da escola pÚblica paranaense 2007 - … · ... à sua direita, 30 árvores. na volta pela mesma...

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

Produção Didático-Pedagógica 2007

Versão Online ISBN 978-85-8015-038-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

Departamento de Matemática

MATERIAL DIDÁTICO

ELENICE VAZ

Fevereiro / 2008

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO

EDUCACIONAL – PDEDepartamento de Matemática

MATERIAL DIDÁTICO:

Coletânea de Atividades com Utilização da

Metodologia de Resolução de

Problemas

Elenice Vaz

Material didático elaborado, com orientação da Profª

Ms. Magna Natalia Marin Pires, como um dos

critérios de avaliação do PDE – Programa de

Desenvolvimento Educacional.

Fevereiro/ 2008

2

“Dificilmente vamos nos defrontar com uma situação no dia a dia em que

temos que resolver um problema de teoremas ou funções quadráticas, mas

o que os estudantes podem e deveriam ter, como conseqüência de sua

educação, é a habilidade para raciocinar cuidadosamente e eficientemente

os recursos à sua disposição quando defrontados com problemas em suas

próprias vidas”. (Krulik e Reys, 2005, p. 22)

SUMÁRIO

1. Ficha de identificação............................................................................................ 05

2. Introdução ............................................................................................................. 06

3. Figuras Sugestivas ............................................................................................... 09

3

4. Problemas Não-Convencionais............................................................................. 12

5. Problemas com Dados do IBGE ........................................................................... 18

6. Atividades com o Jornal ....................................................................................... 23

7. Problemas Diversos ............................................................................................. 27

8. Multiplicações ....................................................................................................... 29

9. Problemas com o Sistema Monetário ................................................................. 42

10. Problemas da 2ª Olimpíada das Escolas Públicas para o Ensino Médio ........... 47

14. Área Máxima e Função Quadrática ................................................................... 52

16. Seqüência de Fibonacci...................................................................................... 56

1. FICHA DE IDENTIFICAÇÃO DA PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICAPROFESSOR PDE

1. Nome da Professora PDE: Elenice Vaz2. Disciplina/Área: Matemática3. IES: UEL – Universidade Estadual de Londrina4. Orientadora: Magna Natalia Marin Pires5. Caracterização do objeto de estudo: Estudo da Metodologia de Resolução de

Problemas com destaque na valorização dos erros como caminho para a

4

aprendizagem de estudantes do Estado do Paraná.6. Título da Produção Didático-Pedagógica: Coletânea de Atividades com Utilização

da Metodologia de Resolução de Problemas.7. Justificativa da Produção: Pensando-se na proposta de intervenção, e de acordo

com os estudos feitos no decorrer do 1º e 2º períodos desse programa de ensino,

foram propostas atividades para serem desenvolvidas no decorrer do ano de 2008.

Em todas elas, procurou-se partir sempre da Resolução de Problemas,

considerando que, a mesma permite, a todo instante, que o professor desafie os

estudantes a pensarem matematicamente, resgatando o prazer da descoberta. 8. Objetivo da Produção: O Objetivo da elaboração dessas atividades é fazer com

que os estudantes, por meio da Resolução de Problemas, tomem o gosto pela

Matemática, correlacionando essa disciplina com sua prática de vida. Como são

sugeridas, em diversos momentos, que as tarefas sejam feitas em grupo, procura-

se com que, dessa forma, os estudantes tenham oportunidades de trocar idéias e

reflexões a cerca dos conteúdos tratados, e possam, em conseqüência, construírem

seus conhecimentos, de forma significativa.9. Tipo de produção didático-pedagógica: Coletânea de atividades, a serem

desenvolvidas com a utilização da Metodologia de Resolução de Problemas.10. Público-alvo: Estudantes da 5ª série do Ensino Fundamental e do 1º ano do

Ensino Médio.

Apucarana, ____/ fevereiro / 2008.

___________________________________________________

Professor PDE2. INTRODUÇÃO

O presente material é uma coletânea de atividades direcionadas para a 5ª

série do Ensino Fundamental e para o 1º ano do Ensino Médio.

Para a elaboração dessas atividades, procurou-se sempre partir da

Metodologia de Resolução de Problemas, considerando que, a mesma permite, a

todo instante, que o professor desafie os estudantes a pensarem matematicamente,

resgatando o prazer da descoberta.

No decorrer de sua aplicação, pretende-se tratar o erro não como uma

incapacidade do estudante, mas como uma etapa, muitas vezes necessária, dando-

se mais importância aos procedimentos do que aos resultados. Por meio da

valorização do erro na resolução de problemas, procurar-se-á dar um novo sentido à

Matemática, fazendo com que o estudante sinta que a disciplina é algo inerente à

5

sua história, que os erros fazem parte do processo, e são, quase sempre, o caminho

para a aprendizagem efetiva.

O Objetivo da elaboração dessas atividades é fazer com que os estudantes,

por meio da Resolução de Problemas, tomem o gosto pela Matemática,

correlacionando essa disciplina com sua prática de vida. São sugeridas, em diversos

momentos, que as tarefas sejam feitas em grupo, procurando com que, dessa forma,

os estudantes tenham oportunidades de trocar idéias e reflexões a cerca dos

conteúdos tratados, e possam, em conseqüência, construírem seus conhecimentos,

de forma significativa.

Em relação à 5ª série do Ensino Fundamental, foram abordados os

seguintes conteúdos:

• As quatro operações fundamentais: adição, subtração, divisão e

multiplicação.

• Operações inversas.

• Cálculo mental.

• Medidas de tempo e medidas de massa (tonelada e arroba).

• Sistema de numeração decimal: leitura, escrita, composição e

decomposição de numerais, valor posicional de um algarismo.

• Possibilidades.

• Seqüências numéricas.

• Sistema monetário.

• Frações: representação, leitura e escrita, adição, subtração e frações

equivalentes.

No material direcionado para o 1º ano, foram contemplados os seguintes conteúdos:

• Cálculo de perímetro e área.

• Teorema de Pitágoras, teorema de Tales e fórmula de Herão.

• Revisão dos conteúdos de Ensino Fundamental (operações com

números racionais, equações do 1º e do 2º graus, sistemas de equações,

proporcionalidade, operações com polinômios, comprimento e área da

circunferência).

• Função afim.

• Função exponencial.

6

• Porcentagem.

• Seqüência de Fibonacci, número phi, retângulo áureo.

ATIVIDADES PARA A

5ª SÉRIE

7

DO

ENSINO FUNDAMENTAL

3. FIGURAS SUGESTIVAS

3.1 Objetivos

• Elaborar problemas.

• Resolver as quatro operações fundamentais.

• Desenvolver a confiança nos estudantes.

3. 2 Conteúdos abordados

As quatro operações fundamentais: adição, subtração, divisão e

multiplicação.

3. 3 Metodologia

Resolução de Problemas.

8

3.4 Materiais

Figuras que sugerem situações de consumo, e, em conseqüência, cálculos

matemáticos.

3.5 Desenvolvimento da Aula

Propor aos alunos que inventem um problema a partir da observação da

figura a seguir:

Observe a figura e formule um problema. Seja criativo (a):

Foto: http://www.k2fitness.com.br/instalacoes/images/lanchonete.jpg

3. 5. 1 Procedimentos no decorrer da aula

É importante que cada aluno tenha a liberdade para criar seus problemas,

não havendo necessidade de direcionar a atividade para uma das operações

específicas.

A seguir, algumas sugestões de atividades que podem ser feitas a partir dos

problemas formulados pelos alunos:

• sortear alguns dos problemas e propor para a classe resolvê-los;

• trocar os problemas entre os alunos para que um resolva o do outro;

• montar uma coletânea com todos os problemas dos alunos e propor sua

resolução;

• escolher um problema que esteja incompleto ou mal formulado, para

trabalhar com o texto, reelaborando em conjunto com toda a classe,

tomando cuidado para não constranger o autor;

9

É interessante que cada problema, ao ser disponibilizado para os demais

estudantes, contenha o nome do autor.

3. 5. 2 Demais atividades sugeridas

1. Elabore problemas a partir dos cálculos dados:

a) R$ 23,50 + R$ 18,40

b) 2 x R$ 0,80 + 4 x R$ 0,50

2. Observe a figura abaixo e formule um problema relacionado com ela:

Foto: arquivo da autora.

3. 6 Considerações sobre a atividade

Segundo PARANÁ (1998),

essa tarefa de formular problemas permite ao aluno perceber o que é importante na

elaboração e resolução de uma dada situação; que relação há entre os dados

apresentados, a pergunta a ser respondida e a resposta; como articular o texto, os

dados e a operação a ser usada, etc. Mais que isso, ao formular problemas, os

alunos sentem que possuem controle sobre o fazer matemático, que podem

participar desse fazer e desenvolvem interesse e confiança frente a situações-

problema.

Além dessas contribuições, a experiência com esse tipo de atividade tem me

mostrado que os estudantes se sentem muito valorizados quando utilizo o termo

“autor”; eles se sentem importantes e capazes de também produzir

matematicamente, verificam que a Matemática não é apenas algo pronto

disponibilizado exclusivamente em livros didáticos, ao contrário, ela faz parte do

nosso cotidiano.

10

3. 7 Avaliação

A avaliação pode ser feita no decorrer da aula, verificando não apenas a

resolução dos algoritmos, mas também a habilidade de redigir problemas e

interpretá-los.

Não se espera que os alunos elaborem problemas muito complexos, mas,

na medida em que eles se defrontarem com esse tipo de atividade em diversos

momentos, com certeza a capacidade e a criatividade serão acentuadas, e, em

conseqüência, os problemas serão mais bem elaborados.

3. 8 Referências Bibliográficas

PARANÁ. Secretaria de Estado de Educação. Superintendência de Educação.

Ensinar e Aprender: Impulso Inicial – Projeto de Correção de Fluxo. Curitiba:

SEED/DEPG, 1998.

4. PROBLEMAS NÃO-CONVENCIONAIS

4.1 Objetivo

Despertar o interesse dos estudantes por meio de problemas que fogem dos

padrões tradicionais, estimulando o gosto pela Matemática.

4.2 Conteúdos abordados

Cálculo mental, medidas de tempo, operações inversas.

4.3 Metodologia


4.4 Materiais

Problemas propostos, os quais serão entregues 3 para cada grupo.

4.5 Problemas

11

Os alunos ficarão em grupos de 4 ou 5 e serão propostos os seguintes

problemas:

Grupo 1

1. Isabela e Mariana têm, juntas, 15 filmes. Quantos filmes têm cada uma?

2. Andando por uma estrada, um estudante contou, à sua direita, 30 árvores. Na

volta pela mesma estrada, contou à sua esquerda também 30 árvores. Quantas

árvores o estudante viu na estrada?

3. O menino está olhando os patos nadando no lago. Um deles nada na frente de

dois outros, um nada entre dois e um nada atrás de dois. Quantos eram os patos?

Grupo 2

1. Sabemos o preço de um objeto e a quantia que levamos para comprar. Como

acharemos o número de objetos que podemos comprar?

2. Você pilota um avião. Ele passa sobre sete montanhas e sobre sete lagos, se

escondendo atrás das nuvens às 3 horas da tarde. Qual a idade do piloto?

3. Se 10 raposas comem 10 galinhas em 10 minutos, duas raposas comem 2

galinhas em quantos minutos?

Grupo 3

1. Quantos quilogramas de carne come, por semana, uma onça que pesa 100

quilos?

2. Uma lesma está no fundo de um poço de 6m de altura. Ela sobe 2m por dia, pára

um pouquinho, e cai 1 metro. Quantos dias ela levará para chegar ao topo do poço?

3. O número de ovos numa cesta duplica de minuto em minuto. Em 1 hora ela está

cheia. Quando estará pela metade?

Grupo 4

12

1. Que dados necessito para saber se tive lucro ao vender uma bicicleta?

2. Um trem leva 80 minutos para ir de uma cidade a outra, mas para voltar leva 1

hora e 20 minutos. Por quê?

3. Um senhor de 80 kg e suas duas filhas com 40 kg cada uma precisam atravessar

uma ilha com um barco. Só que há um problema, o barco só suporta 80 kg. Como

farão para atravessar?

Grupo 5

1. Um menino subiu na cama e ficou da altura de seu pai. Qual a diferença entra a

altura do pai e a do menino?

2. São sete irmãs, cada uma delas tem um irmão. Quantos filhos são ao todo?

3. Se um tijolo pesa 1 kg e meio tijolo, quanto pesa um tijolo inteiro?

Grupo 6

1. Um pedaço de madeira foi cortado em três partes; uma das partes medindo 80cm

de comprimento e as outras duas têm o mesmo comprimento. Qual é a medida de

cada parte?

2. Quanta terra tem um buraco de 1 metro de profundidade por 2 metros de largura e

2

1 metro de comprimento?

3. Uma garrafa e uma rolha custam R$11,00 quando vendidas juntas. Se vendidas

separadamente, a garrafa custa R$10,00 a mais do que a rolha. Quanto custa a

rolha?

Grupo 7

1. Sabendo-se o ano atual e a idade de uma pessoa, como devemos proceder para

saber seu ano de nascimento?

13

2. Se juntarmos as alturas de José e Luís acharemos a altura de Carlos. Qual dos

três é mais alto?

3. Uma casa de quatro cantos, cada canto tem um gato, cada gato vê três gatos.

Quantos gatos têm na casa?

Grupo 8

1. Há certo número de passageiros para serem transportados. Querendo calcular o

número de viagens que deverão ser feitas, que precisamos saber?

2. Em dezembro, um bancário recebe o dobro de seu ordenado mensal. Que fazer

para saber quanto recebe por mês?

3. Existem quatro pessoas para receber quatro maçãs que estão numa cesta.

Reparta as maçãs de forma que cada pessoa receba uma fruta inteira e ainda fique

uma na cesta!

4. 6 Procedimentos

Deverá ser disponibilizado algum tempo para que os integrantes do grupo

possam pensar sobre as situações propostas.

Em seguida, cada grupo vai compartilhar com o restante da turma os seus

problemas e ficará responsável, de na aula seguinte ou na próxima semana,

apresentar para os demais as soluções; e, como estas, não necessariamente,

estarão corretas, todos terão a tarefa de pensar sobre as situações propostas pelos

colegas.

No decorrer da apresentação das respostas para o grupo, é necessário que

os alunos tenham a liberdade para se expressar e oportunidades de errar sem ser

ridicularizados por seus erros.

Quando as questões colocadas estiverem com respostas erradas, o

professor deve fazer questionamentos com o grupo e com a turma toda, por meio

dos quais os levarão a pensar sobre as situações e propor a solução correta.

É importante que os alunos apresentem não apenas a respostas, mas, os

caminhos que os levaram àquela solução. Nesse momento convém o professor

14

aproveitar para mostrar que um problema pode ser resolvido de diversas maneiras,

valorizando sempre as idéias apresentadas.


No modelo tradicional de aulas, os alunos cultivam a opinião fixa de que

problemas matemáticos somente são resolvidos com a aplicação e memorização de

regras e técnicas de cálculo. Em muitas situações, os alunos sequer lêem o

problema, apenas procuram fazer cálculos envolvendo os números que aparecem.

Como para pensar matematicamente é necessário muito mais do que isso, é

preciso, de acordo com Paraná (1998), cultivar nos estudantes a aptidão para

resolver problemas de qualquer natureza, por meio da compreensão da situação, da

análise e seleção dos dados, da formulação de estratégias de maneira organizada e

da validação dos resultados. Portanto, os problemas não convencionais são ótimas

oportunidades para desenvolver essas habilidades.

Os problemas conhecidos como “pegadinhas” ou desafios matemáticos,

estimulam o gosto pela Matemática, são estímulos para resolução de futuros

problemas mais articulados e de maior dificuldade. O fato interessante é que envolve

os demais familiares dos estudantes, pois freqüentemente, os mesmos, por acharem

interessantes, compartilham com outras pessoas.

4. 8 Sugestão de outros problemas

1. Um macaco caiu no fundo de um poço com 30 metros de profundidade. Todos os

dias ele sobe 3 metros e escorrega 2. Neste ritmo quando atingirá a beirada do

buraco?

2. Qual a operação que pode substituir uma adição cujas parcelas são iguais?

3. Numa árvore pousam pássaros. Se poupassem dois pássaros em cada galho,

ficará um galho sem pássaro. Se pousar um pássaro em cada galho, ficará um

pássaro sem galho. Calcule o número de pássaros.

4. Um pastor diz para o outro: “Dê um de seus carneiros que ficamos com igual

número de carneiros”. O outro responde: “Nada disso, dê-me um de seus que ficarei

com o dobro dos seus”. Quantos carneiros tem cada um?

15

5. Um alfaiate tem 1 peça de tecido com 20 metros de comprimento. Cada dia ele

tira um pedaço de dois metros. Se o primeiro corte foi feito no dia 11 de abril, em que

dia ele fará o último corte?

6. Num jarro estão 7 amebas, elas se multiplicam tão rapidamente que dobram o seu

volume a cada minuto. Se para encher o jarro, elas levam 40 minutos, quanto tempo

levará para encher metade do jarro?

7. Se três gatos comem três ratos em três minutos, cem gatos comem cem ratos em

quantos minutos?

8. Se 2 velas queimam em duas horas, quanto tempo levará para queimar 8 velas?

4. 9 Avaliação

A avaliação pode ser feita a todo instante, verificando se os alunos estão

interpretando e analisando os problemas com mais cuidado e se os mesmos estão

superando comportamentos como considerar que os problemas são sempre

numéricos, sempre têm solução e que todos os dados estão disponíveis.




SEED/DEPG, 1998.

16

5. PROBLEMAS COM DADOS DO IBGE

5.1 Objetivos

• Solucionar problemas envolvendo adição e subtração.

• Compreender os diferentes valores posicionais que um algarismo pode

ocupar.

• Fazer a leitura e escrita de números.


Valor posicional de um algarismo, adição e subtração, leitura e escrita de

números.

5.3 Metodologia

Resolução de problemas.

5.4 Materiais

Recortes de jornais.

5.5 Desenvolvimento da Aula

17

Observe a notícia publicada no Jornal Tribuna do Norte, do dia 06 de

outubro de 2007:

POPULAÇÕES DE APUCARANA E ARAPONGAS

AUMENTAM

O Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) divulgou ontem os números definitivos do censo 2007.

A finalização dos dados mostra que os dois maiores Municípios da região, Apucarana e Arapongas, registraram crescimento maior do que o divulgado em agosto.

Em Apucarana, dados preliminares apontavam população de 113.507. Número final é de 115.323 habitantes.

Em Arapongas, os primeiros dados eram de uma população de 95.859. Consolidação resultou em população de 96.669 habitantes.

5. 5.1 Questões propostas:

1. De quanto foi o aumento da população apucaranense em relação aos dados

apresentados em agosto de 2007?

2. E em Arapongas, de quanto foi esse aumento?

3. Quantos habitantes, Apucarana tem a mais do que Arapongas?

4. Coloque, em ordem crescente, os números que aparecem no texto:

5. Quantas pessoas faltam para Arapongas ter uma centena de milhar de

habitantes?

6. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, podemos escrever qualquer

número. Por exemplo, utilizando apenas os algarismos 6 e 9, podemos escrever 69,

96, 669, 996, 696, 969, 6996, 9669, etc.

a) Escreva um outro número utilizando apenas os algarismos 6 e 9:

b) Observe o número escrito por um dos seus colegas. Vocês escreveram números

iguais?

c) No número 96.669, os números 9 e 6 ocupam diferentes valores de acordo com a posição que eles ocupam. Quais são esses valores? Complete:

9 6 6 6 9

18

= _______

= _______

= _______

= _______

= _______

d) Faça o mesmo com o número 66.996:

7. Escreva como se lê os números 96.669 e 66.996:

8. (POSITIVO, 2006) Dependendo da posição que o algarismo ocupa em um

número, o valor que ele assume é diferente. Essa posição é chamada de ordem e

cada ordem recebe um nome. Observe, nessa tabela, o nome de cada uma das

ordens que compõem o número 115.323 e algumas maneiras de decompô-lo:

1 1 5 3 2 3centenas

de milhar

dezenas

de milhar

unidades

de milhar

centenas dezenas unidades

1x100000 + 1x10000 + 5x 1000 + 3x 100 + 2 x 10 + 3 x 1100.000 + 10.000 + 5000 + 300 + 20 + 3

a) Quais os diferentes valores que assumem nesse número os algarismos:

1? ____________________________

3? ____________________________

b) Escreva como se lê o número 115.323:

5. 5. 2 Considerações sobre a Atividade

Espera-se que a partir de uma situação de interesse dos alunos (o número

de população de seu município), ocorra a reflexão sobre a ordem e o valor

posicional dos algarismos. As demais questões surgem, de forma natural, sendo que

essas podem ser propostas tanto pelo professor como pelos alunos, de acordo com

a notícia do jornal.

As pesquisas feitas pelo IBGE apresentam outros dados que podem ser

utilizados, como: o número de homens e mulheres, os moradores da zona rural e

urbano, o índice de escolaridade, entre outros, e, a partir daí inúmeros problemas

podem ser formulados, assim como a exploração dos números relacionados com as

19

situações. Na internet, é possível acessar o site, clicando sobre o link:

http://www.ibge.gov.br/home/.

Se os estudantes apresentarem dificuldades, é possível fazer um trabalho

com o Material Dourado, por meio do qual ele poderá ter uma melhor compreensão

de conceitos como unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, etc.

5. 5. 3 Sugestão de outras questões

1. Para chegar a 100.000, quanto você deverá adicionar a:

a) 90.000? __________

b) 90.009? __________

c) 99.000? __________

d) 99.990? __________

e) 99.999? __________

2. (POSITIVO, 2006) Continue multiplicando com 1, 10, 100 ou 1000 até encontrar o

número cem mil:

a) 10 x 10 x ____________________________________ = 100.000

b) 100 x 10 x ___________________________________ = 100.000

c) 1000 x ______________________________________ = 100.000

d) 10.000 x ____________________________________ = 100.000

e) 100.000 x ___________________________________ = 100.000

3. Qual dos números abaixo tem o algarismo cinco na dezena?

a) 151

b) 5700

c) 305

d) 7045

4. Desafio!!!! (VASCONCELOS, 2002)

Leia as dicas e adivinhe o número:

20

http://www.ibge.gov.br/home/

5. 6 Avaliação

A avaliação pode ser feita por meio da observação dos estudantes, tanto nas

atividades feitas nos cadernos, como no decorrer da resolução no quadro.

É possível haver uma troca de cadernos em que cada estudante fica

responsabilizado pela correção da atividade do colega. Dessa forma, os estudantes

se acostumam a prestar mais atenção na hora das conclusões e generalizações

apresentadas pela turma.


POSITIVO, Apostila da 3ª série. Ordens e Valor Posicional, 2006.

SAVICKI, Adriana. Populações de Apucarana e Arapongas aumentaram. Jornal

Tribuna do Norte. Em 6 de outubro de 2007, ano XVI, n° 5003, p. A5.

VASCONCELOS, Maria José; ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. São

Paulo, Editora do Brasil, 2002.

Sou maior de 800 e menor do que 900.

Sou um número natural e um dos meus algarismos é 4.

Sou um número ímpar e a soma dos meus algarismos é 15.

Que número sou?

21

6. ATIVIDADES COM O JORNAL

6.1 Objetivos

• Elaborar problemas.


• Desenvolver o hábito da leitura e da pesquisa.


As quatro operações fundamentais (adição, subtração, divisão e

multiplicação), medidas de tempo e medidas de massa (tonelada e arroba).

6.3 Metodologia

Atividade de Investigação e Resolução de Problemas.

6.4 Materiais

Reportagens de jornal.

6. 5 Desenvolvimento da Aula

A Matemática está presente em tudo em nossa vida, devendo ser vivenciada

num ambiente desafiador, despertando sempre a curiosidade dos estudantes,

estimulando sua participação, valorizando seus conhecimentos e ampliando-os.

22

Os jornais trazem constantemente notícias que envolvem números, quantias

e percentuais que podem ser utilizados no decorrer do processo de ensino e

aprendizagem. Inúmeros problemas podem ser criados a partir de reportagens,

indicativos econômicos, previsões do tempo, classificados, entre outros.

A seguir apresenta-se uma reportagem publicada no Jornal Tribuna do

Norte, da cidade de Apucarana:

23

6. 5. 1 Procedimentos no decorrer da aula

É possível propor que os estudantes, em grupo, façam pesquisas sobre a

vida dos elefantes. Caberá a eles pesquisar sobre a alimentação, o peso, os dentes,

a perspectiva de vida, o período de gestação e demais curiosidades encontradas no

decorrer das investigações.

6. 5. 2 Formulação de atividades referentes às informações:

Ainda divididos em grupos, os estudantes têm a tarefa de formular questões,

e estas, após serem corrigidas, podem ser impressas e solucionadas por todos.

24


Vários problemas podem ser construídos a partir do texto pesquisado pelos

estudantes. Para se utilizar a atividade sem o recorte do jornal, podem-se fazer

diversas perguntas sobre um animal e estimular os estudantes a pesquisar sobre

ele.

6. 7 Utilização do jornal:

O jornal é uma fonte inesgotável de problemas, basta verificar a situação, e

a partir dela ou de investigações relacionadas com a reportagem, inúmeras

situações matemáticas podem ser apresentadas.

A seguir, de acordo com Cançado (2002), algumas atividades que podem

ser propostas aos estudantes após a leitura de jornais:

• cálculo de preços de compras à vista e a prazo, com identificação da

porcentagem de aumento nas compras a prazo;

• comparação de preços de determinados produtos em vários anúncios;

• cálculo com medidas de tempo a partir de notícias de esportes;

• análise de custos com transportes e alimentação para realizar um

trabalho;

• organização de orçamentos para uma festa, procurando preços em

jornais;

• discussões sobre as contribuições oferecidas pela leitura dos

classificados, bem com a formulação de diversos problemas relacionados

com os anúncios;

• leitura e interpretação de gráficos;

• simulações de vendas de produtos anunciados, calculando descontos e

prestações;

Além dessas atividades, outras podem realizadas, como:

• cálculo de temperaturas médias;

• construção de plantas de casas a partir de anúncios dos classificados;

• análise crítica referente às oscilações sofridas pelo dólar;

• problemas relacionados com os indicativos econômicos;

6. 8 Avaliação

25

A avaliação pode ser feita no decorrer da aula, verificando se estudantes

estão demonstrando interesse nas investigações referentes ao tema, se elaboram

problemas coerentes com o estudo em questão, se interpretam corretamente as

informações para poder solucionar os problemas propostos e finalmente, se estão

utilizando corretamente os algoritmos.


CANÇADO, Dinorá Couto. Oficina Pedagógica do Projeto Cultural: “Vamos Ler

Apucarana”. Jornal Tribuna do Norte, 2002.

PINHEIRO, Leidi.O banho da grande estrela. Jornal Tribuna do Norte, 2005.

7. PROBLEMAS DIVERSOS

7. 1 Objetivos


• Solucionar problemas.


Interpretação de problemas, operações fundamentais (adição, subtração,

multiplicação e divisão), seqüências numéricas, raciocínio lógico e sistema

monetário.

7. 3 Metodologia



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Formar grupos de dois estudantes, e a cada grupo entregar um dos problemas a

seguir:

1. (OBMEP 2005) A prefeitura de uma certa cidade fez uma campanha que permite trocar 4 garrafas de um litro vazias por uma garrafa de 1 litro cheia de leite. Quantos litros de leite pode obter uma pessoa que possua 43 dessas garrafas vazias fazendo várias trocas?

2. Um coelho comeu 40 cenouras em um período de 5 dias. Em cada dia o coelho comeu 2 cenouras a mais que no dia anterior. Quantas cenouras ele comeu em cada dia?

3. Em julho de 1994, Romário estava com 28 anos, Branco com 30 anos e Márcio Santos com 24 anos. Depois de quantos anos a soma das três idades será igual a 100 anos?

4. Rita pretende comprar um presente no valor de 60 reais. Decidiu economizar 1 real na 1ª semana, 2 reais na 2ª semana, 4 reais na 3ª semana e, assim sucessivamente, sempre dobrando o valor economizado na semana anterior. Após 6 semanas de economia, Rita poderá comprar o presente e qual quantia ainda lhe sobrará?

Disponibilizar de algum tempo para que ambos os elementos do grupo possam

pensar sobre a situação recebida;

Pedir para que as duplas que possuem o mesmo problema se reúnam e

discutam sobre as dúvidas e/ou possíveis soluções apresentadas pelo problema;

Solicitar para cada grupo que apresente o problema e sua resolução, podendo-se

utilizar de dramatização, desenhos ou a forma que preferirem;


No decorrer da aula de resolução de problemas, é muito importante que os

estudantes tenham tempo suficiente para poder pensar; o trabalho em grupo é muito

produtivo, considerando que dessa forma, eles têm oportunidade de discutir,

argumentar, expor seus pontos de vista, e, principalmente ouvir.

27

Diante de uma resposta incorreta, é necessário fazer questionamentos, com

o objetivo que o estudante por si próprio perceba seu erro e faça as correções. É

preciso valorizar as soluções apresentadas e saber se fazer presente, não tirando

dos estudantes a oportunidade de pensar e ao mesmo tempo incentivando-os a

chegar à solução por meio de uma pergunta, uma dica ou mesmo uma restrição.

7. 6 Avaliação

A avaliação poderá ser feita no decorrer de toda a aula, pois no momento

das duplas e dos grupos é possível verificar se eles estão participando da atividade;

e no transcorrer da apresentação, é possível avaliar se os estudantes argumentam,

fazem suposições e defendem suas idéias.

Nesse tipo de atividade não se prioriza apenas a resposta correta, mas o

levantamento de hipóteses, as discussões, as tentativas e a busca pela resolução do

problema.

7.7 Referências Bibliográficas

OBMEP 2005. 1ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas. Brasília,

2005.

8. MULTIPLICAÇÕES

8. 1 Objetivos

• Compreender o processo da construção da tabuada.

• Solucionar problemas envolvendo a multiplicação.

• Perceber que a Matemática é uma ciência em construção.


Tabuada, algoritmo da multiplicação e propriedades da multiplicação.

8.3 Metodologia

Resolução de problemas.

8. 4 Materiais

Papel quadriculado.

28


Trabalhando com matérias manipuláveis e explorando jogos e situações

diversas, os estudantes poderão, aos poucos, construir e registrar os fatos

fundamentais que compõem a multiplicação. O ideal seria que o estudante chegasse

na 5ª série compreendendo a tabuada, mas, como para a maior parte, isso não

ocorre, cabe ao professor desta série, propiciar oportunidades, por meio de

atividades diversas, de os estudantes compreenderem e memorizarem a tabuada.

8. 5. 1 Construindo a tabuada

Por meio de desenhos e conjuntos, os estudantes poderão fazer as

seguintes representações:

Tabuada do 2 2 x 1 ♥ ♥ 1 + 1 2

2 x 2 ♥♥ ♥♥ 2 + 2 4

2 x 3 ♥♥♥ ♥♥♥ 3 + 3 6

2 x 4 ♥♥♥♥ ♥♥♥♥ 4 + 4 8

Tabuada do 33 x 1 ♣ ♣ ♣ 1+1+1 3

3 x 2 ♣♣ ♣♣ ♣♣ 2+2+2 6

3 x 3 ♣♣♣ ♣♣♣ ♣♣♣ 3+3+3 9

3 x4 ♣♣♣♣ ♣♣♣♣ ♣♣♣♣ 4+4+4 12

29

É importante que o estudante perceba que a multiplicação pode ser

entendida como adição de parcelas iguais e, de acordo com a necessidade, é

possível ir fazendo os conjuntos até que os estudantes compreendam a tabuada.

8.5.2 Sistematizando a tabuada

Após a construção, feita por meio de conjuntos, é possível que os

estudantes construam uma tabuada:

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 6 9 10

2 2 4 6 8 10

12

14

16

18

20

3 3 6 9 12

15

18

21

24

27

30

4 4 8 12

16

20

24

28

32

36

40

5 5 10

15

20

25

30

35

40

45

50

6 6 12

18

24

30

36

42

48

54

60

7 7 14

21

28

35

42

49

56

63

70

8 8 16

24

32

40

48

56

64

72

80

9 9 18

27

36

45

54

63

72

81

90

10

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Completando a tabela, diversas seqüências e regularidades podem ser

exploradas, e, espera-se que neste momento, os estudantes percebam que, por

exemplo, 5x3 é a mesma coisa que 3x5; portanto, é possível explorar a propriedade

comutativa da multiplicação. Caso os estudantes não percebam, é possível propor a

seguinte pergunta:

30

Quais os números da linha 2?

Quais os números da coluna 2?

Por que eles são iguais?

Outras questões podem ser propostas, como:

Quantos “doze” aparecem na tabela? Quais são as multiplicações que

resultam em 12?

E quantos “quinze”? Quantos “dezesseis”? – diversos outros números

podem ser perguntados, e, para responder, os estudantes terão que

explorar a tabuada.

8. 5. 3 Curiosidades da tabuada do 9

Após os estudantes compreenderem como são feitas as multiplicações para

a tabuada, que alguns “truques” podem ser usados para adquirir os resultados mais

rapidamente, antes de os mesmos serem memorizados.

Escrevendo os resultados

Ao escrever na 1ª coluna os números de 0 a 10 na ordem crescente e na 2ª

coluna, os mesmos números, mas na ordem decrescente, obtemos os produtos

resultantes da tabuada do 9:

1ª coluna 2ª coluna operação

0 9 9x1

1 8 9x2

2 7 9x3

3 6 9x4

4 5 9x5

5 4 9x6

6 3 9x7

7 2 9x8

8 1 9x9

9 0 9x10

31

Outra maneira de se obter a tabuada do 9, de maneira bem rápida, sem

haver necessidade de uso de registro é por meio dos dedos das mãos.

Para calcular, 9 x 8, por exemplo, usa-se o seguinte procedimento:

• Com as duas mãos abertas, esconde-se o oitavo dedo;

• Os dedos que ficarem à esquerda do dedo escondido são as dezenas,

que no caso, são 7.

• Os dedos que ficarem à direita do dedo escondido são as unidades, que

no caso, são 2.

• Portanto, obtém-se, com fácil visualização, 72.

Multiplicações por 9:

MUltiplicação Mãos Dezenas Unidades Resultado

9 x 1 0 9 9

9 x 2 1 8 18

9 x 3 2 7 27

9 x 4 3 6 36

32

9 x 5 4 5 45

9 x 6 5 4 54

9 x 7 6 3 63

9 x 8 7 2 72

9 x 9 8 1 81

É importante que, de acordo com Pietro (2006), após compreendidos os

fatos fundamentais, eles sejam, aos poucos, memorizados pelos estudantes. Para

isso é oportuno utilizar jogos variados.

8. 5. 4 JOGO MULTIPLICATIVO (retirado de PARANÁ, 1998)

MATERIAL: cartas que podem ser de baralho, enumeradas de 2 a 9.

OBJETIVOS: trabalhar com os alunos a memorização da tabuada, a

capacidade de análise e a tomada de decisões na resolução de problemas.

REGRAS:

• O jogo pode ser feito em grupo de 2 ou mais pessoas;

• Uma pessoa do grupo escolhe 4 cartas sem que as demais vejam;

• A tarefa dos outros jogadores é tentar ser o primeiro a adivinhar as suas

cartas;

• Na sua vez de jogar, ao jogador só é permitido fazer a pergunta: “Você

tem duas cartas cujo produto é ___ (15, por exemplo)?”;

• O jogador com as cartas na mão responde apenas sim ou não;

• Os produtos são registrados para que os jogadores possam analisar as

tentativas bem como as respostas “sim” ou “não”;

33

• O vencedor é aquele que conseguir em primeiro lugar quais são todas as

cartas escolhidas;

• Se a resposta não estiver correta, o jogador perde a vez de jogar;

8. 5. 5 Algoritmo da multiplicação

É necessário mostrar aos estudantes que não existe apenas uma forma de

multiplicar, que a Matemática não é um conjunto de leis únicas que têm que ser

obedecidas. A seguir, alguns modos de multiplicar:

1º Geometricamente, em papel quadriculado:

10 5 10 10 3 3 10 5

1 0 05 0

+ 3 01 5

1 9 5

2º Fazendo a decomposição

15 x 13 (10 + 5 ) x ( 10 + 3)

10 + 5

x 10 + 3

30 + 15

100 + 50

34

130 + 65

195

3º Pelo algoritmo usual

C

X

D

1

1

U

5

3

+ 1

4

5

5

0

1 9 5

8. 5. 6 Outras formas de multiplicar

Além do algoritmo tradicionalmente utilizado, é possível mostrar outras

formas de multiplicar, para que os estudantes percebam que a Matemática não é

uma ciência pronta e acabada, pelo contrário, é algo dinâmico, passível de erros e

correções.

Esse saber historicamente construído precisa ser trabalhado com os

estudantes para que eles possam valorizar o conhecimento, sentirem-se motivados

para resolverem problemas e fazerem uma reflexão sobre o conhecimento

contemporâneo da Matemática.

Método Egípcio

Há 2000 anos, os egípcios não sabiam a tabuada, mas tinham grande

facilidade com as duplicações.

Ex: 26 x 18

O primeiro passo é construir uma tabela de dobros para 26 (ou o 18):

1 x 26 = 262 x 26 = 52

35

4 x 26 = 1048 x 26 = 20816 x 26 = 416

Decompondo o outro número, o 18, temos 18 = 16 + 2, e, utilizando a tabela

temos: 416 + 52 = 468.

Portanto, 26 x 18 = 468.

Método utilizado na Idade Média

O Método empregado na Europa medieval era semelhante ao método

egípcio, porque também se baseava no sistema de dobros.

Para multiplicar por esse método, coloca-se os dois números lado a lado, e,

em um deles calcula-se a metade e no outro, calcula-se o dobro. Na linha que deu

metade 1, o resultado da operação está na coluna ao lado, a do dobro.

Ex: 16 x 14 metade Dobro

16 148 284 562 1121 224

Portanto, 16 x 14 = 224.

Porém, números ímpares não têm metade exata, então, é feito da seguinte

forma:metade Dobro

26 1813 366 723 1441 288

Como 13 e 3 não têm metades exatas, calcula-se a sua metade,

aproximando-se para menos. O resultado seria 288, mas, nesse caso, a ele se

somam os dois números dos dobros obtidos nas divisões que não têm metade.

36

Portanto, 26 x 18 = 288 + 144 + 36 = 468.

Método Reticulado

Esse método existe, segundo Toledo (1997), desde, pelo menos, o século

XII e ainda é utilizado em algumas escolas da França. É também conhecido como

gelosia, que em italiano significa grade, pois se assemelha com as grades utilizadas

nas janelas da Itália.

Para fazer a multiplicação, basta separar os quadrados e ir fazendo as

multiplicações, semelhante à tabuada anteriormente sistematizada.

Após completar todos os quadrados, calcula-se a soma dos números

colocados em cada diagonal. No caso de a soma ser maior ou igual a 10, o

algarismo das dezenas é levado à diagonal seguinte.

8. 5. 7 Jogo com multiplicação

• Forme uma dupla com um colega;

• Cada um usa um lápis de cor diferente;

• O objetivo é formar quadrados, unindo um ponto a outro (os traços que

unem os pontos não podem passar sobre os números);

• Faz-se um sorteio para ver quem começa;

• Na sua vez, o jogador deve unir dois pontos;

• Quando um jogador traçar o quarto lado do quadrado, o número que

ficou dentro deve ser anotado, para posteriormente ser multiplicado;

• Quantos acabarem os pontos a serem unidos, é só verificar quantos

quadrados cada um anotou;

37

• Cada jogador multiplica todos os números encontrados nos quadrados

que formou;

• Vence aquele que obtiver o maior número;

• Os números podem ser adaptados de acordo com o grau de dificuldades

dos alunos;

. . . .

9 10 16

. . . .

8 14 2

. . . .

8 18 10

. . . .

Jogador 1: ____________________

Nos dos quadrados: _____________

Multiplicação: __________________

Jogador 2: _________________

Nos dos quadrados: ______________

Multiplicação: _______________

Vencedor: __________________

OBSERVAÇÕES:

Com esse jogo podem ser trabalhadas as propriedades da multiplicação,

como, por exemplo, o elemento neutro;

Pode-se colocar o zero, para que os estudantes compreendam que a

multiplicação por zero tem sempre como resultado zero;

Nas séries mais adiantadas, é possível trabalhar a multiplicação dos

números inteiros;

8. 5. 8 Outros problemas

38

1. Uma loja oferece os seguintes carros:

E as seguintes cores:

Preto Branco Vermelho Prata

Quantas escolhas possíveis têm um consumidor?

2. (DANTE, 2004) Calcule, do modo que quiser, e responda às questões a seguir:

a) O número de unidades em 16 dúzias:

b) O número de quilogramas em 23 arrobas:

c) O número de dias em 14 anos, incluindo 4 anos bissextos:

3. (Adaptado: IMENES, 1999) Com os dedos sobre o pescoço, a menina está

sentindo as batidas do coração. Se o coração dela dá 68 batidas por minuto,

quantas batidas vai dar em uma hora?

Foto: arquivo da autora

E o seu coração? Quantas batidas dá em uma hora?

4. (LELLIS, 1994) Entrei em um jogo com 243 figurinhas. Na primeira hora do jogo,

dobrei o número inicial e na hora seguinte consegui multiplicar por 5 o que eu já

tinha obtido. Com quantas figurinhas saí do jogo? (Observação: neste problema é

39

proibido escrever qualquer coisa, exceto a resposta: você deve resolvê-lo

mentalmente.)

5. (VASCONCELOS, 2002) Carla tem 3 pares de tênis e 4 pares de meias. De

quantas maneiras diferentes ela pode calçar seus pés com um par de meias e um

par de tênis?

8. 6 Avaliação

A avaliação pode ser feita a todo o momento, observando não só as

atividades realizadas no caderno, mas principalmente os momentos das correções,

que podem ser feitas no quadro.

No decorrer das atividades podem ser dados os últimos problemas,

verificando não só se os estudantes conseguem interpretar e retirar os dados, mas

principalmente se compreenderam a tabuada e o algoritmo da multiplicação.


DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Editora Scipione,

1999.

LELLIS, Marcelo; JAKUBOVIC, José. Matemática na Medida Certa. São Paulo:

Editora Scipione, 1994.



SEED/DEPG, 1998.

PRIETO, Andréa Cristina Sória Prieto. A tabuada deve ser entendida ou memorizada? 2006. Disponível em http://www.planetaeducacao.com.br/novo/impressao.asp?artigo=639. Acesso: 01 de nov. 2007.

TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática de Matemática: como dois e dois: a

construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.

40

http://www.planetaeducacao.com.br/novo/impressao.asp?artigo=639

VASCONCELOS, Maria José; ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. São Paulo:

Editora do Brasil, 2002.

9. PROBLEMAS COM O SISTEMA MONETÁRIO

9. 1 Objetivos

• Solucionar problemas relacionados com nosso sistema monetário.

• Calcular e analisar criticamente compras à vista e a prazo.

• Utilizar corretamente os algoritmos da adição, subtração, multiplicação e

divisão.


Operações fundamentais, possibilidades leitura e escrita de números

naturais.

9. 3 Metodologia


9. 4 Materiais

Panfletos de ofertas e folhas de cheque.


Observe os preços e resolva as questões:

41

Computador / 1 Mb / MB GA - 945GZM – S2 / Memoria 512 / DDR2 / 667 / HD 80GB SATAII / Gabinete / Gravador de DVD / Monitor 17 ´

42

À vista

R$ 1.300,00ou a prazo:25x 79,00

http://compare.buscape.com.br/redirect_prod?id=22&raiz=2&prod_id=30048559&emp_id=83855&pos=3&az=f0a7716cdff0082c64e6ff4707734070&cn=1878263651&nc=vd20020322524920070922232204

http://compare.buscape.com.br/redirect_prod?id=22&raiz=2&prod_id=30048559&emp_id=83855&pos=3&az=f0a7716cdff0082c64e6ff4707734070&cn=1878263651&nc=vd20020322524920070922232204

9. 5. 1 Questões propostas

1. Qual o preço do computador a prazo?

2. O preço a prazo é maior ou menor do que o preço à vista? Quanto?

3. Se o preço à vista pudesse ser dividido em 10 prestações, qual seria o valor de

cada parcela?

4. Negociando com o gerente da loja, o cliente conseguiu comprar pelo preço à

vista, com um cheque de R$460, 00, e o restante em três cheques de valores iguais

para serem pagos daqui a 30, 60 e 90 dias.

a) Preencha o cheque dado como entrada pelo computador:

b) Qual o valor a ser pago em cada prestação? Preencha um cheque com esse

valor:

43

5. Observe o número do cheque referente a uma das prestações:

Nele há quantas:

a) unidades de milhar? __________

b) dezenas de milhar? ___________

c) dezenas? ___________________

d) centenas? __________________

e) unidades? __________________

Caso haja necessidade, utilize a tabela abaixo:

centenas

de milhar

dezenas

de milhar

unidades

de milhar

centenas dezenas unidades

6. Caso a entrada fosse paga em dinheiro, como você pagaria essa quantia, quais

notas você usaria?

7. Compare a sua resposta com a de um colega de classe, vocês fizeram respostas

iguais?

8. A que conclusão vocês chegaram?

9. 5. 2 Considerações sobre a atividade

No decorrer da aula, de acordo com a turma, é necessário que se discuta

com os estudantes qual o significado dos termos: a prazo, à vista, entrada,

prestações. A partir de perguntas, pode-se discutir o que eles entendem por esses

termos, e caso haja necessidade, intervir com explicações mais claras ou propor que

os mesmos pesquisem sobre o assunto.

A partir de operações, é possível explorar os números relacionados,

trabalhando seu valor posicional, a leitura e escrita e as ordens e classes.

9. 5. 3 Sugestão de outras atividades

1. (LELLIS, 1994) O caixa de um banco tem em sua gaveta 25 notas de R$50,00, 40

notas de R$10,00 e 40 notas de R$5,00. Uma pessoa está apresentando um cheque

de R$1485,00 e o caixa irá pagá-la.

a) No mínimo, quantas notas a pessoa receberá?

44

b) E no máximo?

2. (VASCONCELOS, 2002) Tenho R$10,00 a mais do que você. Se eu lhe der

R$2,00, com quanto ficarei a mais que você?

3. (GRASSESCHI, 1999) Escreve 15 números entre 100 e 3000:

a) Coloque-os em ordem crescente.

b) Escreva o antecessor de cada um dos números.

c) Coloque os antecessores em ordem decrescente.

9. 6 Avaliação

Além da observação feita no decorrer da aula, em relação ao preenchimento

dos cheques, aos cálculos e às interpretações dos problemas, é possível pedir aos

estudantes que construam outros problemas a partir de panfletos de ofertas e que os

mesmos ou solucionem esses problemas, ou os troquem com os colegas no

decorrer da resolução.


GRASSESCHI, Maria Cecília Castro; ANDRETTA, Maria Capucho; SILVA, Aparecida

Borges Dos Santos. PROMAT: Projeto Oficina de Matemática. São Paulo, FTD,

1999.

LELLIS, Marcelo; JAKUBOVIC, José. Matemática na Medida Certa. São Paulo,

Editora Scipione, 1994.

VASCONCELOS, Maria José; ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. São

Paulo, Editora do Brasil, 2002.

45

ATIVIDADES PARA O

1º ANO

DO

ENSINO MÉDIO

10. PROBLEMAS DA 2ª OLIMPÍADA DAS ESCOLAS PÚBLICAS PARA O

ENSINO MÉDIO

10.1 Objetivos

10.1.1 Geral:

• Revisar conteúdos abordados ao longo do Ensino Fundamental.

46

10.1.2 Específicos:

• Efetuar operações com os números racionais.

• Solucionar equações do 1º e do 2º graus.

• Determinar a razão entre dois números.

• Reconhecer duas grandezas diretamente proporcionais.

• Calcular os termos desconhecidos em sucessões de números

diretamente proporcionais.

• Efetuar operações com polinômios.

• Compreender e calcular os produtos notáveis.

• Calcular algebricamente a área de figuras planas.

• Calcular o comprimento de uma circunferência.


Operações com os números racionais, regra de três, proporcionalidade, área

de figuras planas: quadrado, retângulo e triângulo, medidas de tempo, produtos

notáveis, polinômios, perímetro, teorema de Pitágoras, equações do 1º e do 2º

graus, comprimento de uma circunferência.

10. 3 Metodologia


10. 4 Materiais

Problemas do Banco de Questões da 2ª Olimpíada Brasileira de Matemática

das Escolas Pública.


Formar grupos de dois estudantes, e a cada grupo entregar um dos problemas a

seguir:

1. Uma cerca de arame reta tem 12 postes igualmente espaçados. A distância entre

o terceiro e o sexto poste é de 3,3m. Qual o comprimento da cerca?

47

2. O limite de peso que um caminhão pode transportar corresponde a 50 sacos de

areia ou 400 tijolos. Se este caminhão já contém 32 sacos de areia, quantos tijolos,

no máximo, ele ainda pode carregar?

3. Uma cidade ainda não tem iluminação elétrica e todos usam velas à noite. Na

casa de João usa-se uma vela por noite, sem queimá-la totalmente; com os tocos de

quatro destas velas, é possível fazer uma nova vela. Durante quantas noites João

poderá iluminar sua casa com 43 velas?

4. Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o anúncio: “Compre um e leve

outro pela metade do preço”. Outra promoção que a loja poderia fazer oferecendo o

mesmo desconto percentual é:

a) “Leve dois e pague um”

b) “Leve três e pague um”

c) “Leve três e pague dois”

d) “Leve quatro e pague três”

e) “Leve cinco e pague quatro”

5. Um retângulo está dividido em e regiões, duas delas com áreas 24 cm2 e 13 cm2

conforme indicado na figura. Qual é a área da outra região?

6. Um artesão começa a trabalhar às 8 h e produz 6 braceletes a cada vinte minutos;

já seu auxiliar começa a trabalhar uma hora depois e produz 8 braceletes do

mesmo tipo a cada meia hora. O artesão pára de trabalhar às 12 h, mas avisa ao

48

seu auxiliar que este deverá continuar trabalhando até produzir o mesmo que ele. A

que horas o auxiliar irá parar?

7. Na figura abaixo temos dois quadrados. O maior tem lado a+b e o menor lado a.

Qual a área da região em pintada?

8. O perímetro de um retângulo é 100 cm e a diagonal mede x cm. Qual é a área do

retângulo em função de x?

9. Se eu der duas barras de chocolate para Tião, ele me empresta sua bicicleta por 3

horas. Se eu lhe der 12 bombons, ele me empresta a bicicleta por 2 horas. Amanhã,

eu lhe darei uma barra de chocolate e 3 bombons. Por quanto tempo ele me

emprestará a bicicleta?

10. André treina para a maratona dando voltas em torno de uma pista circular de raio

100m. Para percorrer aproximadamente 42 km, o número de voltas que André

precisa dar está entre:

a) 1 e 10

b) 10 e 50

c) 100 e 500

d) 500 e 1000

Disponibilizar de algum tempo para que ambos os elementos do grupo possam

pensar sobre a situação recebida;

49

Pedir para que as duplas que possuem o mesmo problema se reúnam e

discutam sobre as dúvidas e/ou possíveis soluções apresentadas pelo problema;

Solicitar para cada grupo que apresente o problema e sua resolução, podendo-se

utilizar de dramatização ou a forma como preferirem;


É necessário que os estudantes tenham um tempo suficiente para pensar, e,

no momento em que as duplas com problemas iguais se juntam, é preciso que os

mesmos vejam a situação como reforços para se pensar sobre o problema.

A todo o momento, o professor se faz necessário pelos grupos. Por meio de

perguntas, deve levar os estudantes a pensar sobre a situação. Em algumas

circunstâncias, uma pergunta não é suficiente, então o professor deve ser fazer

presente por meio de uma dica ou mesmo uma restrição sobre o problema.

A riqueza de uma aula como essa, está principalmente no momento da

correção e discussão sobre os problemas, oportunidade na qual os estudantes

poderão rever conceitos, pesquisar sobre novos conteúdos e principalmente

apresentar diversos tipos de soluções para um mesmo problema, o que os levará a

perceber que os problemas são passíveis a diferentes formas de solução.

10. 7 Avaliação

A avaliação poderá ser feito no decorrer de toda a aula, no momento das

duplas e dos grupos é possível verificar se eles estão participando da atividade;

também no transcorrer da apresentação, é possível avaliar se os estudantes

argumentam, fazem suposições e defendem suas idéias.

Nesse tipo de atividade não se prioriza apenas a resposta correta, mas o

levantamento de hipóteses, as discussões, a boa vontade, as tentativas e a busca

pela resolução do problema.


OBMEP 2005. 1ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas.Brasília,

2005.

50

11. ÁREA MÁXIMA E FUNÇÃO QUADRÁTICA

11. 1 Objetivos

11. 1. 1 Objetivo Geral:

Reconhecer a Matemática como ferramenta de trabalho para a resolução de

problemas do dia a dia.

11.1.2 Objetivos Específicos:

• Calcular a área de diversas figuras planas;

• Utilizar o Teorema de Pitágoras e a fórmula de Herão;

• Reconhecer o número π e calcular o comprimento de uma

circunferência;

51

• Construir tabelas com valores para comprimento, largura, perímetro e

área do retângulo;

• Compreender a condição de existência de um triângulo;

• Calcular a área máxima de um retângulo em função do seu perímetro;

• Escrever e interpretar a lei de formação de uma função;

• Construir gráficos;

• Localizar e calcular o vértice de uma parábola;

11. 2 Conteúdos

Possíveis conteúdos abordados, de acordo com o desenvolvimento da aula:

• Valor máximo e valor mínimo;

• Cálculo de área;

• Comprimento, largura e altura;

• Teorema de Pitágoras;

• Fórmula de Herão;

• Função;

• Plano cartesiano;

• Construção de gráficos;

• Número irracional ;

• Vértice de uma parábola;

11. 3 Metodologia


11. 4 Materiais

Régua, esquadro, compasso e papel quadriculado.

11. 5 Desenvolvimento

PROBLEMA: Uma escola ganhou como doação, uma tela de 60m de comprimento.

A direção resolveu, então, cercar um terreno que tivesse a maior área possível, para

fazer experiências com plantas. Como pode ser esse terreno? Quais são as

dimensões?

52

Proporcionar um tempo para que os estudantes, em grupo, possam

pensar sobre a situação;

Perguntar qual a forma que cada grupo pensou para o cercado;

Fazer no quadro, um levantamento das possíveis formas: triângulo,

quadrado, hexágono, retângulo, círculo, etc;

Propor para que cada grupo faça o cálculo de uma das possíveis formas

para o cercado;

Pedir para que cada grupo compartilhe com a turma a área encontrada;

No decorrer do trabalho, é possível, conduzir os estudantes a

trabalharem com a classificação de triângulos, a fórmula de Herão,

condição de existência de triângulos, entre outros conteúdos. Esse

processo deve ser feito por meio de perguntas, como a que segue:

Será que com 60 m eu posso formar triângulos com quaisquer medidas?

Existe alguma condição de existência para o triângulo?

PROBLEMA: Em reunião realizada na escola, os professores de Ciências e Biologia

alegaram que, devido ao tipo de canteiros que eles queriam construir, o cercado

deveria ser na forma de um retângulo. Portanto, quais as medidas do retângulo com

perímetro 60m que possui a maior área?

Cada grupo se encarregará de fazer um novo cálculo, com valores

quaisquer para o comprimento e a largura do retângulo.

Para descobrir quais podem ser as medidas dos lados do cercado, pode-

se propor a construção de uma tabela para a sistematização dos

resultados obtidos por cada grupo. A partir da tabela, pode-se propor a

construção do gráfico, onde x representa o comprimento e y a área do

retângulo.

Questão que pode ser proposta, para reflexão:

53

Um quadrado também pode ser chamado de retângulo?

Após as discussões e a confecção do gráfico, pode-se propor a seguinte

questão:

E se já tivéssemos um muro e quiséssemos fazer um cercado

encostado nesse muro, ou seja, economizando um dos lados do

retângulo. Qual seria a nova área?

11. 6 Outros problemas

1. (OBMEP, 2006) Se os dois lados de um triângulo medem 5cm e 7cm, então o

terceiro lado não pode medir:

a) 11 cm

b) 10 cm

c) 6 cm

d) 3 cm

e) 1 cm

2. (DANTE, 2004) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L

= R – C, em que L é o lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção.

Numa empresa que produziu x unidades, verificou-se que R(x) = 6000x – x2 e C(x) =

x2 – 2000x. Nessas condições, qual deve ser a produção x pra que o lucro da

empresa seja máximo?

3. (DANTE, 2004) Um projétil da origem O(0,0), segundo um referencial dado,

percorre uma trajetória parabólica que atinge sua altura máxima no ponto (2,4).

Escreva a equação dessa trajetória.

4. (OBMEP, 2006) Em um restaurante, qual família come mais pizza: aquela que

pede uma grande de 43 cm de diâmetro ou aquela que pede duas médias de 30 cm

de diâmetro?

5. Qual a soma de dois lados de um triângulo eqüilátero cujo perímetro é de 24 cm?

54

6. (DANTE, 2004) Tenho material suficiente para erguer 20m de cerca. Com ele

pretendo fazer um cercado retangular de 26m2 de área. Quanto devem medir os

lados desse retângulo?

11. 7 AVALIAÇÃO

A avaliação poderá ser feita de maneira contínua, a todo o momento:

presença, participação nas atividades desenvolvidas no decorrer da aula, interesse e

desempenho.

Como trabalho final, poderia ser a resolução do último problema, o qual deve

ser entregue na próxima aula, bem como um relato da aula.

11. 8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Editora Ática,

2004.

OBMEP. Banco de Questões: 2ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas

Públicas, 2006.

12. SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI

12. 1 Objetivos

• Compreender o significado do número φ.

• Verificar a beleza e a harmonia por meio da Matemática.

• Identificar seqüências numéricas.

• Solucionar equações do segundo grau.

• Construir gráficos.

• Fazer construções geométricas com régua e compasso ou com o

software Cabri II.


55

Medidas, proporções, seqüências, equações do 2º grau, funções, números

irracionais, desenho geométrico, soma dos termos de uma seqüência, número φ,

retângulo áureo.

12. 3 Metodologia

Resolução de Problemas e Atividade de Investigação.

12. 4 Materiais

Livros, revistas e internet para pesquisa, régua e compasso ou o software

Cabri 2d.


No decorrer da aula, diversos problemas aparecem, é necessário disponibilizar

tempo para que os estudantes pensem sobre a situação, só para então, depois,

por meio de questionamentos, oferecer as soluções, caso essas não sejam

apresentadas pelos estudantes.

Seqüência de Fibonacci

http://cidadaodomundo./Fibonacci.gif

Leonardo de Pisa, de acordo

com Bongiovanni (1994), conhecido

como Leonardo Fibonacci (filho de

Bonacci), viveu no século XIII,

tornando-se famoso pelos seus

conhecimentos matemáticos.

Um dos seus problemas mais famoso é assim proposto:

“Um casal de coelhos torna-se produtivo depois de dois meses de vida.

A partir de então, produz um novo casal a cada mês. Começando com um

56

único casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais teremos ao final de

um ano?”

Mês: jan fev mar abr mai jun ...

Pares: 1 1 2 3 5 8 ...

Fonte: http://www.jimloy.com/algebra/rabbits.gif

Observe os números formados por essa seqüência, existe alguma relação entre

eles?

Os números formados pelos pares de coelho: 1, 1, 2, 3, 5, 8,... formam,

nessa ordem, a seqüência de Fibonacci.

Qual o próximo termo dessa seqüência? Qual sua lei de formação?

Observando atentamente essa seqüência, percebemos que, a partir do

terceiro, cada termo é igual à soma dos dois anteriores. Assim, podemos escrever a

seqüência de Fibonacci até onde quisermos:

Mês jan fev mar abri mai jun jul ago set out nov dez ...1 1 2 3 5 8 1

3

21 3

4

55 89 144 ...

Esta seqüência tem uma característica especial, denominada

recursividade:

• O 1º termo somado com o 2º termo gera o 3 º termo;


57


• E assim sucessivamente...

Denotando a sequência por u=u(n) como o número de pares de coelhos ao

final do mês n, poderemos escrever:

u(1) + u(2) = u(3)

u(2) + u(3) = u(4)

u(3) + u(4) = u(5)

u(4) + u(5) = u(6)

u (n – 1) + u (n) = u (n + 1)

Portanto, depois de um ano teremos 144 pares de coelho, sendo o primeiro

par, que deu origem e mais os 143 pares produzidos.

Será que a seqüência de Fibonacci aparece

em outras situações da vida?

São diversas as aplicações, segundo Sodré (2005), em que encontramos a

Seqüência de Fibonacci, entre elas:

• estudo genealógico de coelhos;

• estudo genealógico de abelhas;

• comportamento da luz;

• comportamento de átomos;

• crescimento de plantas;

• probabilidade e Estatística;

• curvas com a forma espiralada como: Nautilus (marinho), galáxias,

chifres de cabras da montanha, marfins de elefantes, rabo do cavalo

marinho, onda no oceano, furacão, etc.

Na seqüência de Fibonacci existe um fato curioso! Descubra qual é essa fato,

fazendo as divisões de cada termo pelo seu antecessor:

)(

)1(

nF

nF + Razão

58

1

1 1

1

2 2

2

3 1,5

3

5 1,666...

5

8 1,6

8

13 1,625

13

21 1,615

21

34 1,619

Quando colocamos essas razões sucessivas em um gráfico em que o eixo

horizontal indica o elementos da seqüência de Fibonacci, fica , observe o que

acontece com a razão:

As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como

Número de Ouro (Número Áureo), que é frequentemente representado pela letra

grega Phi.

Phi = φ = 1.618033988749895

O número irracional Phi φ, de acordo com Teramon (2007), recebeu esse

nome em homenagem ao arquiteto e escultor grego Phidias, o qual foi responsável

pelo Pathernon.

59

Agora, faça o contrário, encontre as razões entre um número da seqüência de

Fibonacci e seu sucessor. Veja o que acontece:

)(

)1(

nF

nF + Razão

(aproximada)

1

1 1

2

1 O,5

3

2 0,666...

5

3 0,6

8

5 0,625

13

8 0,615

21

13 0,619

34

21 0,617

Dessa vez, obtém-se a razão que se aproxima do número ϕ , que equivale

a 0.618033988749895.

ϕ= 0.618033988749895

Obtendo os números φ e ϕ geometricamente

e numericamente

Dado um segmento AB, como dividi-lo em duas partes?

Para essa pergunta, há infinitas respostas, porém, para que a divisão seja

harmoniosa, segundo Teramon (2007), é imposta a seguinte regra:

Menor

Maior

Maior

Todo =

60

A) Obtendo x geometricamente:

x

x

x −=

1

1

xx −=12

xx −=12

12 =+ xx (completando quadrados:)

4

11

4

12 +=++ xx ⇒ 2

22

2

11

2

1

+=

+x

Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

222

2

1

2

11

+=

+ x

222 acb =+ , onde 1 e 2

1 são os catetos e

2

1+x é a hipotenusa.

Construção:1º Marcar AB= u;2º Traçar mediatriz de AB, obtendo o ponto C;3º Traçar perpendicular em B e transferir a medida 1/2u, marcando D;4° Unir A e D;5º Transportar medida 1/2u (BD) marcando E;6º Medida AE = x

B) Obtendo x numericamente:

12 =+ xx

012 =−+ xx

2

15

2

51' −=+−=x ⇒ ϕ== ...6180,0'x

2

15

2

15

2

51''

+=−−=−−=x ⇒ φ== ...6180,1"x

61

Retângulo de Ouro

O retângulo de ouro ou retângulo áureo, construído a partir do número de

ouro, é considerado o mais harmonioso dentre as formas retangulares, e é utilizado

em diversas obras de arte.

De acordo com Santos (2006), nas ruínas do Pathernon, templo grego

construído no século V a. C, e na mais notável e conhecida obra do pintor italiano

Leonardo da Vinci, a Mona Lisa, pode-se verificar a existência do retângulo áureo.

Fotos: http://www.unicamp.br/unicamp

O retângulo de ouro obedece às seguintes proporções:

A partir de dois quadrados de lado 1, é possível fazer uma construção com

retângulos áureos, utilizando a seqüência de Fibonacci:

62

http://www.unicamp.br/unicamp

http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonardo_da_Vinci

http://pt.wikipedia.org/wiki/It?lia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Pintor

São construídos diversos quadrados com lados cujos comprimentos possam

ser expressos por termos sucessivos da seqüência de Fibonacci, e, arrumando-os

de maneira que a união de seus vértices por uma curva produza uma linha em forma

de espiral.

Fonte: www.docu.net/imatges/img_espiral.gif

Curiosidade

Um uso interessante da seqüencia de Fibonacci é na conversão de milhas

para quilômetros. Por exemplo, para saber aproximadamente a quantos quilômetros

5 milhas correspondem, pega-se o número de Fibonacci correspondendo ao número

de milhas (5) e olha-se para o número seguinte (8). 5 milhas são aproximadamente

8 quilômetros. Esse método funciona porque, por coincidência, o fator de conversão

entre milhas e quilômetros (1.609) é próximo de φ (1.618) (obviamente ele só é útil

para aproximações bem grosseiras: além do factor de conversão ser diferente de φ,

a série converge para φ). (Wikpédia, 2007)

12. 6 Sugestões de Atividades

1. Propor uma atividade em que aparecem diversos retângulos, sendo apenas um

deles um retângulo de ouro. Pedir para que os estudantes identifiquem qual é o mais

harmonioso.

2. Medir vários objetos, como livro, caderno, carteira de identidade, obtendo o que

mais se aproxima de um retângulo áureo.

3. Assistir ao filme “Donald no País da Matemágica” e fazer um relatório sobre a

parte que explica sobre o número de ouro.

4. Pesquisar sobre outras obras de arte famosas, em que aparecem retângulos

áureos.

63

http://pt.wikipedia.org/wiki/Quil?metro

http://pt.wikipedia.org/wiki/Milha

http://www.docu.net/imatges/img_espiral.gif

5. Como foi visto nos exemplos citados acima, a arte visava a beleza, a proporção e

a harmonia. No ser humano, o umbigo divide a altura total do corpo em proporção

áurea. Existe a seguinte relação:

...618,1=cabeçaàumbigodomedida

péaoumbigodomedida Quanto mais essa razão se aproxima

do número φ, mais harmoniosa é a pessoa.

Propor aos estudantes que meçam cada um, essas medidas e calculem essa razão.

6. Existem muitas sequências com as mesmas propriedades que a sequência de

Fibonacci. A seqüência abaixo indicada com a letra L recebe o nome de seqüência

de Lucas.

L = {1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...}

Crie outras seqüências, utilizando a mesma lei de recorrência:

7. Escreva os vinte primeiros termos da seqüência de Fibonacci:

a) Encontre a soma dos dez primeiros termos:

b) Multiplique o sétimo termo por 11. A que conclusão chegou?

c) Construa uma outra “seqüência” de Fibonacci começando por outro natural

diferente de 1:

d) Faça comparações:

e) Construa uma seqüência semelhante à de Fibonacci, sem repetição do primeiro

termo:

8. Pesquise sobre outras seqüências denominadas: Tribonacci e Tetrabonacci.

12. 7 Avaliação

A avaliação poderá ser feita no decorrer de toda a aula, verificando se os

estudantes estão participando ativamente das pesquisas e das atividades. Os

últimos exercícios propostos podem ser feitos em grupo, atribuindo-se valores para

cada questão. Pode ser pedido relatórios, tanto do filme do Donald, como das

atividades feitas no exercício 4, onde o estudante terá que registrar suas principais

conclusões e sua compreensão sobre o assunto.


64

BONGIOVANNI, Vincenzo; LEITE, Olímpio Rudinin Vissoto; LAUREANO, José Luiz

Tavares. Matemática: volume único. São Paulo: Editora Ática, 1994.

SANTOS, Raquel Carmo. Matemática ensinada com Arte. 2006. Disponível em

http://www.unicamp.br/unicamp/unicamp_hoje/ju/abril2006/ju320pag12.html. Acesso

em: 21/nov./2007.

SODRÉ, Ulysses, TOFFOLI, Sonia F.L. Alegria Matemática: Seqüências de

Fibonacci.2005. Disponível em http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/

alegria/fibonacci/seqfib1.htm. Acesso em: 21/nov./2007.

TERAMON, Neuza. Ouro em toda parte: anotações de sala de aula. Encontro de

área, dia 20/11/07.

NÚMERO DE FIBONACCI. Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%B Amer

_de_Fibonacci, acesso em 20/nov./2007.

65

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%25B Amer _de_Fibonacci

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%25B Amer _de_Fibonacci

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/ alegria/fibonacci/seqfib1.htm

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/ alegria/fibonacci/seqfib1.htm

http://www.unicamp.br/unicamp/unicamp_hoje/ju/abril2006/ju320pag12.html

da escola pÚblica paranaense 2007 - … · ... à sua direita, 30 árvores. na volta pela mesma...

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