da escola pÚblica paranaense 2009 · pedro henrique estava terminando de fazer o chek-list das...
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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
DIRETORIA DE POLITICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
UNIDADE DIDÁTICA
Resolução de problemas: uma estratégia para o ensino de equações
JOEL CARDOSO DE LIMA
CURITIBA
2010
JOEL CARDOSO DE LIMA
Resolução de problemas: uma estratégia para o ensino de equações
Material didático elaborado no Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE da
Secretaria de Estado da Educação – SEED,
sob a orientação da Profa. Dra. Neusa Nogas
Tocha da Universidade Tecnológica Federal
do Paraná – UTFPR
Curitiba
2010
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SUMÁRIO
Identificação.................................................................................................................5
A Nossa Viagem...........................................................................................................5
Noção de Expressão e Sentença...............................................................................18
Equação do primeiro grau de uma variável................................................................22
O que é uma proporção..............................................................................................32
O que são meios e extremos......................................................................................32
Tabela de Tarifas de Saneamento Básico.................................................................37
Como resolver uma equação do primeiro grau..........................................................41
O que significa encontrar o conjunto verdade de uma equação................................41
Porque estudar e para que servem as equações do primeiro grau...........................41
Conjunto Universo e Conjunto Verdade de uma Equação........................................43
Problemas..................................................................................................................56
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LISTAS DE FIGURAS/FOTOS
Figura 1: Luiza fechando o zíper da mala. Fonte: Cardoso, J. C. de. ...................P. 6
Figura 2: A foto mostra um trecho da Rodovia BR 277.
Fonte: Cardoso, J. C. de. ........................................................................................P. 7
Figura 3: A foto mostra um espaço do sitio do Sr. Paulo.
Fonte: Cardoso, J. C. de. ........................................................................................P. 8
Figura 4: Fichário de Ana Luiza. Autor: Cardoso, J. C. de. ...................................P. 10
Figura 5: Demonstrativo dos gastos da viagem registrados no fichário
de Ana Luiza. Autor: Cardoso, J. C. de. ................................................................P. 10
Figura 6: Demonstrativo dos gastos da viagem registrados no fichário
de Ana Luiza. Autor: Cardoso, J. C. de. ................................................................P. 12
Figura 7: Demonstrativo dos gastos da viagem registrados no fichário
de Ana Luiza. Autor: Cardoso, J. C. de. .................................................................P.15
Figura 8: Representação de equivalência entre duas equações.
Autor: Cardoso, J. C. de. .......................................................................................P. 18
Figura 9: A foto mostra vista aérea da cidade de Curitiba pela
BR 277 – Parque Barigui. Fonte: Xavier, H. J. A. .................................................P. 22
Figura 10: A foto mostra a família reunida. Fonte: CARDOSO, J. C. de. .............P. 25
Figura 11: Representação do processo de filtragem de água.
Autor: CARDOSO, J. C. de. ..................................................................................P. 30
Figura 12: Representação do processo de filtragem com os recipientes de água.
Autor: CARDOSO, J. C. de. ..................................................................................P. 33
Figura 13: Representação da fabrica com o projeto de filtragem.
Autor: CARDOSO, J. C. de. ..................................................................................P. 35
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IDENTIFICAÇÃO
Autor: Joel Cardoso de Lima
Estabelecimento: Colégio Estadual Helena Kolody
Ensino: 6ª série
Disciplina: Matemática
Conteúdo: equações
A nossa viagem de Férias
- Olá, meus queridos filhos! Está chegando o grande dia!
Depois de muito tempo havia chegado o momento da família Silva tirar a tão
sonhada férias. O sr. Paulo Silva e seus dois filhos, Pedro Henrique com 14 anos e
Ana Luiza com 12 anos, estavam ansiosos por aquele momento. Desde o
falecimento da mãe, há quatro anos, a família Silva teve que superar muitas
dificuldades, tanto as financeiras como as emocionais. Apesar de tudo, eles são
muito felizes. Ana Luiza e Pedro Henrique são duas crianças muito educadas e
responsáveis, nunca faltam as aulas, sempre fazem as lições, tiram boas notas e
sempre ajudam o pai.
O Sr. Paulo estava se sentindo muito feliz. A Princesa, como ele costuma chamar a
filha Ana Luiza, tinha sido matriculada para estudar na 6a série e o Pedro Henrique,
também chamado de Príncipe, tinha sido matriculado no 1º ano do ensino médio no
ano que estava por vir. Também, neste ano a colheita tinha sido farta e a produção
tinha sido vendida por um ótimo preço. Ele conseguiu comprar equipamentos novos
para o sítio como também um carro novo. O sr. Paulo se considera um vitorioso,
pois com muito trabalho conquistou melhorias para o sítio e com dedicação manteve
a família unida.
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No sítio o sr. Paulo deixou tudo organizado. O Sr João, um de seus
funcionários de confiança, ficou como responsável pelo sítio durante a sua viagem
de férias com os filhos.
- Olá, meus queridos filhos! Tudo pronto? Já arrumaram as suas malas? Pergunta o
pai.
- Sim, pai; respondeu Pedro Henrique.
Pedro Henrique estava terminando de fazer o chek-list das coisas que deveria levar
e tudo estava na mala. E Ana Luiza estava tentando fechar a mala dela.
- A Ana não quer que eu a ajude, diz Pedro. Ela quer fechar a mala dela sozinha.
- Ana! Nem sempre é possível fazer as coisas sozinhas e às vezes é necessário
aceitar a ajuda dos outros. O seu irmão e eu vamos ajudar.
- Princesa, diz o pai. Sente sobre a sua mala. Assim fica mais fácil de fechar o zíper
da sua mala.
Figura 1: Luiza fechando o zíper da mala. Fonte: Cardoso, J. C. de.
Ana Luiza era a mais ansiosa pela viagem. Enquanto estava sentada em cima
da mala fazia perguntas a seu pai sobre os primos que ela iria conhecer e de como
era a cidade onde moravam. Com bom humor o sr. Paulo lhe respondia algumas
coisas e outras deixava no ar para fazer mistérios. Às vezes Pedro Henrique
também fazia perguntas, pois não conhecia alguns de seus primos e nunca tinha ido
à capital. Entre perguntas e respostas, risos e brincadeiras, Pedro Henrique e o pai
fecharam o zíper da mala de Ana.
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Ficando em pé, Paulo diz:
- Estamos de malas prontas. Vejo que vocês já checaram suas listas e está tudo ok,
não é? Então, agora vamos colocar as malas no carro porque amanhã sairemos
bem cedo.
Enquanto carregavam as malas para o carro, Pedro Henrique e Ana Luiza
divagavam em seus pensamentos sobre a viagem. Embora já tivessem visto pela TV
uma grande cidade, mas não conseguiam imaginar de fato como era estar lá. A
ansiedade era muito grande, pensavam em quantas coisas diferentes, legais e
bonitas iriam conhecer, pensavam em seus primos, como seriam recebidos e de
como seria a convivência com eles.
- Pai, o senhor fez a revisão do carro? Pergunta Pedro Henrique.
- Sim; responde o sr. Paulo. Veja o chek-list que fiz. As bagagens estão ajeitadas, o
carro está em ordem, então, vamos para dentro jantar e dormir. Precisamos estar
bem descansados, pois a viagem será longa.
Em clima de festa a família Silva fez o jantar. Logo após o jantar, as crianças
escovaram os dentes e foram dormir e o sr. Paulo ainda fez a revisão no plano de
viagem. Além de prever algumas paradas na estrada para almoçar, fazer lanche, ir
ao banheiro, abastecer o carro, o sr. Paulo desejava que essa fosse uma viagem
prazerosa e divertida.
Figura 2: Rodovia BR 277. Fonte: Cardoso, J. C. de.
Havia amanhecido e o Sr Paulo foi até o quarto de seus filhos para acordá-
los. Mas, tanto Pedro Henrique quanto Ana Luiza já estavam acordados e prontos,
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pois mal tinham conseguido dormir pela ansiedade da viagem que iniciariam naquele
dia.
- Bom-Dia Pai! Diz Ana Luiza, toda entusiasmada.
- Bom-Dia, sr. Paulo! Fala Pedro Henrique.
- Bom-Dia filhos, responde o sr. Paulo.
Após se cumprimentarem com calorosos abraços se encaminharam para a cozinha,
onde um delicioso café da manhã os esperava. Tomaram o delicioso café da manhã
e como já eram 7 horas se encaminharam para o carro.
Figura 3: A foto mostra um espaço do sitio do Sr. Paulo.Fonte: Cardoso, J. C. de.
Do sitio de onde moravam no interior do município de Guairá, estado do
Paraná, até a cidade de Curitiba, capital do estado, onde tinham por destino teriam
que percorrer 659 km, uma longa viagem. Pensou o Sr Paulo, não podemos nos
atrasar mais. O sr. Paulo é um motorista prudente, sabia que teria que dirigir com
muito cuidado, não poderia ultrapassar os limites de velocidade indicados na
rodovia. E eufóricos entraram no carro e iniciaram a tão sonhada viagem. No inicio,
seguiram sentido a cidade de Guairá, localizada a 14 km do sítio, com
aproximadamente 28 mil habitantes, a uma altitude de 220m. Enquanto seguiam em
direção à cidade, Pedro Henrique lembrou o que tinha aprendido em uma aula de
história, que a denominação Guairá, de origem guarani significava “Lobo Selvagem”
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e que fora povoada, desbravada e colonizada por uma companhia chamada “Mate
Laranjeiras S/A”. Guairá tinha sido denominado no ano de 1617 como sendo
província, que era constituída por duas cidades – Cidade Real del Guairá e Villa
Rica do Espírito Santo e que foi atacada e destruída pelos bandeirantes Paulistas.
Ana Luiza ouvia atentamente o seu irmão e estava orgulhosa de saber o quanto ele
sabia daquela cidade que ela tanto gostava e tinha certeza de que ela também iria
aprender e quando tivesse suas dúvidas já sabia a quem pedir ajuda. Seu pai
também explicou que a partir da cidade de Guairá eles iriam seguir alguns
quilômetros pela Br 163, e depois mais alguns quilômetros pela Br 467 e por último
até o destino final, cidade de Curitiba-Pr seguiriam pela Br 277, essa rodovia corta o
Estado do Paraná no sentido Leste-Oeste ao longo do paralelo 25° 30’. Entre uma
conversa e outra, e muita atenção na estrada, 4 horas após o inicio da viagem, o sr.
Paulo conversa e combina com seus filhos que iriam parar um pouco para
descansar e aproveitariam para almoçar, foi quando Ana Luiza os interrompeu
dizendo:
- Olha, papai, a placa diz que a próxima cidade é Guaraniaçu. Que tal pararmos lá
para almoçarmos, afinal pelo nome ela nos lembra a nossa cidade. Foi quando o Sr
Paulo brincou:
- Nossa, minha Princesa, já esta com saudade de Guairá? Se quiser, podemos
voltar.
Mais que depressa, Ana Luiza responde:
- Não, quero ir em frente. Nada me fará desistir dessa viagem.
Todos riram da sua empolgação.
Alguns minutos depois pararam em um restaurante na beira da estrada,
almoçaram e ao saírem, Pedro Henrique percebeu que sua irmã fazia algumas
anotações em uma pequena caderneta e perguntou:
- O que você está anotando aí neste fichário?
Ana pensou um pouco e lhe responde:
- Quero saber o quanto vamos gastar nessa viagem. Por isso comprei esse fichário
para anotar todos os gastos feitos. Dessa forma terei um controle e ao final saberei o
quanto gastamos. Mas tenho dúvida em como anotar algumas coisas.
- Posso ver as suas anotações? Perguntou Pedro Henrique.
- Sim, respondeu Ana Luiza e lhe passou seu fichário.
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Figura 4: Fichário de Ana Luiza.
- Veja bem, disse Ana Luiza. São 3 almoço, cada um custou R$ 18,00 (dezoito
reais), então, eu tenho 3 x 18,00 que é igual a 54,00 (cinquenta e quatro reais), mais
3 sucos, que custaram R$ 2,50 cada um, e portanto, foram gastos em suco um total
de R$ 7,50 (sete reais e cinquenta centavos). Certo?
- Sim, respondeu Pedro Henrique.
Figura 5: Demonstrativo dos gastos da viagem registrados no fichário de Ana Luiza.
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Ana Luiza continua:
- Isso daria um total de R$ 61,50 (sessenta e um reais e cinquenta centavos), mas o
restaurante nos cobrou R$ 67,65.
- Você tem razão, respondeu Pedro Henrique à sua irmã. O restaurante nos cobrou
R$ 6,15 (seis reais e quinze centavos) a mais.
O Sr Paulo que os ouvia atentamente e percebia a indignação de seus filhos os
interrompe e lhes diz:
- Meus queridos! Vocês estão certos, mas, o restaurante não cobrou o valor errado,
talvez vocês não tenham observado um detalhe.
- E qual foi o detalhe que nos custou 10% de nossas despesas? Brincou Pedro
Henrique.
- Exatamente, respondeu o Sr Paulo. Vocês não observaram que no folder do
cardápio e no cartaz ao lado do caixa havia uma observação de que seriam
cobrados 10% por prestação de serviços?
- Como assim? Perguntou Ana Luiza. Eles podem nos cobrar esses tais 10% a mais
do que gastamos? E outra coisa, eu não sei o significa esse termo por cento.
- Bem, respondeu o Sr Paulo. A taxa de 10% por prestação de serviço é cobrada na
maioria dos bares e restaurantes. É uma taxa a mais que o consumidor deve pagar
sobre os gastos. Embora não exista uma lei que obrigue o consumidor a pagar esse
percentual, isso já se tornou um hábito no comércio. Essa taxa de 10% só deve ser
cobrada quando for caracterizada a prestação de serviços pelo comerciante e ela
deve ser informada ao cliente. A informação deve estar em local bem visível, como
por exemplo, em cartazes, na nota fiscal, e mesmo assim o cliente não é obrigado a
pagar.
- E porcentagem, você vai estudar agora na sexta-série, informa Pedro Henrique.
- Bem, agora ficou claro, disse Ana Luiza. Gastamos: Almoço R$ 54,00, Suco R$
7,50 e mais 10% de R$ 61,50, ou seja, mais R$ 6,15, perfazendo um total de R$
67,65. Então, está tudo certo. Concluiu Ana Luiza.
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Figura 6: Demonstrativo dos gastos da viagem registrados no fichário de Ana Luiza.
- Muito bem Ana Luiza! Disse o sr. Paulo. Já que você quer anotar todos os gastos
da viagem, deverá anotar também os gastos com o combustível e pedágio.
- Humm! Eu tinha me esquecido desse detalhe, respondeu Ana Luiza. Eu estou
começando a acreditar que viagem não é algo tão barato e entender porque
demoramos tanto para realizá-la.
Todos riram de seus comentários.
- Mas eu gostaria de saber mais uma coisa que esta me deixando muito curioso,
disse o Sr Paulo a Ana Luiza.
- Pode perguntar disse ela.
- Porque esse interesse em saber o quanto nós vamos gastar nessa viagem?
- É que eu gostaria de pagar a minha parte dessa viagem com o meu próprio
dinheiro.
- Como assim? Com o seu próprio dinheiro? Perguntou o sr. Paulo, espantado. Eu
nem sabia que você tinha dinheiro.
- Do dinheiro que o sr. me dava todos os dias para tomar lanche na escola eu
guardava um pouco para usar em coisas mais interessantes. E acho importante usar
o dinheiro nessa viagem, disse Ana Luiza, toda orgulhosa de si.
Mais que depressa Pedro Henrique lhe perguntou:
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- E quanto foi que você conseguiu guardar? E já que você é uma viajante tão
próspera poderia me emprestar um pouco.
- Quanto eu guardei, isso é segredo. E se posso lhe emprestar um pouco, vou
pensar, afirmou Ana Luiza.
Ana Luiza fica pensativa por alguns segundos e pergunta a seu pai:
- Papai, quanto os bancos cobram de juros por mês para emprestar dinheiro às
pessoas.
- Olha, minha Princesa, as taxas de juros para empréstimos bancários dependem de
uma série de fatores, respondeu o Sr Paulo.
- No caso do meu irmão? Quanto seria? Insistiu Ana Luiza.
- Nesse caso teríamos que fazer uma análise de crédito, diz o sr. Paulo.
Pedro Henrique meio perplexo com as perguntas da irmã os interrompe. - Ei,
que papo é esse de juros bancários para cima de mim, eu só pedi um pouco de
dinheiro emprestado. Afinal você é minha irmã e não se cobra juros bancários de um
irmão, pelo que posso perceber você esta se saindo uma bela economista!
- Calma! Estou apenas analisando as possibilidades, respondeu-lhe Ana Luiza,
rindo.
- Há bom, respondeu Pedro Henrique.
E entre risos e brincadeiras a viagem prosseguia. Até que o sr. Paulo os
avisou que faria uma parada para descansarem, tomar um lanche e desta vez iria
abastecer o carro.
- Mais gasto, brincou Ana Luiza.
- É isso ai! Disse Pedro Henrique. Vamos gastar todas as suas economias e dessa
vez você paga a minha parte também.
- Tudo bem, mas lembre-se dos juros bancários, disse Ana Luiza, rindo.
- Então é melhor eu pedir para que o papai pague a minha parte, pois não estou a
fim de pagar juros sobre os meus gastos de viagem, disse Pedro Henrique, fingindo
uma expressão desolada.
Todos riram, pois a cara do Pedro Henrique ficou muito engraçada.
Alguns minutos depois param em um posto e após abastecer o carro
encaminharam-se para a lanchonete, onde optaram por comer um x-salada e tomar
um suco de laranja.
Após pagarem a conta Ana Luiza anotou novamente em seu fichário.
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Figura 7: Demonstrativo dos gastos da viagem registrados no fichário de Ana Luiza.
Em seguida retornaram para o carro e seguiram viagem. Foi quando Ana
Luiza olhando para as suas anotações fez uma observação:
- Putz! Esqueci uma coisa muito importante!
Seu pai que estava ouvindo a conversa foi diminuindo a velocidade e perguntando a
Ana Luiza o que ela havia esquecido, pois ele faria o retorno para buscar. Foi
quando ela lhe disse que não era nenhum objeto, mas, que havia esquecido de
anotar o preço do lanche e que ela não saberia dizer agora quanto custou cada um.
Seu pai a interrompe dizendo, se é por isso fique tranquila, isso é muito fácil de
descobrir. Ana Luiza pensou por alguns segundos e perguntou como pode ser fácil
descobrir o preço do lanche se eu não anotei, por acaso o Sr anotou. Seu pai ia
começar a lhe explicar quando Pedro Henrique lhe interrompeu:
- Papai, eu aprendi como fazer isso nas aulas de matemática e gostaria de ensinar
para a Ana Luiza como fazer.
- Fique a vontade meu caro mestre, diz o sr. Paulo a Pedro Henrique.
Paulo Henrique orgulhoso de poder ajudar sua irmã a resolver um problema
que para ela era tão difícil, toma a caderneta em suas mãos e após observar as
anotações disse:
- Veja bem, nós gastamos um total de R$ 19,80 (dezenove reais e oitenta centavos).
Certo?
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- Sim, concordou sua irmã.
- Sabemos que cada suco custou, R$ 2,40 (dois reais e quarenta centavos) e que
consumimos 3 sucos, o que dá um total de R$ 7,20 (sete reais e vinte centavos), só
de suco. Então, para descobrirmos o valor de cada lanche e saber quanto cada um
de nós gastou vamos considerar os dados que temos, disse Pedro Henrique para a
sua irmã.
Você anotou:
3 x-salada,
3 sucos R$ 2,40 cada,
Total R$ 19,80.
- E agora o que podemos fazer para saber quanto cada um gastou em lanche?
Pergunta Ana Luiza.
- Se considerarmos o total gasto que é de R$ 19,80 e subtrairmos os R$ 7,20 que
foram gasto em suco, o que sobrar será o valor gasto em lanche, respondeu Pedro
Henrique.
- E os 10% de prestação de serviço? Você não vai descontar antes de fazer as
contas? Pergunta Ana.
Neste momento o sr. Paulo interrompe a conversa e lhes informa que a
lanchonete não cobrou a taxa de prestação de serviço.
- Faça as contas, disse Pedro Henrique à Ana Luiza.
- Restaram R$ 12,60 (doze reais e sessenta centavos), acredito ser esse o valor
gasto com os x-salada, afirma Ana Luiza.
- Certo, respondeu Pedro Henrique. E se você pagou R$ 12,60 pelos 3 x-salada, o
que fará para saber o valor de cada um deles?
- Agora é fácil, respondeu Ana Luiza. 12,60 dividido por 3 será o preço pago por
cada x-salada.
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Veja
Então, cada x-salada custou R$ 4,20 (quatro reais e vinte centavos).
- Ahaaa... Agora ninguém me engana mais na hora de dividir as despesas, disse
Ana Luiza, toda eufórica.
Nesse momento Pedro Henrique a interrompe e lhe diz que existe outra forma
de descobrir o preço de cada x-salada e que ela iria aprender nas aulas de
matemática da 6a série.
Ana Luiza toda curiosa para saber qual era essa outra forma pediu a seu
irmão que lhe explicasse.
- Pois bem, então preste bastante atenção, diz Pedro à sua irmã. Nós tomamos 3
lanches. Foram 3 x-salada e 3 sucos, sabemos que foram gasto R$ 19,80 e que
desse valor os sucos custaram R$ 7,20. Você está me entendendo? Perguntou
Pedro Henrique.
- Sim, perfeitamente. Respondeu Ana Luiza.
- Então, vamos representar essa situação problema dessa forma. Prossegue Pedro.
Cada x-salada representarei por ‘x’ e cada suco representarei por ‘s’.
- Então teremos, 3 x + 3 s = 19,80, respondeu Ana Luiza.
- Muito bem, disse Pedro Henrique. Vejo que você esta entendendo direitinho.
- Você sabe quanto custou cada x-salada e cada suco? Pergunta Pedro Henrique a
sua irmã.
- Sim, respondeu ela. Cada x-salada custou R$ 4,20 e cada suco custou R$
2,40 e nós gastamos um total de R$ 19,80.
- Como é que você pode saber o preço de cada x-salada se não anotou o preço?
Pergunta Pedro Henrique à sua irmã.
- Ora! Nós acabamos de calcular! Você já se esqueceu? Responde ela.
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- E se não tivéssemos calculado antes daquela outra forma você saberia me dizer
me dizer o preço? Pergunta Pedro Henrique.
- Claro que não, respondeu Ana Luiza.
- Então, vamos partir dos dados que temos, orienta Pedro Henrique. As letras ‘x’ e
‘s’ nós chamamos de incógnitas ou variáveis e a sentença matemática 3 x + 3 s =
19,80, chamamos de equação do primeiro grau nas variáveis ‘x’ e ‘s’. Como nós
sabemos qual é o preço do suco, vamos substituir os 3 s por 3 x 2,40 que é igual a
7,20.
Veja como
Perceba que obtemos dessa forma uma equação do primeiro grau na variável ‘x’.
Agora, vamos descobrir o valor de ‘x’.
- E como nós podemos descobrir o valor do ‘x’? Pergunta Ana Luiza.
- Procedemos da seguinte maneira, responde Pedro Henrique.
- Precisamos deixar o valor 3x sozinho no primeiro membro, portanto devemos
eliminar o número 7,20 que esta antes do sinal = sem alterar o valor da igualdade.
Procedemos da seguinte maneira:
- Quando fazemos isso estamos aplicando o princípio aditivo para obter uma
equação equivalente à equação dada, de modo que os termos com variáveis fiquem
em um dos membros da equação e os termos independentes (sem as variáveis) da
equação fiquem em outro membro. Nesse principio podemos adicionar ou subtrair a
ambos os membros da equação por um mesmo número e a igualdade continua
sendo verdadeira. Funciona como se fosse uma balança, se temos uma igualdade
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entre dois pesos e adicionarmos ou subtrairmos o mesmo peso a ambos os pratos
da balança ela continua em igualdade. Dessa forma, explica Pedro Henrique.
Figura 8: Representação de equivalência entre duas equações.
- Então, temos que o preço de 3 x-salada é R$ 12,60, mas o que queremos saber é
o preço unitário, ou seja, o preço de cada x-salada. Para saber esse valor aplicamos
outro princípio, que é o princípio multiplicativo. No principio multiplicativo,
multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um mesmo número
e diferente de zero e a equação continua sendo verdadeira.
Assim
- Descobrimos dessa forma que o valor de ‘x’ é R$ 4,20 e como ‘x’ representa o
valor de cada x-salada, esta resolvido então o problema, conclui Pedro Henrique.
VAMOS ENTENDER OS TERMOS
Noção de expressão e sentença
Qualquer emissão escrita ou falada de pensamento incompleto é considerada
uma expressão.
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Exemplos:
a) Hoje estou
b) x + y
c) a + b + c
d) x – 8
Estes são considerados exemplos de expressões, pois eles não nos dão uma
ideia do que queremos, ou seja, do todo.
Qualquer emissão escrita ou falada de um pensamento completo é considerada
uma sentença.
Exemplos:
a) Hoje estou com vontade de comer Pizza.
b) x + y = z
c) a + b + c = d
d) x – 8 = 15
Estes são considerados exemplos de sentenças, pois eles nos dão a noção do
que queremos, ou seja, do todo, pois entendemos perfeitamente o sentido dessa
sentença.
Expressões e sentenças: linguagens
Costumamos fazer uso de dois tipos de linguagens para expressar as
sentenças e as expressões matemáticas.
Exemplos de expressões e suas linguagens:
- Linguagem corrente: Sete mais nove.
- Linguagem matemática: 7 + 9.
Exemplos de sentenças e suas linguagens:
- Linguagem corrente: Sete mais nove é igual a dezesseis.
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- Linguagem matemática: 7 + 9 = 16.
Sentenças: classificação
Pelo fato delas expressarem um pensamento completo, podemos classificá-
las como verdadeiras ou falsas.
Vejamos:
a) 12 + 9 = 21 (sentença verdadeira, pois a soma de 12 com 9 é igual a 21) ;
b) 15 – 11 = 6 (sentença falsa, pois a diferença entre 15 e 11 é igual a 4);
c) O Brasil é o país de maior extensão territorial de America do Sul (sentença
verdadeira) pode-se constatar a veracidade após consultar livros de
geografia;
d) O Paraná é o estado com maior renda per capita do país (sentença falsa, pois
o estado com maior renda per capita do país é o Estado de São Paulo).
As sentenças, além de poderem ser classificadas como verdadeiras ou falsas,
também podem ser consideradas como abertas ou fechadas.
Consideremos as sentenças:
a) O Estado do Paraná está localizado na região sul do Brasil.
b) A região sul é a maior em extensão territorial do Brasil.
c) O Paraná é considerado o maior produtor de grãos do Brasil.
d) 17 + 12 = 29
e) 23 – 11 = 13
Estas sentenças com certeza podem ser classificadas como verdadeiras ou
falsas.
Então vejamos:
Sentenças como essas que podemos classificá-las como verdadeiras ou falsas
são denominadas sentenças fechadas.
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Observe outros exemplos de sentenças, as quais não podem ser classificadas
nem como verdadeiras nem como falsas.
Exemplos:
a) Amanhã irei ao cinema.
b) x + 8 = 24
Como posso ter certeza de que irei ao cinema amanhã, uma situação como essa
não depende exclusivamente da minha vontade, pois existem outros fatores que
poderão me impedir de ir ao cinema amanhã. Como podemos afirmar que x
adicionado a 8 é igual a 24, se não podemos afirmar que x vale 16.
Então, sentenças como essas onde não podemos afirmá-las nem como
verdadeiras ou falsas, são denominadas sentenças abertas.
Quando uma sentença matemática aberta for expressa por uma igualdade,
ela receberá o nome de EQUAÇÃO.
Então temos que: EQUAÇÃO é uma sentença matemática aberta expressa
por uma igualdade.
Exemplos de equação:
a) x + 8 = 13
b) a – 12 = 19
Essas são exemplos de sentenças matemáticas abertas expressas por
igualdade, logo são EQUAÇÕES. As letras (que são os termos desconhecidos) são
chamadas de incógnitas ou variáveis.
Quando estamos trabalhando com equação, temos também que considerar
seus termos, ou seja, por se tratar de uma sentença aberta expressa por uma
igualdade ela possui dois membros.
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Veja os exemplos:
a) x + 12 = 15
b) 2y + 23 = x – 4z
c) 3v – 2x = 21 + v – 4
Em cada equação, percebemos que o sinal de igual a separa em duas partes.
A parte que vem antes do sinal de igual chamamos de primeiro membro e, a que
vem depois do sinal de igual segundo membro.
Equação do primeiro grau de uma variável
Vejamos alguns exemplos:
a) 2x – 3 = - 9 é dita equação do primeiro grau na incógnita x;
b) 3z + 7 = z – 1 é dita equação do primeiro grau na incógnita z;
c) 4v + 8 = 6 – 2v é dita equação do primeiro grau na incógnita v;
d) 3y + 12 = 0 é dita equação do primeiro grau na incógnita y.
Estes exemplos são de equações do primeiro grau de uma variável. Observe que:
2x – 3 = - 9 é equivalente a 2x + 6 = 0;
3z + 7 = z -1 é equivalente a 2z + 8 = 0;
4v + 8 = 6 – 2v é equivalente a 6v + 2 = 0.
Foi possível reescrever, cada uma das equações, na forma aw + b = 0, onde a e b
são números reais, com a ≠ 0, e w é a incógnita.
Então, chamamos de equação do primeiro grau de uma variável a equação
que é equivalente a uma equação da forma ax + b = 0, onde a e b são números
reais, com a ≠ 0, e x é a incógnita.
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Figura 9: Vista aérea da cidade de Curitiba pela BR 277 – Parque Barigui. Fonte: Xavier, H. J. A.
Após algumas horas a mais de estrada e dezenas de quilômetros rodados a
família Silva chega ao seu destino.
- Nossa! Parece ser muito grande! E olhem esse lugar, como é lindo! admirou Ana
Luiza.
- Este é o lago do Parque Barigui, respondeu o Sr Paulo; Um dos cartões postais da
cidade de Curitiba.
- É por isso que todos que visitam essa cidade se encantam com ela. Com tantas
belezas a começar por esse lugar que mais parece um paraíso, interrompeu Pedro
Henrique.
- Sim, isso é verdade. É sem dúvida uma linda cidade, respondeu o Sr. Paulo. Mas
vocês verão muitas outras belezas por ai, e continuou. Esse lugar onde estamos é o
bairro Campina do Siqueira, logo adiante nós vamos seguir pela rua Martim Afonso
até o centro. Passarei ao lado do teatro Guaíra para que vocês o vejam, é um dos
mais importantes teatros do Brasil. Sua construção teve início no ano de 1952 e foi
concluído no ano de 1974, projeto do arquiteto Rubens Meister, ele fica em frente a
praça Santos Andrade, que é a praça da Universidade Federal do Paraná, a mais
antiga Universidade Federal do Brasil. Em seguida passarei ao lado do Passeio
Público, um lugar muito bonito desta cidade, onde vocês verão também o Colégio
Estadual do Paraná, que com certeza vocês já ouviram falar. Na sequência
passaremos pelos bairros Juveve, Cabral, Bacacheri, Boa Vista, Santa Cândida e
finalmente chegaremos ao Bairro Atuba, onde moram seus tios.
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- Nossa papai! Estou até zonza de tantas informações. Como pode saber tantas
coisas desta cidade se o Sr. veio aqui poucas vezes? Brincou Ana Luiza.
- Ora minha princesa, embora tenha passado a maior parte da minha vida no sitio
sou um homem bastante viajado, disse o Sr Paulo.
- Como assim, viajado? Eu nunca o vi sair além das cidades próximas de casa e
olhe que já tenho 11 anos, disse Ana Luiza, toda séria.
- Em minhas poucas horas de descanso tenho procurado viajar pelo mundo dos
livros e também da internet, o que têm me proporcionado conhecer não só essa
cidade, mas muitas outras do Brasil e do mundo.
- Como é bom ter um pai viajado, vou seguir o exemplo dele e acho que você
também deveria maninha. E assim que regressar dessa iniciarei outras viagens
imediatamente, disse Pedro Henrique.
- Eu acho que vou aceitar a sua carona, brincou Ana Luiza.
- Mas papai, o Sr que é um homem que conhece muito bem esta cidade, pode nos
dizer se já estamos chegando na casa do tio Marcos, pergunta Pedro Henrique.
- Pelas informações fornecidas pelo meu irmão no último e-mail que recebi, é a
próxima rua, duas quadras a esquerda, respondeu o Sr Paulo.
- Há bom, já estou meio cansado e me parece que a minha querida irmãzinha
também, disse Pedro Henrique.
- Estamos chegando disse o Sr Paulo, vejam ali adiante na frente daquele sobrado
são seus tios e primos nos esperando.
- Tomara que a tia Márcia esteja nos esperando com um dos seus famosos bolos e
um cafezinho bem quente, interrompeu Pedro Henrique.
- Como assim? Famosos bolos? Se você nunca veio aqui, disse o Sr Paulo.
- Ora papai, o meu primo Marco Antonio sempre disse em nossos contatos das
delicias que a titia sabia fazer, e só de pensar me dá água na boca.
- Seria muito bom, a Maria Cecília me disse a mesma coisa nas poucas vezes que
mantivemos contato, disse Ana Luiza.
- Ora, ora, estão me deixando assustado disse o sr. Paulo rindo, mas vocês têm
toda razão, a minha cunhada sabe fazer verdadeiras maravilhas na cozinha.
- É dessa vez que eu me acabo, disse Pedro Henrique, também rindo.
- Ok! Meus queridos chegamos!
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Após serem calorosamente recepcionados e acomodados em um confortável
quarto, Marcos pediu para que seu irmão Paulo descesse com as crianças para que
juntos tomassem um café e pudessem conversar um pouco, coisa que há muitos
anos não acontecia na vida daqueles dois irmãos e suas famílias, tanto que era a
primeira vez que os primos estavam se vendo.
Marcos estava percebendo a alegria de seus filhos Marco Antonio e Maria
Cecília por estarem recebendo seus primos que há muito tempo desejavam
conhecer pessoalmente. Assim como para ele e sua esposa, tinha certeza que a
presença do seu querido irmão e seus filhos os faria muito bem. Sentia-se confiante,
mais forte com a presença deles ali, tinha plena convicção de que juntos
encontrariam a solução daquele problema. Iria aguardar que seu irmão descansasse
um pouco e depois iria expor a ele os detalhes do problema pela qual ele e sua
família estavam passando. Embora seu irmão fosse um homem simples do interior,
a vida já tinha lhe proporcionado passar por muitas dificuldades e ele as tinha
superado uma a uma com muita sabedoria, era para ele um exemplo de vencedor e
tinha certeza que seu irmão não iria medir esforços na busca de uma solução para
lhe ajudar. Após o jantar Marcos chamou seu irmão para conversar e assim contar
os detalhes do problema vivido por ele.
Figura 10: A foto mostra a família reunida. Fonte: CARDOSO, J. C. de.
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E assim Paulo fica sabendo que na fábrica onde seu irmão trabalha e é
gerente de produção tinha ocorrido um acidente e ouve vazamento de produtos
químicos e, apesar de toda a segurança esse produto tinha alcançado um rio que
passa nos fundos das instalações da fábrica. Por isso, a fábrica tinha sido
interditada, e para que pudesse voltar à sua produção deveria apresenta à secretaria
do meio ambiente e ao Instituto Brasileiro do Meio Ambiente (IBAMA) um sistema de
despejo da água usado na fabricação de seus produtos que fosse ambientalmente
seguro ao meio ambiente local. Embora o sistema usado possuísse vários filtros e
ainda assim ouve o acidente, isso intrigava bastante o Marcos, pois ele tinha o
hábito de verificar diariamente o sistema e não havia detectado nenhuma falha. E
Marcos como gerente de produção e engenheiro químico da fábrica, se tornara o
homem responsável para encontrar essa solução.
Paulo como havia conversado com seu irmão e já sabia o tipo de produtos
que ali eram fabricados, lembrou-se de um fato que poderia ajudar seu irmão, pois
ele tinha lido em uma de suas revistas sobre agricultura, uma experiência sobre a
descontaminação de uma fonte ocorrida no Estado do Pará, Região Norte do Brasil,
fato muito parecido com o ocorrido na fábrica onde seu irmão trabalhava, onde fora
usado um tipo de areia existente somente naquela região como filtro natural e que
provara ser eficaz nessa situação. Após relatar o que sabia à seu irmão Marcos,
este ficou bastante animado com a possibilidade de solução daquele problema, mas
antes teria que conseguir uma amostra daquela areia para realizar os testes. Foi
quando Paulo lembrou que ele tinha um amigo, técnico agrícola, que havia se
mudado para aquela região do Estado do Pará e que com certeza poderia ajudá-los,
enviando-lhes uma amostra daquela areia. O difícil agora seria um contato com esse
seu amigo, pois só sabia o nome da cidade para onde ele havia se mudado.
- Amanhã cedo buscaremos informações desse seu amigo e creio que até o
final da tarde teremos boas noticias, disse Marcos.
- Assim espero, pois teremos muitas coisas a serem feitas, considerando que este
teste de certo, disse Paulo.
Pedro Henrique e Marco Antonio que estavam próximos e ouviam a conversa
de seus pais e preocupados, se colocaram a disposição para ajudarem naquilo que
lhes fosse possível.
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Marcos, feliz com a disposição dos meninos em ajudarem, os orientou:
Amanhã, Paulo e eu iremos tentar contato com o técnico amigo do Paulo e enquanto
isso vocês poderiam preparar os equipamentos para realizarmos esse teste, pois
assim que recebermos a amostra da areia poderemos iniciá-lo sem perda de tempo.
- E como podemos fazer isso? Perguntaram Pedro Henrique e Marco Antonio ao
mesmo tempo.
Ana Luiza e Maria Cecília que estavam próximas e vendo a empolgação de
seus irmãos em ajudarem, mais que depressa também se colocaram a disposição.
- Não se preocupem meus queridos. Haverá trabalho para todos nessa casa e quem
sabe até para os seus coleguinhas vizinhos, pois percebi que estão se dando muito
bem. Disse Marcos.
Na manhã do dia seguinte, enquanto tomavam café Marcos avisa sua esposa
que ele e seu irmão passariam o dia na fábrica.
Ao final do dia quando Marcos e Paulo retornaram para casa, as crianças
foram logo perguntando quais eram as novidades do dia se eles tinham falado com o
técnico e se tinham tarefas para o dia seguinte.
- Podemos dizer que fizemos bastante progresso no dia de hoje. Conseguimos
localizar o amigo de Paulo no Estado do Pará, mas infelizmente não falamos
pessoalmente com ele. Um de seus colegas de trabalho nos passou o telefone de
sua casa e nos garantiu que o encontraremos a noite, então só nos resta aguardar e
torcer que ele possa nos ajudar, disse Marcos.
À noite, logo após o jantar, Marcos pediu a seu irmão que fizesse a gentileza
de ligar para a casa de seu amigo, pois estava ansioso e queria saber se as
informações que eles tinham sobre a areia negra eram verdadeiras e se poderiam
contar com ajuda dele para lhes enviar uma amostra para que ele pudesse realizar
os testes necessários à filtragem e descontaminação da água usada nos processos
de produção da fábrica. Envolto em seus pensamentos, Marcos estava torcendo
muito para que tudo desse certo e nem percebeu que seu irmão já estava falando
com alguém ao telefone. No transcorrer da conversa Marcos ia notando a expressão
de alívio e alegria no rosto de Paulo, até que ele desliga o telefone.
- E daí meu irmão, o que foi que disse o seu amigo, perguntou Marcos ansioso.
- Fique calmo meu querido, disse Paulo. Tenho ótimas notícias para você. Esse meu
amigo falou maravilhas dessa tal areia negra e é quase certo que nesse caso seja
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eficiente no processo de filtragem que necessitamos. Ele se prontificou de amanhã
mesmo nos enviar uma amostra da areia.
- Em quantos dias teremos o produto aí? Pergunta Marcos.
- Acho que dentro de 5 ou 6 dias estaremos recebendo a encomenda, responde
Paulo. Ele vai nos enviar 5 kg de areia. Também, se tudo der certo nos nossos
testes e sabendo a quantidade exata de areia necessária, é só entrar em contato e
ele providenciará o envio da areia.
Após conversar com seu irmão, Marcos chama seu filho e seu sobrinho e diz
a eles que podem começar a construir um modelo onde possa ser realizado o teste
e em seguida os instrui de como ele quer o modelo e se coloca a disposição caso
tenham alguma dúvida e para que não haja desperdício os lembra que a capacidade
do modelo deve ser proporcional à quantidade de areia que vão receber.
Marcos explica à sua família como ele esta pensando o novo projeto para a
fábrica. Hoje o sistema que temos faz a captação da água da rede de distribuição e
após o uso no sistema de produção, o excedente passa por uma filtragem e é
despejado no rio, mas alguém abriu um dos registros que não deveria ser aberto,
liberando o produto químico, o que causou a contaminação do rio. Esse sistema é
bastante antigo e caro, pois por não termos um meio de retorno dessa água para a
nossa caixa d’água central, tem se lançado fora grande quantidade de água usada
no processo de fabricação que poderia ser reutilizada. Esse novo sistema que
Marcos está projetando vai proporcionar a fábrica uma economia de 20.000 dos
30.000 litros utilizados diariamente no processo de fabricação, pois além da
captação da água da chuva o novo sistema não possui saída para o rio e assim,
sem os possíveis danos que possam vir causar a natureza.
- Ah! Entendemos, o que o Sr. quer é um sistema que possa aproveitar o máximo
possível os recursos hídricos fornecidos pela natureza e ao mesmo tempo aliar
economia e segurança no processo de fabricação, responderam os meninos.
- Nossa! Essa é uma economia que a natureza agradecerá imensamente,
comentaram as primas Ana Luiza e Maria Cecília.
- O patrão também, complementou Marcos.
Todos riram.
- Pode ficar tranquilo papai, amanhã mesmo a família Silva dará início a montagem
de um modelo que contemple as necessidades do problema; até estou pensando em
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convidar um amigo que apresentou um trabalho muito interessante na feira da
escola, acredito que ele possa nos ajudar bastante e com certeza a sua participação
ira motivar muito o meu querido primo Pedro Henrique.
Sem entender muito bem a forma brincalhona dita por seu primo, Pedro
Henrique pergunta por que seria a presença desse amigo, motivação para ele.
- Bem! É que ele é irmão da Priscila e com certeza ela também virá, respondeu
Marco Antonio.
- E quem é essa Priscila, perguntou o sr. Paulo.
- É uma menina muito bonita que mora aqui perto e ficou bastante interessada no
Pedro Henrique e creio que o interesse foi recíproco, embora o meu querido primo
não queira admitir; qualquer hora te conto os detalhes tio, brincou Marco Antonio.
- Muito bem meus queridos, então vocês já sabem, amanhã será um dia de muito
trabalho e assim como hoje, Paulo e eu passaremos o dia na fábrica e ao
retornarmos podemos discutir mais detalhes do trabalho de vocês caso tenham
alguma dúvida e como já é tarde creio que devemos descansar agora.
Todos se despediram desejando uma boa noite de sono e foram para seus
quartos.
Na manhã do dia seguinte quando as crianças levantaram Marcos e Paulo já
haviam ido para a fábrica.
Após tomarem café e enquanto se organizavam para começar o trabalho
Marco Antonio ligou para o seu amigo Thafarel, para ver se era possível contar com
a sua ajuda e mais que depressa ele se colocou a disposição e se propôs convidar o
seu amigo Danilo, visto que eles tinham apresentado o trabalho juntos, era aquela a
grande oportunidade de colocar em prática o conhecimento adquirido na escola
além de que seu pai também trabalhava na fábrica. Poucos minutos depois estavam
reunidos na casa de Marco Antonio.
Após socializarem com os colegas as ideias discutidas anteriormente de
como deveria ser o modelo, Marco Antonio propôs iniciar o trabalho.
- Bem! Em primeiro lugar teríamos que pensar no que queremos, mas isso já
sabemos! Então fica bem mais fácil, disse Thafarel.
- Vamos trabalhar na confecção do modelo, pois assim que a areia chegar temos que
iniciar o teste, e como bem lembrou papai, vamos receber apenas 5 litros de areia,
não devemos fazer algo demasiado grande ou pequeno demais, portanto, é
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importante não esquecermos que a proporção é de 5 para 1. Ou seja, para cada 5
litros de água, usa-se 1 litro de areia, mostrando um desenho que havia feito aos
seus colegas.
Figura 14: Representação do processo de filtragem de água.
Então, vamos determinar a proporção para sabermos quantos litros de água
usaremos com esses 5 litros de areia, só assim saberemos qual deverá ser a
capacidade do nosso modelo, disse Marco Antonio.
- Sim! Esse é o primeiro passo, concordou Thafarel.
De posse de um caderno Pedro Henrique começou a fazer suas anotações:
- Então, temos a proporção para cada 5 litros de água 1 litro de areia, se temos 5
litros de areia a não sabemos quantos litros de água vamos usar, chamaremos essa
quantia desconhecida por x.
- Ei! Até parece aquela continha que você me ensinou na estrada para descobrir o
preço de cada x-salada, disse Ana Luiza a seu irmão.
- Exatamente! minha querida irmãzinha, e antes que eu me esqueça, visto que essa
é uma proporção devemos lembrar a sua propriedade fundamental que diz: numa
proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
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- Nossa! Você fala tanta coisa, mas afinal o que é uma proporção, o que são meios e
extremos, afinal pode me explicar isso, perguntou Maria Cecília a seu primo.
- Claro minha querida prima, embora você vá aprender isso na 6a série eu posso te
explicar antes assim quando for estudar já saberá o que é uma proporção,
respondeu Pedro Henrique.
E Pedro Henrique continuou:
- Bem! O que é uma proporção? É uma igualdade entre duas razões. Qualquer que
seja a proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
O que são meios e extremos? Os termos que constitui uma proporção são
denominados antecedentes e consequentes. Então, o antecedente da 1a razão e o
consequente da 2a razão são os extremos, assim como o consequente da 1a razão e
o antecedente da 2a razão são os meios. Veja a representação e assim poderá
entender melhor.
Ao aplicarmos a propriedade, passaremos a ter uma equação do primeiro grau com
variável em x.
Descobrimos dessa forma que x é igual a 25 e como x representa a
quantidade de água que devemos utilizar, então o nosso modelo terá que ter
capacidade para 30 litros, 25 litros de água mais 5 litros de areia. E 1 (um) litro é
igual a 1000 ml que é equivalente a 1000 cm3 .
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- Ah! Entendi, se o nosso modelo terá que ter capacidade para 30 litros, então ele
terá 30.000 cm3, não é isso, perguntou Maria Cecília.
-É isso mesmo, e por acaso eu tenho em casa um recipiente com capacidade
suficiente, respondeu Thafarel.
Quase todos expressaram alegria por terem parte do trabalho pronto.
- É, mas nós precisamos de mais um recipiente, disse Pedro Henrique.
- Ah! Por acaso você não tem mais um recipiente que nos sirva lá em sua casa?
Perguntou Maria Cecília a Thafarel.
- Putz, Maria Cecília você só quer saber de moleza, brincou Thafarel.
- Não é isso, é que se você tiver algo pronto, nós não precisamos gastar comprando
materiais para confeccionar esse novo recipiente, mais economia para a gente e
para a natureza, respondeu Maria Cecília.
- Nossa! Até parece minha irmã falando, eu acho que deve ser um gene feminino da
minha família, brincou Pedro Henrique.
- Maria Cecília você é um gênio, eu não tenho, mais sei de um colega que tem e
com certeza ele poderá nos emprestar ou quem sabe nos dar, pois ontem estive na
casa dele e ouvi sua mãe dizendo para ele se livrar daquelas bugigangas que não
usava mais, só assim ela iria conseguir arrumar melhor o quarto, disse Thafarel.
- Nossa! Que bugiganga é essa que estava no quarto do seu amigo que vai nos
servir, além de nos proporcionar mais uma economia, perguntou Ana Luiza.
- Ora! Um aquário, assim como o meu, respondeu Thafarel.
- Então o que estamos esperando para irmos atrás desse seu amigo, disseram
Maria Cecília e Ana Luiza quase que ao mesmo tempo.
- Eu não disse a vocês, quando se trata de economizar essas duas são impares,
disse Pedro Henrique.
Todos riram.
Alguns minutos depois de posse do outro recipiente foram verificar quais eram
as suas dimensões para saber se a capacidade daquele recipiente seria suficiente.
- Putz! Esta na cara que não vai dar. É um pouco menor do que o outro, disse Maria
Cecília.
- Não há problema por ser menor, nesse precisamos colocar apenas a água
descontaminada, você se esqueceu disso, disse Marco Antonio.
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- É mesmo! Tinha me esquecido desse detalhe e já estava pensando quanto isso iria
nos custar, respondeu Maria Cecília aliviada.
- Bem! Acabei de verificar as dimensões e ele será suficiente para o que
precisamos, disse Pedro Henrique.
- Bem! Já que temos os dois recipientes prontos que tal montarmos para ver como
vai ficar o nosso modelo, sugeriu Danilo.
Todos concordaram e começaram a ajudar na montagem.
- Ah! Maria Cecília, em seu quarto há um móvel que iria nos ajudar bastante nessa
montagem, você poderia nos emprestar, disse Marco Antonio; que prontamente foi
atendido.
Figura 15: Representação do processo de filtragem com os recipientes de água.
- Muito bem! Isso é tudo que precisamos ou temos que organizar mais alguma coisa,
perguntou Maria Cecília.
- Por enquanto creio que é só isso, assim que o papai chegar lhe mostraremos e se
tiver mais alguma coisa ele nos dirá, respondeu Marco Antonio.
- E o da fábrica ficara como esse? Perguntou Ana Luiza.
- Não! Esse modelo nos servirá apenas para filtragem e descontaminação da água,
pelo que pude ver no projeto do papai, na fábrica terá um grande depósito de
captação de água da chuva e deste ira passar para o tanque de filtragem e
descontaminação, após descontaminada, essa água irá para outro tanque, onde
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haverá biosensores e só aí essa água será lançada através de bombas elétricas
para a caixa d’água principal para que possa ser consumida novamente na fábrica e
esse ciclo se repetirá continuamente, explicou Marco Antonio.
- Interessante! Parece-me que vai ficar muito bom; você disse que no tanque pós
descontaminação haverá biosensores, o que é isso? Perguntou Ana Luiza.
- Biosensores são dispositivos no qual são incorporados substâncias tais como: uma
enzima, um anticorpo, uma proteína, um DNA e outras de acordo com os interesses,
para que dessa forma possa medir de modo seletivo, determinadas substâncias. Um
exemplo seria a quantidade de chumbo contido na água, como é o caso da fábrica.
Poderia se medir também a quantidade de bactérias presentes na água; existe uma
infinidade de aplicações para os biosensores, é o que há no momento em termos de
tecnologia, concluiu Marco Antonio.
- Parece-me bastante segura, mas onde foi que aprendeu tudo isso, você diz coisas
que nunca ouvi falar, disse Maria Cecília.
- Eu li nos relatórios do papai, mas algumas das coisas que falei, aprendi nas aulas
de biologia, respondeu Marco Antonio.
- Putz! Além de ser bom em matemática também deve ser bom em biologia,
observou Ana Luiza.
- Eu procuro ler bastante e presto bastante atenção nas aulas, pois sei que as áreas
do conhecimento estão todas inter-relacionadas; por isso procuro aprender de tudo e
bem, respondeu Marco Antonio.
- Ah! Agora eu acho que deveríamos descansar um pouco e atender ao pedido da
mamãe que esta nos chamando para tomarmos café, disse Maria Cecília.
Na certeza de que encontrariam um gostoso café da tarde, todos correram
para a cozinha.
Alguns dias depois, feliz pelo resultado do teste e por ter encontrado provas
de sua inocência no caso do acidente. Marcos se preparava agora para uma reunião
com os diretores da fábrica e representantes da secretaria do meio ambiente e do
IBMA, aos quais iria apresentar o seu projeto. A expectativa era grande, mas estava
certo de que iriam aceitar, era um projeto seguro, e além de tudo iria proporcionar
uma grande economia de água para a natureza e consequentemente de recursos
financeiros para a fábrica.
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Figura 16: Representação da fabrica com o projeto de filtragem.
À noite em casa com a família, Marcos relata os detalhes da reunião, estava
muito feliz, pois tinha conseguido aprovar seu projeto e as obras iriam iniciar de
imediato, visto que ele já apresentará à diretoria orçamentos feitas anteriormente
junto a várias empresas construtoras, relata também que fora elogiado por vários
diretores, pelas suas atitudes diante da situação ocorrida.
- E quais foram os seus preciosos argumentos para que eles aprovassem assim tão
rápido o seu projeto, perguntou Marco Antonio.
- Eu apenas aproveitei a ideia que as minhas queridas princesas me deram, disse
Marcos.
- Como assim! Nossa ideia, perguntaram elas.
- Considerei a ideia de segurança aliada ao fator economia proporcionada por esse
projeto, peguei uma tabela de Tarifas de Saneamento Básico, a qual vocês podem
observar na Tabela 1, da companhia paranaense de saneamento do Paraná, fiz
alguns comparativos e verifiquei que, mesmo usando 100% de água do sistema de
abastecimento público, o projeto se pagaria em aproximadamente 80 meses.
- Também sugeri a eles que, com base nos valores dados na tabela, calculassem o
quanto a fabrica iria economizar mensalmente. Para esse cálculo eles deveriam
levar em conta também o consumo mensal de água do curitibano pois, iriam
constatar quantas pessoas podem ser supridas só com a economia proporcionada
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por esse novo sistema. Além de dizer a eles que refletissem sobre estas questões e
iriam perceber que valeria a pena investir nesse projeto, pois quando a sociedade
esta em busca de novas alternativas que venham favorecer a natureza seria essa
uma grande oportunidade para fazermos a nossa parte.
- Há, o resto foi só aplausos!
- Assim como sugiro a vocês que façam os cálculos que eles fizeram além de
compararem o nosso consumo com a média de consumo do curitibano, assim
podemos constatar se estamos gastando mais ou menos do que a média indicada
na tabela de tarifas da Companhia Paranaense de Saneamento (Sanepar).
TABELA 1: TABELAS DE TARIFAS DE SANEAMENTO BÁSICO(CONTAS VENCIVEIS A PARTIR DE 1 DE FEVEREIRO DE 2005)
Categoria /Faixa de Consumo Tarifa (em reais)
TARIFA SOCIALTodas as Localidades OperadasÁgua Água e Esgoto
ATÉ 10 m3
5,007,50
R$ + R$ m3
5,00 + 0,50/ m3
7,50 + 0,75/ m3
TARIFA NORMALRESIDENCIAL
Todas as Loc. OperadasAGUA.
Ctba e Maringá*ESGOTO ÁGUA E ESGOTO
Demais Loc.ESGOTO AGUA E ESGOTO
ATÉ 10m3
R$ 16,35
R$ 13,90R$ 30,25
R$ 13,08R$ 29,43
R$ + R$/m3
Excedente a 10m3
16,35 + 2,45/m3
13,90 + 2,08/m3 30,25 + 4,53/m3
13,08 + 1,96/m3
29,43 + 4,41/m3
R$ + R$/m3
Excedente a 30m3
65,35 + 4,18/m3
55,55 + 3,55/m3
120,90 + 7,73/m3
52,28 + 3,34/m3
117,63 + 7,52/m3
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Obs. Para os consumos superiores a 10m3 por economia, nos municípios abastecidos pelos sistemas dos balneários de Pontal do Paraná, Guaratuba e Matinhos, a tarifa será majorada em 20% (vinte por cento) nos meses de JANEIRO, FEVEREIRO, MARÇO e DEZEMBRO, e minorada em igual percentual nos meses de ABRAIL a NOVEMBRO.(*) Conforme acordo firmado entre o governo do Estado do Paraná – SANEPAR e o município de Maringá, a tarifa de esgoto passa a ser de 80%, a partir de 01/06/2005.
TARIFA DE ÁGUA E ESGOTO PARA ENTIDADE FILANTRÓPICA: DESCONTO DE 50% NO EXCEDENTE A 10M3 DA CATEGORIA UTILIDADE PÚBLICA.TARIFA DE ÁGUA SOCIAL 30,58% DA TARIFA RESIDENCIAL.CONTAS VENCIVEIS A PARTIR DE: 01 DE FEVEREIRO DE 2005MULTA = 2% + CORREÇÃO MONETÁRIA PARA CONTAS VENCIDAS HÁ MAIS DE 30 DIAS.
REAJUSTE AUTORIZADO PELO DECRETO ESTADUAL N° 4266 de Janeiro de 2005.
Fonte: http://www.sanepar.com.br, em 29/05/2010.
- Considerando ainda que as condições climáticas de nosso cidade são bastante
favoráveis a esse projeto e que haverá uma captação de águas de chuva que
poderá suprir as necessidades da fábrica por pelo menos 5 meses durante o ano, e
que com isso os custos se tornariam ainda menores, o resto foi fácil, concluiu
Marcos.
- Isso é muito bom! Problema resolvido, vários dias longe de casa é hora de retornar,
disse Paulo.
- Quando pretende retornar, perguntou Marcos a seu irmão.
- Estou pensando em retornar no domingo, mas antes vou conversar com as
crianças, disse Paulo.
MICRO E PEQUENO COMÉRCIO
ATÉ 10m3 R$ + R$/m3
Excedente a 10m3
Todas as Loc. OperadasAGUA.
Ctba e Maringá*ESGOTO ÁGUA E ESGOTO
Demais Loc.ESGOTO AGUA E ESGOTO
R$ 16,35
R$ 13,90R$ 30,25
R$ 13,08R$ 29,43
16,35 + 3,31/m3
13,90 + 2,81/m3 30,25 + 6,12/m3
13,08 + 2,65/m3
29,43 + 5,96/m3
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- Bem! Isso nos dá tempo para comemorar as vitórias familiares e que tal hoje a
noite nos reunirmos em uma pizzaria. Podemos convidar os amigos de nossos filhos
para nos acompanharem, sugeriu Marcos.
- Oba! Ótima ideia, concordaram as crianças. E para surpresa de todos, Ana Luiza
disse que pagaria a conta, visto que ela tinha economizado durante todos aqueles
dias, comendo as delícias da tia Márcia.
- Ora, foi um grande prazer tê-los recebido em nossa casa e principalmente fazer
aquilo que eu mais gosto que é cozinhar, espero que possam voltar muitas outras
vezes, afirmou Márcia.
- Então está confirmado para hoje à noite, vou convidar os nossos amigos que tanto
nos ajudaram e farei de tudo para que uma certa pessoa não falte, brincou Marco
Antonio olhando para seu primo..
- Já sabemos de quem se trata, não é meu querido irmão, disse Ana Luiza.
Todos riram.
Logo mais a noite na pizzaria ao pagar a conta, Maria Cecília pergunta a sua
prima quanto havia dado a conta.
Mais que depressa, Pedro Henrique disse a sua prima:
- Não se preocupe minha prima, hoje quem vai pagar a conta é a minha querida
irmãzinha e aqui entre nós, aproveite, pois isso raramente acontece.
E entre uma brincadeira e outra...
- É, mas eu gostaria de saber quanto economizei hoje, pois me sinto na obrigação
de quando for visitar a minha prima, poder retribuir essa tão deliciosa gentileza,
disse Maria Cecília.
- Nossa! Quanta inspiração Maria Cecília, brincou sua mãe.
- Bem! É que gosto de saber as coisas nos mínimos detalhes, afirma Maria Cecília.
- É claro! Eu sou testemunha disso, brincou Márcia.
- Essa sua dúvida eu mesmo posso esclarecê-la, meu irmão me ensinou quando
viajávamos para cá, disse Ana Luiza.
- Quanto gastou cada um é fácil, considerando que estamos em 11 pessoas e
gastamos R$ 173,80 (cento e setenta e três reais e oitenta centavos). O que o que
eu tenho dúvida é quanto custou cada pizza porque eles não marcaram aqui, disse
Maria Cecília.
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- Veja! O que você quer saber é o preço de cada pizza, não é isso? Perguntou Ana
Luiza.
- Sim! É isso mesmo, respondeu Maria Cecília.
- Veja bem! Nós estamos em 11 pessoas, gastamos R$ 173,80 (cento e setenta e
três reais e oitenta centavos). Sabemos que consumimos 6 pizzas, quanto custaram
os refrigerantes e os sucos e também, aqui na nota fiscal informa que foram
cobrados R$ 15,80 de taxa de serviço. Então, fica muito fácil saber quanto custou
cada pizza. E como ainda não sabemos o preço de cada pizza. Vamos dar um valor
x a cada uma delas.
Então, podemos representar dessa forma:
6x + 14 + 12 + 15, 80 = 173,80,
Isso é uma equação do primeiro grau na incógnita x. Observou Ana Luiza.
- Putz! Até parece uma professora falando, mas e daí, como resolver isso, brincou
Maria Cecília.
- Como já disse, é muito fácil, disse Ana Luiza.
- Observe que o valor das 6 pizzas mais a soma dos valores dos sucos, dos
refrigerantes e taxa de serviço é igual ao total da conta, R$ 173,80. Afirmou Ana
Luiza.
- Ahh! Acho que já estou entendendo, disse Maria Cecília.
- Então, se nós pegarmos o total gasto e subtrair o valor gasto com sucos,
refrigerantes e taxa de serviço vai nos restar somente o valor pago pelas pizzas, e
sabendo que
39
os 6x representam as 6 pizzas, logo elas nos custaram R$ 132,00 (cento e trinta e
dois reais), então, uma pizza...
- Já sei, interrompeu Maria Cecília. É só dividirmos os R$ 132,00 por 6 e teremos o
valor de cada uma.
- Veja! Achamos que o valor de x é
igual a 22, logo esse é o valor de
cada pizza.
- Isso mesmo! Concordou Ana Luiza.
- Maravilha! Agora já sei como encontrar um valor desconhecido em uma equação, e
como estamos em 11 pessoas e gastamos R$ 173,80, para sabermos quanto cada
um pagaria é só dividir esse valor por 11, afirmou Maria Cecília.
- Supostamente lhe devo: R$ 15,80 ‘quinze reais e oitenta centavos, disse Maria
Cecília à sua prima.
- Você também poderia representar essa situação na forma de uma equação, afirma
Ana Luiza.
Assim! Concluiu Ana Luiza.
E entre uma brincadeira e outra família e amigos retornaram para casa.
40
Naquela noite, combinaram que as próximas férias Marcos e sua família iriam
passar as férias na casa de seu irmão Paulo; pois há muitos anos não sentia o
sossego da vida no sitio.
Foi então que Paulo teve a ideia e sugeriu que seus sobrinhos que ainda
tinham vários dias de férias escolares fossem com eles, o que foi prontamente aceito
pelas crianças com muita alegria e o consentimento de Marcos e Márcia.
Mas uma coisa ainda intrigava Pedro Henrique e não aguentando a
curiosidade resolveu perguntar mais uma vez.
- Oh minha querida maninha! Ainda estou curioso para saber quanto você conseguiu
economizar.
Sorrindo ela lhe respondeu:
- Se eu gastar R$ 120,00 do que guardei ainda me restará uma quantia igual ao
quíntuplo do que gastei na pizzaria hoje. Você que é bom na resolução de uma
equação, saberá me dizer imediatamente quanto guardei. E quem me der a resposta
nos próximos dois minutos terá direito a outra pizza amanhã, exceto o titio e o papai.
- Ora, porque estamos fora dessa! Disse Marcos fazendo uma cara muito
engraçada.
- Ora, porque vocês já são adultos e fazem as contas muito rapidamente, vocês não
acham, todos concordaram e riram.
- Você me surpreende a cada dia e já que está demonstrando gostar tanto de
matemática, vou lhe recomendar um material para estudo, disse Pedro Henrique a
sua irmã.
Como resolver uma equação do primeiro grau?
Resolver uma equação do primeiro grau significa encontrar o seu conjunto
verdade num determinado conjunto Universo dado.
O que significa encontrar o conjunto verdade de uma equação?
Significa encontrar um valor numérico que substituído pela variável irá tornar
a igualdade verdadeira.
41
Porque estudar e para que servem as equações do primeiro grau?
Ao resolvermos uma situação problema aritmeticamente, estabelecemos
relações entre os números e os dados da situação, no entanto quando procuro
resolver essa mesma situação através de uma equação, penso nessas relações
somente para montar a equação, depois da equação pronta aplico os conceitos de
resolução de equações sem me preocupar na relação entre os valores, o que me
permite agilizar de forma significativa o encontro da minha incógnita.
A seguir, apresentamos um exemplo de como este conhecimento a respeito
das equações podem nos auxiliar em uma situação cotidiana.
Exemplo de como isso pode acontecer:
Uma dona de casa ao fazer compras em uma determinada loja gastou R$ 240,00,
ao efetuar o pagamento foi lhe oferecido um desconto de R$ 24,00 e podendo ainda
ser paga em 4 vezes. Qual deverá ser o valor de cada parcela a ser pago por essa
dona de casa?
Como podemos ajudar essa dona de casa a descobrir o valor de cada parcela a ser
paga?
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Resolução na forma de Equação:
Vamos considerar que cada parcela tenha valor x, se temos quatro parcelas, então
temos 4x, vamos considerar também o valor do desconto que é de R$ 24,00 e o total
da compra que é de R$ 240,00.
Então, podemos equacionar desta forma:
Perceba que de ambas as formas chegamos ao resultado da parcela igual a
R$ 54,00, só que por meio da equação chegamos na resposta de forma algébrica.
Conjunto Universo e Conjunto Verdade de uma Equação
Observe a sentença:
Ele é o estado brasileiro cujo nome inicia-se com a letra “P”.
Entendemos que tal sentença é aberta, ou seja, não podemos afirmá-la nem
como verdadeira nem como falsa, pois, não sabemos de qual estado estamos
falando.
Analisemos as seguintes questões:
a) Quais são os estados brasileiros?
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Resposta: {Acre - (AC), Alagoas - (AL), Amapá - (AP), Amazonas - (AM),
Bahia - (BA), Ceará - (CE), Espírito Santo - (ES), Goiás - (GO), Maranhão -
(MA), Mato Grosso - (MT), Mato Grosso do Sul - (MS), Minas Gerais - (MG),
Pará - (PA), Paraíba - (PB), Paraná - (PR), Pernambuco - (PE), Piauí - (PI),
Rio de Janeiro - (RJ), Rio Grande do Norte - (RN), Rio Grande do Sul - (RS),
Rondônia - (RO), Roraima - (RR), Santa Catarina - (SC), São Paulo - (SP),
Sergipe - (SE), Tocantins - (TO)}.
Estes estados constituem o conjunto universo da nossa sentença “estados
brasileiros cujos nomes iniciam-se com a letra “P”.
b) Quais são os estados brasileiros cujos nomes iniciam-se com a letra “P”?
Resposta: Qualquer que seja o estado escolhido do conjunto. {Paraná,
Pará, Piauí, Paraíba}.
Estes estados constituem o conjunto verdade da nossa sentença “estados
brasileiros cujos nomes iniciam-se com a letra “P”. Pois, qualquer que seja o
estado escolhido (Paraná, Pará, Piauí, Paraíba), obviamente será um destes
estados citados, o que tornará a nossa sentença verdadeira.
Resumindo:
Sentença: “ele é o estado brasileiro cujo nome inicia-se com a letra P”
Conjunto Universo: {Acre - (AC), Alagoas - (AL), Amapá - (AP), Amazonas - (AM), Bahia - (BA), Ceará - (CE), Espírito Santo - (ES), Goiás - (GO), Maranhão - (MA), Mato Grosso - (MT), Mato Grosso do Sul - (MS), Minas Gerais - (MG), Pará - (PA), Paraíba - (PB), Paraná - (PR), Pernambuco - (PE), Piauí - (PI), Rio de Janeiro - (RJ), Rio Grande do Norte - (RN), Rio Grande do Sul - (RS), Rondônia - (RO), Roraima - (RR), Santa Catarina - (SC), São Paulo - (SP), Sergipe - (SE), Tocantins - (TO)}.
Conjunto Verdade: {Paraná, Para, Piauí, Paraíba}
Perceba que:
O conjunto Verdade está contido no conjunto Universo; Então, podemos
afirmar que o conjunto Verdade, que aqui denotaremos por V, é um
subconjunto do conjunto Universo, que aqui denotaremos por U. E em
notação matemática representaremos por: V ⊂ U.
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Vejamos outro exemplo de sentença aberta que constitui uma equação:
“x é um número natural que adicionado a três resulta em nove.”
Esta equação está representada na linguagem corrente, mas podemos representá-la
na linguagem matemática.
Veja como:
x + 3 = 9
Conjunto Universo: Podemos representá-lo pelo conjunto dos números inteiros.
Conjunto Verdade: O conjunto verdade dessa equação é um número natural que
adicionado a três (3) resultará em nove (9), sabemos que esse número é seis (6).
Se substituirmos o x pelo 6 teremos uma sentença verdadeira, logo {6} é o
conjunto verdade da equação, pois o elemento do conjunto torna a equação
verdadeira.
Desta forma, podemos representar assim: V = {6}.
Raízes de uma equação
Dada uma equação qualquer:
X2 + 3 = 19
Qual é o conjunto verdade desta equação no universo dos números naturais?
Ou seja, qual é o número natural que substituído pela letra x tornará a equação
verdadeira?
Para respondermos esta questão, temos que descobrir qual número natural
que elevado ao quadrado adicionado a três dará como resultado dezenove.
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Sabemos que se elevarmos (- 4) ou 4 ao quadrado e adicionarmos três (3)
teremos como resultado o número dezenove.
Veja como:
Então, temos:
Equação: X² + 3 = 19
Conjunto Universo: U = IN
Conjunto Verdade: V = { 4 }.
Embora tenhamos - 4 e 4 que tornam a equação verdadeira, podemos
considerar apenas o número 4, pois o número – 4 não é um número natural e sim
um número inteiro.
Para sabermos se um número qualquer é uma raiz de uma equação, basta
substituirmos esse número pela variável;
• Se a igualdade for verdadeira, o número dado é raiz da equação.
• Se a igualdade for falsa, o número dado não é raiz da equação.
Veja como:
a) Como saber se o número 9 é ou não raiz da equação X + 4 = 13.
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Neste caso a igualdade se tornou verdadeira, portanto o número 9 é raiz
da equação X + 4 = 13.
b) Como saber se o número 5 é raiz ou não da equação 2x + 7 = 15.
Neste caso a igualdade é falsa, portanto o número 5 não é raiz da
equação 2x + 7 = 15.
Como Resolver uma Equação
Para resolver uma equação temos que descobrir quais são suas raízes. Para
isso, temos que aprender alguns passos importantes, os quais facilitarão o nosso
entendimento na resolução de uma equação.
1° Passo Importante – Entender o princípio da equivalência de uma igualdade
Quando temos uma sentença verdadeira expressa por uma igualdade, se
adicionarmos, subtrairmos, multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros dessa
igualdade por um mesmo número, essa igualdade continuará sendo verdadeira.
Veja como acontece:
Principio Aditivo – Adição e Subtração
47
Perceba que neste caso adicionando 7 a ambos os membros a igualdade
continuou sendo verdadeira.
Da mesma forma se tivéssemos subtraído 7 de ambos os membros, a
igualdade continuaria sendo verdadeira.
Principio Multiplicativo – Multiplicação e Divisão.
Perceba que neste caso multiplicando ambos os membros por 2, a igualdade
continuou sendo verdadeira.
Da mesma forma se tivéssemos dividido ambos os membros por 2 a
igualdade continuaria sendo verdadeira. É nisto que consiste o principio de
equivalência de uma igualdade.
2° Passo Importante – Entender o Principio das Equações Equivalentes
Quando duas ou mais equações apresentam o mesmo conjunto Verdade, no
mesmo conjunto Universo, elas são chamadas de Equações Equivalentes.
Veja como acontece:
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Perceba que o número 6 é raiz das duas equações, ou seja, o número 6 torna
as duas igualdades verdadeiras. Então, podemos afirmar que essas duas equações
são equivalentes.
3° Passo Importante – Termos com Variável: As Operações
Na equação 7x + 3 = 8, no primeiro membro temos os termos 7x e 3. No termo 7x , o
número 7 que multiplica x é chamado de coeficiente numérico e o x é chamado de
coeficiente literal ou mais comumente chamado de parte literal.
Mas qual a importância de entendermos as partes que compõem um termo?
Você irá perceber que para efetuarmos as operações entre os termos, sejam
elas: Adição, Subtração, Multiplicação ou Divisão será necessário conhecermos
as partes que os compõem.
Veja como isso acontece:
1°) Adição entre termos que possuem a mesma parte literal.
Exemplo:
Então, perceba que:
49
Para efetuarmos a adição entre termos que possuem a mesma parte literal, é
necessário adicionarmos os coeficientes numéricos e conservarmos a parte
literal. Assim como vimos no exemplo acima, onde 5x + 3x = 8x, adicionamos 5 +
3 = 8 e conservamos a parte literal x. Obtendo dessa forma o resultado 8x.
2°) Subtração entre termos que possuem a mesma parte literal.
Exemplo:
Então, perceba que:
Para efetuarmos a subtração entre termos que possuem a mesma parte literal, é
necessário subtrairmos os coeficientes numéricos e conservarmos a parte
literal. Assim como vimos no exemplo acima, onde 5x - 3x = 2x, subtraímos 5 – 3 =
2 e conservamos a parte literal x. Obtendo dessa forma como resultado, a diferença
2x.
Então, concluímos que na Adição e Subtração (Princípio Aditivo):
Para adicionar ou subtrair termos semelhantes, temos que adicionar ou subtrair os
coeficientes numéricos e conservarmos a parte literal.
3°) Multiplicação entre termos que possuem a mesma parte literal.
Para efetuarmos a multiplicação entre termos que possuem a mesma parte
literal, é necessário multiplicarmos os coeficientes numéricos entre si e
conservarmos a parte literal.
Veja um exemplo de como isso acontece:
50
Então, perceba que:
Para efetuarmos a multiplicação entre termos que possuem a mesma parte literal, é
necessário efetuarmos a multiplicação dos coeficientes numéricos e conservarmos
a parte literal. Assim como vimos no exemplo cima, onde 12 x . 3 = 36 x,
multiplicamos 12 . 3 = 36 e conservamos a parte literal x. Obtendo dessa forma
como resultado, o produto 36 x.
4°) A divisão ocorre entre um termo que possui uma variável e um número
qualquer diferente de zero.
Para efetuarmos a divisão, temos que considerar um termo com uma variável
e um número qualquer diferente de zero como divisor.
Veja um exemplo de como isso acontece:
Para efetuarmos a divisão do exemplo dado acima, 12x : 3 = 4x, dividimos 12
por 3 e conservamos a parte literal x. Obtendo dessa forma como resultado, o
quociente 4x.
• Importante na resolução de uma equação do primeiro grau é entendermos
os princípios de equivalência de uma equação.
Para isso, vamos considerar dois princípios: o Principio Aditivo e o
Principio Multiplicativo.
Veja exemplos do Principio Aditivo, como isso acontece:
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Então, perceba que:
Nos exemplos dados acima, (exemplo a) o número + 3 se subtrairmos o mesmo
valor tanto no primeiro como no segundo membro, daí temos que 3 menos 3 é igual
a 0, tornando a equação x + 3 = 7 equivalente a x = 7 – 3. Ou seja, x é o mesmo que
7 menos 3 que é igual a 4.
O mesmo acontece no exemplo b, onde x – 3 = 7, se adicionarmos 3 a ambos os
membros teremos x = 7 + 3 ou seja, x = 10.
Veja agora exemplos do principio multiplicativo (multiplicação e divisão).
Perceba que neste exemplo dividimos ambos os membros da equação por 3,
permitindo com isso determinar o valor de x na equação que é igual a 5.
Perceba que neste exemplo multiplicamos ambos os membros da equação
por 3, para determinar o valor de x.
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Na resolução de equações poderá ocorrer de que as equações não
apresentem os mesmos denominadores. Neste caso, será necessário em
primeiro lugar reduzir os termos dessa equação ao mesmo denominador, através da
obtenção do mínimo múltiplo comum, conhecido por m.m.c. e, a seguir, eliminá-los.
Veja como isso acontece:
Então, a equação inicial é equivalente a 3x + 18 = 60 e, aplicando o princípio
aditivo e o princípio multiplicativo determinamos que o valor de x é igual a 42/ 3
(quarenta e dois terços).
Assim:
Na resolução de equações do primeiro grau haverá casos em que o
numerador representará uma soma ou uma diferença indicada. Casos como este
poderão ser resolvido da seguinte forma.
Veja como:
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Toda vez que na resolução de uma equação ela apresentar denominadores
diferentes, temos que reduzir essa equação a uma equivalente que tenha os
mesmos denominadores, através da obtenção do m.m.c.
A partir dessa fase de resolução, devemos aplicar a propriedade distributiva
da multiplicação.
Então, temos para a equação dada o valor de x é igual a menos cinquenta e
cinco sextos (- 55/6).
Na resolução de uma equação do primeiro grau devemos considerar alguns
passos para facilitar a obtenção do conjunto Verdade dessa equação.
Vejamos mais um exemplo:
Considere a equação:
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4
34
3
2 +=−+ xx
1° Passo: Eliminar os denominadores
2° Passo: Eliminar os parênteses
3° Passo: Isolar a variável
Quando a equação possui mais de um termo com a variável, eles devem ser
colocados em um dos membros, através da aplicação do principio aditivo.
4° Passo: Descobrir a raiz da equação
No que segue apresentamos alguns problemas os quais serão resolvidos
utilizando equações do primeiro grau.
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PROBLEMAS
1) Em uma caixa de água com capacidade de 1000L, restavam 120L. Quantos
minutos serão necessários para encher essa caixa se eu abrir uma torneira que
despeja 20L de água por minuto?
Para resolver esse problema temos que considerar as informações dadas:
Capacidade da caixa: 1000L
Restavam na caixa: 120L
Capacidade de vazão da torneira: 20L por minuto.
Agora pensamos o que queremos descobrir? Queremos saber quantos
minutos serão necessários para encher a caixa.
Nesse problema a nossa incógnita é o tempo, então podemos representá-lo pela
letra x e escrever esse problema na forma de equação.
Vejamos como:
20x + 120 = 1000
Usando os princípios de resolução de equação, fica assim:
20x = 1000 – 120
20x = 880
x = 880/20
x = 44
Descobrimos que x é igual a 44, isso significa que o tempo necessário para encher a
caixa é de 44 minutos.
2) A idade de um pai é 4 vezes a idade de seu filho. Daqui a 5 anos, a idade
do pai será 3 vezes a idade do filho. Quantos anos têm cada um agora?
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Informações a serem consideradas: queremos saber a idade de pai e filho, sabemos
que a idade do pai é igual a 4 vezes a idade do filho. Mas qual é a idade do filho, se
não sabemos, podemos representá-la por uma letra qualquer, no caso iremos
representá-la por x.
Vejamos como:
Filho: idade x
Pai: idade 4x
Daqui a 5 anos, o Pai terá 3 vezes a idade do filho.
Usando os princípios de resolução de equação, fica assim:
Descobrimos que x é igual a 15, logo a idade do filho é 15 anos.
Verificação:
3) Na compra de uma geladeira de R$ 1.400,00, a loja oferece as seguintes
condições: R$ 200,00 e o restante em 6 vezes sem juros. Qual será o valor de cada
parcela?
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Valor da geladeira: R$ 1.400,00
Valor de Entrada: R$ 200,00
Número de parcelas: 6
Então, podemos representar esse problema da seguinte forma:
200 + 6x = 1400
Aplicando o principio aditivo, fica assim,
Agora aplicando o principio multiplicativo, teremos:
Descobrimos que o valor de x é igual a 200, ou seja, o valor de cada parcela a ser
paga é de R$ 200,00
4) O professor de matemática disse a seu aluno, a minha idade somada a terça
parte da minha própria idade é igual a 60 anos. Qual é a idade de seu professor?
Como podemos representar essa situação?
Não sabemos qual é a idade do professor, mas sabemos que a soma da sua própria
idade com a terça parte dela mesma somam 60 anos.
Então, podemos representar essa situação na forma de equação, assim:
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Idade do professor representado pela letra x, mais a terça parte dessa idade que é x;
Somadas essas partes temos 60 anos.
Perceba que nesse caso obtivemos uma equação com fração. Para resolvê-la
teremos que obter outra equação equivalente cujos denominadores sejam iguais.
Para isso, teremos que recorrer à redução do m.m.c.
Descobrimos que o valor de x é igual a 45. Então, a idade do professor é 45.
5) Sabendo que o leite longa vida estava em oferta, uma mãe pede a seu filho que
fosse ao supermercado e comprasse uma caixa de leite com 12 unidades e um
pacote de açúcar cujo valor era de R$ 6,20, dando lhe uma nota de R$ 20,00. Qual o
valor pago pelo litro de leite se o menino gastou todo o dinheiro nessa compra?
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Considerando que temos 12L e que cada litro tenha valor x e que o pacote de
açúcar custou R$ 6,20 e que o menino tinha recebido R$ 20,00 de sua mãe para
fazer a compra temos então, temos a seguinte situação:
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REFERÊNCIAS
BURGERS, B.; PACHECO, E. Problemas à vista! São Paulo: Moderna, 1998.
BURGERS, B.; PACHECO, E. Problemas eu tiro de letra! São Paulo: Moderna, 1998.
BURGERS, B.; PACHECO, E. Vai um probleminha ai! São Paulo: Moderna.
CONTADOR, P. R. M. Matemática, uma breve história. São Paulo: Livraria da Física, 2006.
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas de matemática: 1a a 5a series. São Paulo: Atica, 2003.
GARBI, G. G. O romance das equações algébricas. São Paulo: Livraria da Física, 2007.
GUELLI, O. Equação: O idioma da álgebra. 11a Ed. São Paulo: Atica, 2009.
LIMA, R. N. Equações algébricas no Ensino Médio: uma Jornada por diferentes Mundos da Matemática. Tese de Doutorado. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2007.
PARANA/Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares para a Educação Básica – Matemática. Curitiba; SEED, 2008.
POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de Janeiro: Interciencia, 2006. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araujo.
RAMOS, L. F. Encontros de primeiro grau. São Paulo, Atica, 1993.
RAMOS, L. F. Uma proporção ecológica. São Paulo: Atica, 2009.
ROSA, E. As mil e uma equações. São Paulo: Atica, 2003.
Sítios consultados:
http:// www.sanepar.com.br – acesso em 29/05/2010
http:// www.somatematica.com.br – acesso em 21/04/2010
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