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5/14/2018 conteudo_-_semana_1 - slidepdf.com

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1 CONJUNTOS

1.1 DEFINIÇÃO A noção de conjunto é bastante simples e fundamental na

Matemática e a partir desta definição, podem ser expressos diversosconceitos matemáticos.

Conjunto é uma coleção qualquer de objetos que são os seusELEMENTOS.

S = {Conjunto dos estados da região Sudeste do Brasil}ou

S = {Minas Gerais, São Paulo, Espírito Santo, Rio de Janeiro}

1.2 APRESENTAÇÃO Existem várias formas de se apresentar um conjunto. Seja citando

cada um de seus elementos, descrevendo características comuns entreeles ou apresentando-os em um diagrama. Geralmente usamos letrasmaiúsculas do nosso alfabeto para dar nomes aos conjuntos, porém istonão é uma regra e sim um costume.

Podemos falar no conjunto A formado pelos números 1, 3, 5,

7 e 9, o qual podemos representar colocando os elementos entrechaves:

A = {1, 3, 5, 7, 9}

Podemos também indicar os elementosdentro de uma curva fechada simples. Estarepresentação do conjunto A é conhecida comoDiagrama de Venn.

Este conjunto é formado pelos números ímpares de 1 a 9. Ele

se trata de um conjunto com um número limitado de elementos.

Consideremos agora o conjunto B dos números naturaisímpares. Observe que este conjunto foi descrito por umapropriedade comum de seus elementos: são todos números naturaisímpares. Podemos representá-lo desta forma:

B = {x | x é um número natural ímpar}B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, ... }

Neste caso, as reticências indicam um conjunto infinito, mas não ésempre assim.

Veja este outro caso:

John Venn foium matemáticoinglês que viveu

entre 1834 e 1923.Por volta do ano de1900 ele criou talrepresentação, queveio para facilitar, deforma significante, aresolução de muitosproblemas.

O símbolo “ | “deve ser lido como“tal que”, assim, oconjunto B é x, TALQUE x é um númeronatural ímpar.



C = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... 99}

Aqui, as reticências indicam que existe um grande número deelementos, mas as regras de formação devem ser mantidas.

Devemos lembrar ainda que existem conjuntos que apresentamapenas um elemento. Estes conjuntos são chamados de UNITÁRIOS.Os conjuntos sem nenhum elemento são chamados de

CONJUNTOS VAZIOS. Existem duas formas de representar estesconjuntos. Observe:

F = { } ou F = ∅

Conjunto dos satélites naturais da Terra: S = {Lua}Conjunto dos números pares e primos: P = {2}

Conjunto M das cidades de Minas Gerais banhadas pelo mar: M = { }

Conjunto D dos números negativos maiores que 10: D = ∅

1.3 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA

Para indicar que um elemento pertence a um conjunto, usamos a

relação de pertinência. Assim, sendo A o conjunto das vogais do nossoalfabeto, dizemos que a pertence ao conjunto A e indicamos:a ∈ A

e que m não pertence ao conjunto A e indicamos:m ∉ A

Seja B = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36}. Podemos dizer que:0 ∈ B, 2 ∉ B, 25 ∈ B e 90 ∉ B

___________________________

Vamos considerar agora o conjunto unitário T = {3}. Temos que 3∈ T, isto é: 3 ∈ {3}. Não é correto escrever 3 = {3}, pois o primeiro é umnúmero e o segundo é um conjunto.

Não podemos, neste caso, comparar objetos de naturezasdiferentes. Um conjunto unitário e o elemento deste conjunto são coisasdistintas, assim como a estante que contém um livro não é a mesmacoisa que o livro isolado.

É importante destacar que existem conjuntos cujos elementos sãotambém conjuntos. Por exemplo, considerando o conjuntoP = {∅, {0}, {1}, {1,4}}, os elementos são: ∅, {0}, {1} e {1,4}. Assim temosque ∅ ∈ P, {0} ∈ P, {1} ∈ P e {1, 4} ∈ P. Note que 1 ∉ P e também que 4∉ P porque 1 e 4 não são elementos de P.



Podemos fazer uma analogia que facilita o entendimento destaideia: um transistor pertence ao conjunto dos componentes de uma placade circuito, entretanto o transistor não é uma placa de circuito.

Por consequência, devemos notar que {∅} é um conjunto unitário

cujo único elemento é o conjunto vazio ∅. Temos que ∅ ∈ {∅}. Aigualdade ∅ = {∅} é falsa pelos motivos argumentados anteriormente.

1.4 CONJUNTOS IGUAIS Dizemos que dois conjuntos são iguais quando possuem

exatamente os mesmo elementos. Os conjuntos A e B são iguais se todoelemento de A também pertence a B e todo elemento de B tambémpertence a A.

Seja J o conjunto das letras da palavra AMOR e seja K o conjuntodas letras da palavra ROMA.

J = {a, m, o, r}K = {r, o, m, a}

{a, m, o, r} = {r, o, m, a}

Vejamos agora dois outros conjuntos: um conjunto E formadopelas letras da palavra AMAR e outro conjunto F formado pelas letras dapalavra AMARRAR. Veja:

E = {a, m, a, r}F = {a, m, a, r, r, a, r}

Observe que todos os elementos de E pertencem a F e que todosos elementos de F pertencem a E. Neste caso, E = F.

{a, m, a, r} = {a, m, a, r, r, a, r} = {a, m, r}

Este exemplo mostra que não precisamos repetir elementodentro de um mesmo conjunto. Basta indicar cada elemento uma sóvez.

Se dois conjuntos não são iguais, escrevemos que A ≠ B (Lemos:A é diferente de B). Para que isto ocorra, basta que haja pelo menos umelemento que pertença a um dos conjuntos e que não pertença ao outro.Usando este argumento, podemos justificar, inclusive, porque ∅ ≠ { ∅ }.

Dois conjuntosA e B são iguais se

todos os elementosde A pertencem a Be todos oselementos de Bertencem a A.



1| 0F x

x

= =

1) Reescreva cada conjunto dando, um a um, os seus elementos:

a) A = { x | x é um número naturalmenor que 10} b) B = { x | x é natural primo menorque 20}

c) C = { x | x é mês de 30 dias} d) D = { x | x é satélite natural daTerra}

e) E = { x | x é país da América doNorte}

f) F = { x | x é mês que tem a letra Rno nome}

2) Identifique os conjuntos unitários e os vazios:

a) A = { x | x é oceano que banha oBrasil}

b) B = { x | x é mulher que já foipresidente dos EUA}

c) C = { x | x é mês cujo nomecomeça com a}

d) D = { x | x é satélite natural daTerra}

e) E = { x | x é mês com menos de 30dias}

f)



3) Dados os conjuntos A = {a, b} e B = {{a}, {b}}, classifique comoverdadeiro (V) ou falso (F):( ) a ∈ A ( ) a ∈ B ( ) b ∉ A

( ) b ∉ B ( ) {a} ∈ A ( ) {a} ∈ B

( ) {b} ∉ A ( ) {b} ∉ B ( ) A = B

( ) A e B tem a mesma quantidade de elementos.

4) Sendo A = {1, 2, {1}, {1, 2}} complete com ∈ ou ∉ formando sentençasverdadeiras.a) 2 ............ A b) {2} ........... A

c) {1, 2} ............ A d) Ø ............. A

5) Complete com ∈ ou ∉ formando sentenças verdadeiras.

a) {a} .......... {a, b} b) {a}.......... {{a}, {b}, {c}}

c) 0 .......... Ø d) {Ø}.......... Ø

6) Sendo A = {x | x é ímpar compreendido entre 2 e 8},B = {x | x é algarismo do número 735} e C = {x | x é algarismo do número33 577}, classifique como verdadeira ou falsa cada uma das afirmativasabaixo:( ) A = B ( ) B = C

( ) A ≠ C ( ) B ≠ C

__________________________________

1.5 SUBCONJUNTOS E RELAÇÃO DE INCLUSÃO

Consideremos o conjunto A das vogais da palavra BRASIL:A = {a, i} e o conjunto B de todas as letras da palavra BRASIL: B = {b, r,a, s, i, l}.

Podemos perceber que todos os elementos do conjunto A tambémpertencem ao conjunto B.

Quando isto ocorre, dizemos que A é um subconjunto de B ou que

A é parte de B, indicamos A⊂

B e lemos: A está contido em B ou aindaB ⊃ A e lemos: B contém A.



Daí, temos que:A ⊂ B quando todo elemento de A também pertence a B

A ⊂ B (A está contido em B)B ⊃ A (B contém A)

Se existir ao menos um elemento de A que não pertença a B,dizemos que:

A ⊄ B (A não está contido em B)

7) Dado A = {a, e, i, o, u}, dê quatro exemplos de subconjuntos de A,todos com três elementos cada um.

8) Dado A = {1, 2, 3, 4}, forme todos os subconjuntos de A com 2elementos.

9) Sendo A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4}, C = {3, 4, 5, 6, 7} e D = {1, 2, 3, 4,5, 6, 7}, classifique em verdadeira ou falsa cada sentença.

( ) A ⊂ B ( ) B ⊂ C ( ) C ⊂ D

( ) D ⊂ A ( ) D ⊃ B ( ) C ⊃ A

( ) C ⊃ B ( ) B ⊃ A ( ) B ⊄ D

( ) C ⊄ B ( ) A ⊄ C ( ) D ⊄ A



10) Classifique como verdadeiro ou falso.

( ) {a, b} ⊂ {a, b, {a}, {b}} ( ) {a} ⊂ {a, b, {a}, {b}}

( ) {a} ∈ {a, b, {a}, {b}} ( ) {a, b} ∈ {a, b, {a}, {b}}

( ) {a, {a}} ⊂ {a, b, {a}, {b}}

11) Represente num diagrama o conjunto A de todas as pessoasnascidas em Minas Gerais e o conjunto B de todos os brasileiros.

12) Seja A o conjunto dos estudantes e B o conjunto de todas aspessoas inteligentes. Admitindo como verdadeira a frase “Todoestudante é inteligente”, como se representam num diagrama osconjuntos A e B?

13) A negação da sentença A ⊂ B (“todo elemento de A pertence a B”) éa sentença A ⊄ B (“Existe ao menos um elemento de A que não pertencea B”), então, qual a negação da frase “todo estudante é inteligente”?

14) Considerando A o conjunto dos estudantes e B o conjunto de todasas pessoas inteligentes e considerando a frase “existe estudante que nãoé inteligente”, podemos ter os seguintes casos.

Associe cada caso acima a uma frase abaixo:( ) Nenhum estudante é inteligente.( ) Existe estudante inteligente, estudante não inteligente e inteligenteque não é estudante.( ) Existe estudante não inteligente mas todo inteligente é estudante.



1.6 CONECTIVOS “e” E “ou” “A lógica fundamenta os raciocínios e as ações. O pensamento lógico

geralmente é criativo e inovador. A cabeça humana é uma máquina notável que não pode e nem deve ser robotizada. O raciocínio lógico lubrifica e torna mais produtivo o pensar em direção ao porvir e dos

hábitos da reflexão brotam o aprender.” (Jonofon Sérates)

O objetivo do estudo deste assunto é apresentar algumas noçõesbásicas de lógica que, por certo, contribuirão para melhor assimilaçãodos próximos tópicos.

Vamos começar com as Três Leis do Pensamento.

Para que o pensar seja desenvolvido “corretamente” é necessárioobedecer as seguintes leis do pensamento:

• Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira.(Princípio da Identidade)

• Nenhuma proposição, ao mesmo tempo, verdadeira e falsa.(Princípio da não-contradição)

• Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. (Princípio do terceiroexcluído)

Denominam-se CONECTIVOS certas palavras ou frases que,em lógica, são utilizadas para formarem proposições compostas.

Os conectivos usuais são:

A conjunção “e”

A disjunção “ou”

A negação “não”

O condicional “se, ... então”

O bi condicional “se, e somente se”

Vamos conhecer os conectivos “e” e “ou” e suas respectivastabelas-verdade.

No ambiente virtual de aprendizagem você encontrará um linkpara um vídeo que o ajudará a completar as figuras a seguir.



1.6.1 O CONECTIVO “e”.

E – TABELA VERDADE

A conjunção “e” retorna verdadeiro se, e somentese, ambas as proposições forem verdadeiras.

1.6.2 O CONECTIVO “ou”.

OU – TABELA VERDADE

A conjunção “ou” retorna verdadeiro se ao menosuma das proposições for verdadeira.

Tabela-verdade do conectivo E

Tabela-verdade do conectivo OU



1.7 INTERSECÇÃO Utilizando dois conjuntos dados, A e B, podemos construir

outros conjuntos. Por exemplo, se estamos interessados noselementos que pertencem simultaneamente a ambos os conjuntos,

formamos com eles um conjunto chamado INTERSECÇÃO de A e B,que indicamos por A ∩ B (lemos: A inter B) e definimos por:

A ∩ B = { x | x ∈ A e x ∈ B} (Lemos: A inter B é igual a x, tal que x pertence a A e x pertence a B)

Sendo A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = {1, 4, 9, 16}, determine A ∩ B

A ∩ B = {1, 9}Sejam dois conjuntos A e B, representados a seguir. Vamos marcar aintersecção de A e B em cada caso:

Em cada caso, está sombreada a intersecção dos conjuntosA e B.

No caso II, vemos que A ∩ B = B. Isto ocorre porque B ⊂ A.No III caso, temos que A ∩ B = ∅.

1.7.1 PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃOA intersecção de conjuntos tem algumas propriedades que

podem nos auxiliar em resoluções de problemas. São as seguintes:

P1: Propriedade comutativa:A ∩ B = B ∩ A

P2: Propriedade associativa:(A ∩ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ B = (B ∩ C) ∩ A

P3: Propriedade da Idempotência:A ∩ A = A

P4: Propriedade distributiva da união com relação à intersecção:A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

P5: Propriedade distributiva da intersecção em relação à união:A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

Q

uando doisconjuntos A e B nãopossuem nenhum

elemento em comum,dizemos que A e Bsão conjuntosDISJUNTOS.



De acordo com a propriedade P2, quando vamos fazer aintersecção de três ou mais conjuntos, normalmente o fazemos dois adois, sem importar quais conjuntos são operados primeiramente.Independente da ordem usada, o resultado será sempre o mesmo.

1.8 UNIÃO

O conceito de UNIÃO está intimamente ligado à ideia dadisjunção “OU”.

A união de dois conjuntos A e B é formada por todos oselementos que aparecem em A ou em B, assim, podemos escrever:

A ∪ B = { x | x ∈ A ou x ∈ B}(Lemos: A união B é igual a x, tal que x pertence a A ou x pertence a B)

Sendo A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} e B = {1, 4, 9, 16}, determine A ∪ B.

A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 16}

Sejam os conjuntos A e B, representados a seguir. Vamosmarcar a união entre A e B em cada caso:

Em cada caso, está sombreada a união dos conjuntos A e B.No caso II, vemos que A ∪ B = A. Isto ocorre porque B ⊂ A.

1.8.1 PROPRIEDADES DA UNIÃO

P1: Prop. comutativa: A ∪ B = B ∪ A

P2: Prop. associativa: (A ∪ B) ∪ C = (A ∪ C) ∪ B = (B ∪ C) ∪ A

P3: Prop. da Idempotência: A ∪ A = A

P4: Elemento neutro: A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A

Sobre a segunda propriedade, quando vamos unir três ou maisconjuntos, normalmente o fazemos dois a dois, sem importar quaisconjuntos são unidos primeiramente. Independente da ordem usada,

o resultado será sempre o mesmo.



15) Em cada caso, determine A ∪ B e A ∩ B.

a) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e

B = {2, 4, 6, 8, 10}

b) A = {l, o, g, i, c, a} e

B = {m, a, l, u, c, o}

c) A = {1, 2, 3, 4, 5, ... 50} e

B = {1, 3, 5, 7, ..., 51}

d) A = {1, 2, 3, 4, 5, ... 100} e

B = {2, 4, 6, 8, ... 100}

e) A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} e

B = {3, 6, 9, 12, ...}

f) A = {1, 3, 5, 7, 9, ...} e

B = {2, 4, 6, 8, 10, ...}

g) A = { } e B = {p, r, e, t, o}



16) Dados A = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, B = { 3, 6, 9, 12, 15} eC = {0, 5, 10, 15, 20}, determine:

a) A ∩ B b) A ∪ B

c) A ∩ C d) A ∪ C

e) B∩

C f) B∪

C

g) A ∩ B ∩ C h) A ∪ B ∪ C

i) A ∩ (B ∪ C) j) (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

k) A ∪ (B ∩ C) l) (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

m) (A ∩ B) ∩ (B ∪ C)



17) Sendo A e B conjuntos quaisquer, determine:

a) A ∩ Ø b) A ∪ Ø

c) A ∩ (B ∪ Ø) d) A ∩ (B ∩ Ø)

e) A ∪ (B ∩ Ø) f) (A ∩ Ø) ∪ (B ∪ Ø)

18) Classifique como verdadeiro ou falso, supondo A e B conjuntosquaisquer:

( ) A ⊂ (A ∪ B)( ) B ⊂ (A ∪ B)( ) (A ∩ B) ⊂ A( ) (A ∩ B) ⊂ B( ) (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B)

19) Sombreie, em cada diagrama, a região que indica a expressãocorrespondente.

a) A ∩ B ∩ C b) (A ∩ B) ∪ C

c) A ∩ B ∩ C d) (A ∩ B) ∪ C



e) A ∩ B ∩ C f) (A ∩ B) ∪ C

g) (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) h) (A ∪ B) ∩ C

20) Represente num diagrama de Venn três conjuntos A, B e C taisque A ∩ B ≠ Ø, A ∩ C = Ø, e B ∩ C ≠ Ø.

21) Determine o conjunto B sabendo que A = {a, b, c, d , e, f}, A ∩ B ={c, e, f} e A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h}.



1.9 DIFERENÇA ENTRE DOIS CONJUNTOS Denominamos diferença entre dois conjuntos A e B ao

conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e nãopertencem a B e indicamos A – B, onde lemos A menos B. Note,

novamente, a presença da conjunção “e”. Em termos técnicos, temos:A – B = {x | x ∈ A e x ∉ B}

Consideremos dois conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4,6, 8, 10}. Fazer A – B é destacar os elementos que estão em A e quenão estão em B. Desta forma, A – B = {1, 3, 5}. Note que oselementos que estão em B não foram incluídos na diferença.

1.10 COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO

Em princípio, é necessário destacar que só podemos falar decomplementar de B em relação a A quando B ⊂ A.

Neste caso a diferença A – B também é chamada decomplementar de B em A e indicamos por CAB (complementar de Bem A). Podemos entender como sendo o que falta a B para ficar igual

ao A.

Assim:

CAB = A – B (sendo B ⊂ A)

Geralmente, quando vamos tratar de algum assunto emMatemática, trabalhamos com elementos que pertencem a um dadoconjunto. Este conjunto é chamado de conjunto universo,normalmente representado por U. Em um diagrama, costumamos

representar o U (universo) por um retângulo.



Sendo A um subconjunto de U, o complementar de A em U étambém representado por AC (Leia: A complementar) ou pelo símboloÃ (Leia: não A).

Assim,

AC = Ã = {x | x ∈ U e x ∉ A} = U – A(Lemos: A complementar é igual a não A, que é x tal que x pertence

a U e x não pertence a A)

Considerando como universo o conjunto dos números naturais,podemos dizer que o complementar do conjunto dos números primosé o conjunto dos números não primos, ou que o complementar doconjunto dos números pares é o conjunto dos números ímpares.

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