PRINCPIOS BSICOS DA CONVERSO ELETROMECNICA DE

ENERGIA

Wp1 representa perdas

Por correntes parasitas

Por histerese

Joule

Magnetostrio deformao que um cristal ferromagntico pode apresentar quando submetido a um campo magntico. Ex.: ferro, nquel, etc.

Porm a magnestostrio possui importante aplicao na construo de sensores

eletromagnticos empregados na medida de presses, foras e conjugados. Em mquinas

eltricas convencionais ela no apresenta nenhuma colaborao, levando a produo de rudos.

O prprio fenmeno da histerese o principio dos Motores de Histerese.

Wp2 representa perdas de origem mecnica.

Definio de porta para converso eletromecnica de energia (CEE):

Ponto de recebimento e fornecimento de energia.

- Motor trifsico: trs portas eltricas e uma mecnica.

- Motor monofsico: uma porta eltrica e uma mecnica.

Princpios fundamentais da CEE

Conversor de uma porta eltrica e uma mecnica

Toda energia de entrada de alguma forma pode ser encontrada ao longo do processo de

converso de energia.

1 = + + 2

= +

O conversor real pode ser estudado a partir do ideal, em que as perdas ficam externas ao

conversor e sero consideradas a posteriori.

1 = 1 + 1 1 2 = 2 + 2 2

Subtraindo as equaes...

2 1 = 2 2 + 2 1 = +

Principio da reversibilidade

Basicamente diz que a energia eltrica pode ser convertida em mecnica e vice-e-versa atravs

de um dispositivo de converso (por exemplo, motor e gerador, respectivamente).

Principio dos trabalhos virtuais

= =

Converso eletromecnica de energia no campo magntico

Dispositivo de duas portas eltricas e uma mecnica

Conversor eletromecnico de 3 portas (2 eltricas e 1 mecnica)

Diagrama de blocos do conversor supracitado

1 + 2 = 1 + 1 + 2 + 2 + + 3 +

1 1 1 + (2 2 2) = + 3 +

1 + 2 = +

Para t1...

1(1) + 2(1) = 1 + 1

Para t2...

1(2) + 2(2) = 2 + 2

O que leva a...

1 + 2 = + = 1 + 2

Com = ...

1 + 2 = +

Tomando = , onde =

(tenso aplicada ao conversor ideal)...

11

+ 22

= +

= 11

+ 22

Fazendo 0 ( 0)...

= 11

+ 22

Essa a fora portante ou magntica.

Para um dispositivo de n portas eltricas:

= 11

+ 22

+ +

=

=1

=

=1

Obs.: Aplica-se a conversores eletromecnicos lineares ou no dotados de n portas.

Tratamentos matemticos

Fluxo dependente

1 = 1 1, 2 , , , = 1 , 2 , , ,

Para um dispositivo de 2 portas eltricas...

1 = 1 1 , 2 , 2 = 2 1, 2, = 1 , 2 ,

A fora para essa configurao vale...

= 11

+ 22

Corrente dependente

1 = 1 1 , 2 , , , = 1, 2 , , ,

Para duas portas eltricas...

1 = 1 1 , 2 , 2 = 2 1, 2,

A fora para essa configurao vale...

= 11

+ 22

=

( )

Pois o fluxo concatenado no depende da variao de x...

Obs.: O sinal negativo indica que a fora se ope ao crescimento de x. Ela tende a diminuir a

relutncia.

Expresso do diferencial de energia para um dispositivo de duas portas eltricas

= 11

+ 22

=

+ 11 + 22

Se a porta mecnica for bloqueada, toda a energia entregue s portas eltricas ser convertida a

e armazenada na forma de campo magntico:

= 11 + 22

Ou, para n portas eltricas (converso linear ou no-linear)

=

=1

O diferencial perfeito (conversor ideal)

Sejam A(x,y) e B(x,y) funes. Seja D uma funo de funo, definida por

= , + , 2

1

Diversos caminhos a se escolher (ORLY?)

, + , 2

1 1

= , + , 2

1 2

= = , + , 2

1 5

Teorema: A condio necessria e suficiente para que as integrais independam do caminho de

integrao que:

,

=

,

Funes de estado e caminhos de integrao para energia armazenada

Para 2 portas eltricas

= 11 + 22

= 11

1

0

+

0

22

2

0

Para que se independa do caminho de integrao, para um conversor ideal...

Caminhos para o fluxo. Qual voc vai escolher?

12

=21

Exemplo

1 = 1012 + 122

2 1 = 1

2 + 1822

Para que possa se encontrar a expresso de energia armazenada se faz necessrio verificar a o

teorema acima, e encontrar o valor da constante K...

12

= 122 ; 21

= 2

Logo, K = 12, e ento...

1 = 1012 + 122

2 1 = 121

2 + 1822

E da tem-se que...

Caminho escolhido para o exemplo...

= 11

1

0

+ 22

2

0

= 10121

1

0 +

2=0

12221

1

0 2=0

+ 12122

2

0 1=

+ 18222

2

0 1=

= 5122 + 1212

2 + 9222

Como a energia magntica em funo do fluxo, a fora portante vale...

=

= 1012 + 2412 + 182

2

Estudo da coenergia no campo magntico

uma ferramenta auxiliar para o clculo de , e permite encontrar a fora em funo da corrente.

Para duas portas eltricas

= 11 + 22

= 11

1

0

+ 22

2

0

Integrando por partes...

= 11 11

1

0

+ 22 22

2

0

= 11

1

0

+ 22

2

0

+11 +22

+ = 11 + 22

Para 1 porta eltrica...

+ =

E para n portas eltricas...

+ =

=1

Diferena entre um sistema linear e no-linear

Obs.: para o modelo de fluxo dependente conveniente calcular para depois calcular .

Expresso da fora em funo da coenergia

= + 11 + 22

Derivando em relao a x...

=

+ 11

+ 22

=

( )

Exemplo:

Obs.: exemplo completo no livro PC Sen (Ex. 3.2)...

=

0,09

2

=

0

=

0,09

2

0

=2

0,09 23

3

Logo,

1 =

= 23

3 0,09 2

Mas a fora pode ser tambm encontrada em funo da corrente...

=0,09

=

0

= 1

2

0

0,09

=

2

30,09

32

Logo,

2 =

= 2 0,09

32

32

Para verificar se deu certo, basta substituir o fluxo em funo da corrente em 1e ver se bate com 2...

1 = 23

3 0,09 2=

2

3

3 0,09 3

0,09 23=

2 0,09 3

2

32= 2

Estudo dos conversores eletromagnticos magneticamente lineares (troncho nadinha...)

Usando a notao...

1 = 11 1 + 12 2 ( ) 2 = 21 1 + 22 2

1 = 11 1 + 12 2 ( ) 2 = 21()1 + 22()2

E lembrando que...

12

=21

( )

12

=21

( )

Para o modelo de fluxo dependente para conversores magneticamente lineares

1 = 1 1 + 12 2 2 = 21 1 + 2 2

Mas como

12

=21

21 = 12 =

Obs.: para o modelo de correntes dependentes os elementos no so indutncias.

Estudo da energia armazenada em dispositivos magneticamente lineares

Usando o modelo de fluxo dependente...

1 = 1 1 + 12 2 2 = 21 1 + 2 2

= 11

1

0

+ 22

2

0

O que leva a...

= 111

1

0 2=0

+ 21

1

0 2=0

+ 12

2

0 1=

+ 212

2

0 1=

=1

211

2 + 12 +1

222

2 = ( )

A partir dessa equao tem-se que:

=1

211

2 + 12 +1

222

2

=1

211

2 +1

212 +

1

212 +

1

222

2

=1

2 11 + 2 1 +

1

2 22 + 1 2

=1

211 +

1

222

Obteno de mais uma expresso para fora... (mas s pq vai ajudar mais na frente, no tema

jovem aluno de converso!)

Tendo:

1 = 1 1 + 2 2 = 1 + 2 2

=1

211

2 + 12 +1

222

2

Para o maldito conversor linear ( = )...

=

=1

2

1()

1

2 +()

12 +

1

2

2()

2

2

Agora vamos brincar com essa equao!

=1

2 11

2 + 212 + 222

E sabendo que

=2

=

12

onde a relutncia total do sistema... A equao se torna

=1

2 1

2

1

2 + 212

12 +2

2

2

2

=1

2 11

2 + 21212 + 22 2

=1

2 11 + 22

2

=1

2 2

Dessa expresso, derivam-se outras duas, jovem padawan...

=1

2

=1

2

Obs.: s lembrando que = ...

A essa altura todo mundo j sabe que a coenergia igual a energia armazenada no sistema

linear, ento...

=1

2 2

=

=1

22

1

=

1

2

2

2

= 1

2

Obs.: essa equao aplicada no principio de funcionamento de rels, contatores, aparelhos

atuadores, etc.

Para

=

+

0

=

1

0

= 1

2

1

0=

1

2

22

0=

1

2

2

0

Ai vocs saem brincando de encontrar expresses, pessoal...

Tomando

=2

()

=

2

() 2()

=1

2

2

() 2()

=

1

2

22

22

() 2()

=

1

2

22 () 2

42

() 2()

=1

22

()

Exemplo:

Profundidade = 40mm

N = 2500esp

g = 10mm

B = 1,25T (brao central)

= 1,25 40 40 106 = 0,002

Por simetria, temos que o fluxo em cada brao lateral vale

1 = 3 =2

= 0,001

Ento

1 = 3 = 1

2 0,001 2

1

4 107 20 40 106= 497,61

= 1

2 0,002 2

1

4 107 40 40 106= 995,22

= 1 + + 3 = 1990,44

Agora qual a massa m da parte mvel para que o sistema esteja em equilbrio?

= = =1990,44

9,81= 202,9

Consideraes sobre alimentao

Conversor eletromecnico

=11

Caso A: O conversor opera em CC (1 = ).

=

+

0

= 1

2

=

1

2

1

0=

Obs: para cada valor de x se tem um valor de e para cada valor de determina-se . Para , , , com i=cte.

Grfico da fora em funo do tamanho do entreferro para o caso A.

Caso B: O conversor opera em CA.

=

Onde

= cos

Ento

= 2 cos2 =

1

2

2 1 + cos 2

=1

2

2 +1

2

2 cos 2

=1

2

2

Mas foi visto anteriormente que

= 4,441

Obs.: a tenso mantida constante, logo constante independentemente do valor de x. Se a fora portante for mantida em valor constante, a corrente, em seu valor RMS, crescer

com a variao de x. A medida que o membro mecnico do conversor se movimenta, a corrente

de alimentao varia. (se , , e se , ).

Grfico da fora em funo do tamanho do entreferro para o caso B

11 =

2 1 =

1

Uma aplicao da fora magntica

Rel

Circuito bsico com um rel

Projetado com material com

=

0 ; =

1

2

= 1

2

2 1

0=

1

2

022

222

0=

1

2

022

2

Ele projetado para que se a corrente no seu enrolamento for inferior a uma corrente 0, a armadura mvel permanece onde est. Com corrente superior a 0 que se consegue o deslocamento da armadura, vencendo a fora contrria da mola.

Exemplo

Considere um solenoide de geometria cilndrica, como mostrado nas figuras abaixo. (a) Se a

bobina de excitao for percorrida por uma corrente em regime permanente de cc, determine uma expresso para a fora no mbolo. (b) Para os valores numricos = 10, N = 500 espiras, g = 5mm, a = 20mm, b = 2mm, e l = 40mm, qual a magnitude da fora? Admita que a

permeabilidade do ncleo infinita, e a permeabilidade da luva igual do ar.

Solenoide visto por dentro, e o corte transversal do mesmo (imagens meramente ilustrativas)

Respostas

Para o circuito magntico, a relutncia

=

02+

02 =

2

Logo, a indutncia L dada por

=2

=

2022

2 + 2=

12 + 3

Onde 1 2022, 2 2 e 3

2.

a) A expresso da fora nesse caso vale

=1

22

=

1

2

212 2 + 3 2

Onde o sinal de menos indica que a fora tende a diminuir o tamanho do entreferro.

b) Substituindo os valores na expresso de fora encontrada. Encontra-se que

= 600

CONVERSORES ROTATIVOS

Ilustrao de um conversor rotativo (onde o ngulo posicionador)

Para esse caso, uma boa aproximao =

Para duas portas eltricas no rotativas

= (1 , 2 , )

Mas uma parte da equao pode ser reescrita na forma

=

=

1

, =

Da, substituindo na fora...

=

1

Manipulando matematicamente a equao (manipulao level hard)...

=

Onde como j deve se ter percebido, a expresso um trabalho, mais precisamente nesse caso, um torque, ou conjugado.

=

Logo, para um conversor rotativo...

= (1, 2 , )

= (1, 2 , )

Para um sistema de duas portas no rotativo e linear

=1

2

1()

1

2 +()

12 +

1

2

2()

2

2

Da, manipulando-se as indutncias...

1()

=

1( )

=

1()

1

E analogamente...

2()

=

2()

1

()

=

()

1

Agora substituindo na expresso de fora...

= =1

2

1()

1

2 +()

12 +

1

2

2()

2

2

=1

2

1()

1

2 +1

2

2()

2

2

+()

12

Exemplo: Sistema de dupla excitao rotativo linear

1 = 103 cos 2

12 = = 0,1 cos 2 = 10 cos 2

Determinar o conjugado (), para 1 = 1 e 2 = 0,01

() =1

2

1()

1

2 +()

12 +

1

2

2()

2

2

Ento se calcula as derivadas das indutncias em funo do ngulo posicionador...

1()

= 2 103 sin 2

()

= 0,1 sin

2()

= 20 sin 2

Ento a expresso de torque fica...

= 103 sin 2 12 0,1 sin 12 10 sin 2 2

2

Tomando = + (onde a posio inicial da parte girante...)

= 103 sin(2 + 2) 12 0,1 sin + 12 10 sin(2 + 2) 2

2

Como 1 e 2 so constantes, no existe torque mdio...

= 0

Obs.: basicamente o torque mdio um torque que tenha termos que independam do tempo

(atemporais), ou seja, no preciso uma fora inicial para que a mquina rotativa funcione.

Obs.2: Outra coisa que se necessrio saber a potncia mdia, e a potncia mdia mxima

=

E para se encontrar a potncia mdia mxima, faz-se com que o ngulo da funo

trigonomtrica da potncia mdia leve um valor mximo de 1 (e.g. 90 para senos e 0 para

cossenos).

Estudo da configurao rotor liso (cilndrico)-estator liso (Usada em mquinas de induo,

geradores sncronos de alta velocidade)

Configurao rotor liso-estator liso

Para esse caso, = + 90 (onde 90 a posio inicial do rotor no tempo zero e a velocidade angular do rotor).

Obs.: Como entender esse desenho? Simples (ou no). O fluxo magntico que sai do estator sai

pelo plo norte dele, e dirige-se para o sul atravs do rotor. J no rotor, o fluxo sai do norte, e

vai para o sul tambm, por fora do rotor, ou seja, o fluxo do rotor vai do sul para o norte

atravs do mesmo. Mas como que eu vou saber onde diabos o norte e o sul? Regra da mo

direita. Veja como que a corrente est circulando no rotor e no estator, e convencione seu

norte e sul, pois eles sero imprescindveis nos estudos das indutncias das configuraes.

Para esse caso, o X no rotor indica por onde a corrente entra, e a bolinha indica por onde ela

sai.

Estudo da indutncia prpria do estator

1 =1

2

O fluxo vindo do estator sempre encontra a mesma relutncia independente da posio do rotor

em relao ao estator.

1 = , 1()

= 0

Estudo da indutncia prpria do rotor

2 =2

2

O fluxo vindo do rotor sempre encontra a mesma relutncia, independentemente da posio do

rotor em relao ao estator e vice e versa.

2 = , 2()

= 0

Estudo da indutncia mtua estator-rotor (onde o fator de acoplamento)

= 12

O estudo da indutncia mutua se faz pelo acoplamento magntico

Assumindo o rotor na posio 0, a frao do fluxo gerada pelo estator que enlaada pelo

rotor nula, pois no h acoplamento. Na posio 90, a frao do fluxo enlaada mxima.

Agora tem que se atentar para o sentido dos fluxos, e nesse caso, o fluxo do estator est no

mesmo sentido do fluxo do rotor. Continuando girando o rotor, em 180 no h acoplamento,

mas em 270, mesmo existindo acoplamento, esse acoplamento negativo, pois os fluxo s so

contrrios. E em 360 no h acoplamento. Abaixo, uma tabela com os resultados do estudo,

bem como um grfico do comportamento aproximado da indutncia mtua.

0 90 180 270 360

0 + 0 0

Comportamento aproximado da indutncia mutua

= sin

()

=

sin

= cos

Logo, a expresso de torque para essa configurao vale (acabou ficando apenas um torque

eletromagntico ou mtuo)

() = 12 cos

E agora vamos brincar com essa configurao

Tomando

1 = 1 cos 1 2 =

Substituindo na expresso de torque

= 1 cos 1 cos + 90

At ai beleza, mas o intuito manipular as funes trigonomtricas e encontrar um termo

atemporal. Manipulando essa equao, e sabendo que

cos + 90 = sin

Ento a expresso de torque se torna

= 1

cos 1 sin

Agora comecemos as brincadeiras. algo trivial, e todo mundo j sabe que

sin cos =1

2 sin + sin +

Ento a expresso de torque simplifica-se

=

2 sin 1 + sin + 1

Nesse caso existem duas condies para que haja torque mdio

1 = 0 (1) + 1 = 0 (2)

Utilizando (1) ( = 1 conversor sncrono)

=

2 sin + sin 2

Excluindo os termos que dependem do tempo (temporais), encontra-se o torque mdio

=

2sin

=1

21 sin

Agora deixando a brincadeira ainda mais chata, e tomando

1 = 1 cos 1 2 = 2 cos 2

O torque valer

= 1 cos 1 2 cos 2 cos + 90

= 1 2

cos 1 cos 2 sin

Novamente, manipulemos as funes trigonomtricas... Sabemos (ou no), que

cos cos =1

2 cos + cos +

Aplicando essa transformao, a expresso de torque se torna

=

2 cos 1 2 + cos 1 + 2 sin

=

2 cos 1 2 sin + cos 1 + 2 sin

Manipulando mais uma vez essa expresso (agora vai...)

=

4[sin 1 + 2 + sin + 1 2 +

sin 1 2 + sin + 1 + 2 ]

Uma condio para que se exista torque mdio

1 + 2 = 0 = 1 2 = 1 2

Logo, a expresso de torque vale

=

4[sin + sin + 21 22 + sin 22 + sin + 21 ]

Eliminando os termos dependentes do tempo, tem-se o torque mdio

=

4sin

=1

41 2 sin

Nesse caso a potncia mdia vale

= 1 2

4sin 1 2

E a potncia mdia mxima ocorre quando sin = 1, ou seja, = 90 = 2

No livro P.C.Sen, pag 113, tem-se a configurao abaixo

Mais uma configurao roto liso-estator liso

Para essa configurao, o estudo da indutncia mtua, leva a

0 90 180 270 360

+ 0 0 +

Comportamento aproximado da indutncia mutua para essa configurao

= cos

()

=

cos

= sin

Ento, para essa configurao

() = 12 sin

Olha ai mais uma configurao pra brincar, mas como estou com preguia, s vou colocar o

valor do torque mdio

Mais uma configurao...

Tomando = , 1 = 1 cos 1 e 2 = ...

= 1

2cos

E o torque mdio dessa configurao acontece quando = 0.

Estudo da configurao estator liso-rotor saliente (Usada em geradores sncronos de baixa

velocidade, hidrogeradores...)

Configurao estator liso-rotor saliente

Estudo da indutncia prpria do estator

O fluxo vindo do estator encontrar diferentes relutncias conforme o rotor gire, e isso visto

pela variao do tamanho do entreferro entre eles. A fica bem simples de se entender: quando

o tamanho do entreferro for mximo (por exemplo, quando a posio do rotor for 0), a

indutncia prpria do estator ser mnima. E quando o entreferro for mnimo, (quando a

posio do rotor for 90, por exemplo), a indutncia prpria do estator ser mxima. Abaixo

uma tabela mostrando os valores para cada ngulo, e depois um grfico com o comportamento

aproximado da indutncia prpria.

0 90 180 270 360

1

Comportamento aproximado da indutncia prpria do estator

1 = 1 2 cos 2

Onde

1 =1 + 1

2

2 =1 1

2

Portanto

1 = 1 + 1

2

1 12

cos 2

E agora derivando...

1()

= 1 1 sin 2

Estudo da indutncia prpria do rotor

O fluxo gerado pelo rotor, ainda com o giro do mesmo, sempre ver a mesma relutncia,

portanto

2 = , 2()

= 0

Estudo da indutncia mutua estator-rotor (o estudo feito considerando o conversor linear)

0 90 180 270 360

0 + 0 0

= sin

()

=

sin

= cos

Ento a expresso de torque para essa configurao vale

=1

21

2 1 1 sin 2 + 12 cos

Agora vamos brincar de substituir os valores das correntes... ( = + 90 )

1 = 1 cos 1 2 = 0

Nesse caso, a expresso de torque fica

=1

21

2 1 1 sin 2

=1

21

2 1 1

cos2 1 sin 2 + 180 2

Manipulando trigonometricamente a equao...

= 1 + cos 21

2 sin 2 2

=

2sin 2 2

2cos 21 sin 2 2

Manipulando mais uma vez...

=

2sin 2 2

4 sin 2 2 21 + sin 2 2 + 21

Uma condio para que exista torque mdio

2 21 = 0 = 1

Ento a expresso de torque fica

=

2sin 2 2

4 sin 2 + sin 2 + 41

Desprezando os termos dependentes do tempo, tem-se o torque mdio

=

4sin 2 =

4sin 2

=1

81

2 1 1 sin 2

Agora calculando-se a potncia mdia... (e sabendo que = ...)

=1

81

2 11 11 sin 2

=1

81

2 1 1 sin 2

E para que haja potncia mdia mxima, = 45 = /4.

Estudo da configurao estator saliente-rotor liso [Usada em mquinas de corrente

contnua, motores de ventiladores (tipo de indutor de induo monofsico)]

Configurao estator saliente-rotor liso

Indutncia prpria do estator

O fluxo vindo pelo estator v sempre a mesma relutncia, logo

1 = , 1()

= 0

Indutncia prpria do rotor

O estudo feito do mesmo jeito que foi feito para a configurao estator liso-rotor saliente...

0 90 180 270 360

2

Comportamento aproximado da indutncia do rotor

2 = 1 2 cos 2

Onde

1 =2 + 2

2

2 =2 2

2

Portanto

2 = 2 + 2

2

2 22

cos 2

E agora derivando...

2()

= 2 2 sin 2

Indutncia mutua estator-rotor

0 90 180 270 360

0 + 0 0

= sin

()

=

sin

= cos

Logo, a expresso de torque se torna

=1

22

2 2 2 sin 2 + 12 cos

Substituindo valores de correntes... ( = + 90 )

1 = 2 = 2 sin 2

A expresso de torque torna-se

=1

22

2 2 2

sin2 2 sin 2 + 180 2 +

2

sin 2 cos( + 90 )

= sin2 2 sin 2 + 180 2 + sin 2 cos( + 90 )

Agora comea a brincadeira das manipulaes...

= 1 cos 22

2 sin 2 2 sin 2 sin( )

=

2sin 2 2 +

2cos 22 sin 2 2 sin 2 sin( )

Manipulando mais uma vez, e lembrando que

sin sin =1

2 cos cos +

A expresso de torque fica

=

2sin 2 2 +

4 sin 2 2 22 + sin 2 2 + 22

2 cos 2 + cos 2 +

Uma condio para que exista torque mdio

2 = 0 2 =

A expresso de torque fica

=

4 2sin 2 2 sin 2 + sin 2 + 42

2 cos cos 22

Excluindo os termos dependentes do tempo, o torque mdio vale

=

4sin 2

2cos

= 1

82

2 2 2 sin 2 1

22 cos

Estudo da configurao estator saliente-rotor saliente (Usada nos antigos motores de

passo)

Configurao estator saliente-rotor saliente

Indutncia prpria do estator

0 90 180 270 360

1

Comportamento aproximado da indutncia prpria do estator

1 = 1 2 cos 2

Onde

1 =1 + 1

2

2 =1 1

2

Portanto

1 = 1 + 1

2

1 12

cos 2

E agora derivando...

1()

= 1 1 sin 2

Indutncia prpria do rotor

0 90 180 270 360

2

Comportamento aproximado da indutncia do rotor

2 = 1 2 cos 2

Onde

1 =2 + 2

2

2 =2 2

2

Portanto

2 = 2 + 2

2

2 22

cos 2

E agora derivando...

2()

= 2 2 sin 2

Indutncia prpria estator-rotor

0 90 180 270 360

0 + 0 0

= sin

()

=

sin

= cos

Logo, para essa configurao, a expresso de torque vale

=1

21

2 1 1 sin 2 +1

22

2 2 2 sin 2 + 12 cos

Substituindo valores de corrente... ( = + 90 )

1 = 1 sin 1

2 =

A expresso de torque fica

=1

21

2 1 1

sin2 1 sin 2 + 180 2 +

1

2

2 2 2

sin 2 + 180 2 + 1

sin 1 cos( + 90 )

Manipulando essa pequena equao trigonometricamente...

= 1 cos 21

2 sin 2 2 sin 2 2 +

+ cos( + 90 ) sin 1

Manipulando mais uma vez, e usando

cos sin =1

2 sin + sin

A equao de torque fica

=

2sin 2 2 +

2sin 2 2 cos 21 sin 2 2 +

2sin + 90 + 1

2sin + 90 1

E manipulando mais uma vez...

=

2sin 2 2 sin 2 2 +

4 sin 21 + 2 2 sin 21 2 + 2 +

2sin + 90 + 1

2sin + 90 1

Logo, uma condio para que exista torque mdio (termos atemporais)...

1 = 0 1 =

Logo, a expresso de torque fica

=

2sin 21 2 sin 21 2 +

4 sin 41 2 sin 2 +

2sin 90 + 21

2sin 90

Logo, removendo os termos dependentes do tempo, tem-se o torque mdio

=

4sin 2

2sin 90

=

4sin 2

2cos

Substituindo os valores das constantes...

= 1

41

2 1 1 1

21

Exemplo

Bobinas acopladas magneticamente

11 = 22 = 3 +2

3 ()

12 = 21 =1

3 ()

A) Se 1 = 5 (cc) e 2 = 0, qual a fora entre as bobinas para x = 0,01m? B) Se 1 = 5 (cc), e a segunda bobina est em circuito aberto, movendo-se na direo

positiva de x a uma velocidade constante de 20m/s, determine a tenso na bobina mvel

para x = 0,01m.

C) Se 1 = 7,07 sin 377, 2 = 0 e x = 0,01m, determine a fora mdia.

Resoluo

A) Como ano existe corrente na bobina dois, a fora portantevale

=1

2

11()

1

2

E como

11

=

2 103

3

1

2

A fora portante vale

= 103

3

12

2

Agora substituindo os valores...

= 52

3

103

0,012= 83,33

B) No se sabe qual a tenso da segunda bobina, ento

2 = 222 + 211

Logo

2 = 211

2 =5 103

3 0,01 2= 0,167

Logo, pode se dizer q a tenso nos terminais da bobina pode ser

=

Onde

=0,01

20= 0,0005

Logo, a tenso nos terminais da bobina vale

=0,167

0,0005= 334

C) Novamente, a expresso da fora para esse caso vale

= 103

3

12

2

Substituindo os valores

= 103

349,98

1

0,012sin2 377

Calculando, e manipulando trigonometricamente a equao...

= 166,6 1

2

1

2cos 754

Logo, a fora mdia vale

= 83,33

O que podemos tirar de concluso disso? Simples. A fora mdia, por no depender de termos

temporais, possui o mesmo valor de fora distncia de 0,001m, isso tambm se d por que o

valor RMS de 1 nesse problema, o mesmo valor da corrente contnua do problema A (bvio).

Exemplo (mais um)

Duas bobinas com acoplamento mtuo so mostradas abaixo. As indutncias das bobinas so

11 = , 22 = e 12 = 21 = cos . Determine o conjugado para A) 1 = , 2 = 0 B) 1 = 2 =

C) 1 = sin , 2 = D) 1 = 2 = sin E) Bobina fixa curto-circuitada e 2 =

Configurao das bobinas para o exemplo

Respostas

A) Como 2 = 0, tem-se

= =1

211

2

Logo, o conjugado ser

=

= 0

B) Para essas novas alimentaes, a expresso de energia armazenada vale

= =1

2 +

2 + 2 cos

Logo, a expresso de torque vale

= 2 sin

C) Nesse caso, a expresso de energia

= =1

2

2 sin2 +1

2

2 + sin cos

Logo,

= sin sin

D) Pulando algumas partes, verifica-se que o conjugado para esse caso

= 2 sin2 sin

E) Para a bobina fixa

=

=

111 + 122 = 0 111 + 122 = =

Portanto, para a corrente e indutncias conhecidas vale

1 = 12

E a energia armazenada vale

= =

2 12

2

+

2

2 + 12 12

=

2

2

122

2

2+

2

2

= =2

2+

2

2

2

22 cos2

Logo, a expresso de torque vale

=

2

2 cos sin

Converso eletromecnica de energia no campo eltrico

Como a densidade volumtrica de energia conseguida com campos eltricos usuais

muito menor do que a densidade volumtrica de energia conseguida com campos magnticos.

Logo, os conversores estudados no envolvem grandes potncias, porm, podem ser

extremamente sensveis, seletivos e de grande fidelidade (Usados em sensores de presena, de

presso, etc).

Um sistema de converso de energia de campo eltrico pode ser tratado de modo

anlogo ao caso de campo magntico para obter a fora produzida pelo campo eltrico e a carga

ou tenso nos terminais eltricos.

Exemplo de conversor eletromecnico (campo eltrico)

Para esse caso

= +

Onde

= =

=

Ento

= +

Em um dispositivo linear de campo eltrico, que proporcional a , isto , a permissividade constante. Ento tem-se que

=

Ento, assumindo dx=0...

=

Logo, a energia armazenada

=

0

=

()

0

=1

2

2

()=

1

2

Integrando por partes, tem-se a coenergia, da mesma forma que no campo magntico

=

0

=

0

Onde (tanto para dispositivos lineares quanto no-lineares)

=

0

E

+ =

E por analogia pode-se dizer que

=

( )

=

( )

E tambm por analogia

=1

22

()

Exemplo

Voltmetro eletrosttico do exemplo

Vendo a figura, tem-se que a capacitncia total vale

= 1 + 1

Tomando a capacitncia de placas paralelas por (como foi aprendido em Fsica III e

Eeletromagnetismo I...)

=

Onde A a rea da placa, e l a distncia entre elas e a permissividade do meio, e desprezando tudo que se tem direito, a expresso para a capacitncia total torna-se...

= 2 0()

A permissividade nesse caso a do ar, pois esse o dieltrico usado no dispositivo da figura, e

dessa forma, os capacitores formados podem ser considerados como eletricamente lineares.

Logo, a fora portantevale

=1

22

()

Onde

()

= 20

Ento a expresso da fora portante torna-se

= 20

Exemplo (onde b a profundidade da montagem)

Instrumento de medida

Para essa montagem, a capacitncia total vale

= 1 + 0

= 1

+ 0

( )

=

1 + 0 0

Logo, calaculando

()

=

(1 0)

A fora portante valer

=1

22

(1 0)

A fora portatnte atua sempre no sentido de aumentar a energia armazenada pelo referido

dispositivo.

Maquina eletrosttica rotativa

Exemplo de mquina eletrosttica rotativa

O torque para essa configurao encontrado por analogia tambm, logo

=1

22

()

E para = 0...

= 02

2

Para esse caso, a capacitncia pode ser aproximada por

= 02

2 1

2

, 0