daniel francisco as1

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Acstica de Salas

Licenciatura em Tecnologias da Msica

Programa para clculo acstico de salas

Daniel Francisco 2011521

Abril 2014

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Programa para clculo acstico de salas

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ndice

Pginas

1.Objectivos 4

2.Introduo terica 5

3.Salas materiais e dimenses 9

4.Procedimento prtico 14

5.Discusso de resultados 16

6.Concluses 19

7.Referncias bibliogrficas 20

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1.Objectivos

Desenvolver um programa para clculo das principais caractersticas acsticas de uma sala

O programa dever permitir calcular os seguintes parmetros

1. Modos da sala. Os resultados devem ser apresentados numa tabela com o nmero do modo e num grfico de frequncia em escala logartmica

2. Tempo de reverberao pelos mtodos de Sabine, Eyring, Millington, Fitzroy e Arau. Os clculos devem ser efectuados por bandas de oitava e apresentados

numa tabela e em grfico

5

2. Introduo terica

Salas e modos

As ondas acsticas esto constantemente sujeitas a diversos fenmenos acsticos -

reflexes, difraces, absoro, entre outros que esto intimamente relacionados com o espao

em que determinada fonte est inserida. Por exemplo, uma fonte posicionada dentro de uma sala

estar muito mais sujeita a estes fenmenos comparativamente a uma fonte em campo aberto, o

que implica uma maior dificuldade de predio acstica dentro de uma sala.

Enquanto o clculo de presses sonoras a diversas distncias para campo aberto passa

pela utilizao da equao de onda esfrica ( ( ) ( )), numa sala o modelo

matemtico complica-se, tendo surgido vrias teorias ao longo dos anos. Estas teorias tm em

conta a banda de frequncia em que se aplicam porque, para diferentes salas, diferentes

comprimentos de ondas representam diferentes implicaes. Esta diviso feita pela equao de

Schroeder que divide o espectro audvel em duas bandas:

Em que:

tempo de reverberao[s]

volume da sala[m^3]

A banda acima da frequncia de Schroeder tratada recorrendo a mtodos geomtricos

e estatsticos enquanto a banda abaixo recorre teoria ondulatria. Isto acontece porque em

frequncias mais altas acima da frequncia de Schroeder a densidade de modos a ser

considerada seria de tal ordem elevada que as interaces acsticas seriam demasiado difceis

de prever. Por outro lado, abaixo da frequncia de Schroeder, a densidade de modos menor, o

que leva a um menor nmero de interaces nesta banda. No entanto esta zona mais

problemtica porque havendo menos interaces mas sendo estas destrutivas ou construtivas

geram-se picos de amplitude na resposta em frequncia da sala:

Fig. 2.0 Diviso da resposta de uma sala em duas bandas

6

por isto que a banda abaixo da frequncia de Schroeder ser a mais problemtica no

que diz respeito aos modos de uma determinada sala e que merece uma especial ateno. A

frequncia de Schroeder d-nos tambm informaes sobre as dimenses acsticas da sala, por

exemplo, uma sala que possua uma frequncia de Schroeder abaixo do espectro audvel pode

designar-se de acusticamente grande, o que representar menos problemas a nvel dos modos.

Por outro lado, uma sala mais pequena tem maior tendncia para apresentar mais problemas de

modos.

Os modos de uma sala podem dividir-se em 3 grupos:

1. Modos axiais reflexo entre duas superfcies

2. Modos tangenciais reflexo entre quatro superfcies

3. Modos oblquos reflexo entre seis superfcies

Os modos axiais so por norma os mais problemticos porque, como percorrem uma

menor distncia (apenas duas superfcies) no sofrem tanta absoro nas superfcies e, por isso,

as interaces entre si sero mais evidentes e geradoras de picos de amplitude. Neste sentido,

importante evitar salas com medidas de comprimento, altura e largura semelhantes (sala cbica)

porque leva a que todos os modos axiais gerados sejam a uma mesma frequncia. As

frequncias dos modos de uma sala podem ser calculadas a partir da seguinte equao:

( )

( )

( )

Em que:

velocidade do som[m/s]

Nmero dos modos nas 3 dimenses

Dimenses da sala nas 3 dimenses

Tempo de reverberao

O tempo de reverberao uma das caractersticas mais importantes para caracterizar

acusticamente uma sala e definido pelo tempo (em segundos) que o som demora a decair 60

dBs. Esta caracterstica pode ser medida ou pode ser calculada e, apesar de serem diversas as

formas de clculo deste parmetro, todas entram com o conceito da absoro. A absoro

caracteriza-se pela energia que fica contida em determinada superfcie aquando uma refleco

num objecto. Diferentes materiais possuem diferentes coeficientes de absoro que tambm

variam consoante a banda de frequncias em questo, o ideal numa sala que o tempo de

reverberao seja constante em funo da frequncia.

As equaes de predio de tempo de reverberao em estudo neste trabalho foram a de

Sabine, Eyring, Millington, Fitzroy e Arau.

7

Sabine

Foi deduzida experimentalmente por Wallace Clement Sabine e foi a primeira equao

para clculo do tempo de reverberao (1902). Esta equao esteve na base da criao de

algumas das equaes posteriores.

Em que:

volume da sala[m^3]

coeficientes de absoro

superfcies da sala[m^2]

Eyring

Foi deduzida por Eyring e Norris em 1930. Eyring considerou a equao de Sabine

apenas aplicvel a salas reverberantes e que no seria rigorosa em salas com maior absoro.

Eyring considerou uma dependncia logartmica ao coeficiente de absoro de Sabine:

( )

Em que:

superfcie total da sala[m^2]

Millington

Millington e Sette partiram do mesmo pressuposto do que Eyring, no entanto, a equao

diverge na forma como feita a multiplicao entre as vrias superfcies e os coeficientes

correspondentes.

( )

8

Fitzroy

Fitzroy foi o primeiro (1959) a apresentar uma frmula de clculo para o tempo de

reverberao que entrasse em conta com a geometria da sala. Ele definiu 3 tempos de

reverberao para cada uma das dimenses (x, y e z) de uma determinada sala:

(

( )

( )

( ))

Em que:

superfcies totais de pares de paredes paralelas[m^2]

mdia aritmtica dos vrios coeficientes existentes no par de superfcies paralelas

Arau

Mais tarde em 1988 Arau tambm introduziu uma equao que entra com as vrias

dimenses da sala. Esta equao destaca-se da de Fitzroy acima de tudo pela existncia de uma

ponderao sob os coeficientes de absoro consoante a superfcie considerada:

(

( ))

(

( ))

(

( ))

Em que:

mdias geomtricas dos coeficientes de absoro de cada par de superfcies

Nota: todas as equaes excepo da de Sabine so mais direccionadas a salas acusticamente

grandes. Isto implica que nestas equaes no sejam consideradas absores de outras

superfcies alm de paredes, cho e tecto. Como as salas em considerao (0.60, 0.63 e 0.64) so

pequenas, a influncia da absoro dos objectos no deve ser desprezada, no entanto deve ser

inserida atravs da equao de Sabine. Tomando como exemplo um tempo de reverberao

calculado pela equao de Eyring ( ):

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3.Salas materiais e dimenses

0.60

Sala

4 paredes + tecto gesso

Cho madeira

Objectos considerados

36 mesas aglomerado de madeira

1 quadro porcelana

11 cortinas tecido 5mm, 50% fole

10 pessoas ----

Fig. 3.0 Dimenses e objectos da sala 0.60

10

0.63

Sala


Cho alcatifa



2 quadros porcelana

2 vidros vidro

10 pessoas ----


11

0.64

Sala


Cho alcatifa



1 vidro vidro

2 pessoas ----


12

Materiais

Bandas de oitava

Objecto Material usado 125 250 500 1000 2000 4000

Paredes/tecto Gypsum board 0.29 0.1 0.05 0.04 0.07 0.09

Cho (0.60) Floor: wood 0.15 0.11 0.1 0.07 0.06 0.07

Cho (0.63&0.64) Carpet: heavy on

concrete 0.02 0.06 0.14 0.37 0.6 0.65

Cortinas Drapes: cotton, draped

to1/2 area 0.07 0.37 0.49 0.81 0.65 0.54

Mesas Plywood 19mm(3/4") 0.2 0.18 0.15 0.12 0.1 0.1

Quadros Glass: ordinary

window 0.35 0.25 0.18 0.12 0.07 0.04

Vidros Glass: large panes,

heavy glass 0.2 0.18 0.15 0.12 0.1 0.1

Pessoas (valor de cmara

reverberante) -------- 2 3 4 5 5 4

Fig. 3.3 Tabela com os coeficientes de absoro considerados

Como no foi encontrado o valor dos coeficientes de absoro para o material original

dos quadros (porcelana) foi aproximado ao coeficiente de uma janela de vidro.

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4. Procedimento prtico

Este captulo ir contemplar as principais particularidades do cdigo implementado em

Matlab.

Tratamento de matrizes

C = excel(1,1) L = excel(1,2) A = excel(1,3) v = prod(excel(1,1:3));

excel(:,1)=[]; excel(1,:)=[]; excel(isnan(excel))= 0;

paredes = horzcat(excel(1:8,:),excel(9:16,:),excel(17:24,:)); objectos = excel(25:32,:); paredes( ~any(paredes,2), : ) = []; %rows paredes( :, ~any(paredes,1) ) = []; %columns objectos( ~any(objectos,2), : ) = []; %rows objectos( :, ~any(objectos,1) ) = []; %columns

S_paredes = sum(excel(1,:))+sum(excel(9,:))+sum(excel(17,:));

Depois do armazenamento na varivel excel so retirados os valores de

comprimento, largura e altura que esto em posies especficas e de imediato calculado o

valor do volume da sala. De seguida, so eliminados todos os valores da primeira linha e

primeira coluna que no possuem informao til para o clculo do tempo de reverberao. So

ainda convertidos para 0 e, posteriormente, apagados todos os NaN (Not-a-Number). Isto

significa que toda a informao no numrica ou espaos que no sero preenchidos pelo

utilizador no ficheiro de Excel so convertidos para zero e depois apagados para no afectarem

o tratamento das matrizes e consequentemente os resultados finais. Estes valores no so

apagados de imediato porque isso teria implicaes na forma como a matriz est organizada.

So depois criadas duas novas matrizes (paredes e objectos) que separam a matriz

inicial (excel) nos dados para as superfcies das paredes, tecto e cho da sala e objectos,

respectivamente. feita uma concatenao horizontal e so eliminadas as colunas e linhas de

zeros e as matrizes passam a apresentar a seguinte disposio:

paredes =

15.0660 79.5920 12.5550 56.2530 73.7124 73.7124

0.0700 0.2900 0.0700 0.2900 0.1500 0.2900

0.3700 0.1000 0.3700 0.1000 0.1100 0.1000

0.4900 0.0500 0.4900 0.0500 0.1000 0.0500

0.8100 0.0400 0.8100 0.0400 0.0700 0.0400

14

0.6500 0.0700 0.6500 0.0700 0.0600 0.0700

0.5400 0.0900 0.5400 0.0900 0.0700 0.0900

objectos =

18.5640 2.4000 10.0000

0.2000 0.3500 2.0000

0.1800 0.2500 3.0000

0.1500 0.1800 4.0000

0.1200 0.1200 5.0000

0.1000 0.0700 5.0000

0.1000 0.0400 4.0000

Esta disposio til porque para fazer a multiplicao das superfcies pelos

coeficientes de absoro bastar multiplicar a primeira linha de cada matriz pela restantes

linhas, sendo que a posio da linha varia consoante a varivel do ciclo for. Assim, para cada

volta no ciclo calculado o tempo de reverberao pelas vrias equaes para uma banda.

feito um total de 6 voltas para as 6 bandas de oitava definidas.

Para o clculo da frequncia de Schroeder foi utilizada uma mdia dos tempos de

reverberao dado pela equao de Sabine para a sala 0.60 esta mdia de 0.6664 segundos.

Clculo dos modos

fs = 2000*sqrt(Tr/v);

max_length = max(C,max(L,A)); modo_max = round((fs/(c/2))*max_length)

array_freq = []; modos = [];

for nx = 0:modo_max for ny = 0:modo_max for nz = 0:modo_max fmx = (c/2)*sqrt((nx/C)^2+(ny/L)^2+(nz/A)^2); if fmx

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Comeou-se por calcular a frequncia de Schroeder e, de seguida, procedeu-se ao

clculo do nmero do ltimo modo axial. Quando a frequncia do modo axial das superfcies

mais espaadas for superior frequncia de Schroeder ento significa que todos os outros

modos no tero nmeros superiores. Este clculo foi feito para definir o valor mximo das

variveis dos ciclos, que representaro os nmeros dos modos.

Para o clculo dos modos foram utilizados 3 ciclos for (um por cada dimenso). Em

cada volta no ciclo mais interior calculada a frequncia do modo e caso esta seja inferior

frequncia de Schroeder armazenado o nmero do modo e a respectiva frequncia. Caso isto

no se verifique comuta para fora do ciclo e incrementa mais um valor no ciclo imediatamente

exterior, e por assim em diante.

Separao dos modos

while n

16

5. Discusso de resultados

Apesar de estarem includos no ficheiro Input.xlsx os dados para as salas 0.60, 0.63 e

0.64, esta discusso de resultados ser focada na sala 0.60. Foi escolhida esta sala para a

discusso de resultados por ser a nica das 3 em que j se fizeram algumas medies na UC de

Acstica de Salas, o que permitir estabelecer j algumas comparaes entre valores reais e

valores medidos.

Tempo de reverberao

Fig. 5.0 Grfico das curvas de TR das vrias equaes consideradas

Existe uma uniformidade dos valores calculados pelas vrias expresses, como seria de

esperar. A curva de Millington a que apresenta um maior desvio face s restantes, embora no

seja muito significativo visto que o desvio mximo de cerca de 0,1 segundos. As curvas esto,

em geral, coerentes com os resultados reais medidos cerca de 0,7 segundos. A mdia de todas

as curvas est em 0,64 segundos para a sala 0.60.

Se compararmos este tempo de reverberao com o tempo obtido para a 0.63 0.4946

segundos tambm se pode destacar a relao directa entre o volume de uma sala e o seu tempo

de reverberao. certo que o tempo de reverberao vai sempre depender dos coeficientes de

absoro dos materiais mas para salas com os mesmos coeficientes de absoro e diferentes

volumes ser a sala com o maior volume que apresentar o maior TR.

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Fig. 5.1 Tabela com os vrios TR obtidos para a sala 0.60

Modos da Sala

Fig. 5.2 Modos da sala 0.60

Como j foi referido na introduo terica, a densidade dos modos aumenta com a

frequncia, o que se pode confirmar com este grfico. Nas frequncias mais baixas no existe

tanta densidade de modos mas estes tornam-se mais problemticos exactamente por no

existirem tantas interaces.

A frequncia de Schroeder calculada para a sala 0.60 encontra-se nos 87 Hz. Se

compararmos com a sala 0.64 significativamente mais pequena que possui uma frequncia

de Schroeder mais alta (158 Hz) facilmente conclumos que ir formar mais modos e ter uma

tendncia para ser mais problemtica neste sentido:

18

Fig. 5.3 Modos da sala 0.64

19

4.Concluses

Os tempos de reverberao obtidos na sala 0.60 aproximam-se aos tempos reais medidos

O tempo de reverberao est intimamente associado aos coeficientes de absoro das diferentes superfcies. Quanto mais objectos/ superfcies, mais absoro e,

consequentemente, um tempo de reverberao menor

Apesar de depender dos coeficientes de absoro, uma sala com maior volume tem uma tendncia para apresentar um maior tempo de reverberao

Salas maiores tm, por norma, uma frequncia de Schroeder mais baixa apresentando, por isso, menos problemas de modos a frequncias mais sensveis ao ouvido humano

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5.Referncias bibliogrficas

Textos em suporte digital:

BERANEK, Leo.; Analysis of Sabine and Eyring equations and their application to concert hall

audience and chair absorption; Cambridge; 2002

NEUBAUER, R; KOSTEK, B; Prediction of the Reverberation Time in Rectangular Rooms with

Non-Uniformly Distributed Sound Absorption; Technical University of Gdansk

ARNET, Isabel; ROSSELL, Ivana; THEORETICAL AND PRACTICAL REVIEW OF

REVERBERATION FORMULAE FOR ROOMS WITH NON HOMOGENYC ABSORPTION

DISTRIBUTION; Universitat Ramon Llull

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