curso de engenharia (mecÂnica) – volta redonda - … · b m q a l p t a. proac / coseac -...

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

TRANSFERÊNCIA – 2o semestre letivo de 2008 e 1o semestre letivo de 2009

CURSO de ENGENHARIA (MECÂNICA) – VOLTA REDONDA - Gabarito

INSTRUÇÕES AO CANDIDATO

• Verifique se este caderno contém: PROVA DE CONHECIMENTOS ESPECÍFICOS – enunciadas questões discursivas, totalizando

dez pontos. • Se este caderno não contiver integralmente o descrito no item anterior, notifique imediatamente ao

fiscal. • No espaço reservado à identificação do candidato, além de assinar, preencha o campo respectivo

com seu nome. • Não é permitido fazer uso de instrumentos auxiliares para o cálculo e o desenho, portar material

que sirva para consulta nem equipamento destinado à comunicação. • Na avaliação do desenvolvimento das questões será considerado somente o que estiver escrito a

caneta, com tinta azul ou preta, nos espaços apropriados. • O tempo disponível para realizar estas provas é de quatro horas. • Ao terminar, entregue ao fiscal este caderno devidamente assinado. Tanto a falta de assinatura

quanto a assinatura fora do local apropriado poderá invalidar sua prova. • Certifique-se de ter assinado a lista de presença. • Colabore com o fiscal, caso este o convide a comprovar sua identidade por impressão digital. • Você deverá permanecer no local de realização das provas por, no mínimo, noventa minutos.

AGUARDE O AVISO PARA O INÍCIO DA PROVA

RESERVADO À IDENTIFICAÇÃO DO CANDIDATO

RESERVADO AOS AVALIADORES

REDAÇÃO rubrica: ___________

C. ESPECÍFICOS rubrica: ___________

PROAC / COSEAC - Gabarito

3

Prova de Conhecimentos Específicos

Observação: Todas as respostas devem estar justificadas, isto é, acompanhadas dos cálculos e argumentações feitas.

1a QUESTÃO: (1,4 ponto)

Determine as derivadas parciais da função )32cos(

)(),( 42 yxysenxyxf

−= .

Cálculos e respostas:

)32()]32()[()32())((),( 422

4242

xxCosyxCosyxSenyxCosyxSenyx

xf xx

−−−−=

∂∂

)32(]4)32()[()32()(),( 422

4242

xxCosxyxSenyxSenyxCosySenyx

xf

−−−−−=

∂∂

)32()32()(4)32()(),( 422

42242

xxCosyxSenySenxyxCosySenyx

xf

−−+−=

∂∂

)32()]32()[()32())((

),( 422

4242

xxCosyxCosyxSenyxCosyxSen

yxxf yy

−

−−−=

∂∂

)32()]12)(32()[()32()(),( 422

34242

xxCosyyxSenyxSenyxCosyxCosyx

xf

−−−−−−=

∂∂

)32()]32()(12)32()(),( 422

42342

xxCosyxSenySenxyyxCosyxCosyx

xf

−−−−=

∂∂


4

2a QUESTÃO: (1,6 ponto) Calcule

B(x y) dx dy+∫∫ , onde B é a região compreendida entre os gráficos das

funções xy = e xey = com 10 ≤≤ x . Cálculos e respostas:

] dxyxydydxyxxx e

x

e

x∫ ∫∫ +=

+

1

0

1

0

2

2)(

dxxxexex

x∫

+−

+=

1

0

22

2

22

dxxexex

x∫

−+=

1

0

22

23

2

] 1

0

32

24xeexe

xxx −+−=

−+−−

−+−= 0

4110

21

411

2e

43

21

4

2+−= e

41

4

2+= e


5

3a QUESTÃO: (2,0 pontos) Seja o operador linear T(x,y,z) (x 2y 2z , x 2y z , x y 4z)= + + + − − + + . a) Calcule [T] , onde [T] é a matriz de [T] na base canônica de 3R . b) Calcule os autovalores e os autovetores de T . c) T é diagonalizável ? Em caso afirmativo, encontre uma base },,{ 321 uuu ��=Β de

3R e Β[T] , onde Β[T] é a matriz de T na base Β tal que esta matriz seja uma matriz diagonal.

d) Seja a base })0,0,1(,)0,1,1(,)1,1,1({=Α de 3R . Calcule Α[T] , onde Α[T] é a matriz de T na base Α .

Cálculos e respostas: a) Notemos que,

−−=

−==

−=

411121

221[T]

)4,1,2()1,0,0()1,2,2()0,1,0()1,1,1()0,0,1(

então

TTT

b) Autovalores: seja a matriz identidade

=100010001

I

Tlinear operador do sautovalore os são 3 e 1 então 0)( )3)(1()(

9157)(

]det[)(

2

23

===−−=

+−+−=

−=

λλλλλλ

λλλλ

λ

PcomoP

P

IAxP

Autovetores: • λ =1:

x 0[A I] y 0

z 0

x 0[A I] y 0

z 0

0 2 2 x 01 1 1 y 0 ...(I)1 1 3 z 0

− λ =

− =

− = −


6


Escalonando a eequivalent é (I) que 311111

220temos

−−

0

0000

000110111

=+=−+

=

−

zyzyx

zyx

Possui infinitas soluções. Se y=t então z=-t e x=-2t logo, (x,y,z)=(-2t,t, -t) = t(-2,1,-1)

...(II) 000

111111

222

000

]3[

000

][

3

1 a associados sautovetore os todosde conjunto o é }/)1,1,2({1

=

−−−

−

=

−

=

−

=•

=ℜ∈−−=

zyx

zyx

IA

zyx

IA

ttW

λ

λ

λ

Escalonando eequivalent é (II) que 111111

222temos

−−−

−

0000

000000111

=−−

=

−−

zyxzyx

Possui infinitas soluções. Se y=t e z=s então x=t+s logo, (x,y,z)=( t+s,t, s) = t(1,1,0)+s(1,0,1)

3 a associados sautovetore os todosde conjunto o é },/)1,0,1()0,1,1({3 =ℜ∈+= λststW

c) Notemos que, pelo item b), o conjunto B={(2,1,-1),(1,1,0),(1,0,1)} é uma base de 3ℜ formado por autovetores de T. Portanto T e diagonalizavél. Nesta base B temos que :

=300030001

][ BT

d) Seja o conjunto A={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} uma base de 3ℜ • T(1,1,1) = (5,2,4)=a(1,1,1)+b(1,1,0)+c(1,0,0)

(5,2,4)=(a+b+c, a+b, a) Então: a=4, b=-2 e c=3


7


• T(1,1,0) = (3,3,0)=l(1,1,1)+m(1,1,0)+n(1,0,0)

(3,3,0)=(l+m+n, l+m, l) Então: l=0, m=3 e n=0

• T(1,0,0) = (1,1,-1)=p(1,1,1)+q(1,1,0)+r(1,0,0)

(1,1,-1)=(p+q+r, p+q, p) Então: p=-1, q=2 e r=0 Logo a matriz a matriz de T na base A é dado por:

−−

=

=003232104

][rncqmbpla

T A


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4a QUESTÃO: (1,0 ponto)

Na tradicional história do caçador e do macaco, este se encontra pendurado em um galho. O caçador aponta para o macaco e atira. O macaco se assusta com o estrondo e solta-se do galho no mesmo instante em que o projétil da arma é atirado. Mostre analiticamente que o projétil atinge o alvo.


O macaco abandona-se de modo que sua velocidade inicial é v0y= 0 , e ele se move só na direção vertical. O projétil tem componentes de velocidade nas duas direções. v0y= v0 sen ( θ ) e v0x = v0 cos ( θ ). (1) Da figura acima, sendo D a distância em linha reta do projétil à posição inicial do macaco, temos que sen ( θ ) = h / D e cos ( θ ) = d / D , (2) que juntamente com as equações (1) nos levam a: ( v0y / v0x ) = ( h / d ), logo v0y= v0x ( h / d ) . (3) Tomando o sentido para cima para velocidades positivas, temos, para o macaco: ym = h - ½ g t 2


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Cálculos e respostas: para o projétil temos movimentos nas duas direções: xp = v0x t e yp = v0y t - ½ g t 2 (4) usando o resultado da equação (3) yp = v0x (h/d)t - ½ g t 2

O instante em que o projétil atinge a coordenada horizontal d é dado por td = d / v0x , logo

yp = v0x (h / d) (d / v0x ) - ½ g(d/ v0x ) 2 , logo, yp= h - ½ g(d / v0x ) 2. (5) No instante td a cordenada vertical do macaco é: ym = h - ½ g(d / v0x )2 (6) idêntico à coordenada vertical do projétil, equação (5), provando que o projétil atinge o macaco.


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5a QUESTÃO: (2,0 pontos)

Compara-se o estudo realizado em dois planos inclinados. Em um deles (Figura 1-A) é abandonado um bloco de massa M, cujo atrito entre ele e o plano é desprezível. No segundo plano (Figura 1-B), um disco homogêneo de raio R, com mesma massa M do bloco, é abandonado da mesma altura H da qual foi abandonado o bloco na situação A. Neste caso, o disco desce em rolamento puro. Os planos têm a mesma inclinação.

Figura 1: A) Plano sem atrito com bloco de massa M abandonado à altura H, B) Plano com atrito com disco de raio R e massa M abandonado à altura H. a) Calcule a aceleração do bloco ao descer o plano 1 (Figura 1-A) e sua velocidade na parte mais baixa do plano.

b) Calcule a aceleração do disco ao descer o plano 2 (Figura 1-B) e sua velocidade na parte mais baixa.

c) Considerando o rolamento puro do disco ao longo do plano 2, discuta a direção da força de atrito estático quando o disco está descendo e quando o disco está subindo o plano. Ela tem o mesmo sentido nos dois casos? Justifique sua resposta. Cálculos e respostas: a) As forças que atuam em M são : a) Pela segunda lei de Newton: P sen ( θ ) = M a , logo a = g sen ( θ )


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Cálculos e respostas: Usando a conservação de energia: ½ M v2 = M g H , logo v = (2gH )½ b) No disco, atuam o peso P e o atrito estático f, já que o rolamento é puro

A segunda lei de Newton fica: P sen ( θ ) - f = M a (7) A dinâmica de rotações diz que τ = I α, sendo α = a/ R, no rolamento puro. O torque devido ao atrito é τ = f R , o que nos leva a f = I a / R2 (8) Substituindo em (7) temos: P sen ( θ ) = (M + I a / R2 ). Se usamos o momento de inércia do disco em relação ao CM (½ MR2 ) temos a = (2/3) g sen ( θ ) Para calcular a velocidade, usamos novamente a conservação de energia, mas levando em conta o rolamento: ½ M v2 + ½ I ω2= M g H , onde ω = v / R, devido ao rolamento puro. Se usamos o momento de inércia do disco obtemos v = [(4/3) gH ]½ c) Descendo o atrito é contra o movimento: para cima ao longo do plano. Subindo o atrito é a favor o movimento: para cima ao longo do plano subindo, o atrito é responsável pelo fim do rolamento.


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6a QUESTÃO: (2,0 pontos)

Um gás ideal realiza o ciclo apresentado na Figura 2. Partindo do ponto A, ele é comprimido isobaricamente até B; a partir daí, é aquecido isovolumetricamente até o ponto C; desse ponto, o gás se expande isobaricamente até o ponto D e então é resfriado isovolumetricamente até o ponto inicial A .

Figura 2 : ciclo de transformações sofridas por um gás ideal

Sabendo que no ponto A o gás está a uma temperatura T, calcule a) as temperaturas nos pontos B, C e D em função da temperatura no ponto A;

b) o rendimento do ciclo. Dados: dQ = n c dT, c : calor específico γ = (cP/cV ) cP (cV ) : calor específico à pressão (volume) constante Cálculos e respostas:

a) No ponto A, sendo um gás ideal, temos: PAVA = n RTA o que nos leva a T = 4 P0V0 / nR No ponto B: PBVB = n RTB o que nos leva a TB = P0V0 / nR = T / 4


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Cálculos e respostas: No ponto C: PCVC = n RTC o que nos leva a TC = 2 P0V0 / nR = T / 2 No ponto D: PDVD = n RTD o que nos leva a TD = 8 P0V0 / nR = 4 T b) e = W / Q en portanto | Qen | - | Qsai| | Qsai| e = __________________ = 1 - _______ (9) Q em | Qen | Qen = QBC + QCD Qsai = QAB + QDA QBC = ncV ∆T = ncV (TC -TB) QAB = ncP ∆T = ncP(TB -TA) = ncVT/4 = - ncP 3T/4 QCD = ncP ∆T = ncP(TD -TC) QDA = ncV ∆T = ncV (TA -TD) = ncP 5T/2 = - ncV3T/4 Qen = ncVT/4 + ncP 5T/2 |Qsai | = ncP 3T/4 + ncV3T/4 usando o fato de que (cP/cV )= γ podemos escrever: Qen = n cVT ( 1 + 10γ ) / 4 |Qsai | = n cVT ( 12 + 3γ ) / 4 (10) Substituindo (10 ) em (9) temos: e = 1 - ( 12 + 3γ )/ ( 1 + 10γ )

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