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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

CÁLCULO 1 - CONJUNTOS NUMÉRICOS

Prof. Carlos Alberto G. de Almeida

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB

27 de abril de 2013

Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB



INTRODUÇÃO

Neste material de apoio estudaremos os seguintes assuntos:Conjunto dos números naturais;Conjunto dos números inteiros;Conjunto dos números racionais;Conjunto dos números reais.

Apresentaremos aqui alguns Exercícios Resolvidos sobre osassuntos descritos acima, porém, é interessante que vocêestude antes a teoria no Livro de CÁLCULO.

BOM ESTUDO!




CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N

Chama-se conjunto dos números naturais (N), o conjuntoformado pelos números 0, 1, 2, · · · .

N = {0, 1, 2, 3, · · · }

Neste conjunto são definidas duas operações fundamentais, aadição e a multiplicação, que apresentam as seguintespropriedades:

associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c), paratodos, a,b ∈ N.comutativa da adição: a+b = b+ c, para todos, a,b ∈ N.elemento neutro da adição: a + 0 = a, para todo, a ∈ N.




CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N

associativa da multiplicação: (ab)c = a(bc), para todos,a,b, c ∈ N.comutatividade da multiplicação: ab = ba, para todos,a,b ∈ N.elemento neutro da multiplicação: a · 1 = a, para todo,a ∈ N.distributiva da multiplicação relativamente à adição:a(b + c) = ab + ac, para todos, a,b, c ∈ N.

Veremos que os próximos conjuntos numéricos a seremapresentados são ampliações de N, isto é, contêm N, têm umaadição e uma multiplicação com as propriedades formais jáapresentadas e outras mais.




EXERCÍCIOS: Seja H o conjunto{n ∈ N | 2 6 n 6 40,n multiplo de 2,n nao multiplo de 3}. Qual éo número de elementos de H?

SOLUÇÃO:múltiplos de 2:{2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40}Então temos 20 múltiplos de 2 entre 2 e 40. Isto é:]{multiplos de 2} = 20.não múltiplos de 3:{2,4,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,26,28,29,31,32,34,35,36,37,38,39,40}Então temos 26 não múltiplos de 3 entre 2 e 40. Isto é:]{nao multiplos de 3} = 26.




CONTINUAÇÃO

Entretanto estamos procurando números que sãosimultaneamente múltiplos de 2 e não múltiplos de 3. Logo,observando a descrição dos elementos acima, teremos:H = {2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40}Portanto,

n(H) = 14




CONJUNTO DO S NÚMEROS INTEIROS - Z

Chama-se conjunto dos números inteiros - símbolo Z - oseguinte conjunto:

Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3, ...}

No conjunto Z distinguimos três subconjuntos notáveis:

Z+ = {0,1,2,3, ...} = N

(chamado conjunto dos inteiros não negativos)

Z− = {...,−3,−2,−1,0}

(chamado conjunto dos inteiros não positivos)

Z∗ = {...,−3,−2,−1,1,2,3, ...}

(chamado conjunto dos inteiros não nulos).Prof. Carlos Alberto G. de Almeida DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS - CCAE/UFPB



OPERAÇÕES EM Z

No conjunto Z são definidas também as operações de adição emultiplicação que apresentam, além de [A. 1], [A. 2], [A. 3],[M. 1], [M. 2], [M. 3] e [D] a propridade:

[A.4] simétrico ou oposto para a adição

Para todo a ∈ Z existe − a ∈ Z tal que

a + (−a) = 0.

Devido à propriedade [A. 4], podemos definir em Z a operaçãode subtração, estabelecendo que a − b = a + (−b) para todosa,b ∈ Z.




CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS

Chama-se conjunto dos números racionais - símbolo Q - oconjunto dos pares ordenados (ou frações)

ab

, em que a ∈ Z eb ∈ Z∗, para os quais adotam-se as seguintes definições:

1 igualdade:ab=

cd⇐⇒ ad = bc

2 adição:ab+

cd

=ad + bc

bd3 multiplicação:

ab· c

d=

acbd

No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos:Q+ = conjunto dos racionais não negativosQ− = conjunto dos racionais não positivosQ∗ = conjunto dos racionais não nulos




REPRESENTAÇÃO DECIMAL

O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos,diferentes de zero, isto é, é uma decimal exata.Exemplos:31= 3,

12= 0,5,

120

= 0,05,27

1000= 0,027

O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismosque se repetem periodicamente, isto é, é uma dízimaperiódica.Exemplos:

13= 0,333... (período 3)

27= 0,285714285714... = 0,285714 (período 285714)

116

= 1,8333... (período 3)




REPRESENTAÇÃO DECIMAL

Quando a decimal é exata, podemos transformá-lo em umafração cujo numerador é o numeral decimal sem a vírgula ecujo denominador é o algorismo 1 seguido de tantos zerosquantas forem as casas decimais do numeral dado.Exemplos:

0,37 =37

1002,631 =

26311000

63,4598 =63459810000

Quando a decimal é uma dízima periódica, devemos procurarsua geratriz. Damos a seguir um exemplo de como obter ageratriz de uma dízima periódicaExemplo: 0,777 ...

x = 0,777...10x = 7,777...

}=⇒ 10x − x = 7 =⇒ x =

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CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R

Chama-se conjunto dos números reais - em símbolos R -aquele formado por todos os números com representaçãodecimal, isto é, as decimais exatas ou periódicas




BIBLIOGRAFIA UTILIZADA

Fundamentos de matemática elementar - vol 1: conjuntos,funções. Iezzi, Gelson - 8. ed. - São Paulo: Saraiva, 2008.Pré-Cálculo. Boulos - São Paulo: MAKRON Books, 1999.Cálculo Diferencial e Integral - Volume 1. Boulos - SãoPaulo: MAKRON Books, 1999.




OBSERVAÇÕES:

Caros alunos e alunas, é de extrema importância quevocês não acumulem dúvidas e procurem, dessa forma,estarem em dia com o conteúdo.Sugerimos que estudem os conteúdos apresentadosnesta semana, e coloquem as dúvidas que tiverem nofórum de nosso curso, para que possamos esclarecê-las.O assunto exposto acima servirá de suporte durante todoo curso. Portanto aproveitem este material!

BOM ESTUDO!



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