. -136

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃOEM ENGENHARIA CIVIL

SOBRE UM MODELO DE DISCRETIZAÇflO DE

ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS APLICADO

EM DINÂMICA NÃO LINEAR

YASSUNORI HAYASHI

Disser tação de Mestrado - Dezembro 82

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SULESCOLA DE ENGENHADADEPARÍAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

SOBRE UM MODELO DE DISCRETI 7.AÇÃO DE ESTRUTURAS

TRIDIMENSIONAIS APLICADO I'M lUNAMlCA HÃO LINEAR

YASSUNORI HAYASHI

Dissertação apresentada ao corpo docente do Curso de

P i Graduação em Engenharia Civil da Escola de Engenharia da

t v i crsidade Federal do Rio Grande do Sul como parte dos roqui_

ri-cs para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Civi l.

norto Alegre

Dezembro de 1982

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção

do título de MESTRE EM ENGENHARIA CIVIL e aprovada em sua forma

final pelo Orientador e pelo Curso de Pós-Graduação.

Prof. Jorjcje Daniel Riera

Orientador

tet'tProf, José Serafim Gomes Franco

Coordenador do Curso do Pó:.;-Crnduação cm Eng. Civil

II

Aos meus familiares.

r i

AGRADECIMENTOS

Ao professor Jorge Daniel Riera pela orientaçãoeco-

nhecimentos transmitidos durante a realização deste trabalho.

Ao professor José Serafim Gomes Franco, coordenador

deste curso, pelo incentivo e apoio dispensado.

 Coordenação de Aperfeiçoamento do Pessoal de Nível

Superior (CAPES) e Conselho Nacional de Energia Nuclear(CNEN),

pelo auxilio financeiro.

Aos professores, funcionários e colegas do curso de

Põs-Graduação em Engenharia Civil da UFRGS por todo auxílio

prestado.

à Juliana Zart Bonilha pela preparação das referência

as bibliográficas.

A Maria da Glória Z. Bizarra pela ajuda na confecção

dos originais.

A todos aqueles que indiretamente contribuíram para

a realização desta tese.

SUMARIO

RESUMO VI

ABSTRACT VII

1. INTRODUÇÃO 1

2. REPRESENTAÇÃO DO CONTINUO ATRAVÉS DE UMA ESTRUTURA TRIDJ

MENSIONAL EM TRELIÇA 1

2.1. Introdução 1

2.2. Descrição do Modelo Discreto 8

2.3. Relação Constitutiva para um Mero Ortotrõpico Elás-

tico 9

2.4. Particularização para a Estrutura Tridimensional em

Treliça 16

2.5. Propriedades Unidirecionais para o Elemento Cübico. 18

2.6. Matriz Constitutiva para o Elemento Cúbico 20

2.7. Constantes Elãsticar, 2 4

2.8. Soluções das Equações de Equilíbrio 26

2.9. Integração por Diferenças Finitas Centrais......... 20"

2.10. Estabilidade do Método díis Diferenças Finitas Cen-

trais 31

2.11. Particularidades do Programa Computacional 34

3. AVALIAÇÃO DO MODELO EM PROBLEMAS COM NÃO LINEARIDADE GEO

MÉTRICA 41

3.1. Exemplo 01 41

3.2. Exemplo 02 45

3.3. Exemplo 03 r>0

2.4. Exemplo 04 54

4. APLICAÇÃO A PROBLEMAS COM NÃO LINEAPTDADE FÍSICA E GEOMf

TRICA 58

4.1. Exemplo 01 58

4.2. Exemplo 02 69

5 . IMPACTO SOBRE UMA LAJE ELÁSTICA , , . 75

6 . CONCLUSÕES 80

APÊNDICE 83

BIBLIOGRAFIA 85

RESUMO

Este trabalho apresenta um modelo de discretizaçao de

estruturas tridimensionais para a análise de problemas de dinâ-

mica não linear.

0 modelo consiste num sistema tridimensional de mas-

sas concentradas ligadas por molas axiais e a resposta do sis-

tema ê obtida por integração direta das equações do movimento

pelo método das diferenças finitas centrais.

Verifica-se primeiramente a viabilidade do modelo a-

través da analise de estruturas homogêneas lineares e depois o

seu desempenho na análise de estruturas submetidas a cargas im

pulsivas ou de impacto levando em conta a não linearidade geo-

métrica e não linearidade física.

VI

ABSTRACT

This work presents a discretization model for nonlinear

dynamic analysis of three dimensional structures.

The discretization is achieved through a three dimen-

sional spring-mass system and the dynamic response obtained by

direct integration of the equations of motion using central

diferences.

First the viability of the model is verified through

the analysis of homogêneos linear structures and then its

performance in the analysis of structures subjected to impulsive

or impact loads, taking into account both geometrical and

physical nonlinearities is evaluated.

V! I

1. INTRODUÇÃO

Os reatores atômicos de usinas nucleares sendo proje

tados ou construídos no momento estão tornando-se raoidamente

parte integrante da paisagem industrial e urbana. Devido ao pe

rigo ou dano potencial associado com o meio ambiente, o proje-

to e construção de reatores atômicos estão sujeitos a rígidos

critérios de segurança. Para definir esses critérios de segu-

rança é necessário analisar as origens dos diferentes riscos,

estimar a importância de cada um deles e sugerir característi-

cas palpáveis para os projetos, para que estes sejam capazes de

reduzir o risco global de contaminação radioativa do ambiente.

Dentro das solicitações que podem causar problemas de

segurança, aquelas que interessam neste estudo sao as relacio-

nadas com o impacto de projéteis externos e/ou internos. Entre

os projéteis gerados internamente podem-se citar os devidos ã

ruptura de tubulações ou componentes submetidos a altas pres-

sões, os induzidos por sistemas rotativos e aqueles gerados por

turbinas. As solicitações externas podem ser causadas por im-

pacto acidental de aviões, projéteis gerados por tornados ou

ventos fortes ou ainda por ondas de pressão ou fragmentos pro-

venientes de explosões. O problema de impacto entretanto, não

se restringe aos casos mencionados e embora haja maior concen-

tração de esforços nesse setor, os resultados obtidos poderão

ser aproveitados também em outras áreas, como por exemplo no

estudo de impacto em obras correntes, tais como viadutos ou pon

tes sujeitas a choques de automóveis e navios ou ainda em estu

dos de impacto de mísseis balist icon.

Resultados de invest igiçõen ost.itíst.i cns relaciona-

das com a queda de vários projéteis c o uso subseqüente do mé-

todos probabilísticos permitem avaliar os d.inos <•• a sua impor-

tância, e fornecen hipóteses básicas para o cá]eu Io de siste-

mas de proteção.

A carga de impacto provocada pelo choque de um projé

til é uma carga impulsiva de curta duração,grande magnitude,u-

nidirecional,com grande espectro de freqüências, estendendo-se

ã zona de altas freqüências e incluindo uma grande variedade

de formas de ondas. Para obter a resposta dinâmica de uma es-

trutura sujeita a uma carga de impacto é importante considerar

tanto o efeito local na vizinhança da área atingida como tam-

bém o comportamento global do restante da entrutura. 0 compor-

tamento local geralmente ê não linear devido a grande intensi-

dade da carga atuante enquanto que o comportamento global pos_

sa permanecer linear.

As forças transmitidas através da zona de comporta-

mento não linear para o restante da estrutura podem ser dife-

rentes daquelas transmitidas considerando um comportamento li-

near da área atingida, especialmente na faixa de altas freqtiên

cias.

Quando a ocorrência de um impacto de un projétil so-

bre uma edificação deve ser analisada, o problema pode, porém,

ser dividido em duas partes;

1. o estudo da edificação como um todo

2. o estudo da resistência local contra a perfuração no ponto

de impacto.

Para simplificar o enfoque dessas duas questões os

projéteis foram divididos em duas categorias:

1. os chamados "soft", isto c, aqueles que sofrem grandes de-

formações durante o impacto, ibsorvendo grande parte de sua

energia cinética. Em geral tais projéteis tem grande área de

contato no impacto,afetam toãa a estrutura e são estudados

conjuntamente com o primeiro problema. Este é normalmente o

caso de aviões comerciais.

2. os chamados "hard", isto e, aqueles que dificilmente prsrdem

sua forma durante o choque , tem a área ck: cmtato pequena

e são estudados em conecção com o segundo problema.

O primeiro problema possui diversas particularirinclos,

mas jâ existem estudos e programas computacionais que possibili

tam a obtenção da resposta dinâmica transiente da estrutura

determinar os efeitos induzidos na estrutura. Esto problema nã.->

será" enfocado neste estudo.

Para o segundo problema apresentam-se dificuldades a-

dicionais e até o momento não existe um processo de calculo to-

talmente satisfatório para sua análise. Existem evidentemente

programas em elementos finitos e diferenças finitas, porém quan

do esses programas são utilizados confronta-se com a grande di-

ficuldade de escolher o comportamento dinâmico transiente num

corpo heterogêneo como o concreto armado. De fato, dependendo da

intensidade do choque, o material pode ser inteiramente fratura

do ou ser reduzido a pó, deslocado ou quebrado em blocos super-

postos e ainda ser capaz de apreciável resistência. Nesse estu-

do optou-se por um modelo quo permitisse a implementação poste-

rior dessas características.

Deve-se citar neste ponto que, embora este tipo de

problema esteja estreitamente relacionado com estruturas de con-

creto, como foi visto nos parágrafos anteriores, objetiva-se

neste estudo desenvolver primeiramente uma ferramenta de cálcu-

lo que permitisse avaliar os efeitos locais em estruturas homo-

gêneas, para passar num segundo estagio para a análise de mate-

riais heterogêneos, como o concreto armado.

0 modelo de discretização adotado consiste num siste-

ma tridimensional do tipo treliça, or.de as massas encontram-se

concentradas nos nÔs e as barras funcionam como molas axiais.

Nayfeh e Hefzy obtiveram expressões que possibilitam a substi-

tuição de uma estrutura constituida por subestruturas repeciti

vas do tipo treliça espacial por um meio continuo equivalente.

Escolhida uma das subestruturas como elemento básico para a dis

cretização pode-se inversamente obter a rigidez das barras da

treliça a partir das propriedades do continuo.

Uma vez feita a discretização da estrutura ou da área

atingida, nos problemas de impacto, a solução da equação do mo-

vimento para o sistema substituto é obtida por integração dire-

ta utilizando o método das di fer^rw-s fi-iit'is cent r. tis .

O processo de integração consiste resumidamente era:

1. Dada uma configuração deformada no instante j

2. Obtem-se as forças internas, nessa configuração deformada,

no instante j

3. Conhecidas as outras forças atuantes no instante j

4. Determina-se a configuração deformada no instante (j+1)

Durante o processo de integração na realidade são ca_l

culadas as novas coordenadas de cada nõ em função de suas coor-

denadas em instantes anteriores e da força resultante atuante

no nõ considerado.

A força transmitida por cada barra do modelo é obtida

em função da sua deformação longitudinal, calculada como a rela

ção entre a variação total de comprimento e seu comprimento ini

ciai. Essa deformação é limitada considerando-se que há ruptura

da barra, quando esta atinge um valor previamente estipulado.

Podem ser adotados comportamentos distintos para as

barras do modelo em função do comportamento assumido para o ma-

terial analisado, isto ê, elástico ou elasto-plástico.

Este método apresenta a vantagem de ser facilmente iin

pleraentado computacionalmente dispensando a geração da matriz

de rigidez global da estrutura, e possibilitar a consideração de

não linearidade tanto física como geométrica.

A consideração de não linearidade física, como já foi

citada anteriormente, ê feita partindo-se da hipótese que as bar

ras do modelo apresentam o comportamento não linear semelhante

ao apresentado pelo material que este representa, e a considera

ção da não linearidade geométrica c. obtida pelo próprio procns-

bo de integração, onde as coordenadas de cada nó são redefini-

das a cada passo de integração.

0 processo de integração adotado apresenta entretanto

a desvantagem de ser condicionalmente estável numericamente o que

restringe a sua aplicação â analise de problemas específicos.

Para a análise do comportamento local de estruturas

submetidas a cargas de impacto, devido ã natureza da carga atu-

ante, há a necessidade de se trabalhar com intervalos pequenos

de integração para que não se percam componentes de alta fre-

qüência presentes na resposta do sistema. Portanto para es tipo

de problema o processo de integração torna-se viável. Deve-se

ressaltar, entretanto, que para a obtenção da resposta global

e estruturas, onde geralmente o comportamento é linear e ha a

predominância de componentes de baixa freqüência, isto é dos pri

meiros modos de vibração, o algoritmo torna-se antieconômico.Es_

sa mesma observação é válida com relação â utilização do proce-

dimento de cálculo para análise de problemas com cargas estáti-

cas, pois independentemente da duração do carregamerto deve-se

trabalhar com intervalos pequenos de integração, resultando em

tempos computacionais elevados.

Devido ãs características geoirétricas da unidade cübi_

ca assume-se a hipótese de que o material analisado ê ortotrõp^L

co, com mesmas propriedades em três direções ortogonais prefe-

renciais .

O modelo possibilita entretanto a representação de con

creto armado, porque faz-se somente a substituição do material

concreto, para o qual a hipótese de ortotropia é válida, sendo

adicionados posteriormente as barras que representam a armadura.

No capítulo 4 analisa-se uma viga de concreto armado para ilus-

trar o procedimento de discretização,sem a pretensão de criar

um modelo específico para a representação do concreto armado.

Nos exemples do capítulo 3 considera-se comportamento

elástico linear para as estruturas analisadas. Os problemas não

se relacionam necessariamente com o problema de impacto porque

foram testes para verificar a viabilidade do modelo de discrete

zaçâo. No capítulo 4 são apresentados Lestes adicionais para ve

rificar o desempenho do algoritmo na análise de materiais com

comportamento linear,

Para exemplificar o procedimento na análise le uma os

trutura submetida a uma carga impulsiva é descrita no capículo

5 a análise de uma laje elástica submcjtida a impacto.

Finalmente no capítulo 6 são apresentada ; as conclu-

sões a que se chegaram no preseate estudo.

2. REPRESENTAÇÃO DO CONTÍNUO ATRAVÉS DE UMA ESTRUTURA TRIDIMEN-

SIONAL EM TRELIÇA

2.1. Introc.ução

0 objetivo deste item é desenvolver as ferramentas de

análise analítica e computacional com a finalidade de gerar uma

estrutura tridimensional periódica, isto é, formada por sub-es

truturas repetitivas em treliça, que represente as propriedades

equivalentes de um contínuo.

Na indústria aeroespacial hâ a utilização de grandes

painéis ou estruturas construídas a partir de subostruturrsmeno

res repetitivas do tipo treliça. Para sistemas tridimensionais

obtidos dessa forma Nayfeh e Hefzy^6 desenvolveram equações que

permitem sua substituição por um contínuo equivalente. Devido

ao excessivo número de graus de liberdade seria impraticável fa

zer uma análise convencional, considerando a treliça, porém a

substituição por contínuos equivalentes permito a análise do e;;

truturas construídas a partir desses painéis.

Nesse trabalho como deseja-se discrotizar uma estrutu

ra tridimensional através de um sistema treliçado, foi realiza

do o processo inverso, isto ê, utiliza-se as equações obtidas

por Nayfeh e Hefzy para determinar a rigidez axial das barras

do modelo discreto em função das propriedades do contínuo. 0 do

senvolvimento a seguir apresentado ê aquele dado por estes pes-

quisadores, para a obtenção das propriedades do contínuo equiva

lente considerando conhecida a rigidez axial das barras da tre-

liça.

0 procedimento adotado consiste resumidamente em, uma

vez adotada a geometria do elemento básico repetitivo que gera-

rá a estrutura, determinar os coeficientes independentes a par-

tir da consideração de simetria deste elemento. 0 valor real des

sas constantes são determinados pela contribuição média de cada

barra para a rigidez total da estrutura global16.

Essa contribuição individual de cada barra é obtida

por uma transformação de coordenadas tridimensional.

2.2. Descrição do Modelo Discreto

O elemento básico de construção da estrutura ê apre-

sentado na figura 2.2(a). Este ê um elemento de forma cúbica on

de as arestas e barras paralelas aos eixos coordenados possuem

comprimento L e as barras inclinadas, diagonais do cubo, possu-

em comprimento /-.., Todas as barras possuem mesmo modulo de e-

lasticidade E, podendo entretanto as barras de comprimento Lter

área da seção transversal An diferente da ãrea da seção trans-

versal Ad das barras diagonais.

FIGURA 2.2 (a) - Unidade Reputitiv* Cúbic-i

Nessa análise, como a estrutura tridimensional cm tre

liça é composta por elementos repetitivos a rigidez é considera

da como distribuida, de tal forma que a contribuição individual

pode ser tomada como uma média relativa ao volume. Assume-se que

todas as barras que compõem a treliça são rotuladas de modo que

não há ocorrência de momento fletor localizado. A seguir serã

obtida a matriz contitutiva para a célula tridimensional.

2.3. Relações Constitutivas para um Meio Ortotrópico Elástico.

As relações tensão-deformação para um corpo elástico- 19

arbitrário podem ser escritas de forma compacta

(2.3.1)

Para um corpo anisotrópico elástico o número de cons-

tantes elásticas na lei generalizada de Hooke é igual a 21. Se

o meio é elasticamente simétrico em certas direções, entáo o nu

mero de constantes independentes Cj.j da equação(2.3.1) pode ser

reduzido. Observando a figura 2.2(a) nota-se que o elemento cú-

bico é ortotrópico, isto é, não há alteração do seu comportamen

to mecânico quando são invertidas as orientações dos eixos coor

denados x\,X2 e X3. Isto continua válido para a estrutura gera-

da pela unidade repetitiva cúbica e considera-se que o meio con

tinuo equivalente é ortotrópico.

Esta propriedade ê expressa pela condição de que os

coeficientes Cij são invariantes sob as transformações

= - x 3

« x 3

= x .

(2

(2

(2

.3

.3

.3

. 2 )

. 3 )

. 4 )

As tabelas de cossenos diretores para estas transfor-

mações são respectivamente

XI

x2

x3

xl

1

0

0

X2

0

1

0

X3

0

0

-1

(2.3

x2

X3

Xl

1

0

0

X2

0

-1

0

X3

0

0

1

X

X

X

1

2

3

X

-1

0

0

1 X2

0

1

0

X

0

0

1

3

(2.3.6)

(2.3.7)

Essas transformações são dadas para tensões e deforma

ções pelas equações seguintes:

onde

i nj °ij

mn mi n j E i j

Í.J. ••- c o s ( x i , x )

(2.3.8)

(2.3.9)

(2.3.10)

A equação (2.3.1) foi escrita na forma reduzida apre-

sentada, utilizando-se a seguinte notação.

°33=O3 'T23=a4 (2.3.11)

'22=12 2 = 1 2 C 3 3 ^ 3 2 > 2 3 = ( 4 2 ' 3 1 '" 5 2 ' l 2

para evitar os índices duplos. Nos desenvolvimentos seguintes

para a utilização das equações (2.3.8) e (2.3.9) deve-se traba-

lhar com índices duplos, porém os resultados finais são apresen

tados na notação com índice único.

As transformações que caracterizam um corpo ortotró-

pico serio aplicadas consecutivamente, para determinar que coe-

ficientes são eliminados.

Para a primeira transformação, aplica-se as equações

(2.3.8) e (2.3.9) para os cossenos diretores da equação(2.3.5).

Para a tensão a,, tem-se

' • 1 1

?72

«n

'n

h i

a 2 1 4

a 3 1 4

" 11 J2

• ' 1 2 ' , 2

• *V3 V 2

" 1 2 + * 1

" 2 2 + ? ' l

"32 + S

l f 73 "13

2 V 3 "23

• 3 ^ 3 " 3 3

ou

ã1 = o ^ (2.3.13)

analogamente para as demais tensões tem-se

°2 ~ °2 ° 3 = n 3 a4 =*}4 f!5 = ~°5 °6 = °6 (2.3.14)

para a deformação t 1 tem-se

ell Pll "li cll + 11 ' L2 :12

'l2 'li L21 4 '12 ''12 22

5 13 '11 '-31 + ?13 f.12 ' 32

* 11 = ' 11 '' 11 ' 11 - ' 11

••1

?1

• x

1

2

3

7 1 3

' 1 2

' 1 3

13

' 2 3

' 3 3

OU

(2.3.15)

analogamente para as demais deformações obtem-se

E 2 = E 2 E 3 = E 3 E 4 = - r - 4 r 5 = " £ 5 E 6 ~ e 6

A p r i m e i r a e q u a ç ã o de ( 2 . 3 . 1 ) t o r n a - s e

ffl = C l l £ 1 + C 1 2 C2 + C 1 2 e 3 + °14 e 4 + C 1 5 t 5 + C 1 6 G6

( 2 . 3 . 1 7 )

após a t r a n s f o r m a ç ã o

+ C 1 2 ~C2 + a i 3 f 3 + C 14 E 4 + C 1 5

( 2 . 3 . 1 8 )

ou

° 1 = C l l E l + C 1 2 e 2 + C 1 3 f - 3 " C 1 4 e 4 " C 1 5 E 5 + C 1 6 E 6

( 2 . 3 . 1 9 )

A comparação das expressões de o. dadas por (2.3.17)

a (2.3.19) mostra que

C 1 4 - C 1 5 = 0 ( 2 . 3 . 2 0 )

Analogamente c o n s i d e r a n d o a~, . . . ,"c, t s m - s e

C 2 4 = C 25 = C 34 = C 35 = C 64 = C r l 5 = ° { 2 ' 3 ' 2 1 )

51 52 u 5 j S f

( 2 . 3 . 2 2 )

Para um material com um plano de simetria, no caso

(x, x ), a matriz dos coeficientes C.. pode ser escrita

C12 C13

C31

0

0

C32

0

0

C33

0

0

0

C44

C54

0

C45

C55

C

0

0

C61 C62 C63

'16

'26

36

0 C66

(2.3.23)

Aplicando a transformação (2.3.4) obtem-se para ten-

sões e deformações

o. = a± (i - 1,4) õ5=-n5 a6 =-afi (2.3.24)

Da equação (2.3.1) tem-se

(2.3.25)

= C H El + C12 13 ( 2- 3' 2 6 )

apôs a transformação torna-se

01 = el + C12 C13 3 + C16 E6 (2.3.27)

ou

12 f 2 + C13 (2.3.28)

donde segue-se que C., = 0. Analogamente considerando as expres_

soes transformadas para n~, ...,af obtem-se

C26 = C36 = C45 = C54 '~ C61 = C62 = C63

I'l

Assim para ara meio ortotropico a matriz de coeficien-

tes C. . fica

cll

Si

Si

0

0

0

C12

C22

C32

0

0

0

cli

S3

S3

0

0

0

0

0

0

C44

0

0

0

0

0

0

C55

0

0

0

o

0

0

C66(2.3.30)

Essa nova matriz apresenta agora 9 constantes indepeii

dentes. Este número pode ser reduzido no caso de materiais com

as mesmas propriedades nas direções x ,x e x , pois uma rota-

ção de 90° no plano x.-x não altera a estrutura o introduz res

trições adicionais.

Para essa rotação tem-se a tabela de cosenos direto-

res seguinte,

L 0

-1 0

0 0

0

1

(2.3.31)

Aplicando as equações (2.3.3) e (2.3.9) para esse:

cosenos diretores tem-se para tensões e deformações

°l=a2 a?=J'l a3 =°3(2.3.32)

e =K e =£ e = f. e = - e r => t = F. ( 2 . 3 . 3 3 )1 2 2 1 3 3 4 5 5 4 66

Da equação (2.3.1) tem-se

°2 = C21 El + C22 Z2 + C23 £3 (2.3.34)

ou

°1 = cll

°2 = Cll

El + C12

e2 + C12

"2 '

el '

h C13

h C13

£3 (2

(2

.3.

.3.

35)

36)

donde segue que

C 1 1 = C 2 2 C 1 3 = C 2 3 (2'3-37)

Considerando as expressões transformadas para o.

tem-se

ac = Ccc cc (2.3.38)

o. = C.. c. (2.3.39)4 44 4

ou

0 5 = C 4 4 r5 (2.3.40)

da qual obtém a restrição C.. = C.,., restando 6 coeficientes in

dependentes. Uma nova rotação nos planos x, - x_ ou x_ - x for

nece como no caso anterior mais três restrições

C = C C - C C - C (11 411C13 L12 ' C33 11 ' C66 C44 Ki.i.^i.)

que finalmente reduzem a matriz de coeficientes C. . para

'11

'12

12

'12

'11

12

12

12

'11

0 0

0 0 o

0 0 0

44

0 C.. 044

0 0 C

1

(2.3.42)

44

que possui 3 constan es distintas.

Como não restam mais considerações que conduzam a no-

vas restrições conclui-se que o elemento cúbico tem 3 constan-

tes elásticas independentes.

2.4. Particularização para a Estrutura Tridimensional em Treli-

Ça

As conclusões obtidns no item anterior com relação ao

número de constantes independentes continuam validas tanto para

estruturas continues como para estruturas descontínuas desdes

que estas representem o mesmo tipo de simetria, e os valores nu

mêricos dos termos C.. da matriz de rigidez dependerão da estru

tura específica em consideração.

Desde que estamos analisando estruturas do tipo troli

ças construídas a partir de elementos unidimensionais é de se

esperar que cada elemento contribua para a rigidez global da es

trutura e a soma da contribuirão média de cada barra fornf-cc en

tão a matriz final como será visto a seguir.

As constantes elásticas para qualquer corpo anisotró-

pico podem ser transformados de um sistema de coordenadas orto-

gonal cartesiano x, para outro x. (i = 1,2,3) através da equa-1 fi

ção (2.4.1) .6

m=l

o <\ . (2.4.1)n -inn ' i j

onde = 1,2,3,4,5,6)

JK = 1 se K = 1,2,3

2 se K = 4,5,6

(2.4.2)

e os q.. são os elementos da matriz quadrada 6 x 6 :

2«1

2

Bi

ly

> l o l y 2 « 2

a j 3 ] 012P2

3

3 3 Y 3

a 3 6

2 a ? a

2 3

2«;Ci

Y3 1

26

Y1 ?

(2.4.3)

com a ,6 e -y definidos pelos cosenos diretores como segue

X 2

X 3

X 1

]

J<t j B ;. Y 3

(2.4.4)

Como todas as barras possuem mesmo módulo de elastic^

dade E, cada conjunto de barras paralelas definira um contínuo

com uma propriedade unidirecional efetiva, que será referida c

mo Q. . Como Q n é tomado como um valor midio ponderado com ro

lação â área de influência da barra em um determinado conjunto

de barras paralelas, seu valor dependera do espaçamento entre

estas barras.

O elemento cúbico da Fig. 2.2(a) possui dois valores

diferentes para Q, ,, um correspondente as colunas que são nor-

mais as faces do cubo e o outro correspondente ãs barras diago-

nais. Essas propriedades serão diferenciadas respectivamente

por Q?, e Q?, . A seguir determinaremos os valores dessas 2 quan

tidades para o elemento cúbico.

2.5. Propriedades Unidirecionais para o Elemento Cúbico.

Para uma estrutura cúbica o valor do parâmetro Qn po

de ser facilmente determinado se referirmos â ãroa projetada da

Figura 2.5(a), que representa uma face do cubo. Nesta área tem-

se a contribuição de 2 barras intoiras do cubo. Dessa forma

cada coluna ocupa uma área efetiva igual à metade da área indi-

cada (L2/2). A relação entre a rigidez EAn da barra e área efe-

~ ntiva de contribuição dessa barra fornece o valor médio Q11"

(2.5.1)

L2/2 "

Convém lembrar que as equações são obtidas supondo

que temos a rigidez das barras do modelo discreto, e deseja-se

obter as propriedades do contínuo equivalente somente quando fo

rem obtidas as expressões finais, serão explicitados esses valo

res, que serão então tomados como incognitas do problema.

Para obter o valor do parâmetro Q^., correspondente

âs barras inclinadas, deve-se também determinar a ãrea efetiva

de contribuição de cada barra diagonal figura 2.5(b).

Através da figura 2.5 (c) pode-se ver que a distância

entre dois planos consecutivos que contém um conjunto de diago

nais paralelas, é, igual à metade do comprimento de 1 diagonal

de uma das faces do cubo, isto é, /2/2L. A distância entre duas

barras diagonais consecutivas situadas em um nesmo plano, pode

ser, obtido examinado-se a figura 2.5 (d), e é igual a /2/SL. A ã

rea de contribuição de cada barra diagonal é tambõm igual a me-

tade da á-ea hachurada indicada na figura 2.5(b).

Fig.2.5(a) - Area efetiva para barras normais.

= 2EAn

dist. «ntrt piano*

Fig.2.5(b) - Area efetivapara barras diagonais.

Fig.2.5(c) - Planos conse-cutivos que contém conjun-tos de diagonais paralelas,

/ZL dlag. da face

Fig.2.5(d) - Vista de um piano que contém um conjunto dediagonais paralelas.

20

2.6. Matriz Constitutiva para o Elemento Cúbico.

Para uma fami lia de continuos com a propriedade unidi

recional Q,, única, a tranformação das constantes elásticas do

sistema de coordenadas x. para o sistema x. (i=l,2,3) fica sim-

plificada porque sõ i necessária a consideração de Q.., na equa~

ção (2.3.1), e os somatórios em m e n são reduzidos a um único

termo,ou seja

( 2 . 6 . 1 )

onde os u sr(o como definidos anteriormente na equação (2.4.2) .

Em forma expandida a equação (2.I>.1) torna-se

( 2 . 6 . 2 )

Q i j =

« í

'1 't1 2

7 2

o m •:*

2 2n a1 2

2 2ot n

3i a?. 3

2 7t o

1 ".2 ;

01 Cl

a oi a m a t u1 1 ? 1 3 1

ei a a t a a1 2 2 1 3 1 ;

a a a a a a a1 2 3 1 3 1 2

a a '.» a ci a3 2 1 i 2 1

• t <i ;i ft rt n a; 3 1 s 3 1 ? .

a n ft a a a a? 3 1 ] :> 2 1 3

? 2 ;• ?'•' r* n ri n a o et

3 1 2 1 1 1 2 3

2 ?.a r» a ft 't a a a

:.' 1 i 1 2 ; 2 1

Com base na figura 2.2(b), cbserva-se que a partir

de cada nó da estrutura partem 7 bnrras. Estão representados

novamente na figura 2.6(a) um nó isolado e as barras que par

tem dele.

t

FIGURA 2.6(a) - Barras que concorrera em um nô

Nota-se que a cada barra correspondem um contínuo ho-

mogeneizado com uma propriedade unidirecional Qn, ou Q.,.

Com referência a figura 2.6.(a) as 7 barras tem os se

guintes cosenos diretores <j

(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) (1/,3,1/3,1/3)

(1/3,1/3,-1/3) (1/3,-1/3,1/3) (-1/3,1/3,1/3) (2.6.3)

Os 3 primeiros destes cosenos diretores correspondem

ã continuos com propriedade unidirecional efetiva Qn , enquan-

to que as restantes correspondem a contínuos com propriedade e-

fetiva Q ^ .

n \x ^ 1 =" Q"j_+, i Q ^ (2.6.4)

C12 = 40^(17/3)2 (1//3)2 = 4 Qdx (2.6.5)

C44 = 4Q- ( 1 / / 3 ) - ( 1 / / 3 ) - = 4 Qd (2.6.6)9 LL

definindo

5 » l i i s l i M (2.6.7)Q l l 2 ^

t em-se

C l l = Q l l ^ 1 + ^ ^ ( 2 . 6 , 8 )

C 1 2 Q j , / 4 a> (2 .6 .91

l «^ ( 2 . 6 . 1 o ;9 /'

Substituindo-se as expressões de

se finalmente.

. na matriz obtem-

Cij = 2'E-

y 9 9

SIM.

o o

o :) (2.6.11)

a matriz da eq. (2.6,11) é matriz de rigidez geral da estrutu-

ra cúbica com a alternativa de se adotar seções diferentes pa-

ra as barras das diagonais.

2.7. Constantes Elásticas

As constantes elásticas podem ser obtidas para o nos-

so modelo dos correspondentes C. . da equação (2.3.30) , como se-

gue

= 1 al " ^ s2 " — a3 (2-7*1)

1 E2 E3

e2 = -^12 O l +J^_ a2 - 13 cr3 (2.7.2)

El E2 E2

e-, _ U13 o. - U23 + 1 a, (2.7.3)

El E2 E3

U = — °A (2-7-4)G23

c, = — a (2.7.5)G13

C6 = a, (2.7.6)G12 6

Essas expressões podem ser escritas

- 4 « A l j O j (2.7.7)

como temos

°i = °i = Ci3 Fí (2.7,8)

conclui-se que

A ± j - C ^ (2,7.9)

Obtida a inversa de C... pode-se escrever

El r3 -?r3 -C 2 C

(2.7.10)

• \ 2 = ~ C12 C11+CU (2.7.11)

E2 c3 _2C

3 -3c C2

_±_ = J__ (2.7.12)G23 C44

Dessas equações obtem-se

E 1 = E2 = E 3 = E = C n _ 2 C^9 (2.7.13)

Cll + C12

U12 = U13 = J23 = y = C12 (2.7.14)

Cll+C12

G12 = G13 = G23 = G = C44 (2.7.15)

Substituindo os valores numéricos de C. . nas formula?;

anteriores obtemos os valores numéricos das constantes.

= 2.E.A . (1 + 1 25/')) f 2 , 7 . lfi)

v 1 2 = v 1 3 = v 2 3 = 46/(9+8>S) (2.7.17)

G12 = G13 = G23 = 2.E.An.46 (2.7.18)

Como desejamos obter E.A e E.A, / que representam resna —

pectivamente a rigidez das seções transversais das barras nor-

mais e diagonais do modelo discreto a partir dos valores do mo-

dulo de elasticidade (E. = E = E ) e do coeficiente de Poisson

do material, simplesmente isolamos estes valores obtendo a par-

tir das equações (2.7.16) (2.7.17) e (2.7.7) as seguintes rela

çõe.s.

fi = 9u/(4-8u) (2.7.19)

E*Ah =_L?_ (9+86) . E (2.7.20)2 (9+126)

E.A, = 2<5.E.Ad n (2,7.21)

•3

As equações(2.7.19) a (2.721) são válidas para a cé-

lula básica apresentada na figura 2.2(a), Para uma célula bási-

ca de forma diferente deverão ser obtidas novas relações. Bush5 ~

et alii obtiveram essas relações para tetraedros, os quais po-

dem ser utilizados para a discretizaçao ou estruturas de formas

geométricas mais variadas.

2.8. Solução das Equações de Equilíbrio

Nas seções anteriores obteve-se uma representação do

contínuo através de um sistema discreto tridimensional de n graus

de liberdade. 0 problema agora consiste, em obter a resposta des

se sistema para um carregamento dinâmico arbitrário.

Para um sistema com somente um grau de liberdade a e-

quação do movimento é a expressão do equilíbrio dinâmico das

forças aplicadas na massa m, no instante t corno segue :

Fa + Fe + F i =P(t) ( 2 ' 8 a )

onde Fa representa a força de amortecimento, F(, r. força elásti-

ca, F. a força de inércia e P(T) a força externa aplicada (ver

figura 2.8(a)).

9,,9 , , , r <*>

FIGURA 2.8 - Equilibrio dinâmico das forças

Cada uma das forças representadas na eq. (2.8.1) são

funções do deslocamento U ou de suas derivadas em relação ao

tempo. Em sistemas lineares:

F = K Ue

F = C Úa

F± = MÜ

(2.8.2)

(2.8.3)

(2.8.4)

onde K representa a rigidez da mola,C a constante de amorteci-

mento e M a massa do sistema. Considera-se que o mecanismo a-

presenta amortecimento viscoso.

Substituindo essas expressões das forças na equação

(2.8.1) obtem-se a equação do movimento para o sistema com 1

grau de liberdade.

MU + C U + K V = P(t) (2.8.5)

Para um sistema com n graus de liberdade, as n equa-

ções (2.8.5) podem ser expressas na forma matricial

MU + C U + KU=P(t) (2.8.6)

onde M, C e K sao respectivamente as matrizes de inassa, amorte

cimento e rigidez da estrutura, Ü, ÍI e Ú são os vetores ÔQ ace

lerações, velocidades e deslocamentos o P (t) o V'.'tor de forcas

externas aplicadas.

Em problemas lineares podem-se obter o;; deslocamen-

tos para cada instante por superposição modal ou por integração

direta das equações de movimento. Em problemas não lineares a su

perposição modal não é mais válida e utiliza-se então integra-

ção direta.

Para a integração no tempo da eq. (2.8.6) existem vá-

rios métodos que se baseiam na hipótese de uma forma de varia-

ção dos deslocsmentos, velocidades e acelerações dentro do in-

tervalo de integração, substituindo as derivadas por fórmulas

em diferenças envolvendo dito incremento de tempo.

Nos processos explícitos os deslocamentos e suas deri

vadas são expressos em termos de valores obtidos cm passos ante

riores e nos processos implícitos tais como Newwark , Wi.lson-r

ou Park, as expressões para as derivadas dos deslocamentos con-

tém os deslocamentos a serem obtidos no passo correspondente.

Em análise não linear, quando se utilizam métodos ins

plícitos geralmente hã a necessidade de geração ou atualização

da matriz de rigidez a cada passo. Embora muitos desses métodos

sejam incondicionalmente estáveis, o que permite a utilização de

um intervalo maior de integração, o tempo de execução para cada

passo de integração é consideravelmente maior que nos processos

explícitos. Em problemas em que é necessário reter na resposta

componentes de alta freqüência, resulta indispensável trabalhar

com intervalos pequenos de integração, as vezes muito próximos

do intervalo crítico dos métodos explícitos. Em tais circunstân

cias, os métodos implícitos deixam de ser vantajosos.

Optou-se consequentemente pela utilização de um pro-

cesso de integração explícita, o método das diferenças finitas

centrais, porque pretendia-se obter a resposta mais detalhada

possível. 0 método apresenta a vantagem de que não é necessária

a montagem da matriz de rigidez global <? a facilidade de imple

itientação computacional para consi dejviçHo de problemas com ník

1 i nPiiridadc f'*:; i ca e (fooin.'t i i '* i .

2.9. Integração por Diferenças Finitas Centrais

As fórmulas para diferenças centrais são

U (t+At) = U(t) + At 0 (t+1/2 At) (2.9.1)

Õ (t+1/2 At) = Ü (t-l/2.A.t) + t ü (t) (2.9.2)

Alternativamente pode-se escrever estas equações indi

cando-se o passo no tempo através de índices superiores.

U 1 + 1 = U1 + At Ú1 (2.9.3)

ÍJÍ+ = Ú1"1* At Ü1 (2.9.4)

onde

Un = U (n At+ 1/2 At) (2.9.5)

Escrevendo a equação (2.9.3) para os passos i + 1 e i,

e fazendo a diferença e combinando com a expressão da velocida

de, equação (2.9.4) tem-se

U1+1= U1 + At ÚJ. (2.9.6)

ü1 = U1"1+ 't ÚÍ"1 (2.9.7)

yí+1_ u1= U1" - n1"1 + Atdj1 - Ú1"1) (2.9.8)

ü1- 1 (Ui+i+l-2Ui + U1"1 ) (2.9.9)

Es La fórmula, como já foi dito anteriormente, ê dita

explícita porque esta expressão não contêm nenhuma derivada no

ultimo passo, só nos passos anteriores.

Quando não considera-se o amortecimento a eq. (2.B.1]

pode ser escrita

30

M U + Fe = P (2.9.10)

Combinando as equações (2.9.9) e (2.9.10), e reorde-

nando obtem-se

UX+1= Lt2 M"1(p1 - Fg) + 2 U1 - U1"1 (2,9.11)

Observa-se então que quado a matriz de massa ê diago-

nal a integração pelo método das diferenças finitas centrais

não necessita a solução de nenhuma equação.

A convergência do processo adotando massasdiscretasQ

concentradas foi provado por Fuji e o fato que os erros das di-

ferenças finitas centrais e a aproximação em massas concentra-

das se compensam foi demonstrada por Krieg e Key , de forma

que a utilização de um sistema massa-mola é preferível em inte-

gração explícita tanto do ponto de vista computacional, porque

não há necessidade de inversão da matriz como também da preci-

são.

Para incluir o amortecimento viscoso a equação(2.9.10)

a velocidade deve ser escrita sob a forma de diferenças pnra

que a equação continue explícita. A força de amortecimento é. d.i

da por

F ^ 1 C (U1 - ü3"1) (2.9.12)

At

Com a presença do amortecimento a equação (2.9.11)fi-

ca

U 1 + 1 = At2 M'1 (P1-^) - At M^CÍU 1- Ui"1)+2U1-U1"1 (2.9.13)

Se C é a diagonal, como no modelo utilizado,o pro

blema pode ser descoplado e obter a equação (2.9.13) para cada

grau de liberdade,i

No início do processo de integração, admite.se conhu-

cido o vetor U°, e calcula-se a configuração deformada inicial

através da expressãoi

U* =•• U° + At Ú° ( 2 , 9 . 1 4 )

Se o vetor Ü° é nulo acontece normalmente, parte-se

da configuração indeformada sem alterar o processo, isto é,

1 - Dada a configuração deformada no instante j

2 - Obtem-se as forças internas, Fe no instante j

3 - Determina-se as forças externas P no instante j

4 - Com P e F através da equação (2.9.8) ou (2.9.10) calcu-

la-se a configuração deformada no instante (j+1).

O intervalo de integração utilizado deve satisfazer

critérios de estabilidade e sua obtonção será explanada no item

2.10. Estabilidade do Método das Diferenças Finitas Centrais

A estabilidade do método das diferenças finitas cen-

trais pode ser examinado tanto pelos métodos de Fourier como do

energia

Fuji deu uma prova da estabilidade pelo método da e

nergia para o método das diferenças finitas centrais, que foi

extendida para não linearidade física por Odcn e Fost e pa-

ra não linearidade geométrica por Belytschko et ai""

Serão utilizados a seguir métodos de Fourier, atribui

dos a von Neuman. Estes métodos sao aplicáveis basicamente só

para sistemas lineares, entretanto através do uso de técnicas

de perturbação sistemas não lineares podem tambêV ser examina-

dos. Aqui restringe-se â analise de sistemas Lineares.

Na eq, (2.8,6) se a matriz de amortecimento é propor-

cional â matriz de massa ou â matriz de rigidnz, este sistema

pode ser diagonalizado e transformado em um sistema de equações

desacoplado

Ü + 2 3 u 0 + Jv --- 0 (2.10.1)

onde 6 é a uma fração do amortecimento crítico para cada nó.

32

A força externa foi eliminada porque o exame do s i s t e

ma homogêneo é suficiente para determinar a estabil idade.

A solução da equção (2.10.1) pode ser €íscrita como

U(t) = e 6 t

ou em diferenças finitas (2.1Q.2)

onde (notar que o índice superior de A ê um expoente)

A - e*" fit (2.10.3)

e 6 ê a constante a ser determinada

Substituindo a equação (2,10.3) na equação (2,10.1)e

lembrando que

Ú" = Un-Un"1 = An~ An (2.10.4)

(2.10.5)ün -

obtem-se

(An

At

U n + 1 -2U n

A t 2

- 2 A n + An

At

- 1 ) + 2BÜ)(AX

L - 2 A n + A n " 1

A t 2

* - >.n"1)+u ) X = 0 (2.10.6)

At2 At

Fatorando A tem-se a equação característica

A2 + A(2BioAt-2-(o2At2)+l - 2BCJ ,\t = 0 (2.10.7)

Uma solução estável requer que o módulo de A seja me-

nor ou igual a unidade

AÃ í 1 (2.10.8)

onde X representa o complexo conjugado de A.

Resolvendo a equação quadratics (2.10.7) isto impõe

as seguintes condições

6 > 0 (2.10.9)

(2,10.10)

Dessa forma, para estabilidade, 6 deve ser positivo.

Quando 6=0, obtem-se o critério usual,

At <_2_ (2.10.11)

enquanto que para 6>0 o exame das equações (2.10.10)e(2,10.11)

mostra que o intervalo de integração estável é reduzido pelo a-

mortecimento. Sé a freqüência mais alta é amortecida criticamen

te, tem-se

At < 2 (/2-1) (2.10.12)

que corresponde a uma redução de aproximadamente 60% do inter-

valo de integração estável.

Belytschko demonstra que a condição expressa na eq.

(2.10.11) pode ser substituída por outra expressão que permita

a obtenção direta do intervalo máximo de integração em função

da velocidade de propagação de uma onda de compressão, isto ê

At <_*__ (2,10.13)C

C-l/TP (2.10.14)

que é conhecida como a condição de Courant-.friednichs-Lewy pa-

ra estabilidade, onde At é o tempo necessário para a onda se

propagar através de um elemento. E o módulo do elasticidade do

material e p sua massa específica. Hsta condição obtida para um

sistema homogêneo, deve ser verificada para todos os elementos

no caso de sistemas complexos.

2.11. Particularidades do Programa Computacional

2.11.1. Blocodiagrama Simplificado.

2u>oote.o.oo

o L.

r

o14cx

coLI

( INÍCIO )

DEFINIÇÃO DOSISTEMA

i

LEITURA DECARGAS EXTERNAS

CALCULO DAS FORÇASEXTERNAS NO INSTANTE (t)

CALCULO DAS FORÇASNAS BARRAS NO INSTANTE(t)

ESTADO DO SISTEMAt - t • At

IMPRESSÃO DE

RESULTADOS

2.11.1.1. Definição do Problerra.

Caracterização do material.

- módulo de elasticidade

- coeficiente de Poisson

- dimensões do cubo de discretização, para a opção

de geração automática.

- deformações limites de proporcionalidade era com-

pressão e tração

- deformação limite de ruptura.

Caracterização do problema.

- intervalo de integração

- tempo de integração total

- intervalo para impressão de resultados intermediá-

rios

- código para geração automática de malha para um e-

lemento estrutural de forma paralepipédica.

- código para definição das rotinas a serem utiliza-

das conforme as relações constitutivas, adotadas

- entrada de dados complementares para a definição

do modelo, caso seja adotado comportamento visco-

elástico para o material.

Geometria.

- numero total de nos e barras

- coordenada dos nós

- conetividade e propriedade das barras ou se houver

opção de geração automática

- numero de nós na direção x,y e 2

- dimensões do elemento de discretizaçéio.

Restrições nodais.

- número de nos de apoio fixos e/ou flexíveis

- código de vinculação para cada apoio fixo em rela-

ção aos deslocamentos possíveis

- propriedades das molas que representara apoios elas

ticos.

36

Quando se faz a geração automática as restrições dos

nós de cada uma das faces são aplicadas automaticamente.Os nõs

das faces podem ser totalmente livres, totalmente fixos ou per

tencerem a um plano de simetria. Se uma face coincide com um

plano de simetria são gerados nõs e barras adicionais que exis_

tiriam caso fosse dicretizada toda a estrutura e são restringi

dos os deslocamentos perpendiculares ao plano de simetria. Pa-

ra as faces que representam engastes, adota-se o mesmo procedi^

inento, restringindo porém os deslocamentos dos nõs nas três di

reções. Caso ocorram outras condições de apoio, considera-se

a face livre e aplicam-se posteriormente as restrições nodais.

Para levar em conta a redução de rigidez nas faces

podem-se utilizar apoios elásticos que farão o papel de barras

adicionais ou alterar a rigidez das barras diagonais que concor

rem nos nõs das faces, compensando a eliminação das barras nor

mais.

ED=ED-3EN

FIGURA G.l(a) - Substituição de barras normais porapoios elásticos ou barras diagonais.

Pode-se ainda incluir barras adicionais fornecendo-

se:

- número de tipos de barras adicionais.

- propriedades para cada tipo de barra.

- tipo e conetividade para cada barra.

Como normalmente essas barras são superpostas a um

conjunto de barras já existentes pode-se copj ar a conetivida-

de do conjunto dando-se:

- tipo do conjunto de barras.

- número de barras -

- numero da barra a partir da qual a conetividade é

coincidente.

Cargas externas.

- número de nós carregados

- número de cada nó e coeficientes para combinação

das funções de carga.

O carregamento ê dado através de funções do tempo de

finidas pelas ordenadas de pontos igualmente espaçados (figura

6.1(b).

Para cada função lê-se:

- intervalo de tempo entre dois pontos consecutivos

(DT) .

- tempo a partir do qual a função se anula (TL).

- número total de pontos,

- valores das ordenadas dos pontos.

|-DTH

F(t)

FIGURA 6.1(b) - Representação de uma F(t) genérica,

No caso de impacto de um projétil, podo-se definir a

força atuante na estrutura como anteriormente ou fornecer da-

dos do projétil para que a força seja calculada durante o pro-

cesso de integração. Optando-se pela segunda aLtornativa devo-

ce fornecer:

- número de nôs carregados.

- coeficientes de participação de cada nó.

- velocidade de impacto do projétil.

- abcissa de cada seção onde hã variação das caracte

rísticas.

- massa específica na seção.

- carga crítica na seção.

Entre duas seções consecutivas as propriedades são

interpoladas linearmente.

Finalmente são selecionados os resultados a serem im

presses.

- número total de nôs e barras.

- número de cada nô.

- número de cada barra.

Para os nos serão impressos as coordenadas, as velo-

cidades, e acelerações ou as componentes da resultante das for

ças e para as barras a deformação e esforço axial.

2.11.1.2. Processo de Integração.

0 carregamento atuante na estrutura é representado a

través de cargas concentradas aplicadas nos n5s.

As forças externas aplicadas em cada nõ para o ins-

tante T são dadas pela expressão.

FX (I) = Cl Fl(t) + C2 F2(t)

FY (I) = C 3 Fx(t) + C4 F2(t)

FZ (I) = C 5 Px(t) + C6 F2(t)

onde

FX(I), FY(I) e FZ(I) são as componentes da força a-

plicada no nó I,

Ci, (i - 1,6) coeficientes para combinação linear das

funções de carga, e

3')

funções do tempo

As forças provenientes do impacto de um projétil,de-

pendem também da resposta dinâmica da estrutura e são calcula-

das durante o processo de integração.

Adota-se o modelo físico sugerido por Riera-^ segun-

do o qual assume-se que a força de impacto num instante T quaj.

quer ê igual a soma da carga crítica da seção em deformação

mais quantidade específica de movimento.

A função de carga em relação ao tempo pode ser escri

ta então.

F(t) = pccx(t)] + AUxctn v2cti

onde

PC(x(t)) ê a capacidade de carga da seção,M.(x(t)) a massa por

unidade de comprimentorV(t) a velocidade do projétil no instnn

te t.

A força exercida por cada barra nos nós em que ela

concorre vai depender essencialmente do comportamento que se a

dotar para a barra em questão.

Para materiais elásticos lineares pode-se utilizar

uma rotina simples em que a força axial ê função somente da de

formação da barra.

Podem ser considerados também materiais com comporta

mento elasto-plãstico perfeito ou visco-elãstico com a utiliza^

ção de outras rotinas mais elaboradas, onde a força não é mais

função apenas da deformação específica no instante atual como

também da força e deformação 0111 instantes anteriores.

Determinadas todas as forças atuantes em cada nó, ob

tem-se o estado do sistema para o instante t+At através das ex

pressões algebricas seguintes:

FX

FY

FZ

( t ) A1

( t ) M

( t ) A t

(1

(1

+ 2x(t) •

+ Co At/;

+ 2y(t) •

- x(t-

- y(t-

+ Co At/2mi)

+ 2z(t) - z( t -

At)

At)

At)

(1-CO

(1-Co

(1-CO

.At/2ltii)

A t / 2 m i )

At/2mi)Zi(t+At) =

(I + CO

onde

x,y e z são as coordenadas do nõ i nos instantes (t-At),(t) e

(t+At) .

FX(t)f ?Y(t), FZ(t) componentes da força total aplicada no no

I.

mi = massa concentrada no nõ I.

Co = coeficiente de amortecimento viscoso.

3. Avaliação do modelo era problemas com não linearidade geomé-

trica.

3.1. Exemplo 01.

Para testar o comportamento do modelo proposto foram

realizados alguns estudos sobre elementos estruturais simples

com comportamento elástico linear. Analisou-se primeiramente

uma viga elástica biengastada de seção transversal constante.

As características físicas e geométricas da viga es-

tão indicadas na figura 3.1(a) juntamente com o esquema do mo

delo de discretização utilizado como substituto da viga para

cálculo numérico.

As dimensões do elemento cúbico para discretização

foram determinadas pelas dimensões da seção transversal da vi-

ga. Para representação total da viga seriam necessários dois

elementos cúbicos, porém considerando-se a simetria existente

pode-se trabalhar com 5 cubos reduzindo o número total de graus

de liberdade e o tempo computacional.

Os nós de extremidade correspondentes ao apoio (1,2,

3 e 4) são totalmente fixos e os nõs centrais correspondentes

aos eixo de simetria (21,22,23 e 24) tem somente o deslocamen-

to na direção x impedidos .

41

42

Lw . Jfi=C

CARACTERÍSTICAS FÍSICAS

El » 25. IO8 Nnf2

/» «2500 lyn«0.25

-3

SEÇÃO TRANSVERSAL

P/4

FIGURA 3.1(a) - Características físicas, geometria e dis-cretização da viga biengastada.

V(m*)

10

-s

.10 •

A \

\

\

10 20" 25

í

\

FIGURA 3.1(b) - Diagrama de velocidades do popt:o central (nõ 24)para carga P-p

43

20 25 f 3O t(™s>'270

FIGURA 3.1(c) - Deslocamentos do ponto médio para diferen-tes estados de carga.

A carga atua nos nós 21 e 23 e é aplicada instanta-

neamente mantendo-se constante ao longo do tempo. Foram adota

dos três valores distintos para a carga aplicada: P = P O , P = 2 . 5 ~

Po e P=5PB. Na figura 3.1(c) mostra-se os deslocamentos do pon

to central da viga para estes três carregamentos.

A seguir determina-se os valores da freqüência e pe-

ríodo fundamental da viga para comparação com os valores obti-

dos através dos gráficos da resposta dinâmica.

toi=(4.73)2 /E 1

l/m L*

f-p W1/2n = 35.6

Ti= l/f1 = 28 ms

= 223.73 raâ/s

No diagrama de velocidades do ponto médio (nó 24) pa

ra a carga P=Pe Observa-se que a velocidade se anula para

t= 14,5 e t= 27,5 que corresponderiam respectivamente a T1/2 e

Ti. Este valor para Ti pode também ser obtido através do gra-

fico do deslocamento central e praticamente coincide com o va-

lor teórico obtido anteriormente.

(cm)

30

20 .

dP.)

FIGURA 3.1(d) - Deslocamentos máximos do ponto central emfunção das cargas aplicadas.

No gráfico de deslocamentos máximos em função dos va

lores das cargas P aplicadas, figura 3,1(d), nota-se que estes

não são diretamente proporcionais às respectivas cargas, Este

aumento de rigidez provêm da colaboração das barras longitudi-

nais, que levam em conta o efeito de membrana. Quanto maiores

os deslocamentos transversais maior ê o alongamento das fibras

longitudinais e consequentemente tanto maiores serão as forças

que tendem a restituir a viga ã sua configuração indeformada.

Para Po=20MN o deslocamento estático do ponto cen-

tral ê 4,16 mm, que para a variação de carga aplicada corres-

ponde a um deslocamento dinâmico de 8,32 mm. Se os deslocamen-

tos fossem proporcionais, para os carregamentos P=PO, 2,5P, a

5PO seriam obtidos respectivamente 8,32 mm, 20,83 mm e 41,67 mm

para os deslocamentos máximos do ponto central.

•í'".

3.2. Exemplo 02.

Neste exemplo analisa-se o comportamento de uma colu

na engastada na base submetida a uma carga de compressão cres-

cente. Novamente adota-se comportamento elástico linear para o

material. As características físicas e geométricas da coluna e

sua discretização são indicados na figura 3.2 (a) . Aqui também

a seção transversal quadrada determina as dimensões do elemen-

to cúbico de discretização e são empregados 5 cubos na repre-

sentação da coluna.

Os nõs inferiores da coluna são totalmente fixos e os

nós superiores, que recebem as cargas, são livres.

Foram aplicados três tipos distintos de carregamento

a seguir referenciados por cargas(1), carga(2) e carga(3).

SEÇÃO TRANSVERSAL

CARACTERÍSTICAS FÍSICAS

t • S.Of>, 2500 *m'

í ' 0 . 2 5

10/4

0/4-=0

17

13

»

n

r,*4

7

R

V

/iL

•>

/

r\

1

Ê38Vs-

V

?7\ .

7»

/

%4

S - v

N

r

24

2O

IS

12

S

I X

FIGURA 3.2(a) - Características físicas,geometria e discretização ân coluna

'> (cm)6

•'(3)

33OMN

4OMM

CAROA(I)

Kjmt

CAR9A 12)

I *

•12

T(m$)

FIGURA 3.2(b) - Deslocamentos do topo da coluna para os carregamentos (1),(2) e (3)

No carregamento (1), a carga lateral Q aplicada ins-

tantaneamente, atua isoladamente e permite a comparação âo va-

lor do período fundamental obtido através do gráfico de deslo-

camentos, figura 3.2(b) com o valor teórico dado pela expres-

são (b)

ui =(1.875)2 /E I (a)

/TTL 4

T^ =2J^=44.7 ms (b)

wl

O deslocamento transversal máximo teórico dinâmico

no topo da coluna,com atuação somente da carga lateral Q é da

do por f=2.QL^/3EI, que para os valores adotados é igual a

16,7 mm.

Nos carregamentos <2) e (3) a força lateral Q atua

conjuntamente com uma força de compressão P crescente cora ta-

xas de 3MN/ms e 4MN/ms respectivamente. Estas taxas de aplica

ção de carga P foram escolhidas de forma que no carregamento

(2) não fosse atingida a carga crítica da coluna enquanto que

para o carregamento (3) esta deveria ser ultrapassada dentro

do intervalo de integração.

Examinando os gráficos dos deslocamentos do nó 24

no topo da coluna para o carregamento (a) nota-se ainda a ten

dência de retorno da coluna ã sua configuração inicial. Para

o carregamento (3), ao contrário, os deslocamentos crescem in

definidamente após ultrapassada a carga crítica. Através do

grafico de deslocamentos é muito difícil visualizar o instan-

te em que ocorre o fenômeno de flambagem ou o instante em que

a carga de compressão iguala ao valor teórico da carga críti-

ca.

Per = n2 EI = 246.7 MN

que para o carregamento (3) ocorre no instante t= 61.7 ms. Pe

Io gráfico de velocidade entretanto, pode-se delimitar uma fajL

xa entre os instante3 tA = 61.0 ms e te = 65.0 ms onde a colu

na deixa de ser estável, figura 3.2(c). Para este Í, 2 ins tan-

48

tes o valor da carga P é respectivamente P= 244MN e P= 260 MN.

$ii

CAIttACl) /

70 T (M)

FIGURA 3.2(c) - Velocidades dos nós do topo para os carregamentos (1) e (3).

3.3. Exemplo 03.

Uma laje espessa fixa em ambas as extremidades foi

submetida a três carregamentos dinâmicos distintos para compa

ração das deformações verticais e horizontais que surgem no

centro da face inferior.

A seção transversal da laje e suas características

físicas são dadas na figura 3.3(a). No modelo de discretização

indicam-se as barras para obtenção das deformações.

Para consideração de estado plano de deformação os

deslocamentos na direção do eixo y foram restringidos para to-

dos os nos e a carga é aplicada ao longo de uma faixa paralela

ao mesmo eixo y. Com a aplicação das restrições no apoio e na

face correspondente ao plano de simetria tem-se um total de 214

graus de liberdade.

No primeio carregamento adota-se iria carga impulsiva

representada através de um pulso retangular de duração 0,lms.

As deformações específicas vertical em A e horizon-

tal em B resultantes estão representadas na figura 3.3(b) . Po-

de-se notar que a maior deformação de tração ocorre em A, que

significa que no caso de um estrutura com estas dimensões have

ria o inicio da ruptura pela deformação de fissuras paralelas

ã superfície inferior e não por flexão ou corte.

Em problemas de impacto este efeito ê responsável pe

Io deslocamento da face posterior da estrutura e também pode

causar uma grande fissura pararela â superfície média, pouco

depois do início do impacto.

Para o segundo tipo de carregamento, em que a carga

de igual amplitude permanece constante, as deformações máximas

presenciadas em A e B atingem valores bem distintos figura 3.3

(O.

As deformações em A para este tipo de carregamento

r,So essencialmente negativas e a possibilidade de se presencia

rem fissuras horizontais para este caso é bem menor e a falha

ocorreria por flexão ou por corte.

Na figura 3.3(d) representa-se as mesmas deformações

para um trem de três pulsos de duração 0.1 ms aplicados aleato

riamente.

Um grande número de picos de grande amplitude carac-

terizam as deformações verticais em B, devido as reflexões de

onda em ambas as superfícies. Este tipo de comportamento na res

posta devido a um trem de pulsos é semelhante ao apresentado pe

Ias flutuações na função de carga em problemas de impacto.

Fit)

. l l l i l lUl;

í3

sF.0(D CARACTERÍSTICAS FÍSICAS

E - 4.0 IO10 H mZ

f = 2 500

v» = 0.23

25F ,.25F

FIGURA 3.3(a) - Características físicas,geometria e dis-cretização da laje.

FIGURA 3.3(b) - Deformações nas barras A e B para um pulso de .1 ms

3»o

I <ex<2oe

2

7'S)

O 4 5

' O E F E M A

FIGURA 3,3(cl - Deformação nos pontos A e B para carga aplicada instantaneamente e mantidaconstante.

54

8( )

Olm»

8 T

FIGURA 3.3(d) - Deformações nos pontos A e B para um trem dopulsos.

3.4. Exemplo 04.

A laje linear quadrada representada na figura 3.4(a)

foi analisada com 2 condições de contorno e dois modelos de di£

cretizaçao diferentes,

Primeiro considera-se a laje apoiada somente em qua-

tro pontos e depois ao longo dos quatro bordos. As discretiza-

ções foram feitas com 1 e 2 camadas.

No modelo de discreti z.ição com 1 camada tem-se 107

nós e 562 barras e no modelo com duas camadas 603 nós e 3684

barras. A relação entre o número total de graus de liberdade

para 2 e 1 camada embora dependa das condições de contorno ado-

tada é aproximadamente 5,5. Para 2 camadas como as dimensões á<>

cubo são menores deve-se reduzir o intervalo de integração na

mesma proporção, isto é, para a metade, o que eqüivale a dobrar

o n9 de passos de integração.

Supondo-se que o tempo computacional é proporcional

ao numero de graus de liberdade e ao número de passos de inte-

gração é de se esperar que o tempo de execução d(_> um mesmo pro

blema utilizando 2 camadas seja 11 vezes superior ao necessá-

rio utilizando-se uma camada. No problema analisado obtiveram-

se T= 500 s e T= 5400 s respectivamente para 1 e 2 camadas.

Comparando-se agora as deslocamentos do ponto centra!

da laje com apoios pontuais apresentados na figura 3.4(b) nota-

se uma divergência máxima de 10% nos resultados, aonde conclui-

se que para este tipo de carregamento a utilização do modelo

com 1 camada é satisfatória.

Ainda na figura 3.4(b)mostram-se os deslocamentos do

ponto central da laje para a discretização com 1 camada e apoio

linear, para o mesmo carregamento e a resposta estática.

A flecha estática para a laje apoiada é 3,27mm e odes

locamento máximo observado 6,2mm. O período fundamental ê 16,4

ms. No gráfico o tempo para un ciclo completo é aproximadamen-

te 15,2 me.

Para o estudo do comportamento global da estrutura

mostra-se razoável, porem para estudo de efeitos localizados

perto do ponto de aplicação da carga ela não pt-ririte a obtenção

de tensões e deformações ao lorirjo da espessura da laje, corno no

exemplo anterior.

CARACTERÍSTICAS FÍSICAS

E * 3.4 IO10 N m'Z

P = 2350 3

sii

1

OISCRETIZACAO C/ I CAMADA

10? NOS - 362 BARRAS- T=500S

OISCRETIZACAO C/ 2 CAMADAS

6O3 NÓS - 3684 BARRAS- T= 54OO S

FIGURA 3.4(a) - C ; i.sicas , •_ :i;i o discretiz;

/ l CAMADA' APOIO LINEAR

ESTÁTICOAPOIO LINEAR

* "10 25

DOS I o :c!pGi.O

o ponto para ;• Uno c. 'ntuai , coir! .1 c -. camac.as , e cor;

4 . APLICAÇÃO A PROBLEMAS COM MÃO LINEARIDADE F l S [ C A E GEOMCTRI

CA

4 . 1 . Exeinp I o 0 1 .

Uma laje quadrada submetida a uma carga distribuida

aplicada instantaneamente foi analisada para diferentes condi-

ções de apoie, considerando primeiro a não linearidade geomé-

trica e incluindo depois tambén não linearidade física.

As características da laje e a discreti: Í; o adct.iãa

são indicadas na figura 4.1(a).

.1 - ;i

C.LiOG

l.= 0 2 5 4 m

h = 00127 m

r. = C.895 110 h/r:-2

v> - 0 3

<$- 20(,B'i L7 N/m2

[>-" 2 705 k«/n.3

«I - irO.CBb t i . u/rr?

I I I

li!- ; • lUV: ü i 4

'j í ''N ' /

r.::\--rv.<

I I j '!\

—>X

T - • i

OlSCKK . '17/ . ' /.t)

FIGURA 4.1(í.)- Características c; di scret 1 zacio da la

D"?

As condições de apoio estudadas foram as seguintes:

Apoio tipo I

Apoio tipo II

Apoio tipo III

Apoio tipo IV

nós inferiores do contorno totalmen-

te fixos.

nós inferiores do contorno com deslq

camento na direção z impedido e des-

locamento na direção x e y livres.

nós centrais do contorno totalmente

fixos.

nos inferiores e superiores totalmen

te fixos.

VINCULAÇAO NO MODELO

REPRESENTAÇÃO ESOUEMATICA

^&F^r~

APOIO TIPO I

NÓS INFERIORES

FIXOS

^^^^P^™"*

APOIO TIPO II

NOS INFERIORES COM

DESLOC VERTICAL

IMPEDIDO

APOIO TIPO II

NÓS CENTRAIS

FIXOS

APOIO TIPO IV

NÓS SUPERIORES

E INFERIORES

FIXOS

FIGURA 4.1 (b)- Heprcnentação das vi nculações adotadas

Na laje com apoio tipo III a distancia entre nós de

apoio foi mantida igual ã distância entre apoios nos demais ca

sos. 0 apoio tipo IV, com nos superiores e inferiores totalmeri

te fixos, será considerado como engaste embora não tenha nenhu

ma restrição quanto a tangente ã elástica no apoio.

Devido ã simetria de forma e carregamento analisou •

se somente um quarto da laje. 0 número do graus de liberdade a

pós sua discreti ;:ação v,-iri \ d;';>oiir1eiKio do tit)': rtv ipoio, .-, r - r,-..-,

o mínimo 902 para apoio tipo IV e o máximo 1007 para o apoio t-

po II. Os exemplos foram rodados com 1000 passos, com intervalo~ —3de integração 10 ms, e amortecimento nulo.

Os exemplos são distinguidos por linear e não linear

para diferenciar os que não considers daqueles que consideram

a não linearidade geométrica. Nos cases de linearidade geométr_L

ca obteve-se a resposta para uma carga inferior e então os des-

loccjnnntos foram tomados proporcionais â carga atuante real.

Os deslocamentos do ponto central da laje para as três

primeiras condições de apoio estio anotados na figura 4.1(c) No

ta-se que para os apoios tipo II e III, com nôs fixos, os deslo

camentos são menores, mas deve-se notar principalmente a dife-

rença existente entre estas respostas, devido a diferença de po

sição de nós restringidos que são inferiores ou centrais.

Repetem-se para estes dois tipos de apoio as respos-

tas não lineares e acrescentam-se as respostas lineares na figu

ra 4.1(d).

Para a laje com apoio nos nós centrais os deslocamen-

tos para pequenas deformações são maiores porque nesse caso o o

feito de membrana provoca um aumento de rigidez da laje. O des

locamento máximo para este tipo de apoio quando não se conside-

ra o efeito de membrana ê somente 6.0"; inferior ao deslocnnont'<

máximo observado para a laje com apoios deslocávcis.

Para as lajes com nós inferiores fixos, entretanto,o-

corre o fenômeno inverso, pois a restrição desses nõs provoca o

surgimento de uma força de compressão que conduz a um aumento

dos deslocamentos transversais.

Isto pode ser entendido facilmente examinando os des-

locamentos dos nõs do contorno da lnje com nõs deslocãvsis. Os

nõs superiores e centrais do contorno se deslocam para o interi_

or da laje, enquanto que ^s nós inferiores se deslocam em senti

do contrario. Por outro lado, na laje com apoio tipo IV, os de^

locamentos são menores e consequentemente os esforços axiais de

vidos ao efeito de membrana resultam desprezíveis. Os resulta-

dos obtidos com este tipo cie apoio (.ira o casa linear são qunxc

FIGURA 4.1 (c)~ Deslocamentos do ponto central da laje elásticapara__diferontes condições de apoio, consideran-do não linearidade geométrica.

FIGURA 4 . 1 ( d ) - Doslocarncntot, d'.. pon'.o c e n t r a l da Laje e l ã s t i c c i ,p a r a ^apoios t.íj<, r i c L I i , l i rurar n nãog e o m é t r i c o .

idênticos nor, obtidos par.i o caso nao linear figura 4.1(c) .

Como este tipo de apoio não corresponde exatamente a

um engaste perfeito na teoria das lajes delgadas, por não impor

a condição de tangente a elástica no apoio nula e por levar em

conta as deformações por cisalhamento, 5 de se esperar que o mo

delo apresente maior f lex.ibi 1 i d:.do . Neste exemplo obteve~se uma

relação de 1.11, oara o período fundamental entre valores compu

tados e teóricos.

Na tabela 1 apresentam-se os deslocamentos máximo e a

freqüência fundamental para cada um dos casos estudados.

Este problema em estudo foi analisado anteriormente

por Liu e Lin que utilizaram uma teoria de: pesquenas deforma10çoes e ignoraram os efeitos de membrana e por Hughes et a] li.

8 9 10

FIGURA 4.1 (ej - Deslocamento 6n ponto central da laje elásticapara bordo enciastodo.

que consideraram tanto a nao linearidade física como a nao li-

nearidade geométrica.Mostram-.SG na figura 4.1 (f) as respostas

elásticas obtidas por esses pesquisadores e a resposta para a

laje com apoio tipo I.

Liu e Lin não levam em consideração os efeitos de mem

brana, e ê lógico esperar um aumento de rigidez para a laje cora

a introdução das tensões de tração por Hughes, como verifica no

gráfico da figura 4.1(f). Entretanto essa diferença não é tic

significativa porque os deslocamentos são da ordem da metade da

espessura da laje.

Na figura 4.1(g) tem-se os deslocamentos para a laje

com apoios tipo I o II juntarnento com os resultados de Liu e

Lin, e de Hughes com a consideração de material com comportamen

to elasto-plãstico perfeito.

Através dos gráficos observa-se um.i di Vrença mni.r .n-

centuada entre as soluções linear (i,iu t- Lin; •• :i io linear ',i!u-

ghes) . Como a resistência ã floxão para urn mater.;tl elasto-p! ã

tico é limitada há maior desenvolvimento de esforços axiai.s de-

vido ao efeito da membrana. No caso do modelo di:;creti zado ei

barras esse efeLto é mais sensível porcj'.;o <i siri l<:z 6 et; conur;

da nas barras isoladas e não di Í; tribuida ao ionç; da seç-ao. Ni

figura 4.1 (h) pode-se comparar os deslocamentos para a mesma l.i

je para dois momentos de plastificarão diferentes.

Deve-s£) lembrar, todavia, que os resultados obtido.;

nesse estudo não podem ser comparados diretamente? porque foram

obtidos assumindo-se hipótese:? c métodos diferentes, alêit de ser

verificada a grande influêncín que ;i vincularão .'dotada exerci.-

na solução do problema.

Os resultados aproson t :ido£; servem pai: a fornecer urai

referência mais concreta parn tc-rmof. de compa raç.itj.

Sugere-se que so }<•> pr r.Miii ;•-, ,uln mais dctaJ l.adamon te .i fnr

ma de impor as cr;ndições de cn-torn;;, para se tex- a representa

ção mais prõxim.i possível ún vin uilnção real d.i "Htrutura.

mm

K>

FIGURA 4.1(f) - Deslocamento da laje elástica.

APOIO TIPO III

APOiO TIPO I

LIU - LIN

HUOHES

s—r 8 IO ms

FIGURA 4 . 1 ( q ) - D e s l o c a m e n t o s ; c \ l-,)e com r j o . i s i r i o r a ç ã o di- com

8

2

mm

\

ELÁSTICO

• - - PLÁSTICO e«aso%PLÁSTICO fc=OJ»%

8 \Qtns

FIGURA. 4.1(h) - Deslocamento da la je com apoio in fe r io r fixocorn momentos de pias t i f ioacao d i f e r e n t e s .

z

•3_J

TIM

OSH

ENK

O

APOIO

FREO.N L.

FLECHA

FREQL

FLECHA

9 5 5

5 10

9 3 4

57 0

-

-

1702

1 7 3

UNIDADES

FBEQ - HZ

FLECHA-mm

APOlO

FREON. L.

FLECHA

FREO.L

FLECHA

JF=8 6 2

3.15

1059

4 2 5

7 5 0

8 75

—

-

8 5 2

6 6 5

721

B.2O

1 5 4 0

2.12

1520

2.12

Tobfila 1 - Freqüência natural e deslocamento máximo.

4.2. Exemplo 02

Para exemplificar o procv ümorLo ;u.L;t.u-:.> quando so : :

seja discretizar um elementos estrutural com^ost^ iinalisa-.;^ u:!

viga de concreto armado simplesmente apoiada. As dimensões n; v

ga e sua armadura são dadas na figura 4.2(a).

Para levar em consideração as barra:-; d> • armadur.i, q v

não são geradas automaticamente na discreti z.iç.lo da viga,sao s :

perpostos elementos adicionais nas bordas superior e inferior

do modelo, representando a arruatmra longitudinal e nas faces,ro

presentando a armadura transversal (ver figura 4.2(b)).

As arestas do cubo do diseretização foram adotadas i-

guais a 17,78 cm para que a distância entre nos superiores e in

feriores fosse aproximadamente <; distância entre barras da arm:

dura longitudinal. A área total dc:;sa armadura ' 15,21 c.:rr-! , p

rém considerando que a armadura fosso uni-fcrine ei- te distr i bu. •-:

adotou-se para o mode-Io um.i ir..- L: corresponder !:t.-- <" sua seç,i<\ií;-

t o é , 10,81 cm2.

J o

3.60 rr

4 0 22 (SUPERIOR)

4 C 22 (INFERIOR J

ESTRIBO 3i 0 14 e= I2cm

9

22

4 . 2 ( a ) - Co m e t ' - r f r ; t i f . i .ida.

P/6 P/12

DISCRETIZAÇAO

I

FIGURA 4.2 (b) - Representação <:li scrrl.a da viqa.

As cargas aplicadas também foram reduzidas na Mc-.-.n.i

proporção.

Na figura 4.2(c) tem-se o deslocamento do ponto cen-

tral da viga, para o carregamento indicado, junto com a respos

ta estática. A partir do instante t -- 15 ms, quando a carga a-

tinge o valor final a flecha estática ê 3,30 min, enquanto o dc£

locamento médio apresentado pela resposta dinâmica é aproxima-

damente 3,35 min. No gráfico do;; dos ] ocamentos nssinala-so tam-

bém a duração de uma osci laçõo completa, T = 14,0 ms para com-

parar com o período fundamental '.(ótico da vúja '['-)= 14,5 ms. A

solução precedent e é linear' e ':orre?;pondonte a viqa nao ÍÍKÍ-.U-

rada

14 0 M

FIGURA 4.2(c) - Deslocamento do ponto central.

A seguir apresentam-se os resultados experimentais p,:;ra a mesma viga submetida a uma carqa de impacto o resultados"

obtidos com o programa comtmtacionaJ

A força devida ã ação do projétil r.edida durante o on

saio foi substituída por una [un^io noligona 1 ,co: o mostre.--» • ...ã

figura 4.2(d).

Admitiu-se que o comportamento do aço <• do conci.toc

elasto-plãstico perfeito sem deformação limite de ruptura. Es-

te modelo 5 obviamente muito simplificado para concreto armub.

Optou-se entretanto por esse tratamento porque o objetivo do:;-

te estudo não o de desenvolver um modelo específico para con-

creto armado e sim verificar o desempenho do programa computa-

cional diante de não linearidade física. Como o comportamento

real do concreto difere du adotado, analisou-se o mesmo proble

ma para condições extremas.

Primeiro admitindo-se a hipótese de? que o concreto

não apresenta resistência a tração (. u =o) . Depois admitindo-se

que o concreto escoa piasticadente para uma deformação especí-

fica zu = 0,1*. sem deformação lir.ito pr,r tração. Finalmente

consideram-se hipóteses i n . • -rn, '1 i ',.-: ^.r,; di ...jrnrr ,s adot ;.,(i ,:-,

400

300

200

too

KN

ib

f11 io 1 5'0 ' 70

200

30 50 70 ms

FIGURA 4.2(d) - Carga de impacto r e a l adotada para e f e i t ocie a n á l i s e .

3 4

0.1

'

1 '[(N/mm2!

r

/l11

IO034

CONCRETO

3 4 N/mm2

34KN/mm2

oW i

- - / -

•v

/

50

ACO

/ . ,

Si

O 2 4

: 50 N

= 210 K

,= 0 .5 '

/mm'

N/mm2

'„

'<

FIGURA 4.2 (o) - Diaqr.im.i ten: ío-deformação.

para o aço e concreto sao indicados; na fi,jura 4..!(e) , e os cios

locamentos obtidos nos ensaios i ara vários ponto ; da vicja na

figura 4.2 ( f ) . Cada curva é par t i cu la r izada por am numero que

se refere ã localização do ponte na viga, setjundo o esquema a-

nexo.

Observam-se na figura 4.2(g) o deslocamento do pont

cent ra l obtido experimentalmente e os resul tados para as d i f e -

rentes h ipó teses . Para o concreto com r e s i s t ê n c i a nula ã *: ra-

ção, como era de se esperar , obtem-se deslocamentos bem :n,?i->-

res que aqueles presenciados no ensaio. Para o outro caso ex-

tremo, que praticamente eqüivale a t rabalhar corr, uma viga <:l5s

t i c a sao obtidos deslocamentos bem menores. Convém r e s s a l t a r a

qui a discrepância que podem apresentar os resul tados pela aclo

çao de relações cons t i tu t ivas i uuor : <• tas .Par,.1, as hipóteses in-

termediárias obtem-se resultados mais coerente?;, -nas aircl•; •-.••.-

t a - se a necessidade de se t rabalhar com modelos que repre:;ci;-

tum melhor as verdadeiras c a r a c t e r í s t i c a s do concreto.

30

150 mt

V l ( \ \ ] A 4 . 2 f f ) - D e s l o c a n u ? n t o r . (}••• p< r. t o s d i i v

soCM

4 0

30-

20

!0

e»o.o»%.

teir

FKiURA 4 .2 ( a ! - U c s l o c a m c n t o cl') p i m t o c (>nt . r : i I. u i r a d i f o r t . i r it e s h i p o t 'li':.-?•; ôx: ' ' s i s t õ n c i a d o c c n c r e t o .

5. Impacto sobre uma laje elástica.

Em problemas de impacto os efeitos próximos da área

de contato projétil-estrutura pedem ser mais importantes (tue

os efeitos globais. Neste capítulo apresenta-se uma avaliarão

desses efeitos numa laje elástica simplesmente apoiada.

Resumidamente o método consiste em .>btor a resposta

da estrutura para una carga impulsiva de curta duração, subs ti

tuir o carregamento 3ado por palsos de igual duração a da car-

ga impulsiva aplicada e obter c. resposta para esse conjunto L.e

pulsos por superposição de- i-íV.i t.or.. Esto procodi'> -rito poc:>: .sor

adotado tanto para a obtenção de esiorços corco d-• def orit'ci'";<:'.•:;,

apresentam-se, entretanto, semente o;; deslocamentos calculados

para o ponto central da face inferior da laje.

As dimensões da lajo analisada o sua:-, '.-aracteríst: -

cas estão dadas na figura 5(n], Levando en conta .1 si;r.etr±,i,

fez-se a representação de um ijunrto <!a laje. !v:'S: :i discre •::/!-

ção tem-se 896 nõs e 4783 barras, como mostra-:';'. :a ''igura íi''li).

í li

i-PROPRIEDADES FÍSICAS

E : I E It) N / IT'2

p : ^5 00 Kg-'.T)3

>* • 0.25

f.._ TÍQJH 4

í-IGURA 5 ( a ) - G í i o m e t r i a e c , j r ; x ; t o r í . ; . l . i c a

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o(0

Li'.

Devido às carrict cr I st i c L;. i Io prol: li ::,.i houve a neces-

sidade de uma discretizaçao mais reíiinaüa da l.r] •. No exenplo

04 do capítulo 2 observou-se une a resposta elobal para urra j-i

je linear poderia ser obtida com uma discret iz,:iç..io cm uma c a n

da porém uma análise de esforços e deformações an longo da es-

pessura não é possível, se ao longo da mesma não forem utiliza

dos, como no exemplo 03 do mesmo capítulo, m^is 'iementos.

Adicionalmente deve-se trabalhar com intervalos de

integração pequenos para so d< tectar a influência de componen-

tes de alta freqüência.

Para considerar u laje como simplesmente apoiada,fo-

ram restringidos os deslocamentos verticais dos nós inferiores

de contorno.

As cargas são aplicadas nos nós da área hachurada /:a<

corresponde a um círculo de 3,5 m do raio, na fare- superior ! i

laje e a resposta obtida para um pulso retangular de 0,2 ms '..li.1

duração. Foi incluido amortecimento vj scoso proporcional ã i"ns_

sa com fator de proporciona Lidado c -80 kg/sm, que é equivalen-

te a aproximadamente 10'. ao an.or fee; monto crítico para o pri-

meiro modo.

Os deslocamento:, no j,oi*o central ' ir' :U0) da ". :•

estão plotados na figura 5 ir.). Nota-se nitidarnorv - a predomi-

nância da freqüência fundamental e a presença de perturbarem:»

provenientes da contribuição de modos superiorly. Nesta figura

indica-se também o tempo médio necessário para u: • i oscil-^ao

completa t~ 11 ms. O valor do período fundamentai para urna la-

je simplesmente apoiada, adotando ar; hipóteses d., teoria rl':;-

sica de placas delgadas é T ^ 8,7 ms, Deve-se ierhrar, que ea-

se valor serve apenas para referênci a .norque, co;no foi visto no

capítulo anterior,as condições de contorno exercem grande in-

fluência, além de não corresponderem exatamentes às hipóteses

da teoria, que não considera a inércia rotacional da laje e a

deformação por norte.

Para obtenção do der. locamento para outra excitação,

substitui-se a exaltação dada \>c <: um conjunto de pulsos de 0,2

ms de duração. Faz-se; a supe t po; i oa< > dos desl ocanuntos , pro-;.or

c i o n ; u p ã a r n p ] i . t . u d c - < i v c v i d * i : . : •, •'•••. •• • , ( ' • ! • - , {• • . ' - o p i o c i i ; i . I

atuação de cada pulso no tempo.

oI li)

vf-

uO

'jO

O

I

. i

Q r :: • u n ; ! : ' ' 1 " ' ' - i i ' i

. Conclusões.

Face a importância da análise dos efeitos de impac-

tos de projéteis em estruturas de centrais nucleares procurou-

se desenvolver neste estudo un programa computacional para a a

nálise de estruturas tridimensionais submetidas a cargas impu i.

sivas e de impacto.

0 objetivo foi testar a viabilidade -io rodeio para

estruturas homogêneas e lineares para um segundo estágio anali^

sar estruturas heterogêneas.

No capítulo 02 apresentou-se a base teórica para v no

delo de discretização e o processo ãc integração utilizador;. "

modelo consiste num sistema tridimensional de massas concentra-

das, ligadas por molas axiais e a solução do siscema é obtida

por integração direta das equações do movimento pcio método dar'

diferenças finitas centrais.

Através dos problemas analisados verificou-se qu<- >

procedimento apresenta boas perspectivas quanto a ;;ua posteri-

or implementação para o estudo do comportamento de estruturas

submetidas a cargas impulsivas, isto 6, embora não se tenha

conseguido atingir globalmente o objetivo final, pode-se vis-

lumbar a possibilidade da utilização do programa computacional

desenvolvido para o estudo de problemas específicos de impacto,

tais como, ruptura local, perfuração, deslocamento tanto da fa-

ce posterior, como da face anterior, fissuraçio ou mesmo pulve-

rização da área atingida.

O modelo permite o acortipanli^monto do processo de for-

mação de fissuras e ruptura atravos do histórico do rompimento

das barras axiais. O critério d' ^uptura adotado em função da

deformação limite do rada barra entretanto apresenta certos pro

blnmas que deverão ser solucionados. No ciso de simulação de um

C'nsaio de tração axial de Tinia barr* <\c soçíio c< inr>l ante ocorre-

ria ruptura instantânea de toda: .is harr.v? norniis; no niesmo jris

8!

tante.

Na realidade o que ocorre e a formação qradativa de

microfissuras ocasionando a ruptura da seção crítica. Pode-se

solucionar este incoveniente adotando para as barras deforma-

ções limites de ruptura que variam randomicamente em torno de

uma média pré-estabelecida através de estudos estatísticos do

material em análise. Através deste ensaio nota-se também que o

modelo não representa adequadamente a estrutura nas faces de a

poio, isto é, a ausência das barras normais âs faces torna es-

sa face uma superfície de ruptura no caso de ensaio axial. Ve-

rifica-se então que devem-se também ser incluídas essas barras

das faces de apoio, como é feito no caso de faces que represen

tam planos de simetria, quando da geração da malha.

Adicionalmente observou-se que a forma de impor as

condições de contorno também exerce- grande influência nos re-

sultados. No caso de lajes, impondo o mesmo tipo de restrição

aos nós de apoio, variando somente a sua posição ao longo da

espessura obtem-se resultados sensivelmente diferentes, prin-

cipalmente quando existem cirandes deformações sugere-se que,se

ja pesquisada com mais detalhe a forma de impor a:; condições

de contorno para que se tenha a representação da real vincula-

ção da estrutura.

/^nalisou-se ainda uma viga de concreto armado para

exemplificar o procedimento adotado na discre-t i zar,v:io de estru-

turas compostas. As características dinâmicas e a discretizn-

ção foram verificadas considerando comportamento ' inear elas Li

co. Adotou-se então, para, o aco e para o concreto, comporta-

mento elasto-plástico perfeito para comparação de resultados

experimentais com valores co .leu lados com diferentes hipóteses

de resistência do concreto. Const ;itou-se quo os resultados :-;io

sensíveis ã pequena variação do:; •>() rame.tr o;; de resistência do

concreto e também que as relações constitutivas adotadas não

conduzem a resultados satislatorios, evidenciando a necessida-

de de trabalhar com modelos iruu s elaborados quo representem

melhor o comportamento do material. Convém lembrar que embora

o problema permita a inclusiio de rotinas complementares para

consideração de outras relações constitutivos, nã<'> foi obj"i >-•

vo deste estudo, desenvolve.- UM ruodelo específico para a repre

sentação do concreto armado, sendo portanto sugerido como pos-

sível linha de pesquisa.

Finalmente, na análise da laje elástica submetida a

carga de impacto , observa-se que para a análise de efeitos Io

cais hã a necessidade de se trabalhar com uma discretização com

vários elementos ao longo da espessura e com intervalos peque-

nos de integração, para que não se filtrem as componentes de

altas freqüências presentes na resposta.

Conclui-se então que o programa computacional desen-

volvido ê viável para a determinação de efeitos locais em es-

truturas tridimensionais elásticas e incorporando relações cons

titutivas adequadas, também em estruturas com comportamento nao

linear. Esse modelo representa a vantagem de permitir que com-

portamentos distintos sejam assumidos pela substituição , das

rotinas que determinam a força nas molas axiais, o possibilita

a adoção de um critério simples de fissuraçâo e fraturação.

A P Ê K D I C I.'

Tempos Computacionais

Os tempos computacionais estão apresentados na tabe-

la 2, juntamente com os principais narâmetros, para os probU'-

mas analisados.

Nesta tabela tem-se:

NGDL = número de graus de liberdade do modelo de dis

cretizaçao

NPI = numero de passos de integração

NB = número de barras do modelo

NBA = número de barras ou armadura.

Nota-se que para um mesmo problema há variação do tom

po de execução, porém para so ter uma idéia da sua ordem de

grandeza obtove-se uma rolacar que fornece? o t^mpo computatio-

nal em função do número de graus; de li bordado o do número de

passos de integração.

T = -242,4742-U ,1335 fNC,Dl.!+0 ,:':0 L.Í7 .'.I'F) K) ,CD.-: i'•) WHDLMNPr)

0 valor do tempo, para a laje t/lást. i i.-a submetic i a

carga de impacto, ê apenas unia avaliação, poi:; n. analise d>:j prc

bJeina foi incluída a superposição dos efeitos.

Problema

Ex

Ex

Fx

Ex

Ex

Ex

Ex

Fx

Ex

Ex

Ex

Ex

Ex

Ex

Ex

1

2

2

3

4

4

4

4

1

1

2

2

2

2

2

ExOl

CAP. 3

CAP. 3

CAP. 3

CAP. 3

CAP. 3

CAP. 3

CAP. 3

CAP. 3

CAP. 4

CAP. 4

CAP. 4

CAP. 4

CAP. 4

CAP. 4

CAP. 4

CAP. 5

VIGA

COLUNA

COLUNA

LAJE EST.PLANO

LAJE ] •-.-i-MADALA/ ' CA-

J.MJE 2 CA-

MADAS

VIGA

VIGA

LAJE

LAJEAPOIO I

LAJEAPOIO IILAJEAPOIO IIILAJEAPOIO IV

LAJKIMPACTO

NGDL

138

75

33b

294

294

1740

1740

2 30

230

9 79

9 79

10 2 2

975

9 30

'J ) r

4.

í•

1

ii

:

ri

í

f1

NPI

300

450

730

19 20

190

500

28

860

2500

7000

1000

1000

1000

1000

1000

•

1 (.00. J

NB

173

64

64

L 509

406

NBA

-

-

-

_

406 j --

3002 1 -13002

29 5 96

29 5 96

1561

1561

1561

1561

1561

4783

—

-

TEMPO(S)

15 5

110

190

1800

2 40

50 0

18 no

5 30 0

1790

5000

30 V

280 0

26 80

3090

30 GO

14 4V)

Tabela 2 - Tempos computacionais cm segundos para os problanalisados,

BIBLIOGRAFIA

1 . BATHE, K . J . & WILSON, E . L . N u m e r i c a l m e t h o d s in f i n i t e o Leir.cn t

a n a l y s i s . Eng lewood C l i f f s , N . J . , P r e n t i c a - U a l l , 19 7f> .

2 . PELYTSCHKO; T. & MULLEN, R. E x p l i c i t i n t e g r a t i o n of s t r u c l u r a !

p r o b l e m s . E v a n s t o n , I I I . , N o r t h w e s t e r n U n i v e r s i t y , s . c l . .

3 . . Mesh p a r t i t i o n ; ; of e x p l i c i t - i m p l i c i t time-

i n t e g r a t i o n . I n : BATHE, K . J . e t a l i i . F o r m u l a t i o n s and

c o m p u t a c i o n a l a l g o r i t h m s i n f i n i t e e l e m e n t s a n a l y s i s .

C a m b r i d g e , M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e of T e c h n o l o g y , lc)7"7.

4 . BIGNON, P . G . fv RIERA, "• .'" Vr> r \ f Lcat J on of iüCiaocl" o ^ a n . i 1 " : ; •:

o r s o f t m i s s i l e i m p a c t i>rob Lori:.?. N u c l e a r E n g i n e e r i n g JÍKÍ

D e s i g n , Ams te rdam, f.O ( 3 ) : 3 L.I-26, O c t . lc>8') .

5 . BUSH, H . G . ; illKULAS J r . , M.M:; HEARD J r . , W. :;omo D e s i g n

c o n s i d e r a t i o n s f o r l a r g e ; s p a c e s t r u c t u m : ; . AIAA

J o u r n a l , New Y o r k , lfi (4 : : :ir>;?-" , A p r . 1 9 7 8 .

6 . CLOUGH, R.W. & PENZIEN, J . Dynamics of s t r u c t u r e s . New Y o r k ,

M c G r a w - H i l l , 1 9 7 5 .

7 . CRUTZEM,Y.; REYNEN, J . ; VILLAt'ANE, E . I m p u l s i v e l o a d i n g on

c o n c r e t e s t r u c t u r e s . I n : INTERNATIONAL CONFERENCE ON

STRUCTURAL MECHANICS IN REACTOR TECHNOLOGY, 6 . , P a r i s ,

A u g . 1 7 - 2 1 , 1 9 8 1 . T r a n s a c t i o n : ; . B r u s s e l s , C o m m i s s i o n

o f t h e E u r o p e a n C o m m u n i t i e s , 1.981. v . j 1 0 / 1 .

8 . F U J I , H . F i n i t e e l e m e n t . s c h e n i c s : s t a b i l i t y a n d c o n v e r g e n c e .

I n : ODEN, J . T . r i . a l i J . /W'v.; i i ' -fs i n c o m p u t a t i o n a l

m e c h a n i c s a n d d e s i g n , Ü I H W Í Í Í i.y " f Aliifjom--. P r e s s , J *) 7 2 .

p . 2 0 . 1 - 1 8 .

9 . GUPTA, Y . M . & Sl;AM/J.! , I . . J<o.:al r e s p o n s e ^ o f r r - i n f o r c e d

c o n c r e t e t o r . i s s i l e i m p a c t ' ; , ü ü c l c a r E n g i n ' . ' f / r i n g _an( '

De_^ij?ri, A i p s t o r d a m , 4 r i : r>ij7-L 4 , 1 9 7 8 .

! 0 . HUGHES, ' i ' . J . K . ; I , t U , W. V.. ; I.K/.'I'r, ! . Monl . i ' i . . :' d y n a m i c f . i ' / i ' .

element analysis of shells, r.n: EUROn>U. " . WORKSHOP ON

NONLINEAR FINITE ELEMENT ANALYSTS IN .STRUCTURAL MECHANICS,

Ruhr, Jul. 28-31, 1980. Proceedings. Rerl n, Sprirm-r,

1981. p.151-68.

11. HURTY, W.C. & RUBINSTEIN, M.F. Dynamics of structures.

Englewood Cliffs, N.J., Prentice-Hall, L9f>4 .

12. KRIEG, R.D. & KEY, S.W. Transient shell response by numerical

time integration. International Journal f<-r Numerical _

Methods in Engineering, Sussex, 7:273-86, 1973.

13. LEKHNITSKII, S.G. Theory of elasticity of an anisotropic

elastic body. San Francisco, Holden-Day, 1963.

14. LIMBERGER, E. & BRANDEP, K. Experimente lie Untersuchungen

zum trag-unde verformung.svcrhalten von Balken und Pio ttt: P.

aus Stahlbeton unter Stossartiger Belastunq. Berlin, HA'i-

Bundesanstalt für MaterialsprUfung, s.d. (Comunicação

pessoal)

15. LIU, S.C. fi LIN, T.H. K 1 as t i c-p I as 11 c dyi i:ni<- analysis oir

structures using Know < l.!sli<: soJ ut. ion -; .

Ecirtliquakc Eingiiieering and S'-.ructural Dyr. i-iics, Ki::;:;i :,

2<2):147-59, Mar./Apr. 1979.

1 6 . NAYFEH, A.H. & HEFZY, M.S . C o n t i n u u m mode? 1 Ln-J of t h r r —

d i m e n s i o n a l t r u s s - l i k e sf iaco H t n . c : t u t v = ; . .'•,IAA_J_rnn :i.: 1 ,

New Y o r k , 1 ^ ( 8 1 : 7 7 9 - 8 7 , AIKJ. 1 9 7 8 .

1 7 . ODEN, J . T . & FOST, R.D. Conv(>rgi:nce a c c u r n y ind s t a b i l i t y

of f i n i t e e l e m e n t a p p r o x i m a t i o n s o f a c l . a s s of n o n l i n e a r

h y p e r b o l i c e q u a t i o n s . I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l f o r Numeric, i 1

Methods i n E n g i n e e r i n g , S u s s e x , 6 ( 3 ) : 3 5 7 - 0 5 , 1 9 7 3 .

1 8 . RIERA, ,1.F>. A c r i t i c a l rc : f )praLr. . . i l o f n u c l e a r power pl.m.':

s a f e t y a g a i n s t a c c i c l o n t d l .n . - c r a f t i m p a c t .

N u c l e a r E n g i n o e r i n c i me. Ix^sicfn, A m s t e r d a m , 57 (1) : 1') S-- >.•') ,

A p r . 19 8 0 .

1 9 . SOKOLNIKOFF, I . S . MojLhejnM. i_raj_ ttu;o_ry__ cA o \_;,\:; ti cj. ty. ?. .<-\ .

New York , Mc-Graw-Ili 1 1 , \')CA> .

20. SZll.ARl), K. Theory _nnd 111.1 i y:; is of pintes: classical and

n u i r . t » r i f . i 1 m < t h o . l : ; . i ' j i n I c •:;. > i l C l i f T : : , F J . . ! . , I ' r i ' t i t i • •• • - I ! , i I !,

1 9 7 4 .

2 1 . T T M O S 1 I E N K O , S . P . & C O O D I K i : , . I . N . ' l i u o r y o l (> I AH t _ L C J J v . i . e . l .

N o w Y o r k , M i ? - 0 r . i w - l l i I I , 1 ' ) / ( ) .