O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

HELIANE MARIZA GRZYBOWSKI RIPPLINGERPRODUÇÃO DIDÁTICA PEDAGÓGICA

UNIDADE DIDÁTICA:

O ENSINO DA GOMETRIA ESFÉRICA NO ENSINO MÉDIO: UMA ABORDAGEM METODOLÓGICA E TEÓRICA

JUL/2010

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO:

NOME: HELIANE MARIZA GRZYBOWSKI RIPPLINGER

NRE: CASCAVEL

MUNICIPIO: CAMPO BONITO

COLÉGIO: COLÉGIO ESTADUAL JOSÉ BONIFACIO

INSTITUIÇÃO: UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO

PARANA/UNIOESTE

ORIENTADORA: DRA.TÄNIA STELLA BASSOI

TEMA DE ESTUDO: GEOMETRIA ESFÉRICA

TITULO: O ENSINO DA GOMETRIA ESFÉRICA NO ENSINO MÉDIO: UMA

ABORDAGEM METODOLÓGICA E TEÓRICA

INTRODUÇÃO:

1.PORQUE ENSINAR GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA?

A tentativa de elaborar uma justificativa para a escolha do tema traz em seu bojo

discussões mais amplas de todo processo ensino/ aprendizagem, no trabalho com a

geometria euclidiana. Compreender o processo de sustentação axiomático dessa

geometria justifica o trabalho numa geometria não euclidiana, uma vez que a axiomática

desta é válido para todos os axiomas da euclidiana menos para o considerado, quinto

postulado. Portanto podemos considerá-la como um jogo em que somente uma regra é

modificada e, com as devidas transposições e cuidados didáticos pode ser trabalhada em

sala de aula.

Escolhemos neste trabalho elaborarmos atividades para sala de aula sobre os

conceitos básicos da geometria elíptica, mais pontualmente a geometria esférica.

As razões que nos levaram a escolher esse tema para alunos do ensino Médio são:

- A Geometria Esférica, como um caso particular de geometrias não euclidiana, ser

acessível para o trabalho com os alunos também em séries finais do ensino fundamental;

-O reforço dos conteúdos da geometria euclidiana, estabelecendo comparativos, de

acordo com Martos (2002);

- O documento das Diretrizes Curriculares de Matemática do Estado do Paraná (2008),

onde consta a sustentação da importância das Geometrias não-euclidianas e seu ensino;

Muitos problemas do cotidiano e do mundo cientifico só são resolvidos pelas geometrias não-euclidianas. Um exemplo são os estudos que resultaram na Teoria da Relatividade, em que a Geometria do espaço, usada por Albert Einstein, foi uma geometria não-euclidiana, de modo que conceitos, como “a luz se propaga ao longo de geodésias2 e a curvatura do espaço é determinada pela natureza da matéria que o preenche” (COURANT & ROBBINS apud PARANA, 2008, p.56).

- A importância do resgate da História da Geometria de forma geral, do surgimento e do

ensino da Geometria, na escola que oportuniza compreender a forma como a Geometria

é tratada na escola, atualmente.

- Os constantes avanços da ciência no que diz respeito à exploração do espaço,

especialmente os conceitos da Teoria da Relatividade de Albert Einstein, que se serviu de

conceitos da geometria não euclidiana, visto que o espaço é curvo;

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-Articulação com outras áreas do conhecimento, como Geografia, por exemplo, nos

conceitos de paralelos, meridianos, equador, hemisférios e pólos;

- A importância das imagens que permitem trabalhar com diferentes linguagens para o

ensino da Geometria:

Cabe enfatizar que a inferência das imagens visuais perdurou durante mais de 2000 anos até o surgimento dos modelos das Geometrias não-Euclidianas. Estes modelos foram os primeiros conjuntos de regras matemáticas passiveis de uma representação gráfica na forma de desenhos que não correspondiam ao esperado pela percepção visual e pelo senso comum. Dessa forma a importância de se trabalhar as Geometrias não-Euclidianas até mesmo na escola e, principalmente, no âmbito da licenciatura, reside no fato de se poder trazer o visualmente inesperado pra dentro da sala de aula. De se poder trazer desenhos relacionados a palavras habitualmente considerados com outros significados,ou seja, de se unir aspectos geométricos aparentemente antagônicos quando apresentados em diferentes linguagens.( KALEFF ,2004, p.32)

Os fatores que nos levaram a escolher esse tema foram:

- o gosto pessoal pelas Geometrias(s), buscando estudar/aprender e desenvolver

trabalhos e leituras relativos ao tema;

-a nossa pratica pedagógica de 27 anos, em sala de aula, como docente do Ensino

Fundamental e Médio;

- nossa trajetória na pós-graduação, tendo a produção escrita de monografia na

especialização, sob o titulo: “O estudo da simetria e sua aplicabilidade no ensino

fundamental” e a dissertação do Mestrado em Educação sob o titulo: “ A Simetria nas

práticas escolares”;

- atuando na formação continuada de professores, percebendo dificuldades no conteúdo

de geometria que os professores manifesta oral e espontaneamente;

-os momentos de formação propostos pela SEED, os grupos de estudos aos sábados, a

semana pedagógica, o próprio momento que a liberação para estudos (PDE) oportuniza,

entre outros;

- nossos empenhos pessoais na participação em eventos regionais, estaduais e

nacionais, como necessidade de investimento em nossa formação profissional,

concentrando para o assunto Geometria(s).

Como fundamentação teórica utilizamos autores como Coutinho, Martos, Kaleff,entre outros.

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2. A PRODUÇÃO ESCRITA E A SUSTENTAÇÃO TEÓRICA:

Ao nos reportarmos a esse tema, houve estudos iniciais de conceitos matemáticos

que embasam a teoria da geometria não euclidiana. Mas essa geometria não é acessível

ao aluno do ensino básico. Para tanto, recorremos a Chevallard (1996) como destaque

internacional e de Pais (2002), destaque nacional, sobre transposição didática.

Sobre o conceito de transposição didática entende-se como

Um conteúdo do conhecimento, tendo sido designado como saber a ensinar, sofre então um conjunto de transformações adaptativas que vão torná-lo apto a tomar o lugar entre “os objetos de ensino”. O “trabalho”, que de um objeto de saber a ensinar faz um objeto de ensino, é chamado de transposição didática. (CHEVALLARD apud PAIS, 2002, p.16)

Para tornar esse tema um objeto de ensino, um longo caminho foi percorrido entre

entender o conteúdo do conhecimento e chegar a “um objeto de saber a ensinar”.

Entre o material escrito em Matemática, pelos matemáticos e o processo

ensino/aprendizagem em sala de aula, existe um distanciamento. Essa passagem do

“saber” dos matemáticos, desenvolvidos nas academias, para o ensino que o professor

promove em sala de aula, é uma questão não simples. Ela é permeada pelo uso da

linguagem do professor ao ensinar seus alunos, pelo uso de materiais manipuláveis, a

própria formação do professor, o tempo didático disponibilizado. PAIS (2002) levanta a

questão quando discute:

Para o aluno ter acesso ao conhecimento, é necessário a colocação didática do problema da linguagem envolvida no saber cientifico. Nesse sentido, apesar de parecer evidente que o saber cientifico não pode ser ensinado na forma como se encontra redigido nos textos técnicos, essa questão se constitui num obstáculo que deve ser considerado no processo de aprendizagem. Essa é questão da formalização precipitada da linguagem cientifica. Para viabilizar a passagem do saber cientifico para o saber escolar, torna-se necessário um trabalho didático efetivo a fim de proceder a uma reformulação, visando a prática educativa. É necessário portanto recorrer a elaboração de uma forma didática, surgindo assim a importância de uma metodologia fundamentada numa proposta pedagógica.(p 22-23)

Nosso desafio aliado à necessidade de produzir/preparar atividades escritas,

visando introduzir o conteúdo, para (re) alimentar o processo ensino/ aprendizagem, no

estudo da geometria esférica é o que nos leva a pensar sobre a transposição didática,

pois

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...o trabalho do professor envolve um importante desafio que consiste em realizar uma atividade que é, num certo sentido, inversa daquela do pesquisador. Pois, enquanto o matemático elimina as condições contextuais de sua pesquisa e busca níveis mais amplos de abstração e generalidades, o professor de matemática, ao contrario, deve recontextualizar o conteúdo, tentando relacioná-lo a uma situação que seja mais significativa para o aluno. Todavia o contexto reconstituído nunca é o mesmo daquele em que o saber foi elaborado, pois, no meio cientifico,prevalece uma realidade totalmente distinta daquela da escola. Enquanto para o pesquisador o saber é o objeto principal de sua atividade, na pratica escolar o conhecimento é um instrumento educacional que tem natureza própria. São essas diferenças que fazem com que, em sala de aula, prevaleça sempre a existência de uma situação didática com toda sua especificidade pedagógica. (PAIS, 2002, p.28-29).

Ainda, sobre essa questão da linguagem utilizada pelo professor, ao se trabalhar os conteúdos matemáticos em sala de aula:

Assim, tanto pelo que se observa no decorrer da historia quanto na sala de aula,

passar-se da linguagem natural, aplicada ao cotidiano e ligada às representações matemáticas mais elementares, para uma linguagem que permita o surgimento de representações matemáticas relacionadas a concepções abstratas é um processo mental muito delicado o qual se mostra como um problema didático muito sério e que tem profundas conseqüências para o entendimento e desenvolvimento das Ciências. .(DUVAL apud KALEFF, 2004, p.32).

Como professora da rede pública do ensino, com uma experiência de mais de 25

anos, acreditamos que novos conteúdos devem ser incorporados adequados a uma

geração que vive novas experiências, diferentes modos de comunicação, de lazer, aliada

ao modo de vida diferenciada que requer o estudo de novos conceitos para compreender

melhor o mundo em que vivemos, um mundo de conquistas espaciais que se aventura

pelo espaço, que segundo Einstein é curvo. Portanto conhecer um pouco da geometria

não euclidiana, dos fractais, a teoria do caos, a teoria de grupos e grafos, por exemplo,

faz parte do conhecimento para se entender o universo atualmente.

Há muita insegurança de nossa parte ao iniciarmos um conteúdo novo e pouco

estudado, que deve ser aplicado. No inicio há até certa rejeição pelo fato e contestação

com relação ao pouco tempo que a escola disponibiliza para as aulas de Matemática. Um

argumento, ”é que professores do Ensino Fundamental e Médio apresentam uma grande

variedade de dificuldades relativamente ao uso de diferentes representações em registros

semióticos, quando confrontados com problemas introdutórios ao estudo das novas

Geometrias” (KALEFF, 2004, p.8) que aos poucos vamos superando pelo estudo e

conhecimento.

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Em nossa formação inicial, no curso de Matemática, inexistia a disciplina que

contemplava em sua ementa tópicos de Geometria não-euclidiana.

4.DESCREVENDO AS ATIVIDADES QUE COMPÕEM A UNIDADE DIDÁTICA

O que planejamos e escrevemos para desenvolver como atividades pedagógicas

são cinco elaborações.

Essas atividades são simples e aplicáveis em sala de aula no ensino médio, a

saber: construindo sobre a esfera, um “roteiro” para uma apresentação de vídeo, uma

historia em quadrinhos, trabalhando com balões cheios e vazios e produção de sombras

por projeção, por fim um jogo: ”Avançando com as geometrias(s), como forma de

memorização dos conteúdos trabalhados. Todas as atividades fazem uso de algum tipo

de material, com discussões e o suporte teórico dos conteúdos trabalhados. Discutindo as

questões, que os alunos vão problematizando, ao manipular o material e verbalizando,

trazendo para o grande grupo.

São as atividades pedagógicas escritas e planejadas, apoiadas no referencial

teórico encontrado, possíveis de serem desenvolvidas e discutidas com os alunos da

Educação Básica.

Na produção escrita descreveremos em cada uma delas: um resumo, os

conteúdos trabalhados, os objetivos, os materiais manipuláveis utilizados, o

encaminhamento teórico metodológico onde inclui o desenvolvimento do conteúdo e das

discussões possíveis no decorrer dessas atividades, avaliação e o referencial teórico.

Apesar de enumeradas, isso não indica a ordem em que as atividades devam ser

desenvolvidas com os alunos em sala de aula.O professor pode trabalhá-las

independentemente.

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ATIVIDADE 01:

CONSTRUINDO SOBRE A ESFERA

RESUMO: A atividade desenvolvida tem cunho investigativo, sendo que a mesma será

direcionada com questões para que os alunos ao desenvolverem a atividade, verbalizem

expressando aquilo que estão observando e comprovando, pela manipulação do material.

1.CONTEÚDOS:

Conteúdo estruturante: Geometria(s)

Noções básicas de Geometrias não-euclidianas

Conteúdo básico: Geometria esférica

Conceitos elementares: - triângulo esférico (definição e diferenças);

- soma dos ângulos internos do triângulo esférico;

- círculos máximos ou geodésicas;

-Distância entre dois pontos sobre a superfície

esférica;

2. MATERIAL DE APOIO:

Esfera de isopor, régua (não considerar a divisão em centímetros, apenas as distâncias iguais) e transferidor de papel, alfinetes, barbante e elástico, globo terrestre.

3. OBJETIVOS:

-Explicitar conceitos elementares de geometria plana, estabelecendo comparações com a

geometria esférica;

-Visualizar o triângulo na superfície esférica;

-Medir os ângulos internos do triângulo construído sobre a superfície esférica;

-Comparar a construção dos triângulos construídos sobre as duas superfícies, plana e

esférica;

-Propor uma construção possível do maior ângulo interno do triângulo esférico;

-Discutir as observações constatadas.

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4. ENCAMINHAMENTO TEÓRICO/ METODOLÓGICO:

Construir sobre a superfície esférica, usando alfinetes e elástico, um triângulo

eqüilátero. Para tanto é preciso recordar conceitos da Geometria Euclidiana, como

triângulo eqüilátero e a soma dos ângulos internos de um triângulo. Retomando o conceito

de triângulo eqüilátero: é um triângulo cujos lados e ângulos possuem medidas

congruentes. Temos ainda que nos triângulos traçados sobre superfícies planas, a soma

dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°. Como não temos o compasso para

superfície esférica usaremos nesta atividade a régua e o transferidor de papel, que são

instrumentos que permitem medir de forma aproximada, visto não termos materiais

adequados para tal procedimento. O que acontece quando traçamos triângulos sobre

superfícies esféricas? Ao construirmos sobre a superfície esférica, diferentes triângulos e

triângulos de diferentes tamanhos, vamos observando que nos triângulos, traçados sobre

a superfície esférica, seus lados ficam “arredondados”, ou seja, são formados por arcos.

Temos, então, uma definição do triângulo esférico:

Triângulo esférico: Sejam A, B, C três pontos distintos sobre uma esfera e não pertencentes a um mesmo circulo máximo, a figura formada pelos arcos de círculos máximos que une esses pontos dois a dois, chama-se triângulo esférico ABC. Um triângulo esférico será constituído por três arcos inevitavelmente tomados por três grandes círculos. (MARTOS, 2002, p. 72).

Passamos à classificação dos triângulos quanto aos lados e ângulos na geometria

esférica, recordando que seus lados são medidos em graus e não em medidas lineares,

como habitualmente o fazemos na geometria plana:

Assim, os triângulos esféricos classificam-se: Retângulo: um ângulo reto; Birretângulo:dois ângulos retos;e Trirretângulo:os três ângulos retos Quanto aos lados: Retilátero:um lado medindo 90° Birretilátero:dois lados medindo 90°, cada um; e Trirretilátero: cada um dos lados medindo 90°. (COUTINHO, 2002, p.79)

Discussões:

- Todos os alunos construíram triângulos parecidos? Do mesmo tamanho?

- Como são os lados dos triângulos? Desenhe.

- Se o triângulo é eqüilátero, na geometria esférica ele é eqüiângulo?

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- Com relação às medidas dos ângulos internos, construídos sobre a superfície esférica, o

que se pode observar?

-Como é a visualização do triângulo na superfície esférica? Como são seus “lados”?

Desenhe

- Construir triângulo, com três ângulos retos na superfície esférica, é possível?

Marque, com o auxilio de alfinetes e barbantes, 3 pontos sobre a superfície esférica e

explique como devem ser os vértices, para que seja possível construir um triângulo sobre

a superfície esférica com 3 ângulos retos.

Estique o elástico sobre a superfície para obter um círculo máximo sobre a esfera.

Depois, estique o elástico para formar outros círculos máximos. Observe e escreva suas

conclusões.

Forme triângulos na superfície esférica com alfinetes e elástico e observe o que

acontece se afastar progressivamente os vértices. E se os ângulos se inscreverem sobre

o equador imaginário da esfera? O que acontece com a soma dos ângulos internos nesse

caso?

5. AVALIAÇÃO:

As respostas dos alunos na atividade desenvolvida e suas perguntas serão consideradas

como formas de avaliação para possível reorganização da atividade.

6. REFERÊNCIAS

COUTINHO, L. Convite às geometrias não euclidianas. Rio de Janeiro: Editora

Interciência, 2001 p.75-79.

MARTOS, ZIONICE GARBELINI. Geometria não euclidiana: uma proposta metodológica

de Geometria no Ensino Fundamental. 2002. Dissertação (mestrado) Universidade

Estadual Paulista, Rio Claro, SP.

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ATIVIDADE 02:

“ROTEIRO DO VíDEO”

Resumo: O vídeo dimensions, video 1, trata essencialmente de conceitos relativos à

superfície esférica, círculos máximos, constando ainda de imagens onde é fácil a

visualização das secções da superfície esférica.

1.CONTEÚDO

Conteúdo estruturante: noções básicas de Geometria não euclidiana.

Conteúdo básico: Geometria elíptica

Conceitos elementares: Esfera

Conceitos referentes à superfície da Terra: Pólo,

Equador, Meridianos, Paralelos, Arcos, Geodésicas,

Círculos máximos e Círculos menores.

2. MATERIAL DE APOIO:Dimensions, vídeo 1, Televisão Pen drive, globo terrestre.

3. OBJETIVOS:

- Retomar e aprofundar conceitos da Geografia;

- Visualizar elementos importantes para compreender a Geometria esférica;

- Facilitar a compreensão e a leitura pelas imagens.

4. ENCAMINHAMENTO TEÓRICO/METODOLÓGICO

Notas sobre o vídeo:

Este sítio é de acesso livre. Nele há nove pequenos vídeos, com 120 minutos de

Matemática. O download é gratuito ou pode ser acessado on line. Este filme encontra-se

sob licença da Creative Commons e está disponível em varias línguas. Precisa fazer a

escolha do idioma. Se desejar assistir os filmes em inglês eles estão disponíveis em

isallaboutmath.com no sitio de Julio de la Yncera.

Quando clicamos na janela em detalhes, nos deparamos com as informações úteis

sobre os conteúdos dos capítulos dos filmes. O pequeno vídeo a que nos referimos nesse

trabalho, consta na pagina da internet, como capítulo um e chama-se Dimensions.

Roteiro para ser trabalhado antes dos alunos assistirem o filme:

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1)Anotem palavras cujo significado vocês desconhecem.

Roteiro para ser trabalhado após os alunos assistirem o filme:

2)Discuta com os alunos palavras desconhecidas, que apareceram no vídeo.

Quem sabe o que significa?

3)Quais desses conceitos, eles já tinham ouvido falar.

4)Em que disciplina esses conceitos foram trabalhados? Por exemplo, palavras como

paralelos, meridianos, superfícies esféricas, localização, latitude, longitude, planisfério,

hemisfério, são alguns conceitos que estão presentes no vídeo.

Fundamentação teórica:

Na geometria plana temos o ponto, a reta e o plano. Na geometria elíptica ou de

Riemann (1826- 1866) é adotado como “modelo” a superfície esférica. Assim ao

traçarmos a “reta”, que na verdade é um circulo máximo sobre uma superfície esférica,

ela é finita e um “arco”.

Riemann foi o primeiro a substituir a hipótese da reta infinita pela da reta ilimitada e afirmava “quando se estendem as construções do espaço ao infinitamente grande, necessitamos fazer a distinção entre o ilimitado e o infinito; o primeiro pertence as relações de extensão; o segundo as relações métricas”.(BONOLA, apud PATAKI e ALMOULOUD,2003 p.2).

Quando experenciamos o traçado desses “arcos” com auxilio de barbante sobre a

superfície esférica, observamos que na verdade temos é um circulo. Podemos observar

isso, verificando a sombra projetada por uma esfera que se denomina de circulo máximo.

Para explicar de forma fácil para os alunos, podemos usar de um recurso, o retro

projetor e a sua sombra projetada na parede. Ao projetarmos, a esfera, a sombra dela na

parede, o que se vê nada mais é do que o círculo máximo.

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Figura I- superficie esférica

www.ime.unicamp.br/~marcio/ps2005/hvetor14.htm

Ao trabalharmos com a superfície esférica, nos reportamos a Terra, e podemos

dizer que a superfície do globo terrestre é um “modelo” aproximado de superfície esférica,

pois é achatado nos pólos.

Então, quantas circunferências máximas têm a superfície esférica?

Como podemos definir círculo máximo? Coutinho (2002, p.74) diz que “os círculos

são máximos quando os planos que interceptam a esfera passam pelo centro da esfera”.

Assim Riemann provou a veracidade de quatro postulados de EUCLIDES, uma vez que, por dois pontos diametralmente opostos passam muitas circunferências máximas e ponto equivale a um par de pontos; a distância entre dois pontos é a medida do arco de uma circunferência, entretanto, o circulo que esses pontos determinam pode ser definido como um conjunto de pontos de uma superfície esférica que estão a uma distância fixa de um ponto, bem como todos os ângulos retos tem medidas iguais. (PATAKI e ALMOULOUD, 2003, p.2-3).

5. AVALIAÇÃO:

Após discutir questões envolvendo conceitos de que trata o filme, solicitar que os alunos:

-Escrevam um pequeno texto sobre o vídeo que assistiram;

-Desenharem o que compreenderam e nomeie os elementos;

-Usando o balão abaixo escrevam palavras-chaves do tema exposto pelo vídeo.

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6.REFERÊNCIAS:

BONOLA, R. Geometria no euclidianas: Exposicion histórico-critica de su desarollo. Buenos Aires. Espasa-Calpe Argentina, 1951.

DIMENSIONS. Disponível em: <www.dimensions-math.org/ 30/03/2010>. Acesso em:

24mar2010.

PATAKI, I. ALMOULOUD, S. Ag. Equador, Paralelos e Meridianos: apenas linhas imaginárias? São Paulo: PUC-SP, 2003.

ATIVIDADE 03:HISTÓRIA EM QUADRINHOS

Resumo: O gênero textual história em quadrinhos, é uma forma diferenciada de

apresentar um texto, mostrando uma introdução a história das geometrias não

euclidianas.

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1. CONTEÚDOS:

Conteúdo estruturante: Noções básicas de Geometria não euclidiana.

Conteúdo básico: Histórico aparecimento da geometria não euclidiana.

Histórico das geometria(s).

2. MATERIAL DE APOIO:

Texto da história em quadrinhos, apresentado pelo professor;

Desenhos da Historia em quadrinhos, feito pelos alunos.

3. OBJETIVOS:

-Conhecer os “caminhos percorridos” pela Geometria não euclidiana;

-Fazer leituras e interpretações dos desenhos.

-Conhecer as geometria(s);

-Discutir a partir da geometria euclidiana o surgimento das outras geometrias,

mostrando o início da formação dos conceitos em geometria;

4. ENCAMINHAMENTO TEÓRICO/METODOLÓGICO

Discutir com os alunos a história em quadrinhos apresentada:

Sobre o que ela trata?

Quais são os pontos que chamaram atenção?

Há alguns nomes de matemáticos em destaque, quais?

Construa, com auxilio da régua, uma linha do tempo e situe os fatos históricos,

relacionados com a Geometria esférica, relacionando aos nomes dos matemáticos

inclusive. Os quadrinhos apresentados são de autoria de Alan Picolli de Souza. Mas há

possibilidades de aprofundar o trabalho, trabalhando também com fragmentos do livro:

“As aventuras do Anselmo Curioso”, que consta na bibliografia.

Fundamentação teórica:

Na historia da Geometria, temos o matemático de Euclides, que viveu por volta de

300aC e escreveu uma obra conhecida como Os Elementos, composta por 13 livros. Esta

obra agrega a maioria do conhecimento do matemático daquela época. Importante dizer

também que neste livro, não constam apenas conteúdos de Geometria, mas também de

Álgebra e Aritmética.

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Vale ressaltar que historicamente, os Elementos de Euclides são a primeira

corporificação desse “método axiomático”.

O quinto postulado de Euclides pode ser transcrito, atualmente, como: “Por um

ponto P exterior a uma reta m, consideradas em um mesmo plano, existe uma única reta

paralela à reta m”. (AVILA, 2001, p. 5)

Em meados do século XIX, aceitou-se o surgimento das geometrias não

euclidianas, que se fundamentam na negação do quinto postulado de Euclides, não

significando que o quinto postulado não seja válido, mas aplica-se apenas às superfícies

planas.

“Surgem dois tipos clássicos de Geometrias não euclidianas: a Geometria

Hiperbólica e a Geometria Elíptica”. (COUTINHO, 2001, p. 27)

A Geometria não Euclidiana trabalha com modelos, aproveitando-se de superfícies,

nas quais podemos ver modelos para tais geometrias. (COUTINHO, 2001, p.27).

A geometria hiperbólica trabalha com os modelos como a superfície da pseudo-

esfera, o modelo de Klein, o Modelo de Poincaré e na geometria elíptica tem como

modelo a superfície esférica.

Foram os matemáticos húngaros Janos Bolyai(1802-1860) e o russo Nicokai

Ivanovich Lobachevski(1792-1856) que simultaneamente, mas sem saber um do outro,

que publicaram as geometrias que negam o postulado das paralelas, o quinto postulado

de Euclides dando origem às geometrias não euclidianas.

Mas o trabalho escrito dos dois matemáticos não foi ainda motivo de

convencimento para o mundo matemático da época.

Mais tarde, alguns matemáticos como Beltrami, Felix Klein (1849-1925) e Henri

Poincaré (1854-1912), exibiram modelos construído de Geometria não euclidiana,

apoiando-se na Geometria Euclidiana.

Foi o matemático alemão, Georg Bernhnard Riemann (1826- 1866), que contrariou

o quinto postulado de Euclides - “por um ponto fora da reta, existe uma única reta

paralela”. Riemann disse que não existem paralelas a uma reta dada. Visto que na

geometria esférica, as “retas” são círculos máximos.

Na Geometria esférica, postula-se que “por um ponto P fora da reta r, não existe

nenhuma reta paralela a reta dada”(COUTINHO,2002, p.27).

Assim, também apareceu com Riemann o termo “ilimitada”. A reta que na

geometria euclidiana é infinita, agora é denominada ilimitada.

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Na geometria elíptica, devido ao modelo utilizado ser a superfície esférica,

“quaisquer duas retas em um plano têm um ponto de encontro”(Postulado de RIemann)

(COUTINHO, 2001,p.65). Nesta geometria não existem retas paralelas e nem retas

secantes.

5. AVALIAÇÃO:

Nessa atividade a avaliação será realizada pela criação, desenho e elaboração de alguns

quadrinhos em branco, como mostra o modelo desta atividade. Ainda a explanação oral,

na leitura implícita no gênero textual descrito.

6. REFERÊNCIAS

AVILA, G. Euclides, geometria e fundamentos. In: Revista do Professor de Matemática,

SBEM, Rio de Janeiro, 2001, n° 45, 1° quadrimestre.

COUTINHO, L. Convite às geometrias não euclidianas. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2001.

PETIT, P.J. As aventuras do Anselmo Curioso: Os mistérios da Geometria. Lisboa:

Dom Quixote, 1982.

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Desenhos da História em quadrinhos, a ser desenvolvida pelos alunos.

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Texto da história em quadrinhos, apresentado pelo professor.

Autor: Allan de Souza Picolli.

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ATIVIDADE 04:

TRABALHANDO COM BALÕES

Resumo: A atividade desenvolvida tem cunho investigativo, sendo que a mesma será

direcionada com questões para que os alunos verbalizem expressando aquilo que estarão

vivenciando e fazendo comparações entre procedimentos e resultados na geometria

euclidiana e geometria esférica.

1. CONTEÚDOS

Conteúdo estruturante: Noções básicas de Geometria não euclidiana

Conteúdo básico: geometria esférica

Conteúdos elementares:

- conceito de triângulos, na geometria euclidiana

- soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, na geometria

Euclidiana

- conceito de Triângulo esférico e a soma das medidas de seus ângulos internos, na

geometria elíptica.

2. MATERIAL DE APOIO:

- Réguas e transferidores de papel, balões de borracha, transferidores, canetinhas

hidrográficas.

3. OBJETIVOS:

- Comparar os resultados obtidos ao medir os triângulos desenhados nos balões cheios e

vazios;

-Uso da régua (como elemento de referência de medidas iguais) e do transferidor;

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA/METODOLÓGICA:

Ao medirmos os ângulos internos do triângulo desenhado sobre a superfície dos

balões vazios e efetuarmos a soma, o resultado obtido é igual a 180°. Recordamos assim,

conceitos aprendidos da geometria euclidiana.

Ao enchermos de ar os balões de borracha, percebemos que houve alterações nos

ângulos. Medimos com o transferidor de papel e efetuando a soma dos ângulos internos

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não mais obtemos 180°. Nesse caso com o balão cheio verifica-se que a soma dos

ângulos internos é maior que 180° e perguntamos qual seria a causa de tal fenômeno.

Perguntamos se eles acham que tal fenômeno ocorreria em qualquer superfície “curva” ou

é coincidência. E no caso da área, o que poderiam hipotetizar? Qual a relação entre

ângulos e áreas nas duas superfícies, curva e plana?

5. AVALIAÇÃO: Será realizada observando a participação e verbalização dos alunos

no decorrer das atividades realizadas.

6. REFERÊNCIAS

COUTINHO, L. Convite às geometrias não-euclidianas. Rio de Janeiro: Editora

Interciência, 2001. p.75-79.

ATIVIDADE 05:

AVANÇANDO COM AS GEOMETRIA(S)

Resumo: esta atividade consiste em um jogo de duplas denominado “Avançando com as

Geometria(s)” retomando os conceitos trabalhados no decorrer das atividades descritas

anteriormente, como forma de memorização.

Para jogar o aluno precisa conhecer o conteúdo, para responder as perguntas e avançar

nas “casas”, possibilitando concluir o jogo como vencedor.

1. CONTEÚDOS:

Conteúdo estruturante: Geometria(s)

Conteúdo básico: Geometria esférica

Conteúdos elementares:

postulado de Rieman; curva na superfície esférica e discutir o conceito de geodésia; círculos máximos e círculos menores; distância na superfície esférica; ângulo esférico; triângulo esférico e a soma das medidas dos ângulos internos;classificação dos triângulos esféricos quanto a medida dos lados e dos ângulos; conceitos referentes a superfície da Terra:pólos, equador, meridianos,paralelos e as direções de movimento. (PARANÁ, 2008 p. 57).

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2) MATERIAL DE APOIO:

01 Tabuleiro do jogo para as duplas,

02 dados,

01 ficha pra cada aluno de cores diferentes, para marcar a movimentação no jogo.

3. OBJETIVOS:

- Revisar os conceitos de geometria Esférica;

- Memorização dos conceitos trabalhados;

4. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA/METODOLÓGICA

As questões propostas juntamente com as respostas, que constam no tabuleiro, do

jogo “avançando com as geometria(s), fazem parte do trabalho com o objetivo de verificar

a memorização dos conteúdos trabalhos, geometria não euclidiana. São ao todo 17

questões, para que o aluno responda, descritas:

a)Na Geometria Plana, a soma dos ângulos internos de um triângulo, medem:

R: 180°

b) A menor distância entre 2 pontos na geometria não euclidiana é:

R: Um arco

c)Ao projetarmos uma esfera, sua sombra possibilite que visualizemos:

R: O circulo máximo

d)No plano, a menor distância entre dois pontos é uma:

R: Reta

e)Qual é o modelo utilizado na geometria esférica?

R: Superfície esférica

f)Qual século se falou em outras geometrias?

R: Século 19

g)Matemático q viveu 300 aC. e escreveu Os elementos?

R: Euclides

h)Cite o quinto postulado de Euclides:

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R: "Por um ponto P fora da reta, existe uma única reta paralela" conhecido como: Quinto

Postulado de Euclides

i)A linha imaginaria do Equador, pode ser um.............da superfície esférica.

R: Circulo máximo

j)Outro nome que a geometria esférica é conhecida:

R: Geometria elíptica ou Rieminniana

l) Ha retas paralelas, na superfície esférica?

R: Não

m)As geometrias não euclidianas se dividem em:

R: Geometria Hiperbólica e Geometria Esférica

n) Na Bandeira do Brasil, ao centro, inscrita no losango, esta representado um?

R: Círculo

o)Como é chamado o triângulo na superfície esférica?

R: Triângulo esférico

p) Cite alguns nomes de matemáticos da geometria não euclidiana:

R: Riemann, Bolyai, Lobachevski

q)"Por um ponto P fora da reta, existe uma única reta paralela" conhecido como:

R: Quinto Postulado de Euclides

5. AVALIAÇÃO: Ao acompanhar o desenvolvimento do jogo o professor devera verificar se houve a memorização e auxiliar nas possíveis dúvidas.

6. REFERÊNCIAS

COUTINHO, L. Convite às geometrias não-euclidianas. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2001.

PATAKI, I. ALMOULOUD, S. Ag. Equador, Paralelos e Meridianos: apenas linhas imaginárias? São Paulo: PUC-SP, 2003.

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CONSIDERAÇÕES FINAIS:

Com a versão definitiva das Diretrizes Curriculares de Matemática do Estado do Paraná, em 2008, implementando conteúdos como o da geometria não euclidiana trouxe à tona o seu ensino em sala de aula.

A presente unidade didática retrata a nossa expectativa como docente da rede estadual de ensino, atuando no Ensino Médio, frente ao desafio de ensinar um “conteúdo novo” e é fruto de um estudo, algo que até então era pra nós algo novo e desafiador.

Esperamos que possa colaborar como material de apoio não só ao professor da rede publica de ensino e torne possível o trabalho com a geometria esférica em sala de aula. Dos colegas gostaríamos de ter retorno, com críticas, sugestões e resultados nas aplicações em sala de aula.

Nas referencias há sugestões de leituras além das aqui citadas como, por exemplo, as aventuras do Anselmo Curioso, que constam de dois volumes.

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8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS

AVILA, G.Euclides Geometria e fundamentos. RPM, 1° quadrimestre 2001, n. 45.

BONOLA, R. Geometria no euclidianas: Exposicion histórico-critica de su desarollo. Buenos Aires. Espasa-Calpe Argentina, 1951.

BOYER, C. B. Historia da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1996.

CHEVALLARD, Y. Conceitos fundamentais da didática: as perspectivas trazidas por uma abordagem antropológica. In : BRUN, J. (dir). Didacticas das Matemática Lisboa, Instituto Piaget, 1996.p.115-152.

______________. On didactic transposition theory: some introductory notes. Université d’ Aix-Marseille II, www. didactictransposition-rosa.blogspot.com/.../yves-chevallard.html

______________. La transposition didactique : du savoir savant au savoir enseigné. Grenoble,La pensée Sauvage, 1991.

COURANT, R.; ROBBINS H. O que é matemática? Temas e Debates. Rio Claro, v. 4, n.3, p 17-26, 1991.

COUTINHO, L. Convite às geometrias não-euclidianas. Rio de Janeiro: Editora Interciência, 2001.

D’ AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria a pratica. Campinas, S.P. Papirus, 1996.

DIMENSIONS. Disponível em: <www.dimensions-math.org/ 30/03/2010>. Acesso em: 24mar2010.

DUVAL, R.(2003) Registros de Representações Semióticas e Funcionamento Cognitivo da Compreensão em Matemática. In: Alcântara machado, Silvia D.(Ed.) Aprendizagem Matemática:Representação Semiótica. São Paulo: Papirus, 11-34.

____________(2000) Basic Issues for research in Mathematics Education. Proceedings of the 24 th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education- PME, 55-70.

LORENZATO, S. Por que não ensinar geometria? In: A Educação Matemática em Revista, SBEM, Rio de Janeiro, n. 4, 1° semestre de 1995, p. 3-13.

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KALLEF,A.M.,Sobre o poder de algumas palavras e imagens quando se busca avançar além das noções euclidianas mais comuns. Boletim GEPEM, n° 45, 2004. p. 26- 42.

MARTOS, ZIONICE GARBELINI. Geometria não-euclidianas: uma proposta metodológica de Geometria no Ensino Fundamental. 2002. Dissertação (mestrado) Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, SP.

MLODINOW, L., A janela de Euclides: a história da geometria: das linhas paralelas ao hiperespaço, trad. de Enézio de Almeida. São Paulo: Geração Editorial, 2008.

PAIS, L.C., Transposição didática. In: MACHADO, S.D.A. et al. Educação Matemática: uma introdução São Paulo: EDUC, 2002.p.13-42.

PARANÁ, Diretrizes Curriculares da Educação Básica para a rede publica estadual de ensino. Curitiba: Gráfica Oficial do Estado, 2008.

PAVANELLO, R.M. O abandono do ensino da geometria: uma visão histórica. UNICAMP. FE. Campinas, 1989. Dissertação de mestrado.

PAVANELLO, R.M. A geometria nas séries iniciais do ensino fundamental: contribuições da pesquisa para o trabalho escolar. In: PAVANELLO, R.M. (Org). Matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: a pesquisa e a sala de aula. Coleção SBEM, Vol. 2. São Paulo, 2004. p. 129 – 143.

PETIT, P.J. As aventuras do Anselmo Curioso: Os mistérios da Geometria. Lisboa: Dom Quixote, 1982.

PATAKI, I. ALMOULOUD, S. Ag. Equador, Paralelos e Meridianos: apenas linhas imaginárias? São Paulo: PUC-SP, 2003. UNICAMP. Disponível em: < www.ime.unicamp.br/~marcio/ps2005/hvetor14.htm> acessado em 22/07/2010 as 18 h.

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