FURB UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAUCCT - CENTRO DE CINCIAS TECNOLGICASDEET DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELTRICA E DE TELECOMUNICAES

Cursos de Engenharia Eltrica e Engenharia de Telecomunicaes Disciplina de Circuitos Eltricos IIIProf. Srgio Henrique Lopes Cabral

ANLISE DA CORRENTE DE ENERGIZAO DE UM CIRCUITO RL-SRIE, LINEAR, POR FONTE DE TENSO SENOIDAL, UTILIZANDO TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Considere um circuito RL-srie sendo conectado a uma fonte senoidal num instante considerado como t = 0, conforme mostrado na figura abaixo. Considere tambm que o circuito RL est na condio trivial de corrente inicial nula.

Circuito RL-srie energizado por fonte senoidal

Seja a expresso da tenso da fonte dada pela Equao

Onde Vm a amplitude mxima da tenso senoidal da fonte, a sua freqncia angular da rede eltrica e o ngulo da tenso no instante da energizao, t = 0. A expresso analtica da corrente do circuito, i(t), para t 0 pode ser obtida atravs de transformadas de Laplace. Para tanto, a expresso da tenso da fonte, no domnio de s (freqncia complexa) passa a ser V(s), dada por :

E como a corrente, no domnio da freqncia, s, obtida pela razo entre a tenso da fonte e a impedncia do circuito,ambas no domnio de s, a corrente , I(s), ter ento a seguinte expresso :

ou

Cuja transformada inversa pode ser mais facilmente calculada pelo uso da tcnica de expanso em fraes parciais:

Na qual os coeficientes a se determinar, A, B e C so obtidos a partir da comparao entre termos dos numeradores das duas expresses anteriores:

Logo,

Ou

Desta forma, o valor de A pode ser determinado por substituies sucessivas,

ou

,

Analogamente, B ,

e C,

Agora, voltando expresso de I(s) e substitudo os coeficientes A, B e C, calculados, tem-se que

Que no uma expresso muito agradvel, mas que pode ser mais bem arrumada...

melhor ainda...

Sendo que e que corresponde ao ngulo de atraso da corrente em relao tenso, em regime permanente. Note que isto implica que

E, ainda, que

Considerando as identidades trigonomtricas bsicas[footnoteRef:1] e lembrando que [1: sen(A B) = senA cosB senB cosA]

,

vemos que a expresso anterior pode ser ainda mais simplificada:

Cuja transformada inversa pode, agora, ser facilmente obtida:

Que, por sua vez, pode, tambm, ter seu aspecto melhorado...

,

Logo a expresso da corrente, no domnio do tempo, pode ser re-escrita como :

Melhor ainda. Sabendo que

,

Ento, a expresso mais geral da corrente pode ser , finalmente, dada por :

E essa expresso vlida para todo t maior ou igual a zero. Portanto ela vlida para os regimes transitrio e permanente. Para testarmos sua validade, podemos analisar sua resposta nos instantes t = 0 e quando t , tal como a seguir :

1) No instante t = 0, a expresso de i(t) torna-se em :

Como deveria ser, pois esta uma condio imposta pelo indutor, a de corrente ser nula em t = 0.

2) Quando t , a corrente torna-se :

E esta a corrente em regime senoidal permanente de um circuito RL. Note que o ngulo de carga e representa o atraso da corrente em relao tenso, que tem ngulo o que tpico de um circuito indutivo.

Feitos esses testes necessrios para comprovar a validade da expresso obtida, agora importante analisar seu resultado. Inicialmente, importante notar que corrente resultante composta de um termo dc, exponencialmente decrescente, que desaparece em regime permanente. Essa componente pode ser negativa ou positiva, de amplitude desde zero at 100 % da amplitude mxima. O aparecimento dessa componente vai depender do ngulo inicial da tenso da fonte, no instante do chaveamento. Por exemplo, na figura abaixo est o comportamento da corrente transitria e da tenso da fonte para um circuito RL-srie genrico, para = 0. Repare que a corrente apresenta uma componente transitria que some j aps o primeiro ciclo, mas que provoca uma elevao da corrente total. Essa elevao , alis, um fator relevante da importncia desse estudo, pois atravs do mesmo possvel prever eventuais sobrecorrentes na energizao de circuitos semelhantes.

Agradecimento :

acadmica da FURB, Srta. Sabrina Cordeiro, bolsista do Departamento de Engenharia Eltrica, pela prestimosa colaborao, na digitao deste trabalho.

8CONTRIBUIO DO ACADMICO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL ELTRICA, AGKNATON BOTTENBERG - Novembro de 2003