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Cônicas

1. (Uepg 2014) Uma reta e uma parábola se interceptam nos pontos (4, 5) e (1, 2). Se a

abscissa do vértice da parábola vale 2, assinale o que for correto. 01) A reta intercepta o eixo x no ponto (–1, 0).

02) A reta forma com o eixo x um ângulo de 135°. 04) A parábola não intercepta o eixo x.

08) A ordenada do vértice da parábola vale 1.

16) A parábola tem a concavidade voltada para baixo.

2. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana 2 2x y 4y 0 e a

parábola α de equação 2y 4 x .

a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com .α

b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola .α

Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as

inequações 2 2x y 4y 0 e 2y 4 x .


3. (Unesp 2014) A figura mostra um plano cartesiano no qual foi traçada uma elipse com eixos

paralelos aos eixos coordenados.

Valendo-se das informações contidas nesta representação, determine a equação reduzida da elipse. 4. (Uema 2014) Uma família da cidade de Cajapió – MA comprou uma antena parabólica e o técnico a instalou acima do telhado. A antena projetou uma sombra na parede do vizinho, que está reproduzida abaixo, coberta com uma folha quadriculada.

Note que a figura projetada na parede é uma cônica. Considerando as medidas mostradas e o sistema cartesiano contido na folha quadriculada, a equação que representa a cônica será

a) 2

y 2 7 2x 1 .

b) 2

y 2 7 2x 1 .

c) 2

y 3 12 x 1 .

d) 2 1

y 2 7 2x .7

e) 2 12

y 3 x 1 .7


5. (Unifor 2014) Uma bola é jogada dentro de uma cesta cuja superfície é obtida girando a

parábola 2y x em torno do eixo y. O centro da bola ocupa um ponto de altura y 3. O raio

da bola é:

a) 11

b) 11

2

c) 11

3

d) 11

4

e) 11

5

6. (Espcex (Aman) 2014) Sobre a curva 9x

2 + 25y

2 – 36x + 50y – 164 = 0, assinale a

alternativa correta. a) Seu centro é (– 2,1). b) A medida do seu eixo maior é 25. c) A medida do seu eixo menor é 9. d) A distância focal é 4. e) Sua excentricidade é 0,8. 7. (Fgv 2014) No plano cartesiano, há dois pontos R e S pertencentes à parábola de equação

2y x e que estão alinhados com os pontos A(0,3) e B(4,0).

A soma das abscissas dos pontos R e S é: a) -0,45 b) -0,55 c) -0,65 d) -0,75 e) -0,85

8. (Udesc 2013) A área delimitada por uma elipse cuja equação é 2 2

2 2

x y1

a b é dada por

A ab .π Então, a área da região situada entre as elipses de equações 2 216x 25y 400 e

2 216x 9y 144 é:

a) 12 u.a.π

b) 20 u.a.π

c) 8 u.a.π

d) 256 u.a.π

e) u.a.π

9. (Epcar (Afa) 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse

de equação 2 2x 9y 8x 54y 88 0 é correto afirmar que

a) tem raio igual a 1. b) tangencia o eixo das abscissas. c) é secante ao eixo das ordenadas. d) intercepta a reta de equação 4x – y 0.


10. (Uem 2013) Sobre a cônica de equação 2 2x 4y 9, assinale o que for correto.

01) Trata-se de uma elipse. 02) A cônica intercepta o eixo das abscissas em (3,0) e (−3,0). 04) Se A e B são pontos da cônica que não são colineares com os focos D e E da cônica, os

triângulos ADE e BDE possuem o mesmo perímetro.

08) A circunferência centrada na origem e de raio 2 tangencia essa cônica.

16) O ponto 1

2 2,2

pertence à cônica.

11. (Ufpe 2013) A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com

equações respectivas 2y x 8x 13 e 2y x – 4x – 3.

Analise as proposições abaixo, acerca dessa configuração. ( ) Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas (1,–6). ( ) O vértice da parábola A é o ponto (4,2). ( ) A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas A e B tem equação

y 2x – 6.

( ) A distância entre os vértices das parábolas A e B é 102. ( ) A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0,–3).


12. (Enem 2013) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja

fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue: I. é a circunferência de equação x

2 + y

2 = 9;

II. é a parábola de equação y = – x2 – 1, com x variando de –1 a 1;

III. é o quadrado formado pelos vértices (–2, 1), (–1, 1), (–1, 2) e (–2, 2); IV. é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); V. é o ponto (0, 0). A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

a) b)

c) d)

e)

13. (Esc. Naval 2013) A equação 2 24x y 32x 8y 52 0, no plano xy, representa

a) duas retas b) uma circunferência c) uma elipse d) uma hipérbole e) uma parábola


14. (Ufrn 2013) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões 22 m por 18 m, um teto de

gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 20 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo.

O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos. Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de a) 3 m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m.

15. (Ita 2013) Sobre a parábola definida pela equação 2 2x 2xy y 2x 4y 1 0 pode-se

afirmar que a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox. b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox. c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox. d) a abscissa do vértice da parábola é x 1.

e) a abscissa do vértice da parábola é 2

x .3

16. (Ufpe 2013) Para cada número real a, analise as proposições a seguir, referentes à

representação geométrica da equação 2 2x ay 2x 2ay 0 em um sistema de coordenadas

cartesianas xOy. ( ) Se a 1, a equação representa uma circunferência. ( ) Se a 0, a equação representa uma reta. ( ) Se a 3, a equação representa uma hipérbole. ( ) Se a 2, a equação representa uma elipse. ( ) Se a 1, a equação representa a união de duas retas.

17. (Fgv 2013) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica

2 2(x 2) 4(y 5) 36, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação,

então, m n é igual a a) 8. b) 7. c) 6. d) 4. e) 3.


18. (Esc. Naval 2012) Considere a sequência (a,b,2) uma progressão aritmética e a sequência

(b,a,2) uma progressão geométrica não constante, a,b . A equação da reta que passa pelo

ponto (a,b) e pelo vértice da curva 2y 2y x 3 0 é

a) 6y x 4 0

b) 2x 4y 1 0

c) 2x 4y 1 0

d) x 2y 0

e) x 2y 0

19. (Espcex (Aman) 2012) A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação

2 29x y 36x 8y 11 é dada por

a) duas retas concorrentes. b) uma circunferência. c) uma elipse. d) uma parábola. e) uma hipérbole.

20. (Ufpe 2012) Esta questão refere-se à parábola com equação 2y x 5 e à reta não

vertical com inclinação m e passando pelo ponto (0,1), que será designada por mr . Abaixo,

ilustramos o gráfico da parábola e o gráfico das retas y 2x 1, y 4x 1 e y 6x 1.

Admitindo esses dados, analise as afirmações seguintes. ( ) Uma equação de mr é y mx 1.

( ) mr intercepta a parábola em um único ponto se e somente se m 4.

( ) Se 4 m 4, então, mr não intercepta a parábola.

( ) Se m 4, então, mr intercepta a parábola em dois pontos diferentes.

( ) Se m 4, então, mr intercepta a parábola em um único ponto.

21. (Ime 2012) É dada uma parábola de parâmetro p. Traça-se a corda focal MN, que possui

uma inclinação de 60° em relação ao eixo de simetria da parábola. A projeção do ponto M sobre a diretriz é o ponto Q, e o prolongamento da corda MN intercepta a diretriz no ponto R. Determine o perímetro do triângulo MQR em função de p, sabendo que N encontra-se no interior do segmento MR.


22. (Uepb 2012) Deseja-se construir uma praça em forma de elipse em um terreno retangular

de dimensões x metros e y metros, com x y, de perímetro 300 m e área 25000 m , conforme

nos mostra a figura.

Estando previstas as instalações de duas torres de iluminação, uma em cada foco da elipse,

1 2F e F , local de melhor distribuição e aproveitamento das mesmas, concluímos que a

distância em metros entre as torres é

a) 100 3

b) 25 3

c) 50 3

d) 40 3

e) 30 3 23. (Uftm 2012) Os pontos P e Q estão na parábola dada por y = 4x

2 + 7x – 1, e a origem do

sistema de coordenadas cartesianas está no ponto médio de PQ. Sendo assim, P e Q são

pontos que estão na reta

a) 15x

y .2

b) y 7x.

c) 13x

y .2

d) y 6x.

e) 11x

y .2

24. (Espcex (Aman) 2012) O ponto

1P a,

3 pertence à parábola

2y 3x .

3 A equação da

reta perpendicular à bissetriz dos quadrantes ímpares que passa por P é: a) 27x 27y – 37 0

b) 37x 27y – 27 0

c) 27x 37y – 27 0

d) 27x 27y – 9 0

e) 27x 37y – 9 0


25. (Espcex (Aman) 2012) Num estádio de futebol em forma de elipse, o gramado é o

retângulo MNPQ, inscrito na cônica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas cartesianas indicado e tomando o metro como unidade, a elipse é descrita pela

equação 2 2

2 2

x y1.

36 60 Sabe-se também que os focos da elipse estão situados em lados do

retângulo MNPQ.

Assim, a distância entre as retas MN e PQ é a) 48 m b) 68 m c) 84 m d) 92 m e) 96 m 26. (Espm 2012) Para efeitos práticos, a relação entre as grandezas x e y que, teoricamente,

seria dada por 2x

y 14

e cujo gráfico cartesiano se vê abaixo, em linha tracejada, foi

substituída pela relação linear representada pela reta que passa por A e B.

Dessa forma, a diferença dy, que se obtém quando x = 6, vale: a) 1,5 b) 2,0 c) 2,5 d) 3,0 e) 3,5


TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: O vento solar é uma emissão contínua, em todas as direções, de partículas carregadas que têm origem na coroa solar. As partículas emitidas podem ser elétrons, prótons ou neutrinos. A velocidade dessas partículas varia entre 400 km/s e 800 km/s. Essa emissão contínua gera uma distribuição de íons, prótons e elétrons em todo o espaço do sistema solar. Esse plasma de partículas carregadas é comumente denominado mar de prótons, ou mar de elétrons. Ao se aproximarem da Terra, esses íons sofrem alterações em suas trajetórias devido à presença do campo magnético terrestre. Na região do espaço que circunda a Terra, a densidade desse plasma é de aproximadamente 10 partículas por centímetro cúbico. O bombardeamento da atmosfera terrestre pelo vento solar tem efeitos profundos, uma vez que as partículas e a radiação solar interagem com os gases presentes na atmosfera, tais como H2, N2, O2, CO2, CO, NO2, N2O, SO2.

planeta distância média do Sol, em 106 km

Mercúrio 57,9

Vênus 108

Terra 150

Marte 228

Júpiter 778

Saturno 1.430

Urano 2.870

Netuno 4.500

Plutão 5.900

27. (Unb 2012)

A figura acima ilustra a situação em que um cometa (C) percorre uma órbita elíptica de centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy. Nessa órbita elíptica, o Sol (S) aparece em um dos focos. Considere que a elipse seja representada pela equação

2 2

2 2

x y1,

a b em que a > b > 0, e tenha excentricidade igual a 0,96. Nesse caso, se a distância

mínima desse cometa ao Sol for igual a 0,58 UA (unidade astronômica), em que 1 UA = 150 10

6 km é a distância média da Terra ao Sol, então a distância máxima do cometa ao Sol, em

milhões de km, será a) inferior a 3.700. b) superior a 3.700 e inferior a 4.000. c) superior a 4.000 e inferior a 4.300. d) superior a 4.300.


28. (Ufpb 2011) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para

fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m x 120 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central.

Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, bem como os pontos F1 e F2, que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação. Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, aproximadamente, de: a) 68 m b) 72 m c) 76 m d) 80 m e) 84 m 29. (Ufpr 2011) Alguns telescópios usam espelhos parabólicos, pois essa forma geométrica

reflete a luz que entra para um único ponto, chamado foco. O gráfico de y = x2, por exemplo,

tem a forma de uma parábola. A luz que vem verticalmente, de cima para baixo (paralelamente ao eixo y), encontra a parábola e é refletida segundo a lei de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Essa lei implica que os raios de luz verticais, encontrando a parábola no ponto (a,a

2), serão refletidos na direção da reta

4ay + (1 – 4a

2)x = a.

Sendo assim, calcule o ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1,1) e (2,4) se encontrarão.


30. (Unesp 2010) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades.

Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura.

Vamos admitir que:

I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de

excentricidade 0,943;

II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua;

III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas

e pista).

Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a

distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente:

Dado: 0,9432 ≈ 0,889 e 0,111

a) 35. b) 30. c) 25. d) 20. e) 15. 31. (Ime 2010) Seja M um ponto de uma elipse com centro O e focos F e F' . A reta r é

tangente à elipse no ponto M e s é uma reta, que passa por O, paralela a r. As retas suportes

dos raios vetores MF e MF' interceptam a reta s em H e H' , respectivamente. Sabendo que o

segmento FHmede 2 cm, o comprimento F'H' é: a) 0,5 cm b) 1,0 cm c) 1,5 cm d) 2,0 cm e) 3,0 cm


Gabarito: Resposta da questão 1: 01 + 02 + 04 + 08 + 16 = 31. A equação da reta é

5 ( 2)y ( 2) (x 1) y x 1.

4 1

Se k é a ordenada do vértice da parábola e a é um número real não nulo, então a equação da

parábola é 2y a(x 2) k. Por outro lado, sabendo que os pontos (4, 5) e (1, 2)

pertencem ao gráfico da parábola, temos

2

2

a(4 2) k 5 4a k 5

a k 2a(1 2) k 2

a 1.

k 1

[01] Correto. De fato, pondo y 0, vem 0 x 1, o que implica em x 1.

[02] Correto. Sabendo que a medida do ângulo formado pela reta com o eixo das abscissas

pertence ao intervalo [0 ,180 [, e que o coeficiente angular da reta é 1, tal ângulo só

pode ser 135 .

[04] Correto. A equação da parábola é 2y (x 2) 1. Portanto, como y 0 para todo x

real, segue-se que a parábola não intersecta o eixo das abscissas.

[08] Correto. De fato, pois k 1.

[16] Correto. Com efeito, pois a 1. Resposta da questão 2:

a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e ,α obtemos

2 2 2

2 2

2

2

2

x y 4y 0 x 4 y

y 4 x y 5y 4 0

x 4 y

y 5y 4 0

x 4 y

y 1 ou y 4

( 3,1) ou (0, 4).

b) Completando os quadrados, obtemos

2 2 2 2x y 4y 0 (x 0) (y 2) 4.

Logo, λ possui centro em (0, 2) e raio 2.


Por outro lado, a equação canônica de α é 2y (x 0) 4. Assim, o ponto de máximo do

gráfico de α é (0, 4). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em ( 3,1) e

( 3,1).

Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações

2 2x y 4y 0 e 2y 4 x pertencem à região sombreada da figura abaixo.

Resposta da questão 3:

Centro da elipse: C(2,3) Semieixo paralelo ao eixo x: a = 2 Semieixo paralelo ao eixo y: b = 3 Logo, a equação da elipse será dada por:

2 22 2

2 2

y 3 y 3(x 2) (x 2)1 1

4 92 3


[A]

Desde que F (3, 2) e a diretriz da parábola é a reta x 4, temos p 3 ( 4) 7. Por

conseguinte, sendo 1

V , 2 ,2

a equação da parábola é

2 21(y 2) 2 7 x (y 2) 7(2x 1).

2


[B] Seja r o raio da bola.

A equação da circunferência de centro (0, 3), tangente à parábola 2y x , é dada por

2 2 2x (y 3) r . Daí, segue que

2 2 2 2 4 2 2x (x 3) r x 5x 9 r 0.

Tomando 2x t, obtemos 2 2t 5t 9 r 0. Assim, como o discriminante dessa equação

deve ser igual a zero, vem


2 2 2 11( 5) 4 1 (9 r ) 0 r

4

11r .

2

Resposta da questão 6: [E] 9x

2 + 25y

2 – 36x + 50y – 164 = 0

9(x

2 – 4x + 4) + 25(y

2+ 2y + 1) = 164 + 36 + 25

9(x – 2)

2 + 25(y + 1)

2 = 225

2 2(x 2) (y 1)

125 9

Equação de uma elipse com centro no ponto (2, –1), eixo maior igual a 10, eixo menor igual a 6, distância focal igual a 8 e excentricidade e = 4/5 = 0,8. Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira. Resposta da questão 7:

[D]

Seja t a reta que passa por A(0, 3) e B(4, 0). Tem-se que a equação de t é

x y 31 y x 3.

4 3 4

As abscissas de R e S correspondem às abscissas dos pontos de interseção de t com a

parábola 2y x . Logo,

2 23 3x x 3 x x 3 0.

4 4

Portanto, pelas Relações de Girard, a soma pedida é 3

0,75.4


[C] Reescrevendo as equações das elipses, obtemos

2 22 2

2 2

x y16x 25y 400 1

5 4

e 2 2

2 2

2 2

x y16x 9y 144 1.

3 4

Logo, traçando os gráficos dessas elipses, vem


e, portanto, a área sombreada é dada por

(5 4 4 3) 8 u.a.π π


[B]

2 2x 9y 8x 54y 88 0

x2 – 8x + 16 + 9 (y

2 – 6y + 9) = –88 + 16 + 81

(x – 4)

2 + 9 (y – 3)

2 = 9

2(x 4) (y 3)1

2 23 1

Como o eixo maior da elipse mede 6 (3 + 3), concluímos que a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse possui centro no (4, 3) e raio 3; portanto, tangente ao eixo x.



01 + 02 + 04 + 16 = 23. [01] Correto. Reescrevendo a equação, obtemos

2 2

2 2

x y1,

3 3

2

que é a equação de uma elipse centrada na origem, com a 3 e 3

b .2

[02] Correto. De (01), segue que a elipse intersecta o eixo das abscissas nos pontos

(a,0) (3,0) e ( a,0) ( 3,0).

[04] Correto. Pela definição de elipse, temos AD AE BD BE. Logo, como DE é lado

comum, segue o resultado. [08] Incorreto. De [01], sabemos que a elipse intersecta o eixo das ordenadas no ponto de

ordenada 3

y .2

Por outro lado, a circunferência centrada na origem e de raio 2

intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 2. Daí, como 3

2 1,4 1,5 ,2

concluímos que a elipse e a circunferência não se intersectam. [16] Correto. Temos

2

2 1(2 2) 4 8 1 9.

2


V – F – F – F – V. Resolvendo o sistema formado pelas equações das parábolas, encontramos:

2

2

y x 8x 13 x 1 e y 6.

x 5 e y 2y x 4x 3

Logo, os pontos de interseção das parábolas são (1, 6) e (5, 2).

A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas tem por equação

6 2y 2 (x 5) y 2x 8 2x 6.1 5

Completando o quadrado, obtemos:

2 2Ay x 8x 13 (x 4) 3,

donde concluímos que o vértice da parábola A é o ponto (4,3) (4, 2).

Completando o quadrado, vem


2 2By x 4x 3 (x 2) 7.

Daí, segue que o vértice da parábola B é o ponto (2, 7).

A distância entre os vértices das parábolas A e B é dada por

2 2(4 2) [3 ( 7)] 104 102.

A parábola B intersecta o eixo das ordenadas no ponto em que x 0, ou seja, (0, 3).

Resposta da questão 12: [E]

A circunferência de equação 2 2x y 9 possui centro no ponto (0, 0) e raio igual a 3.

A parábola de equação 2y x 1, com x variando de 1 a 1, possui concavidade voltada

para baixo e vértice no ponto (0, 1).

Portanto, a única alternativa possível é a alternativa [E]. Resposta da questão 13:

[D]

2 2

22 2 2 2 2

4x y 32x 8y 52 0

y 44x 32x 64 (y 8y 16) 52 64 16 4(x 4) (y 4) 4 (x 4) 1

4

Que representa a equação de uma hipérbole. Resposta da questão 14:

[C] Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no ponto

médio do segmento 1 2FF , considere a figura.

Temos 1A ( 10, 0), 2A (10, 0), 1B (0, 8), 2B (0, 8), 1F ( c, 0) e 2F (0, c), com

c 0. Logo, da relação fundamental da elipse, vem


2 2 2 2 2 21 2 2 1B F OF OB 10 c 8

c 6.

Portanto, a distância pedida é dada por

2 2OP OF 11 6 5 m.

Resposta da questão 15: [B]

Suponhamos que exista uma reta de equação y k, que seja simultaneamente tangente à

parábola e paralela ao eixo Ox. Desse modo, a equação

2 2x (2k 2)x k 4k 1 0

deve ter uma e somente uma raiz real, isto é,

2 2

2 2

0 (2k 2) 4 1 (k 4k 1) 0

4k 8k 4 4k 16k 4 0

k 0.

Portanto, a parábola admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox. Resposta da questão 16: V – F – F – F – V. Completando os quadrados, obtemos:

2 2 2 2x ay 2x 2ay 0 (x 1) a(y 1) a 1.

Logo, se a 1, a equação 2 2(x 1) (y 1) 2 representa uma circunferência; se a 0, a

equação representa duas retas (x 0 e x 2); se a 3, a equação 2 2(x 1) (y 1)

144

3

representa uma elipse; se a 2, a equação 2

2(y 1)(x 1) 1

1

2

representa uma hipérbole; se

a 1, a equação 2 2(x 1) (y 1) 0 representa duas retas (y x e y x 2).

Resposta da questão 17: [C]

Reescrevendo a equação 2 2(x 2) 4(y 5) 36, obtemos

2 2

2 2

(x 2) (y 5)1,

6 3

que é a equação de uma elipse centrada em (2, 5), com o semieixo maior paralelo ao eixo

das abscissas. Logo, como a 6 e b 3, temos m 2 6 8 e n 5 3 2. Portanto,

m n 8 ( 2) 6.



[D]

Sendo (a, b, 2) uma progressão aritmética, temos 2b a 2. Além disso, se (b, a, 2) é uma

progressão geométrica não constante, então 2a 2b, com a b. Logo,

2 2a a 2 a a 2 0

a 1

e, portanto, 1

b .2

Reescrevendo a equação da parábola 2y 2y x 3 0, obtemos 2x 2 (y 1) . Donde fica

fácil ver que o vértice dessa parábola é o ponto ( 2,1).

Por conseguinte, a equação da reta que passa pelo ponto 1

(a, b) 1,2

e pelo ponto ( 2,1)

é

11

12y 1 (x ( 2)) y 1 (x 2)1 ( 2) 2

x 2y 0.

Resposta da questão 19: [E] Completando os quadrados, obtemos

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

9x y 36x 8y 11 9(x 4x) (y 8y) 11

9[(x 2) 4] [(y 4) 16] 11

9(x 2) (y 4) 9

(x 2) (x 2)1,

1 3

que é a equação de uma hipérbole com eixo real paralelo ao eixo Ox. Resposta da questão 20: V – F – V – V – F.

Se a reta mr passa pelo ponto (0,1) e tem declividade m, então sua equação é dada por

y 1 m (x 0) y mx 1.

A reta mr intersecta a parábola em um único ponto se, e somente se, a equação

2x mx 4 0 possui uma única raiz real, ou seja,

2 2( m) 4 1 4 0 m 16 m 4.

A reta mr não intersecta a parábola se, e somente se, a equação 2x mx 4 0 não possui

solução real, ou seja,


2 2( m) 4 1 4 0 m 16 4 m 4.

A reta mr intersecta a parábola em dois pontos distintos se, e somente se, a equação

2x mx 4 0 possui duas raízes reais, ou seja,

2 2( m) 4 1 4 0 m 16 m 4 ou m 4.

Resposta da questão 21: Considere a figura.

Sejam F o foco da parábola, H a projeção de F sobre MQ e F' a projeção de F sobre a

diretriz d.

Como M pertence à parábola e MQ é paralelo ao eixo de simetria e da parábola, segue que

MF MQ. Além disso, FF' p e RMQ RFF' 60 . Logo, do triângulo RFF', obtemos

pFF'cosRFF' FRcos60FR

FR 2p.

Do triângulo MRQ, vem

MQ MQcosRMQ cos60MF FR MQ 2p

MQ 2p MF.

Assim, MR 4p e, portanto,

QR QRsenRMQ sen604pMR

QR 2p 3.

O resultado pedido é 2p 4p 2p 3 2p(3 3).



[C]

Sabendo que o perímetro do terreno mede 300 m e sua área 25000 m , temos

2(x y) 300 x y 150

xy 5000 xy 5000

x 100 e y 50

ou .

x 50 e y 100

Porém, como x y, segue-se que x 100 e y 50.

Daí, sendo 2OF f, pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 2

2 2 2 2

2

x yf 50 25 f

2 2

f 25 3

f 25 3 m.

Portanto, o resultado é 2f 2 25 3 50 3 m.

Resposta da questão 23: [B]

Considere a figura, com , .

Como P( , ) e Q( , ) pertencem ao gráfico da parábola 2y 4x 7x 1, segue que

2 2

2 2

1

4 7 1 8 2 2.

74 7 1 4 7 12

Portanto, a equação da reta que passa por P e Q é dada por:

7

2y x x 7x.1

2



[A]

Como P pertence à parábola, segue que

21

31 283a 1 .

3 27 27

Sabendo que a bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta y x, temos que o coeficiente

angular da reta procurada é 1 e, portanto, sua equação é dada por

1 28 1 28y ( 1) x x y 0

3 27 3 27

27x 27y 37 0.


[E] Considere a figura.

Sejam 1F e 2F os focos da elipse.

Queremos calcular 1 2 1FF 2 OF .

Sabendo que 2 2

1 1FB 60 e 2 2

1OB 36 , da relação fundamental, vem

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

1

1

F B OB OF OF 60 36

OF 2304

OF 48 m.

Portanto,

12 OF 2 48 96 m.



[D]

Como a parábola 2x

y 14

intersecta o eixo das ordenadas no ponto A, segue que a

ordenada do ponto A é Ay 1. Além disso, a ordenada do ponto B é 2

B4

y 1 5.4

Logo,

se y mx 1 é a equação da reta que passa por A e B, então 5 m 4 1 m 1.

Portanto, a diferença dy, que se obtém quando x 6, é igual a

261 (6 1) 1 9 7 3.

4

Resposta da questão 27: [C]

Como a b, segue que o eixo maior da elipse encontra-se sobre o eixo x.

Sabendo que a excentricidade da elipse é igual a 0,96, ou seja, c

0,96 c 0,96a,a

com c

sendo a distância focal, e que a distância mínima desse cometa ao Sol é igual a 0,58 UA,

obtemos a c 0,58.

Logo, a 0,96a 0,58 a 14,5 UA.

Portanto, a distância máxima do cometa ao Sol é dada por 6 6a c 1,96a 1,96 14,5 150 10 4.263 10 km.


[D]

2 2 2

2

d 30 50

d 1600

d 40m

2d 80m (distância focal)



O raio de luz refletido no ponto (1,1) tem a direção da reta 4y 3x 1. Já o raio refletido no

ponto (2, 4) tem a direção da reta 8y 15x 2. Desse modo, o ponto procurado é a solução

do sistema 4y 3x 1

.8y 15x 2

Resolvendo esse sistema, encontramos x 0 e 1

y .4

Portanto, o ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1,1) e (2, 4) se encontrarão é

10, .

4


0,943ac0,943a

c

a2 = 5

2 + c

2 a

2 = 25 + (0,943a)

2 a

2 = 25 + 0,889a

2 0,111a

2 = 25 a =

111,0

25a =

15

3

1

5

...3333,0

5

A distância é 2ª = 2.15 = 30m



[D] Considere a figura.

Como r é tangente à elipse, segue que PMF QMH' .α Além disso, sendo r s, vem

OHF OH'M .α

Aplicando a Lei dos Senos nos triângulos OFH e OF'H', e sabendo que OF OF', obtemos

OF FH sen 2

sen sen sen OF

α

α β β

e

OF' F'H' sen F'H'

.sen(180 ) sen sen OF'

α

α β β

Portanto, segue de imediato que F'H' 2cm.

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