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Geometria Descritiva
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A distribuição de pontos sobre um campo visual pode ser geradora de formas, em função da disposição dos pontos.
1. Módulo Inicial
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O ponto como elemento visual é uma mancha pequena, de forma mais ou menos circular e de dimensões variáveis (maior ou menor)
1. Módulo Inicial
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1. Módulo Inicial
O PONTO COMO ELEMENTO GEOMÉTRICO
- elemento geométrico sem dimensão (assume a espessura do material riscador, por necessidade de representação gráfica);
- elemento cuja sequência e movimento gera a linha.
- geometricamente, identifica-se com letras maiúsculas (ex: A, B); A
BCA
BC
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1. Módulo Inicial
RECTA – quando não começa nem acaba em nenhum ponto conhecido.
- elemento geométrico gerado pela sequência e movimento rectilíneo do ponto;
- É unidimensional, tem apenas comprimento. Assume por necessidade de registo gráfico, a espessura do material riscador;
- geometricamente, identifica-se com letras minúsculas (ex: a, b); a
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Para definir uma Recta, é necessário conhecer:
- Dois pontos distintos nela contidos, ou;- Um ponto nela contido e a direcção relativa da
mesma;- O sentido de uma recta é positivo para a esquerda e
negativo para a direita.
1. Módulo Inicial
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1. Módulo Inicial
SEMI-RECTA – quando começa num ponto conhecido.
SEGMENTO DE RECTA – quando começa e acaba em pontos conhecidos.
A B
Ar
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1. Módulo Inicial
POSIÇÃO RELATIVA DE 2 RECTAS- RECTAS COMPLANARES (pertencentes ao mesmo
plano) poderão ser:
- Concorrentes, se se intersectarem num ponto.
- Paralelas, se nunca se encontrarem. a
b
a
b
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1. Módulo Inicial
- RECTAS ENVIESADAS (ou não complanares, não pertencem ao mesmo plano) nunca se encontram. Não têm nenhum ponto em comum e têm direcções diferentes.
a
b
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1. Módulo Inicial
PLANO- elemento gerado pelo movimento da linha;- tem duas dimensões, comprimento e largura;- geometricamente, identifica-se com letras do
alfabeto grego (.
r r1
r2r3
r1r2
r3
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1. Módulo Inicial
Para definir um Plano, é necessário ter:
- três pontos não colineares (isto é, não contidos na mesma recta), ou;
- uma recta e um ponto exterior a esta, ou;
- duas rectas concorrentes, ou;- duas rectas paralelas.
r A
A
BC
r ssr
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1. Módulo Inicial
POSIÇÃO RELATIVA DE RECTAS E PLANOS:- Um ponto pertence a um plano, quando pertence a
uma recta desse plano;- A recta pertence ao plano, quando todos os seus
pontos coincidem com pontos do plano;
r
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1. Módulo Inicial pág.14
- A recta é paralela ao plano, quando nenhum dos seus pontos toca a superfície do plano; a recta é paralela a uma recta do plano;
rr1
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1. Módulo Inicial
- A recta é concorrente com o plano, quando a recta intersecta o plano num ponto, isto é tem um ponto em comum com o plano;
r
A
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1. Módulo Inicial
- Planos paralelos – se nenhum ponto do primeiro plano coincidir com um ponto do segundo; geometricamente, basta que um dos planos contenha duas rectas concorrentes entre si ou paralelas, mas, em ambos os casos, paralelas ao outro;
ab
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Planos concorrentes – se os planos se cruzarem; nesta situação, o elemento comum de intersecção é uma recta.
1. Módulo Inicial
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1. Módulo Inicial
PERPENDICULARIDADE DE RECTAS E PLANOS:
- Se os quatro ângulos formados por duas rectas concorrentes forem iguais, estas dir-se-ão PERPENDICULARES.
90º
90º
rs
90º
90º
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1. Módulo Inicial
- Se uma recta é concorrente com um plano, poderá ser perpendicular a esse plano, se for perpendicular simultaneamente a duas rectas concorrentes desse plano, caso contrário, a recta é oblíqua ao plano.
a
b
r
a
r
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1. Módulo Inicial
- Se um plano é concorrente com outro, poderá ser perpendicular a esse plano, caso contenha uma recta que lhe seja perpendicular.
r
r
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1. Módulo Inicial
Rectas ortogonais a um plano (referencialmente ao plano).
Rectas oblíquas em relação a um plano.
r1
r2
r3
s 1
s 2
s 3
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1. Módulo Inicial (pág. 22 até 25)
SUPERFÍCIEUma superfície é o lugar geométrico das posições sucessivas que uma linha ocupa quando se move no espaço segundo uma determinada regra ou lei.
Geratriz ( g ) – recta cujo movimento gera a superfície.
Directriz ( d ) – regra, ou lei, que rege o movimento da geratriz.
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1. Módulo Inicial
Superfícies abertas Superfícies fechadas
As superfícies podem ser abertas ou fechadas, conforme a sua directriz seja uma linha aberta ou fechada.
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1. Módulo Inicial
Superfícies regradas e superfícies não regradas.
Resulta da deslocação de uma recta (geratriz).
Resulta da deslocação de uma linha curva (geratriz).
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1. Módulo Inicial
Superfícies cónicas, cilíndricas, piramidais e prismáticas
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1. Módulo Inicial
Superfícies cónicas, cilíndricas, piramidais e prismáticas
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1. Módulo Inicial
Superfícies cilíndrica de revolução
Superfície cónica de revolução
Superfície esférica
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1. Módulo Inicial
SÓLIDOS O sólido geométrico é uma forma limitada por porções de superfícies, planas e/ou curvas.
De entre os sólidos que são exclusivamente delimitados por superfícies planas chamam-se poliedros.
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1. Módulo Inicial
POLIEDROS Os Poliedros são sólidos geométricos limitados por porções de superfícies planas. As pirâmides e os prismas são poliedros.
POLIEDROS REGULARES (Quando as faces do Poliedro são todas iguais).
Tetraedro Cubo Octaedro Icosaedro Dodecaedro
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1. Módulo Inicial
Pirâmides são poliedros de faces triangulares, cuja base pode ser um polígono qualquer.
Prismas são poliedros limitados por duas bases poligonais e por faces laterais.
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POLIEDROS IRREGULARES (Quando as faces do Poliedro não são todas iguais).
Pirâmide obliqua Pirâmide recta Prisma obliquo Prima recto
1. Módulo Inicial
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Cones oblíquos Cilindros oblíquos
1. Módulo Inicial
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1. Módulo Inicial
Secções – linha ou superfície divisória segundo a qual se cortam uma superfície ou um sólido.
Pág. 33 e 34
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Quando vamos ao cinema, quando vemos imagens na televisão, quando folheamos uma revista, ou um livro com gravuras, não nos preocupamos com a natureza das imagens que estamos a "visualizar".
As figuras são planas, mas os objectos que se apresentam diante de nós, são visualizados como tendo três dimensões. Isto parece-nos tão natural que não reflectimos sobre este facto: numa superfície plana, bidimensional, estão representados objectos tridimensionais.
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Desde a pré -história, o problema da representação plana de objectos a três dimensões, esteve sempre presente. Tudo começou quando o homem teve a ideia de traçar sobre uma rocha, figuras humanas, animais ou simples grafismos, no interior das cavernas ou mesmo ao ar livre como podemos apreciar aqui em Portugal no Vale do Coa.
Podemos pois dizer que o desenho tem ocupado, desde as épocas mais remotas, um papel importante como meio de expressão e comunicação entre seres humanos.
A evolução das técnicas e dos suportes possibilitou as diversas formas de desenho que se adaptaram melhor às necessidades criativas dos homens.
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Podemos dividir a geometria em três ramos:- A geometria plana que estuda as linhas, figuras e
formas existentes no plano;- A geometria no espaço, que estuda as linhas,
figuras, planos e sólidos no espaço;- A geometria descritiva, que estuda a representação
no plano da linhas, figuras, planos e sólidos no espaço.
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Geometria Descritiva é:
“Representar com exactidão, sobre desenhos que só têm duas dimensões, os objectos que na realidade têm três e que são susceptíveis de uma definição rigorosa”. Gaspard Monge
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2. Introdução à Geometria Descritiva
O Seu autor foi:O Seu autor foi:
Gaspar Monge, matemático, Gaspar Monge, matemático, físico, químico, militar, físico, químico, militar, industrial e pedagogo.industrial e pedagogo.
Introduziu em 1975 dois Introduziu em 1975 dois planos de projecção planos de projecção
perpendiculares entre si, perpendiculares entre si, para descrição gráfica de para descrição gráfica de
objectos sólidos.objectos sólidos.
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Para que serve?
Com o Método da Geometria Descritiva é possível representar, sobre um plano, as figuras no espaço. De facto, por meio do desenho de projecções, são realizadas operações gráficas com raciocínios e soluções próprias da geometria plana.
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Noção de Projecção A projecção de um objecto numa superfície plana acontece
quando as rectas projectantes que passam pelos vários pontos do objecto intersectam a superfície plana onde se pretende projectar o objecto. Os pontos de intersecção dessa superfície com as rectas projectantes definem a projecção do objecto.
2. Introdução à Geometria Descritiva
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Sistemas de projecção Um sistema de projecção é um conjunto de vários
elementos que nos permitem realizar a projecção de objectos, imagens ou entidades geométricas. Os elementos constituintes de qualquer plano de projecção são:
- O plano de projecção;- O centro de projecção;- As rectas projectantes.
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2. Introdução à Geometria Descritiva
- Sistemas de projecção- O plano de projecção;- O centro de projecção;- As rectas projectantes.
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Sistema de Projecção Cónica ou Central Se a distância do centro de projecção ao plano de
projecção é finita, as rectas projectantes são concorrentes entre si (no centro de projecção).
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Sistema de Projecção Paralela ou Cilíndrica
Se a distância do centro de projecção ao plano de projecção é infinita, as rectas projectantes são paralelas entre si.
Se as rectas projectantes são ortogonais ao Plano de Projecção, esta situação gera o Sistema de Projecção Ortogonal.
Se as rectas projectantes são oblíquas ao Plano de Projecção, esta situação gera o Sistema de Projecção Oblíqua.
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Múltipla Projecção Ortogonal
Pág.61
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Múltipla Projecção Ortogonal
Pág.61
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Axonometrias
Pág. 63
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Axonometrias
Pág. 63
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Projecção Triédrica A base deste método assenta na
constituição de triedros trirrectângulos de projecção, os quais são definidos por 3 planos de projecção mutuamente ortogonais: os planos horizontal, frontal e de perfil.
- PLANO HORIZONTAL – XY (plano 1) o qual é designado por (niu zero).
- PLANO FRONTAL – XZ (plano 2) o qual é designado por fi zero).
- PLANO DE PERFIL – YZ (plano 3) o qual é designado por (pi zero).
X
Z
Y
O
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Os três planos de projecção são a base de representação triédrica.
Definidos pela intersecção destes
planos, estão os três eixos de
coordenadas ortogonais X, Y e Z.
X
Z
Y
O
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Representação triédrica de um Ponto.
Coordenadas ortogonais são as distânciasdo ponto aos planos de projecção.
x – abcissa ou largura y – ordenada afastamento ou profundidade z – cota ou altura
A1 – projecção horizontal A2 – projecção frontal A3 – projecção de perfil
X
Z
Y
O
A
z
xy
A3
A1
A2
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2. Introdução à Geometria Descritiva
Dupla Projecção Ortogonal ou Representação diédrica
Pág.