curso de concreto armado - josÉ milton de araÚjo (engenharia furg)

CURSO DE

CONCRETO ARMADO

Volume 2

JOSÉ MILTON DE ARAÚJO

Professor Titular – Escola de Engenharia da FURG Doutor em Engenharia

CURSO DE

CONCRETO ARMADO

Volume 2

Editora DUNAS

CURSO DE CONCRETO ARMADO © Copyright Editora DUNAS

A663c Araújo, José Milton de Curso de concreto armado / José Milton de Araújo. - Rio Grande: Dunas, 2010. v.2, 3.ed. Bibliografia 1. Concreto armado. I. Título

CDU 624.012.45 CDD 624.1834

ISBN do volume 2: 978-85-86717-10-9 ISBN da coleção: 978-85-86717-08-6 Editora DUNAS Rua Tiradentes, 105 - Cidade Nova 96211-080 RIO GRANDE - RS - Brasil www.editoradunas.com.br e-mail: [email protected] _____________________ 3a edição, Novembro/2010 _____________________

APRESENTAÇÃO Este Curso de Concreto Armado é dirigido aos estudantes de graduação em Engenharia Civil e aos profissionais ligados à área de projeto estrutural. Para uma melhor apresentação, a obra foi dividida em quatro volumes, com uma sequência que nos parece apropriada do ponto de vista didático. Não é nossa intenção abordar todos os aspectos relativos ao tema, o que seria impraticável em virtude de sua abrangência. Nosso único objetivo é apresentar um curso completo e atualizado sobre os métodos de cálculo das estruturas usuais de concreto armado. Em particular, o Curso é dedicado ao projeto das estruturas dos edifícios. Nesta terceira edição de Curso de Concreto Armado, fizemos diversas alterações, além da inclusão de novos conteúdos e exemplos numéricos. O leitor irá constatar que novos procedimentos de projeto foram adotados, em relação à edição anterior. No volume 1, por exemplo, foram alterados os limites para o dimensionamento à flexão simples com armadura dupla, para garantir que as vigas tenham uma maior ductilidade no estado limite último. Diversas inovações sobre o cálculo de lajes maciças, lajes nervuradas e lajes cogumelo foram introduzidas nos volumes 2 e 4. No volume 3, incluímos novos conteúdos sobre o contraventamento dos edifícios e o dimensionamento dos pilares. No volume 4, acrescentamos um capítulo sobre o projeto estrutural em situação de incêndio. Além disso, foram incorporados ao texto os mais recentes resultados de nossas pesquisas relacionadas ao projeto das estruturas de concreto armado. Enfim, esta edição sofreu uma completa reestruturação, tanto em termos de conteúdo, quanto em termos de procedimentos de projeto.

Rio Grande, Setembro de 2010.

José Milton

PLANO DA OBRA Volume 1: Propriedades dos materiais para concreto armado. Fun-damentos de segurança. Flexão normal simples: dimensionamento e verificação de seções retangulares e seções T. Esforço cortante. Ancoragem e emendas das armaduras. Volume 2: Cálculo de lajes maciças. Cálculo de vigas. Estados limites de utilização. Volume 3: Flexo-compressão normal e oblíqua: dimensionamento e verificação de seções. Cálculo de pilares curtos e moderadamente esbeltos. Pilares-parede. Pilares esbeltos. Ações horizontais nas estruturas de contraventamento. Volume 4: Dimensionamento à torção. Flexo-tração. Escadas. Vigas-parede e consolos. Reservatórios. Lajes nervuradas. Lajes cogumelo. Fundações. Projeto em situação de incêndio.

SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DAS LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO ........................................................1 1.1 - Tipos usuais de lajes dos edifícios ..........................................1 1.2 - Vãos teóricos das lajes .............................................................4 1.3 - Classificação das lajes quanto à armação.................................5 1.4 – Procedimento tradicional para cálculo das lajes dos edifícios..8 1.5 - Cálculo das lajes armadas em uma direção ............................13 1.6 - Lajes contínuas armadas em uma direção ..............................21 1.7 - Cargas nas lajes maciças .......................................................24 1.8 - Cálculo de marquises e sacadas ............................................31 1.9 - Cálculo de lajes armadas em cruz .........................................35 2. TEORIA DE FLEXÃO DE PLACAS.........................................39 2.1 - Algumas relações da teoria da elasticidade ...........................39 2.2 - Equação diferencial da placa .................................................43 2.3 - Condições de contorno...........................................................51 2.4 - Solução da equação diferencial da placa ...............................55 2.5 - Tabelas para o cálculo de placas ...........................................65 2.6 - Exemplos de cálculo ..............................................................66 2.7 – Restrições ao emprego da teoria de placas .............................80 3. MÉTODOS SIMPLIFICADOS E MÉTODOS NUMÉRICOS PARA O CÁLCULO DE LAJES ...............................................83 3.1 - A teoria das grelhas para lajes sobre apoios rígidos...............83 3.2 - A teoria das grelhas para lajes sobre apoios deformáveis .....91 3.3 – O método de Marcus ............................................................100 3.4 – Teoria das linhas de ruptura .................................................101 3.5 – A analogia da grelha equivalente .........................................111 3.6 - O método das diferenças finitas ..........................................117 3.7 - O método dos elementos finitos ..........................................127 3.8 - Aplicações do método dos elementos finitos ......................138

4. DETALHAMENTO DAS LAJES MACIÇAS ........................159 4.1 - Introdução ...........................................................................159 4.2 - Espessura mínima das lajes maciças ...................................159 4.3 - Cálculo de flechas em lajes .................................................160 4.4 - Cálculo das armaduras de flexão .........................................163 4.5 - Cobrimento da armadura .....................................................167 4.6 - Outras prescrições da NBR-6118 ........................................168 4.7 - Detalhamento das armaduras de flexão ...............................170 4.8 - Considerações adicionais sobre o detalhamento .................179 5. CÁLCULO DE VIGAS ...........................................................191 5.1 - Cargas nas vigas dos edifícios ............................................191 5.2 - Vãos teóricos .......................................................................193 5.3 - Cálculo dos esforços ...........................................................194 5.4 - Cálculo das armaduras das vigas .........................................201 5.5 - Escalonamento da armadura longitudinal ...........................206 5.6 - Armadura mínima nos apoios .............................................212 5.7 - Disposições construtivas da NBR-6118 ..............................213 5.8 - Exemplo de cálculo .............................................................221 5.9 - Aberturas em vigas ..............................................................235 6. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Deformações ............................................................................239 6.1 - Introdução ...........................................................................239 6.2 - Combinações das ações de serviço ......................................240 6.3 - Deformações das vigas de concreto armado .......................243 6.4 - Análise não linear de vigas de concreto armado .................246 6.5 - Modelo simplificado para o cálculo de flechas em vigas ....257 6.6 - Consideração das deformações diferidas do concreto..........271 6.7 - Exemplo de cálculo de flechas em vigas pelo método bilinear ...................................................................287 6.8 - Cálculo prático de flechas em vigas ....................................291 6.9 - Cálculo de flechas em vigas segundo a NBR-6118 .............295 6.10- Cálculo de flechas em vigas segundo o Eurocode 2 ............299 7. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Fissuração.................................................................................303

7.1 - A colaboração do concreto entre fissuras ............................303 7.2 - Determinação da abertura das fissuras ................................310 7.3 - Verificação do estado limite de abertura das fissuras ..........314 7.4 - Verificação da abertura das fissuras através da limitação das tensões na armadura......................................................319 7.5 - Armadura mínima para limitação das fissuras provocadas pela retração ........................................................................322 7.6 - Abertura das fissuras de acordo com a NBR-6118 ..............324 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .........................................327 APÊNDICE 1: CARGAS NAS EDIFICAÇÕES ..........................331 APÊNDICE 2: TABELAS PARA O CÁLCULO DE LAJES ......337 APÊNDICE 3: TABELAS PARA DETALHAMENTO DAS ARMADURAS ...........................................387

Capítulo 1

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DAS LAJES MACIÇAS DE CONCRETO ARMADO

1.1 - Tipos usuais de lajes dos edifícios As lajes são os elementos estruturais que têm a função básica de receber as cargas de utilização das edificações, aplicadas nos pisos, e transmiti-las às vigas. As vigas transmitem as cargas aos pilares e, a partir destes, o carregamento é transferido para as fundações. Apesar de haver outras possibilidades de concepção, este é o modelo estrutural básico das edificações. As lajes também servem para distribuir as ações horizontais entre os elementos estruturais de contraventamento, além de funcionarem como mesas de compressão das vigas T. As lajes são elementos bidimensionais planos, cuja espessura

é bem inferior às outras duas dimensões ( ), e que são solicitadas, predominantemente, por cargas perpendiculares ao seu plano médio, conforme indicado na fig. 1.1.1.

h l lx y,

h

lx

q

P

ly

Fig. 1.1.1 - Carregamento das lajes

Curso de Concreto Armado 2

Os pisos das edificações podem ser executados com diferentes tipos de lajes, como as lajes maciças, as lajes nervuradas, as lajes cogumelo, além de diversos tipos de lajes pré-moldadas. A definição do tipo de laje a ser utilizado depende de considerações econômicas e de segurança, sendo uma função do projeto arquitetônico em análise. As lajes maciças são placas de espessura uniforme, apoiadas ao longo do seu contorno. Os apoios podem ser constituídos por vigas ou por alvenarias, sendo este o tipo de laje predominante nos edifícios residenciais onde os vãos são relativamente pequenos. Nota-se que o termo "laje" é empregado para designar as "placas" de concreto armado. Esses dois termos são utilizados indistintamente ao longo deste livro. Na fig. 1.1.2, representa-se um corte em um piso de concreto armado constituído por laje maciça apoiada em vigas.

h

Vigas

Laje

Fig. 1.1.2 - Laje maciça As lajes nervuradas são empregadas para vencer grandes vãos, geralmente superiores a 8 m, sendo constituídas por nervuras, onde são colocadas as armaduras longitudinais de tração. Dessa maneira, consegue-se uma redução do peso próprio da laje, já que se elimina uma parte do concreto que ficaria na zona tracionada, caso fosse adotada a solução em laje maciça. Neste caso, as nervuras ficam aparentes, a menos que a face inferior da laje seja revestida com um forro. Alternativamente, o espaço entre as nervuras pode ser preenchido com algum material inerte de baixo peso específico, para tornar plana a superfície inferior da laje. As duas soluções são representadas na fig. 1.1.3.

Introdução ao cálculo das lajes maciças de concreto armado 3

h

nervurasaparentes

materialinerte

Fig. 1.1.3 - Lajes nervuradas Lajes cogumelo são lajes apoiadas diretamente em pilares, resultando um piso sem vigas. Nessas lajes, o topo do pilar possui um aumento de seção, denominado capitel, para aumentar a resistência à punção da laje. Quando o capitel não está presente, a laje é denominada de laje lisa. Essas duas situações são indicadas na fig. 1.1.4.

Laje

Com capitel Sem capitel

capitel

Laje cogumelo Laje lisa

pilar

Fig. 1.1.4 - Laje cogumelo e laje lisa Neste volume são consideradas apenas as lajes maciças dos edifícios. Os procedimentos de cálculo das lajes nervuradas, das lajes cogumelo e das lajes lisas são abordados no Volume 4.


Assim, quando as lajes estão apoiadas sobre paredes ou vigas rígidas, é usual que se faça um cálculo separado de cada laje, introduzindo as seguintes considerações: a) Bordos internos: quando há continuidade com lajes vizinhas, admite-se um engastamento perfeito; observa-se que isto só será verdadeiro se as rotações xθ e yθ sobre as linhas de apoio forem nulas, o que só acontece em casos particulares. b) Bordos externos: nos bordos externos, ou mesmo nos bordos internos quando se tratar de lajes rebaixadas, admite-se a condição de apoio simples; isto corresponde a desconsiderar a capacidade de engastamento das vigas de borda, o que é razoável em vista da baixa rigidez à torção dessas vigas. Na fig. 1.4.1, representa-se um piso com 9 painéis de lajes, onde as linhas separando os painéis correspondem aos eixos das vigas de apoio. A laje L4 é rebaixada, conforme está indicado no corte A-A. Algumas das condições de contorno admitidas são indicadas para as lajes L8 e L9.

Fig. 1.4.1 - Piso com laje rebaixada


Observa-se que, com esse cálculo dos momentos fletores e das reações de apoio, garante-se o equilíbrio dos momentos fletores no pavimento como um todo, segundo as duas direções. Para mostrar isto, considera-se a fig. 1.5.3, onde se admite que a laje esteja apoiada em 4 vigas de borda, as quais se apoiam nos 4 pilares de canto.

Fig. 1.5.3 – Cálculo dos momentos totais solicitantes Cortando o pavimento através das seções I-I e II-II passando pelo centro da laje, podem-se obter os momentos totais solicitantes

e , segundo as direções x e y, respectivamente. Como apenas a laje está carregada com a carga uniforme

totxM , totyM ,p , obtém-se

8

2

,x

ytotxl

plM = ; 8

2

,y

xtotyl

plM = (1.5.7)

Analisando a fig. 1.5.2, observa-se que a carga total que foi transferida para as duas vigas da direção y, vigas V3 e V4, é igual a

. Se essas vigas são simplesmente apoiadas nos pilares, a soma

dos momentos máximos nas duas vigas é xpl

82yx lpl , ou seja, as vigas

V3 e V4 são capazes de equilibrar o momento total , sem totyM ,


Diversos métodos de cálculo são disponíveis na bibliografia, podendo-se citar os seguintes: A – Teoria das Grelhas

É um método simplificado bastante útil para o projeto das lajes de concreto armado. Nesse método, admite-se um comportamento elástico linear do material da laje. Da teoria das grelhas, deriva o conhecido Método de Marcus. B - Teoria das linhas de ruptura Nessa teoria, admite-se que o material apresenta um comportamento rígido-plástico. O equilíbrio é garantido pela aplicação do princípio dos trabalhos virtuais, desprezando-se totalmente a contribuição das deformações elásticas. C - Teoria de flexão de placas Esta é a teoria "exata" dentro dos princípios da teoria da elasticidade. A solução do problema é obtida resolvendo-se uma equação diferencial de quarta ordem, juntamente com as condições de contorno. Admite-se que o material apresenta um comportamento elástico linear. D – Analogia da grelha equivalente

É um dos métodos numéricos mais utilizados para análise de lajes de concreto armado, estando implementado em diversos softwares comerciais. O método pode ser utilizado para a análise de lajes poligonais de formas diversas, incluindo também as vigas de apoio. A laje é associada a uma grelha equivalente, a qual é analisada com um programa baseado no método da rigidez. E - Método das diferenças finitas É um método numérico que foi bastante empregado no passado. Geralmente, admite-se que o material é elástico linear, mas é possível incluir a não linearidade física sem maiores dificuldades. O grande inconveniente do método está na dificuldade de generalização das condições de contorno e de carregamento, motivos pelos quais ele tem sido abandonado.


F - Método dos elementos finitos É um método numérico muito empregado atualmente. Nesse método, podem-se considerar as não linearidades física e geométrica, as diferentes condições de contorno e de carregamento, formas diversificadas, etc. Entretanto, a formulação não é tão simples e o trabalho computacional pode se tornar exaustivo. No próximo capítulo, apresenta-se a teoria de flexão de placas finas. Os métodos aproximados e os métodos numéricos são abordados no capítulo 3.

Capítulo 2

TEORIA DE FLEXÃO DE PLACAS 2.1 - Algumas relações da teoria da elasticidade Antes de demonstrar a equação de equilíbrio das placas, é conveniente apresentar algumas importantes relações da teoria da elasticidade(6). Essas relações são apresentadas para um corpo tridimensional, submetido às ações externas. Posteriormente, elas são particularizadas para as placas finas. Apenas o caso de deformações infinitesimais é considerado. Para descrever o estado tridimensional de tensões em um corpo, considera-se o elemento infinitesimal em forma de um paralelepípedo ( ), cujas faces são paralelas aos planos de coordenadas, como representado na fig. 2.1.1. Nessa figura, são indicadas as componentes das tensões nas três faces visíveis do elemento.

dzdydx

σx

τxz

τxy

τyx

σy

σz

τzx

τzy

τyz

dx

dy

dz

y

x

z

Fig. 2.1.1 - Tensões em um elemento tridimensional


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−= 2

2

2

2

21 xw

ywEz

y∂∂ν

∂∂

νσ (2.2.7)

( ) yxwEz

xy ∂∂∂

ντ

2

1+−= (2.2.8)

Observa-se que essas três componentes das tensões variam

linearmente ao longo da espessura da placa, sendo nulas no plano médio.

Na fig. 2.2.3, representa-se um elemento da placa e as componentes das tensões na fibra situada a uma distância do plano médio.

z

dx

dy

x

y

z,w

σy

τyx

σxτxy

zdz

superfíciemédia

pdxdy

h/2

h/2τxz

τyz

Fig. 2.2.3 - Tensões em uma fibra genérica

As tensões xσ e yσ produzem momentos fletores na placa,

de forma análoga ao que ocorre na teoria de vigas. As tensões xyτ e

yxτ produzem momentos torçores na placa.


A) Solução de Navier Considere-se a laje retangular simplesmente apoiada em quatro vigas indeformáveis, como indicado na fig. 2.4.1.

a x

b

y

p(x,y)

V1

V2

V3

V4

Vigas rígidas: w=0 no contorno

Fig. 2.4.1 - Laje retangular apoiada nos quatro bordos

A solução pelo método de Navier é obtida de acordo com a

seguinte sequência(7): 1. A flecha é expandida na forma da série dupla ( yxw , )

( ) ∑∑∞

=

∞

=

=1 1

sensen,m n

mn byn

axmWyxw ππ

(2.4.1)

onde são coeficientes incógnitos. mnW A expressão (2.4.1) satisfaz todas as condições de contorno do problema: , 0=w 0=xM (x=0 e x=a) e 0=yM ( y=0 e y=b).

2. A carga é expandida em série dupla de Fourier na forma ( yxp , )

( ) ∑∑∞

=

∞

=

=1 1

sensen,m n

mn byn

axmPyxp ππ

(2.4.2)

onde os coeficientes são obtidos resolvendo-se a integral mnP


As expressões das reações de apoio e , bem como das

forças concentradas nos cantos, podem ser facilmente obtidas empregando-se a solução de Navier.

xR yR

oR

Com a distribuição do carregamento indicado na fig. 2.4.3, podem-se determinar os momentos fletores máximos e nas vigas das direções x e y, respectivamente. Essas vigas são consideradas simplesmente apoiadas nos pilares situados nos cantos da laje.

vxM vyM

Substituindo 2ax = na expressão do momento fletor , dada em (2.4.5), obtém-se a função , que fornece a variação do momento fletor ao longo do vão b , no centro da laje. Integrando

xM( )yM x

xM( )yM x de 0 a b , obtém-se o momento total na laje

, segundo a direção x. De forma análoga, pode-se obter o momento total na laje , segundo a direção y.

lxM

lyM Pode-se comprovar que

82

2apbMM vxlx =+ ; 8

22bpaMM vyly =+ (2.4.11)

Essas equações mostram que o momento total devido à carga é distribuído entre a laje e as vigas de cada direção (ver, também, fig. 1.5.3 do capítulo 1). Se as forças suplementares de Kirchhoff não forem consideradas, ou seja, se forem consideradas yx VR = e xy VR = como cargas nas vigas, as equações (2.4.11) não se verificam, mesmo calculando os momentos fletores nas vigas com uma distribuição variável das reações. Neste caso, haverá um subdimensionamento do pavimento formado pela laje e pelas vigas de apoio. O erro será ainda maior se essas reações forem distribuídas uniformemente sobre as vigas. Para mostrar numericamente esse problema, considera-se uma laje retangular com vãos 8=a m e 4=b m, submetida a uma carga


Considerando os bordos comuns engastados, pode-se empregar a tabela A2.4 para o cálculo das lajes. Os momentos fletores e as reações de apoio são indicados nas figuras 2.6.7 e 2.6.8, respectivamente.

Fig. 2.6.7 – Momentos fletores em kNm/m

x

y3,14 3,14

3,14 3,14

6,14 6,14

6,14 6,14

2,40

2,40

2,40 2,40

5,24

5,24

5,24

5,24

Fig. 2.6.8 – Reações de apoio em kN/m


Alternativamente, pode-se considerar um carregamento parcialmente distribuído sobre as vigas de apoio. No caso de um pavimento composto por várias lajes contínuas, é possível garantir o equilíbrio mesmo com a consideração de reações uniformes nas vigas, como foi mostrado. Entretanto, essa distribuição de reações não deve ser empregada, quando as lajes forem calculadas sem levar em conta a continuidade nos bordos comuns, especialmente em lajes retangulares alongadas, onde o erro é maior.

Capítulo 3

MÉTODOS SIMPLIFICADOS E MÉTODOS NUMÉRICOS PARA O CÁLCULO DE LAJES

3.1 – A teoria das grelhas para lajes sobre apoios rígidos O cálculo das lajes armadas em cruz que não possuam rigidez à torção, ou que não são suficientemente ancoradas nos cantos para evitar o seu levantamento, pode ser feito de maneira simplificada por meio da denominada “Teoria das Grelhas”. Esse método também pode ser empregado paras as lajes usuais, concretadas monoliticamente com as vigas, quando não são usadas armaduras de canto na face superior da laje. Esses casos são ilustrados na fig. 3.1.1.

Fig. 3.1.1 – Situações onde se aplica a teoria das grelhas Nas lajes concretadas monoliticamente com as vigas, deve-se verificar se a ocorrência de eventuais fissuras nos cantos simplesmente apoiados, como consequência da ausência das armaduras de canto na face superior da laje, pode comprometer a durabilidade da estrutura. Isto é particularmente importante quando a laje está ao ar livre, sujeita à ação da chuva. Para as lajes situadas no interior dos edifícios residenciais e de escritório, essas fissuras, quando existem, ficam protegidas pelo piso. Nesses casos, podem-se omitir as armaduras de canto, para


simplificar a execução. De todo modo, em lajes com grandes vãos, é recomendável empregar uma armadura mínima nos cantos simplesmente apoiados para controle da fissuração. Considere-se, para exemplificar, a laje simplesmente apoiada nos quatro lados, indicada na fig. 3.1.2. A laje é submetida a uma carga , uniformemente distribuída por unidade de área. Os vãos são e e os apoios são considerados indeformáveis.

p

xl yl

lx x

ly

y

wx

lx

px

Faixa x

Faixa ypy

wy

ly

Fai

xa y

Faixa x1

1

Ry Ry

Rx Rx

Fig. 3.1.2 - Laje simplesmente apoiada nos quatro lados

Inicialmente, consideram-se duas faixas de largura unitária, uma em cada direção, as quais se cruzam no centro da laje. A carga total é dividida nos quinhões de carga e , correspondentes às direções

p xp ypx e , respectivamente. y

Os quinhões de carga devem obedecer à relação

yx ppp += (3.1.1) A flecha no centro da faixa da direção x , sob a ação da carga

, é dada por xp

Métodos simplificados e métodos numéricos para o cálculo de lajes 87

As reações de apoio e , nos lados e , respectivamente, são dadas por

xR yR xl yl

xxx plrR = ; xyy plrR = (3.1.15)

onde 2λyx kr = e 2xy kr = . Essas reações são consideradas uniformemente distribuídas nas vigas de apoio da laje. Com essa distribuição uniforme das reações, garante-se o equilíbrio do momento total nas duas direções (ver fig. 1.5.3 e equação (1.5.7) do capítulo 1). Isto é demonstrado como a seguir, onde se admite que as vigas de borda sejam simplesmente apoiadas em quatro pilares situados nos cantos da laje. Os momentos fletores máximos e nas vigas das direções x e y, são dados por

vxM vyM

8

2xx

vxlR

M = ; 8

2yy

vylR

M = (3.1.16)

Considerando as duas vigas de cada direção, e incluindo a colaboração da laje, obtêm-se os momentos totais resistentes

xyvxtotx MlMM += 2, ; yxvytoty MlMM += 2, (3.1.17) onde e são os momentos positivos no centro da laje. xM yM Fazendo as substituições necessárias, comprova-se que os resultados são os mesmos da equação (1.5.7), apresentada no capítulo 1. Logo, se as vigas forem dimensionadas para as cargas uniformes e , e se as armaduras da laje forem distribuídas

uniformemente ao longo dos vãos e , o momento total resistente será igual ao momento total solicitante.

xR yR

xl yl

A formulação demonstrada para a laje simplesmente apoiada nos quatro lados pode ser facilmente estendida para outros casos de condições de contorno. Os casos possíveis são indicados na fig. 3.1.3.


Por outro lado, é fácil verificar que os momentos totais são equilibrados nas duas direções, o que não ocorre com a distribuição de esforços da fig. 2.6.2. Pode-se demonstrar facilmente que as soluções da teoria das grelhas garantem o equilíbrio dos momentos totais nas duas direções, para todos os seis casos analisados. Desse modo, as reações de apoio podem ser consideradas uniformemente distribuídas para o cálculo das vigas. Quando se tratar de lajes contínuas, adota-se o procedimento indicado na seção 1.4 do capítulo 1. Onde há continuidade entre duas lajes, considera-se um engaste perfeito e empregam-se as tabelas A2.22 a A2.27 para o cálculo da flecha, momentos fletores e reações de apoio. O momento negativo em um bordo comum é igual à média dos valores obtidos para as duas lajes vizinhas, ou 80% do maior deles em valor absoluto (ver equação (1.4.1)). 3.2 – A teoria das grelhas para lajes sobre apoios deformáveis Normalmente, as vigas dos edifícios são flexíveis e sofrem deformações suficientes para alterar os esforços e as flechas das lajes do pavimento. Devido às deformações das vigas de apoio, ocorre um aumento dos momentos fletores positivos e das flechas das lajes. Por outro lado, ocorre uma redução dos momentos negativos, como é ilustrado na fig. 3.2.1.

Fig. 3.2.1 - Redistribuição dos momentos fletores nas lajes devido às

deformações das vigas de apoio


A flecha no centro da faixa da direção x, com essa distribuição de momentos, é dada por

Dlp

W xxx

4

3843

= (3.2.3)

lx

1

1pxp y

l yMex

Mx

My

+

+-

pxlx2/8

Fig. 3.2.2 – Aplicação da teoria das grelhas para apoios flexíveis

A flecha no centro da faixa da direção y é

Dlp

W yyy

4

3845

= (3.3.4)

Impondo a condição yx WW = e lembrando que

, obtêm-se os quinhões de carga yx ppp +=

pkp xx = , onde 4

4

535

λλ+

=xk (3.3.5)

pkp yy = , sendo xy kk −= 1 (3.3.6)


Fig. 3.2.3 – Vãos de cálculo das lajes do pavimento

Os momentos fletores de serviço são indicados na fig. 3.2.4.

Fig. 3.2.4 – Momentos fletores característicos nas lajes


xl24321 ==== θθθθ (3.4.8)

xyx lllll −== 21 ;22

(3.4.9)

lx

l y>l x

α αIIl 1

l1

l2I I

α αII

l1 l 1

y

x

H

H

θ3

1

θ4

1

θ1 θ21θ1+θ2

Fig. 3.4.4 - Configuração de ruptura - laje simplesmente apoiada

Considerando a equação (3.4.6), verifica-se que os momentos atuantes nas linhas de ruptura têm as seguintes expressões: - linha ( ): 1l

o45=α

xMkM ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=2

11 (3.4.10)

- linha ( ): 2lo90=α

xMM =2 (3.4.11)


y

xΔx/2 Δx/2Δx Δx Δx Δx Δx

Δy/2

Δy/2

Δy

Δy

Δy

Δy

Δy

Barra da grelha

Nó

Contorno da laje

Fig. 3.5.1 – Discretização da laje poligonal

As barras da grelha, dispostas segundo a direção x, possuem

seção retangular com largura yb Δ= e altura , onde h yΔ é o espaçamento entre as barras e h é a espessura da laje. As barras dispostas segundo a direção y possuem largura xb Δ= e altura . h A rigidez à flexão das barras da grelha é dada por

( )2

3

112 ν−=

bhEK cs (3.5.1)

onde é o módulo secante e csE 2,0=ν é o coeficiente de Poisson do concreto. A rigidez à torção das barras da grelha equivalente é

( )KKt νβ −= 1 (3.5.2) onde 1≤β é um coeficiente de redução da rigidez à torção.


Na tabela 3.5.2, indicam-se as cargas reais transferidas para as vigas da direção x, obtidas com a analogia da grelha equivalente.

Tabela 3.5.2 – Ações da grelha sobre as vigas da direção x 00,1=β 50,0=β 01,0=β x

(m) V (kN) T (kNm) V (kN) T (kNm) V (kN) T (kNm)0,29 1,31 1,21 1,30 0,75 1,30 0,02 0,86 2,75 0,85 2,83 0,54 2,96 0,01 1,43 3,38 0,43 3,56 0,27 3,84 0,01 2,00 3,56 0,00 3,78 0,00 4,12 0,00 2,57 3,38 -0,43 3,56 -0,27 3,84 -0,01 3,14 2,75 -0,85 2,83 -0,54 2,96 -0,01 3,71 1,31 -1,21 1,30 -0,75 1,30 -0,02 Analisando-se as vigas com as cargas indicadas na tabela 3.5.2, pode-se calcular o momento total resistente do pavimento e comprovar o equilíbrio. 3.6 - O método das diferenças finitas O método das diferenças finitas é um método numérico que leva a uma solução aproximada da equação diferencial da placa(7,8). Neste método, as derivadas que aparecem na equação diferencial são substituídas por aproximações em diferenças, tomadas em alguns pontos previamente selecionados, denominados pontos nodais. Esses pontos são localizados nos nós de uma malha retangular, triangular ou de outra forma, denominada malha de diferenças finitas. Alguns tipos de malhas de diferenças finitas são representados na fig. 3.6.1. A função ( )yxw , , que representa a superfície deformada da placa, é descrita por valores aproximados da deflexão nos diversos pontos nodais. Quanto mais refinada for a malha, ou seja, quanto maior o número de pontos nodais, menor será o erro obtido. Antes de apresentar as equações de diferenças finitas para a placa, é conveniente analisar o caso unidimensional indicado na fig. 3.6.2. Nessa figura, representa-se uma função ( )xf cujos valores são conhecidos em um conjunto de pontos discretos.


Δx

Δy

y

x

Nós

Fig. 3.6.1 - Tipos de malhas de diferenças finitas

xm-1 xm xm+1

Δx Δx

fm-1

fm

fm+1

f(x)

φ(x)

x

Fig. 3.6.2 - Aproximação de função


3.7 - O método dos elementos finitos O método dos elementos finitos(14) é um método numérico que também pode ser empregado para a análise de placas. Atualmente, esse método é bastante utilizado para resolver diversos problemas de interesse da Engenharia, como análise estrutural, fluxo de fluidos, condução de calor, dispersão de poluentes, etc. O grande atrativo do método é a generalidade da formulação, o que permite que um conjunto de rotinas de cálculo possa ser utilizado para resolver problemas diferentes. No caso da análise estrutural, o método pode ser empregado tanto na formulação em deslocamentos, quanto na formulação em forças. Essas duas formulações são análogas aos bem conhecidos método da rigidez e método das forças, utilizados na análise de estruturas reticuladas.

A formulação em deslocamentos tem sido preferida em virtude da facilidade de implementação computacional. Assim, em análise estrutural utiliza-se, quase que exclusivamente, a formulação em deslocamentos do método dos elementos finitos. Essa formulação é baseada no princípio dos trabalhos virtuais, apresentado a seguir para o caso bidimensional.

O primeiro passo do método dos elementos finitos consiste na subdivisão do domínio do problema em um conjunto de pequenos elementos, denominados elementos finitos. O domínio discretizado forma uma malha de elementos finitos. No caso bidimensional (placas e chapas), podem ser empregados os elementos indicados na fig. 3.7.1.

Cada elemento é definido por sua geometria e pelo número de nós. Assim, têm-se os elementos triangulares de três e de seis nós, os elementos retangulares de quatro e de oito nós e os elementos isoparamétricos. Esses últimos são elementos distorcidos, que permitem uma boa modelagem de domínios irregulares.

Em geral, um aumento progressivo do número de nós melhora as características de precisão do elemento. Consequentemente, a malha terá que ser mais refinada, quando for utilizado um elemento com poucos nós.

Na fig. 3.7.2, representa-se um corpo bidimensional discretizado em elementos triangulares de três nós. O corpo é


cheias correspondem à laje com abertura. As linhas pontilhadas representam os momentos na laje sem abertura.

Momento fletor My

ΔMy

yS1

S2S3

a-a

b-b

Fig. 3.8.20 - Concentração de momentos na região da abertura Observa-se que na região da abertura ocorre uma concentração de esforços. Essa concentração é máxima nas quinas, onde o momento é acrescido de yMΔ . Afastando-se da região da abertura, os esforços vão se normalizando. Na seção S1 o efeito da abertura já é desprezível. O fator de concentração de esforços na região da abertura depende da posição, da forma e do tamanho da mesma. Esse fator pode ser definido como a relação entre o máximo esforço na quina da abertura e o máximo esforço obtido para a laje sem abertura.

Considerando a laje quadrada do exemplo, chega-se a um fator de concentração de momentos da ordem de 1,40. Isto significa que, paralelamente aos bordos da abertura, a armadura deve sofrer um acréscimo de 40% em relação à armadura calculada para a laje sem abertura. Na maioria dos casos, esse acréscimo é conseguido dispondo-se as barras da armadura resistente, que teoricamente cairiam na abertura, como armadura adicional nos lados da abertura. O detalhamento dessa armadura é apresentado no capítulo seguinte.

Capítulo 4

DETALHAMENTO DAS LAJES MACIÇAS 4.1 - Introdução Nos capítulos anteriores foram apresentadas as considerações relativas ao cálculo das cargas e dos esforços solicitantes nas lajes maciças dos edifícios. Após o cálculo dos esforços, o dimensionamento é feito conforme indicado no Volume 1. Por último, deve-se fazer o detalhamento das armaduras.

De um modo geral, o projeto não pode se limitar a um cálculo preciso das solicitações e das dimensões dos elementos estruturais. Além disso, devem ser tomadas algumas medidas que facilitem a execução, possibilitando uma maior uniformidade na concretagem da estrutura e uma adequada proteção das armaduras contra a corrosão. Assim, o detalhamento das armaduras torna-se uma etapa de fundamental importância no projeto estrutural. De um correto detalhamento, dependerá o sucesso ou o fracasso do projeto. Neste capítulo, são apresentadas as considerações relativas ao detalhamento das lajes maciças de concreto armado. O detalhamento é feito atendendo as disposições construtivas da NBR-6118. O cálculo de flechas também é apresentado, apesar de este assunto ser tratado em detalhes no capítulo 6. 4.2 - Espessura mínima das lajes maciças As lajes devem ser projetadas com uma espessura mínima suficiente para limitar suas deformações, além de evitar vibrações que causem desconforto aos usuários da edificação. Além disso, do ponto de vista construtivo, é conveniente que as lajes sejam projetadas com armadura simples, para evitar o uso de armadura superior ao longo dos vãos. Assim, a espessura adotada deve ser tal que o dimensionamento recaia no caso de armadura simples, conforme os critérios indicados no Volume 1.


permeabilidade. Além disso, as aberturas das fissuras devem ser limitadas a valores compatíveis com a agressividade do meio. Por último, as armaduras devem estar protegidas por uma camada de cobrimento de concreto com uma espessura adequada.

Os cobrimentos nominais exigidos pela NBR-6118 são dados em função da classe de agressividade ambiental (ver capítulo 1, Volume 1). No caso das lajes, os cobrimentos nominais exigidos são indicados na tabela 4.5.1.

Tabela 4.5.1 - Cobrimentos nominais para lajes Classe de agressividade I II III IV Cobrimento nominal (cm) 2,0 2,5 3,5 4,5

Para garantir o cobrimento previsto no projeto, devem ser

usados dispositivos especiais, denominados espaçadores de forma, os quais podem ser de plástico, de argamassa, ou outros materiais. A não observância do cobrimento mínimo pode comprometer a durabilidade da estrutura, sendo este um dos grandes problemas verificados nas estruturas de concreto aparente situadas próximas à orla marítima. Na fig. 4.5.1, apresentam-se dois tipos de espaçadores de formas, dentre as várias opções disponíveis no mercado.

Fig. 4.5.1 – Espaçadores de formas

4.6 - Outras prescrições da NBR-6118 Segundo a NBR-6118, o diâmetro das barras da armadura não deve ultrapassar 1/8 da espessura da laje.

Nas lajes armadas numa só direção, a armadura de distribuição por metro de largura da laje, deve ter seção transversal de área igual

Detalhamento das lajes maciças 169

ou superior a 1/5 da área da armadura principal, com um mínimo de 0,9 cm2. O espaçamento máximo dessas barras é de 33 cm.

Além disso, a NBR-6118 permite que se adote apenas a metade da armadura mínima para as armaduras de distribuição. Esse procedimento não é o mais indicado, como se comprova no estudo apresentado na ref. [19]. Assim, os valores recomendados neste livro são os indicados na fig. fig. 4.6.1. De acordo com a NBR-6118, na região dos maiores momentos fletores das lajes, o espaçamento das barras da armadura principal não deve ser maior que 20 cm nem maior que 2h. Esses limites são indicados na fig. 4.6.2.

Asx mínimo: a) Asy/5

c) As,min

d) 3 barras por metro

AsxAsy

lx>2ly

ly b) 0,9 cm2/m

Fig. 4.6.1 - Armadura de distribuição

sx

sy

sx < smax

sy < smax

laje armada em cruz

s

s < smax

laje armada emuma direção

smax= menor valor entre20cm e 2h

Fig. 4.6.2 - Espaçamentos máximos das armaduras principais

A princípio, o espaçamento máximo indicado na fig. 4.6.2 deve ser obedecido para as armaduras positivas no meio do vão e para as armaduras negativas nos lados engastados. Entretanto, para


inferior nos cantos simplesmente apoiados, pois ela deve ter seção pelo menos igual à da maior armadura no centro da laje. Deve-se ter um cuidado especial com as ancoragens das armaduras positivas das lajes contínuas apoiadas em vigas flexíveis. Dependendo da rigidez das vigas e de suas condições de apoio, podem surgir momentos positivos nos apoios internos das lajes. Essa situação é indicada na fig. 4.7.5.

Fig. 4.7.5 – Ancoragem da armadura positiva nos apoios internos

Se as vigas V1 e V2 não forem rígidas o bastante, o momento negativo da laje, sobre a viga V4, sofrerá uma grande redução em valor absoluto, podendo até ficar positivo, como está indicado na fig. 4.7.5. Neste caso, as armaduras positivas das duas lajes devem ser ancoradas além do eixo da viga V4, para garantir uma emenda por traspasse das barras. Dependendo das dimensões das lajes, pode ser conveniente passar a maior armadura corrida, da viga V3 até a viga V5. Nos apoios de extremidade, vigas V3 e V5, consideram-se os comprimentos de ancoragem em apoios de extremidade.


a armadura longitudinal possui diâmetro 5=lφ mm e espaçamento cm. A área da armadura transversal dessa tela é de 65

mm10=lS

2/m=0,65cm2/m, sendo 5=tφ mm e espaçamento 30=tS cm. Os comprimentos de ancoragem das telas soldadas são calculados conforme o capítulo 7 do Volume 1, considerando ancoragem reta. Havendo barras transversais soldadas dentro do trecho da ancoragem, pode-se considerar o fator de redução

7,02 =α , como indicado na tabela 7.6.1. Para fazer a ancoragem nas vigas de borda, é necessário realizar alguns cortes no último fio da tela, como é ilustrado na fig. 4.8.11.

Fig. 4.8.11 – Ancoragem das telas nas vigas de apoio

As emendas por traspasse das telas soldadas podem ser feitas por sobreposição, como indicado na fig. 4.8.12.

Detalhamento das lajes maciças 189

Fig. 4.8.12 – Emendas das telas soldadas

Nos desenhos de armação das lajes, os painéis de telas soldadas são representados como retângulos ou quadrados. As diagonais servem para identificar o painel, o tipo, a largura e o comprimento da tela. Um desenho típico é mostrado na fig. 4.8.13, onde duas telas iguais são emendadas.

N1-L196-2,45x6,00

N1

30emenda

Fig. 4.8.13 - Desenho de armação de lajes com telas soldadas

Capítulo 5

CÁLCULO DE VIGAS 5.1 - Cargas nas vigas dos edifícios A estrutura usual dos edifícios é constituída por um pórtico espacial ligado às lajes dos pisos, dispostas ao longo dos diversos andares. Trata-se, portanto, de uma estrutura tridimensional formada por elementos lineares (barras) e por elementos bidimensionais planos (lajes). O cálculo dos esforços considerando o conjunto da estrutura tridimensional, além de extremamente trabalhoso, geralmente é desnecessário, em virtude das diversas incertezas relativas ao carregamento, condições de apoio, rigidez dos elementos componentes, comportamento dos nós, etc. Por isso, no projeto estrutural são introduzidas algumas simplificações que permitem reduzir o trabalho de cálculo, além de levar a uma solução a favor da segurança. Uma dessas simplificações consiste em calcular os esforços nas lajes separadamente do restante da estrutura, como foi feito nos capítulos anteriores. Além disso, o pórtico espacial pode ser desmembrado em vários pórticos planos de múltiplos andares. O cálculo dos pórticos planos fornece os esforços solicitantes nas barras verticais (pilares) e nas barras horizontais (vigas). Como uma simplificação adicional, o cálculo dos pórticos planos pode ser substituído pelo cálculo das vigas e dos pilares, isoladamente. Esse último nível de simplificação constitui o procedimento tradicional de projeto das estruturas de concreto armado dos edifícios. Dessa forma, os esforços solicitantes são calculados separadamente para as lajes, para as vigas e para os pilares da estrutura. Evidentemente, devem ser feitas algumas considerações que garantam uma solução favorável à segurança. Essas considerações são apresentadas na seção 5.3.

Cálculo de vigas 197

0,5lsup

0,5linf

lvig

Ivig

Isup

Iinf

rvig=4Ivig/lvig

rsup=6Isup/lsup

rinf=6Iinf/linf

Fig. 5.3.3 - Modelo para o cálculo do momento fletor

a

As,cal

0,25As,cal

0,67As,min

Armadura construtiva

h

a>=0,15l+h

l

lb+h

Pilar

lb=comprimento

de ancoragem

>=

Fig. 5.3.4 – Armadura negativa nos apoios de extremidade – alternativa de projeto

As exigências anteriores decorrem do cálculo simplificado como viga contínua. Se o cálculo for feito como pórtico, os esforços finais para dimensionamento são obtidos diretamente da resolução do pórtico, desconsiderando-se os itens anteriores. Para levar em conta a largura dos apoios, a NBR-6118 permite arredondar o diagrama de momentos fletores sobre os apoios


(1-β)XX

pl2/8

l l

p

Fig. 5.3.8 - Redução do momento sobre o apoio

O momento na seção do apoio interno pode ser reduzido de X para Xβ , onde o coeficiente de redistribuição β depende da

profundidade da linha neutra nessa seção. Os valores de β são dados por

dx25,144,0 +≥β , para concretos com 35≤ckf MPa;

dx25,156,0 +≥β , para concretos com 35>ckf MPa;

onde x representa a profundidade da linha neutra, para o momento reduzido Xβ , e d é a altura útil da seção transversal. Em qualquer caso, deve-se obedecer ao limite 75,0≥β . Para as estruturas consideradas de nós móveis (ver Volume 3), deve-se considerar 90,0≥β .

Fazendo 1=β nas expressões anteriores (análise linear sem

redistribuição de esforços), resultam os valores de limξ vistos no capítulo 3 do Volume 1.

Essa redução dos momentos negativos levará a uma plastificação das seções sobre os apoios, com o consequente aumento dos momentos positivos nos vãos.

As reações de apoio e os esforços cortantes também serão afetados pela redistribuição dos momentos, porém suas alterações


dimensionamento para o momento negativo dX sobre o apoio

resultou em três barras, a cada uma correspondendo uma fração do momento. Conforme está indicado na fig. 5.5.2, a ordenada correspondente ao momento máximo no vão é dividida em três partes iguais (admitindo-se a existência de três barras de mesmo diâmetro). A ordenada correspondente ao momento negativo também é dividida em três partes iguais, neste exemplo. A cada fração dos momentos indicada na figura, corresponde uma barra da armadura.

a a

b b

c

a'

b'

c'

Xd/3

Md/3

c

a'

b'

c'

Fig. 5.5.2 – Fracionamento do diagrama de momentos fletores

Traçando linhas horizontais, paralelas ao eixo da viga, até

encontrar o diagrama de momentos fletores deslocado, ficam determinados os pontos (a, b, c) e (a’, b’, c’) indicados na fig. 5.5.2. A partir de cada um desses pontos, pode-se iniciar a ancoragem de uma barra. Entretanto, deve-se garantir que a barra ultrapasse a seção correspondente ao ponto seguinte, pois a barra só é totalmente desnecessária após essa seção.

Por exemplo, a barra que tem sua ancoragem iniciada no ponto a’, deve ultrapassar o ponto b’, obrigatoriamente, pois entre essas duas seções transversais o momento fletor é maior que 32 dM , o

que exige a presença de três barras. A partir do ponto b’, são


onde φ é o diâmetro das barras e maxd é o diâmetro máximo do

agregado. Havendo barras de diâmetros diferentes, adota-se o maior diâmetro. No caso de feixes, φ representa o diâmetro equivalente.

Assim, se o feixe é formado por n barras de diâmetro oφ , o

diâmetro a ser considerado é noφφ = .

No plano vertical, deve-se respeitar o espaçamento mínimo

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

max5,0

2

d

cm

ev φ (5.7.2)

Quando as barras estiverem dispostas em várias camadas,

deve-se deixar o espaço livre eo para a passagem da agulha do

vibrador. Uma vez conhecidos o diâmetro e o espaçamento horizontal entre as barras, pode-se determinar o número máximo de barras que podem ser dispostas em uma mesma camada na seção da viga. Isto é feito com o auxílio da fig. 5.7.4.

φt cbsi

φ eh

bw=bsi+2(c+φt)

Fig. 5.7.4 - Determinação do número máximo de barras

na mesma camada


20 20 20480 cm 380 cm

P1 P2 P3

pk=20 kN/m

5 m 4 m

Viga - 20x45

Fig. 5.8.1 - Geometria e carregamento da viga

Para efeito de cálculo, será considerada a classe II de agressividade ambiental. Logo, o cobrimento nominal das armaduras é 0,3=c cm. Admitindo que os estribos e as barras longitudinais

tenham diâmetros 5=tφ mm e 20=φ mm, respectivamente, pode-

se estimar a altura útil como

5,40225,00,3452 =−−−=−−−= φφtchd cm.

Assim, para vigas nessas condições, pode-se adotar, no início dos cálculos, a relação 5,4−= hd cm. Após o dimensionamento e a escolha da disposição das barras, verifica-se se a altura útil estimada é compatível com a disposição adotada. Em geral, essa verificação só é necessária quando resultar uma disposição de barras em mais de uma camada. Neste exemplo, utilizam-se os seguintes materiais: - concreto: 30=ckf MPa;

- armadura longitudinal: aço CA-50; - estribos: aço CA-60. Na fig. 5.8.2, encontram-se representados os diagramas de momentos fletores e de esforços cortantes característicos na viga, obtidos do cálculo convencional como viga contínua.

Cálculo de vigas 235

2 12,5 - 522

15

510

2 12,5 - 42215

410

15

372

1 12,5 - 384

P1 P2 P330 5 c.16cm 24 5 c.16cm

106 118

2 12,5-224 (2a

camada)

158 183

2 12,5-341

2 8-14510

2 8-13010

2 6,3-220 2 6,3-110

Viga V201 - 20x45

20

45

14

39

77

54 5 - L=116cm

comprimentos em cm

Fig. 5.8.8 - Detalhamento da viga 5.9 - Aberturas em vigas As aberturas transversais nas almas das vigas, destinadas, por exemplo, à passagem de canalizações, devem ser reforçadas com o emprego de estribos verticais e barras longitudinais. Dependendo do tamanho e da posição das aberturas, esse reforço pode ser dispensado, por ser pequeno o efeito da abertura na capacidade resistente da viga.

Segundo a NBR-6118, pode-se dispensar o uso de reforço desde que a abertura esteja situada na zona de tração, a uma distância


mínima de h2 da face do apoio, e possua dimensão não superior a 12cm nem a 3h , sendo h a altura da viga. A distância entre faces

de aberturas, num mesmo tramo, deve ser de no mínimo h2 . Além disso, as aberturas não devem interceptar as barras da armadura, respeitando-se os cobrimentos nominais Se essas condições não forem atendidas, deve-se prever reforço em torno da abertura para assegurar a capacidade resistente.

O cálculo do reforço é feito em correspondência com a fig. 5.9.1.

h1

h2

h

>h a<1,5h

s'

s s

s'a/2

Rc

Rc

Vd1

Vd2

Z

Fig. 5.9.1 - Abertura na alma das vigas

O momento fletor de cálculo na seção SS' é dM e o esforço

cortante é igual a dV . As forças normais nos banzos, acima e abaixo

da abertura, valem

Z

MR d

c = (5.9.1)

onde a distância Z entre os centros dos banzos é dada por

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−=2

21 hhhZ (5.9.2)


da viga deve ser pelo menos igual a 5 cm e duas vezes o cobrimento previsto nessa face, como indicado na fig. 5.9.3. A seção remanescente nessa região, descontada a área ocupada pelo furo, deve ser capaz de resistir aos esforços de cálculo, além de permitir uma boa concretagem.

��

b

maior que 5cme duas vezes o

cobrimento

furo menor que b/3

Fig. 5.9.3 - Abertura vertical em vigas

No caso de ser necessário um conjunto de furos, eles devem ser alinhados e a distância entre suas faces deve ser de no mínimo 5cm ou o diâmetro do furo. Cada intervalo entre os furos deve conter pelo menos um estribo. No caso de peças submetidas à torção, esses limites devem ser ajustados de forma a permitir um funcionamento adequado.

Capítulo 6

ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Deformações

6.1 - Introdução Nos capítulos anteriores, foram discutidos os procedimentos adotados para o dimensionamento das estruturas de concreto armado, tendo como objetivo principal a obtenção de um adequado nível de segurança. Desse modo, foram introduzidos coeficientes parciais de segurança para majorar as cargas e minorar as resistências dos materiais. As equações de equilíbrio foram obtidas no estado limite último, através da consideração de um critério de ruptura das seções da peça. Em resumo, os procedimentos apresentados até aqui constituem a primeira fase do projeto, que é a comprovação da segurança em relação aos estados limites últimos. Em uma segunda etapa do projeto, deve-se analisar o comportamento da estrutura sob as condições normais de utilização, ou seja, antes da ruína. Assim, a estrutura deve ser suficientemente rígida para que suas deformações, sob a ação das cargas de serviço, não provoquem danos inaceitáveis em elementos não estruturais, não afetem o seu uso ou a sua aparência, nem causem desconforto aos usuários. Além disso, o grau de fissuração, em geral inevitável nas peças fletidas de concreto armado, não deve afetar a durabilidade da estrutura. Portanto, a segunda etapa do projeto consiste na comprovação da não ocorrência dos estados limites de utilização: estado de deformações excessivas e estado de fissuração inaceitável.

Do ponto de vista prático, esses dois estados limites são verificados separadamente, apesar de haver uma relação íntima entre eles. Assim, o que se procura é a limitação das deformações da estrutura e das aberturas das fissuras na superfície da peça.

Pode-se adiantar que a abertura das fissuras será tanto maior, quanto maior for o diâmetro das barras da armadura. Desse modo, geralmente não é necessário verificar o estado de fissuração das lajes maciças dos edifícios, pois as barras utilizadas possuem diâmetros


a) colaboração do concreto entre fissuras; b) não linearidade física em compressão; c) efeitos da fluência e da retração do concreto. 6.4 - Análise não linear de vigas de concreto armado Nesta seção, apresenta-se o procedimento rigoroso para o cálculo de flechas em vigas de concreto armado, submetidas a cargas de curta duração. A inclusão da fluência e da retração é feita posteriormente. Para se efetuar um cálculo rigoroso das deformações em vigas de concreto armado, deve-se levar em conta a não linearidade física decorrente do comportamento mecânico dos materiais. Para isto, é necessário adotar diagramas tensão-deformação compatíveis com os resultados obtidos experimentalmente. Para o concreto em compressão, pode-se adotar qualquer um dos diagramas tensão-deformação apresentados no Volume 1. Na fig. 6.4.1, indica-se o diagrama sugerido pelo CEB(12,23).

σc

fc

εo εuεc

tg-1Ec

Fig. 6.4.1 - Diagrama tensão-deformação do concreto comprimido A relação tensão-deformação para o concreto comprimido é dada por

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+−=

ηηησ21

2

k

kfcc (6.4.1)


Empregando-se o método dos elementos finitos, as iterações são feitas para garantir o equilíbrio da estrutura como um todo(25). Em cada iteração, são conhecidas a curvatura e a posição da linha neutra nas seções transversais da viga. Neste caso, as incógnitas são o esforço normal e o momento fletor associados ao estado de deformações da iteração corrente. Então, as equações (6.4.16) e (6.4.17) são resolvidas sem iterações. O modelo descrito foi implementado em um programa de elementos finitos para análise não linear de pórticos planos de concreto armado(25). Com esse programa, foram analisadas as vigas indicadas na fig. 6.4.9, cujos resultados experimentais são fornecidos na referência [22].

Na análise numérica, apenas meio vão da viga foi discretizado em 10 elementos finitos (aproveitando a simetria), como é mostrado na fig. 6.4.9.

7575 150P P

W

l=300cm

d=21,5

b=15

As

ρ=As/bdP

1

611

10 elementos de 15cm

2,5

Fig. 6.4.9 - Geometria e carregamento das vigas

No total, foram ensaiadas nove vigas, divididas em três séries de três vigas, cujas dimensões médias da seção estão indicadas na fig. 6.4.9.

Na tabela 6.4.1, encontram-se as propriedades médias e as áreas de aço de cada série.

Estados limites de utilização - Deformações 267

Método bilinear para o cálculo de flechas em vigas Os resultados obtidos anteriormente podem ser resumidos através das relações momento-curvatura indicadas na fig. 6.5.3. Nessa figura, indicam-se as relações momento-curvatura no estádio I e no estádio II puro, além de uma relação hiperbólica após a fissuração. O modelo hiperbólico é empregado para levar em conta a colaboração do concreto tracionado entre fissuras.

M

Mr

χrχ

estádio II puro

KII1

estádio I

KI

1

Fig. 6.5.3 - Relações momento-curvatura simplificadas

Empregando-se o modelo da fig. 6.5.3, a curvatura média χ ,

associada ao momento fletor solicitante M , é dada por

( ) 211 χηχηχ cc +−= (6.5.35)

onde IKM=1χ e IIKM=2χ são as curvaturas

correspondentes aos estádios I e II puro, respectivamente, e cη é um

coeficiente que varia entre 0 e 1. Assim, a curvatura média é obtida através de uma interpolação entre os valores extremos, calculados no estádio I e no estádio II puro.

Segundo o CEB(27), o coeficiente de interpolação é dado por


Momento solicitante: 13,538

517

8

22

=⇒== Mxlp

M k kNm

Momento de fissuração:

087,0464 ==′= ddδ

19,161

21 =⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+= rctr Mfbd

kM

ξδkNm

Como rMM > , M

M r211 ββη −= .

85,013,53

19,165,011 =⇒−= ηη xx

Flecha final:

( ) 78,11 21 =⇒+−= WWWW ηη cm Flecha admissível:

2250

500

250=⇒== admadm W

lW cm

Como admWW < , significa que são atendidas as exigências

quanto ao estado limite de deformações excessivas. 6.8 - Cálculo prático de flechas em vigas Empregando o método bilinear e desconsiderando os efeitos

da retração, a flecha W na seção de referência pode ser escrita na forma


O coeficiente α é igual a 8, exceto para os balanços onde ele vale 2. O coeficiente rf tem os seguintes valores:

0,1=rf para as vigas biapoiadas e para os balanços;

7,0=rf para os vãos extremos das vigas contínuas;

5,0=rf para os vãos intermediários das vigas contínuas. 6.9 - Cálculo de flechas em vigas segundo a NBR-6118 A NBR-6118 adota o processo simplificado para o cálculo de flechas de vigas apresentado pelo ACI(29). A flecha inicial é obtida considerando-se um momento de inércia equivalente eqI , dado por

cr

cr

eq IIM

MI

M

MI ≤

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= 2

33

1 (6.9.1)

onde

cI = momento de inércia da seção de concreto simples;

2I = momento de inércia da seção de concreto armado no estádio II puro; M = momento fletor solicitante na seção crítica;

rM = momento de fissuração. De acordo com a NBR-6118, o momento de fissuração é dado por

t

ctcr y

fIM

α= (6.9.2)

onde ty é a distância do centroide da seção à fibra mais tracionada.

O coeficiente α tem os seguintes valores:

2,1=α para seções T ou duplo T;

5,1=α para seções retangulares.


6.10 - Cálculo de flechas em vigas segundo o Eurocode 2 O método adotado no Eurocode 2 [20] é muito semelhante ao método bilinear do CEB. Nesse método, a curvatura total χ em cada seção transversal da viga é dada por

( ) 211 χηχηχ cc +−= (6.10.1)

onde 1χ e 2χ são as curvaturas totais no estádio I e no estádio II, respectivamente. O coeficiente de interpolação cη é dado por

0=cη , se rMM < (6.10.2)

2

21 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=M

M rc βη , se rMM ≥ (6.10.3)

onde 12 =β para cargas de curta duração e 5,02 =β para cargas de longa duração. Observa-se que essas são as mesmas expressões do método bilinear, dadas nas equações (6.5.35) a (6.5.37). O momento de fissuração rM é calculado com a equação (6.5.18). Entretanto, para levar em conta a fluência do concreto, deve-se trabalhar sempre com o módulo efetivo ceE no lugar do

módulo secante csE . O módulo efetivo é dado por

ϕ+

=1

csce

EE (6.10.4)

onde ϕ é o coeficiente de fluência do concreto. Como uma simplificação, podem-se desprezar as armaduras no cálculo do momento de fissuração. Neste caso, o momento de

fissuração para seções retangulares é dado por 62ctr fbhM = .


um carregamento fictício dado pelos momentos 1csM e 2csM ,

como é mostrado na fig. 6.10.1.

Fig. 6.10.1 – Carregamento real e carregamento fictício equivalente à retração

A flecha no estádio I, 111 csp WWW += , é obtida

considerando a rigidez IK . A flecha no estádio II,

222 csp WWW += , é obtida com a rigidez IIK . Finalmente,

podem-se empregar as equações (6.5.38) a (6.5.40) para obter a flecha W , já incluindo os efeitos da fissuração, da fluência e da retração do concreto. Essas equações são repetidas abaixo, onde se observa que o expoente do termo MM r é unitário, como no método bilinear.

( ) 211 WWW ηη +−= (6.10.11)

0=η , se rMM < (6.10.12)

M

M r21 βη −= , se rMM ≥ (6.10.13)

O método do Eurocode 2 e o método bilinear do CEB fornecem resultados muito próximos para as flechas das vigas sob a ação de um carregamento constante. Neste caso, o uso do módulo efetivo é perfeitamente justificável, como foi salientado na seção 6.6.


Observações finais: 1) O método do Eurocode 2 e o método bilinear do CEB consideram os efeitos da fluência e da retração do concreto conforme os valores de ϕ e de csε . Portanto, para obter o valor da flecha inicial, basta

considerar 0=ϕ e 0=csε .

2) O efeito da fluência é sempre considerado na fórmula prática do CEB/90. Portanto, esse método nunca fornecerá a flecha inicial. Para desconsiderar a retração, basta fazer 0=csε .

3) O método da NBR-6118 fornece a flecha inicial e a flecha total, incluindo a fluência e a retração. Os resultados obtidos para a flecha inicial são coerentes com os resultados obtidos com o método do Eurocode 2 e com o método bilinear do CEB. Entretanto, os acréscimos de flecha, decorrentes da fluência e da retração, independem dos valores de ϕ e de csε . Além disso, a equação

(6.9.3) indica que a relação ( )otWWΔ é uma constante,

independente do grau de fissuração da peça. Desse modo, considera-se que a fluência e a retração tenham a mesma importância no estádio I e no estádio II, o que é uma grande incoerência da formulação. 4) O ideal é sempre calcular a flecha com um modelo não linear. Dentre os métodos simplificados de projeto, o melhor é empregar o método bilinear do CEB ou o método do Eurocode 2. A fórmula prática do CEB/90 também fornece bons resultados e pode ser usada em projeto. Entretanto, o método adotado na NBR-6118 não é recomendado, devido às inconsistências no cálculo dos acréscimos de flechas decorrentes da fluência e da retração do concreto.

Capítulo 7

ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Fissuração

7.1 - A colaboração do concreto entre fissuras Para mostrar a influência do concreto tracionado entre fissuras, considere-se o elemento de concreto armado indicado na fig. 7.1.1, submetido a uma força de tração P constante. O elemento encontra-se fissurado, estando as fissuras espaçadas de uma distância igual a

a2 .

P P

2a

x

σsoσs(x)

σc(x)

tensão no aço

tensão noconcreto

Fig. 7.1.1 - Elemento fissurado sob tração simples

Nas seções fissuradas, a tensão na barra de aço atinge o valor máximo soσ e a tensão no concreto é nula. Essas seções estão no

estádio II e toda a força de tração é absorvida pela armadura. Entretanto, por causa da aderência, ocorre uma transferência de parte


7.2 - Determinação da abertura das fissuras A formulação anterior permite avaliar a abertura das fissuras do elemento de concreto armado. Para isto, é necessário determinar o escorregamento da barra de aço em relação ao concreto.

Considerando a equação (7.1.8), tem-se que a tensão de tração no concreto, em uma posição genérica tomada ao longo do elemento, é dada por

xAA

R

c

bm

c

cc

μτσ == (7.2.1)

Admitindo-se um comportamento elástico linear, chega-se à

expressão da deformação no concreto

xAE cc

bmc

μτε = (7.2.2)

onde cE é o módulo de deformação longitudinal do concreto.

Uma vez que a deformação cε é obtida por diferenciação do

deslocamento cu do concreto, tem-se

∫ += 1Ddxu cc ε (7.2.3)

onde 1D é a constante de integração. No centro, entre duas fissuras, o deslocamento deve ser nulo por uma condição de simetria (ver a fig. 7.1.1). Integrando (7.2.3) e fazendo 0=cu em ax = , chega-se a

( )22

2ax

AEu

cc

bmc −= μτ

(7.2.4)

que fornece o deslocamento do concreto em uma posição genérica. Analogamente, o deslocamento su da barra de aço é dado por


O CEB/90 adota a expressão (7.2.19), considerando pequenas alterações no valor do coeficiente β que levam em conta a duração e a repetição do carregamento.

Para finalizar, é necessário definir uma área de concreto efetiva, ceA , para o cálculo da taxa de armadura cesse AA=ρ . A

diferença entre a área efetiva e a área real da seção do elemento estrutural decorre da distribuição não uniforme das tensões normais. Essa área é definida na seção seguinte. 7.3 - Verificação do estado limite de abertura das fissuras Em estruturas de concreto armado, a fissuração pode ser inevitável por causa da baixa resistência à tração do concreto. Entretanto, a abertura das fissuras não deve comprometer a durabilidade nem a aparência da estrutura. Para isto, devem ser impostos limites para a abertura das fissuras, os quais dependem da agressividade do meio e do grau de proteção da estrutura. Segundo a NBR-6118, podem-se adotar os seguintes limites para a abertura das fissuras: a) 0,4 mm para a classe de agressividade ambiental I; b) 0,3 mm para as classes de agressividade ambiental II e III; c) 0,2 mm para a classe de agressividade ambiental IV. Em situações específicas, pode ser necessário reduzir esses limites para a abertura das fissuras, como é apresentado no Volume 4 para os reservatórios. Em marquises, é conveniente considerar o limite de 0,2 mm, ou mesmo de 0,1 mm, devido ao maior risco de deterioração das armaduras que se verifica nessas estruturas. As expressões para o cálculo da abertura wk das fissuras foram deduzidas na seção 7.2. Essas expressões são adotadas pelo CEB/90. Inicialmente, deve-se calcular a tensão limite na armadura

ctse

seso f

n⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=ρ

ρσ 1 (7.3.1)


bh

Asse

5=ρ , na flexão simples (7.4.4)

c

sse A

A=ρ , na tração simples (7.4.5)

onde sA é a área da armadura tracionada, b e h representam as

dimensões da seção retangular e cA é a área da seção de concreto.

Na tabelas 7.4.1 a 7.4.3, apresentam-se os valores máximos permitidos da tensão max,sσ , considerando os seguintes dados:

- deformação de retração: 51050 −= xcsε

- coeficiente 38,0=β

- abertura limite das fissuras: 3,0lim, =kw mm

As regiões sombreadas nas tabelas mostram as únicas combinações de φ e seρ onde há risco de ser ultrapassada a

abertura limite 3,0lim, =kw mm. Nas demais regiões não é

necessário verificar a abertura das fissuras.

Tabela 7.4.1 – Tensão máxima na armadura para 20=ckf MPa

Valores de max,sσ em MPa

Diâmetro φ (mm)

seρ % 5 6,3 8 10 12,5 16 20 25 0,5 291 246 210 183 161 143 129 118 1,0 423 333 261 207 163 126 99 77 1,5 435 435 367 286 222 165 124 92 2,0 435 435 435 380 294 218 164 121 2,5 435 435 435 435 372 277 210 156 3,0 435 435 435 435 435 339 258 193 3,5 435 435 435 435 435 403 308 233 4,0 435 435 435 435 435 435 359 273 4,5 435 435 435 435 435 435 411 314 5,0 435 435 435 435 435 435 435 355


%68,25015

02,455===

x

x

bh

Asseρ

Entrando na tabela 7.4.1 com 16=φ mm e %68,2=seρ , e

interpolando, obtém-se a tensão máxima 299max, =sσ MPa.

A tensão de serviço na armadura é estimada como

3104,1

== yds

fσ MPa

Observa-se que resultou sσ praticamente igual a max,sσ . A

abertura limite 3,0lim, =kw mm será ultrapassada, porém a

diferença será insignificante, como pode ser visto no exemplo da seção 7.3. Logo, pode-se considerar que a fissuração não será nociva. 7.5 - Armadura mínima para limitação das fissuras provocadas pela retração Em alguns casos, o elemento estrutural pode estar livre de cargas externas importantes e, mesmo assim, ele pode apresentar uma fissuração excessiva. Essas fissuras surgem como consequência do impedimento das deformações de retração ou da dilatação térmica do elemento. Um exemplo dessa natureza é apresentado na fig. 7.5.1.

Fig. 7.5.1 – Fissuras em paredes de concreto armado devidas à

retração e/ou às variações de temperatura


A expressão (7.5.2) permite determinar a taxa mínima de armadura efetiva para controle das fissuras produzidas exclusivamente pela retração. Se o objetivo for controlar a fissuração produzida por uma variação de temperatura TΔ oC , basta substituir

csε por TΔα , onde 510−=α oC-1 é o coeficiente de dilatação

térmica do concreto. Na tabela 7.5.1, apresentam-se os valores de seρ em função

da abertura limite das fissuras lim,kw .

Tabela 7.5.1 – Taxa mínima de armadura efetiva seρ % para

controle das fissuras de retração (considerando 51050 −= xcsε )

Abertura limite das fissuras lim,kw φ (mm)

0,2 mm 0,3 mm 0,4 mm 5 0,35 0,23 0,20

6,3 0,44 0,29 0,22 8 0,56 0,37 0,28 10 0,69 0,46 0,35

12,5 0,87 0,58 0,43 16 1,11 0,74 0,56 20 1,39 0,93 0,69 25 1,74 1,16 0,87

A tabela 7.5.1 fornece as taxas mínimas de armadura para controle da fissuração produzida, exclusivamente, por esforços de coação. A área mínima de aço requerida é cses AA ρ=min, .

Havendo cargas externas atuando sobre o elemento, é necessário respeitar as armaduras mínimas exigidas no estado limite último. Nesses casos, a tabela não se aplica, devendo-se calcular as aberturas das fissuras, como apresentado anteriormente na seção 7.3. 7.6 - Abertura das fissuras de acordo com a NBR-6118 De acordo com a NBR-6118, a abertura w das fissuras é dada pelo menor dos valores


Exemplo: Calcular a abertura das fissuras da viga indicada na fig. 7.3.2, empregando a formulação da NBR-6118. Os seguintes valores já foram dados ou calculados anteriormente:

16=φ mm; 22,31=sσ kN/cm2; 20000=sE kN/cm2;

22,0=ctf kN/cm2; 02,4=sA cm2; 15=b cm; 4=′d cm.

Cálculos adicionais:

( ) ( )A b d xce = ′ + = + =7 5 15 4 7 5 1 6 240, , ,φ cm2

ρses

ce

A

A= = =

4 02

2401 68%

,, ; 25,21 =η (barras nervuradas)

wE f

s

s

s

ct1

112 5

30 38= =

φη

σ σ,

, mm

wE

s

s se2

112 5

445 0 25= +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

φη

σρ,

, mm

Logo, segundo o critério da NBR-6118, wk = 0 25, mm.

No exemplo da seção 7.3 foi obtido wk = 0 31, mm, de acordo

com a formulação do CEB. A formulação da NBR-6118 fornece uma menor abertura das fissuras porque os efeitos da retração do concreto não são considerados, como ocorre com a formulação do CEB.

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Referências bibliográficas 329

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APÊNDICE 1

CARGAS NAS EDIFICAÇÕES Segundo a NBR-6120

APÊNDICE 2

TABELAS PARA O CÁLCULO DE LAJES

APÊNDICE 3

TABELAS PARA DETALHAMENTO DAS ARMADURAS

curso de concreto armado - josÉ milton de araÚjo (engenharia furg)

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