No cálculo, a integral[nota 1] de uma função foi criada originalmente para determinar

a área sob uma curva no plano cartesiano[1] e também surge naturalmente em dezenas de

problemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos os

instantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos os

instantes. 

O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.[2]

Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para a

integração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados

a limites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Estas

definições diferem porque existem funções que podem ser integradas segundo alguma

definição, mas não podem segundo outra.[1]

A integral indefinida também é conhecida como antiderivada.

Definição formal e notaçãoIntegral definida

Seja   uma função contínua definida no intervalo  . A integral definida desta função

é denotada como[3] :

Em linguagem

matemáticaEm português

 é a integral da função  , no intervalo entre   e  .   é o

sinal da integral,   é o integrando e os pontos   e   são os

limites (inferior e superior, respectivamente) de integração.

Onde 

 é uma função com domínio no espaço fechado [a,b]

(com  ) e com imagem no conjuntodos números

reais

Integrando a área de uma função abaixo de uma curva

Integral da função  sobre o intervalo  . O valor da soma de Riemann

truncada em   sub-intervalos é indicada por  .

A ideia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório[4] . Isto

porque, intuitivamente, a integral de   sobre o intervalo   pode ser entendida

como a soma de pequenos retângulos de base   tendendo a zero e altura  , onde

o produto   é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas

(áreas infinitesimais), fornece a área entre a curva   e o eixo das abscissas.

Mais precisamente, pode-se dizer que a integral acima é o valor limite da soma:[3]

Em linguagem matemática Em Português

A integral de   no intervalo [a,b] é igual

ao limite do somatório de cada um dos valores

que a função f(x) assume, de 0 a n,

multiplicados por  . O que se espera é que

quando n for muito grande o valor da soma

acima se aproxime do valor da área abaixo da

curva e, portanto, da integral de   no

intervalo. Ou seja, que o limite esteja definido. A

definição de integral aqui apresentada é

chamada de soma de Riemann, mas há outras

formas (equivalentes).

onde 

comprimento dos pequenos subintervalos nos

quais se divide o intervalo [a,b]. Os extremos

destes intervalos são

os números  .

onde 

Valor ("altura") da função   quando x é

igual ao ponto amostral  , definido como um

ponto que está no subintervalo   

(podendo até mesmo ser um destes pontos

extremos do subintervalo).

Uma integral definida pode ser própria ou imprópria, convergente ou divergente. Neste

último caso, ela representa uma área infinita.

Integral indefinida

A integral indefinida de   é a função (ou família de funções) definida por [5] [6] :

em que   é uma constante indeterminada e   é uma antiderivada de  ,

i.e.  . A notação   é lida como: a integral de   em relação

a  .

Teorema Fundamental do Cálculo

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece que se   for contínua em  ,

então[7] :

onde,   é uma antiderivada de  .

De forma mais geral, este teorema afirma que se   é uma função contínua em um

intervalo   então, para qualquer  , temos que:

é uma antiderivada de   definida para todo  . Ou seja:

.

Seja   é uma função não-negativa definida em um intervalo   e  . Para

cada ponto  , a área   sob o gráfico de   restrita ao intervalo   é

função de  , i.e.  . Neste caso, como consequência do Teorema

Fundamental do Cálculo temos que a derivada da área   é igual a função  ,

i.e.  .

Passo-a-PassoFórmula das Primitivas

Exemplo:

Cada membro da função é tratado como uma função em separado, para em

seguida ser efetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se

substitui o valor de X pelos valores do intervalo. Feito isso, usa-se o teorema do

cálculo para chegar ao valor da integral.

No intervalo (0,3)

Aqui usa-se a Fórmula da Primitiva em cada integral.

Gera-se a outra função, que será usada para substituir os valores

do intervalo.

Para x = 0

Para x = 3

Aplicação do teorema fundamental do Cálculo

Aproximações da integral de √x de 0 a 1, com ■ 5 amostras à direita (acima) e ■ 12 amostras à

esquerda (abaixo)

Exemplos de integraçãoEstas são as integrais de algumas das funções mais comuns:

 (Integral da função constante)

 (Integral da função f(x) = x )

Por definição a barra   é utilizada com o significado da

diferença 

Definições de integralPara definições do processo de integração mais rigorosas veja os links

abaixo:

Integral de Riemann

Integral de Lebesgue

Integral de Riemann-Stieltjes

Integral de Henstock–Kurzweil ou integral de Gauge

Notas

Em Portugal, a comunidade técnica utiliza integral como nome

masculino. Por exemplo: o integral de f (x) em [a, b].

Referências

1. ↑ Ir para:a b Charles Doss, An Introduction to the Lebesgue Integral, [em linha]

2. Ir para cima↑ John Radford Young, The Elements of the Integral Calculus: With Its Applications to Geometry and to the Summation of Infinite Series. Intended for the Use of Mathematical Students in Schools and Universities (1839), Section I, On the Integration of Differential Expressions of a Single Variable, Chapter I, Fundamental Principles of Integration, p.1 [google books]

3. ↑ Ir para:a b Stewart (2002), p. 378.

4. Ir para cima↑ W3C (2006), Arabic mathematical notation (em inglês)

5. Ir para cima↑ Piskounov, Nikolai Semenovich; Cálculo Diferencial e Integral; Edições Lopes da Silva; 12ª edição, 2002; 2 vols.

6. Ir para cima↑ Stewart (2002), p. 401.

7. Ir para cima↑ HOWARD, Anton. Cálculo - Volume 1. 8 ed. [S.l.]: Bookman, 2009. ISBN 9788560031634