Conservação de Momentum

Onde se explicam as regras seguidas pelas colisões entre corpos extensos e suas aplicações

no cotidiano.Compilado seguindo o exposto pelos sábios da

antiguidade, com comentários do autor.

Sexta Aula teórica do ano dois mil e sete de nossa graça.

Partindo da Segunda Lei de Newton

p mv

tan( )

resul tedv d mvF ma mdt dt

i resi

F F

tan( )

i resul tei

d pF Fdt

Uma questão Filosófica.

A conservação do momentum permite prever o movimento dos corpos.Mas, de onde vem a conservação do momentum?

Slide 4 – Onde continuamos a brincar com a matemática na virtuosa tarefa de explicar o movimento dos corpos.

Para um movimento que possua alguma constância no tempo:

tan( ) ( )i resul te i

i i

pF F t F pt

Relação semelhante pode ser obtida de forma mais geral e agradável aos olhos.

22

11

( ) ( )tt

i i ti it

d p d pF F dt dtdt dt

22

11

2 1( )t

p

i pit

J F dt d p p p

De onde define-se uma nova grandeza denominada impulso.

Algumas generalidades sobre o impulso

2 1( )médJ F t t

Nos casos em que for possível definir uma força média, é razoável escrever que

De onde é possível inferir algum valor para esta grandeza no auxílio à compreensão do movimento.

Uma aproximação gráfica ao problema anteriormente descrito.

Slide 7 – Onde são feitas considerações sobre momentum e energia.

K W F r

J p F t

Nem toda força varia a energia cinética.

Toda força resultante produz variação no momentum

Um exemplo em que o impulso pode ser utilizado para maior compreensão do movimento.

2 1p p J

Sobre o cálculo da força média no caso previamente descrito.

Se o tempo da interação foi medido.

F t p

Sendo a força gravitacional desprezível por ser pequena quando comparada a força exercida pela parede.

Colisão, uma simplificação ao caso geral.

Uma colisão é um evento isolado no qual dois ou mais corpos (ou partículas, ou pontos materiais) exercem uns sobre os outros forças relativamente elevadas por um tempo relativamente curto.

http://plato.if.usp.br/2-2004/fep2145d/AULAIQ/Aulas%20teoricas/col1.pdf

Séries de Colisões – momentum transmitido por insistência.

medJ n n mF p m v vt t t t

rr r r r

Um último aperitivo antes do prato principal.

( )

( )

xx

yy

pF

tp

Ft

Centro de Massa – Uma definição prática.

CM CM

Simetria -> bela para a vista e útil para o cérebro.

Centro de Massa – Uma definição matemática.

1 1 2 2 3 3 1

1 2 3

1

......

N

i iN N i

CM NN

ii

m xm x m x m x m xx

m m m m m

1 1 2 2 3 3 1

1 2 3

1

......

N

i iN N i

CM NN

ii

m rm r m r m r m r

rm m m m m

1 1 2 2 3 3 1

1 2 3

1

......

N

i iN N i

CM NN

ii

m ym y m y m y m yy

m m m m m

Sobre a distribuição contínua de massas (corpo rígido) e como localizar seu centro.

1 cmx xdm

M

Para uma distribuição contínua:

1 cmy ydm

M1

cmz zdmM

Vamos tratar aqui somente de objetos uniformes, isto é, objetos que possuem massa específica uniforme

dm M dV dmdV V

1 1 cmr r dV rdV

M Vr

Slide 17 – Onde trata-se do movimento do centro das massas de um corpo.

1

1 n

cm i ii

r m rM

r r

1

1

n

i i ncm i

cm i ii

d m rdMr Mv m v P

dt dt

rr rr r

1 1

n n

cm i i i resi i

Ma ma F Fr rr r

Slide 18 - Onde aplica-se a terceira lei de Newton para grande utilidade prática.Continuando a jornada que nos leva a melhor compreensão dos fenômenos naturais devemos agora considerar a existência de dois tipos de forças.

cm i ext intMa F F Fr r rr

cm extMa Frr

0

Alguns sistemas sem forças externas.

ColisõesUma colisão é um evento isolado no qual dois ou mais corpos (os corpos que colidem) exercem uns sobre os outros forças relativamente elevadas por um tempo relativamente curto.

http://www.universetoday.com/am/publish/spitzer_planetary_collision.html

1 1 2 2

1 2cm

m v m v Pvm m M

rr rr

Se não há forças externas no momento da colisão

Colisões Elásticas – aquelas em que não há deformação.

1 1 2 2 1 1 2 2 i i f fm v m v m v m vr r r r

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 12 2 2 2

i i f f

i i f f

m v m v m v m v

m v m v m v m v

O sistema não perde energia cinética.

Colisões Inelásticas

1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v

Colisões Completamente Inelásticas

1 1 2 2 1 2 i i fm v m v (m m )v

Foguete = sistema isolado.

0d pdt

1 2p p

1 2 ( )( ) ( )( )exp p mv m dm v dv dm v v

exmdv dvdm v dm

ex res foguete exdv dm dmm v F vdt dt dt