ISSN 0104-8910

CURSO DE MATEMÁTICA PARA ECONOMISTAS-CAPÍTULO IV: OTIMIZAÇÃO ESTÁTICA

Rubens Penha Cysne Humberto de Athay{le Moreira

Julho de 1996

Curso de Matemática para Economistas Capítulo IV

Otimizaçio Estática

Rubens Penha Cysne Humberto de Athayde Moreira

Julho de 1996

Endereço para Contato:

Escola de Pós Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas

Praia de Botafogo 190, 110. andar, Sala 1124 Rio de Janeiro - RJ - Brasil

Telefone: 55-21-552-5099 Fax: 55-21-536-9409

e-mail: rubenS@sede.fgvrj.br

, PREFACIO

Os autores objetivam, com este trabalho preliminar, bem como com aqueles que

lhe darão continuidade, na sequência de composição de um livro de matemática para

economistas, registrar as suas experiências ao longo dos últimos anos ministrando cadeiras

de matemática nos cursos de pós-graduação em economia da Fundação Getulio Vargas,

da UFF (Universidade Federal Fluminense) e da PUC-RJ.

Reveste-se de constante repetição em tais cursos a discussão sobre que pontos

abordar, bem como com qual grau de profundidade, e em que ordem. É neste sentido que

os autores esperam, com a sequência didática que aqui se inicia, trazer alguma

contribuição para o assunto.

A parte teórica relativa à demonstração do Teorema de Kuhn Tucker aqui

apresentada transcreve, com a aquiescência do autor, textos selecionados de "Análise

Convexa do Rn." de Mario Henrique Simonsen.

CAPÍTUWIV .. - ,

OTIMlZAÇAO ESTATICA

1. Otimização sem restrições

Dada I: D ~ 9t, De 9t", diz-se que f apresenta um máximo local no ponto .lo E D quando existe E> O tal que para todo x e D e Ix - xol < e , f (xo) ~ f (x). Se para todo .I E D (e não apenas para aqueles pontos na vizinhança de xo) tem-se /(.10) ~ /(.1) então diz-se que o ponto Xo é ponto de máximo global.

M4ximo local estrito é um máximo local no qual se substitui a desigualdade ~ pela desigualdade estrita >, ou seja, .lo é máximo local estrito se existe E> O tal que para todo x com x e D, e O < Ix - Xo I < e tem-se f (xo) > f (x). Da mesma forma, máximo global estrito é um máximo global que vale a desigualdade estrita > no lugar da não estrita ~, ou seja, Xo é dito máximo global estrito se para todo x e D,x:# Xo ' f(xo) > f(x) . .

É claro que todo máximo global é máximo local, que todo máximo estrito é um máximo e que as definições acima estendem-se naturalmente aos mínimos, bastando para isto trocar o sentido das desigualdades. No gráfico a seguir, o ponto Xo representa um máximo local estrito (porém não global); Xl um mínimo global não estrito e x2 um máximo global estrito.

Um ponto importante a lembrar é que se x * maximiza. f (x), então x * também maximiza. a+b f(x) quando b>O, e minimiza a + b f (x) quando b

Demonstracão: Seja h e 9tD. Como a e int D é um ponto de máximo locaI. para a e 9t suficientemente pequeno temos que f(a+ah) ~ f(a). Portanto

f(a +ah) - f(a) --.;...-----:..-~ ~ O

a e

f(a+ah)-f(a) ~O a

se a>O

se a O e um máximo local estrito caso f(D) (a) < O. Se n é ímpar, então a não é ponto nem de mínimo nem de máximo local.

Demons~ão: Pela fórmula de Taylor de ordem n podemos escrever:

f(a+h)=f(a)+.!. f(D)(a).hD+r(h), V'a+heJcl,J intervalo aberto contendo a, tal n!

. f(a+h)-f(a) f(D)(a) r(h) que (*)lim r(h)/hD =0. Logo para h:l:O com a+heJ, = +--

h-+O hD n! hD •

Como l(lI)(a):I: O, 3 J'c J aberto contendo a tal que _r_ < V'a+h eJ' (devido I (h) I If(D) (a)1 hD n!

a (*». Suponhamos que n é par. Então o sinal de f(a+h)-f(a) será o sinal de 1(11) (a) r(h) -=-----'-~+-lI- em J'. Portanto, se f(D)(a) > O então f(a+ h) -f(a) > O e f(a+ h)-f(a) < O

n! h quando 1(11) (a) < O, V' a + h e J'. Se n for ímpar o sinal de f (a + h) - f(a) em J' dependerá do sinal de h, provando-se assim o aftrmado .•

2

Teorema 1.3. Seja f:D ~ 9t, De 9tD aberto, uma função de classe C2 e a e D um ponto crítico de f. Se a forma hessiana de f no ponto a, H(f,a) for:

a) negativa defInida, então a é um ponto de máximo local estrito de f.

b) positiva definida, então a é um ponto de mínimo local estrito de f.

c) indefinida, então a não é ponto de máximo local nem ponto de mínimo local de f.

Demons~ão: a) Como f e C2 , suas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas. Conseqüentemente, se a forma hessiana H é negativa definida no ponto a, ela também é negativa definida em B(a, r) para algum DO. Seja h tal que a+ h e B (a,r). Expandindo f na fórmula do resto de Lagrange (ver capítulo 3) temos para algum a e (0,1),

f(a+ h) = f(a) + (grad f(a),h)+ ~ h'H(f ,a+ah)h.

Como a+aheB(a,r) segue que ~h'H(f,a+ah)h

Temos ! = x2 e :: = Xl' donde se conclui que o único ponto crítico de f ocorre no ponto I 2

(XI ,X,) =(0,0). Neste ponto, temos a matriz hessiana: H = [~ ~J. que é indefinida Conclui-se pelo teorema 2.3 que o ponto (0,0) não é ponto nem de máximo nem de mínimo def.

. ~ Exemplo 3: Seja f:9t2 -+9t, f(xl'x 2 ) =-3x: -x; +5xI x 2 -7x2 • Temos ih =-6xI +5x2 ;

I

Os pontos críticos de f devem ser achados resolvendo-se o sistema:

{-6XI +5X2 = O 5xI -2x2 = 7

donde se obtém a solução (xl'x2 ) = (35/13, 42113). A hessiana de f em todo ponto é dada

por [-56 _ ~ J. que é indefinida. Segue que o ponto crítico (35/13, 42/ 13) não é ponto nem de máximo nem de mínimo.

Teorema IA. (Máximo Local - Máximo Global) Seja f (x) uma função real côncava, definida no subconjunto convexo não vazio D do 9t D • Se Xo e D é um ponto de máximo local de f, então Xo é um ponto de máximo global de f.

Demonstra~ão: Se Xo é um ponto de máximo local de D, existe t > O tal que para Ilx-xoll< t com x e D tem-se f(xo)"~ f(x). Seja então y =Xo +h um ponto qualquer de D. Precisamos mostrar que f (xo) ~ f (y). Se h = O, Y = Xo e tem-se trivialmente f (xo) ~ f (y). Caso contrário (h;tO), seja z=(l-a}xo+ay, sendo ae(O,l}. Como y=xo+h,z=xo+ah. Pela concavidade da função, f(xo+ah}~(l-a}f(xo}+af(y), ou seja, f(xo +a h} - f(xo} ~ a (f(y) - f(xo»' Tomando-se a;t O, tal que Ilnhll < t, segue que O~ f(xo +ah} - f(xo} ~ a(f(y} - f(xo»' o que implica f(xo) ~ f(y} .•

o teorema anterior nos permite, no caso em que as funções analisadas são côncavas ou convexas, passar dos máximos e mínimos locais para os máximos e mínimos globais (que são os que costumam realmente interessar em economia). Podemos agora reafirmar, relativamente ao primeiro exemplo apresentado nesta seção, que o ponto (O,O) correspondc a um mínimo global da função definida no 9t2 , f (XI' x2 ) = x; + x;. De fato, (O,O) é um ponto de mínimo local e, além disso, a função f (XI' x 2 ) = x~ + x; é convexa.

Exemplo: Vamos voltar ao exemplo do modelo com incerteza apresentado no capítulo 3.

4

Seja R a riqueza de um indivíduo avesso ao risco (ie., este indivíduo possui uma função utilidade u de classe C2 , estritamente crescente, estritamente côncava em ~+) que pode ser investida em mloteria arriscada ~ = r + ~ (E ~ = r) ou retida. Seja "a" o montante

da riqueza investida. A riqueza do indivíduo é dada por:

x = (R-a)+a(l+r+E) = R+a(F+E) - --

A proporção ótima investida é determinada por:

Max Eu(x) os 11 sR -

que tem como condição de primeira ordem (supondo um ótimo interior e usando os teoremas l.1 e l.4 deste capítulo):

d d($ -) $ -da E u(.~) = da ~Piu(R+a(r+eJ)= ~Pi(r+eJu'(R+a(r +eJ) = E[~u'(R+a~)] = O

Não é difícil ver que pelo teorema da função implícita a equação E[r u'(R+ar)] =0 - -

determina a em função de R de forma continuamente diferenciável1 (localmente2). Além disso

da -Er u" -=-~-dR Er2 u"

o sinal desta última expressão depende de E r u". Suponha que a medida de aversão absoluta ao risco r. não cresça com a riqueza (o que é razoável economicamente). Para todo valor r de r tal que 7>0 temos r. (R) ~ r. (R + ar) isto é, u" (R + ar) ~ -r. (R)u'(R + ar) ou

r u"(R+ar) ~-ra(R)r u'(R+ar).

Para todo valor r de r tal que r

Demonstracão: Pelo teorema 1.1, a condição é necessária. Reciprocamente, seja x e D, então x = Xo + h, h e 9{". Seja a e (0,1), então (1- 0.) Xo + a x = Xo + a h, e pela concavidade de f temos que (l-a)f(xo)+aj(x)Sf(xo+ah), ou seja, f(xo +ah)- f(xo ) ~ a(f(x) - f(xo».

Como df (xo) = lim f (xo + uh) - f (xo) e quando f é diferenciável temos que

dh a-+O a

~ (xo) =(grad f(xo),h), f(x)-f(xo) S lim f(xo+ah)-f(xo) =0, visto que ~ a~ a grad f(xo) = O. Logo f(x) S f(xo)' "i/xe D. Portanto Xo é um ponto de máximo global .•

Este teorema mostra que a condição de primeira ordem é necessária e suficiente para o ótimo de um problema de otimização côncava sem restrições.

Vamos enunciar e demonstrar agora o teorema do envelope: embora de aparência simples, o teorema do envelope é um instrumento útil para certas aplicações.

Teorema 1.6. Seja f:UxV --+9t diferenciável, Uc9tD , Vc9tm abertos. Suponhamos que

para cada a e V exista uma única solução de max f(x,a) de tal forma que x*:V--+9t D xeU

represente esta função, suposta diferenciável. Então se g: V --+9t é a função valor ótimo do

problema acima, i.e., g(a) = f(x*(a),a) tem-se que g é diferenciável e

dg df(. )" ~. (a) = ~. x (a),a , 1= l, ... ,n. I I

Demonstração: Observe que como x*(a) é o ótimo do problema max f(x,a) devemos ter xeU

pelo teorema 1.1 que df (x*(a),a) = 0, "i/j=l, ... ,n. Pelo teorema da regra da cadeia tem-se dx j

dg i- df * dX ~ ar * que g é diferenciável e, para i = 1,2, ... ,m, -(a) = L -(x (a),a) ~ (a)+;- (x (a),a)

da. . I dx. ua· ua· I F J I I

* •. dg ar * sendo x = (XI , ... ,x,,). Logo ;-(a) =;- (x (a),a) .• ua· ua· I I

Observação: No teorema acima x· não precisa ser diferenciável necessariamente, por exemplo, se x· for Lipschitziana ainda vale o resultado (fica como exercício a demonstração deste fato).

6

Exercícios resolvidos - Seção 1

1) O resultado abaixo é muito útil quando a função f não é diferenciável no ponto de máximo (ou mínimo). Veja a figura a seguir. Seja f:/ ~ 9t,/ c 9t intervalo, contínua e derivável em I-{a}, a e I. Se f'(x) > 0, 'v'x < a e f'(x) < 0, 'v'x > a então a é um ponto de máximo global estrito.

~ , ,

Solução: Precisamos do seguinte:

Teorema do Valor Médio: Se f: [a,b] ~9t é contínua e derivável em (a,b) então existe

ce(a,b) tal que f'(c)=f(b)-f(a). b-a

Demonstração: Seja g:[a,b] ~ 9t tal que g(x) = f(x)- (f(b)- f(a» (x-a). Então g é b-a

contínua em [a, b] , derivável em (a, b) e g (a) = g (b) = f (a). Se g for constante, o resultado é trivial, já que g'(x)=O, 'v'xe(a,b), neste caso. Caso contrário existe Xo e(a,b) tal que g(xo) * g(a) = g(b). Suponhamos que g(xo) > g(a). Pelo teorema de Weierstrass (da existência de um máximo no domínio de uma função contínua definida num conjunto compacto) existe ce(a,b) tal que g(c)~g(x), 'v'xe[a,b]. Pelo teorema 1.1 deste

., f(b)-f(a) capítulo devemos ter g' (c)= O, ou seja, f (c) = .•

b-a Passaremos agora à demonstração do exercício: seja b e I, b * a. Se b>a, então pelo teorema do valor médio existe ce (a,b) tal que f'(c) = f(b)- f(a) e como f'(c) a) temos que f (a) > f (b). Se b < a então, de forma análoga, podemos mostrar que f(a) > f(b). Assim a é ponto de máximo global estrito.

7

2) Considere uma fmna cujo preço de demanda p pelo produto y é dado por:

{250- y, se y S 50

p= 400- 4y, se y > 50

o custo da firma é dado por C (y) = X l. Obtenha a produção de lucro máximo e justifique sua resposta.

Solução: A função receita é dada por

e portanto a função de lucro é

{250Y- y2, se y S50

R(y) = 400y _4y2, se y > 50

{-% y2 + 250y, se y S 50

n(y) = R(y) - C(y) = -9/ 2 +400 50 72 Y y, se Y >

Assim devemos resolver: max n(y) yE 91

É fácil ver que 7t é diferenciável para todo y, exceto para y= 50. Derivando 7t para y ~ 50 vem que

{- 3 y + 250, se y S 50

n'(y) = -9y +400, se y > 50

{>O, sey

Solução:

i) Como D é aberto, se (x, y) e D for um ponto de máximo (ou mínimo) local então di di dx (x,y) = dy (x,y) = O. Para simplificar a notação, vamos denotar

E = E(x,y) = l-x2 - y2, "í/(x,y) e D. Assim devemos procurar (x,y) e D, tal que:

di _1/ dx (x,y) = y + x E 72 = O (I)

~ (x,y) = x+ Y E-~ = O (ll)

Observe em primeiro lugar que (0,0) satisfaz estas equações. Este é o único ponto crítico. Com efeito, multiplicando a primeira equação por x e a segunda por y e subtraindo a primeira da segunda vem: (x2 -l) E-ill = O com (x, y) e D e, portanto, x = y ou x = - y (pois E > O em D). Se x = y, tomando a primeira equação e substituindo este resultado, em (I) tem-se x(l + E-1I2 ) = O ~ x = y = O (pois I + E-in> O). De forma análoga vemos que x = -y ~ x = y = O visto que 1_E-in < O e isto prova o que foi afIrmado.

Vamos estabelecer agora as condições de segunda ordem (no que se segue vamos omitir (x,y»:

1 I Portanto H(i ,(0,0» = que é singular, logo não podemos afirmar nada a priori. O que

I I fazer então? Este problema pode ser resolvido de duas formas diferentes:

1° método: Como H(f, (x, y» é positiva semi-definida para todo (x,y)e D, concluiremos quei é convexa em D. Por ser (0,0) o único ponto crítico de i no aberto D, ele deve ser um ponto de mínimo global estrito (veja o teorema 1.4 e observe que -f é côncava; a unicidade "do mínimo é garantida pela unicidade do ponto crítico).

Provemos esta afIrmação:

9

[

E-In + X2 E-312 1 + xy E-312 ] H (!,(x,y» = l+xy E-3/2 E-In + y2 E-312 e

Hu ( !, (x, y» = E-lI2 + x 2 E-312 > O, 'ti (x, y) e D detH(f ,(x,y» = E-I +(x2 + l)E-2 +x2l E-3 -1-x2lE-3 -2xyE-X

= E-I -1 + (x2 + y2) E-2 - 2xy E-312 .Como

1-E = x2 + y2 temos que E-I -1 = E-I(x2 + y2) > O, 'ti (x,y) e D- {(O,O)} , pois E > O

emD.

Basta agora verificar que (x2 + l) E-2 - 2 xy E-X ~ O, isto é, (multiplicando por EX) (x2 +y2) E-X -2xy ~ O Mas E= l-x2 _y2 S l~ E-I ~ l~ E-X ~ I ~ (x2 +y2) E-X -2 xy~ x2 +y2 -2 xy =(X_y)2 ~O.

Portanto det H(f, (x,y» > O, 'tI(x, y) e D - {(O, O)} , como queríamos demonstrar.

2° método: É fácil ver que _x2y2 S (X+y)2, 'ti x,y e 9t ~ _x2y2 S x2 +y2 +2 xy => l-x2 _y2 S x2y2 +2xy+ I = (xy+ 1)2

Se (x, y) e D, ou seja, 1- x2 - y2 > O. Tem-se que l-l > x 2 então Ixl

j (X,y) =X3y 2(1_X- y) (j é a extensão defpara 9t!) que é contínua e portanto contínua quando restrita ao compacto K, e pelo teorema de Weierstrass, j I K assume um máximo e um mínimo. Como ~fr(K) = ° onde fr(K) = {(x,y) e K;x = ° ou y = ° ou x+ Y = I}, fi int K > ° (onde int K == Klfr(K» e (1/2, 1/3) e int K, devemos ter (1/2, 1/3) como ponto de máximo para j I K, pois (1/2, 1/3) é o único ponto crítico de f I int K e sabemos que o ponto de máximo está em int K ou fr(K), mas !lfr(K) = O. Além disso, ~(9t! - K) S 0, ou seja, (1/2, 1/3) é ponto de

máximo global para f e é estrito devido a unicidade do ponto crítico em int K. Portanto (1/2, 1/3) é ponto de máximo global estrito paraf, visto que f = jl9t~.

ili) Novamente devemos estabelecer as condições de primeira ordem:

àf (z 4) ( Z 4) _=e-X - Y -2x(x+2y)e-x - y =0 dX

( Z 4) {1-2X(X+2Y)=0 Como e-

z-

y

*0, 2-4l(x+2y)=0

Isto implica que x * ° e y * O.

(1)

(2)

1 Logo de (1) e (2) temos 2x

2 = 4

y3 ~ X = y3 (*). Substituindo este resultado em (1)

vem que 2l + 4 y4 -1 = O.

Portanto para determinar os pontos críticos desta função devemos resolver uma equação polinomial de grau 6. Evidentemente não iremos fazer isto, mas mostraremos que existe tal solução e determinaremos o intervalo no qual ela está. Para isto, façamos z = l, assim a equação acima fica 2Z3 + 4Z2 -1 = O. Seja p: 9t -+ 9t tal que p(z) = 2Z3 + 4Z2 -1, vamos determinar os pontos críticos desta função:

p'(z) = 6z2 +8z= O z = Oou z= ~

e p"(z) = 12 z+8 logo p" (O) > ° e p" (-4/3)O, p(O) < ° e p (1) > 0, portanto pelo teorema do valor intermediário, existe uma única raiz positiva lo e (0,1) de p (z) e duas raízes negativas. Sejam Yl =.Jz;, e Y2 = -.Jz;,. Por (*) temos que Pl = (XI' YI) e P2 = (x2' Y2) são os pontos críticos de f, onde Xi = Y; ,i = 1,2, logo P2 = - PI·

Observe que f(-x,-y) = - f(x,y), 'r:I(x,y) e 9t2 , assim basta provar que (XpYI) é um ponto de máximo global para concluirmos que (x2' Y2) é um ponto de mínimo global. Como

11

~(_,,2_y'> (x + 2Y)1 S; e-,,2-y' Ixl+ 2e-,,2-y'/y/ S; e-,,2 IxI+2/y/ e-Y'

com lim Ixl e _,..2 = O e lim Iyl e -y' = O (*) Ixr.-;;. IYl--

segue-se que lim f (X, y) = O. Portanto existe r > O, tal que 1(%,,>1--

If(x,y)1 < f(Xl'YI)' 'v'(x,y) ~ B(O,r) = {(x,y) E 9t2; x2 + y2 < r2} (observe que f(Xl'YI) > O). Por outro lado f é contÚlua na bola B = B[O,r] = {(x,y) E 9t2 ; x2 + y2 S; r2} compacta, e pelo teorema de Weierstrass f assume um máximo em B, além disso (Xl' YI) E B. Portanto (Xl' YI) deve ser este ponto por ser o único ponto crítico de f em B (O, r) no qual f assume um valor positivo. Por nosso raciocínio vê-se claramente que (Xl'YI) é um ponto de máximo global estrito.

(iv) Os pontos críticos de f devem satisfazer a seguinte equação f'(x) = 12x2 + IOx = O, ou seja, XI = O e X2 = -5/6 são os únicos pontos críticos de f. Como f" (x) = 24x + 10 tem-se

que f"(O)=l0>0 e f"{-5/6) = -10

Exerácios propostos

I) O teorema máximo local máximo global apresentado no texto foi enunciado para máximos não estritos e concavidade não estrita. Examine a veracidade das seguintes afirmativas (prove se verdadeira, e dê um contra exemplo, se falsa).

a) Máximo local estrito + concavidade (estrita ou não estrita) ~ máximo global estrito.

b) Máximo local (estrito ou não estrito) + concavidade estrita ~ máximo global estrito.

c) Se uma função estritamente côncava apresenta um máximo local, pode se garantir que ele é, ao mesmo tempo, máximo local estrite e máximo global estrito.

2) Ache os pontos críticos das funções abaixo, classificando-os quando for o caso, como ponto de máximo (estrito, não estrito, local, global) ou mínimo (idem).

b)f (x)=2x+2/x (x*O)

c) f (x) = (x-lO)'

3) Dada a função lucro L: 9t+ ~ 9t, L (q) = R (q) - C(q), sendo R a receita e C o custo, estipule condições suficientes para que o ponto q* seja um ponto: a) de máximo local estrito; b) de máximo global não estrito.

4) Dada a função custo total C: 9t+ ~ 9t, C (q) e a função custo total médio M(q) = C (q)/q mostre que o ponto no qual o custo médio se iguala ao custo marginal representa um ponto crítico de M (q). Pode-se, então, afirmar que se o custo médio atinge um máximo ou mínimo, ele se iguala ao custo marginal? E se a função custo for definida no intervalo 9t+ - {O}?

5) Um jornal cobra anúncios classificados retangulares, cobrando 10 unidades monetárias por

centímetro de perúnetro. Qual a maior área que se pode conseguir no jornal, pagando se 1000

unidades monetárias? Qual o formato ideal do anúncio, neste caso?

6) Repita o exercício 2 para as funções abaixo:

a)f(xl'x2 ) = x; +XI X2 +7x; +8

b) f(X I ,X2 ) = itt -7 Xl +8 XI X2

c) f(xl'x2 ,x3 ) = 7 x; +6xI x2 + 15 X2X3 -7 x3

7) Uma firma vende dois produtos ql e q2, obtendo a receita R(q .. q2)' Sua função custo é

C(qpq2) e a função lucro, definida no 9t2, é dada por L (qpq2) = R(qpq2)-C (qpq2)' Pode-se afirmar, com certeza, que no ponto de lucro máximo (se houver) a receita marginal da venda de cada produto se igualará ao respectivo custo marginal?

13

8) Uma firma vende o mesmo produto em dois mercados diferentes, obtendo as receitas RI(ql) no primeiro mercado e ~(q2) no segundo mercado. O seu custo de produção é dado por C(ql +q2) e a função lucro, definida no 9t:', é dada por L(ql'q2) = RI (ql)+ RI (q2) - C(ql +q2)' Mostre que se o preço em cada mercado depende apenas da quantidade vendida neste mercado, o preço deverá ser mais elevado no mercado mais inelástico (daí o fato de a revendedora da Avon aumentar os preços de seus produtos quando entra em casas mais luxuosas).

9) Uma caixa de cinema, conhecendo a solução do exercício 8 anterior, e tentando imitar a revendedora da Avon, resolveu cobrar os ingressos mais caros das pessoas mais bem vestidas. Mesmo admitindo que as pessoas mais bem vestidas fossem realmente menos sensíveis a variações de preços (mais inelásticas), o fato é que o procedimento adotado reduziu significativamente o lucro do cinema. Justifique econômica e matematicamente, a partir do exercício 8, este fato observado.

10) Uma firma emprega mão de obra N ao custo W e capital K ao custo r. Sua função de produção é dada por Q (K, N) = KCJN~,O

a) t se eleva?

b) r se eleva?

Suponha que w>O e r>O.

15) Resolva o seguinte problema de otimização

s.a. c, + K'+l = f(K,) t = O, ... ,N

K, ~O

onde u(x) =..r; e f(x) = ax, a constante (sugestão: mostre inicialmente que no ótimo KN+l =0).

16) Demonstre o teorema 1.3 supondo apenas que f é duas vezes diferenciável em a:

17) O que acontece com o teorema 1.4 se a função f for quase côncava?

15

2. Otimização com restrições

Diz-se que N é uma hiperfície de classe C t (k ~ 1) em 9tD+1 se N é localmente o gráfico de uma função real de n variáveis com derivadas parciais contínuas até a ordem k

definida em um aberto. Em outras palavras, N é uma hiperfície de classe ck se dado p e N, existe r> O tal que B(p,r)nN é o gráfico de uma função !:A ~ 9t de classe Ct , sendo A um conjunto aberto de 9tD • Quando n = 1, diz-se que a hiperfície N é uma curva e quando n = 2, utiliza- se o nome superfície.

Os desenhos a seguir apresentam dois subconjuntos de 9t2 , o primeiro satisfazendo à defInição anterior, e o segundo não:

lé curva)

(não é curva)

Dada uma hiperfície N c 9tD+1 define-se o espaço vetorial tangente a N no ponto p e N (Tp N) como o conjunto dos vetores Â'(O), onde Â: (-e,e) ~ N é uma função

diferenciável em O tal que MO) = p. Uma função desse tipo dizemos ser um caminho em N diferenciável em O e que passa por p no instante O (por diferenciável em O queremos dizer que l..(t)=(1..1(t), ... ,1..8+1(t» com l..i:(-E,E)~9t é diferenciável em O, "í/ i=l, ... ,n+l).

Demonstra-se sem dificuldade que Tp N é um subespaço vetorial de dimensão n em 9tD+

1• O

diagrama a seguir ilustra o caso em que n = 1.

16

Seja f:A ~ 9t, A C 9tD aberto, diferenciável Diz-se que c e 9t é um valor regular de f se para todo- x e A, tal que f (x) = c tem-se que grad f(x):F; O. Denotaremos r-I(c)={x e A; f (x) = c}.

Observação: se f: A c 9tD+I~ 9t, é de classe Clt, A aberto em 9tD+I e c é valor regular de f então f-I (c) é uma hiperffcie de classe Clt (isto é uma conseqüência imediata do teorema da função implícita).

Teorema 2.1. Seja N =

o leitor deve observar que, embora pensemos em termos ilustrativos o espaço vetorial tangente "passando" no ponto de tangência, ele na verdade "passa" na origem.

Vamos agora definir o conceito de ponto crítico (ou estacionário) de uma função diferenciável restrita a uma hiperfície. Sejam N c 9tD+1 uma hiperffcie de classe Ck (k ~ 1) e f: U ~ 9t uma função diferenciável, U c 9tD+1 aberto. Caracterizamos na primeira seção deste capítulo os pontos críticos de f como aqueles x e U tais que

grad f(x) =0, ou equivalentemente, os pontos x e U, tais que :v (x) = O, "if v e 9tD+1• Suponha que N cU hiperfície de classe CK (K ~ 1). Então podemos pensar na

restrição flN e definir os pontos críticos de flN como os pontos x e N que satisfazem (foÃ)' (O) = O para todo caminho Ã: (-E,E) ~ N, diferenciável em O, tal que MO) = x, isto é,

pela regra da cadeia ~~ (x) = O para todo Vê TxN, ou seja, (grad f(x), v) = O, 'Vv e TxN e isto é o mesmo que dizer que grad f(x) é perpendicular a TxN.

Observe que todo ponto crítico de f quando pertence a N é ponto crítico de flN. Mas a recíproca é falsa em geral. (Dê um contra-exemplo).

Teorema 2.2. Sejam f:U c 9tn+1 ~ 9t diferenciável, U aberto e N c U uma hiperfície de classe C t • Se p e N é um ponto de máximo ou mínimo local para flN, então p é um ponto

crítico de flN .

• Demonstrª&ão: Seja Ã:(-E,E) ~ N, diferenciável em O, tal que Á(O) = p. Temos que fOÁ: (-e,e) ~ 9t tem um máximo (ou mínimo) local em O e, portanto, (foÂ.)' (O) = O o que implica, pela arbitrariedade do caminho acima, que p é ponto crítico de flN .•

Uma observação importante é que quando a hiperfície N é compacta, pelo teorema de Weierstrass e devido ao fato de f ser contÚlua (visto que f é diferenciável) tem-se que flN assume um máximo e um mínimo que serão pontos críticos pelo teorema anterior.

Teorema 2.3. (Teorema do Multiplicador de Lagrange com uma restrição) Sejam f:U ~ 9t de classe C t (k ~ 1), U C 9tD+1 aberto e N = cp-I (c) hiperfície contida em U, onde fI': U ~ 9t é de classe Ct e c e 9t é valor regular de cp. Então um ponto p e N é um ponto crítico de flN se, e somente se existe à e 9t tal que grad f(p) = à grad cp(p).

18

Demom~ão: Pelo teorema 2.1 grad cp (p) é perpendicular a TpN. Por outro lado, pelo

que vimos anteriormente p é ponto crítico de flN se, e somente se grad f(p) é perpendicular a TpN. Como Tp N c 9t

D+

1 é um subespaço de dimemão n e grad cp (p) '* 0, devemos ter grad f(p) =  grad cp (p) para algum  e 9t .•

Na verdade, podemos demomtrar um teorema de multiplicador de Lagrange mais geral, no sentido que ao invés de uma restrição, temos várias restrições. De forma mais precisa, seja f:U -+ 9t uma função diferenciável num aberto U C 9tD+m e N =cp-I (c) contido em U, imagem inversa de um valor c e 9tm por uma aplicação qr.U -+ 9t'" de classe Ci:. Suponhamos que c seja regular, isto é, para todo xe N,{grad CPI(X) , ... ,gradCPm(x)} é linearmente independente4, onde CPj: U-+9t é a i-ésima função coordenada de cp, i = 1, ... ,m. Temos que N é uma superfície de dimemão n em 9tm+D (no sentido do teorema da função implícita). De forma análoga ao que demomtramos no teorema 2.1 este conjunto formará uma base de TpN.l = {v e 9tD+m;v é ortogonal a Tp N}.

Podemos defuúr a noção de ponto crítico de flN de forma análoga ao que fizemos no

caso de uma restrição e concluir:

Teorema 2.4. (Teorema de Multiplicador de Lagrange com várias restrições) Sob as mesmas hipóteses acima, p e N é um ponto crítico da restrição flN se, e somente se existem ÂI , ... , Â", e 9t tais que grad f(p) = ÂI grad CPI (p) + ... + Âm grad CPm (p).

o teorema de multiplicador de Lagrange é muito útil quando se desejam determinar as condições de primeira ordem de um problema de maximização com restrições sob a forma de igualdades. Pelo teorema 2.2, sabemos que os candidatos a ponto ótimo devem ser pontos críticos.

o teorema do multiplicador de Lagrange (com várias restrições) garante que o ponto crítico satisfaz a um sistema com n + m equações (gradf(x) = Â,. grad lI'l(X)+ ... +Â". grad lI'",(x» mais m equações (cp (x) = c). Assim temos um sistema em n + 2m incognitas (x,Â), onde x = (xl ... ,x"+,,,) e  = (Â1 , ••• ,Âm) e as n + 2m equações acima.

De uma forma sucinta, podemos definir a função lagrangiana (ou o Lagrangiano)

L:Ux9tm -+ 9t

(x,Â) -+ f(x) - (Â,cP(x») àL

àL e as condições do teorema 2.4 ficam ~(x,Â) =0,

uX j

V'i=l, ... ,n+me àÂ. (x,Â) =0, J

V'j = l, ... ,m.

4 Observe que a defmição de regularidade anteriormente apresentada é um caso particular desta mais geraI. que inttoduzimos agora.

19

Por exemplo consideremos o problema típico do consumidor: dada u:9t!~ 9t função de utilidade, c a renda do indivíduo, p e 9t:.. o vetor de preços. Suponhamos que o indivíduo gaste toda sua renda. Então queremos:

max U(x) xe 9t" •

(p,x) = c

Se o ótimo deste problema pertence a 9t:+ e U for diferenciável em 9t:. devemos

ter pelo teorema de multiplicador de Lagrange que ~U (x·) =ÀPj, i = I, ... ,n, para algum aX· I

À e 9t, onde x· é o ponto de ótimo. Em adição, sabemos que (p,x) = c, que representa a outra equação (aqui, m = I). Este sistema determina, em geral, os valores de x e 9t:.. e  e 9t.

Condições de Se~unda Ordem na Maximiza&ão Condicionada

Consideremos o problema simples max f(xl'x2) sujeito à restrição g(xl'x2) = O. X.'X2

Neste caso, a condição de segunda ordem utiliza a matriz hessiana da função Lagrangeana com respeito ao vetor ~ = (x Jt X 2)'

A condição de suficiência para que o ponto (x; ,x;) seja um máximo local estrito do problema condicionado é que, neste ponto,

Essa condição requer que a matriz hessiana seja negativa definida para qualquer variação, no domínio da função f, numa direção tangente à superfície de nível gerada pela

restrição g(x1 ,x2 ) = O, a partir do ponto (x~ ,x;).

Na prática, a condição de segunda ordem é obtida calculando-se os hessianos orlados. No problema anterior, a condição para máximo local estrito será obtida se o determinante da matriz

O gl g2

H2 = gl h l1 h l2 g2 h21 hn

FUNDAÇAo GETÚLIO VARGAS Biblioteca Máno Henriq:.Je S:rT1W".~.:.n

for maior que zero. Analogamente, a condição suficiente para mínimo local estrito é que tal detenninante seja menor que zero.

Quando a função apresenta mais de duas variáveis, outros determinantes (menores principais do hessiano orlado) precisam também ter os seus sinais avaliados, de fonna a obter-se a condição de suficiência para o máximo ou mínimo local estrito do problema considerado. Tomemos o caso geral de maximizar f(xl'x2, ... ,xD ) com a restrição g(Xl'X2, ... ,XD ). Definimos então os detenninantes

° gl g2 g3 ° gl g2 hll hl2 h l3 H2 = h ll hl2 ' H3= gl gl g2 h21 hn h23 g2 h21 hn g3 h31 h32 h33

Agora, para garantir-se o máximo local estrito devemos ter H2 >0,H3 0, ou seja, os detenninantes dos menores principais da matriz hessiana orlada devem alterar os seus sinais. Analogamente, a condição de suficiência para mínimo local estrito é que H2 < 0, H3 < O, ... , H D < 0, ou seja, todos os menores principais devem ter sinal negativo.

Para o caso de m restrições, com m > 1, a condição de segunda ordem se altera. A este respeito o leitor pode consultar Chiang(1974), Varian (Segunda Edição - 1984) ou Brandão (1982).

Muitas vezes a verificação da condição de segunda ordem não é efetuada em economia, pelo fato de se trabalhar com funções objetivo côncavas. Neste caso, para que Xo pertencente ao interior do conjunto de definição da função seja um ponto de máximo global é necessário e suficiente que ele seja um ponto crítico.

Quando se toma uma função do tipo f (x I ' x 2 ) = Xl x2 ' este resultado não se aplica, devido ao fato da função f não ser côncava. Ocorre, entretanto, que este resultado pode ser estendido a uma classe mais abrangente de funções, chamadas de indiretamente côncavas. A definição destas funções já foi apresentada no Capítulo 3:

Definição: (Função Indiretamente Côncava) Seja h(r) uma função monótona crescente.

Então F(x) é dita indiretamente côncava se ela pode ser escrita sob a fonna F(x) = h{t(x»),

sendo f(x) uma função côncava.

É claro que toda função côncava é indiretamente côncava. Vale também que toda função indiretamente côncava é quase côncava (mas não a recíproca - veja o contra-exemplo apresentado no capítulo 3). Uma função indiretamente côncava é transfonnada monótona crescente de uma função côncava, que por sua vez é quase côncava. Como as transfonnadas monótonas crescentes preservam a quase concavidade, segue que as funções indiretamente côncavas são sempre quase côncavas.

21

Teorema 2.5. Para funções indiretamente côncavas F(x) = h(f(x», sendo h diferenciável com h'(r) > O para todo r no domínio de h e f(x) uma função côncava diferenciável definida num aberto U c 9tD , valem os seguintes resultados:

a) Xo é ponto crítico de F se, e somente se xo' é ponto crítico de f;

b) Xo é o máximo de F em U se, e somente se xo' é o máximo de f em U.

c) Xo é um máximo global de F se e somente se xo' é um ponto crítico de F.

Observação: Observe que apenas a propriedade c utiliza a concavidade de f(x).

Demonstra&ão:

a) Basta lembrar que, pela regra da cadeia,

aF() , ai () . -;- Xo = h (r) -;- Xo para 1= 1,2, ... ,n, e que por hipótese h'(r) > O, "ir. oXj oXj

b) Decorre do fato de que f( xo) ~ f( x) para todo x numa vizinhança de Xo se, e somente se

h(/(xo)) ~ h(/(x») , ou seja, se, e somente se F(xo)~ F(x).

c) Segue de b que Xo é um ponto de máximo global de F se, e somente se Xo é um ponto de máximo global de f; como f é côncava, Xo será um máximo global de f se e somente se Xo for um ponto crítico de f. Dado (a), isto ocorrerá se e somente se Xo for também um ponto crítico de F. •

Deve-se observar que este resultado se aplica também ao caso da maximização (ou minimização) condicionada, quando a restrição g(x) = O é gerada por uma função afim (ou

seja, com g(ax t +(l-a)x2 ) =ag(x t )+(l-a)g(x2 ) para ae [0,1] e xl' x 2 pertencentes ao domínio de g). A necessidade de se ter uma restrição g deste tipo decorre de se precisar assegurar, no teorema anterior, que o domínio de ~N seja convexo.

Este fato é muitas vezes útil na maximização condicionada em problemas de economia devido ao fato das restrições serem do tipo (p, x) = renda. Assim, por exemplo, na

maximização de U(x, y) = xy sujeito à restrição Pxx + Pyy = R, a aplicação do teorema

anterior nos garante que o ponto crítico obtido em ~!+ com a ajuda do respectivo Lagrangeano, é um ponto de máximo. De fato, U:~~ -7 ~ com U(x,y) = xy é.a

transformada monótona crescente da função côncava u:~!+ -7~, u(x,y) = (xy»{, pela função h:~++ -7~, h(x) = x 4 , cuja derivada é sempre diferente de zero em todos os pontos do seu domínio. Ou seja, U é indiretamente côncava, e pelo teorema anterior (que podemos aplicar pelo fato da função de restrição ser uma função afim) o seu ponto crítico é um ponto de máximo global.

22

Exerádos resolvidos:

1) Suponha que um consumidor tem uma função utilidade da forma u:9t!. ~ 9t tal que U(XI'~) = In Xl + lox2, sendo (x, ,x2) o vetor de bens de consumo. Se p, e P2 são os preços destes bens, respectivamente, e m é a renda do consumidor que é gasta totalmente, determine as quantidades ótimas a serem consumidas.

Solução: O problema básico consiste em

max In x, + In x2 s.a PIXI + P2X2 = m

Seja L(x, ,x2,J .. ) = In x, + In x2 + Â (m - p, x, - P2X2) a função defmida em 9t!. x 9t conhecida como Lagrangiano associada ao problema anterior. É fácil ver que as condições do teorema de Lagrange são equivalentes a

onde U = 9t!., f == u e cp: 9t!. ~ 9t tal que, cp(xl'x2 ) = m - p,x, - P2X2 observe que O é valor regular de cp já que grad cp(x"x2) = (-P,,-P2) * (0,0) e cp-I (O) correspondem aos pontos de 9t!. que estão sob a restrição m = p,x, + P2X2.

As duas primeiras equações implicam que p,x; = P2 x;. Logo pela última equação, temos que 2p,x; = m, isto é, x; = ~ p, e de forma análoga x; = ~ P2 . Em termos econômicos, x; e x; determinados acima são a solução do problema proposto e são as demandas marshallianas. Como U é uma função indiretamente côncava, o teorema 2.5

nos assegura que (x~ ,x;) corresponde a um máximo de ulcp-' (O).

2) Determine os pontos críticos da função f:9t D x 9tD ~ 9t, f(x,y) = (x,y) restrita à esfera

unitária ~X~2 + IlyW = I e mostre como daí se obtém a desigualdade de Schwarz, onde D

< x,y >= LXiYi e Ilx~2 =< X,X >,X = (x, ... ,xD) e Y = (Y ..... YD). i=l

Solução: Seja cp: 9tD x 9tD ~ 9t tal que cp(x,y) = IIxl12 +IIYI12-1.

Como cp-'(O) é uma hiperfície compacta (é a esfera unitária) e f é contínua, temos que a

restrição 11q>-' (O) assume um máximo e um mínimo. Além disso, grad cp (x,y) * (0,0), 'V(x,y) e cp-'(O), isto é, cp-I (O) é hiperfície regular de classe C" e f é de classe C" também. Logo os pontos de máximo e mínimo são pontos críticos e pelo teorema de Lagrange, eles devem satisfazer às 2n+ 1 equações (aqui escritas sob a forma vetorial)

23

y=2Âx.

x = 2Ây para algum  e 5Jt .

W2 +lyl2 = 1

Logo y=4Â?y ou x=4Â.2x e como x~Oouy~O (visto que IxI2+lyI2=1) temos que 1

Â. = ±'2. Portanto o conjunto de pontos críticos é dado por

{(x,x);xe5Jt"ellxll= ~ }u{(x,-x);xe5Jt" e 1Ix1= ~} que é uma hiperfície de dimensão n -1 em 5Jt2D = 5JtD X 5JtD (por exemplo, se n =1 consistirá de quatro pontos que são superfícies de dimensão O em 5Jt2 ).

Portanto, os valores máximo e mínimo de flcp-I (O) são, respectivamente, 1/2 e -1/2.

(..fi x ..fi y J -I

Dados x,y e 5JtD - {O} temos que 211x11' 21Y~ e li' (O) e portanto

(..fi x ..fi y) 1

f 211x11' 2 ~y~ s 2" o que implica que 1< x,y >1 S Ilxll ~YII, 'ri x,y e 5JtD - {O}.

24

Exercícios propostos:

1) Utilizando o Teorema do Multiplicador de Lagrange, mostre os pontos críticos das funções abaixo restritas à superfície N e identifique os pontos de máximo e mínimo relativos:

a) f:~? -+9ttalquef(x,y)=ax+by,a*O, b*O e N=g-1(1), onde g: 9t2 -+ 9t é dada por g(x,y) = x 2 + l.

b) f:9t2 -+ 9t tal quef(x,y) = x+ y e N = g-1(1), onde g: 9t2 -+ 9t é dada por g(x,y) = xy.

c) f:5Jt? -+9ttalquef(x,y)=x2 +l e N=g-1(1), onde g:9t2 -+9t é dada por g(x,y) = y_x2•

d) f:9t 3 -+ 9t tal que f(x,y,z) = x.y.z e N = {(x,y,z) e 9t~;x+ y+ z = c}.

2 2

2) Em quais pontos da curva ~+L= I a função f(x,y) =xy assume seus valores máximo 8 2

e mínimo?

3) Se u(x) é uma função utilidade definida sobre n bens x = (xl' ... 'x,,) e 9t: como "

u (x) = X~' ••. x:· ,onde L ai < 1 , qual é a proporção da sua renda que o consumidor gastará i=1

em cada bem?

4) Demonstre o teorema 2.4.

5) Diz-se que uma função de utilidade U:Xc9t:-+9t, X fechado, é localmente não-saciável se para cada x e X' e todo E> ° existe ye X tal que IIx-yll U(x). Seja U:9t: -+ 9t contÚlua localmente não-saciável, diferenciável. que satisfaz a condição de Inada: lim U'(x) = -00, 'Vi = 1, ... , n. Determine em 9t:. as condições necessárias e suficientes x ..... 0

para o ótimo do problema típico do consumidor com preços e renda estritamente positivas.

6) Demonstre que o plano tangente a uma hiperfície em 9t é um espaço vetorial de dimensão n.

7) Checar as condições de segunda ordem dos seguintes problemas:

(a) max 3x2 -2xy+ y2 s.a xy=-2

(b) max x 2+2l-z2 s.a x+y=l e x 3 = y -z-1 (c) max lOx+7y s.a A x a yf3 = 100, A, a, f3 > ° 8) Utilize o teorema de multiplicador de Lagrange para mostrar que, para c >O, Nc é o

conjunto de pontos críticos de fi Nc

no exemplo 1.

9) No exercício 1, calcule os planos tangentes em alguns pontos das hiperfícies indicadas em cada item.

25

10) Seja / (XI ,X2 ) = PIXI + P2X2 definida em 9t2 e c e 9t. O conjunto /-1 (c) = {(Xl'X2 ) e 9t

2;PIX I + P2 X2 = c} é uma curva de classe C k : a) se PI ;t Oe P2 = O?;

b) se PI;t O e /12 ;t O? e c) se PI = O e P2 = O? Qual o formato desta curva nos casos possíveis? e o formato do espaço vetorial tangente? Pode-se dizer que , para (Pl'P2);t (0,0), todo c e 9t é um valor regular de f?

11) Considere o seguinte problema: Min X2 +y2

s.a. (X-I)3 -l =0

(X,y) e 9t2

(a) Solucione o problema geometricamente.

(b) Por que o Teorema do Multiplicador de Lagrange não pode ser usado neste caso?

12) Seja f:9t~ ~ 9t função de classe C2 com forma hessiana negativa definida em todo ponto. Considere o problema:

onde p, W I' W 2 são constantes positivas.

(a) Quais são as condição de primeira ordem para ponto de máximo de F? Estas condições são suficientes para este caso?

aX (b) Mostre que XI pode ser colocado no ótimo como função de w I e w 2 e que -a I < O wI

(sugestão: utilize o Teorema da função Implícita)

(c) Suponha que seja adicionada ao problema a seguinte restrição:x2 = b, onde b e 9t++.

E Ó · aXI < aX1 ncontre o novo umo e mostre que -- tn· - - -a tn° - . a W I sem res çao W I com res çao

13) Sejam F:9t:' ~ 9t, f:9t:' ~ 9t++ e g:9t++ ~ 9t funções de classe Cio

Considere o seguinte problema de otimização:

26

N

Min L F{x(k), u(k), k) 1:=0

s.a.

x(o) = Xo x{k+l)=/(x{k),k), k =O, ... ,N

g(x{N + 1) = o

Assumindo que a condição de regularidade seja satisfeita, derive as condições necessárias para a solução ótima do problema.

o problema acima é chamado de problema de controle ótimo com tempo discreto e horizonte finito onde as variáveis x(k + 1) e u(k) para k = O, ... ,N são chamadas de variáveis de estado e de controle, respectivamente.

27

3. Q Teorema de Kuhn - Tuger·

Iniciaremos esta seção revendo alguns conceitos já apresentados, algumas vezes sob uma ótica um pouco diferente, embora equivalente, e introduzindo informações complementares.

Sejam Xl ' x2 dois pontos (vetores) do 9tD

• O segmento de extremos Xl e x2 é, por defmição, o conjunto dos pontos:

Seja C um subconjunto do 9tD • Diz-se que C é convexo quando atende à seguinte propriedade:

"Se Xl e x2 pertencem a C, s(xl , x2 ) está contido em C".

A figura 3. La exemplifica um conjunto um conjunto convexo no 9t2 , a figura 3.1.b um conjunto não convexo.

Figura 3.la Figura 3.2a

Por extensão de conceito, consideram-se convexos:

i) os conjuntos com um único ponto.

ü) o conjunto vazio

Sejam xl'x2 , ••• ,xp pontos de 9tD

• Uma combinação linear convexa desses pontos é,

por definição, um ponto da forma ai XI +a2 x2 + ... +ap xp onde a"a2 , ••• ,ap são reais não

negativos tais que ai + a 2+ ... +a p = 1.

Seja CI , C2 dois subconjuntos do 9tD

, ai' a2 números reais. O conjunto ai CI + a2 C2 é, por definição, o conjunto:

Teorema 3.1: A intersecção de uma família de subconjuntos convexos do 9t D é um subconjunto convexo do 9tD • Demonstração: Já vista no capítulo anterior (e imediata).

• A ~ teórica desta terceira seçIo é obtida da traucriçJo de textos seleciollldos, c:om a aquiedDcia do autor, de Amlise Convexa DO R" ,de Mario Hcmique Simonsen.

28

Teorema 3.2: Sejam CI ,C2 subconjuntos convexos do 9t", ai ,a2 números reais. Então ai CI + a2 C2 é convexo.

Demonstração: Simples verificação. Com efeito, sejam y = alx l +a2x2 e y' = alx~ +a2x; dois pontos de ai CI + a2 C2. No caso, XI' x~ pertencem a CI e x2' x; pertencem a C2. Seja (1- a) y + ay' um ponto do segmento de extremidades y e y', o que implica O S aS 1. Então:

(l-a) y+ay' = (l-a) (ai XI +a2x2)+ a(al x~ +a2x;) =

=al«(l-a)x I +ax~)+a2«(l-a)x2 +ax;).

Como CI e C2 são convexos,

(l-a)x I +ax~ E C I ' (l-a)x2 +ax; E C2.

Logo,

Teorema 3.3: Para que um subconjunto C do 9t D seja convexo é necessário e suficiente que toda combinação linear convexa de elementos de C pertença a C.

Demonstração:

a) a condição é necessária. Trata-se de provar que se Xi' X2 , ... , xp pertencem ao

convexo C e se a .. a2 , ... ,ap são reais não negativos de soma 1, então

x = alxl +~X2+ ... +apxp E C. Procedamos por indução finita. Para p = 1 o teorema se

verifica trivialmente. Suponhamos que ele seja válido para combinações lineares convexas de p - 1 elementos de C e seja

Se OS ai < 1, façamos:

a2 ap b2 =--, ... bp =--l-a l-a I I

Então x' = b2x2+ ... +bpxp ' pela hlp6tese de indução, sendo uma combinação linear

convexa de p -1 elementos de C, pertence a C. Note-se agora que:

ou seja, um ponto do segmento de extremidades XI e x'. Como XI e x' pertencem ao convexo C, X pertence a C;

b) a condição é suficiente: com efeito, o segmento de extremidades XI e X 2 é o conjunto das combinações lineares de XI e X2 •

29

Diz-se que um subconjunto K do 9tD é um cone quando x e K implicar ax e K para todo real nãg negativo a. É imediato pela definição. que a origem (isto é o vetor O) pertence a qualquer cone. A figura 3.2 ilustra um cone convexo.

Figura 3.2

Teorema 3.4: Para que K seja um cone convexo é necessário e suficiente que. se XI,X2 pertencem a K. aIxI + a 2 x2 e K para quaisquer reais não negativos al'a2 •

Demonstração:

a) a condição é necessária: com efeito. seja K um cone convexo. e xl'x2 dois de seus pontos. Quaisquer reais não negativos aI e a2 podem ser expressos na forma:

aI = b(1-a)

a2 =ba

sendo b ~ O e O S aS!.

Como K é convexo. i" = (1- a) XI + a x2 e K. bi" = aIx I +a2x2 e K.

E como K é um cone.

b) a condição é suficiente: com efeito. suponhamos que se xl'x2 pertencerem a K, aIxI +a2x2 pertença a K para quaisquer reais não negativos ap a2 • Tomando-se O < a < 1. aI = 1-a. a2 = a. fica provado que K é convexo. Tomando-se XI = x2 = x. aI = a2 = b/2. fica provado que se X e K. bx e K para todo real não negativo b. ou seja, que K é um cone.

A partir do teorema 3.4. por indução [mita prova-se imediatamente o:

Teorema 3.5: Para que K seja um cone .;onvexo é necessário e suficiente que. se xl'x2 ..... xp pertencerem a K, aIxI +a2x2+ ... +apxp pertença a K. para quaisquer reais não negativos

É imediato também que a intersecção de uma família de cones convexos é um cone convexo.

30

Propriedades Topológicas

Teorema 3.6: Seja C um subconjunto convexo do 9t D • Então, seu fecho C é convexo.

Demonstração: Seja Xl e x2 pontos de C e O S; aS; 1. Temos que provar que, para qualquer d > O corresponde um elemento de C cuja distância a (1- a)xI + ax2 seja menor do que d.

Com efeito, como Xl' X2 pertencem a C , dado d > O é possível encontrar pontos x~, x; em C tais que:

dist (xl'x;) = IX I - x;~ < d

dist (x2 ,x;) = IX2 - x;1 < d

Como C é convexo, (1- a) x~ + a x; E C. Além disso:

dist «l-a) Xl +ax2, (l-a) X; +ax;) = l(l-a) (Xl -x~) +a(x2 - X;)~ S;

l(l-a) (Xl -x;)I+ la(x2 -x;)1 = (l-a) IX I -x~11 +allx2 -x;1 < (l-a)d +ad = d

Precisamos agora de três lemas de álgebra linear para demonstrar o teorema 3.7.

Lema 3.1: Seja {Xl'X2, ... ,xJ uma base do 9tD

• Então existe d>O tal que, se

dist (Yi'x) < d, (i = 1,2, ... ,n), {Yl'Y2 , ... ,y J também seja uma base do 9tD •

Demonstração: Basta observar que:

i) {Yl'Y2,. .. ,yJ é uma base do 9tD se e somente se o determinante da matriz cujas colunas são as coordenadas de Y I' Y 2 , ... , Y D for diferente de zero;

ti) o determinante de uma matriz quadrada é função contínua de seus elementos.

Lema 3.2: Seja {Xl'X2, ... xJ uma base do 9tD

, XO = a1x1 +a2x2+ ... +aDxD um vetor do 9tD

•

Então, dado E > O existe d > O tal que, se ~x:-Xjll

Defmamos os vetores:

Então:

Demonstração:

i) simples verificação;

Vo =-u

VI =el-u

V 2 =e2 -u

VD =eD-u

i) VO+vI +V2 + ... +VD =0

ii) VI'V2 , ••• ,VD é basedo9tD.

ii) suponhamos alvl +a2v2 + ... +aDvD =0. O=(al-b)el+ ... +(aD -b)eD onde:

Segue-se que

segue-se que ai - b = ~ - b = ... = ali - b = O, já que o conjunto dos unitários é linearmente independente. Pela expressão acima, isso implica:

n b=-b

n+l

o que implica b = O. Segue-se ai =a2 = ... =aD =0. Logo, VI,V2 , ••• ,VD é um conjunto linearmente independente fonnado por n vetores do 9tD, ou seja, uma base.

Teorema 3.7: Seja C um subconjunto convexo do 9t\ C seu fecho. Suponhamos que yo pertença ao interior de C no 9tD. Então yo pertence a C.

Demonstração: Por hipótese, para algum E > O, ~y - y o ~ < E implica y e C. Segue-se que existe b > O tal que yo + b Vo , yo + b v I ,. .. , yo + b v D pertencem a C, sendo vo, V 1' ••. ' V D os vetores defmidos no lema 3.3.

32

Como C é o fecho de C, segue-se que, para todo d > O existem vetores v~, v~ , ... , v: tais que Yo + bV: E C e Iv; - vil< d, sendo b > O. Pelos lemas 3.1 e 3.2 podemos escolher d tal que:

1')' ,. b d mD vl"'" V D seja ase o ~ ;

Façamos:

1 bo=-----

l+a~+ ... +a:

b. = a~ (' 1 ) I l ' , 1 = , ... ,n +a,+ ... +aD

É imediato que esses coeficientes são todos positivos de soma 1, e que:

Segue-se que:

Ou seja, Yo é uma combinação linear convexa de pontos de C, e portanto um ponto de C.

Note-se que o teorema não vale para conjuntos não convexos. A título de exemplo,

suponhamos que C = {x E (0,1); x :# 1/2}. (Figura 3.3). O ponto 1/2 pertence ao interior de C mas não pertence a C.

o 112 1 O~----~O~------O

Figura 3.3

o Teorema do Vetor à Mínima Distância

Teorema 3.8: Seja C um subconjunto convexo fechado do 5JtD; C:# 0, Y um ponto de 5JtD, Então:

i) existe um e um único ponto de C à mínima distância de y;

33

ii) para que Z E C seja ponto de C à mínima distância de y é necessário e suficiente

que {y-z,x-z):SO para todo x E C.

Observação: Uma versão particular deste teorema foi demonstrada no capítulo dois para o caso particular em que o conjunto C é um subespaço vetorial.

Demonstração: Necessidade: A existência de um ponto de C à mínima distância de y é garantida pelo fato de C ser fechado. Seja z um ponto de C. Então, para qualquer x de C, e para qualquer O:S a :S 1:

já que (1- a) z + a x pertence a C. Ou seja:

(y- z,y- z)-2a{y-z,x- z)+a2{x- Z,x- z) ~ (y- z,y- z)

para qualquer O:S a :S L Daí se segue, em particular que, para O < a< 1:

-2 (y- Z,x- z)+a (x- Z,x- z) ~ O

Fazendo a tender a zero conclui-se que:

(y - z, x - z) :S O.

Por essa desigualdade conclui-se que o ponto de C à mínima distância de y é único. Com efeito, suponhamos que z e z' fossem pontos de C à mínima distância de y. Teríamos:

{y- z,z' - z):S O

ou seja:

(z- y,z- z'):S O

Do mesmo modo:

(y- z', z- z'):S O

Somando membro a membro essas duas últimas desigualdades:

(z- z',z- z'):S O

o que implica z = z' .

34

Suficiência: Suponhamos que z seja um ponto de C tal que:

(y-z,x-z)S O

para todo x E C. Segue-se que:

lY-xl2

= l(y-z)-(x-z)12

= (y-z,y- z)-2(y- z,x-z)+(x- z,x- z) ~ (y-z,y- z)= Iy- zl2

A figura 3.4 ilustra o sentido geométrico do teorema no caso do 9t 2 • Para que z seja o ponto de C à mínima distância de y, é necessário e suficiente que, para qualquer x E C, os vetores y - z e x - z formem entre si ângulo reto ou obtuso. A figura se refere ao caso em que y não pertence a C. No caso de y pertencer a C, o ponto à mínima distância é ~ y, satisfazendo também o teorema.

Para o caso particular dos cones temos o:

z n--~Y

Figura 3.4

Teorema 3.9: Seja K um cone convexo fechado do 9t D , y um ponto do 9tD • Então, para que z E K seja o ponto do cone à mínima distância de y é necessário e suficiente que:

i) (y- z,z)= O

li) (y-z,x)SO para todo x E K.

Demonstração:

a) A condi"ão é necessária:

Pelo teorema 3.8, (y - z, x - z) S O para todo x E K. Como x = b z E K para t~do b ~ O, segue-se que (b -1) (y - z, z) S O para todo b ~ O. Essa desigualdade valendo tanto para b maior quanto menor do que 1, segue-se que (y - z, z) = O.

Se x E K, pelo resultado anterior (y- z,x - z) = (y- z,x) S O.

b) A condi"ão é suficiente:

As condições i) e li) implicam (y - z, x - z) S O para todo x E K.

35

Hiperplanos e Teoremas de Separação

Sejam xo,u vetores do 9t., sendo u~O. O hiperplano H(xo,u) que passa por Xo e com normal u é, por defInição, o conjunto:

ou seja, o conjunto dos pontos x tais que x - Xo seja ortogonal a u. No 9t2 os hiperplanos

são linhas retas, como indicadas na figura 3.5.

H ( xo ' u)

Figura 3.5

Ao hiperplano H(xo, u) associam-se dois semi-espaços, cuja interseção é o próprio hiperplano:

i) o semi-espaço H+(xo,u)={x e 9t"I{x-xo'u)~O}

ü) o semi-espaço H-(xo,u)={x e 9t"1 {x-xo,u)SO}

Os dois teoremas fundamentais de separação, e que serão demonstrados a seguir afirmam que:

a) se Xo é um ponto fora do conjunto convexo C, então existe um hiperplano passando por Xo tal que C se situe num único semi-espaço definido pelo hiperplano (figura 3.6);

b) se C1 e C2 são conjuntos convexos disjuntos, então existe um hiperplano tal que C1 esteja contido num dos seus semi-espaços,e C2 no outro (figura 3.7).

36

H

H(Xo,u)

Figura 3.6 Figura 3.7

Lema 3.4: Seja C um subconjunto convexo fechado do 9tD ; Y um ponto não pertencente a C. Então existe um hiperplano H (Y. u). passando por y. tal que:

ü) 1011 = 1

ü) C esteja contido em H+ (Y. u)

Demonstração: Seja z o ponto de C à mínima distância de y. Então pelo teorema 3.8:

{y- z.x - z} S O. para todo x e C.

Segue-se que:

{y-z.x-y}={y-z.x-z+z-y}={y-z.x-z}+{y-z.z-y}

Demonstração: Como y pertence à fronteira de C, é possível tomar uma seqüência y 11 de pontos não pertencentes a C, tais que Y 11 convirja para y. Pelo lema 3.4, existirá uma

seqüência u lI ' tal que luJ = 1 e:

A seqüência u lI ' sendo limitada, admite uma subsequência convergente com limite u, tendo-se

lu J = 1 . Por passagem ao limite segue-se que: (X-y,u)~O para todo x e C

ou seja:

Teorema 3.10: Seja C um subconjunto convexo do 9t 1l ; y um ponto do 9t1l não pertencente a C. Então existe um hiperplano H (y, u) passando por y tal que:

li) CcH+ (y,u)

Demonstração: Seja C o fecho de C. Pelo teorema 3.6, C é convexo. Pelo teorema 3.7, se y pertencesse ao interior de C também pertenceria a C. Logo, y ou não pertence a C ou pertence à sua fronteira. Em qualquer dos casos, pelos lemas 3.4 e 3.5, existe um vetor u tal que lull = 1 e:

Cc C C H+ (y,u)

Teorema 3.11: Seja Cl e C2 dois subconjuntos convexos disjuntos e não vazios do 9t1l

•

Então, existe um hiperplano H (y, u), tal que:

Demonstração: Seja C = Cl -C2 • Pelo teorema 3.2, C é convexo. Como

C = {Xl - x2 1 Xl e Clt X2 e C2}, e como Cl e C2 são disjuntos, O E C. Logo, pelo teorema

3.10, existe um hiperplano H (O, u) passando pela origem tal que C = Cl - C2 esteja contido

em H+ (O, u). Ou equivalentemente, existe um vetor u tal que Ilu 11 = I e:

38

(Xl -X2'U)~ O,ou equivalentemente {X2, u)s (Xl' u)

quaisquer que sejam Xl e CI e X2 e C2•

Como CI e C2 são não vazios, existe:

e, conseqüentemente, para quaisquer Xl e CI e X2 e C2:

Façamos y = suo Segue-se que:

{Xl - y, u} = {Xl' u}-s ~ 0, para todo Xl e C

{X2 -y,u}={x2,u}-sSO,para todo x2 e C2

Os dois teoremas que se seguem são corolários do Teorema 3.11 (teorema de separação). Na análise que se segue, 9t: é o conjunto dos pontos do 9tD com coordenadas todas maiores ou iguais a zero. 9t~ é o conjunto dos pontos do 9tD cujas coordenadas são todas positivas.

Teorema 3.12: Seja C um subconjunto convexo do 9t D tal que Cfl9t~ = 0 . Então existe um vetor u, tal que u e 9t: ,lIull = 1 e (u, x) S 0, para todo x e C.

Demonstração: Pelo teorema 3.11 existe um vetor u e 9t: tal que ~u II = 1 e (u, x) S (u, y), quaisquer que sejam x e C e y e 9t~.

Sejam el'e2 , ••• ,eD os unitários do 9tD

, w =e1 +e2+ ... +eD • Então, para qualquer b > 0, bw E 9t~. Logo:

(u,x) S (u, bw) = b(u, w)

para qualquer x e C. Fazendo b tender a zero, segue-se que:

(u,x) S ° para qualquer x e C.

39

Seja:

s = sup {( u, x) I x e C} Então, para qualquer vetor y e 9t~:

(y,u)~s

Notemos agora que, para quaisquer a, b positivos ae; + bw e 9t~.

Logo:

(ae; + bw, u)= a(e;, u}+ b(w, u)~ s

Ou seja:

(e.,u}~.! - ~(w,u) I a a

Fazendo a tender para o infmito, segue-se que:

ou seja, que u e 9t: .

Funções Côncavas· Revisão do Capítulo m e Resultados Adicionais

Seja C um subconjunto convexo não vazio de 9tD • F (x) uma função definida em C com valores no 9tm • Pelo que vimos no capítulo anterior, diz-se que F (x) é côncava quando, quaisquer que sejam Xl e x2 pertencentes a C e O S a S 1, se tiver:

No caso das funções côncavas com valores no conjunto dos reais, a imagem geométrica é a oferecida pela figura 3.8: O gráfico da função ao longo de qualquer segmento em C situa-se acima da secante correspondente. No caso de funções com valores em 9tm, elas serão côncavas se e somente se cada uma de suas coordenadas for uma função côncava.

40

f (x)

~----~------~---------------x

Figura 3.8

Verifica-se imediatamente que se FI (x) e F2 (x) são funções côncavas, definidas no subconjunto convexo não vazio C do ~D, e com valores em ~m, aIF.(x)+a2F2 (x) é côncava sendo a., a2 reais não negativos.

Uma função G (x) diz-se convexa quando F(x) = -G(x) for côncava.

Uma função linear F (x) = Ax, definida no ~D e com valores no 9tm é ao mesmo tempo côncava e convexa.

Teorema 3.14: Seja F (x) uma função côncava, definida num subconjunto convexo C do ~D e com valores no ~m. Seja b um vetor do 9tD • Então o conjunto:

J={XE CIF(x)~b}

é convexo.

Demonstração: Veja o teorema 2.2 no capítulo anterior, quando provamos que toda função côncava é quase-côncava.

Teorema 3.15: Seja F (x) uma função côncava definida no subconjunto convexo C do 9tD e com valores no 9tm • Seja:

z = {Z E 9t"'1 Z $ F(x) para algum x E C}

Então Z é convexo.

. . \ -Observação: Compare esteteorenÍ'a com o exercício 10 da seção 2 do capítulo anterior.

41

Demonstração: Sejam zl' Z2 pontos de Z, e seja O S; a S; l. Então, por hipótese, existem Xl E C e x2 E C tais que:

Logo:

Zl $ F(x l )

Z2 $ F(x2 )

Como (1- a)xl + ax2 E C, segue-se que Z E Z, ou seja, que Z é convexo.

Cuidemos agora de funções côncavas com valores no conjunto dos reais. Um primeiro teorema fundamental é o que assegura que todo máximo local é um global.

Teorema 3.16 (Máximo Local - Máximo Global): Seja f (x) uma função real côncava, definida no subconjunto convexo não vazio C do 9tD • Suponhamos que existe d > O tal que, para todo XE C tal que Ix-xoll

fez) __ ~

Xo Figura 3.9

Teorema 3.18: Seja C um subconjunto convexo não vazio do 9t D ; f (x) uma função real côncava e diferenciável definida em C; Xo um ponto de C. Então, para que f (x) passe por um máximo no ponto Xo é necessário e suficiente que:

para todo x E C.

Demonstração:

a) A condição é neçessária:

Seja x = Xo + h um ponto qualquer de C. Por hipótese, para qualquer O < a < 1:

Segue-se que:

f(xo + ah) - f(x o) S O a

Passando ao limite quando a tende a zero:

b) A condição é suficiente:

43

Suponhamos (grad f(xo),x-xo)SO, para todo x e C. Pelo teorema 3.17 resulta f(x) -f(xo) S O para todo x e C, o que significa f (x) assume o seu valor máximo em C no ponto xo'

Teorema 3.19: Seja C um conjunto convexo não vazio do 9tD , f (x) uma função real côncava e diferenciável definida em C; XO um ponto pertencente ao interior de C. Então, para que f (x) passe por um máximo do ponto xo' é necessário e suficiente que grad f (xo) = O.

Demonstração:

a) A condição é necessária: Seja y um vetor qualquer do 9tD • Então, como Xo pertence ao interior de C, existe um real positivo À tal que Xo +Ày e C. Pelo teorema 3.18:

ou seja:

(grad f (xo)' y) S O para qualquer y e 9tD

Isso exige grad f (xo) = O

b) A condição é suficiente: Se grad f(xo) = O, então, pelo teorema 3.17, f(x) -f(xo) S O, para qualquer x e C.

o Teorema de Kuhn e Tucker

Sejam f(x),gl(x), .. ,gm(x) funções reais côncavas definidas num subconjunto convexo não vazio C do 9tD • Tomemos o problema:

maximizar f (x)

com as restrições gl (x) ~ O, ... ,gm(x) ~ O.

Supõe-se que as desigualdades de restrição sejam tais que, para algum ponto y de C todos os gj (y) sejam estritamente positivos. Isto posto, o teorema de Kuhn e Tucker afirma que, para o máximo condicionado de f (x) ocorra no ponto xo' é necessário e suficiente que existam multiplicadores de Lagrange Pi'P2""'P", tais que:

i) o máximo em C do lagrangeano F(x)=f(x)+Plgl(x)+"'+Pmgm(x) ocorra no ponto xo;

ü) os multiplicadores de Lagrange sejam não negativos;

44

üi) pjgj (xo) = O, (i = 1, ... ,m). Isto significa que se gj (xo) > O, isto é, se gj (x) ~ O é uma restrição supérflua no ponto de máximo condicionado xo' então o multiplicador de Lagrange correspondente é igual a zero.

Teorema 3.20: (Kuhn, Tucker, Usawa, Gale, Slater). Seja C um subconjunto convexo do 9tD ; f (x), G (x) funções côncavas definidas em C, sendo f (x) com valores reais, G (x) com valores no 9tm. Admitamos que, para algum y e C, se tenha G(y) > O (condição de Slater).

Seja Xo um ponto de C tal que G(xo) ~ O. Então, para que G(x) ~ O implique f(x) ~ f(xo) é necessário e suficiente que exista p e 9t:, tal que:

f(xo) = f(xo)+ (p,G(xo») ~ f(x)+(p,G(x»), para todo x e C.

Demonstração:

a) A cond~ão é necessária: Sejam gl(x), ... ,gm(x) as coordenadas de G (x). Tomemos a função H (x) defInida em C e com valores no 9tm+1 de coordenadas:

H(x) = (f(x)- f(XO),gl(X), ... ,glll(x»

É imediato que H(x) é uma função côncava. Por outro lado, se G(x)~O implica f(x)~f(xo)' não há ponto x em C onde as coordenadas de H (x) sejam todas positivas.

Seja Z= {z e 9tm+llz~ H(x), para algum x e C}

Pelo teorema 3.15, Z é convexo. Por outro lado, não há ponto de Z com coordenadas todas positivas, o que implica Zn9t:1 = 0.

Segue-se, pelo teorema 3.12, que existe u = (uo,ul' ... 'u m ) e 9t,:+t. tal que Ilull = 1, e

(u,z) ~ O, para todo z e Z.

Particularizando para z = H (x):

A condição de Slater garante que Uo > O. Com efeito, suponhamos por absurdo uo=O. Teríamos então uIgI(y)+ ... +umgm(Y)~O. Sendo os uj não negativos e os gj(y) positivos, isso implicaria UI = u2 = ... = um = O, e portanto u = O. Mas isso contradiz o fato de que Ilull = 1.

45

Isso posto, façamos:

Ui (' 1 ) Pi =- 1= , ... ,m Uo

e seja p o vetor do 9lm de coordenadas (Pl"" P m)' É imediato que p e 9l:, e:

Provamos assim que:

f(xo) ~ f(x)+(p,G(x»), para todo x EC.

Resta provar que f(xo) = f(xo)+(p,G(xo»), ou seja, que (p,G(xo»=O. Com efeito, pela desigualdade acima, tomando x = Xo no segundo membro:

Mas como p e G(xo) são não negativos:

Logo (p,G(xo»)=O.

b) A condi"ão é suficiente

Suponhamos que G(xo) ~ O, e que exista um vetor p e 9l: tal que:

Então f(x):Sf(xo)-(p,G(x»), para todo xeC. Isto posto, G(x)~O implica (p,G(xo»)~O, e portanto f(x):S f(xo)'

Sobre o teorema de Kuhn e Tucker valem as seguintes observações:

a) o teorema prova que, se a função côncava f(x), com as restrições côncavas gl(x)~O, ... ,gm(x)~O, passa por um máximo condicionado no ponto xo' então existem multiplicadores de Langrange não negativos, PI'P2, ... ,Pm' tais que o langrangeano f(X)+Plgl (x)+ .. ·+Pmgm(x), defmido em C, passe por um máximo livre em xo;

b) a condição (p,G(xo») = O equivale a Plgl (xo)+ ... +Pmgm(x) = O. Como os Pi e os gi(XO) são todos não negativos, isso implica Pigi(XO)=O (i=l, ... ,m). Segue-se que, se gi (xo) > O, então Pi = O;

46

c) o teorema presume que as funções f(X),gl (X), ... ,gm(X) sejam côncavas, e que se verifique a condição de Slater. Não é preciso supor que essas funções sejam diferenciáveis, nem mesmo contínuas;

d) a parte complexa do teorema é a demonstração de que a condição é necessária. A prova de suficiência é trivial, independendo das hipóteses de concavidade e da condição de Slater. Não há necessidade de que essas funções obedeçam a qualquer outra restrição. Com efeito, seja C um subconjunto não vazio do 9tD (não necessariamente convexo); f (x) uma função real definida em C; G (x) uma função definida em C, com valores no 9tm; Xo um ponto de C. Admitamos que exista p e 9t: tal que:

f(xo) = f(xo)+(p,g(xo»)~ f(x) + (p,G(x»), para todo x e C.

Como as coordenadas de p são todos não negativas, é imediato que G(x) ~ O implica f(x) S; f(xo);

e) sem a condição de Slater não se pode garantir a existência de multiplicadores de Lagrange nas condições do teorema. Como contra-exemplo, seja C o intervalo [-1,1] no conjunto dos reais, f (x) a função real:

f(x) =+.JI-x2

definida em C. É imediato que f (x) é côncava (figura 3.10). Tomemos agora a desigualdade de restrição:

g(x)=x-I~O

A condição de Slater não se verifica, pois não há ponto de C onde x-I> O. O máximo de f (x) com a restrição g(x) ~ O obviamente ocorre no ponto x =1, que é o único ponto de C que atende à restrição g(x) = x -1 ~ O. No caso, f(I) = O.

É impossível, no entanto, encontrar um multiplicador de Langrange não negativo À tal que se tenha:

f(I) = O ~ f(x) + Àg(x) = .I:-,JI- x2 + À(x -1) para todo x e [-1;1]

Com efeito, isso exigiria:

À(l-x) ~+.JI-x2 para todo xe [-1;1]

Dividindo ambos os membros da desigualdade por +~, x ;tI:

Â. ~(l- x) ~ +.JI + x para todo x e [-1,1), o que é impossível.

47

f (x)

------~--------------~------------~~------ x 1

Figura 3.10

o teorema de Kuhn e Tucker pode ser representado em termos de ponto de sela. Para m

ist,?, defina H:C x 9t:--+9t, tal que H(x,Â.)=f(x)+LÂ.igi(X). Sejam xo eCeÂ.oe9t: i=1

satisfazendo as condições do teorema de Kuhn e Tucker. Logo por este teorema temos que H(x,Â.o) S H(xo ,Â.o) S H(xo'Â.), 'Vx e C e 'VÂ. e 9t:, onde a segunda desigualdade decorre

do fato que LÂ.Oi gi (xo) = OS LÂ.igi (xo), visto que Â.i ~ O e gi (xo) ~ O, 'Vi = 1, ... ,m. Vale i .. 1 i=1 também a recíproca, ou seja, a desigualdade acima implica o teorema de Kuhn e Tucker. Com efeito, a primeira desigualdade nos diz que

f(x)+ LÂ.Oi gi (x) S f (xo) + LÂ.Oi gi (xo), 'Vx e C e a segunda implica que i=1 i=1

LÂ.Oi gi(xo)SLÂ.i gi(XO)' 'VÂ.e 9t:. Tomando-se Â.=O, tem-seque LÂ.Oi gi(XO)SO, mas i=1 i=1 i=1

como gj(xo) ~ O e Â.Oi ~ O, 'Vi = 1, ... ,m, segue-se que LÂ.Oi gi(XO) =0. i=1

o Caso em Que as Funções f e I: são Indiretamente CÔncavas e Diferenciáveis

Sejam f (x) e g (x) funções indiretamente cÔncavas definidas em um aberto convexo do 9t", tais que f(x} = h l (F(x» e g{x} = h 2(G(x}), F, G, funções cÔncavas diferenciáveis, h.,h,., funções reais de uma variável real derivável com as derivadas satisfazendo h\ > Oe h'2 > O. Suponha que estejamos diante do problema de maximizar f (x) sujeito a g(x) ~ O e vejamos como obter a solução a partir do teorema de Kuhn e Tucker. Para isto, observe que o problema original Max hl (F(x)) sujeito à restrição h,. (G(x» ~ O, é equivalente ao problema Max F(x) sujeito à restrição G(x)-r ~O, onde r =h21(0), visto que F(x) ~ F(y) se, e só. se h l (F(x» ~ h l (F(y», analogamente em relação a G.

Aplicando o teorema de Kuhn e Tucker ao último problema, sabemos que as condições são necessárias e suficientes para a obtenção do máximo x* são dadas pela existência de 11· ~ O tal que:

48

a) O(x*)- r ~ O

b) J,l * (O(x*)- r) = O

àF dO c) -(x*)+J,l*-(x*)=O, V'i=l, ... ,n.

dx j dx j

Se tivéssemos aplicado o teorema de Kuhn e Tucker diretamente ao problema original, esquecendo que f (x) e g (x) não são necessariamente côncavas, teríamos concluído que a condições necessárias e suficientes para máximo em x* seriam a existência X ~ O tal que:

a') g(x*) ~O

b') Â*(g(x*» =0

c') di (x*)+Â*dg

(x*) =0 V'i=l, ... ,n. dxi dxi

Mostraremos que podemos proceder desta forma. Para isto, basta observar que cada uma das seguintes condições (a), (b) e (c) equivalem, respectivamente, às condições (a'), (b') e (c'). Com efeito,

i) Equivalência entre (c) e (c'): sabemos que :. (X·)=h\(F(X·»:' (x·) e I I

dg • • dO • • A • dx. (x ) = h'2 (O(x » dx. (x ). Fazendo a= h\ (F(x » e p= h; (O(x » temos que I I

dF. • iJG • dF.. iJG(x·) iJf.. dg - (x )+Jl -(x ) =O~ a-ex )+Â f3 =O~ -(x )+Â -(*) =0, dX j dX j dX j dX j dX j dX j onde A = O)

ü) Equivalência entre (a) e (a') e (b) e (b'): basta observar que G (x*) = r se, e só se g (x*) = O e Â: ~ O se, e só se J,l. ~ O, sendo Â: = O se, e só se J,l. = O, visto que Â: = aJ,l· I fi, onde a,fi > O.

ConcluÚDos que o teorema de Kuhn e Tucker pode também ser aplicado para funções indiretamente côncavas em que as funções monótonas crescentes transformadoras da função côncava original são diferenciáveis (logo, com derivada maior que zero em todos os pontos de seu domínio).

49

Exercidos resolvidos: Seção 3

Solução: f, g: 9t! ~ 9t tais que f (x,y ) = -w I X - W zy e g(x,y) = x+y -k são funções côncavas definidas no convexo 9t!. É fácil ver que existe (x',y')e9t! tal que g(x',y'»O. Queremos encontrar  ~ Oe (xo,Yo) e 9t! tais que g(xo'yo) ~ O, Âg(xo'yo) =0 e (xo,Yo) seja o máximo de F(x,y) = f(x,y) + Âg(x,y). Portanto Â=Ooug(xo'yo)=O, mas se Â=O então f == F e (0,0) é o ponto de máximo o que implica que k deve ser zero. No caso alternativo, temos g(.xo,yo) =0. Vamos supor então que k>O. Como gradF(x,y)=(-wI+Â, -wz+Â), gradF(x,y)=O se, e só se wI =Â=wz. Logo se

wI = W z ' qualquer ponto sobre g(x,y) = k é ponto de máximo de f e se wI :F- W z tem-se

que o máximo de F é assumido em fr (9t:) e como Xo + Yo = k então Xo = k ou Yo = k, dependendo quem for maior: f(k,O) = -wlk ou f(O,k) = -w2k. Observe ainda que a solução do problema seria a mesma no caso da restrição sob a forma de igualdade x + y = k.

2) Seja U:9t++ x 9t ~ 9t tal que U(x, y) = log x + y. Maximize U(x,y) sujeito a px + qy S m,x > O, y ~ O, sendo p, q e m constantes positivas. Solução: Sejam f,gl'g2:9t++x9t~9t tais quef(x,y) = logx+ y, gl (x,y) = m- px-qy,gz(x,y) = y. É fácil ver que 9t++ x9t é convexo e que gl' g2 são funções côncavas. Como fi' f2: 9t++ x 9t ~ 9t definidas por fl(x,y) = logx e f2(X,y) = y são funções côncavas (para verificar que fi é côncava basta calcular a hessiana fi e constatar que ela é positiva semi-definida em todos os pontos) e

f = fi + f2 então f é côncava. Além disso, (m/4p, m/4q) e 9t++ x 9t e

g; (;:, ~) >O,i=I,2.

Estamos agora em condições para aplicar o teorema de Kuhn e Tucker: queremos determinar (xo,yo)e9t++x9t tal que gi(xo'YO)~O, i=I,2e(xo'Yo) seja um ponto ótimo para F: 9t++ x9t ~ 9t dada por F(x,y) = f(x,y) + ,;,gl (x,y) + ~g2 (x,y) com ÂI,Â2 e 9t+ tais que Âj gj(.xo,yo) = O, i = 1,2.

Como F é côncava e diferenciável no aberto 9t++ x9t, (xo,yo)será um ótimo para F se, e somente se grad F (xo,Yo) = O. Logo haverá ponto de máximo se, e somente se existir ponto crítico de F. Desde que F (x,y) = log x + y +ÂI ( m - px - qy) + Â2 y devemos ter pelo que vimos acima:

j;(xo,YO)=r..--\p=o (I) dy (xo,Yo) = l-Â,q+~ =0 (2) Observe que com isto ÂI :F- O, pois caso contrário : (xo' Yo) = Ix o :F- O. análise aos seguintes casos:

Assim reduzimos a

50

i) 1..1 > O e 1..2 = O. Neste caso, por (2) temos 1..1 = fq > O. Daí e por (1) vem: Xo = q/ p > O. Como À.lgl (xo,Yo) = O e 1..1 > O temos que

PXo + qyo = ri1 o que implica que Yo = m - 1. q

somente se m ~ q.

Devemos garantir finalmente que

Mas o que acontece se m < q? Se m < q, este caso não é aplicável e devemos partir para o caso:

{Ât (m- PXo -qyo) = O

Ü)À.l > O e 1..2 > O. Como Â..2Yo = O '

{m= PXo +qyo 'fp

~ Xo = Yo =0 . p

Por (1) temos 1..1 = Ym, daí e por (2) temos 1..2 = Ym -1. Logo 1..2 > O se, e só se m < q. Conclusão: {(%, % -1) é o ponto ótimo, se m ~ q

(~, O) é o ponto ótimo, se m < q

3) Maximizar y = min {xl'x2 } sujeito a PIXl +P2X2 = R; R,Pl'P2 > O; Xl ~ 0'X2 ~ O Solução: Seja j:9t! -+9t definida por j(xl'x2 ) =min {xl'x2 }. É fácil ver que fé contínua e K = {(xl'~) e 9t! ; Pl~ + P2~ = R} é compacto, logo pelo teorema de Weierstrass f assume um máximo em K. Entretanto não podemos utilizar o teorema de Kuhn - Tucker, pois há uma restrição do tipo igualdade. O que fazer? Podemos substituir a restrição p Xl + q X2 = R por P Xl +q X2 ~ R e verificar (utilizando o teorema de Kuhn e Tucker) se o ponto ótimo do novo problema está sob a restrição P Xl +q X2 = R (o que é bastante razoável uma vez que f é não decrescente em (~~) ou porque f poderia traduzir a utilidade de um consumidor "localmente não-saciável" e neste caso o ponto de ótimo do novo problema seria o ótimo do problema anterior). Vejamos: seja g: 9t! -+ 9t tal que g(xl'x2 ) = R - P Xl -q X 2 • É fácil ver que:

i) f e g são funções côncavas.

Ü) (O, O) e 9t! e g(O, O) > O (condição de Slater).

Aplicando o teorema de Kuhn e Tucker, queremos encontrar (x~ ,x~) e 9t!, tal que g(x~,x~)~O e (x~,x~) seja ótimo para F(xl'x2)=f(xl'x2 )+À.g(xl'x2 ) defInida em 9t: para algum À. ~ O, e além disso À. g(x~ ,x~) = O.

Temos os seguintes casos:

(i) À. = O; o que não é possível pois neste caso F == j, sendo assim uma função ilimi··tada (»2 em ';'''+.

51

(ü) À> O; neste caso P X~ + q X~ = R. Como F é diferenciável no aberto A = {(xl'~) e 9t~; Xi * ~}, se (x~ ,x~) e A, então pelas condições de primeira ordem

o o {( -Â. pl'l- Â. P2)' se 0< X2 < Xl devemos ter grad F(xI ,x2) = O. Mas grad F(xI ,x2) = ':I ':I e (1- A PI ,-A P2)' se O < Xl < X2 portanto grad F(xl ,X2) * O, 'V(X l ,X2) e A. Logo ou X~ = O ou X~ = O ou X~ = X~. Analisemos estas possibilidades.

) o _ O o - R/ F( o o) - O a Xl - ~ X 2 - / q ~ Xl 'X2 -

b)~=O ~X~=% ~ F(x~,x~)=O

c) X~ = X~ ~ X~ = X~ = y

{-SX\ +6r~ = 25 3x\ - 5x2 - -20

~(x~,x~) ~ 9t~. Portanto

este caso não é possível.

ü) Â.\ > O e Â.2 = O. Temos que x~ + x~ = I (visto que Â.\g\ (x~ ,x~) = O) e gradF(~,~) = (-16~ + 12~ -50-Â." -20~ + 12x\ +SO-Â.\) = (0,0)

{-16X) + 12x2 = 50+ Â, 12x\ - 20x2 = Â, - SO

Sejam

-16 12 50+Â) I~ D= =176 e Dx= =-40-32Â) o. Temos que S(x~ y + (x~y = 2 (visto que Â.2g2(X~ ,x~) = O) e grad F(xp x2 ) = (-16x) + 12x2 -50-16Â.2x\,-20x2 + 12x\ +SO- 2Â.2X2 ) = (0,0)

{- S(1 + ~)x\ + 6x2 = 25 6x\ - (10+ ~ )x2 = -40

-S(I +  2 ) 6 Sejam D = = 8(1 + Â2)(1O+  2 )- 36 > O (pois  2 ~ O) 6 -(10+Â2 ) 25 6

eD = -40 =-25(10+Â2)+240=-1O-25Â2 x~ = DIo < O, o que é absurdo, logo este caso não é possível. iv) Â.\ > O e Â.2 > O. Temos que x~ + x~ = I e 8(X~)2 + (X~)2 = 2

o 2 o o 2 o 2 o 2 o 1±.Jiõ o 1+.Jiõ o 8-.Jiõ ~8(x,) +1-2x, +(x 1 ) =2~9(x,) -2(x, ) -l=O~x, = ~XI = ~X2 =--999 Observe que O < x~, x~ < I e x~ < 5/9 (verifique!). Assim, f(x~ ,x~) = -8 (X~)2 -lO(x~)2 +12x~x~ -50x~ +80x~ < 12x~x~ +80x~ < 12.+80.5/9 < 12 +80.5/8 = 62

Concluímos que se (x~, x~) E 91:+ então

{x~ = (1 + ..)10) / 9 x~ = (8 - ~1O) /9 Por outro lado se (x ~ ,x~) ~ 91:+ então x~ = O ou x~ = O. Se x~ = O então o problema

original reduz-se a maxinúzar -IOx; + 80x2 sujeito a O ~ x2 ~ I, cujo o ponto ótímo é x~ = I , além disso {{O, I) = 70. Analogamente se x~ = O então o ponto ótimo será (0,0) e f (0,0) = o. Como (O, I) é entre os três pontos possíveis o que oferece maior valor, (O, I) é o ponto ótímo deste problema.

53

Para evitar muitas contas (como no caso acima) é conveniente fazermos o gráfico do conjunto restrição e as curvas de nível da função a ser maximizada a fim de intuirmos qual é o caso em questão. Veja gráfico a seguir:

x2

x1

5) (Birchenhall e Grout, 1984) Um consumidor, ao colocar a sua renda m por T + 1 períodos, depara-se com a restrição orçamentária

onde Pt é o preço do bem de consumo, Ct é o nível de consumo no período t e r é a taxa de

juros (r>O). A função utilidade do consumidor é dada por V(C) = ± U(Ct~ onde cada - t=O (1+p)

U (C t ) é estritamente côncava , p é a taxa de preferência intertemporal (p > O) e ~ = (Co ,CI' ... ,CT ). Analise a seguinte afirmativa como verdadeira ou falsa, justificando

formalmente: Pt l+p O consumo será constante (C t = C t+1 para t = O, ... ,T-l) se, e somente se -= -- para

P l+r 1+1 t =0,1, ... , T-l .

Solução: Vamos supor que, Ct > 0, 'Vt = O, ... , T. Se U'(Ct) = 0, 'Vt = O, ... , T então

Ct = Ct+1 para t = 0, ... , T -1, pois U é estritamente côncava e portanto U' é uma função

decrescente. Sejam G(C)=m-± PtC

\ e V(C)=± U(Ct~,C»O onde - t=O (1 + r) - t=O (1 + p) -

C = (Co,Cp ... ,CT ). Observe que V e G são funções côncavas e que se para cada

, (1+r)t m t,(t=O, ... T) fizermos Ct = temos que G(C') >O, onde

2Pt (T+I)

54

, " , ~ = (Co ,C\ "",CT ), ou seja, a condição de Slater é atendida. Podemos assim aplicar o

teorema de Kuhn e Tucker para resolver o problema proposto, maximizando V (Ç) + ÂG (Ç ) para algum  ~ O tal que o ponto ótimo ~o satisfaz G (~O)~O e ÂG«t) = O. Temos assim dois casos a considerar:

i) Â = O. Neste caso a restrição não é relevante e o ponto ótimo CO é tal que

gradV(~O)=O, ou seja, ; (C:°)=O, 'Vt=O, .. ,T, isto é, U'(C,o)= O, 'Vt=O, .. ,T e isto t

significa, como vimos acima, que Ct = Ct+\' t = O, ... , T - 1 .

ü) Â > O. Pelas condições de Kuhn e Tucker devemos ter ~ PtCt U'(C t) Pt ~ (1 )t =m e ( .\t -Â( )t =0, 'Vt=O, ... ,T-1. t=O + r 1 + p, 1 + r

,,=(l+r)' U'(Ct) \.I =0 T ~A t ,vt , ... ,

(1 +p) Pt

(l+r)t U'(Ct) = (l+r)t+l U'(Ct+l) \.I =0 T-1 U'(Ct) = (l+r) U'(Ct+l) ~ t tI' vt , ... , ~ ,

(l+p) Pt (l+p) + Pt+l Pt (l+p) Pt+l

'Vt = O, ... , T-1.

Como U'(Ct)=U'(Ct+J, 'Vt=O, ... ,T-I se, e somente se Ct =Ct+1, 'Vt=O, ... ,T-I (visto que U é estritamente côncava) tem-se que o consumo será constante se, e somente se P, _ I+p ----, t=O, ... , T-I . P'+l 1+7

6) Seja f:C ~ 9tuma função côncava definida no convexo aberto C c 9t". Prove que f é contínua.

Solução: Suponhamos que f seja descontínua em Xo E C. Então existe uma seqüência (xk )kEN em C tal que lim xk = Xo e lim f( xk ) = L com L :t: f( xo). Para fixar idéias vamos supor que L> f(xo) (podendo ser L = +00). Seja E"= {(x, t) E9t

D+1 ; t ~ f(x)} o epígrafo de f Como f é côncava, temos que E é convexo (veja exercício resolvido da seção 2 do capítulo 3 ). É Iacil ver que P = (xo, f( xo») E fr(E), assim pelo lema 3.5 deste capítulo existe um hiperplano H (p, u) tal que u E9tD+1 ,llull = 1 e E c H+(p,u), isto é,

«x,t)-(xo,f(xo»,u)~O, 'V(x,t)EE, ou seja, (x-xo,u)+(t-f(xo» U 2 ~O, onde u=(UI ,U2 ) com UI E9t" e u2 E 9t. Particularizando esta desigualdade para os pontos (xk , f (xk » E E, tem-se

e passando ao limite vem que:

55

e como L - f(xo) > O devemos ter u2 ~ O. Agora tomando um ponto da forma (xo .1) e E tal que L < f (xo) • chegaremos a conclusão de que u 2 S O. Portanto. ~ = O.

Seja agora x=xo+5ej• ie{l •...• n}e 5e9t(onde {ep ...• e.} é a base canônica do ~.). Como C é aberto. se 151 for suficientemente pequeno. x e C. Aplicando a desigualdade agora ao ponto (x. f(x» e E (e usando o fato que ~ =0) temos que 5(ej.uI)~0. Tomando 5

positivo e depois negativo. chegaremos à conclusão de que (ej• UI) = O. Como i e {l •...• n} é arbitrário. teremos que u = O. o que é absurdo. pois lul = 1. Portanto f é contínua.

(a) Determine o ponto de C que esteja a menor distância da origem (0.0).

(b) Encontre a equação de um hiperplano que separa estritamente o conjunto C da origem.

Solução:

Como C =. -3,4).1] tem-se que C é convexo. Obviamente (0.0) EC .

(a) Devemo~ resolver Min x 2 + y2 {z.Y} E 912

s.a. (x+3)2 +(y-4t SI

que é equivalente a Max - x 2 _ y2 {Z,Y}E9I2

s.a. (X+3)2 +(y-4t SI

Sejam f:9t2 -+ 9t e G:9t2 -+ 9t funções definidas respectivamente por f(x.y) = _x2 _y2 e G(x.y) = 1-(x+ 3)2 -(y _4)2. É evidente que f e G são funções côncavas. A condição de Slater é satisfeita por (-3. 4)e 9t2 • visto que G (-3.4)>0.

Assim. (x,y) é solução ótima 3Â. e 9t+ tal que:

(1) grad f(x,y)+Â.grad G(x,y) = O

(2) Â.G(x,y)=O

(3) G(x,y)~ O

Devemos ter: Â. > O visto que À = O implica que (x, y) = (O, O) por (1), o que não pode ocorrer pelo ítem (a).

De (2) temos (x + 3)2 + (y - 4)2 = 1. Logo,

{-x-Mx+3)=0 -31.. 41.. .

(1) ~ ~x=--,y=--. Assun - y - Â.(y - 4) = O 1 + À 1 + À

56

( - 3Â )2 (4Â)2 9 16 1 + Â + 3 + 1 + Â - 4 = 1 :. (I + Â)2 + (I + Â)2 = 1 => (1 + Â)2 = 25

=> Â. = 4 ou Â. = -6 (não interessa).

-12 16 • (-12 16) Para Â. = 4 temos x = -5-' Y = 5"'. Então z = -5-' 5"' é solução ótima.

• • (b)Sejamu=I:.r p=~ e H(u,p)={z={x,y)e9t 2 ;(u,z-p)=0}

É fácil ver que (0,0) e int H_ (u, p). Como C é compacto, o que precisamos mostrar é que C c intHJ u,p), i.e, (u,z) > (u,p), 'Vz e C.

Sabemos que:

1z·~2 ~~I-a)z· + azl2 ,'Vz e C e O < a ~ 1 => Iz .12 S Ilz .12 + 2a (z· ,( z - z· ) ) + a 2 ~z - Z • ~2 => O ~ 2a(z· ,(z - z·)} + a21z - z·f

Dividindo por a temos:

2(z· ,{z - z ·)}+allz - z .~2 ~ O

Fazendo a->O temos (z' ,(z-z'))~ O, 'fiz EC "" Iz'~ u,(z- ~ -~ ~ ~ O. Logo, Iz·11 > O =>

(+- ~ -~)) ~ O"" (u,z) ~ ~ (u,z')+ ~ (u,z') = (u,p}+(u,p) = 2(U,p} > (u,p), 'Vz eC.

8) Sejam PI e P2 os preços de duas ações hoje. Suponha que desejamos comprar XI e x2 quantidades de cada ação sujeito a seguinte restrição orçamentária:

(I)

Considere uma variação esperada nos preços das ações de II I e 112 de hoje para amanhã. Suponha que desejamos obter um lucro esperado de no mínimo $10.000 i.e,

(2)

Seja V = [

O'll

0'21 0'12] a matriz de covariância dos retornos das ações com V definida positiva 0'22 .

o objetivo do investidor é determinar as quantidades ótimas de XI e x2 sujeito às restrições (I) e (2) de tal forma a minimizar a variância de seu portifólio dada por

2 2 2 O'llXI + 0'12 X IX2 + 0'22 X2

57

(1 X2 + 2(1 x x + (1 X2 Solução: Dev.emos Mil'( 11 I 12 I 2 22 2

{.,,,J 2

s.a. PIXI + P2X2 ::;; 100.000 J.LIXI + ~X2 ~ 10.000

XI ~ O,x2 ~ O

que é equivalente a

Sejam

M _((111X~ + 2C112XIX2 + C122 X;) {.,~ 2

s.a. PIXI + PzX2::;; 100.000 J.LIX I + J.LzX 2 ~ 10.000

XI ~O,X2 ~O

f(x p x2) = - (C111X~ + 2C112XI X2 + C122X;)/2 gl(XI,X2) = 100.000- PIXI - P2X2' g2(XpX2) = IJixl + Jlzx2 -10.000, g3(XI,X2) = xi' g4(Xp~) =~.

É facil ver que f, gj são funções côncavas em 9t2 para i = 1, 2, 3, 4. Seja G =

(gpg2,g3,g4).

Condição de Slater: seja K = {(x,y) e 9t 2 ; G(x,y)>O}. Impondo-se condições sobre J.1 1 'Pi'

P2 e J.12 (por exemplo: IOJ.LI > PI,I OJlz > P2) garante-se que int K * 0. Suponha que estas condições são verificadas. Temos que (XI ,x2 ) é solução ótima tal que:

4

(1) grad f(XI,X2)+ L ~ grad gi (xpX2) = O i=1

i=I, ... ,4

De (2) para i = 2 temos J.LIX 1+ J.LzX 2 = 10.000. Por outro lado (1) implica

{- C111XI - C1I2 X2 - PI~ + J.lJÂ..z + ~ = O - C122X2 - C112 XI - P2~ + J.lzÂ..z + Â..4 = O

~ {- C111 X1 - C112 X2 + J.L1Â..z = O - C122X2 - C112X I + J.lzÂ..z = O

58

< l00.000JL1[JL10'22 - JL20'12] + l00.000JL2[JL20'1l - JL10'12] < 100.000

Logo, (Xl ,x2 ) é solução ótima do problema, desde que G12 < h < Gll , uma vez que isto é

G22 J.l2 G12 equivalente a Xi ~ 0, i = 1,2.

Geometria do problema:

Observação: O que fizemos acima é resultado da observação antecipada da geometria do problema. Assim chegamos à solução do exercício em apenas um caso.

59

Exercídos propostos:

1) Utilize o teorema de Kuhn e Tucker para obter as soluções dos seguintes problemas:

b) Maximizar U(x,y) sujeito a pzx+pyySR ex~O,y~O com U(x,y)

côncava, pz > O, Py > O e R > O.

c) Maximizar R(Q) sujeito a R(Q) - C(Q) ~ I > O, com R(Q) - C(Q) , R(Q) côncavas e R,C funções diferenciáveis para Q ~ O.

2) Sejam Xwoo,x. probabilidades (Xj ~ O, t. x j = 1 J Claude Shannon define a entropia de informação como -LXi log Xi . Mostre que a função entropia é côncava. Encontre

condições necessárias e suficientes para que a entropia seja maximizada sob restrições fi (x) ~ O (i = l, ... ,m) se as funções fi são diferenciáveis e côncavas.

D

3) Suponha ainda que x ~ O, L X j = 1. Derive condições para maximizar a entropia de j=l

D

Shannon se as restrições são lineares L aij Xj = bi (i = l, ... ,n). j=l

4) Suponha que a função de produção de uma firma é uma função Cobb-Douglas com

retornos crescentes de escala q = K~ ~, onde K é capital e L é o trabalho; o preço da produção de uma unidade é 2 unidades monetárias; o cust