Matemática

3º Ano do Ensino Médio

Geometria Espacial – Cubos

June, 10th, 2014

Escola Estadual Vilmar Vieira Matos

Professor: Cláudio Miranda

Estagiário: Dênis Rodrigues

Definições

• Iezzi (2004): Cubo é um paralelepípedo

retângulo cujas seis faces são

quadrados. Assim suas 12 arestas são

congruentes entre si.

• Brasil Escola: Cubo é um

paralelepípedo retângulo com todas

as arestas congruentes (a=b=c), dessa

forma as seis faces são quadrados.

Ilustração

Cálculo do comprimento da diagonal

Considere a figura abaixo:

dc=diagonal do cubo

db = diagonal da base

Cálculo do comprimento da diagonal

Na base ABCD, temos:

Cálculo do comprimento da diagonal

No triângulo ACE, temos:

Cálculo da Área Lateral (Al)

A área lateral (Al) é dada pela soma da

área dos quadrados de lado a:

Al= a2+a2+a2+a2

Al= 4a2

Cálculo da Área Total (S)

A área total (S) é dada pela área dos

seis quadrados de lado a, ou seja:

S= 6a2

Cálculo do Volume (V)

Obtemos o volume do cubo fazendo o

produto da área da base pela altura:

V= Ab x h = a2 x a = a3

Construções Arquitetônicas

Pedra Negra de Caaba

Meca , Arábia Saudita

Construções Arquitetônicas

Hotéis Casa

Flora, Tailândia

Construções Arquitetônicas

Biblioteca Municipal

Stuttgart, Alemanha

Construções Arquitetônicas

Casas Cubo

Vijf, Holanda

Curiosidade

Cubo de Rubik

Cubo Mágico (de Rubik)

Cubo Mágico (de Rubik)

• Criado pelo Húngaro, Ernõ Rubik em

1974;

• Ganhou o prêmio jogo do ano;

• Seu criador demorou um mês para

resolve-lo;

Cubo Mágico (de Rubik)

• E um dos brinquedos mais populares

do mundo com um total aproximado

de 900 milhões de unidades vendidas;

• 3x3 possui 27 peças sendo 1 oculta e

26 entorno desta;

• Mats Valk solucionou o enigma deste

cubo em 5,55 segundos sendo este o

recorde mundial obtido em Março de

2013.

Cubo Mágico (de Rubik)

Outros Modelos

Pocket Clube (2x2x2)

Original (3x3x3)

Cubo Mágico (de Rubik)

Outros Modelos

A vingança de Rubik (4x4x4)

O Cubo do Professor (5x5x5)

Cubo Mágico (de Rubik)

Resolução

• Podemos permutar os oito vértices do

cubo, logo podemos arranjá-los de

8! formas diferentes.

• Também podemos permutar suas doze

arestas, existindo

assim 12! combinações para as

mesmas.

Cubo Mágico (de Rubik)

Entretanto, apenas metade das

possibilidades acima são verdadeiras,

uma vez que não é possível permutar

duas arestas sem trocar também a

posição de dois vértices, e vice-versa.

Cubo Mágico (de Rubik)

• Também é possível girar todos os

vértices do cubo, salvo um, sem que

nada mais mude no cubo. Uma vez

que a orientação do último vértice

será determinada pela orientação dos

demais, nós temos 37 orientações

distintas para os vértices.

• O mesmo vale para a orientação das

arestas. Sendo assim, temos

211 possibilidades para elas.

Cubo Mágico (de Rubik)

No total, o número de combinações

possíveis no cubo de Rubik é:

(8! X 12! X 37 X 211) /2

= 43 252 003 274 489 856 000

Cubo Mágico (de Rubik)

Se alguém pudesse realizar todas as

combinações possíveis a uma

velocidade de um movimento

por segundo, demoraria 1400 trilhões de

anos, supondo que nunca repetisse a

mesma combinação.

Variantes

Pyraminx Skewb

Variantes

Mega Mix Skewb Diamond

Colocando a teoria em prática

Vamos Praticar???

Exemplo 1

Calcule a diagonal, a área total e o

volume de um cubo:

a) De aresta 1 cm.

b) De aresta 2,5 cm.

Exemplo 2

Calcule a aresta de um cubo de 27 m3

de volume

Exemplo 3

Considere um peso feito de ferro em

formato de cubo, cuja área total é 150

cm2. Sabendo que a densidade do ferro

é 7,8 g/cm3, qual é a massa desse peso?

Exemplo 4

Considere dois cubos diferentes sendo

um de aresta a e o outro de aresta ka.

Determine a razão entre a área total do

menor cubo para o maior.

Referências

• http://www.somatematica.com.br/emedio/espacial

/espacial13.php

• http://educacao.uol.com.br/matematica/aprende

ndo-a-medir-volumes.jhtm

• http://pt.wikipedia.org/wiki/Cubo_de_Rubik

• IEZZI, G.; DOLCE, O.; DEGENSZAJN, D.; PÉRIGO, R.;

ALMEIDA, N. D.; Matemática: Ciência e Aplicações,

Vol 2, 2ºEdição, 2004, São Paulo – Brasil.

Considerações Finais

Agradeço pela atenção !!!