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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA
ELIAKIM CLEYTON MACHADO
ULTRADIFERENCIABILIDADE EM VARIEDADES COMPACTAS E HIPOELITICIDADE
GLOBAL DE OPERADORES INVARIANTES
CURITIBA
2021
ELIAKIM CLEYTON MACHADO
ULTRADIFERENCIABILIDADE EM VARIEDADES COMPACTAS E HIPOELITICIDADE
GLOBAL DE OPERADORES INVARIANTES
Dissertacao de Mestrado apresentada ao curso de Pos-
Graduacao em Matematica, Setor de Ciencias Exatas, Uni-
versidade Federal do Parana, como requisito parcial a ob-
tencao do Tıtulo de Mestre em Matematica.
Orientador: Prof. Dr. Fernando de Avila Silva.
CURITIBA
2021
Catalogação na Fonte: Sistema de Bibliotecas, UFPRBiblioteca de Ciência e Tecnologia
M149u
Machado, Eliakim Cleyton Ultradiferenciabilidade em variedades compactas e hipoeliticidade global de operadores invariantes [recurso eletrônico] / Eliakim Cleyton Machado. – Curitiba, 2021. Dissertação - Universidade Federal do Paraná, Setor de Ciências Exatas,Programa de Pós-Graduação em Matemática, 2021.
Orientador: Fernando de Avila Silva 1. Funções (Matemática). 2. Teoria das distribuições. 3. Fourier, Operadores integrais de. 4. Variedades (Matemática). I. Universidade Federaldo Paraná. II. Silva, Fernando de Avila. III. Título.
CDD: 515.7
Bibliotecário: Elias Barbosa da Silva CRB-9/1894
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOSETOR DE CIENCIAS EXATASUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁPRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO MATEMÁTICA -40001016041P1
ATA Nº100
ATA DE SESSÃO PÚBLICA DE DEFESA DE MESTRADO PARA A OBTENÇÃO DOGRAU DE MESTRE EM MATEMÁTICA
No dia vinte e dois de fevereiro de dois mil e vinte e um às 14:00 horas, na sala https://meet.google.com/kcb-oaoh-rqn, remoto,
foram instaladas as atividades pertinentes ao rito de defesa de dissertação do mestrando ELIAKIM CLEYTON MACHADO,
intitulada: ULTRADIFERENCIABILIDADE EM VARIEDADES COMPACTAS E HIPOELITICIDADE GLOBAL DE OPERADORES
INVARIANTES, sob orientação do Prof. Dr. FERNANDO DE AVILA SILVA. A Banca Examinadora, designada pelo Colegiado do
Programa de Pós-Graduação em MATEMÁTICA da Universidade Federal do Paraná, foi constituída pelos seguintes Membros:
FERNANDO DE AVILA SILVA (UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ), PAULO LEANDRO DATTORI DA SILVA
(UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO), GABRIEL CUEVA CANDIDO SOARES DE ARAÚJO (UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO). A
presidência iniciou os ritos definidos pelo Colegiado do Programa e, após exarados os pareceres dos membros do comitê
examinador e da respectiva contra argumentação, ocorreu a leitura do parecer final da banca examinadora, que decidiu pela
APROVAÇÃO. Este resultado deverá ser homologado pelo Colegiado do programa, mediante o atendimento de todas as indicações
e correções solicitadas pela banca dentro dos prazos regimentais definidos pelo programa. A outorga de título de mestre está
condicionada ao atendimento de todos os requisitos e prazos determinados no regimento do Programa de Pós-Graduação. Nada
mais havendo a tratar a presidência deu por encerrada a sessão, da qual eu, FERNANDO DE AVILA SILVA, lavrei a presente ata,
que vai assinada por mim e pelos demais membros da Comissão Examinadora.
CURITIBA, 22 de Fevereiro de 2021.
Assinatura Eletrônica
22/02/2021 17:12:24.0
FERNANDO DE AVILA SILVA
Presidente da Banca Examinadora (UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ)
Assinatura Eletrônica
22/02/2021 20:02:42.0
PAULO LEANDRO DATTORI DA SILVA
Avaliador Externo (UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO)
Assinatura Eletrônica
22/02/2021 22:23:20.0
GABRIEL CUEVA CANDIDO SOARES DE ARAÚJO
Avaliador Externo (UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO)
Coordenação PPGMA, Centro Politécnico, UFPR - CURITIBA - Paraná - BrasilCEP 81531990 - Tel: (41) 3361-3026 - E-mail: [email protected]
Documento assinado eletronicamente de acordo com o disposto na legislação federal Decreto 8539 de 08 de outubro de 2015.Gerado e autenticado pelo SIGA-UFPR, com a seguinte identificação única: 76089
Para autenticar este documento/assinatura, acesse https://www.prppg.ufpr.br/siga/visitante/autenticacaoassinaturas.jspe insira o codigo 76089
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃOSETOR DE CIENCIAS EXATASUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁPRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃOPROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO MATEMÁTICA -40001016041P1
TERMO DE APROVAÇÃO
Os membros da Banca Examinadora designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em MATEMÁTICA da
Universidade Federal do Paraná foram convocados para realizar a arguição da Dissertação de Mestrado de ELIAKIM CLEYTON
MACHADO intitulada: ULTRADIFERENCIABILIDADE EM VARIEDADES COMPACTAS E HIPOELITICIDADE GLOBAL DE
OPERADORES INVARIANTES, sob orientação do Prof. Dr. FERNANDO DE AVILA SILVA, que após terem inquirido o aluno e
realizada a avaliação do trabalho, são de parecer pela sua APROVAÇÃO no rito de defesa.
A outorga do título de mestre está sujeita à homologação pelo colegiado, ao atendimento de todas as indicações e correções
solicitadas pela banca e ao pleno atendimento das demandas regimentais do Programa de Pós-Graduação.
CURITIBA, 22 de Fevereiro de 2021.
Assinatura Eletrônica
22/02/2021 17:12:24.0
FERNANDO DE AVILA SILVA
Presidente da Banca Examinadora (UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ)
Assinatura Eletrônica
22/02/2021 20:02:42.0
PAULO LEANDRO DATTORI DA SILVA
Avaliador Externo (UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO)
Assinatura Eletrônica
22/02/2021 22:23:20.0
GABRIEL CUEVA CANDIDO SOARES DE ARAÚJO
Avaliador Externo (UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO)
Coordenação PPGMA, Centro Politécnico, UFPR - CURITIBA - Paraná - BrasilCEP 81531990 - Tel: (41) 3361-3026 - E-mail: [email protected]
Documento assinado eletronicamente de acordo com o disposto na legislação federal Decreto 8539 de 08 de outubro de 2015.Gerado e autenticado pelo SIGA-UFPR, com a seguinte identificação única: 76089
Para autenticar este documento/assinatura, acesse https://www.prppg.ufpr.br/siga/visitante/autenticacaoassinaturas.jspe insira o codigo 76089
Dedico este trabalho a minha famılia.
AGRADECIMENTOS
Antes de tudo, agradeco a todos que demonstraram apoio no momento em que decidi ir
em busca do sonho de ser Mestre pela UFPR, pois cada dia foi uma batalha contra minhas proprias
limitacoes, entao qualquer incentivo foi fundamental durante a jornada.
A minha mae, Ana Matilde, por toda a dedicacao e amor, por tudo que fez e faz pela famılia.
Sem a senhora, eu jamais teria chegado tao longe.
Ao meu irmao, Junior, por ser o irmao mais velho mais legal que eu conheco. Muito obrigado
por ter sido, alem de irmao, um grande amigo durante toda a vida.
A minha esposa, Fernanda, que foi minha principal fonte de coragem, inspiracao e incentivo
a sair da zona de conforto e dar o primeiro passo.
Aos meus sogros, Ovidio e Delci, por todo o apoio que tem nos dado neste perıodo longe de
casa e por nos acolher durante as visitas ao sudoeste do Parana.
A todos os professores do departamento de Matematica da UTFPR de Pato Branco que
participaram de minha formacao durante a graduacao. Em especial ao Professor Carlos pelo incentivo
e pelas conversas encorajadoras antes de deixar Pato Branco rumo a Curitiba. Aos professores Fredy,
Delfino, Alexandre Reis e Cristina por terem me incentivado desde o primeiro ano de graduacao a seguir
carreira na pos-graduacao (hoje vejo que voces estavam cobertos de razao e que deveria ter seguido seus
conselhos ainda mais cedo).
Aos professores do PPGM-UFPR pelas excelentes aulas que tive a honra de participar: Fer-
nando, Cleber, Olivier, Pedro, Elias e Higidio. Ao Professor Kirilov e ao Wagner por terem me dado a
oportunidade de apresentar-lhes uma previa da dissertacao e compartilhado dicas valiosas.
Aos professores Paulo e Gabriel, por terem participado de minha banca de defesa e por todas
as correcoes, dicas e contribuicoes para o aperfeicoamento da mesma.
Ao meu orientador, Professor Fernando, por ter me acolhido como orientando, ter proposto o
tema e ter me guiado durante toda a construcao da dissertacao. Serei eternamente grato a sua dedicacao
em me ajudar a realizar este trabalho.
A CAPES pelo apoio financeiro.
“Follow your steps and you will find
the unknown ways are on your mind...”
Andre Matos
RESUMO
Neste trabalho apresentamos um estudo das classes de funcoes ultradiferenciaveis dos
tipos Roumieu e Beurling definidas sobre variedades compactas e suas respectivas classes
de ultradistribuicoes. Como aplicacao, e analisada a hipoeliticidade global de operadores
fortemente invariantes em variedades.
Palavras-chave: Funcoes ultradiferenciaveis e ultradistribuicoes, classes de Roumieu e
Beurling, hipoeliticidade global, operadores invariantes, variedades fechadas.
ABSTRACT
In this work we present the study of classes of ultradifferentiable functions of Roumieu
and Beurling types defined on compact manifolds and its respectives ultradistributions
classes. As an application, we analyze the global hipoellipticity of strongly invariant
operators on manifolds.
Keywords: Ultradifferentiable functions and ultradistributions, Roumieu and Beurling
classes, global hypoellipticity, invariant operators, closed manifolds.
SUMARIO
Introducao 12
1 Preliminares 15
1.1 Formulas binomiais e multi-ındices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2 Variedades suaves e espacos de funcoes sobre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Operadores pseudodiferenciais em variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Analise de Fourier gerada por operadores elıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Funcoes Ultradiferenciaveis em Variedades 23
2.1 A sequencia M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 A funcao associada M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 O espaco ΓM (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 A classe γs(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 O espaco Γ(M )(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Ultradistribuicoes 40
3.1 α-duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 O espaco Γ′M (X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 O espaco Γ′(M )(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Hipoeliticidade Global 49
4.1 Operadores invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 M -hipoeliticidade global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1 O caso Gevrey γs(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 (M )-hipoeliticidade global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
REFERENCIAS 58
INTRODUCAO
Neste trabalho apresentamos um estudo das classes de funcoes ultradiferenciaveis dos tipo
Roumieu e Beurling definidas sobre variedades compactas e suas respectivas classes de ultradistribuicoes,
conforme a caracterizacao apresentada por A. Dasgupta e M. Ruzhansky em [3]. Como aplicacao deste
estudo apresentamos uma analise sobre a hipoeliticidade global de operadores fortemente invariantes em
variedades, estendendo entao alguns resultados obtidos por A. Kirilov e W. A. A. de Moraes em [10].
Para apresentar uma visao geral dos estudos realizados, considere X uma variedade fechada,
isto e, suave, compacta e sem bordo. Seja E um operador pseudodiferencial elıtico, positivo, de ordem
ν ∈ N. Fixada uma sequencia M = Mkk∈N0, satisfazendo certas condicoes (conforme Secao 2.1),
define-se por ΓM (X) o espaco das funcoes φ ∈ C∞(X) para as quais existem constantes h > 0 e C > 0
satisfazendo
‖Ekφ‖L2(X) 6 ChνkMνk, ∀k ∈ N0. (1)
Observamos que a caracterizacao de ΓM (X) nos da a vantagem de nao precisarmos nos referir
as coordenadas locais para introduzir tais classes. Isto permite apresentar definicoes analogas para
funcoes analıticas e Gevrey, mesmo se a variedade X for apenas suave. Por exemplo, tomando Mk = k!,
obtemos a classe Γk!(X) das funcoes suaves φ tais que
‖Ekφ‖L2(X) 6 Chνk(νk)!, ∀k ∈ N0. (2)
No caso em que X e E sao analıticos, ao tomarmos Mk = (k!)s, ve-se que Γ(k!)s(X) coincide
com o espaco das funcoes Gevrey em X, para s > 1, e analıticas quando s = 1.
Veremos ainda que (1) nos permite estudar diversas propriedades destes espacos em termos
da analise de Fourier gerada pelo operador elıtico, isto e, analisando-se os coeficientes de Fourier das
expansoes em series determinadas pelas autofuncoes de E. Por outro lado, ao considerarmos um re-
ferencial de campos vetoriais suaves ∂1, ..., ∂N em X, prova-se no Teorema 2.1 que φ ∈ ΓM (X) se, e
somente se, existem h > 0 e C > 0 tais que
‖∂αφ‖L∞(X) 6 Ch|α|M|α|,
sendo ∂α = ∂α1j1· · · ∂αKjK , com jr ∈ 1, ..., N, para cada r = 1, ...,K, e |α| = α1 + · · ·+αK , recuperando
assim a caracterizacao classica de espacos presentes na literatura como, por exemplo, nos trabalhos de
H. Komatsu [11, 12, 13].
Apos uma detalhada caracterizacao dos espacos acima, apresentamos resultados obtidos acerca
da hipoeliticidade global para uma classe de operadores em X. Para introduzir uma descricao desta
nossa contribuicao, citamos duas referencias:
12
(i) o artigo Remarks on global hypoellipticity [7] de S. J Greenfield e N. R. Wallach, no qual e inves-
tigada a hipoeliticidade global de operadores definidos em variedades e invariantes com respeito a
um operador elıtico;
(ii) o artigo Global hypoellipticity for strongly invariant operators [10] de A. Kirilov e W. A. A. de
Moraes, onde os autores estudaram a hipoeliticidade global de operadores definidos em variedades
e fortemente invariantes com respeito a um operador elıtico.
Em ambas as referencias, tem-se como objetivo estudar a hipoeliticidade, no sentido C∞, de
operadores lineares que comutam com um operador elıtico E fixado. Um operador linear P que satisfaz
tais condicoes pode ser estudado atraves da expressao
Pf(x) =
∞∑`=1
⟨σP (`)f(`), e`(x)
⟩,
sendo σP (`) ∈ Cd`×d` os sımbolos matriciais de P , f(`) os coeficientes de Fourier de f e e`(x) =(e1`(x), ..., ed`` (x)
)∈ Cd` , com em` uma base de autofuncoes para o autoespaco H` do operador elıtico
E.
Tendo como inspiracao estes dois trabalhos, considerando um operador linear P que comuta
com E e satisfaz certas condicoes, analisamos a validade da implicacao
u ∈ D ′(X) e Pu ∈ ΓM (X) =⇒ u ∈ ΓM (X)
atraves de um estudo do comportamento dos sımbolos matriciais σP (`) ∈ Cd`×d` .
Este trabalho esta organizado da seguinte forma:
No Capıtulo 1, sao estabelecidos conceitos, notacoes e resultados fundamentais para o desen-
volvimento do trabalho, dando enfase a Secao 1.4 onde e apresentada a analise de Fourier em que toda
a teoria se baseia. Em particular, destacam-se a decomposicao dos espacos L2(X) em funcao dos auto-
espacos de um operador elıtico e tambem a construcao dos coeficientes de Fourier, conforme a Definicao
1.9.
No Capıtulo 2 sao apresentadas as classes de funcoes ultradiferenciaveis ΓM (X) e Γ(M )(X).
A princıpio, sao fixadas condicoes sobre a sequencia M = Mkk∈N0 e estudadas diversas propriedades
da funcao
M(r) = supk∈N
logrνk
Mνk, ∀r > 0.
Por fim, apresentamos o Teorema 2.2, no qual os elementos de ΓM (X) sao caracterizados atraves de
estimativas sobre seus coeficientes de Fourier. Um resultado analogo ao Teorema 2.2 para a classe
Γ(M )(X) e dado no Teorema 2.4.
No terceiro capıtulo, serao estudados os espacos de ultradistribuicoes. Primeiramente, sao
construıdos os α-duais, conforme Definicoes 3.1 e 3.6. Apos este passo, sao entao fixadas as classes das
13
ultradistribuicoes Γ′M (X) e Γ′(M )(X). Nos Teoremas 3.3 e 3.4, as distribuicoes sao entao caracterizadas
em virtude da analise de seus coeficientes de Fourier.
Finalmente, no Capıtulo 4, fazemos o estudo da hipoeliticidade global de operadores forte-
mente invariantes (veja Definicao 4.1). Os Teoremas 4.1 e 4.3 exibem condicoes necessarias e suficientes
para a hipoeliticidade em termos do comportamento dos sımbolos matriciais de tais operadores.
14
Capıtulo 1
PRELIMINARES
Neste capıtulo fixamos algumas notacoes, conceitos e resultados utilizados no desenvolvimento
do trabalho.
1.1 Formulas binomiais e multi-ındices
Denotamos por N o conjunto dos numeros naturais e por N0 os inteiros nao negativos, isto e,
N0 := N ∪ 0. Qualquer n-upla α := (α1, ..., αn) ∈ Nn0 sera denominada multi-ındice. O comprimento
do multi-ındice α, denotado por |α|, e o numero
|α| := α1 + · · ·+ αn.
Dado x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, definimos, para qualquer α = (α1, ..., αn) ∈ Nn0 , o numero real xα pondo
xα := xα11 · · ·xαnn .
Em Rn define-se o operador j-esima derivada parcial ∂∂xj
, j = 1, ..., n. Quando nao houver
duvidas sobre a variavel utilizada, escrevemos ∂j := ∂∂xj
. Para cada j = 1, ..., n, temos Dj = −i∂j , com
i =√−1. Dado α = (α1, ..., αn) ∈ Nn0 , define-se
∂α := ∂α11 ∂α2
2 · · · ∂αnn e Dα := Dα11 Dα2
2 · · ·Dαnn .
As notacoes acima ainda podem ser vistas como ∂α = ∂|α|
∂xα11 ···∂x
αnn
e
Dα = Dα11 · · ·Dαn
n = (−i∂1)α1 · · · (−i∂n)αn = (−i)|α|(∂α11 · · · ∂αnn ) = (−i)|α|∂α.
Se α = (α1, ..., αn) e β = (β1, ..., βn) sao multi-ındices, dizemos que α e menor do que ou
igual a β se, e somente se, as todas as componentes de α sao menores do que ou iguais as componentes
correspondentes de β, isto e,
α 6 β ⇐⇒ αj 6 βj , ∀j = 1, ..., n.
O fatorial de α = (α1, ..., αn) ∈ Nn0 e definido por
α! := α1! · · ·αn!.
15
Tambem podemos estender o conceito de numero binomial para multi-ındices:
(α
β
):=
α!(α−β)!β! , se α > β
0, se α < β,
com α− β := (α1 − β1, ..., αn − βn).
Dados N ∈ N e x1, ..., xn ∈ R temos a formula de Newton generalizada
(x1 + · · ·+ xn)N =∑|α|=N
N !
α!xα, (1.1)
tambem conhecida por Teorema multinomial. Tomando xj = 1, para todo j = 1, ..., n, obtem-se de (1.1)
a identidade
nN =∑|α|=N
N !
α!. (1.2)
Por fim, considerando a expansao de Taylor da funcao exponencial
et =
∞∑k=0
tk
k!, t ∈ R,
segue imediatamente que
tk 6 k!et, ∀t ∈ R,∀k ∈ N0.
1.2 Variedades suaves e espacos de funcoes sobre variedades
Ao longo deste trabalho, a menos de mencao contraria, vamos considerar X uma variedade
C∞ fechada (compacta e sem bordo) de dimensao n equipada com um elemento de volume fixo dx.
Seguindo a teoria desenvolvida na Secao 5.2 de [17], relembramos que um atlas suave sobre X e uma
famılia H = (Uα, ϕα)α∈Λ, sendo Uα ⊆ X um aberto e ϕα : Uα → Ωα e um homeomorfismo sobre o
subconjunto aberto Ωα ⊆ Rn, para cada α ∈ Λ, tal que:
1. Para quaisquer Uα, Uβ com Uα ∩ Uβ 6= ∅, as aplicacoes de transicao
ϕβ ϕ−1α : ϕα(Uα ∩ Uβ)→ ϕβ(Uα ∩ Uβ)
sao difeomorfismos suaves entre abertos de Rn.
2. A famılia Uαα∈Λ e uma cobertura de X, isto e,⋃α∈Λ
Uα = X.
O par (U,ϕ) ∈H e chamado de carta de coordenada local suave em X.
Na sequencia sao listados alguns espacos que serao frequentemente utilizados neste trabalho.
16
C∞(X) e o espaco das funcoes definidas na variedade X que sao infinitamente diferenciaveis.
Frequentemente nos referimos a C∞(X) simplesmente como o espaco das funcoes suaves sobre X.
Denotamos por D ′(X) o espaco das distribuicoes em X. E possıvel mostrar que D ′(X) pode ser
identificado com o dual topologico de C∞(X), sob certas condicoes (veja a Secao 6.3 de [9] para
mais detalhes).
L2(X) e o espaco das funcoes f : X → C que sao mensuraveis e satisfazem∫X
|f(x)|2dx <∞.
Em particular, recordamos que L2(X) e um espaco de Hilbert quando munido do produto interno
〈f, g〉L2 :=
∫X
f(x)g(x)dx, f, g ∈ L2(X).
L∞(X) e o espaco das funcoes f : X → C que sao mensuraveis e satisfazem
‖f‖L∞(X) <∞,
sendo ‖f‖L∞(X) := ess supx∈X |f(x)|.
Definicao 1.1. Seja U ⊆ X um subconjunto aberto e f : U → C. Definimos o suporte de f por
suppf := x ∈ U ; f(x) 6= 0. Quando suppf for compacto, dizemos que f tem suporte compacto.
Denotamos o conjunto de todas as funcoes suaves com suporte compacto em U por C∞0 (U).
Proposicao 1.1. Seja (X,F , µ) um espaco de medida tal que µ(X) <∞. Entao L∞(X) ⊆ L2(X) e
‖f‖L2(X) 6 ‖f‖L∞(X)µ(X)12 .
Demonstracao. Veja referencia [6], Proposicao 6.12.
1.3 Operadores pseudodiferenciais em variedades
Nesta secao fixaremos algumas notacoes e resultados referentes a teoria dos operadores pseudo-
diferenciais em variedades. Para tanto, fazemos um breve resumo sobre operadores diferenciais em Rn.
Novamente, nao apresentamos as demonstracoes dos resultados aqui exibidos, sendo que estes podem
ser encontrados na Secao 5.2 de [17].
Definicao 1.2 (A Classe de Sımbolos Sm(Rn×Rn)). Dizemos que uma funcao suave σ definida sobre
Rn × Rn pertence ao espaco Sm(Rn × Rn) se satisfaz a estimativa
|∂βx∂αξ σ(x, ξ)| 6 Aα,β(1 + |ξ|)m−|α|,
para quaisquer α, β ∈ Nn0 e quaisquer x ∈ Rn e ξ ∈ Rn, sendo Aα,β uma constante que pode depender
de α e β, mas nao depende de x e ξ. Neste caso, dizemos que σ e um sımbolo de ordem m ∈ R.
17
Definicao 1.3. Dado um sımbolo σ ∈ Sm(Rn×Rn), definimos o operador pseudo-diferencial com
sımbolo σ, denotado Tσ, pondo
Tσf(x) :=
∫Rn
e2πi〈x,ξ〉σ(x, ξ)f(ξ)dξ, x ∈ Rn, f ∈ C∞0 (Rn), (1.3)
com f(ξ) =∫ nR e−2πi〈y,ξ〉f(y)dy denotando a transformada de Fourier de f . A classe dos operadores da
forma (1.3) com sımbolos em Sm(Rn × Rn) e denotada por Ψm(Rn × Rn). Ainda podemos nos referir
ao operador Tσ como operador pseudodiferencial de ordem m e Ψm(Rn×Rn) como a classe dos
operadores pseudodiferenciais de ordem m.
Por definicao, a classe de sımbolos Sm(Rn × Rn) e localmente invariante por mudancas de
variaveis suaves, isto e, se tomarmos uma mudanca local da variavel x num sımbolo pertencente a classe
Sm(Rn×R), este ainda pertencera a mesma classe Sm(Rn×Rn). Na Secao 2.5.2 de [17] sao encontrados
mais detalhes sobre este fato.
Definicao 1.4. Um sımbolo σ ∈ Sm(Rn×Rn) e elıtico se existem constantes C > 0 e n0 > 0 tais que
|σ(x, ξ)| > C|ξ|m, sempre que |ξ| > n0,
para todo x ∈ Rn. Dizemos que o operador pseudodiferencial Tσ e elıtico se seu sımbolo σ for elıtico.
Definicao 1.5. Sejam A : C∞(X) → C∞(X) um operador linear e φ, ψ ∈ C∞(X). Definimos o
operador φAψ : C∞(X)→ C∞(X) pondo
(φAψ)u(x) := φ(x)A(ψ · u)(x), x ∈ X,u ∈ C∞(X).
Definicao 1.6. Se (U,ϕ) e uma carta em X, entao para um operador A : C∞(U)→ C∞(U) definimos
Aϕ : C∞(ϕ(U))→ C∞(ϕ(U)) pondo
Aϕu := A(u ϕ) ϕ−1, u ∈ C∞(ϕ(U)).
Definicao 1.7. Dizemos que um operador linear A : C∞(X) → C∞(X) e um operador pseudodi-
ferencial de ordem m ∈ R em X se, para toda carta (U,ϕ) em X e para quaisquer φ, ψ ∈ C∞0 (U),
o operador (φAψ)ϕ e um operador pseudodiferencial de ordem m em Rn. Como a classe de operadores
pseudodiferenciais de ordem m em Rn e difeo-invariante, segue que a classe correspondente em X e bem
definida. Denotamos a classe dos operadores pseudodiferenciais de ordem m em X por Ψm(X).
Ainda no contexto da Definicao 1.7, note que, se u ∈ C∞(ϕ(U)), entao
(φAψ)ϕu = (φAψ)(u ϕ) ϕ−1.
18
Portanto, se x ∈ ϕ(U) e, denotando x := ϕ−1(x) ∈ U , temos
(φAψ)ϕu(x) =((φAψ)(u ϕ) ϕ−1
)(x)
= (φAψ)(u ϕ)(ϕ−1(x))
= (φAψ)(u ϕ)(x)
= φ(x)A(ψ · (u ϕ))(x).
Definicao 1.8. Um operador A ∈ Ψm(X) e elıtico se (φAψ)ϕ for elıtico em Rn, para toda carta
(U,ϕ) e para quaisquer φ, ψ ∈ C∞0 (U). Denotamos a classe dos operadores pseudodiferenciais elıticos
de ordem m ∈ R sobre X por Ψme (X).
Note que, dados Tσ ∈ Ψm(X) e Tτ ∈ Ψp(X), entao Tσ Tτ ∈ Ψm+p(X). Em particular, se Tσ
for elıtico, isto e, Tσ ∈ Ψme (X), existe Tρ ∈ Ψ−m(X) tal que
Tσ Tρ = I +R e Tρ Tσ = I + S,
sendo R e S termos regularizantes tais que R,S ∈⋂m∈R Ψm(X).
Dizemos que Tρ e uma parametriz de Tσ. Em particular, segue que
Tσ Tρ, Tρ Tσ ∈ Ψ0(X).
1.4 Analise de Fourier gerada por operadores elıticos
Seja X uma variedade fechada de dimensao n equipada com um elemento de volume dx.
Considere um operador pseudodiferencial E elıtico e positivo definido de ordem ν ∈ N, isto e, E ∈
Ψν+e(X). Nestas condicoes, mostra-se que os autovalores de E formam uma sequencia de numeros reais,
digamos λjj∈N, a qual podemos reordenar de modo que
0 < λ1 < λ2 < · · · → +∞.
Para cada λj , denota-se o autoespaco correspondente por Hj := ker(E − λjI) ⊆ L2(X), o
qual consiste de funcoes suaves devido a eliticidade de E. Denotamos ainda
H0 := kerE.
λ0 := 0.
dj := dimHj , para todo j ∈ N0.
Como E e elitico, E e Fredholm, logo d0 <∞. Ainda sobre os autovalores de E e as dimensoes
dos autoespacos Hj , temos o seguinte resultado:
19
Proposicao 1.2. Sejam X uma variedade fechada de dimensao n e E ∈ Ψν+e(X), com ν ∈ N. Entao
existe uma constante C > 0 tal que
dj 6 C(1 + λj)nν , ∀j ∈ N. (1.4)
Ademais, temos que∞∑j=1
dj(1 + λj)−q <∞⇐⇒ q >
n
ν. (1.5)
Demonstracao. Veja referencia [4], Proposicao 2.3.
Para cada j ∈ N0, como dj = dimHj <∞, podemos considerar uma base ortonormal ekj djk=1
para Hj , com respeito ao produto interno 〈·, ·〉L2 , aplicando o processo de Gram-Schmidt se necessario.
Pode ser mostrado (ver [19]) que L2(X) decompoe-se como a soma direta hilbertiana (completamento
da soma direta algebrica)
L2(X) =∞⊕j=0
Hj ,
logo o conjunto B := ekj ; j ∈ N0, 1 6 k 6 dj e uma base ortonormal para L2(X). Entao, qualquer
f ∈ L2(X) pode ser expressa por
f =
∞∑j=0
dj∑k=1
〈f, ekj 〉L2ekj ,
devido a ortonormalidade da base B.
Definicao 1.9. Para cada j ∈ N0 e 1 6 k 6 dj , definimos o coeficiente de Fourier de f ∈ L2(X),
denotado por f(j, k), pondo
f(j, k) := 〈f, ekj 〉L2 .
Observacao 1.1. Em particular, podemos reescrever
f =
∞∑j=0
dj∑k=1
f(j, k)ekj .
Definicao 1.10. Definimos, para cada j ∈ N0, o coeficiente total de Fourier de f ∈ L2(X)
correspondente a Hj , denotado por f(j), como sendo o vetor coluna
f(j) :=
f(j, 1)
...
...
f(j, dj)
∈ Cdj .
Para cada j ∈ N0, definimos a norma de Hilbert-Schmidt de f(j) ∈ Cdj , a qual representamos
por ‖f(j)‖HS, como sendo a norma euclidiana classica de f(j) em Cdj , isto e,
‖f(j)‖HS := ‖f(j)‖Cdj =
√〈f(j), f(j)〉Cdj =
dj∑k=1
|f(j, k)|21/2
.
20
A formula de Plancherel, frequentemente utilizada, e dada por
‖f‖2L2(X) =
∞∑j=0
dj∑k=1
|f(j, k)|2 =
∞∑j=0
‖f(j)‖2HS.
Uma consequencia imediata e a desigualdade
‖f(j)‖HS 6 ‖f‖L2(X), ∀j ∈ N0.
Utilizando a formula de Plancherel e a eliticidade do operador E, obtem-se a seguinte carac-
terizacao para funcoes suaves em termos de seus coeficientes de Fourier e dos autovalores de E (para
mais detalhes, ver referencias [4, 5]):
f ∈ C∞(X)⇐⇒ ∀N, ∃CN t.q. |f(j, k)| 6 CNλ−Nj , ∀j > 1, 1 6 k 6 dj .
Se alem de todas as hipoteses sobre X e E, estes tambem forem analıticos, podemos reformular
o resultado de Seeley [18] como
f e analıtica⇐⇒ ∃L > 0,∃C t.q. |f(j, k)| 6 C exp(−Lλ1/νj ), ∀j > 1, 1 6 k 6 dj . (1.6)
Nas demonstracoes dos proximos capıtulos sera bastante util a estimativa dada abaixo, cuja
demonstracao e dada na referencia [5], Lema 8.5.
Lema 1.1. Sejam X uma variedade fechada e E ∈ Ψν+e(X) um operador elıtico. Entao
‖ek` ‖L∞(X) 6 Cλn−12ν
` , ∀` ∈ N. (1.7)
Sera necessario determinar os coeficientes de Fourier da acao de potencias de E numa funcao
de L2(X), isto e, Emφ(j, k), j ∈ N0 e 1 6 k 6 dj , para φ ∈ L2(X) e m ∈ N0, bem como relacionar os
coeficientes de Fourier de combinacoes lineares de duas (ou mais) funcoes em L2(X) com os coeficientes
das mesmas. O resultado que supre essas necessidades e dado em seguida.
Lema 1.2. Sejam φ, ψ ∈ L2(X) e m ∈ N0. Entao:
(i) vale a igualdade
Emφ(j, k) = λmj φ(j, k), ∀j ∈ N0, 1 6 k 6 dj ;
(ii) para quaisquer z, w ∈ C, vale
(zφ+ wψ)(`, j) = zφ(`, j) + wφ(`, j), ∀` ∈ N0, 1 6 j 6 d`.
Demonstracao. (i) Sejam m ∈ N0 e φ ∈ L2(X). Lembrando que B = ekj ; j ∈ N0, 1 6 k 6 dj e uma
base ortonormal de L2(X), φ pode ser expressa por
φ =
∞∑`=0
d∑r=1
φ(`, r)er` ,
21
logo
Emφ =
∞∑`=0
d∑r=1
φ(`, r)Emer` =
∞∑`=0
d∑r=1
φ(`, r)λm` er` .
Entao, para cada j ∈ N0 e k ∈ 1, ..., dj, segue que
Emφ(j, k)Def.= 〈Emφ, ekj 〉L2 =
⟨ ∞∑`=0
d∑r=1
φ(`, r)λm` er` , e
kj
⟩L2
=
∞∑`=0
d∑r=1
φ(`, r)λm` 〈er` , ekj 〉L2
= λmj φ(j, k),
sendo que a ultima igualdade ocorre pelo fato de que 〈er` , ekj 〉L2 nao se anula somente quando ` = j e
r = k e 〈ekj , ekj 〉L2 = ‖ekj ‖2L2(X) = 1, pela ortonormalidade de B.
(ii) Utilizando a linearidade do produto interno 〈·, ·〉L2 , temos
(zφ+ wψ)(`, j) = 〈zφ+ wφ, ej`〉L2
= z〈φ, ej`〉L2 + w〈ψ, ej`〉L2
= zφ(`, j) + wψ(`, j),
quaisquer que sejam φ, ψ ∈ L2(X), z, w ∈ C e ` ∈ N0, j ∈ 1, ..., d`.
Vamos precisar de algumas relacoes entre normas e produto interno, as quais sao apresentadas
nos proximos resultados (Proposicoes 1.3 e 1.4), cujas demonstracoes sao facilmente encontradas em [8]
ou [14]. Fixado m ∈ N, denotamos o produto interno usual em Cm por 〈·, ·〉 := 〈·, ·〉Cm .
Proposicao 1.3. Para quaisquer x, y ∈ Cm, m ∈ N, vale a desigualdade de Cauchy-Schwarz
|〈x, y〉| 6 ‖x‖HS‖y‖HS.
Proposicao 1.4. Para todo x ∈ Cm vale
‖x‖HS 6m∑j=1
|xj | 6√m‖x‖HS. (1.8)
22
Capıtulo 2
FUNCOES ULTRADIFERENCIAVEIS EM VARIEDADES
Neste capıtulo exibimos a construcao das classes de funcoes ultradiferenciaveis conforme de-
finido na referencia [3]. A construcao e a caracterizacao destes espacos e dada em termos da expansao
em autofuncoes de um operador elıtico em X.
2.1 A sequencia M
Estamos interessados em sequencias de numeros reais postivos Mkk∈N0que satisfacam: exis-
tem constantes H > 0 e A > 1 tais que
(M.0) M0 = M1 = 1.
(M.1) Mk+1 6 AHkMk, para todo k ∈ N0.
(M.2) M2k 6 AH2kM2k , para todo k ∈ N0.
(C.L) M2k 6Mk−1Mk+1, para todo k ∈ N.
A condicao (M.2), chamada de estabilidade, sera util na caracterizacao de espacos funcionais.
Note ainda que (M.1) e (M.2) sao uma versao mais fraca da condicao
Mk 6 AHk min06q6k
MqMk−q, ∀k ∈ N0
assumida por Komatsu, a qual garante estabilidade sob aplicacao de operadores ultradiferenciais. Na
verdade, em [16] Lema 5.3, mostra-se que a condicao acima e equivalente a (M.2). A condicao (C.L) e
chamada de convexidade logarıtmica, a qual juntamente com (M.0) nos garante que Mkk∈N0e uma
sequencia nao-decrescente.
Exemplo 2.1. A sequencia Mkk∈N0 dada por Mk := k! satisfaz as propriedades (M.0), (M.1), (M.2)
e (C.L), tomando A = 1 e H = 2.
(M.0) M0 = 0! = 1! = 1.
(M.1) Para todo k ∈ N0, tem-se
(k + 1)!
k!=
(k + 1)k!
k!= k + 1 6 2k =⇒ (k + 1)! 6 2kk!.
23
(M.2) Provemos por inducao em k ∈ N0. Para k = 0 e k = 1, a desigualdade e imediata. Suponha que
(M.2) vale para k > 2, ou seja, nossa hipotese de inducao e (2k)!(k!)2 6 22k. Entao
(2(k + 1))!
((k + 1)!)2=
(2k + 2)!
(k + 1)!(k + 1)!=
(2k + 2)(2k + 1)(2k)!
(k + 1)k!(k + 1)k!=
2(k + 1)(2k + 1)
(k + 1)(k + 1)
(2k)!
(k!)2
(h.i.)
62(2k + 1)
k + 122k =
2k + 1
k + 122k+1 6 2 · 22k+1 = 22(k+1),
sendo que a ultima desigualdade decorre de (2k + 1)/(k + 1) 6 2, para todo k ∈ N. Portanto,
temos que (2k)! 6 22k(k!)2.
(C.L) Para todo k ∈ N, temos
(k − 1)!(k + 1)!
(k!)2=
(k − 1)!(k + 1)k!
k(k − 1)!k!=k + 1
k> 1 =⇒ (k − 1)!(k + 1)! > (k!)2
Observacao 2.1. Com o objetivo de nao mencionar a todo momento que a sequencia Mkk∈N0
satisfaz as propriedades (M.0), (M.1), (M.2) e (C.L), faremos o uso da notacao M := Mkk∈N0para
indicar tal fato.
Temos ainda a seguinte propriedade:
Lema 2.1. Seja Mkk∈N0uma sequencia de numeros reais positivos satisfazendo a propriedade (M.1).
Entao, dado k ∈ N0, sendo A > 1 e H > 0 as constantes de (M.1), vale
Mk+` 6 A`(H`)kH`(`−1)
2 Mk, ∀` ∈ N.
Demonstracao. Fixado k ∈ N0, procedemos por inducao em ` ∈ N. Se ` = 1, utilizando a propriedade
(M.1), temos
Mk+1 6 AHkMk = A1(H1)kH1(1−1)
2 Mk.
Suponha agora que a propriedade vale para ` > 1 (hipotese de inducao), e mostremos que a mesma vale
para `+ 1. De fato, utilizando (M.1) e a hipotese de inducao (H.I.), temos
Mk+(`+1) = M(k+`)+1
(M.1)
6 AHk+`Mk+`
(H.I.)
6 AHk+`A`(H`)kH`(`−1)
2 Mk
= A`+1HkH`H`kH`(`−1)
2 Mk = A`+1(H`+1)kH`+`(`−1)
2 Mk
= A`+1(H`+1)kH2`+`2−`
2 Mk = A`+1(H`+1)kH`+`2
2 Mk
= A`+1(H`+1)kH(`+1)((`+1)−1)
2 Mk,
e segue o desejado.
Decorre deste resultado que existem constantes C := A`H`(`−1)
2 e h := H` tais que
Mk+` 6 ChkMk.
24
Observacao 2.2. Poderıamos ainda obter esta estimativa aplicando a propriedade (M.1) sucessiva-
mente, isto e,
Mk+` 6 AHk+`−1Mk+`−1 6 AHk+`−1AHk+`−2Mk+`−2
= A2H2(k+`)−1−2Mk+`−2 6 · · · 6 A`H`(k+`)−(1+···+`)Mk+`−`
= A`(H`)kH`2−(1+···+`)Mk = A`(H`)kH`(`−1)
2 Mk,
sendo que na ultima igualdade utilizamos a identidade (1 + · · ·+ `) = `(`+1)2 .
Observacao 2.3. Antes de iniciarmos o estudo de classes de funcoes definidas em variedades, vamos
citar trabalhos e ideias que foram desenvolvidos para funcoes definidas em Rn. Em [11], [12] e [13], foram
estudadas classes de funcoes ultradiferenciaveis em Rn associadas a sequencia M , mais especificamente,
o espaco das funcoes ψ ∈ C∞(Rn) tais que para todo subconjunto compacto K ⊆ Rn existem constantes
h > 0 e C > 0 satisfazendo
supx∈K|∂αψ(x)| 6 Ch|α|M|α|, α ∈ Nn0 . (2.1)
Dado um espaco de funcoes ultradiferenciaveis satisfazendo (2.1), podemos definir um espaco
de ultradistribuicoes como sendo seu dual topologico. Em [12], mostra-se que sob as condicoes (M.0),
(C.L), (M.1) e a condicao adicional∑∞k=1
Mk−1
Mk<∞, u e uma ultradistribuicao suportada em K ⊆ Rn
se, e somente se, existe constantes L e C tais que
|u(ξ)| 6 C exp(M(Lξ)), ξ ∈ Rn,
e, alem disso, para cada ε > 0 existe uma constante Cε > 0 tal que
|u(ζ)| 6 Cε exp(HK(ζ) + ε|ζ|), ζ ∈ Cn,
onde
u(ζ) := 〈e−iζ·x, u(x)〉
e a transformada de Fourier-Laplace de u,
M(r) := supk∈N
logrk
Mke HK(ζ) := sup
x∈KIm〈x, ζ〉.
2.2 A funcao associada M
A fim de introduzir os espacos alvo de nosso trabalho, considere um operador elıtico E ∈ Ψνe (X)
e uma sequencia M := Mkk∈N0(sequencia de numeros reais positivos Mkk∈N0
satisfazendo (M.0),
(M.1). (M.2) e (C.L).
25
Definicao 2.1. Fixada uma sequencia M := Mkk∈N0, define-se a funcao associada M : [0,∞)→ R,
pondo M(0) := 0 e
M(r) := supk∈N
logrνk
Mνk, ∀r > 0.
Observacao 2.4. M e uma funcao nao-decrescente.
Destacamos algumas propriedades da funcao M : [0,∞)→ R nos proximos Lemas.
Lema 2.2. Se λ` e um autovalor de E, entao para quaisquer q, L > 0 e δ ∈ (0, 1), existe C > 0 tal que
λq`e−δM(Lλ
1/ν` ) 6 C uniformemente em ` > 1. (2.2)
Demonstracao. Da definicao da funcao M, temos que
λq`e−δM(Lλ
1/ν` ) 6 λq`
M δνp
Lνpδλpδ`, ∀p ∈ N, (2.3)
pois, para cada p ∈ N, tem-se
M(Lλ1/ν` ) > log
(Lλ1/ν` )νp
Mνp= log
Lνpλp`Mνp
,
donde segue que, para δ > 0,
−δM(Lλ1/ν` ) 6 −δ log
Lνpλp`Mνp
= log
(Lνpλp`Mνp
)−δ= log
M δνp
Lνpδλpδ`
e, aplicando exp nesta desigualdade e multiplicando por λq` , obtemos (2.3). Em particular, usando a
desigualdade obtida logo acima com p satisfazendo pδ > q + 1 se Lνλ` > 1 e p = 1 se Lνλ` < 1, segue
que
λq`e−δM(Lλ
1/ν` ) 6 λq`
M δνp
Lν(q+1)λq+1`
=M δνp
Lν(q+1)λ`6 C
uniformemente em ` > 1, o que implica em (2.2).
Lema 2.3. Se infk∈NMνk
rνk6= 0, para todo r > 0, entao
supk∈N
rνk
Mνk=
(infk∈N
Mνk
rνk
)−1
.
Demonstracao. Por um lado, para todo p ∈ N, temos
1
infk∈NMνk
rνk
>1
Mνp
rνp
=rνp
Mνp
e, como a desigualdade acima e valida para todo p ∈ N, segue que
1
infk∈NMνk
rνk
> supp∈N
rνp
Mνp.
26
Por outro lado, para todo k ∈ N, e verdade que
1
supp∈Nrνp
Mνp
61rνk
Mνk
=Mνk
rνk,
o que implica em1
supp∈Nrνp
Mνp
6 infk∈N
Mνk
rνk=⇒ sup
p∈N
rνp
Mνp>
1
infk∈NMνk
rνk
.
Das duas desigualdades obtidas, segue o resultado.
Lema 2.4. Para todo r > 0 valem as igualdades
exp(M(r)) = supk∈N
rνk
Mνke exp(−M(r)) = inf
k∈N
Mνk
rνk.
Demonstracao. Da definicao de M(r), r > 0, temos
exp(M(r)) = exp
(supk∈N
logrνk
Mνk
)= sup
k∈N
(exp log
rνk
Mνk
)= sup
k∈N
rνk
Mνk.
Segue disto que
exp(−M(r)) =1
supk∈Nrνk
Mνk
Lem. 2.3= inf
k∈N
1rνk
Mνk
= infk∈N
r−νkMνk,
isto e,
infk∈N
r−νkMνk = exp(−M(r)), r > 0.
Lema 2.5. Para quaisquer ` ∈ N e L > 0, se L2 := L√AH
, sendo A e H como em (M.2), entao
e−12M(Lλ
1/ν` ) 6 e−M(L2λ
1/ν` ).
Demonstracao. De fato, temos
exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
)= exp
(−1
2supp∈N
log(Lλ
1/ν` )νp
Mνp
)= exp
(infp∈N
(−1
2log
(Lλ1/ν` )νp
Mνp
))
= infp∈N
exp logM
1/2νp
(Lλ1/ν` )
νp2
= infp∈N
M1/2νp
Lνp2 λ
p/2`
6 infq∈N
M1/22νq
Lνqλq`, (2.4)
com a ultima desigualdade vindo do fato de que inf A 6 inf B, quando B ⊆ A. Agora, utilizando a
propriedade (M.2), existem constantes positivas A e H tais que
M2νq 6 AH2νqM2νq.
27
Da desiguadade acima e de (2.4), para todo q ∈ N segue que
exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
)6
M1/22νq
Lνqλq`6
(AH2νqM2νq)
1/2
Lνqλq`=A
12HνqMνq
Lνqλq`
6Aνq2 HνqMνq
Lνqλq`=
Mνq
Lνq
(√A)νqHνq
λq`
=Mνq(L√AH
)νqλq`
=Mνq
Lνq2 λq`,
para L2 := L√AH
. Por fim, como a desigualdade acima vale para todo q ∈ N, tomando o ınfimo, tem-se
exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
)6 infq∈N
Mνq
Lνq2 λq`= exp
(−M(L2λ
1/ν` )
).
2.3 O espaco ΓM (X)
Estamos agora em condicoes de introduzir uma classe analoga a definicao de H. Komatsu para
uma variedade compacta C∞. Para tanto, considere fixados um operador elıtico E ∈ Ψνe (X) e uma
sequencia M := Mkk∈N0. Durante todo o trabalho, sempre vamos assumir algum dos casos:
Caso Roumieu: Existem constantes ` > 0 e C` > 0 tais que
k! 6 C``kMk, ∀k ∈ N0.
Caso Beurling: Para todo ` > 0 existe C` > 0 tal que
k! 6 C``kMk, ∀k ∈ N0.
Definicao 2.2. A classe das funcoes ultradiferenciaveis em X do tipo Roumieu, denotada por
ΓM (X), e o espaco das funcoes φ ∈ C∞(X) tais que existem constantes h > 0 e C > 0 satisfazendo
‖Ekφ‖L2(X) 6 ChνkMνk, ∀k ∈ N0. (2.5)
Observacao 2.5. Podemos fazer algumas observacoes sobre a Definicao 2.2.
(1) A princıpio, a notacao ΓM (X) pode parecer equivocada, uma vez que precisamos de um operador
E ∈ Ψνe (X) para definirmos tal classe. Entao deverıamos denotar
ΓE,M (X) :=φ ∈ C∞(X);∃h > 0,∃C > 0 t.q. ‖Ekφ‖L2(X) 6 ChνkMνk,∀k ∈ N0
.
Entretanto, veremos que ΓE,M (X) nao dependera da escolha de E.
28
(2) Em (2.5), tomamos L2-normas por motivos que ficarao mais claros no decorrer de nosso estudo.
Entretanto, o Teorema 2.1 estabelece que podemos utilizar L∞-normas em vez de L2-normas,
obtendo um resultado equivalente; alem disso, no lugar de utilizar apenas potencias de um unico
operador agindo em funcoes, podemos avaliar a acao de um referencial de campos vetoriais suave
em funcoes de ΓM (X).
(3) As classes da Defincao 2.2 sao equivalentes as classes de funcoes que pertencem aos correspondentes
espacos de funcoes em cartas de coordenadas locais (veja o item (v) do Teorema 2.1). Ademais, a
fim de cobrir os casos analıtico e Gevrey, pode-se supor X e E analıticos.
(4) A Definicao 2.2 nos da a vantagem de que nao precisamos nos referir as coordenadas locais para
introduzir a classe ΓM (X). Isso nos permite apresentar definicoes analogas para funcoes analıticas
e Gevrey, mesmo se a variedade X e apenas suave. Por exemplo, tomando Mk = k!, obtemos a
classe Γk!(X) das funcoes φ tais que
‖Ekφ‖L2(X) 6 Chνk(νk)! ∀k ∈ N0. (2.6)
Se X e E forem analıticos, mostraremos no Corolario 2.3 que tal espaco e precisamente o espaco
das funcoes analıticas em X.
Observacao 2.6. O caso Beurling e apresentado na Secao 2.3.
O Teorema a seguir resume algumas propriedades essenciais do espaco de funcoes do tipo
Roumieu ΓM (X). Tais propriedades formalizam a discussao iniciada na Observacao 2.5.
Teorema 2.1. Sao validas as seguintes propriedades:
(i) O espaco ΓM (X) indepedende da escolha do operador E ∈ Ψνe (X), isto e, φ ∈ ΓM (X) se, e
somente se, (2.5) vale para algum (e consequentemente para todo) operador pseudodiferencial elıtico
E ∈ Ψνe (X).
(ii) Tem-se φ ∈ ΓM (X) se, e somente se, existem constantes h > 0 e C > 0 tais que
‖Ekφ‖L∞(X) 6 ChνkMνk, ∀k ∈ N0. (2.7)
(iii) Seja ∂1, ..., ∂N um referencial de campos vetoriais suave em X (logo∑Nj=1 ∂
2j e elıtico). Entao
φ ∈ ΓM (X) se, e somente se, existem h > 0 e C > 0 tais que
‖∂αφ‖L∞(X) 6 Ch|α|M|α|, (2.8)
para todo multi-ındices α, sendo ∂α = ∂α1j1· · · ∂αKjK , com 1 6 j1, ..., jK 6 N e |α| = α1 + · · ·+ αK .
29
(iv) Tem-se φ ∈ ΓM (X) se, e somente se, existem h > 0 e C > 0 tais que
‖∂αφ‖L2(X) 6 Ch|α|M|α|, (2.9)
para todo multi-ındices α como em (iii).
(v) Assuma que X e E sao analıticos. Entao a classe ΓM (X) e preservada por mudancas de variaveis
analıticas, e consequentemente e bem definida em X. Alem disso, em toda carta de coordenada
local, esta consiste de funcoes pertencendo localmente a classe ΓM (Rn).
Demonstracao. (i) Considere um operador elıtico E ∈ Ψνe (X) e seja φ ∈ C∞(X) tal que
‖Ekφ‖L2(X) 6 ChνkMνk, ∀k ∈ N0. (2.10)
Mostraremos que se P e outro operador elıtico em Ψνe (X), entao podemos substituir E por P em (2.10).
Para tanto, para cada k ∈ N0, denote por E−k uma parametriz de Ek. Neste caso, temos
E−k Ek = I +Rk, (2.11)
sendo Rk um operador pseudodiferencial regularizante. Segue de (2.11) que
P kφ = (P k E−k)(Ekφ)− (P k Rk)(φ). (2.12)
Note que os operadores P k E−k e Pk Rk tem ordem zero, para cada k ∈ N0, logo sao
contınuos em L2(X). Pelo Teorema de Calderon-Vaillancourt, apos fazermos algumas adaptacoes (veja
[1] e o Teorema 5.2.23 de [17]), podemos encontrar constantes positivas A e B, que nao dependem de k
e nem de φ, mas somente de um numero finito de derivadas dos sımbolos de E e P , tais que
‖(P k E−k)(Ekφ)‖L2(X) 6 Ak‖Ekφ‖L2(X)
e
‖(P k Rk)(φ)‖L2(X) 6 Bk‖φ‖L2(X).
Assim, utilizando a desigualdade triangular e o fato de que M := Mkk∈N0 e nao-decrescente,
segue de (2.12) e das estimativas acima que
‖P kφ‖L2(X) 6 Ak‖Ekφ‖L2(X) +Bk‖φ‖L2(X)
6 AkChνkMνk +BkCMνk
= C(Akhνk +Bk)Mνk
6 C((A1/νh1)νk + (B1/νh1)νk)Mνk
6 2ChνkMνk
= C1hνkMνk,
30
sendo h1 := maxh, 1, C1 := 2C e h := maxA1/νh1, B1/νh1, 1.
(ii) Queremos mostrar que (2.5)⇔(2.7).
(2.7)=⇒(2.5). Por hipotese, existem R > 0 e h > 0 tais que ‖Ekφ‖L∞(X) 6 RhνkMνk, para
todo k ∈ N0. Pela Proposicao 1.1, existe c > 0 tal que ‖Ekφ‖L2(X) 6 c‖Ekφ‖L∞(X). Combinando estas
desigualdades, segue que
‖Ekφ‖L2(X) 6 c‖Ekφ‖L∞(X) 6 RchνkMνk = ChνkMνk,
para todo k ∈ N0, sendo C := cR, e isto implica em (2.5).
(2.5)=⇒(2.7). Seja φ ∈ ΓM (X), logo vale (2.5), ou seja, existem R > 0 e s > 0 tais
que ‖Ekφ‖L2(X) 6 RsνkMνk, para todo k ∈ N0. Se φ =∑∞j=0
∑djk=1 φ(j, k)ekj , utilizando (1.7), as
Proposicoes 1.3 e 1.4, a desigualdade triangular, o Lema 1.2 e a formula de Plancherel, segue que
‖φ‖L∞(X) = ‖∞∑j=0
dj∑k=1
φ(j, k)ekj ‖L∞(X)
6∞∑j=0
dj∑k=1
|φ(j, k)‖ekj ‖L∞(X)
=
d0∑k=1
|φ(0, k)|‖ek0‖L∞(X) +
∞∑j=1
dj∑k=1
|φ(j, k)|‖ekj ‖L∞(X)
(1.7)
6d0∑k=1
|φ(0, k)|(
max16k6d0
‖ek0‖L∞(X)
)︸ ︷︷ ︸
:=C′
+
∞∑j=1
dj∑k=1
|φ(j, k)|(C ′′λ
n−12νj
)
= C ′d0∑k=1
|φ(0, k)|+ C ′′∞∑j=1
dj∑k=1
|φ(j, k)|λn−12νj
Pro. 1.46 C ′
√d0︸ ︷︷ ︸
:=C
‖φ(0)‖HS + C ′′∞∑j=1
dj∑k=1
|φ(j, k)|λ`+n−12ν −`
j
Pro. 1.36 C‖φ(0)‖HS + C ′′
∞∑j=1
dj∑k=1
(|φ(j, k)|λ`j)2
1/2 ∞∑j=0
dj∑k=1
(λn−12ν −`j
)2
1/2
= C‖φ(0)‖HS + C ′′
∞∑j=1
dj∑k=1
|λ`j φ(j, k)|21/2 ∞∑
j=0
dj∑k=1
λn−1ν −2`
j
1/2
Lem. 1.2= C‖φ(0)‖HS + C ′′
∞∑j=1
dj∑k=1
|E`φ(j, k)|21/2 ∞∑
j=0
λn−1ν −2`
j
dj∑k=1
1
1/2
= C‖φ(0)‖HS + C ′′
∞∑j=1
‖E`φ(j)‖2HS
1/2 ∞∑j=0
djλn−1ν −2`
j
1/2
︸ ︷︷ ︸converge por (1.5)
6 C‖φ‖L2(X) + C?‖E`φ‖L2(X),
31
com C? := C ′′(∑∞
j=0 djλn−1ν −2`
j
)1/2
e a ultima desigualdade decorrendo da formula de Plancherel e do
fato de que a serie no ultimo termo converge ao tomarmos ` suficientemente grande (devido a (1.5)).
Portanto, obtemos
‖φ‖L∞(X) 6 C‖φ‖L2(X) + C?‖E`φ‖L2(X). (2.13)
Usando (2.13) e a propriedade (M.1) da sequencia M = Mkk∈N0repetidamente, tem-se,
para todo m ∈ N0,
‖Emφ‖L∞(X) 6 C‖Emφ‖L2(X) + C?‖Em+`φ‖L2(X)
6 CRsνmMνm + C?Rsν(m+`)Mν(m+`)
6 CRsνmMνm + C?Rsνmsν`Arν(m+`)−1Mν(m+`)−1
6 CRsνmMνm + C?Rsνmsν`Arν(m+`)−1Arν(m+`)−2Mν(m+`)−2
= CRsνmMνm + C?Rsνmsν`A2r2ν(m+`)−1−2Mν(m+`)−2
...
6 CRsνmMνm + C?Rsνmsν`Aν`rν`ν(m+`)−1−···−ν`Mνm
= CRsνmMνm + C?Rsνmsν`Aν`(rν`)νmrν`2−(1+···+ν`)Mνm
= CRsνmMνm + C?R(srν`)νm(sA)ν`rν`2−(1+···+ν`)Mνm
6(CR+ C?(sA)ν`rν`
2−(1+···+ν`))hνmMνm
= ChνmMνm
com C := CR+ C?(sA)ν`rν`2−(1+···+ν`) e h := maxs, srν`, e isto implica na validade de (2.7).
De maneira totalmente analoga a demonstracao feita em (ii), prova-se que sao equivalentes
(2.8) e (2.9), o que sera util para demonstrarmos os demais itens.
(iii) Aqui, precisamos mostrar que (2.5)⇔(2.8).
(2.8)=⇒(2.5). Se mostrarmos que (2.8)⇒(2.7), por (ii) teremos(2.8)⇒(2.5). Seja φ ∈ C∞(X)
e suponha que vale (2.8), ou seja, existem C > 0 e s > 0 tais que ‖∂αφ‖L∞(X) 6 Cs|α|M|α|, para todo
α.
Considere o operador elıtico L :=∑Nj=1 ∂
2j , o qual pertence ao espaco Ψ2
e(X). Entao, com
Yj ∈ ∂iNi=1, para j = 1, ..., |α|, para todo x ∈ X e todo k ∈ N0, utilizando o Teorema multinomial
adaptado a nao comutatividade de campos vetoriais, podemos fazer a estimativa
|Lkφ(x)| = |(N∑j=1
∂2j )kφ(x)| 6
∑|α|=k
k!
α!|Y 2
1 · · ·Y 2|α|φ(x)|
(2.8)
6∑|α|=k
k!
α!Cs2|α|M2|α|
= Cs2kM2k
∑|α|=k
k!
α!
(1.2)= Cs2kM2kN
k = C(s√N)2kM2k = Ch2kM2k,
32
sendo h := s√N . Da desigualdade obtida acima, segue que
‖Lkφ‖L∞(X) = supx∈X|Lkφ(x)| 6 Ch2kM2k,
para todo k ∈ N0, donde vale (2.7), implicando, por (ii), em (2.5). Portanto, segue do item (i) que (2.5)
vale para todo operador pseudodiferencial elıtico em Ψ2e(X).
Finalmente, mostremos que φ ∈ ΓM (X). Para tanto, note que Lν/2 ∈ Ψνe (X), entao segue
pelo item (i) que Lν/2 tambem define a classe ΓM (X). Ainda pelos itens anteriores, sabe-se que ΓM (X)
independe da norma tomada (em L2 ou L∞). Observe que
‖(Lν/2)kφ‖2L2(X) = ‖Lνk/2φ‖2L2(X) = 〈Lνk/2φ,Lνk/2φ〉
= 〈φ,Lνkφ〉
6 ‖φ‖L2(X)‖Lνkφ‖L2(X)
6 CA2νkM2νk.
Pela propriedade (M.2), temos que
M2νk 6 A′H2νkM2νk,
e portanto, concluımos que existem C ′ > 0 e h > 0 tais que
‖(Lν/2)kφ‖L2(X) 6 C ′hνkMνk,
o que implica em φ ∈ ΓM (X).
(2.5)=⇒(2.8). Como (2.8) ⇔ (2.9), basta mostrar que (2.5)⇒(2.9). Seja φ ∈ C∞(X) e
suponha que vale (2.5), isto e, existem C > 0 e s > 0 tais que ‖Ekφ‖L2(X) 6 CsνkMνk, para todo k ∈ N0.
Denotando por E−k uma parametriz de Ek e por Rk o termo regularizante tal que E−k Ek = I +Rk,
podemos escrever
∂α = Pα Ek +Qα,k,
sendo Pα := ∂α E−k e Qα,k := ∂α Rk.
Por um argumento analogo ao que utilizamos na demonstracao de (i), existem H1 > 0 e H2 > 0
tais que ‖Pαφ‖L2(X) 6 Hk1 ‖φ‖L2(X) e ‖Qα,kφ‖L2(X) 6 Hk
2 ‖φ‖L2(X), sempre que |α| 6 νk. Portanto,
temos
‖∂αφ‖L2(X) 6 ‖(Pα Ek)φ‖L2(X) + ‖Qα,kφ‖L2(X)
6 Hk1 ‖Ekφ‖L2(X) +Hk
2 ‖φ‖L2(X)
6 C ′hνkMνk
com C ′ e h independentes de k e de α, donde segue a validez de (2.9) e, consequentemente, a de (2.8).
33
(iv) Queremos mostrar que (2.5)⇔(2.9). Como (2.5)(iii)⇔ (2.8) e (2.8)⇔(2.9), segue imediata-
mente o resultado desejado.
(v) Dada φ ∈ ΓM (X), representemos por ψ alguma localizacao de φ em Rn, isto e, existe
uma carta de coordenadas (U,ϕ) tal que ψ = φ ϕ−1 em ϕ(U). Uma vez que vale (2.8), o resultado
segue diretamente ao utilizarmos a desigualdade Mk > Ck! e a regra da cadeia (Nao vamos nos ater
aos detalhes dos calculos, pois nao temos o objetivo de revisitar todas as propriedades e resultados
estabelecidos para localizacoes em variedades; isso pode ser encontrado nas referencias [15] e [17]).
Exemplo 2.2. Este exemplo diz respeito a parte (v) do Teorema 2.1. Note que a classe Gevrey de ordem
s > 1, γs(X), de funcoes ultradiferenciaveis pode ser vista como γs(X) = ΓM (X) com M = Mkk∈N0
tal que Mk = (k!)s, para s > 1. Pelo Teorema 2.1, parte (v), este e o espaco das funcoes Gevrey φ em
X, isto e, funcoes que pertencem as classes Gevrey γs(U) em toda carta de coordenada local, ou ainda,
tais que existem constantes h > 0 e C > 0 satisfazendo
‖∂αψ‖L∞(U) 6 Ch|α|(|α|!)s,
para toda localizacao ψ de φ em X e para todo multi-ındices α. Se s = 1, este e o espaco das funcoes
analıticas.
Nosso proximo passo e caracterizar a classe de funcoes ultradiferenciaveis do tipo Roumieu
ΓM (X) em termos dos autovalores do operador E ∈ Ψν+e(X) atraves de estimativas sobre os coeficientes
de Fourier. Aqui estamos supondo que E e positivo definido a fim de utilizar a teoria desenvolvida na
secao 1.4. Assumimos que E e X sao apenas suaves e nao necessariamente analıticos (deixaremos
explıcito quando se fizer necessario assumir analiticidade).
Teorema 2.2. Tem-se φ ∈ ΓM (X) se, e somente se, existem constantes C > 0 e L > 0 tais que
‖φ(`)‖HS 6 C exp(−M(Lλ
1/ν` )
), ∀` > 1.
Demonstracao. Lembremos que, dada φ ∈ C∞(X), tem-se
φ ∈ ΓM (X)⇐⇒ ∃C > 0,∃h > 0 t.q. ‖Emφ‖L2(X) 6 ChνmMνm, ∀m ∈ N0.
Suficiencia: Seja φ ∈ ΓM (X). Queremos provar que, para todo ` ∈ N, existem C > 0 e
L > 0 tais que ‖φ(`)‖HS 6 C exp(−M(Lλ
1/ν` )
). Dado m ∈ N0, pela formula de Plancherel, temos que
‖Emφ‖2L2(X) =
∞∑`=0
‖Emφ(`)‖2HS.
34
Do Lema 1.2, temos que Emφ(`) = λm` φ(`); logo,
‖Emφ‖2L2(X) =
∞∑`=0
‖λm` φ(`)‖2HS =
∞∑`=1
λ2m` ‖φ(`)‖2HS.
Como φ ∈ ΓM (X), existem C > 0 e h > 0 tais que ‖Emφ‖L2(X) 6 ChνmMνm, o que nos da
∞∑`=1
λ2m` ‖φ(`)‖2HS = ‖Emφ‖2L2(X) 6 (ChνmMνm)2
=⇒ ∀` > 1, (λm` ‖φ(`)‖HS)2 6 (ChνmMνm)2,
donde obtemos
‖φ(`)‖HS 6ChνmMνm
λm`, ∀` > 1. (2.14)
Defina r := λ1/ν` /h e note que de (2.14) podemos fazer
‖φ(`)‖HSC
6Mνm(λ1/ν`
h
)νm =Mνm
rνm,
e utilizando o Lema 2.4
‖φ(`)‖HSC
6 infk∈N
Mνk
rνkLem. 2.4
= exp(−M(r)) = exp(−M(h−1λ
1/ν` )
),
o que implica, tomando L := h−1, que
‖φ(`)‖HS 6 C exp(−M(Lλ
1/ν` )
),
para todo ` > 1.
Necessidade: Seja φ ∈ C∞(X), de modo que existam C > 0 e L > 0 tais que
‖φ(`)‖HS 6 C exp(−M(Lλ
1/ν` )
), ∀` ∈ N.
Precisamos mostrar φ ∈ ΓM (X), ou seja, que existem constantes R > 0 e h > 0 tais que
‖Emφ‖L2(X) 6 RhνmMνm, para todo m ∈ N0. Pela formula de Plancherel e por hipotese, temos
‖Emφ‖2L2(X) =
∞∑j=0
‖Emφ(j)‖2HS =
∞∑j=0
λ2mj ‖φ(j)‖2HS
=
∞∑j=1
λ2mj ‖φ(j)‖2HS 6
∞∑j=1
λ2mj
[C exp
(−M(Lλ
1/νj )
)]2= C ′
∞∑j=1
λ2mj exp
(−M(Lλ
1/νj )
)exp
(−M(Lλ
1/νj )
), (2.15)
com C ′ = C2.
35
Para cada j ∈ N, note que
λ2mj exp
(−M(Lλ
1/νj )
)=
λ2mj
supk∈N(Lλ
1/νj )νk
Mνk
6λ2mj
(Lλ1/νj )νp
Mνp
=λ2mj
LνpλpjMνp,
para todo p ∈ N. Em particular, tomando p = 2m + 1 na desigualdade acima e usando a propriedade
(M.2) da sequencia M = Mkk∈N0 , segue que
λ2mj exp
(−M(Lλ
1/νj )
)6
λ2mj
Lν(2m+1)λ2m+1j
Mν(2m+1)
(M.2)
6 λ−1j Ah2νmM2νm,
para A, h > 0. Voltando em (2.15),
‖Emφ‖2L2(X) 6 C ′∞∑j=1
λ−1j Ah2νmM2νm exp
(−M(Lλ
1/νj )
)= C ′Ah2νmM2νm
∞∑j=1
λ−1j exp
(−M(Lλ
1/νj )
). (2.16)
Para cada j ∈ N,
λ−1j exp
(−M(Lλ
1/νj )
)6 λ−1
j
Mνp
λpjLνp
=Mνp
Lνp1
λp+1j
,
para todo p ∈ N. De (1.5), sabemos que∑∞j=1
dj(1+λj)q
<∞⇔ q > nν ; entao, tome p grande o suficiente,
de modo que para cada j ∈ N, tenhamos
λp+1j >
(1 + λj)q
dj⇐⇒ 1
λp+1j
6dj
(1 + λj)q.
Logo, pelo teste de comparacao, a serie∑∞j=1
1
λp+1j
converge.
Voltando em (2.16) e usando a propriedade (M.2) da sequencia M = Mkk∈N0 , obtemos
‖Emφ‖2L2(X) 6 C ′Ah2νmM2νm
∞∑j=1
Mνp
Lνp1
λp+1j
= C ′Ah2νmM2νmMνp
Lνp
∞∑j=1
1
λp+1j︸ ︷︷ ︸
=C′′<∞
=C ′C ′′AMνp
Lνph2νmM2νm
6 Rh2νmM2νm,
o que implica em ‖Emφ‖L2(X) 6 RhνmMνm, ou seja, φ ∈ ΓM (X).
2.3.1 A classe γs(X)
A partir do Teorema 2.2 podemos obter a caracterizacao para a classe Gevrey
γs(X) = Γ(k!)s(X), s ∈ [1,∞),
36
em que M = (k!)sk∈N0. Para verificar isto, mostremos primeiramente que
M(r) ' r1/s.
De fato, usando a desigualdade tN
N ! 6 et, para N ∈ N0 e t ∈ R, que decorre da expansao de
Taylor da funcao exponencial, temos
M(r) = supk∈N
logrνk
((νk)!)s= sup
k∈Nlog
((rνk)1/s
(νk)!
)s6 sup
`∈Nlog
((r1/s)`
`!
)s6 sup
`∈Nlog(er
1/s
)s
= sr1/s. (2.17)
Por outro lado, temos a desigualdade (veja a formula (3.20) de [2])
infp∈N
(2p)2psr−2p 6 exp(− s
8er1/s
).
Analogamente, para quaisquer ν ∈ N e k > ν, usando a desigualdade (k + ν)k+ν 6 (4ν)kkk, obtemos a
desigualdade (basta seguir a mesma ideia da deducao de (3.20) em [2])
infp∈N
(νp)νpsr−νp 6 exp(− s
4νer1/s
).
Por fim, utilizando a desigualdade acima e p! 6 pp, segue que
exp(M(r)) = exp
(supk∈N
logrνk
((νk)!)s
)= sup
k∈Nexp
(log
rνk
((νk)!)s
)= sup
k∈N
1
((r1/s)−νk(νk)!)sLem. 2.3
=1
infk∈N((r1/s)−νk(νk)!)s
>1
infk∈N((r1/s)−νk(νk)νk)s=
1
infk∈N (r−νk(νk)νks)
>1
exp(− s
4νer1/s) = exp
( s
4νer1/s
),
e segue pela monotonicidade da funcao exponencial que
s
4νer1/s 6 M(r). (2.18)
Combinando (2.17) e (2.18), obtemos
s
4νer1/s 6 M(r) 6 sr1/s. (2.19)
Podemos entao formular uma caracterizacao para os espacos Gevrey:
Teorema 2.3. Suponha que X e E sao analıticos e seja s ∈ [1,∞). Entao, temos que φ ∈ γs(X) se, e
somente se, existem constantes C > 0 e L > 0 tais que
‖φ(`)‖HS 6 C exp(−Lλ1sν
` ), ∀` > 1.
Em particular, para s = 1, recuperamos a caracterizacao de funcoes analıticas dada em (1.6).
37
Demonstracao. A primeira parte da demonstracao segue imediatamente do Teorema 2.2 juntamente
com o fato de que M(r) ' r1/s (ver (2.19)) para a classe γs(X), s > 1. Portanto, basta provar (1.6).
Sejam X uma variedade compacta fechada e E um operador diferencial analıtico, elıtico, positivo e de
ordem ν. Considere φk e λk as respectivas autofuncoes e autovalores de E, isto e,
Eφk = λkφk, ∀k.
De acordo com [18], uma funcao suave f =∑∞j=0 fjφj e analıtica se, e somente se, existe uma
constante C > 0 tal que, para todo k > 0, temos
∞∑j=0
λ2kj |fj |2 6 ((νk)!)2C2k+2,
que pode ser vista como a formula de Plancherel
‖Ekf‖2L2(X) =
∞∑j=0
λ2kj |fj |2 6 ((νk)!)2C2k+2,
pois f =∑j fjφj implica em
Ekf =∑j
fjEkφj =
∑j
fjλkjφj =⇒ ‖Ekf‖2L2(X) =
∑j
λ2kj |fj |2.
Em virtude da Definicao 2.2, para a classe de funcoes analıticas, podemos tomar Mk = k! e,
pelo Teorema 2.2, f e analıtica se, e somente se,
‖f(j)‖HS 6 C exp(−Lλ1/νj ) ou |fj | 6 C ′ exp(−L′λ1/ν
j ),
com M(r) = supp log rνp
(νp)! ' r, considerando (2.19).
Observacao 2.7. No Teorema 2.3 assumimos X e E analıticos com o objetivo de interpretar o espaco
γs(X) localmente como um espaco Gevrey, baseando-se na ideia do item (v) do Teorema 2.1.
2.4 O espaco Γ(M )(X)
Finalizamos este capıtulo introduzindo as classes de funcoes do tipo Beurling.
Definicao 2.3. A classe das funcoes ultradiferenciaveis em X do tipo Beurling, denotada por
Γ(M )(X), e o espaco das funcoes φ ∈ C∞(X) tais que para cada h > 0 existe uma constante Ch > 0
satisfazendo
‖Ekφ‖L2(X) 6 ChhνkMνk, ∀k ∈ N0.
O Teorema a seguir caracteriza os espacos de funcoes do tipo Beurling de modo semelhante
ao que e feito no Teorema 2.2.
38
Teorema 2.4. Tem-se φ ∈ Γ(M )(X) se, e somente se, para todo L > 0 existe CL > 0 tal que
‖φ(`)‖HS 6 CL exp(−M(Lλ
1/ν` )
), ∀` > 1. (2.20)
Demonstracao. A demonstracao deste resultado segue as mesmas ideias apresentadas para a prova do
Teorema 2.2, fazendo-se as devidas modificacoes. Sendo assim, mostramos apenas que a estimativa
(2.20) e necessaria. Para tanto, seja L > 0 qualquer. Fixado m ∈ N0, pela formula de Plancherel, dada
φ ∈ Γ(M )(X) temos que
‖Emφ‖2L2(X) =
∞∑j=0
‖Emφ(j)‖2HS =
∞∑j=1
λ2mj ‖φ(j)‖2HS,
donde segue que, para todo j ∈ N,
λ2mj ‖φ(j)‖2HS 6 ‖Emφ‖2L2(X) =⇒ ‖φ(j)‖HS 6 λ−mj ‖Emφ‖L2(X).
Como φ ∈ Γ(M )(X), existe CL > 0 tal que
‖Ekφ‖L2(X) 6 CLLνkMνk, ∀k ∈ N0,
logo
‖φ(j)‖HS 6 CLLνmMνmλ
−mj = CLL
2νm Mνm
(Lλ1/νj )νm
6 CLMνm
(Lλ1/νj )νm
o que implica em
‖φ(j)‖HSCL
6Mνm
(Lλ1/νj )νm
,
com CL := CL ·max1, L2νm. Portanto, segue que
‖φ(j)‖HSCL
6 infk∈N
Mνk
(Lλ1/νj )νk
= exp(−M(Lλ
1/νj )
),
e assim
‖φ(j)‖HS 6 CL exp(−M(Lλ
1/νj )
), ∀j > 1.
39
Capıtulo 3
ULTRADISTRIBUICOES
Neste capıtulo estudamos os espacos de ultradistribuicoes, ou seja, dos funcionais lineares
contınuos sobre ΓM (X), no caso Roumieu, e sobre Γ(M )(X), no caso Beurling. O principal objetivo
e caracterizar tais espacos atraves dos coeficientes de Fourier (Teoremas 3.3 e 3.4). Para tanto, se faz
necessaria a construcao dos espacos α-duais, apresentados a seguir.
3.1 α-duais
Em primeiro lugar, sera apresentada a definicao formal do α-dual do espaco ΓM (X) e, em
seguida, estabelecemos um resultado que nos da caracterizacoes alternativas de elementos do α-dual.
Definicao 3.1. O α-dual do espaco ΓM (X) de funcoes ultradiferenciaveis, denotado por [ΓM (X)]∧,
e definido como v = v``∈N0;
∞∑`=0
d∑j=1
|(v`)j ||φ(`, j)| <∞, v` ∈ Cd` ,∀φ ∈ ΓM (X)
.
Podemos ainda usar a notacao v(`, j) := (v`)j (a j-esima coordenada do vetor v` ∈ Cd`) e
‖v`‖HS =
d∑j=1
|v(`, j)|21/2
.
Observacao 3.1. Cada elemento v ∈ [ΓM (X)]∧ e uma sequencia de vetores da forma v = v``∈N0
tal que, para cada ` ∈ N0, v` ∈ Cd` . Por exemplo,
v0 = ((v0)1, (v0)2, ..., (v0)d0) = (v(0, 1), v(0, 2), ..., v(0, d0)) ∈ Cd0
v1 = ((v1)1, (v1)2, ..., (v1)d1) = (v(1, 1), v(1, 2), ..., v(1, d1)) ∈ Cd1
v2 = ((v2)1, (v2)2, ..., (v2)d2) = (v(2, 1), v(2, 2), ..., v(2, d2)) ∈ Cd2... .
Definimos o segundo dual de ΓM (X), denotado por ([ΓM (X)]∧)∧
, como o espaco das sequencias
w = w``∈N0, com w` ∈ Cd` , tais que
∞∑`=0
d∑j=1
|(w`)j ||(v`)j | <∞, ∀v ∈ [ΓM (X)]∧.
40
Observacao 3.2. Uma discussao acerca do α-dual para o caso Beurling e apresentada na Secao 3.2.1.
O proximo resultado, e o mais importante desta secao, nos fornece caracterizacoes alternativas
para [ΓM (X)]∧.
Teorema 3.1. As afirmacoes a seguir sao equivalentes.
(i) v ∈ [ΓM (X)]∧.
(ii) Para todo L > 0 tem-se∞∑`=1
exp(−M(Lλ
1/ν` )
)‖v`‖HS <∞.
(iii) Para todo L > 0, existe K = KL > 0 tal que
‖v`‖HS 6 K exp(M(Lλ
1/ν` )
)vale para todo ` ∈ N.
Demonstracao. (i)=⇒(ii). Dados v ∈ [ΓM (X)]∧ e L > 0, seja φ uma funcao em C∞(X) satisfazendo
φ(`, j) = exp(−M(Lλ
1/ν` )
), ∀` ∈ N0, 1 6 j 6 d`.
Afirmacao: φ ∈ ΓM (X). De fato, por (1.4), existem q ∈ N e C > 0 tais que√d` 6 Cλq` ,∀` > 1,
entao
‖φ(`)‖HS =
d∑j=1
|φ(`, j)|21/2
=
d∑j=1
(exp
(−M(Lλ
1/ν` )
))2
1/2
= exp(−M(Lλ
1/ν` )
)d∑j=1
1
1/2
= exp(−M(Lλ
1/ν` )
)√d`
(1.4)
6 Cλq` exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
)exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
),
para todo ` > 1. Pela estimativa (2.2), temos que λq` exp(− 1
2M(Lλ1/ν` )
)6 C uniformemente em
` > 1; logo,
‖φ(`)‖HS 6 C ′ exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
)vale para todo ` > 1. Pelo Lema 2.5, para L2 = L√
AH, temos que
exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
)6 exp
(−M(L2λ
1/ν` )
),
donde obtemos
‖φ(`)‖HS 6 C ′ exp(−M(L2λ
1/ν` )
), ∀` > 1,
o que nos da φ ∈ ΓM (X) pelo Teorema 2.2, e isto prova a afirmacao.
41
Usando a desigualdade (1.8) e o fato de que φ ∈ ΓM (X), segue que
∞∑`=1
exp(−M(Lλ
1/ν` )
)‖v`‖HS 6
∞∑`=1
exp(−M(Lλ
1/ν` )
) d∑j=1
|v(`, j)|
=
∞∑`=1
d∑j=1
exp(−M(Lλ
1/ν` )
)|v(`, j)|
=
∞∑`=1
d∑j=1
|φ(`, j)||v(`, j)| <∞,
com < ∞ vindo da hipotese (i), uma vez que φ ∈ ΓM (X) e v ∈ [ΓM (X)]∧, donde segue a validez de
(ii).
(ii)=⇒(i). Seja v = (v`)`∈N0, com v` ∈ Cd` , de modo que
∞∑`=1
exp(−M(Lλ
1/ν` )
)‖v`‖HS <∞,
para todo L > 0. Devemos mostrar que v ∈ [ΓM (X)]∧, ou seja, que∑∞`=0
∑d`j=1 |(v`)j ||φ(`, j)| < ∞,
para toda φ ∈ ΓM (X). Para tanto, seja φ ∈ ΓM (X). Pelo Teorema 2.2, existem C > 0 e L > 0 tais que
‖φ(`)‖HS 6 C exp(−M(Lλ
1/ν` )
), ∀` > 1.
Entao, podemos fazer a seguinte estimativa utilizando a hipotese e a desigualdade de Cauchy-
Schwarz (C.S.),
∞∑`=0
d∑j=1
|(v`)j ||φ(`, j)|(C.S.)
6∞∑`=0
‖v`‖HS‖φ(`)‖HS
= ‖v0‖HS‖φ(0)‖HS +
∞∑`=1
‖v`‖HS‖φ(`)‖HS
6 ‖v0‖HS‖φ(0)‖HS︸ ︷︷ ︸<∞
+C
∞∑`=1
‖v`‖HS exp(−M(Lλ
1/ν` )
)︸ ︷︷ ︸
<∞, por hipotese
< ∞,
donde segue que v ∈ [ΓM (X)]∧.
(ii)=⇒(iii). Esta implicacao e imediata devido a convergencia da serie, que e nossa hipotese.
De fato, se∞∑`=1
exp(−M(Lλ
1/ν` )
)‖v`‖HS <∞,
para todo L > 0, entao existe K = KL > 0 tal que, para todo ` > 1
exp(−M(Lλ
1/ν` )
)‖v`‖HS 6 K,
42
o que implica em
‖v`‖HS 6 K exp(M(Lλ
1/ν` )
), ∀` ∈ N,
donde segue (iii).
(iii)=⇒(ii). Seja v ∈ Cd` , ` > 1. Dado L > 0, tomando L2 := L√AH
como no Lema 2.5, temos
que
exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
)6 exp
(−M(L2λ
1/ν` )
), (3.1)
e para tal L2, segue da hipotese que existe K = KL2 > 0 tal que
‖v`‖HS 6 K exp(M(L2λ
1/ν` )
)⇐⇒ exp
(−M(L2λ
1/ν` )
)‖v`‖HS 6 K. (3.2)
Alem disso, por (2.4), temos
exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
)6
M1/2νp
Lνp2 λ
p/2`
, ∀p ∈ N.
Por fim, da desigualdade acima, (3.1) e (3.2), segue que
∞∑`=1
exp(−M(Lλ
1/ν` )
)‖v`‖HS
=
∞∑`=1
exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
)exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
)‖v`‖HS
(3.1)
6∞∑`=1
exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
)exp
(−M(L2λ
1/ν` )
)‖v`‖HS
(3.2)
6 K
∞∑`=1
exp
(−1
2M(Lλ
1/ν` )
)6 K
∞∑`=1
M1/2νp
Lνp2 λ
p/2`
= KM
1/2νp
Lνp2
∞∑`=1
1
λp/2`
<∞
sendo que a serie∑∞`=1
1
λp/2`
converge ao tomarmos p grande o suficiente, utilizando (1.5) e o criterio de
comparacao.
3.2 O espaco Γ′M (X)
Finalmente, introduzimos o espaco das ultradistribuicoes sobre ΓM (X).
Definicao 3.2. A classe das ultradistribuicoes sobre ΓM (X), denotada por Γ′M (X), e o conjunto
de todos os funcionais lineares u : ΓM (X)→ C tais que para todo ε > 0 existe Cε > 0 satisfazendo
|u(φ)| 6 Cε supα∈Nn0
ε|α|M−1ν|α| sup
x∈X|E|α|φ(x)|, ∀φ ∈ ΓM (X).
Observacao 3.3. Podemos usar a notacao alternativa 〈u, φ〉 := u(φ).
43
Definicao 3.3 (Convergencia em ΓM (X)). Considere uma sequencia φmm∈N ⊆ ΓM (X) e uma
funcao φ ∈ ΓM (X). Entao, φm → φ, quando m→∞, se existe ε > 0 tal que
supα∈Nn0
ε|α|M−1ν|α| sup
x∈X|E|α|(φm − φ)(x)| → 0, quando m→∞.
Observacao 3.4. Temos ainda que u ∈ Γ′M (X) se, e somente se, u(φm) → 0 quando m → ∞, para
toda sequencia φmm∈N ⊆ ΓM (X) convergindo para zero em ΓM (X).
Definicao 3.4. Definimos os coeficientes de Fourier de u ∈ Γ′M (X) pondo
u(`, k) := u(ek` ) e u(`) := u(e`) :=
u(`, 1)
...
...
u(`, d`)
∈ Cd` ,
para ` ∈ N0 e 1 6 k 6 d`. Define-se ainda
‖u(`)‖HS :=
(d∑k=1
|u(`, k)|2)1/2
, ∀` ∈ N0.
Definicao 3.5. Sejam u``∈N uma sequencia em Γ′M (X) e u ∈ Γ′M (X). Dizemos que u` converge
para u em Γ′M (X) se uj(φ) converge para u(φ) em C, para toda φ ∈ ΓM (X).
No que segue, vamos provar que o espaco de ultradistribuicoes Γ′M (X) coincide com o α-dual
[ΓM (X)]∧, no sentido de identificacao de elementos em cada um dos espacos. Em outras palavras, a
partir de qualquer v ∈ [ΓM (X)]∧ e possıvel determinar um elemento de Γ′M (X) e, reciprocamente, a
partir de qualquer elemento v ∈ Γ′M (X) e possıvel determinar um elemento de [ΓM (X)]∧.
Teorema 3.2. v ∈ Γ′M (X) se, e somente se, v ∈ [ΓM (X)]∧.
Demonstracao. (⇐=). Seja v ∈ [ΓM (X)]∧ arbitrario. Dada uma funcao φ ∈ ΓM (X), vamos definir
v(φ) :=
∞∑`=0
φ(`) · v` =
∞∑`=0
d∑j=1
φ(`, j)(v`)j .
Pelo Teorema 2.2, como φ ∈ ΓM (X), existem constantes C > 0 e L > 0 tais que
‖φ(`)‖HS 6 C exp(−M(Lλ
1/ν` )
), ∀` ∈ N.
44
Alem disso, pelo Teorema 3.1, tem-se
|v(φ)| =
∣∣∣∣∣∣∞∑`=0
d∑j=1
φ(`, j)(v`)j
∣∣∣∣∣∣ 6∞∑`=0
d∑j=1
|φ(`, j)||(v`)j |
6∞∑`=0
‖φ(`)‖HS‖v`‖HS = ‖φ(0)‖HS‖v0‖HS +
∞∑`=1
‖φ(`)‖HS‖v`‖HS
6 ‖φ(0)‖HS‖v0‖HS︸ ︷︷ ︸<∞
+C
∞∑`=1
exp(−M(Lλ
1/ν` )
)‖v`‖HS︸ ︷︷ ︸
<∞, pelo Teorema 3.1
<∞
o que nos diz que v(φ) e bem definido.
Para verificar que v e contınuo, seja φj → φ em ΓM (X) quando j →∞, isto e,
supαε|α|M−1
ν|α| supx∈X|E|α|(φj(x)− φ(x))| → 0 quando j →∞.
Segue que
supαε|α|M−1
ν|α| supx∈X|E|α|(φj(x)− φ(x))| = sup
αε|α|M−1
ν|α|‖E|α|(φj − φ)‖L∞(X) 6 Cj ,
com Cj → 0 quando j →∞. Isto implica que para todo α
ε|α|M−1ν|α|‖E
|α|(φj − φ)‖L∞(X) 6 Cj
=⇒ ‖E|α|(φj − φ)‖L∞(X) 6 CjAν|α|Mν|α|,
com Cj → 0 quando j →∞ e A := ε−1/ν . Segue da prova do Teorema 2.2 e do Lema 1.2 que
‖φj(`)− φ(`)‖HS = ‖(φj − φ)(`)‖HS 6 C ′j exp(−M(Lλ
1/ν` )
),
com C ′j → 0. Logo
|v(φj)− v(φ)| = |v(φj − φ)|
=
∣∣∣∣∣∞∑`=0
d∑k=1
(φj − φ)(`, k)(v`)k
∣∣∣∣∣6
∞∑`=0
d∑k=1
|(φj − φ)(`, k)||(v`)k|
(C.S.)
6∞∑`=0
‖(φj − φ(`)‖HS‖v`‖HS
6 C ′j
∞∑`=0
exp(−M(Lλ
1/ν` )
)‖v`‖HS → 0,
quando j →∞, o que implica em v ∈ Γ′M (X).
45
(=⇒). Seja v ∈ Γ′M (X). Por definicao, para todo ε > 0 existe Cε > 0 tal que
|v(φ)| 6 Cε supα∈Nn0
ε|α|M−1ν|α| sup
x∈X|E|α|φ(x)|, ∀ ∈ ΓM (X).
Em particular, tomando φ = ej` e usando a desigualdade (1.7), segue que
|v(ej`)| 6 Cε supα∈Nn0
ε|α|M−1ν|α| sup
x∈X|E|α|ej`(x)|
= Cε supα∈Nn0
ε|α|M−1ν|α| sup
x∈X|λ|α|` ej`(x)|
= Cε supα∈Nn0
ε|α|M−1ν|α|λ
|α|` sup
x∈X|ej`(x)|
(1.7)
6 C ′ε supα∈Nn0
ε|α|M−1ν|α|λ
|α|` λ
n−12ν
`
= C ′ε supα∈Nn0
ε|α|λ|α|+k`
Mν|α|, (3.3)
para k := n−12ν . Usando a propriedade (M.1) da sequencia M = Mkk∈N0 , podemos fazer a estimativa
(utilizando o Lema 2.1)
Mν(|α|+k) 6 AHν(|α|+k)−1Mν(|α|+k)−1
6 · · ·
6 AνkHνkν(|α|+k)−(1+···+νk)Mν|α|
= AνkHνkν|α|+ν2k2H−(1+···+νk)Mν|α|
= Aνkhνk|α|+νk2
Hf(ν,k)Mν|α|,
com h := Hν e f(ν, k) := −(1 + · · ·+ νk) independente de α. Logo a desiguadade acima implica em
1
Mν|α|6AνkHf(ν,k)hνk|α|+νk
2
Mν(|α|+k).
Esta desigualdade e (3.3) implicam em
|v(ej`)| 6 C ′ε supα∈Nn0
ε|α|+k−kλ|α|+k` AνkHf(ν,k)hνk|α|+νk
2
Mν(|α|+k)
= C ′εε−kAνkHf(ν,k)︸ ︷︷ ︸
:=C′′ε
supα∈Nn0
ε|α|+k(hk)ν(|α|+k)λ|α|+k`
Mν(|α|+k)
= C ′′ε supα∈Nn0
(ε1ν hk)ν(|α|+k)λ
|α|+k`
Mν(|α|+k)6 C ′′ε exp
(M(Lλ
1/ν` )
),
com L := ε1/νhk. Ao mesmo tempo, segue pelo Lema 2.5 que
exp(M(Lλ
1/ν` )
)6 exp
(1
2M(L3λ
1/ν` )
),
46
tomando L = L3√AH
.
Por fim, dado L3 > 0, tome ε > 0 tal que L3 =√AHε1/νhk, entao a desigualdade acima, (1.4)
para algum q, e (2.2) implicam que existe CL3= C ′′ε > 0 satisfazendo
‖v(e`)‖HS =
d∑j=1
∣∣∣v(ej`)∣∣∣21/2
6
d∑j=1
C ′′ε exp(M(Lλ
1/ν` )
)2
1/2
= Cd1/2` exp
(M(Lλ
1/ν` )
)6 Cλq` exp
(1
2M(L3λ
1/ν` )
)6 C exp
(1
2M(L3λ
1/ν` )
)exp
(1
2M(L3λ
1/ν` )
)= C exp
(M(L3λ
1/ν` )
),
ou seja, v ∈ [ΓM (X)]∧ pelo Teorema 3.1.
Finalmente, podemos caracterizar uma ultradistribuicao u ∈ Γ′M (X) em termos de seus coe-
ficientes de Fourier e dos autovalores do operador E ∈ Ψν+e(X).
Teorema 3.3. Temos que u ∈ Γ′M (X) se, e somente se, para todo L > 0 existe K = KL > 0 tal que
‖u(`)‖HS 6 K exp(M(Lλ
1/ν` )
), ∀` ∈ N.
Demonstracao. Basta combinar os Teoremas 3.1 e 3.2. De fato, se por um lado u ∈ Γ′M (X), segue pelo
Teorema 3.2 que u ∈ [ΓM (X)]∧; logo, pelo Teorema 3.1 (iii), dado qualquer L > 0 existe K = KL > 0
tal que ‖u(`)‖HS 6 K exp(M(Lλ
1/ν` )
), para todo ` > 1.
Reciprocamente, se para todo L > 0 existeK = KL > 0 tal que ‖u(`)‖HS 6 K exp(M(Lλ
1/ν` )
),
para todo ` > 1, segue novamente pelo Teorema 3.1 (iii), que u ∈ [ΓM (X)]∧, o que implica pelo Teorema
3.2 que u ∈ Γ′M (X).
3.2.1 O espaco Γ′(M )(X)
De modo analogo ao que foi feito para as classes do tipo Roumieu, o primeiro passo para
o estudo do espaco Γ′(M )(X), das ultradistribuicoes do tipo Beurling, e introduzir o espaco α-dual
correspondente,
Definicao 3.6. O α-dual do espaco Γ(M )(X) de funcoes ultradiferenciaveis, denotado por [Γ(M )(X)]∧,
e definido como v = v``∈N0;
∞∑`=0
d∑j=1
|(v`)j ||φ(`, j)| <∞, v` ∈ Cd` ,∀φ ∈ Γ(M )(X)
.
47
Definimos o segundo dual de Γ(M )(X), denotado por([Γ(M )(X)]∧
)∧, como o espaco das
sequencias w = w``∈N0 , com w` ∈ Cd` , tais que
∞∑`=0
d∑j=1
|(w`)j ||(v`)j | <∞, ∀v ∈ [Γ(M )(X)]∧.
Definicao 3.7. A classe das ultradistribuicoes sobre Γ(M )(X), denotada por Γ′(M )(X), e o
conjunto de todos os funcionais lineares u : Γ(M )(X)→ C tais que existem ε > 0 e C > 0 satisfazendo
|u(φ)| 6 C supαε|α|M−1
ν|α| supx∈X|E|α|φ(x)|, ∀φ ∈ Γ(M )(X).
Teorema 3.4. Temos que u ∈ Γ′(M )(X) se, e somente se, existem K > 0 e L > 0 tais que
‖u(`)‖HS 6 K exp(M(Lλ
1/ν` )
), ∀` ∈ N.
Teorema 3.5. As afirmacoes a seguir sao equivalentes.
(i) v ∈ Γ′(M )(X).
(ii) v ∈ [Γ(M )(X)]∧.
(iii) Existe L > 0 tal que∞∑`=1
exp(−M(Lλ
1/ν` )
)‖v`‖HS <∞.
(iv) Existem L > 0 e K > 0 tais que
‖v`‖HS 6 K exp(M(Lλ
1/ν` )
)vale para todo ` ∈ N.
48
Capıtulo 4
HIPOELITICIDADE GLOBAL
Neste capıtulo apresentamos um estudo para a hipoeliticidade global de certos operadores
lineares sobre as classes de funcoes ultradiferenciaveis estudadas nos capıtulos anteriores.
4.1 Operadores invariantes
Analisamos aqui a classe dos operadores invariantes com respeito ao operador elıtico E ∈
Ψν+e(X), como introduzido por J. Delgado e M. Ruzhansky em [5].
Sejam X uma variedade compacta suave e E ∈ Ψν+e(X) um operador elıtico. Como visto em
[5], os espacos C∞(X) e D ′(X) sao caracterizados em termos de seus coeficientes de Fourier da seguinte
forma:
f ∈ C∞(X)⇐⇒ ∀N ∈ N,∃CN > 0 t.q. ‖f(`)‖HS 6 CN (1 + λ`)−N , ∀` ∈ N (4.1)
e
u ∈ D ′(X)⇐⇒ ∃N ∈ N,∃C > 0 t.q. ‖u(`)‖HS 6 C(1 + λ`)N , ∀` ∈ N. (4.2)
Proposicao 4.1. Seja P : C∞(X) → C∞(X) um operador linear. Se o domınio do operador adjunto
P ∗ contem C∞(X), entao as seguintes condicoes sao equivalentes:
(i) Para cada j ∈ N0, temos P (Hj) ⊆ Hj.
(ii) Para cada j ∈ N0 e 1 6 k 6 dj, tem-se PEekj = EPekj .
(iii) Para cada ` ∈ N0, existe uma matriz σ(`) ∈ Cd`×d` tal que, para todo ekj , tem-se
P ekj (`,m) = σ(`)mkδj`, 1 6 m 6 d`. (4.3)
(iv) Para cada ` ∈ N0, existe uma matriz σ(`) ∈ Cd`×d` tal que
P φ(`) = σ(`)φ(`), φ ∈ C∞(X). (4.4)
As matrizes σ(`) em (4.3) e (4.4) coincidem, logo podemos usar a notacao σP (`) := σ(`). Alem disso, se
P pode ser estendido a um operador linear contınuo P : D ′(X)→ D ′(X), entao as propriedades acima
tambem sao equivalentes a:
49
(v) PE = EP em L2(X).
Demonstracao. Veja o Teorema 4.1 em [5].
Introduzimos agora as classes de operadores fortemente invariantes, conforme definidas em
[10].
Definicao 4.1. Ainda no contexto da Proposicao 4.1, diremos que:
P e invariante com relacao a E (ou simplesmente E-invariante) se alguma das propriedades
(i)-(iv) for satisfeita.
A sequencia de matrizes σP (`) ∈ Cd`×d` , que aparece nas propriedades (iii) e (iv), e o sımbolo
matricial de P .
P e fortemente invariante com relacao a E quando P puder ser estendido a um operador
linear contınuo P : D ′(X)→ D ′(X) e satisfaz qualquer uma das propriedades (i)-(v).
Para manter nossas notacoes organizadas, observe que podemos reformular (4.4) como
P φ(`) = σP (`)φ(`), φ ∈ C∞(X) ` ∈ N0, (4.5)
donde, em termos de coordenadas do vetor P φ(`), ` ∈ N0, para cada m ∈ 1, ..., d`, temos
P φ(`,m) = (σP (`)φ(`))m, φ ∈ C∞(X).
Com estas notacoes, note que a acao de qualquer operador E-invariante P numa funcao
φ ∈ C∞(X) pode ser escrita como
Pφ =
∞∑`=0
d∑m=1
P φ(`,m)em` =
∞∑`=0
d∑m=1
(σP (`)φ(`))mem`
o que implica em
Pφ(x) =
∞∑`=0
d∑m=1
(σP (`)φ(`))mem` (x) =
∞∑`=0
[σP (`)φ(`)
]e`(x), x ∈ X,
sendo e`(x) :=(e1`(x), ..., ed`` (x)
)∈ Cd` e
[σP (`)φ(`)
]e`(x) pode ser visto como o produto interno usual
em Cd` entre os vetores σP (`)φ(`) e e`(x), isto e,[σP (`)φ(`)
]e`(x) :=
⟨σP (`)φ(`), e`(x)
⟩Cd`
.
Em particular, para cada ekj ,
Pekj (x) =
dj∑m=1
σP (j)mkemj (x), x ∈ X,
50
pois
Pekj (x) =
∞∑`=0
d∑m=1
(σP (`)ekj (`)
)mem` (x)
=
∞∑`=0
d∑m=1
(d∑i=1
σP (`)miekj (`, i)
)em` (x)
=
∞∑`=0
d∑m=1
d∑i=1
σP (`)mi〈ekj , ei`〉L2em` (x)
=
∞∑`=0
d∑m=1
d∑i=1
σP (`)miδj`δkiem` (x)
=
dj∑m=1
σP (j)mkemj (x).
Na Proposicao 4.1, foi visto que (apos reformularmos em (4.5)), para cada ` ∈ N0 existe uma
matriz σP (`) ∈ Cd`×d` tal que
P φ(`) = σP (`)φ(`), ∀φ ∈ C∞(X). (4.6)
Pode ser provado que (4.6) se mantem valida para elementos de D ′(X), isto e, se P : D ′(X) → D ′(X)
e um operador fortemente invariante, entao
P u(`) = σP (`)u(`), ∀u ∈ D ′(X),∀` ∈ N0, (4.7)
o que pode ser consultado em [10].
A classe de todos os sımbolos matriciais sera denotada por Σ, isto e,
Σ :=σ;N0 3 ` 7→ σ(`) ∈ Cd`×d`
.
Para o estudo da hipoeliticidade de um operador, vamos usar as definicoes dadas em [7] e
algumas propriedades sobre numeros associados a sımbolos matriciais.
Definicao 4.2. Seja σ ∈ Σ um sımbolo matricial. Para cada ` ∈ N0, definimos
m(σ(`)) := inf‖σ(`)v‖HS; v ∈ Cd` e ‖v‖HS = 1
e
M(σ(`)) := sup‖σ(`)v‖HS; v ∈ Cd` e ‖v‖HS = 1
.
Observacao 4.1. Sobre a definicao acima, destacamos que:
M(σ(`)) = ‖σ(`)‖L (Cd` ).
σ(`) e invertıvel ⇐⇒ m(σ(`)) 6= 0.
Se σ(`) e invertıvel, entao M(σ(`)−1) = m(σ(`))−1.
51
4.2 M -hipoeliticidade global
Estabelecemos a seguir a nocao de hipoeliticidade global considerada neste trabalho e, em
seguida, exibimos o resultado que a caracteriza em termos dos sımbolos matriciais.
Definicao 4.3. Um operador P : D ′(X)→ D ′(X) e dito globalmente M -hipoelıtico em X quando
u ∈ D ′(X) e Pu ∈ ΓM (X) implicarem em u ∈ ΓM (X).
Teorema 4.1. Seja P : D ′(X)→ D ′(X) um operador fortemente invariante com relacao a E. Entao,
P e globalmente M -hipoelıtico se, e somente se, para todo ε > 0 existe Cε > 0 tal que
m(σP (j)) > exp(−M(ελ
1/νj )
), sempre que j > Cε.
Demonstracao. Necessidade: Considere u ∈ D ′(X) tal que Pu = φ ∈ ΓM (X). Como precisamos
mostrar que P e globalmente M -hipoelıtico, precisamos concluir que u ∈ ΓM (X). Para tanto, vamos
recorrer a caracterizacao dada no Teorema 2.2. Por (4.7), temos que
φ(`) = σP (`)u(`), ` ∈ N0.
Por hipotese, para cada ε > 0 existe Cε > 0 tal que m(σP (j)) 6= 0, sempre que j > Cε ou,
equivalentemente, para cada ε > 0 existe Cε > 0 tal que σP (j) e invertıvel sempre que j > Cε; logo,
podemos escrever
u(j) = σP (j)−1φ(j), j > Cε.
Como φ ∈ ΓM (X), segue pelo Teorema 2.2 que existem C > 0 e Lφ > 0 tais que
‖φ(`)‖HS 6 C exp(−M(Lφλ
1/ν` )
), ∀` ∈ N.
Da desigualdade acima e utilizando o Lema 2.5 com Lφ =Lφ√AH
, para cada ` ∈ N, temos
‖φ(`)‖HS 6 C exp(−M(Lφλ
1/ν` )
)= C exp
(−1
2M(Lφλ
1/ν` )
)exp
(−1
2M(Lφλ
1/ν` )
)6 C exp
(−M(Lφλ
1/ν` )
)exp
(−M(Lφλ
1/ν` )
). (4.8)
Entao, tomando ε0 := Lφ, existe Cε0 > 0 tal que, sempre que j > Cε0 vale
‖u(j)‖HS = ‖σP (j)−1φ(j)‖HS 6 ‖σP (j)−1‖L (Cdj )‖φ(j)‖HS
= m(σP (j))−1‖φ(j)‖HShip.
6 exp(M(Lφλ
1/νj )
)‖φ(j)‖HS
(4.8)
6 C exp(M(Lφλ
1/νj )
)exp
(−M(Lφλ
1/νj )
)exp
(−M(Lφλ
1/νj )
)= C exp
(−M(Lφλ
1/νj )
)52
e segue pelo Teorema 2.2 que u ∈ ΓM (X); logo, P e globalmente M -hipoelıtico.
Suficiencia: Vamos proceder por contrapositiva, isto e, negando a tese e construindo um
elemento u ∈ D ′(X)\ΓM (X) para o qual Pu ∈ ΓM (X), contrariando a hipotese de que P e globalmente
M -hipoelıtico. Suponha que existe ε0 > 0 tal que, para todo C > 0 existe j > C de modo que
m(σP (j)) < exp(−M(ε0λ
1/νj )
).
Em particular, tomando C = 1, existe j1 > 1 tal que m(σP (j1)) < exp(−M(ε0λ
1/νj1
))
; logo,
existe vj1 ∈ Cdj1 tal que ‖vj1‖HS = 1 e ‖σP (j1)vj1‖HS < exp(−M(ε0λ
1/νj1
))
. Em seguida, tomando
C = j1, existe j2 > j1 tal que m(σP (j2)) < exp(−M(ε0λ
1/νj2
))
e, consequentemente, existe vj2 ∈ Cdj2
com ‖vj2‖HS = 1 e ‖σP (j2)vj2‖HS < exp(−M(ε0λ
1/νj2
))
. Indutivamente, obtemos uma sequencia vjkk∈Ncom vjk ∈ Cdjk , ‖vjk‖HS = 1 e
‖σP (jk)vjk‖HS < exp(−M(ε0λ
1/νjk
)), ∀k ∈ N. (4.9)
Defina
u :=
∞∑`=0
d∑m=1
u(`,m)em` ,
de modo que
Cd` 3 u(`) =
vjk , se ` = jk para algum k ∈ N
0, se ` 6= jk para todo k ∈ N.
Por construcao, temos que ‖u(`)‖HS 6 1 6 (1 + λ`), para todo ` ∈ N0, o que implica por (4.2)
que u ∈ D ′(X). Claramente u /∈ ΓM (X) (uma vez que ΓM (X) ⊆ C∞(X)), pois ‖u(jk)‖HS = ‖vjk‖HS = 1,
para todo k ∈ N, ou seja, nao e satisfeita a condicao (4.1), logo u /∈ C∞(X).
Notemos que, como u(`) = 0 sempre que ` 6= jk, podemos escrever
u =
∞∑k=1
djk∑r=1
u(jk, r)erjk.
Por fim, vamos mostrar que Pu ∈ ΓM (X). De fato, sendo P fortemente invariante, segue da
igualdade logo acima que
Pu =
∞∑k=1
djk∑r=1
P u(jk, r)erjk
=
∞∑k=1
djk∑r=1
(σP (jk)u(jk))r erjk.
Segue de (4.9) que
‖P u(jk)‖HS = ‖σP (jk)u(jk)‖HS = ‖σP (jk)vjk‖HS(4.9)< exp
(−M(ε0λ
1/νjk
)), ∀k ∈ N,
logo tomando C = 1 e L = ε0, concluımos pelo Teorema 2.2 que Pu ∈ ΓM (X), isto e, P nao e
globalmente M -hipoelıtico, o que contradiz a hipotese.
53
4.2.1 O caso Gevrey γs(X)
A partir dos resultados obtidos ate o momento, vamos construir um exemplo para uma classe
de funcoes ja conhecida, a saber, a classe das funcoes Gevrey sobre a variedade X. Relembremos que a
classe de funcoes Gevrey em X pode ser compreendida como
γs(X) = Γ(k!)s(X), s ∈ [1,∞),
ao considerarmos a sequencia M := Mkk∈N0 com Mk = (k!)s,∀k ∈ N0. Por (2.19), temos que para
γs(X) a funcao associada fica M(r) ' r1/s e que
φ ∈ γs(X)⇐⇒ ∃C > 0,∃L > 0 t.q. ‖φ(`)‖HS 6 C exp(−Lλ1sν
` ), ∀` ∈ N.
Portanto, segue do Teorema 4.1 que, a hipoeliticidade global para a classe γs(X) e obtida atraves do
seguinte resultado:
Teorema 4.2. Seja P : D ′(X)→ D ′(X) um operador fortemente invariante em relacao a E. Entao P
e globalmente γs-hipoelıtico se, e somente se, para todo ε > 0 existe Cε > 0 tal que
m(σP (j)) > exp(−ελ1sνj ), sempre que j > Cε.
4.3 (M )-hipoeliticidade global
Podemos obter um resultado analogo ao da secao aterior para a classe de funcoes do tipo
Beurling, com as adaptacoes naturais. Vejamos.
Definicao 4.4. Um operador P : D ′(X) → D ′(X) e globalmente (M )-hipoelıtico em X quando
u ∈ D ′(X) e Pu ∈ Γ(M )(X) implicarem em u ∈ Γ(M )(X).
Podemos caracterizar a (M )-hipoeliticidade global de um operador fortemente invariante P
atraves de seu sımbolo utilizando o Teorema a seguir.
Teorema 4.3. Seja P : D ′(X)→ D ′(X) um operador fortemente invariante com relacao a E. Entao,
P e globalmente (M )-hipoelıtico se, e somente se, existem K > 0, r > 0 e C > 0 tais que
m(σP (j)) > K exp(−M(rλ
1/νj )
), sempre que j > C.
Demonstracao. Necessidade: Queremos provar que, se u ∈ D ′(X) com Pu = φ ∈ Γ(M )(X), isto
implica que u ∈ Γ(M )(X). Para tanto, vamos recorrer a caracterizacao dada pelo Teorema 2.4, ou seja,
mostremos que, dado L > 0, existe CL > 0 tal que ‖u(`)‖HS 6 CL exp(−M(Lλ
1/ν` )
), para todo ` > 1.
Por (4.7), segue que
φ(`) = σP (`)u(`), ∀` ∈ N0.
54
Por hipotese, para todo j > C
m(σP (j)) 6= 0 ⇐⇒ σP (j) e invertıvel,
entao, para j > C, podemos escrever
u(j) = σP (j)−1φ(j),
o que implica em
‖u(j)‖HS = ‖σP (j)−1φ(j)‖HS 6 ‖σP (j)−1‖L (Cdj )‖φ(j)‖HS
= m(σP (j))−1‖φ(j)‖HShip.
61
Kexp
(M(rλ
1/νj )
)‖φ(j)‖HS, j > C. (4.10)
Como φ ∈ Γ(M )(X), dado L′ > 0, existe CL′ > 0 tal que
‖φ(`)‖HS 6 CL′ exp(−M(L′λ
1/ν` )
), ∀` > 1;
logo, de (4.10) segue que
‖u(j)‖HS 6CL′
Kexp
(M(rλ
1/νj )
)exp
(−M(L′λ
1/νj )
). (4.11)
Seja L > 0 dado. Entao, podemos ter r 6 L ou r > L. Vamos analisar cada um dos casos.
r 6 L: Como exp e M sao funcoes nao-decrescentes, segue que
exp(M(rλ
1/νj )
)6 exp
(M(Lλ
1/νj )
), ∀j.
Entao, de (4.11),
‖u(j)‖HS 6CL′
Kexp
(M(rλ
1/νj )
)exp
(−M(L′λ
1/νj )
)6
CL′
Kexp
(M(Lλ
1/νj )
)exp
(−M(L′λ
1/νj )
).
Escolha L′ := L√AH. Pelo Lema 2.5, temos que
exp(−M(L
√AHλ
1/νj )
)6 exp
(−2M(Lλ
1/νj )
), ∀j.
Portanto, para todo j > C,
‖u(j)‖HS 6CLK
exp(M(Lλ
1/νj )
)exp
(−M(L
√AHλ
1/νj )
)6
CLK
exp(M(Lλ
1/νj )
)exp
(−2M(Lλ
1/νj )
)=
CLK
exp(−M(Lλ
1/νj )
),
e segue o desejado.
55
r > L: Escolha agora L′ := r√AH. Novamente, pelo Lema 2.5,
exp(−M(r
√AHλ
1/νj )
)6 exp
(−2M(rλ
1/νj )
), ∀j.
De (4.11) tem-se, para todo j > C
‖u(j)‖HS 6CLK
exp(M(rλ
1/νj )
)exp
(−M(r
√AHλ
1/νj )
)6
CLK
exp(M(rλ
1/νj )
)exp
(−2M(rλ
1/νj )
)6
CLK
exp(−M(rλ
1/νj )
)6
CLK
exp(−M(Lλ
1/νj )
),
donde, novamente, a ultima desigualdade veio do fato de que exp e M sao funcoes nao-decrescentes.
Portanto, para todo L > 0, existe CL > 0 tal que ‖u(j)‖HS 6 CL exp(−M(Lλ
1/νj )
), sempre
que j > C, o que implica pelo Teorema 2.4 que u ∈ Γ(M )(X).
Suficiencia: Procederemos por contrapositiva, isto e, negando a tese e construindo um ele-
mento u ∈ D ′(X) \ Γ(M )(X) tal que Pu ∈ Γ(M )(X), contradizendo a hipotese de que P e globalmente
(M )-hipoelıtico. Suponha que para quaisquer K > 0, r > 0 e C > 0, pode-se encontrar j > C tal que
m(σP (j)) < K exp(−M(rλ
1/nuj )
).
Em particular, tomando K = C = r = 1, existe j1 > 1 tal que m(σP (j1)) < exp(−M(λ
1/νj1
))
.
Logo, existe vj1 ∈ Cdj1 com ‖vj1‖HS = 1 e ‖σP (j1)vj1‖HS < exp(−M(λ
1/νj1
))
. Agora, tome K = 1,
C = j1 e r = 2, entao existe j2 > j1 tal que m(σP (j2)) < exp(−M(2λ
1/νj2
))
e, consequentemente, existe
vj2 ∈ Cdj2 com ‖vj2‖HS = 1 e ‖σP (j2)vj2‖HS < exp(−M(2λ
1/νj2
))
.
Procedendo de forma indutiva, obtemos uma sequencia vjkk∈N, com vjk ∈ Cdjk , ‖vjk‖HS = 1
e
‖σP (jk)vjk‖HS < exp(−M(kλ
1/νjk
)), para todo k ∈ N. (4.12)
A seguir, vamos definir
u :=
∞∑`=0
d∑m=1
u(`,m)em` ,
tal que
u(`) =
vjk , se ` = jk para algum k ∈ N
0, se ` 6= jk para todo k ∈ N.
Temos que ‖u(`)‖HS 6 1 6 (1 + λ`), para todo ` ∈ N0, o que implica por (4.2) que u ∈ D ′(X).
Alem disso, a condicao do Teorema 2.4 nao e satisfeita, pois ‖u(jk)‖HS = ‖vjk‖HS = 1, o que implica que
u /∈ Γ(M )(X). Desconsiderando os coeficientes de Fourier que se anulam, reescrevemos
u =
∞∑k=1
djk∑m=1
u(jk,m)emjk .
56
Mostremos agora que Pu ∈ Γ(M )(X). Como P e fortemente E-invariante, temos que
Pu =
∞∑k=1
djl∑m=1
P u(jk,m)emjk =
∞∑k=1
djk∑m=1
(σP (jk)u(jk))memjk.
Segue por (4.12) que
‖P u(jk)‖HS = ‖σP (jk)u(jk)‖HS = ‖σP (jk)vjk‖HS < exp(−M(kλ
1/νjk
)), ∀k ∈ N.
Dado qualquer L > 0, sempre que k > L, como as funcoes exp e M sao nao-decrescentes,
temos que
exp(M(Lλ
1/νjk
))6 exp
(M(kλ
1/νjk
))⇐⇒ exp
(−M(kλ
1/νjk
))6 exp
(−M(Lλ
1/νjk
)),
donde segue que
‖P u(jk)‖HS < exp(−M(kλ
1/νjk
))6 exp
(−M(Lλ
1/νjk
)), ∀k > L.
Portanto, dado L > 0, existe CL := 1 tal que ‖P u(jk)‖HS 6 exp(−M(Lλ
1/νjk
))
, para todo
k > L. Por outro lado, quando k < L, existe CL,k > 0 tal que
exp(−M(kλ
1/νjk
))6 CL,k exp
(−M(Lλ
1/νjk
)).
Logo, escolhendo CL := maxCL,k; exp
(−M(kλ
1/νjk
))6 CL,k exp
(−M(Lλ
1/νjk
)), 1 6 k < L
, temos
‖P u(jk)‖HS 6 CL exp(−M(Lλ
1/νjk
))
, sempre que k < L.
Pelo Teorema 2.4, concluımos que Pu ∈ Γ(M )(X), o que prova que P nao e globalmente
(M )-hipoelıtico, donde segue o resultado.
57
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