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CONSTRUÇÃO E UTILIZAÇÃO DE MAQUETE ELETRÔNICA PARA ENSINO DE

GRAFOS: APRENDIZAGENS DE ALUNOS DE ENSINO MÉDIO E DE EDUCAÇÃO

PROFISSIONAL A PARTIR DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

Lauro Chagas e Sá

Instituto Federal do Espírito Santo

[email protected]

Resumo: Este trabalho apresenta recorte de pesquisa de mestrado, de natureza qualitativa, que investigou

aprendizagens discentes durante construção e utilização de uma maquete eletrônica para abordagem da Teoria de

Grafos no Ensino médio. Adotamos como formato metodológico a pesquisa-ação, considerando a participação

de estudantes e professores do curso técnico em Automação Industrial do instituto federal na construção da

maquete eletrônica que proporcionou o ensino de grafos em sala de aula de ensino médio, da rede estadual de

educação. As etapas da pesquisa compreenderam fase exploratória, definição da abordagem, realização de

seminários, registros em atas e apresentação do projeto em Feiras de Matemática e validação da proposta

educativa em dois momentos. Em sala de aula, adotamos uma perspectiva histórico-investigativa, que concatena

o marco teórico da Investigação Matemática e da História da Matemática, numa abordagem sociocultural.

Baseada em Vygostky, essa perspectiva percebe a história como uma fonte de experiências humanas que podem

ser trabalhadas em atividades didáticas de Matemática. Com isso, o papel das fontes históricas é produzir

significados em meio às próprias experiências dos alunos, proporcionando, principalmente, uma ampliação da

maneira com que eles entendem e lidam com a Matemática. Ao final do processo investigativo utilizando a

maquete eletrônica, observamos que os alunos enunciaram o Teorema dos Caminhos Eulerianos, de 1736, e

formalizaram conceitos relativos à Teoria de Grafos. A partir da Teoria do Jogo de Vozes e Ecos, analisarmos

qualitativamente as respostas dos alunos e percebemos que os estudantes produziram ecos superficiais, marcados

pela confusão entre os termos dessa teoria e os da Geometria; mecânicos, quando não se apropriaram do

Teorema dos Caminhos Eulerianos; e de assimilação, quando um aluno conseguiu enunciar, à sua maneira, este

teorema e ainda apresentar um exemplo simples e diferente dos apresentados em sala. Além das contribuições

para os alunos da educação básica, também procuramos analisar a formação dos alunos-pesquisadores da

educação profissional no movimento da pesquisa-ação. Nesse sentido, corroboramos, junto aos alunos, a tese de

que os conteúdos são conceitos e teorias que constituem sínteses da apropriação histórica da realidade material e

social pelo homem. Além disso, verificamos que os alunos da educação profissional puderam reconhecer a

Teoria de Grafos como conhecimento construído historicamente, a partir do qual podem-se construir novos

conhecimentos, inclusive técnicos, no processo de investigação e compreensão do real. Quanto às conclusões,

verificamos que o projeto de investigação para construção da maquete eletrônica e as tarefas de investigação

propostas em sala de aula proporcionam aos alunos uma atividade semelhante à dos matemáticos, permitindo-

lhes o prazer da descoberta e apresentando-lhes a matemática como produção humana.

Palavras-chave: Grafos; Matemática; Ensino Médio.

1. Introdução

Este texto apresenta recorte de pesquisa de mestrado, de natureza qualitativa, que investigou

aprendizagens discentes durante construção e utilização de uma maquete eletrônica para

ensino da Teoria de Grafos. A motivação para o estudo surgiu com a observação de que os

alunos de ensino médio integrado ao técnico, nas aulas de matemática, se colocavam

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matemática numa posição passiva em relação à aprendizagem. Com isso, na tentativa de

alterar esse cenário, realizamos projetos de Feira de Matemática com alunos, de modo a

oportunizar uma vivência diferente a qual eles estavam acostumados – uma experiência em

que fossem protagonistas do processo de aprendizagem, onde buscassem o conhecimento que

lhes fossem necessários.

Durante o desenvolvimento de um dos projetos, “Teoria de Grafos para o Ensino Médio:

possibilidades a partir do uso de maquetes eletrônicas”, passamos a perceber este movimento

das feiras de ciências como “espaço de interação com as áreas de ciência e tecnologia;

oportunidade de ensino e de aprendizagem para professores e alunos; e de desenvolvimento

do aluno em suas dimensões sociais, afetivas, cognitivas e psicológicas” (MOURA, 1995, p.

7). Nesse sentido, apesar do foco inicial da pesquisa de mestrado estar na utilização da

maquete eletrônica por alunos de ensino médio da rede estadual de educação, julgamos

importante também analisar as aprendizagens conceituais dos alunos da educação profissional

a partir da construção da maquete eletrônica. Este será, portanto, nosso recorte: trataremos

aprendizagens de alunos de ensino médio e de educação profissional, a partir da história da

matemática. Nas páginas a seguir, nos propomos a responder seguinte pergunta: que

contribuições de uma abordagem histórico-investigativa são identificadas durante a

construção e utilização de uma maquete eletrônica?

2. Uma breve incursão na história da Teoria de Grafos

No início do século XVIII, especula-se que os cidadãos da cidade russa de Königsberg

costumavam passar suas tardes de domingo a caminhar em torno da sua localidade.

Königsberg é constituída por quatro áreas de terra separadas pelo Rio Pregel, sobre o qual há

sete pontes, tal como ilustrado na figura 1. O problema que os cidadãos fixaram era caminhar

ao redor da cidade, cruzando cada uma das sete pontes apenas uma vez e, se possível, retornar

ao seu ponto de partida.

Em 1730, Leonhard Euler (1707-1783) chega à Rússia para ocupar a cadeira de Filosofia

Natural na Academia de Ciências de São Petersburgo. Três anos mais tarde, com a saída de

Daniel Bernoulli (1700-1782), ele tornou-se o principal matemático da Academia. Ao tomar

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conhecimento sobre a notoriedade de Euler, o prefeito de uma cidade próxima a Königsberg

passou a se corresponder com o matemático suíço, para discutir o problema das sete pontes.

Parte de uma das cartas, datada de 09 de março de 1736 e enviada a Euler, está apresentada a

seguir:

Você prestaria a mim e a nosso amigo Kiihn o mais valioso serviço, colocando-nos

muito em dívida com você, culto Senhor, se você nos enviasse a solução, que você

conhece bem, para o problema das sete pontes Könisberg, juntamente com uma

prova. [...] Eu adicionei um esboço das referidas pontes... (SACHS; STIEBITZ;

WILSON, 1988, p. 134).

Figura 1 – Esboço do mapa da cidade

Fonte: Sachs; Stiebitz; Wilson, 1988, p. 135.

Euler não precisou de mais de uma quinzena de dias para resolver o enigma. Para isso, ele

criou um modelo matemático que simulasse a cidade russa, que é o que hoje chamados de

grafo. Durante a elaboração do grafo, ele representou as porções de terra (ilhas e margens) por

pontos e as pontes por linhas ligando esses pontos (figura 2).

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Figura 2 – Grafo que representa a cidade de Königsberg.

Fonte: Malta; 2008, p. 12.

Apesar de não utilizar as denominações atuais da Teoria dos Grafos, Euler analisou a

quantidade de arestas que incidem em cada vértice, ou seja, analisou o grau dos vértices.

Então, o matemático percebeu que só se pode realizar um caminho passando em todas as

pontes uma única vez se, e somente, cada porção de terra possuir uma quantidade par de

pontes. Em homenagem ao matemático suíço, esse caminho é chamado de euleriano. Mais

formalmente, enunciamos essa observação do matemático suíço da seguinte forma:

Teorema (dos Caminhos Eulerianos)

(a) Se um grafo conexo1 tem mais de dois vértices com grau ímpar, então ele não

tem passeio euleriano.

(b) Se um grafo conexo tem exatamente dois vértices de grau ímpar, então ele possui

um caminho euleriano aberto, que começa em um vértice, percorre todas as arestas e

termina em um vértice diferente do inicial.

(c) Se um grafo conexo não tem vértices de grau ímpar, então ele tem um caminho

euleriano fechado, que começa e termina no mesmo vértice, percorrendo todas as

arestas.

(LÓVASZ, PELIKÁN, VESZTERGOMBI, 2005, p. 133).

Ainda em 1736, o matemático enviou a resposta ao prefeito da cidade próxima a Königsberg e

apresentou sua solução no artigo "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis",

enviado ao Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana. O artigo, que foi

escrito em latim e traduzido para o francês (EULER, 1851), é dividido em vinte e um

1 Um grafo é conexo, se existir um caminho entre qualquer par de vértices.

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parágrafos numerados, dos quais o primeiro atribui o problema à geometria da posição, os

próximos oito são dedicados à solução do Problema das Sete Pontes de Königsberg e os

demais generalizam o problema. Embora datado de 1736, o texto de Euler só foi publicado

em 1741, com reimpressão em 1752.

Após a resolução do Problema das Sete Pontes de Königsberg, começaram a surgir novos

problemas, como o do Caixeiro Viajante, o das Quatro Cores e o do Carteiro Chinês, que

permitiram o desenvolvimento da Teoria dos Grafos. Ainda assim, o problema de Euler e o de

Hamilton, que foi discutido anos depois, formam os principais problemas históricos com

Grafos. Hoje, estruturas que podem ser representadas por grafos estão em toda parte e muitos

problemas de interesse prático podem ser formulados como questões sobre esse conteúdo.

Dependendo da aplicação, as arestas do grafo podem ter direção, ligar um vértice a ele próprio

e ainda ter um peso (numérico) associado. Em Sá (2014), listamos a aplicação de grafos em

problemas de transporte metroviário e no sistema de buscas do Google.

3. O uso de história no ensino de matemática

Uma reflexão sobre a utilização da História na Educação Matemática nos conduz a uma

escolha teórica. Em linhas gerais, acreditamos que a História é uma rica fonte de experiências

e produções humanas, que oportuniza um diálogo entre práticas atuais e fontes históricas,

conforme previsto nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio:

A utilização da História da Matemática em sala de aula também pode ser vista como

um elemento importante no processo de atribuição de significados aos conceitos

matemáticos. É importante, porém, que esse recurso não fique limitado à descrição

de fatos ocorridos no passado ou à apresentação de biografias de matemáticos

famosos. A recuperação do processo histórico de construção do conhecimento pode

se tornar um importante elemento de contextualização dos objetos e de

conhecimento que vão entrar na relação didática (BRASIL, 2006, p. 86).

Em relação a pesquisas em Educação Matemática que abordam História da Matemática, os

pontos de vista são variados e dependem da visão que cada professor e pesquisador tem da

História e dos valores que estão presentes nesta metodologia de ensino. Miguel e Miorim

(2011), Motta (2006) e Dynnikov e Sad (2007), por exemplo, apresentam diversas opções

para o emprego de fontes históricas (primárias e secundárias) em sala de aula.

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As práticas relatadas neste trabalho foram orientadas pela Teoria do Jogo de Vozes e Ecos,

elemento comum entre as perspectivas sociocultural e do jogo de Vozes de Miguel e Miorim

(2011), a concepção de pintura de Motta (2006) e o terceiro modo de utilizar a história, de

Dynnikov e Sad (2007). Esta teoria busca uma participação da cultura extra-matemática para

proporcionar ao estudante uma ampliação crítica de seu conhecimento. De maneira mais

prática, o que Boero e seu grupo tem chamado de Jogo de Vozes e Ecos é uma situação

particular de ensino que visa ativar os alunos a produzir ecos por meio de tarefas específicas

(BOERO, et al., 1998; 2001). Assim, consoante aos objetivos de nossa pesquisa,

apresentamos um viés para o Jogo de Vozes e Ecos, no qual as atividades propostas não

necessitam ser exatamente as mesmas da História e no qual as vozes não precisam ser as dos

matemáticos antigos. Esta estratégia é sugerida por Brito e Carvalho (2009, p. 17):

Nossa preocupação é essencialmente pedagógica, por isso recorremos à história com

finalidades diretamente relacionadas com nossa prática de sala de aula. Uma delas é

criar problemas que possibilitem emergir discussões sobre dúvidas que

frequentemente nossos alunos apresentam. Tais problemas não são obrigatoriamente

os mesmos que encontrados na história da Matemática, mas recriações destes.

Essa adequação também é defendida por Mendes (2009) quando afirma que as informações

históricas podem passar por “adaptações pedagógicas que, conforme objetivos almejados,

devem se configurar em atividades a serem desenvolvidas em sala de aula ou fora dela”

(idem, p. 109). Ainda assim, o pesquisador destaca que essas adaptações “devem possuir uma

carga muito forte de aspectos provocadores da criatividade imaginativa dos estudantes, bem

como fortes indícios de aspectos socioculturais que geraram a construção dos tópicos

matemáticos abordados na atividade” (ibidem).

No contexto da educação profissional, Ramos (2005) aponta que os processos de trabalho e as

tecnologias correspondem a momentos do desenvolvimento das forças materiais de produção

e podem ser tomados, em sala de aula, como ponto de partida histórico e dialético para o

processo pedagógico:

Histórico porque o trabalho pedagógico fecundo ocupa-se em evidenciar, juntamente

com os conceitos, as razões, os problemas, as necessidades e as dúvidas que

constituem o contexto de produção de um conhecimento. A apreensão de

conhecimento na sua forma mais elaborada permite compreender os fundamentos

prévios que levaram ao estágio atual de compreensão do fenômeno estudado.

Dialético porque a razão de estudar um processo de produção não está na sua

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estrutura normal e procedimental aparente, mas na tentativa de captar os conceitos

que os fundamentam e as relações que os constituem (RAMOS, 2005, p. 120).

Assim, Ramos (2005) defende que é a partir do conhecimento na sua forma mais contemporânea que

se pode compreender a realidade e a própria ciência na sua historicidade.

4. Pesquisa-ação como princípio norteador

Considerando as reflexões suscitadas a partir da relação entre teoria e prática durante a

realização dos projetos de Feira de Matemática, percebemos que a pesquisa-ação, de natureza

qualitativa, emerge como uma possibilidade de abordagem investigativa na área de ensino de

Matemática com muitas aproximações nesta pesquisa. A pesquisa-ação, segundo Fiorentini e

Lorenzato (2009), é um processo investigativo de intervenção em que caminham juntas a

prática investigativa, a prática reflexiva e a prática educativa. Para esses autores, nesta

abordagem metodológica “o observador se introduz no ambiente a ser estudado não só para

observá-lo e compreendê-lo, mas sobretudo para mudá-lo em direção que permitam a

melhoria das práticas e maior liberdade de ação e de aprendizagem dos participantes” (p.

112). Nesta mesma perspectiva, Thiollent (2011, p. 85) destaca que a pesquisa-ação “promove

a participação dos usuários do sistema escolar na busca de soluções aos seus problemas”.

A parte inicial da pesquisa, relativa à construção da maquete, foi desenvolvida com alunos do

curso técnico em Automação Industrial Integrado ao Ensino Médio do Instituto Federal do

Espírito Santo, campus Linhares. Dessa forma, a composição do grupo foi de quatro alunos –

aqui chamados de Sabrina, Elis, Thiago e João –, um professor com formação em engenharia

e um professor com formação em matemática, sendo este último o pesquisador de mestrado.

Esta composição se manteve até dezembro de 2015, quando os alunos ensino médio

concluíram o curso e se desligaram da instituição. A proposta de trabalho, sobre Teoria de

Grafos, surgiu da constatação de diversas aplicações desse campo da Matemática na área de

tecnologia e da necessidade de se desenvolver novos recursos para seu ensino, já que a Teoria

de Grafos é conteúdo de ensino médio do estado (ESPÍRITO SANTO, 2008).

As etapas da pesquisa-ação com os alunos do ensino médio compreenderam fase exploratória,

realização de seminários internos (com outros alunos da instituição), registros em atas,

construção da maquete eletrônica, apresentação do projeto em feiras e duas validações da

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proposta educativa em uma escola da rede estadual do Espírito Santo, situada em Vitória. Em

relação às etapas para realizar uma pesquisa-ação, cabe apontar que o método é o da espiral

auto-reflexiva (FIORENTINI; LORENZATO, 2009), com suas fases de planejamento, de

ação, de observação e de reflexão, depois de um novo planejamento da experiência em curso.

Neste recorte, apresentamos dados referentes à segunda experiência de ensino, com utilização

da maquete eletrônica, que aconteceu entre os dias 11 e 13 de abril de 2016, nas duas turmas

de segundo ano do turno vespertino.

Durante a realização da pesquisa de mestrado, utilizamos dois instrumentos para obtenção de

dados: observação participante – apoiada em captura de imagens em fotos, gravação de áudio

e registro em diário de campo – e análise documental sobre as produções dos alunos. Em sala

de aula, além dos instrumentos citados, fizemos uso de filmagens para acompanhar a

utilização da maquete eletrônica. A produção escrita dos alunos foi obtida com a solicitação

de um relatório de investigação e na formalização escrita de conceitos, por meio de atividade

de sistematização proposta em Sá (2014). Com a produção desses novos enunciados,

identificamos impressões sobre o processo histórico de constituição da Teoria de Grafos e

reconhecemos os ecos (BOERO; PEDEMONTE; ROBOTTI, 1997) produzidos por alunos

não somente após a aula, mas também durante sua realização.

5. Aprendizagens conceituais dos alunos da educação profissional a partir da construção

da maquete eletrônica

Em relação à matemática, perguntamos aos alunos-pesquisadores, por meio de questionário,

quais dos conteúdos utilizados no projeto eles já conheciam e quais aprenderam durante a

construção da maquete eletrônica. João e Elis, em suas respostas, mostraram que, durante a

realização do projeto, retomaram conteúdos de combinatória, à medida que aprendiam novos

conteúdos de Teoria de Grafos.

Resposta João: Já tinha conhecimento a respeito dos conceitos de análise

combinatória e na criação de árvores de possibilidades. Os conhecimentos a respeito

da Teoria de Grafos como um todo foi aprendido durante a execução do projeto. Foi

possível aprender também sobre a sua aplicabilidade em buscadores pesquisas

online, em áreas da física elétrica, dentre outras (2015).

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Resposta Elis: Já havia estudado probabilidade e combinação, conteúdos que nos

auxiliaram para a construção lógica do problema. O conteúdo que eu não conhecia

foi a Teoria de Grafos, esta, aprendemos durante a realização do projeto (2015).

Além do conteúdo matemático, destacamos também as aprendizagens dos alunos em uma

dimensão maior, relacionada ao contexto histórico. Nesse sentido, Ramos (2005, p. 114)

afirma que “os conteúdos de ensino são conceitos e teorias que constituem sínteses da

apropriação histórica da realidade material e social pelo homem”. Além disso, a autora

destaca que aprender conteúdos implica reconhecê-los como conhecimentos construídos

historicamente, que, por sua vez, se constituem em pressupostos a partir dos quais se podem

construir novos conhecimentos no processo de investigação e compreensão do real. E isto

pode ser visto em uma das respostas de Sabrina:

A Teoria de Grafos surgiu com um problema cotidiano, na cidade de russa de

Konisberg, onde existia duas ilhas e sete pontes. Pretendia-se caminhar em torno da

cidade e atravessar todas as pontes apenas uma vez e, se possível, retornar ao ponto

inicial. O problema foi esclarecido por Euler, matemático do século XVIII, ao

constar que o objetivo era impossível de ser cumprido. A partir dai, surgiu o que

conhecemos por Teoria de Grafos. Séculos mais tarde, outros ramos/leis se

originaram a partir da sua aplicação, como por exemplo, a Lei de Kirchhoff para

correntes elétricas (Sabrina, em resposta ao questionário, 2015).

Ao analisar a fala de Sabrina, percebemos que a aluna reconhece a Teoria de Grafos como um

conhecimento construído historicamente, uma vez que afirma que seu “surgimento” se deu a

parir do esclarecimento de Euler, no século XVIII. Além disso, sua resposta indica que este

conteúdo se constitui em pressupostos a partir dos quais se podem construir novos

conhecimentos, como a Lei de Kirchhoff para correntes elétricas. Dessa forma, concluímos

que a participação neste tipo de projeto fez com que a aluna reconhecesse a matemática como

produção humana em constante construção (MIGUEL, 1997).

5. Aprendizagens conceituais dos alunos do ensino médio a partir da utilização da

maquete eletrônica

Ao iniciar a intervenção em sala de aula, o pesquisador e a professora apresentaram a maquete

eletrônica, contextualizando sua criação por alunos do Ifes Linhares. Em seguida, o

pesquisador apresentou o Problema das Sete Pontes e convidou os alunos a solucionarem o

problema, realizando investigações com a maquete eletrônica. Em uma das turmas, os alunos

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se revezaram em frente à maquete e, enquanto um grupo fazia uso do recurso, os demais

estudantes começavam a conjecturar possibilidades de respostas, a partir do registro da

maquete em foto:

Figura 3 – Alunos realizando investigações prévias a

partir da foto da maquete eletrônica.

Fonte: Acervo dos pesquisadores, 2016.

Figura 4 – Alunos realizando investigações prévias a

partir da foto da maquete eletrônica.


Com a utilização da maquete eletrônica, confirmamos nossa hipótese em relação a

representação imagética dos grafos pelos alunos. Como não foi possível operar no modelo

apresentado, o que ocorreu durante a atividade de validação, quando os alunos usaram pincel

para simular caminhos na lousa onde a o fundo da maquete foi projetado. Percebemos que

este impedimento incentivou os alunos a construírem seus modelos no caderno e que, nessa

transposição, rudimentos da representação gráfica dos grafos surgiram, potencializando assim

o processo de construção dos conceitos relacionado a este conteúdo.

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Figura 5 – Estratégias dos alunos para resolver o

Problema das Sete Pontes de Königsberg.


Figura 6 – Estratégias dos alunos para resolver o

Problema das Sete Pontes de Königsberg.


Na outra turma de segundo ano, inicialmente os alunos também adotaram a estratégia da foto

da maquete como subsidio para a investigação. Entretanto, com o desenvolvimento da aula,

levantaram e se aproximaram à maquete, para realizarem melhor suas análises observando

diretamente o recurso.

Figura 7 – Alunos rodeando a maquete eletrônica no

primeiro de atividades.


Figura 8 – Alunos rodeando a maquete eletrônica no

primeiro de atividades.


Durante a interação entre a maquete, atuamos na perspectiva da educação problematizadora,

em que a pergunta não é o mais importante no processo educativo. Nesta concepção de

educação, o professor passa a ser responsável por iniciar e dirigir o discurso, envolver cada

um dos alunos e colocar questões esclarecedoras ou estimulantes:

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Aluno: Tem que começar por aqui [A], né?

Pesquisador: Sim... Na maquete tem que começar por aqui, mas no

caderno pode começar por qualquer uma das quatro

regiões...

Aluno: Tá... Eu consegui... Olha aqui... Ia ter que trocar uma

ponte...

Pesquisador: Mas no caso da maquete não tem como, né...

Aluno: É... Mas se eu começar por aqui [A] não tem como eu

voltar...

Pesquisador: Por que?

Aluno: Porque se eu começar por aqui [A] e vir por aqui [A-B]...

Pesquisador: Mas qual é o problema, então?

Aluno: Uma ponte vai ficar faltando...

Pesquisador: Mas, do jeito que está, tem alguma forma de fazer?

Aluno: Ah, não tem não...

Na primeira experiência de ensino, realizada em 2015 como estudo piloto, os alunos de uma

das turmas sugeriram eliminar uma das pontes que liga a ilha da torre [B] à margem norte e

construir uma nova passagem entre a ilha da árvore [A] e a margem sul. Contudo, no caso

transcrito, o aluno propõe a transferência (“troca”, segundo o aluno) de uma ponte. Isto

aponta, em nossa opinião, para uma abstração da situação proposta, de modo que a nova

organização, apesar de permitir um caminho euleriano, é impossível de ser praticada.

A partir da Teoria do Jogo de Vozes e Ecos, analisarmos qualitativamente as respostas dos

alunos nos outros dois dias da experiência de ensino e percebemos que os estudantes

produziram ecos superficiais, mecânicos e de assimilação, os quais detalhamos a seguir.

Os ecos superficiais acontecem quando o aluno não conseguiu entender a voz. A primeira

característica que apresentaremos é a não apropriação do enunciado anterior. Como não há

apropriação dos enunciados apresentados, os ecos superficiais produzidos pelo citante

recebem influências de outras vozes, que pouco tem a ver com o objeto descrito no discurso

citado. No início da segunda aula, quando retomamos o Problema das Pontes de Königsberg,

construímos um grafo que representa a disposição da cidade russa. Este modelo foi usado para

conjecturar os casos de existência do caminho euleriano com os alunos e permitiu que os

estudantes descobrissem que o Problema das Sete Pontes não possuía solução. Um dos

alunos, contudo, usou o mesmo modelo como exemplo de grafo com caminho euleriano.

Então, identificamos a contradição: como um modelo do Problema das Sete Pontes, que não

A B

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possui caminho euleriano nenhum, poderia ser usado para ilustrar um caminho euleriano

fechado?

Figura 9 – Eco superficial na atividade 2.


O segundo grupo de ecos, chamados mecânicos, acontece quando os alunos repetem ou

parafraseiam uma voz ou a solução correta de um exercício padrão. Nesse caso, nos

deparamos com um discurso objetivado, que sugere que os alunos souberam identificar os

dados e o contexto no qual o enunciado está inserido, mas não conseguiram apropriar-se

dessas informações. Ao contrário da nossa experiência do ano de 2013, quando utilizamos um

material impresso com o processo histórico da Teoria de Grafos (SÁ, 2014), nesta experiência

as únicas enunciações escritas foram feitas na sistematização das discussões após o uso da

maquete eletrônica. Dessa forma, os alunos não tinham todos os conceitos disponíveis para

repeti-los ou parafraseá-los. A única definição que foi escrita no quadro e que serviu como

fonte de informações para os alunos foi a de grau do vértice. Esta foi utilizada por boa parte

da turma em sua atividade, de forma igual ou semelhante ao que foi exposto no quadro,

caracterizando o eco mecânico.

Figura 10 – Eco mecânico na atividade 1.


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Quando um estudante ultrapassa o nível mecânico, tornando-se capaz de explorar o conteúdo

e/ou o método transmitido pela voz e utilizando-os em problemas que diferem da situação

apresentada, dizemos que ele produziu um eco de assimilação. Segundo Boero, Pedemonte e

Robotti (1997), este pode ser detectado quando o aluno é capaz de transferir o conteúdo para

outras situações-problemas, que são parcialmente semelhantes ao que é transmitido pela voz.

Nesta categoria, uma enunciação, em especial, nos chamou a atenção, pois além de evidenciar

a compreensão e apropriação dos enunciados, trouxe em seu discurso elementos da história

que foram explorados durante a atividade (figura 11).

Figura 11 – Eco de assimilação com história da matemática.


Ao dizer que o caminho euleriano é o “nome dado quando o suíço Euler tentou fazer um

caminho (trajeto) sem repetir as 7 pontes existente [sic] na cidade de Königsberg em 1736”, o

aluno mostra que percebeu o conceito de grafo euleriano como uma produção humana, pois

foi estabelecida por Euler, e cultural, pois se deu em determinado local e momento da história.

Esta compreensão de trajeto apresentada pelo aluno pôde ser identificada em outras

resoluções do estudante, ao longo das tarefas.

6. ALGUMAS CONCLUSÕES

Nesta produção, investigamos aprendizagens de alunos do ensino médio e da educação

profissional durante a construção ou utilização de maquete eletrônica para ensino de grafos.

Desdobramos nosso objetivo principal em objetivos específicos, que permitiram uma análise

mais sistemática do processo educativo. Ao identificar aprendizagens de alunos-pesquisadores

da educação profissional no movimento da pesquisa-ação, percebemos que estas ocorreram

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em três instâncias: (1) aprendizagens conceituais; (2) interação com as áreas de ciência e

tecnologia; e (3) desenvolvimento do aluno em suas dimensões sociais e afetivas. Em relação

aos conceitos, notamos que aprendizagens se referem a conhecimentos técnicos, como

memória de micro controladores; de matemática, como combinatória, probabilidade e os

próprios grafos; e de História da Matemática.

Durante as experiências de ensino, observamos momentos de utilização da maquete eletrônica

em sala de aula. Assim, confirmamos nossa hipótese em relação a representação imagética

dos grafos pelos alunos. Como não foi possível operar diretamente na maquete eletrônica,

percebemos que os alunos a construíram seus modelos no caderno e que, nessa transposição,

rudimentos da representação gráfica dos grafos surgiram, potencializando assim o processo de

construção dos conceitos relacionado a este conteúdo.

Ao analisarmos as respostas dos alunos nas atividades escritas, percebemos que os estudantes

foram capazes de produzir ecos de diferentes tipos. Na experiência com a maquete eletrônica,

os ecos superficiais, a exemplo do que foi observado em Sá (2014), aconteceram

principalmente no emprego da notação da Teoria dos Grafos ou na confusão entre os termos

dessa teoria e os da Geometria. Os ecos mecânicos aconteceram quando alunos não se

apropriaram do Teorema dos Caminhos Eulerianos, enunciando-o completamente quando

apenas foi solicitado um de seus casos. O eco de assimilação foi detectado no caso de um

aluno que, além de evidenciar a compreensão e apropriação dos enunciados, trouxe em seu

discurso elementos da história que foram explorados durante a atividade.

Sobre a pergunta apresentada no início desse artigo “que contribuições de uma abordagem

histórico-investigativa são identificadas durante a construção e utilização de uma maquete

eletrônica?”, observamos que, ao final do processo educativo, os alunos da rede estadual

enunciaram o Teorema dos Caminhos Eulerianos, de 1736, e formalizaram conceitos relativos

à Teoria de Grafos, a partir da História da Matemática e da Investigação Matemática. Já com

aos alunos-pesquisadores da educação profissional, corroboramos a tese de que os conteúdos

são conceitos e teorias que constituem sínteses da apropriação histórica da realidade material

e social pelo homem. Além disso, verificamos que esses estudantes, em especial,

reconheceram a Teoria de Grafos como conhecimento construído historicamente, a partir do

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qual pode-se construir novos conhecimentos, inclusive técnicos, no processo de investigação

e compreensão do real. Com isso, concluímos que a abordagem histórico-investigativa

proporcionou aos alunos, tanto na construção quanto na utilização da uma maquete eletrônica,

uma atividade semelhante à dos matemáticos, permitindo-lhes o prazer da descoberta e

apresentando-lhes a matemática como produção humana.

REFERÊNCIAS

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