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Captulo 1

C-lgebras

Nos captulos precedentes nos falmos de espaos vetoriais e introduzimos as noesde espaos normados, espaos de Banach e tambm de espaos de Hilbert quando unproduto interno for presente. Agora iremos falar das Algebras de Banach ou seja os es-paos vetoriais de Banach que tambm so Algebras no respeito de uma operao demultiplicao. Na pratica comum essa operao pode ser definida em jeitos diferentese as algebras resultantes podem ser classificadas segundo essa multiplicao. Se a ope-rao de multiplicao fo definida pontualmente as algebras resultantes so chamadasalgebra de funes, se for definida como composio de funes as algebras resultantes sochamadas algebras de operatores e se for definidas como convoluo de funes as lgebrasso chamadas lgebras de grupos. Nos exemplos iremos ver cada um desses casos.

No caso que o espao no seja somente de Banach, mas tambm de Hilbert, vi-mos no captulo precedente que podemos introduzir uma involuo no espao cha-mada de involuo adjunta e indicada com *. Se a lgebra resultante d multiplica-o introduzida for fechada no respeito da involuo * ento a lgebra chamase de*-lgebra. Nesse captulo iremos apresentar as Clgebras que so um caso especialde *-lgebras onde possvel obter resultados muito profundos e interessantes. Esseslgebras so teis especialmente na Fsica contemporanea onde numa das formula-es mais comuns constata-se que as observaveis so representadas por operadoresque formam uma C-lgebra.

Por os nossos objectivos iremos supor que o campo de definio da lgebra sersempre o campoC e a operao indicar simplesmente a conjugao do escalar Ce que as lgebras contehnam uma identidade no respeito da multiplicao ou sejamque as lgebras sejam lgebras unitrias.

1.1 Definies

Definio 1. Uma lgebra A diz-se uma -lgebra se uma lgebra onde definidauma involuo : A A tale que

a = a (1.1.1)(a + b) = a + b (1.1.2)(ab) = ba (1.1.3)(a) = a (1.1.4)

Definio 2. Uma Banach -lgebra uma -lgebra onde a norma invariante pelainvoluo ou seja:

||a|| = ||a|| (1.1.5)

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CAPTULO 1. C-LGEBRAS 2

Definio 3. Uma C-lgebra uma Banach -lgebra que satisfaz o axioma C:

||aa|| = ||a||2 (1.1.6)

Definio 4. (ELEMENTOS ESPECIAIS) Seja A uma -lgebra, ento a A diz-se:- AUTOADJUNTO se a = a- NORMAL se aa = aa- UNITRIO se aa = aa = 1- POSITIVO se a = bb com b A- PROJEO se a2 = a = a

1.2 Exemplos de ClgebrasNessa seco apresentaremos alguns exemplos fundamentais de Clgebras.

1.2.1 B(H), Clgebras dos operadores limitadosSeH for um espao de Banach o espaoB(H) dos operadores limitado sobreH (equiv-alentemente dos operadores continuos pelo Teorema 66) tambm um espao de Ba-nach. Pondo a composio de funes como multiplicao entre elementos de B(H)o espao de Banach B(H) torna se uma Algebra de Banach. Ademais se H um es-pao de Hilbert resulta naturalmente definida uma involuo * chamada de adjuntaque leva um operador no operador adjunto dado da

Av, w = v, Aw (1.2.1)Com essas definiesB(H) torna-se uma Banach -lgebra.Um caso muito especial dessas lgebras no caso em que o espao de Hilbert seja

de dimenso finida ou seja dimCH < .

B(H) Os operadores continuos numo espao de Hilbert de dimenso finida Nocaso de H espao de Hilbert de dimenso finida, o teorema 87 diz-nos que se o campoescalar do espao for o campo C ento o espaoH isomorfo a Cn e portanto o espaoB(H) torna-se isomorfo a o espao End (Cn) que isomorfo a o espao das matrizescom coeficientes complexos Mnn (C).

As matrizes Mnn(C) com norma ||a|| = sup {||av||2 : v Cn, ||v||2 1} formamum espao de Banach. Se consideramos tambm a involuo

: Mnn(C) 3 A A = AT Mnn(C)obtemos que Mnn(C) forma uma Clgebra.

1.2.2 C (X), C-lgebra das funes em CSeja X = {1, 2, ..., n} e seja C(X) = { f : X C} o conjunto das funes entre X e C.Sendo X finido uma funo f resulta completamente definida por un numero finido de


valores ( f (1) , f (2) , ..., f (n)) = ( f1, f2, ..., fn). Se definimos as seguintes operaes:

(ADIO) ( f + g) (x) = f (x) + g (x) (1.2.2)(MULTIPLICAO) ( f g) (x) = f (x) g (x) (1.2.3)

(INVOLUO) ( f ) (x) = f (x) (1.2.4)(MULT. POR ESCALAR) ( f ) (x) = f (x) (1.2.5)

(NORMA) || f || =n

x=1

| f (x)| (1.2.6)

Obtemos uma C-lgebra com campo escalar C e dimC C (X) = n

1.2.3 C0 (X), C-lgebra da funes que anulam-se no infinitoSeja f : X C diz-se que anula-se no infinito se

K = {x X : | f (x)| > e} compacto por cada e > 0 (1.2.7)Seja X um espao topologico localmente compacto e seja C0(X) o espao das fun-

es f : X C que anulam-se no infinito esse espao forma uma C-lgebra com asoperaoes definidas em 5.2.2.

Observao 5. Se X for compacto ento C0 (X) = C (X)

1.2.4 C (G), C-lgebra gerada da um grupo GSeja G = {g1, g2, ..., gn} e seja C(X) = { f : X C} o conjunto das funes entre X eC. Sendo X finido uma funo f resulta completamente definida por un numero finidode valores ( f (1) , f (2) , ..., f (n)) = ( f1, f2, ..., fn). Se definimos as seguintes operaes:

(ADIO) ( f + g) (x) = f (x) + g (x) (1.2.8)(MULTIPLICAO) ( f g) (x) = f (x) g (x) (1.2.9)

(INVOLUO) ( f ) (x) = f (x) (1.2.10)(MULT. POR ESCALAR) ( f ) (x) = f (x) (1.2.11)

(NORMA) || f || = supxX| f (x) | (1.2.12)

Obtemos uma C-lgebra com campo escalar C e dimC C (X) = n

1.2.5 lgebra gerada da um Operador Hermitiano

Seja um operador Hermitiano o Autoadjunto A = A, ento a fechadura dos poli-nomios de A

AA =

{p(A) =

n

i=1

ai Ai | ai C}

(1.2.13)

uma C-lgebra. De facto a lgebra naturalmente fechada pelas operaes

p(A) + q(A) AA (1.2.14)p(A) q(A) AA (1.2.15)p(A) AA (1.2.16)


e dado que A = A, temos (A)n = An e portanto a lgebra tambem fechada pelainvoluo:

p(A) =n

i=1

ai Ai AA (1.2.17)

Introduzindo a norma

||p (A) || = supx 6=0

||p (A) v||||v|| = sup||v||=1

||p (A) v|| (1.2.18)

A lgebra AA resulta uma C-lgebra dado que ||p(A)p(A)|| = ||p(A)||2

1.3 Espectro

1.3.1 Resolvente, Espectro de um Operador e Raio Espectral

Definio 6. Seja A uma -lgebra de Banach munida com uma identidade multipli-cativa e a A definimos o conjunto

A (a) = { C : a 1 invertvel} (1.3.1)a resolvente de a, chamamos de espectro de a em A o conjunto

A (a) = { C : a 1 no invertvel} (1.3.2)e definimos de raio espectral de a A

r (a) = sup(a)

{||} (1.3.3)

Agora iremos apresentar alguns resultados fundamentais relativos aos espetros dosoperadores numa -lgebra de Banach.

Proposio 7. Seja A uma -lgebra de Banach, e a A ento(a) (a) um subconjunto compacto no vazio de C;(b) (ab) \ {0} = (ba) \ {0};(c) r (a) ||a||, a normal, ento r (a) = ||a||;(d) (FORMULA DO RAIO ESPECTRAL) r (a) = lim

n||an||1/n = inf ||an||1/n;

(e) Seja f (z) = p (z) /q (z), com q (z) 6= 0 se z (a), ento ( f (a)) = { f () : (a)}

(f) (a) = (a) ={ : (a)} e r (a) = r (a) ;

Demonstrao. vamos provar a proposio (a) que a mais importante. Se (a) fossevazio ento (a 1) sempre seria invertvel e a funo f () = (a 1)1 umafuno intera definida sobre tudo o plano C e tal que

f ()|| 0

Portanto costantemente nula, contrariamente existncia de A1 implicada da (A) =


Corolrio 8. (GELFAND -MAZUR) Seja A uma -lgebra de Banach complexa onde cadaelemento diferente da 0 seja invertivl, ento A isometricamente isomorfa a C.

Proof. A prova reside no facto que (a) sempre um conjunto no vazio deC. Portantopor cada operador a existe um C tal que a 1 no invertivl, mas dado que onico elemento no invertvel 0 obtemos que a 1 = 0 ou seja que a = 1.

1.3.2 Espectro de uma lgebra

Definio 9. Seja A uma lgebra, um subespao linear I diz-se um ideal esquerdo oudireito se:

(ESQUERDO) ax I a I, x A (1.3.4)(DEREITO) xa I a I, x A (1.3.5)

um ideal I diz-se prprio se 1 / I e diz-se maxmal se por cada I ideal prprio de A,temos que se I I ento I I.Observao 10. Seja A uma lgebra comutativa as nooes de ideal esquerdo e ideal de-reito coincidem

De agora em diante s iremos considerar as lgebras comutativas com unitade.Seja A uma lgebra comutativa diz-se espectro da lgebra A e indicamos com 4(A)

o conjunto dos homomorfismos algebricos no nulos entre A e o campo escalar C

4(A) = { : A C | (ab) = (a) (b)}r { 0} (1.3.6)A noo de espectro de uma lgebra4(A) est fortemente relacionada com a noo

de espectro de um operador da lgebra por o seguinte teorema:

Teorema 11. Seja A uma lgebra de Banach comutativa com unitade, ento(a)4(A) 6= (b) I um ideal maxmal I = ker por algum 4(A)(c) |||| = 1 por cada 4(A)(d) Por cada a A temos (a) = { (a) : 4(A)}Se AA gerada da um operador, ou seja se as potencias do operador so densas na

lgebra

AA =

{p(A) =

n

i=1

ai Ai | ai C}

Ento o espectro da lgebra o mesmo do espectro do operador

4(AA) = (A) (1.3.7)


1.4 O teorema de Gelfand para Clgebras comutativas1.4.1 A trasformada de Gelfand

Definio 12. Seja A uma lgebra de Banach comutativa com unitade. Por cada a Apodemos definir a funo

a : 4(A) 3 a () = (a) C (1.4.1)A funo a pertenece s funes de C (4(A)).

Definio 13. Seja A uma lgebra de Banach comutativa com unitade, a transformadade Gelfand de A a funo

: A 3 a a C (4(A)) (1.4.2)

1.4.2 O teorema de Gelfand para Clgebras comutativasTeorema 14. Seja A uma Clgebras comutativa com unitade, a transformada de Gelfand

: A 3 a a C (4(A)) (1.4.3)

um isomorfismo isometrico de A sobre C (4(A))

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