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Curso de Controle Discreto 2 Pe. Pedro M. Guimares Ferreira S.J.

http://www.fplf.org.br/pedro_varios/

(Texto bsico deste curso: Katsuiko Ogata, Discrete-time Control Systems. Prentice-Hall, Second Edition, 1995) CAPTULO 4: SNTESE DE SISTEMAS DE CONTROLE DE TEMPO DISCRETO ATRAVS DE MTODOS CONVENCIONAIS 4-1 Introduo Os mtodos apresentados neste captulo tm sido bem dominados desde os anos 1950s. O primeiro mtodo baseado no root locus j estudado nos sistemas de tempo contnuo, uma ferramenta ainda muito til, pois nos d uma visualizao do que acontece com os plos da funo de transferncia quando o ganho do sistema em malha fechada varia. O segundo mtodo baseado na resposta no domnio da frequncia. O terceiro mtodo, ao contrrio dos dois primeiros, que so grficos, um mtodo analtico, no qual tentamos obter um certo comportamento do sistema em malha fechada, manipulando a funo de transferncia de pulso do controlador digital. 4-2 Mapeamento entre o plano s e o plano z Como se sabe, tanto a estabilidade absoluta como a relativa de um sistema de tempo contnuo depende da localizao de seus plos no plano s. Tendo em vista que as variveis s e z so relacionadas por Tsz e= , claro que os plos e zeros no plano z esto relacionados aos do plano s. Consequentemente, a estabilidade dos sistemas lineares de tempo discreto tambm fica determinada pela localizao dos plos no plano z. Ora, definindo as partes real e imaginria: s j = + , (*) temos ( ) ( 2 )T j T jT T j T kz e e e e e + += = = . (**) Consequentemente, para cada s, h uma infinidade de valores de z, pois k = 0; 1; 2; 3;... Se o sistema de tempo contnuo for estvel, temos 0 < e se o sistema de tempo discreto for estvel, temos 1Tz e = < . Observe-se que o eixo dos imaginrios no plano s corresponde a 1z = . Ou seja, o eixo imaginrio ( 0 = ) corresponde ao crculo unitrio no plano z, e o semi-plano aberto da esquerda para os sistemas de tempo contnuo corresponde ao interior do crculo unitrio para os sistemas de tempo discreto. Faixas primrias e complementares Considere os pontos no eixo imaginrio do plano s. Seja s a frequncia de amostragem. Consideremos (*) e (**) acima; quando um ponto se move no eixo imaginrio do plano

s de 12 s

j a 12 s

j , no plano z ns temos 1z = e arg( )z varia de sT = a sT = no sentido trigonomtrico, isto , no sentido anti-horrio, percorrendo todo o

2

crculo unitrio, pois quando varia de 12 s

j a 12 s

j , passa por = 0, o que corresponde a T = 0. Consequentemente, quando s percorre o eixo imaginrio de a + , o crculo unitrio no plano z percorrido um nmero infinito de vezes. Isto implica que o semi-plano da esquerda no plano s pode ser dividido em um nmero infinito de faixas de largura s , conforme a figura 4-1abaixo. A faixa central chamada primria, enquanto que as outras so chamadas complementares.

Considere a faixa primria. Se traarmos a sequncia de pontos 1-2-3-4-5-1 no plano s, conforme a figura 4-2(a) abaixo, esta trajetria mapeada no plano z conforme a figura 4-2(b). Observe-se que os pontos 3 e 4 abaixo na figura (a) esto em - , sendo mapeados na origem no plano z.

3

Na figura abaixo as imagens nos planos s e z para dois valores de . Observe-se que quando a abacissa no plano s menor que zero, o crculo correspondente tem raio menor que 1; se estiver direita, maior, resultado da expresso Tsz e= .

-Uma reta no plano s paralela ao eixo dos reais, com ordenada 1 mapeada no plano z como uma linha radial que parte da origem e com ngulo 1T no sentido trigonomtrico, como se pode ver na figura 4-5 abaixo.

-Uma regio retangular no plano s mapeada no plano z por uma regio limitada por duas linhas radiais e dois arcos circulares, conforme a figura 4-6 abaixo, observando-se que o crculo no exterior da figura tem raio unitrio.

4

-Uma linha radial no plano s, que corresponde, conforme sabido pela teoria de sistemas de tempo contnuo, a uma taxa de amortecimento, mapeada no plano z em uma espiral que termina na origem. Para demonstrarmos este fato, seja

21n n n ds j j = + = + , onde 21d n = : ver figura 4-7(a) abaixo. No plano z esta linha se torna exp( )Ts n dz e T j T = = + . E tendo em vista a expresso de T em funo da frequncia de amostragem, vem

2

2exp 21

d d

s s

z j = +

, donde 2

2exp1

d

s

z =

e arg( ) 2 ds

z = . Por conseguinte, a magnitude de z diminui e a sua fase aumenta medida que d cresce, mantidos e T constantes, donde que z descreve uma espiral logartmica, como mostrado na figura 4-7(b) abaixo.

5

Note-se que para uma dada relao constante /d s , a magnitude de z torna-se uma funo somente de e a fase de z se torna constante. Por exemplo, se a taxa de amortecimento for 0,3 e se /d s = 0,25, temos

2

2 0,3exp 0,25 0,611 0,3

z = = e 0arg( ) 2 0,25 90z = = .

Com /d s = 0,5 , temos 22 0,3exp 0,5 0,37251 0,3

z = = e

0arg( ) 2 0,5 180z = = . Assim, a espiral pode ser parametrizada em funo de /d s (ver fig. 4-7(b)). 4-3 Anlise da estabilidade de sistemas em malha fechada no plano z Considere o seguinte sistema em malha fechada de tempo discreto dado pela sua

transformada z: ( ) ( )( ) 1 ( )

C z G zR z GH z

= + . (4-3) fcil verificar (faa!) que este sistema em malha fechada (SMF) tem ( )G z no canal direto e ( )H z no canal de realimentao. A estabilidade, como sabemos, pode ser analisada a partir da equao caracterstica:

( ) 1 ( ) 0P z GH z= + = . Analogamente aos sistemas de tempo contnuo, temos: - Para que o sistema seja estvel, as razes da eq. caracterstica devem estar no interior do crculo unitrio no plano z. (As razes da eq. caracterstica so os plos do SMF). Qualquer plo fora do crculo unitrio torna o SMF instvel. - Se existir um plo simples em z = 1, o sistema criticamente estvel (tambm se diz marginalmente estvel). O sistema tambm criticamente estvel se existir um par de plos conjugados, com grau de multiplicidade um sobre o crculo unitrio. Qualquer plo mltiplo no crculo unitrio torna o sistema instvel. OBSERVACO: A estabilidade e a estabilidade crtica (marginal) so chamadas na literatura especializada de BIBO estabilidade e BIBO estabilidade crtica, respectivamente, a palavra BIBO significando bounded input bounded output. Ou seja, se a entrada do SMF for limitada (bounded), a sada tambm o ser se o sistema for BIBO estvel, e analogamente para os outros dois casos. Exemplo 4-2: Considere o SMF da figura 4-13 abaixo. Determine a estabilidade do sistema quando K = 1. O canal direto, a partir do ganho K tem funo de transferncia

1 1( )( 1)

seG ss s s

= + .

6

Soluo: Vimos na eq. (3-58) que obtemos 1 1 0,3679 0, 2642( ) Z

( 1) ( 0,3679)( 1)

se zG zs s s z z

+= = + (4-4)

Donde que a eq. caracterstica : 1 ( ) 0 ( 0,3679)( 1) 0,3679 0,2642 0G z z z z+ = + + = , ou seja, 2 0,6321 0z z + = . Acham-se as razes desta eq.: 1 20,5 0,6181 e 0,5 0,6181z j z j= + = . Donde,

1 2 1z z= < , e, portanto o SMF estvel. Mtodos para testar a estabilidade absoluta H trs mtodos para determinar a estabilidade de um sistema sem ter que resolver sua eq. caracterstica. Estudaremos dois deles. Observe-se que com o progresso dos computadores e programas confiveis como MATLAB, MAPPLE e MATHEMATICA, as razes de um polinmio podem ser calculadas com facilidade, o que torna menos importante os mtodos a seguir, os quais, entretanto ainda tm valor analtico, permitindo, por exemplo, estabelecer relaes entre coeficientes de um polinmio. O mtodo de Jury Seja o polinmio caracterstico

10 1 1( ) ...

n nn nP z a z a z a z a

= + + + + , 0 0a > (4-5)

(Se 0 0a < , multiplica-se a eq. por -1, o que no lhe altera as razes). Constri-se a Tabela 4-1 abaixo

onde

1

0 1

n n k

k

k

a ab

a a

+= , 0;1;2;...; 1k n=

7

1 2

0 1

, 0;1;2;...; 2n n kkk

b bc k n

b b

+= =

.......................................................... 3 2

0 1

, 0;1;2kkk

p pq k

p p

+= =

O critrio de estabilidade de Jury nos diz que o polinmio caracterstico dado em (4-5) estvel se as seguintes condies forem satisfeitas: 1. 0na a< 2.

1( ) 0

zP z = >

3. 1

0 se for par( )

0 se for imparzn

P zn=

> > > (Observe-se que o teorema de Jury nos d condio suficiente, mas no necessria). Exemplo 4-3: Utilizando o critrio de Jury, estabelecer as condies de estabilidade da seguinte eq. caracterstica: 4 3 20 1 2 3 4( ) 0P z a z a z a z a z a= + + + + = , 0 0a > . Soluo: As quatro condies acima nos do imediatamente:

4 0 0 1 2 3 4, (1) 0,a a P a a a a a< = + + + + > 0 1 2 3 4 3 0 2 0( 1) 0, , P a a a a a b b c c = + + > > >

Claro que 3 0 2 0, , e b b c c tm que ser calculados de acordo com as frmulas acima. (Faa-o!) Exemplo 4-4: Examinar a estabilidade da seguinte equao caracterstica:

4 3 2( ) 1,2 0,07 0,3 0,08 0P z z z z z= + + = Soluo: Claro que a primeira condio -0,08 < 1 satisfeita. Quanto segunda condio, (1) 1 1,2 0,07 0,4 0,08 0,09 0P = + + = > , tambm satisfeita. Terceira condio: ( 1) 1 1,2 0,07 0,3 0,08 1,89P = + + = > 0, tambm satisfeita. Quarta condio:

0,3 11,024

1 0,08= ,

0

0,08 0,030,096 0,03 0,066

1 1,2b

= = + = , a condio sendo satisfeita, pois temos

3 0b b> . Etc... Conclui-se que o sistema estvel. Anlise de estabilidade utilizando transformao bilinear e o critrio de estabilidade de Routh

Considere a transformao bilinear 11

szs+= . Esta transformao dita bilinear, porque

ela nos d 1zs z s = + , ou seja, uma equao linear em z quando s constante e linear

8

em s quando z constante. Desta ltima obtemos imediatamente 11

zsz+= , uma relao

simtrica, como se v. Veremos agora que esta transformao mapeia o interior do crculo unitrio no semi- plano da esquerda e vice versa. Seja s j = + . O interior do crculo unitrio no plano z dado, portanto por

1 1 11 1

s jzs j

+ + += =

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- Tempo de retardo (delay time) dt : definido como o tempo para que a resposta atinja a metade do valor em regime permanente. - Tempo de subida (rise time) rt : definido como o tempo para que a resposta atinja de 10% a 90% do seu valor final, ou de 5% a 95%, ou de 0% a 100%, dependendo da situao. Para sistemas sub-amortecidos, a faixa de 10% a 90% usada comumente. - Tempo de pico pt : definido como o tempo para que a resposta atinja o pico da primeira ultrapassagem do valor final. - Ultrapassagem (overshoot) mxima pM : medida acima do valor final, correspondendo ao pico mximo atingido pela resposta. - Tempo de assentamento (settling time) st : o tempo necessrio para que a resposta atinja e permanea dentro de uma faixa, para mais ou para menos, em torno do valor final, usualmente 2%. O tempo de assentamento relacionado maior constante de tempo do sistema de controles. Os parmetros, ou especificaes, acima so importantes, pois no basta apenas saber se o valor final desejado atingido. Assim, por exemplo, se pM muito grande, o sistema pode queimar. Mas algumas das especificaes acima no se aplicam a alguns sistemas: por exemplo, se o sistema for super-amortecido, o tempo de pico e a ultrapassagem mxima no se aplicam. E, por outro lado, outras especificaes podem se aplicar, como por exemplo, se houver um erro em regime permanente, desejvel que ele se mantenha dentro de limites aceitveis. A resposta de um sistema a um delta de Kronecker, a um degrau, a uma rampa, etc. podem ser facilmente obtidas utilizando o MATLAB, como veremos no exemplo seguinte: Exemplo 4-8: Seja o sistema de controle de tempo discreto definido por

2

( ) 0, 4673 0,3393( ) 1,5327 0,6607

C z zR z z z

= + . (4-10) Obter, utilizando o MATLAB, a resposta do sistema a um degrau unitrio. Abaixo os comandos do MATLAB Program 4-1.

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O resultado obtido est na Figura 4-17 abaixo.

Anlise do erro em regime permanente No que se segue, investigaremos um tipo de erro em regime permanente, resultado da incapacidade do sistema de seguir alguns tipos de entrada. Assim, por exemplo, um sistema pode no apresentar erro em regime permanente quando a entrada um degrau, mas sim, se a entrada for uma rampa. Seja um sistema de tempo contnuo cuja funo de transferncia em malha aberta :

1 2

( 1)( 1)...( 1)( ) ( )( 1)( 1)...( 1)

a b mN

p

K T s T s T sG s H ss T s T s T s

+ + += + + + . (Este sistema dito do tipo N porque tem um plo na origem com grau de multiplicidade N). Como se viu no curso de sistemas de tempo contnuo, um sistema de tipo 0 (zero) dar uma resposta com erro finito, diferente de zero em regime permanente a um degrau de entrada, supondo que o sistema seja estvel. Sistemas de tipo 1 daro resposta com erro nulo em regime permanente a um degrau de entrada e erro finito, diferente de zero a uma rampa de entrada. Aumentar o tipo do sistema pode criar dificuldade na estabilizao do mesmo. Estas idias podem ser estendidas para sistemas de tempo discreto da seguinte maneira:

11

Os sistemas de tempo discreto podem ser classificados igualmente conforme seu tipo de acordo com o nmero de plos em z = 1 na sua funo de transferncia em malha aberta. Suponha, com efeito, que a funo de transferncia em malha aberta de um sistema de

tempo discreto seja dada por 1 ( )( 1) ( )N

B zz A z , onde

( )( )

B zA z

no contm zero ou plo em z

= 1. Ento o sistema pode ser classificado de tipo 0;1;2;..., de acordo com o valor de N. E o sentido o mesmo do de tempo contnuo no que se refere resposta em regime permanente do SMF a entradas em degraus, rampas, parbolas, etc., todas em tempo discreto. Seja o sistema da figura 4-18 abaixo.

Suponhamos que o mesmo seja estvel de modo que o teorema do valor final possa ser aplicado para achar o valor da resposta em regime permanente. Do diagrama de blocos, temos ( ) ( ) ( )e t r t b t= . Ora, do teorema do valor final (tabela 2-2, entrada 17), temos

1

1lim ( ) lim[(1 ) ( )]k z

e kT z E z = (4-11)

Definamos 1( )

( ) (1 )Z pG s

G z zs

= e

1( ) ( )

( ) (1 )Z pG s H s

GH z zs

= .

Ento, do diagrama de blocos, ( ) ( )( ) 1 ( )

C z GH zR z GH z

= + e

1( ) ( )1 ( )

E z R zGH z

= + . (4-12) Substituindo-se esta em (4-11), obtemos a expresso do erro em regime permanente

(steady-state): 11

1lim (1 ) ( )1 ( )ss z

e z R zGH z

= + . (4-13)

Tal como no caso de sistemas de tempo contnuo, comum considerar-se especialmente trs tipos de entradas: degrau unitrio, rampa unitria e acelerao unitria.

Degrau unitrio: ( ) 1( )r t t= (trata-se de degrau unitrio aplicado em t = 0).

Da tabela 2-1 temos 11( )

1R z

z= .

12

Substituindo isto em (4-13), vem: 1 11 11 1 1lim (1 ) lim

1 ( ) 1 1 ( )ss z ze z

GH z z GH z

= = + + .

Define-se a constante de erro de posio esttica como 1lim ( )p zK GH z= . (4-14) Consequentemente, o erro em regime permanente devido a uma entrada em degrau

unitrio 11ss p

eK

= + . (4-15) claro que este erro em regime permanente se anula se s se pK = , o que implica que ( )GH z tenha um plo em z = 1.

Rampa unitria: ( ) 1( )r t t t= , cuja transformada z (ver Tabela 2-1):

1

1 2( ) (1 )TzR z

z

= . Substituindo esta expresso em (4-13), temos:

11

1 21

1lim (1 )1 ( ) (1 )ss z

Tze zGH z z

= +

= 1

11lim

(1 )(1 ( ))zTz

z GH z

+

= 11lim (1 )(1 ( ))zT

z GH z + 1

1

1 (1 )(1 ( ))limz

ss

z GH ze T

+ =

Define-se a constante de erro de velocidade 1

1

(1 )(1 ( ))limv zz GH zK

T

+= . (4-16)

Por conseguinte, 1ssv

eK

= . (4-17) Se vK = , ento o erro em regime permanente nulo. Mas de (4-16) claro que isto implica que ( )GH z tenha um plo duplo em z = 1.

Parbola unitria:

definida usualmente como 21( ) 1( )2

r t t t= ; o fator 12

colocado de modo que a sua

derivada seja a rampa unitria. A transformada z (ver Tabela 2-1) : 2 1 1

1 3

(1 )( )2(1 )

T z zR zz

+= . Substituindo esta em (4-13), temos 2 1 1

11 31

1 (1 )lim (1 )1 ( ) 2(1 )ss z

T z ze zGH z z

+= +

= 2

1 21lim

(1 ) (1 ( ))zT

z GH z +

1 2

21

1 (1 ) (1 ( ))limz

ss

z GH ze T

+ =

. Definindo analogamente, como nos casos anteriores,

a constante de erro de acelerao 1 2

21

(1 ) (1 ( ))lima zz GH zK

T

+= , (4-18)

temos 1ssa

eK

= . (4-19) O erro em regime permanente se torna nulo se s se aK = , o que implica, de acordo com (4-18), que ( )GH z tenha um plo triplo em z = 1.

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A Tabela 4-5 abaixo tem as trs constantes de erros em regime permanente para diversos tipos de configurao.

O primeiro e o segundo caso so diferentes, porque, como j vimos, em geral, ( ) ( ) ( )GH z G z H z ; e o 3. e o 4. caso so diferentes porque 2 2( ) ( ) ( )HG z H z G z .

Resposta a distrbios At agora estudamos a resposta da planta a sinais de referncia que se deseja rastreados em regime permanente com regime transitrio satisfatrio. Passemos agora ao estudo da resposta do sistema a distrbios. Considere a figura 4-19 abaixo. Na figura (a) o sinal de referncia suposto nulo, conforme indicado no prprio diagrama de blocos. E, portanto o diagrama de blocos pode ser redesenhado como na figura (b).

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Ento, ( ) ( )( ) 1 ( ) ( )D

C z G zN z G z G z

= + . (*) Ora, se ( ) ( ) 1DG z G z para 1z < , que a regio de estabilidade, ento temos

( ) 1( ) ( )D

C zN z G z

. (**) Ora, remetendo-nos figura (a), temos ( ) ( ) ( ) ( )E z R z C z C z= = . Disto e da expresso anterior, temos 1( ) ( )

( )DE z N z

G z .

Portanto, quanto maior o ganho de ( )DG z , tanto menor o erro ( )E z . Se ( )DG z inclui um integrador (o que significa que ( )DG z tem um plo em z = 1), ento o erro em regime permanente devido a um distrbio constante nulo. Com efeito,

um distrbio constante tem transformada z igual a 1( ) 1AN zz

= .

Ora, se ( )DG z tem um plo em z = 1, podemos escrever ( )( )1

DD

G zG zz

=

, onde ( )DG z no tem zero em z = 1 (isto , seu numerador no tem raiz em z = 1). Ento, o erro em

regime permanente : 1 11 1

( )lim[(1 ) ( )] lim (1 )( )ss z z D

N ze z E z zG z

= =

=1 1

1 11lim lim( ) ( )1

z zD D

Azz z Azz

z zG z G zz

= = 0.

Na realidade, podemos chegar a esta concluso sem precisar supor a aproximao (**) acima. Com efeito, de (*), se ( )DG z inclui um integrador e supondo que ele no seja cancelado pelo numerador de ( )G z , obtm-se a mesma concluso. E note-se que no cancelamento de razes instveis no produto ( ) ( )DG z G z condio necessria para a estabilidade do SMF, como sabido do curso de sistemas de tempo contnuo.

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Recordamos aqui, da teoria geral de sistemas lineares, que se um sistema submetido simultaneamente a um sinal de referncia e a um distrbio, a resposta vai ser a superposio das duas respostas.

Considere o sistema da figura 4-20(a) abaixo, em que o distrbio aplicado na sada da planta.

fcil verificar que ( ) ( ) 1( ) ( ) 1 ( ) ( )D

C z E zN z N z G z G z

= = + . Consequentemente, para minimizar o efeito do distrbio sobre o erro, o ganho de

( ) ( )DG z G z deve ser to grande quanto possvel.

Entretanto, para a figura (b), temos ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) ( )

D

D

G z G zC z E zN z N z G z G z

= = + , e neste caso, para minimizar o efeito do distrbio, o ganho de ( ) ( )DG z G z deve ser to pequeno quanto possvel.

claro ento que deve haver um compromisso, quando se trata de minimizar ambos os efeitos. Usualmente, procura-se o compromisso principalmente na banda de frequncias que interessa.

Ou ento, se as freqncias correspondentes ao sinal de referncia e ao distrbio forem suficientemente disjuntas, as duas condies, isto , ganhos de ( ) ( )DG z G z pequeno e grande podem ser satisfeitas satisfatoriamente.

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4-5 Projeto baseado no lugar das razes (root locus) O mtodo do root locus para sistemas de tempo contnuo, j estudado no curso anterior, pode ser aplicado sem alterao, a no ser o fato de que a fronteira entre a parte boa (estvel) no plano complexo o interior do crculo unitrio e no o semi plano aberto da esquerda. Seja o sistema da figura 4-21 abaixo.

A equao caracterstica do sistema 1 ( ) ( )G z H z+ = 0. O MATLAB fornece o root locus, de modo que no precisaremos gastar tempo e energia nos clculos. Entretanto, bom que dominemos o conceito, de resto simples, da idia do root locus, de modo a podermos interpretar os resultados obtidos no computador. Definindo

( ) ( ) ( )F z G z H z= , a eq. caracterstica re-escrita 1 ( ) 0F z+ = . (*) Observe-se que ( )F z a funo de transferncia em malha aberta. Da eq. acima, temos

( ) 1F z = , o que implica ( ) 1F z = ,

0arg[ ( )] (2 1) (2 1)180F z k k= + = + , k = 1; 2;3;... Recorda-se que os plos e zeros de ( )F z aparecem aos pares conjugados; como conseqncia, o root locus sempre simtrico com relao ao eixo real. Portanto, basta construir a parte superior (acima do eixo dos reais) do root locus, a parte inferior sendo simtrica.

Regras gerais para construir o lugar das razes de um SMF 1. A partir da eq. (*) acima, escrevemos

1 2

1 2

( )( )...( )1 0( )( )...( )

m

n

K z z z z z zz p z p z p

+ + ++ =+ + + . (**) Suporemos, como habitual no root locus, que K > 0. A partir da forma fatorada acima do numerador e do denominador, plotamos no plano z os zeros e plos de ( )F z . 2. Os pontos do root locus correspondentes a K = 0 so os plos do sistema em malha aberta, enquanto que os pontos do root locus correspondentes a K = so os zeros do sistema em malha aberta. O root locus ter tantos ramos quantas so as razes da eq. caracterstica. Cada ramo comea num plo do sistema em malha aberta e termina num zero do mesmo. A quase totalidade dos sistemas em controles so prprios, isto , o grau do numerador de ( )F z menor ou igual ao do denominador. E a maioria deles so estritamente prprios, ou seja, o grau do numerador estritamente menor do que o grau

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do denominador de ( )F z . Como consequncia, neste caso, ( )F z tem zero(s) no infinito. E isto significa que o(s) ramo(s) correspondente(s) partindo do(s) respectivo(s) plo(s) vai (vo) para o infinito. Ou seja, olhando para a eq. (**) acima, vemos que n m ramos do root locus vo para o infinito. 3. Determinar os ramos do root locus no eixo dos reais; eles so constitudos por plos e zeros do sistema em malha aberta sobre o dito eixo. Para que um ponto do eixo real pertena a um ramo do root locus, necessrio (e suficiente), que o nmero total de zeros e plos do sistema em malha aberta sua direita seja mpar. 4. Como dito acima, sendo n > m, h ramos que vo para o infinito; para determinar os ngulos das assntotas a estes ramos, usa-se a frmula

0(2 1) 180ngulo das assntotas = , 0;1;2;...;N N n mn m

+ = . claro que cada par de assntotas simtrico com relao ao eixo dos reais. O ponto em que elas se interceptam no dito eixo dado por

1 2 1 2... ( ... )n ma

p p p z z zn m

+ + + += . (4-21) 5. A seguir, calculam-se os pontos breakaway e break-in, os quais ou esto no eixo real ou ocorrem em pares de complexos conjugados. Se existe um ramo do root locus entre dois plos no eixo real, ento existe um ponto breakaway no dito eixo entre os dois plos. E de modo semelhante, se existe um ramo do root locus entre dois zeros no eixo real (um deles podendo estar no infinito), ento existe pelo menos um ponto de break-in entre os dois zeros.

Seja ( )( )( )

KB zF zA z

= . Da eq. (*) acima temos ( )( )

A zKB z

= , (4-22) e os pontos breakaway e break-in so as razes da eq.

2

'( ) ( ) ( ) '( )( )

dK A z B z A z B zdz B z

= = 0 (4-23) onde (') indica derivada com relao a z. Todas as razes de (4-23) correspondentes a valores positivos de K so pontos breakaway ou break-in. 6. Em seguida, determinam-se os ngulos de partida e de chegada dos pontos complexos do root locus. Conforme mostrado na figura 4-22, abaixo, o ngulo de partida (ou de chegada) de um plo (ou zero) do root locus igual a 0180 menos a soma dos ngulos dos vetores que ligam os outros plos e zeros ao dito plo (zero). Na figura, temos um ponto de partida de um plo indicado com um no 2. quadrante; no caso, o sistema tem trs plos (indicados com ) e um zero (indicado com uma bolinha). Esta a indicao universal para plos e zeros no root locus. 7. A seguir, acham-se os pontos em que o root locus cruza o crculo unitrio, o que resolvido facilmente fazendo 1z = na eq. caracterstica (*) ou (**), igualando-se as partes real e imaginria, obtendo duas eqs. a partir das quais se podem obter z e o respectivo valor de K.

18

8. Como diz o prprio nome, o root locus o lugar das razes da eq. caracterstica do SMF, ou seja, o lugar dos plos do SMF quando K varia de zero a infinito. Observe-se que dado um certo K, para que ele satisfaa eq. caracterstica, ter que valer a relao,

de acordo com (**): 1 21 2

( )( )...( ) 1( )( )...( )

m

n

z z z z z zz p z p z p K+ + + =+ + + . Para um dado K, possvel

localizar os plos do SMF pelo mtodo de tentativa-e-erro.

Cancelamento de plos e zeros no produto ( ) ( )G z H z importante observar que os plos que forem cancelados no produto ( ) ( )G z H z no aparecem no root locus. Assim, por exemplo, seja o SMF da figura 4-21 acima. Se

( )( )( )

z cG zz a z b

+= + + e ( )z aH zz d+= + , obtemos ( ) ( ) ( )( )

z cG z H zz b z d

+= + + , e a partir desta expresso que se constri o root locus. Os plos so obtidos da eq. caracterstica

( )1 ( ) ( ) 1( )( )

K z cG z H zz b z d

++ = + + + = 0, donde ( )( ) ( ) 0z b z d K z c+ + + + = nos do os plos que aparecem no root locus quando K varia de zero a infinito. Entretanto, note-se que a funo de transferncia do SMF

( )( ) ( )( )( )( )

( )1 ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )1( )( )

K z cG z K z c z dz a z b

K z c z aG z H z z a z b z d K z a z cz a z b z d

++ ++ += =+ ++ + + + + + ++ + + +

= ( )( )( )[( )( ) ( )]

K z c z dz a z b z d K z c

+ ++ + + + + , donde se v que z = -a um plo do SMF, foi o

plo cancelado no produto ( ) ( )G z H z .

Root locus de controle de sistemas digitais No que se segue, investigaremos o efeito do ganho K e do perodo de amostragem T na estabilidade de um SMF tal como o da figura 4-23 abaixo.

19

Suponha que o controlador digital do tipo integral, ou seja, 1( ) 1 1DK zG z Kz z

= = . Vamos construir o root locus para trs valores do perodo de amostragem T: 0,5; 1 e 2 segundos. Vamos determinar tambm o valor crtico de K para cada caso. E, finalmente, vamos calcular os valores crticos dos plos do SMF (isto , a partir dos quais o SMF se torna instvel), para K = 2 em cada um dos trs casos. Calculemos primeiramente a transformada z de ( ) ( )h pG s G s :

1 1Z[ ( ) ( )] Z1

Ts

h peG s G ss s

= + = 1 1(1 )Z

( 1)z

s s + =

1 1 1(1 )Z1

zs s

+ = 1

1 Tz z z

z z z e =

1 1 11T T

T T T

z z e z ez e z e z e

+ = = . Donde que a funo de transferncia de pulso do canal direto, que a do sistema em

malha aberta, : 1( ) ( )Z[ ( ) ( )]1

T

D h p T

z eG z G z G s G s Kz z e

= = . (4-25)

A equao caracterstica 1 ( ) 0G z+ = , ou seja, 11 01

T

T

z eKz z e

+ = (4-26)

- Consideremos primeiramente T = 0,5 seg. A eq. (4-25) nos d 0,3935( )

( 1)( 0,6065)KzG z

z z= .

Para construirmos o root locus, que est na figura 4-24 (a) abaixo, plotamos primeiramente os plos e zeros de ( )G z .

20

Os plos so indicados com e o zero com um pequeno crculo, todos, neste caso, no eixo dos reais. Usualmente se indica no root locus a evoluo dos plos, medida que K aumenta, setas indicando esta evoluo, o que no feito na figura. Com K = 0, os plos do SMF so os plos de ( )G z . O root locus tem dois ramos, porque tem dois plos. O ramo que comea em z = 1 caminha para a esquerda quando K aumenta, enquanto que o ramo que comea em z = 0,6065 caminha para a direita encontrando o outro no ponto breakaway, que calculado, como vimos da eq. (4-22). Os dois ramos se afastam simetricamente em relao ao eixo dos reais e se encontram no ponto break-in, ambos estes pontos sendo obtidos pela mesma maneira:

( 1)( 0,6065)0,3935

z zKz

= (4-27) e igualando a zero a derivada com relao a z:

2

0,3935 ( 0,6065 1) 0,3935( 1)( 0,6065)(0,3935 )

dK z z z z zdz z

+ = = 2 2 2

2 2

2 1,6065 1,6065 0,6065 0,6065 00,3935 0,3935

z z z z zz z

+ = = , donde obtemos z = 0,7788 ; o valor positivo o ponto breakaway, enquanto que o negativo o ponto break-in.

21

Substituindo estes valores em (4-27), achamos K = 0,1244 e K = 8.041, respectivamente. O root locus neste caso tem uma parte circular, como mostra a figura; na realidade, para chegarmos a esta concluso, precisamos levantar ponto por ponto, isto , para cada valor de K, determinar os plos do SMF. Mas que esta curva seja um crculo, tambm pode ser demonstrado analiticamente. (Tente!). Como se v na figura (a), o ramo da esquerda sobre o eixo real vai para o infinito, saindo fora do crculo unitrio, ou seja, o sistema torna-se instvel a partir de um certo valor de K. Para determinar este valor de K, utilizamos a eq. (4-26), que repetimos:

11 01

T

T

z eKz z e

+ = ; substituindo T = 0,5 , obtemos ( 1)( 0,6065)

0,3935z zK

z = e com z

= -1, temos ( 2)( 1,6065)0,3935

K = = 8,165. - Vejamos agora o root locus quando T = 1. Reportamo-nos figura (b) acima. Neste

caso, da eq. (4-25), temos 0,6321( )( 1)( 0,3679)

KzG zz z

= . Calculando como no caso anterior a partir da eq., mas com os valores diferentes, acham-se os pontos breakaway e break-in, a saber, z = 0,6065 e z = - 06065, respectivamente, ou seja, simtricos com relao origem. Os valores correspondentes de K so K = 0,2449 e 4,083. Como se poderia esperar, tendo em vista o caso anterior, ele circular. Utilizando o mesmo mtodo que no caso anterior, calcula-se o valor crtico de K a partir do qual o SMF se torna instvel, obtendo-se K = 4,328.

- Passemos finalmente ao caso em que T = 2, reportando-nos figura (c) acima. Neste

caso, a eq. (4-25) nos d: 0,8647( )( 1)( 0,1353)

KzG zz z

= . Calculando os pontos de breakaway e de break-in, temos (ver figura(c)) z = 0,3678 e z = -0,3678, respectivamente, simtricos com relao origem. Obtm-se o valor crtico de K a partir do qual o SMF se torna instvel: K = 2,626. Observe-se que os root loci diminuem de dimetro quando se aumenta o perodo T de amostragem. E verifica-se que, quanto maior o perodo de amostragem, menor se torna tambm o valor de K a partir do qual o SMF se torna instvel, ou seja, quanto menor a frequncia de amostragem, menor a margem de estabilidade do SMF. Uma receita de bolo que se usa para o valor do perodo de amostragem a seguinte: o perodo de amostragem deve ser 8 ou 10 vezes menor do que o das oscilaes na resposta do sistema, se o sistema for sub-amortecido. Se o sistema for super-amortecido, o perodo de amostragem deve ser 8 ou 10 vezes menor do que o do tempo de subida no caso de resposta a um degrau. Efetivamente, fazendo-se o tempo de amostragem cada vez menor, o que se torna sempre mais possvel com a lei de Moore (at quando?), o sistema de tempo discreto tem um comportamento que se aproxima do de tempo contnuo. Efeitos do perodo de amostragem T nas caractersticas do regime transitrio: Se o fator de amortecimento do SMF , ento o plo correspondente no plano s acima do eixo real 21n ns j = + e sendo Tsz e= , temos ( )2exp ( 1 )n nz T j = + , (4-29)

22

donde nTz e = e 2arg[ ] 1n dz T T = = = (em radianos). (4-30) Assim, se T = 0,5 e K = 2, fcil verificar que o plo do SMF com parte imaginria positiva : z = 0,4098 +j0,6623. Portanto, 2 20, 4098 0,6623z = + = 0,7788, donde

nTe = 0,7788, ou seja, nT = 0,25. (4-31)

Por outro lado, 0,6623arg[ ] 58,25 1,01670,4098

z arctg rad= = =D . (4-32)

Desta, de (4-30) e de (4-31), vem 2

0,251,01671

n

n

TT

= , donde 2 0, 24591

= , que

nos d = 0,2388. Voltemos figura 4-23, cuja funo de transferncia de pulso do canal direto ( )G z e

cuja funo de transferncia de pulso do SMF ( )1 ( )

G zG z+ , onde ( )G z dado pela eq.

(4-25), ou seja, ( )1 ( )

G zG z+ =

(1 )( 1)( ) (1 )

T

T T

Kz ez z e Kz e

+ .

Com T = 0,5 e K = 2, temos a transformada da resposta a um degrau unitrio de

entrada: 0,3935 2( ) ( )( 1)( 0,6065) 0,3935 2

zC z R zz z z

= + . Dividindo-se numerador e denominador da expresso por 2z e tendo em vista a tabela 2-1 para a transformada do

degrau unitrio, temos 1

1 2 1

0,787 1( )1 0,8195 0,6065 1

zC zz z z

= + . A figura 4-26 (a)

abaixo d a resposta do sistema.

23

Quando T = 1 e o mesmo K (= 2), temos a resposta ao degrau unitrio: 1

1 2 1

1, 2642 1( )1 0,1037 0,3679 1

zC zz z z

= + , o resultado sendo mostrado na fig. (b) acima.

Quando T = 2, com o mesmo K, temos: 1

1 2 1

1,7294 1( )1 0,5941 0,1353 1

zC zz z z

= + + , o

resultado estando na fig. (c). Nas trs figuras (a), (b) e (c), os pontos escuros correspondem a c(kT) e o tracejado uma interpolao. Comparando-se as figs. (a) e (c), fica evidente que a primeira muito mais precisa, ou seja, quanto menor o perodo de amostragem, melhor ser a fidelidade da resposta em tempo discreto. Se 0T , temos a resposta em tempo contnuo, da qual nos aproximamos medida que os processadores se tornam mais rpidos. Nos trs casos acima o teorema da amostragem (Shannon) satisfeito, mas a terceira resposta (c) pouco satisfatria. Isto mostra, que no basta satisfazer ao dito teorema. A receita de bolo aqui a mesma j enunciada antes: 8 a 10 amostras por ciclo, se o sistema sub-amortecido, como o caso acima, pois apresenta oscilao na resposta. A seguir, investigaremos o efeito do perodo de amostragem no erro em regime permanente. Consideraremos a rampa unitria como entrada nos trs casos tratados. De (4-25) com T = 0,5 e K =2, temos a funo de transferncia de pulso do canal direto:

0,787( )( 1)( 0,6065)

zG zz z

= . Portanto a constante de erro de velocidade dada por

24

1

1

(1 ) ( )limv z

z G zK

T

= =

1

1 0, 787lim

0,5 ( 1)( 0, 6065)zz z

z z z

= 4; portanto, o erro em regime

permanente : 1 0,25ssv

eK

= = .

Com T = 1 e K =2, temos 1,2642( )( 1)( 0,3679)

zG zz z

= , donde que a constante de erro de

velocidade 1

1

(1 ) ( )limv z

z G zK

T

= =

1

1 1, 2642lim

( 1)( 0,3679)zz z

z z z

= 2

e, portanto, o erro em regime permanente igual a 0,5.

Finalmente, com T = 2 e o mesmo K, temos 1,7294( )( 1)( 0,1353)

zG zz z

= e pelo mesmo procedimento nos casos anteriores obtemos o erro em regime permanente igual a 1. A figura 4-27 abaixo mostra as trs situaes e, de novo, quanto menor o perodo de amostragem, melhor a resposta.

Exemplo 4-9: Considere o SMF da figura 4-28 abaixo. Projetar um controlador digital tal que os plos dominantes no SMF tenham um fator de amortecimento = 0,5 e um

25

tempo de assentamento igual a 2 segundos. O perodo de amostragem T = 0,2 seg. Obter a resposta do sistema a um degrau de amplitude unitria, bem como a constante de velocidade vK do sistema.

Soluo: para sistemas padro com um par de plos dominantes, temos, conforme estudado no curso de sistemas de tempo contnuo: tempo de assentamento = 2 =

4 40,5n n = .

(Aqui o tempo de assentamento est sendo definido como o tempo a partir do qual o erro da resposta, em valor absoluto, inferior a 2% . Se se quisesse ficar dentro de 5%, o numerador da expresso acima seria igual a 3). Donde que n = 4, que a frequncia natural no amortecida. Mas a frequncia natural real a amortecida, isto , 21d n = = 24 1 0,5 = 3,464. J a frequncia de amostragem dada por 2s T

= = 20,2 = 31,42.

Observe-se que dividindo este nmero pelo anterior, isto , 31,42/3,464 , obtemos aproximadamente 9,07, ou seja, cerca de 9 amostragem por ciclo de oscilao amortecida, um nmero que satisfaz regra de bolo antes mencionada, o que nos leva a concluir que o perodo de amostragem igual a 0,2 satisfatrio.

Repetimos aqui a eq. (4-29): ( )( )2exp 1n nz T j = + ; tendo em vista as expresses de n e s , dadas logo acima, temos:

nTz e = =2

2exp1

d

s

= 2

2exp1

d

s

e 2arg[ ] d d

s

z T = = . Ora, do enunciado do problema temos que = 0,5 e, como vimos, d = 3,464 e s = 31,42 . Substituindo-se estes valores acima, temos:

2

2 0,5 3,464exp31,421 0,5

z = = 0,4e = 0,6703 e

2arg[ ] 3,46431,42

z = = 0,6927 rad. = 39,69D . Portanto, 0,6703arg[39,69 ] 0,5158 0,4281z j= = +D . A funo de transferncia de pulso da planta precedida do segurador

0,21 1( ) Z( 2)

seG zs s s

= + = 1 2

1(1 )Z( 2)

zs s

+ . Decompondo em fraes parciais

26

o que est entre colchetes, usando a Tabela 2-1 e calculando, obtemos: 0,01758( 0,876)( )( -1)( - 0,6703)

zG zz z

+= . Vamos, tentativamente, escolher um compensador ( )DG z

para o sistema. Seja ( )( )DK z bG z

z a+= + . Ora, se ( )G z tiver um plo estvel, ele pode ser

cancelado. Ento escolhamos ( 0,6703)( )DK zG z

z a= + . Ento a eq. caracterstica do

SMF ser ( 1)( ) 0,01758 ( 0,876)z z a K z + + + . Os parmetros a e K sero escolhidos de modo a obtermos uma resposta satisfatria. Com efeito, sejam -c e -d os plos desejados, de modo que o polinmio. caracterstico desejado seja ( )( )z c z d+ + =

2 ( )z c d z cd+ + + . (*) Com a escolha de ( )DG z acima, o polinmio caracterstico do sistema ( 1)( ) 0,01758 ( 0,876)z z a K z + + + = 2 ( 1 0,01758 ) 0,01758 0,876z a K z a K+ + + = 2 ( 1 0,01758 ) 0,0154z a K z a K+ + + . Igualando os coeficientes deste com os de (*) acima, temos 1 0,01758a K c d + = + ,

0,0154a K cd + = . Somando membro a membro estas duas eqs., temos 10,03298 1

0,03298c d cdK c d cd K + + + = + + = e, por conseguinte, 0,0154a K cd= .

claro que c e d devem ser escolhidos de modo que as razes de (*) fiquem no interior do crculo unitrio. Se escolhermos, por exemplo, um plo duplo na origem, temos de (*), c = d = 0 e, portanto, K = 1/ 0,03298 = 30,32 e a = 0,0154K = 0,4669. Com isto, temos o controlador definido e o clculo da resposta a um degrau unitrio rotina. Observe-se que G(z) tem um plo em 1 e, portanto, aplicando o teorema do valor final, obteremos erro nulo em regime permanente.

4-6 Projeto com o mtodo da resposta em frequncia Os conceitos da resposta em frequncia tm a mesma importncia em sistemas de tempo discreto que em sistemas de tempo contnuo. Supe-se neste curso que o aluno j esteja familiarizado com os mtodos de resposta em frequncia dos sistemas de tempo contnuo. Sabemos que a resposta de um sistema linear a um sinal senoidal preserva a frequncia e modifica somente a amplitude e a fase do sinal de entrada.

Resposta de um sistema de tempo discreto a uma funo senoidal de entrada. A resposta em frequncia de ( )G z pode ser obtida substituindo-se z = j Te em ( )G z . Seja o sistema de tempo discreto, que suporemos estvel na figura 4-31abaixo:

O sinal de entrada ( )u t sen t= , conforme indicado acima.

27

Ento o sinal amostrado ( ) ( )u kT sen k T= , cuja transformada z : ( ) Z[ ]U z senk T= =

( )( )j T j Tzsen T

z e z e

, conforme a entrada 14 da tabela 2-1. Ento, a

resposta do sistema dada por ( ) ( ) ( ) ( )( )( )j T j T

zsen TX z G z U z G zz e z e

= = .

Obtemos uma expresso do tipo ( )X z = j T j Taz az

z e z e + + termos devidos aos plos

de ( )G z , onde a e a so complexos conjugados. (4-34) Multiplicando ambos os lados desta eq. por ( ) /j Tz e z , obtemos

( ) j Tsen TG z

z e = a +

( )j T j Tj T

a z e z ez e z

+ [termos devidos aos plos de ( )G z ]. Ora, quando z tende para j Te , a segunda e a terceira parcelas do lado direito acima tendem para zero, tendo em vista que ( )G z estvel.

Donde, ( )j T

j Tz e

sen Ta G zz e

== = ( ) j T j T

sen TG j Te e

= ( )cos cos

sen TG j TT jsen T T jsen T

+ + = ( )2

j TG ej

e, portanto, ( )

2

j TG eaj

= .

Definamos ( )j T jG e Me = ( )j T jG e Me = . Consequentemente, a eq. (4-34) pode ser escrita como

( )2 2

j j

j T j T

Me z Me zX zj z e j z e

= + termos devidos aos plos de ( )G z , ou ainda,

( )X z = 2

j j

j T j T

M e z e zj z e z e

+ termos devidos aos plos de ( )G z .

A transformada inversa desta ltima : 1( ) ( ) Z [

2jk T j jk T jMx kT e e e e

j = + termos devidos aos plos de ( )G z ] .

O ltimo termo do lado direito representa o regime transitrio; sendo ( )G z estvel, estes termos tendero a zero. Portanto a resposta em regime permanente :

( )( ) 2 jk T j jk T jss Mx kT e e e ej = = ( )( ) ( )2 j k T j k TM e ej + + (4-35) = ( )cos( ) ( ) cos( ) ( )

2M k T jsen k T k T jsen k T

j + + + + + +

= ( )Msen k T + , (4-36) onde, como vimos, M o ganho do sistema de tempo discreto quando submetido a uma entrada senoidal e dado por M = ( ) ( )j TM G e = e

( )( )( ) arg j TG e = = . Portanto, a eq. (4-36) pode ser escrita como

( )( )( )( ) ( ) argj T j Tssx kT G e sen k T G e = + . Acabamos de provar que ( )j TG e d a magnitude e a fase da resposta em frequncia de

( )G z . Portanto, para obter a resposta em frequncia de ( )G z , basta substituir z por

28

j Te em ( )G z . A funo ( )j TG e comumente chamada de funo de transferncia de pulso senoidal. Observe-se que ( (2 / )) 2j T T j T je e e + = = j Te , donde se conclui que a funo ( )j TG e peridica, com perodo igual a T.

Exemplo 4-10: Considere o sistema dado por ( ) ( ) (( 1) )x kT u kT ax k T= + com 0 1a< < . Obter a resposta em regime permanente

quando a entrada ( )u kT a senoide amostrada, ou seja, ( ) ( )u kT Asen k T= . Soluo: A transformada z da eq. que define o sistema :

1( ) ( ) ( )X z U z az X z= + . Definindo ( )G z = ( ) / ( )X z U z , temos ( )G z = 1

11 az . Substituindo z por

j Te em

( )G z , temos ( )j TG e = 1 11 1 cosj Tae a T jasen T = + . Donde,

2

1( )1 2 cos

j TG e Ma a T

= = + e arg[ ( )] 1 cos

j T asen TG e arctga T

= = . E, portanto, a resposta em regime permanente :

2( ) ( )

1 cos1 2 cosss

A asen Tx kT AMsen k T sen k T arctga Ta a T

= + = +

Transformao bilinear para o plano z A fim de aplicar os mtodos de frequncia a sistemas de tempo discreto, uma transformao de varivel se faz necessria. Com efeito, tendo em vista que no plano z temos z = j Te , se tratarmos da resposta em frequncia, a simplicidade dos diagrama de Bode, que logartmico ser perdida. Mais ainda, como o semi-plano da esquerda mapeado no interior do crculo unitrio, os mtodos frequenciais, que tratam do semi-plano inteiro, no se aplicam ao plano z . Tendo em vista isto, uma mudana de varivel se impe se quisermos usar o diagrama de Bode para sistemas de tempo discreto. A transformao usada :

1 ( / 2)1 ( / 2)

T wzT w

+= , (4-37) onde T o perodo de amostragem. Da eq. acima, temos imediatamente

2 11

zwT z

= + . (4-38)

Os mapeamentos Tsz e= e 2 11

zwT z

= + so mostrados na figura 4-32 abaixo.

29

Observe-se que na figura (a), temos uma faixa no semi-plano da esquerda, ao passo que na figura (c), temos todo o semi-plano da esquerda. Na figura (b) o crculo o unitrio. Atravs do mapeamento (4-38), ( )G w pode ser tratada como uma funo de transferncia em w. Substituindo w por j , tcnicas convencionais de resposta em frequncia podem ser usadas para traar o diagrama de Bode. Faremos agora uma breve reviso do diagrama de Bode nesta seo, usando a frequncia como varivel. A frequncia fictcia e a frequncia atual so relacionadas por:

/ 2 / 2

/ 2 / 2

2 1 2 1 2 11 1 1j T

j T j T j T

j T j T j Tw jz e

z e e ew jT z T e T e e

=

=

= = = =+ + + ; dividindo

numerador e denominador por / 2j Te , temos:(1/ 2) (1/ 2)

(1/ 2) (1/ 2)

2 22

j T j T

j T j T

e e Tj jtgT e e T

= =+ , ou

seja, 22Ttg

T = , (4-39)

que d a relao entre a frequncia atual e a frequncia fictcia . Observe-se de (4-39) e tambm da figura 4-32 que, enquanto varia de -0,5 s a 0, a frequncia fictcia varia de a 0, e enquanto a primeira varia de 0 a 0,5 s , a segunda varia de 0 a . A figura 4-33 abaixo mostra a relao entre a frequncia fictcia multiplicada por T/2 e a frequncia atual , quando esta varia de 0 a 0,5 s .

30

Seja observado que quando T pequeno, ento 2 2T Ttg e, de (4-39), temos

. Isto mostra que, para T pequeno, as funes de transferncia ( )G s e ( )G w se parecem. Note-se que esta uma consequncia da introduo do fator de escala 2/T em (4-37). Isto significa que a funo de transferncia no plano w se aproxima da no plano s quando T se aproxima de zero, algo sempre mais realista medida que avana a micro-eletrnica, de acordo com a lei de Moore.

Exemplo 4-11: Considere a funo de transferncia da figura 4-34 abaixo. O perodo de amostragem 0,1 seg. Calcular ( )G w .

Soluo: A transformada z de ( )G s 1 10( ) Z10

TseG z

s s

= +

1 10(1 )Z( 10)

zs s

= + 0,6321

0,3679z= . Substituindo z dado por (4-37), obtemos, com T = 0,1

0,6321( ) 1 0,05 0,36791 0,05

G w ww

= +

0,6321(1 0,05 ) (1 0,05 )9,2410,6321 0,0684 9,241

w ww w

= =+ + .

Observe-se que a planta ( )G s tem um plo em s = -10, enquanto que no plano w, o plo est em -9,241, no muito distante; quanto ao ganho, o da planta 10 e o no plano w tambm 9,241, de novo no muito distante. Mas, em compensao, em ( )G w aparece um zero em 20 = 2/T, o que no ocorre na planta. Mas, efetivamente, quando T tende a zero, o zero em w = 2/T, se aproxima do infinito, que um zero da planta ( )G s .

Diagramas de Bode O diagrama de Bode, que nos d o ganho e a fase, largamente usado em sistemas escalares (uma entrada e uma sada) de tempo contnuo, sendo de mais fcil aplicao quando a funo de transferncia dada na forma fatorada. Tal como nos sistemas de tempo contnuo, o diagrama relativo nos d o logaritmo de

( )G j versus o logaritmo de . Como o logaritmo de um produto a soma dos logaritmos de fatores, a construo do diagrama de Bode fica simplificada se a funo de transferncia for dada de forma fatorada. Usando-se o diagrama de Bode, o controlador digital pode ser projetado usando os mtodos bem conhecidos usados em sistemas de tempo contnuo. Mas importante observar que pode haver diferena entre as magnitudes de ( )G w e a de ( )G j para altas freqncias.

Vejamos o exemplo anterior (4-11). Repetimos ( )G w = 1 0,059,2419,241

ww+ . O ganho de

31

alta frequncia lim ( ) limG j =1 0,059,241

9,241j

j

+ = 0,4621, enquanto que o ganho da

planta em alta frequncia 1010lim j + = 0. H, portanto, uma diferena considervel. Mas preciso no esquecer que = no plano w corresponde a 0,5 s = no plano s. Vantagens do diagrama de Bode em projetos So as seguintes as vantagens do diagrama de Bode para fins de projeto: 1. No diagrama de Bode a assntota em baixas freqncias da curva de ganho indicativa de uma das constantes de erro esttico pK , vK ou aK . 2. As especificaes do regime transitrio podem ser traduzidas na resposta em frequncia em termos de margem de ganho, margem de fase, banda passante, etc. Estas especificaes podem ser facilmente tratadas no diagrama de Bode. De modo particular, as margens de ganho e de fase podem ser medidas diretamente no diagrama de Bode. 3. O projeto de um compensador (ou controlador) digital para satisfazer s especificaes de margem de ganho e margem de fase pode ser feito diretamente por meio do diagrama de Bode de uma maneira simples e imediata.

Compensao por avano de fase, atraso de fase e por avano-atraso de fase. - Recorda-se que a compensao por avano de fase (lead compensator) aumenta a banda passante do sistema, o sistema ficando com uma resposta mais rpida. Porm, tal sistema pode ficar sujeito a rudos de alta frequncia, devido ao seu alto ganho para freqncias maiores. - Por sua vez, o sistema com compensao de atraso de fase (lag compensator) reduz o ganho do sistema para altas freqncias, sem reduzir o ganho em baixas freqncias. A banda passante do sistema reduzida, e assim o sistema tem uma resposta mais lenta. Em vista da reduo do ganho em alta frequncia, o ganho total do sistema pode ser aumentado e assim o ganho em baixa frequncia pode ser aumentado, aumentando conseqentemente a preciso do regime permanente. Alm disso, qualquer rudo de alta frequncia atenuado. - Em algumas aplicaes, um compensador de atraso de fase colocado em cascata (em srie) com um compensador de avano de fase, obtendo-se o compensador lead lag. Com este compensador, o ganho de baixa frequncia pode ser aumentado (o que significa um aumento na preciso da resposta em regime permanente) ao mesmo tempo em que se consegue melhor banda passante e margens de estabilidade. Recorda-se tambm que o controlador PID um caso especial de compensador lead-lag (ou lag-lead, como dizem alguns autores). Com efeito, o controlador PD tem o mesmo comportamento que o compensador lead, enquanto que o compensador PI se comporta como um controlador lag.

Algumas observaes a respeito do problema da quantizao dos coeficientes Do ponto de vista da implementao de micro-processadores, os compensadores lead no apresentam problema especial de quantizao, porque os plos e zeros podem ser bem separados uns dos outros; mas este no o caso nos controladores lead-lag, porque os zeros e plos ficam perto uns dos outros, na realidade ficam prximos do ponto z = 1. Tendo em vista que os coeficientes do filtro devem ser realizados atravs de sistema binrio, se o nmero de bits empregado for insuficiente, as localizaes dos zeros e

32

plos do filtro podem no ser realizadas como desejado e assim o filtro pode no ser realizado como desejado. Ora, pequenos desvios na localizao de plos e zeros podem acarretar diferenas significativas nas caractersticas da resposta em frequncia do compensador e assim o compensador pode no se comportar como desejado. Para minimizar este efeito da quantizao dos coeficientes, necessrio projetar o filtro de modo de modo que ele seja pouco sujeito a este efeito indesejvel. Como a sensibilidade das razes dos polinmios s variaes dos parmetros variam em proporo direta com o grau do polinmio, no recomendvel a realizao direta de um filtro de ordem grande. (Lembra-se que a ordem de uma funo de transferncia igual ao grau do seu denominador). prefervel usar elementos de ordem baixa em cascata ou em paralelo, como discutido na seo 3-6. Efetivamente, se escolhermos logo de sada os plos e zeros do compensador separados uns dos outros, o problema pode ser evitado. Nos compensadores analgicos seus plos e zeros podem ser posicionados com preciso. Ao convertermos o compensador analgico em digital, a verso digital do compensador lag pode envolver bastante impreciso na localizao dos plos e zeros. (A coisa importante a ser lembrada que os plos e zeros do filtro no plano z devem permanecer em pontos bem separados uns dos outros).

Procedimentos de projeto no plano w Reportemo-nos figura 4-35 abaixo.

Os procedimentos para um projeto no plano z so os seguintes: 1. Obter ( )G z , que a transformada z da planta precedida de um segurador (hold). A

seguir, calcula-se ( )G w atravs da eq. (4-37): 1 ( / 2)1 ( / 2)

T wzT w

+= , isto ,

[1 ( / 2) ]/[1 ( / 2) ]( ) ( )

z T w T wG w G z = + = . fundamental que o perodo de amostragem T seja escolhido apropriadamente. Uma regra de bolo amostrar com uma frequncia 10 vezes maior do que a banda passante do sistema em malha fechada. H que notar que embora o controle digital e o processamento de sinais usem procedimentos semelhantes na amostragem de sinais de tempo contnuo, as freqncias de amostragem so muito diferentes. No processamento de sinais, estas freqncias so muito altas, enquanto que em controle digital elas so, em geral, baixas. Esta diferena entre as freqncias de amostragem nas duas reas se deve diferena dos processos dinmicos envolvidos e aos diferentes compromissos (trade-offs) nas duas reas). 2. Fazer w j= e obter o diagrama de Bode de ( )G j . 3. Medir, a partir do diagrama de Bode, as constantes de erro esttico, a margem de fase e a margem de ganho. 4. Supondo que o ganho de baixa frequncia do controlador de tempo discreto (ou

33

digital) seja igual a um, determinar o ganho do sistema, satisfazendo s exigncias para se obter um erro esttico dado. A seguir, usando tcnicas convencionais de projeto para sistemas de tempo contnuo, determinar os plos e zeros da funo de transferncia do controlador ( )DG w . A funo de transferncia em malha aberta (canal direto do SMF)

( ) ( )DG w G w . 5. Transformar a funo de transferncia ( )DG w em ( )DG z atravs de (4-38), a saber,

2 11

zwT z

= + . ( )DG z a funo de transferncia de pulso do controlador digital. 6. Realizar a funo de transferncia ( )DG z atravs de um algoritmo computacional. Observaes: - ( )G w uma funo de transferncia de fase no mnima (isto , tem pelo menos um zero na parte ruim do plano complexo). O eixo horizontal no diagrama de Bode, o das freqncias, distorcido no plano w.

Exemplo 4-12: Considere o sistema de controle digital dado na figura 4-36 abaixo.

Projete um controlador digital no plano w com margens de ganho de pelo menos 10 dB e margem de fase de 50 0 e uma constante de erro esttico de velocidade vK = 2 / seg. O perodo de amostragem T = 0,2.

Soluo:0,2

12

1 K ( 0,9356)( ) Z (1 )Z 0,01873( 1) s ( 1) ( 1)( 0,8187)

se K K zG z zs s s s z z

+= = = + +

2

(0,01873 0,01752)1,8187 0,8187

K zz z

+= + .

A seguir, substitumos na expresso acima 1 ( / 2)1 ( / 2)

T wzT w

+= = 1 0,11 0,1

ww

+ , obtendo

2

1 0,10,01873 0,017521 0,1

( )1 0,1 1 0,11,8187 0,81871 0,1 1 0,1

wKw

G ww ww w

+ + = + + +

=2

2

( 0,000333 0,09633 0,9966)0,9969

K w ww w

++ (*)

34

1 1300 10( 1)

w wK

w w

+ + . Tentaremos um compensador lead; se ele no resolver o problema, tentaremos um outro de ordem maior. Suponhamos, para simplificar, que o controlador ( )DG w tenha ganho unitrio para a faixa de freqncias baixas e tenha a

seguinte forma: ( )DG w = 1

1ww

++ , 0 1< < . (**)

A funo de transferncia de malha aberta ento 2

2

1 ( 0,000333 0,09633 0,9966)( ) ( )1 0,9969D

w K w wG w G ww w w

+ += + + .

Ora, quando 1z , 0w . Portanto, 0

lim ( ) ( )v DwK wG w G w= , e da expresso acima, temos vK K. Mas do enunciado do problema, temos K = 2. Substituindo em (*) e na expresso subsequente, temos portanto

2

2

2( 0,000333 0,09633 0,9966)( )0,9969

w wG ww w

+= +2 1 1

300 10( 1)

w w

w w

+ + . A figura 4-37 abaixo apresenta o diagrama de Bode para o sistema.

Os ganhos, em decibis, so marcados do lado esquerdo e as fases, em graus, do lado direito, como de costume. Os ganhos e fases de ( )G j so apresentados em linhas tracejadas. Recorda-se que a margem de ganho o acrscimo de ganho, em decibis, que se pode dar malha aberta tal que o SMF se torne instvel. E por outro lado, a margem de fase o ngulo que pode ser acrescentado fase do

35

sistema em malha aberta tal que o SMF se torne instvel. A margem de ganho obtida medindo a diferena de ganho, com relao a 0 dB, na frequncia em que a assntota do diagrama de fase atinge - 0180 e , como se pode ver acima, igual a 14,5 dB. A margem de fase obtida medindo a diferena de fase com relao a - 0180 na frequncia em que a assntota do diagrama de ganhos atinge 0 dB, sendo neste caso, igual a 30 0 . As duas frequncias mencionadas acima so chamadas de frequncias de crossover. O compensador deve ser tal, portanto, que aumente a margem de fase em 20 0 . Mas este aumento modifica a curva de ganho do diagrama de Bode, a respectiva frequncia de crossover (que so as duas frequncias mencionadas acima) sendo deslocada para a direita. Segue-se um processo de tentativa e erro. O que se segue, apresentado pelo livro texto deste curso, um mtodo um tanto sofisticado, que no precisa ser conhecido pelos alunos. O importante que se chegue, por tentativa e erro, a um valor satisfatrio. O mtodo apresentado consiste no seguinte: vamos dar um aumento de fase de 28 0 , tentativamente. Seja ento m = 028= . Sabemos da teoria estudada no curso anterior que 1

1msen

= + , o que d = 0, 361, onde este o da expresso (**). Da mesma expresso (**) temos as frequncias de esquina (corner frequencies) 1/ = e

1/( ) = . Sabemos tambm que m ocorre na mdia geomtrica das duas freqncias de esquina, ou seja, em 1/( ) = . A modificao (aumento) na curva de ganho devida incluso do termo (1 ) /(1 )j j + +

1/( )

11

jj

=++ =

1 .

A seguir, achamos a frequncia onde o ganho do sistema sem compensador igual a

-20log 1 = -20log

10,361

= - 4,425dB.

Para achar a frequncia onde o ganho - 4,425dB, substitui-se w = j na expresso de

( )G w , obtendo

2 2

2

2 1 1300 10( )

1G j

+ + = + . Por tentativa e erro, acha-se que com = 1,7 , o ganho aproximadamente 4,4 dB. Escolhemos, portanto esta frequncia para a nova frequncia de crossover, c . Ora, 11,7c = = , e, portanto,

11,7

= = 0,979, donde 0,3534 = .

Portanto o compensador lead 1( )1D

wG ww

+= + . (4-40)

As curvas de ganho e de fase tanto de ( )DG j como as da funo de transferncia de malha aberta ( ) ( )DG j G j aparecem no diagrama de Bode em linhas cheias. E do diagrama se conclui que a margem de fase 050 e a margem de ganho 14 dB, satisfazendo ao desejado no enunciado.

O controlador dado em (4-40) tem que ser re-escrito no plano z atravs de 2 11

zwT z

= + =

36

1101

zz+ . Ento, temos

11 0,979 101( )11 0,3534 101

D

zzG zzz

+ + = + + = 2,3798 1,9387

0,5589z

z

.

Donde que a funo de transferncia em malha aberta : 2,3798 1,9387 0,03746( 0,9356)( ) ( )

0,5589 ( 1)( 0,8187)Dz zG z G z

z z z +=

2

3 2

0,0891 0,0108 0,06792,3776 1,8352 0, 4576

z zz z z

+ = + . E a funo de transferncia do SMF : 2

3 2

( ) 0,0891 0,0108 0,0679( ) 2, 2885 1,846 0,5255

C z z zR z z z z

+ = + 0,089( 0,9357)( 0,8145)

( 0,8126)( 0,7379 0,3196)( 0,7379 0,3196)z z

z z j z j+ = + .

Observe-se que o zero em 0,8145 quase cancela o plo em 0,8126 (um quase cancelamento que no preocupa, porque o modo estvel) e assim os plos complexos conjugados atuam como plos dominantes, o sistema comportando-se aproximadamente como um sistema de segunda ordem. Para obter a resposta no domnio do tempo, podemos usar o MATLAB. A resposta ao degrau unitrio pode ser obtida com os comandos do MATLAB Program 4-2 abaixo. O resultado aparece na Figura 4-38 abaixo. Da figura, obtemos uma ultrapassagem (overshoot) de aproximadamente 20% e um tempo de assentamento (settling time) de cerca de 4 seg.

37

4-6 MTODO DE PROJETO ANALTICO A razo principal da desvantagem dos controladores analgicos que todos eles, sejam pneumticos, hidrulicos, etc., tm limitaes fsicas. Tais limitaes podem ser quase completamente ignoradas quando se projetam controladores digitais. Assim, muitos esquemas de controle que eram impossveis com controladores analgicos, tornaram-se possveis com controladores digitais. Nesta seo estudaremos os controladores deadbeat, que fazem com que a resposta do SMF apresente erro nulo em regime permanente, tempo mnimo de assentamento e ausncia de oscilaes entre os instantes de amostragem depois que se atinge o regime permanente. Considere o sistema da Figura 4-39(a) abaixo.

Deseja-se projetar um controlador digital ( )DG z de modo que o SMF responda com o menor tempo de assentamento possvel, com erro nulo em regime permanente, seja a entrada um degrau, uma rampa ou uma parbola. Mais ainda, deseja-se que no existam oscilaes entre os instantes de amostragem depois que a resposta do sistema atingir o regime permanente. Definamos a transformada z da planta precedida do segurador de ordem zero:

1( ) Z ( )Ts

peG z G ss

= . A funo de transferncia de malha aberta se torna

( ) ( )DG z G z , conforme mostrado na figura 4-39(b). Suponhamos que se queira que a funo de transferncia em malha fechada seja ( )F z ,

dada. Ento, temos: ( ) ( )( )( )( ) 1 ( ) ( )

D

D

G z G zC zF zR z G z G z

= = + . (4-41)

Seja 1

0 1 ...( )N N

NN

a z a z aF zz

+ + += , ou 1

0 1( ) ...N

NF z a a z a z = + + + , (4-42)

com N a determinar. De (4-41), temos: ( )( )[1 ( )]D

F zGG z F z

= . (4-43)

38

O controlador deve ser fisicamente realizvel, o que impe certas condies: 1. O grau do numerador deve ser menor ou igual ao grau do denominador, pois do contrrio, seria necessrio conhecer as entradas futuras para produzir a resposta presente. 2. Se a planta ( )pG s tiver algum retardo

Lse , ento o SMF deve ter, pelo menos, o mesmo retardo, pois do contrrio, a sada do SMF teria que responder antes de uma entrada ser dada, o que impossvel para um sistema fisicamente realizvel. 3. Se ( )G z for expandido em uma srie em 1z , o termo de potncia mais baixa da expanso de ( )F z em 1z deve ser pelo menos to grande quanto a de ( )G z : ver (4-41). Assim, por exemplo, se a expanso da srie de ( )G z comear com o termo em

1z , ento o primeiro termo da expanso de ( )F z em (4-42) deve ser zero, ou seja, 0a = 0, isto , a expanso de ( )F z ser 1 21 2 ...

NNa z a z a z

+ + + , onde N n , sendo n a ordem da planta. Alm das condies de realizabilidade fsica, preciso prestar ateno estabilidade do SMF. Como sabemos, estabilidade implica (condio necessria, mas no suficiente!) que no haja cancelamento de plos e zeros instveis no produto das funes de transferncia da planta, segurador e controlador. Investiguemos agora o que acontece com ( )F z quando ( )G z tiver um plo instvel ou criticamente estvel, isto , um plo fora ou sobre o crculo unitrio. Seja este plo e definamos 1( )( ) G zG z

z = , sendo que 1( )G z no inclui termo que cancele z . Ento a funo de transferncia do SMF dada, tendo em vista (4-41), por

( )F z = 1

1

( )( )

( )1 ( )

D

D

G zG zzG zG zz

+

. (4-44)

Alm disso, 1 1

1 ( )1

( ) ( ) ( )1 ( ) DDF z

zG z z G z G zG zz

= = ++

, ou seja, um zero da

funo de transferncia do erro (diferena entre o sinal de entrada no SMF e a resposta da planta), fato bem conhecido do curso anterior. Observe-se ainda de (4-44) que se ( )G z tiver um zero fora ou sobre o crculo unitrio, ele no pode ser cancelado (pois isto desestabilizaria o SMF), o que significa que todo zero de ( )G z que esteja fora ou sobre o crculo unitrio, aparece em ( )F z . Procedamos com o projeto. Da figura 4-39(b), temos:

( ) ( ) ( ) ( )[1 ( )]E z R z C z R z F z= = . (4-45) Para uma entrada em degrau unitrio, temos 1

1( )1

R zz

= ;

para uma entrada em rampa unitria, temos 1

1 2( ) (1 )TzR z

z

= ;

e para uma entrada em parbola unitria, isto , 2( ) 0,5 1( )r t t t= , temos: 2 1 1

1 3

(1 )( )2(1 )

T z zR zz

+= .

E assim, em geral, a transformada z de entradas de forma polinomial :

39

1 1

( )( )(1 )q

P zR zz +

= , (4-46) onde ( )P z um polinmio em 1z . Note-se que para um degrau unitrio, temos ( )P z = 1 e q = 0; para uma rampa unitria, temos ( )P z = T 1z e q = 1 e para uma parbola unitria, temos

( )P z = 2 1 10,5 (1 )T z z + e q = 2. Substituindo esta em (4-45), temos: 1 1

( )[1 ( )]( )(1 )q

P z F zE zz += . (4-47)

Para assegurar que a resposta do sistema atinja o regime permanente em nmero finito de passos, mantendo ento o erro igual a zero, ( )E z deve ser um polinmio em 1z com um nmero finito de termos. Ento, em vista de (4-47), escolhemos ( )F z tal que

1 11 ( ) (1 ) ( )qF z z N z + = , (4-48) onde ( )N z um polinmio em 1z com um nmero finito de termos. Consequentemente, ( ) ( ) ( )E z P z N z= . (4-49) Finalmente, substituindo isto em (4-43), temos:

1 1

( )( )( )(1 ) ( )D q

F zG zG z z N z +

= . (4-50) Com este compensador, obtm-se erro nulo nos instantes de amostragem aps um nmero finito de instantes. Quanto aos tempos entre os instantes de amostragem, para garantir que o erro tambm seja nulo, isto , para que no haja ondulaes entre os instantes de amostragem, preciso que

( )c t nT = constante, para entrada em degrau; ( )c t nT = constante, para entrada em rampa; (4-50*) ( )c t nT = constante para entrada em parbola.

Para garantir estas condies, observe-se que a planta de tempo contnuo, portanto o controle que aciona a planta, isto , ( )u t , deve ser ou constante ou monotonicamente crescente, ou decrescente, em regime permanente. Alguns comentrios: 1. Tendo em vista que ( )F z um polinmio em 1z , fica claro que todos os plos do SMF esto em z = 0. Estes mltiplos plos na origem so muito sensveis variao de parmetros. Efetivamente, o sistema de controles dead-beat no robusto, ou seja, a perturbao de parmetros destri a soluo dead-beat, o erro tendendo a zero, mas assintoticamente, e no em nmero finito de passos. 2. Observe-se que um sistema que apresente timo tempo de assentamento e erro nulo para um certo tipo de entradas, pode revelar um desempenho muito ruim quando se muda o tipo de entrada. neste contexto que se torna importante o estudo do chamado controle timo. Mas seja dito tambm que em nmero muito grande de processos industriais, a soluo do controle timo dispensvel, precisamente porque o tipo de entrada conhecido. 3. O perodo de amostragem, T, no entrou nos clculos deste problema. Mas claro que quanto menor T, mais rapidamente o erro atingir o valor nulo.

40

Exemplo 4-13: Considere o problema da mesma figura 4-39(a) acima, onde

( )pG s =1

( 1)s s + . Achar um compensador ( )DG z tal que o SMF exiba uma resposta dead-beat para um degrau de entrada. O perodo de amostragem T = 1 seg. A seguir, usando este mesmo compensador, calcule a resposta do sistema a uma rampa de entrada. Soluo: Seguindo os passos do estudo terico acima, calculemos

12

1 1 1( ) Z (1 )Z( 1) ( 1)

TseG z zs s s s s

= = + +

11

1 2 1 1

1 1(1 )(1 ) 1 1 0,3679

zzz z z

= +

1 1

1 1

0,3679(1 0,7181 )(1 )(1 0,3679 )

z zz z

+= . (4.51) Passamos ao diagrama de blocos da figura (b), definindo a funo de transferncia do

SMF: ( ) ( )( )( )( ) 1 ( ) ( )

D

D

G z G zC zF zR z G z G z

= = + . Agora observe-se de (4-51) que se ( )G z for expandido em uma srie em 1z , o primeiro termo da srie ser 0,3679 1z . Portanto

( )F z deve comear com um termo em 1z . Reportemo-nos eq. (4-42), lembrando que N n . Como a planta de 2. ordem, tentemos:

1 21 2( )F z a z a z

= + . (4-52) Como a entrada um degrau, temos da eq. (4-48):

11 ( ) (1 ) ( )F z z N z = . (4-53) Como vimos, tendo ( )G z um plo em z = 1, a estabilidade do SMF exige que 1 ( )F z tenha um zero em z = 1. Mas de (4-53) vemos que esta condio j satisfeita. Agora, observe-se que a sada de um segurador de ordem zero constante entre os instantes de amostragem; em consequncia, a 1. condio de (4-50*) satisfeita. Donde que: 10 1( )U z b b z

= + . (4-53*) Ora, da figura (b) claro que: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )C z C z R z R z

U z F zG z R z G z G z

= = = .

E tendo em vista (4-51), temos: 1 1

1 1 1

1 (1 )(1 0,3679 )( ) ( )1 0,3679(1 0,7181 )

z zU z F zz z z

= + 1

1 1

(1 0,3679 )( )0,3679(1 0,7181 )

zF zz z

= + . (4-53**) Ora, para que ( )U z seja uma srie com apenas dois termos, conforme (4-53*), preciso que 1 1 1( ) (1 0,7181 )F z z z F

= + , (4-54) onde 1F uma constante. Ento, de (4-53**),

11( ) 2,1781(1 0,3679 )U z z F

= .