09Construção e Controle deuma Plataforma Experimental

Ball and Beam

MICHAEL KLUGBacharel em Engenharia Elétrica (UDESC),Mestrado e Doutorado em Engenharia de

Automação e Sistemas (UFSC);Instituto Federal de Santa Catarina,

Campus Joinvillemichael.klug@ifsc.edu.br

RESUMONeste trabalho aborda-se a construção e controle de uma plataforma experimental tipo Ball and Beam.

Para a estrutura optou-se pela utilização de materiais de baixo custo, com o objetivo de colaborar com a instalaçãofutura de um laboratório de controle no IFSC/Joinville. O compensador não linear projetado baseia-se na utilização demodelos fuzzy Takagi-Sugeno e na solução de um problema de otimização convexo descrito por condições baseadas emDesigualdades Matriciais Lineares (LMIs). Um exemplo numérico é utilizado para demonstrar o funcionamento da técnica.

Palavras-chave Ball and Beam. Controle Não Linear. LMIs. Modelos Fuzzy T-S.

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construção e controlede uma plataformaexperimental ball and beam1. INTRODUÇÃO

Na grande maioria dos sistemas de controle práticos, é necessário considerar a presença de certas dinâmicas não lineares. O aparecimento destes termos complica o desenvolvimento de controladores, não sendo normalmente possível obter condições de projeto eficientes e gerais. Diversas técnicas têm sido dedicadas ao controle de tais sistemas, não havendo, porém, uma técnica universal (KHALIL, 2003). Neste contexto, nos últimos anos, os modelos fuzzy de Takagi-Sugeno (T-S) têm recebido especial atenção de engenheiros e pesquisadores em sistemas de controle, principalmente por possibilitarem a representação de sistemas dinâmicos não lineares pela conexão de sistemas lineares invariantes no tempo, denominados de regras ou submodelos, através da utilização de funções de pertinência (TANAKA e WANG, 2001). Desta forma, permite-se que a teoria convencional já extensivamente conhecida e estudada, possa ser aplicada para análise e projeto de controladores.

Os modelos fuzzy T-S podem descrevero sistema não linear original de forma aproximada (TEIXEIRA e ZAK, 1999) ou exata, dependendo do número de regras/subsistemas locais utilizados.Uma relação entre precisão e complexidade deve ser levada em conta pelo projetista para a escolha ideal deste número, ao qual uma redução demasiadade regras pode influenciar seriamente o desempenho, ou, até mesmo, causar a instabilidade do sistema(KLUG e CASTELAN, 2012).

Para o projeto de controladores fuzzy tem-se usado atualmente várias técnicas baseadas na Teoria de Lyapunov (KHALIL, 2003), com abordagens normalmente descritas em termos de desigualdades matriciais lineares, também conhecidas por LMIs (do inglês Linear Matrix Inequalities) (BOYD et al., 1994). Diversos trabalhos podem ser encontrados, tanto em tempo contínuo (FENG, 2006), quanto em tempo discreto (GUERRA et al, 2012; WU et al., 2011).

Neste sentido, um dos objetivos deste trabalho é o estudo da implementação de controladores fuzzy T-S

T-S aplicados a plantas reais. O sistema/planta escolhido é o Bola sobre Barra (do inglês Ball and Beam) sendo um clássico exemplo utilizado para benchmark de controladores (LISBOA et al., 2005). O objetivo é manter uma bola, que rola livremente sobre uma barra, numa posição ou trajetória pré-determinada, através do controle automático da inclinação da plataforma. É um sistema que se mostra eficaz para demonstrar os princípios de controle e as vantagens e desvantagens das diferentes topologias existentes.Com relação ao controle implementam-se algoritmos baseados no trabalho Klug e Castelan (2011), através da realimentação dos estados do sistema, comum determinado coeficiente de contratividade relacionado a convergência temporal da resposta. Outras leis poderão ser posteriormente implementadas, visto que controle e supervisão são efetuados através de um software implementado em Matlab em comunicação com uma placa controladora tipo Arduino UNO, podendo ser reprogramado para aplicaçãode outras estratégias de controle.A principal finalidade deste trabalho é mostrar a estudantes e interessados no assunto, a importânciado controle automático e não linear, assim como contribuir para a instalação futura de um laboratório de controle no IFSC/Joinville.

2. METODOLOGIADiversas estruturas diferenciadas para a

plataforma Ball and Beam são encontradas na literatura, tais como as apresentadas nos trabalhos de Wieneke e White (2011) e Chang et al. (2013). Após estudo aprofundado sobre os diferentes métodos de construção, e baseando-se na premissa de seobter uma planta de baixo custo e fácil reprodução, optou-se por alguns materiais específicos ecitados na seção a seguir.

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construção e controlede uma plataforma

experimental ball and beam2.1 Construção da Plataforma de ControlePara a construção do projeto mecânico, utilizou-

se do software de CAD 3D SolidWorks, de forma a dimensionar cada componente (WIENEKE e WHITE, 2011). O resultado é apresentado na Figura 1.

Figura 1 - Desenho 3D da planta Ball and Beam

Os materiais utilizados para construção do Ball and Beam foram:

1. Base da estrutura: MDF (Fibra de Média Densidade);

2. Guia para esfera/bola: Chapa de Acrílico;3. Suporte fixo e caixa do servomotor: Chapa

de TS;4. Disco acoplado no servomotor: Chapa de TS;5. Biela: Chapa de TS;6. Rolamento: Aço;7. Parafusos: Aço.

As peças mecânicas dos itens 3, 4 e 5 foram usinadas em uma máquina CNC (Controle Numérico Computadorizado). As furações das barras deacrílico, para fixação dos parafusos, foram feitas em uma fresadora industrial.

Para a parte elétrica optou-se pelo uso de um sensor de distância infravermelho, modelo SHARP GP2Y0A21YK0F, a qual possui saída analógica e distância mensurável de 10 a 80 cm, ideal para a aplicação desejada. Quanto ao atuador escolheu-se um servomotor modelo FUTABA S3003, por permitir o posicionamento através de comandos PPM (do inglês Pulse Position Modulation), gerados facilmente a partir de qualquer microcontrolador.

2.2 Modelo Matemático do SistemaPara obtenção do modelo matemático,

considera-se que a bola role sem deslizamento e que o atrito entre a barra e a bola seja desprezível (CHANG et al., 2013). As constantes e variáveis utilizadas são definidas na Figura 2.

Figura 2 – Parâmetros para Modelo Matemático

Sendo:(m) – massa da bola (R) – raio da bola (d) – deslocamento da alavanca (g) – aceleração gravitacional (L) – comprimento da barra (Ι) – momento de inércia da bola (r) – posição da bola (α) – ângulo da barra(θ) – ângulo da engrenagem do servomotor

Baseando-se em Lisboa et al. (2005) e ignorando-se alguns efeitos, pode-se chegar à seguinte equação do comportamento dinâmico do sistema:

Em (1) nota-se a presença do termo sinα , e que pode ser tratado através da linearização do modelo em torno de um ponto de operação, ou pelo processo de modelagem fuzzy T-S descrito em Tanaka e Wang (2001) e Feng (2010). Essas duas metodologias são apresentadas a seguir:

i) Modelo Linear: Para esse caso, consideram-

0 = Ι + m r + mg R2( )

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Resultando, da propriedade ∑2i=1 M1=1 e do

fato que α sofre apenas pequenas variações (sinα=α), no seguinte sistema equivalente:

com e .

Discretizando cada submodelo em (5) com as relações abaixo descritas (LI et al., 2013)

, e

sendo o tempo de amostragem Ts= 0,1s , e os parâmetros reais dados por m=2,74(10-3)kg, R=20(10-3)m, g=9,81m/s2, Ι=730,67(10-9)kgm2, d=0,13m e L=0,6m, obtém-se o modelo fuzzy T-S que representa o sistema não linear (1), descrito como:

com [A(h) B(h)]= ∑i2 =1hi [Ai Bi], h=h(x(k))=

[M1x(k)) M2 (x(k))], e as seguintes matrizes

3. Resultados e Discussões

Para a estabilização do sistema (6), considera-se a lei de controle discreta u(k)=K(h)x(k) constituída pela realimentação dos estados dependente da função de pertinência h e com a estrutura matricial K(h)=∑i

2=1hiKi.

A seguinte proposição pode ser estabelecida.Proposição 1: Dado λ ϵ (0,1], considere que existem as matrizes simétricas definidas positivas Qi ϵ Rnxn, e as matrizes U ϵ Rnxn e Y ϵ Rmxn, satisfazendo as seguintes condições LMIs:

se pequenas variações no ângulo α e a aproximação linear da relação entre o ângulo da barra e o ângulo da engrenagem por α=(d/L)θ. Obtém-se a seguinte função de transferência:

ii) Modelo Fuzzy T-S: Para esse caso, considera-se a definição do vetor de estados x =[r ṙ]ʹ, podendo-se reescrever (1) como:

Na qual utiliza-se a relação não linear α = (d/L)θ. Define-se, com base nas dimensões físicas do sistema, que -π/3 ≤ θ ≤ π/3. Portanto, nota-se que a não linearidade sinθ, pertence ao setor limitado sinθ ∈ [b2 b1] (KHALIL, 2003), com e b2=3√3/2π e b1=1, como pode ser visto na Figura 3.

Dessa forma, pela metodologia abordada em Tanaka e Wang (2001), pode-se substituir a não linearidade sinθ por

P(s) = R(s) = _ mdg Θ(s) L( Ι + m)s2

R2

ẋ = 0 1 x _ mdg 0 0 Ι + m sinα

R2[ ] ( )[ ]

Figura 3: Setor para a não linearidade sinθ

sinθ = ∑mibiθ → M1= sinθ - b2θ i=1

2

θ(b1- b2) e M2= b1θ - sinθ

θ(b1- b2) para θ ≠ 0

M1=1 e M2=0 para θ=0

construção e controleconstrução e controlede uma plataformade uma plataformaResultando, da propriedade de uma plataformaResultando, da propriedade se pequenas variações no ângulo de uma plataformase pequenas variações no ângulo α de uma plataformaα e a aproximação de uma plataformae a aproximação

experimental ball and beamexperimental ball and beamfato que experimental ball and beamfato que αexperimental ball and beamα sofre apenas pequenas variações (experimental ball and beam sofre apenas pequenas variações (no seguinte sistema equivalente:experimental ball and beamno seguinte sistema equivalente:

linear da relação entre o ângulo da barra e o ângulo experimental ball and beamlinear da relação entre o ângulo da barra e o ângulo da engrenagem por experimental ball and beamda engrenagem por α=(d/L)θexperimental ball and beamα=(d/L)θ. Obtém-se a seguinte experimental ball and beam. Obtém-se a seguinte ~

~

ẋ = ∑ Mi {Ᾰi x + Biθ}i=1

2

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Ᾰi= 0 1 0 0 [ ] Bi= – mdg 0

L( Ι + m)s2 biR2

( )[ ]

Ai = eAiTs Bi = ʃ0Ts ᾸiπBI dτ

x (k + 1) = A (h) x (k) + B (h) u (k)

A1=A2= 0 0,1 , B1= -0,0053 B2= -0,0053 0 1 -0,1275 -0,1055[ ] [ ] [ ]

[ ]-Qj AiU+BiYi

* λ(Qi-U´-U) <0

[ ]-2Qj (Ai+Aq)U+BiYq+BqYi

* λ(Qi-Qq- 2U´-2U) <0

construção e controleconstrução e controlede uma plataformade uma plataforma

experimental ball and beamexperimental ball and beamEntão, as matrizes do controlador (8) obtidaspor Ki=Yi U

-1 são tais que a origem do sistema em malha fechada é assintoticamente estável com coeficiente de contratividade λ.

Prova: O procedimento utilizado para obtenção das condições de estabilização (9) e (10) pode ser verificado a partir do trabalho Klug e Castelan (2011), e portanto não será aqui apresentado.

3.1 ExemploPara o exemplo de simulação utilizam-se os

ganhos do controlador obtidos da aplicação das condições da Proposição 1 ao sistema descrito pelas equações (6) e (7). Primeiramente efetua-se uma substituição de variáveis para mudar a origem do posicionamento para o centro da barra. Diferentes valores para o fator de contratividade λ são utilizados, obtendo-se os seguintes ganhos do controlador (8)

Na Figura 4 observa-se a evolução temporal da posição da bola sobre a barra x1= r para diversas condições iniciais do tipo Cli= x0i=[x01i 0], com x01=[0,3 0,2 0,1 -0,1 -0,2 -0,3]. Nota-se que a escolha de um menor fator de contratividade λ implica em uma convergência mais rápida das trajetórias para a origem (ou valor desejado).

Observação: Todos os resultados foram obtidos utilizando-se do software Matlab com a interface para solução de problemas de programação convexa Yalmip, e os solvers SEDUMI e SDPT3.

3.2 Aplicação ao Sistema RealEm virtude de testes práticos realizados optou-

se por controlar a plataforma Ball and Beam utilizando-se um software gerado em computador. Este software foi criado em ambiente Matlab através do pacote Guide, e o mesmo possui comunicação com uma placa microcontrolada do tipo Arduino UNO. Esta placa é responsável por fazer a leitura da posição da bola advinda do sensor (através de uma entrada analógica) e aplicar o esforço de controle ao servomotor (utilizando-se PPM). Esta escolha deve-se principalmente a finalidade didática a qual a planta foi concebida, ao passo que uma vez que os dados são transportados até o computador é possível fazer a supervisão de todo o processo, observando gráficos, alterando parâmetros, entre outras características. Deve-se enfatizar que em ambiente industrial seria mais adequado a escolha de um controlador embarcado.

Como primeiro passo foi criado um programa para calibração do sensor (Figura 5), vistoque o mesmo apresenta uma curva não linear de resposta, que em algumas situações possui pequenas variações dependendo da luminosidade doambiente e coloração da bola.

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K1=[11,5781 8,3827], K2=[14,2650 10,1278] → λ=0,8K1=[6,57490 8,1297], K2=[8,01090 9,81040] → λ=0,9

Figura 4 - Trajetórias para diversas condições iniciais.

(a) para λ=0,8 (b) para λ=0,9

construção e controlede uma plataformaexperimental ball and beamNeste programa é necessário que o usuário insira manualmente a bola em seis posições diferentes, orientadas

pelos parafusos presentes na estrutura, e que pressione o botão de calibração. Através das leituras obtidasgera-se uma curva da resposta do sensor por interpolação, que será utilizada posteriormente no softwareresponsável pelo controle da estrutura.

Dada a calibração do sensor pode-se acessar o segundo programa, responsável por gerar a leide controle que será aplicada a plataforma (Figura 6). O usuário é responsável pela inserção da referênciadesejada (posição da bola requerida) e dos parâmetros do controlador, na qual inicialmente implementa-seum PID (proporcional-integral-derivativo).

Dada a inicialização, o software apresenta em tempo real as curvas de saída/referência, erro e a açãode controle aplicada, assim como uma figura que se movimenta de acordo com o posicionamento da bola e ânguloda barra, representando o sistema real.

O sistema real finalizado pode ser observado na Figura 7. Como futuras melhorias será tratado a mudança da lei de controle para a abordagem não linear da Proposição 1, além da possível alteração de sensoriamento (sensores ultrassônicos, resistivos, magnéticos, entre outros), visando a obtenção de leituras mais rápidas e precisas.

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Figura 5 - Programa de Calibração do Sensor

Figura 6 - Programa de Controle

4. Conclusões

Neste artigo foram apresentados a construção de uma plataforma experimental para o ensino de controle do tipo Ball and Beam, e o desenvolvimento de uma estratégia de controle não linear com utilização de modelos fuzzy de Takagi-Sugeno. Os alunos da unidade curricular de Teoria de Controle do IFSC/Joinville podem agora usufruir de uma planta real para testes dos controladores estudados em teoria.

Este sistema, em conjunto com os que virão a ser projetados, poderá ser utilizado para compor um laboratório de controle (atualmente inexistente), diminuindo os custos na aquisição de sistemas comerciais.

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Figura 7 - Programa de Calibração do Sensor

REFE

RÊN

CIA

S

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