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Apostilas OBJETIVA – Concursos Públicos - Brasil

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Concurso Público 2018

Conteúdo I – Frações – frações equivalentes, simplificação de frações, comparação de frações, números fracionários, operações

com frações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). II – Conjuntos Numéricos – números naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais e números reais. III – Números Decimais – operações com números decimais (adição, subtração, multiplicação e divisão), potência com base decimal, raiz quadrada de um número decimal, dízima periódica. IV – Múltiplos e Divisores – máximo divisor comum (M.D.C), mínimo múltiplo comum (M.M.C). V – Sistema Métrico Decimal – medida de comprimento, medida de superfície, medida de capacidade e medida de massa. VI – Medidas de Tempo – relação entre hora, minuto e segundo. VIII – Equações de 1º Grau – com uma variável e com duas variáveis. IX – Inequações de 1º Grau – resolução e discussão de inequação com uma variável. X – Equações do 2° Grau – resolução e discussão da equação, relação entre os coeficientes e as raízes. XI – Funções – análise de gráficos, construção de gráficos, domínio, contradomínio, imagem, classificação de funções (injetiva, sobrejetiva e bijetiva) e estudo da função afim e quadrática. XII – Radiciação e Potenciação – propriedades da potência e propriedades da radiciação. XIII – Expressões Numéricas – elementos das expressões numéricas (parênteses, colchetes e chaves) e aplicação das regras dos sinais. XIV – Razões e Proporções – grandezas proporcionais diretas e inversas. XV– Algarismos Romanos – sistemas de numeração e suas regras. XVI – Regra de Três – simples e composta. XVII – Porcentagem. XVIII – Ângulos – ideais de ângulos, medidas de ângulos, subdivisão do grau, operações com medidas de ângulos, ângulos complementares, ângulos suplementares, ângulos adjacentes e ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal (alternos internos, alternos externos, colaterais internos, colaterais externos e correspondentes). XIX – Polígonos – ângulos, diagonal, soma das medidas dos ângulos internos e soma das medidas dos ângulos externos. XX – Geometria Plana – cálculo do perímetro e da área das principais figuras planas (retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango, círculo e suas partes). XXI – Geometria Espacial – cálculo da área e do volume dos seguintes sólidos: paralelepípedo e cilindros. XXII – Círculo e Circunferência – ângulo na circunferência, comprimento da circunferência e área do círculo. XXIII – Trigonometria no Triângulo Retângulo – razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente), cálculo do seno, cosseno e tangente de 30º, 45º e 60º e Teorema de Pitágoras.

Coletâneas de Exercícios pertinentes

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Números Racionais - (Q) Frações - frações equivalentes, simplificação de frações, comparação de frações, números fracionários, operações com frações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). O termo fração significa “pedaço” do inteiro dividido em partes iguais. Observe o exemplo: A figura abaixo representa um inteiro

Dividindo-a em 3 partes iguais, cada uma dessas partes (pedaço) representará a fração (1/3 do inteiro).

Observe os desenhos abaixo:

Observe que o número debaixo mostra em quantas partes o inteiro foi dividido. E o número de cima quantas partes foram consideradas (pintadas). Cada número que compõe a fração recebe um nome especial.

Atenção: I) Todo número natural é um racional.

II) Todo número inteiro relativo é racional.

Frações - Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais.

Exemplos: 2) 1 hora = 60 minutos 3) ¼ hora = 15 minutos

4) hora = 30 minutos 42



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5) hora = 45 minutos ⇒ Representação

Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo uma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente de numerador e denominador, e que constituem os termos da fração.

O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o numerador, quantas partes foram tomadas. As frações podem ser decimais e ordinárias.

Leitura: Para ler uma fração você deve ler primeiro o numerador e depois o denominador. Observe:

Ex.: lê-se três quintos.

Se o denominador for 2, lê-se meio (s) Ex.: três meios

Se o denominador for 3, lê-se terço (s) Ex.: dois terços

Se o denominador for 4, lê-se quarto (s) Ex.: um quarto Se o denominador for 5, lê-se quinto (s) e assim por diante até o número 10 (décimo). A partir do número 11 fala-se o número acrescido da palavra “avos”.

Exemplos: = quatro onze avos b) = sete treze avos Fração é divisão: O traço de fração ou barra ( ― ) também significa “divisão” pois:

Frações Decimais - Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja, 10, 100, 1000, etc. Exemplo:

43



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Frações Ordinárias - São todas as outras frações:

Tipos de Frações a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso a fração é menor que a unidade. Exemplo:

b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador. Nesse caso a fração é maior que a unidade. Exemplo:

c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos números internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador. Exemplo:

d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é, não podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primos entre si, e por esta razão não têm mais nenhum divisor comum. Exemplo:

Redução de frações ao mesmo denominador Há casos de frações cujos denominadores (n.º debaixo) são diferentes e precisam ser reduzidos (transformados) a um mesmo denominador. Para isso é necessário que você: 1- Calcule o m.m.c. dos denominadores (você viu no início deste módulo); 2- O resultado do m.m.c. será o novo denominador; 3- Divida o novo denominador pelo denominador de cada fração; 4- Multiplique esse resultado pelos respectivos numeradores. Observe o exemplo abaixo: Exemplo:

Reduza ao mesmo denominador as frações:



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Modo prático Divide o novo denominador pelo nº debaixo e multiplica o resultado pelo nº de cima. O resultado final será o novo numerador. Copie e resolva em seu caderno: Reduza ao mesmo denominador (nº debaixo) as frações:

Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade (igual) ou de desigualdade entre esses números. Para identificar a desigualdade você vai usar os símbolos: < (menor) ou > (maior) 1º caso: os números fracionários têm o mesmo denominador: Observe os desenhos e compare: o pedaço “a” é maior (>) do que o pedaço “b”

Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem o maior numerador (nº de cima). 2º caso: os números fracionários têm denominadores diferentes: Para comparar é necessário que o inteiro esteja dividido na mesma quantidade de pedaços por isso, você deve reduzir ao mesmo denominador.



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Propriedade das Frações 1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo número diferente de zero, o valor de

fração fica multiplicado ou dividido por esse número. Exemplo:

Seja a fração . Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a fração , que é duas vezes maior que

, pois se em tomamos 6 das 10 divisões da unidade, em tomamos apenas três. Ilustração:

Observando a ilustração, verificamos que é duas vezes menor que . 2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número diferente de zero, o valor da

fração fica dividido ou multiplicado por esse número. Exemplo:

Seja a fração . Multiplicando o denominador por 2, obtemos a fração , que é duas vezes menor que , pois

em dividimos a unidade em 5 partes iguais e das cinco tomamos duas, enquanto que em , a mesma unidade foi dividida em 10 partes iguais e tomadas apenas duas em dez. Ilustrações:

103

106

103

106

103

103

106

52

102

52

52

102



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Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que é duas vezes maior que . 3) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração não se

altera. Exemplo:

Ilustrações:

Números Mistos - Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração. Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultado obtido com o numerador.

52

102

52 ⇒

22⋅⋅

52 ⇒

104

Logo:

52 =

104



8

Exemplo:

Comparação de Frações - Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e qual a menor. Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação:

1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador. Exemplo:

2) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador. Exemplo:

3) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a comparação é feita reduzindo-as ao mesmo

denominador ou ao mesmo numerador. Exemplo:

Exercício Resolvido 1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <.

Resolução: Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e para tanto o MMC (2, 3, 5, 10) = 30:

746 =

7442 + =

746

104 >

103 >

101

54 >

74 >

104

52 <

21 <

74 ⇒

7028 <

7035 <

7040

54 ,

107 ,

52 ,

21 ,

36

54 ,

107 ,

52 ,

21 ,

36 ⇒

30,

30,

30,

30,

30⇒

⇒ 3024 ,

3021 ,

3012 ,

3015 ,

3060

Logo:

3012 <

3015 <

3021 <

3024 <

3060 ⇒

52 <

21 <

107 <

54 <

36



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Frações Equivalentes - São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são frações de mesmo valor.

Na figura acima temos: logo são frações equivalentes.

Simplificação de Frações - Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o denominador são números primos entre si. Para simplificar uma fração basta dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. Observe que há várias maneiras de se fazer a simplificação. Você pode utilizar o número que achar mais adequado desde que use sempre o mesmo número para dividir o denominador e o numerador e que o resultado seja sempre exato, não sobre resto nas divisões. 1o. Modo:

2o. Modo:

está na sua forma irredutível. 3o. Modo: Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor comum) entre o M.D.C (48,36) = 12

Exercício Resolvido

21 =

63 =

42

43

33

129

129

44

4836

4836

⇒÷÷

⇒⇒÷÷

⇒

43

1212

4836

÷÷ ⇒

43



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1) Obter 3 frações equivalentes a . Resolução:

Basta tomar os termos da fração multiplicá-lo por um mesmo número diferente de zero:

Adição de Frações - Temos dois casos a considerar: Caso 1: Denominadores Iguais - "Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum". Assim:

Exemplo: Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços. Quanto sobrou?

Logo, sobrou 1/3 da pizza. Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e manter o mesmo denominador. Caso 2: Denominadores Diferentes - "Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-

se a regra anterior ". Exemplo:

Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível:

Nota: Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os números mistos em frações impróprias. Subtração de Frações - Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição

53

53

33

53××

=159

77

53××

=3521

1212

53××

=6036

511 +

59 +

52 =

52911 ++ =

522

54 +

107 +

52 +

21 +

36 ⇒

3024 +

3021 +

3012 +

3015 +

3060 ⇒

⇒ 30

6015122124 ++++ =30

132

66

30132

÷÷ =

522


http://www.matematicadidatica.com.br/FracaoExercicios.aspx%23anchor_ex2









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3) Dos da área destinada ao plantio o agricultor vai deixar para plantar mandioca. Quanto irá sobrar para as outras plantações?

Resposta: da área sobrará para as outras plantações.

4) Dos da área destinada ao plantio o agricultor vai reservar para o pasto de animais. Qual a fração que representa a área destinada a outras plantações?

Resposta: Deixará (simplificando por 2) a resposta será: para outras plantações. Para você fazer as adições e subtrações de frações negativas e positivas observe as regras dos sinais I) Mesmo denominador. II)

Denominadores diferentes (não esqueça do M.M.C. para reduzir ao mesmo denominador):



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Multiplicação de Frações - Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os numeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre: Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores. Regra Prática: - Multiplique os numeradores (nºs de cima); - Multiplique os denominadores (nºs debaixo); - Observe os sinais das frações para usar a regra. Sinais iguais resulta positivo. Sinais diferentes resulta negativo. Exemplos:

Nota: Neste segundo exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o produto, observe:

, simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro.

1) Um fazendeiro tem 5 fazendas. Dessas, são produtivas. Qual é a fração que representa toda a terra produtiva? DICA IMPORTANTE! Quando aparece no problema a palavra “de”, “dessa”, a operação usada é a multiplicação e a resposta representa a fração em relação ao inteiro.

53 ×

76 =

7563

×× =

3518

54 ×

107 ×

52 =

5105274×××× =

25056 =

22

25056

÷÷ =

12528

54 ×

107 ×

52 =

52 ×

57 ×

52 =

12528












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2) Um fazendeiro vai plantar da área da fazenda. Já plantou dessa área com soja. Qual a fração que representa a área de plantação de soja em relação a área da fazenda?

Resposta: A fração que representa a parte plantada com soja em relação à fazenda inteira é (ou simplificando

por 6) apenas . Divisão de Frações - Na divisão de duas frações, vamos sempre: Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda. Regra Prática: - Copie a primeira fração; - Mude o sinal de divisão ( : ) para o de multiplicação (•); - Copie a segunda fração invertendo os lugares do numerador com o denominador; - Multiplique os numeradores; - Multiplique os denominadores; - Observe os sinais das frações aplicando a regra de sinais que é a mesma da multiplicação. Exemplo:

A metade ( ) da área de uma fazenda vai ser dividida em 6 partes iguais. Qual a fração que representa cada parte?

Observe que: 1- A divisão foi transformada em multiplicação. 2- A segunda fração foi invertida.

R: Cada parte é representada por .

53 ÷

76 =

53 ×

67 =

51 ×

27 =

2571

×× =

107



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Potenciação e Radiciação de Números Fracionários Potenciação Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente. Exemplo:

Radiciação Na radiciação, quando aplicamos a raiz a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador. Exemplo:

Expressões Aritméticas Fracionárias - O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de frações ligadas por sinais de operações é feito na segunda ordem: 1º) As multiplicações e divisões 2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e chaves. Exemplo: Vamos resolver a seguinte expressão:

Exercícios Resolvidos

1) Um grande depósito foi esvaziado a um terço da sua capacidade e mais tarde, do que sobrou foram retirados três quartos. Sabe-se que o reservatório ainda ficou com vinte mil litros de água. Qual é a capacidade total deste reservatório? Primeiramente o reservatório foi deixado com 1/3 da sua capacidade e depois reduziu-se este volume em 3/4 do que havia restado, podemos então montar a seguinte sentença matemática:

÷⋅+÷÷

+−65

21

34

711

311

522

41

29 =

=

÷+×÷

+−

65

64

117

311

5210

41

29 =

=

×+÷

×−56

64

37

512

41

29 =

+÷

−54

37

53

29 =

=

+÷

−15

123510

645 = 1547

1039

÷ = 4715

1039

× =

=473

239

× = 473

239

× = 94

117



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Que pode ser resumida a:

Se multiplicarmos a capacidade total do reservatório por 1/12, iremos obter os 20000 litros que restam nele, obviamente realizando a operação inversa, se dividirmos os 20000 por 1/12 iremos obter a capacidade total do depósito:

Portanto: A capacidade total deste reservatório é de 240 mil litros.

2) Se eu conseguir reduzir do valor de um produto, um quinto deste preço à vista e pagar R$ 128,00 por quatro das nove parcelas. Qual é o preço total do produto sem este desconto?

Se de 1 que representa a fração total do preço do produto, subtrairmos do mesmo ficaremos apenas com

As quatro das nove parcelas, equivalem a dos :

Ou seja, os R$ 128,00 equivalem a do preço total sem o desconto. Fazendo a operação inversa, se dividirmos esta quantia por esta fração, iremos obter o preço total do produto sem o desconto:

Temos então que: O preço total do produto sem este desconto é de R$ 360,00. 3) Cinco oitavos de três sétimos do valor de uma multa de trânsito que Zeca pé de chumbo recebeu, é igual a R$ 75,00. Qual é o valor da multa de trânsito referente à infração que Zeca pé de chumbo cometeu? Este problema é bastante simples, basta refazermos as contas em ordem inversa. Primeiro dividimos R$ 75,00 por

e depois dividimos por :

Logo: O valor da multa de trânsito referente à infração é de R$ 280,00.

4) Um assentador de pisos consegue assentar todos os pisos de um salão em 24 horas. Um outro assentador consegue fazer o mesmo trabalho em 21 horas. Trabalhando juntos, conseguem realizar tal trabalho em quantas horas?




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