre foi elaro que como ma-temático iria fazer grandes coisas. É evidente que naquele estágionão havia possibilidade de qualquer estudante começar a trabalhardiretamente no Último Teorema de Fermat. Era muito difícil atémesmo para um matemático experiente.".

Na década passada tudo ()que Wiles fizera tivera o objetivo deprepará-Ia para enfrentar o desafio de Fermat, mas agora ele en-trara lias fileiras dos matemáticos profissionais e tinha que ser mais

. pragmático. Ele se lembra de como teve que abandonar tempora-

~IEI!(;t II,II! I NA AW;'I'I!AI,'A()

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1

'I175

I

riamentc o seu sonho: "Quando fui para Cambridge eu realmentetive que deixar Fermat de lado. Não é que o tivesse esquecido, eleestava sempre lá - mas percebi que as únicas técnicas para se li-dar com o problema tinham 130 anos de idade. E não me pareciaque estas técnicas estavam chegando na raiz do problema. O riscode se trabalhar com Fermat era que se poderia passar anos sem chegara parte alguma. É ótimo trabalhar em qualquer problema desde queele gere uma matemática interessante ao longo do caminho - mesmoque não consiga resolvê-Ia no final do dia. A definição de um bomproblema de matemática reside na matemática que ele produz, nãono problema em si."

Seria responsabilidade de John Coates encontrar uma novaobsessão para Andrew, alguma coisa que ocupasse suas pesqui-sas por pelo menos três anos. "Eu creio que tudo que um supervisarde pesquisa pode fazer por um estudante é tentar empurrá-Io numadireção de pesquisa frutífera. É claro que é impossível ter certe-za do que será uma direção frutífera em termos de pesquisa, mastalvez algo que um velho matemático pode fazer é usar seu sensoprático, sua intuição do que seja uma boa área ~ então dependerásÚdo estudallte decidir até ollde eIc pode ir lIa</lleladireçfLO."Fi-nalmente Coates decidiu que Wiles deveria estudar uma área damatemática conhecida como curvas elípticas. Esta decisão se mos-traria um ponto vital na carreira de Wiles e lhe daria as técnicasnecessárias para uma nova abordagem do Último Teore ma deFermat. ,

O nome "curvas elípticas" é de certa forma enganador porqueelas não são elipses e nem ao menos são curvas no sentido normalda palavra. Trata-se de equações com a forma:

Ji"'

.

,. ,':',y2 = X3 + ax2 + bx + c, onde a, b e c são números inteiros.

Elas receberam este nome porque no passado eram usadas paramedir o perímetro de elipses e os comprimentos das órbitas dosplanetas. Para maior esclarecimento, eu vou me referir a elas como

equações elípticas no lugar de curvas elípticas.O desafio com as equações elípticas, assim como no caso do

John Caates, quc foi supcrvisar de Wilcs na faculdade, na décadadc 1970,aparece aqui em 1993,com seu ex-aluno.

<;

176 o ÚI:ni\IO TEOREMA DE FERMAT

Último Teorema de Fermat, é determinar se elas possuem solu-çõcs para números inteiros e, se assim for,quantas. Por exemplo,aequação elíptica

,,!.::..:\:.1-1. unde (/ = U b = U (' = -2... ., ",

tem apcnas um conjunto de soluções para nÚmeros inteiros, quec:

52 = 33_2, ou 25 = 27-2.

o que torna as cquações elípticas especialmente fascinantes é queelas ocupam um lugar curioso entre outras equações mais simples,

que são quase triviais e outras equações, mais complicadas, quesão impossívcis de resolvcr. Simplesmente mudando-se os valoresde a, b e c em uma equação elíptica geral, os matemáticos podem

gerar uma variedade infinita d~ equações, cada uma com suas ca-racterísticas próprias, mas todas elas possíveis de serem solucio-nadas.

o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

I I I I I I I I I I ~

Figura 13.A aritmética convencional pode ser imaginada como movimentosao longo da linha dos nÚmeros.

As equações elípticas foram originalmente estudadas pelosantigos malcm.íli('()s ~~rq'.(}s,incluindo Diofanlc. '1'1('d,'dicou IIlIIagranue parte de sua /lri/méLica ao estudo de suas propriedades.Provavelmente inspirado por Diofante, Fermat também aceitou odesafio das equações elípticas. Como elas tinham sido estudadas

por seu herói. Wiles ficou feliz em explorá-Ias ainda mais. Mesmodepois de dois mil anos as equações elípticas ainda apresentavam

.'


problemas formidáveisparaestudantes eomoWiles.'l\inda estamoslonge de entendê-Ias completamente. Eu poderia apresentar mui-tas perguntas aparentemente simples sobre equações elípticas queainda nfío foralll rt'spondi<1aR.Mt'RII\(llwrgllllla~qlll' li pr()prio F(.'nlla!cunsideruu ainda não foram respondidas. De eerto modo, toda amatemática que eu fiz tem suas origens em Fermat, se não no Úl-timo Teorema de Fcnnat."

Nas equações que Wiles estudou como estudante de gradua-ção, a determinação do número exato de soluções 'era tão difícilque o Únicomodo de fazer algulll progresso cra simplificar o pro-blema.

Por exemplo, é quase impossível resolver diretamente a seguinteequação clíptica:

x3 - x2 = y2 + y.

o desafio é calcular quantas soluções para números inteiros exis-tem para esta equação. Uma solução razoavelmente trivial é x = Ocy = O:

.'

03 - ()2 = ()2 + n...

Uma solução um pouco mais interessante é x = 1 ey = O:

II -- JZ. (f I li.

Podem existir outras soluções, mas, com urna quantidadc infinitade 1I(lIlIero:; illkiro~ para illve:;ligar. dar \1I11a lisla cIJlllplcla torlla-

se urna tarefa impossível. Um trabalho mais simples consiste emprocurar go!uÇÕCgdentro dc \1m ('~paç() fillilo ele 11I'IIlH'roS.dtall1a-do de aril1l1étiea do rcllígio.

Anteriormente nós vimos como os números podem ser ima-ginados como marcas ao longo de uma linha numérica que se es-tende até o infinito, como é mostrado na Figura 13. Para tornarfinito o espaço dos números, a aritmétiea do relógio envolve cor-tarmos a linha e curvá-Ia sobre si mesma, criando um anel de

17H I' "II:I'I~W 'l'E()I(EMA IIfo: 1'lm~Ii\'I' ME1{GULIIU NA AlI~'I'RAÇÃU 179

números 'no lugar de uma línha de números. A Figura 14 mostrao relógio 5 onde a linha de números foi cortada no 5 e emendadade novo no zcro. O número 5 desaparece c se torna o equivalentea 0, e portanto os únicos números que existem na aritmética dorelógio 5 são 0, 1,2,3,4.

X3 - x2 = y2 + y.

As soluções são:

0°13 2

x = 0,x = 0,x = 1,x = 1,

y=Oy=4y=OY = 4.

Figura 14. Na aritmética do relógio 5 a linha dos números foi cortada nocinco e dobrada sobre si mesma. O número 5 então coincide com o O e

portanto é substituído por ele.

Embora algumas dessas soluções não sejam válidas na aritmé-tica normal, na aritmética do relógio 5 elas são aceitáveis. Porexemplo, a quarta solução (x = I, y = 4) funciona do seguintemodo:

Na aritmética normal nós podemos pensar na adição como ummovimento ao longo da linha', por um certo número de espaços. Porexemplo, 4 + 2 = 6 é o mesmo que dizer que começamos no 4,avançamos UII<lHcaHaHc chcgmnos no ú.

Contudo, na aritmética do relógio 5:

X3 - x2 =y2 + Yt J - t2 = 4Z + 4] - 1 = 16 + 4

0=20.

Na aritmética uu relógiu 5, 2Ucquivalc a Upurque 5 será Jivididuem 20 com resto O.

4+2= 1. Como não podiam enumerar todas as soluções de uma cquaçãoelíptica trabalhando com um espaço infinito, os matemáticos, in-cluindo Wiles, se conformaram em determinar o número de solu-

ções para todas as diferentes aritméticas de relógio. Para a equa-ção clíptiea mostrada acima, o número de soluções na aritmética

do relógio 5 é quatro, e assim os matemáticos dizem Es = 4. Onúmero de soluções em outras aritméticas de relógio também podeser calculado. Por exemplo, na aritmética do relógio 7 o número desoluções é nove e assim E7 = 9.

Para resumir seus resultados, os matemáticos fazem uma lista

do número de soluções em cada aritmética de relógio c chamamesta lista de série L para a equação elíptica. Qual o significado doL é algo que foi esquecido há muito tempo embora algumas pes-soas tenham sugerido que é o L de Gustav Lejeune-Dirichlet, que

Isto acontece porque se começarmos no 4 e avançarmos dois es-paços, cntão chegaremos de voltano 1.A aritmética do relógiopodeparecer estranha, mas de fato, como o nome sugere, nós a usamostodo o dia quando falamos do tempo. Quatro horas depois das 11

(: horas (isto é, 11 + 4) nós geralmente não chamamos de 15 horas ,esim de 3 horas. Isto é aritmética do relógio 12.

Como a aritmética do relógio lida apenas com espaço limitadode números, é relativamente fácil calcular todas as soluções possí-veis para uma equação elípti~a em uma dada aritmética de relógio.Por exemplo, trabalhando com a aritmética do relógio 5 é possívelenumerar todas as soluções possíveis para a equação elíptica

"

'.

180 o ÚI:nMO TEOREMA DE FERMAT MERGUI J 10 NA ABSTRAÇÃO 181

trabalhou com equações elíptieas. Para mais cIarcza cu vou usar otermo série R - a série que é derivada de uma equação elíptiea.!\qui cstá uma cquação c1ípticacom sua séric R:

acontecimentos que ligariaas equações elípticasao ÚltimoTeoremade Fermat. Ao encorajar Wiles a cstudar as equações elípticas,Coatcs lhe dera a~ferramentas quc o capacitariam a trabalhar emseu sonho.

Equação elíptica x3 - x2 =y2 + Y

série I~': I~'I = I,

E = 42

R = 4JE = 8

4 '

E = 45

E6 = 16E =97

E =168

e assim por diante.

Como os matemáticos não podem dizer quantas soluções algu-mas equações elípticas possuem no espaço numérico normal, queSI' (':-;tclldc at(~ o infinito, a :-;éric H parce(: :-;cr o lllelhor qlle po-d('11I (,ClII:I(')',llir. I h' lato a :,éri(' L' cOllténl 11111hocado de inforllla-

ção sobre a equação elíptica que ela descreve. De mesmo modoeomo o DNA biológico eontém toda a informação necessária paraconstruir um organismo vivo,à série E contém a essência da equaçãoelíptica. A esperança residia em que estudando este DNA mate-mático, a série E, os matemáticos seriam capazes de finalmentecalcular tudo o que poderiam desejar saber sobre uma equaçãoclíptica,

'li"abalbando junto com John Coates, Wiles rapidamente esta-bcleceu sua reputação como um brilhante teórico dos números, uma

pc:-;soadotada de,lIma compreensão profunda das c<]uaçÍlcselíptieasc suas séries g A medida que chegava a cada novo resultado e pu-blicava mais um trabalho, Wiles não percebia que estava reunindoaexperiência que o levaria, muitos anos depois, à beira de demonstraro Último Teorema de Fermat.

Embora ninguém estivesse ciente disso na ocasião, a mate-mática japonesa do pós-guerra já tinha iniciado uma corrente de

1 ~.'

I..!'.

5. . . . . . ........

Prova por Contradição

Os padrões criados pelo matemático, como os do pintor oudo poeta, devem ser belos; as idéias, como as cores ou as pa-lavras, devem se encaixar de um modo harmonioso. 1\ belezaé o primeiro Jcsafio: não cxislc lugar pCl'lnancnlc no munuopara a matemática feia.

G. H. Hardy

Yutaka 'làniyama

Em janeiro de 1954um jovem e talentoso matemático da Univer-sidade de Tóquio fez uma visita rotineira à biblioteca do seu de-partamento. Goro Shimura procurava uma cópia do volume 24 doMathematischeAnnalen. Ele buscava um artigo de Deuring sobrea teoriaalgébricada multiplicaçãocomplexade que necessitava paraajudá-Io em um cálculo particularmente difícil e esotérico.

Para sua surpresa e desapontamento, o volume tinha sido em-prestado. Quem o levaraforaYutakaTaniyama,um conhecido oca-sional de Shimura que viviado outro lado do campus. Shimura es-creveu para Taniyamaexplicando-lhe que precisavaurgent~menteda revista para completar um eálculo difícil, e educadamcnte per-guntou quando ela seria devolvida.

Algunsdiasdepoischegouum cartão-postalna mesade Shimura.

Goro Shimura

I'I ",,

PROVAPOR CONTRADIÇÃO 185

11

~1niyama respondeu dizendo que estava trabalhando exatamenteno mesmo cálculo e que ficara preso no mesmo ponto da lógica.Ele sugeria que compartilhassem suas idéias e talvez pudessemcolaborar na solução do problema. Este encontro casual'em tornode um volume emprestado pela biblioteca iniciou uma parceria quemudaria o curso da história da matemática.

'làniyama nascera em 12 de novembro de 1927em um peque-no vilarejo, alguns quilômetros ao norte de Tóquio. O caracterejaponês simbolizando seu primeiro nome devia ser lido como "Toyo",mas a maioria das pessoas, fora da família, o interpretava como"Yutaka" e à medida que crescia Taniyama aceitava e adotava estetítulo. Quando criança Taniyama teve sua educação interrompidavárias vezes. Ele sofreu vários problemas de saúde e quando eraadolesce!lte teve tuberculose, o que o levou a perder dois anos doginásio. O início da guerra provocou uma interrupção ainda maiorem seu aprendizado.

Goro Shimura era um ano mais jovem do que Taniyama c tam-bém tivera seus estudos interrompidos durante os anos da guer-ra. Sua cscola roi rcchada c tiOlugar dc aSHjHtiràs aulas Shimuraprccisou ajuuar no csforço uc guerra, trabalhanuo cm uma fábri-ca que montava partes de aviões. A cada noite ele tentava recupe-rar seus estudos perdidos e se sentiu atraído pela matemática. "Éclaro que havia muitos assuntos para estudar, mas a matemáticaera mais fácil porque eu podia simplesmente ler os livros-texto.Eu aprendi cálculo Icndo os livros. Sc tivessc dcsejado cstudarquímica ou física eu teria precisado de equipamento científico enão tínhamos acesso a tais coisas. Eu nunca pensei que fosse talen-toso. Eu cra apenas curioso. tO

Alguns anos depois do fim da guerra, Shimura e Taniyama seencontraram na universidade. Na ocasião em que trocaram pos-tais sobre o livro emprestado, a vida em Tóquio começava a voltar,ao~ormal e os dois jovens acadêmicos podiam ter alguns luxos. Elespassavam a tarde nos cafés e de noite jantavam em um pequeno,es~urante especializado em carne de baleia. Nos fins de semana

ti:" passeavam pelos jardins botânicos ou pelo parque da cidade. To-dos,locais ideais para conversas sobre as últimas idéias matemáticas.

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Embora Shimura tivesse um lado excêntrico - ainda hoje elemantém o gosto por piadas zen -, ele era muito mais conservadore convencional do que o seu parceiro intelectual. Shimura se le-vantava com o raiar do dia e imediatamente começava a trabalhar,

enquanto seu colega freqüentemente continuava dormiriao, tendotrabalhado a noite toda. As visitas que chegavam no apartamentofreqüentemente encontravam Taniyama dormindo no meio da tarde.

Enquanto Shimura era obstinado, Taniyama era despreocupa-do a ponto de ser preguiçoso. Surpreendentemente esta era umacaracterística que Shimura admirava. "Ele tinha uma capacidadeespecial de cometer muitos erros, a maioria deles na direção certa.Eu o invejava por isso e tentei imitá-Ia em vão, mas descobri queera muito difícil cometer bons erros."

Taniyama era o exemplo perfeito do gênio distraído e isso serefletia em sua aparência. Ele era incapaz de dar um laço decentee assim, no lugar de ficar amarrando os sapatos dezenas de vezespor dia, ele os dcixava com os cordões soltos, dcsamarrados. Usavasempre o mesmo terno verde, peculiar, que tinha um estranho bri-lho metálico. Era fcito de um tecido tão vagabundo quc fora rcjci-tado por outros membros de sua família.

Quando se encontraram em 1954, Taniyama e Shimura esta-vam no começo de suas carreiras como matemáticos. A tradiçãomandava, e ainda manda, que os jovens pesquisadores sejam colo-cados sob a tutela de um professor que guiaria suas mentesinexperientes. Mas Taniyama e Shimura rejei~aram esse tipo deaprendizado. Durante a guerra averdadeira pesquisa fora interrom-pida e mesmo na década de 1950 as faculdades de matemática ain-da não tinham se recuperado. De acordo com Shimura, os profes-sores estavam "cansados, estressados e desiludidos". Em

comparação, os estudantes do pós-guerra estavam entusiasmadose ávidos por aprender e logo perceberam que o único caminho àfrente seria o de ensinarem a si mesmos. Os estudantes passarama ol"gani~arseminários regulares, se revezando para informar unsaos outros sobre as últimas técnicas. e descobertas. Apesar de suaatitude lânguida, durante os seminários k1niyama se tornava umaforça impulsionadora feroz. Ele encorajava os estudantes mais ve-

PROVA POR CONTRADIÇÃO 187

lhos a explorarem o território desconhecido e para os estudantesmais jovens agia como uma figura paterna.

Como os estudantes viviam isolados do Ocidente, os seminá-

rios ocasionalmente cobriam assuntos que eram considerados an-tiquados na Europa e na América. Um tópico particularmente forade moda que fascinava Taniyama e Shimura era o estudo das for-mas modulares.

As formas modulares estão entre os objetos mais bizarros emaravilhosos da matemática. Trata-se de uma das entidades maisesotéricas do mundo matemático e no entanto, no século xx, oteórico dos números Martin Eichler as considerou uma das cinco

operações fundamentais: adição, subtração, multiplicação, divisãoe formas modulares. A maioria dos matemáticos se considera mestre

11asquatro primeiras operações, mas a quinta ainda os deixa um;.)ouco confusos.

y

x

Figura 15. Um quadrado simples exibe a simetria rotacional e refle-Xiva.

\

o fator principal das formas modulares é seu nível excessivode simetria. Embora a maioria das pessoas esteja familiarizada como conceito normal de simetria, ele tem um significadomuito espe-cial em matemática. Significa que um objeto tem simetria se elepuder ser transformado de um modo especial e depois disso pare-..cer o mesmo. Para que possamos apreciar a imensa simet~ia dasformas modulares,vamos examinar primeiro a simetria de objetosmais comuns como um simples quadrado.

188 o ÚLTIMO 1'EOREMA DE FERMAT

No caso do quadrado, uma de suas formas de simetria é arotacional. Isso quer dizer que se imaginarmos um pino coloca-do no ponto onde o eixo dos x e o cixo dos y sc cruzam, então oquadrado da Figura 15poderá girar um quarto de uma volta com-pleta e parecer imutável.Rotações semelhantes, de meiavolta, trêsquartos e um giro completo,vão deixar o qÚadrado com a mesmaaparência. '

y

Figura 16. Uma superfície infinita, calçada com azulejos quadrados,exibe simetria rotacional e reflexiva, e além disso possui simetriatranslacional.

Alémda simetria rotacional,o quadrado também possui sime-tria reflexiva.Se imaginarmosum espelho colocadoao longodo eixodos x, então a metade superior do quadrado vai se refletir exata-mente sobre a metade inferior e vice-versa, de modo que, depoisda transformação,o quadrado continuaria parecendo o mesmo. Demodo semelhante podemos definir outros três espelhos (ao longo

I,PROVA POR CONTRADiÇÃO 189

do eixo dos y e ao longo das duas diagonais) para os quais cadaquadrado refletido pareceria idêntico ao original.

O quadrado simplesé relativamcntesimétrico,possuindo ambasas simetrias, rotacional e reflexiva,mas ele não possui a simetriatranslacional. Ela significa que, se o quadrado for empurrado emqualquer direção,um observadorperceberia imediatamentcpor quesuaposiçãorelativaaoseixosteria mudado.Contudo,se todoo espaçofosse revestido com azulejos quadrados, como mostrado na Figura16, esta infinita coleção de quadrados passaria a ter a simetriatranslacional. Se a superfície infinita de azulejos fosse movidaparacima ou para baixopor um ou mais espaços, então o novoazulejopareceria idêntico ao original. E além disso a superfície de azule-jos ainda possui simetria rotacional e reflexiva. .'

Â.I

Figura 17.Usando dois tipos diferentes de azulejos, a pipa e o dar-do, Roger Penrose foi capaz de cobrir esta superfície. Contudo, osazulejos de Penrose não possuem simetria translaeional.

~

A simetria da superfície de azulejos é uma idéia relativamentesimples, mas, exatamente como acontece com outras idéias ~pa-rentemente simples, existem muitas sutilezas escondidas dentrodela. Por exemplo, na década de 1970o físico britânico e matemá-tico diletante RogerPenrose começou a brincar com diferentes ti-

x

-. .-- - -

-

190 o ÚLTIMO :fEOREMA DE FERMAT

pos de azulejos em uma mesma superfície. Por fim, ele identificouduas formas interessantes, que chamou de pipa e dardo, as quaissão mostradas na Figura 17. Sozinhas, nenhuma dessas formaspoderia ser usada para cobdr uma superfície sem deixar fendas ousuperposições, mas juntas elas podem ser usadas para criar umasérie rica de padrões de azulejos. As pipas e os dardos podem sercombinadas de um modo infinito, e embora cada padrão seja simi-lar, todos eles variam em detalhes. Um padrão feito de pipas e dar-dos é mostrado na Figura 17. .

Outra característica extraordinária sobre os azulejos de Penrose(os padrões gerados por peças como a pipa e o dardo) é que elespodem exibir um nível bem restrito de simetria. À primeira vistapode parecer que p padrão mostrado na Figura 17 possui simetriatranslacional, c no entanto qualqucr tentativa de mover a fi~ura,de mudo quc ela pareça imut{lvc1,termina em fracasso. Os aJ',ule-jos de Penrose são enganadoramente assimétricos e é por isso queeles fascinam os matemáticos, tendo se tornado o ponto de partidapara todo um novo campo de pesquisas.

Embora a característica fascinante sobre as superfícies azule-jadas de Penrose seja sua simetria restrita, a propriedade mais in-teressante das formas modulares é que elas exibem simetria infi-nita. As formas modulares estudadas por Taniyama e Shimura podemser empurradas, trocadas, refletidas e giradas de um número infi-

(,nito de modos e ainda permanecerão imutáveis, o que as torna osobjetos matemáticos mais simétricos que existem.

Infelizmente é impossível desenhar ou imaginar uma formamodular. No caso dos azulejos quadrados, nós temos um objeto quevive num espaço de duas dimensões definido pelo eixo dos x e oeixo dosy. Uma forma modular também é definida por dois eixos,mas ambos os eixos são complexos, ou seja, cada eixo tem uma partereal e uma parte imaginária, tornando-se, efetivamente, dois eixos.Portanto, o primeiro eixo complexo deve ser representado por doiseixos, o eixo xr (real) e o cixo Xi (imaginário). Já o segundo eixocomplexo é representado pelos eixosy r (real) e y i (imaginário). Paraser maispreciso, as formas modulares vivemno meio plano supe-rior deste espaço complexo,mas o que é mais importante é notar

)

I

. )

PROVA POR CONTRADIÇÃO 191

que cstc é um espaço quadridimcnsional (com quatro dimensões,x, x., y ,y .).r I r I

Figura 18. Círculo Limite W, de Mauritz Escher, transmite um pou-co da simetria das formas modulares.

l, Este espaçoquadridimensionalé chamadodeespaçoIziperbólico.O universo hiperbólico é difícil de ser entendido pelos humanos,que estão presos num mundo convencional,tridimensional, mas oespaçoquadridimensional é um conceito matemáticoválidoe é estadimensão extra que dá às formas modulares seu nível de simetriatão imenso. O artista Mauritz Eschcr era fascinado pelas idéiasmatemáticas e tentou transmitir o conceito de espaço hiperbólico

II,

]92 o ÚI:I'IMOTEOREMA DE FERMATPROVAI'OR CONTRADIÇÃO 193

em algumas de suas gravuras e pinturas. A Figura 18mostra o Li-mite CircularIV de Escher que encaixa o mundo hiperbólico, emuma página bidimensional. No verdadeiro espaço hiperbólico osmorcegos e anjos teriam todos o mesmo tamanho e a repetição é

.um sinaldoaltonívelde simetria.Embora parte desta simetria possaser vista em uma página bidimensional, existe uma distorção cres-cente em direção à bordada figura.

As formas modulares, que vivem no espaço hiperbólico, podemter várias formas e tamanhos, mas cada uma é construída com osmesmos ingredientes básicos. O que diferencia cada forma modu-lar é a dosagem de cada ingredientc contido nela. Os ingredientes

de uma forma modular são enumerados de um ao infinito (MI' Mz,M3, M4'."), e assim uma determinada forma modular pode conterIImílpor~'ã{)cioingr('diClltc 11111(M, =1), trÔHporçõcs do illgrediell(cdoiH (Mz = 3),dllílS porções do illgrediellle t.rês (Moi = 2) ele. Estainformação, dcscrcvendo como uma forma modular é construída,pode ser resumida na assim chamada série modular, ou série M,uma receita com ingredientes e a quantidade neccRRária dc cadaum:

ca. Na verdade, elas parecem completamente desligadas do as-sunto que Wilesiria estudar em Cambridge, as equações elípticas.A forma modular é terrivelmente complicada, estudada principal-mente devido à sua simetria, e foi descoberta no século XIX.Aequação elíptica vem da Grécia antiga e não tem relação nenhu-ma com a simetria. Formas modulares e equações elípticas vivemem regiões completamente diferentes do cosmos matemático eninguém acreditaria que existisse algum elo remoto entre os doisassuntos. Contudo, Taniyama e Shimura iriam chocar a comuni-dade matemática aosugerirem que as equaçõeselípticase as formasmodulares eram na verdade uma coisa só. De acordo com essesmatemáticos dissidentes seria possível unificar os mundos mo-dulares e elípticos.

iI

Sonhando com o Impossível

Série M: M( = 1M = 3zM = 23

e assim por diante.

Em sctembro dc t955 realií';ou-se um simpósio illtemacional emTóquio. Era uma oportunidade única para muitos jovens pesqui-sadores japoneses mostrarem ao resto do mundo o que tinhamaprendido. Eles distribuíram uma coleção de 36 problemas relacio-nados com seu trabalho, acompanhados de uma humilde introdu-ção - Alguns problemas não-resolvidos da matemática: nenhumaatualização foi feita, assim podem existir algumas questões triviaisoujá resolvidas entre estas. Pede-se aos participantes que apresen-tem comentários sobre qualquer um desses problemas.

Quatro problemas eram de Taniyama e sugeriam uma curiosarelação entre as formas modulares e as equações elípticas. Essesproblemas inocentes iriam finalmente conduzir a uma revoluçãona teoria dos números. Taniyama estudara os primeiros termos nasérieM de uma determinada forma modular. Ele reconheceu o padrãoe percebeu que era idêntico à lista de números de uma série E deuma bem conhecida equação elíptica. Ele calculou mais algunstermos' em cada uma das séries e ainda assim a série M da forma

modular e a série E da equação elíptica correspondiam perfeita-mente.

Exatamente como a série' E é o DNA das equações elípticas, asérie M é o DNA das formas modulares. A quantidade de cadaingrediente listado em uma série M é crítica. Dependendo decomo você muda a quantidade, digamos, do primeiro ingrediente,você pode gerar uma forma modular completamente diferente,mas igualmente simétrica, ou pode destruir toda a simetria e gerarum novo objeto que não é uma forma modular. Se a quantidadede cada ingrediente for escolhida, arbitrariamente, então o resul-tado, provavelmente, será um objeto com pouca ou nenhuma si-metria.

As formas modulares são muito independentes na matemáti-

194 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMATPROVA POR CONTRADIÇÃO 195

Em 1955 Goro Shimura e Yutaka Taniyama participaram de umsimpósio internacional em Tóquio.

que enriquece ambos os temas. Por exemplo, originalmente os cien-tistas tinham estudado a eletricidade e o magnetismo como doisfenômenos completamente separados. Então, no século XIX, osteóricos e os experimentalistas perceberam que a eletricidade e omagnetismo tinham uma relação profunda. Isto resultou num melhorentendimento de ambos. As correntes elétricas geram camposmagnéticos e os magnetos podem induzir correntes elétricas emfios que passem perto deles. Isto levou à invenção dos dínamos emotores elétricos e finalmente à descoberta de que a própria luz éo resultado de campos elétricos e campos magnéticos oscilando emharmonia.

'Jàniyama examinou mais algumas formas modularcs c em cadacaROa Réric 111parecia eOITeRpolHlcrperfeitamcnte com a Rérie l~ue uma equação elíptiea. Ele começou a imaginar se cada formamodular teria uma equação elíptica correspondente. Talvez cadaforma modular tivesse o mesmo DNA de uma equação elíptica: Épossível que as formas modulares sejam equações elípticasdisfarçadas? As perguntas que ele distribuiu no simpósio eramrelacionadas com esta hipótese.

A idéia de que cada equação elíptica tinha relação com uma formamodular era tão extraordinária que aqueles que leram as pergun-tas de Taniyama as trataram como nada mais do que uma observa-ção curiosa. Com certeza Taniyama tinha demonstrado que algu-mas equações elípticas podiam ser relacionadas com determinadasformas modulares, mas afirmava-se que isso era apenas uma coin-cidência. De acordo com os céticos, a hipótese de Taniyama de queexistia uma relação geral, universal, não tinha substância. A hipó-tese era baseada na intuição e não em qualquer evidência real.

O único aliado de Taniyama era Shimura, que acreditava na forçae na profundidade das idéias de seu amigo. Depois do simpósio,ele trabalhou com 'làniyama em uma tentativa para dese nvolver ahipótese até um ponto em que o resto do mundo não pudesse maisignorá-Ia. Shimura queria encontrar mais evidências para apoiar orelacionamento entre os mundos modulares e elípticos. A colabo-ração entre os dois foi interrompida, temporariamente, em 1957,quando Shimura foi convidado a estudar no Instituto de Estudos

(;

Esta era uma descoberta espantosa porque, sem nenhuma ra-zão aparcnte, esta forma modular poderia se relacionar com umaequaçãOelíptica através de suas respectivas séries M e séries E -ambas as séries eram.idên~icas.O DNAmatemáticoque criaraessasduas entidades era o mesmo. Esta era uma descoberta duplamen-te profunda. Em primeiro lugar, sugeria que, lá no fundo, existiauma relação entre as formas modulares e as equações elípticas,objetos que estão em lados opostos da matemática. Em segundolugar,sugeria que os matemáticos, que já conheciam a sérieM parauma forma modular, não Í)recisariam calcular a série E para umaequação elíptica correspondente, porque ela seria idêntica à sérieM.

As relações entre assuntos aparentemente diferentes são im-portantes, criativamente,tanto na matemática quanto em qualqueroutra disciplina. O relacionamento sugere alguma verdade oculta

196 o ÚI:I'lMO TEOREMA DE FERMAT PROVA POR CONTRADIÇÃO 197

Avançados de Prineeton. Depois de passar dois anos como profes-sor visitante nos Estados Unidos, ele pretendia voltar a trabalharcom 'TIlI1iyama,mas isso nunca aconteceu. No dia 17de novembrode 1958,Yutaka1àniyama cometeu suicídio.

Na manhã da segunda-feira, 17 de novembro de 1958, osíndico do apartamento o encontrou morto, com um bilhctedeixado na escrivaninha. Fora cscrito em três páginas dc um

caderno que ele usava para seus trabalhos. O primeiro pará-grafo dizia:

A Morte de um Gênio Até ontcm eu não tinha intenção de me matar. Mas muitos

notaram que ultimamente cu tcnho me sentido cansado,física e"mentalmentc.Quanto à causa do meu suicídio, eumesmo não a entendo completamente, mas não é o resul-tado dc 11111incidcntc cm particular ou dc ullla qucstão

cspecífica. S(í POgSOdi:l.cr quc cstou nunl estado mental cm

quc pcrdi a confiança CIII lIIeu futuro. Podcm cxistir pcs-~;oa~; I'ara qU('11I 111('11!\uil'Ídio !wr:í 1111Ia ('oi!:a I'('rlllrll:lllora

011 d(' 1'1'110 IIlodo 11111gol pc. 1-;11nillc('rallu'lIlc (;!;pcro que

este incidente não lance ulUa sombra ncgra sobre o futuro

dcsta pcssoa. Dc qualqucr modo não posso nc~ar quc istoseja ullla cspécie dc traição, III:ISpor favor desculpc o quefiz como meu último ato em meu modo de vida, como sem-

prc, vivi ao mcu modo, cm toda a minha vida.

Shimura ainda guarda o postal que Taniyama lhe mandou quan-do fizeram o primeiro contato devido ao livro emprestado da bi-bliotcca. Ele também gua~da a última carta que Taniyama escrc-vcu para c1c quando cstava em Princctoll, lIIas ela Hãu contém omenor indício do que iria acontecer, dois meses depois. Até hojeShilllura ainda não entendeu a causa do guicídio de 'Ihniyallla. "Eu('!;Iava IIIIIi10 illlrigado. I'('rplcxo pod(' !H'r IIllIa palavra 11\1'111111<I::

claro que fiquei triste, lHas foi ulI\a cui~;(ltão súbita. Eu reecbi cstacarta em setembro e ele morreu em novembro e fiquei incapazeleentendcr o que acolltecera. É claro qlle depoig ollvi IIIlIitas coisasc telltci lHe reconciliar cum sua morte. Algumas pessoas di~cmque ele perdera a confiança em si mesmo, mas não matematica-In<:lIlc."

O que era particularmente confuso para os amigos de Taniyamaé que ele acabara de se apaixonar por Misako Suzuki e plancjava sccasar COIIIda 110final daquele anu. Num tributo pessual publieaduno Bulletill 01 the LOlldon Mathematical Society, Goro Shimurarelembra o envolvimento de Taniyama com Misako e as semanasque antecederam o seu suicídio:

Quando fui informado do namoro entre os dois, eu fiquei um

pouco surpreso, já que pensara, vagamente, que ela não eraseu tipo, mas não tive nenhum pressentimento. Depois mecontaram que eles tinham alugado um apartamento, aparen-temente melhor, para ser seu novo lar. Saíram juntos e com-praram utensílios de cozinha e estavam preparando tudo parao casamento. Tudo parecia tão promissor para eles e os ami-gos. E então a catástrofe os atingiu.

Em seguida ele passava a descrever, metodicamente, o seudescjo sobrc o que deveria scr feito com gCW;pertcllces <.:qllelivrose registros ele tinha tomado emprestado da biblioteca ede amigos.Especificamenteelediz: "Eu gostariadedeixarmeusdiscos e a vitrolapara Misako Suzuki desde que ela não fiqueperturbada por eu deixar isto para ela." Ele também ex.plicaaté onde tinha chegado no curso de cálculo e álgebra linearque estava dando para os estudantes e conclui a nota pedindodesculpas aos colegas pelo incômodo que iria causar.

Assim limadas mentes mais brilhantes e arrojadasde nossaépoca acabou com sua vida por sua própria vontade. Ele tinhacompletado 31 anos cinco dias antes.

Algumas semanas depois do suicídio, a tragédia aconteceu pelasegunda vez. Sua noiva, Misako Suzuki, também se matou. Ela tc-

198 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT PROVA POR CONTRADIÇÃO 199

A Filosofia da Bondade

que ele testava sua hipótese ela parecia verdadeira e, em todo caso,ela pareeia se encaixar em sua ampla filosofiamatemática. "Eu te-nho esta filosofia da bondade, e a matemática deve contê-Ia. As-sim, no casode uma equaçãoelíptica,pode-se dizer que esta equaçãoé boa se ela for definida por uma forma modular. Eu espero quetodas as equações elípticas sejam boas. É uma filosofiameio tosca,mas sempre se pode usá-Ia como ponto de partida. Depois, é claro,eu tinha que desenvolvervárias razões técnicas para a conjectura.Eu posso dizer que a conjectura deriva da minha filosofia da bon-dade. A maioria dos matemáticos fa~ matemática a partir de \1mpOlllo dc vi~la c~lélico c c~la l'iIo~ofia d:t hOlld:tdc vcm do llIel! pontode vista estético."

Finalmente as evidênciasacumuladas por Shimura fizeram comque sua teoria sobre equações elípticas e formas modulares se tor-nasse mais aceita. Ele não podia provar para o resto do mundo queera verdade, mas pelo menos agora ela era algo mais do que umaidéiainspirada.Haviaevidênciasuficientepara que recebesse otítulode conjectura. Inieialmente foichamada de eonjectura de Taniyama-Shimura em reconhecimento ao homem que a inspirara e ao seucolega que a desenvolveucompletamente.

Depois André Weil, um dos grandes nomes da teoria dos nú-meros no séculoxx, adotou a conjectura e a divulgou no Ocidente.Weilinvestigouaidéiade Shimura eTaniyamae encontrou evidênciasainda mais sólidas a favordclas. Como rcsultado, a hipótese às ve-zes era chamada de conjectura Taniyama-Shimura-Weil, às vezescomo conjectura Taniyama-Weile, ocasionalmente,como conjecturaWeil.De fato, houvemuitos debates e controvérsias quanto aonomeoficial da conjectura. Para aqueles que se interessam por combi-nações, existem quinze permutações possíveis dados o s três no-mes envolvidos,e é bem possível que cada uma dessas combina-ções tenha aparecidonos livrose revistasao longodos anos. Contudo,eu vou me referir à conjectura pelo seu título original,de conjecturade l1miyama-Shimllra.

O professor John Coates, que orientou Andrew Wiles quandoele era estudante, fora ele próprio estudante quando a conjecturacomeçou a ser discutida no Ocidente. "Eu comecei a fazer pesqui-

ria deixado um bilhete dizendo: "Nós prometemos um aooutro que,não importa aonde fôssemos, nunca nos separaríamos. E agora queele se foi eu também devo me juntar a ele."

Durante sua curta carreira Taniyama contribuiu eom muitas idéiasradicais para a matemática. Os problemas que ele distribuiu nosimpósio continhàm suas maiores descobertas, mas ele estava tãoadiallte de scu tempo quc lliio viveri:t para v(.'r SII:t cnorme illfluên-

cia lia tcoria dos números. A comunidadc dos jovens cientistas ja-poneses sentiria muita falta de sua liderança e de sua criatividadeintelectual.Shimura se lembramuito bem da influênciade Taniyama:"Ele era sempre gentil com seus colegas, especialmente eom oscalouros, e se importava realmente com o bem-estar de todos. Eraum apoio moral para muitos dos que entraram em eontato eom eledurante o estudo da matemática, eu inclusive.Provavelmentenuncateve noção do papel que desempenhava. Mas eu sinto sua nobre

,: generosidade mais fortemente agora do que quando ele estavavivo.E no entanto ninguém foi capaz de apoiá-Io quando ele preeisavadesesperadamente. Refletindo sobre isto eu me sinto tomado pelamais profunda mágoa."

Depois da morte de Taniyama, Shimura concentrou todos osseus esforços para compreender a relação exata entre as equaçõeselípticas c as formas modulares. À medida que os anos se passa-vam ele lutavapara reunir mais evidências e conseguir uma ou duaspeças de apoiológicopara sua teoria.Gradualmente elese convenceude que cada equação elíptica devia ser relacionada com uma formamodular. Os outros matemáticos ainda duvidavàm e Shimura selembra dc uma conversa qu~ teve eom um eminente colega.O pro-fessor perguntou: "Ouvidizer que você propõe que algumas equa-ções elípticas podem ser ligadas a formas moclulares."

"Não,você não entende", respondeu Shimura. "Não são ape-nas algumas equações elípticas, são todas as equações elíptieas!"

Shimma não podia provar que isso era verclade, mas cada vez

200 () ÚI:I'IMO TEOREMA DE FERMAT PROVAPOR CONTI~DlÇÃO 201

sas em 1966quando a conjectura de Taniyamae Shimura estava seespalhando pelo mundo. Todos estavam admirados e começavama examinar seriamente se todas as equações elípticas poderiam sermouularcs. Era uma épocamuito excitante, o único problema é queparecia muito difícil fazer algum progresso. Eu acho que é hones-to dizer que, embora bela, esta idéia parecia muito difícil de serprovada, e é isso que nos interessa como matemáticos."

No final da década de 1960,hordas de matemáticos testaramrepetidamente aeonjeetura de Taniyama-Shimura.Começandocomlima cquação clíptica c sua série H, eles procuravam uma forma11!od 1I1ar ('0111IIlIIa s(~rje 114idêllt ica. I~, CIII cada caso, a equaçãodípliea tillh:l, dc falo, lima forma IIJouular associaua. Embora cstafosse uma boa evidência a favor da eonjectura de Taniyama-Shimura,da lIão cheg-ava a scr lima prova. Os matemáticos suspeitavam ueque fosse vCI-dade,mas até que alguém pudesse encontrar uma prova16gica ela continuaria scndo meramente uma conjeetura.

Barry Mazur, professor.da Universidade de Harvard, testemu-nhou a ascensão da eonjectura de Taniyama-Shimura. "Era umahiptltese maravilhosa - a idéia de que eada equação elíptiea seriaassociada a uma forma modular -, mas para começar foi ignoradaporque estava muito à frentc de seu tempo. Quando foi aprcscnta-da pela primeira vez não foi .eonsideradaporque era espantosa de-mais. Num lado você tinha o mundo elíptico e, no outro, tinha omundo modular. Estes dois ramos da matemática tinham sido es-

tudados de modo intenso mas separado. Os matemáticos que es-tudavam as equações elípticas não eram bem versados em coisasmodulares e vice-versa. Então chega a conjectura de Taniyama-Shimura, com sua grande hipótese de que existe uma ponte ligan-do esses dois mundos completamente diferentes. E os matemáti-cos adoram construir pontes."

Ovalor das pontes matemáticas é enorme. Elas permitem queas comunidades de matemáticos, que viviam em ilhas separadas,troquem idéias e explorem suas criações. A matemática consisteem ilhasde conhecimento num mar de ignorância. Por exemplo,existe uma ilha ocupada pelos geômetras, que estudam as formas,c existe a ilha dos probabilistas, que estudam o risco e o acaso.

Existem dúzias de tais ilhas, cada uma com sua linguagem única,incompreensível para os habitantes das outras ilhas. A linguagemda geometria é bem diferente da linguagem da probabilidade, e agíria do cálculo é incompreensível para aqueles que falam somen-te estatística.

O grande potencial da conjectura de Taniyama-Shimura era ode ligar duas ilhas, permitindo que se comunicassem pela primei-ra vez. Barry Mazur pensa na conjectura de Taniyama-Shimura comoum artefato tradutor, semelhante à pedra de Rosetta, quc continhaim;criçõcs cm denHítico eg-ípcio, 110antigo grego c IHISIlicf(íglifos.COIIIO o grego (~o d('II.tll i('o eralll ('olll\('('idos, os arqu('c',logos pu-dcram decifrar os hieníglifos pela prinleira vez. ..{~eOlllOse vocêconhecesse uma linguagem e esta pcdra dc Rosetta vai lhe dar umacompreellsão illtcllsa do outro idioma", uiz Mazur. "Mas a cOlljecturade 'HlIliyama-Shimura é uma pedra ue Rosetta com um certo po-ucr mágico. 1\ conjectllra tem uma característica agrauável no scn-tido de que simples intuições no mundo elíptieo se traduzem emverdades profundas no mundo modular c vice-vcn,a. E o que é ain-da mais illtercssallte, problemas prof 1IlIUOS110mUlluo c líptieo po-dem ser resolvidos, às vezes, simplesmente tradu:f.indo-os para omunuo modular, com esta peura ue Rosetta, e dcscobrinuo que nestemundo temos ferramentas e artefatos para enfrentar o problematraduzido. No mundo elíptieo estaríamos perdidos."

Se a conjectura de Taniyama-Shimura fosse verdadeira, elapermitiria que os matemáticos solucionassem problemas que ti-nham passado séculos sem serem resolvidos, abordando-os atra-vés do mundo modular. Agrande esperança era no sentido destaunificação dos mundos elíptico e modular. A eonjeetura tambémcriou uma esperança de que pudessem existir ligações entre os váriostemas da matemática.

Durante a década de 1960, Robert Langlands, do Instituto deEstudos Avançados de Princeton, ficou impressionado com o po-tencial da conjeetura. Embora ela não tivesse sido provada,Langlandsaereditava que se tratava de apenas um elemento numgrande esquema de unificação. Ele estava confiante de que exis-tiriam elos entre todos os principais assuntos da matemática e

202 o ÚLTIMOTEOREMA DE FERMAT PROVA POR CONTRADIÇÃO 203

começou a buscar esta unificação. Em poucos anos começaram asurgir algumas pontes. Toda's essas conjecturas de unificação erammuito mais fracas e especulativas do que a de Taniyama-Shimura,mas formavam uma rede complexa de pontes hipotéticas entremuitas áreas da matemática. O sonho de Langlands era ver cadauma dessas conjecturas provadas uma por uma, levando a umagrande matemática unificada.

Langlands discutiu seus planos para o futuro e tentou persua-dir outros matemáticos a participarem do quc ficou conhecido comoo programa Langlands, um esforço concentrado para provar suasinúmeras conjecturas. Parccia não cxistir mcio óbvio dc provar taiselos especulativos, mas, se o sonho se tornasse realidade, então arecompensa seria enorme. Qualquer problema insolúvel em umcampo da matemática poderia ser transformado num problemaanálogo em outra área, onde todo um novo arsenal de técnicas po-deria ser colocado sobre ele. Se uma solução se tornasse difícil, oproblema poderia ser transformado e transportado para outra áreada matemática e assim por diante, até que fosse resolvido. Um dia,

(,'de acordo com o programa Langlands, os matemáticos seriam ca-pazes de resolver seus problemas mais esotéricos e intratáveis, sim-plesmente transportando-os através das ilhas do mundo matemá-tico. .

Havia também implicações importantes para as ciências apli-cadas e a engenharia. Seja modelando as interaçães entre quarksque colidem ou descobrindo o modo mais eficiente de organizaruma rede de telecomunicações, freqüentcmente a chave do pro-blema reside em um cálculo matemático. Em algumas áreas da ciên-cia c da tccnologia a complcxidade dos cálculos é tão grande queeles não podem ser terminados e, conseqüentemente, o progressonestes campos é severamcntc prcjudicado. Sc os matcmáticos pu-dessem provar suas conjecturas de ligação, elas seriam atalhos pararesolver não só os problemas abstratos, mas também os problemasdo mundo real.

Na década de 1970 o programa Langlands se tornara um pro-jeto para o futuro da matemática, mas esta rota para o paraíso dosfC'soJvedoresde prohlemas estava bloqueada pelo simples fato de

que ninguém tinha a menor idéia de como provar as conjecturasde Langlands.Aconjectura maissólidadentro doprograma era aindaa de Taniyama-Shimura, mas mesmo esta parecia fora de alcance.A provade Taniyama-Shimura seria o primeiro passo no programaLanglands e como tal se tornara um dos maiores prêmios cobiça-dos pela teoria dos números.

Apesar de sua condição de eonjectura não-provada, Taniyama-Shimura ainda era mencionada em centenas de trabalhos de pes-quisa matemática, especulando sobre o quc aconteceria se cla fos-se verdadeira. Os trabalhos começaram com a advertência clara:"Presumindo-se que a conjectura de rlàniyama-ShimUl-aseja ver-dadeira..." e então continuavam a delinear uma soluçãopara algumproblema não-resolvido. É claro que esses resultados poderiam serigualmente hipotéticos porque dependiam da eonjectura ser ver-dadeira. Os novosresultados hipotéticos eram por sua vez incorpo-rados em outrosresultados até que existiaum excessode matemáticadependendo da comprovaçãoda conjeetura de Taniyama-Shimura.Esta única eonjeetura era a fundação de toda uma nova arquitetu-ra da màtemática, mas até que fosse provada esta nova estruturaseria vulnerável.

Na ocasião,Andrew Wiles era um jovem pesquisador na Uni-versidade de Cambridge, e ele lembra a inquietação que atingiua comunidade matemática na década de 1970. "Nós construímos

mais e mais conjecturas que se estendiam cada vez mais para ofuturo, mas que seriam todas ridículas se a conjectura de Taniyama-Shimura não fosse verdadeira. Assim, tínhamos que provarTaniyama-Shimura para mostrar que todo este projeto que tínha-mos mapeado para o futuro era possíveL"

Os matemáticos tinham construído um frágil castelo de car-tas. Eles sonhavam que um dia poderiam dar a esta arquitetura afundação sólida de que ela necessitava. Mas também tinham queviver com o pesadelo de que um dia alguém poderia provar queTaniyama e Shimura estavam na verdade enganados, reduzindo apó duas décadas de trabalhos de pesquisa.

204 o ÚI:fIMOTEOREMA DE FERMAT PROVA POR CONTRADIÇAo 205\

o Elo Perdido Embora este arranjo pareça muito diferente da equação original,eleé uma conseqüênciadireta da soluçãohipotética. Queremos dizerque se, e este é um grande "se", existe uma solução para a equaçãode Fermat e o Último Teorema de Fermat é falso, então esta equa-ção rcarrumada também deve existir. Inicialmente a audiência deFrey não ficou muito impressionada com a rearrumação, mas en-tão ele chamou a atenção para o fato de que esta novaequação é defatouma elíptiea,se bem que exóticaeenrolada.Asequações elípticaspossuem a forma

No outono de 1984 um seleto grupo de teóricos dos números sereuniu para um simpósio em Oberwolfach, uma pequena cidadeno coração da Floresta Negra da Alemanha. Eles tinham se reuni-do para discutir várias descobertas no estudo das equações elípticase naturalmente alguns dos palestrantes, ocasionalmente, relatavamalguns pequenos progressos feitos na direção da prova de conjecturada Taniyama-Shimura. Um dos oradores era Gerhard Frey, ummatemático dc Saarbrücken. Ele hão tinha nenhuma idéia nova sobreC'IIII\O abllnl;lr;1 (,oll.ic'('ll1ra, IlIas rez a arirlll;II.:iio ('xlraonlill:íria dI'

j IIIe' qll:!!c I' 11'r 11111j I' I\" I'lId('H:W prova r '1111'a (,lIlIjl'd 1Ira de '1:'11 iY:lllla-:-)hilllllra era vcrdadcira tambélll dcmollHtraria illlcdiatamclltc o(Jltitno 'Icofema dc Fcrmat.

(1l1alldo Frcy sc levantoll para ralar, ele COIIICÇOUcHercvclldo acquação dc Fcrmat:

.\'} ,\' I I (f.\'" I /1.\' I t".

lIIas sc fizcrmos

(I = I/N - UN,b = () c c = _/llllIJN,

AN +Bv = OV.

então torna-se fácilapreciar a natureza elíptica da equação de Frey.Ao trallsforlllar a equação de Fennat em lima equação elíptiea,

Frey tinha ligado o Último 'lcorema de Fermat à conjectura deTaniyama-Shimura. Freyentão mostrou para sua audiência que estacquação elíptica, criada da solução da equação de Fermal, é ven.la-deiramente bizarra. De fato, Frey afirmou que sua equação elípticaera tão estranha que as repercussões de sua existência seriam de-vastadoras para a conjectura de Taniyama-Shimura.

Quando Frey chamou sua equação elíptica de "estranha", esteera seu modo de expressar a natureza única de sua série E. A sérieE continha uma seqüência tão estranha de números que seria in-concebível uma forma modular possuir uma série M idêntica. Daíse dizia que a equação elíptica de Frey não poderia ser modular.Mas lembre-se de que a equação elíptica de Frey é apenas umaequação fantasma. Sua existência está condicionada à hipótese deo Último Teorema de Fermat ser falso.Contudo, se a equação elípticade Freyde fato existe, então ela é tão estranha que seria impossívelque fosserelacionadacom uma forma modular.Todavia,a conjecturade Taniyama-Shimura afirma que toda equação elíptica deve serrelacionada com 11m::! form~ m()rI111~r. Pnrt~ntn :'I(''(ic:t~nr'1~ (1:1('c:-

X" + .1'"= :::;",onde 11é maior do qllc 2.

o Último Teorema dc Fermat afirma que não existem soluções com1I(lIncros inteiros para esta cqllação, mas Frcy exploroll o que acon-teceria se o Último 'H:orema fosse falso, ou seja, se existisse pelomenos uma solução. Frey não tinha idéia do que poderia ser estasolução hipotética e herética, assim chamou os números desconhe-cidos pelas letras A, B e C:

:Freypassou então a "rearrumar" a equação. Isto é um procedimentomatemático rigoroso que muda a aparência de uma equação semalterar sua integridade. Através de uma série hábil de complicadasmanobras, Frcy modclou a equação original de Fermat com suasolução hipotética para criar .

)'2 = X3 + (AN-BN) X2-ANBN.

206 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT 207PROVA POR CONTRADIÇÃO

tranha equação elíptica de Frey desafia a conjectura de Taniyama-Shimura.

mundo no auditório, exceto Frey, a percebera. O erro não pareciaser sério, entretanto, tornava o trabalho de Frey incompleto. Quemquer que conseguisse corrigir b erro receberia o crédito por ligarFermat a Taniyama-Shimura.

A platéia de Frey correu do auditório para a sala de xerox. Fre-qüentemente, a importância de uma palestra pode ser medida pelocomprimento da fila esperando para obter cópias da transcrição doque foi dito. Depois de obter uma versão por escrito das idéias deFrey, os espectadores retomaram aos seus respectivos institutos ccomeçaram a tentar a correção do erro.

O argumento de Frey dependia do fato de que sua equaçãoelíptica, derivada da equação de Fermat, era tão estranha que nãopoderia ser modular. Seu trabalho estava incompleto porque ele nãodemonstrara inteiramente que sua equação elíptiea era suficien-temente bizarra. Somente quando alguém pudesse provar a abso-luta estranheza da equação elíptiea de Frey é que uma demonstra-ção da conjectura de Taniyama-Shimura implicaria a prova do ÚltimoTeorema de Fermat.

Inicialmente os matemáticos acreditavam que provar a estra-nheza da equação elíptica de Frey seria um processo razoavelmen-te rotineiro. À primeira vista, o erro de Frey parecia elementar e todosos presentes em Oberwolfach acharam que tudo se resumia a umacorrida para ver quem misturava a álgebra mqis rapidamente. Aexpectativa é que alguém enviaria um e-mail e'm questão de diasdescrevendo como estabelecera a verdadeira estranheza da equa-ção elíptica de Frcy.

U ma semana se passou e tal e-mail não chegou. Meses se pas-saram e o que parecia uma louca corrida matemática se transfor-mou em uma maratona. Era como se Fermat continuasse a zom-

bar e atormentar seus descendentes. Frey tinha delineado umaestratégia fascinante para demonstrar o Último Teorema de Fermat,

mas mesmo o primeiro passo elementar, ou seja, provar que a equaçãoelíptica hipotética de Frey não era modular, estava frustrando osmatemáticos do mundo inteiro.

Para provar que a equação elíptica não era modular, os mate-máticos estavam procurando por uma invariante semelhante àquelas

Em outras palavras,o argumento de Frey é o seguinte:

(1) Se (e somente se) o Último Teorema de Fermat está errado,então a equação elíptica de Frey existe.

(2) A equação elíptica de Frey é tão estranha que nunca poderiaser modular.

(3) A conjectura de rlàniyama-Shimura afirma que toda cquaçãoelíptica deve ser modular.

(4) Portanto, a eonjcetura de Taniyama-Shimura é falsa!

Alternativamente, e mais importante, Frey podia inverter esteargumento.

(1) Se for verdade a conjectura de Taniyama-Shimura, então toda" equação elíptica deve ser modular.

(2) Se toda equação elíptica deve ser modelar, então a equação deFrey não pode existir.

(3) Se a equaçãoelípticade Freynão existe,então nãopodem existirsoluções para a equação de Fermat.

(4) Portanto, o Último Teorema de Fermat é verdadeiro!

Gerhard Freychegaraàdramáticaconclusãode que aprovadoÚltimolcorcma de Fcrmat teria como conseqüência imediata a prova deque a conjectura de Taniyama-Shimura era verdadeira. Frey afir-mava que sc os matemáticos pudessem demonstrar a conjecturade Taniyama-Shimura, então eles automaticamente provariam queoÚltimo Tcorema de Fermat estavacerto. Pelaprimeira vez em eemanos oproblema de matemátka mais difícil do mundo parecia vul-nerável.De acordo comFrey,demonstrar aconjectura de Taniyama-Shimura era o único obstáculo avencer para obter a provado Últi-mo Teorema de Fermat.

Embora a audiência ficasse impressionada pela visão brilhantede F'rrv.clr1ncrceheu \1m erro elementar em sua lógica. Quase todo

II"iI

I'ROVA POR CONTRADIÇÃO 209

descritas no Capítulo 4. A invariante do nó mostrava que um nónão poderia ser transformado em outro e a invariante do enigmade Loyd mostrara que seu enigma 14-15 não poderia ser transfor-mado no arranjo correto. Se os teóricos dos números pudessemdescobrir urna invariante apropriada para descrever a equação elípticade Frey, então eles poderiam provar que, não importava o que fossefeito, ela nunca poderia ser transformada em uma forma modular..-De certo modo, a invariante seria a medida de sua estranheza.

Um dos matemáticos que tentavam completar a ligação entrea cOlljccIlira de Thlliyama-Shimllra e o ÚIIimo 'n~()JTlIJade Fcrmat('ra K(,II l{illl'l. 11111proft-:I:H,r da IllIivn:lidadl' da (~alif('JI'lIia CIII

IIcrkcley. I)estie a palestra elll ()berwolfaeh. I{ibct ficanl obcecadoelll provar que a equação elípLica de Frey era estrallha uemaiH paraHer modular.

Depois de dezoito meses de esforços, ele e todos os outros não

chegaram a parte alguma. Então, no verão de 1986, um colega deJ{ibct. o professor Barry Mazur, estava visitando Berkc1cy p~lrapar-ticipar do Congresso Internacional de Matemática. Os dois ami-gos foram tomar um cappuccino no Café Strada e começaram a trocarIlistt'u'ias dc IlI<ísorte, reslllulIgallllo a respeito do cstado da IlIate-mática.

Até que eles começaram a conversar sobre as últimas novida-

des nas várias tentativas para provar a estranheza da equação elípticade Frey. Ribet começou a explicar a estratégia que estivera explo-rando. A abordagem parecera vagamente promissora, mas só con-seguira demonstrar urna pequena parte. "Eu estava sentado dian-te de Barry contando para ele o que estivera fazendo. Eu mencioneique tinha conseguido demonstrar um caso muito especial, mas nãosabia o que fazer para generalizar e conseguir toda a demonstração."

O professor Mazur tomou um gole do seu café e ouviu a idéiade Ribet. Então ele parou e olhou para Ken incrédulo. "Mas vocênão percebe? Tudo que precisa fazer é somar alguns gama-zero deestrutura (M) e prosseguir com seu argumento que vai funcionar.Vai lhe dar tudo de que precisa."

Ribet olhou para Mazur, olhou para seu cappuccino e olhou denovo para Mazur. Era o momento mais importante da carreira de

Ken Ribet

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I!ji.~ti

210 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT PROVA POR CONTRADIÇÃO 211

Ribet, e ele o relembra nos mínimos detalhes. "Eu disse: você estáabsolutamente certo - é claro!- como não percebi isto? Eu es-tava totalmente perplexo p~rque nunca me ocorrera somar os gama-zero da estrutura (IV!),embora pareça simples."

Deve ser notado que, emborasomargama-zero da estrutura (M)possa parecer simples para Ken Ribet, trata-se de um passo esotéricode lógica que somente um punhado de matemáticos no mundo inteiroteria bolado durante um café casual.

"Era um ingrediente crucial que eu deixara passar e estivera otempo todo ali, na minha cara. Eu voltei para o meu apartamento,andando no ar, pensando: Meu Deus, será que isto está correto?Eu estava completamente fascinado, me sentei e comecei a escre-ver num bloco de papel. Depois de uma hora ou duas já tinha tudopronto e verificado. Eu conhecia os passos-chave e tudo se encai-xava. Revisei meus argumentos e disse, sim, isso realmente tem quefuncionar. É claro que havia milhares de matemáticos no CongressoInternacional e eu mencionei casualmente para algumas pessoasque tinha conseguido demonstrar que a conjectura de Taniyama-Shimura implica o Último Teorema de Fermat. A coisa se espalhoucomo fogo no mato seco e logo muita gente sabia evinha me pergun-tar: É realmente verdade que você provou que a equação elípticade Frc)' 1/(10{JJ//odlllar{ E cu pcnsava por um minuto c di;"ia rc-pentinamente: Sim, eu provei."

O Último Teorema de Fermat estava agora inseparavelmenteligado ~lcm ~ectura de Taniyama-Shimura. Se alguém puJc88c provarque toda equação elíptiea é modular, então isto implicaria que aequação de Fcrmat não teria solução e o Último Tcorcma cstariaautomaticamente demonstrado.

Por três séculos e mcio o Último Tcorcma de Fcrmat fora um

problema isolado, um enigma curioso e impossível na fronteira damatemática. Agora Ken Ribet, inspirado por Gerhard Frey, o trou-xera para o centro das atenções. O problema mais importante doséculo XVII fora ligado ao problema mais significativo do século xx.Um enigma de enorme importância histórica e emocional estavaligado agora a uma conjectura que poderia revolucionar a matemáticaTl1nrl ('rn:1.

De fato, os matemáticos agora poderiam ataear o Último Teoremade Fermat adotando a estratégia da prova por contradição. Para provarque o Último Teorema é verdadeiro, os matemáticos começariampresumindo que ele é falso, o que implicaria ser falsa a conjecturade Taniyama-Shimura. Contudo, se Taniyama-Shimura fosse de-monstrada como sendo verdadeira, então isto seria incompatível coma fal,sidade do Último Teorema de Fermat e, portanto, o Último'Icorema teria que ser verdadeiro. Frey tinha definido claramente atarefa a ser cumprida. Os matemáticos demonstrariam automati-camente o Último Teorema se eles pudessem provar primeiro quea conjectura de Taniyama-Shimura era verdadeira.

Inicialmente houve grandes esperanças, mas então a realidadeda situação foi percebida. Há trinta anos que os matemáticos ten-tavam provar Taniyama-Shimura e fracassavam. Por que iriam fa-zer progresso logo agora? Os céticos acreditavam que o resto deesperança que ainda havia, quanto a provar Taniyama-Shirnura, ti-nha desaparecido. Sua lógica era a de que qualquer coisa que pu-desse levar a uma solução do Último Teorema de Fermat deveria,por definição, ser impossível.

Mesmo Ken Ribet, que fizera a descoberta crucial, era pessi-mista: "Eu fazia parte da grande maioria de pessoas que acredita-vam quc a eonjectura de Taniyama-Shimura era completamenteinacessível. Nem me importei de tentar prová-Ia. Nem mesmo penseinisso. Andrew Wiles era provavelmente uma das poucas pessoas naterra que tinha a audácia dc sonhar que poderia realmente ir emfrente e provar esta conjectura."

Em 1986, Andrew Wiles percebeu que poderia ser possível demonstrar° Últin10 Teorema de Fermat através da conjectura de Taniyama-Shiml1ra.

6........ ......

Os Cálculos Secretos

Um espeeiali!;ta em resplver prohlcmas deve ser dotado de Ih laRqllalidadcHillCOIlIpatrveiH- IIllIa illlaJ{illação illlJllicta c 1111111paciente obstinação.

Howard W. Evcs

tIJ.

"Foi numa tarde, no final do verão de 1986, quando eu estava to-mando chá na casa de um amigo", lembra-se Wiles. "Casualmen-te, no meio da conversa, ele me disse que Ken Ribet tinha demons-trado a ligação entre Taniyama-Shimura e o Último Teorema deFermat. Eu fiquei eletrizado. Eu sabia naquele momento que o rumode minha vida estava mudando, porque isto significava que parademonstrar o Último Teorema de Fermat eu só precisaria provar aconjectura de Taniyama-Shimura. Aquilo significava que meu so-nho de infância era agora uma coisa respeitável para se trabalhar esabia que nunca a deixaria escapar. Sabia que iria para casa e co-meçaria a trabalhar na conjectura de Taniyama-Shimura."

Duas décadas tinham se passado desde que Andrew Wilesdesco-'brira o livro,na biblioteca, que o inspirara a aceitar o desafio de Fermat,mas agora, pela primeira vez, ele podia vislumbrar o caminho em di-reção ao sonho da sua infância. Wiles diz que sua atitude em relação a

\

214 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT OS CÁLCULOS SECRETOS 215

"

Taniyama-Shimuramudou da noiteparao dia. "Eu me lembrei de ummatemático que escreverasobre a conjectura de Taniyama-Shimurae descaradamente a sugerira como um exercíciopara o leitor interes-sado. Bom,eu suponho que 'agoraeu estavainteressado."

Desde quc c'Ompletaraseu Ph.D. com o professor John Coatcs,cm Cambridge, Wilesatravessara o Atlântico e fora para a Univer-sidade de Princeton, onde agora era professor. Graças à orientaçãode Coates, Wilesprovavelmentesabia mais sobre equações elípticasdo que qualquer outra pessoa no mundo. Mas estava ciente de quemesmo eom seu enorme conhecimento e habilidades matemáti-cas a tarefa que o aguardava era imensa.

A maioria dos outros matemáticos acreditava que tentar urnademonstração seriaum exercíciofútil.John Coatesdisse: "Eu mesmoera totalmente cético de que a bela ligaçãoentre o Último Teoremade Fermat e a conjectura de Taniyama-Shimura fosse levar a algu-ma coisa. Devo confessar que não acreditava que a conjectura fos-se acessível à demonstração. Bonito como era, este problema pa-reciaimpossívelde ser provado.Achavaque provavelmentenãoviveriapara vê-Io demonstrado,'"

Wiles estava bem ciente das probabilidades que existiam con-tra ele, mas, mesmo que finalmente fracassasse em demonstrar oÚltimo Teorcma de Fermat, sentia que seus esforços não seriamdesperdiçados: "É claro que a conjectura de Taniyama-Shimuraestiveraabertapor muitosanos.Ninguém tinha idéiade comoabordá-Ia, mas pelo menos estava no foco da matemática. Eu podia tentare mesmo que não conseguisse uma demonstração completa esta-ria criando matemática útil. Não achava que ia desperdiçar meutempo. E assim o romance de Fermat, que me fascinara por toda aminha vida, estava agora ligado a um problema que era profissio-nalmente aceitável."

o Refúgio no Sótão

Ele respondeu: ''Antes de começar eu teria que passar três anosestudando o assunto intensamente, e eu não tenho tanto tempo paradesperdiçar num provávelfracasso." Wiles sabia que para ter algu-ma esperança de encontrar uma provaele teria que primeiro mer-gulhar completamente no problema, mas, ao contrário de Hilbert,elc estava preparado para correr o risco. Leu os trabalhos mais re-centes e então exercitou-se nas últimas técnicas, repetidas vezes,até que elas se tornaram naturais paraele. De modoareunir as armasnecessárias para a batalha à frente, Wiles teve que passar dezoitomeses se familiarizandocom cada elemento da matemática que forausado ou que derivara das equações elípticas e das formas modu-lares. Este era um investimento comparativamente pequeno, ten-do em mente que ele esperava que qualquer tentativa séria de ob-ter uma demonstração iria exigir dez anos de esforço solitário.

Assim, Wiles abandonou todos os trabalhos que não fossemrelevantes para a demonstração do Último Teorema de Fermat edeixou de participar do interminável circuito de conferências ecolóquios. Mas, como ainda tinha responsabilidades para com odepartamento de matemática de Princeton, ele continuou a parti-cipar dos seminários e dar aulas para os estudantes de graduação.Sempre que possível evitavaas distrações da faculdade trabalhan-do em casa, onde se refugiavaem seu estúdio no sótão. Lá ele pro-curava expandir o poder das técnicas estabelecidas, esperando de-senvolver uma estratégia para seu ataque sobre a conjectura deTaniyama-Shimura.

"Eu costumavair parameu estúdio e começavaa tentar encontrarpadrões. Tentavafazer cálculos que explicassem um pequeno frag-mento da matemática. Dcpois procurava encaixar o resultado emalguma ampla concepção de alguma parte da matemática que pu-desse esclarecer o problema no qual pensava.Às vezes isso envol-via procurar num livroo que já fora feito,Àsvezes era uma questãode modificar as coisas um pouquinho, fazendo um pequeno cálcu-lo extra. E às vezes eu concluía que nada do que fora feito anterior-mente tinha qualquer utilidade. Então eu tinha que encontrar al-guma coisa totalmente nova e de onde ela vinha é um mistério.

"Basicamente é apenas uma questão de pensar no assunto. '-.

Na virada do século perguntaram ao grande lógico David Hilbertpor <1liC'ele nunca tentara demonstrar o Último Teorcma ele Fcrmat.


Freqüentemente você escreve alguma coisa para clarear seus pen-samentos, mas não necessariamente. Em especial quando vocêchegou num verdadeiro i~passe, quando existe um verdadeiro pro-blema que precisa superar, então a rotina do pensamento mate-mático não tem utilidade nenhuma. Para alcançar esse tipo de idéianova é necessário um longo período de atenção ao problema semqualquer distração. É preciso realmente pensar só no problema cem nada mais - só se concentrar nele. Depois você pára. Entãoparece ocorrer uma eSl1éeie de relaxamento durante o qual osubconsciente aparentemente assume o controle. E é aí que sur-gem as idéias novas."

A partir do momento em que embarcou na busca pcla demons-tração, Wiles tomou a decisão extraordinária de trabalhar em com-pleto isolamento e segredo. Os matemáticos modernos desenvol-vcnlln uma cultura uc cooperação e colaboração c assim a uccisãode Wiles parecia remontar a uma época anterior. Era como se eleestivesse imitando a abordagem do próprio Fermat, um dos maisfamosos eremitas matemáticos. Wiles explica que parte do motivode querer trabalhar em segredo estava em seu desejo de não serdistraído. "Eu percebi que qualquer coisa relacionada com o Últi-mo Teorema de Fermat gera muito interesse. E eu não poderia meconcentrar durante anos com um monte de espectadores me ob-servando."

Outro motivo para o isolamento de Wiles deve ter sido o seudesejo de glória. Ele temia se ver em uma situação onde tivessecompletado o grosso dos cálculos, mas a demonstração ainda nãoestivesse completa. Nesse ponto, se os detalhes do seu trabalhovazassem, nada impediria um matemático rival de completar a de-monstração e roubar-lhe o prêmio.

N os anos seguintes, Wiles faria uma série de descobertas ex-traordinárias, mas não publicou nem discutiu nenhuma delas atéque sua demonstração estivesse completa. Até mesmo os colegasmais chegados não conheciam sua pesquisa. John Coates se lem-bra de conversas com Wiles durante as quais ele não deu nenhumaindicação do que estava acontecendo. ''Até me lembro de ter faladocom ele, em a~gl1masocasiõeg, quc achava muito boa egta ligação

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os CÁLCULOS SECRETOS 217

com o Último 1'eorema de Fermat, mas que não havia esperançasde se provar Taniyama-Shimura. Acho que ele apenas sorriu."

Ken Ribet, que completara a ligação entre Fermat e Taniyama-Shimura, também não tinha consciência nenhuma das atividadesclandestinas de Wiles. "Este é provavelmente o único caso que euconheço dc alguém que trabalhou por tanto tempo scm divulgar oque estava fazendo, sem comentar os progressos que estava con-seguindo. É completamente sem precedentes em minha experiência.Em nossa comunidade, as pessoas sempre compartilham suas idéias.Os matemáticos sc reúncm nas conferências, visitam uns aos ou-tros, dão seminários, se comunicam por e-mails. Freqüentementeconversam pelo tclefone, pcdcm esclarecimentos c comentários -os matemáticos estão sempre se comunicando. Quando você con-versa com outras pessoas, você recebe aquele tapinha nas costas,elas lhe uizem que o que você fez é importante, lhe dão idéias. Nósnos nutrimos destas coisas e se você se desliga de tudo isso, entãocstá fazendo algoque provavelmentc é muito estranho do ponto devista da psicologia."

De modo a não levantar suspeitas, Wiles bolou uma estratégiapara tirar os colegas do seu rastro. No início dos anos oitenta eleestivera trabalhando em uma grande pesquisa sobre um tipo espe-cial de equações elípticas. Estava a ponto de publicar todo este tra-balho quando as descobertas de Ribet e Freyo fizeram mudar deidéia. Wiles decidiu ir publicando este trabalho aos poucos, libe-rando pequenos artigos a cada seis meses. Esta aparente produti-vidade convenceria seus colegas de que ele ainda continuava comsuas pesquisas usuais. E, enquanto pudesse manter esta farsa, Wilespoderia trabalhar em sua verdadeira obsessão, sem revelar qual-quer uma de suas descobertas.

A única pessoa que conhecia o segredo de Wiles era sua espo-sa, Nada. Eles se casaram logo depois que Wilescomeçou a traba-lhar na prova e à medida que os cálculos progrediam ele contavasomente para ela. Nos anos seguintes sua família seria sua únicadistração. "Minha mulher me conheceu já na época em que eu es-tava trabalhando com Fermat. Eu contei para ela em nossa lua-de-mel, algl1m;dia~depois de nos cagarmog.Ela já ouvira falar no Úl-

"

218,

o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

timo Teorema de Fermat, mas na ocasião não tinha idéia do signi-ficado romântico que ele tinha para os matemáticos, que fora umespinho em nosso pé por tantos anos."

Duelando com o Infinito

Parademonstrar o ÚltimoTeoremade Fermat,Wilestinha que provara conjectura de Taniyama-Shimura. Cada equação elípticateria queser relacionada com uma forma modular. Antes mesmo da ligaçãocom o Último Teorema, os matemáticos tinham tentado desespe-radamente demonstrar a conjectura, mas cada tentativa terminaraem fracasso.Wilesconheciabem os fracassosdopassado."Em últimaanálise o que as pessoas tinham tentado fazer, ingenuamente, eracontar as equações elípticas e as formas modulares e mostrar quehaviao mesmo número de cada uma delas. Só que ninguém nuncaencontrara um modo simples de fazer isso. O primeiro problema éque existe um número infinito de cada uma e você não pode contarum nÚmero infinito. Simplesmente não existe meio de fazer isso."

De modo a encontrar uma solução, Wiles adotou sua aborda-gem costumeira para resolver problemas difíceis. "Àsvezes eu ficorabiscando o papel. Não são rabiscos importantes, apenas rabis-cos subconscientes. E nunca uso o computador." Neste caso, comoem muitos outros problemas da teoria dos números, os computa-dores seriam inúteis, de qualquer modo.Aconjectura de Taniyama-Shimura se aplica a um número infinito de equações elípticas eembora um computador possa verificar os casos individuais emalgunssegundos, elejamais poderia verfificar todos os casos. O queera necessário era um argumento lógico, passo a passo, que efeti-vamente apresentasse uma razão e explicasse por que cada equa-ção elíptica teria que ser modular. Para encontrar a demonstração,Wilessó usava lápis, papel e sua mente. "Eu fiz tudo isso em mi-nha cabeça, praticamente todo o tempo. Acordavacom o problemade manhã e passava o dia todo pensando nele e depois ia dormircomo problema na cabeça. Sem distrações, a coisa ficavao tempotodo rodando em minha mente."


Depois de um ano de contemplação, Wiles decidiu adotar umaestratégia conhecida como indução como base para sua demons-tração. A prova por indução é uma forma poderosa de demonstra-ção porque permite ao matemático provar que uma declaração éválidapara um nllmcro infinito de casos demonstrando apenas umúnico caso. Por exemplo, imagine que um matemático quer provarque uma declaração é verdadeira para todos os números naturaisaté o infinito. O primeiro passo é mostrar que a declaração é ver-dadeira para o número 1,o que presumivelmente é uma tarefa sim-ples. Depois é preciso demonstrar que, se a declaração é verdadei-ra para o número 1, então ela deve ser verdadeira para o número 2.E se for verdadeira para o número 2, será para o número 3. Se forpara o 3, também será para o número 4 e assim por diante. De ummodo geral o matemático tem que demonstrar que se a declaraçãoé verdadeira para qualquer número n, então ela deve ser verdadei-ra para o número seguinte, n + 1.

A prova por indução é essencialmente um processo em duasetapas:

II

I:

I:'.

.

.'fi

(1) Prove que a declaração é verdadeira para o primeiro caso.(2) Prove que se a declaração é verdadeira para qualquer um dos

casos, então dcvc ser verdadeira para o próximo caso.

Outro modo de pensar na provapor indução é imaginar o númcroinfinito de casos como uma fileira de dominós. Para provarcada umdos casos é preciso derrubar todos os dominós. Derrubar um porum levariauma quantidade infinita de tempo e esforço,mas a provapor induçãopermite que os matemáticosderrubem todosos dominósderrubando apenas o primeiro. Se os dominós forem arrumadoscuidadosamente, então ao derrubar o primeiro dominó derrubare-mos o segundo que derrubará o terceiro e assim até o infinito.

Esta forma de brincadeira matemática comos dominós permiteprovar um número infinito de casos, provando apenas o primeiro.O Apêndice 10 mostra como a prova por indução pode ser usadapara demonstrar uma declaração matemática relativamente sim-ples sobre todos os ntÍmeros.

o desafio para Wiles era construir um argumento indutivo,mostrando que cada uma das infinitas equações elípticas podia serrelacionada com uma das infinitas formas modulares. De algum modoele tinha que dividir a demonstração num infinito número de ca-sos individuais e então provar que o primeiro caso era verdadeiro.Em se~uida cra prcciso mostrar que feita a prova para o primeirot:aHOtodos os olllrOHcairiam, Finalmcnte elc dcscohri.. o Pl'inlciropasso para sua prova indutiva oculto no trabalho de um gênio trá-gico da França do século XIX.

Évariste Galois nasceu em Bourg-Ia-Reinc, um vilarcjo ao sulde Pari~, no dia 25 de outubro de 1811, apenas 22 anos depois daRevolução Francesa. N apoleão Bonaparte estava no auge do seupoderio, mas o ano seguinte testemunhou sua desastrosa ca~pa-nha lia !{Ússia c enl 1H14 ele foi mandado para o exílio e substitu-ído pelo rei Luís XVIII.Em 1815Napolcão escapou de Elba, en- .trou em Paris c retomou o poder. Cem dias depois era derrotadoem Watcrlooe forçado a abdicar novamente em favorde I,uís XVIII.Galois, como Sophic Germain, cresceu durante um período de tre-menda agitação política, mas enquanto Germain se isolavados tu-multos daRevoluçãoFrancesae se concentravana matemática,Galoisrepetidamente se colocou no centro da controvérsia política, o quenão apenas o afastou de sua brilhante carreira, como também aca-bou levando-o a uma morte prematura.

Além da agitação geral, que atingiu a vida dc todos, o interessede Galoisna política foiinspiradopor seu pai,NicolasGabriel Galois.Quando Évaristetinha apenas quatro anos de idade, seu paifoieleitoprefeito de Bourg-Ia-Reine. Isto aconteceu durante o retorno triun-fante de Napoleão ao poder, um período em que os fortes valoresliberais de seu pai estavamde acordo com o clima no país. Nicolas-Gabriel era um homem culto e cortês e durante seu mandato como

prefeito conquistou o respeito da comunidade. Mesmo depois queLuís XVIIIretomou ao poder, ele manteve seu posto. Fora da polí-tica, seu maior interesse parece ter sido a composição de versossatíricos que ele lia nas reuniões da cidade, para a alegria de seuseleitores. Muitos anos depois, este seu talento para a sátira levariaa sua queda.


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I~varistc Galois


Este aluno só se preocupa com os altos campos da matemáti-ca.A loucura matemática domina este garoto. Eu acho que seriamelhor para ele se seus pais o deixassem estudar apenas isto.

De outro modo ele está perdendo tempo aqui e não faz nadasenão atormentar seus professores e se sobrecarregar de pu-nições.

A ânsia de Galois pela matemática logo superou a capacidade doseu professor, e assim ele passou a estudar diretamente dos livrosescritos pelos gênios de sua época. Rapidamente ele absorveu oseoneeitm: mais 111()~te1"n()sc com a idade de dc;r,essctc al10Hpubli-cou seu prim.eiro trabalho nos Anna/es de Gergonne. Havia umcaminho claroparaojovem prodígio,todaviaseu brilho seria o maiorobstáculo ao seu progresso. Embora soubesse mais matemática doque seria necessário para passar nas provas do Liceu, as soluçõesde Galois eram freqüentemente tão sofisticadas e inovadoras queseus professores não conseguiam julgá-Ias corretamente. E paratornar as coisas piores, Galois fazia tantos cálculos de cabeça quenãose incomodavade delinear claramente seus argumentos no papel,deixando os professores ainda mais frustrados e perplexos.

E o jovem gênio não melhorava a situação com seu tempera-mento explosivoe uma precipitação que só conquistava a inimiza-de de seus tutores e de todos os que cruzavamseu caminho. QuandoGaloisprestou examepara a ÉcolePolytechnique,o mais prestigiadocolégio de seu país, os seus modos rudes e a falta de explicações naprova oral fi~era1llcom que sua admissão fosse recusada. Galois

desejavadesesperadamente freqüentar a Polytechnique, não só porsua excelência como centro acadêmico, mas por sua reputação deser um centro do ativismo republicano. Um ano depois ele tentoude novo e mais uma vez seus saltos lógicos na prova oral só con-fundiram o examinador,MonsieurDinet. Sentindoque estavaapontode ser reprovadopela segunda vez, e frustrado.por sua inteligêncianão estar sendo reconhecida, Galois perdeu a calma e jogou umapagador em Dinet, acertando em cheio. Nunca mais ele voltaria aentrar nas famosas salas da Polytechnique.

Sem se deixar abalar pelas reprovações,Galois continuou con-

fiante em seu talento matemático. Ele prosseguiu com suas pes-quisas, seu principal interesse sendo a busca de soluções para cer-tas equações, como a equação quadrática. As equações quadráticaspossuem a forma

Com a idade de doze anos, Évariste Galois foi para a escola noLiceu de Louis-le-Grand. Era uma instituição de prestígio mastambém muito a~ltoritária.Paracomeçar,elenão encontrou nenhumcurso de matemática e seu rcgistro acauêmieo era rcspcit:'ivcltIIasnão teve nada de extraordinário. Contudo, houveum acontecimento,durante seu primeiro período na escola, que influenciaria os ru-mos de sua vida. O Liceu fora um colégio dos jesuítas e havia ru-mores de que estava a ponto de voltar para o controle dos sacerdo-tes. Durante este período, havia uma luta contínua entre osrepublicanos e os monarquistas que afetava o equilíbrio do poderentre Luís XVIIIe os representantes do povo.A influência cres-cente do clero era um sinal da mudança do poder em direção dorei. A maioria dos estudantes do Liceu simpatizava com os repu-blicanos e eles planejaram uma rebelião. Mas o diretor da escola,Monsieur Berthod, descobriu a trama e imediatamente expulsouuma dúzia de líderes da turma. No dia seguinte, quando Berthodexigiuuma demonstração de fidelidadedosveteranos restantes, elesse reclIsaram fi fazer um brinde fiIJuísXVIII.O resultado foi quemais cem alunos foram expulsos. Galois era muito jovem para seenvolverna fracassada rebelião e assim continuou no Liceu. Masver seus colegas serem humilhados deste modo só serviu para au-mentar suas tendências republicanas.

Foi somente com a idade de dezesseis anos que Galois pôdefazer seu primeiro curso de matemática, o que iria, aos olhos deseus professores, transformá-lo de um aluno escrupuloso numestudante rebelde. Seus boletins escolares mostram que ele pas-sou a negligenciar todas as outras matérias se concentrando ape-nas em sua nova paixão:

ax2 + bx + c = 0, onde a, b e c podem ter qualquer valor.

224 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMATOS CÁLCULOS SECRETOS 225

20

sua época. Com a idade de dezessete anos, ele fizera progressossuficientes para submeter dois trabalhos de pesquisa à Academiade Ciências. A pessoa apontada para julgar os trabalhos foiAugustin-Louis Cauchy, o mesmo que muitos anos depois disputaria comLamé na criação dc uma dcmonstração para o Último Tcorema deFermat que se mostraria equivocada. Cauchy ficou muito impres-sionado com o trabalho do jovcm e o julgou capaz de participar nacOlllpclil,,~ãopelo (;ralldc Prêmio dc Matcmática ua Acadcmia. Dcmodo a se qualificarem para a competição, os dois trabalhos teriamque ser reapresentados na forma de uma única memória e assimCauehy o~ mallUOl!de volta para Galoi~ e aguaruou que ele se ins-crevesse.

Tendo sobrevivido às críticas de seus professores e à rejei-ção pela I~:col(~I'lIlylcch 11iqIIC,o g~1Iio dc (;aloijo\cHtava à hci rllde ser reconhecido. Infelizmente, nos três anos seguintes umasérie de tragédias pessoais e profissionais iria destruir suasambiçõcs. Em julho ue l~2~ um novo saeeruole jesuíta chcgouno vilarejo de Bourg-Ia-Reine, onde o pai de Galois ainda era pre-feito. O padre não gostou das simpatias republicanas do prefei-to e começou uma campanha para depô-Io, espalhando boatosdestinados a desacreditá-Io. Em especial as tramas do padreexploraram a fama de Nicolas-Gabriel Galois de escrever ver-sos satíricos. Ele escreveu uma série de versos vulgares ridicu-larizando membros da comunidade e os assinou com o nome do

prefeito. O velho Galois não pôde suportar a vergonha e o em-baraço resultantes e se suicidou.

Évariste Galois voltou para assistir ao enterro do pai e viu pes-soalmente as divisões que o sacerdote tinha criado em sua vila.Quando o caixão estava sendo baixado à sepultura, começou umadiscussão entre o padre jesuíta, que dirigia a cerimônia, e os parti-dários do prefeito, que perceberam ter sido tudo uma trama paradepô-lo. O padre foi agredido e recebeu um corte na testa e logo abriga virou um tumulto com o caixão caindo sem cerimônia dentroda cova. Ver o sistema francês humilhar e destruir seu pai só ser-viu para consolidar o apoio fervoroso de Galois para a causa repu-blicana.

o desafio é encontrar os valores de x para os quais a equaçãoquadrática é verdadeira. No lugar de usar um processo de tentativae erro, os matemáticos preferem usar uma receita para encontrar aresposta e felizmente esta receita, ou fórmula, existe:

-bi:~(b2 -4ac)x=

Basta simplesmente substituir os valores de a, b e c na receita aci-ma para calcular os valores corretos de x. Por exemplo, nós pode-mos aplicar a receita para resolver a seguintc equação:

Zx2 - 6x + 4 = O,onde a = 2, b = -6 e c = 4.

Colocando os valores de a, b e c na receita,a solução é x = 1 ou = 2.A c<1uação<1uadrática é um tipo de equação que pertence a umaclasse muito maior conbecida como equações polinomiais. Um tipomais complicado de equação polinomial é a equação cúbica:

ax3 + bX2+ cx + d = O.

A complicação extra vem do termo adicional X3.Acrescentando maisum termo x\ chegamos ao nível seguinte de equação polinomial,conhecido como quártica:

ax4 + bX3 + CX2 + dx + e = O.

No século XIX os matemáticos já tinham fórmulas que poderiamser usadas para encontrar as soluções das equações cúbicas e dasquárticas, mas não haviamétodo conhecido para achar as soluçõesda equação de quinto grau:

ax5 + bX4+ cx3 + dx2 + ex + f = O.

Galois ficou obcecado com a idéia de encontrar uma receita parar('~()lw'r ::1~('mi~('i){'~ c1e (minto Q"rau. um dOR J!randes desafios de


Voltando para Paris, Galois juntou seus dois trabalhos numsó e os enviou para o secretário daAcademia, Joseph Fourier, bemantes do prazo limite. Fourier por sua vez devia entregá-Io para ocomitê avaliaddr. O trabalho de Galois não apresentava uma so-lução para os problemas. do quinto grau, mas oferecia uma visãotão brilhante que muitos matemáticos, incluindo Cauchy, o con-sideravam como o provável vencedor. Para espanto de Cauchy eseus amigos, o trabalho não ganhou o prêmio e nem foi oficial-mente inscrito. Fourier morrera algumas semanas antes da datada decisão dos juízes, e embora um maço de trabalhos tivesse sidoentregue ao comitê, o de Galois não estava dentre eles. O traba-lho nunca foi encontrado, e a injustiça foi registrada por um jor-nalista francês.

No ano passado, antes do 1°de março, Monsieur Galois en-tregou ao secretário do Instituto um trabalho sobre a soluçãode equações numéricas. Este trabalho deveria ter entrado nacompetição pelo Grande Prêmio de Matemática. Ele merecia

o prêmio, pai:;resolviaalgumasdificuldades que Lagrange nãoconseguiu superar. Monsieur Cauchy fizera os maiores elo-

gios ao autor. E o que aconteceu? O trabalho foi perdido e oprêmio entregue sem a participação do jovem sábio.

Le Globe,1831

como criador de casos estava se tornando mais forte do que suareputação como matemático. Isto chegou ao auge durante a re-volução de julho de 1830, quando Carlos X fugiu da França e asfacções políticas lutaram pelo controle nas ruas de Paris. O di-retol" da l~:eole, /\iJol/sie/ll' Uuigniault, um monarquista, estavaciente de que a maioria dos seus alunos eram radicais republi-canos, assim os confinou aos seus dormitórios e trancou osportões. Galois estava sendo impedido de lutar com seus com-panheiros, e seu ódio e frustração dobraram quando os republi-canos foram derrotados. Quando surgiu a oportunidade, elepublicou um ataque sarcástico contra o diretor do colégio, acu-sando-o de covardia. Sem causar surpresa, Guigniault expulsouo estudante insubordinado e a carreira matemática formal de

Galois chegou ao seu fim.No dia 4 de dezembro, o gênio contrariado tentou se tornar

um rebelde profissional alistando-se na Artilharia da Guarda Na-cional. Tratava-se de um ramo da milícia conhecido também como

''Amigosdo Povo".Antes do fim do mês o novorei, Louis-Phillipe,ansioso em evitarnovasrebeliões, extinguiu aArtilharia da GuardaNacional e Galois se viu desamparado e sem lar. O jovem maistalentoso de Paris estava sendo perseguido sem tréguas e algunsde seus antigos colegas matemáticos começaram a se preocu-par com o seu destino. Sophie Germain, que na ocasião era umatímida e idosa representante da matemática francesa, expres-sou suas preocupações aos seus amigos da família do conde Libri-Carrucci:

..

Galois achou que seu trabalho fora propositalmente perdido de-vido às orientações políticas da Academia. Uma crença que foireforçada no ano seguinte, quando a Academia rejeitou seumanuscrito seguinte, alegando que "seus argumentos não eramsuficientemente claros nem suficientemente desenvolvidos para

que possamos julgar sua exatidão". Galois decidiu que havia umaconspiração para excluí-Io da comunidade matemática. Em con-seqüência disso ele passou a negligenciar suas pesquisas em favorda luta pela causa republicana. Aessa altura ele era aluno da ÉcoleNormale Supérieure, um colégio um pouco menos consagradodo que aÉcole Polytechnique. Na École Normale a fama de Galois

Decididamente há uma maldição atingindo tudo o que serelaciona com a matemática. A morte de Monsieur Fourier

foi Ogolpe final sobre o estudante Galois, que, apesar desua impertinência, mostrava sinais de um grande talento.Ele foi expulso da École Normale, está sem dinheiro, suamãe também está pobre e ele continua com seus insultos.Dizem que ele vai acabar maluco e eu temo que isto sejaverdade.


Enquanto a paixão de Galois pela política continuava, era inevitá-vel que sua sorte deteriorasse ainda mais, um fato documentadopelo grande escritor francês Alexandre Dumas. Dumas estava norestaurante Vendanges des Bourgogne quando houve um banque-te em homenagem a dezenove republicanos acusados de conspi-ração:

- levaram à sua absolvição. Mas no mês seguinte ele foi preso denovo.

No Dia da Bastilha, 14 de julho de 1831, Galois marchou atra-vés de Paris vestido com o uniforme da proscrita Guarda da Arti-lharia. Embora fosse meramente um gesto de desafio, Galois foisentenciado a seis mCRCHdc priRão c voltou para Saintc-Pélagic.NIIII 1111'11('11 :\('gllilllt'lI 11 jIlV('1I1 nhlll{\llIill IIIIHIIIIII 11 111'1)('1', illfhwlI-

ciado pelos malandros que o cercavam.Uma semana depois um franco-atirador, num sótão, do lado

oposto i\ priHão, diHparou UIl1tiro contra a cela, fcrindo um homemque estava ao lado de Galois. Galois ficou convencido de que a balaera para ele e concluiu que existia um complô do governo paraassassiná-Io. O medo da perseguição polítiea o aterrori;t,ava. O iso-lamento dos amigos e da família e a rejeição de suas idéias mate-máticm\ o mergulharam 1111111estado dc deprcssão. Bêhado e delirante,ele tcntou sc matar eom uma faca, mas scus colegas republicanosconseguiram dominá-Io c desarmá-lo.

Em março de 1822, um mês antes do final da sentença, irrompeuuma epidemia de cólera em Paris e os prisioneiros de Sainte-Pélagieforam libertados. O que aconteceu com Galois nas semanas seguintestem motivado muita especulação, mas o que se sabe com certeza éque a tragédia foi o resultado de um romance com uma mulhermisteriosa, chamada Stéphanie-Félicie Poterine du Motel, filha deum respeitado médico parisiense. Embora ninguém saiba como ocaso começou, os detalhes de seu trágico fim estão bem documen-tados.

Stéphanie já estava comprometida com um cidadão chamadoPescheux d'Herbinville, que descobriu a infidelidade de sua noi-va. D'Herbinville ficou furioso e sendo um dos melhores atirado-

res da França não hesitou em desafiar Galois para um duelo aoraiar do dia. Galois conhecia muito bem a perícia de seu desafiantecom a pistola. Na noite anterior ao confronto, que ele acreditavaser a última oportunidade que teria para registrar suas idéias nopapel, ele escreveu cartas para os amigos explicando as circuns-tâncias.

Subitamente, no meio de uma conversa particular que eu es-tava tendo com a pessoa à minha esquerda, ouvi o nome Louis-Phillipc Rcglliclode cinco 011RciRaRRovioR.Virci-mc para olhare presenciei uma cena muito agitada acontecendo a umas quinzeou vinte cadeiras do lugar onde eu estava. Seria difícil encon-trar cm toda Paris du:t.clltas pcssoaR maiH hOHtiHao govcl"llodo que aquelas reunidas ali, às cinco horas de uma tarde, nograndc Halãodo andar térreo, acima do jardim.

Um jovem que erguera seu cálice cm saudação seguravaum punhal e estava tentando se fazer ouvir - era ÉvaristeGalois, um dos mais ardentes republicanos. Mas a balbúrdiaera tão grande que o motivo de tanto tumulto se tornara in-

compreensível. Tudo que consegui entender foi uma ameaçae o nome de Louis-Phillipe sendo mencionado: o punhal namão do rapaz tornava tudo claro.

Isso estava muito além das minhas opiniões republicanas.

Cedi às pressões do meu amigo do assento esquerdo. Ele eraum dos comediantes do rei e não queria se comprometer. Assimnós pulamos a janela e saímos para o jardim. Fui para casapreocupado. Estava claro que o episódio teria sérias conse-qüências. De fato, dois ou tres dias depois Évariste Galois foi

preso.

Depois de ficardetido na prisão de Sainte-Pélagie durante um mês,Galois foi acusado de ameaçar a vida do rei e levadoa julgamento.Emborahouvessepouca dúvidade que Galois fosse culpado, a "

natureza agitada do banquete significava que ninguém poderiarealmente confi:mar tê-Io ouvidofazer qualquer ameaça direta. Umjúri simpático ca idade"do rapaz - ainda com apenas vinte anos

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Figura 19.Na noite anterior ao duelo, Galois tentou colocar no pa-pel todas as suas idéias matemáticas. Outros comentários, contu-do, também aparecem nas notas. Nesta página, abaixo e à esquerdado centro, estão as palavras "une femme", com a segunda palavrarabiscada, presumivelmente uma referência à mulher que motivouo duelo.

OS CÁLCULOS SECRETOS 231

Eu peço aos patriotas, meus amigos, que não me censurempor morrer por outro motivoque não pelo meu país. Eu morrivítima de uma infame namoradeira e dos dois idiotas que elaenvolveu.Minha vida termina em conseqÜência de uma mi-serávc\ calúnia. Ahl Por que tenho que morrer por uma coisatão insignificante e desprezível? Eu peço aos céus que teste-munhem que foi apenas pela força e'a coação que eu cedi àprovocaçãoque tentei evitar por todos os meios.

Apesar de sua devoçãoà causa republicana e seu envolvimento ro-mântico, Galoismantivera sua paixãopela matemática. Um de seusmaiores temores era de que sua pesquisa, que já fora rejeitada pelaAcademia, se perdesse para sempre. Em uma tentativa desespera-da de conseguir um reconhecimento, ele trabalhou a noite toda,escrevendo o teorema que acreditava explicaria o enigma da equa-ção de quinto grau. A Figura 19 mostra uma das últimas páginasescritas por Galois. As páginas eram, na maior parte, uma trans-crição das idéias que ele já enviara a Cauchy e Fourier, mas ocultasem meio à complexa álgebra havia referências ocasionais a"Stéphanie", ou "une femme", e exclamações de desespero - "Eunão tenho tempo, eu não tenho tempo!" No final da noite, quandoseus cálculosestavamcompletos, ele escreveu uma carta explicativaaoseu amigoAugusteChevalier,pedindo que,casomorresse, aquelaspáginas fossem enviadas aos grandes matemáticos da Europa:

Meu Querido AmigoEu fiz algumas novas descobertas em análise. A primeira serefere à teoria das equações do quinto grau e as outras, àsfunções integrais.

Na teoria das equaçõe.s eu pesquisei as condições para asolução de equações por radicais. Isto me deu a oportunidadede aprofundar csta teoria c descrcver todas as transformaçõespossíveis em uma equação, mesmo que ela não seja resolvidapelos radicais. Está tudo aqui nesses três artigos...

Em minha vida eu freqüentemente me atrevi a apresentaridéiaRHobreaRquaig não tinha certeza. MIIStudo quc cgerevi

232 o ÚLTIMO' TEOREMA DE FERMAT 233OS CÁLCULOS SECRETOS

aqui estava claro em minha mente durante um ano e não se-

ria de meu interesse deixar suspeitas de que anunciei teoremasdos quais não tenho a demonstração completa.

Faça um pedido público a Jacobi ou Gauss para que dêemsuas opinie)es, não pela verdade, mas devido à importância<.lessestcorcmas. Afinal, eu espcro que alguns homcns achemvalioso analisar esta confusão.

Um abraço caloroso

Os historiadores ainda discutem se o duelo foi o resultado de

um trágico caso de amor, ou se teve motivos políticos, mas, de qual-quer modo, um dos maiores matemáticos do mundo morrera coma idade de vinte anos, tendo estudado matemática por apenas cin-co anos.

Antes de distribuir os trabalhos de Galois, seu irmão c AugusteChevalier os reescreveram de modo a esclarecer e expandir as ex-plicações. Galois tinha o hábito de expor suas idéias apressadamentee de modo inadequado. O que sem dúvida fora exacerbado pelo fatode que ele só tinha uma noite para resumir anos de pesquisas. Emboraas cópias fossem enviadas a Carl Gauss, Carl Jacobi e outros, comofora pedido, passou-se uma década sem que o trabalho de Galoisfosse reconhecido. Então uma cópia chegou às mãos de JosephI ,iollville ('111IX~(I.I,iollvillc n:cClnllccclI a ccnldlla do gênio lIa-queles cálculos e passou meses tentando interpretar seu significa-do. Finalmente ele editou os artigos e os publicou no prestigiosoJournal de Malhé11latiques pures et appliquées. A resposta dos ou-tros matemáticos foi imediata e impressionante. Galois tinha defato formulado uma completa explicação de eomo se poderia obtersoluções para equações do quinto grau. Primeiro Galois classifica-ra todas as equações em dois tipos: as que podiam ser soluciona-das e as que não podiam. Então, para aquelas que eram solucionáveis,ele deduziu uma fórmula para encontrar as soluções das equações.Além disso, Galois examinou as equações de grau mais alto do quecinco, aquelas que continham x6, X7e assim por diante, podendoidentificar as que tinham soluções. Era uma das obras-primas damatemática do século XIX,criada por um de seus mais trágicos heróis.

Em sua introdução ao trabalho, Liouville refletiu sobre os mo-

tivos que teriam levado ojovem matemático a ser rejeitado por seusmestres e como seus próprios esforços tinham ressuscitado o tra-balho de Galois:

E. Galois

Na manhã seguinte, quarta-feira, 30 de maio de 1832, num campoisolado, Galois e d'I-lerbinville se enfrentaram a uma distância devinte e cinco passos, afInados com pistolas. D'I-lerbinville vieraacompanhado <.Icdoin aSHistclltcH.Calois cstava su~illt.lJ. Elc lIãocontara a ninguém sobre seu drama. Um mensageiro que enviaraao seu irmão, Alfred, só entregaria a notícia depois do duelo termi-nado. E as cartas que escrevera na noite anterior só chegariam aosseus amigos vários dias depois.

As pistolas foram erguidas e disparadas. D'I-lerbinville conti-nuou de pé. Galois foi atingido no estômago. Ficou agonizando nochão. Não havia nenhum cirurgião por perto e o vencedor foi em-bora calmamente, deixando seu oponente ferido para morrer. Al-gumas horas depois Alfred chegou ao local e levou seu irmão parao hospital Cochin. Era muito tarde, já ocorrera uma peritonite e nodia seguinte Galois faleceu.

Seu funeral foi quase uma réplica do que acontecera com seupai. Apolícia acreditava que a cerimônia seria o foco de uma mani-festação política e prendeu trinta amigos de Galois na noite ante-rior. Ainda assim dois mil republicanos se reuniram para o enterroe houve brigas inevitáveis entre os colegas de Galois e os represen-tantes do governo que chegaram para vigiar os acontecimentos.

Os colegas de Galois estavam furiosos devido à crença cada vezmais forte de que d'I-lerbinville não era um noivo traído e sim 'umagente do governo. E Stéphanie não fora apenas uma mulher volíl-vel, mas uma sedutora usada para levar o falecido a uma armadilha.

Como Descartes dizia, "Quando questões transcendentais são

discutidas, seja transcendentalmente claro." Galois negligen-eiavlI fn'qiit'lIlt'lIwlllt' e:111IIIOI'IIIH c IIHHim pOdCIIIOH cnlc IIdcl'

como ilustres matemáticos podem ter julgado adequado, no

.-


rigor de sua sabedoria, colocar um principiante, cheio degenialidade, mas inexperiente, de volta no caminho certo. Oautor que eles censuraram estava lá, diante deles, ardente, ativo,

podia ter se beneficiado de seus conselhos.Mas agora tudo mudou, Galois não está mais aqui! Não vamos

perder tempo com críticas inúteis, vamos deixar de lado osdefeitos e olhar para os 'méritos...

Meus cuidados foram bem recompensados e experimen-

tei um intenso prazer no momento em que, depois de ter preen-chido umas pequenas brechas, vi a exatidão completa do mé-todo que Galois demonstrou, este lindo teorema.

OSnúmeros inteiros não formam um grupo sob a operação da "di-visão", porque quando dividimos um número inteiro por outro nãoteremos necessariamente outro número inteiro. Por exemplo:

"

. 14 + por 12 =- .3

1A fração '3 nãoé um número inteiroe estáforado grupo original.Contudo, se considerarmos um grupo maior que inclua as frações,os chamadosnúmeros racionais,podemosrestabelecero fechamento:"Os números racionais estão fechados sob a operação de divisão."Tendo dito isto precisamos ser cautelosos porque a divisão de umelemento por zero resultará no infinito, o que levaa vários pesade-los matemáticos. Por esta razão é mais preciso afirmar que "osnúmeros racionais (excluindo zero) estão fechados sob a operaçãoda divisão". De muitos modos o fechamento é semelhante ao con-ceito de totalidade descrito em capítulos anteriores.

Os números inteiros e as frações formam grupos infinitamen-te grandes e pode-se presumir que, quanto maior o grupo, maisinteressante será a matemática que ele iráproduzir. Contudo, Galoistinha uma filosofiado "menos é mais" e demonstrou que grupospequenos, cuidadosamente construídos, podiam exibiruma riquezaespecial. No lugar de usar grupos infinitos. Galois começou comuma equação especial e construiu seu grupo a partir do punhadode soluções daquela equação. Foram os grupos formados pelassoluções da equação de quinto grau que permitiram a Galois deri-var suas conclusões sobre estas equações. Um século e meio de- 'pois, Wiles usaria o trabalho de Galois como o alicerce para suademonstração da conjectura de Taniyama-Shimura.

O que torna a conjectura de Taniyama-Shimura tão difícil dedemonstrar é que não se trata meramente de um problema infi-nito, e sim um número infinito de problemas infinitos. Em pri-meiro lugar,para demonstrar que uma determinada equação elípticatem uma forma modular equivalente, temos que demonstrar quecada um dos elementos da série E (EpEz,E3' ...) tem que ser iguala eada elemento da série M (MI' Mz' M3' ...). Um matemático 1'0-

Derrubando o Primeiro Dominó

No coraçãodos cálculosde'Galoishaviaum conceitoconhecidocomoteoria dosgrupos, uma idéia que ele transformara em uma podero-sa ferramenta, capaz de resolver problemas anteriormente insolú-veis. Matematicamente falando, um grupo é um conjunto de ele-mentos que podem ser combinados usando-se algumas operações,tais como a adição ou a multiplicação, e que satisfazem certas con-dições. Uma propriedade definidora importante de um grupo é que,quando dois de seus cIementos são combinados, usando a opera-ção, o resultado é outro elemento do grupo. Diz-se que o grupo éfechado sob aquela operação.

Por exemplo,os números inteiros formam um grupo sob a ope-ração de "adição".Combinando um número inteiro com outro, soba operaçãode adição, pro~uzimos um terceiro número inteiro. Porexemplo:

4 + 12 = 16.

Todos osresultados da operação de adição estão dentro do campodos números inteiros e assim os matemáticos declaram que "osnúmeros inteiros estão fechados sob a adição" ou então que "osn(lmcros inteiros formam um grupo sob a adição". Por outro lado,

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II

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236 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT OScÁLCULOSSEClillTOS 237

deria tentar lidar com este problema infinito empregando uma

prova por indução, isto é,cada par da infinita série E e M seriaimaginado como um domin'ó em uma infinita fileira de dominós.O trabalho seria derrubar o primeiro dominó (provar que E I =M1),e então mostrar que, s.e um dominó cair, ta.mbém vai derru-hílr C) RC~lIintc. .

Si') cHta tarefa jÚ Hcria bCIII difícil, mas para dClllolIstrar a

conjectura de Taniyama-S~imura ela teria que ser repetida umnÚmero infinito de VC;f,CS,porquc cxistc um númcro infinito dc

equaçõcs cIípticas e equações modulares para serem comparadas.Isto é o equivalente a um número infinito de filas de dominós, cadafila infinita cm seu cOlllprimento.

Enfrentando o infinito em cima de infinito, Wiles percebeu que

podcria atacar o problcma usando o poder da teoria dos grupos.Enquanto os grupos originais de Galois eram construídos a partirdas soluções das equações dc quinto grau, Wites construiu scusgrupos usando um punhado de soluções para eada equação elíptica.Depois de meses de estudos Wiles usou esses grupos elípticos paratentar igualar cada equação elíptica com sua forma modular. Alémdisso, como parte deste processo, Wiles podia demonstrar que cadaprimeiro elemento de cada série E de fato correspondia ao primei-ro elemento da série M associada (E1= MJ

Graças a Galois,Wiles fora efetivamente capaz de construir uminfinito número de fileiras de dominós, infinitamente compridas,e também derrubara o primeiro dominó no início de cada fila.Agorao desafio era demonstrar que se o primeiro dominó caísse, em to-das as filas, todos os demais cairiam. Em outras palavras, para to-dos ospares de equações elípticasWiles tinha que demonstrar que,se um elemento da série E igualasse o elemento correspondenteda série M, então os elementos seguintes seriam iguais.

Foramnecessários dois anos para chegar até este ponto e nãohavia nenhum indício de quanto tempo seria necessário para es-tender a demonstração. Wiles apreciava a tarefa a ser enfrentada."Vocêpode me perguntar como eu podia devotar uma quantidadeilimitadade tcmpoOaUIIIproblcma quc podcria ser insolúvel.A rcs-posta é que eu simplesmente adorava trabalhar neste problema e

estava obcecado. Eu gostava de testar meus talentos contra ele. Alémdisso, eu sempre sabia que a matemática que estava criando, mes-mo que não fosse suficientemente forte para provar Taniyama-Shimura, e portanto Fermat, iria provar alguma coisa. Eu não mer-gulhara num caminho secundário; csta era ccrtamcntc boaIlIal<~lII:ítil'a c isto era verdadeiro o tempo .todo. Certamcnte erapossível quc cu lIunca chegassc cm Fermat, mas não havia possi-bilidade dc que estivesse desperdiçando meu tempo."

"Resolvido o Último Teorema de Fermat?"

Embora fosseapenas oprimeiro passo para demonstrar aconjecturade rnmiyama-Shimura,a cstratégia de Wiles,usando Galois,era umaconquista brilhante, digna dc scr publicada. Mas como resultadodc scu cxílio auto-imposto, ele não podcria anullciar scus rcsulta-dos ao resto do mundo. E além disso não tinha idéia de quem po-deria estar fazendo descobertas semelhantes.

Wiles lembra sua atitude com relação a qualquer rival em po-tencial. "Bem, obviamente ninguém quer passar anos tentandoresolver alguma coisa e então descobrir que outro a solucionousemanas antes de você. Mas, curiosamente, eu estava enfrentandoum problemaque era consideradoimpossívele não tinha muito medoda competição. Simplesmente não achava que eu ou alguém maistivesse uma idéia certa de como fazê-Io."

No dia 8 de março de 1988,Wiles ficou chocado ao ler as man-chetes na primeira página dos jornais anunciando que o ÚltimoTeorema de Fermat fora resolvido.O "WashingtonPost e oNew ThrkTimes afirmavam que Yoichi Miyaoka, de trinta e oito anos, daUniversidade Metropolitana de Tóquio, tinha descoberto uma so-lução para o problema mais difícil do mundo. Na ocasião Miyaokaainda não publicara sua demonstração e só descrevera seu esboçonum seminário no Instituto Max Planck de Matemática em Bonn.O matemático britânico Don Zag-ier,que estivera na platéia, rcs\)-miu ootiluismoua comunidade."Ademonstraçãode Miyaokaé muitointeressante e alp;umaspessoas acham que existe uma boa chance


de que funcione. Isto ainda não é definitivo, mas até agora pareceótimo."

Em Bonn, Miyaokatinha descrito como ele abordara o proble-ma de um ângulo completamente novo, ou scja, a geometria difc-rencial. Durante décadas a geometria diferencial desenvolveraumarica compreensão das formas matemáticas e em particular das pro-priedades de suas superfícies. Então, na décadade 1970,uma equiperussa liderada pelo professor S.Arakelovtentara estabelecer para-lelos entre os problemas da geometria diferencial e os problemasda teoriados números. Este era outro aspectodoprogramaLanglandse a esperança era de que problemas ainda não-solucionadosda teoriados números poderiam ser resolvidos, examinando-se questõescorrespondentes, que já tinham sido respondidas na geometriadiferencial. O que era conhecido como a ft'losofiado paralelismo.

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Figura 20. Estas superfícies foram criadas usando o programaMathematica, para computadores. Elas são representações geomé-tricas da equação X" + y" = 1,onden = 3paraa primeiraimageme11= 5 para a segunda. Aqui, x e y são considerados variáveis com-

plexas.

Os geômetras diferenciais que tentavam abordar problemas dateoria dos números ficaram conhecidos como "geômetras aritmé-ticos algébricos", e em 1983eles conseguiram sua primeira vitória!".ignifieativaquando Gcrd F:11t-ing!".,no TnRtitutodc ERtunoRI\van-

I

II

OS cÁLCULOS SECRETOS 239

çados de Princeton, fez uma grande contribuição ao entendimen-to do Último Teorema de Fermat. Lembre-se de que Fermat afir-mou quc nãoexistiamsoluçõescomnúmeros inteirospara a equação:

x" + y" = zn para n maior do que 2.

I

Faltings acreditava que poderia fazer algum progresso na de-monstração do Último Teorema estudando as formas geométricasassociadas com diferentes valores de n. As formas corresponden-tes a cada uma das equações eram todas diferentes, mas todas ti-nham algo em comum - eram perfuradas por buracos. As formassão quadridimensionais, mais ou menos como as formas modula-res, e avisualização bidimensional de duas delas é mostrada na Fi-gura 20. Todas as formas são como rosquinhas, com vários bura-cos em vez de apenas um. Quanto maior o valor de n na equação,mais buracos existem na forma correspondente.

Faltings conseguiu demonstrar que, como essas formas sem-pre apresentam mais de um buraco, a equação de Fermat associa-da com elas só poderia ter um número finito de soluções numéri-cas. Um número finito de soluções poderia ser qualquer coisa entre~ero, que era a afirmação de Fennat, a um milhão ou um bilhão.

. Deste modo Faltings não demonstrara o Último Teorema, mas foraeapazde eliminarapossibilidadedeumnÚmeroinfinitode soluções.

Cinco anos depois Miyaokaafirmava que poderia avançar maisum passo. Ainda comvinte e poucos anos ele criara uma conjecturarelacionada com a denominada desigualdade de Miyaoka.Torno.u-se claro que a demonstração de sua própria conjectura geométricademonstraria também que o número de soluções para a equaçãode Fermat não era apenas finito, mas igual a zero. A abordagem deMiyaokaera iguala de Wiles no sentido de que ambos tentavam de-monstrar o Último Teorema de Fermat ligando-o a uma conjectu-ra fundamental de um ramo diferente da matemática. No caso de

Miyaokaera a geometria diferencial enquanto, para Wiles, a provaseria via equações elípticas e formas modulares. Infelizmente paraWiles, ele ainda estava lutando para demonstrar a conjectura deri'...:..., L'1.~ t " 1\11':..,.,.1... "'"...",,; ,., ""'" t1"",,.,, C'.f, (..:;,.,

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completa, ligando sua própria conjectura ao Último Teorema deFcrmat.

Duas semanas depois do anúncio em Bonn, Miyaoka divul-gou as cinco páginas de álgebra que detalhavam sua demonstra-ção e o cxamc escrupuloso começou. TcÓricos dORnÚmeros cgdJJI}ctrag diferenciaiH do IIIUIl<.10inteiro ex:ullinaralll a denlollH-tração, linha por linha, buscando a menor brecha na lógica ou omais leve indício de uma pressuposição falsa. Em poucos dias váriosmatemáticos dcstacaram o que parecia uma preocllpantc contra-dição dentro da prova. Parte do trabalho de Miyaoka levava a umaconclusão particular, na teoria dos números, que, traduzida paraa geometria diferencial, entrava em conflito com o que já foraprovado nos anos anteriores. Embora isto não invalidasse, neces-sariamente, toda a demonstração, entrava em choque eom a filo-sofia do paralclismo entre a teoria dORnÚmeroR e a gcometriadiferencial.

Mais duas semanas se passaram e então Gerd Faltings, cujo tra-balho abrira caminho para Miyaoka, anunciou ter localizado a ra-zão exata para a aparente quebra no paralelismo - um erro na ló-gica de Miyaoka. O matemático japonês era principalmente umgeômetra e não fora absolutamente rigoroso ao traduzir suas idéiaspara o território menos familiar da teoria dos números. Um exér-cito de teóricos dos números tentou ajudar Miyaoka a consertar oerro, mas seus esforços terminaram em fracasso. Dois meses de-pois do anúncio inieial o consenso geral era de que a demonstra-ção original fracassara.

Como no caso de várias outras demonstrações frustradas dopassado, Miyaoka criara uma matemática nova e interessante. Frag-mentos de sua demonstração eram válidos e permaneciam comoengenhosas aplicações da geometria diferencial na teoria dos nú-meros. Nos anos posteriores eles seriam usados por outros mate-máticos para demonstrar outros teoremas, mas nunca o ÚltimoTeorema de Fermat.

A agitação em torno de Fermat logo morreu e os jornais publi-caram notas curtas explicando que o enigma de 300 anos continuava~n{."l,-;,.(,l Q",-" r1,",,,.:.l,, ~nC'T"'I1T"'.,r1..,'~"""1'"1nr1., ., #""...;t.,,,:;(,\ r1" m:r1;., 1U..,.,

1

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rios CÁLCULOS SECRETOS 241

nova pichação apareceu na estação do metrô da 8thStreet, em NovaYork:

x" + y" = z": não tem solução

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EII dCHcohrilima dCllloIIHtr:H,;ãorcahllcntc cxtraordinária paraisto,

mas não tenho tempo de escrevê-Ia porque meu trem estáchegando,

A Mansão Escura

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Dcsconhccido pelo resto do mundo, Wiles respirou aliviado. O ÚltimoTcorema de Fennat continuava incÓlume e ele podia prosseguir emsua batalha para demonstrá-Ia, via conjectura de 'làniyama-Shimura."A maior parte do tempo eu ficava sentado escrevendo em minhamesa, mas algumas vezes eu conseguia reduzir o problema a algu-ma coisamuito específica- um indício, alguma coisa que me pareciaestranha, algo abaixo do que estava no papel que eu não podia to-car. Se haviaalguma coisa em especial zumbindo em minha menteeu não precisava escrever nada, nem precisava de mesa para traba-lhar. Assim eu saía para caminhar até o lago. Quando estou cami-nhando eu posso concentrar minha mente em uma aspecto bemparticular do problema, focalizando nele completamente. Semprecarrego um papel e um lápis, assim, se tenho uma idéia, posso sentarnum banco e começar a escrever."

Depois de três anos de esforços contínuos, Wiles fizera umasérie de avanços. Ele aplicara os grupos de Galois nas equaçõeselípticas e as dividiranum número infinito de peças. Então demons-trara que cada primeira peça, de cada equação elíptica, tinha queser modular. Derrubara o primeiro dominó e agora estava explo-rando técnicas que pudessem levar à queda de todos os outros. Àprimeira vista, isto parecia o caminho natural para a demonstra-ção, mas para chegar até este ponto fora necessário uma imensarlr'1f"'min~H'iln n~r~ ~lm('r~r n~ n('rínrlo~ ele' in~ef!l1nmC:l. WileR des-


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creve esta experiência matemática como uma jornada através deuma mansão escura e inexrlorada. "Entramos na primeira sala damansão e está escuro. Completamente escuro. Caminhamos comcuidado, esbarrando na .mobília,mas gradualmente aprendemos aposição de cada móvel. Finalmente, depois de seis meses de ex-ploração, você encontra o interruptor da luz, acende as lâmpadas etudo é iluminado. Vocêpode ver exatamente onde está. Então vocêavança para o aposento seguinte e passa outros seis meses no es-curo. Assim, cada um desses períodos de iluminação, embora àsvezes sejam momentâneos, às vezes durem um período de um diaou dois, representam o.clímax dos esforços e não poderiam existirsem os muitos meses de tropeços na escuridão que os antecedem."

Em 1990Wiles entrou no que parecia a sala mais escura de to-das. Ele a estivera explorando por quase dois anos. E ainda nãoencontrara um meio de provar que se um elemento da equaçãoelípticaera modular,entãoo elemento seguinte também seria.Depoisde tentar todas as ferramentas e técnicas já publicadas, ele desco-briu que eram todas inadequadas. "Eu realmente acreditava estarno caminho certo, mas isto não queria dizer que alcançaria meuobjetivo. Poderia acontecer dos métodos necessários para resolvereste problema estarem além da matemática atual. Talvezos méto-dos de que eu precisava para completar a demonstração só fosseminventados daqui a cem anos. Assim, mesmo que estivesse no ca-minho certo, eu poderia estar vivendo no século errado."

Wilesinsistiu por mais um ano.Ele começou a trabalhar em umatécnicadenominada teoriaIwasawa.Ateoriade Iwasawaera ummétodopara analisar equações elípticas que ele aprendera como estudanteem Cambridge, sob a tutela de John Coates. Embora o método fossea princípio inadequado, Wiles esperava poder modificá-Io para queficassesuficientemente poderoso para gerar o efeito dominó.

do grande, ele se voltava para sua família. Desde o começo de seutrabalho com o Último Teorema de Fermat, em 1986, ele se torna-ra pai <.lua::;vc:t.c::;."u único IIIO<.lOque cu tinha para relaxar era quandoestava com meus filhos. As crianças não estão interessadas emFermat, elas só querem ouvir uma história e não deixam você fazernada mais."

Noverãode 1991Wilessentiu que perdera abatalha para adaptara teoria de Iwasawa.Ele tinha que provar que cada dominó, ao serderrubado, derrubaria o próximo - se um elemento na série E deuma equação elíptica fosse igual a um elemento da série M de umaforma modular, o mesmo aço!lteceria com os elementos seguin-tes. E precisavatambém se certificar de que isto seria verdade paratodas as equações elípticas e todas as formas modulares. A teoriade Iwasawa não pudera lhe dar a garantia necessária. Wiles com-pletou mais uma pesquisa exaustiva na literatura e eontinuou in-capaz de encontrar uma técnica alternativa que pudesse lhe dar aabertura tão necessária.Tendovividocomo um reclusoem Princeton,pelos últimos cinco anos, ele decidiu que era hora de voltar a cir-cularde modoaouviros últimosboatosdo mundo matemático. Talvez

alguém, em algum lugar, estivesse trabalhando em uma nova téc-nica, que, por algum motivo,ainda não fora publicada.Wiles foi paraBoston, ao norte, para participar de uma grande conferência sobreequações elípticas, onde certamente se encontraria com os maio-res pesquisadores do assunto.

Wilesrecebeu as boas-vindas de colegas do mundo inteiro. Elesficaram contentes em vê-Iovoltar ao circuito de conferência depoisde uma ausência tão longa. Ninguém sabia no que ele estivera tra-balhando, e Wiles foi cuidadoso em não deixar escapar nenhumapista. Ninguém suspeitou quando ele solicitou as últimas novida-des sobre equações elípticas. Inicialmente as respostas não foramrelevantes para seu problema, mas um encontro com seu antigoprofessor, John Coates, foi mais frutífero: "Coates mencionou queum estudante chamado Matheus Flach estava escrevendo um belo.trabalho de análise das equações elípticas. Ele estava aperfeiçoan-do um método recente, criado por Kolyvagin,e parecia que estemétodo cnl nerfeito nara o meu problema. Parecia ser exatamente

o Método de Kolyvagin e Flach

Desde seu avanço iniciàl com os grupos de Galois, Wiles se torna-r~ r:ln~ V"7 m~i<: fnl"'tt-:u-1n nl1~nr1() ~ nr"",,,,;;,... <'" t,...rn"'''''' rI~.Y"o"~;~

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do que eu precisava, embora eu soubesse que teria que desenvol-ver ainda mais este método de Kolyvagin-Flach. Deixei de lado aminha antiga abordagem, e me dediquei, noite e dia, ao desenvol-vimcnto de Kolyvagin-Flach."

Em lcoria estc método podcria cstcndcr o argumcnto dc Wilcs,do primeiro elemento da equação elíptica para todos os elemen-tos, e tinha o potencial dc funcionar para cada cquação c1íptica. Oprofcssor Kolyvagin tinha dcscnvolvido um método matemáticopoderoso e Matheus Flach o aperfeiçoara para ser ainda mais po-tentc. Nenhum dORdoiRRabia quc WilcR prctclldia illcorponu' HCUtrabalho na demonstração mais importante do mundo.

Wilesvoltou para Princeton e passou vários meses se familiari-~ando com csta técllica rccém-dcscobcrta. Ocpois iniciou a gigan-tesca tarefa de adaptá-Ia e implemcntá-Ia. Logo ele era capaz defa~er a prova indutiva funcionar para uma cquação elíptica - con-seguiaderrubar todos osdominós. Infelizmente o método Kolyvagin-Flaeh, quc funcionavapara uma equação em particular, não funcio-navanecessariamente para outras equações elípticas.Wilespercebeuque as equações elípticas podiam ser classificadas em várias famí-lias. Uma vez que fosse modificado para funcionar em uma equa-ção elíptica, o método Kolyvagin-Flach funcionaria para todas asoutras elípticas daquela família.O desafio era adaptar o método parafuncionar para cada família. E embora algumas famílias de equa-ções fossem mais difíceis de conquistar do que outras, Wiles esta-va confiante de que poderia dominá-Ias, uma por uma.

Depois de seis anos de esforço intenso, Wiles acreditava que ofim estava próximo. Semana após semana ele estava fazendo pro-gresso, provando que famílias novas e maiores de curvas elípticasdeviam ser modulares. Parecia ser apenas uma questão de tempopara que ele vencesse as equações elípticas restijntes. Nesta fasefinal de sua demonstração, Wiles começou a perceber que toda asua prova dependia da exploração de uma técnica que ele desco-brira há apenas alguns meses. Ele começou a questionar se estavausando o método Kolyvagin-Flachde modo completamente rigo-roso.

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246 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT os CÁLCULOS SECRETOS 247

fazer o método Kqlyvagin-Flachfuncionar, mas isso envolviafer-ramentas sofisticadascomas quais eu nãoestavafamiliarizado.Haviaum bocado de álgebracomplexaque exigiaque eu aprendesse muitamatemática nova. Então, em janeiro de 1993,eu decidi que preci-sava do conselho de alguém que fosse especialista no tipo de téc-nicas geométricas que eu estava invocando na demonstração. Eutinha que escolher com cuidado para quem contaria meu segredo,porque ele teria que ser mantido em sigilo. Resolvifalar com NickKatz."

O professor Nick Katz trabalhava no departamento de mate-,mática de Princeton e conhecia Wiles há vários anos. Apesar daproximidade, Katz desconhecia o que estava acontecendo, literal-mente, na sala ao lado. Ele lerpbra em detalhe o momento em queWilesrevelou seu segredo: "Um dia Andrew me procurou na horado chá e pediu que eu fosse ao seu escritório - haviaalguma coisaque ele queria me contar. Eu não tinha idéia do que poderia ser.Entrei no escritório e ele fechou a porta. Então me disse que acha-va que poderia provar a conjectura de Taniyama-Shimura. Eu es-tavasurpreso, perplexo - era fantástico.

"Ele me explicou que uma grande parte da demonstração de-pendia de sua extensão do trabalho de Flach e Kolyvagin,mas eramuito técnico. Ele realmente se sentia inseguro ncsta partc alta-mente técnica da demonstração e queria verificá-Ia com alguém,porque descjava tcr certeza de que estava correta. Achava quc euera a pessoa certa para ajudá-Io, mas acho que havia outra razãopor que ele me procurou em particular. Ele estava certo de que eumanteria a boca fechada e não falaria a outras pessoas sobre a de-monstração."

Depois.de seis anos de isolamento Wiles partilhara seu segre-do. Agoraera trabalho de Katz enfrentar a montanha de cálculosfantásticosbaseadosno método Kolyvagin-Flach.Praticamente tudoque Wilesfizera era revolucionário,e Katz pensou muito sobre qualseria omelhor modo de exap:1iná-Iorigorosamente. "O que Andrewtinha que me explicar era tão grande e longo que não daria certotentar mostrar-me em seu escritório, durante conversas informais.Para al~o tão grancljo~() nÓR pr('cj~;ÍvamoR montm' lima ('~tTlltllra

formal de aulas semanais, de outro modo a coisa ia degenerar. Eassim dccidimos criar um curso com várias aulas."

Eles combinaram que a melhor estratégia seria anunciar umasérie de palestras abertas aosestudantes graduadosdodepartamento.Wiles daria o curso eKatz estaria na platéia. O curso cobriria a parteda demonstração que precisava ser verificada, mas os estudantesgraduados não saberiam disso. O interessante em disfarçar a veri-ficação da prova deste modo é que forçaria Wiles a explicar tudopasso a passo e, no entanto, não levantaria suspeitas dentro do de-partamento. No que dizia respeito aosoutros era apenas outro cursode graduação.

"E assim Andrew anunciou seu curso chamado 'Cálculos em

Curvas Elípticas''', relembra Katz com um sorriso matreiro, "o queé um título completamente inócuo,poderia significarqualquer coisa.Ele não mencionou Fermat nem Taniyama-Shimura, apenas mer-gulhou dircto nos cálculos. Não havia meio de alguém adivinhar oque estava acontecendo. Era feito de um modo que a menos quevocê soubesse para o que era tudo aquilo, os cálculos pareceriamincrivelmcntc tcdiosos e complexos. E quando você não sabe paraque é uma determinada matemática é impossível seguir o raciocí-nio. Já é difícil de acompanhar mesmo quando você conhece o ob-jetivo.De qualquer modo,um por um os estudantes graduados foramabandonando as aulas e depois de algumas semanas eu era a únicapessoa que restara na sala."

Katz ficou sentado na sala e ouvia cuidadosamente cada passodos cálculos de Wiles. No final parecia não haver dúvida de que oKolyvagin-Flachfuncionava perfeitamente. Ninguém mais no de-partamento percebera o que estavaacontecendo. Ninguém descon-fiou de que Wiles estava à beira de conquistar o prêmio mais im-portante da matemática. O plano fora um sucesso.

Terminada a série de aulas Wiles devotou todos os seus esfor-

ços para completar a demonstração. Ele tivera sucesso em aplicaro método Kolyvagin-Flachafamíliaapós famíliade equações elípticase apenas uma família ainda se recusava a se submeter à técnica.Wiles descreve como ele tentou completar o último elemento dadl'n'()n~l1':\('iin" "T 1111:111I:11Ihii no fi,,:,1 .-11' 1l1aio Nada t inha ~aícl()

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com as crianças e eu estava sentado em minha mesa ptnsando so-bre a família de equações elípticas que restara. Olhava casualmen-te para um trabalho de Barry Mazur e havia uma frase ali que cha-mou a minha atenção. Ele mencionav~ um cálculo do século XIX esubitamente eu percebi que poderia usar aquilo para fa7.er o mé-lodo d(' J<oJyvagill-Fladl flll\l:iollar lia (111i,"a fmuília dc drptica~.

O trabalho se estendeu pCla tarde e eu esqueci de ir almoçar. Porvolta das três ou quatro da tarde, eu estava realmente convencidode quc iHtorCHolvcriao (1ltimo problcma. Era hora do chá c cu dc!;-ci para a parte inferior da casa. Nada ficou surpresa de me ver che-gar tão tarde. Então eu contei a ela: resolvi o Último Teorema deFermat. "

A Palestra do Século

Depois de sete anos de esforços Wiles tinha completado a demons-tração da conjectura de Taniyama-Shimura. E como conseqüên-cia disso, depois de sonhar trinta anos, ele também demonstrarao Último Teorema de Fermat. Agora era hora de anunciar ao res-to do mundo.

'~ssim, por voltade maio de 1993,eu estava convencido de quetinha todo o Último Teorema de Fermat em minhas mãos", lem-braWiles."Eu ainda queriaverificara demonstração mais um pouco,mas haviauma conferência em Cambridge no final de junho e acheique seriaum lugar maravilhosopara anunciar aprova- Cambridgeé minha velha cidade natal e eu fiz pós-graduação lá."

Aconferência seria realizada no Instituto Isaac Newton. O ins-

tituto tinha planejado uma série de palestras sobre teoria dos nú-meros com o título obscuro de "Funções L e Aritmética". Um dosorganizadoresera o supervisor de Ph.D. de Wiles,John Coates. "Nósreunimospessoas de todo o mundo que estavam trabalhando nes-ta área geral de problemas, e, é claro,Andrew foi uma das pessoasque convidamos.,.Nós planejamos uma semana de palestras con-centradas, e, originalmente, como havia uma ~rande demanda dehorários para palcstras, eu dei a Andrcw dois horários J)HfI dw\!~


palestras. Mas então percebi que ele precisaria de um espaço parauma terceira palestra e assim arranjei para cancelar uma de mi-nhas palestras e ceder o horário para ele. Eu sabia que ele tinhauma coisa grande para anunciar, mas não tinha idéia do que era."

QUHndo Wiles chegoll ('111CHlllhridgc cI<: Iillha dlllll-l !\CIIIHIIH!\

c IIIcia autc::!du Jia marcado para suas palestras e queria aprovei-. tar ao máximoa oportunidade. "Eu resolvique verificariaa demons-

traçãocom um 0\1doisespecialistas,em especialapartc dc J(olyvagin-Flach.Aprimcira pessoapara quem deio manuscrito foiBarry Mazur.Creio que disse a ele: 'Eu tenho um manuscrito aqui com umademonstração dc um certo teorema.' Ele me olhou muito surpresopor um momcnto e então disse: 'Bem, darei uma olhada nele.' Euacho que levou algum tempo para ele perceber. Então me pareceuperplexo. De qualquer modoeu disse que esperavafalarsobre aqueleassunto na conferência e que realmente gostaria que ele tentasseverificá-lo."

Uma por uma as mais eminentes personalidades da teoria dosnúmeros começaram a chegar ao Instituto Newton, incluindo KenRibet, cujos cálculos, em 1986, tinham inspirado os sete anos detrabalho duro de Wiles. "Eu cheguei nesta conferência sobre fun-ções L e curvas elípticas e não parecia haver nada fora do comumaté que as pessoas começaram a me falar sobre os boatos em tornodas palestras de Andrew Wiles. O boato era de que ele tinha de-monstrado o Último Teorema de Fermat, e eu achei que isso eratotalmente louco. Pensei que não podia ser verdade. Houve muitasocasiões em que boatos começaram a circular no meio matemáti-co,especialmenteatravésdocorreioeletrônico,e aexperiênciamostraque não se deveacreditar muito nesse tipo de coisa. Mas os rumo-res eram muito persistentes eAndrew se recusava a responder per-guntas sobre eles. Ele estava se comportando de um modo muitís-simo esquisito. John Coates ~isse para ele: ~drew, o que vocêdemonstrou? Devemoschamar a imprensa?' Andrewapenas sacudiua cabeçae mantevea boca fechada.Ele realmenteestavacriandoum suspense.

"Então, IIlIIa tardc, Anurcw IIIC procurou e começou a fazernr"'..,..,.' t" ,,1 "" ~l :.,1 r 0. ..,,1"\ . 4......


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idéias de Frey.Pensei comigo, isto é incrível, ele deve ter demons-trado a conjectura de Taniyama-Shimura e o Último Teorema deFermat, de outro modo ele não estaria me perguntando isto. Eu nãolhe perguntei diretamente se era verdade porque ele estava agindode um modo muito tímido e eu sabia que não teria uma respostadireta. Assim, apenas disse: 'Bem, Andrew, se você tiver oportuni-dade de falar sobre este trabalho, foi assim que aconteceu...'. Olheipara ele como se soubesse de alguma coisa, mas não tinha idéia doque estava acontecendo. Apenas supunha."

A reação de Wiles aos boatos e à pressão crescente era simples.'~'pessoas me perguntavam o que, exatamente, eu ia dizer. E eurespondia: venha à m,inhapalestra e veja."

O título das palestras de Wiles era "Formas Modulares, Cur-vas Elípticas e Representações de Galois". Novamente, como nocaso das aulas que ele-derano início do ano, para benefício de NickKatz, o título era vago, não dando pistas sobre o objetivo final. Aprimeira palestra deWilesfoiaparentemente simples, estabelecendoapenas as bases para o seu ataque contra a conjectura de Taniyama-Shimura na segunda e terceira palestras. A maioria das pessoas naplatéia não ouvira os boatos, não percebeu o objetivo da palestra edeu pouca atenção aos detalhes. Os que sabiam estavam buscandoo menor indício que pudesse apoiar os rumores.

Logo depois que a palestra terminou, o boato voltou a circularcomrenovadovigore as mensagensvoaramaoredor domundo atravésdocorreio eletrônico. Oprofessor Karl Rubin,um ex-alunode Wiles,informou aos seus colegas na América:

Meu melhor palpite é que ele vai provar que se E é umacurva elíptica sobre Q e se a representação de Galoissobre os pontos de ordem 3 em E satisfaz certashipóteses, então Eé modular. Do que ele disse até agoraparece que ele não vai demonstrar toda a conjectura.

o que eu não sei é se isto vai se aplicar à curva de Freye, portanto, dizer alguma coisa sobre Fermat. Mantereivocês informados.

Karl RubinUniversidade Estadual de Ohio

Data: 5e9, 21 jun 1993 13:33:06Assunto: Wiles

Naquela tarde um dos estudantes pós-graduados, que assisti-ra à palestra de Wiles, correu para a loja de apostas tentando apos-tar dez libras como o Último Teorema de Fermat seria resolvido

em uma semana. Contudo, o bookmaker pressentiu o que estavaacontecendo e recusou-se a aceitar a aposta. Aquele era o terceiromatemático que o procurava naquele dia tentando fazer uma apostasemelhante.Apesar-do fato de que o ÚltimoTeoremade Fermattinha confundido as maiores mentes do planeta durante três sécu-los, até mesmo QSboolwlakers estavam começando a suspeitar deque o teorema estivesse à beira de ser demonstrado.

No dia seguinte mais pessoas tinham ouvido os boatos e assima platéia na segunda palestra era bem maior. Wiles provocou a au-diência com um cálculo intermediário, que mostrava que ele esta-vaclaramente tentando dominar a conjectura de Taniyama-Shimura.Mas a platéia continuava em dúvida se ele tinha o suficiente parademonstrá-Ia e, em conseqüência, conquistar o Último Teoremade Fermat. Uma nova carga de e-mails se refletiu dos satélites decomunicação orbitando o mundo.

Oi. Andrew deu sua primeira palestra hoje. Ele nãoanunciou a demonstração de Taniyama-5himura masestá se movendo nesta direção e ainda tem mais duaspalestras. Ele está fazendo um grande segredo sobre oresultado final.

Data: Ter, 22 jun 1993 13:10:39Assunto: Wiles

Não houve grande novidade na palestra de hoje.Anrlr,..'., "n m"',,'" II 11m t...nr...mn n...rnl c:nhrp n IIc:n tine:

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252 o ÚLTiMO TEOREMA DE FERMAT

representações de Galois ao longo das linhas que eusugeri ontem. Ele não parece se aplicar a todas as curvaselípticas, mas o golpe final virá amanhã.

Eu não sei realmente ó que ele vai fazer ao longo destecaminho. Mas está claro que ele sabe o que vai dizer.Este é um trabalho realmente longo no qual ele estevetrabalhando durante anos e ele parece confiante.Contarei a vocês o que acontecer amanhã.

Karl RubinUniversidade Estadual de Ohio

"No dia 23 de junho, Andrew começou sua terceira c últimapalcstra", rclcmbra John Coatcs. "O mais cxtraonJilláriu é quc tu-das as pessoas que contribuíram para as idéias por trás de sua de-monstração estavam naquela sala: Ma7.\lr,Ribet, Kolyvaginc mui-tos, muitos outros."

A essa altura os boatos eram tão persistentes que todos na co-munidade matemática de Cambridge apareceram para a última pa-lestra.Os mais felizardosestavamespremidos no auditório,enquantoos outros csperavam no corredor, ficando na ponta dos pés e olhan-do pelas jaríelas.Ken Ribet se certificara de que não perderia a maisimportante declaraçãomatemática do século. "Eu cheguei bem ccdoe me sentei na primeira filacom BarryMazur.Trouxera uma câmeracomigopara registrar o evento.Haviauma atmosfera carregada e aspessoas estavam muito empolgadas. Certamente sentíamos estarparticipando de um momento histórico. As pessoas exibiam sorri-sos antes e durante a palestra. A tensão estivera crescendo nos últi-mos dias.E então chegara aquele momento maravilhosoem que nosaproximávamosda demonstração do Último Teorema de Fermat."

BarryMazur já recebera uma cópia da demonstração de Wiles,mas assimmesmo ficouassombrado com aperformance. "Eu nuncatinha visto uma palestra tão gloriosa, cheia de idéias tão maravi-lhosas,com UJIlatensão tão dramática e tamanha expectativa.E sóhaviauma conclusão possível."

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Depois de sete anos de esforços intensos, Wiles estava a pontode anunciar ao mundo sua demonstração. Curiosamente ele nãoconscgue lembrar os momentos finais da palcstra em grande de-talhe, mas se lembra do clima na sala: "Embora a imprensa já ti-vesse sido notificada do que estava acontecendo, não havia compa-recido à palestra. Mas havia um bocado de gente na platéia que estavatirando fotos perto do final e o diretor do Instituto viera bem pre-parado, com uma garrafa de champanhe. Houve um silêncio res-peitoso enquanto eu terminava a demonstração c encerrava com adeclaração do Último Teorema de Fermat. Eu disse: 'Acho que vou'parar por aqui', e então houve um aplauso contínuo."

As Repercussões

Estranhamente, Wiles tinha sentimentos opostos sobre a palestra.te Era OUViaJlIClltClima gralldc ucasiãu, mmi mcus scnlimcntos cramambivalentes. Isto fora uma parte de mim durante sete anos. Ocu-para toda a minha vida profissional. Eu me envolvcra com o pro-blema de um modo que realmente sentia que ele era meu, mas agorao estavaentregando aosoutros. Sentia como se estivesse dando umaparte de mim."

O colega de Wiles, Ken Ribet, não tinha tais objeções. "Foi umacontecimento realmente extraordinário. Eu quero dizer, você vaia uma conferência e assiste a palestras rotineiras, vê algumas boaspalestras, mas só uma vez em sua vida você assiste a uma palestraonde alguém afirma ter solucionado um problema que durou 350anos. As pessoas estavam se olhando e dizendo: 'Meu Deus, sabeque acabamos de testemunhar um acontecimento histórico.' De-pois as pessoas fizeram algumas perguntas sobre os aspectos téc-nicos da demonstração e de suas possíveis aplicações para outrasequações. Então houve um novo silêncio e depois novos aplausos.A palestra seguinte foi dada por seu amigo Ken Ribet. Eu dei apalestra, algumas pessoas tomaram notas, outras aplaudiram, enenhum dos presentes, nem mesmo eu, tcm idéia do que eu dissen~nl1f'l~ n~l('~tr~." '1

254 o ÚL1'IMO TEOREMA DE FERMAT OS CÁLCULOS SECRETOS 255

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declaração que esclarecesse o que era a conjectura de Taniyama-Shimura.

A primeira vez que o professor Shimura ouviu falar da demons-tração de sua própria conjectura foi quando ele leu a primeira pá-gina do New lórll Times - '~ina1 um Grito de Eureka no AntigoMistério da Matemática". Trinta e cinco anos depois do suicídiode seu amigoYutakaTaniyama,a conjectura que eles tinham cria-do juntos tinha sido provada. Para muitos matemáticos profissio-nais, a demonstraçãode Taniyama-Shimuraera uma realizaçãomuitomais importante do que a solução do Último Teorema de Fermat,porque tinha imensas conseqüências para muitos outros teoremasmatemáticos. Os jornalistas que cobriam a m::ltériatendiam a seconcentrar em Fermat, e quando mencionavamTaniyama-Shimura,era apenas de passagem.

Shimura, um homem modesto e gentil, não ficou muito abor-recido pela falta de atenção dada ao seu papel na demonstração doÚltimo Teorema de Fermat, mas comentou que ele e Taniyama ti-nham sido rebaixados de pessoas para rótulos. "É curioso que aspessoas escrevam sobre a conjectura de Taniyama-Shimura masninguém escreve sobre Taniyama e Shimura."

Esta era a primeira vez que a matemática chegavanas primei-ras páginas dos jornais desde que Yoichi Miyaoka anunciara suademonstração em 1988.A única diferença é que desta vez houverao dobro de cobertura e ninguém expressara a menor dúvida quan-to aos cálculos. Do dia para a noite Wiles se tornou o mais famoso,de fato o único matemático famoso do mundo, e a revista Peopleaté mesmo o colocou na lista das "25 pessoas mais interessantesdo ano", ao lado da princesa Diana e Oprah Winfrey.E a consagra-ção final veio quando uma griffe internacional convidou o gênio demaneiras suaves para fazer propaganda de uma nova linha de rou-pas para homens.

Enquanto o circo dos meios de comunicação continuava, e osmatemáticos aproveitavama luz dos refletores, o trabalho sério deverificação da demonstração já começara. Como em todas as dis-Ciplinascientíficas, cada nova descoberta tinha que ser examinadaminuciosamente antes que pudesse ser aceita como correta c prc- '..

No dia 23 de junho de 1993,Wilesdeu sua palestra no Instituto IsaaeNewton em Cambridge. Este foi o momento imediatamente apósele anunciar sua demonstração do Último Teorema de Fermat.Wiles,e todas as pessoas na sala, não tinham idéia do pesadelo que os es-perava.

Enquanto os matemáticos espalhavàmas boas-novasvia e-mail,o resto do mundo teve que aguardar os noticiários da TV durante anoite ou os jornais do dia seguinte. Equipes de televisãoe jornalis-tas científicos desceram sobre o Instituto Newton, todos pedindopara entrevistar "o maior matemático do século". O Guardian ex-clamou: "Fim do Último Enigma da Matemática", enquanto a pri-meira página do Le Monde dizia: "Le théoreme de Fermat enfinrésolu."Jornalistas em toda a parte pediam aos matemáticos quedessem suas opiniões de especialistas, e os professores, ainda serecuperando do choque, deviam explicar, resumidamente, a maisrnn1nlil':ld:l d(,ln(ln~IT:1(':in 111:1I."m:í1;"" (111(' ;., "v;~f;,'" "" ri.". ."""

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cisa. A demonstração de Wiles tinha que ser submetida a um exa-me de avaliação.Embora as palestras de Wiles no Instituto Newtontivessem dado ao mundo um resumo dos seus cálculos, isto não sequalificavacomo uma análise oficialpor especialistas. O protocoloacadêmico exige que todo matemático submeta um manuscritocompleto para exame por uma revista respeitada. O editor entãocHcolhcullla cquipc dc cxamilladorcHpara vcrificar a UCI110IlHtra-ção linha por linha. Wiles tcria que passar o verão esperando an-siosamente pela opinião dos avaliadores e esperando receber suaaprovação.

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Depois da palestra de Wiles, os jornais de todo o mundo relataramsua demonstra<jãodo Último Teorema de Fermat.

7........ ......

Um Pequeno Problema

Um problema que vale a pena ser atacadoProvaseu valor contra-atacando.

Piet Hein

Assim que terminou a palestra em Cambridge, o comitê Wolfskehlfoi informado da demonstração de Wiles. O prêmio, instituído peloindustrial alemão em 1908,não podia ser entregue imediatamenteporque as regras do concurso exigiam a verificação do trabalho poroutros matemáticos e a publicação da demonstração:

Andrew Wiles e Ken Ribet logo depois da histórica palestra noInstituto Isaac Newton.

o Konigliche Gesellschaft der Wissenschaften em Gõttingen(...) só levará em consideração os trabalhos que apareceremna forma de monografia nos periódicos, ou que estiverem àvenda nas livrarias (...). A entrega do Prêmio pela Sociedadenão acontecerá antes de dois anos depois da publicação do.trabalho vencedor.O intervalo de tempo é necessário para quematemáticos da Alemanha e do exterior possam emitir suasonjniõc~ ~ohrc :1V:1li0:10C0:1 ~olucão puhlic:1d:1.

260 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT UM PEQUENO PROBLEMA 261

Wiles submeteu seu trabalho à revista lnventiones Mathematicae,e seu editor,BarryMazur,começouo processo de selecionarosjuízespara julgarem o trabalho. A demonstração de Wiles envolviaumavariedade tão grande de técnicas matemáticas, antigas e modernas,que Mazur tomou a decisão fora do comum de nomear não apenasdois ou três examinadores,'como é normal,.mas seis. A cada ano,trinta mil artigos Rãopublicados nas rcvistas técnicas de todo ()nlllJHlo,mas () tallI<IlIhoc a importfmeia uo manuscrito ue Wilessignificavam que ele seria submetido a um nível sem precedentesde exame minucioso. Para simplificar a tarefa, as duzentas páginasda demonstração foramdivididascm seis scçõese cadaum dosjuí;"csassumiu a responsabilidade por um desses capítulos.

O Capítulo 3 era responsabilidade de Nick Katz, que já exami-nara a demonstração de Wiles no início do ano: "Aconteecude euestar em Parispara passar overãotrabalhando noInstitut des HautesÍ~tudes Scicntifiqucs, e levaracomigo as du;"entas páginas da de-monstração completa - o meu capítulo em especial tinha setentapáginas. Quando cheguci lá eu decidi quc prceisava de uma ajudaséria e assim insisti para que Luc Illusie, que também estava emParis, se tornasse um avaliadoradjunto daquele capítulo. Nós nosreuniríamos algumas vezes por semana, durante o verão, explican-do um para o outro aquele material de modo a tentar entender ocapítulo. Não fizemos nada senão ler este manuscrito linha por li-nha e nos certificarmos de que não haviaerros. Às vezes ficávamosconfusos e assim, todo o dia, ou até duas vezes por dia, eu enviariaum e-mail para Andrew com uma pergunta - eu não entendo oque você diz nesta página ou esta linha me parece errada. Tipica-mente eu receberia uma resposta naquele dia, ou no dia seguinte,que esclarecia o assunto e então passávamos para o problema se-. "gumte.

A demonstração era um argumento gigantesco, construído deum modo intrincado a partir de centenas de cálculos matemáticosgrudados por milhares de elos lógicos. Se apenas um desses cál-culos estivesse incorreto ou se uma das ligações lógicas se soltas-se, toda a prova poderia se tornar inútil. Wiles, que voltara paraPrinceton, esper:avaque os avaliadores completassem sua tarefa.

"Eu não queria festejar antes de ter a demonstração completamentefora de minhas mãos. E enquanto isso eu tinha meu trabalho in-terrompido para lidar com as perguntas que os juízes enviavampore-mai!oEu ainda estava bcm confiantc dc quc nenhuma daquelasperguntas iria me dar muito trabalho." Ele já tinha verificado ereverificado a demonstração antes de entregá-Ia ao comitê de ava-liação c csperava nada mais do que () equivalente matemático deerros de gramática c tipografia, problemas triviais que poderiamser corrigidos imediatamente.

"Essas perguntas continuaram sem problemas até agosto",relembra Katz, "até que eu topei com o quc parccia pouco mais doque um pequeno problema. Aípor volta de 23 de agosto eu mandeium e-mail para Andrcw, cra uma cohmum pouco mais complica-da, c ele me mandou de volta um fax. Mas o fax não parecia res-ponder a pergunta e assim eu mandei outra mensagem pelo com-putador para ele e rccebi outro fax que também não me satisfez."

Wiles presumiu que fosse um pequeno erro, como os outros,mas a persistência de Katz o forçou a levá-Ioa sério. "Eu não podiaresolver imediatamente esta questão de aparência inocente. Por ummomento pareceu que era do mesmo tipo dos outros problemas,mas lá por volta de setembro eu comecei a perceber que esta nãoera apenas uma pequena dificuldade mas uma falha fundamental.Era um erro em uma parte crueialdoargumento envolvendoo métodoKolyvagin-Flach,mas algo tão sutil que eu não percebera até estemomento. O erro era tão abstrato que não pode ser descrito emtermos simples. Mesmo explicá-Iopara um matemático exigiria queo matemático passasse dois ou três meses estudando aquela partedo manuscrito em detalhe."

Em essência, o problema consistia em que não havia garantiade que o método de Kolyvagin-Flach funcionaria do modo comoWiles pretcndera. Ele devia estender a demonstração do primeiroelemento de todas as equações elípticas e formas modulares paracobrir todos os elementos. Era o mecanismo que faria todos osdominós tombarem. Originalmente o método Kolyvagin-Flachfun-cionara somente sob condições especiais, masWilesacreditava queo :1dapt:1ra e rcforcar:1 sufieientemente n:1r:1func1on:1r em todm~ O!1

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262,

o ÚLT.lMO TEOREMA DE FERMAT UM PEQUENO PROBLEMA 263

casos. De acordo com Katz isto não era necessariamente verdadei-ro, e os efeitos foram dr~máticos e devastadores.

O erro não significava,necessariamente, que o trabalho deWilesnão pudesse se! salvo,mas significava que ele teria que reforçarsua demonstração. O absoiutismo da matemática exigia que Wilesdemonstrasse, além de toda a dúvida, que seu método funcionariapara cada elemento de cada série E e de cada série M.

concentrar de novo,mas desta vez sob circunstâncias muito maisdifíceis. Por um longo tempo achei que a solução estava bem pró-xima, que eu só estava deixando escapar uma coisa simples e quetudo se encaixariano dia seguinte. Podiater acontccido destc modo,mas à mcdida que o tempo passava o problema só se tornava maisintransigente."

A esperança era de que ele pudesse corrigir o erro antes que acomunidade matemática percebesse que o erro tinha existido. Aesposa de Wiles, que testemunhara os sete anos de esforços con-sumidos na demonstração, tinha que observar agora a luta agoni-zante de seu marido com um erro que poderia destruir todo o seutrabalho.Wiles lembra seu otimismo. "Em setembro, Nada me disse

que o único presente que ela queria em seu aniversário era a de-monstração correta. O aniversário dela é em 6 de outubro. Eu sótinha duas semanas para completar a prova e fracassei."

ParaNick Katz aquele, também, foium período tenso: "Porvoltade outubro as únicas pessoas que sabiam a respeito do erro era eu,Illusie, os avaliadores dos outros capítulos e Andrew- em princí-pio isto era tudo. Minha atitude como juiz era agir confidencial-mente. Certamente não era da minha conta discutir o assunto com

ninguém, excetoAndrew,e assim eu não disse uma palavra.Eu creioque externamente ele parecia normal, mas neste ponto ele estavaguardando um segredo do resto do mundo e ele deve ter se sentidomuito desconfortável. A atitude de Andrew era de que em algunsdias ele resolveria o problema, mas o outono passou e nenhummanuscrito foi produzido. Os'boatos começaram a circular e istoera um problema."

K.enRibet em especial,que era outro dosjuízes, começou asentira pressão de guardar o segredo. "Porum motivototalmente acidentaleu fiquei conhecido como o Serviço de Informações Fermat. Saiuuma matéria inicial no New Thrk Times, onde Andrew pedia queeu falasse com os repórteres em seu lugar,e a matéria dizia: "Ribet,que atua como porta-voz de Andrew Wiles..." ou coisa parecida.Depois disso eu me tornei um magneto, atraindo todos os tipos deinteressauos no Último rIcorema de Fermat, dentro c fora da co-

o Ajustador de Tapetes

Quando Katz percebeu a importância do erro que tinha localizado,ele começou a se perguntar como deixara de percebê-Io na prima-vera, quando Wiles lhe dera aulas sobre a çlemonstraçãocom o único

t: propósito de identificar erros. "Eu acho que a resposta consiste emque existe umaverdadeira tensão quando se assiste a uma aula,entreentender tudo e deixar o 'professor prosseguir. Se você interrompetodo o tempo, eu não en~endi isso, eu não entendi aquilo, então osujeito nunca consegue explicar coisa alguma e você não chega alugar nenhum. Por outro lado, se você nunca interrompe acaba seperdendo. Fica lá acenando com a cabeça educadamente mas nãoestá verificando nada. Este é o problema entre fazer perguntas de-mais ou de menos, e obviamente, lá pelo final daquelas aulas, quefoiquando oproblema nos escapou,eu tinha pecado por fazerpoucas

t "pergun as.

Há apenas algumas semanas os jornais de todo o mundo ti-nham chamado Wiles de "o matemático mais brilhante do mun-do". Depois de 350 anos de frustração, os teóricos dos númerosacreditaram ter vencido Pierre de Fermat. Agora Wiles tinha queenfrentar a humilhação de admitir que cometera um erro. Masantes de confessar o erro ele decidiu fazer um esforço concen-trado para consertar a falha. "Eu não desisti, eu estava obcecadocomo problema e ainda acreditava que o método Kolyvagin-Flachsó precisava de uns pequenos ajustes. Só precisava modificá-Iode um modo sutil e então funcionaria. Resolvi voltar à minha vc-lharotina c me clesli~arcompletamente ciomundo. TinhH mu' me>

.. . , ..


de todos os lugares do mundo, e eu também dei uni grande núme-ro de palestras por um período de dois ou três meses. Nessas pa-lestras eu dizia que realização magnífica fora o teorema, delineavaa prova e falava sobre os trechos que eu mais conhecia. Depois deum certo tempo as pessoas começaram a ficar impacientes e a fa-zer perguntas embaraçosas.

"Wiles tinha feito este anúncio público, mas ninguém f~ra deum peq ueno grupo dc juí~es tinha visto uma cópia do trabalho. Osmatemáticos estavam esperando pelo manuscrito que Andrew pro-metera para dentro de algumas semanas após o anúncio, em ju-nho. As pessoas diziam: 'Muito bem, este tcorcma foi anunciado,nós gostaríamos de ver o que está acontecendo. O que ele está fa-~endo? Por que não temos notícia nenhuma?' Todos pareciam umpouco aborrecidos por estarem sendo deixados no escuro, e sim-plesmente queriam saber o que ocorria. Então as coisas começa-ram a piorar e esta nuvem negra se formou sobre a prova. As pes-soas começaram a me indagar sobre os boatos de que um erro foraencontrado no Capítulo 3. Eles me perguntavam o quc eu sabia, eeu não sabia o qt'1edizer." .

Com Wiles e os juízes negando qualquer conhecimento de umerro, ou pelo menos se recusando a fazer comentários, as especu-lações correram desenfreadas. Em desespero os matemáticos co-meçaram a mandar e-mails uns para os outros esperando chegarao fundo do mistério.

Assunto: Brecha na prova de Wiles?Data: 18 nov 1993 21 :04:49 GMT

Estão circulando boatos sobre uma ou mais brechas nademonstração de Wiles. Isto quer dizer uma rachadura,uma brecha, uma fenda, um buraco ou um abismo?Será que alguém tem alguma informação confiável?

Joseph lipmanUniversidade de Purdue

UM PEQUENO PROBLEMA 265

Em cada salade chá, em cada departamento de matemática, osrumores sobre a demonstração de Wiles aumentavam a cada dia.Em resposta aos boatos e às especulações no correio eletrônico,-.alguns matemáticos tentaram tranqüilizar a comunidade.

Assunto: Resposta: Brecha na prova de Wiles?Data: 19 nov 1993 15:42:20 GMT

IIr.,

Eu não tenho nenhuma informação de primeira mão enão acho que deva discutir informações de segundamão. Eu creio que o melhor conselho para todos éficarmos calmos e deixar que os juízes competentes, queestão examinando cuidadosamente o trabalho de Wiles,

façam o seu trabalho. Eles vão relatar suas descobertasquando tiverem alguma coisa definitiva para dizer.Qualquer um que tenha escrito um trabalho ou julgadoum trabalho estará familiarizado com o fato de que

freqüentemente surgem dúvidas no processo deverificação das provas. Seria espantoso se isto nãoacontecesse para um resultado tão importante de umademonstração tão longa e difícil.

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leonard EvensUniversidade Northwestern

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Apesar dos pedidos de calma, as mensagens continuaram. Alémde debater o possível erro, os matemáticos começaram a discutir aética de antecipar o resultado dos juízes:

Assunto: Mais mexericos sobre FermatData: 24 nov 93 12:00:34 GMT

Eu acho que está claro que eu discordo daqueles quedizem que não deveríamos discutir se a demonstraçãode Wiles, para o Último Teorema de Fermat, possui erros011 nnn. Sou tntnlm",nt", n fnvnr rlpc;..". rI",hntp rI"...rI nllp

266 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT UM PEQUENO PROBLEMA 267

Bob Silverman

Peter Sarnak entrara para o Departamento de Matemática dePrinceton ao mesmo tempo que Wiles e ao longo dos anos eles ti-,'nham se tornado amigos. Durante este período de agitação inten-sa, Sarnak era uma das poucas pessoas com quem Wiles desabafa-va. "Bem, eu nunea Roube m~detalheR exatos, mas estava elaro qucele lelllava Hllperar 11111problcma t:lério.Mas eada ve~ que c\e con-sertava uma parte dos cálculos, isto provocava um problema em outraparte da demonstração. Era como tentar colocar um tapete em umaHaIaonde o tapete é maior do que a sala. Assim, Andrew encaixavao tapete em um canto, somente para descobrir que ele ficara so-brando em outro. Se você poderia ou não ajustar o tapete na salanão era algo que c\e puuesse decidir. Mesmo com o erro Andrewdera um grande passo. Antes dele ninguém conseguira abordar aeonjeetura de ~l1l11iya11la-Shimurac mcslllo agora tOdoHcHtavamcmpolgados porquc c\e nos mostrara tantas idéias novas. Havia coisasnovas, fundamentais, que ninguém tinha considerado antes. Mes-mo que a demonstração não pudesse ser consertada ela era um grandeavanço - mas é claro que Fermat continuaria sem solução."

Finalmente Wiles chegou à conclusão de que não poderia mantero silêncio para sempre. A solução para o erro não estava logo ali.Era hora de acabar com as especulações. Depois de um outono defracasso desanimador, ele enviou o seguinte e-mail para o quadrode informações do Departamento de Mate~ática:

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ele não seja levado demasiado a sério. Néio acho queseja uma coisa maliciosa. Principalmente porque, estejaa prova de Wiles incorreta ou não, eu tenho certeza deque ele criou matemática de primeira classe.Assim, aqui está o que recebi hoje...

Assunto: Resp.: Buraco em FermatData: Seg, 22 nov 93 20: 16 GMT

Em uma palestra no Instituto Newton, na semanapassada, Coates disse que, em sua opinião, há um errona parte da demonstração com os "sistemas geométricosde Euler". Esse erro pode "Iovar uma semana ou doisanos para consertar". Falei com ele várias vezes masainda não sei em que base ele fez esta declaração, jáque ele não tem uma cópia do manuscrito.

Até onde eu sei a única cópia em Cambridge está comRichard Taylor, que é um dos avaliadores do trabalho paraa Inventiones. E ele tem se recusado a comentar até quetoda a banca examinadora chegue a uma conclusãocomum. Assim, a situação é confusa. Eu não vejo como aopinião de Coates possa ser considerada válida neste pontoe vou esperar a opinião de Richard Taylor.

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Assunto: Situação de FermatData: 4 dez 9301 :36:50 GMT

Richard Pinch Em vista das especulações sobre o estado de meutrabalho com a conjectura de Taniyama-Shimura e oÚltimo Teorema de Fermat eu vou fazer um breve resumo

da situação. Durante o processo de avaliação surgiramalguns problemas. A maioria foi resolvida logo, mas umproblema em particular ainda não foi solucionado. Aredução-chave da (em sua maioria dos casos) conjecturade Taniyama-Shimura para o cálculo do grupo Selmerestá correta. Contudo, o cálculo final de umn frnntAirn

Enquanto aumentava a agitação sobre a enganosa prova,Wilesfazia o melhor que podia para ignorar a controvérsia e as especula-ções. "Eu realmente tinha que me desligar de tudo isso porque nãoqueria saber o que as pessoas estavam dizendo a meu respeito. Eume isolei, mas periodicamente meu colega Peter Sarnak me dizia:'Sabe que há uma tempestade lá fora?' E eu ouvia, mas por mimmesmo queri~ me desligar de tudo e me concentrar no problema."

268 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT 269UM PEQUENO PROBLEMA

superior precisa para o grupo Selmer no caso sem i-estável (da repr.esentação do quadrado simétricoassociapo com a forma modular) ainda não estácompleta. Eu acredito que serei capaz do torminar istono futuro próximo, usando as idéias explicadas emminhas palestras de Cambridge.

demonstração de Wiles estava em frangalhos. O prazer, a paixão ea esperança que o carregaram durante os anos de cálculos secre-tos egtavam gendo guhgtituídos pelo embaraço e o desespero. Elesc lcmbra cumu seu sunhu de infânciase tornou um pesadelo. "Nossete anos em que trabalhei no problema eu desfrutara de um com-bate na privacidade.Não importa o quão difícil fora, não importa oquão insuperáveis parecessem certas coisas, eu estava trabalhan-do no meu problema favorito.Era a paixão da minha infância, eunão podia abandoná-Ia.Não queria deixá-Ianem por um momen-to. E então eu falei sobre ela publicamente e ao falar houve umsentimento de perda. Era uma emoção muito confusa. Fora mara-vilhoso ver outras pessoas reagirem à demonstração, ver como osargumentos poderiam mudar' completamente toda a direção damatemática, mas ao mesmo tempo eu perdera minha busca pes-soal.Ela estavaaberta para o mundo agora,e eu não tinha mais estesonho particular para conquistar. E então, depois que descobri oproblema com ele, haviadúzias, centenas, milhares de pessoas quequeriam tirar minha atenção. Fazer matemática de qualquer tipo,superexpostoàcuriosidadepública,nãoé meu estiloe eu não aprecioeste modo público de fazer as coisas."

Os teóricos dos números de todo o mundo simpatizavam coma posição de Wiles. Ken Ribet passara pelo mesmo pesadelo, oitoanos antes, quando tentara provar que existia uma ligação entre aconjeetura de Taniyama-Shimura e o Último Teorema de Fermat."Eu estava dando uma aula sobre a demonstração no Instituto dePesquisa em Ciências Matemáticas de Berkeleye alguém, na pla-téia, disse: "Espere um instante, como você sabe que isto e aquiloé verdade?" Eu respondi imediatamente dando minha razão e eledisse: "Mas isto não se aplica a esta situação." Eu senti um pavorimediato. Comecei a suar frio e fiquei muito perturbado. Entãopercebi que sóhaviauma possibilidade dejustificar aquilo, que eraolhar de novoo trabalho fundamental sobre aquele assunto e ver oque fora feito em uma situação semelhante. Olhei para o artigorelevante e vi que o método de fato se aplicavaem meu caso. Emum dia ou dois eu tinha consertado tudo. E em minha aula seguin-te pude dar uma justificativa. Mas você sempre vive com o medo

o fato de que ainda resta um bocado de trabalho a serfeito no manuscrito o torna inadequado paraimpressão. Em meu curso em Princeton, que vaicomeçar em fevereiro, eu farei um relato completodeste trabalho.

,: Andrew Wiles

Poucos acreditaram no otimismo de Wiles.Quase seis meses já ti-nham se passado sem que o erro fosse corrigido.E não havia mo-tivo para pensar que algo fosse mudar nos próximos seis meses.De qualquer modo,se ele realmentepudesse "terminar istonofuturopróximo", então por que se preocupar em enviaro e-mail? Por quenão manter o silêncio por mais algumas semanas e então divulgaro manuscrito completo?O curso em fevereiro,que mencionou suamensagem, não forneceu os detalhes prometidos. A comunidadematemática suspeitava de que ele estava tentando ganhar tempo.

Os jornais avançaramna história de novoe os matemáticos selembraram da fracassada demonstração de Miyaokaem 1988.Ahistória estava se repetindo. Os teóricos dos números esperavamagora opróximo e-mail, que explicariapor que a demonstração erairreparavelmente errada. Um punhado de matemáticos expressa-ra dúvidas quanto à demonstração no verão passado e agora seupessimismo parecia justificado. Uma história diz que o professorAlan Baker,da Universidade de Cambridge, quisera apostar cemgarrafas de vinho cont~auma que a demonstração seria invalidadaem um ano.Bakernegaahistória mas admite, orgulhosamente, queexpressou seu "ceticismo saudável".

Menos de seis meses depois da palestra no Instituto Newton, a

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de que, se anunciar alguma coisa importante, um erro fundamen-tal vai ser descoberto.

"Quando se encontra um erro em um manuscrito, podem acon-tecer duas coisas. Às vezes existe uma confiança imediata e a pro-va pode ser reparada com pouca dificuldade. E às vezes acontece ooposto. É muito perturbado).'",você se sente afundando quando per-cebe que cometeu um erro fundamental e que não existe meio deconsertá-Io. É possível que aparecendo um buraco o teorema des-morone completamente, e quanto mais você tenta consertá-Io, piorele fica. Mas no caso da demonstração de Wiles, cada capítulo eraum trabalho significativo e se sustentava so:'.inho. Era o resultadode sete anos de trabalho, basicamente vários trabalhos importan-tes reunidos e cada um daqueles artigos era de grande interesse.O erro ocorrera em um dos capítulos, o Capítulo 3, mas mesmoque você retirasse o Capítulo 3, o que permanecia era absolutamentemaravilhoso.n

Mas sem o Capítulo 3não haviaprovada conjectura de Taniyama-Shirnura e sem ela não existia demonstração du Últimu 'Icuremade Fermat. Havia um sentimento de frustração na comunidadematemática de que a demonstração, enfrentando dois grandes pro-blemas, corria perigo. Além disso, depois de seis meses de espera,ninguém, além de Wiles e os juízes, tivera acesso ao manuscrito.Crescia o clamor por uma divulgação de modo que todos pudes-sem ver os detalhes do erro. Esperava-se que aÍguém, em algumlugar, pudesse ver alguma coisa que Wiles deixara passar, criandoum cáleulo capaz de fechar a brecha na demonstração. Algunsmatemáticos diziam que a demonstração era demasiado valiosa paraser deixada nas mãos de um único homem. Os teóricos dos núme-ros tinham se tornado motivo de piadas para os outros matemáti-cos, que perguntavam sarcasticamente se eles entendiam realmenteo conceito de demonstração. O que deveria ser o momento de maiororgulho na história da matemática estava virando uma piada.

Apesar da pressão, Wiles se recusava a divulgar o manuscrito.Depois de sete anos de esforço dedicado, ele não estava disposto aficar sentado vendo outra pessoa completar a demonstração e rou-bar-lhe a glória.A pessoa que demonstrasse Fermat não seria aquela

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que fizesse a maior parte do trabalho e sim aquela que entregassea demonstração completa. Wiles sabia que assim que seu manus-crito fosse publicado, com o erro, haveria uma torrente de pergun-tas e pedidos de esclarecimento de pessoas querendo consertar afalha, e essas distrações destruiriam todas as suas esperanças deconsertar a prova, além de dar aos outros pistas vitais.

Wiles tentava recriar o mesmo estado de isolamento que o per-mitira montar a demonstração original, e retomou ao seu hábitode estudar intensamente no sótão. Ocasionalmente ele ia passearem torno do lago de Princeton, como tinha feito no passado. Osciclistas, remadores c as pcssoas fa:'.endocaminhadas, quc anterio-rmente passavam por ele, apenas acenando, agora paravam parapcr~untar se tivera algum sllcesso em remendar a prova. Wiles ti-nha aparccido nas primciras páginas de jornais do mundo inteiro,merece li reporta~em de destaque na revista f'eojJ/e e até mesmufora entrevistado pela CNN. No verão anterior ele se tornara a pri-meira celebridade da matemática e sua imagem já estava abalada.

Enquanto isso, no Departamento de Matemática, os mexeri-cos continuavam. O professor John H. Conway, matemático dePrinectoll, rclembra o clima na sala de ehá do departamento. "Nósnos reuníamos para o chá às três horas e avançávamos nos biscoi-tos. Às vezes conversávamos sobre problemas de matemática, àsvezes falávamos no julgamento de O.J. Simpson e às vezes conver-sávamos sobre os progressos de Andrew. Como ninguém queria lheperguntar como ele estava se saindo com a demonstração, estáva-mos nos comportando um pouco como aqueles especialistas noKremlin. Alguém dizia: 'Eu vi o Andrew hoje de manhã.' 'Ele sor-riu?' 'Bom, sorriu, mas não parecia feliz.' Só podíamos avaliar seussentimentos pela expressão em seu rosto."

f: o Pesadelo do E-mail

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O inverno chegou e as esperanças de uma notificação desaparece-ram. Mais matemáticos diziam que era dever de Wiles liberar omanuscrito. Os boatos continuaram e um jornal publicou que Wiles

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Richard Taylor


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desistira e que a demonstração já desmoronara irremediavelmen-te. Embora isto fosse um exagero, era certamcntc verdadc que Wilestinha esgotado dúzias de abordagens que poderiam ter reparado oerro e não enxergava mais nenhum caminho potencial para a so-lução.

Wiles admitiu para Petcr Sarnak que a situação estava ficandodesesperadora e que ele estava a ponto de aceitar a derrota. Sarnaksugeriu quc parte da dificuldade era que Wiles não tinha ninguémcm qucm pudesse confiar no dia-a-dia, ninguém que pudesse ava-liar suas idéias ou que o inspirasse a explorar ahordag-ells paralelasdo prohlema. Ele sugeriu que Wiles conseguisse um auxiliar deconfiança e tcntasse uma vez mais consertar a demonstração. Wilesprecisava de alguém que fosse especialista elll manipular o IlIéto-do J(olyvagill-Flaeh e que IIlalltivesse em segredo os uctalhes doproblema. Depois de pcnsar longamente no assunto, ele decidiuconvidar Richard Taylor, um professor de Camhridg-e, para vir aPrillcctoll trabalhar com ele.

Taylor era um dos avaliadores da demonstração e um ex-alunod(' Wilcs. selldo portallto de cOllfiall,,'a. No alio alltcrior ele estivera

na platéia do lnstituto Isaae Newton vendo seu supervisor apre-sentar a demonstração do séeulo. Agora era seu trabalho ajudar aresgatar a demonstração defeituosa.

Por volta dc janeiro, Wiles, com a ajuda de Taylor, tinha maisuma vez explorado incansavelmente o método Kolyvagin-Flach ten-tando encontrar um meio de sanar o problema.' Ocasionalmente,depois de dias de esforços, eles entravam em território novo, mas',inevitavelmente, se viam de volta ao ponto em que tinham come-çado. Tendo se aventurado mais longe do que antes e fracassadoseguidamente, eles perceberam que estavam no coração de um la-birinto inimaginavelmente vasto. Seu medo mais profundo era deque o labirinto fosse infinito e sem saída, condenando-os avaguearemsem fim e sem direção.

E então, na primavera de 1994, quando parecia que as eorsasnão poderiam ficar piores, o seguinte correio eletrônico apareceu

",

,.

,

Agora, aparentemente, ele tinha descoberto uma contraprova parao Último Teorema de Fermat, mostrando que ele também era fal-so. Isto era um golpe terrível em Wiles - a razãopara que ele nãotivesse conseguido arrumar a demonstração seria que o assim chama-do erro era um resultado direto da falsidade do Último Teorema.

Era um golpe ainda maior para a comunidade matemática, porquese o Último Teorema de Fermat era falso, então Frey já tinha mo~-trado que isto levaria a uma equação elíptica que não seria modu-lar, uma contradição direta da conjectura de Taniyama-Shimura.Elkies não apenas encontrara uma contraprova para Fermat, eleindiretamente encontrara uma contraprova para Taniyama-Shimura.

A morte da conjectura de Taniyama-Shimura teria repercus-sões devastadoras na teoria dos números, porque, por duas déca-das, os matemáticos tinham presumido que ela era verdadeira. Comofoi explicado no Capítulo 5, os matemáticos tinham escrito dúziasde demonstrações que começavam com "Presumindo que aconjectura de 'làniyama-Shimura é verdadeira", mas agora Elkiestinha demonstrado que esta suposição estava errada e todas aque-las demonstrações iam desmoronar simultaneamente. Os matemá-ticos imediatamente começaram a exigir mais informações e bom-bardearam Elkiescom perguntas. Mas não houveresposta e nenhumaexplicação sobre por que ele estava se mantendo de boca fechada.Ninguém conseguia encontrar os detalhes exatos da contraprova.

Depois de um ou dois dias de agitação,alguns matemáticos deramuma segunda olhada no e-mail e perceberam que, embora fossedatado de 2 ou 3 de abril, isto era o resultado de ter sido recebido

de segunda ou terceira mão. A mensagem original fora datada de10de abril. A mensagem era uma mentira-de-primeiro-de-abrilperpretada pelo teórico canadense dos números Henri Darmon. Ofalso e-mail serviu de lição para os boateiros de Fermat e por al-gum tempo o Último Teorema, Wiles e Taylor foram deixados empaz.


Data: 03 abril 94Assunto: Fermat de novo!

Hoje ho.uve uma novidade realmente espantosa sobreo Últim~ Teorema de Fermat.

"

Noam Elkies anunciou uma contraprova de que o ÚltimoTeorema de Fermat não é verdadeiro afinal! Ele falou

sobre isso hoje no Instituto. A solução para Fermat, queele construiu, envolve um expoente primo incrivelmentegrande (maior do que 10" 20) mas é construtivo. A idéiaprincipal parece ser um tipo de construção de pontoHeegner, combinada com uma descida realmenteengenhosa para passar das curvas modulares para acurva de Fermat. A parte mais difícil do argumento

parece ser demonstrar que o campo de definição dasolução (que, a priori, é algum tipo de anel de um campoimaginário quadrático) realmente se reduza até Q.

Eu não consegui obter os detalhes, que são muitocomplicados...

Assim, parece que a conjectura de Taniyama-Shimuranão é verdadeira. Os especialistas acham que ela aindapode ser salva, estendendo-se o conceito de represen-tação automórfica e introduzindo-se a noção d.as"curvas.anômalas" que dariam origem a uma representação"quase-automórfica" .

Henri DarmonUniversidade de Princeton

Noam Elkies era o professor de Harvard que, em 1988, tinha en-contrado uma contraprova da conjectura de Euler, provando por-tanto que ela era falsa:


2.682.4404+ 15.365.6394+ 18.796.7604 = 20.615.6734.


Wiles estava preparado para admitir a derrota. Ele disse a Taylorque não via motivos para continuar com suas tentativas de conser-tar a demonstração. Taylor já planejara passar o mês de setembro('m Prillcclon :11I1csdc rctO\:nar a C:l1nhrid~c e assinl, apesar dodcsflllinlo de Wiles, ele sug-erill que eontinuasselll por mais um mês.Se não houvesse sinal de uma solução no final de setembro, elesdcsistiriam, reconhecendo puhlicamentc o fracasso. A prova defei-tuosa seria então publicada para permitir que outros tivessem a

oportunidade de examiná-Ia.

o Presente de Aniversário

Embora a batalha de Wilcs eom o problema mais difíeil do IIHIIH.10parecesse condenada a terminar em fracasso, ele podia olhar paraos últimos sete anos e se consolar de que o conhecimento forman-do o bojo do seu trabalho ainda era válido. Para começar, o uso queWiles fizera dos grupos de Galois dera a todos uma nova visão doproblema. Ele tinha mostrado que o primeiro elemento de cadaequação clíptica podia ser igualado ao primeiro elemento de umaforma modular. O desafio agora era demonstrar que, se um elcmentoda equação elíptica era modular, então o próximo deveria ser mo-dular, e todos seriam modulares.

Durante anos Wiles lutara com o conceito de extensão da pro-va. Ele estava tentando completar uma abordagem indutiva e sedebatera com a teoria de Iwasawa na esperança de que ela pudessedemonstrar que se um dominó caísse então todos cairiam. Inicial-mente a teoria de Iwasawa parecera suficientemente poderosa paracausar o efeito dominó necessário, mas no final não corresponderaa suas expectativas. Ele dedicara dois anos de esforços num becosem saída.

No verão de oJ<J<JJ, depois de um ano de frustração, Wilesen-controu o método de Kolyvagin e Flach e abandonara a teoria deIwasawaem favor desta nova técnica. No ano seguinte a demons-tração foi anunciada em Cambridge e ele fora proc1:1maoohrrói.


!

defeituoso, e desde então a situação só piorara. Cada tentativa deconsertar Kolyvagin-Flach fracassara.

11)do o trabalho de Wiles, tiramlo o passo final cnvolvendo olIIétodo Kolyvag-in-Flaeh,ainda era v:Uido.fi.eonjectura dc 'lhniya-ma-Shimura e o Último 'lcorema de Fcrmat podiam não ter sidodemonstrados, 111:IS,de qualquer modo, ele tinha fornecido aos ma-temáticos uma nova série de técnicas e estratégias que eles podiamusar para provar outros teoremas. O fracasso de Wiles não fora ver-gonhoso c ele estava eomeçamlo a aceitar a idéia de tcr sido derro-tado.

Como commlo ele queria pelo menos entender por que tinhafracassado. Enquanto 'làylor reexplorava e reexaminava métodosalternativos, Wiles deeidiu passar o mês de setembro examinandouma última ve~a estrutura do método Kolyvagin-Flach, para ten-tar determinar, exatamente, por que ele não estava funcionando.Ele se lembra, vividamente, daqueles últi';uos dias fatídicos. "Euestava sentado diante de minha escrivaninha, na manhã da segun-da-feira, 19 de setembro, examinando o método Kolyvagin-Flach.Não é que eu achasse que poderia fazê-Io funcionar, mas achavaque pelo menos poderia explicar por que não funcionava. Achavaque estava me agarrando nos últimos fios de esperança, mas que-ria me tranqüilizar. Subitamente, de um modo totalmente inespe-rado, eu tive esta incrível revelação. Eu percebi que, embora o mé-todo Kolyvagin-Flach não estivesse funcionando completamente,ele era tudo de que eu precisava para fazer a minha teoria originalIwasawa funcionar. Percebi que tinha o suficiente do métodoKolyvagin-Flach para construir minha abordagem original do pro-blema nos primeiros três anos de trabalho. Assim, das cinzas deKolyvagin-Flach, parecia surgir a verdadeira resposta para o pro-blema."

fi. teoria de Iwasawa sozillha fora inadequada. O métodoKolyvagin-Flach sozinho também fora inadequado. Mas juntos elesse completavam perfeitamente. Foi um momento de inspiração queWiles nunca iria esquecer. Enquanto lembrava esses momentos, a.~,..., . .-:...:. .. , - 1 '

0,0

278 o lJJ:I'IMO TEOHEMi\ DE FEHMi\T UM I'EOUENO PHOIII.EMi\ 279

..

entender como deixara de perceber aquilo e fiquei olhando, des-crente, por vinte minutos. Então, durante o dia, eu caminhei pelodepartamento e ficavavoltando para minha mesa para ver se a so-lução ainda estava lá. Não podia me conter, estava tão empolgado.Era o momento mais importante de minha vida profissional. Nadanunca mais significaria tanto."

Não era apenas a realização de um sonho de infância e o clímaxde oito anos de esforços concentrados, mas, tendo sido levadoà beirada derrota, Wiles reagira para mostrar sua genialidade ao mundo.Os últimos quatorze meses tinham sido os mais dolorosos, maishumilhantes, o período mais deprimente de sua carreira comomatemático. E agora, uma revelação brilhante trouxera um fim paraseu sofrimento.

'~ssim, na primeira noite eu voltei para casa e dormi. Verifi-quei tudo de novona manhã seguinte e por volta das 11horas fiqueisatisfeito, desci (' contei para minha lllulher. 'Consegui! Acho queencontrei!' E foi tão inesperado que ela pensou que eu estava fa-lando Robrcum brinquedo das crianças ou alguma coisa, c ela dis-se: 'Descobriu o quê?' E eu disse: 'Eu consertei minha demons-

'"traçao.

No mês seguinte Wiles pôde cumprir a promessa que não con-seguira manter no ano anterior. "Estava chegando novamente oaniversário de Nada e eu me lembrei que da última vez eu não pu-dera lhe dar o presente que ela queria. Desta vez, com um atrasode meio minuto para o nosso jantar, na noite do aniversário dela,cu pude lhe dar o manuscrito completo. Eu acho que ela gostoumais desse presente do que qualquer outro que eu lhe dera."

Propriedades teóricas de anel em certas álgebras deHecke,

por Richard Taylor e Andrew Wiles

o primeiro trabalho, mais longo, anuncia uma de-monstração para, entre outras coisas, o Último Teoremade Fermat, usando o segundo trabalho para um passocrucia!.Como a maioria de vocês sabe, o argumento descritopor Wiles em suas palestras em Cambridge revelou umsério erro na construção do sistema de Euler.Depois detentar, sem sucesso, consertar esta construção, Wilesvoltou-se para uma abordagem diferente, que ele tinhatentado anteriormente, mas abandonado em favor daidéia do sistema de Euler. Ele conseguiu completar ademonstração sob a hipótese de que certas álgebras deHecke são interseções locais completas. Isto, e o restodas idéias descritas nas palestras de Wilesem Cambridge,está escrito no primeiro manuscrito. Conjuntamente,Taylor e Wiles estabeleceram a propriedade necessáriadas álgebras de Hecke no segundo trabalho.

o argumento geral é semelhante ao que Wilesdescreveuem Cambridge. A nova abordagem se revelou signi-ficativamente maissimplese curtado que a original,devidoà retirada do sistema de Euler.(Defato, depois de ver essesmanuscritos, Faltingsaparentemente conseguiu uma novasimplificaçãodesta parte do argumento.)

Assunto: Atualização do Último Teorema de FermatData: 25 out 1994 11:04: 11 Versões destes manuscritos já estavam nas mãos de um

pequeno nútnero de pessoas (em alguns casos) h6algumas semanas. Embora seja prudente manter cautelapor um pouco mais, há razões para otimismo.

Karl Rubin

Nesta manhã dois manuscritos foram divulgados:

Curvas Elípticas Modulares e o Último Teorema deFp.rmot

Epílogo..............

A Grande Matemática Unificada

!hiii'/f,.c."~~fI{' ~J(í0 .JJ.]I , "

'.'~" 1'~ ~~,".,~-'~, ttJ- '1t'~.J~ ,f../I." ';. -~ .. Um jovem temerário de Burma

Encontrou provas para o Último Teorema de FermatEle viveu com o terrorDe encontrar um erro

A prova de Wiles, ele suspeitava, era firme!

Fcrnando Gouvca

Andrew Wiles

Desta vez não havia dúvidas quanto à demonstração. Os dois tra-balhos, de 130páginas ao todo, eram os manuscritos matemáticosmais minuciosamente examinados em toda a história c foram pu-blicados no Annals of Mathematics (maio de 1995).

Novamente Wiles se encontrou na primeira página do New }1}rkTimes. Mas desta vez a manchete "Matemático Diz Que EnigmaClássico Foi Resolvido" foi eclipsada por outra matéria de ciência- "Descoberta da Idade do Universo Cria Novo Enigma Cósmi-co". Enquanto os jornalistas estavam menos entusiasmados com oÚltimo Teorema de Fermat, desta vez, os matemáticos não tinhamperdido a noção do verdadeiro significado da prova. "Em termosm~tpm:'Ít;{'"" ., rI,,"",~~~"'n..:-:' r: ..1 '

'I


demonstração de Fermat é um grande triunfo intelectual e não sedeve perder de vista o fato de que ela revolucionou a teoria dosnúmeros de um só golpe. Para mim, o charme e a beleza do traba-lho de Andrew é que ele foi um tremendo passo na teoria dos nú-ll1eros."

~IODULAR ELLIPTIC CURVES AND FERMAT'S LAST THEOREM 455

Chapter 1

Os oito anos de suplício de Wiles ligaram praticamente todas asconquistas da teoria dos números do século:xx. e as incorporaramem uma poderosa demonstração. Ele criou técnicas matemáticascOIlIpletamenle lIovase as eombinou COIlltécnicas trauicionais ueum modo que nunca fora considerado possível. E ao fazer isto elecriou novas linhas de ataque para todo um conjuI1to de outros pro-blemas. De acordo com Ken Ribet, a prova é a síntese perfeita damatemática moderna e uma inspiração para o futuro. '~cho que sevocê estivesse perdido em uma ilha deserta e só tivesse este ma-nuscrito, ainda assim teria muita coisa para estudar. Veria todas asidéias atuais sobre a teoria dos números. Virando uma página veriaa brevc aparição de um teorema fundamental de Dcligne c então,ao virar outra página, casualmente, lá estaria outro teorema deHellegouarch - todas essas coisas apenas invocadas para desem-penhar uma função momentânea, antes de se passar para a idéia

, "segumte.

Embora os jornalistas científicos elogiassem a demonstra-ção de Wiles para o Último Teorema de Fermat, poucos comen-taram a prova da conjectura de Taniyama-Shimura que estavaindissoluvelmente ligada a ela. Alguns se incomodaram de men-cionar a contribuição de Yutaka 'l1l1liyamae Goro Shimura, osdois matemáticos japoneses que, na déeada de 1950, tinham es-tabelecido as sementes do trabalho de Wilcs. E embora Taniyamativesse cometido suicídio trinta anos antes, seu colega Shimuraestava lá para ver sua conjectura ser provada. Quando lhe per-~untaram sobre sua reação, ante a demonstração, Shim\ln\ sor-riu suavemente c de um modo eontido e digno disse: "Eu tinhafalado para vocês."

This chapter is devoted to the study of certnin Gnlois rcpresentntions,

111tlu' (irsl, I«,<,tioll W(! illtrudll(,c l\Iul stlldy Mmlllr's ddonnatiulI tllI'ory 1\1111dismss variuus rctillcmcllts uf it, These rctillelUcnts will be needed later to

make precise the correspondence between the universal deformation rings andthe Hecke rillgs in Chnptcr 2, The mnill reslllts ne('decl are Proposition 1.2

whirh i'IIIS,',11.1Iilll."I'I'I'C'"variolls 1(('III'I'IIIi~I'c'\'UI.IIII","III,HPIll'I'H1111Sl.hm',' gl'llllpHIIlId (l.i) which 11I1.el'\ViIIhe useu tu stuuy them. At the euu of the scctiOI1 werelate these Sclmer groups to ones used il1 the Bloch-Kato conjecture, but thisconnection is not l1eeded for the proofs of our main rcsults,

lu t,h(' secolI<l sectioll Wl' l'xtrud from tI11.l'I'sults of Poit.ou 111111Tlltl' UII

<:lIlois cohulllologr certnin geneml relatiol1s betwcel1 Sehner groups as E varies,as well as between Selmer groups and their duals. The most important obser-vation of the third scction is Lemma 1.1O(i) which guarantecs the existence ofthe special primes used in Chapter 3 and ITWJ.

1. Deformations of Galois representations

Let )J be al1 odd prime, Let E be n finite set of primes including p andlet QE be the maximal extension of Q unramified outside this set and 00.

Throughout we fix an embedding of Q, and so also of QE. in C. We will also

fix a choice of decomposition group Dq for all primes q in Z. Supposc that kis a finite field of characteristic p and that

(1.1) Po: Gal(QEfQ) - GL2(k)

is an irreducible representation, In contrast to the introduction wc will a.qgume

in the rest of the papel' that Po comes with its field of definition k. Supposefnrthcr thnt det 1'0 is odd. In particular this implies that the smallcst field ofddillitiou for (Jf.1is jl;ivcn by the field ko jl;enernt,ed hy the trace:! hllt we willl1ot,"'1."11111"thnt I.'= 1.'11.11.,,11«)illlplic's I,IIIILI~I iHIIhHolutely irredllr.ihl... We 1'1111-Hilll'l"1111'd"r""IIIIII,i"IIH 1,111...C:I.AA) ..r I~Iill 1.1",H.'IIH"..rMm'.lll"(M"I], ThUHir I\'(k) is 1.111'dlll!,..r WiLl, Vt'd."I'H..r k, A is tu 1"'1, 1'111111'11'1...N"el.heorillllloclIlW(k)'lIlv,..hm wiLh I"esidlle lidd I.'""Clulllxilllnl idcnl m. 111111n deforrnntion 11'1is jllst 1\ striet ..qllivnlcl)(,e 1'11.'1." of henllUlII"rphiHlIIs I': GIII(Qj;/Q) -GL2(A)

sudl t,hllt p lIIod 711= I~.. tw" sudl h"mnllUlrphisllls hdlll!, e..llml strict.ly eCJuiv-..h'lIl. ir "lU> c''''' I", h ul!,hl. 1." I.h,' "1.1",,, hy c'ulljllK/.LiulI hy 1111OIC'lIIollt ofkm' : GL~(A) - GL~(k), We oftel1 silllply write I' illstend of [pl for theequivalence class, .

----- ~_.- --

( flTt),., 1)\1111".' ,1,,, '~/"1f' 1~/,,1,.,...,p f 1):1. . 1..

A primeira página da c!cmonRlra<:iio dI' Will's qlll' foi puhlil'ada. Ela

lM () UI;I'IMO 'l'EOHEMA DE FEHMA'I' A GRANDE MATEMÁTICA UNIFICADA 285

uma importante repercussão psicológicano sentido de que as pessoasagora scrão capa7.Csdc avançar em outros problemas que as inti-midavam antcs. O panorama mudou, agora sabemos que todas asequações elípticas são modulares e, portanto, quando você provarum teorema para uma eqt,uiçãoelíptica também estará atacando umaforma modular e vice-versa. Temos uma perspectiva diferente doque está acontecendo e nos sentimos menos intimidados com a idéiade trabalhar com formas modulares porque, agora, basicamente,estaremos trabalhando com equações elípticas. E, é claro, quandovocê escreve um artigo sobre equações elípticas, no lugar de dizerque não sabe nada e que tem que presumir a verdade da conjecturade Taniyama-Shimura e ver o que pode fazer com ela, agora podedizer que sabemos que Taniyama-Shimura é verdadeira, e por isso,tal e tal tem que ser verdade. É uma experiência muito mais agra-dável."

Através da conjectura de Taniyama-Shimura, Wiles unificaraos mundos elípticos e modulares e ao fazê-Io dera à matemáticaum atalho para muitas outras provas - problemas de um domí-nio podiam ser resolvidos por analogia com problemas de umdomínio pamlelo. Problemas clássicos de elípticas, não-resolvidosdesde a Grécia antiga, podem agora ser reexaminados com todasas técnicas modulares disponíveis.

E ainda mais importante, Wiles dera o primeiro passo em dire-ção ao grande esquema de unificação de Langlands. Agora existeum esforço renovado para demonstrar outras conjecturas de uni-ficação entre campos da matemática. Em março de 1996Wiles di-vidiuos cem mil dólares do PrêmioWolf(nãoconfundir com o PrêmioWolfskehl) com Langlands. O Comitê Wolf reconheceu que, em-bora a demonstração de Wiles era uma realização espantosa por sisó, ela dera novavida ao ambicioso projeto de Langlands. Aqui es-tavauma descoberta que poderia levar a matemática para a próxi-ma idade de ouro da solução de problemas.

Depois de um ano de incerteza e embaraço, a comunidadematemática podia afinal comemorar. Cada simpósio, colóquio econferência tinha uma seção devotada à demonstração de Wiles. e

comemorar o grande acontecimento. Um dos trahalhos escritos foieste:

"Garçom, minha manteiga está toda escrita!"Ouviu-se o grito durante o jantar,"Eu tive que escrever nela",Exclamou o garçom Pierre,"Não havia espaço na margarina."

E. Howe, H. Lenstra, D. Moulton

o Prêmio

A demonstração de Wiles para o Último Teorema depende da veri-ficação de uma conjectura criada na década de 1950. O argumentoexplora uma série de técnicas matemáticas desenvolvidas na últi-ma década, algumas inventadas pelo próprio Wiles. A demonstra-ção é uma obra-prima da matemática moderna, o que leva à con-clusão inevitável de que a demonstração de Wiles para o ÚltimoTeorcma não é a mesma de Fermat. Fermat escreveu que suademonstração não caberia na margem de sua cópia da Aritméticade Diofante, e as cem páginas de cálculosde Wiles certamente preen-chem este critério, mas seguramente o francês não inventou as formasmodulares, a conjectura de Taniyama-Shimura, os grupos de Galoise o método Kolyvagin-Flach séculos antes de todo mundo.

E se Fermat não tinha a demonstração de Wiles, o que é queele tinha? Os matemáticos se dividem em dois grupos. Os céticosacreditam que o Último Teorema de Fermat foi o resultado de umraro momento de fraqueza do gênio do século XVII. Eles afirmamque, embora Fermat tenha escrito "eu descobri uma prova maravi-lhosa", ele de fato só tinha uma demonstração equivocada. A natu-reza exata desta prova defeituosa está aberta ao debate, mas é bem

possível que fosse um trabalho na mesma linha dos de Cauchy eLamé.

"

286 o YLTIMO TEOREMA DE FERMAT A GRANDE MATEMÁTICA UNIFICADA 287

Fermat teria uma prova genuína. O que quer que tenha sido estaprova, ela teria sido baseada na matemática do século XVII e teriaum ar~un1ent()tão astucioso que escapou a todos, de Euler aWilcs.Apcsar da publicação, da solução de Wiles para o problema, exis-tem muitos matemáticos que acreditam que ainda podem ficar fa-mosos descobrindo a demonstração original elcFermat.

Embora Wiles tenha recorrido a métodos do século XX pararesolver o enigma do século XVII,ele conquistara o desafio de acordocom as regras elo comitê Wolfskehl. No dia 27 de junho de 1997,Andrew Wiles recebeu o Prêmio Wolfskehl no valor de 50 mil dóla-

res. O Último Teorema de Fermat fora oficialmente provado.Wiles compreende que para dar à matemática uma de suas

maiores demonstrações, ele teve que privá-Ia de seu maior enig-ma. '~pessoas me dizem que eu lhes tirei seu problema e me pedemque lhes dê alguma outra coisa. I-láum sentimento de melancolia.Perdemos algoque estava conosco há muito tempo e uma coisa queatraiu muitos de nós para a matemática. Talvez seja sempre assimcom os problclll:H,da matemática. 'Ielllos que encontrar novos paracapturar nossa atenção."

Mas o quc vai capturar a atenção de Wilcs agora? Para um ho-mem que trabalhou em completo segredo durante sete anos, não ésurpreendente que ele se recuse a comentar sua pesquisa atual, maso que quer que seja, não há dúvida de que nunca vai substituir oÚltimo Teorema de Fermat. "Não existe outro problema que sig-nifique o mesmo para mim. Esta foi a paixão da minha infância.Não há nada que possa substituí-Ia. Eu resolvio problema, vou tentaroutros, com certeza. Alguns deles serão bem difíceis e eu terei denovo o sentimento de realização, mas não existe outro problemana matemática que possa me envolver do modo como Fermat o fez.

"Eu tive o raro privilégio de conquistar, em minha vida adulta,o que fora o sonho da minha infância. Sei que este é um privilégioraro, mas se você puder trabalhar, como adulto, com algo que sig-nificatanto para você, isto será mais compensador do que qualquercoisa imaginável. Tendo resolvido este problema, existe um certosentimento de perda, mas ao mesmo tempo há uma tremenda ~en-

rante oito anos, pensava nele o tempo todo - quando acordava demanhã e quando ia dormir dc noite. Isto é um tcmpo muito longopcnsando só cm uma coisa. Esta odisséia particular agora acabou.Minha mente pode repousar."

--

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Apêndice 1: A Demonstração do Teorema de Pitágoras

x

x

x 1::Y

y

y y x

o objetivo da demonstração é mostrar que o tcorcrna de Pitágorasé vcrdadeiro para todos os trifmgulos rctângulos. O triângulo mos-trado acima pode ser qualquer triângulo retângulo porque o com-primento de seus lados não é especificado, sendo representado pelasletras x, y c z.

Também na figura acima, quatro triângulos retângulos idênti-cos são combinados com um quadrado inclinado uc modo a cons-truir um quadrado grande. É a área deste quadrado grande que setornará a chave da demonstração.

A área do quadrado grande pode ser calculada de duas maneiras.

Método 1: Medindo a área do quadrado grande como um todo. Ocomprimento de cada lado é x + y. Portanto, a área do quadradogrande = (x + y)2.

Método 2: Medindo a área de cada elemento do quadrado grande.AáreadeeadatriHnrl'l1lop .!...,." nl1~f'i~l I. "h."""..ll1" ".~,., 1..

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292 o ÚLTIMO TEOHEMA DE FEHMATAI'RNJ>ICES 293

área do quadrado grande =4 x (área de cada triângulo) + áreado quadrado inclinado =4 ( ixy) + Z2. Apêndice 2: A Demonstração de' Euclides de

que.fi é IrracionalOs métodos 1 c 2 produzcm cxpressões diferentes. Contudo,

estas duas expressões devem ser equivalentes, porque elas repre-sentam a mesma área. Portanto,

O objetivo de Euclides era mostrar que a .fi não poderia ser escri-ta como uma fração. Como ele estava usando o método da provapor contradição, seu primeiro passo era presumir que o oposto fosseverdade, ou seja, que a .fi pudesse ser escrita como alguma fraçãodesconhecida. Esta fração hipotética é representada por p/q, ondep e q são dois números inteiros.

Antes de começarmos a demonstração propriamente dita, tudode que precisamos é um entendimento básico de algumas proprie-dades das frações c dos nÍlmcro pares.

a área do Método 1 = a área do Método 2

(x +)')2 =4( ~ xy) + :;::2.

Os parênteses podem ser expandidos e simplificados. Portan-to,

X2+ y2 + 2xy = 2xy + Z2.

( )s 2xy podclII scr callcelados elll alllhos os laum;. E a~~illl le-mos:

(1) Se você pegar qualquer número e multiplicá-Io por 2, entãoo novo número deverá ser par. Esta é praticamcnte a definição deum número par.

(2) Se você sabe que o quadrado de um número é par, então opróprio número também deve ser par.

(3)Finalmente,asfraçõespodemser simplificadas:~~ é amesmacoisaque 1~'bastadividiraparte de cimae aparte de baixode ~~ pe-lofatorcomum 2.Portanto, .! é a mesma coisaque ~,e, por suavez, ~é

, 2 C12

d2 - d

,.l'f

'da mesma COlsaque '3. ontu o, '3 nao po e ser mais slmp I lca o

porque 2 e 3 não possuem fator comum. E impossível continuar sim-plificando uma fração para sempre.

x2 + y2 = Z2,

que é o teorema de Pitágoras!

o argumento ébaseado no fatode que a área do quadrado grandedeve ser a mesma, não importa que método possa ser usado paracalculá-Ia. Quando derivamos logicamente duas expressões para amesma área, e as tornamos equivalentes, a conclusão inevitável é

que x2 + y2 = z2, ou seja, o quadrado da hipotenusa Z2 é igual àsoma dos quadrados dos catetos, x2 + y2.

Este argumento se mantém verdadeiro para todos os triângu-los retângulos. Os lados do triângulo em nosso argumento foramrepresentados por x, y e z, e portanto podem representar os ladosde qualquer triângulo retângulo.

Agora, lembre-se de que Euclides acredita que a fi não podeser escrita como uma fração. Contudo, como ele adota o métododa prova por contradição, ele trabalha presumindo que a fraçãop/qexiste e então explora as conseqüências de sua existência:

fi =p/q,

Sc" f'1('\,r~1.""\"C' .'1 1... .I .

294 o ÚI:rIMO TEOREMADE FERMAT Al,j1;NDICES 295

2 =pZ / qZ.

lil =pZ.

fração, digamos e/f, será ainda mais simples. Podemos repetir oprocesso infinitamente.Masnós sabemos,peladeclaração(3), queuma fraçãonão pode ser s~plificada para sempre. Deve sempreexistir uma fraçãomais simples. Mas nossa fraçãohipotética ori-ginalp/q nãoparece obedecer a esta regra. Portanto, podemos di-zer que chegamos a uma contradição. Se a fi puder ser escritacomo uma fração,então as conseqüências seriam absurdas e podemosdizer, com certeza, que a.J2 não.pode ser escrita como uma fra-ção. Portanto, a .J2 é um número irracional.

Esta equação pode ser rearrumada facilmente para dar:

Agora, do princípio (1) nós sabemos que pZdevc ser um nÚme-ro par. Além disso, do que foi dito em (2), nós sabemos que p tam-bém deve ser par. Mas se p é par, então ele pode ser escrito como2111,onde 1Jlé outro número inteiro qualquer. Isto segue o que foidito em (1). Coloque tudo de volta na equação e temos:

2qZ = (2m)Z = 4mz.

Dividindo ambos os lados por 2, conseguimos

qZ= 2m2.

Ma!;, I'('III!\ IIIC'!\IIIIIII a"'~IIIII('1I11I1I11'1I' 111\:111111:1:1111('11, IIÓ:, 11:1111'

IIlOSque t/ ueve ser par, e assim o próprio q deve ser par. Se foreste o caso, então q pode ser escrito como 2n, onde n é algum ou-tro n(lInero inteiro. Se vÓltarmos ao início, então

.J2 =p/q = 2m/2n.

o 2m/21lpode ser simplificado dividindo o numerador e o de-nominauor por 2, c assim obtemos

.J2 = m/no

Agora temos uma fração m/n, que é mais simples do que p/q.

Contudo, agora nos encontramos em uma posição onde podemosrepetir exatamente o mesmo processo em m/n e no final podere-mos produzir uma fração ainda mais simples, chamada fI/h. Esta

296 o ÚI:I'IMO TEOHEMA DE FEHMATAI't::NIJlCEH 297

Apêndice 3: O Enigma da Idade de Diofante Apêndice 4 : O Problema dos Pesos de Bachet

1/6 de sua vida, L/6, ele passou como menino,L/12 ele passou como rapaz,L!7 foi o período ~ntes dele se casar,5 anos depois seu filho nasceu,L/2 foi o tempo de vida de seu filho,4 anos ele sofreu antes de morrer.

Para pesar qualquer número inteiro de quilogramas de 1 a 40, amaioria das pessoas vai sugerir que são necessários seis pesos: I,2,4,8, 16,32 kg. Deste modo, todos os pesos podem ser obtidoscolocando as seguintes combinações em um dos pratos da balança:.

Vamos chamar de L a duração da vida de Diofante. Da charada te-mos um registro completo da vida de Diofante, que é o seguinte:

1kg= 12kg=23kg = 2 + 14kg= 45kg= 4+1

A duração da vida de Diofante é a soma do que foi dito acima:

T, L L [.{'=(;+12+7+5+2"+4.

t\Okg """ J2 -I, X.

25L= 28L+9,

Contudo, se colocasse pesos em ambos os pratos da balança,de modo que alguns pesos pudessem ficar junto do objeto sendopesado, Bachet podia completar a tarefa usando apenas quatro pe-sos: 1, 3, 9, 27 kg. Um peso colocado no mesmo prato do objetosendo pesado assumc, efetivamente, um valor negativo. Assim ospesos podem ser obtidos como se segue:

Podemos então simplificar esta equação como se segue:

,;

3

28 L =9,28

L=3x9=84.

1kg= 12kg= 3 - 13kg= 34kg = 3 + 1Skg = 9 - 3 -1,

Diofante morreu com a idade de 84 anos.

40kg = 27 + 9 + 3 + 1.

~(

298 ,o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

Apêndice 5. A pemonstração de Euclides de queExiste uln N úmcro Infinito de lHos Pitag6ricos

Um trio pita~órico é um conjunto de três nÚmeros inteiros, de modoque um número ao quadrado, somado com o outro número ao qua-drado, seja igual ao' terceiro número ao quadrado. Euclides pôdeprovar que existe um número infinito desses trios pitagóricos.

A prova de Euclides começa com a observação de que a dife-rença entre quadrados sucessivos é sempre um número ímpar:

F 22 32 42 52 62 72 82 92 102...

1\ /4\ /9\ /16\ /25\ /36\ /49\ /64\ /8\ )00...3 5 7 9 11 13 15 17 19 ...

Em outras palavras,cada um dos infinitos números ímpares podeser somado a um número ao quadrado para criar outro número aoquadrado. lima fraçãodcsscH11\Ímerosímparcs podc ser eles mcsmosao quadrado, mas a fração do infinito também é infinita.

Portanto, existe uma infinidade de ímpares ao quadrado que podeser somada a um quadrado para criar outro número ao quadrado.Em outras palavras, deve existir um número infinito de triospitagóricos.

:'11,

J~

'111\

I~I~I

n

(

I\

I

I

\

APtNDlCES 299

Apêndice 6: Perdendo-se no Absurdo

Eis uma demonstração clássica de como é fácil começar com umadeclaração bcm simples c depois de alguns passos aparentementelógicos e diretos mostrar que 2 = 1.

Primeiro vamos começar com uma declaração inócua

a =b.

Então multiplicamos ambos os lados por a, obtendo

a2= ab.

Então somamos ll'l - Zab a ambos os Ia<Jos:

02 + 02 - 20b = ob + 07.- 2ab.

Isto pode ser simplificado para

2(a2-ab) =a2-ab

Finalmentc, dividimos ambos os lados por 02 - ab c obtemos

2 = 1.

A declaração original parece ser, e é, totalmente inofensiva,mas em algum ponto da manipulação da equação ocorreu umerro sutil, mas desastroso, que leva à contradição na declaraçãofinal.

De fato, o erro fatal aparece no último passo no qual ambos oslados são divididos por a2- ab. Nós sabemos, da declaração origi-~ t ,~ r. .,. . f. ?, , .. 4. .

JOO (I l'II:I'II'vIO 'l'EOHEMA DE FEHMA'I' AI'Í1:NDICES 301

E dividir qualquer coisa por zero é um passo arriscado, porquezero irá ao infinito um infinito número de vezes. E ao criar o infi-nito em ambos os lados, nós efetivamente destruímos ambas asmetades da equação, permitindo que uma contradição entrasse emnossO argumento

Este erro sutil é o tipo de coisa que pegou muitos dos concor-rentes ao Prêmio WoUskeh1.

Apêndice 7: Carta sobre o Prêmio Wo1fskehl

o Dr. E Schlichting foi responsável pela avaliação dos candidatosao Prêmio Wolfskehl na década de 1970.Esta carta foi escrita paraPaulo Ribenboim e foi publicada em seu livro 13Palestras sobre oÚltimo 'Jeoremade Fermat dando uma perspectiva única do traba-lho do comitê WoUskehl:

<,

Prezado Senhor

O número total de "soluções" apresentadas até agora aindanão foi contado. No primeiro ano (1907-1908),621 soluçõesforam registradas nos arquivos da Akademie e hoje temos 3metros de correspondência armazenados sobre o problema deFermat. Nas últimas décadas, temos lidado com isso da se-~lIintc mancira: o sccretário da /Jluult'",it. divide OHIIHIIIIIS-critos liue chegam CIOduas categorias:

(1) Absurdo completo, que é enviado de volta imediata-mente.

(2) Material que parece matemática.A segunda parte é enviada ao departamento de matemá-

tica e lá o trabalho de leitura, descoberta de erros e resposta édelegado a um dos assistentes científicos (nas universidadesalemãs estes são indivíduos graduados trabalhando para ob-ter seu Ph.D.) - no momento eu sou a vítima. Existem 3 ou4 cartas para responder todo mês e isto inclui um bocado dematerial engraçado e curioso, por exemplo, um sujeito man-dou a primeira parte da demonstração e promete a segundase pagarmos mil marcos adiantados. Outro me prometeu 1%do lucro que vai ter com a publicação e as entrevis tas para orádio e a TV depois que ficar famoso, desde que eu o apóieagora. Caso contrário ele ameaça enviar seu trabalho para umdepartamento de matemática da Rússia de modo a privar-nos

"

302 o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT 303APÊNDICES

Qua~ctodagag u~oluçõe~"são cscrila~num nívclllluito

elementar (usando noções de matemática do ginásio e talvezalguns trabalhos não-digeridos da teoria dos números), masi~(opo(k ser Iwm comj)licndodc cntcndcr. Socialmcntc OHCélll-

didatos são pessoas com uma educação técnica, mas uma car-

reira fracassada, e tentam obter sucesso com a demonstraçãodo problema de Fermat. Eu entreguei alguns manuscritos paramédicos que diagnosticaram uma esquizofrenia aguda.

Uma das condições do testamento de Wolfskehlera de quea A/wdemie deveria publicar o anúncio do prêmio todos os

anos nos principais periódicos sobre matemática. Mas depois

dos primeiros anos,.os periódicos passaram a se recusar a pu-blicar o anúncio, po.rque eles ficam atulhados de cartas e ma-nuscritos malucos.

Espero que esta informação seja do seu interesse.

Apêndice 8. Os Axiomas da Aritmética

Os seguintes axiomas são tudo o que se necessita como base daestrutura elaborada da aritmética:

1. Para quaisquer números me 11

m + 11 = 11 + m e mil = 11m.

2. Para quaisquer números 11l,n e k

(m + 11)+ k = m + (11+ k) e (ml1)k= m(nk).

Sinceramente,F.Schlichting

3. Para quaisquer números m, 11e k

m(n + h) = 11m+ mh.

4. Existe um número Oque possui a propriedade dc quc, para qual-qucr llíllllCro li,

11+ O= 11.

5. Existe o número 1 que tem a propriedade de que, para qualquernúmero ll,

11X1 = n.

6. Para cada número n, existe outro número k tal que

n + k =O.

7. Para quaisquer números m, n e k

304 o lJl:rI!\IO TEOHEMA DE FEHMAT AI'I~:NDIC'ES 305

A partir dc~sc~ axiomas outras rcgras podcm scr demonstra-das. Por exemplo, aplicando-se rigorosamente os axiomas e presu-mindo-se nada mais, nós podemos provar rigorosamente a regraaparentemente óbvia de que

Apêndice 9.A Teoria dos Jogos e o Truelo

11l+ O= n + O.

Vamos examinar as opções do Sr. Black. Primeiro, o Sr. Black podeatirar no Sr. Gray. Se ele acertar, então o próximo tiro será dadopelo Sr. White. O Sr. White só terá então um oponente, o Sr. Blaek,e eomo o Sr. White é um atirador perfeito, o Sr. Blaek será um ho-mem morto.

A melhor opção para o Sr. Black é atirar no Sr. White. Se cleacertar, o próximo tiro será dado pelo Sr. Gray. Mas o Sr. Gray sóacerta seu alvo duas vezes em cada três, e assim o Sr. Black teráuma chance de sobreviver para atirar no Sr. Gray e vencer o truelo.

Pareee que a segunda opção é a estratégia que o Sr. Black deveadotar. Contudo, existeuma terceira opção,ainda melhor. O Sr. Blackdeve atirar no ar. O Sr. Gray é o próximo a atirar e ele vai dispararcontra o Sr. White, porque ele é o inimigo mais perigoso. Se o Sr.White sobreviver, ele vai atirar no Sr. Gray, porque Gray é seu ini-migo mais poderoso. Ao atirar no ar, o Sr. Black está permitindoque o Sr. Gray elimine o Sr. White e vice-versa.

Esta é a melhor estratégia do Sr. Black. Finalmente, o Sr. Grayc o Sr. Whitc morrerão e então o Sr. Black poderá apontar contraaquele que sobreviver. O Sr. Black manipulou a situação de modoque, em vez de ser o primeiro a atirar num truelo, ele passa a ser oprimeiro a atirar num duelo.

se 11l+ k = n + k, então 11l= n.

Para começar podemos declarar que

m+k=1l+k.

Então, pelo axioma 6, façamos I ser um número tal que k + I =0, assim

(m + k) + I = (n + k) + I.

i;I

"

Então, pelo axioma 2,

m + (Il+ I) = 1l+ (h + I).

Tendo-se ém mente que h + I = 0,nós sabemos que

E aplicando o axioma 4 nós podemos finalmente declarar o quenos propusemos a demonstrar:

11l= n.

I'I

"

306 o ÚI:rIMO TEOREMA DE FERMAT API~NDICES 307

I80ma(11) == 211(11 + 1),

A(}êndice 10. Um Exemplo de Prova por Induçãoentão:

Osmatemáticos acham útil ter fórmulas que lhes dêem a soma dosnÍlmerosem uma lista.Neste casoo desafioé encontrar uma fór-mula que nos dê a soma dos primeiros números naturais n.

Por exemplo, a soma do primeiro número é 1, a soma dos pri-meiros dois nÚmeros é 3 (ou seja, 1 + 2), a soma dos primeirostrês números é 6 (1 + 2.+ 3) e a soma dos primeiros quatro núme-ros é 10 (1 + 2.+ 3 + 4), e assim por diante.

A melhor fórmula que parece descrever este padrão é:

Soma(Il + 1) == Soma (Il) + (Il + 1)I

80ma(11 + 1) == 211(11 + 1) + (1l+ 1).

Depois de rearrumarmos e reagruparmos os termos da direita,nós teremos

80ma(n + 1) ==~ (1l+ 1) [(1l+ 1) + 1].

180ma(11) == "2 11(n + 1).

É importante notar aqui que a forma desta nova equação é exa-tamente a mesma da equação original, exceto que cada 11foi subs-tituído por (11+ 1).

Em outras palavras, se a fórmula é verdadeira para 11,então elatambém deve ser verdadeira para 11+ 1.8e um dominócai,elevaiderrubar o seguinte. A prova por indução está completa.

Em outras palavras, se queremos encontrar a soma dos primeiros1l números, então basta colocar o número na fórmula acima e cal-cular a resposta.

A prova por indução pode mostrar que esta fórmula funcionapara cada número até o infinito.

O primeiro passo é mostrar que a fórmula funciona para o pri-meiro caso, 11==1. Isto é algo razoavelmente direto, porque nóssabemos que a soma do primeiro número é 1, e se entrarmos com11 == 1 na fÓrm IIla ohtemos () resultado correto:

. I

Soma(11) == '2 n(1l + 1)

50ma(I)== ~xlx(1 +1)SlIlIIa(l) == ~ x I x280ma(l) == 1.

o primeiro JOlllilló foi derrubado.O próximo passo de uma demonstração por indução é mostrar

q\ IC,se a f(írnlllla é verdadeira para qualquer valor 11,então ela tamhémdeve ser verdadeira para n + 1. Se

Sugestões para Leituras Posteriores..............

Ao pesquisar para este livro, usei numerosos livros e artigos. Alémdas fontes principais para cada capítulo, listei outros materiais quepodem ser de interesse tanto do leitor em geral quanto dos especia-listas no assunto. Quando o título não indica a importância, eudescrevo seu conteúdo em uma ou duas frases.

1. 'Y\cho que Vou Parar por Aqui"

"

'/'lu' l,asl I'robtcm, E. 'I: Bcll, 19CJO,Mathcmatical Associatioll ofAmeriea. Um relato popular das origens do Último Teoremade Fermat.

Pythagoras - A Short Account of His LiJe and Philosophy, LcslieRalph, 1961, Krikos.

Pythagoras-ALiJe, Peter Gorman, 1979,Routlcdge e Kegan Paul.A History of GreekMathematics, VaIs.1e 2, Sir Thomas Heath, 1981,

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Mathematical Magic Show, Martin Gardner, 1977, Knopf. Umacoleção de enigmas e charadas matemáticas.

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4. Mergulho na Abstração

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Uma série de histórias sobre matemáticos e matemática, in-cluindo um capítulo sobre Paul Wolfskehl.

The Penguin Dictionary of Cun'ousand blteresting Numbers, DavidWells, 1986, Penguin.

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5. Prova por Contradição

"Vutaka Taniyama and his time", Goro Shimura, Bulletin of theLondo1l Mathematical Society 21 (1989),186-196. Um relatobem pessoal da vida e do trabalho de Yutaka Taniyama.

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Epílogo: A Grande Matemática Unificada

'~ elementary introduction to the Langlands program", StephenGelbart, Bulletin oftheAmerican Mathematical Society 10 (1984),177-219. Uma explicação técnica do programa Langlands des-tinada a pesquisadores da matemática.

6. Os Cálculos Secretos

"Gcnius and Biographers; the Fictionalization of Evariste Galois",1: Rothman, AmeI: Math. Monthly 89 (1982), 84-106. Contémuma lista deialhada das fontes históricas por trás das biogra-fias de Galois e discute a validade das várias interpretações.

.. La vie d'Evariste Galois", Paul Depuy, A1l1lales Scie1ltifiques del'Ecole Normale Supérieure 13 (1896), 197-266.

Mes Mémoires, 1\1exandreDumas, 1967, Editions Gallimard.Notes 011Fennat 'sLust Theorem, Alfred van der Poorten, 1996, Wiley.

Uma descrição técnica da demonstração de Wiles destinada aestudantes de matemática não-graduados.

, I

(.'7. Um Pequeno Problema

"Modular eliptic curves and Fermat' s Last Theorem", AndrewWiles,AnuaIs of Mathematics 142 (1995), 443-551. Este artigo incluia maior parte da demonstração de Wiles da conjectura deTaniyama-Shimura e do Último Teorema de Fermat.

'1I

o ultimo teorema de fermat

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