Uma revisao de ondas unidimensionais para o ensino medio.Rafael Coelho Lopes de Sa

Para Fernanda, com todo meu amor.

1. Definicao

1.1. Preliminares matematicas. Vamos primeiro lembrar alguns fatos triviaissobre graficos de funcoes. Considere o grafico de uma funcao f(x) qualquer. Porexemplo, o abaixo:

Figura 1. Funcao f(x) = ex2.

O grafico da funcao f(xa) tera a mesma forma mas estara deslocado de a unidadespara direita.

Figura 2. Funcao f(x) = ex2

em vermelho e f(x3) = e(x3)2

em verde.

Da mesma forma f(x+a) tera seu grafico deslocado de a unidades para a esquerda.Gaste algum tempo pensando nesse resultado para nao confundir o que, a princpio,pode parecer anti-intuitivo.

1.2. Fenomenos ondulatorios. Uma onda e qualquer fenomeno que se desloqueno espaco com o passar do tempo. Na subsecao anterior, a funcao que teve seuargumento mudado, foi deslocada no eixo x; logo, esse parece ser o arcaboucomatematico correto para descrever uma onda.

Definicao 1. Uma onda e descrita por uma funcao f(xvt) se ela se desloca paraa direita ou f(x + vt) se ela se desloca para a esquerda com velocidade v.

Essa funcao f(xvt) pode ser qualquer grandeza fsica. Normalmente se traduzessa grandeza para uma forma de energia. Dito isso, e comum ouvirmos a definicao:

1

2

Onda e transporte de energia sem que haja transporte de massa.Manteremos, contudo, nossa definicao original, por ser mais funcional.

No caso mais geral, ondas podem se propagar em qualquer uma das tres di-mensoes espaciais, e o argumento seria f(x vt) com x, v vetores. Nesse pequenoresumo nos limitaremos a ondas unidimensionais. Ondas podem ser unidimension-ais porque o meio de propagacao e unidimensional, como perturbacoes em umacorda, ou por causa de caractersticas da fonte, como num laser.

Ha varias formas de se classificar ondas. Uma particularmente inutil e:Eletromagnetica: A energia que se propaga e eletromagnetica, isto e, asso-

ciada aos valores de campos eletricos e magneticos nao nulos. Esse tipo deonda recebe diversos nomes dependendo da frequencia (frequencia e umacaracterstica de ondas harmonicas). Os nomes mais comuns sao ondas deradio, infravermelho, luz, ultravioleta, raios x e raios gama.

Mecanica: Todo o resto.Ondas eletromagneticas nao precisam de materia para exisir, pois como dissemos,estao associadas a perturbacoes nos campos eletrico e magnetico.Ja ondas mecanicas sao transmitidas em meios materiais, pois estao associadas aomovimento de materia. Um exemplo classico e uma perturbacao numa corda. Essaperturbacao faz com que cada pedaco da corda oscile em um momento do tempo.Note que, como dissemos acima, a energia mecanica se propaga, mas cada pedacoda corda, embora saia torno de uma posicao de equilbrio por um tempo, volta aeste uma vez que a perturbacao passa.

Figura 3. Perturbacao numa corda.

Outro exemplo classico e o som. Imagine uma cadeia de pequenas massas e molasligadas uma a outra. Quando puxamos uma massa para fora da sua posicao deequilbrio, as molas comunicam essa perturbacao, que se propaga, criando regioesonde as molas estarao mais comprimidas ou mais esticadas. Claro que nao hamolas nos meios reais em que o som se propaga, mas sempre ha interacao entre asmoleculas que compoem o ar ou qualquer outro material.

Figura 4. Perturbacao numa mola

3

Quando essa vibracao atinge nosso tmpano, ela e transformada em sinais nervososque interpretamos como um som.

Isso nos leva a outra classificacao, tambem inutil:Longitudinais: A perturbacao e na mesma direcao da propagacao da onda.

Trasnversais: A perturbacao e perpendicular a direcao de propagacao daonda.

Assim, podemos dizer que a propagacao na corda vista acima e transversal, en-quanto o som e uma onda longitudinal. As ondas eletromagneticas, por uma car-acterstica da teoria eletromagnetica1 sao sempre transversais.

1.3. Ondas harmonicas. Ondas harmonicas sao ondas para as quais a funcaof(x vt) e periodica. Note que como o argumento da funcao sempre tem x e tjuntos, ela sempre vai ser periodica no espaco e no tempo. Esses perodos recebemnomes especiais:

Definicao 2. O perodo no espaco chama-se comprimento de onda.

Definicao 3. O perodo no tempo chama-se, na falta de um nome melhor, perodo.Ao inverso do perodo temporal (daqui para frente perodo sera sinonimo de perodotemporal, a nao ser que especificado diferentemente) da-se o nome de frequencia.

O caso mais simples de onda periodica que podemos estudar e com a funcao seno(onde eu estou escrevendo o caso de onda se deslocando para a direita, o caso paraa esquerda e completamente analogo) :

f (x vt) = A sin [k (x vt) + ] (1)Aqui podemos encontrar mais definicoes de nomes (desculpa, eu sei que e inutilficar criando nomes assim, mas eles existem, nao posso fazer nada).

Definicao 4. Chama-se de amplitude a maxima excursao de f a partir do seuponto de equilbrio. Na formula 1, a amplitude e dada pela constante A.

Definicao 5. A constate k, que tem dimensao de [L]1 (inverso de comprimento),e chamada numero de onda. Ela determina o perodo (espacial e temporal) doargumento da funcao seno.

Definicao 6. Chama-se de fase o argumento [k (x vt) + ] da funcao seno. Porcoerencia, a constante e conhecida como fase inicial.

Definicao 7. Essas classificacoes foram feitas para a senoide, mas podem ser facil-mente adapatadas a qualquer funcao. E comum dizermos que ondas harmonicascom funcoes f diferentes correspondem a timbres diferentes, ja que essa definicaocoincide com o uso comum em teoria musical.

Sabemos que o perodo do argumento da funcao seno e 2. Podemos usar issopara expressar o comprimento de onda e a frequencia em termos das constantesdefinidas acima. Para a parte espacial, o comprimento de onda sera entao:

k = 2 = 2k

(2)

Para a parte temporal, o perodo T sera:

kvT = 2 T = 2kv

=2

(3)

onde vale a definicao:

1Chamada tambem de teoria de Maxwell.

4

Definicao 8. A quantidade = kv da-se o nome de frequencia angular.

Sabendo que a frequencia f (algumas vezes tambem denotada pela letra grega) e o inverso do perodo, ainda podemos escrever:

= 2f (4)

Assim vale a relacao:

= 2f = kv =2

v v = f (5)

muito comumente utilizada na resolucao de exerccios. Agora podemos ver algunsexemplos. Veja o grafico no tempo para uma coordenada espacial fixa x = cte:

Figura 5. Grafico da onda no tempo.

Podemos claramente ler que o perodo da onda e T = 4s. A frequencia sera entaof = 1/4 = 0, 25s1. A unidade inverso de segundo s1 tambem e conhecida comohertz (Hz). Logo, f = 0, 25 Hz. No grafico tambem podemos ver, pela excursaomaxima no eixo vertical, que a amplitude e igual a A = 1. Veja agora o grafico noespaco para uma coordenada temporal fixa t = cte:

Figura 6. Grafico da onda no espaco.

Daqui tambem pode ler a amplitude, que obviamente devera ser igual a lida nografico anterior. O comprimento de onda sera = 5m. Com essas informacoespodemos escrever a funcao que descreve a onda. Para isso calculamos:

v = f = 5/4 (6)

k =2

=25

(7)

Aplicando na formula 1:

f (x vt) = sin[25

(x 5t

4

)](8)

A unica coisa que nao conseguimos determinar e a fase inicial , mas isso nao temimportancia ja que ela nao possui significado fsico. Ela representa apenas uma

5

referencia para a fase no instante e posicao inicial de medida. Escolhendo, pois,esse ponto adequadamente, sempre podemos faze-la com o valor que desejarmos.

Como dissemos, podemos imaginar ondas com timbres diferentes. Veja o seguintegrafico da funcao no espaco:

Figura 7. Grafico da onda nao-senoidal no espaco.

Embora nao tenhamos como saber qual a funcao f(x vt) especfica dessa onda,podemos ler facilmente no grafico que o comprimendo de onda e = 2m.

Um ultimo comentario antes de fecharmos a secao. A amplitude da onda temnormalmente unidades de energia, como discutimos no incio dessa notas. No en-tanto, e comum indica-la por uma unidade adimensional chamada decibel. Paraisso, consideramos uma amplitude padrao I0 e definimos que uma onda com am-plitude I tem a seguinte amplitude em decibeis:

10 logI

I0(9)

2. Condicoes de contorno

2.1. Modelos de velocidades de ondas. O que determina a velocidade da ondasao caractersticas fsica do meio em quem ela se propaga. Por exemplo, uma ondaeletromagnetica tem velocidade:

v =1

(10)

onde e a permissividade eletrica e e a permiabilidade magnetica do meio.2.Ja numa corda, sujeita a uma forca de T e com uma densidade linear de massa(massa dividido pelo comprimento) temos:

v =

T

(11)

2.2. Ondas em interfaces. Quando uma onda encontra uma interface, isto e,quando as caractersticas do meio mudam, acontecem dois fenomenos simultanea-mente: reflexao e refracao. Obviamente, as caractersticas relevantes sao aquelasque determinam a velocidade da onda. Logo, podemos definir da seguinte forma:

Definicao 9. Uma interface e caracterizada pela fronteira entre dois meios nosquais a velocidade da onda e diferente.

2Se adotarmos os valores do vacuo 0 e 0, o resultado e a velocidade da luz: c = 1/

00.Foi a observacao de que essas constantes nao dependem do referencial (afinal, sao constantes) quelevou Einstein a reformular a mecanica classica, criando a relatividade restrita.

6

A reflexao diz respeito a parte da onda volta que para o meio, isto e, se antesa onda era descrita por f(x vt) agora ela e descrita por g(x + vt). Ja a refracaose refere a parte da onda que passa para o proximo meio como h(x vt) (ondev e a velocidade nesse novo meio). As formas especficas de g e h dependem dascaractersticas fsicas dessa interface que determinam condicoes de contorno paraa onda. Isto e, as condicoes de contorno da interface determinam como a ondaincidente se separa numa parte refletida e numa parte refratada3.

Estudaremos condicoes de contorno somente para ondas em cordas, e mesmoassim qualitativamente, mas um estudo analogo pode ser feito para ondas em qual-quer meio. Particulamente para ondas eletromagneticas, o resultado sao as famosasEquacoes de Fresnel.

Suponha que uma onda numa corda encontre uma interface com uma outracorda de densidade maior. A porcao de massa da corda menos densa justamenteantes do encontro vai tentar imprimir na corda mais densa a mesma velocidadetransversal que ela possui. Contudo, como nao ha forcas externas, momento linear(quantidade de movimento) deve ser conservado e ela voltara, isto e refletira, commomento linear transversal na direcao oposta. Podemos ver no vdeo abaixo comoisso acontece:

Condicoes de contorno. Meio menos denso para mais denso.

Acelerado Normal Lento Pausa/Voltar

Usando o mesmo raciocnio podemos concluir que quando passamos de um meiomais denso para um menos denso, ha momento linear suficiente para que a ondarefletida nao precise ficar invertida. Veja no vdeo:

Condicoes de contorno. Meio mais denso para menos denso.

Acelerado Normal Lento Pausa/Voltar

Podemos pensar no caso extremo em que a corda esta presa a uma parede. Nestecaso, obviamente, toda a onda e refletida. Entretanto, se o ponto em que a cordaestiver presa for fixo, como um no, a corda refletira invertida. Se o ponto for solto,como um aro em torno de um mastro, ela voltara com a mesma orientacao.

3O estudo da refracao de ondas e mais interessante quando as ondas nao sao unidimensionais,

pois neste caso se observa um desvio da sua trajetoria. Nao discutiremos esse fenomeno aqui, jaque ele e amplamente abordado nos cursos de optica.

reflect1.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)

reflect2.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)

http://en.wikipedia.org/wiki/Fresnel_equations

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3. Efeito Doppler

Ate agora vnhamos considerando ondas em que a fonte e o observador estaoem repouso. Os efeitos de movimento podem ser facilmente observados na situacaocomum em que presenciamos uma ambulancia passar em alta velocidade com assirenes tocando. Sentimos uma frquencia maior, um som mais agudo, enquanto aambulancia se aproxima e uma frequencia menos, um som mais grave, quando elase afasta.

No entanto, como podemos ver na figura abaixo, nao e a frequencia que muda,e sim o comprimento de onda:

Figura 8. Efeito Doppler no caso de uma fonte em movimento.Isso e uma foto de um instante de tempo quando a fonte esta semovendo para esquerda. Note que o que muda e o comprimentode onda (espaco entre as linhas claras).

Vamos estudar primeiro o caso em que a fonte se move com velocidade vs. Nestecaso, no perodo T entre uma onda e outra, a fonte se aproxima ou se afasta doobservador vs T . Logo, se percebe um comprimento de onda efetivo diferente:

= vsT = vsf

=v

vs

f(12)

A frequencia efetiva sentida nesse caso sera entao:

f =v

=

vv

vsf

=(

v

v vs

)f (13)

onde as quantidade com apostrofo significam as quantidades medidas pelo obser-vador. Na formula acima o sinal e para quando a fonte esta se aproximando doobservador e o sinal + para o caso oposto.

Agora suponha que o observador esteja se movendo com uma velocidade vo. Elemedira uma velocidada diferente para onda, dada simplesmente pela Transformacaode Galileu usual:

f =v vo

=

v vov

=(

v vov

)f (14)

Onde o sinal + e para quando o observador se aproxima da fonte e o para quandose afasta.

Juntando as duas formulas podemos obter o resultado que desejavamos para ocaso geral:

f =(

v vov vs

)f (15)

Uma aplicacao interessante do efeito Doppler e em diagnosticos medicos. Suponhaque um aparelho de ultra-som jogue ondas sonoras nas arterias sanguneas de umpaciente. Como ja vimos, parte desse som vai ser refletido pelo sangue, que poderaentao ser considerado uma fonte em movimento. Se soubermos a frequencia real doaparelho de ultra-som e medirmos a frequencia efetiva medida, podemos aplicar a

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formula 13, e descobrir a velocidade com que o sangue esta fluindo para diagnosticarum possvel entupimento arterial.

4. Ondas estacionarias

4.1. Interferencia de ondas. Por vezes, varias ondas se propagam no mesmomeio e eventualmente elas podem estar num determinado instante perturbando ummesmo ponto. Quando isso acontece dizemos que ha uma interferencia de ondas.Neste caso, a onda sera descrita pela soma de cada perturbacao individual:

f(x vt) + g(x vt) (16)Podemos generalizar essa ideia e dizer que uma onda e uma soma arbitraria defuncoes do tipo f(x vt). Note que estivemos escrevendo o sinal no argumentodas ultimas formulas, mas esse sinal deve ser mudado para + para aquelas queestejam se deslocando para a esquerda. O vdeo abaixo mostra bem esse efeito.

Interferencia de ondas.

Acelerado Normal Lento Pausa/Voltar

4.2. Ondas estacionarias. Determinadas superposicoes de ondas podem gerarondas que nao se propagam. Estudaremos aqui, por simplicidade, o caso simplesde superposicao de ondas harmonicas senoidais em direcoes contrarias4:

A sin(kx t)A sin(kx + t) = 2A cos(kx) sin(t) (17)Perceba que o resultado e uma funcao, que embora ainda seja periodica no tempo

e periodica no espaco, nao mais se propaga. A esse tipo de onda chamamos ondaestacionaria. Novas definicoes sao comuns no estudo de ondas estacionarias. Con-sidere um instante fixo de tempo. A funcao de onda tera uma forma proporcionala cos(kx):

Figura 9. Onda estacionaria.

4Demonstrar essa igualdade trigonometrica e simples. Sabemos que:

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a)

sin(a b) = sin(a) cos(b) sin(b) cos(a)

Subtraindo as duas temos que:sin(a b) sin(a + b) = 2 sin(b) cos(a)

interference.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)

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Perceba que a onda estacionaria e uma sucessao de pontos fixos em zero, em(/2 + n)/k (basta descobrir quando a funcao coseno e zero, ou seja, quando seuargumento e /2 + n para n N), intercalados com pontos extremos (maximosou mnimos da funcao cosseno), em n/k

Definicao 10. Chamamos os pontos fixos em zero numa onda estacionaria de noou nodo. E os pontos extremos, isto e, maximos ou mnimos, de ventre.

Fora essas definicoes novas, a mesma nomenclatura de ondas harmonicas seaplica.

E facil fazer uma onda estacionaria com uma corda. Amarre uma ponta paredee segure na outra. Comece a balanca-la com frequencia constante. E possvel seobservar facilmente essa sucessao de nos e ventres descrita aqui. Vamos agora tentarentender porque essa experiencia resulta em uma onda estacionaria.

4.3. Condicoes de contorno. Quando estudamos condicoes de contorno paraondas em cordas vimos que quando a onda encontra uma parede, se a condicaode contorno for rgida, como em um no, a onda refletira completamente, e oscilarainvertida se propagando no sentido contrario. Essa e exatamente a situacao descritapor 17 e isso explica porque o experimento funciona.

De forma bem geral, podemos concluir que condicoes de contorno rgidas, comoum no na corda ou um condutor perfeito para ondas eletromagneticas, sempre re-sultarao em nos de ondas estacionarias.

Ja para a condicao de contorno oposta, como o aro em volta de um mastro ouum dieletrico perfeito para ondas eletromagneticas, a onda vai voltar com a mesmaorientacao e vai se somar a onda incidente, fazendo pois, um ponto de maximo (oude mnimo).

Tambem de forma bem geral, podemos concluir que condicoes de contorno soltassempre resultarao em ventres de ondas estacionarias.

4.4. Analise harmonica em tubos ressonantes. Esse resultado e bem interes-sante para entendermos o funcionamento de instrumentos musicais. Todo instru-mento musical tem uma caixa, ou tubo, de ressonancia que determina o timbre doinstrumento. No violao, e a caixa de madeira, na flauta e seu corpo oco, so paracitar dois exemplos. Esses tubos ressonantes nada mais sao que regioes onde temoscondicoes de contorno fixas. Como viemos fazendo ate agora, estudaremos tubosressonantes unidimensionais, onde precisamos apenas determinar as condicoes decontorno em seus dois extremos (o mundo unidimensional nao tem, pois, distincaode timbres dos instrumentos musicais).

Como vimos na subsecao anterior, condicoes de contorno rgidas ou completa-mente soltas formam ondas estacionarias. A exigencia de que, na fronteira, haja umno ou um ventre, selecionara frequencias determinadas para as ondas estacionariaspossveis dentro do tubo. E a essa seletividade que se da o nome de ressonancia.Podemos agora descrever como essa selecao acontece.

Suponha, por exemplo, uma flauta (de apenas um buraco, para simplificar) ondevoce sopra dentro e mantem a outra extremidade fechada, posicionando o dedosobre ela. Neste caso, a fronteira do seu dedo sera rgida e aquele ponto deveraser um no. Ja a fronteira da boca, por ter ar complementamente livre ali, serasolta e devera ser um ventre. Existem infitas formas de uma onda estacionariasatisfazer essas condicoes de contorno. A figura abaixo mostra as quatro de maiorcomprimento de onda.

10

Figura 10. Tubo ressonante fechado-aberto.

Vamos supor que esse tudo tenha comprimento l. No primeiro caso, de maiorcomprimento de onda, vemos que l e um quarto do comprimento de onda inteiro.Logo:

4l = f = v

=v

4l(18)

Essa componente de frequencia mais baixa, as pessoas chamam de frequencia, ounota, fundamental e e a essa frequencia que associamos os nomes do, re, mi, fa,sol, la e si. Ja no segundo caso, l corresponde a tres quartos do comprimento deonda, e logo:

4l3

= f = v

=3v4l

(19)

Esse processo pode ser generalizado de forma obvia notando que, a cada passagempara uma frequencia maior, adicionamos meio comprimento de onda. Com efeito:

l =(

n

2+

14

) f = v

=

(2n + 1) v4l

(20)

onde n N e n = 0 esta associada a frequencia fundamental. As componentes comvalores de n maiores, isto e, de maior frequencia, chamam-se harmonicos (se essaformula nao e obvia para voce, pare e pense ate ela ficar intuitiva).

Outra condicao de contorno possvel e ter as duas extremidades abertas, o quepode ser conseguido na flauta, tirando o dedo do buraco. Neste caso, em ambasfronteiras teremos ventres. E instrutivo que voce desenhe um diagrama analogo aoda figura acima mostrando a frequencia fundamental e os primeiros harmonicos.Feito isso, sera facil ver que a frequencia fundamental esta associada a uma ondacom comprimento de onda igual ao dobro de l, isto e:

= 2l f = v

=v

2l(21)

E considere um bom exerccio deduzir a formula para o caso de um harmonico emgeral.

f =(n + 1)

2(22)

Perceba que a razao entre a frequencia fundamental de um tudo aberto-aberto eum aberto fechado e dois. Notas que tem o dobro da frquencia sao ditas estaremcom uma oitava de diferenca. Logo, o barulho tpico da maria-fumaca que vemda abertura e do fechamento do exaustor do vapor, e composto de dois sons commesma nota, mas diferindo de uma oitava.

O ultimo caso, quando as duas fronteiras tem condicoes de contorno rgidas naopode ser visualizado com um instrumento de sopro (tente tocar uma flauta com um

11

dedo no buraco e com a sua lingua tampando a entrada de ar). Mas este e o casodos instrumentos de corda, como o violao ou o violino. Neste caso, um ponto fixoe o no da corda no cavalete e o outro e o seu dedo. Os dois terao que ser nos. Facao mesmo exerccio proposto para o caso aberto-aberto e descubra que a frequenciados harmonicos sera (faca o desenho):

f =(n + 1)

2(23)

onde novamente n = 0 esta associada a nota fundamental.Antes de terminar a secao vale dizer que o timbre sera dado pela superposicao

da nota fundamental com todos os harmonicos. Esse resultado matematico muitobonito de que qualquer onda harmonica (funcao periodica) pode ser decompostaem harmonicos (multiplos) de uma frequencia fundamental e devido a Fourier.

5. Dispersao, uma introducao

5.1. Dispersao. Ate este momento vnhamos considerando interferencia (super-posicao) de ondas que tinham as mesmas velocidades, embora pudessem ter frequenciaangular e numero de onda diferentes.

v =

k(24)

Um fenomeno interessante acontece quando ha intereferencia de ondas com ve-locidades diferentes. Suponha que facamos a superposicao das seguintes ondasharmonicas:

sin (kx t) + 12

sin[(

k k2

)x

(

2

)t

]+

12

sin[(

k +k2

)x

( +

2

)t

](25)

Note que a primeira onda tem velocidade v = /k. Ja a segunda e a terceira tem,respectivamente, velocidades v = ( /2)/(k k/2) e v = ( + /2)/(k +k/2) diferentes, que dependem de como varia com k. Usando a identidadetrigonometrica 4 podemos manipular a expressao acima para uma forma equivalente(embora seja facil, nao gaste muito tempo tentando deduzir isso, se concentre noresultado):

sin(kx t)[1 cos

(k2

x 2

t

)](26)

Veja abaixo a representacao grafica dessa superposicao num determinado instantede tempo:

Figura 11. Superposicao de ondas com velocidade dependendodo numero de onda.

12

A onda resultante e entao como se fosse uma onda[1 cos

(k2 x

2 t

)](a in-

voltoria pontilhada na figura) modulada na onda sin(kx t) (em linha solida nafigura). A informacao carregada pela onda completa estara na involtoria, comoveremos na proxima subsecao.

Varias conclusoes interessantes podem ser tiradas desse resultado. O compri-mento de onda x dessa involtoria e dado por 4/k (voce, nesse ponto, ja deveriaser capaz de ler isso imediatamente da formula 26, mas se nao, lembre-se que dadefinicao de numero de onda). Logo, podemos escrever:

x k = 4 (27)Se k variar conforme a propagacao da onda, isto e, se cada em cada ponto doespaco a dependencia da velocidade com o numero de onda for diferente, a largurado seu pulso vai variar de forma inversamente proporcional. A esse fenomeno da-seo nome de dispersao e aos meios onde isso acontece de meios dispersivos.

5.2. Velocidade de fase e velocidade de grupo. Outra consequencia interes-sante e que a onda involtoria que carrega a informacao tem velocidade diferente dasondas que a compoe. Sua velocidade sera:

vg =k

(28)

A essa velocidade chamamos de velocidade de grupo. Ja as velocidades de cadacomponente chamam-se velocidade de fase. Quando ouvimos um som, ou vemosum sinal de luz compostos de varias frquencias diferentes, e a velocidade de grupoque da a velocidade com que o sinal se propaga.

Conteudo

1. Definicao 11.1. Preliminares matematicas 11.2. Fenomenos ondulatorios 11.3. Ondas harmonicas 32. Condicoes de contorno 52.1. Modelos de velocidades de ondas 52.2. Ondas em interfaces 53. Efeito Doppler 74. Ondas estacionarias 84.1. Interferencia de ondas 84.2. Ondas estacionarias 84.3. Condicoes de contorno 94.4. Analise harmonica em tubos ressonantes 95. Dispersao, uma introducao 115.1. Dispersao 115.2. Velocidade de fase e velocidade de grupo 12

1. Definio1.1. Preliminares matemticas1.2. Fenmenos ondulatrios1.3. Ondas harmnicas

2. Condies de contorno2.1. Modelos de velocidades de ondas2.2. Ondas em interfaces

3. Efeito Doppler4. Ondas estacionarias4.1. Interferncia de ondas4.2. Ondas estacionrias4.3. Condies de contorno4.4. Anlise harmnica em tubos ressonantes

5. Disperso, uma introduo5.1. Disperso5.2. Velocidade de fase e velocidade de grupo