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Controle Ótimo - Aula 5Filtro de Kalman

Adriano A. G. Siqueira e Marco H. Terra

Departamento de Engenharia Elétrica

Universidade de São Paulo - São Carlos

Controle Ótimo - Aula 5Filtro de Kalman – p.1/52

Informação imperfeita

Caso de informação perfeita, a política ótima consistia em realimentaro estado através de um atuador linear com relação ao estado

uk = Lkxk

No caso de informação imperfeita, quando o estado não é acessível,utiliza-se a realimentação de uma estimativa do estado

uk = LkE{xk|Ik}, Ik = (zk, zk−1, ..., z0, uk−1, ..., u0)

Implementação de um estimador

x̂k = E{xk|Ik}


Estabelecimento do problema

Considere o seguinte sistema linear

xk+1 = Akxk + wk, k = 0, .., N − 1

sendo xk ∈ Rn o estado, wk ∈ Rn o distúrbio aleatório, e as matrizesAk ∈ R

n×n são conhecidas. Note que o vetor de controle não aparecepois vimos que o erro de estimativa não depende do sinal de controle.

Vamos assumir que o estado xk não é disponível, mas que temos a cadainstante a seguinte medida do estado

zk = Ckxk + vk, k = 0, .., N − 1

sendo zk ∈ Rs o vetor das variáveis observadas, vk ∈ Rs o ruídoaleatório de medida.



Para os vetores aleatórios independentes, x0, wk, vk, assumimos que

H1) a condição inicial é gaussiana com covariância S :

E{(x0 − E{x0}) (x0 − E{x0})T} = S

H2) o distúrbio wk é gaussiano com média zero e branco:

E{wk} = 0, E{wkwTk } = Mk ≥ 0

H3) o distúrbio vk é gaussiano com média zero e branco:

E{vk} = 0, E{vkvTk } = Nk > 0



O problema é implementar um estimador que produz o valor esperadode xk condicionado às medidas zk, zk−1, ..., z0

x̂k = E{xk|zk, zk−1, ..., z0} = E{xk|Zk}

Note que como não temos entrada de controle, a informação que temosé dada por Zk :

Ik = (zk, zk−1, ..., z0, uk−1, ..., u0) = (zk, zk−1, ..., z0) = Zk


Estimativa Mínima Quadrática

Problema geral de estimativa estocástica

Considere duas variáveis aleatórias (escalares ou vetores coluna) x e ycom função densidade de probabilidade f(x, y) conhecida. Oproblema geral de estimação estocástica consiste na seguinte pergunta:

Dado que a variável y assumiu um determinado valor, o que pode serdito a respeito do valor assumido pela variável x ?

Estamos interessados em obter uma função x (.), chamada estimador,tal que

x̂ = x (y)

é a estimativa do valor assumido por x dado y



O estimador deve ser ótimo segundo o critério do erro quadráticomínimo

minx(y)Ex,y{‖x − x (y)‖2}

Vamos mostrar que o estimador E{x|y} é um estimador ótimo

Proposição E.1: O estimador ótimo quadrático para a variável x dadoo valor da variável y é dado por

x∗(y) = Ex{x|y}



Prova: Vamos usar a seguinte propriedade: Para quaisquer duasvariáveis aleatórias x e y tem-se

Ex,y{x} = Ey{Ex{x|y}}

Usando a propriedade acima

Ex,y{‖x − x (y)‖2} = Ey{Ex{‖x − x (y)‖

2 |y}

Com o valor de y fixo, o problema de achar a função x (.) queminimiza o erro quadrático é equivalente a

minz∈RnEx{‖x − z‖2 |y} para todo y ∈ Rm



Para cada z ∈ Rn fixo temos

Ex{‖x − z‖2 |y} = Ex{‖x‖

2 |y} − 2zT Ex{x|y} + ‖z‖2

Igualando a zero a derivada em relação a z, temos que a expressãoacima é minimizada por

z = Ex{x|y}

Custo ótimo

J∗ (z = Ex{x|y}) = Ex{‖x‖2 |y} − ‖Ex{x|y}‖

2



Proposição E.2: Se x e y são vetores aleatórios conjuntamentegaussianos, então a estimativa mínima quadrática E{x|y} de x dado yé linear em y

Prova: Considere z =

[x

y

]e assuma que z é Gaussiano com média

z = E{z} =

[E{x}

E{y}

]=

[x

y

]e matriz de covariância

Σ = E{(z − z)(z − z)T}

=

[E{(x − x)(x − x)T} E{(x − x)(y − y)T}

E{(y − y)(x − x)T} E{(y − y)(y − y)T}

]=

[Σxx Σxy

Σyx Σyy

]



Sendo z gaussiano, sua função densidade de probabilidade é

f (z) = f (x, y) = 1(2π)(n+m)/2(detΣ)1/2

exp[−12(z − z)T Σ−1 (z − z)]

De forma similar

f (x) = c1exp[−12(x − x)T Σ−1xx (x − x)]

f (y) = c2exp[−12(y − y)T Σ−1yy (y − y)]

Pela regra de Bayes

f (x|y) = f(x,y)f(y)

= c3exp[−1

2

((z − z)T Σ−1zz (z − z) − (y − y)

T Σ−1yy (y − y))]



Note que Σ =

[Σxx Σxy

Σyx Σyy

]

=

[I ΣxyΣ

−1yy

0 I

][Σxx − ΣxyΣ

−1yy Σyx 0

0 Σyy

][I 0

Σ−1yy Σyx I

]

Assim

(z − z)T Σ−1 (z − z)

= (∗)T[(

Σxx − ΣxyΣ−1yy Σyx

)−10

0 Σ−1yy

][I −ΣxyΣ

−1yy

0 I

][x − x

y − y

]

= (∗)T[(

Σxx − ΣxyΣ−1yy Σyx

)−10

0 Σ−1yy

][x − x − ΣxyΣ

−1yy (y − y)

y − y

]



= (∗)T(Σxx − ΣxyΣ

−1yy Σyx

)−1 (x − x − ΣxyΣ

−1yy (y − y)

)

+ (y − y)T Σ−1yy (y − y)

Portanto,((z − z)T Σ−1zz (z − z) − (y − y)

T Σ−1yy (y − y))

= (∗)T(Σxx − ΣxyΣ

−1yy Σyx

)−1 (x − x − ΣxyΣ

−1yy (y − y)

)

e

f (x|y) = f(x,y)f(y)

= c3exp[−1

2(∗)T

(Σxx − ΣxyΣ

−1yy Σyx

)−1 (x − x − ΣxyΣ

−1yy (y − y)

)]



E assim, a função densidade de probabilidade condicional é gaussianade média(x + ΣxyΣ

−1yy (y − y)

)

e variância

Σxx − ΣxyΣ−1yy Σyx.

Segue que a média condicional de x dado y é dada por

Ex{x|y} =∫ +∞−∞

xf(x|y)dx = x + ΣxyΣ−1yy (y − y) = Ay + b

com

A = ΣxyΣ−1yy e b = x + ΣxyΣ

−1yy y


Estimativa Mínima QuadráticaLinear

Vamos considerar estimadores lineares

x (y) = Ay + b

Um estimador linear

x̂ (y) = Ây + b̂

sendo que Â e b̂ minimizam

Ex,y{‖x − Ay − b‖2}

sobre todas as matrizes A ∈ Rn×m e vetores b ∈ Rn é denominado umestimador linear mínimo quadrático.



Proposição E.3: Sejam duas variáveis aleatórias x e y, com dadadistribuição de probabilidade conjunta, e

E{x} = x, E{y} = y

E{(x − x)(x − x)T} = Σxx, E{(x − x)(y − y)T} = Σxy

E{(y − y)(x − x)T} = Σyx, E{(y − y)(y − y)T} = Σyy

O estimador linear mínimo quadrado de x dado y é dado por

x̂ (y) = x + ΣxyΣ−1yy (y − y)

A correspondente matriz de covariância do erro é dada por

Ex,y{(x − x̂ (y)) (x − x̂ (y))T} = Σxx − ΣxyΣ

−1yy Σyx



Prova: O estimador linear é definido como

x̂ (y) = Ây + b̂

sendo que Â e b̂ minimizam

f (A, b) = Ex,y{‖x − Ay − b‖2}

Derivando com relação a A e b e igualando a zero

∂f

∂A|Â,̂b

= 2Ex,y{(̂b + Ây − x)yT} = 0

∂f

∂b|Â,̂b

= 2Ex,y{b̂ + Ây − x} = 0 ⇒ b̂ = x − Ây



Substituindo na primeira

Ex,y{y(Â(y − y) − (x − x))T} = 0

Tem-se que

Ex,y{Â(y − y) − (x − x)}T = 0

Então

yEx,y{Â(y − y) − (x − x)}T = 0

Fazendo

Ex,y{y(Â(y − y) − (x − x))T} − yEx,y{Â(y − y) − (x − x)}

T

= Ex,y{(y − y)(Â(y − y) − (x − x)T} = 0



Ex,y{(y − y)(Â(y − y) − (x − x)T} = 0

é equivalente a

ΣyyÂT − Σyx = 0 ⇒ Â = Σ

TyxΣ

−1yy = ΣxyΣ

−1yy

Portanto

x̂ (y) = Ây + b̂ = x + ΣxyΣ−1yy (y − y)

A matriz de covariância do erro é obtida substituindo este resultado em

Ex,y{(x − x̂ (y)) (x − x̂ (y))T} = Σxx − ΣxyΣ

−1yy Σyx



Note que as estimativas e matrizes de covariância do erro sãoexatamente iguais na Proposição E.2 e Proposição E.3.

Assim, em termos de desenvolvimento geral da teoria de estimativapodemos considerar que os ruídos são Gaussianos ou considerar que osruídos tem distribuição qualquer e considerar o melhor estimadorlinear.

Note que apenas no caso de ruídos são Gaussianos temos que a melhorestimativa linear x̂ (y) é igual a Ex{x|y}.

Quando voltarmos ao problema de controle ótimo com informaçãoimperfeita, vamos querer realimentar Ex{x|y} e assim, a hipótese deruídos Gaussianos é necessária.



Corolário E.3.1: O estimador linear mínimo quadrático x̂ (y) énão-tendencioso (unbiased), isto é,

Ey{x̂ (y)} = x.

Prova:

Imediato substituindo a expressão de x̂ (y)

Ey{x̂ (y)} = Ey{x + ΣxyΣ−1yy (y − y)} = x



Corolário E.3.2: O erro de estimativa x − x̂ (y) é não-correlacionadocom ambos, y e x̂ (y), isto é,

Ex,y{y(x − x̂ (y))T} = 0

Ex,y{x̂ (y) (x − x̂ (y))T} = 0

Prova: Primeira, equação da derivada de f em relação à A:Ex,y{(̂b + Ây − x)y

T} = 0.

Segunda, escrita como

Ex,y{(Ây + b̂)(x − x̂ (y))T}

= Ex,y{Ây(x − x̂ (y))T + b̂(x − x̂ (y))T} = 0



Corolário E.3.3: Considere a variável aleatória z definida comocombinação linear de x

z = Cx

sendo C uma matriz p × n. Então a estimativa linear mínimoquadrático de z dado y é dado por

ẑ (y) = Cx̂ (y)

A correspondente matriz de covariância do erro é dada por

Ez,y{(z − ẑ (y)) (z − ẑ (y))T} = CEx,y{(x − x̂ (y)) (x − x̂ (y))

T}CT



Prova: E{z} = z = Cx

Σzz = Ez{(z − z)(z − z)T} = CΣxxC

T

Σzy = Ez,y{(z − z)(y − y)T} = CΣxy

Pela Prop. 3.1ẑ (y) = z + ΣzyΣ

−1yy (y − y)

= Cx + CΣxyΣ−1yy (y − y) = Cx̂ (y)

Ez,y{(z − ẑ (y)) (z − ẑ (y))T} = Σzz − ΣzyΣ

−1yy Σyz

= C(Σxx − ΣxyΣ−1yy Σyx)C

T

= CEx,y{(x − x̂ (y)) (x − x̂ (y))T}CT



Corolário E.3.4: Considere x e y de média e covariância conjunta(conhecidas) e defina a variável aleatória z como combinação linearde y

z = Cy + u

sendo C uma matriz p × m de posto linha pleno e u um vetor p × 1dado. Então o estimador linear mínimo quadrático de x dado z é dadopor

x̂ (z) = x + ΣxyCT

(CΣyyC

T)−1

(z − Cy − u)

e a correspondente matriz de covariância do erro é dada por

Ex,z{(x − x̂ (z)) (x − x̂ (z))T} = Σxx − ΣxyC

T(CΣyyC

T)−1

CΣyx



Prova: E{z} = z = Cy + u

Σzz = Ez{(z − z)(z − z)T} = CΣyyC

T

Σzx = Ez,y{(z − z)(x − x)T} = CΣyx

Pela Prop. 3.1x̂ (z) = x + ΣxzΣ

−1zz (z − z)

= x + ΣxyCT

(CΣyyC

T)−1

(z − Cy − u)

Ez,x{(x − x̂ (z)) (x − x̂ (z))T} = Σxx − ΣxzΣ

−1zz Σzx

= Σxx − ΣxyCT

(CΣyyC

T)−1

CΣyx



Corolário E.3.5: Seja

z = Cx + v

sendo C uma matriz m × n e v um vetor m × 1 dado. Considere que xe v são não correlacionados. Então o estimador linear mínimoquadrático de x dado z é dado por

x̂ (z) = x + ΣxxCT

(CΣxxC

T − Σvv)−1

(z − Cx − v)

e a correspondente matriz de covariância do erro é dada por

Ex,v{(x − x̂ (z)) (x − x̂ (z))T} = Σxx − ΣxxC

T(CΣxxC

T)−1

CΣxx



Prova: Sejam y = (xT vT )T , y = (xT vT )T

Temos x = (I 0)y e pelo Cor. E.3.3

x̂(z) = (I 0)ŷ(z)

E{(x − x̂ (z)) (x − x̂ (z))T} =

(I 0)E{(y − ŷ (z)) (y − ŷ (z))T}(I 0)T

Temos ainda z = C̃y, sendo C̃ = (C I).



Utilizando o Cor. E.3.4 com u = 0 e x = y temos

ŷ (z) = y + ΣyyC̃T

(C̃ΣyyC̃

T)−1 (

z − C̃y)

E{(y − ŷ (z)) (y − ŷ (z))T} = Σyy − ΣyyC̃T

(C̃ΣyyC̃

T)−1

C̃Σyy

Substituindo

Σyy =

[Σxx 0

0 Σvv

]e C̃ = (C I)

o resultado é obtido



Corolário E.3.6:Considere x, y e z vetores aleatórios de média ecovariância conhecidas com y e z não correlacionados e com Σzz > 0

Então o estimador linear mínimo quadrático de x dados y e z seescreve em termos dos estimadores individuais como

x̂ (y, z) = x̂ (y) + x̂ (z) − x

e a correspondente matriz de covariância do erro é

Ex,y,z{(x − x̂ (y, z)) (x − x̂ (y, z))T}

= Σxx − ΣxyΣ−1yy Σyx − ΣxzΣ

−1zz Σzx



Prova: Sejam w = (yT zT )T , w = (yT zT )T

Pela Prop. E.3

x̂ (w) = x + ΣxwΣ−1ww (w − w)

Temos

Σxw =[E{(x − x)(y − y)T} E{(x − x)(z − z)T}

]

=[Σxy Σxz

]

e, como y e z são não correlacionados

Σww =

[Σyy 0

0 Σzz

]



Substituindo e somando e subtraindo x

x̂ (y, z) = x + ΣxyΣ−1yy (y − y) + x + ΣxzΣ

−1zz (z − z) − x =

x̂ (y) + x̂ (z) − x

Pela Prop. E.3, temos que a correspondente matriz de covariância doerro é dada por

Ex,y,z{(x − x̂ (y, z)) (x − x̂ (y, z))T} = Σxx − ΣxwΣ

−1wwΣwx

= Σxx −[Σxy Σxz

] [Σyy 00 Σzz

]−1 [Σyx

Σzx

]

= Σxx − ΣxyΣ−1yy Σyx − ΣxzΣ

−1zz Σzx



Corolário E.3.7:Considere x, y e z como anteriormente, mas com y ez não necessariamente não correlacionados. Então o estimador linearmínimo quadrático de x dados y e z é

x̂ (y, z) = x̂ (y) + x̂ (z − ẑ (y)) − x

e a correspondente matriz de covariância do erro é

Ex,y,z{(x − x̂ (y, z)) (x − x̂ (y, z))T}

= Σxx − ΣxyΣ−1yy Σyx − Σ̂xzΣ̂

−1zz Σ̂zx

sendoΣ̂xz = E{(x − x) (z − ẑ (y))

T}

Σ̂zz = E{(z − ẑ (y)) (z − ẑ (y))T}



Prova: Como ẑ (y) é uma função linear em y, o estimador x dado(y, z) é o mesmo estimador de x dado (y, z − ẑ (y)).

x (y, z − ẑ (y)) = A

[y

z − ẑ (y)

]+ b =

[A1 A2

] [ yz − αy − β

]+ b

= A1y + A2 (z − αy − β) + b

= (A1 − A2α) y + A2z + (b − A2β) = x (y, z)

Pelo Corol. E.3.2, os vetores aleatórios y e z − ẑ (y) são nãocorrelacionados

Assim, o resultado segue do Corol. E.3.6.


Estimativa Mínima Quadrática dosestados

Considere o seguinte sistema linear

xk+1 = Akxk + wk, k = 0, .., N − 1

sendo xk ∈ Rn o estado, wk ∈ Rn o distúrbio aleatório, e as matrizesAk ∈ R

n×n são conhecidas.

Vamos assumir que o estado xk não é disponível, mas que temos a cadainstante a seguinte medida do estado

zk = Ckxk + vk, k = 0, .., N − 1

sendo zk ∈ Rs o vetor das variáveis observadas, vk ∈ Rs o ruídoaleatório de medida.


Estimativa Mínima Quadrática dosestados

Para os vetores aleatórios independentes, x0, wk, vk, assumimos que

H1) a condição inicial é gaussiana com covariância S :

E{(x0 − E{x0}) (x0 − E{x0})T} = S

H2) o distúrbio wk é gaussiano com média zero e branco:

E{wk} = 0, E{wkwTk } = Mk ≥ 0

H3) o distúrbio vk é gaussiano com média zero e branco:

E{vk} = 0, E{vkvTk } = Nk > 0


Estimativa Mínima Quadrática dosestados: forma não recursiva

Baseados nos resultados de estimativa mínimos quadrados, podemosdeterminar facilmente uma expressão para a estimativa de xk ou aindade xk+1 dados os valores de zk, zk−1, ..., z0.

Considere as informações medidas e os ruídos na forma matricial

Zk =

z0...

zk−1

zk

, rk−1 =

x0

w0...

wk−1

, Vk =

v0

v1...

vk



Neste caso, o sistema de equações de estado se escreve como

xi+1 = Liri, 0 ≤ i ≤ k

sendo Li a matriz n × (n (i + 1)) dada por

Li =[Ai · · ·A0, Ai · · ·A1, · · · , Ai, I

]



Assim temos,

Zk = Φk−1rk−1 + Vk

sendo Φk−1 a matriz s (k + 1) × (nk) dada por

Φk−1 =

C0 0 · · · · · · 0

C1L0 0 · · · 0...

. . ....

Ck−1Lk−2 0

CkLk−1



Temos xk expresso como uma função linear em rk−1. Assim, oproblema está essencialmente resolvido se obtivermos uma estimativamínimo quadrado para rk−1 dado Zk usando (2).

Notação:

x̂k+1|k = x̂k+1 (Zk): estimativa linear mínimo quadrática de xk+1 dadoZk

x̂k|k = x̂k (Zk) estimativa mínimo quadrática de xk dado Zk

r̂k−1|k = r̂k−1 (Zk) estimativa mínimo quadrática de rk−1dado Zk



Pelo Corolário E.3.5 podemos determinar

r̂k−1|k e E{(rk−1 − r̂k−1|k

) (rk−1 − r̂k−1|k

)T}

e pelo Corolário E.3.3 temos

x̂k|k = Lk−1r̂k−1|k

E{(xk − x̂k|k

) (xk − x̂k|k

)T} =

Lk−1E{(rk−1 − r̂k−1|k

) (rk−1 − r̂k−1|k

)T}LTk−1

Note que quando o número de medidas k se torna grande esteprocedimento se torna muito trabalhoso computacionalmente.


Filtro de Kalman

Filtro de Kalman: Estimador mínimo quadrático dos estados para umsistema dinâmico de tempo discreto na forma recursiva

Rudolf Emil Kalman

(Budapeste, Hungria, 1930)

R. E. Kalman. A new approach to linear filtering and predictionproblems. Transactions of the ASME-Journal of Basic Engineering,vol. 82, pp.35-45, 1960.


Filtro de Kalman

Notação:x̂k+1|k = x̂k+1 (Zk): estimativa linear mínimo quadrática de xk+1 dadoZk

x̂k|k = x̂k (Zk) estimativa mínimo quadrática de xk dado Zk

Σk+1|k: matriz covariância do erro para estimar xk+1 dado Zk, ou seja,

Σk+1|k = E{(xk+1 − x̂k+1|k

) (xk+1 − x̂k+1|k

)T}

Σk|k: matriz covariância do erro para estimar xk dado Zk, ou seja,

Σk|k = E{(xk − x̂k|k

) (xk − x̂k|k

)T}


Filtro de Kalman

Suponha que x̂k|k−1 já tenha sido calculado e

Σk|k−1 = E{(xk − x̂k|k−1

) (xk − x̂k|k−1

)T}

No tempo k, obtém-se a medida

zk = Ckxk + vk

Pelo Corol. E.3.7, calcula-se o estimador linear de xk dadosZk−1 = (z

T0 , ..., z

Tk−1) e zk:

x̂k|k = x̂k|k−1 + x̂k(zk − ẑk(Zk−1)) − E{xk}

sendo ẑk(Zk−1) o estimador linear de zk dado Zk−1 ex̂k(zk − ẑk(Zk−1)) o estimador linear de xk dado zk − ẑk(Zk−1)


Filtro de Kalman

Cálculo de x̂k(zk − ẑk(Zk−1)). Pelo Corol. E.3.3:

ẑk(Zk−1) = Ckx̂k|k−1

e E{(zk − ẑk(Zk−1)) (zk − ẑk(Zk−1))T} = CkΣk|k−1C

Tk + Nk

Temos

E{xk (zk − ẑk(Zk−1))T} = E{xk

(Ck(xk − x̂k|k−1)

)T} + E{xkv

Tk }

=E{(xk − x̂k|k−1)(xk − x̂k|k−1)T}CTk + E{x̂k|k−1(xk − x̂k|k−1)T}CTk

=E{(xk − x̂k|k−1)(xk − x̂k|k−1)T}CTk = Σk|k−1CTk

pois E{x̂k|k−1(xk − x̂k|k−1)T}CTk = 0 pelo Corl. E.3.2


Filtro de Kalman

Utilizando as equações anteriores e a Prop. E.3

x̂k(zk − ẑk(Zk−1)) =

E{xk} + Σk|k−1CTk

(CkΣk|k−1C

Tk + Nk

)−1(zk − Ckx̂k|k−1)

Portanto,

x̂k|k = x̂k|k−1 + x̂k(zk − ẑk(Zk−1)) − E{xk}

= x̂k|k−1 + Σk|k−1CTk

(CkΣk|k−1C

Tk + Nk

)−1(zk − Ckx̂k|k−1)

Pelo Corol. E.3.3

x̂k+1|k = Akx̂k|k


Filtro de Kalman

Considerando a equação dinâmica, a hipótese H2 e o Corol. E.3.3

E{(xk+1 − x̂k+1|k

) (xk+1 − x̂k+1|k

)T}

= AkE{(xk − x̂k|k

) (xk − x̂k|k

)T}ATk + Mk

Σk+1|k = AkΣk|kATk + Mk

A matriz de covariância Σk|k pode ser calculada pelo Corol. E.3.7 deforma similar ao realizado para x̂k|k

Σk|k = Σk|k−1 − Σk|k−1CTk

(CkΣk|k−1C

Tk + Nk

)−1CkΣk|k−1


Filtro de Kalman

Portanto,x̂k|k = x̂k|k−1 + Σk|k−1C

Tk

(CkΣk|k−1C

Tk + Nk

)−1(zk − Ckx̂k|k−1)

x̂k+1|k = Akx̂k|k

Σk|k = Σk|k−1 − Σk|k−1CTk

(CkΣk|k−1C

Tk + Nk

)−1CkΣk|k−1

Σk+1|k = AkΣk|kATk + Mk

Constituem o Filtro de Kalman, com condições iniciais x̂0|−1 = E{x0}e Σ0|−1 = S


Filtro de Kalman: regimepermanente

Para condição inicial Σ0|−1 = S, temos

Σk+1|k =

Ak

(Σk|k−1 − Σk|k−1C

Tk

(CkΣk|k−1C

Tk + Nk

)−1CkΣk|k−1

)ATk + Mk

Esta é uma Equação de Riccati.

Considerando as matrizes do sistema constantes (Ak = A,...), o par(A,C) observável e o par (A,D) controlável, sendo M = DT D, então

Σ = A(Σ − ΣCT

(CΣCT + N

)−1CΣ

)AT + M


Filtro de Kalman: regimepermanente

Nas mesmas condições,Σk|k → Σ

Σ = Σ − ΣCT(CΣCT + N

)−1CΣ

Portanto

x̂k|k = Ax̂k−1|k−1 + Buk−1 + ΣCT N−1(zk − CAx̂k−1|k−1 − CBuk−1)


large {Informação imperfeita}large {Estabelecimento do problema}large {Estabelecimento do problema}large {Estabelecimento do problema}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática Linear}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática dos estados}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática dos estados}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática dos estados: forma não recursiva}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática dos estados: forma não recursiva}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática dos estados: forma não recursiva}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática dos estados: forma não recursiva}large {Estimativa Ma 'i nima Quadrática dos estados: forma não recursiva}large {Filtro de Kalman}large {Filtro de Kalman}large {Filtro de Kalman}large {Filtro de Kalman}large {Filtro de Kalman}large {Filtro de Kalman}large {Filtro de Kalman}large {Filtro de Kalman}large {Filtro de Kalman}large {Filtro de Kalman: regime permanente}large {Filtro de Kalman: regime permanente}

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