Curso de Ventos Estelares

Marcelo Borges Fernandes

Opssss digo...

PREVIOUSLY ON STELLAR WINDS

Aula 6

Ventos Isotérmicos

Referência: Capítulo 3 de Introduction to Stellar Winds (Lamers & Cassinelli)

Vimos que:

Ventos isotérmicos com somente a pressão do gás

Lei de velocidades: transônica (passa pelo ponto crítico)

Taxa de perda de massa dependente das condições na base do vento

2 forças: pressão e gravidade

Quais os efeitos de se incluir uma força adicional ?

- O ponto crítico terá a mesma posição ?

- Haverá um aumento ou diminuição da velocidade ou da taxa de perda de massa ou de ambos ?

- Essas alterações dependerão de onde a força for aplicada ?

- Ocorrerão os mesmos efeitos tanto na região subsônica quanto na supersônica ?

A idéia de uma força sendo aplicada somente em uma região restrita parece bem artificial, mas...

Ventos dirigidos por poeira!!!!

Tipo I) Força adicional: f α r -2

A equação de momento de um vento isotérmico com uma força adicional positiva: f = A r -2 será:

Equação 1

Assumimos que a força é menos intensa que a força gravitacional e atua em todo o vento

uma redução da gravidade ou da massa da estrela

Temos então:

- A > 0 e constante na região onde f opera e A = 0 fora dela

- a equação de momento é similar a aquela de um vento isotérmico somente com a pressão do gás

dv / dr só será > 0 para qualquer r, se o numerador e o denominador forem iguais a 0 no mesmo ponto (singularidade)

Regra de L´Hopital

Temos:

- como uma redução da gravidade ou da massa da estrela

- A > 0 e constante na região onde f opera e A = 0 fora dela

- a equação de momento é similar a aquela de um vento isotérmico somente com a pressão do gás

dv / dr só será > 0 para qualquer r, se o numerador e o denominador forem iguais a 0 no mesmo ponto (singularidade)

Regra de L´Hopital

Só existe uma solução crítica para um valor particular de vo e uma taxa de perda de massa para um conjunto de condições físicas na base do vento (To , ro , ρo) → essa solução dependerá do valor de A

Caso 1) A ≠ 0 em todo o vento

A equação 1 será igual ao caso sem força adicional se usarmos:

Meff = M* - A / G = M* (1 – Γ)

Onde Γ = A / G M*

Se Γ < 1 → Meff > 0 (equilíbrio hidrostático pode ser satisfeito)

Condições de contorno serão as mesmas como no caso sem a força adicional

Caso 1) A ≠ 0 em todo o vento

A equação 1 será igual ao caso sem força adicional se usarmos:

Meff = M* - A / G = M* (1 – Γ)

Onde Γ = A / G M*

Se Γ < 1 → Meff > 0 (equilíbrio hidrostático pode ser satisfeito)

Condições de contorno serão as mesmas como no caso sem a força adicional

rc = G Meff / 2a2 (mais próximo da estrela → (1 – Γ))

v(rc) = a

O fator (1 – Γ) causará também um aumento na taxa de perda de massa:

Equação 2

Caso 1.2) O aumento de A até um valor Γmax

Γ vai de 0 até valores positivos: rc se torna mais próximo de ro

Equação 3

De uma forma geral, o efeito do aumento de Γ na faixa de:

0 < Γ < Γmax

A aplicação de uma força na região subsônica que se contrapõe a gravidade aumenta a escala de altura densidade, Ho

(diminuição de go), e produz uma diminuição mais lenta da densidade para maiores distâncias

Pela equação da continuidade, considerando uma taxa de perda de massa constante: maior densidade, menor velocidade e menor gradiente de velocidade

Vo tem que aumentar com o aumento de Γ de forma a termos uma solução transônica através do ponto crítico (aceleração menor)

Γ pode ser > 1 na região supersônica, resultando em uma lei de velocidades mais acentuada, pois não é preciso satisfazer a condição de equilíbrio hidrostático

Caso 2) A ≠ 0 somente a uma certa distância no vento

Ventos dirigidos por poeira: rd = raio de condensação da poeira

Γ = 0 para r < rd

0 < Γ < 1 para r > rd

Os efeitos na lei de velocidades e na taxa de perda de massa dependerão da localização de rd

Caso Γ = 0:

log rc / R* = 0.5

rc ~ 3 R*

Se rd > rc (Γ = 0):

- Nem a estrutura da região subsônica nem a posição do ponto crítico é afetada por Γ (dM / dt = caso com Γ = 0)

IMPORTANTE!!!!!

Uma força aplicada ao vento acima do ponto crítico não afeta a taxa de perda de massa

Se rd > rc (Γ = 0):

- A velocidade na região supersônica com r > rd será maior do que para Γ = 0, porque o numerador da equação do momento será maior, pois (Meff < M*), e o denominador será também positivo (v2 > a2)

- O aumento de Γ acima de rc resultará em uma lei de velocidades mais acentuada para r > rd

Se rd < rc (Γ):

- dM / dt dependerá de Γ em toda a região:

ro < r < rc(Γ)

porque a lei de velocidades é afetada por Γ(r)

Sendo Γ > 0:

- dv / dr menor

- dρ / dr menor

- maior valor de ρ(rc(Γ))

- maior vo

- menor rc

- maior dM / dt

A taxa de perda de massa para um Γ constante

Se uma força com 0 < Γ < Γmax é aplicada na parte subsônica do vento: dv / dr será menor, mas as velocidades serão maiores, pois rc se move para mais próximo da estrela e terá v(rc) = a, com isso vo será também maior.

Ho maior → dM / dt maior

Uma estimativa do aumento da taxa de perda de massa devido a Γ é dada por:

Equação 4

Forte dependência entre dM / dt e Γ

Exemplo: supergigante vermelha típica

ro ~ R* ~ 103 R

Tvento ~ Teff = 3000K

M* = 20 M

ρO = ρ (τ = 1) = 10 -10 g cm-3

rd = 4 R* onde T ~ 1000 K

Ho = 7 x 10-3 R* = 5 X 1011 cm Equação 5

dM / dt ~ 10-50 M / ano (porque rd ~ 600 Ho onde a densidade é bem baixa)

Se Ho aumenta de um fator 8 (4 x 1012 cm) → dM /dt ~ 10-5 M / ano

Alta sensitividade de dM / dt com Ho

Tipo II) Força adicional: f α v (dv / dr)

Pressão de radiação devido à uma linha opticamente espessa

. Equação de Momento e o Ponto Crítico

Equação 6

Existe então um termo extra no denominador (1 - B) se comparado com o vento isotérmico sem forças adicionais

Se transformarmos v(r) em v´(r) = v(r)(1 – B)-1/2 com B < 1:

Teremos uma equação de momento similar ao caso sem forças adicionais, com um ponto crítico com as mesmas propriedades

Tipo II) Força adicional: f α v (dv / dr)

Pressão de radiação devido à uma linha opticamente espessa

. Equação de Momento e o Ponto Crítico

Equação 6

Existe então um termo extra no denominador (1 - B) se comparado com o vento isotérmico sem forças adicionais

Se transformarmos v(r) em v´(r) = v(r)(1 – B)-1/2 com B < 1:

Uma solução crítica que passa pelo ponto:

rc = G M* / 2a2 com vc ≡ v(rc) = a / (1 – B)-1/2

Uma solução crítica que passa pelo ponto:

rc = G M* / 2a2 com vc ≡ v(rc) = a / (1 – B)-1/2

O ponto crítico não tem mais a velocidade do som, mas uma velocidade mais alta, por um fator (1 – B)-1/2

O ponto crítico não é mais o ponto sônico!!!!!!

O que não é necessário para um vento isotérmico

Ponto crítico é o ponto matemático onde a soma de todos os termos que contém o fator dv / dr na equação de momento, assim como os que não o contém, desaparecem.

A taxa de perda de massa

A taxa de perda de massa devido a força radiativa é dada pela equação de continuidade de massa na base do vento isotérmico:

Equação 7

A taxa de perda de massa é um fator (1- B)-1/2 maior do que no caso sem forças adicionais porque:

-v(ro) é maior por esse fator

-v(r) é maior por esse fator

- ρ(r) é a mesma (como no caso hidrostático para a região subcrítica)

Se B > 1: o denominador da equação de momento será negativo para todos os valores de v, com isso a velocidade aumentará na região subcrítica, alcançando um máximo em rc e diminuindo para o exterior

Dependendo da velocidade vo, a velocidade máxima em rc pode ser subsônica ou supersônica

Tipo III) Forças gerais adicionais:

Forças dependentes de r, v, dv / dr: f(r,v) + g(r,v) x dv/dr

Forças mais complicadas (dv / dr)2 – presentes em ventos radiativos- não serão consideradas

Equação de Momento e o Ponto Crítico

Equação 8

Vemos que vc não é « a » → vc e rc dependem das condições locais e não das forças em outros locais do vento

A existência de soluções:

- começam com pequenas velocidades (v « a) na base do vento isotérmico

- alcançam altas velocidades (v » a) a grandes distâncias

Dependem das propriedades de f(r,v) e g(r,v)

É fácil mostrar que as condições para uma solução crítica com (dv / dr)ro > 0 e (dv /dr)∞ > 0 são dadas por:

Equação 9

É assumido que o vento tem somente um ponto crítico

Somente correto se f(r,v) e g(r,v) variam de forma que o gradiente de velocidade não é negativo além do ponto crítico

Entretanto, se f(r,v) decresce tão drasticamente tal que, o numerador se torna negativo para r > rc ou se g(r,v) aumenta tão drasticamente que o denominador se torna negativo em r > rc

O vento pode ter mais de um ponto crítico: capítulo 9 (ventos com rotatores magnéticos)

Conclusões para os Ventos Isotérmicos

1- A equação de momento, que descreve dv / dr em um vento isotérmico, tem somente uma solução crítica , o qual é transônica

2- rc e vc são somente determinados pelas condições locais em rc

3- Se as forças são somente uma função de r e v, o ponto crítico é o ponto sônico. Se as forças são dependentes de dv / dr, como no caso dos ventos dirigidos por linhas, o ponto crítico não é mais o ponto sônico

4- A velocidade entre ro e rc é determinada pelas forças que atuam no gás entre ro e rc e por vc, fixando vo e ro. Se a densidade em ro é dada, a taxa de perda de massa é fixa

5- A variação da velocidade acima de rc é determinado por vc e pelas forças em r> rc

6- Uma força extra na região subcrítica muda a estrutura de velocidades na região e aumenta a taxa de perda de massa. Uma força extra na região supercrítica muda a lei de velocidades nessa região, mas não muda a taxa de perda de massa

Conclusões para os Ventos Isotérmicos

7- Em um vento isotérmico sem forças extras, a estrutura de densidade é bem próxima da hidrostática na região subcrítica. Isso porque o termo v dv / dr na equação de momento é desprezível se comparada ao termo da pressão. Isso não ocorre na região acima de rc, onde a densidade é determinada pela variação de v

Assim abaixo do ponto sônico, a estrutura do vento é principalmente determinado pelo equilíbrio hidrostático e acima, ele é principalmente determinado pelas forças que aumentam a velocidade

8- A energia de um vento transônico é negativa em ro e positiva a grandes distâncias. Isso implica que o vento pode somente se tornar transônico, se energia é adicionada ao gás, ou na forma de calor ou na forma de trabalho feito por uma força